ฟิลด์เวกเตอร์

ส่วนหนึ่งของฟิลด์เวกเตอร์ (sin  y , sin  x )

ในแคลคูลัสเวกเตอร์และฟิสิกส์เป็นสนามเวกเตอร์คือการมอบหมายของเวกเตอร์แต่ละจุดในเซตของพื้นที่ ^[1] ตัวอย่างเช่นช่องเวกเตอร์ในระนาบสามารถมองเห็นเป็นชุดของลูกศรที่มีขนาดและทิศทางที่กำหนดซึ่งแต่ละอันจะติดอยู่กับจุดในระนาบ ฟิลด์เวกเตอร์มักใช้ในการสร้างแบบจำลองตัวอย่างเช่นความเร็วและทิศทางของของไหลที่เคลื่อนที่ไปทั่วอวกาศหรือความแรงและทิศทางของแรงบางอย่างเช่นแรงแม่เหล็กหรือแรงดึงดูดขณะที่มันเปลี่ยนจากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่ง

องค์ประกอบของแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และปริพันธ์ขยายไปยังฟิลด์เวกเตอร์ตามธรรมชาติ เมื่อสนามเวกเตอร์แสดงให้เห็นถึงแรงที่หนึ่งบรรทัดของสนามเวกเตอร์หมายถึงงานที่ทำโดยกองกำลังเดินไปตามเส้นทางและภายใต้ความหมายนี้การอนุรักษ์พลังงานจะได้มีเป็นกรณีพิเศษของทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัสฟิลด์เวกเตอร์สามารถคิดได้อย่างมีประโยชน์ว่าเป็นตัวแทนของความเร็วของการไหลที่เคลื่อนที่ในอวกาศและสัญชาตญาณทางกายภาพนี้นำไปสู่ความคิดเช่นความแตกต่าง (ซึ่งแสดงถึงอัตราการเปลี่ยนแปลงของปริมาตรของการไหล) และขด (ซึ่งแสดงถึงการหมุนของ การไหล)

ในพิกัดฟิลด์เวกเตอร์บนโดเมนในปริภูมิแบบยุคลิดnมิติสามารถแสดงเป็นฟังก์ชันมูลค่าเวกเตอร์ที่เชื่อมโยงn -uple ของจำนวนจริงกับแต่ละจุดของโดเมน การแสดงเขตข้อมูลเวกเตอร์นี้ขึ้นอยู่กับระบบพิกัดและมีกฎการเปลี่ยนแปลงที่กำหนดไว้อย่างดีในการส่งผ่านจากระบบพิกัดหนึ่งไปยังอีกระบบหนึ่ง ฟิลด์เวกเตอร์มักถูกกล่าวถึงบนเซตย่อยของปริภูมิแบบยุคลิด แต่ก็มีความหมายกับส่วนย่อยอื่น ๆ เช่นพื้นผิวซึ่งเชื่อมโยงลูกศรแทนเจนต์กับพื้นผิวในแต่ละจุด ( เวกเตอร์แทนเจนต์ )

โดยทั่วไปแล้วฟิลด์เวกเตอร์จะถูกกำหนดบนท่อร่วมที่แตกต่างกันซึ่งเป็นช่องว่างที่ดูเหมือนช่องว่างแบบยุคลิดบนเครื่องชั่งขนาดเล็ก แต่อาจมีโครงสร้างที่ซับซ้อนกว่าในเครื่องชั่งขนาดใหญ่ ในการตั้งค่านี้ฟิลด์เวกเตอร์จะให้เวกเตอร์แทนเจนต์ที่แต่ละจุดของท่อร่วม (นั่นคือส่วนของมัดแทนเจนต์กับท่อร่วม) เวกเตอร์ฟิลด์เป็นหนึ่งในชนิดของข้อมูลเมตริกซ์

คำจำกัดความ[ แก้ไข]

ช่องเวกเตอร์บนเซตย่อยของปริภูมิยุคลิด[ แก้ไข]

