แคลคูลัสเวกเตอร์

ช่องสเกลาร์

สนามสเกลาเชื่อมโยงเกลามูลค่าให้กับทุกจุดในพื้นที่ เกลาเป็นตัวเลขทางคณิตศาสตร์คิดเป็นปริมาณทางกายภาพ ตัวอย่างของเขตเกลาในการใช้งานรวมถึงอุณหภูมิกระจายทั่วพื้นที่ที่ความดันการจัดจำหน่ายในของเหลวและสปินศูนย์สาขาควอนตัม (ที่รู้จักกันbosons เกลา ) เช่นสนามฮิกส์ เขตข้อมูลเหล่านี้เป็นเรื่องของทฤษฎีสนามสเกลาร์

ฟิลด์เวกเตอร์

สนามเวกเตอร์คือการมอบหมายของเวกเตอร์เพื่อจุดแต่ละจุดในพื้นที่ ^[1]ตัวอย่างเช่นช่องเวกเตอร์ในระนาบสามารถมองเห็นได้เป็นชุดของลูกศรที่มีขนาดและทิศทางที่กำหนดซึ่งแต่ละอันจะติดอยู่กับจุดในระนาบ ฟิลด์เวกเตอร์มักใช้ในการสร้างแบบจำลองตัวอย่างเช่นความเร็วและทิศทางของของไหลที่เคลื่อนที่ไปทั่วอวกาศหรือความแรงและทิศทางของแรงบางอย่างเช่นแรงแม่เหล็กหรือแรงดึงดูดขณะที่มันเปลี่ยนจากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่ง สามารถใช้ตัวอย่างเช่นในการคำนวณงานที่ทำผ่านบรรทัด

เวกเตอร์และ pseudovectors

ในการรักษาขั้นสูงอีกวิธีหนึ่งจะแยกความแตกต่างของฟิลด์pseudovectorและฟิลด์pseudoscalarซึ่งเหมือนกับฟิลด์เวกเตอร์และฟิลด์สเกลาร์ยกเว้นว่าจะเปลี่ยนเครื่องหมายภายใต้แผนผังการกลับทิศทางตัวอย่างเช่นcurlของฟิลด์เวกเตอร์เป็นฟิลด์ pseudovector และถ้าหนึ่งสะท้อนถึงฟิลด์เวกเตอร์ curl จะชี้ไปในทิศทางตรงกันข้าม ความแตกต่างนี้ได้รับการชี้แจงและอธิบายอย่างละเอียดในพีชคณิตเรขาคณิตตามที่อธิบายไว้ด้านล่าง

การดำเนินการเกี่ยวกับพีชคณิต (ไม่แตกต่าง) ในแคลคูลัสเวกเตอร์เรียกว่าพีชคณิตเวกเตอร์ซึ่งถูกกำหนดให้กับปริภูมิเวกเตอร์จากนั้นนำไปใช้กับฟิลด์เวกเตอร์ทั่วโลก การดำเนินการเกี่ยวกับพีชคณิตพื้นฐานประกอบด้วย: ^[2]

สัญกรณ์ในแคลคูลัสเวกเตอร์

การดำเนินการ	สัญกรณ์	คำอธิบาย
นอกจากนี้เวกเตอร์	${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {1} + \ mathbf {v} _ {2}}$	การบวกเวกเตอร์สองเวกเตอร์ให้ได้เวกเตอร์
การคูณสเกลาร์	${\ displaystyle a \ mathbf {v}}$	การคูณของสเกลาร์และเวกเตอร์ให้ได้เวกเตอร์
ผลิตภัณฑ์ดอท	${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {1} \ cdot \ mathbf {v} _ {2}}$	การคูณเวกเตอร์สองตัวโดยได้สเกลาร์
ข้ามผลิตภัณฑ์	${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {1} \ times \ mathbf {v} _ {2}}$	การคูณเวกเตอร์สองตัวใน ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ให้ผลเวกเตอร์ (หลอก)

