พื้นที่โทโพโลยี

ประมาณปี 1735 ออยเลอร์ได้ค้นพบสูตร ${\ displaystyle V-E + F = 2}$เกี่ยวกับจำนวนของจุดขอบและใบหน้าของที่รูปทรงหลายเหลี่ยมนูนและด้วยเหตุนี้ของภาพถ่ายกราฟ การศึกษาและการทั่วไปของสูตรนี้โดยเฉพาะCauchyและL'Huilierเป็นที่มาของโครงสร้าง ในปีพ. ศ. 2370 คาร์ลฟรีดริชเกาส์เผยแพร่การตรวจสอบทั่วไปของพื้นผิวโค้งซึ่งในส่วนที่ 3 กำหนดพื้นผิวโค้งในลักษณะที่คล้ายคลึงกับความเข้าใจโทโพโลยีสมัยใหม่: "พื้นผิวโค้งกล่าวกันว่ามีความโค้งต่อเนื่องที่จุดใดจุดหนึ่งของมันหากทิศทาง ของเส้นตรงทั้งหมดที่ลากจากจุด A ไปยังจุดของพื้นผิวที่ระยะห่างเล็กน้อยจาก A จะเบี่ยงเบนจากจุดหนึ่งและระนาบเดียวกันผ่าน A " ^[2]

อย่างไรก็ตาม "จนถึงการทำงานของRiemannในช่วงต้นทศวรรษที่ 1850 พื้นผิวมักจะได้รับการจัดการจากมุมมองในท้องถิ่น (เป็นพื้นผิวพาราเมตริก) และไม่เคยมีการพิจารณาปัญหาด้านทอพอโลยี" ^[3] " MöbiusและJordanดูเหมือนจะเป็นคนแรกที่ตระหนักว่าปัญหาหลักเกี่ยวกับโทโพโลยีของพื้นผิว (ขนาดกะทัดรัด) คือการหาค่าคงที่ (โดยเฉพาะอย่างยิ่งเป็นตัวเลข) เพื่อตัดสินความเท่าเทียมกันของพื้นผิวนั่นคือการตัดสินใจว่าสองพื้นผิวเป็น ชีวจิตหรือไม่” ^[3]

เฟลิกซ์ไคลน์กำหนดเรื่องนี้ไว้อย่างชัดเจนใน "Erlangen Program" (1872): ความไม่แปรเปลี่ยนทางเรขาคณิตของการเปลี่ยนแปลงอย่างต่อเนื่องโดยพลการซึ่งเป็นรูปทรงเรขาคณิตชนิดหนึ่ง คำว่า "โทโพโลยี" ถูกนำมาใช้โดยJohann Benedict Listingในปีพ. ศ. 2390 แม้ว่าเขาจะใช้คำนี้ในการติดต่อกันหลายปีก่อนหน้านี้แทนที่จะใช้ "Analysis situs" รากฐานของวิทยาศาสตร์นี้สำหรับพื้นที่ของมิติใด ๆ ถูกสร้างขึ้นโดยPoincaré บทความแรกของเขาในหัวข้อนี้ปรากฏตัวขึ้นในปี 1894 ^[4]ในช่วงทศวรรษที่ 1930, เจมส์เดลอเล็กซานเด IIและทะเลาะวิทนีย์ครั้งแรกที่แสดงความคิดที่ว่าพื้นผิวเป็นพื้นที่ทอพอโลยีที่มีในท้องถิ่นเช่นเครื่องบินแบบยุคลิด

ช่องว่างโทโพโลยีถูกกำหนดครั้งแรกโดยเฟลิกซ์เฮาส์ดอร์ฟในปีพ. ศ. 2457 ใน "หลักการของทฤษฎีเซต" ช่องว่างเมตริกได้รับการกำหนดไว้ก่อนหน้านี้ในปี 1906 โดยMaurice Fréchetแม้ว่า Hausdorff จะเป็นผู้แนะนำคำว่า "ปริภูมิเมตริก" ก็ตาม ^{[ ต้องการอ้างอิง ]}

