ทิก-แทก-โท

ทิก-แทก-โท
	เกมที่สมบูรณ์ของ tic-tac-toe
ประเภท	เกมกระดาษและดินสอ
ผู้เล่น	2
ตั้งเวลา	มินิมอล
เวลาเล่น	~ 1 นาที
โอกาสสุ่ม	ไม่มี
ทักษะที่จำเป็น	กลยุทธ์ยุทธวิธีการสังเกต
ไวพจน์	ความคิดและข้าม; Xs และ Os

Tic-tac-toe ( ภาษาอังกฤษแบบอเมริกัน ), noughts and crosses ( Commonwealth EnglishและBritish English ) หรือXs and Os /“ X'y O'sies” (Ireland) เป็นเกมกระดาษและดินสอสำหรับผู้เล่นสองคนXและOซึ่งผลัดกันทำเครื่องหมายช่องว่างในตาราง 3 × 3 ผู้เล่นที่ประสบความสำเร็จในการวางเครื่องหมายสามตัวในแถวแนวทแยงแนวนอนหรือแนวตั้งเป็นผู้ชนะ เป็นเกมที่มีการแก้ไขโดยมีการบังคับโดยสมมติว่าเล่นได้ดีที่สุดจากผู้เล่นทั้งสองฝ่าย

การเล่นเกม

ในการชนะเกมผู้เล่นจะต้องวางเครื่องหมายสามตัวในแถวแนวนอนแนวตั้งหรือแนวทแยง

เกมตัวอย่างต่อไปนี้ชนะโดยผู้เล่นคนแรก X:

ในไม่ช้าผู้เล่นจะค้นพบว่าการเล่นที่ดีที่สุดจากทั้งสองฝ่ายนำไปสู่การเสมอกัน ดังนั้นเด็กเล็กมักเล่น tic-tac-toe ซึ่งมักจะยังไม่ได้ค้นพบกลยุทธ์ที่ดีที่สุด

โครงสร้างอุบัติการณ์สำหรับ tic-tac-toe

เพราะความเรียบง่ายของโอเอกซ์ก็มักจะถูกนำมาใช้เป็นน้ำท่วมทุ่งเครื่องมือสำหรับการเรียนการสอนแนวความคิดของดีมีน้ำใจนักกีฬาและสาขาของปัญญาประดิษฐ์ที่เกี่ยวข้องกับการค้นหาของต้นไม้เกม เป็นเรื่องง่ายที่จะเขียนโปรแกรมคอมพิวเตอร์เพื่อเล่นเกม tic-tac-toe อย่างสมบูรณ์แบบหรือระบุตำแหน่งที่แตกต่างกัน 765 ตำแหน่ง ( ความซับซ้อนของพื้นที่สถานะ ) หรือเกมที่เป็นไปได้ 26,830 เกมจนถึงการหมุนและการสะท้อน ( ความซับซ้อนของต้นไม้เกม ) ^[1]ถ้าเล่นได้อย่างดีที่สุดโดยผู้เล่นทั้งสองเกมจะจบด้วยการเสมอกันทำให้โอเอกซ์เกมที่ไร้ประโยชน์ ^[2]

เกมสามารถทั่วไปไปยังm, n, k เกมที่ผู้เล่นทั้งสองก้อนหินวางสลับสีของตัวเองในม. × nคณะกรรมการโดยมีเป้าหมายในการรับkสีของตัวเองในแถว Tic-tac-toe คือ (3,3,3) -game ^[3] tic-tac-toe ทั่วไปของ Harary เป็นคำอธิบายทั่วไปที่กว้างขึ้นของ tic-tac-toe นอกจากนี้ยังสามารถทั่วไปเป็นn ^dเกม โอเอกซ์เป็นเกมที่ n เท่ากับ 3 และ D เท่ากับ 2. ^[4]มันสามารถทั่วไปยิ่งขึ้นโดยการเล่นบนพลโครงสร้างอุบัติการณ์ที่แถวเส้นและเซลล์มีจุด Tic-tac-toe เป็นเกมที่กำหนดโดยโครงสร้างอุบัติการณ์ที่แสดงทางด้านขวาซึ่งประกอบด้วยเก้าจุดเส้นแนวนอนสามเส้นแนวตั้งสามเส้นและเส้นทแยงมุมสองเส้นแต่ละเส้นประกอบด้วยอย่างน้อยสามจุด

ประวัติศาสตร์

เกมที่เล่นบนกระดานสามในแถวสามารถตรวจสอบกลับไปยังอียิปต์โบราณ , ^[5]ที่บอร์ดเกมดังกล่าวได้ถูกพบบนกระเบื้องมุงหลังคาที่สืบมาจากรอบ 1,300 ปีก่อนคริสตกาล ^[6]

การเปลี่ยนแปลงของ tic-tac-toe ในยุคแรก ๆ มีการเล่นในจักรวรรดิโรมันประมาณศตวรรษแรกก่อนคริสต์ศักราช มันถูกเรียกว่าterni lapilli ( ครั้งละสามก้อน ) และแทนที่จะมีจำนวนชิ้นผู้เล่นแต่ละคนมีเพียงสามคนดังนั้นพวกเขาจึงต้องย้ายพวกเขาไปยังพื้นที่ว่างเพื่อเล่นต่อไป ^[7]มีการพบเครื่องหมายตารางของเกมชอล์กทั่วกรุงโรม เกมโบราณที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดอีกเกมหนึ่งคือมอร์ริสชายสามคนซึ่งเล่นบนกริดธรรมดาและต้องใช้สามชิ้นติดต่อกันจึงจะจบ^[8]และพิคาเรียซึ่งเป็นเกมของปวยโบล

ชื่อต่างๆของเกมเป็นชื่อใหม่ล่าสุด อ้างอิงพิมพ์ครั้งแรกที่ "เอกซ์และกากบาท" ( มิใช่เป็นคำทางเลือกสำหรับศูนย์) ชื่ออังกฤษปรากฏตัวขึ้นในปี 1858 ในเรื่องของNotes และแบบสอบถาม ^[9]การอ้างอิงการพิมพ์ครั้งแรกของเกมที่เรียกว่า "เห็บ - ตะปู" เกิดขึ้นในปีพ. ศ. 2427 แต่อ้างถึง "เกมสำหรับเด็กที่เล่นบนกระดานชนวนซึ่งประกอบด้วยการพยายามปิดตาเพื่อนำดินสอลงบนหนึ่งใน ตัวเลขของชุดจำนวนที่ตีเป็นคะแนน ". "Tic-tac-toe" อาจมีที่มาจาก "tick-tack" ซึ่งเป็นชื่อของแบ็คแกมมอนรุ่นเก่าที่อธิบายครั้งแรกในปี 1558 การเปลี่ยนชื่อ "noughts and cross" ของสหรัฐฯเป็น "tic-tac-toe" เกิดขึ้นในปีพ. ศ. ศตวรรษที่ 20. ^[10]

