ทรงกลม

รัศมีมุมฉากสองอันของทรงกลม

ในเรขาคณิตวิเคราะห์ทรงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง( x ₀ , y ₀ , z ₀ )และรัศมีrคือโลคัสของจุดทั้งหมด( x , y , z ) ในลักษณะที่ว่า

${\displaystyle (x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}=r^{2}.}$

ให้a, b, c, d, eเป็นจำนวนจริงที่มีa ≠ 0และใส่

${\displaystyle x_{0}={\frac {-b}{a}},\quad y_{0}={\frac {-c}{a}},\quad z_{0}={\frac { -d}{a}},\quad \rho ={\frac {b^{2}+c^{2}+d^{2}-ae}{a^{2}}}.}$

แล้วสมการ

${\displaystyle f(x,y,z)=a(x^{2}+y^{2}+z^{2})+2(bx+cy+dz)+e=0}$

ไม่มีจุดจริงเป็นวิธีแก้ปัญหาถ้า ${\displaystyle \rho <0}$และถูกเรียกว่าสมการนั้นทรงกลมจินตนาการ ถ้า${\displaystyle \rho =0}$, ทางออกเดียวของ ${\displaystyle f(x,y,z)=0}$ เป็นจุด ${\displaystyle P_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})}$และสมการที่บอกว่าจะเป็นสมการของการทรงกลมจุด สุดท้ายในกรณี${\displaystyle \rho >0}$, ${\displaystyle f(x,y,z)=0}$ เป็นสมการของทรงกลมที่มีศูนย์กลางเป็น ${\displaystyle P_{0}}$ และมีรัศมีของใคร ${\displaystyle {\sqrt {\rho }}}$. ^[2]

ถ้าaในสมการข้างต้นเป็นศูนย์ ดังนั้นf ( x , y , z ) = 0คือสมการของระนาบ ดังนั้นเครื่องบินอาจจะคิดว่าเป็นรูปทรงกลมของรัศมีอนันต์ศูนย์เป็นจุดที่อินฟินิตี้ ^[3]

จุดบนทรงกลมที่มีรัศมี ${\displaystyle r>0}$ และศูนย์ ${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}$ สามารถกำหนดพารามิเตอร์ได้ผ่าน

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=x_{0}+r\sin \theta \;\cos \varphi \\y&=y_{0}+r\sin \theta \;\sin \varphi \qquad ( 0\leq \theta \leq \pi ,\;0\leq \varphi <2\pi )\\z&=z_{0}+r\cos \theta \,\end{aligned}}}$^[4]

พารามิเตอร์ ${\displaystyle \theta }$สามารถเชื่อมโยงกับมุมที่นับบวกจากทิศทางของแกนzบวกผ่านจุดศูนย์กลางไปยังเวกเตอร์รัศมีและพารามิเตอร์${\displaystyle \varphi }$สามารถเชื่อมโยงกับมุมนับบวกจากทิศทางของการบวกxแกนผ่านทางศูนย์จะฉายรัศมีเวกเตอร์บนXYเครื่องบิน

ทรงกลมรัศมีใด ๆ ที่เป็นศูนย์กลางที่ศูนย์เป็นพื้นผิวหนึ่งดังต่อไปนี้รูปแบบที่แตกต่างกัน :

${\displaystyle x\,dx+y\,dy+z\,dz=0.}$

สมการนี้สะท้อนตำแหน่งและเวกเตอร์ความเร็วของจุด( x , y , z )และ( dx , dy , dz )การเดินทางบนทรงกลมจะมีมุมฉากซึ่งกันและกันเสมอ

ทรงกลมนอกจากนี้ยังสามารถสร้างเป็นพื้นผิวที่เกิดขึ้นจากการหมุนวงกลมใด ๆ เกี่ยวกับของขนาดเส้นผ่าศูนย์กลาง ตั้งแต่วงกลมเป็นชนิดพิเศษของวงรี , ทรงกลมเป็นชนิดพิเศษของรีของการปฏิวัติ แทนที่วงกลมด้วยวงรีที่หมุนรอบแกนหลักของมันรูปร่างจะกลายเป็น prolate spheroid ; หมุนรอบแกนรอง เป็นรูปทรงกลม ^[5]

ทรงกลมและทรงกระบอก

ในสามมิติปริมาตรภายในทรงกลม (นั่นคือ ปริมาตรของลูกบอลแต่คลาสสิกเรียกว่าปริมาตรของทรงกลม) คือ

${\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}={\frac {\pi }{6}}\ d^{3}\ประมาณ 0.5236\cdot d^{3} }$

โดยที่rคือรัศมีและdคือเส้นผ่านศูนย์กลางของทรงกลม อาร์คิมิดีสได้มาจากสูตรนี้โดยแสดงให้เห็นว่าปริมาตรภายในทรงกลมมีปริมาตรเป็นสองเท่าระหว่างทรงกลมกับทรงกระบอกที่ล้อมรอบ ของทรงกลมนั้น (มีความสูงและเส้นผ่านศูนย์กลางเท่ากับเส้นผ่านศูนย์กลางของทรงกลม) ^[6]อาจพิสูจน์ได้โดยการเขียนรูปกรวยคว่ำลงในครึ่งทรงกลม โดยสังเกตว่าพื้นที่หน้าตัดของรูปกรวยบวกกับพื้นที่หน้าตัดของทรงกลมเท่ากับพื้นที่หน้าตัดของ ถัง circumscribing และการประยุกต์ใช้หลักการของ Cavalieri ^[7]สูตรนี้ยังสามารถนำมาใช้แคลคูลัสหนึ่งคือการรวมดิสก์ที่จะรวมเล่มนั้นจำนวนอนันต์ของวงกลมดิสก์ของความหนาซ้อนขนาดเล็กกระจิริดเคียงข้างและเป็นศูนย์กลางตามแนวxแกนจากx = - Rเพื่อx = rสมมติว่าทรงกลมรัศมีrมีศูนย์กลางที่จุดกำเนิด