อรรถประโยชน์ของความคิดของโทโพโลยีแสดงให้เห็นว่ามีคำจำกัดความที่เทียบเท่ากันหลายประการของโครงสร้างนี้ ดังนั้นเราจึงเลือกสัจพจน์ที่เหมาะสมกับการใช้งาน สิ่งที่ใช้กันมากที่สุดคือในแง่ของเซตเปิดแต่อาจจะง่ายกว่านั้นก็คือในแง่ของละแวกใกล้เคียงและสิ่งนี้จะได้รับก่อน

นิยามผ่านย่าน

axiomatization นี่คือสาเหตุที่เฟลิกซ์ดอร์ฟ ให้Xเป็นชุด องค์ประกอบของXมักเรียกว่าจุดแม้ว่าจะเป็นวัตถุทางคณิตศาสตร์ก็ตาม เราอนุญาตให้Xว่าง ให้Nเป็นฟังก์ชั่นการกำหนดให้แต่ละx (จุด) ในXคอลเลกชันที่ไม่ว่างเปล่าN ( x ) ของส่วนย่อยของX องค์ประกอบของN ( x ) จะเรียกว่าย่านของxเทียบกับN (หรือเพียงแค่ย่านของ x ) ฟังก์ชั่นNเรียกว่าโครงสร้างย่านถ้าหลักการดังต่อไปนี้^[5]มีความพึงพอใจ; แล้วXกับNจะเรียกว่าเป็นพื้นที่ทอพอโลยี

1. หากยังไม่มีเป็นย่านx (เช่นN ∈ N ( x )) แล้วx ∈ N กล่าวอีกนัยหนึ่งคือแต่ละจุดเป็นของทุกพื้นที่ใกล้เคียง
2. หากยังไม่มีเป็นส่วนหนึ่งของXและรวมถึงพื้นที่ใกล้เคียงของxแล้วNเป็นย่านของx คือทุกเซ็ตของพื้นที่ใกล้เคียงของจุดxในXเป็นอีกครั้งที่เขตของx
3. จุดตัดของสองย่านxเป็นย่านของx
4. ใด ๆ ย่านNของxรวมถึงพื้นที่ใกล้เคียงMของxดังกล่าวว่าไม่มีเป็นย่านที่จุดของแต่ละM

สัจพจน์สามประการแรกสำหรับละแวกใกล้เคียงมีความหมายที่ชัดเจน สัจพจน์ประการที่สี่มีการใช้งานที่สำคัญมากในโครงสร้างของทฤษฎีซึ่งเชื่อมโยงย่านใกล้เคียงของจุดต่าง ๆ ของX เข้าด้วยกัน

ตัวอย่างมาตรฐานของระบบดังกล่าวในละแวกใกล้เคียงเป็นสำหรับสายจริงRซึ่งเป็นเซตNของRจะถูกกำหนดให้เป็นเขตของจำนวนจริงxถ้ามันมีช่วงเวลาที่มีการเปิดx

ได้รับโครงสร้างดังกล่าวเป็นส่วนย่อยUของXถูกกำหนดให้เป็นเปิดถ้าUเป็นพื้นที่ใกล้เคียงของทุกจุดในU ชุดเปิดจะตอบสนองความจริงที่ระบุด้านล่าง ตรงกันข้ามเมื่อได้รับชุดเปิดพื้นที่ทอพอโลยีละแวกใกล้เคียงที่น่าพอใจหลักการดังกล่าวข้างต้นสามารถกู้คืนโดยการกำหนดNจะเป็นเขตของxถ้าNรวมถึงชุดเปิดUเช่นว่าx ∈ U ^[6]

คำจำกัดความผ่านชุดเปิด

สี่ตัวอย่างและสองตัวอย่างที่ไม่ใช่โทโพโลยีบนเซตสามจุด {1,2,3} ตัวอย่างด้านล่างซ้ายไม่ใช่โทโพโลยีเนื่องจากการรวมกันของ {2} และ {3} [เช่น {2,3}] หายไป ตัวอย่างด้านล่างขวาไม่ใช่โทโพโลยีเนื่องจากจุดตัดของ {1,2} และ {2,3} [เช่น {2}] ขาดหายไป

พื้นที่ทอพอโลยีเป็นคำสั่งให้คู่ ( X , τ ) ที่Xเป็นชุดและτคือชุดของส่วนย่อยของX , ความพึงพอใจต่อไปสัจพจน์ : ^[7]