นอกจากนี้ยังใช้กันทั่วไปคือผลิตภัณฑ์สามอย่าง :

เวกเตอร์แคลคูลัสสามผลคูณ

การดำเนินการ	สัญกรณ์	คำอธิบาย
ผลิตภัณฑ์สเกลาร์ทริปเปิล	${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {1} \ cdot \ left (\ mathbf {v} _ {2} \ times \ mathbf {v} _ {3} \ right)}$	ผลคูณจุดของผลคูณสองเวกเตอร์
เวกเตอร์สามผลิตภัณฑ์	${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {1} \ times \ left (\ mathbf {v} _ {2} \ times \ mathbf {v} _ {3} \ right)}$	ผลคูณไขว้ของผลคูณสองเวกเตอร์

ตัวดำเนินการที่แตกต่างกัน

แคลคูลัสเวกเตอร์ศึกษาตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ต่าง ๆ ที่กำหนดไว้ในฟิลด์สเกลาร์หรือเวกเตอร์ซึ่งโดยทั่วไปจะแสดงในรูปของตัวดำเนินการเดล (${\ displaystyle \ nabla}$) หรือที่เรียกว่า "nabla" ตัวดำเนินการเวกเตอร์พื้นฐานสามตัวได้แก่ : ^{[3] [4]}

ตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ในแคลคูลัสเวกเตอร์

การดำเนินการ	สัญกรณ์	คำอธิบาย	การเปรียบเทียบสัญกรณ์	โดเมน / ช่วง
ไล่ระดับสี	${\ displaystyle \ operatorname {grad} (f) = \ nabla f}$	วัดอัตราและทิศทางของการเปลี่ยนแปลงในเขตข้อมูลสเกลาร์	การคูณสเกลาร์	แม็พฟิลด์สเกลาร์กับฟิลด์เวกเตอร์
ความแตกต่าง	${\ displaystyle \ operatorname {div} (\ mathbf {F}) = \ nabla \ cdot \ mathbf {F}}$	วัดค่าสเกลาร์ของแหล่งที่มาหรือซิงก์ ณ จุดที่กำหนดในฟิลด์เวกเตอร์	ผลิตภัณฑ์ดอท	แมปฟิลด์เวกเตอร์ไปยังฟิลด์สเกลาร์
ขด	${\ displaystyle \ operatorname {curl} (\ mathbf {F}) = \ nabla \ times \ mathbf {F}}$	วัดแนวโน้มที่จะหมุนเกี่ยวกับจุดในฟิลด์เวกเตอร์ใน ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$.	ข้ามผลิตภัณฑ์	แมปฟิลด์เวกเตอร์ไปยังฟิลด์เวกเตอร์ (หลอก)
fหมายถึงเขตข้อมูลสเกลาร์และFหมายถึงเขตข้อมูลเวกเตอร์

นอกจากนี้ที่ใช้กันทั่วไปคือตัวดำเนินการ Laplace สองตัว:

ตัวดำเนินการ Laplace ในแคลคูลัสเวกเตอร์

การดำเนินการ	สัญกรณ์	คำอธิบาย	โดเมน / ช่วง
Laplacian	${\ displaystyle \ Delta f = \ nabla ^ {2} f = \ nabla \ cdot \ nabla f}$	วัดความแตกต่างระหว่างค่าของสนามสเกลาร์กับค่าเฉลี่ยของลูกที่น้อยที่สุด	แผนที่ระหว่างเขตข้อมูลสเกลาร์
เวกเตอร์ Laplacian	${\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ mathbf {F} = \ nabla (\ nabla \ cdot \ mathbf {F}) - \ nabla \ times (\ nabla \ times \ mathbf {F})}$	วัดความแตกต่างระหว่างค่าของฟิลด์เวกเตอร์โดยมีค่าเฉลี่ยของลูกที่น้อยที่สุด	แผนที่ระหว่างฟิลด์เวกเตอร์
fหมายถึงเขตข้อมูลสเกลาร์และFหมายถึงเขตข้อมูลเวกเตอร์

