พื้นที่สามมิติ

จาก Wikipedia สารานุกรมเสรี
ข้ามไปที่การนำทางข้ามไปที่การค้นหา
การแสดงระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสามมิติโดยแกนxชี้ไปที่ผู้สังเกต

ปริภูมิสามมิติ (เช่น: ช่องว่าง 3 มิติหรือช่องว่างสามมิติ ) คือการตั้งค่าทางเรขาคณิตที่ต้องใช้ค่าสามค่า (เรียกว่าพารามิเตอร์ ) เพื่อกำหนดตำแหน่งขององค์ประกอบ (เช่นจุด ) นี่คือความหมายทางการของคำว่ามิติ

ในฟิสิกส์และคณิตศาสตร์เป็นลำดับของn หมายเลขสามารถเข้าใจได้เป็นสถานที่ในnพื้นที่มิติ เมื่อn = 3ชุดของตำแหน่งดังกล่าวทั้งหมดจะถูกเรียกพื้นที่แบบยุคลิดสามมิติ (หรือเพียงแค่ช่องว่างแบบยุคลิดเมื่อบริบทชัดเจน) มันเป็นตัวแทนโดยทั่วไปสัญลักษณ์ 3 [1] [2]สิ่งนี้ทำหน้าที่เป็นแบบจำลองสามพารามิเตอร์ของเอกภพทางกายภาพ(นั่นคือส่วนเชิงพื้นที่โดยไม่คำนึงถึงเวลา) ซึ่งสสารที่ทราบทั้งหมดมีอยู่ ในขณะที่พื้นที่นี้ยังคงเป็นวิธีที่น่าสนใจที่สุดและมีประโยชน์ในการจำลองโลกมันเป็นประสบการณ์[3]มันก็เป็นเพียงหนึ่งในตัวอย่างของความหลากหลายของพื้นที่ในสามมิติที่เรียกว่า3 manifoldsในตัวอย่างคลาสสิกนี้เมื่อค่าทั้งสามอ้างถึงการวัดในทิศทางที่ต่างกัน ( พิกัด) สามารถเลือกทิศทางใดก็ได้สามทิศทางโดยที่เวกเตอร์ในทิศทางเหล่านี้ไม่ได้อยู่ในพื้นที่2 ช่อง ( ระนาบ ) เดียวกันทั้งหมด นอกจากนี้ในกรณีนี้ทั้งสามค่าสามารถระบุว่าจากการรวมกันของสามใด ๆ ที่ได้รับการแต่งตั้งจากข้อตกลงความกว้าง , ความสูง , ความลึกและความยาว

ในเรขาคณิตแบบยุคลิด[ แก้]

ระบบพิกัด[ แก้ไข]

ในคณิตศาสตร์เรขาคณิตวิเคราะห์ (เรียกอีกอย่างว่าเรขาคณิตคาร์ทีเซียน) อธิบายทุกจุดในปริภูมิสามมิติโดยใช้พิกัดสามมีการกำหนดแกนพิกัดสามแกนแต่ละแกนตั้งฉากกับอีกสองแกนที่จุดกำเนิดจุดที่พวกมันข้าม พวกเขามักจะมีป้ายกำกับX , YและZเมื่อเทียบกับแกนเหล่านี้ตำแหน่งของจุดใด ๆ ในปริภูมิสามมิติจะได้รับจากจำนวนจริงสามเท่าที่เรียงลำดับโดยแต่ละตัวเลขจะให้ระยะห่างของจุดนั้นจากจุดกำเนิดที่วัดตามแกนที่กำหนดซึ่งเท่ากับระยะทางของจุดนั้น จุดจากระนาบกำหนดโดยอีกสองแกน[4]

วิธีการอื่น ๆ ที่ได้รับความนิยมในการอธิบายตำแหน่งของจุดในปริภูมิสามมิติ ได้แก่พิกัดทรงกระบอกและพิกัดทรงกลมแม้ว่าจะมีวิธีการที่เป็นไปได้ไม่ จำกัด จำนวนก็ตาม สำหรับข้อมูลเพิ่มเติมโปรดดูที่พื้นที่ Euclidean

ด้านล่างนี้เป็นภาพของระบบดังกล่าวข้างต้น

เส้นและเครื่องบิน[ แก้ไข]