1. เซตว่างและXตัวเองอยู่ในτ
2. ใด ๆ โดยพลการ ( จำกัด หรือไม่มีที่สิ้นสุด) สหภาพของสมาชิกของτเป็น  τ
3. จุดตัดของจำนวน จำกัด ใด ๆ ของสมาชิกของτเป็น  τ

องค์ประกอบของτจะเรียกว่าชุดเปิดและคอลเลกชันτเรียกว่าโทโพโลยีใน  X

ตัวอย่าง

1. กำหนดให้X = {1, 2, 3, 4}, คอลเลกชันτ = {{}, {1, 2, 3, 4}} จากเพียงสองชุดย่อยของX ที่ต้องการโดยสัจพจน์จะสร้างโทโพโลยีของXซึ่งเป็นเรื่องเล็กน้อย โทโพโลยี ( โทโพโลยีไม่ต่อเนื่อง)
2. ให้X = {1, 2, 3, 4}, คอลเลกชันτ = {{}, {2}, {1, 2}, {2, 3}, {1, 2, 3}, {1, 2, 3, 4}} หกย่อยของXรูปแบบโครงสร้างของผู้อื่นX
3. ให้X = {1, 2, 3, 4} และคอลเลกชันτ = P ( X ) ( ชุดกำลังของX ), ( X , τ ) เป็นช่องว่างทอพอโลยี τเรียกว่าโครงสร้างที่ไม่ต่อเนื่อง
4. กำหนดX = Z , เซตของจำนวนเต็ม, คอลเลกชันτของเซตย่อยที่ จำกัด ทั้งหมดของจำนวนเต็มบวกZนั้นไม่ใช่โทโพโลยีเนื่องจาก (ตัวอย่าง) การรวมกันของเซต จำกัด ทั้งหมดที่ไม่มีศูนย์ไม่ใช่จำนวน จำกัด แต่ก็ไม่ใช่ทั้งหมด ของZและดังนั้นจึงไม่สามารถอยู่ใน  τ

คำจำกัดความผ่านชุดปิด

ด้วยการใช้กฎหมายของเดอมอร์แกนสัจพจน์ข้างต้นที่กำหนดเซตเปิดกลายเป็นสัจพจน์ที่กำหนดเซตปิด :

1. ชุดว่างและXถูกปิด
2. นอกจากนี้ยังมีการปิดจุดตัดของคอลเลกชันของชุดปิด
3. การรวมกันของชุดปิดจำนวน จำกัด จะถูกปิดด้วย

โดยใช้หลักการเหล่านี้วิธีการกำหนดพื้นที่ทอพอโลยีอีกประการหนึ่งคือเป็นชุดXพร้อมกับคอลเลกชันτย่อยปิดX ดังนั้นเซตในโทโพโลยีτจึงเป็นเซตปิดและส่วนเติมเต็มในXคือเซตเปิด

คำจำกัดความอื่น ๆ

มีอีกหลายวิธีที่เทียบเท่ากันในการกำหนดพื้นที่ทอพอโลยี: กล่าวอีกนัยหนึ่งคือแนวคิดของพื้นที่ใกล้เคียงหรือชุดเปิดหรือปิดสามารถสร้างขึ้นใหม่จากจุดเริ่มต้นอื่น ๆ และตอบสนองความจริงที่ถูกต้อง

วิธีการกำหนดพื้นที่ทอพอโลยีก็คือโดยใช้Kuratowski สัจพจน์ปิดซึ่งกำหนดชุดปิดเป็นจุดคงที่ของผู้ประกอบการในการตั้งค่าการใช้พลังงานของX

สุทธิเป็นลักษณะทั่วไปของแนวคิดของลำดับ ทอพอโลยีจะถูกกำหนดอย่างสมบูรณ์หากสุทธิในทุกXชุดของจุดสะสมที่ระบุไว้