กำหนดเซตSในR ⁿเป็นสนามเวกเตอร์เป็นตัวแทนจากเวกเตอร์ฟังก์ชั่น V : S → R ⁿในมาตรฐานพิกัดคาร์ทีเซียน ( x ₁ , ... , x _n )หากองค์ประกอบของแต่ละVอย่างต่อเนื่องแล้วVเป็นสนามเวกเตอร์อย่างต่อเนื่องและมากขึ้นโดยทั่วไปVเป็นC ^kสนามเวกเตอร์หากองค์ประกอบของแต่ละVคือkครั้งอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่อง

ฟิลด์เวกเตอร์สามารถมองเห็นได้ว่าเป็นการกำหนดเวกเตอร์ให้กับแต่ละจุดภายในช่องว่างnมิติ ^[1]

ได้รับสองC ^kเวกเตอร์ฟิลด์V , Wกำหนดไว้ในSและมูลค่าจริงC ^kฟังก์ชั่ฉกำหนดไว้ในSที่ทั้งสองดำเนินการเกลาคูณและเวกเตอร์นอกจากนี้

${\displaystyle (fV)(p):=f(p)V(p)}$

${\displaystyle (V+W)(p):=V(p)+W(p)}$

กำหนดโมดูลของฟิลด์C ^k -vector เหนือวงแหวนของC ^{k -}ฟังก์ชันที่การคูณของฟังก์ชันถูกกำหนดแบบชี้ (ดังนั้นจึงเป็นการสับเปลี่ยนโดยเอกลักษณ์การคูณคือf _id ( p ): = 1 )

ประสานกฎหมายการเปลี่ยนแปลง[ แก้ไข]

ในทางฟิสิกส์เวกเตอร์ยังมีความโดดเด่นด้วยการที่พิกัดของมันเปลี่ยนไปเมื่อมีการวัดเวกเตอร์เดียวกันกับระบบพิกัดพื้นหลังที่แตกต่างกัน เปลี่ยนแปลงคุณสมบัติของเวกเตอร์แยกแยะเวกเตอร์เป็นนิติบุคคลที่แตกต่างกันทางเรขาคณิตจากรายการที่เรียบง่ายของสเกลาหรือจากcovector

ดังนั้นสมมติว่า ( x ₁ , ... , x _n ) เป็นตัวเลือกของพิกัดคาร์ทีเซียนซึ่งส่วนประกอบของเวกเตอร์Vคือ

${\displaystyle V_{x}=(V_{1,x},\dots ,V_{n,x})}$

และสมมติว่า ( y ₁ , ... , y _n ) เป็นฟังก์ชันnของx _{i ที่}กำหนดระบบพิกัดอื่น จากนั้นส่วนประกอบของเวกเตอร์Vในพิกัดใหม่จะต้องเป็นไปตามกฎการเปลี่ยนแปลง

${\displaystyle V_{i,y}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial y_{i}}{\partial x_{j}}}V_{j,x}.}$

( 1 )

กฎหมายการเปลี่ยนแปลงดังกล่าวเรียกว่าcontravariant กฎการเปลี่ยนแปลงที่คล้ายกันแสดงลักษณะของฟิลด์เวกเตอร์ในฟิสิกส์โดยเฉพาะฟิลด์เวกเตอร์เป็นข้อกำหนดของฟังก์ชันnในระบบพิกัดแต่ละระบบภายใต้กฎการเปลี่ยนแปลง ( 1 ) ที่เกี่ยวข้องกับระบบพิกัดที่แตกต่างกัน

ฟิลด์เวกเตอร์จึงเปรียบเทียบกับฟิลด์สเกลาร์ซึ่งเชื่อมโยงตัวเลขหรือสเกลาร์กับทุกจุดในอวกาศและยังเปรียบเทียบกับรายการฟิลด์สเกลาร์แบบธรรมดาซึ่งจะไม่เปลี่ยนรูปภายใต้การเปลี่ยนแปลงพิกัด

ช่องเวกเตอร์บนท่อต่างๆ[ แก้ไข]