สองจุดที่แตกต่างกันเสมอกำหนด (ตรง) บรรทัด จุดที่แตกต่างกันสามจุดคือcollinearหรือกำหนดระนาบเฉพาะ ในทางกลับกันจุดที่แตกต่างกันสี่จุดสามารถเป็น collinear, coplanarหรือกำหนดพื้นที่ทั้งหมดได้

เส้นที่แตกต่างกันสองเส้นสามารถตัดกันขนานกันหรือเอียงได้ เส้นขนานสองเส้นหรือเส้นตัดกันสองเส้นอยู่ในระนาบที่ไม่ซ้ำกันดังนั้นเส้นเอียงจึงเป็นเส้นที่ไม่บรรจบกันและไม่อยู่ในระนาบทั่วไป

เครื่องบินสองลำที่แตกต่างกันสามารถมาบรรจบกันในแนวเดียวกันหรือขนานกัน (กล่าวคือไม่บรรจบกัน) เครื่องบินสามลำที่แตกต่างกันไม่มีคู่ใดขนานกันสามารถพบกันในแนวเดียวกันพบกันในจุดร่วมที่ไม่ซ้ำกันหรือไม่มีจุดที่เหมือนกัน ในกรณีสุดท้ายเส้นตัดสามเส้นของเครื่องบินแต่ละคู่จะขนานกัน

เส้นสามารถอยู่ในระนาบที่กำหนดตัดกับระนาบนั้นในจุดที่ไม่ซ้ำกันหรือขนานกับระนาบ ในกรณีสุดท้ายจะมีเส้นในระนาบที่ขนานกับเส้นที่กำหนด

ไฮเปอร์เพลเป็นสเปซของอีกมิติหนึ่งน้อยกว่าขนาดของพื้นที่เต็ม ไฮเปอร์เพลนของปริภูมิสามมิติคือพื้นที่ย่อยสองมิตินั่นคือระนาบ ในแง่ของพิกัดคาร์ทีเซียนจุดของไฮเปอร์เพลนเป็นไปตามสมการเชิงเส้นเดียวดังนั้นระนาบในช่องว่าง 3 ช่องนี้จึงอธิบายโดยสมการเชิงเส้น เส้นสามารถอธิบายได้ด้วยสมการเชิงเส้นอิสระคู่หนึ่งแสดงถึงระนาบที่มีเส้นนี้เป็นจุดตัดร่วม

ทฤษฎีบทของ Varignonระบุว่าจุดกึ่งกลางของรูปสี่เหลี่ยมใด ๆ ในℝ 3เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานและด้วยเหตุนี้จึงเป็น coplanar

ทรงกลมและลูกบอล[ แก้ไข]

การฉายภาพมุมมองของทรงกลมไปยังสองมิติ

ทรงกลมใน 3 พื้นที่ (เรียกว่ายังมี2 ทรงกลมเพราะมันเป็นวัตถุ 2 มิติ) ประกอบด้วยชุดของทุกจุดใน 3 พื้นที่ในระยะคงที่RจากจุดกลางP ของแข็งที่ล้อมรอบด้วยทรงกลมเรียกว่าลูกบอล (หรืออย่างแม่นยำกว่าคือ3 ลูก ) ปริมาตรของลูกบอลถูกกำหนดโดย

.

ประเภทของทรงกลมหนึ่งเกิดขึ้นจาก 4 ลูกซึ่งมีพื้นผิวสามมิติเป็น3 ทรงกลม : จุดมีระยะเท่ากันกับที่มาของพื้นที่ยุคลิด 4 หากจุดมีพิกัดP ( x , y , z , w )ดังนั้นx 2 + y 2 + z 2 + w 2 = 1 จะแสดงลักษณะของจุดเหล่านั้นบนหน่วยทรงกลม 3 จุดที่มีศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด

Polytopes [ แก้ไข]

ในสามมิติมี polytopes ปกติเก้าชิ้น: ของแข็ง Platonicนูนห้าชิ้นและรูปทรงหลายเหลี่ยมแบบไม่นูนKepler-Poinsotสี่ชิ้น

polytopes ปกติในสามมิติ
คลาสของแข็งสงบKepler-Poinsot polyhedra
สมมาตรทงO hฉันh
กลุ่ม Coxeter3 , [3,3]B 3 , [4,3]ชั่วโมง3 , [5,3]
ใบสั่ง2448120
รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ
{3,3}

{4,3}

{3,4}

{5,3}

{3,5}

{5 / 2,5}

{5,5 / 2}

{5 / 2,3}

{3,5 / 2}

พื้นผิวแห่งการปฏิวัติ[ แก้ไข]

