ศูนย์ของฟังก์ชัน

ทุกสมการในสิ่งที่ไม่รู้จัก ${\displaystyle x}$ อาจเขียนใหม่เป็น

${\displaystyle f(x)=0}$

โดยจัดกลุ่มเงื่อนไขทั้งหมดใหม่ทางด้านซ้ายมือ มันตามมาว่าคำตอบของสมการนั้นเป็นศูนย์ของฟังก์ชัน${\displaystyle f}$. กล่าวอีกนัยหนึ่ง "ศูนย์ของฟังก์ชัน" เป็น "คำตอบของสมการที่ได้จากการเทียบฟังก์ชันกับ 0" อย่างแม่นยำ และการศึกษาค่าศูนย์ของฟังก์ชันจะเหมือนกันทุกประการกับการศึกษาคำตอบของสมการ

ทุกพหุนามที่แท้จริงของแปลกศึกษาระดับปริญญามีเลขคี่ของรากจริง (นับmultiplicities ); ในทำนองเดียวกัน พหุนามแท้ของดีกรีคู่ต้องมีรากจริงเป็นจำนวนคู่ ดังนั้นพหุนามคี่จริงต้องมีอย่างน้อยหนึ่งรูทจริง (เพราะจำนวนเต็มคี่ที่น้อยที่สุดคือ 1) ในขณะที่พหุนามพหุนามก็ไม่มี หลักการนี้สามารถพิสูจน์ได้โดยการอ้างอิงถึงทฤษฎีบทค่ากลาง : เนื่องจากฟังก์ชันพหุนามต่อเนื่องกัน ค่าของฟังก์ชันต้องข้ามศูนย์ ในกระบวนการเปลี่ยนจากค่าลบเป็นค่าบวกหรือในทางกลับกัน (ซึ่งมักเกิดขึ้นสำหรับฟังก์ชันคี่)

ทฤษฎีบทพื้นฐานของพีชคณิต

ทฤษฎีบทพื้นฐานของพีชคณิตระบุว่าทุกพหุนามของดีกรี ${\รูปแบบการแสดงผล n}$ มี ${\รูปแบบการแสดงผล n}$รากที่ซับซ้อนนับด้วยหลายหลาก รากที่ไม่เป็นจริงของพหุนามที่มีค่าสัมประสิทธิ์จริงมาเป็นคู่คอนจูเกต ^[3] สูตรของเวียตาเกี่ยวข้องสัมประสิทธิ์ของพหุนามกับผลรวมและผลิตภัณฑ์ของรากของมัน

การคำนวณรากของฟังก์ชัน เช่นฟังก์ชันพหุนามมักต้องใช้เทคนิคพิเศษหรือการประมาณค่า (เช่นวิธีของนิวตัน ) แต่บางฟังก์ชั่นพหุนามรวมทั้งทุกคนของการศึกษาระดับปริญญาไม่เกิน 4 สามารถมีทั้งหมดรากของพวกเขาแสดงความพีชคณิตในแง่ของค่าสัมประสิทธิ์ของพวกเขา (สำหรับเพิ่มเติมโปรดดูที่วิธีการแก้ปัญหาเกี่ยวกับพีชคณิต )

ในสาขาคณิตศาสตร์ต่างๆชุดศูนย์ของฟังก์ชันคือเซตของเลขศูนย์ทั้งหมด แม่นยำยิ่งขึ้น if${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$เป็นฟังก์ชันมูลค่าจริง (หรือโดยทั่วไปแล้ว ฟังก์ชันที่รับค่าในกลุ่มสารเติมแต่งบางกลุ่ม ) ชุดศูนย์ของมันคือ${\displaystyle f^{-1}(0)}$, ภาพผกผันของ${\displaystyle \{0\}}$ ใน ${\displaystyle X}$.

คำชุดศูนย์โดยทั่วไปจะใช้เมื่อมีศูนย์หลายอย่างมากมายและพวกเขามีบางอย่างที่ไม่น่ารำคาญคุณสมบัติทอพอโลยี ตัวอย่างเช่นชุดระดับของฟังก์ชัน${\displaystyle f}$ เป็นเซตศูนย์ของ ${\displaystyle fc}$. ชุด cozeroของ${\displaystyle f}$เป็นส่วนประกอบเสริมของเซตศูนย์ของ${\displaystyle f}$ (กล่าวคือ เซตย่อยของ ${\displaystyle X}$ ที่ ${\displaystyle f}$ ไม่เป็นศูนย์)

แอปพลิเคชั่น

ในเรขาคณิตเกี่ยวกับพีชคณิตคำจำกัดความแรกของความหลากหลายเกี่ยวกับพีชคณิตคือผ่านเซตศูนย์ โดยเฉพาะเซตพีชคณิตที่สัมพันธ์กันคือจุดตัดของเซตศูนย์ของพหุนามหลายตัวในวงแหวนพหุนาม ${\displaystyle k\left[x_{1},\ldots ,x_{n}\right]}$กว่าฟิลด์ ในบริบทนี้ บางครั้งชุดศูนย์เรียกว่าศูนย์โลคัส

ในการวิเคราะห์และเรขาคณิตชุดย่อยปิดใดๆของ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$เป็นเซตศูนย์ของฟังก์ชันที่ราบรื่นซึ่งกำหนดไว้บน . ทั้งหมด${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. เรื่องนี้ต้องขยายใด ๆนานาเรียบเป็นข้อพิสูจน์ของparacompactness

ในเรขาคณิตต่างกันศูนย์ชุดที่ใช้บ่อยในการกำหนดmanifolds กรณีพิเศษที่สำคัญคือกรณีที่${\displaystyle f}$เป็นฟังก์ชันที่ราบรื่นจาก${\displaystyle \mathbb {R} ^{p}}$ ถึง ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. ถ้าศูนย์เป็นค่าปกติของ${\displaystyle f}$จากนั้นชุดศูนย์ของ ${\displaystyle f}$ เป็นมิติที่ราบรื่น ${\displaystyle m=pn}$โดยทฤษฎีบทค่าปกติ

ตัวอย่างเช่น หน่วย ${\displaystyle ม.}$- ทรงกลมใน${\displaystyle \mathbb {R} ^{m+1}}$ เป็นเซตศูนย์ของฟังก์ชันมูลค่าจริง ${\displaystyle f(x)=\Vert x\Vert ^{2}-1}$.

• ทฤษฎีบทของมาร์เดน
• อัลกอริทึมการค้นหารูต
• การคาดเดาของเซนดอฟ
• หายตัวไปในอนันต์
• ข้ามศูนย์
• ศูนย์และเสา

• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "รูท" . คณิตศาสตร์โลก.