โทโพโลยีที่หลากหลายสามารถวางบนชุดเพื่อสร้างพื้นที่โทโพโลยี เมื่อชุดใน topology ทุกτ ₁ยังอยู่ในโทโพโลยีτ ₂และτ ₁เป็นส่วนหนึ่งของτ ₂เราบอกว่าτ ₂เป็นปลีกย่อยกว่าτ ₁และτ ₁คือหยาบกว่าτ 2 การพิสูจน์ที่อาศัยเฉพาะการมีอยู่ของชุดเปิดบางชุดจะถือไว้สำหรับโทโพโลยีที่ละเอียดกว่าและในทำนองเดียวกันการพิสูจน์ที่อาศัยเฉพาะบางชุดเท่านั้นที่ไม่เปิดใช้กับโทโพโลยีที่หยาบกร้าน บางครั้งคำที่ใหญ่กว่าและเล็กกว่ามักใช้แทนคำที่ละเอียดกว่าและหยาบกว่าตามลำดับ คำศัพท์ที่แข็งแกร่งและอ่อนแอก็ใช้ในวรรณคดีเช่นกัน แต่มีข้อตกลงเล็กน้อยเกี่ยวกับความหมายดังนั้นจึงควรแน่ใจว่าเป็นแบบแผนของผู้เขียนเมื่ออ่าน

คอลเลกชันของโครงสร้างทั้งหมดที่ได้รับการแก้ไขชุดXรูปแบบตาข่ายที่สมบูรณ์ถ้าF = { τ _{อัลฟ่า} | อัลฟ่า ∈ } คือชุดของโครงสร้างในXแล้วพบกันของFเป็นจุดตัดของFและเข้าร่วมของFจะตอบสนองความต้องการของคอลเลกชันของโครงสร้างทั้งหมดในXที่มีสมาชิกของทุกF

ฟังก์ชั่น F  : X → Yระหว่างช่องว่าง topological ถูกเรียกอย่างต่อเนื่องถ้าทุกxในXทุกเขตและNของF ( x ) มีเขตMของxดังกล่าวว่าF ( M ) ⊆ N สิ่งนี้เกี่ยวข้องกับคำจำกัดความตามปกติในการวิเคราะห์ได้อย่างง่ายดาย เทียบเท่ากับfจะต่อเนื่องถ้าภาพผกผันของทุกชุดที่เปิดอยู่เปิดอยู่ ^[8]นี่คือความพยายามที่จะจับสัญชาตญาณว่าไม่มี "การกระโดด" หรือ "การแยก" ในฟังก์ชัน homeomorphismเป็นbijectionที่มีอย่างต่อเนื่องและมีสิ่งที่ตรงกันข้ามยังเป็นอย่างต่อเนื่อง ช่องว่างสองช่องเรียกว่าhomeomorphicถ้ามี homeomorphism อยู่ระหว่างกัน จากมุมมองของโทโพโลยีช่องว่างชีวธรรมชาติมีความเหมือนกันเป็นหลัก ^[9]

ในทฤษฎีประเภท , สูงสุดที่หมวดหมู่ของช่องว่าง topologicalกับช่องว่าง topological เป็นวัตถุและฟังก์ชั่นอย่างต่อเนื่องเป็นmorphismsเป็นหนึ่งในพื้นฐานประเภท ความพยายามในการจำแนกวัตถุประเภทนี้ (ถึง homeomorphism) โดยคงมีพื้นที่ที่มีแรงจูงใจของการวิจัยเช่นทฤษฎี homotopy , ทฤษฎีที่คล้ายคลึงกันและK-ทฤษฎี

ชุดที่กำหนดอาจมีโทโพโลยีที่แตกต่างกันมากมาย หากเซตได้รับโทโพโลยีที่แตกต่างกันจะถูกมองว่าเป็นสเปซโทโพโลยีที่แตกต่างกัน ชุดใดก็ได้ที่สามารถกำหนดโทโพโลยีแบบไม่ต่อเนื่องซึ่งทุกส่วนย่อยเปิดอยู่ ลำดับคอนเวอร์เจนท์เพียงลำดับเดียวหรืออวนในโทโพโลยีนี้คือลำดับที่คงที่ในที่สุด นอกจากนี้ชุดใด ๆ ก็สามารถได้รับโทโพโลยีเล็กน้อย (เรียกอีกอย่างว่าโทโพโลยีแบบไม่ต่อเนื่อง) ซึ่งมีเพียงเซตว่างและพื้นที่ทั้งหมดเท่านั้นที่เปิดอยู่ ทุกลำดับและสุทธิในโทโพโลยีนี้มาบรรจบกันทุกจุดของช่องว่าง ตัวอย่างนี้แสดงให้เห็นว่าในช่องว่างโทโพโลยีทั่วไปขีด จำกัด ของลำดับไม่จำเป็นต้องซ้ำกัน อย่างไรก็ตามช่องว่างโทโพโลยีมักจะต้องเป็นช่องว่าง Hausdorffซึ่งจุด จำกัด ไม่ซ้ำกัน