ในปี 1952 OXO (หรือเอกซ์และกากบาท ) ที่พัฒนาโดยนักวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ชาวอังกฤษแซนดี้ดักลาสสำหรับEDSACคอมพิวเตอร์ที่มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์กลายเป็นหนึ่งในครั้งแรกที่รู้จักกันในวิดีโอเกม ^[11]^[12]ผู้เล่นคอมพิวเตอร์สามารถเล่นเกม tic-tac-toe กับคู่ต่อสู้ที่เป็นมนุษย์ได้อย่างสมบูรณ์แบบ ⁽¹¹⁾

ในปีพ. ศ. 2518 นักศึกษาของMITยังใช้ tic-tac-toe เพื่อแสดงให้เห็นถึงพลังในการคำนวณขององค์ประกอบTinkertoy คอมพิวเตอร์ Tinkertoy สร้างจาก Tinkertoys (เกือบ) เท่านั้นที่สามารถเล่น tic-tac-toe ได้อย่างสมบูรณ์แบบ ^[13]มันกำลังแสดงอยู่ที่พิพิธภัณฑ์วิทยาศาสตร์, บอสตัน

คอมบิเนทอริกส์

เมื่อพิจารณาเฉพาะสถานะของบอร์ดและหลังจากคำนึงถึงความสมมาตรของบอร์ด (เช่นการหมุนและการสะท้อนแสง) แล้วจะมีตำแหน่งบอร์ดเทอร์มินัลเพียง 138 ตำแหน่งเท่านั้น จากการศึกษาเรื่องCombinatoricsของเกมแสดงให้เห็นว่าเมื่อ "X" ทำการเคลื่อนไหวครั้งแรกทุกครั้งผลลัพธ์ของเกมจะเป็นดังนี้: ^[14]

91 ตำแหน่งที่แตกต่างจะชนะโดย (X)
ชนะตำแหน่งที่แตกต่างกัน 44 ตำแหน่งโดย (O)
มีการวาดตำแหน่งที่แตกต่างกัน 3 ตำแหน่ง (มักเรียกว่า "เกมของแมว" ^[15] )

กลยุทธ์

กลยุทธ์ที่ดีที่สุดสำหรับผู้เล่น X หากเริ่มต้นที่มุม ในแต่ละเส้นตาราง X สีแดงที่แรเงาหมายถึงการเคลื่อนที่ที่เหมาะสมที่สุดและตำแหน่งของการเคลื่อนไหวถัดไปของ O จะให้ตารางย่อยถัดไปตรวจสอบ โปรดทราบว่าลำดับการเคลื่อนที่เพียงสองลำดับโดย O (ทั้งเริ่มต้นด้วยศูนย์ขวาบนซ้ายกลาง) นำไปสู่การเสมอโดยลำดับที่เหลือจะนำไปสู่การชนะจาก X

กลยุทธ์ที่เหมาะสมที่สุดสำหรับผู้เล่น O ผู้เล่น O สามารถบังคับให้ชนะหรือเสมอได้โดยการเล่นตรงกลางก่อน

ผู้เล่นสามารถเล่นเกม tic-tac-toe ที่สมบูรณ์แบบ (เพื่อชนะหรืออย่างน้อยก็เสมอ) หากทุกครั้งที่ถึงตาที่จะเล่นพวกเขาเลือกการย้ายครั้งแรกจากรายการต่อไปนี้ตามที่ใช้ใน Newell และ Simon's 1972 โปรแกรม tic-tac-toe ^[16]

ชนะ : หากผู้เล่นมีสองคนติดต่อกันพวกเขาสามารถวางที่สามเพื่อรับสามในแถว
บล็อก : หากฝ่ายตรงข้ามมีสองคนติดต่อกันผู้เล่นจะต้องเล่นคนที่สามด้วยตัวเองเพื่อสกัดกั้นฝ่ายตรงข้าม
ส้อม : สร้างโอกาสที่ผู้เล่นมีสองวิธีในการชนะ (สองบรรทัดที่ไม่ถูกบล็อกจาก 2)
การบล็อกส้อมของฝ่ายตรงข้าม : หากมีส้อมเพียงอันเดียวที่เป็นไปได้สำหรับฝ่ายตรงข้ามผู้เล่นควรปิดกั้น มิฉะนั้นผู้เล่นควรบล็อกส้อมทั้งหมดไม่ว่าจะด้วยวิธีใดก็ได้ที่ช่วยให้พวกเขาสร้างสองอันในแถวพร้อมกัน มิฉะนั้นผู้เล่นควรสร้างสองแถวติดต่อกันเพื่อบังคับให้ฝ่ายตรงข้ามตั้งรับตราบใดที่มันไม่ส่งผลให้พวกเขาสร้างทางแยก ตัวอย่างเช่นถ้า "X" มีมุมตรงข้ามสองมุมและ "O" มีจุดศูนย์กลาง "O" จะต้องไม่เล่นลูกเตะมุมเพื่อที่จะชนะ (การเล่นลูกเตะมุมในสถานการณ์นี้จะสร้างส้อมให้ "X" ชนะ)
ศูนย์ : ผู้เล่นทำเครื่องหมายตรงกลาง (หากเป็นการย้ายครั้งแรกของเกมการเล่นลูกเตะมุมจะช่วยให้ผู้เล่นคนที่สองมีโอกาสทำผิดพลาดได้มากขึ้นและอาจเป็นทางเลือกที่ดีกว่าอย่างไรก็ตามมันไม่ได้สร้างความแตกต่างระหว่างผู้เล่นที่สมบูรณ์แบบ)
มุมตรงข้าม : ถ้าฝ่ายตรงข้ามอยู่ในมุมผู้เล่นจะเล่นมุมตรงข้าม
มุมว่าง : ผู้เล่นเล่นในสี่เหลี่ยมมุม
ด้านที่ว่างเปล่า : ผู้เล่นจะเล่นในช่องสี่เหลี่ยมตรงกลางทั้ง 4 ด้าน

