ต่ำต้อยและสูงสุด

สูงสุด = ขอบเขตบนที่น้อยที่สุด

ขีด จำกัด ล่างของส่วนย่อย${\displaystyle S}$ ของชุดที่สั่งบางส่วน ${\displaystyle (P,\leq )}$ เป็นองค์ประกอบ ${\displaystyle a}$ ของ ${\displaystyle P}$ ดังนั้น

• ${\displaystyle a\leq x}$ สำหรับทุกอย่าง ${\displaystyle x\in S.}$

ขอบเขตล่าง ${\displaystyle a}$ ของ ${\displaystyle S}$เรียกว่าinfimum (หรือขอบเขตล่างที่ยิ่งใหญ่ที่สุดหรือพบ ) ของ${\displaystyle S}$ ถ้า

• สำหรับขอบเขตล่างทั้งหมด ${\displaystyle y}$ ของ ${\displaystyle S}$ ใน ${\displaystyle P,}$ ${\displaystyle y\leq a}$ (${\displaystyle a}$ มากกว่าหรือเท่ากับขอบล่างอื่นๆ)

ในทำนองเดียวกันขอบเขตบนของเซตย่อย${\displaystyle S}$ ของชุดที่สั่งบางส่วน ${\displaystyle (P,\leq )}$ เป็นองค์ประกอบ ${\displaystyle b}$ ของ ${\displaystyle P}$ ดังนั้น

• ${\displaystyle b\geq x}$ สำหรับทุกอย่าง ${\displaystyle x\in S.}$

ขอบเขตบน ${\displaystyle b}$ ของ ${\displaystyle S}$เรียกว่าsupremum (หรือขอบเขตบนที่น้อยที่สุดหรือjoin ) ของ${\displaystyle S}$ ถ้า

• สำหรับขอบเขตบนทั้งหมด ${\displaystyle z}$ ของ ${\displaystyle S}$ ใน ${\displaystyle P,}$ ${\displaystyle z\geq b}$ (${\displaystyle b}$ น้อยกว่าขอบเขตบนอื่นๆ)

Infima และ suprema ไม่จำเป็นต้องมีอยู่ การดำรงอยู่ของส่วนย่อยของเซตย่อย${\displaystyle S}$ ของ ${\displaystyle P}$ ล้มเหลวได้ถ้า ${\displaystyle S}$ไม่มีขอบเขตล่างเลย หรือถ้าเซตของขอบเขตล่างไม่มีองค์ประกอบที่ยิ่งใหญ่ที่สุด อย่างไรก็ตาม หากมีสิ่งใดที่ต่ำหรือเหนือกว่าอยู่จริง สิ่งนั้นก็มีเอกลักษณ์เฉพาะตัว

ดังนั้น ฉากที่จัดมาบางส่วนซึ่งรู้ว่ามี infima อยู่กลายเป็นเรื่องที่น่าสนใจเป็นพิเศษ ตัวอย่างเช่นแลตทิซเป็นเซตที่มีการเรียงลำดับบางส่วนซึ่งเซ็ตย่อยฟินิทที่ไม่ว่างเปล่าทั้งหมดมีทั้งแบบสูงสุดและแบบไม่มีขอบเขตและแบบแลตทิซที่สมบูรณ์เป็นชุดที่เรียงลำดับบางส่วนซึ่งชุดย่อยทั้งหมดมีทั้งแบบสูงสุดและแบบไม่มีลำดับ ข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับชั้นเรียนต่างๆของชุดคำสั่งบางส่วนที่เกิดขึ้นจากการพิจารณาดังกล่าวจะพบในบทความเกี่ยวกับคุณสมบัติครบถ้วน

ถ้าค่าสูงสุดของเซตย่อย ${\displaystyle S}$มีอยู่ เป็นเอกลักษณ์ ถ้า${\displaystyle S}$มีองค์ประกอบที่ยิ่งใหญ่ที่สุด จากนั้นองค์ประกอบนั้นจะเป็นสูงสุด มิฉะนั้นอำนาจสูงสุดไม่ได้เป็นของ${\displaystyle S}$(หรือไม่มี) ในทำนองเดียวกัน หากสิ่งที่ไม่มีอยู่จริง สิ่งนั้นก็มีลักษณะเฉพาะ ถ้า${\displaystyle S}$มีองค์ประกอบน้อยที่สุด จากนั้นองค์ประกอบนั้นก็คือ infimum มิฉะนั้น infimum ไม่ได้เป็นของ${\displaystyle S}$ (หรือไม่มี)