ที่ค่าxใดๆปริมาตรที่เพิ่มขึ้น ( δV ) เท่ากับผลคูณของพื้นที่หน้าตัดของดิสก์ที่xและความหนา ( δx ):

${\displaystyle \delta V\ประมาณ \pi y^{2}\cdot \delta x.}$

ปริมาณทั้งหมดเป็นผลรวมของปริมาณที่เพิ่มขึ้นทั้งหมด:

${\displaystyle V\ประมาณ \sum \pi y^{2}\cdot \delta x.}$

ในขีดจำกัดเมื่อδxเข้าใกล้ศูนย์^[8]สมการนี้จะกลายเป็น:

${\displaystyle V=\int _{-r}^{r}\pi y^{2}dx.}$

ที่ค่าxใดๆสามเหลี่ยมมุมฉากเชื่อมต่อx , yและrกับจุดกำเนิด ดังนั้นการนำทฤษฎีบทพีทาโกรัสมาประยุกต์ใช้จึงได้ผลลัพธ์ดังนี้

${\displaystyle y^{2}=r^{2}-x^{2}.}$

การใช้การทดแทนนี้จะช่วยให้

${\displaystyle V=\int _{-r}^{r}\pi \left(r^{2}-x^{2}\right)dx,}$

ซึ่งสามารถประเมินผลได้

${\displaystyle V=\pi \left[r^{2}x-{\frac {x^{3}}{3}}\right]_{-r}^{r}=\pi \left(r ^{3}-{\frac {r^{3}}{3}}\right)-\pi \left(-r^{3}+{\frac {r^{3}}{3}}\ right)={\frac {4}{3}}\pi r^{3}.}$

พบสูตรอื่นโดยใช้พิกัดทรงกลมโดยมีองค์ประกอบปริมาตร

${\displaystyle dV=r^{2}\sin \theta \,dr\,d\theta \,d\varphi }$

ดังนั้น

${\displaystyle V=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{r}r'^{2}\sin \theta \, dr'\,d\theta \,d\varphi =2\pi \int _{0}^{\pi }\int _{0}^{r}r'^{2}\sin \theta \,dr '\,d\theta =4\pi \int _{0}^{r}r'^{2}\,dr'\ ={\frac {4}{3}}\pi r^{3}. }$

สำหรับวัตถุประสงค์ในทางปฏิบัติส่วนใหญ่ ปริมาตรภายในทรงกลมที่จารึกไว้ในลูกบาศก์สามารถประมาณได้เท่ากับ 52.4% ของปริมาตรของลูกบาศก์ เนื่องจากV =พาย/6 d ³โดยที่ dคือเส้นผ่านศูนย์กลางของทรงกลมและความยาวของด้านของลูกบาศก์และ พาย/6 ≈ 0.5236. ตัวอย่างเช่น ทรงกลมที่มีเส้นผ่านศูนย์กลาง 1  ม. มีปริมาตร 52.4% ของลูกบาศก์ที่มีความยาวขอบ 1  ม. หรือประมาณ 0.524 ม. ³ .

พื้นที่ผิวของทรงกลมของรัศมีRคือ:

${\displaystyle A=4\pi r^{2}.}$

อาร์คิมิดีสได้สูตรนี้มาเป็นครั้งแรก^[9]จากข้อเท็จจริงที่ว่าการฉายภาพไปยังพื้นผิวด้านข้างของทรงกระบอกที่มีเส้นรอบวงนั้นรักษาพื้นที่ไว้ ^[10]อีกวิธีหนึ่งในการได้สูตรมาจากข้อเท็จจริงที่ว่ามันเท่ากับอนุพันธ์ของสูตรสำหรับปริมาตรเทียบกับrเพราะปริมาตรรวมภายในทรงกลมรัศมีrถือได้ว่าเป็นผลรวมของพื้นที่ผิวของ จำนวนอนันต์ของเปลือกหอยทรงกลมของความหนาน้อยซ้อน concentrically ภายในอีกคนหนึ่งจาก 0 ถึงรัศมีรัศมีR ที่ความหนาน้อยที่สุด ความคลาดเคลื่อนระหว่างพื้นที่ผิวด้านในและด้านนอกของเปลือกที่กำหนดนั้นมีค่าน้อยมาก และปริมาตรของธาตุที่รัศมีrเป็นเพียงผลคูณของพื้นที่ผิวที่รัศมีrและความหนาที่น้อยที่สุด

ในรัศมีใดก็ตามR , ^{[หมายเหตุ 1]}ปริมาณที่เพิ่มขึ้น ( δV ) เท่ากับผลิตภัณฑ์ของพื้นที่ผิวที่รัศมีR ( ( R ) ) และความหนาของเปลือก (คนδr ):

${\displaystyle \delta V\ประมาณ A(r)\cdot \delta r.}$

ปริมาณรวมคือผลรวมของวอลุ่มเชลล์ทั้งหมด:

${\displaystyle V\ประมาณ \sum A(r)\cdot \delta r.}$

ในขีดจำกัดเมื่อδrเข้าใกล้ศูนย์^[8]สมการนี้จะกลายเป็น:

${\displaystyle V=\int _{0}^{r}A(r)\,dr.}$

แทนวี :

${\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi r^{3}=\int _{0}^{r}A(r)\,dr.}$

แยกความแตกต่างทั้งสองข้างของสมการนี้เทียบกับrให้ผลAเป็นฟังก์ชันของr :

${\displaystyle 4\pi r^{2}=A(r).}$

โดยทั่วไปจะย่อเป็น:

${\displaystyle A=4\pi r^{2},}$

โดยที่rถูกพิจารณาว่าเป็นรัศมีคงที่ของทรงกลม

อีกทางหนึ่งองค์ประกอบพื้นที่บนทรงกลมถูกกำหนดให้เป็นพิกัดทรงกลมโดยdA = r ² sin θ dθ dφ . ในพิกัดคาร์ทีเซียนองค์ประกอบของพื้นที่คือ^{[ ต้องการการอ้างอิง ]}