ช่องว่างเมตริก

ช่องว่างของเมตริกเป็นตัวชี้วัดซึ่งเป็นแนวคิดที่แม่นยำของระยะห่างระหว่างจุดต่างๆ

ทุกช่องว่างของเมตริกสามารถได้รับโทโพโลยีเมตริกซึ่งชุดเปิดพื้นฐานคือลูกบอลเปิดที่กำหนดโดยเมตริก นี่คือโครงสร้างมาตรฐานใด ๆปริภูมิเวกเตอร์เกณฑ์ บนพื้นที่เวกเตอร์มิติ จำกัดโทโพโลยีนี้เหมือนกันสำหรับทุกบรรทัดฐาน

มีหลายวิธีในการกำหนดโครงสร้างในการเป็นRชุดของตัวเลขจริง โครงสร้างมาตรฐานในRถูกสร้างขึ้นโดยช่วงเวลาที่เปิดให้บริการ ชุดของช่วงเวลาที่เปิดทั้งหมดเป็นฐานหรือพื้นฐานสำหรับโทโพโลยีซึ่งหมายความว่าทุกชุดที่เปิดคือการรวมกันของชุดบางชุดจากฐาน โดยเฉพาะอย่างยิ่งนั่นหมายความว่าเซตจะเปิดหากมีช่วงเวลาเปิดของรัศมีที่ไม่ใช่ศูนย์เกี่ยวกับทุกจุดในเซต โดยทั่วไปแล้วช่องว่างแบบยุคลิด R ⁿสามารถได้รับโทโพโลยี ในโครงสร้างปกติบนR ⁿชุดเปิดพื้นฐานเปิดลูก ในทำนองเดียวกันCเซตของจำนวนเชิงซ้อนและC ⁿมีโทโพโลยีมาตรฐานซึ่งเซตเปิดพื้นฐานคือบอลเปิด

ช่องว่างใกล้เคียง

ช่องว่างความใกล้เคียงให้แนวคิดเกี่ยวกับความใกล้ชิดของสองชุด

ช่องว่างสม่ำเสมอ

ช่องว่างที่เท่ากันทำให้เป็นจริงโดยเรียงลำดับระยะห่างระหว่างจุดที่แตกต่างกัน

ช่องว่างของฟังก์ชัน

พื้นที่ทอพอโลยีซึ่งในจุดที่มีฟังก์ชั่นที่เรียกว่าพื้นที่ฟังก์ชั่น

ช่องว่าง Cauchy

ช่องว่าง Cauchyทำให้เกิดความสามารถในการทดสอบว่าตาข่ายเป็นCauchyหรือไม่ พื้นที่ Cauchy ให้การตั้งค่าทั่วไปสำหรับการศึกษาที่สำเร็จ

ช่องว่างบรรจบ

พื้นที่บรรจบจับภาพบางส่วนของคุณสมบัติของการบรรจบกันของฟิลเตอร์

ไซต์ Grothendieck

ไซต์ Grothendieckเป็นหมวดหมู่ที่มีข้อมูลเพิ่มเติมตามความเป็นจริงว่ากลุ่มของลูกศรครอบคลุมวัตถุหรือไม่ เว็บไซต์ที่มีการตั้งค่าทั่วไปสำหรับการกำหนดมัด

ช่องว่างอื่น ๆ

ถ้าΓเป็นตัวกรองในชุดXแล้ว{∅} ∪Γเป็นโครงสร้างในX

ชุดตัวดำเนินการเชิงเส้นหลายชุดในการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันได้รับการเสริมสร้างด้วยโทโพโลยีที่กำหนดโดยการระบุเมื่อลำดับของฟังก์ชันมาบรรจบกันเป็นฟังก์ชันศูนย์

ฟิลด์โลคัลใด ๆ ที่มีโทโพโลยีดั้งเดิมอยู่และสามารถขยายเป็นเวกเตอร์สเปซเหนือฟิลด์นั้นได้