กำหนดนานาอนุพันธ์ เป็นสนามเวกเตอร์บนเป็นงานของเวกเตอร์สัมผัสกับแต่ละจุดใน ^[2]อย่างแม่นยำมากขึ้นข้อมูลเวกเตอร์คือการทำแผนที่จากเข้าไปในกำสัมผัสกันเพื่อให้เป็นตัวตนของการทำแผนที่ที่หมายถึงการประมาณการจากการ ในคำอื่น ๆ เวกเตอร์สนามเป็นส่วนของกำสัมผัส${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle F}$${\displaystyle M}$ ${\displaystyle TM}$${\displaystyle p\circ F}$${\displaystyle p}$${\displaystyle TM}$${\displaystyle M}$

คำนิยามทางเลือก: เป็นสนามเวกเตอร์เรียบในนานาเป็นเส้นแผนที่ดังกล่าวว่าเป็นที่มา : สำหรับทุก ^[3]${\displaystyle X}$${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X:C^{\infty }(M)\rightarrow C^{\infty }(M)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X(fg)=fX(g)+X(f)g}$${\displaystyle f,g\in C^{\infty }(M)}$

ถ้าท่อร่วม นั้นเรียบหรือเป็นเชิงวิเคราะห์นั่นคือการเปลี่ยนแปลงของพิกัดจะราบรื่น (วิเคราะห์) จากนั้นเราสามารถเข้าใจแนวคิดของฟิลด์เวกเตอร์แบบเรียบ (วิเคราะห์) ได้ คอลเลกชันของฟิลด์เวกเตอร์เรียบทั้งหมดบนท่อร่วมแบบเรียบมักจะแสดงโดยหรือ(โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อคิดว่าฟิลด์เวกเตอร์เป็นส่วน ) คอลเลกชันของฟิลด์เวกเตอร์ที่เรียบทั้งหมดจะแสดงด้วย( fraktur "X")${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \Gamma (TM)}$${\displaystyle C^{\infty }(M,TM)}$${\displaystyle \textstyle {\mathfrak {X}}(M)}$

ตัวอย่าง[ แก้ไข]

• สนามเวกเตอร์สำหรับการเคลื่อนที่ของอากาศบนโลกจะเชื่อมโยงทุกจุดบนพื้นผิวโลกเวกเตอร์ที่มีความเร็วลมและทิศทางสำหรับจุดนั้น สามารถวาดโดยใช้ลูกศรแทนลม ความยาว ( ขนาด ) ของลูกศรจะเป็นตัวบ่งชี้ความเร็วลม จากนั้น "สูง" บนแผนที่ความกดอากาศปกติจะทำหน้าที่เป็นแหล่งกำเนิด (ลูกศรชี้ไป) และ "ต่ำ" จะเป็นอ่าง (ลูกศรชี้ไปทาง) เนื่องจากอากาศมีแนวโน้มที่จะเคลื่อนจากบริเวณความกดอากาศสูงไปยังบริเวณที่มีความกดอากาศต่ำ .
• ความเร็วด้านการเคลื่อนที่ของของเหลว ในกรณีนี้เวกเตอร์ความเร็วจะสัมพันธ์กับแต่ละจุดในของไหล
• Streamlines, Streaklines และ pathlinesเป็นเส้น 3 ประเภทที่สามารถสร้างได้จากฟิลด์เวกเตอร์ (ขึ้นอยู่กับเวลา) พวกเขาเป็น:

เส้นริ้ว: เส้นที่ผลิตโดยอนุภาคที่ผ่านจุดคงที่เฉพาะในช่วงเวลาต่างๆ

pathlines: แสดงเส้นทางที่อนุภาคที่กำหนด (ของมวลศูนย์) จะตามมา

streamlines (หรือ fieldlines): เส้นทางของอนุภาคที่ได้รับอิทธิพลจากสนามทันที (กล่าวคือเส้นทางของอนุภาคถ้าสนามถูกยึดไว้)