พื้นผิวที่เกิดจากการหมุนระนาบโค้งเกี่ยวกับสายคงอยู่ในระนาบที่เป็นแกนเรียกว่าพื้นผิวของการปฏิวัติ เส้นโค้งของระนาบเรียกว่าgeneratrixของพื้นผิว ส่วนของพื้นผิวที่ทำโดยการตัดกันพื้นผิวด้วยระนาบที่ตั้งฉาก (มุมฉาก) กับแกนเป็นวงกลม

ตัวอย่างง่ายๆเกิดขึ้นเมื่อ generatrix เป็นเส้น ถ้าเส้นเจเนอเรตริกซ์ตัดกับเส้นแกนพื้นผิวของการปฏิวัติจะเป็นรูปกรวยวงกลมด้านขวาที่มีจุดยอด (จุดยอด) เป็นจุดตัด แต่ถ้า generatrix และแกนขนานแล้วพื้นผิวของการปฏิวัติเป็นวงกลมทรงกระบอก

พื้นผิวรูปสี่เหลี่ยม[ แก้ไข]

ในการเปรียบเทียบกับภาคตัดกรวยชุดของจุดที่พิกัดคาร์ทีเซียนเป็นไปตามสมการทั่วไปของระดับที่สองคือ

ที่, B , C , F , G , H , J , K , LและMตัวเลขจริงและไม่ทั้งหมดของ, B , C , F , GและHเป็นศูนย์ที่เรียกว่าผิว quadric [5]

พื้นผิวรูปสี่เหลี่ยมที่ไม่เสื่อมสภาพมีหกประเภท:

  1. วงรี
  2. Hyperboloid ของแผ่นเดียว
  3. Hyperboloid จำนวนสองแผ่น
  4. กรวยรูปไข่
  5. พาราโบลารูปไข่
  6. ไฮเพอร์โบลิกพาราโบลา

พื้นผิวรูปสี่เหลี่ยมที่เสื่อมสภาพคือเซตว่างจุดเดียวเส้นเดียวระนาบเดียวระนาบคู่หรือทรงกระบอกกำลังสอง (พื้นผิวประกอบด้วยส่วนรูปกรวยที่ไม่เสื่อมสภาพในระนาบπและเส้นทั้งหมดของ3ผ่านรูปกรวยที่เป็นปกติกับπ ) [5]กรวยรูปไข่บางครั้งถือว่าเป็นพื้นผิวรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่เสื่อมสภาพเช่นกัน

ทั้งไฮเปอร์โบลอยด์ของแผ่นเดียวและไฮเพอร์โบลิกพาราโบลาเป็นพื้นผิวที่ถูกกำหนดไว้ซึ่งหมายความว่าสามารถสร้างขึ้นจากกลุ่มของเส้นตรง ในความเป็นจริงแต่ละครอบครัวมีสายการสร้างสองสายสมาชิกของแต่ละครอบครัวไม่ปะติดปะต่อกันและสมาชิกแต่ละคนในครอบครัวหนึ่งตัดกันโดยมีข้อยกเว้นเพียงหนึ่งเดียวคือสมาชิกทุกคนในครอบครัวอื่น ๆ [6]แต่ละครอบครัวเรียกว่าเรกูลั

ในพีชคณิตเชิงเส้น[ แก้ไข]

อีกวิธีหนึ่งในการดูพื้นที่สามมิติพบได้ในพีชคณิตเชิงเส้นซึ่งแนวคิดเรื่องความเป็นอิสระเป็นสิ่งสำคัญ ช่องว่างมีสามมิติเนื่องจากความยาวของกล่องไม่ขึ้นอยู่กับความกว้างหรือความกว้าง ในภาษาทางเทคนิคของพีชคณิตเชิงเส้นพื้นที่สามมิติเพราะจุดในพื้นที่ทุกคนสามารถอธิบายได้ด้วยการรวมกันเชิงเส้นของสามอิสระเวกเตอร์

ผลิตภัณฑ์ดอทมุมและความยาว[ แก้ไข]

เวกเตอร์สามารถแสดงเป็นลูกศร ขนาดของเวกเตอร์คือความยาวและทิศทางคือทิศทางที่ลูกศรชี้ เวกเตอร์ใน3สามารถแทนด้วยจำนวนจริงสามลำดับ ตัวเลขเหล่านี้เรียกว่าส่วนประกอบของเวกเตอร์