${\displaystyle dS={\frac {r}{\sqrt {r^{2}-{\displaystyle \sum _{i\neq k}x_{i}^{2}}}}}\prod _{i \neq k}dx_{i},\;\forall k.}$

พื้นที่ทั้งหมดจึงสามารถหาได้จากการรวม :

${\displaystyle A=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }r^{2}\sin \theta \,d\theta \,d\varphi =4\ พาย r^{2}.}$

ทรงกลมมีพื้นที่ผิวที่เล็กที่สุดของพื้นผิวทั้งหมดที่ล้อมรอบปริมาตรที่กำหนด และมันล้อมรอบปริมาตรที่ใหญ่ที่สุดในบรรดาพื้นผิวปิดทั้งหมดด้วยพื้นที่ผิวที่กำหนด ^[11]ทรงกลมจึงปรากฏในธรรมชาติ: ตัวอย่างเช่น ฟองอากาศและหยดน้ำขนาดเล็กเป็นทรงกลมโดยประมาณเนื่องจากแรงตึงผิวเฉพาะที่ช่วยลดพื้นที่ผิว

พื้นที่ผิวสัมพัทธ์กับมวลของลูกบอลเรียกว่าพื้นที่ผิวจำเพาะและสามารถแสดงได้จากสมการข้างต้นเป็น

${\displaystyle \mathrm {SSA} ={\frac {A}{V\rho }}={\frac {3}{r\rho }},}$

โดยที่ρคือความหนาแน่น (อัตราส่วนของมวลต่อปริมาตร)

ส่วนระนาบของทรงกลม: 1 วงกลม

จุดตัดโคแอกเซียลของทรงกลมและทรงกระบอก: 2 วงกลม

แวดวง

• จุดตัดของทรงกลมและระนาบเป็นวงกลม จุดหรือจุดว่าง

ในกรณีของวงกลม วงกลมสามารถอธิบายได้ด้วยสมการพาราเมทริก ${\displaystyle \;{\vec {x}}=({\vec {e}}_{0}+{\vec {e}}_{1}\cos t+{\vec {e}}_{2 }\sin t)^{T}\;}$: ดูส่วนเครื่องบินของทรงรี

แต่พื้นผิวที่ซับซ้อนกว่าอาจตัดกับทรงกลมเป็นวงกลมเช่นกัน:

• จุดตัดที่ไม่ว่างเปล่าของทรงกลมที่มีพื้นผิวของการปฏิวัติซึ่งแกนมีจุดศูนย์กลางของทรงกลม (เป็นโคแอกเซียล ) ประกอบด้วยวงกลมและ/หรือจุด

แผนภาพแสดงกรณีที่จุดตัดของทรงกระบอกและทรงกลมประกอบด้วยวงกลมสองวง รัศมีของทรงกระบอกจะเท่ากับรัศมีของทรงกลมหรือไม่ จุดตัดจะเป็นวงกลมเดียว โดยที่พื้นผิวทั้งสองสัมผัสกัน

ในกรณีของทรงกลมที่มีจุดศูนย์กลางและแกนหลักเดียวกันกับทรงกลม จุดตัดจะประกอบด้วยจุดสองจุด (จุดยอด) โดยที่พื้นผิวสัมผัสกัน

เส้นโค้ง Clelia

เกลียวทรงกลมด้วย ${\displaystyle c=8}$

ถ้าทรงกลมอธิบายโดยการแสดงแบบพาราเมตริก

${\displaystyle {\vec {x}}=(r\cos \theta \cos \varphi ,r\cos \theta \sin \varphi ,r\sin \theta )^{T}}$

หนึ่งได้เส้นโค้ง Cleliaหากมุมเชื่อมต่อกันด้วยสมการ

• ${\displaystyle \varphi =c\;\theta \;,\ c>0\;.}$

กรณีพิเศษคือ: เส้นโค้งของ Viviani (${\displaystyle c=1}$) และเกลียวทรงกลม (${\displaystyle c>2}$) เช่นเกลียว Seiffert ของ

ล็อกโซโดรม

ล็อกโซโดรม

ในการนำทางเป็นสาย rhumbหรือloxodromeเป็นโค้งข้ามทุกเส้นเมอริเดียนของเส้นแวงที่มุมเดียวกัน เส้นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนไม่ใช่เกลียวทรงกลม ไม่มีการเชื่อมต่อระหว่างมุมอย่างง่าย${\displaystyle \varphi }$ และ ${\displaystyle \theta }$.

จุดตัดของทรงกลมที่มีพื้นผิวทั่วไปมากขึ้น

สี่แยกทั่วไป ทรงกลม-ทรงกระบอก

ถ้าทรงกลมตัดกับพื้นผิวอื่น อาจมีเส้นโค้งทรงกลมที่ซับซ้อนกว่า

ตัวอย่าง

ทรงกลม – ทรงกระบอก

จุดตัดของทรงกลมด้วยสมการ ${\displaystyle \;x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}\;}$ และทรงกระบอกที่มีสมการ ${\displaystyle \;(y-y_{0})^{2}+z^{2}=a^{2},\;y_{0}\neq 0\;}$ไม่ใช่แค่วงกลมหนึ่งหรือสองวง มันคือคำตอบของระบบสมการไม่เชิงเส้น

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-r^{2}=0}$

${\displaystyle (y-y_{0})^{2}+z^{2}-a^{2}=0\ .}$

(ดูเส้นโค้งโดยนัยและแผนภาพ)

ทรงกลมถูกกำหนดโดยจุดสี่จุดที่ไม่ใช่ระนาบเดียวกัน โดยทั่วไปแล้ว ทรงกลมถูกกำหนดโดยเงื่อนไขสี่ประการ เช่น การผ่านจุด การสัมผัสกับระนาบ ฯลฯ^[12]คุณสมบัตินี้คล้ายคลึงกับคุณสมบัติที่จุดที่ไม่ใช่แนวร่วมสามจุดกำหนดวงกลมที่ไม่ซ้ำกันในระนาบ