ปริมาณที่เรียกว่าเมทริกซ์จาโคเบียนมีประโยชน์ในการศึกษาฟังก์ชันเมื่อทั้งโดเมนและช่วงของฟังก์ชันมีหลายตัวแปรเช่นการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรระหว่างการรวม

ทฤษฎีบทอินทิกรัล

ตัวดำเนินการเวกเตอร์พื้นฐานสามตัวมีทฤษฎีบทที่สอดคล้องกันซึ่งสรุปทฤษฎีบทพื้นฐานของแคลคูลัสไปสู่มิติที่สูงกว่า:

ทฤษฎีบทอินทิกรัลของแคลคูลัสเวกเตอร์

ทฤษฎีบท	คำให้การ	คำอธิบาย
ทฤษฎีบทการไล่ระดับสี	${\ displaystyle \ int _ {L \ subset \ mathbb {R} ^ {n}} \! \! \! \ nabla \ varphi \ cdot d \ mathbf {r} \ = \ \ varphi \ left (\ mathbf {q } \ right) - \ varphi \ left (\ mathbf {p} \ right) \ {\ text {for}} \ \ L = L [p \ ถึง q]}$	หนึ่งบรรทัดของการไล่ระดับสีของสนามสเกลามากกว่าที่โค้ง Lเท่ากับการเปลี่ยนแปลงในสนามสเกลาระหว่างปลายทางPและQของเส้นโค้ง
ทฤษฎีบทความแตกต่าง	${\ displaystyle \ underbrace {\ int \! \ cdots \! \ int _ {V \ subset \ mathbb {R} ^ {n}}} _ {n} (\ nabla \ cdot \ mathbf {F}) \, dV \ = \ \ underbrace {\ oint \! \ cdots \! \ oint _ {\ partial V}} _ {n-1} \ mathbf {F} \ cdot d \ mathbf {S}}$	อินทิกรัลของความแตกต่างของฟิลด์เวกเตอร์บนของแข็งnมิติVเท่ากับฟลักซ์ของฟิลด์เวกเตอร์ผ่านพื้นผิวขอบเขตปิด( n −1)มิติปิดของของแข็ง
Curl (Kelvin – Stokes) ทฤษฎีบท	${\ displaystyle \ iint _ {\ Sigma \, \ subset \ mathbb {R} ^ {3}} (\ nabla \ times \ mathbf {F}) \ cdot d \ mathbf {\ Sigma} \ = \ \ oint _ { \! \! \! \ partial \ Sigma} \ mathbf {F} \ cdot d \ mathbf {r}}$	อินทิกรัลของขดของสนามเวกเตอร์บนพื้นผิว Σนิ้ว${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ เท่ากับการหมุนเวียนของสนามเวกเตอร์รอบ ๆ เส้นโค้งปิดที่ล้อมรอบพื้นผิว
${\ displaystyle \ varphi}$หมายถึงเขตข้อมูลสเกลาร์และFหมายถึงเขตข้อมูลเวกเตอร์

ในสองมิติทฤษฎีบทความแตกต่างและการโค้งงอจะลดลงเป็นทฤษฎีบทของกรีน:

ทฤษฎีแคลคูลัสเวกเตอร์ของกรีน

ทฤษฎีบท	คำให้การ	คำอธิบาย
ทฤษฎีบทของกรีน	${\ displaystyle \ iint _ {A \, \ subset \ mathbb {R} ^ {2}} \ left ({\ frac {\ partial M} {\ partial x}} - {\ frac {\ partial L} {\ บางส่วน y}} \ right) dA \ = \ oint _ {\ partial A} \ left (L \, dx + M \, dy \ right)}$	อินทิกรัลของไดเวอร์เจนซ์ (หรือ curl) ของฟิลด์เวกเตอร์ในบางพื้นที่Aใน${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ เท่ากับฟลักซ์ (หรือการหมุนเวียน) ของฟิลด์เวกเตอร์เหนือเส้นโค้งปิดที่ล้อมรอบพื้นที่
สำหรับความแตกต่าง, F = ( M - L ) สำหรับขดF = ( L , M , 0) LและMมีฟังก์ชั่น( X , Y )