ผู้เล่นคนแรกที่ถูกกำหนดให้เป็น "X" จะมีตำแหน่งที่แตกต่างกันเชิงกลยุทธ์ 3 ตำแหน่งที่เป็นไปได้เพื่อทำเครื่องหมายในเทิร์นแรก ดูเผินๆอาจมี 9 ตำแหน่งที่เป็นไปได้ซึ่งสอดคล้องกับ 9 กำลังสองในตาราง อย่างไรก็ตามเมื่อหมุนกระดานเราจะพบว่าในเทิร์นแรกเครื่องหมายทุกมุมจะเทียบเท่ากับเครื่องหมายมุมอื่น ๆ ในเชิงกลยุทธ์ เครื่องหมายขอบทุกด้าน (ตรงกลางด้านข้าง) ก็เช่นเดียวกัน จากมุมมองเชิงกลยุทธ์จึงมีเพียงสามเครื่องหมายแรกที่เป็นไปได้: มุมขอบหรือกึ่งกลาง ผู้เล่น X สามารถชนะหรือบังคับให้เสมอจากเครื่องหมายเริ่มต้นใด ๆ เหล่านี้ อย่างไรก็ตามการเล่นลูกเตะมุมทำให้ฝ่ายตรงข้ามมีทางเลือกที่น้อยที่สุดของช่องสี่เหลี่ยมซึ่งต้องเล่นเพื่อหลีกเลี่ยงการแพ้ ^[17]สิ่งนี้อาจชี้ให้เห็นว่าการเตะมุมเป็นการเปิดที่ดีที่สุดสำหรับ X อย่างไรก็ตามการศึกษาอื่น^[18]แสดงให้เห็นว่าหากผู้เล่นไม่สมบูรณ์แบบการเปิดบอลตรงกลางจะดีที่สุดสำหรับ X

ผู้เล่นคนที่สองซึ่งถูกกำหนดให้เป็น "O" จะต้องตอบสนองต่อเครื่องหมายเปิดของ X ในลักษณะที่จะหลีกเลี่ยงการบังคับให้ชนะ ผู้เล่น O จะต้องตอบสนองต่อการเปิดมุมด้วยเครื่องหมายกลางเสมอและการเปิดตรงกลางด้วยเครื่องหมายมุม ต้องตอบการเปิดขอบด้วยเครื่องหมายกลางเครื่องหมายมุมถัดจาก X หรือเครื่องหมายขอบตรงข้าม X การตอบสนองอื่น ๆ จะทำให้ X บังคับให้ชนะ เมื่อการเปิดเสร็จสิ้นภารกิจของ O คือทำตามรายการลำดับความสำคัญด้านบนเพื่อบังคับให้เสมอมิฉะนั้นจะได้รับชัยชนะหาก X เล่นอ่อน

รายละเอียดเพิ่มเติมเพื่อรับประกันการเสมอ O ควรใช้กลยุทธ์ต่อไปนี้:

ถ้า X เล่นท่าเปิดมุม O ควรอยู่ตรงกลางและจากนั้นเป็นขอบบังคับให้ X บล็อกในการย้ายครั้งต่อไป วิธีนี้จะหยุดไม่ให้เกิดส้อมใด ๆ เมื่อทั้ง X และ O เป็นผู้เล่นที่สมบูรณ์แบบและ X เลือกที่จะเริ่มต้นด้วยการทำเครื่องหมายที่มุม O จะอยู่ตรงกลางและ X จะเข้ามุมตรงข้ามกับต้นฉบับ ในกรณีนี้ O มีอิสระที่จะเลือกขอบใด ๆ เป็นการเคลื่อนที่ครั้งที่สอง อย่างไรก็ตามหาก X ไม่ใช่ผู้เล่นที่สมบูรณ์แบบและได้เล่นลูกเตะมุมแล้วเป็นขอบ O ไม่ควรเล่นขอบตรงข้ามเป็นท่าที่สองเพราะ X จะไม่ถูกบังคับให้บล็อกในการเคลื่อนที่ครั้งต่อไปและสามารถแยกออกได้
หาก X เล่นการเคลื่อนที่แบบเปิดขอบ O ควรอยู่ตรงกลางหรือมุมใดมุมหนึ่งที่อยู่ติดกับ X จากนั้นทำตามรายการลำดับความสำคัญด้านบนโดยให้ความสำคัญกับบล็อกส้อมเป็นหลัก
หาก X เล่นท่าเปิดตรงกลาง O ควรเข้ามุมจากนั้นทำตามรายการลำดับความสำคัญด้านบนโดยให้ความสนใจกับบล็อกส้อมเป็นหลัก

เมื่อ X เล่นมุมก่อนและ O ไม่ใช่ผู้เล่นที่สมบูรณ์แบบสิ่งต่อไปนี้อาจเกิดขึ้น:

หาก O ตอบสนองด้วยเครื่องหมายกลาง (เคลื่อนที่ได้ดีที่สุดสำหรับพวกเขา) ผู้เล่น X ที่สมบูรณ์แบบจะเข้ามุมตรงข้ามกับต้นฉบับ จากนั้น O ควรเล่นขอบ อย่างไรก็ตามหาก O เล่นลูกเตะมุมเป็นท่าที่สองผู้เล่น X ที่สมบูรณ์แบบจะทำเครื่องหมายที่มุมที่เหลือบล็อก 3 แถวเรียงกันของ O และสร้างทางแยกของตัวเอง
ถ้า O ตอบสนองด้วยเครื่องหมายมุม X รับประกันว่าจะชนะโดยเพียงแค่เอาอีกสองมุมใด ๆ จากนั้นไปสุดท้ายด้วยส้อม (เนื่องจากเมื่อ X นำมุมที่สาม O สามารถเข้ารับตำแหน่งระหว่าง X ทั้งสองเท่านั้นจากนั้น X สามารถนำมุมเดียวที่เหลือไปชนะ)
หาก O ตอบสนองด้วยเครื่องหมายขอบแสดงว่า X เป็นผู้ชนะโดยการเข้ากลางจากนั้น O จะเข้าเตะมุมตรงข้ามกับมุมที่ X เล่นก่อนเท่านั้น ในที่สุด X สามารถเข้าเตะมุมเพื่อสร้างทางแยกจากนั้น X จะชนะในการย้ายครั้งต่อไป

รายละเอียดเพิ่มเติม

พิจารณากระดานที่มีเก้าตำแหน่งดังนี้:

1	2	3
4	5	6
7	8	9

เมื่อ X เล่น 1 เป็นท่าเปิด O ควรใช้เวลา 5 จากนั้น X ใช้เวลา 9 (ในสถานการณ์เช่นนี้ O ไม่ควรใช้ 3 หรือ 7 O ควรใช้ 2, 4, 6 หรือ 8):

X1 → O5 → X9 → O2 → X8 → O7 → X3 → O6 → X4 เกมนี้จะเสมอกัน

หรือ 6 (ในสถานการณ์เช่นนี้ O ไม่ควรใช้ 4 หรือ 7 O ควรใช้ 2, 3, 8 หรือ 9 ในความเป็นจริงการรับ 9 เป็นการเคลื่อนที่ที่ดีที่สุดเนื่องจากผู้เล่นที่ไม่สมบูรณ์แบบ X อาจใช้เวลา 4 จากนั้น O สามารถ ชนะ 7)