ด้วยเหตุนี้ ทรงกลมจึงถูกกำหนดโดย (นั่นคือ ทะลุ) วงกลมและจุดที่ไม่ได้อยู่ในระนาบของวงกลมนั้น

จากการตรวจสอบคำตอบทั่วไปของสมการของทรงกลมสองอัน จะเห็นได้ว่าทรงกลมสองอันตัดกันเป็นวงกลมและระนาบที่มีวงกลมนั้นเรียกว่าระนาบรากของทรงกลมที่ตัดกัน ^[13]แม้ว่าระนาบรากจะเป็นระนาบจริง วงกลมอาจเป็นจินตภาพ (ทรงกลมไม่มีจุดจริงร่วมกัน) หรือประกอบด้วยจุดเดียว (ทรงกลมสัมผัสกัน ณ จุดนั้น) ^[14]

มุมระหว่างทรงกลมสองอันที่จุดตัดจริงคือมุมไดฮีดรัลที่กำหนดโดยระนาบแทนเจนต์กับทรงกลม ณ จุดนั้น ทรงกลมสองอันตัดกันที่มุมเดียวกันทุกจุดของวงกลมทางแยกของพวกมัน ^[15]พวกเขาตัดกันที่มุมฉาก (เป็นมุมฉาก ) ถ้าและเฉพาะในกรณีที่ระยะห่างระหว่างจุดศูนย์กลางของพวกเขาเท่ากับผลรวมของกำลังสองของรัศมี ^[3]

ดินสอทรงกลม

ถ้าf ( x , y , z ) = 0และg ( x , y , z ) = 0เป็นสมการของทรงกลมที่แตกต่างกันสองอัน

${\displaystyle sf(x,y,z)+tg(x,y,z)=0}$

นอกจากนี้ยังเป็นสมการของทรงกลมสำหรับค่าโดยพลการของพารามิเตอร์ที่sและเสื้อ ชุดของทรงกลมทั้งหมดที่เป็นไปตามสมการนี้เรียกว่าดินสอทรงกลมซึ่งกำหนดโดยทรงกลมสองอันดั้งเดิม ในคำจำกัดความนี้ ทรงกลมได้รับอนุญาตให้เป็นระนาบ (รัศมีอนันต์ ศูนย์กลางที่อนันต์) และถ้าทรงกลมดั้งเดิมทั้งสองเป็นระนาบ ทรงกลมทั้งหมดของดินสอก็คือระนาบ มิฉะนั้นจะมีระนาบเดียว (ระนาบราก) ใน ดินสอ. ^[3]

ส่วนเครื่องบิน

วงกลมใหญ่บนทรงกลมมีศูนย์เดียวกันและรัศมีเป็นทรงกลม-จึงแบ่งออกเป็นสองส่วนเท่า ๆ กัน ส่วนเครื่องบินของทรงกลมจะเรียกว่าsections- มีรูปทรงกลมซึ่งมีทั้งที่ดีสำหรับวงการเครื่องบินผ่านรูปทรงกลมของศูนย์หรือขนาดเล็กแวดวงสำหรับคนอื่น ๆ ทั้งหมด ^[16]

เครื่องบินใด ๆ ที่มีศูนย์กลางของทรงกลมแบ่งออกเป็นสองเท่ากับซีก ใด ๆ สองระนาบตัดที่มีศูนย์กลางของทรงกลมทรงกลมแบ่งออกเป็นสี่lunesหรือ biangles, จุดซึ่งตรงกับจุดที่ตรงกันข้ามกับเท้านอนอยู่บนเส้นตัดของเครื่องบินที่

สาขาเรขาคณิต

ระยะทางที่ไม่ใช่แบบยุคลิด

จุดคู่ใดๆ บนทรงกลมที่วางอยู่บนเส้นตรงผ่านจุดศูนย์กลางของทรงกลม (กล่าวคือ เส้นผ่านศูนย์กลาง) เรียกว่าจุดตรงข้ามกันบนทรงกลม ระยะห่างระหว่างจุดทั้งสองจะเท่ากับครึ่งหนึ่งของความยาวของเส้นรอบวงพอดี ^{[หมายเหตุ 2] คู่}อื่น ๆ (กล่าวคือไม่ใช่จุดตรงกันข้าม) บนทรงกลม

• นอนอยู่บนวงกลมใหญ่ที่ไม่เหมือนใคร
• แบ่งออกเป็นส่วนย่อยหนึ่งส่วน (เช่นสั้นกว่า) และส่วนโค้งหลัก (เช่นอีกต่อไป) และ
• ให้ส่วนโค้งเล็กยาวเป็นระยะทางที่สั้นที่สุดระหว่างพวกมันบนทรงกลม ^{[หมายเหตุ 3]}

เรขาคณิตทรงกลม^{[หมายเหตุ 4] ใช้}คุณสมบัติที่คล้ายคลึงกันหลายอย่างกับแบบยุคลิดเมื่อติดตั้ง " ระยะวงกลมใหญ่ " นี้แล้ว

เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์

และอื่น ๆ อีกมากมายทั่วไปนามธรรมของรูปทรงเรขาคณิตที่ยังใช้แนวคิดระยะทางเดียวกันในวงกลมรีมัน

ซีกโลกถูกคาดคะเนว่าเป็นการเติมไอโซเมตริกที่เหมาะสมที่สุด (พื้นที่น้อยที่สุด) ของวงกลมรีมันเนียน

เรขาคณิตโปรเจกทีฟ

ความฉลาดทางตรงกันข้ามของทรงกลมคือพื้นผิวที่เรียกว่าระนาบการฉายภาพจริงซึ่งสามารถคิดได้ว่าเป็นซีกโลกเหนือที่มีจุดตรงกันข้ามของเส้นศูนย์สูตรที่ระบุ