infimum ของเซตย่อย ${\displaystyle S}$ ของชุดที่สั่งบางส่วน ${\displaystyle P,}$ สมมติว่ามีอยู่ไม่จำเป็นต้องเป็นของ ${\displaystyle S.}$ถ้าใช่ ก็เป็นองค์ประกอบขั้นต่ำหรือน้อยที่สุดของ${\displaystyle S.}$ ในทำนองเดียวกัน หากค่าสูงสุดของ ${\displaystyle S}$ เป็นของ ${\displaystyle S,}$เป็นองค์ประกอบสูงสุดหรือยิ่งใหญ่ที่สุดของ${\displaystyle S.}$

ตัวอย่างเช่น พิจารณาเซตของจำนวนจริงติดลบ (ไม่รวมศูนย์) เซตนี้ไม่มีองค์ประกอบที่ยิ่งใหญ่ที่สุด เพราะสำหรับทุกองค์ประกอบของเซต จะมีองค์ประกอบอื่นที่ใหญ่กว่า ตัวอย่างเช่น สำหรับจำนวนจริงลบใดๆ${\displaystyle x,}$ มีอีกจำนวนจริงติดลบ ${\displaystyle {\tfrac {x}{2}}}$ซึ่งยิ่งใหญ่กว่า ในทางกลับกัน ทุกจำนวนจริงที่มากกว่าหรือเท่ากับศูนย์จะเป็นขอบเขตบนของเซตนี้อย่างแน่นอน ดังนั้น 0 จึงเป็นขอบเขตบนที่น้อยที่สุดของจำนวนจริงเชิงลบ ดังนั้น ค่าสูงสุดคือ 0 ชุดนี้มีจุดสูงสุด แต่ไม่มีองค์ประกอบที่ยิ่งใหญ่ที่สุด

อย่างไรก็ตาม คำจำกัดความขององค์ประกอบสูงสุดและน้อยที่สุดนั้นกว้างกว่า โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เซตสามารถมีองค์ประกอบสูงสุดและน้อยที่สุดได้ ในขณะที่ infima และ suprema นั้นมีเอกลักษณ์เฉพาะตัว

ในขณะที่ maxima และ minima จะต้องเป็นสมาชิกของ subset ที่อยู่ระหว่างการพิจารณา infimum และ supremum ของ subset ไม่จำเป็นต้องเป็นสมาชิกของ subset นั้นเอง

ขอบเขตบนขั้นต่ำ

สุดท้าย ชุดที่เรียงลำดับบางส่วนอาจมีขอบเขตบนที่น้อยที่สุดโดยไม่มีขอบเขตบนที่น้อยที่สุด ขอบเขตบนขั้นต่ำคือขอบเขตบนที่ไม่มีองค์ประกอบที่เล็กกว่าที่เป็นขอบเขตบนเช่นกัน นี่ไม่ได้บอกว่าขอบบนที่เล็กที่สุดแต่ละอันจะเล็กกว่าขอบเขตบนอื่นๆ ทั้งหมด แต่แค่ไม่ยิ่งใหญ่กว่า ความแตกต่างระหว่าง "น้อยที่สุด" และ "น้อย" เป็นไปได้ก็ต่อเมื่อได้รับการสั่งซื้อไม่ได้เป็นทั้งหมดหนึ่ง ในชุดที่เรียงลำดับโดยสิ้นเชิง แนวคิดก็เหมือนกัน เช่นเดียวกับตัวเลขจริง

ตัวอย่างเช่น ให้ ${\displaystyle S}$ เป็นเซตของเซตย่อยจำกัดของจำนวนธรรมชาติทั้งหมด และพิจารณาเซตที่เรียงลำดับบางส่วนได้จากการเอาเซตทั้งหมดจาก ${\displaystyle S}$ร่วมกับเซตของจำนวนเต็ม ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ และเซตของจำนวนจริงบวก ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$, เรียงตามการรวมเซตย่อยดังข้างบนนี้. ชัดเจนทั้งคู่${\displaystyle \mathbb {Z} }$ และ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$มีค่ามากกว่าเซตของจำนวนธรรมชาติทั้งหมด กระนั้น ก็ไม่${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ มีขนาดเล็กกว่า ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ และไม่เป็นความจริง: ทั้งสองชุดมีขอบเขตบนน้อยที่สุด แต่ไม่มีสิ่งใดที่สูงสุด