X1 → O5 → X6 → O2 → X8 จากนั้น O ไม่ควรนำ 3 หรือ X สามารถนำ 7 เพื่อชนะและ O ไม่ควรนำ 4 หรือ X สามารถนำ 9 เพื่อชนะ O ควรใช้ 7 หรือ 9
- X1 → O5 → X6 → O2 → X8 → O7 → X3 → O9 → X4 เกมนี้จะเสมอกัน
- X1 → O5 → X6 → O2 → X8 → O9 → X4 (7) → O7 (4) → X3 เกมนี้จะเสมอกัน
X1 → O5 → X6 → O3 → X7 → O4 → X8 (9) → O9 (8) → X2 เกมนี้จะเสมอกัน
X1 → O5 → X6 → O8 → X2 → O3 → X7 → O4 → X9 เกมนี้จะเสมอกัน
X1 → O5 → X6 → O9 ดังนั้น X ไม่ควรนำ 4 หรือ O สามารถนำ 7 เพื่อชนะ X ควรได้ 2, 3, 7 หรือ 8
- X1 → O5 → X6 → O9 → X2 → O3 → X7 → O4 → X8 เกมนี้จะเสมอกัน
- X1 → O5 → X6 → O9 → X3 → O2 → X8 → O4 (7) → X7 (4) เกมนี้จะเสมอกัน
- X1 → O5 → X6 → O9 → X7 → O4 → X2 (3) → O3 (2) → X8 เกมนี้จะเสมอกัน
- X1 → O5 → X6 → O9 → X8 → O2 (3, 4, 7) → X4 / 7 (4/7, 2/3, 2/3) → O7 / 4 (7/4, 3/2, 3 / 2) → X3 (2, 7, 4) เกมนี้จะเสมอกัน

ในทั้งสองสถานการณ์นี้ (X ใช้เวลา 9 หรือ 6 เป็นท่าที่สอง) X มี a 1/3 ทรัพย์สินที่จะชนะ

หาก X ไม่ใช่ผู้เล่นที่สมบูรณ์แบบ X อาจใช้เวลา 2 หรือ 3 ในการเคลื่อนที่ครั้งที่สอง จากนั้นเกมนี้จะเสมอ X ไม่สามารถชนะได้

X1 → O5 → X2 → O3 → X7 → O4 → X6 → O8 (9) → X9 (8) เกมนี้จะเสมอกัน
X1 → O5 → X3 → O2 → X8 → O4 (6) → X6 (4) → O9 (7) → X7 (9) เกมนี้จะเสมอกัน

หาก X เล่นท่าเปิด 1 ครั้งและ O ไม่ใช่ผู้เล่นที่สมบูรณ์แบบอาจเกิดสิ่งต่อไปนี้:

แม้ว่า O จะอยู่ในตำแหน่งที่ดีเพียงอย่างเดียว (5) ในการเคลื่อนที่ครั้งแรก แต่ O จะอยู่ในตำแหน่งที่ไม่ดีเป็นท่าที่สอง:

X1 → O5 → X9 → O3 → X7 จากนั้น X สามารถชนะ 4 หรือ 8
X1 → O5 → X6 → O4 → X3 จากนั้น X สามารถชนะได้ 7 หรือ 9
X1 → O5 → X6 → O7 → X3 จากนั้น X สามารถชนะ 2 หรือ 9

แม้ว่า O จะอยู่ในตำแหน่งที่ดีในการเคลื่อนไหวสองครั้งแรก แต่ O จะอยู่ในตำแหน่งที่ไม่ดีเป็นท่าที่สาม:

X1 → O5 → X6 → O2 → X8 → O3 → X7 จากนั้น X สามารถชนะ 4 หรือ 9
X1 → O5 → X6 → O2 → X8 → O4 → X9 จากนั้น X สามารถชนะ 3 หรือ 7

O รับตำแหน่งที่ไม่ดีในการเคลื่อนที่ครั้งแรก (ยกเว้น 5 ตำแหน่งอื่น ๆ ทั้งหมดไม่ดี):

X1 → O3 → X7 → O4 → X9 จากนั้น X สามารถชนะ 5 หรือ 8
X1 → O9 → X3 → O2 → X7 จากนั้น X สามารถชนะ 4 หรือ 5
X1 → O2 → X5 → O9 → X7 จากนั้น X สามารถชนะ 3 หรือ 4
X1 → O6 → X5 → O9 → X3 จากนั้น X สามารถชนะ 2 หรือ 7 ได้

รูปแบบต่างๆ

หลายเกมกระดานแบ่งปันองค์ประกอบของความพยายามที่จะเป็นคนแรกที่จะได้รับn -in-a-แถวรวมทั้งสามคนของมอร์ริส , เก้าคนของมอร์ริส , เพน , Gomoku , Qubic , เชื่อมต่อสี่ , Quarto , Gobblet , สั่งซื้อสินค้าและความโกลาหล , โยนข้ามและMojo Tic-tac-toe เป็นตัวอย่างของเกมm, n, kที่ผู้เล่นสองคนผลัดกันเล่นบนกระดานm × nจนกว่าหนึ่งในนั้นจะได้kติดต่อกัน Tic-tac-toe ทั่วไปของ Harary เป็นลักษณะทั่วไปที่กว้างขึ้น เกมสามารถทั่วไปยิ่งขึ้นโดยการเล่นบนพลhypergraphที่แถวhyperedgesและเซลล์มีจุด

รูปแบบอื่น ๆ ของ tic-tac-toe ได้แก่ :

tic-tac-toe 3 มิติบนกระดาน 3 × 3 × 3 ในเกมนี้ผู้เล่นคนแรกจะชนะได้ง่ายโดยการเล่นตรงกลางหาก 2 คนกำลังเล่นอยู่

หนึ่งสามารถเล่นบนกระดาน 4x4 สี่เหลี่ยมชนะได้หลายวิธี การชนะอาจรวมถึง: 4 ในเส้นตรง, 4 ในเส้นทแยงมุม, 4 ในเพชรหรือ 4 เพื่อสร้างสี่เหลี่ยมจัตุรัส

อีกรูปแบบหนึ่งคือQubicเล่นบนกระดาน 4 × 4 × 4; ได้รับการแก้ไขโดยOren Patashnikในปี 1980 (ผู้เล่นคนแรกสามารถบังคับให้ชนะได้) ^[19]การเปลี่ยนแปลงมิติที่สูงขึ้นยังเป็นไปได้ ^[4]