ภูมิศาสตร์

คำศัพท์ที่ยืมมาจากภูมิศาสตร์ของโลกโดยตรง ถึงแม้ว่ารูปร่างทรงกลมของมันจะมีการแยกตัวออกจากทรงกลมที่สมบูรณ์แบบมากหรือน้อยก็ตาม(ดูgeoid ) ก็เป็นที่เข้าใจกันโดยทั่วไป ในเรขาคณิตที่ไม่เกี่ยวข้องกับวัตถุทางดาราศาสตร์ ควรใช้คำศัพท์เฉพาะทาง geocentric เท่านั้นสำหรับภาพประกอบและระบุไว้เช่นนั้น เว้นแต่จะไม่มีโอกาสเกิดความเข้าใจผิด

เสา ลองจิจูด และละติจูด

หากจุดใดบนทรงกลมเป็น (พล) กำหนดให้เป็นของขั้วโลกเหนือชี้ตรงกันข้ามกับเท้าของมันจะถูกเรียกว่าขั้วโลกใต้ วงกลมระยะเท่ากันที่ดีในแต่ละแล้วเส้นศูนย์สูตร วงกลมใหญ่ที่ตัดผ่านเสาเรียกว่า เส้นลองจิจูด (หรือเส้นเมอริเดียน ) บรรทัดที่ไม่ได้อยู่ในรูปทรงกลมแต่ผ่านศูนย์กลางการเชื่อมต่อเสาสองอาจจะเรียกว่าแกนหมุน แวดวงบนทรงกลมที่มีขนาน (เช่นไม่แวดวงดี) กับเส้นศูนย์สูตรเป็นเส้นของรุ้ง

มิติ

ทรงกลมสามารถทั่วไปไปที่ช่องว่างของจำนวนใด ๆมิติ สำหรับจำนวนธรรมชาติ nใดๆ" n -sphere" ที่มักเขียนเป็นS ⁿคือเซตของจุดใน ( n + 1 ) มิติอวกาศแบบยุคลิดที่อยู่ในระยะคงที่rจากจุดศูนย์กลางของสเปซนั้น โดยที่rเป็นจำนวนจริงบวกเหมือนเมื่อก่อน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง:

• S ⁰ : 0-sphere คือคู่ของจุดสิ้นสุดของช่วงเวลา [− r , r ]ของเส้นจริง
• S ¹ : 1 ทรงกลมเป็นวงกลมรัศมี r
• S ² : 2 ทรงกลมเป็นทรงกลมธรรมดา
• S ³ : 3 ทรงกลมเป็นทรงกลมในปริภูมิแบบยุคลิด 4 มิติ

ทรงกลมสำหรับn > 2บางครั้งเรียกว่าไฮเปอร์สเฟียร์

ทรงกลมnของรัศมีหน่วยที่มีศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิดจะแสดงเป็นS ⁿและมักเรียกกันว่า "ทรงกลมn " โปรดทราบว่าทรงกลมธรรมดาเป็นทรงกลม 2 ทรงกลม เนื่องจากเป็นพื้นผิว 2 มิติ (ซึ่งฝังอยู่ในปริภูมิสามมิติ)

พื้นที่ผิวของหน่วย ( n -1 ) -ทรงกลม is

${\displaystyle {\frac {2\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}}$

ที่Γ ( Z )เป็นออยเลอร์ฟังก์ชันแกมมา

อีกนิพจน์สำหรับพื้นที่ผิวคือ

${\displaystyle {\begin{cases}\displaystyle {\frac {(2\pi )^{n/2}\,r^{n-1}}{2\cdot 4\cdots (n-2)}} ,&{\text{if }}n{\text{ is even}};\\\\\displaystyle {\frac {2(2\pi )^{(n-1)/2}\,r^{ n-1}}{1\cdot 3\cdots (n-2)}},&{\text{if }}n{\text{ is odd}}.\end{cases}}}$

และปริมาตรคือพื้นที่ผิวคูณ r/น หรือ

${\displaystyle {\begin{cases}\displaystyle {\frac {(2\pi )^{n/2}\,r^{n}}{2\cdot 4\cdots n}},&{\text{ if }}n{\text{ is even}};\\\\\displaystyle {\frac {2(2\pi )^{(n-1)/2}\,r^{n}}{1\ cdot 3\cdots n}},&{\text{if }}n{\text{ is odd}}.\end{cases}}}$

สูตร recursive ทั่วไปยังอยู่สำหรับปริมาณของnบอลอื่น ๆ

ช่องว่างเมตริก

โดยทั่วไปในพื้นที่ตัวชี้วัด ( E , d )ทรงกลมของศูนย์xและรัศมีR > 0คือชุดของจุดYดังกล่าวว่าd ( x , Y ) = R

หากจุดศูนย์กลางเป็นจุดเด่นที่ถือว่าเป็นจุดกำเนิดของEเช่นเดียวกับในปริภูมิปกติ จะไม่กล่าวถึงในคำจำกัดความและสัญกรณ์ เช่นเดียวกับรัศมีถ้านำมาเท่ากับหนึ่งเช่นในกรณีของหน่วย ทรงกลม .

