Tesseract

ในรูปทรงเรขาคณิตที่Tesseractเป็นสี่มิติอะนาล็อกของก้อน ; Tesseract คือการก้อนเป็นก้อนเป็นไปตาราง [1]เช่นเดียวกับพื้นผิวของก้อนประกอบด้วยหกตารางใบหน้าที่hypersurfaceของ Tesseract ประกอบด้วยแปดลูกบาศก์เซลล์ Tesseract เป็นหนึ่งในหกนูนปกติ 4

Tesseract
8 เซลล์
4 คิวบ์
โครงลวด Schlegel 8-cell.png
ประเภทนูนปกติ 4 เหลี่ยม
สัญลักษณ์Schläfli{4,3,3}
t 0,3 {4,3,2} หรือ {4,3} × {}
t 0,2 {4,2,4} หรือ {4} × {4}
t 0,2 , 3 {4,2,2} หรือ {4} × {} × {}
t 0,1,2,3 {2,2,2} หรือ {} × {} × {} × {}
แผนภาพ Coxeterโหนด CDel 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
โหนด CDel 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 2.pngโหนด CDel 1.png
โหนด CDel 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 2.pngโหนด CDel 1.pngCDel 4.pngCDel node.png
โหนด CDel 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 2.pngโหนด CDel 1.pngCDel 2.pngโหนด CDel 1.png
โหนด CDel 1.pngCDel 2.pngโหนด CDel 1.pngCDel 2.pngโหนด CDel 1.pngCDel 2.pngโหนด CDel 1.png
เซลล์8 {4,3} Hexahedron.png
ใบหน้า24 {4}
ขอบ32
จุดยอด16
ร่าง Vertexverf.png 8 เซลล์
จัตุรมุข
รูปหลายเหลี่ยม Petrieแปดเหลี่ยม
กลุ่ม Coxeter4 , [3,3,4]
คู่16 เซลล์
คุณสมบัตินูน , isogonal , isotoxal , isohedral
ดัชนีสม่ำเสมอ10
ต้าหลี่ข้ามเป็น สุทธิของ Tesseract

Tesseract เรียกว่ายังมีแปดเซลล์ , C 8 (ปกติ) octachoron , octahedroid , [2] ลูกบาศก์ปริซึมและtetracube [3]มันคือไฮเปอร์คิวบ์สี่มิติหรือ4 คิวบ์ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของตระกูลไฮเปอร์คิวบ์มิติหรือการวัดโพลีโท[4] Coxeter ติดป้ายกำกับไว้polytope [5]คำว่าไฮเปอร์คิวบ์ที่ไม่มีการอ้างอิงมิติมักถือเป็นคำพ้องความหมายสำหรับรูปร่างเฉพาะนี้

ตามพจนานุกรมภาษาอังกฤษออกซ์ฟอร์ดคำว่าtesseractได้รับการประกาศเกียรติคุณ[ ต้องการอ้างอิง ]และใช้ครั้งแรกในปีพ. ศ. 2431 โดยCharles Howard HintonในหนังสือA New Era of Thoughtจากภาษากรีก téssara ( τέσσαρα 'four') และaktís ( ἀκτίς 'ray ') หมายถึงขอบทั้งสี่ด้านจากจุดยอดแต่ละจุดไปยังจุดยอดอื่น ๆ ในเอกสารฉบับนี้เช่นเดียวกับบางส่วนของการทำงานภายหลังฮินตันของคำว่าบางครั้งสะกดtessaract [6]

tesseract สามารถสร้างได้หลายวิธี ในฐานะที่เป็นpolytope ปกติกับสามก้อนพับกันทุกรอบขอบก็มีSchläfliสัญลักษณ์ {4,3,3} ด้วยสมมาตร hyperoctahedralของการสั่งซื้อ 384 สร้างเป็น 4D Hyperprismทำสองก้อนขนานก็สามารถที่จะเสนอชื่อเป็นคอมโพสิตSchläfli สัญลักษณ์ {4,3} × {} ตามลำดับสมมาตร 96 ในฐานะที่เป็นduoprism แบบ 4-4 ผลคูณของคาร์ทีเซียนที่มีสองสี่เหลี่ยมสามารถตั้งชื่อตามสัญลักษณ์Schläfliแบบผสม {4} × {4} ตามลำดับสมมาตร 64 ในฐานะออร์โธโทปสามารถแสดงด้วยสัญลักษณ์Schläfliแบบผสม {} × {} × {} × {} หรือ {} 4โดยมีลำดับสมมาตร 16