ในความผิดปกติ tic-tac-toe ผู้เล่นจะชนะถ้าฝ่ายตรงข้ามได้nติดต่อกัน ^[20]เกม 3 × 3 คือการเสมอกัน โดยทั่วไปแล้วผู้เล่นคนแรกสามารถจับฉลากหรือชนะบนกระดานใดก็ได้ (ในมิติใดก็ได้) ที่มีความยาวด้านข้างเป็นคี่โดยเล่นในเซลล์กลางก่อนแล้วจึงสะท้อนการเคลื่อนไหวของฝ่ายตรงข้าม ^[4]

ใน tic-tac-toe "ป่า" ผู้เล่นสามารถเลือกที่จะวาง X หรือ O ในการเคลื่อนไหวแต่ละครั้ง ^[21]^[22]^[23]
Number Scrabbleหรือ Pick15 ^[24]เป็นไอโซมอร์ฟิกกับ tic-tac-toe แต่บนพื้นผิวนั้นแตกต่างกันอย่างสิ้นเชิง ^[25]ผู้เล่นสองคนจะพูดตัวเลขระหว่างหนึ่งถึงเก้า จำนวนเฉพาะต้องไม่ซ้ำกัน เกมนี้ชนะโดยผู้เล่นที่ได้พูดถึงตัวเลขสามตัวที่มีผลรวมเท่ากับ 15 ^[24]^[26]หากใช้ตัวเลขทั้งหมดและไม่มีใครได้รับสามหมายเลขที่รวมกันได้ 15 ตัวเกมจะเสมอกัน ^{[24] การ}พล็อตตัวเลขเหล่านี้บนสี่เหลี่ยมวิเศษ 3 × 3 แสดงให้เห็นว่าเกมนั้นสอดคล้องกับ tic-tac-toe ทุกประการเนื่องจากตัวเลขสามตัวจะเรียงกันเป็นเส้นตรงก็ต่อเมื่อรวมกันได้ 15 เท่านั้น^[27]

เกม isomorphic อีกเกมหนึ่งใช้รายการคำที่เลือกมาอย่างดีเก้าคำเช่น "try" "หรือ" be "" on "" any "" boat "" by "" ten "และ" ear " . ผู้เล่นแต่ละคนเลือกหนึ่งคำและเพื่อให้ชนะผู้เล่นจะต้องเลือกสามคำที่มีตัวอักษรเดียวกัน คำอาจถูกพล็อตบนตาราง tic-tac-toe ในลักษณะที่เส้นสามในหนึ่งแถวชนะ ⁽²⁸⁾
ตัวเลข Tic Tac Toe เป็นรูปแบบการประดิษฐ์คิดค้นโดยนักคณิตศาสตร์โรนัลด์เกรแฮม หมายเลข 1 ถึง 9 ใช้ในเกมนี้ ผู้เล่นคนแรกเล่นด้วยเลขคี่ผู้เล่นคนที่สองเล่นด้วยเลขคู่ หมายเลขทั้งหมดสามารถใช้ได้เพียงครั้งเดียว ผู้เล่นที่วาง 15 คะแนนในบรรทัดจะชนะ (ผลรวมของตัวเลข 3 ตัว)
ในปี 1970 มีเกมผู้เล่นสองคนที่สร้างโดยTri-ang Toys & Games ที่เรียกว่าCheck Linesซึ่งกระดานประกอบด้วยหลุมสิบเอ็ดหลุมเรียงเป็นรูปแบบเรขาคณิตของเส้นตรงสิบสองเส้นแต่ละอันมีสามหลุม ผู้เล่นแต่ละคนมีโทเค็นห้าอันและเล่นโดยวางโทเค็นหนึ่งอันในหลุมใดก็ได้ ผู้ชนะคือผู้เล่นคนแรกที่มีการจัดเรียงโทเค็นเป็นสองบรรทัดจากสามบรรทัด (ซึ่งตามความหมายคือเส้นที่ตัดกัน ) หากไม่มีผู้เล่นคนใดชนะในเทิร์นที่สิบเทิร์นต่อมาประกอบด้วยการย้ายโทเค็นของตัวเองไปยังหลุมว่างที่เหลือโดยมีข้อ จำกัด ว่าการเคลื่อนที่นี้สามารถทำได้จากหลุมที่อยู่ติดกันเท่านั้น ^[29]
Quantum tic tac toeช่วยให้ผู้เล่นสามารถวางซ้อนควอนตัมของตัวเลขบนกระดานกล่าวคือการเคลื่อนไหวของผู้เล่นคือ "การซ้อนทับ" ของบทละครในเกมคลาสสิกดั้งเดิม รูปแบบนี้คิดค้นโดย Allan Goff จาก Novatia Labs ^[30]

ชื่อภาษาอังกฤษ

เกมมีชื่อภาษาอังกฤษจำนวนหนึ่ง

Tick-ตะปูนิ้วเท้า, โอเอกซ์, เห็บทททนิ้วเท้าหรือหัวนมทททนิ้วเท้า ( สหรัฐอเมริกา , แคนาดา )
Noughts and crosses or naughts and crosses ( United Kingdom , Republic of Ireland , Australia , New Zealand , South Africa , Zimbabwe , India )
Exy-ozies (ชื่อด้วยวาจาเท่านั้น) ( ไอร์แลนด์เหนือ )
Xs และ Os (ไอร์แลนด์ซิมบับเวแคนาดาอิสราเอลสกอตแลนด์)

บางครั้งเกม tic-tac-toe (ที่ผู้เล่นเพิ่ม "ชิ้น") และมอร์ริสของผู้ชายสามคน (ที่ชิ้นส่วนเริ่มเคลื่อนไหวหลังจากวางจำนวนหนึ่งแล้ว) จะสับสนซึ่งกันและกัน

ในวัฒนธรรมสมัยนิยม

จอร์จคูเปอร์เขียนคำและจอห์นโรเจอร์สโธมัสเขียนเพลงสำหรับเพลง "Tit, Tac, Toe" ^[31]ในปีพ. ศ. 2419
ตอนที่ 452 ของอเมริกันคนนี้ชีวิต^[32]เล่าเรื่องจริงของทีมกฎหมายป้องกันที่พยายามที่จะคว่ำรัฐฟลอริด้าตัดสินใจที่จะดำเนินการป่วยทางจิตใจฆาตกรโดยทึ่งโอเอกซ์เล่นไก่เป็นหลักฐาน เกมอาร์เคดที่มีไก่เล่น tic-tac-toe เป็นที่นิยมในช่วงกลางทศวรรษ 1970 สัตว์ได้รับการฝึกฝนการใช้ผ่าตัดปรับอากาศ , ^[33]ที่มีการเคลื่อนไหวที่ถูกเลือกโดยใช้คอมพิวเตอร์และชี้ให้เห็นไก่ที่มีแสงที่มองไม่เห็นไปยังผู้เล่นของมนุษย์ ^[34]