ทรัพย์สินที่มีขอบเขตล่างสุด

คุณสมบัติอย่างน้อยบนที่ถูกผูกไว้เป็นตัวอย่างของการดังกล่าวข้างต้นคุณสมบัติครบถ้วนซึ่งเป็นเรื่องปกติสำหรับชุดของจำนวนจริง คุณสมบัตินี้บางครั้งเรียกว่าครบถ้วน Dedekind

ถ้าสั่งชุด ${\displaystyle S}$ มีคุณสมบัติที่ทุกเซตย่อย nonempty ของ ${\displaystyle S}$ มีขอบเขตบนก็มีขอบเขตบนน้อยที่สุดด้วย ดังนั้น ${\displaystyle S}$ว่ากันว่ามีคุณสมบัติขอบบนน้อยที่สุด ตามที่ระบุไว้ข้างต้น ชุด,${\displaystyle \mathbb {R} }$ของจำนวนจริงทั้งหมดมีคุณสมบัติขอบบนที่น้อยที่สุด ในทำนองเดียวกัน ชุด${\displaystyle \mathbb {Z} }$ของจำนวนเต็มมีคุณสมบัติที่มีขอบเขตบนน้อยที่สุด ถ้า${\displaystyle S}$ เป็นเซตย่อย nonempty ของ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ และมีจำนวน ${\รูปแบบการแสดงผล n}$ เพื่อให้ทุกองค์ประกอบ ${\displaystyle s}$ ของ ${\displaystyle S}$ น้อยกว่าหรือเท่ากับ ${\displaystyle n,}$ แล้วมีขอบบนที่น้อยที่สุด ${\displaystyle u}$ สำหรับ ${\displaystyle S,}$ จำนวนเต็มที่เป็นขอบเขตบนสำหรับ ${\displaystyle S}$ และมีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับขอบเขตบนอื่น ๆ สำหรับ ${\displaystyle S.}$ดีสั่งซื้อชุดนอกจากนี้ยังมีคุณสมบัติอย่างน้อยบนปกและเซตที่ว่างเปล่ายังมีน้อยผูกไว้บน: ต่ำสุดของทั้งชุด

ตัวอย่างของเซตที่ไม่มีคุณสมบัติขอบบนสุดคือ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, ชุดของจำนวนตรรกยะ ปล่อย${\displaystyle S}$ เป็นเซตของจำนวนตรรกยะทั้งหมด ${\displaystyle q}$ ดังนั้น ${\displaystyle q^{2}<2.}$ แล้ว ${\displaystyle S}$ มีขอบเขตบน (${\displaystyle 1000,}$ ตัวอย่างเช่น หรือ ${\displaystyle 6}$) แต่ไม่มีขอบเขตบนที่น้อยที่สุดใน ${\displaystyle \mathbb {Q} }$: ถ้าเราคิดว่า ${\displaystyle p\in \mathbb {Q} }$ เป็นขอบเขตบนที่น้อยที่สุด, ความขัดแย้งจะถูกอนุมานทันทีเพราะระหว่างสองจำนวนจริง ${\displaystyle x}$ และ ${\displaystyle y}$ (รวมถึง ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ และ ${\displaystyle p}$) มีเหตุผลอยู่บ้าง ${\displaystyle p}$ซึ่งตัวมันเองจะต้องเป็นขอบเขตบนที่น้อยที่สุด (if ${\displaystyle p>{\sqrt {2}}}$) หรือสมาชิกของ ${\displaystyle S}$ มากกว่า ${\displaystyle p}$ (ถ้า ${\displaystyle p<{\sqrt {S}}}$). อีกตัวอย่างหนึ่งคือhyperreals ; ไม่มีขอบเขตบนที่น้อยที่สุดของเซตของจำนวนน้อยที่เป็นบวก