ตั้งแต่จุดสุดยอดของแต่ละ Tesseract อยู่ติดกับสี่ขอบที่ยอดตัวเลขของ Tesseract เป็นปกติจัตุรมุข polytope คู่ของ Tesseract ที่เรียกว่าปกติhexadecachoronหรือ 16 เซลล์มีSchläfliสัญลักษณ์ {3,3,4} ซึ่งมันสามารถนำมารวมกันเพื่อสร้างสารประกอบของ Tesseract และ 16

tesseract มาตรฐานในEuclidean 4-spaceถูกกำหนดให้เป็นส่วนนูนของจุด (± 1, ± 1, ± 1, ± 1) นั่นคือประกอบด้วยคะแนน:

tesseract ถูกล้อมรอบด้วยไฮเปอร์เพลนแปดตัว ( x i = ± 1) ไฮเปอร์เพลนที่ไม่ขนานกันแต่ละคู่จะตัดกันเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส 24 เหลี่ยมในเทสเสร็กต์ สามลูกบาศก์และสามสี่เหลี่ยมตัดกันที่ขอบแต่ละด้าน มีสี่ลูกบาศก์หกเหลี่ยมและสี่ขอบประชุมกันที่จุดยอดทุกจุด ทั้งหมดนี้ประกอบด้วย 8 ลูกบาศก์ 24 เหลี่ยม 32 ขอบและ 16 จุดยอด

การคาดการณ์เป็นสองมิติ

ภาพเคลื่อนไหวของการขยับใน มิติ

การสร้างไฮเปอร์คิวบ์สามารถจินตนาการได้ด้วยวิธีต่อไปนี้:

  • 1 มิติ:สามารถเชื่อมต่อจุด A และ B สองจุดเพื่อให้กลายเป็นเส้นได้โดยให้ส่วนของเส้นตรงใหม่ AB
  • 2 มิติ:ส่วนของเส้นขนานสองส่วน AB และ CD สามารถเชื่อมต่อให้กลายเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสโดยมีมุมที่ระบุว่า ABCD
  • 3 มิติ:สามารถเชื่อมต่อสี่เหลี่ยมคู่ขนาน ABCD และ EFGH ให้กลายเป็นลูกบาศก์โดยมีมุมที่ระบุว่า ABCDEFGH
  • 4 มิติ:สองลูกบาศก์คู่ขนาน ABCDEFGH และ IJKLMNOP สามารถเชื่อมต่อเพื่อให้กลายเป็นเทสเส็กต์โดยทำมุมเป็น ABCDEFGHIJKLMNOP
แผนภาพแสดงวิธีสร้าง tesseract จากจุด
การฉายภาพ 3 มิติของเซลล์ 8 เซลล์ที่มีการ หมุนอย่างง่ายเกี่ยวกับระนาบซึ่งแบ่งครึ่งภาพจากด้านหน้าซ้ายไปด้านหลังขวาและจากบนลงล่าง

เป็นไปได้ที่จะฉาย tesseracts เป็นช่องว่างสามและสองมิติเช่นเดียวกับการฉายลูกบาศก์ในพื้นที่สองมิติ

การคาดการณ์บนระนาบ 2 มิติจะให้คำแนะนำมากขึ้นโดยการจัดเรียงตำแหน่งของจุดยอดที่ฉายใหม่ ในรูปแบบนี้เราสามารถรับรูปภาพที่ไม่สะท้อนความสัมพันธ์เชิงพื้นที่ภายใน tesseract ได้อีกต่อไป แต่จะแสดงโครงสร้างการเชื่อมต่อของจุดยอดเช่นในตัวอย่างต่อไปนี้:

โดยหลักการแล้ว tesseract ได้มาจากการรวมสองก้อน โครงร่างคล้ายกับการสร้างลูกบาศก์จากสองช่องสี่เหลี่ยม: วางซ้อนสองสำเนาของลูกบาศก์มิติที่ต่ำกว่าและเชื่อมต่อจุดยอดที่สอดคล้องกัน ขอบแต่ละด้านของ tesseract มีความยาวเท่ากัน มุมมองนี้น่าสนใจเมื่อใช้ tesseracts เป็นพื้นฐานสำหรับทอพอโลยีเครือข่ายเพื่อเชื่อมโยงโปรเซสเซอร์หลายตัวในการประมวลผลแบบขนาน : ระยะห่างระหว่างสองโหนดมากที่สุดคือ 4 และมีเส้นทางที่แตกต่างกันมากมายเพื่อให้สามารถปรับสมดุลน้ำหนักได้

การคาดการณ์แบบขนานถึง 3 มิติ

ซองการฉายภาพแบบขนานของ tesseract (แต่ละเซลล์วาดด้วยใบหน้าสีที่ต่างกันเซลล์ที่กลับด้านจะไม่ได้วาด)

การฉายภาพขนานแรกของเซลล์ของ tesseract ในช่องว่างสามมิติมีซองจดหมายทรงลูกบาศก์ เซลล์ที่ใกล้ที่สุดและไกลที่สุดจะถูกฉายลงบนลูกบาศก์และอีกหกเซลล์ที่เหลือจะถูกฉายลงบนใบหน้าสี่เหลี่ยมทั้งหกของลูกบาศก์

การฉายภาพขนานหน้าแรกของ tesseract ในช่องว่างสามมิติมีซองจดหมายทรงลูกบาศก์ เซลล์สองคู่จะฉายไปที่ครึ่งบนและล่างของซองจดหมายนี้และอีกสี่เซลล์ที่เหลือจะฉายไปทางด้านข้าง

ขอบแรกที่ฉายแบบขนานของ Tesseract เข้าไปในพื้นที่สามมิติมีซองจดหมายในรูปของการปริซึมหกเหลี่ยม เซลล์หกเซลล์จะฉายลงบนปริซึมขนมเปียกปูนซึ่งวางไว้ในปริซึมหกเหลี่ยมในลักษณะที่คล้ายคลึงกับลักษณะใบหน้าของโครงการลูกบาศก์ 3 มิติไปยังหกเหลี่ยมในซองจดหมายหกเหลี่ยมภายใต้การฉายภาพแรกสุดจุดสุดยอด เซลล์ที่เหลืออีกสองเซลล์จะฉายลงบนฐานปริซึม

ขนมเปียกปูนเฟรูปแบบเปลือกนูนของ Tesseract ของจุดสุดยอดครั้งแรกขนานฉาย จำนวนจุดยอดในเลเยอร์ของการฉายภาพนี้คือ 1 4 6 4 1 แถวที่สี่ใน สามเหลี่ยมของปาสคาล

การฉายขนานจุดสุดยอดครั้งแรกของเทสเสร็กต์ในปริภูมิสามมิติมีซองจดหมายรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน จุดยอดสองจุดของ tesseract จะฉายไปที่จุดเริ่มต้น มีสองวิธีในการผ่า dodecahedron ขนมเปียกปูนออกเป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน 4 รูปโดยให้รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่เป็นไปได้ทั้งหมดแปดรูปแบบแต่ละลูกบาศก์ที่คาดการณ์ไว้ของ tesseract การฉายภาพนี้เป็นภาพที่มีระดับเสียงสูงสุด เวกเตอร์การฉายภาพชุดหนึ่งคือu = (1,1, -1, -1), v = (- 1,1, -1,1), w = (1, -1, -1,1)