เกมโชว์ต่างๆมีพื้นฐานมาจาก tic-tac-toe และรูปแบบต่างๆ: ^{[ ต้องการอ้างอิง ]}

ในHollywood Squaresดาราเก้าคนเต็มไปด้วยเซลล์ของตาราง tic-tac-toe ผู้เล่นใส่สัญลักษณ์บนกระดานโดยเห็นด้วยหรือไม่เห็นด้วยกับคำตอบของคนดังสำหรับคำถาม รูปแบบของการแสดงรวมถึงสี่เหลี่ยมนิทานและสแควร์ฮิปฮอป อังกฤษฉบับเป็นสี่เหลี่ยมดารา ออสเตรเลียมีรุ่นต่าง ๆ ภายใต้ชื่อของสแควร์คนดังที่สแควร์บุคลิกภาพและสี่เหลี่ยม All Star
ในTic-Tac-Doughผู้เล่นวางสัญลักษณ์บนกระดานโดยตอบคำถามในหมวดหมู่ต่างๆซึ่งจะสับเปลี่ยนหลังจากผู้เล่นทั้งสองผลัดกันทั้งคู่
ในBeat the Teacherผู้เข้าแข่งขันตอบคำถามเพื่อชนะการเปลี่ยนแปลงเพื่อสร้างอิทธิพลต่อตาราง tic-tac-toe
ในราคาที่ถูกต้องมีรูปแบบประจำชาติหลายเกมกำหนดราคาที่เรียกว่า "Secret X" ซึ่งผู้เล่นจะต้องเดาราคาของรางวัลเล็ก ๆ สองรางวัลเพื่อรับรางวัล Xs (นอกเหนือจาก X ฟรีหนึ่งรางวัล) เพื่อวางบนกระดานเปล่า พวกเขาต้องวาง X ในตำแหน่งเพื่อคาดเดาตำแหน่งของ "secret X" ที่ซ่อนอยู่ในคอลัมน์กลางของกระดานและสร้างเส้น tic-tac-toe ในแนวนอน (ข้าม) หรือแนวทแยงมุม (ไม่อนุญาตให้ใช้เส้นแนวตั้ง) ไม่มี O ในเกมนี้
ในนาทีที่จะชนะเกม Ping Tac Toe มีผู้เข้าแข่งขันคนหนึ่งเล่นเกมโดยมีแก้วน้ำเก้าใบและลูกปิงปองสีขาวและสีส้มโดยพยายามที่จะได้รับสามสีติดต่อกัน เขาต้องสลับสีกันหลังจากลงจอดสำเร็จแต่ละครั้งและต้องระวังอย่าปิดกั้นตัวเอง