ทุกท่อมีโครงสร้างโทโพโลยีตามธรรมชาติเนื่องจากเป็นแบบยูคลิดในท้องถิ่น ในทำนองเดียวกันทุกเริมและทุกซับซ้อน simplicialสืบทอดโครงสร้างธรรมชาติจากR n

โครงสร้าง Zariskiถูกกำหนดพีชคณิตในสเปกตรัมของแหวนหรือความหลากหลายเกี่ยวกับพีชคณิต บนR ⁿหรือC ⁿชุดปิดของโทโพโลยี Zariski คือชุดคำตอบของระบบสมการพหุนาม

กราฟเส้นตรงมีโครงสร้างธรรมชาติที่ generalises หลายแง่มุมทางเรขาคณิตของกราฟที่มีจุดและขอบ

พื้นที่Sierpińskiเป็นพื้นที่ทอพอโลยีที่ง่ายที่สุดที่ไม่ต่อเนื่อง มีความสัมพันธ์ที่สำคัญกับทฤษฎีการคำนวณและความหมาย

มีโครงสร้างหลายใดก็ตามที่มีอยู่เซต จำกัด พื้นที่ดังกล่าวเรียกว่าจำกัด ช่องว่าง บางครั้งใช้ช่องว่าง จำกัด เพื่อให้ตัวอย่างหรือตัวอย่างเพื่อคาดเดาเกี่ยวกับช่องว่างโทโพโลยีโดยทั่วไป

เซตใดก็ได้ที่สามารถกำหนดโทโพโลยีแบบโคฟินิทได้ซึ่งเซตเปิดคือเซตว่างและเซตที่มีส่วนเสริม จำกัด นี่คือโทโพโลยีT 1 ที่เล็กที่สุดในเซตอนันต์ใด ๆ

ชุดใดก็ได้ที่สามารถกำหนดโทโพโลยีแบบต่อนับได้ซึ่งชุดจะถูกกำหนดเป็นเปิดหากว่างเปล่าหรือสามารถนับส่วนเติมเต็มได้ เมื่อชุดไม่สามารถนับได้โทโพโลยีนี้จะทำหน้าที่เป็นตัวอย่างตอบโต้ในหลาย ๆ สถานการณ์

เส้นจริงยังสามารถกำหนดโทโพโลยีขีด จำกัด ล่างได้ ในที่นี้ชุดเปิดพื้นฐานคือช่วงเปิดครึ่งหนึ่ง [ a , b ) โทโพโลยีบนRนี้ละเอียดกว่าโทโพโลยีแบบยุคลิดที่กำหนดไว้ข้างต้นอย่างเคร่งครัด ลำดับจะมาบรรจบกันเป็นจุดหนึ่งในโทโพโลยีนี้ก็ต่อเมื่อมันมาบรรจบกันจากด้านบนในโทโพโลยีแบบยุคลิด ตัวอย่างนี้แสดงให้เห็นว่าชุดอาจมีการกำหนดโทโพโลยีที่แตกต่างกันจำนวนมาก

ถ้าΓเป็นเลขลำดับเซตΓ = [0, Γ) อาจได้รับการเสริมสร้างด้วยโทโพโลยีลำดับที่สร้างขึ้นโดยช่วงเวลา ( a ,  b ), [0,  b ) และ ( a , Γ) โดยที่aและbอยู่ องค์ประกอบของΓ

พื้นที่รอบนอกของกลุ่มฟรี F _nประกอบด้วยสิ่งที่เรียกว่า "การทำเครื่องหมายโครงสร้างกราฟตัวชี้วัด" ของปริมาณ 1 F n ^[10]

ทุกส่วนย่อยของโทโพโลยีสามารถกำหนดให้โทโพโลยีย่อยซึ่งเซตเปิดคือจุดตัดของเซตเปิดของช่องว่างที่ใหญ่กว่ากับเซตย่อย สำหรับตระกูลทอพอโลยีที่จัดทำดัชนีผลิตภัณฑ์สามารถกำหนดโครงสร้างผลิตภัณฑ์ซึ่งสร้างขึ้นโดยภาพผกผันของชุดปัจจัยที่เปิดอยู่ภายใต้การแม็ปการฉายภาพ ตัวอย่างเช่นในผลิตภัณฑ์ จำกัด พื้นฐานสำหรับโทโพโลยีผลิตภัณฑ์ประกอบด้วยผลิตภัณฑ์ทั้งหมดของเซตเปิด สำหรับผลิตภัณฑ์ที่ไม่มีที่สิ้นสุดมีข้อกำหนดเพิ่มเติมว่าในชุดเปิดขั้นพื้นฐานทั้งหมด แต่การคาดการณ์จำนวนมากเป็นพื้นที่ทั้งหมด