มีคุณสมบัติที่มีขอบเขตล่างสุดที่สอดคล้องกัน; เซตที่ได้รับคำสั่งมีคุณสมบัติที่มีขอบเขตล่างสุดก็ต่อเมื่อมีคุณสมบัติขอบเขตบนน้อยที่สุดด้วย ขอบเขตล่างสุดของเซตของขอบเขตล่างของเซตคือขอบเขตสูงสุด-ล่างสุด และขอบเขตสูงสุด-ต่ำสุดของเซตของขอบเขตบนของเซตคือขอบเขตต่ำสุดของเซต

หากอยู่ในชุดที่สั่งบางส่วน ${\displaystyle P}$ ทุกเซตย่อยที่มีขอบเขตมีค่าสูงสุด ซึ่งใช้กับเซตใด ๆ ก็ได้ ${\displaystyle X,}$ ในพื้นที่ฟังก์ชันที่มีฟังก์ชันทั้งหมดจาก ${\displaystyle X}$ ถึง ${\displaystyle P,}$ ที่ไหน ${\displaystyle f\leq g}$ ถ้าและเฉพาะถ้า ${\displaystyle f(x)\leq g(x)}$ สำหรับทุกอย่าง ${\displaystyle x}$ ใน ${\displaystyle X.}$ ตัวอย่างเช่น ใช้กับฟังก์ชันจริง และเนื่องจากสิ่งเหล่านี้ถือได้ว่าเป็นกรณีพิเศษของฟังก์ชัน จริง ${\รูปแบบการแสดงผล n}$-tuples และลำดับของจำนวนจริง

คุณสมบัติอย่างน้อยบนที่ถูกผูกไว้เป็นตัวบ่งชี้ suprema

ในการวิเคราะห์ , infima และ suprema ของ subsets${\displaystyle S}$ของจำนวนจริงมีความสำคัญเป็นพิเศษ ตัวอย่างเช่นจำนวนจริงติดลบไม่มีองค์ประกอบที่ยิ่งใหญ่ที่สุด และค่าสูงสุดของมันคือ${\displaystyle 0}$(ซึ่งไม่ใช่จำนวนจริงติดลบ) ^[1]ความสมบูรณ์ของจำนวนจริงหมายถึง (และเทียบเท่ากับ) เซตย่อยใด ๆ ที่จำกัดขอบเขต${\displaystyle S}$ของจำนวนจริงมี infimum และสูงสุด ถ้า${\displaystyle S}$ ไม่มีขอบเขตด้านล่าง มักเขียนอย่างเป็นทางการว่า ${\displaystyle \inf _{}S=-\infty .}$ ถ้า ${\displaystyle S}$เป็นที่ว่างเปล่าหนึ่งเขียน${\displaystyle \inf _{}S=+\infty .}$

คุณสมบัติ

สูตรต่อไปนี้ขึ้นอยู่กับสัญกรณ์ที่ทำให้การดำเนินการเลขคณิตทั่วไปในเซตสะดวก: ให้เซต ${\displaystyle A,B\subseteq \mathbb {R} ,}$ และสเกลาร์ ${\displaystyle r\in \mathbb {R} .}$ กำหนด

• ${\displaystyle A\neq \varnothing }$ ถ้าและเฉพาะถ้า ${\displaystyle \sup A\geq \inf A,}$ และอื่นๆ ${\displaystyle -\infty =\sup \varnothing <\inf \varnothing =\infty .}$^[2]
• ${\displaystyle rA=\{r\cdot a:a\in A\}}$; ผลคูณสเกลาร์ของเซตเป็นเพียงสเกลาร์คูณด้วยทุกองค์ประกอบในชุด
• ${\displaystyle A+B=\{a+b:a\in A,b\in B\}}$; เรียกว่าผลรวม Minkowskiมันคือผลรวมเลขคณิตของสองชุดคือผลรวมของคู่ตัวเลขที่เป็นไปได้ทั้งหมดหนึ่งชุดจากแต่ละชุด
• ${\displaystyle A\cdot B=\{a\cdot b:a\in A,b\in B\}}$; ผลคูณเลขคณิตของสองชุดคือผลคูณทั้งหมดขององค์ประกอบคู่ หนึ่งชุดจากแต่ละชุด

ในกรณีที่อินฟิมาและสุพรีมาของเซต ${\displaystyle A}$ และ ${\displaystyle B}$ มีอยู่ ตัวตนต่อไปนี้ถือ:

• ${\displaystyle p=\inf A}$ ถ้าและสำหรับทุกๆ ${\displaystyle \epsilon >0}$ มีอัน ${\displaystyle x\in A}$ กับ ${\displaystyle x$
  และ ${\displaystyle y\geq p}$ สำหรับทุกคน ${\displaystyle y\in A.}$
• ${\displaystyle p=\sup A}$ ถ้าและสำหรับทุกๆ ${\displaystyle \epsilon >0}$ มีอัน ${\displaystyle x\in A}$ กับ ${\displaystyle x>p-\epsilon ,}$ และ ${\displaystyle y\leq p}$ สำหรับทุกคน ${\displaystyle y\in A.}$
• ถ้า ${\displaystyle A\subseteq B}$ แล้วก็ ${\displaystyle \inf A\geq \inf B}$ และ ${\displaystyle \sup A\leq \sup B.}$

• ถ้า ${\displaystyle r>0}$ แล้ว ${\displaystyle \inf(r\cdot A)=r\left(\inf A\right)}$ และ ${\displaystyle \sup(r\cdot A)=r\left(\sup A\right).}$
• ถ้า ${\displaystyle r\leq 0}$ แล้ว ${\displaystyle \inf(r\cdot A)=r\left(\sup A\right)}$ และ ${\displaystyle \sup(r\cdot A)=r\left(\inf A\right).}$
• ${\displaystyle \inf(A+B)=\left(\inf A\right)+\left(\inf B\right)}$ และ ${\displaystyle \sup(A+B)=\left(\sup A\right)+\left(\sup B\right).}$
• ถ้า ${\displaystyle A}$ และ ${\displaystyle B}$ เป็นเซตว่างของจำนวนจริงบวกแล้ว ${\displaystyle \inf(A\cdot B)=\left(\inf A\right)\cdot \left(\inf B\right)}$ และในทำนองเดียวกันสำหรับสุพรีม ${\displaystyle \sup(A\cdot B)=\left(\sup A\right)\cdot \left(\sup B\right)}$. ^[3]
• ถ้า ${\displaystyle S\subseteq (0,\infty )}$ ไม่ว่างและถ้า ${\displaystyle {\frac {1}{S}}:=\left\{{\frac {1}{s}}:s\in S\right\},}$ แล้ว ${\displaystyle {\frac {1}{\sup _{}S}}=\inf _{}{\frac {1}{S}}}$ โดยที่สมการนี้ยังถือเมื่อ ${\displaystyle \sup _{}S=\infty }$ ถ้านิยาม ${\displaystyle {\frac {1}{\infty }}:=0}$ถูกนำมาใช้. ^{[หมายเหตุ 1]}ความเท่าเทียมกันนี้อาจเขียนเป็น${\displaystyle {\frac {1}{\displaystyle \sup _{s\in S}s}}=\inf _{s\in S}{\frac {1}{s}}.}$ นอกจากนี้ ${\displaystyle \inf _{}S=0}$ ถ้าและเฉพาะถ้า ${\displaystyle \sup _{}{\frac {1}{S}}=\infty ,}$ที่ไหนถ้า^{[หมายเหตุ 1]} ${\displaystyle \inf _{}S>0,}$ แล้ว ${\displaystyle {\frac {1}{\inf _{}S}}=\sup _{}{\frac {1}{S}}.}$

ถ้าใครหมายความโดย ${\displaystyle P^{\operatorname {op} }}$ ชุดที่สั่งบางส่วน ${\displaystyle P}$ กับความสัมพันธ์ของลำดับตรงข้าม กล่าวคือ

• ${\displaystyle x\leq y}$ ใน ${\displaystyle P^{\operatorname {op} }}$ ถ้าและเฉพาะถ้า ${\displaystyle x\geq y}$ ใน ${\displaystyle P,}$

จากนั้น infimum ของเซตย่อย ${\displaystyle S}$ ใน ${\displaystyle P}$ เท่ากับสูงสุดของ ${\displaystyle S}$ ใน ${\displaystyle P^{\operatorname {op} }}$ และในทางกลับกัน.