การประมาณเชิงเส้น

การประมาณเชิงเส้นใช้เพื่อแทนที่ฟังก์ชันที่ซับซ้อนด้วยฟังก์ชันเชิงเส้นที่เกือบจะเหมือนกัน เมื่อกำหนดฟังก์ชันที่แตกต่างได้f ( x , y )พร้อมค่าจริงเราสามารถประมาณf ( x , y )สำหรับ( x , y )ใกล้กับ( a , b )โดยสูตร

${\ displaystyle f (x, y) \ \ ประมาณ \ f (a, b) + {\ tfrac {\ partial f} {\ partial x}} (a, b) \, (xa) + {\ tfrac {\ บางส่วน f} {\ partial y}} (a, b) \, (yb).}$

ด้านขวามือเป็นสมการของแทนเจนต์เครื่องบินกราฟของZ = F ( x , Y )ที่( , B )

การเพิ่มประสิทธิภาพ

สำหรับฟังก์ชันที่แตกต่างอย่างต่อเนื่องของตัวแปรจริงหลายตัวจุดP (นั่นคือชุดของค่าสำหรับตัวแปรอินพุตซึ่งถูกมองว่าเป็นจุดในR ⁿ ) เป็นสิ่งสำคัญหากอนุพันธ์ย่อยทั้งหมดของฟังก์ชันเป็นศูนย์ที่Pหรือเทียบเท่าถ้าการไล่ระดับสีเป็นศูนย์ ค่าวิกฤตคือค่าของฟังก์ชันที่จุดวิกฤต

ถ้าฟังก์ชันนี้จะราบรื่นหรืออย่างน้อยสองครั้งอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่องเป็นจุดที่สำคัญอาจเป็นได้ทั้งสูงสุดในท้องถิ่นเป็นขั้นต่ำในท้องถิ่นหรือจุดอาน กรณีที่แตกต่างกันอาจแยกแยะได้โดยพิจารณาจากค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์เฮสเซียนของอนุพันธ์อันดับสอง

ตามทฤษฎีบทของแฟร์มาต์แม็กซิมาในพื้นที่และขั้นต่ำของฟังก์ชันที่แตกต่างกันทั้งหมดเกิดขึ้นที่จุดวิกฤต ดังนั้นในการหาค่า maxima และ minima ในพื้นที่จึงพอเพียงในทางทฤษฎีในการคำนวณศูนย์ของการไล่ระดับสีและค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์ Hessian ที่ศูนย์เหล่านี้

ฟิสิกส์และวิศวกรรม

แคลคูลัสเวกเตอร์มีประโยชน์อย่างยิ่งในการศึกษา:

• จุดศูนย์กลางมวล
• ทฤษฎีสนาม
• จลนศาสตร์
• สมการของ Maxwell

3-manifolds ที่แตกต่างกัน

แคลคูลัสเวกเตอร์ที่ถูกกำหนดให้ครั้งแรกสำหรับยุคลิด 3 พื้นที่ ,${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3},}$ซึ่งมีโครงสร้างเพิ่มเติมนอกเหนือจากเพียงแค่การเป็นพื้นที่ 3 มิติจริงเวกเตอร์คือกบรรทัดฐาน (ให้ความคิดของความยาว) ที่กำหนดไว้ผ่านทางผลิตภัณฑ์ภายใน (คนสินค้า dot ) ซึ่งจะช่วยให้ความคิดของมุมและการวางแนว , ซึ่งให้ความคิดของคนถนัดซ้ายและถนัดขวา โครงสร้างเหล่านี้ก่อให้เกิดรูปแบบปริมาตรและผลคูณไขว้ซึ่งใช้อย่างแพร่หลายในแคลคูลัสเวกเตอร์