พื้นที่เชาวน์ถูกกำหนดให้เป็นดังนี้ถ้าXเป็นพื้นที่ทอพอโลยีและYเป็นชุดและถ้าฉ  : X → Yเป็นsurjective ฟังก์ชั่นแล้วโครงสร้างเชาวน์บนYคือชุดของส่วนย่อยของYที่มีการเปิดภาพผกผันภายใต้f . กล่าวอีกนัยหนึ่งโทโพโลยีแบบเชาวน์เป็นโทโพโลยีที่ดีที่สุดบนYซึ่งfเป็นแบบต่อเนื่อง ร่วมเป็นตัวอย่างของโครงสร้างเชาวน์คือเมื่อความสมดุลที่ถูกกำหนดในทอพอโลยีพื้นที่X จากนั้นแผนที่fคือการฉายตามธรรมชาติไปยังชุดของคลาสความเท่าเทียมกัน

โครงสร้าง Vietorisในชุดของทุกส่วนย่อยที่ไม่ว่างเปล่าของทอพอโลยีอวกาศXชื่อLeopold Vietoris , ถูกสร้างขึ้นโดยพื้นฐานต่อไปนี้: สำหรับทุกn -tuple U ₁ , ... , U _nชุดที่เปิดในX , เราสร้างชุดพื้นฐานที่ประกอบด้วยส่วนย่อยทั้งหมดของการรวมกันของU _iที่มีจุดตัดที่ไม่ว่างกับU _iแต่ละตัว

โครงสร้างตกในชุดของทุกส่วนย่อยปิดไม่ว่างเปล่าของที่มีขนาดกะทัดรัดในประเทศ โปแลนด์พื้นที่ Xเป็นตัวแปรของโครงสร้าง Vietoris และการตั้งชื่อตามนักคณิตศาสตร์เจมส์ตก มันถูกสร้างขึ้นโดยพื้นฐานต่อไปนี้: สำหรับทุกn -uple U ₁ , ... , U _nของเซตที่เปิดในXและสำหรับทุกเซตขนาดกะทัดรัดKเซตของเซตย่อยทั้งหมดของXที่แยกจากKและมีทางแยกที่ไม่ว่างเปล่า กับแต่ละU _ฉันเป็นสมาชิกของพื้นฐาน

ช่องว่าง topological สามารถแบ่งกว้างถึง homeomorphism โดยพวกเขาคุณสมบัติทอพอโลยี คุณสมบัติทอพอโลยีคือคุณสมบัติของช่องว่างที่ไม่แปรผันภายใต้ homeomorphisms เพื่อพิสูจน์ว่าช่องว่างสองช่องไม่ใช่ homeomorphic ก็เพียงพอแล้วที่จะค้นหาคุณสมบัติทอพอโลยีที่ไม่ได้ใช้ร่วมกัน ตัวอย่างของคุณสมบัติดังกล่าวรวมถึงการเชื่อมโยง , ปึกแผ่นและต่าง ๆหลักการแยก สำหรับค่าคงที่เกี่ยวกับพีชคณิตดูtopology เกี่ยวกับพีชคณิต

สำหรับวัตถุเกี่ยวกับพีชคณิตเราสามารถแนะนำโทโพโลยีแบบไม่ต่อเนื่องซึ่งการดำเนินการเกี่ยวกับพีชคณิตเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง สำหรับโครงสร้างใด ๆ ที่ไม่ จำกัด เรามักจะมีโทโพโลยีตามธรรมชาติที่เข้ากันได้กับการดำเนินการเกี่ยวกับพีชคณิตในแง่ที่การดำเนินการเกี่ยวกับพีชคณิตยังคงดำเนินต่อไป นี้นำไปสู่แนวคิดเช่นกลุ่มทอพอโลยี , ช่องว่างเวกเตอร์ทอพอโลยี , แหวนทอพอโลยีและเขตท้องถิ่น