ดูสิ่งนี้ด้วย

เฮลส์ - ทฤษฎีบทของชาวยิว
เลือก 15
m, n, k เกม

อ้างอิง

^ Schaefer, สตีฟ (2002) "โซลูชั่น MathRec (โอเอกซ์)" คณิตศาสตร์การพักผ่อนหย่อนใจ สืบค้นเมื่อ18 กันยายน 2558 .
^ W. , Weisstein, Eric. "Tic-Tac-Toe" . mathworld.wolfram.com . สืบค้นเมื่อ12 พฤษภาคม 2560 .
^ ฟามดุ๊ก - เงีย; Park, Seong-Bae (12 พฤศจิกายน 2557). PRICAI 2014: แนวโน้มในปัญญาประดิษฐ์: 13th Pacific Rim ประชุมนานาชาติเกี่ยวกับปัญญาประดิษฐ์ สปริงเกอร์. หน้า 735. ISBN 978-3-319-13560-1.
^ a b c โกลอมบ์โซโลมอนว.; เฮลส์, Alfred W. (2002). "Hypercube โอเอกซ์" (PDF) อีกเกมส์ไม่มีโอกาส (Berkeley, CA, 2000) คณิตศาสตร์. วิทย์. ความละเอียด Inst. มหาชน มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ กด. 42 : 167–182 MR 1973012
^ Zaslavsky, Claudia (1982) Tic Tac Toe: และอื่น ๆ สามในแถวเกมส์จากอียิปต์โบราณไปยังคอมพิวเตอร์ที่ทันสมัย โครเวลล์. ISBN 0-690-04316-3.
^ ปาร์คเกอร์, มาร์ลา (1995). เธอไม่คณิตศาสตร์ !: ปัญหาในชีวิตจริงจากผู้หญิงในงาน สมาคมคณิตศาสตร์แห่งอเมริกา. หน้า 153. ISBN 978-0-88385-702-1.
^ "Tic tac toe โรมันโบราณศตวรรษที่ 1 ก่อนคริสต์ศักราช" . บริษัท ออกแบบ Sweetooth สืบค้นเมื่อ4 ธันวาคม 2559 .
^ “ มอร์ริสเกมส์” . www-cs.canisius.edu .
^ Notes และแบบสอบถาม ชุดที่ 2.VI. หน้า 152 – ผ่านวิกิซอร์ซ [ สแกน ]
^ Oxford English Dictionaryสำหรับ "Noughts and Crosses", "Tick-Tack" และ "Tick-Tack-Toe", dictionary.oed.com
^ ข Wolf, Mark JP (16 สิงหาคม 2555). สารานุกรมของวีดีโอเกมส์: วัฒนธรรมเทคโนโลยีและศิลปะของการเล่นเกม กลุ่มสำนักพิมพ์กรีนวูด หน้า 3–7. ISBN 978-0-313-37936-9.
^ Cohen, DS (12 มีนาคม 2019). "OXO aka เอกซ์และกากบาท" ไลฟ์ไวร์ สืบค้นเมื่อ29 สิงหาคม 2019 .
^ "Tinkertoys และ tic-tac-toe" . ที่เก็บถาวรจากเดิมเมื่อวันที่ 24 สิงหาคม 2007 สืบค้นเมื่อ27 กันยายน 2550 .
^ Bolon, Thomas (2013). วิธีการที่ไม่เคยสูญเสียโอเอกซ์ BookCountry. หน้า 7. ISBN 978-1-4630-0192-6.
^ Delinski, Bernie (21 มกราคม 2557). "ค้นหาแมวใน tic tac toe" . timesdaily.com . ไทม์ รายวัน .
^ เควินคราวลีย์โรเบิร์ตเอส. ซิกเลอร์ (2536) "มีความยืดหยุ่นในการใช้กลยุทธ์หนุ่มเด็กโอเอกซ์" วิทยาศาสตร์ความรู้ความเข้าใจ . 17 (4): 531–561 ดอย : 10.1016 / 0364-0213 (93) 90003-Q .
^ การ์ดเนอร์มาร์ติน (2531) Hexaflexagons และเซ็งคณิตศาสตร์อื่น สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยชิคาโก. ISBN 978-0-226-28254-1.
^ Kutschera, Ant (7 เมษายน 2018). "ย้ายเปิดที่ดีที่สุดในเกมโอเอกซ์เป็น" ห้องครัวในสวนสัตว์ สืบค้นเมื่อ29 สิงหาคม 2019 .
^ Patashnik, Oren (1 กันยายน 2523). "คิวบิก: 4 × 4 × 4 Tic-Tac-Toe" นิตยสารคณิตศาสตร์ . 53 (4): 202–216 ดอย : 10.2307 / 2689613 . ISSN 0025-570X . JSTOR 2689613
^ Averbach, บอนนี่; ไชน์, อรอินทร์ (2543). การแก้ปัญหาผ่านคณิตศาสตร์นันทนาการ สิ่งพิมพ์โดเวอร์. หน้า 252. ISBN 978-0-486-40917-7.
^ เมนเดลสัน, เอลเลียต (2016). แนะนำ Game Theory และแอพพลิเคชั่น ซีอาร์ซี เพรส. หน้า 19. ISBN 978-1-4822-8587-1.
^ "ป่า Tic-Tac-Toe" . ปริศนาในการศึกษา 11 ธันวาคม 2550 . สืบค้นเมื่อ29 สิงหาคม 2019 .
^ Epstein, Richard A. (28 ธันวาคม 2555). ทฤษฎีของการเล่นการพนันและสถิติลอจิก สื่อวิชาการ. หน้า 450. ISBN 978-0-12-397870-7.
^ a b c Juul, Jesper (2011). Half-จริง: วีดีโอเกมส์ระหว่างกฎจริงและโลกสมมุติ สำนักพิมพ์เอ็มไอที หน้า 51. ISBN 978-0-262-51651-8.
^ Michon, John A. (1 มกราคม 2510). "The Game of JAM: An Isomorph of Tic-Tac-Toe" วารสารจิตวิทยาอเมริกัน . 80 (1): 137–140 ดอย : 10.2307 / 1420555 . JSTOR 1420555 PMID 6036351
^ "TicTacToe เวทมนตร์" (PDF) สืบค้นเมื่อ17 ธันวาคม 2559 .
^ "Tic-Tac-Toe เป็น Magic Square" . โอ้เด็ก! ฉันจะทำคณิตศาสตร์! . 30 พฤษภาคม 2558 . สืบค้นเมื่อ29 สิงหาคม 2019 .
^ ชูเมอร์ปีเตอร์ดี. (2004). การเดินทางทางคณิตศาสตร์ . จอห์น ไวลีย์ แอนด์ ซันส์. น. 71–72. ISBN 978-0-171-22066-4.
^ "ตรวจสอบสาย" บอร์ดเกมกี๊ก. สืบค้นเมื่อ29 สิงหาคม 2019 .
^ Goff, Allan (พฤศจิกายน 2549). "Quantum tic-tac-toe: อุปมาการสอนสำหรับการซ้อนทับในกลศาสตร์ควอนตัม" วารสารฟิสิกส์อเมริกัน . College Park, MD: American Association of Physics Teachers 74 (11): 962–973 Bibcode : 2006AmJPh..74..962G . ดอย : 10.1119 / 1.2213635 . ISSN 0002-9505 .
^ “ หัวนมททท. นิ้วเท้า” . หอสมุดรัฐสภา. สืบค้นเมื่อ29 สิงหาคม 2019 .
^ "452: สัตว์ปีกสแลม 2011" ชีวิตแบบอเมริกันนี้ 2 ธันวาคม 2554 . สืบค้นเมื่อ28 พฤษภาคม 2559 .
^ Trillin, Calvin (1 กุมภาพันธ์ 2542). "ไก่หายไป" เดอะนิวยอร์กเกอร์ . ISSN 0028-792X . สืบค้นเมื่อ29 สิงหาคม 2019 .
^ "ทำไมไก่ชนะเกม? ปรับอากาศ" สตาร์ ทริบูน . 28 สิงหาคม 2561 . สืบค้นเมื่อ15 กันยายน 2019 .

ลิงค์ภายนอก

ความหมายตามพจนานุกรมของtic-tac-toeในวิกิพจนานุกรม
สื่อที่เกี่ยวข้องกับTic Tac Toeที่ Wikimedia Commons
"Tic-Tac-Toe" . วุลแฟรมแม ธ เวิลด์ 11 มีนาคม 2545
"นิรุกติศาสตร์ - เหตุใดการผูก Tic-Tac-Toe จึงเรียกว่า" เกมแมว? " " . การใช้ภาษาอังกฤษและการใช้กองแลกเปลี่ยน 5 มีนาคม 2557. - การอภิปรายเกี่ยวกับคำว่า "เกมของแมว" สำหรับเกมวาด tic-tac-toe

[1] Schaefer, สตีฟ (2002) "โซลูชั่น MathRec (โอเอกซ์)" คณิตศาสตร์การพักผ่อนหย่อนใจ สืบค้นเมื่อ18 กันยายน 2558 .

[2] W. , Weisstein, Eric. "Tic-Tac-Toe" . mathworld.wolfram.com . สืบค้นเมื่อ12 พฤษภาคม 2560 .

[3] ฟามดุ๊ก - เงีย; Park, Seong-Bae (12 พฤศจิกายน 2557). PRICAI 2014: แนวโน้มในปัญญาประดิษฐ์: 13th Pacific Rim ประชุมนานาชาติเกี่ยวกับปัญญาประดิษฐ์ สปริงเกอร์. หน้า 735. ISBN 978-3-319-13560-1.

[gh02-4] โกลอมบ์โซโลมอนว.; เฮลส์, Alfred W. (2002). "Hypercube โอเอกซ์" (PDF) อีกเกมส์ไม่มีโอกาส (Berkeley, CA, 2000) คณิตศาสตร์. วิทย์. ความละเอียด Inst. มหาชน มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ กด. 42 : 167–182 MR 1973012

[5] Zaslavsky, Claudia (1982) Tic Tac Toe: และอื่น ๆ สามในแถวเกมส์จากอียิปต์โบราณไปยังคอมพิวเตอร์ที่ทันสมัย โครเวลล์. ISBN 0-690-04316-3.

[6] ปาร์คเกอร์, มาร์ลา (1995). เธอไม่คณิตศาสตร์ !: ปัญหาในชีวิตจริงจากผู้หญิงในงาน สมาคมคณิตศาสตร์แห่งอเมริกา. หน้า 153. ISBN 978-0-88385-702-1.