• สนามแม่เหล็ก สามารถเปิดเผยเส้นสนามได้โดยใช้ตะไบเหล็กขนาดเล็ก
• สมการของแมกซ์เวลล์ช่วยให้เราสามารถใช้ชุดเงื่อนไขเริ่มต้นและขอบเขตที่กำหนดเพื่ออนุมานสำหรับทุกจุดในอวกาศยุคลิดขนาดและทิศทางสำหรับแรงที่อนุภาคทดสอบมีประจุ ณ จุดนั้น สนามเวกเตอร์ที่เกิดเป็นสนามแม่เหล็กไฟฟ้า
• สนามแรงโน้มถ่วงที่เกิดจากวัตถุขนาดใหญ่ใด ๆ นอกจากนี้ยังมีข้อมูลเวกเตอร์ ตัวอย่างเช่นเวกเตอร์สนามโน้มถ่วงสำหรับร่างกายสมมาตรทรงกลมทั้งหมดจะชี้ไปที่ศูนย์กลางของทรงกลมโดยขนาดของเวกเตอร์จะลดลงเมื่อระยะรัศมีจากร่างกายเพิ่มขึ้น

ช่องไล่ระดับสีในช่องว่างยุคลิด[ แก้ไข]

ฟิลด์เวกเตอร์สามารถสร้างจากฟิลด์สเกลาร์โดยใช้ตัวดำเนินการไล่ระดับสี (แสดงโดยเดล : ∇) ^[4]

ฟิลด์เวกเตอร์V ที่กำหนดบนเซตเปิดSเรียกว่าฟิลด์เกรเดียนต์หรือฟิลด์อนุรักษ์นิยมหากมีฟังก์ชันมูลค่าจริง (ฟิลด์สเกลาร์) fบนSเช่นนั้น

${\displaystyle V=\nabla f={\bigg (}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}},{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}},{\frac {\partial f}{\partial x_{3}}},\dots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}{\bigg )}.}$

ที่เกี่ยวข้องการไหลที่เรียกว่าการไหลของการไล่ระดับสีและมีการใช้วิธีการของโคตรลาด

เส้นทางหนึ่งพร้อม ๆโค้งปิด γ ( γ (0) = γ (1)) ในเขตอนุรักษ์นิยมเป็นศูนย์:

${\displaystyle \oint _{\gamma }V({\boldsymbol {x}})\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {x}}=\oint _{\gamma }\nabla f({\boldsymbol {x}})\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {x}}=f(\gamma (1))-f(\gamma (0)).}$

สนามกลางในช่องว่างยุคลิด[ แก้ไข]

C ^∞สนามเวกเตอร์มากกว่าR ⁿ \ {0} จะเรียกว่าเป็นสนามกลางถ้า

${\displaystyle V(T(p))=T(V(p))\qquad (T\in \mathrm {O} (n,\mathbf {R} ))}$

ที่ O ( n , R ) เป็นกลุ่มมุมฉาก เราว่าช่องกลางไม่แปรผันภายใต้การแปลงมุมฉากประมาณ 0

จุด 0 เรียกว่าจุดศูนย์กลางของสนาม

เนื่องจากการแปลงมุมฉากคือการหมุนและการสะท้อนจริงเงื่อนไขความไม่แปรเปลี่ยนจึงหมายความว่าเวกเตอร์ของสนามกลางจะถูกนำไปทางหรืออยู่ห่างจาก 0 เสมอ นี่คือคำจำกัดความอื่น (และง่ายกว่า) สนามกลางเป็นสนามไล่ระดับสีเสมอเนื่องจากการกำหนดมันในเซมิแกนซิสหนึ่งและการรวมจะทำให้เกิดแอนติเจน

การดำเนินการในฟิลด์เวกเตอร์[ แก้ไข]

บรรทัดอินทิกรัล[ แก้ไข]

เทคนิคทั่วไปในวิชาฟิสิกส์คือการรวมข้อมูลเวกเตอร์ไปตามเส้นโค้งที่เรียกว่าการพิจารณาของหนึ่งบรรทัดโดยสัญชาตญาณนี่คือการสรุปส่วนประกอบเวกเตอร์ทั้งหมดตามเส้นสัมผัสกับเส้นโค้งซึ่งแสดงเป็นผลคูณของสเกลาร์ ตัวอย่างเช่นให้อนุภาคในสนามพลัง (เช่นความโน้มถ่วง) โดยที่เวกเตอร์แต่ละจุดในอวกาศแสดงถึงแรงที่กระทำต่ออนุภาคเส้นอินทิกรัลตามเส้นทางหนึ่งคืองานที่ทำกับอนุภาคเมื่อมันเดินทาง ตามเส้นทางนี้ โดยสัญชาตญาณมันคือผลรวมของผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์แรงและเวกเตอร์แทนเจนต์ขนาดเล็กในแต่ละจุดตามเส้นโค้ง