เป็นการกำหนดค่า

เมทริกซ์การกำหนดค่านี้แสดงถึง tesseract แถวและคอลัมน์สอดคล้องกับจุดยอดขอบใบหน้าและเซลล์ ตัวเลขเส้นทแยงมุมบอกจำนวนของแต่ละองค์ประกอบที่เกิดขึ้นใน tesseract ทั้งหมด ตัวเลขที่ไม่ใช่เส้นทแยงมุมบอกจำนวนองค์ประกอบของคอลัมน์ที่เกิดขึ้นในหรือที่องค์ประกอบของแถว [7]ตัวอย่างเช่น 2 ในคอลัมน์แรกของแถวที่สองบ่งชี้ว่ามีจุดยอด 2 จุดใน (กล่าวคือที่ปลายสุดของ) แต่ละขอบ; 4 ในคอลัมน์ที่สองของแถวแรกบ่งชี้ว่าขอบทั้ง 4 มาบรรจบกันที่จุดยอดแต่ละจุด

3-D net of a tesseract
tesseract สามารถคลี่ออกเป็นแปดลูกบาศก์ในพื้นที่ 3 มิติได้เช่นเดียวกับที่สามารถคลี่ลูกบาศก์ออกเป็นหกเหลี่ยมในพื้นที่ 2 มิติได้ แฉของpolytopeเรียกว่าสุทธิ มี 261 ตาข่ายที่แตกต่างกันของ tesseract [8]การขยายของ tesseract สามารถนับได้โดยการทำแผนที่มุ้งกับต้นไม้ที่จับคู่กัน ( ต้นไม้พร้อมกับการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบในส่วนเสริม )
3D stereographic projection tesseract.PNG
การฉายภาพสามมิติแบบสามมิติของ tesseract (มุมมองคู่ขนาน)

3D Crossed Eyes (no glasses needed) Disarmed Hypercube

การคาดการณ์ทางเลือก

8-cell-orig.gif
การฉายภาพ 3 มิติของ tesseract ซึ่งมีการหมุนสองครั้งเกี่ยวกับระนาบมุมฉากสองระนาบ
"> File:Animation of three four dimensional cube.webmเล่นสื่อ
การฉายภาพ 3 มิติของสาม tesseracts ที่มีและไม่มีใบหน้า
Tesseract-perspective-vertex-first-PSPclarify.png
มุมมองกับการกำจัดปริมาณซ่อน มุมสีแดงอยู่ใกล้ที่สุดใน4Dและมีเซลล์ลูกบาศก์ 4 เซลล์ที่ประชุมกันรอบ ๆ
Tesseract tetrahedron shadow matrices.svg

จัตุรมุขรูปแบบเปลือกนูนของจุดสุดยอดเป็นศูนย์กลางการฉายกลาง Tesseract ของ มีการแสดงเซลล์สี่จาก 8 ลูกบาศก์ จุดยอดที่ 16 คาดว่าจะไม่มีที่สิ้นสุดและขอบทั้งสี่ด้านจะไม่แสดง

Stereographic polytope 8cell.png
การฉายภาพสามมิติ

(ขอบจะถูกฉายลงบนทรงกลมทั้ง3 )

ภาพเคลื่อนไหวแสดงแต่ละคิวบ์ภายในการฉายระนาบB 4 Coxeter ของ tesseract

การคาดการณ์ออร์โธกราฟิก 2 มิติ

การคาดการณ์ Orthographic
เครื่องบิน Coxeter 43 / ด4 / ก22 / วัน 3
กราฟ 4-cube t0.svg 4-cube t0 B3.svg 4-cube t0 B2.svg
สมมาตร Dihedral [8] [6] [4]
เครื่องบิน Coxeter อื่น ๆ 43
กราฟ 4-cube column graph.svg 4-cube t0 F4.svg 4-cube t0 A3.svg
สมมาตร Dihedral [2] [12/3] [4]
หลักฐานที่ไม่มีคำว่า กราฟ Tesseractคือ ไม่ใช่ระนาบใช้ ของ Kuratowskiหรือ ทฤษฎีบทวากเนอร์และหาทั้ง ภาค5 (บน) หรือ K 3,3 (ล่าง) subgraphs