จุดผลคูณของเวกเตอร์สองเวกเตอร์A = [ A 1 , A 2 , A 3 ]และB = [ B 1 , B 2 , B 3 ]ถูกกำหนดให้เป็น: [7]

ขนาดของเวกเตอร์Aแสดงโดย|| A || . ผลคูณดอทของเวกเตอร์A = [ A 1 , A 2 , A 3 ] ที่มีตัวมันเองคือ

ซึ่งจะช่วยให้

สูตรสำหรับความยาวแบบยุคลิดของเวกเตอร์

โดยไม่ต้องอ้างอิงถึงส่วนประกอบของเวกเตอร์ผลิตภัณฑ์ดอทของเวกเตอร์แบบยุคลิดที่ไม่ใช่ศูนย์สองตัวAและBจะได้รับจาก[8]

ที่θคือมุมระหว่างและB

ข้ามผลิตภัณฑ์[ แก้ไข]

สินค้าข้ามหรือเวกเตอร์สินค้าเป็นดำเนินการทวิภาคสองเวกเตอร์ในสามมิติพื้นที่และจะเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์× ผลคูณกากบาทa × bของเวกเตอร์aและbคือเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับทั้งคู่และเป็นปกติของระนาบที่มีพวกมัน แต่ก็มีการใช้งานมากในวิชาคณิตศาสตร์ฟิสิกส์และวิศวกรรม

ช่องว่างและผลคูณเป็นพีชคณิตเหนือเขตข้อมูลซึ่งไม่มีทั้งการสับเปลี่ยนหรือเชื่อมโยงแต่เป็นพีชคณิตโกหกที่มีผลคูณไขว้เป็นวงเล็บโกหก

หนึ่งกระป๋องในnมิตินำผลคูณของเวกเตอร์n - 1มาสร้างเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับพวกมันทั้งหมด แต่ถ้าผลิตภัณฑ์ถูก จำกัด เฉพาะผลิตภัณฑ์ไบนารีที่ไม่สำคัญที่มีผลลัพธ์แบบเวกเตอร์ผลิตภัณฑ์นั้นจะมีอยู่ในมิติสามและเจ็ดเท่านั้น [9]

ผลิตภัณฑ์ข้ามผลิตภัณฑ์ที่เกี่ยวข้องกับระบบพิกัดทางขวา

ในแคลคูลัส[ แก้ไข]

ไล่ระดับสีความแตกต่างและความโค้งงอ[ แก้ไข]

ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมการไล่ระดับสีจะถูกกำหนดโดย

ความแตกต่างของฟิลด์เวกเตอร์ที่แตกต่างอย่างต่อเนื่อง F = U i + V j + W kเท่ากับฟังก์ชันค่าสเกลาร์ :

ขยายในพิกัดคาร์ทีเซียน (ดูDel ในพิกัดทรงกระบอกและทรงกลมสำหรับการแทนพิกัดทรงกลมและทรงกระบอก ) curl ∇× FคือสำหรับFประกอบด้วย [ F x , F y , F z ]:

โดยที่i , jและkเป็นเวกเตอร์หน่วยของx -, y - และz -ax ตามลำดับ สิ่งนี้ขยายได้ดังนี้: [10]

ปริพันธ์ของเส้นปริพันธ์พื้นผิวและปริพันธ์ปริมาตร[ แก้ไข]

สำหรับบางเกลาฟิลด์  : UR nRที่หนึ่งบรรทัดพร้อมค่เรียบ โค้ง CUถูกกำหนดให้เป็น

ที่R : [a, b] → Cเป็นพลbijective และตัวแปรของเส้นโค้งCเช่นว่าR ( ) และR ( ) ให้ปลายทางของCและ

สำหรับฟิลด์เวกเตอร์ F  : UR nR nเส้นอินทิกรัลตามเส้นโค้งเรียบ เป็นชิ้นCUในทิศทางของrกำหนดเป็น

ที่·เป็นสินค้า dotและR : [a, b] → Cเป็นbijective และตัวแปรของเส้นโค้งCเช่นว่าR ( ) และR ( ) ให้ปลายทางของC