การไล่ระดับสีและความแตกต่างต้องใช้เฉพาะผลิตภัณฑ์ด้านในในขณะที่การโค้งงอและผลิตภัณฑ์ไม้กางเขนยังต้องคำนึงถึงความถนัดมือของระบบพิกัดด้วย (ดูรายละเอียดเพิ่มเติมในผลิตภัณฑ์ข้ามและความถนัดมือ )

แคลคูลัสเวกเตอร์สามารถกำหนดบนพื้นที่เวกเตอร์จริง 3 มิติอื่น ๆ ได้หากมีผลคูณภายใน (หรือโดยทั่วไปแล้วจะเป็นรูปแบบไม่สมมาตรที่ไม่ได้สร้างขึ้น ) และการวางแนว โปรดทราบว่านี่เป็นข้อมูลที่น้อยกว่า isomorphism ไปยังปริภูมิแบบยุคลิดเนื่องจากไม่ต้องการชุดพิกัด (กรอบอ้างอิง) ซึ่งสะท้อนให้เห็นถึงความจริงที่ว่าแคลคูลัสเวกเตอร์ไม่แปรผันภายใต้การหมุน ( กลุ่มมุมฉากพิเศษ SO (3)) .

โดยทั่วไปแคลคูลัสเวกเตอร์สามารถกำหนดใด ๆ 3 มิติเชิงนานารีมันหรืออื่น ๆ โดยทั่วไปมากมายหลอกรีมัน โครงสร้างนี้หมายความว่าปริภูมิแทนเจนต์ในแต่ละจุดมีผลคูณภายใน (โดยทั่วไปแล้วจะเป็นรูปแบบที่ไม่สมมาตร) และการวางแนวหรือมากกว่าทั่วโลกว่ามีเทนเซอร์เมตริกที่ไม่สมมาตรและการวางแนวและทำงานได้เนื่องจากมีการกำหนดแคลคูลัสเวกเตอร์ ในแง่ของเวกเตอร์แทนเจนต์ในแต่ละจุด

มิติอื่น ๆ

ผลการวิเคราะห์ส่วนใหญ่เข้าใจได้ง่ายในรูปแบบทั่วไปโดยใช้เครื่องจักรของเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ซึ่งแคลคูลัสเวกเตอร์เป็นส่วนย่อย Grad และ div นำไปสู่มิติอื่น ๆ ทันทีเช่นเดียวกับทฤษฎีบทการไล่ระดับสีทฤษฎีบทไดเวอร์เจนซ์และ Laplacian (ให้ผลการวิเคราะห์ฮาร์มอนิก ) ในขณะที่ curl และ cross product ไม่ได้กล่าวโดยรวมโดยตรง

จากมุมมองทั่วไปฟิลด์ต่างๆในแคลคูลัสเวกเตอร์ (3 มิติ) จะเห็นเหมือนกันว่าเป็นฟิลด์k -เวกเตอร์: ฟิลด์สเกลาร์คือฟิลด์เวกเตอร์ 0 ฟิลด์เวกเตอร์คือฟิลด์ 1 เวกเตอร์ฟิลด์ pseudovector เป็น 2 เวกเตอร์ ฟิลด์และฟิลด์เทียมคือฟิลด์ 3 เวกเตอร์ ในมิติข้อมูลที่สูงขึ้นมีฟิลด์ประเภทเพิ่มเติม (สเกลาร์ / เวกเตอร์ / pseudovector / pseudoscalar ที่สอดคล้องกับมิติข้อมูล0/1 / n −1 / nซึ่งครบถ้วนสมบูรณ์ในมิติที่ 3) ดังนั้นจึงไม่สามารถใช้ได้เฉพาะกับสเกลาร์ (หลอก) และ ( pseudo) เวกเตอร์