รัศมียาว (จุดศูนย์กลางถึงจุดยอด) ของ tesseract เท่ากับความยาวขอบ ดังนั้นเส้นทแยงมุมผ่านจุดศูนย์กลาง (จุดยอดถึงจุดยอดตรงข้าม) จึงมีความยาวขอบ 2 ด้าน เพียงไม่กี่ชุดเรขาคณิตระดับประถมมีคุณสมบัตินี้รวมทั้ง Tesseract สี่มิติและ24 มือถือสามมิติcuboctahedronและสองมิติรูปหกเหลี่ยม โดยเฉพาะอย่างยิ่ง tesseract เป็นไฮเปอร์คิวบ์เดียวที่มีคุณสมบัตินี้ [9]เส้นผ่านศูนย์กลางจุดยอดถึงจุดยอดที่ยาวที่สุดของไฮเปอร์คิวบ์nมิติของความยาวขอบหน่วยคือnดังนั้นสำหรับสี่เหลี่ยมนั้นคือ2สำหรับลูกบาศก์นั้นคือ3และสำหรับเทสเสร็กต์เท่านั้นที่เป็น4ความยาวขอบ 2 เท่า

Tesseract เหมือนhypercubes , tessellates พื้นที่ Euclidean ตนเองคู่รังผึ้ง tesseracticประกอบด้วย 4 tesseracts แต่ละรอบใบหน้ามีSchläfliสัญลักษณ์{4,3,3,4} ดังนั้น tesseract จึงมีมุมไดฮีดรัล 90 ° [10]

สมมาตรด้านเท่ากันของ tesseract ทำให้เทสเซลเลชั่นเป็นตาข่ายลูกบาศก์ที่มีรูปทรงกลมขนาดเท่ากันโดยเฉพาะในหลายมิติ

tesseract สามารถย่อยสลายเป็น polytopes ขนาดเล็กได้ ยกตัวอย่างเช่นมันสามารถดักเป็น 4 มิติsimplicesที่ใช้ร่วมกันจุดของพวกเขาด้วย Tesseract เป็นที่ทราบกันดีว่ามี 92487256 รูปสามเหลี่ยมดังกล่าว[11]และตัวย่อ4 มิติน้อยที่สุดในจำนวนนี้คือ 16 [12]

มุมฉากมุมมอง
4-generalized-2-cube.svg Complex polygon 4-4-2-stereographic3.png
4 {4} 2มี 16 จุดยอดและ 8 4 ขอบโดยที่ 8 4 ขอบแสดงที่นี่เป็นสี่เหลี่ยมสีแดง 4 อันและสี่เหลี่ยมสีน้ำเงิน 4 อัน

ปกติ polytope ซับซ้อน 4 {4} 2 ,CDel 4node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngใน มีการแสดงที่แท้จริงเป็น tesseract หรือ 4-4 duoprismในพื้นที่ 4 มิติ 4 {4} 2มีจุดยอด 16 จุดและ 4 ขอบ 8 จุด สมมาตรคือ4 [4] 2ลำดับ 32 นอกจากนี้ยังมีโครงสร้างสมมาตรที่ต่ำกว่าCDel 4node 1.pngCDel 2.pngCDel 4node 1.pngหรือ4 {} × 4 {} โดยมีสมมาตร4 [2] 4ลำดับที่ 16 นี่คือความสมมาตรถ้าขอบทั้ง 4 ด้านสีแดงและสีน้ำเงินถือว่าแตกต่างกัน [13]

ในฐานะที่เป็นduoprism ที่เหมือนกันtesseract มีอยู่ในลำดับของ duoprisms ที่เหมือนกัน: { p } × {4}

tesseract ปกติพร้อมกับ16 เซลล์มีอยู่ในชุดของpolytopes 4 อันที่เหมือนกัน 15 ชิ้นที่มีสมมาตรเท่ากัน tesseract {4,3,3} มีอยู่ในลำดับของ 4-polytopes และ honeycombsปกติ { p , 3,3} ที่มีตัวเลขยอดเตตระ ฮีดอล {3,3} Tesseract ยังอยู่ในลำดับปกติ 4 polytope และ honeycombs {4,3, P } ด้วยลูกบาศก์ เซลล์