หนึ่งพื้นผิว เป็นลักษณะทั่วไปของปริพันธ์หลายเพื่อบูรณาการกว่าพื้นผิวมันอาจจะคิดว่าเป็นหนึ่งคู่อนาล็อกของหนึ่งบรรทัดเพื่อหาสูตรที่ชัดเจนสำหรับหนึ่งพื้นผิวที่เราจำเป็นต้องparameterizeพื้นผิวของดอกเบี้ยSโดยพิจารณาระบบของcurvilinear พิกัดบนSเช่นละติจูดและลองจิจูดบนทรงกลมให้พารามิเตอร์ดังกล่าวเป็นx ( s , t ) โดยที่ ( s , t) แตกต่างกันไปในภูมิภาคบางTในเครื่องบิน จากนั้นอินทิกรัลพื้นผิวจะถูกกำหนดโดย

ที่แสดงออกระหว่างบาร์บนด้านขวามือเป็นขนาดของสินค้าข้ามของอนุพันธ์ของx ( s , T ) และเป็นที่รู้จักกันพื้นผิวองค์ประกอบ เมื่อกำหนดฟิลด์เวกเตอร์vบนSนั่นคือฟังก์ชันที่กำหนดให้กับแต่ละxในSเวกเตอร์v ( x ) อินทิกรัลพื้นผิวสามารถกำหนดองค์ประกอบได้อย่างชาญฉลาดตามคำจำกัดความของอินทิกรัลพื้นผิวของฟิลด์สเกลาร์ ผลลัพธ์คือเวกเตอร์

หนึ่งปริมาณหมายถึงหนึ่งกว่า 3- มิติโดเมน

นอกจากนี้ยังสามารถหมายถึงอินทิกรัลสามตัวภายในพื้นที่DในR 3ของฟังก์ชัน และโดยปกติจะเขียนเป็น:

ทฤษฎีบทพื้นฐานของปริพันธ์เชิงเส้น[ แก้ไข]

ทฤษฎีบทมูลฐานของปริพันธ์บรรทัดกล่าวว่าหนึ่งบรรทัดผ่านลาดฟิลด์สามารถประเมินโดยการประเมินสนามสเกลาร์เดิมที่จุดสิ้นสุดของเส้นโค้ง

ให้. แล้ว

ทฤษฎีบทของสโตกส์[ แก้ไข]

ทฤษฎีบทของสโตกส์เกี่ยวข้องกับอินทิกรัลพื้นผิวของการโค้งงอของสนามเวกเตอร์ F เหนือพื้นผิวΣในปริภูมิสามยุคแบบยุคลิดกับเส้นอินทิกรัลของสนามเวกเตอร์เหนือขอบเขตของมัน∂Σ:

ทฤษฎีบทความแตกต่าง[ แก้ไข]

สมมติว่าVเป็นเซตย่อยของ(ในกรณีของn = 3, Vหมายถึงปริมาตรในพื้นที่ 3 มิติ) ซึ่งมีขนาดกะทัดรัดและมีขอบเขตเรียบทีละชิ้นS (ระบุด้วยV = S ) ถ้าFเป็นสนามเวกเตอร์อนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่องกำหนดไว้ในพื้นที่ใกล้เคียงของVแล้วทฤษฎีบทแตกต่างพูดว่า: [11]

\ oiint

ด้านซ้ายเป็นหนึ่งปริมาณมากกว่าระดับเสียงVด้านขวาเป็นหนึ่งพื้นผิวมากกว่าขอบเขตของไดรฟ์V นานาปิดVค่อนข้างทั่วไปขอบเขตของVโดยเน้นออกไปด้านนอกชี้ภาวะปกติและnเป็นออกไปด้านนอกชี้หน่วยฟิลด์ปกติของเขตแดน V ( d Sอาจใช้เป็นชวเลขสำหรับn dS )

ในโทโพโลยี[ แก้ไข]

โลโก้ลูกโลกของWikipediaในรูปแบบ 3 มิติ

ปริภูมิสามมิติมีคุณสมบัติทอพอโลยีหลายประการที่แยกความแตกต่างจากช่องว่างของตัวเลขมิติอื่น ๆ ตัวอย่างเช่นต้องมีอย่างน้อยสามมิติในการผูกปมในสตริง [12]

ในเรขาคณิตต่างกันทั่วไปพื้นที่สามมิติเป็น3 แมนิโฟลซึ่งมีลักษณะคล้ายกับท้องถิ่น

ในรูปทรงเรขาคณิต จำกัด[ แก้ไข]