อินทิกรัลของเส้นถูกสร้างขึ้นแบบอะนาล็อกกับอินทิกรัล Riemannและจะมีอยู่หากเส้นโค้งสามารถแก้ไขได้ (มีความยาว จำกัด ) และฟิลด์เวกเตอร์ต่อเนื่องกัน

กำหนดสนามเวกเตอร์Vและเส้นโค้งγ , parametrizedโดยเสื้อใน[ , B ] (ที่และขเป็นตัวเลขจริง ) หนึ่งบรรทัดถูกกำหนดให้เป็น

${\displaystyle \int _{\gamma }V({\boldsymbol {x}})\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {x}}=\int _{a}^{b}V(\gamma (t))\cdot {\dot {\gamma }}(t)\;\mathrm {d} t.}$

ความแตกต่าง[ แก้ไข]

ความแตกต่างของฟิลด์เวกเตอร์บนปริภูมิแบบยุคลิดคือฟังก์ชัน (หรือฟิลด์สเกลาร์) ในสามมิติความแตกต่างถูกกำหนดโดย

${\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {\partial F_{1}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{2}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{3}}{\partial z}},}$

ด้วยลักษณะทั่วไปที่ชัดเจนกับมิติโดยพลการ ความแตกต่าง ณ จุดหนึ่งแสดงถึงระดับที่ปริมาตรเล็ก ๆ รอบ ๆ จุดนั้นเป็นแหล่งที่มาหรืออ่างสำหรับการไหลของเวกเตอร์ซึ่งเป็นผลลัพธ์ที่ทำให้เกิดความแม่นยำโดยทฤษฎีบทไดเวอร์เจนซ์

นอกจากนี้ยังสามารถกำหนดความแตกต่างบนท่อร่วมของ Riemannianนั่นคือท่อร่วมที่มีเมตริก Riemannianที่วัดความยาวของเวกเตอร์

ขดเป็นสามมิติ[ แก้ไข]

ขดคือการดำเนินการซึ่งจะนำข้อมูลเวกเตอร์และผลิตสนามเวกเตอร์อื่น ขดถูกกำหนดไว้เฉพาะในสามมิติ แต่คุณสมบัติของขดบางอย่างสามารถบันทึกในมิติที่สูงขึ้นกับอนุพันธ์ภายนอก ในสามมิติถูกกำหนดโดย

${\displaystyle \operatorname {curl} \,\mathbf {F} =\nabla \times \mathbf {F} =\left({\frac {\partial F_{3}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{2}}{\partial z}}\right)\mathbf {e} _{1}-\left({\frac {\partial F_{3}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{1}}{\partial z}}\right)\mathbf {e} _{2}+\left({\frac {\partial F_{2}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{1}}{\partial y}}\right)\mathbf {e} _{3}.}$

ขดจะวัดความหนาแน่นของโมเมนตัมเชิงมุมของการไหลของเวกเตอร์ ณ จุดหนึ่งนั่นคือจำนวนที่การไหลเวียนรอบแกนคงที่ คำอธิบายที่ใช้งานง่ายนี้จะทำอย่างแม่นยำโดยทฤษฎีบทคส์

ดัชนีของฟิลด์เวกเตอร์[ แก้ไข]

ดัชนีของฟิลด์เวกเตอร์เป็นจำนวนเต็มที่ช่วยในการอธิบายพฤติกรรมของฟิลด์เวกเตอร์รอบศูนย์ที่แยกได้ (กล่าวคือเอกฐานที่แยกได้ของฟิลด์) ในระนาบดัชนีรับค่า -1 ที่ความเป็นเอกฐานของอาน แต่ +1 ที่แหล่งที่มาหรือความเป็นเอกฐานแบบจม