[7] "Tic tac toe โรมันโบราณศตวรรษที่ 1 ก่อนคริสต์ศักราช" . บริษัท ออกแบบ Sweetooth สืบค้นเมื่อ4 ธันวาคม 2559 .

[8] “ มอร์ริสเกมส์” . www-cs.canisius.edu .

[9] Notes และแบบสอบถาม ชุดที่ 2.VI. หน้า 152 – ผ่านวิกิซอร์ซ [ สแกน ]

[10] Oxford English Dictionaryสำหรับ "Noughts and Crosses", "Tick-Tack" และ "Tick-Tack-Toe", dictionary.oed.com

[EDSAC-11] ข Wolf, Mark JP (16 สิงหาคม 2555). สารานุกรมของวีดีโอเกมส์: วัฒนธรรมเทคโนโลยีและศิลปะของการเล่นเกม กลุ่มสำนักพิมพ์กรีนวูด หน้า 3–7. ISBN 978-0-313-37936-9.

[12] Cohen, DS (12 มีนาคม 2019). "OXO aka เอกซ์และกากบาท" ไลฟ์ไวร์ สืบค้นเมื่อ29 สิงหาคม 2019 .

[13] "Tinkertoys และ tic-tac-toe" . ที่เก็บถาวรจากเดิมเมื่อวันที่ 24 สิงหาคม 2007 สืบค้นเมื่อ27 กันยายน 2550 .

[:0-14] Bolon, Thomas (2013). วิธีการที่ไม่เคยสูญเสียโอเอกซ์ BookCountry. หน้า 7. ISBN 978-1-4630-0192-6.

[15] Delinski, Bernie (21 มกราคม 2557). "ค้นหาแมวใน tic tac toe" . timesdaily.com . ไทม์ รายวัน .

[16] เควินคราวลีย์โรเบิร์ตเอส. ซิกเลอร์ (2536) "มีความยืดหยุ่นในการใช้กลยุทธ์หนุ่มเด็กโอเอกซ์" วิทยาศาสตร์ความรู้ความเข้าใจ . 17 (4): 531–561 ดอย : 10.1016 / 0364-0213 (93) 90003-Q .

[17] การ์ดเนอร์มาร์ติน (2531) Hexaflexagons และเซ็งคณิตศาสตร์อื่น สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยชิคาโก. ISBN 978-0-226-28254-1.

[18] Kutschera, Ant (7 เมษายน 2018). "ย้ายเปิดที่ดีที่สุดในเกมโอเอกซ์เป็น" ห้องครัวในสวนสัตว์ สืบค้นเมื่อ29 สิงหาคม 2019 .

[19] Patashnik, Oren (1 กันยายน 2523). "คิวบิก: 4 × 4 × 4 Tic-Tac-Toe" นิตยสารคณิตศาสตร์ . 53 (4): 202–216 ดอย : 10.2307 / 2689613 . ISSN 0025-570X . JSTOR 2689613

[20] Averbach, บอนนี่; ไชน์, อรอินทร์ (2543). การแก้ปัญหาผ่านคณิตศาสตร์นันทนาการ สิ่งพิมพ์โดเวอร์. หน้า 252. ISBN 978-0-486-40917-7.

[21] เมนเดลสัน, เอลเลียต (2016). แนะนำ Game Theory และแอพพลิเคชั่น ซีอาร์ซี เพรส. หน้า 19. ISBN 978-1-4822-8587-1.

[:02-22] "ป่า Tic-Tac-Toe" . ปริศนาในการศึกษา 11 ธันวาคม 2550 . สืบค้นเมื่อ29 สิงหาคม 2019 .

[:1-23] Epstein, Richard A. (28 ธันวาคม 2555). ทฤษฎีของการเล่นการพนันและสถิติลอจิก สื่อวิชาการ. หน้า 450. ISBN 978-0-12-397870-7.

[:8-24] Juul, Jesper (2011). Half-จริง: วีดีโอเกมส์ระหว่างกฎจริงและโลกสมมุติ สำนักพิมพ์เอ็มไอที หน้า 51. ISBN 978-0-262-51651-8.

[25] Michon, John A. (1 มกราคม 2510). "The Game of JAM: An Isomorph of Tic-Tac-Toe" วารสารจิตวิทยาอเมริกัน . 80 (1): 137–140 ดอย : 10.2307 / 1420555 . JSTOR 1420555 PMID 6036351

[26] "TicTacToe เวทมนตร์" (PDF) สืบค้นเมื่อ17 ธันวาคม 2559 .

[27] "Tic-Tac-Toe เป็น Magic Square" . โอ้เด็ก! ฉันจะทำคณิตศาสตร์! . 30 พฤษภาคม 2558 . สืบค้นเมื่อ29 สิงหาคม 2019 .

[28] ชูเมอร์ปีเตอร์ดี. (2004). การเดินทางทางคณิตศาสตร์ . จอห์น ไวลีย์ แอนด์ ซันส์. น. 71–72. ISBN 978-0-171-22066-4.

[29] "ตรวจสอบสาย" บอร์ดเกมกี๊ก. สืบค้นเมื่อ29 สิงหาคม 2019 .

[30] Goff, Allan (พฤศจิกายน 2549). "Quantum tic-tac-toe: อุปมาการสอนสำหรับการซ้อนทับในกลศาสตร์ควอนตัม" วารสารฟิสิกส์อเมริกัน . College Park, MD: American Association of Physics Teachers 74 (11): 962–973 Bibcode : 2006AmJPh..74..962G . ดอย : 10.1119 / 1.2213635 . ISSN 0002-9505 .

[31] “ หัวนมททท. นิ้วเท้า” . หอสมุดรัฐสภา. สืบค้นเมื่อ29 สิงหาคม 2019 .

[32] "452: สัตว์ปีกสแลม 2011" ชีวิตแบบอเมริกันนี้ 2 ธันวาคม 2554 . สืบค้นเมื่อ28 พฤษภาคม 2559 .

[33] Trillin, Calvin (1 กุมภาพันธ์ 2542). "ไก่หายไป" เดอะนิวยอร์กเกอร์ . ISSN 0028-792X . สืบค้นเมื่อ29 สิงหาคม 2019 .

[34] "ทำไมไก่ชนะเกม? ปรับอากาศ" สตาร์ ทริบูน . 28 สิงหาคม 2561 . สืบค้นเมื่อ15 กันยายน 2019 .

[1]

	s	R ฉันs อี	s o	→ s
	r a n	ฉันn	o n e	→ n
	ทีอี	ฉันt	r o t	→ T
↙ อี	↓ a	↓ ผม	↓ o	↘ r