ต่างจากลูกบอลแม้แต่ทรงกลมขนาดใหญ่อาจเป็นเซตว่าง ยกตัวอย่างเช่นในZ ⁿกับยุคลิดเมตริกเป็นรูปทรงกลมของรัศมีRคือว่างเท่านั้นหากR ²สามารถเขียนเป็นผลรวมของnสี่เหลี่ยมของจำนวนเต็ม

ในโครงสร้างการn -sphere ถูกกำหนดให้เป็นพื้นที่มอร์ฟิคขอบเขตของนั้น( n + 1)บอลอื่น ๆ ; ดังนั้นจึงเป็นมอร์ฟิคกับยุคลิดn -sphere แต่บางทีอาจจะขาดของตัวชี้วัด

• 0 วงคือคู่ของจุดที่มีโครงสร้างที่ไม่ต่อเนื่อง
• 1 ทรงกลมเป็นวงกลม ( จนถึง homeomorphism); ดังนั้น ตัวอย่างเช่น (ภาพของ) ปมใด ๆเป็น 1 ทรงกลม
• 2-sphere เป็นทรงกลมธรรมดา (ขึ้นอยู่กับ homeomorphism); ตัวอย่างเช่นทรงกลมใดๆ ที่เป็นทรงกลม 2 ทรงกลม

n -sphere จะแสดงS n มันเป็นตัวอย่างของหนึ่งที่มีขนาดกะทัดรัด นานาทอพอโลยีโดยไม่ต้องเขตแดน ทรงกลมไม่จำเป็นต้องเรียบ ; ถ้ามันเรียบ ก็ไม่จำเป็นต้องดิฟเฟโอมอร์ฟิกกับทรงกลมแบบยุคลิด (ทรงกลมที่แปลกใหม่ )

ทฤษฎีบท Heine-Borelหมายถึงว่ายุคลิดn -sphere มีขนาดกะทัดรัด ทรงกลมคือภาพผกผันของเซตหนึ่งจุดภายใต้ฟังก์ชันต่อเนื่อง|| x || . ดังนั้นทรงกลมจึงปิด S ⁿถูก จำกัด ด้วย; ดังนั้นจึงมีขนาดกะทัดรัด

ที่น่าสังเกตก็เป็นไปได้ที่จะเปิดภายในทรงกลมธรรมดาออกมาในพื้นที่สามมิติที่มีความเป็นไปได้แยกตัวเอง แต่ไม่มีการสร้างรอยพับใด ๆ ในกระบวนการที่เรียกว่าทรงกลม eversion

วงกลมใหญ่บนทรงกลม

องค์ประกอบพื้นฐานของรูปทรงเรขาคณิตแบบยุคลิดเครื่องบินมีจุดและเส้น บนทรงกลม จุดถูกกำหนดในความหมายปกติ อะนาล็อกของ "เส้น" เป็นเนื้อที่ซึ่งเป็นวงกลมใหญ่ ; ลักษณะเฉพาะของวงกลมใหญ่คือระนาบที่มีจุดทั้งหมดของมันเคลื่อนผ่านศูนย์กลางของทรงกลมด้วย การวัดโดยความยาวส่วนโค้งแสดงว่าเส้นทางที่สั้นที่สุดระหว่างจุดสองจุดที่อยู่บนทรงกลมคือส่วนที่สั้นกว่าของวงกลมใหญ่ที่มีจุด

ทฤษฎีบทจำนวนมากจากรูปทรงเรขาคณิตคลาสสิกถือเป็นจริงสำหรับเรขาคณิตทรงกลมเช่นกัน แต่ไม่ทั้งหมดทำเพราะทรงกลมล้มเหลวในการตอบสนองบางส่วนของรูปทรงเรขาคณิตคลาสสิกของสมมุติฐานรวมทั้งขนานสมมุติ ในตรีโกณมิติทรงกลม , มุมที่มีการกำหนดไว้ระหว่างวงการที่ดี ตรีโกณมิติทรงกลมแตกต่างจากตรีโกณมิติธรรมดาหลายประการ ตัวอย่างเช่น ผลรวมของมุมภายในของสามเหลี่ยมทรงกลมจะมากกว่า 180 องศาเสมอ นอกจากนี้สามเหลี่ยมทรงกลมสองรูปใดๆ ที่เหมือนกันจะเท่ากันทุกประการ

เวกเตอร์ตั้งฉากกับทรงกลม ระนาบปกติและส่วนปกติของมัน ความโค้งของส่วนโค้งของทางแยกคือความโค้งของส่วนโค้ง สำหรับทรงกลม ส่วนปกติแต่ละส่วนผ่านจุดที่กำหนดจะเป็นวงกลมที่มีรัศมีเดียวกัน นั่นคือรัศมีของทรงกลม ซึ่งหมายความว่าทุกจุดบนทรงกลมจะเป็นจุดสะดือ

ในหนังสือเรขาคณิตและจินตนาการ , ^[17] เดวิดฮิลแบร์ตและสเตฟาน Cohn-Vossenอธิบายสิบเอ็ดคุณสมบัติของทรงกลมและหารือว่าคุณสมบัติเหล่านี้ไม่ซ้ำกันกำหนดรูปทรงกลม คุณสมบัติหลายประการมีไว้สำหรับระนาบซึ่งสามารถมองได้ว่าเป็นทรงกลมที่มีรัศมีอนันต์ คุณสมบัติเหล่านี้คือ:

1. จุดบนทรงกลมทั้งหมดอยู่ห่างจากจุดคงที่เท่ากัน นอกจากนี้ อัตราส่วนของระยะห่างของจุดจากจุดคงที่สองจุดยังคงที่อีกด้วย

   ส่วนแรกเป็นคำจำกัดความปกติของทรงกลมและกำหนดแบบไม่ซ้ำกัน ส่วนที่สองจะสามารถสรุปได้ดังต่อไปนี้ได้อย่างง่ายดายและคล้าย ผลของ Apollonius ของ Pergaสำหรับ วงกลม ส่วนที่สองนี้มีไว้สำหรับ เครื่องบินด้วย

2. รูปทรงและส่วนระนาบของทรงกลมเป็นวงกลม

   คุณสมบัตินี้กำหนดทรงกลมโดยไม่ซ้ำกัน

3. ทรงกลมมีความกว้างคงที่และเส้นรอบวงคงที่

   ความกว้างของพื้นผิวคือระยะห่างระหว่างระนาบสัมผัสคู่ขนานกัน อื่น ๆ อีกมากมายพื้นผิวนูนปิดมีความกว้างอย่างต่อเนื่องเช่น ร่างกาย Meissner เส้นรอบวงของพื้นผิวคือ เส้นรอบวงของขอบเขตของการฉายภาพมุมฉากกับระนาบ แต่ละคุณสมบัติเหล่านี้บ่งบอกถึงคุณสมบัติอื่นๆ