ในมิติใด ๆ โดยสมมติว่าเป็นรูปแบบที่ไม่สร้างขึ้นการไล่ระดับของฟังก์ชันสเกลาร์คือฟิลด์เวกเตอร์และ div ของฟิลด์เวกเตอร์เป็นฟังก์ชันสเกลาร์ แต่จะอยู่ในมิติที่ 3 หรือ 7 เท่านั้น^[5] (และเล็กน้อยในมิติ 0 หรือ 1 ) คือการโค้งงอของฟิลด์เวกเตอร์ฟิลด์เวกเตอร์และเฉพาะใน 3 หรือ7มิติเท่านั้นที่สามารถกำหนดผลิตภัณฑ์ข้ามได้ (การสรุปทั่วไปในมิติอื่น ๆ อาจต้องการ${\ displaystyle n-1}$เวกเตอร์เพื่อให้ได้ 1 เวกเตอร์หรือเป็นทางเลือกของLie algebrasซึ่งเป็นผลิตภัณฑ์ทวิภาคีป้องกันเสียงรบกวนทั่วไปมากกว่า) การสรุปทั่วไปของการไล่ระดับสีและ Div และวิธีการทั่วไปของ curl สามารถอธิบายได้ที่Curl: Generalizations ; โดยสังเขปขดของสนามเวกเตอร์คือสนามไบเวเตอร์ซึ่งอาจตีความได้ว่าเป็นพีชคณิตโกหกแบบมุมฉากพิเศษของการหมุนที่น้อยที่สุด อย่างไรก็ตามไม่สามารถระบุด้วยฟิลด์เวกเตอร์ได้เนื่องจากขนาดต่างกัน - มีการหมุน 3 มิติใน 3 มิติ แต่การหมุน 6 มิติใน 4 มิติ (และโดยทั่วไปมากกว่า${\ displaystyle \ textstyle {{\ binom {n} {2}} = {\ frac {1} {2}} n (n-1)}}$ขนาดของการหมุนในnมิติ)

มีสองทางเลือกทั่วไปที่สำคัญของแคลคูลัสเวกเตอร์ อันดับแรกพีชคณิตเรขาคณิตใช้ฟิลด์k -vectorแทนฟิลด์เวกเตอร์ (ในมิติ 3 หรือน้อยกว่านั้นทุกฟิลด์k -vector สามารถระบุได้ด้วยฟังก์ชันสเกลาร์หรือฟิลด์เวกเตอร์ แต่ไม่เป็นความจริงในมิติที่สูงกว่า) สิ่งนี้จะแทนที่ผลคูณไขว้ซึ่งเฉพาะกับ 3 มิติโดยใช้สองฟิลด์เวกเตอร์และให้เป็นฟิลด์เวกเตอร์ผลลัพธ์โดยผลิตภัณฑ์ภายนอกซึ่งมีอยู่ในทุกมิติและใช้เวลาในฟิลด์เวกเตอร์สองฟิลด์โดยให้เป็นเอาต์พุตเป็นตัวกำหนดทิศทาง (2 -vector) ฟิลด์ ผลิตภัณฑ์นี้ให้ผลอัลเจอบราคลิฟฟอร์ดเป็นโครงสร้างพีชคณิตบนช่องว่างเวกเตอร์ (โดยมีการวางแนวและรูปแบบที่ไม่ก่อให้เกิด) พีชคณิตเรขาคณิตส่วนใหญ่จะใช้ในการสรุปฟิสิกส์และสาขาอื่น ๆ ที่ใช้กับมิติที่สูงขึ้น