ให้มิติของนานาที่สนามเวกเตอร์มีการกำหนด BE nใช้ทรงกลมเล็ก ๆ S รอบ ๆ ศูนย์เพื่อไม่ให้มีศูนย์อื่นอยู่ภายใน S แผนที่จากทรงกลมนี้ไปยังหน่วยทรงกลมขนาดn  - 1 สามารถสร้างได้โดยการหารเวกเตอร์แต่ละตัวบนทรงกลมนี้ด้วยความยาวเพื่อสร้าง a เวกเตอร์หน่วยความยาวซึ่งเป็นจุดบนตัวเครื่องทรงกลมที่ S n-1นี้กำหนดแผนที่ต่อเนื่องมาจาก S เพื่อ S n-1ดัชนีของเขตข้อมูลเวกเตอร์ที่จุดคือระดับของแผนที่นี้ แสดงได้ว่าจำนวนเต็มนี้ไม่ได้ขึ้นอยู่กับตัวเลือกของ S ดังนั้นจึงขึ้นอยู่กับฟิลด์เวกเตอร์เท่านั้น

ดัชนีของเขตข้อมูลเวกเตอร์โดยรวมถูกกำหนดเมื่อมีศูนย์จำนวน จำกัด ในกรณีนี้ศูนย์ทั้งหมดจะถูกแยกออกและดัชนีของฟิลด์เวกเตอร์ถูกกำหนดให้เป็นผลรวมของดัชนีที่ศูนย์ทั้งหมด

ดัชนีไม่ได้กำหนดไว้ที่จุดใด ๆ ที่ไม่ใช่เอกพจน์ (กล่าวคือจุดที่เวกเตอร์ไม่เป็นศูนย์) มันเท่ากับ +1 รอบ ๆ แหล่งที่มาและโดยทั่วไปแล้วจะเท่ากับ (−1) ^kรอบอานที่มีขนาดการหด k และขนาดการขยาย nk สำหรับทรงกลมธรรมดา (2 มิติ) ในปริภูมิสามมิติสามารถแสดงได้ว่าดัชนีของฟิลด์เวกเตอร์ใด ๆ บนทรงกลมต้องเป็น 2 สิ่งนี้แสดงให้เห็นว่าทุกฟิลด์เวกเตอร์ดังกล่าวต้องมีศูนย์ นี่หมายถึงทฤษฎีบทลูกบอลขนซึ่งระบุว่าหากกำหนดเวกเตอร์ใน R ³ให้กับแต่ละจุดของทรงกลมหน่วย S ²ในลักษณะต่อเนื่องกันจะเป็นไปไม่ได้ที่จะ "หวีเส้นขนให้แบน" กล่าวคือเลือกเวกเตอร์ ในลักษณะที่ต่อเนื่องกันจนทั้งหมดไม่เป็นศูนย์และแทนเจนต์กับ S² .

สำหรับฟิลด์เวกเตอร์บนท่อร่วมขนาดกะทัดรัดที่มีจำนวนศูนย์ จำกัดทฤษฎีบทPoincaré-Hopfระบุว่าดัชนีของฟิลด์เวกเตอร์เท่ากับคุณสมบัติของออยเลอร์ของท่อร่วม

สัญชาตญาณทางกายภาพ[ แก้ไข]

ไมเคิลฟาราเดย์ในความคิดของเขาบรรทัดของแรง ,ย้ำว่าสนามตัวเองควรจะเป็นวัตถุของการศึกษาซึ่งมันได้กลายเป็นทั่วฟิสิกส์ในรูปแบบของทฤษฎีสนาม

นอกเหนือไปจากสนามแม่เหล็กปรากฏการณ์อื่น ๆ ที่มีรูปแบบโดยฟาราเดย์รวมถึงสนามไฟฟ้าและไฟสนาม

เส้นโค้งการไหล[ แก้ไข]