นับตั้งแต่การค้นพบไฮเปอร์คิวบ์สี่มิติเป็นธีมยอดนิยมในงานศิลปะสถาปัตยกรรมและนิยายวิทยาศาสตร์ ตัวอย่างที่โดดเด่น ได้แก่ :

  • " And He Built a Crooked House " ซึ่งเป็นเรื่องราวในนิยายวิทยาศาสตร์ในปี 1940 ของRobert Heinleinที่มีอาคารในรูปแบบไฮเปอร์คิวบ์สี่มิติ [14]นี้และมาร์ตินการ์ดเนอร์ 's 'ไม่มีด้านศาสตราจารย์' ตีพิมพ์ในปี 1946 เป็นหนึ่งในครั้งแรกในนิยายวิทยาศาสตร์ที่จะแนะนำผู้อ่านให้กับวงดนตรีอุซที่ขวด Kleinและ hypercube (Tesseract)
  • การตรึงกางเขน (คอร์ปัส Hypercubus)เป็นภาพวาดสีน้ำมัน 1954 โดย Salvador Dali เนื้อเรื่อง hypercube สี่มิติกางออกเป็นสามมิติข้ามละติน [15]
  • Grande Arche , อนุสาวรีย์และอาคารที่อยู่ใกล้กับกรุงปารีสประเทศฝรั่งเศสเสร็จสมบูรณ์ในปี 1989 ตามที่วิศวกรอนุสาวรีย์ของเอริค Reitzel , แกรนด์ Arche ได้รับการออกแบบให้คล้ายกับการประมาณการของ hypercube ที่ [16]
  • Fezวิดีโอเกมที่ผู้เล่นสวมบทบาทเป็นตัวละครที่สามารถมองเห็นได้นอกเหนือจากสองมิติที่ตัวละครอื่น ๆ สามารถมองเห็นได้และต้องใช้ความสามารถนี้เพื่อไขปริศนาการสร้างแพลตฟอร์ม คุณสมบัติ "Dot" ซึ่งเป็น tesseract ที่ช่วยผู้เล่นท่องโลกและบอกวิธีใช้ความสามารถปรับให้เข้ากับรูปแบบของการมองเห็นนอกเหนือจากการรับรู้ของมนุษย์เกี่ยวกับพื้นที่มิติที่เป็นที่รู้จัก [17]

ต่อมาคำว่าtesseractถูกนำมาใช้เพื่อการใช้งานอื่น ๆ อีกมากมายในวัฒนธรรมสมัยนิยมรวมถึงเป็นอุปกรณ์พล็อตในงานนิยายวิทยาศาสตร์ซึ่งมักมีความเกี่ยวข้องกับไฮเปอร์คิวบ์สี่มิติของบทความนี้เพียงเล็กน้อยหรือไม่มีเลย ดูTesseract (แก้ความกำกวม)