4. ทุกจุดของทรงกลมมีumbilics

   ณ จุดใดๆ บนพื้นผิว ทิศทางปกติจะทำมุมฉากกับพื้นผิว เนื่องจากทรงกลมเหล่านี้เป็นเส้นที่แผ่ออกมาจากจุดศูนย์กลางของทรงกลม จุดตัดของเครื่องบินที่มีปกติที่มีพื้นผิวที่จะเป็นเส้นโค้งที่เรียกว่าเป็น ส่วนปกติและความโค้งของเส้นโค้งนี้เป็น โค้งปกติ สำหรับจุดส่วนใหญ่บนพื้นผิวส่วนใหญ่ ส่วนต่างๆ จะมีความโค้งต่างกัน สูงสุดและต่ำสุดค่าเหล่านี้จะเรียกว่า โค้งหลัก ปิดผิวใด ๆ ที่จะมีอย่างน้อยสี่จุดที่เรียกว่า จุดสะดือ ที่สะดือส่วนโค้งทั้งหมดเท่ากัน โดยเฉพาะ ส่วนโค้งหลักจะเท่ากัน จุดสะดือสามารถคิดได้ว่าเป็นจุดที่พื้นผิวใกล้เคียงกับทรงกลม

   สำหรับทรงกลม ความโค้งของส่วนปกติทั้งหมดจะเท่ากัน ดังนั้นทุกจุดจึงเป็นสะดือ ทรงกลมและระนาบเป็นพื้นผิวเดียวที่มีคุณสมบัตินี้

5. ทรงกลมไม่มีพื้นผิวเป็นจุดศูนย์กลาง

   สำหรับส่วนปกติที่กำหนดจะมีวงกลมของความโค้งที่เท่ากับส่วนโค้งของหน้าตัด สัมผัสกับพื้นผิว และเส้นกึ่งกลางที่อยู่บนเส้นตั้งฉาก ยกตัวอย่างเช่นสองศูนย์ที่สอดคล้องกับสูงสุดและต่ำสุดโค้งขวางจะเรียกว่า จุดโฟกัสและชุดของศูนย์ดังกล่าวทุกรูปแบบ พื้นผิวโฟกัส

   สำหรับพื้นผิวส่วนใหญ่ พื้นผิวโฟกัสจะสร้างแผ่นสองแผ่นซึ่งเป็นพื้นผิวแต่ละแผ่นและมาบรรจบกันที่จุดสะดือ หลายกรณีมีความพิเศษ:

   * สำหรับ ผิวช่องแผ่นหนึ่งเป็นรูปโค้งและอีกแผ่นเป็นพื้นผิว

   * สำหรับ กรวย , ถัง, Toriและ cyclidesแผ่นทั้งสองรูปแบบโค้ง

   * สำหรับทรงกลม จุดศูนย์กลางของวงกลมสั่นทุกวงอยู่ที่ศูนย์กลางของทรงกลม และพื้นผิวโฟกัสจะก่อตัวเป็นจุดเดียว คุณสมบัตินี้มีลักษณะเฉพาะของทรงกลม

6. geodesics ทั้งหมดของทรงกลมเป็นเส้นโค้งปิด

   จีโอเดซิกส์เป็นเส้นโค้งบนพื้นผิวที่ให้ระยะห่างระหว่างจุดสองจุดสั้นที่สุด เป็นภาพรวมของแนวคิดเรื่องเส้นตรงในระนาบ สำหรับทรงกลม geodesics เป็นวงกลมที่ยิ่งใหญ่ พื้นผิวอื่น ๆ อีกมากมายแบ่งปันคุณสมบัตินี้

7. ในบรรดาของแข็งทั้งหมดที่มีปริมาตรที่กำหนด ทรงกลมนั้นเป็นอันที่มีพื้นที่ผิวเล็กที่สุด ของของแข็งทั้งหมดที่มีพื้นที่ผิวที่กำหนด ทรงกลมเป็นทรงกลมที่มีปริมาตรมากที่สุด

   มันดังมาจาก ความไม่เท่าเทียมกัน isoperimetric คุณสมบัติเหล่านี้กำหนดทรงกลมอย่างมีเอกลักษณ์และสามารถมองเห็นได้ใน ฟองสบู่ : ฟองสบู่จะล้อมรอบปริมาตรคงที่ และ ความตึงผิวจะลดพื้นที่ผิวของมันสำหรับปริมาตรนั้น ฟองสบู่ที่ลอยได้อย่างอิสระจึงใกล้เคียงกับทรงกลม (แม้ว่าแรงภายนอกเช่นแรงโน้มถ่วงจะทำให้รูปร่างของฟองบิดเบี้ยวเล็กน้อย) นอกจากนี้ยังสามารถเห็นได้ในดาวเคราะห์และดาวฤกษ์ที่แรงโน้มถ่วงลดพื้นที่ผิวสำหรับเทห์ฟากฟ้าขนาดใหญ่

8. ทรงกลมมีความโค้งเฉลี่ยรวมที่เล็กที่สุดในบรรดาของแข็งนูนทั้งหมดที่มีพื้นที่ผิวที่กำหนด

   โค้งเฉลี่ยเป็นค่าเฉลี่ยของทั้งสองโค้งหลักซึ่งเป็นค่าคงที่เพราะทั้งสองโค้งหลักคือคงที่ในทุกจุดของทรงกลม

