ชัดเจน

ปล่อย ${\displaystyle A_{0},A_{1}}$ เป็นชุด ให้ ${\displaystyle A=A_{0}\cup A_{1}}$ และ "กำหนด" ${\displaystyle f:A\rightarrow \{0,1\}}$ เช่น ${\displaystyle f(a)=0}$ ถ้า ${\displaystyle a\in A_{0}}$ และ ${\displaystyle f(a)=1}$ ถ้า ${\displaystyle a\in A_{1}}$.

แล้ว ${\displaystyle f}$ มีการกำหนดไว้อย่างดี if ${\displaystyle A_{0}\cap A_{1}=\emptyset \!}$. ตัวอย่างเช่น if${\displaystyle A_{0}:=\{2,4\}}$และ ${\displaystyle A_{1}:=\{3,5\}}$แล้ว ${\displaystyle f(a)}$จะมีความชัดเจนและเท่ากับ ${\displaystyle \operatorname {mod} (a,2)}$.

อย่างไรก็ตาม ถ้า ${\displaystyle A_{0}\cap A_{1}\neq \emptyset }$แล้ว ${\displaystyle f}$ จะไม่ถูกกำหนดไว้อย่างดีเพราะ ${\displaystyle f(a)}$ เป็น "คลุมเครือ" สำหรับ ${\displaystyle a\in A_{0}\cap A_{1}}$. ตัวอย่างเช่น if${\displaystyle A_{0}:=\{2\}}$ และ ${\displaystyle A_{1}:=\{2\}}$แล้ว ${\displaystyle f(2)}$จะต้องเป็นทั้ง 0 และ 1 ซึ่งทำให้ไม่ชัดเจน ส่งผลให้ช่วงหลัง the${\displaystyle f}$ ไม่ได้กำหนดไว้อย่างชัดเจนและไม่ใช่ฟังก์ชัน

เพื่อหลีกเลี่ยงเครื่องหมายอะโพสโทรฟีรอบ "กำหนด" ในตัวอย่างง่ายๆ ก่อนหน้านี้ "คำจำกัดความ" ของ ${\displaystyle f}$ สามารถแบ่งออกเป็นสองขั้นตอนทางตรรกะง่ายๆ:

ในขณะที่คำจำกัดความในขั้นตอนที่ 1 ถูกกำหนดด้วยเสรีภาพของคำจำกัดความใด ๆ และมีประสิทธิภาพอย่างแน่นอน (โดยไม่จำเป็นต้องจัดประเภทเป็น "กำหนดไว้อย่างดี") การยืนยันในขั้นตอนที่ 2 จะต้องได้รับการพิสูจน์ นั่นคือ,${\displaystyle f}$ เป็นฟังก์ชันก็ต่อเมื่อ ${\displaystyle A_{0}\cap A_{1}=\emptyset }$ซึ่งในกรณีนี้ ${\displaystyle f}$— เป็นฟังก์ชัน — มีการกำหนดไว้อย่างดี ในทางกลับกัน ถ้า${\displaystyle A_{0}\cap A_{1}\neq \emptyset }$จากนั้นสำหรับ an ${\displaystyle a\in A_{0}\cap A_{1}}$, เราจะมีสิ่งนั้น ${\displaystyle (a,0)\in f}$ และ ${\displaystyle (a,1)\in f}$ซึ่งทำให้ความสัมพันธ์แบบไบนารี ${\displaystyle f}$ไม่ทำงาน (ตามที่กำหนดไว้ในความสัมพันธ์แบบไบนารี# ชนิดพิเศษของความสัมพันธ์แบบไบนารี ) และไม่ได้กำหนดไว้อย่างชัดเจนว่าเป็นฟังก์ชัน เรียกขานว่า "หน้าที่"${\displaystyle f}$ เรียกอีกอย่างว่าคลุมเครือ ณ จุด ${\displaystyle a}$(แม้ว่าจะมีตามคำนิยามไม่เคยมี "ฟังก์ชันคลุมเครือ") และ "คำจำกัดความ" ดั้งเดิมนั้นไม่มีจุดหมาย แม้จะมีปัญหาเชิงตรรกะที่ละเอียดอ่อนเหล่านี้ แต่ก็เป็นเรื่องปกติธรรมดาที่จะใช้คำจำกัดความ (โดยไม่มีเครื่องหมายอะพอสทรอฟี) สำหรับ "คำจำกัดความ" ประเภทนี้อย่างคาดไม่ถึง — ด้วยเหตุผลสามประการ:

1. มันให้ชวเลขที่มีประโยชน์ของแนวทางสองขั้นตอน
2. การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้อง (เช่น ขั้นตอนที่ 2) จะเหมือนกันในทั้งสองกรณี
3. ในข้อความทางคณิตศาสตร์ การยืนยันเป็นจริง "สูงสุด 100%"

คำถามเกี่ยวกับความชัดเจนของฟังก์ชันแบบคลาสสิกเกิดขึ้นเมื่อสมการการกำหนดของฟังก์ชันไม่ได้ (เท่านั้น) อ้างถึงอาร์กิวเมนต์เอง แต่ (รวมถึง) องค์ประกอบของอาร์กิวเมนต์ด้วย นี่คือบางครั้งก็หลีกเลี่ยงไม่ได้เมื่อมีข้อโต้แย้งcosetsและสมการหมายถึงตัวแทน coset

ฟังก์ชันที่มีอาร์กิวเมนต์เดียว

ตัวอย่างเช่น พิจารณาฟังก์ชันต่อไปนี้

${\displaystyle {\begin{matrix}f:&\mathbb {Z} /8\mathbb {Z} &\to &\mathbb {Z} /4\mathbb {Z} \\&{\overline {n}} _{8}&\mapsto &{\overline {n}}_{4},\end{matrix}}}$

ที่ไหน ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ,m\in \{4,8\}}$ และ ${\displaystyle \mathbb {Z} /m\mathbb {Z} }$เป็นจำนวนเต็ม โมดูโลมและ${\displaystyle {\overline {n}}_{m}}$หมายถึงระดับความสอดคล้องกันของn mod เมตร

หมายเหตุ: ${\displaystyle {\overline {n}}_{4}}$ เป็นการอ้างอิงถึงธาตุ ${\displaystyle n\in {\overline {n}}_{8}}$, และ ${\displaystyle {\overline {n}}_{8}}$ เป็นอาร์กิวเมนต์ของ ${\displaystyle f}$.

ฟังก์ชั่น ${\displaystyle f}$ ถูกกำหนดไว้อย่างดีเพราะ

${\displaystyle n\equiv n'{\bmod {8}}\;\Leftrightarrow \;8{\text{ หาร }}(n-n')\Rightarrow \;4{\text{ หาร }}(n- n')\;\Leftrightarrow \;n\equiv n'{\bmod {4}}.}$

เป็นตัวอย่างที่ขัดแย้ง คำจำกัดความของ converse

${\displaystyle {\begin{matrix}g:&\mathbb {Z} /4\mathbb {Z} &\to &\mathbb {Z} /8\mathbb {Z} \\&{\overline {n}} _{4}&\mapsto &{\overline {n}}_{8},\end{matrix}}}$

ไม่ได้นำไปสู่ฟังก์ชันที่กำหนดไว้อย่างดี เนื่องจากเช่น ${\displaystyle {\overline {1}}_{4}}$ เท่ากับ ${\displaystyle {\overline {5}}_{4}}$ ใน ${\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} }$, แต่อันแรกจะถูกแมปโดย ${\displaystyle g}$ ถึง ${\displaystyle {\overline {1}}_{8}}$ในขณะที่อันที่สองจะจับคู่กับ ${\displaystyle {\overline {5}}_{8}}$, และ ${\displaystyle {\overline {1}}_{8}}$ และ ${\displaystyle {\overline {5}}_{8}}$ ไม่เท่าเทียมกันใน ${\displaystyle \mathbb {Z} /8\mathbb {Z} }$.