  • คณิตศาสตร์และศิลปะ

  1. ^ "การ Tesseract - ก้อน 4 มิติ" www.cut-the-knot.org . สืบค้นเมื่อ2020-11-09 .
  2. ^ มาติลากก้า,เรขาคณิตศิลปะและชีวิต (1977), หน้า 68
  3. ^ คำนี้อาจหมายถึงโพลีคิวบ์ที่ทำจากสี่ก้อน
  4. ^ Elte, EL (2455). กึ่งเรขาคณิตระดับประถมของ Hyperspaces Groningen: มหาวิทยาลัย Groningen ISBN 1-4181-7968-X.
  5. ^ Coxeter 1973 , PP. 122-123, §7.2 ภาพประกอบรูปที่ 7.2C
  6. ^ "tesseract" . พจนานุกรมภาษาอังกฤษออกซ์ฟอร์ด (ฉบับออนไลน์) สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ด 199669. (ต้องสมัครสมาชิกหรือเป็นสมาชิกสถาบันที่เข้าร่วม )
  7. ^ Coxeter 1973พี 12, §1.8การกำหนดค่า
  8. ^ "แฉ 8 เซลล์" . Unfolding.apperceptual.com . สืบค้นเมื่อ21 มกราคม 2561 .
  9. ^ อย่างเคร่งครัดไฮเปอร์คิวบ์ของ 0 มิติ (จุด) และ 1 มิติ (ส่วนของเส้นตรง) ยังเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าในแนวรัศมี
  10. ^ Coxeter 1973พี 293.
  11. ^ Pournin, Lionel (2013), "The flip-Graph ของลูกบาศก์ 4 มิติเชื่อมต่อกัน", Discrete & Computational Geometry , 49 (3): 511–530, arXiv : 1201.6543 , doi : 10.1007 / s00454-013-9488- y , MR  3038527 , S2CID  30946324
  12. ^ Cottle, Richard W. (1982), "รูปสามเหลี่ยมน้อยที่สุดของ 4 ลูกบาศก์", คณิตศาสตร์ไม่ต่อเนื่อง , 40 : 25–29, ดอย : 10.1016 / 0012-365X (82) 90185-6 , MR  0676709
  13. ^ Coxeter, HSM,เรขาคณิตระดับประถมคอมเพล็กซ์ปกติ , รุ่นที่สองมหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ (1991)
  14. ^ Fowler, David (2010), "Mathematics in Science Fiction: Mathematics as Science Fiction", World Literature Today , 84 (3): 48–52, JSTOR  27871086
  15. ^ Kemp, Martin (1 มกราคม 1998), "Dali's Dimension", Nature , 391 (27): 27, Bibcode : 1998Natur.391 ... 27K , doi : 10.1038 / 34063 , S2CID  5317132
  16. ^ Ursyn, Anna (2016), "การแสดงภาพความรู้และการรู้ภาพในการศึกษาวิทยาศาสตร์" , การแสดงภาพความรู้และการรู้ภาพในการศึกษาวิทยาศาสตร์ , การอ้างอิงทางวิทยาศาสตร์ข้อมูล, p. 91, ISBN 9781522504818
  17. ^ "ดอท (ตัวละคร) - ระเบิดยักษ์" . ระเบิดยักษ์. สืบค้นเมื่อ21 มกราคม 2561 .

  • Coxeter, HSM (1973). Polytopes ปกติ (ฉบับที่ 3) นิวยอร์ก: โดเวอร์ หน้า  122 –123
  • F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss (1995) Kaleidoscopes: งานเขียนคัดสรรของ HSM Coxeter , สิ่งพิมพ์ Wiley-Interscience ไอ 978-0-471-01003-6 [1]
    • (เอกสารที่ 22) HSM Coxeter, Regular และ Semi Regular Polytopes I , Mathematische Zeitschrift 46 (1940) 380–407, MR 2,10]
    • (เอกสารที่ 23) HSM Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II , [Math. Zeit 188 (พ.ศ. 2528) 559-591)
    • (เอกสารที่ 24) HSM Coxeter, Regular และ Semi-Regular Polytopes III , [Math. Zeit 200 (พ.ศ. 2531) 3-45]
  • John H.Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass (2008) The Symmetries of Things , ISBN  978-1-56881-220-5 (บทที่ 26 หน้า 409: Hemicubes: 1 n1 )
  • T. Gosset (1900) เกี่ยวกับตัวเลขปกติและกึ่งปกติใน Space of n Dimensions , Messenger of Mathematics , Macmillan
  • T. พรอคเตอร์ฮอลล์ (1893) "การประมาณการของตัวเลขจาตุรงค์ในสามแบน" , อเมริกันวารสารคณิตศาสตร์ 15: 179-89
  • Norman Johnson Uniform Polytopes , ต้นฉบับ (1991)
    • NW Johnson: Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs , Ph.D. (พ.ศ. 2509)
  • Victor Schlegel (1886) Ueber Projectionsmodelle der regelmässigen vier-Dimensionalen Körper , Waren