ความคิดหลายมิติที่สามารถทดสอบได้ด้วยรูปทรงเรขาคณิต จำกัด อินสแตนซ์ที่ง่ายที่สุดคือPG (3,2)ซึ่งมีเครื่องบิน Fanoเป็นพื้นที่ย่อย 2 มิติ มันเป็นตัวอย่างของGalois เรขาคณิตการศึกษาเรขาคณิต projectiveใช้ฟิลด์ จำกัด ดังนั้นสำหรับฟิลด์ Galois GF ( q ) ใด ๆจึงมีพื้นที่ฉายภาพ PG (3, q ) ของสามมิติ ตัวอย่างเช่นเส้นเอียงสามเส้นใน PG (3, q ) มีอยู่ในเรกูลัสเดียว [13]

ดูเพิ่มเติม[ แก้ไข]

  • การวิเคราะห์มิติ
  • ระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังเครื่องบิน
  • พื้นที่สี่มิติ
  • เส้นเอียง§ระยะทาง
  • กราฟสามมิติ
  • พื้นที่สองมิติ

หมายเหตุ[ แก้ไข]

  1. ^ "ย่อของคณิตศาสตร์สัญลักษณ์" คณิตศาสตร์ห้องนิรภัย 2020-03-01 . สืบค้นเมื่อ2020-08-12 .
  2. ^ "อวกาศยุคลิด - สารานุกรมคณิตศาสตร์" . encyclopediaofmath.org . สืบค้นเมื่อ2020-08-12 .
  3. ^ "อวกาศยุคลิด | เรขาคณิต" . สารานุกรมบริแทนนิกา. สืบค้นเมื่อ2020-08-12 .
  4. ^ ฮิวจ์ Hallett เดบอราห์; แม็คคอลลัมวิลเลียมจี; กลีสัน, Andrew M. (2013). Calculus: Single and Multivariable (6 ed.). จอห์นไวลีย์ ISBN 978-0470-88861-2.
  5. ^ a b Brannan, Esplen & Grey 1999 , หน้า 34–5
  6. ^ Brannan, Esplen และสีเทา 1999 , PP. 41-2
  7. ^ แอนตัน 1994พี 133
  8. ^ แอนตัน 1994พี 131
  9. ^ WS Massey (2526). "ผลิตภัณฑ์ข้ามเวกเตอร์ในช่องว่างแบบยุคลิดมิติที่สูงขึ้น". อเมริกันคณิตศาสตร์รายเดือน 90 (10): 697–701 ดอย : 10.2307 / 2323537 . JSTOR 2323537 หากต้องการคุณสมบัติพื้นฐานเพียงสามประการของผลิตภัณฑ์ไขว้ ... ปรากฎว่าผลคูณไขว้ของเวกเตอร์มีอยู่ในปริภูมิแบบยุคลิด 3 มิติและ 7 มิติเท่านั้น 
  10. ^ Arfken, น. 43.
  11. ^ MR Spiegel; S. Lipschutz; ง. สเปลล์แมน (2552). การวิเคราะห์เวกเตอร์ โครงร่างของ Schaum (ฉบับที่ 2) สหรัฐอเมริกา: McGraw Hill ISBN 978-0-07-161545-7.
  12. ^ Rolfsen เดล (1976) นอตและลิงค์ Berkeley, California: เผยแพร่หรือพินาศ ISBN 0-914098-16-0.
  13. ^ Albrecht Beutelspacherและมาหา Rosenbaum (1998) Projective เรขาคณิต , หน้า 72,มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์กด ISBN 0-521-48277-1 

อ้างอิง[ แก้ไข]

  • Anton, Howard (1994), Elementary Linear Algebra (7th ed.), John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-58742-2
  • Arfken, George B.และ Hans J. วิธีการทางคณิตศาสตร์สำหรับนักฟิสิกส์สำนักพิมพ์วิชาการ ฉบับที่ 6 (21 มิถุนายน 2548). ISBN 978-0-12-059876-2 
  • บรานแนน, เดวิดเอ; เอสเปลนแมทธิวเอฟ; เกรย์เจเรมีเจ (2542) เรขาคณิตสำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ISBN 978-0-521-59787-6

ลิงก์ภายนอก[ แก้ไข]

  • ความหมายตามพจนานุกรมของสามมิติที่วิกิพจนานุกรม
  • Weisstein, Eric W. "เรขาคณิตสี่มิติ" . แม ธ เวิลด์
  • พีชคณิตเชิงเส้นเบื้องต้น - บทที่ 8: เรขาคณิตสามมิติ Keith Matthews จากมหาวิทยาลัยควีนส์แลนด์ปี 1991