ทั่วไปที่สองใช้รูปแบบที่แตกต่างกัน ( kเขต -covector) แทนเวกเตอร์ฟิลด์หรือkเขตเวกเตอร์และมีการใช้กันอย่างแพร่หลายในคณิตศาสตร์โดยเฉพาะอย่างยิ่งในเรขาคณิตต่างกัน , โครงสร้างทางเรขาคณิตและการวิเคราะห์สอดคล้องกันโดยเฉพาะอย่างยิ่งผลผลิตทฤษฎีฮ็อดจ์บนเชิงหลอก ท่อร่วม Riemannian จากมุมมองนี้ grad, curl และ div สอดคล้องกับอนุพันธ์ภายนอกของ 0 รูปแบบ 1 รูปแบบและ 2 รูปแบบตามลำดับและทฤษฎีบทสำคัญของแคลคูลัสเวกเตอร์เป็นกรณีพิเศษทั้งหมดของรูปแบบทั่วไปของสโตกส์ 'ทฤษฎีบท

จากมุมมองของทั้งสองประการนี้แคลคูลัสเวกเตอร์ระบุวัตถุที่แตกต่างกันทางคณิตศาสตร์โดยปริยายซึ่งทำให้การนำเสนอง่ายขึ้น แต่โครงสร้างทางคณิตศาสตร์พื้นฐานและความชัดเจนน้อยลง จากมุมมองของพีชคณิตเรขาคณิตเวกเตอร์แคลคูลัสระบุฟิลด์k -vector โดยปริยายด้วยฟิลด์เวกเตอร์หรือฟังก์ชันสเกลาร์: 0 เวกเตอร์และ 3 เวกเตอร์พร้อมสเกลาร์ 1 เวกเตอร์และ 2 เวกเตอร์พร้อมเวกเตอร์ จากมุมมองของรูปแบบเชิงอนุพันธ์แคลคูลัสเวกเตอร์ระบุรูปแบบkโดยปริยายด้วยฟิลด์สเกลาร์หรือฟิลด์เวกเตอร์: 0 รูปแบบและ 3 รูปแบบที่มีฟิลด์สเกลาร์ 1 รูปแบบและ 2 รูปแบบพร้อมฟิลด์เวกเตอร์ ตัวอย่างเช่น curl จะใช้เป็นอินพุตฟิลด์เวกเตอร์หรือ 1 ฟอร์มโดยธรรมชาติ แต่จะมีเอาต์พุตเป็นฟิลด์เวกเตอร์ 2 ช่องหรือ 2 ฟอร์ม (ด้วยเหตุนี้ฟิลด์ pseudovector) ซึ่งจะถูกตีความเป็นฟิลด์เวกเตอร์แทนที่จะใช้โดยตรง ฟิลด์เวกเตอร์ไปยังฟิลด์เวกเตอร์ สิ่งนี้สะท้อนให้เห็นในการโค้งงอของฟิลด์เวกเตอร์ในมิติที่สูงกว่าโดยไม่ได้มีเอาต์พุตเป็นฟิลด์เวกเตอร์

การอ้างอิง

แหล่งที่มา

• "การวิเคราะห์เวกเตอร์" , สารานุกรมของคณิตศาสตร์ , EMS กด 2001 [1994]
• "เวกเตอร์พีชคณิต" , สารานุกรมของคณิตศาสตร์ , EMS กด 2001 [1994]
• การสำรวจการใช้∇อย่างไม่เหมาะสมในการวิเคราะห์เวกเตอร์ (1994) Tai, Chen-To
• การวิเคราะห์เวกเตอร์:หนังสือเรียนสำหรับการใช้งานของนักเรียนคณิตศาสตร์และฟิสิกส์ (อ้างอิงจากการบรรยายของWillard Gibbs ) โดยEdwin Bidwell Wilsonตีพิมพ์ในปี 1902
• การใช้คำศัพท์คณิตศาสตร์บางคำที่รู้จักกันเร็วที่สุด: การวิเคราะห์เวกเตอร์