  • Weisstein, Eric W. "Tesseract" . แม ธ เวิลด์
  • Klitzing, Richard "4D ชุดเรขาคณิตระดับประถม (polychora) x4o3o3o - TES"
  • ภาพที่ติดตามTesseract Ray โดยมีการขจัดพื้นผิวที่ซ่อนอยู่ ไซต์นี้ให้คำอธิบายที่ดีเกี่ยวกับวิธีการแสดงภาพของแข็ง 4 มิติ
  • Der 8-Zeller (8 เซลล์) polytopes ปกติของ Marco Möllerในℝ 4 (ภาษาเยอรมัน)
  • WikiChoron: Tesseract
  • HyperSolidsเป็นโปรแกรมโอเพ่นซอร์สสำหรับApple Macintosh (Mac OS X และสูงกว่า) ซึ่งสร้างของแข็งปกติห้าชนิดของพื้นที่สามมิติและไฮเปอร์โซลิดปกติหกตัวของพื้นที่สี่มิติ
  • Hypercube 98 ของ Windowsโปรแกรมที่แสดงภาพเคลื่อนไหว hypercubes โดยรูดี้เกอร์
  • โฮมเพจของ ken perlinวิธีการแสดงภาพไฮเปอร์คิวบ์โดยKen Perlin
  • หมายเหตุบางประการเกี่ยวกับมิติที่สี่รวมถึงบทช่วยสอนแบบเคลื่อนไหวเกี่ยวกับแง่มุมต่างๆของ tesseract โดยDavide P. Cervone
  • แอนิเมชั่น Tesseract พร้อมการกำจัดระดับเสียงที่ซ่อนอยู่
4 โพลีท็อป
  • 5 เซลล์
  • Tesseract (8 เซลล์)
  • 16 เซลล์
  • 24 เซลล์
  • 120 เซลล์
  • 600 เซลล์
ครอบครัว n B n ฉัน2 (p) / D n E 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2 H n
รูปหลายเหลี่ยมปกติ สามเหลี่ยม สแควร์ p-gon หกเหลี่ยม เพนตากอน
รูปทรงหลายเหลี่ยมสม่ำเสมอ จัตุรมุข แปดเหลี่ยมลูกบาศก์ Demicube DodecahedronIcosahedron
4-polytope สม่ำเสมอ 5 เซลล์ 16 เซลล์Tesseract Demitesseract 24 เซลล์ 120 เซลล์600 เซลล์
5 polytope สม่ำเสมอ 5 ซิมเพล็กซ์ 5 ออร์โธเพล็กซ์5 คิวบ์ 5 เดมิคิวบ์
6-polytope สม่ำเสมอ 6-simplex 6 ออร์โธเพล็กซ์6 คิวบ์ 6-demicube 1 222 21
เหมือนกัน 7-polytope 7 ซิมเพล็กซ์ 7 ออร์โธเพล็กซ์7 คิวบ์ 7 เดมิคิวบ์ 1 322 313 21
8-polytope สม่ำเสมอ 8-simplex 8 ออร์โธเพล็กซ์8 คิวบ์ 8 เดมิคิวบ์ 1 422 414 21
9-polytope สม่ำเสมอ 9 ซิมเพล็กซ์ 9 ออร์โธเพล็กซ์9 คิวบ์ 9-demicube
เครื่องแบบ 10-polytope 10 ซิมเพล็กซ์ 10-orthoplex10 คิวบ์ 10 เดมิคิวบ์
เครื่องแบบn - polytope n - ซิมเพล็กซ์ n - ออร์โธเพล็กซ์n - ลูกบาศก์ n - demicube 1 k22 k1k 21 n - polytope ห้าเหลี่ยม
หัวข้อ: ครอบครัว polytopepolytope ปกติรายการของเรขาคณิตระดับประถมปกติและสารประกอบ
TOP