พิจารณาการไหลของของไหลผ่านพื้นที่หนึ่ง ในช่วงเวลาใดจุดหนึ่งของของไหลมีความเร็วที่เกี่ยวข้อง ดังนั้นจึงมีฟิลด์เวกเตอร์ที่เกี่ยวข้องกับโฟลว์ใด ๆ การสนทนาก็เป็นจริงเช่นกัน: เป็นไปได้ที่จะเชื่อมโยงโฟลว์กับฟิลด์เวกเตอร์ที่มีฟิลด์เวกเตอร์นั้นเป็นความเร็ว

กำหนดฟิลด์เวกเตอร์VบนSหนึ่งกำหนดเส้นโค้งγ ( t ) บนSเพื่อให้แต่ละtในช่วงเวลาI

${\displaystyle \gamma '(t)=V(\gamma (t))\,.}$

ตามทฤษฎีบท Picard – Lindelöfถ้าVเป็นLipschitz ต่อเนื่องจะมีC ¹ -curve γ _{x ที่}ไม่ซ้ำกัน สำหรับแต่ละจุดxในSดังนั้นสำหรับบางส่วนε> 0

${\displaystyle \gamma _{x}(0)=x\,}$

${\displaystyle \gamma '_{x}(t)=V(\gamma _{x}(t))\qquad \forall t\in (-\varepsilon ,+\varepsilon )\subset \mathbf {R} .}$

เส้นโค้งγ _xเรียกว่าเส้นโค้งอินทิกรัลหรือวิถี (หรือน้อยกว่าโดยทั่วไปคือเส้นการไหล) ของฟิลด์เวกเตอร์Vและพาร์ติชันSเป็นคลาสความเท่าเทียมกัน มันเป็นไปไม่ได้เสมอที่จะขยายช่วงเวลา (-ε + ε) ไปทั้งเส้นจำนวนจริงตัวอย่างเช่นการไหลอาจถึงขอบSในเวลาที่ จำกัด ในสองหรือสามมิติหนึ่งสามารถเห็นภาพสนามเวกเตอร์เป็นให้สูงขึ้นไปไหลในSถ้าเราทิ้งอนุภาคลงในกระแสนี้ที่จุดpมันจะเคลื่อนที่ไปตามเส้นโค้งγ _pในการไหลขึ้นอยู่กับจุดเริ่มต้นน . ถ้าPเป็นจุดหยุดนิ่งของV (เช่นสนามเวกเตอร์เท่ากับเวกเตอร์ศูนย์ที่จุดP ) แล้วอนุภาคจะยังคงอยู่ที่หน้า

การใช้งานทั่วไปมีpathlineในของเหลว , ไหลเนื้อที่และหนึ่งพารามิเตอร์กลุ่มย่อยและแผนที่ชี้แจงในกลุ่มโกหก

กรอกข้อมูลในช่องเวกเตอร์[ แก้ไข]

ตามความหมายฟิลด์เวกเตอร์จะถูกเรียกว่าเสร็จสมบูรณ์หากเส้นโค้งการไหลทุกเส้นมีอยู่ตลอดเวลา^[5] โดยเฉพาะอย่างยิ่งช่องเวกเตอร์ที่รองรับขนาดกะทัดรัดบนท่อร่วมเสร็จสมบูรณ์ หาก เป็นสนามเวกเตอร์ที่สมบูรณ์แบบบนแล้วกลุ่มหนึ่งพารามิเตอร์ของdiffeomorphismsสร้างขึ้นโดยการไหลพร้อมอยู่ตลอดเวลา บนท่อร่วมคอมแพคที่ไม่มีขอบเขตทุกฟิลด์เวกเตอร์เรียบจะสมบูรณ์ ตัวอย่างหนึ่งของการที่ไม่สมบูรณ์สนามเวกเตอร์บนเส้นจริงจะได้รับจาก สำหรับสมการเชิงอนุพันธ์ที่มีเงื่อนไขเริ่มต้นมีคำตอบเฉพาะif ${\displaystyle X}$${\displaystyle M}$${\displaystyle X}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle V(x)=x^{2}}$${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=x^{2}}$${\displaystyle x(0)=x_{0}}$${\displaystyle x(t)={\frac {x_{0}}{1-tx_{0}}}}$${\displaystyle x_{0}\neq 0}$(และสำหรับทุกคนถ้า ) ดังนั้นสำหรับ, จะไม่ได้กำหนดที่จึงไม่สามารถกำหนดค่าทั้งหมดของ${\displaystyle x(t)=0}$${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$${\displaystyle x_{0}=0}$${\displaystyle x_{0}\neq 0}$${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle t={\frac {1}{x_{0}}}}$${\displaystyle t}$

f-relatedness [ แก้ไข]