• เป็นเงา ช่องว่างคือสเปกตรัมถ้าเป็นสเปกตรัมเฉพาะของวงแหวน ( ทฤษฎีบทHochster )
• สั่งซื้อล่วงหน้าเฉพาะทาง ในช่องว่างคำสั่งซื้อล่วงหน้าเฉพาะทาง (หรือCanonical )ถูกกำหนดโดยx ≤ y if and only if cl { x } ⊆ cl { y }

• ลักษณะของประเภทของช่องว่างโทโพโลยี
• Complete Heyting algebra - ระบบของชุดเปิดทั้งหมดของพื้นที่โทโพโลยีที่กำหนดซึ่งเรียงลำดับโดยการรวมเป็นพีชคณิต Heyting ที่สมบูรณ์
• พื้นที่บรรจบกัน
• ความไม่ต่อเนื่อง
• พื้นที่ Quasitopological
• อวกาศ (คณิตศาสตร์)
• พื้นที่ย่อยค่อนข้างกะทัดรัด
• พื้นที่กะทัดรัด
• พื้นที่ Hausdorff
• พื้นที่ฮิลเบิร์ต
• พื้นที่ย่อยเชิงเส้น

• อาร์มสตรอง, แมสซาชูเซตส์ (2526) [2522]. โทโพโลยีขั้นพื้นฐาน ตำราระดับปริญญาตรีในวิชาคณิตศาสตร์ สปริงเกอร์. ISBN 0-387-90839-0.
• เบรดดอน, เกลนอี , โทโพโลยีและเรขาคณิต (ตำราบัณฑิตในวิชาคณิตศาสตร์), สปริงเกอร์; พิมพ์ครั้งที่ 1 (17 ตุลาคม 2540). ISBN  0-387-97926-3
• บูร์บากี้, นิโคลัส ; องค์ประกอบของคณิตศาสตร์: โทโพโลยีทั่วไปแอดดิสัน - เวสลีย์ (2509)
• บราวน์โรนัลด์ (2549) โทโพโลยีและ Groupoids Booksurge. ISBN 1-4196-2722-8. (พิมพ์ครั้งที่ 3 ของหนังสือที่มีชื่อแตกต่างกัน)
• Čech, Eduard ; Point Sets , Academic Press (2512).
• ฟุลตันวิลเลียม , พีชคณิตโทโพโลยี (บัณฑิตตำราในวิชาคณิตศาสตร์) สปริงเกอร์; พิมพ์ครั้งที่ 1 (5 กันยายน 2540). ISBN  0-387-94327-7
• กัลลิเยร์, ฌอง; Xu, Dianna (2013). คู่มือการจำแนกทฤษฎีบทสำหรับพื้นผิวกระชับ สปริงเกอร์.
• เกาส์คาร์ลฟรีดริช (1827) การตรวจสอบพื้นผิวโค้งทั่วไป
• ลิปชูตซ์, ซีมัวร์; โครงร่างโครงสร้างทั่วไปของ Schaum , McGraw-Hill; พิมพ์ครั้งที่ 1 (1 มิถุนายน 2511). ไอ 0-07-037988-2 .
• Munkres, เจมส์ ; โทโพโลยีศิษย์ฮอลล์; พิมพ์ครั้งที่ 2 (28 ธันวาคม 2542). ISBN  0-13-181629-2 .
• รันเด, โวลเกอร์; รสชาติของโทโพโลยี (Universitext) , สปริงเกอร์; พิมพ์ครั้งที่ 1 (6 กรกฎาคม 2548). ISBN  0-387-25790-X .
• Schubert, Horst (1968), Topology , Macdonald Technical & Scientific, ISBN 0-356-02077-0
• Steen, Lynn A.และSeebach, J. Arthur Jr. ; ตัวอย่างการตอบโต้ใน Topology , Holt, Rinehart และ Winston (1970) ISBN  0-03-079485-4 .
• ไวยานาถสวามี, ร. (2503). ชุดโทโพโลยี บริษัท สำนักพิมพ์เชลซีISBN 0486404560.
• วิลลาร์ดสตีเฟน (2547). โทโพโลยีทั่วไป สิ่งพิมพ์ Dover ISBN 0-486-43479-6.

• "พื้นที่ทอพอโลยี" , สารานุกรมของคณิตศาสตร์ , EMS กด 2001 [1994]