ปฏิบัติการ

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง คำว่า well-defined ใช้กับการดำเนินการ (ไบนารี) บน cosets ในกรณีนี้ เราสามารถมองการดำเนินการเป็นฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว และคุณสมบัติของการกำหนดไว้อย่างดีจะเหมือนกับฟังก์ชันสำหรับฟังก์ชัน ตัวอย่างเช่น การบวกบนจำนวนเต็ม โมดูโล บางnสามารถกำหนดได้ตามธรรมชาติในแง่ของการบวกจำนวนเต็ม

${\displaystyle [a]\oplus [b]=[a+b]}$

ความจริงที่ว่าสิ่งนี้ถูกกำหนดไว้อย่างดีตามความจริงที่ว่าเราสามารถเขียนตัวแทนของ ${\displaystyle [a]}$ เช่น ${\displaystyle a+kn}$ที่ไหน ${\displaystyle k}$เป็นจำนวนเต็ม ดังนั้น,

${\displaystyle [a]\oplus [b]=[a+kn]\oplus [b]=[(a+kn)+b]=[(a+b)+kn]=[a+b];}$

และในทำนองเดียวกันสำหรับตัวแทนของ ${\displaystyle [b]}$, จึงทำให้ ${\displaystyle [a+b]}$เดียวกันโดยไม่คำนึงถึงการเลือกตัวแทน ^[3]

สำหรับจำนวนจริง ผลิตภัณฑ์ the ${\displaystyle a\times b\times c}$ ไม่ชัดเจนเพราะ ${\displaystyle (a\times b)\times c=a\times (b\times c)}$(และด้วยเหตุนี้สัญกรณ์จึงกล่าวได้ชัดเจน ) ^[1]คุณสมบัตินี้ หรือที่เรียกว่าassociativity of multiplication รับรองได้ว่าผลลัพธ์จะไม่ขึ้นอยู่กับลำดับของการคูณ เพื่อให้สามารถละเว้นข้อมูลจำเพาะของลำดับได้

การดำเนินการลบนั้นไม่สัมพันธ์กัน อย่างไรก็ตาม มีอนุสัญญาว่า${\displaystyle abc}$ เป็นชวเลขสำหรับ ${\displaystyle (ab)-c}$ดังนั้นจึงเป็น "คำจำกัดความที่ดี"

กองยังไม่เชื่อมโยง อย่างไรก็ตาม ในกรณีของ${\displaystyle a/b/c}$การจัดวงเล็บไม่ได้กำหนดไว้อย่างดี ดังนั้น นิพจน์นี้จึงมักถูกพิจารณาว่าไม่ถูกต้อง

ไม่เหมือนกับฟังก์ชัน ความคลุมเครือของสัญกรณ์สามารถเอาชนะได้ไม่มากก็น้อยโดยใช้คำจำกัดความเพิ่มเติม (เช่น กฎของลำดับความสำคัญ การเชื่อมโยงของโอเปอเรเตอร์) ตัวอย่างเช่น ในภาษาโปรแกรมCโอเปอเรเตอร์-สำหรับการลบคือleft-to-right-associativeซึ่งหมายความว่าa-b-cถูกกำหนดเป็น(a-b)-cและโอเปอเรเตอร์=สำหรับการกำหนดคือright-to-left-associativeซึ่งหมายความว่าa=b=cถูกกำหนดเป็นa=(b=c). ^[4]ในภาษาการเขียนโปรแกรมAPLมีกฎเพียงข้อเดียว: จากขวาไปซ้าย — แต่วงเล็บก่อน

วิธีแก้ปัญหาของสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยมีการกำหนดไว้อย่างดีหากถูกกำหนดโดยเงื่อนไขขอบเขตในลักษณะที่ต่อเนื่องกันเมื่อเงื่อนไขของขอบเขตเปลี่ยนไป ^[1]

• ความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกัน § ความชัดเจนภายใต้ความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกัน
• คำนิยาม
• การดำรงอยู่
• เอกลักษณ์
• ปริมาณเอกลักษณ์
• ไม่ได้กำหนด

หมายเหตุ

แหล่งที่มา

• พีชคณิตนามธรรมร่วมสมัย , Joseph A. Gallian, 6th Edition, Houghlin Mifflin, 2006, ไอเอสบีเอ็น 0-618-51471-6 .
• พีชคณิต: บทที่ 0เปาโล Aluffi ไอ 978-0821847817 . หน้า 16.
• พีชคณิตนามธรรมดัมมิท แอนด์ ฟุท ฉบับที่ 3 ISBN  978-0471433347 หน้า 1