สำหรับเซตย่อยของจำนวนจริง ความเป็นคู่ประเภทอื่นถือเป็น: inf S = −sup(− S ) โดยที่${\displaystyle -S=\{-s~:~s\in S\}.}$

Infima

• infimum ของชุดตัวเลข{2, 3, 4}คือ2 . หมายเลข1คือขอบเขตล่าง แต่ไม่ใช่ขอบเขตล่างที่ยิ่งใหญ่ที่สุด และด้วยเหตุนี้จึงไม่ใช่ขอบเขตล่าง
• โดยทั่วไปแล้ว ถ้าชุดมีองค์ประกอบที่เล็กที่สุด องค์ประกอบที่เล็กที่สุดก็คือชุดที่มีองค์ประกอบที่เล็กที่สุด ในกรณีนี้เรียกอีกอย่างว่าค่าต่ำสุดของชุด
• ${\displaystyle \inf\{1,2,3,\ldots \}=1.}$
• ${\displaystyle \inf\{x\in \mathbb {R} \mid 0$
• ${\displaystyle \inf \left\{x\in \mathbb {Q} \mid x^{3}>2\right\}={\sqrt[{3}]{2}}.}$
• ${\displaystyle \inf \left\{(-1)^{n}+{\tfrac {1}{n}}\mid n=1,2,3,\ldots \right\}=-1.}$
• ถ้าx_{${\รูปแบบการแสดงผล n}$}เป็นลำดับที่ลดลงโดยมีขีด จำกัดxจากนั้นinf x_{${\รูปแบบการแสดงผล n}$}= x .

สุพรีมา

• supremum ชุดของตัวเลข{1, 2, 3}เป็น3 หมายเลข4เป็นขอบเขตบน แต่ไม่ใช่ขอบเขตบนที่น้อยที่สุด และด้วยเหตุนี้จึงไม่ใช่สูงสุด
• ${\displaystyle \sup\{x\in \mathbb {R} \mid 0$
• ${\displaystyle \sup \left\{(-1)^{n}-{\tfrac {1}{n}}\mid n=1,2,3,\ldots \right\}=1.}$
• ${\displaystyle \sup\{a+b\mid a\in A,b\in B\}=\sup A+\sup B.}$
• ${\displaystyle \sup\{x\in \mathbb {Q} \mid x^{2}<2\}={\sqrt {2}}.}$

ในตัวอย่างที่ผ่านมา supremum ชุดของที่rationalsคือไม่ลงตัวซึ่งหมายความว่า rationals จะไม่สมบูรณ์

คุณสมบัติพื้นฐานของอำนาจสูงสุดอย่างหนึ่งคือ

${\displaystyle \sup\{f(t)+g(t)\mid t\in A\}\leq \sup\{f(t)\mid t\in A\}+\sup\{g(t )\mid t\in A\}}$

สำหรับฟังก์ชั่นใด ๆ ${\displaystyle f}$ และ ${\displaystyle ก.}$

ค่าสูงสุดของเซตย่อย ${\displaystyle S}$ของ (ℕ,|) โดยที่ | หมายถึง " หาร " เป็นพหุคูณร่วมต่ำสุดขององค์ประกอบของ${\displaystyle S.}$

ค่าสูงสุดของเซตย่อย ${\displaystyle S}$ของ ( P ,⊆) โดยที่${\displaystyle P}$เป็นเซตกำลังของเซตบางเซต เป็นค่าสูงสุดเทียบกับ ⊆ (เซตย่อย) ของเซตย่อย${\displaystyle S}$ ของ ${\displaystyle P}$คือการรวมกันขององค์ประกอบของ${\displaystyle S.}$

• สูงสุดที่จำเป็นและ infimum ที่จำเป็น
• องค์ประกอบที่ยิ่งใหญ่ที่สุดและองค์ประกอบน้อยที่สุด least
• องค์ประกอบสูงสุดและน้อยที่สุด
• ขีด จำกัด ที่เหนือกว่าและ จำกัด ที่ต่ำกว่า (ขีด จำกัด ต่ำสุด)
• ขอบเขตบนและล่าง

• Rockafellar, อาร์. ไทร์เรลล์ ; เว็ตส์, โรเจอร์ เจ.-บี. (26 มิถุนายน 2552). วิเคราะห์แปรผัน Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. 317 . เบอร์ลินนิวยอร์ก: Springer วิทยาศาสตร์และธุรกิจสื่อ ISBN 9783642024313. OCLC  883392544 .

• "ขอบบนและล่าง" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Breitenbach, Jerome R. & Weisstein, Eric W. "Infimum and supremum" . คณิตศาสตร์โลก.