ได้รับการทำงานที่ราบรื่นระหว่าง manifolds, F  : M → Nที่อนุพันธ์เป็นแผนที่เหนี่ยวนำในการรวมกลุ่มสัมผัส , F _*  : TM → TNได้รับเวกเตอร์ฟิลด์V  : M → TMและW  : N → TNเราบอกว่าWเป็นฉเกี่ยวข้องกับการVถ้าสมการW ∘ F = F _* ∘ Vถือ

ถ้าV _ฉันคือฉเกี่ยวข้องกับการW _ฉัน , ฉัน = 1, 2, แล้ววงเล็บโกหก [ V ₁ , V ₂ ] คือฉเกี่ยวข้องกับการ [ W ₁ , W ₂ ]

ลักษณะทั่วไป[ แก้ไข]

การแทนที่เวกเตอร์โดยp -vectors ( p th กำลังภายนอกของเวกเตอร์) ให้ผลฟิลด์p -vector; สละพื้นที่คู่และอำนาจภายนอกอัตราผลตอบแทนค่าk -formsและอัตราผลตอบแทนรวมเหล่าทั่วไปสาขาเมตริกซ์

พีชคณิตเวกเตอร์ฟิลด์สามารถจะมีลักษณะเป็นderivationsของพีชคณิตของฟังก์ชั่นได้อย่างราบรื่นบนนานาซึ่งนำไปสู่การกำหนดสนามเวกเตอร์บนพีชคณิตสับเปลี่ยนเป็นรากศัพท์ในพีชคณิตซึ่งได้รับการพัฒนาในทฤษฎีของที่แคลคูลัสความแตกต่างมากกว่าจีบสับเปลี่ยน

ดูเพิ่มเติม[ แก้ไข]

อ้างอิง[ แก้ไข]

บรรณานุกรม[ แก้ไข]

• ฮับบาร์ด JH ; ฮับบาร์ดบีบี (2542). เวกเตอร์แคลคูลัสพีชคณิตเชิงเส้นและรูปแบบเชิงอนุพันธ์ วิธีการแบบครบวงจร Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall ISBN 0-13-657446-7.
• วอร์เนอร์แฟรงค์ (2526) [2514]. ฐานรากของ manifolds อนุพันธ์และกลุ่มโกหก นิวยอร์ก - เบอร์ลิน: Springer-Verlag ISBN 0-387-90894-3.
• บูธบี, วิลเลียม (1986). แนะนำให้รู้จักกับ manifolds อนุพันธ์และรีมันเรขาคณิต คณิตศาสตร์บริสุทธิ์และประยุกต์เล่ม 120 (ฉบับที่สอง) ออร์แลนโดฟลอริดา: สำนักพิมพ์วิชาการ ISBN 0-12-116053-X.

ลิงก์ภายนอก[ แก้ไข]

สื่อที่เกี่ยวข้องกับฟิลด์ Vectorที่ Wikimedia Commons

• ตัวแก้ไขฟิลด์เวกเตอร์ออนไลน์
• "สนามเวกเตอร์" , สารานุกรมของคณิตศาสตร์ , EMS กด 2001 [1994]
• สนามเวกเตอร์ - Mathworld
• ฟิลด์เวกเตอร์ - PlanetMath
• โปรแกรมดูสนามแม่เหล็ก 3 มิติ
• เขตข้อมูลเวกเตอร์และเส้นเขตข้อมูล
• การจำลองฟิลด์เวกเตอร์แอปพลิเคชั่นแบบโต้ตอบเพื่อแสดงผลของฟิลด์เวกเตอร์