9. ทรงกลมมีความโค้งเฉลี่ยคงที่

   ทรงกลมเป็นพื้นผิวฝังเพียงอย่างเดียว ที่ไม่มีขอบเขตหรือภาวะเอกฐานที่มีความโค้งเฉลี่ยเป็นบวกคงที่ พื้นผิวจุ่มอื่นๆ เช่น พื้นผิวที่ น้อยที่สุดจะมีค่าเฉลี่ยความโค้งคงที่

10. ทรงกลมมีความโค้งแบบเกาส์เซียนเป็นบวกคงที่

    ความโค้งแบบเกาส์เซียนเป็นผลคูณของความโค้งหลักสองแบบ เป็นคุณสมบัติที่แท้จริงที่สามารถกำหนดได้โดยการวัดความยาวและมุม และไม่ขึ้นกับว่าพื้นผิว ฝังอยู่ในอวกาศอย่างไร ดังนั้นการดัดพื้นผิวจะไม่เปลี่ยนความโค้งแบบเกาส์เซียน และพื้นผิวอื่นๆ ที่มีความโค้งแบบเกาส์เซียนที่เป็นบวกคงที่นั้นสามารถทำได้โดยการตัดร่องเล็กๆ ในทรงกลมแล้วดัดมัน พื้นผิวอื่นๆ ทั้งหมดเหล่านี้จะมีขอบเขต และทรงกลมเป็นพื้นผิวเดียวที่ไม่มีขอบเขตที่มีความโค้งแบบเกาส์เซียนที่เป็นบวกคงที่ pseudosphereเป็นตัวอย่างของพื้นผิวที่มีอย่างต่อเนื่องในเชิงลบเสียนโค้งหนึ่ง

11. ทรงกลมถูกแปลงเป็นตัวเองโดยกลุ่มการเคลื่อนไหวที่เข้มงวดสามพารามิเตอร์

    การหมุนรอบแกนใดๆ ของหน่วยทรงกลมที่จุดกำเนิดจะจับคู่ทรงกลมเข้ากับตัวมันเอง การหมุนใดๆ เกี่ยวกับเส้นที่ลากผ่านจุดกำเนิดสามารถแสดงเป็นการรวมกันของการหมุนรอบแกนสามพิกัด (ดู มุมออยเลอร์ ) ดังนั้นตระกูลการหมุนสามพารามิเตอร์จึงมีอยู่ซึ่งการหมุนแต่ละครั้งจะเปลี่ยนทรงกลมเข้าหาตัวมันเอง ครอบครัวนี้เป็น SO กลุ่มการหมุน (3) ระนาบเป็นเพียงพื้นผิวอื่นที่มีกลุ่มการเปลี่ยนแปลงสามพารามิเตอร์ (แปลตาม แกนxและ yและการหมุนรอบจุดกำเนิด) ถังวงกลมเป็นพื้นผิวเฉพาะกับสองครอบครัวพารามิเตอร์ของการเคลื่อนไหวแข็งและ พื้นผิวของการปฏิวัติและ helicoidsเป็นพื้นผิวเฉพาะกับครอบครัวหนึ่งพารามิเตอร์

ตำแหน่งของจุดในช่องว่างจนเป็นผลรวมของ ${\displaystyle 2m}$- พลังแห่งระยะทาง ${\displaystyle d_{i}}$ถึงจุดยอดของของแข็ง Platonic ที่กำหนด ${\displaystyle T_{n}}$ ด้วยเส้นรอบวง ${\displaystyle R}$ เป็นค่าคงที่เป็นทรงกลม ถ้า

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2m}>nR^{2m}}$,

ซึ่งมีศูนย์กลางอยู่ที่เซนทรอยด์ของ ${\displaystyle T_{n}}$. ^[18]

ค่าของ ${\displaystyle ม.}$ ขึ้นอยู่กับจำนวนของจุดยอด ${\รูปแบบการแสดงผล n}$ ของของแข็ง Platonic และเท่ากับ:

• ${\displaystyle ม.}$= 1,2 - สำหรับจัตุรมุขปกติ,

• ${\displaystyle ม.}$= 1,2,3 - สำหรับoctahedronและcube ,

• ${\displaystyle ม.}$= 1,2,3,4,5 - สำหรับicosahedronและdodecahedron .

• 

  รูปภาพของหนึ่งในทรงกลมที่มนุษย์สร้างขึ้นที่แม่นยำที่สุด เนื่องจากหักเหภาพของไอน์สไตน์ในแบ็คกราวด์ ทรงกลมนี้เป็นไจโรสโคปแบบหลอมรวม สำหรับการทดลองGravity Probe Bและมีรูปร่างแตกต่างจากทรงกลมที่สมบูรณ์แบบโดยมีความหนาไม่เกิน 40 อะตอม (น้อยกว่า 10 นาโนเมตร) มันได้รับการประกาศในวันที่ 1 กรกฎาคม 2008 ที่ออสเตรเลียนักวิทยาศาสตร์ได้สร้างที่สมบูรณ์แบบมากยิ่งขึ้นเกือบกลมที่ถูกต้อง 0.3 นาโนเมตรซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของการล่าสัตว์ระหว่างประเทศเพื่อหาสิ่งใหม่มาตรฐานสากลกิโลกรัม ⁽¹⁹⁾  

• 

  สำรับไพ่แสดงเครื่องมือทางวิศวกรรม ประเทศอังกฤษ ปี 1702 ราชาแห่งโพดำ : Spheres

• ฝาทรงกลม
• รูปหลายเหลี่ยมทรงกลม
• ภาคทรงกลม
• ส่วนทรงกลม
• ลิ่มทรงกลม
• โซนทรงกลม

หมายเหตุ

อ้างอิง

อ่านเพิ่มเติม

• Albert, Abraham Adrian (2016) [1949], Solid Analytic Geometry , Dover, ISBN 978-0-486-81026-3.
• ดันแฮม, วิลเลียม (1997). จักรวาลทางคณิตศาสตร์: การเดินทางตามตัวอักษรผ่านการพิสูจน์ ปัญหา และบุคลิกภาพที่ยอดเยี่ยม ไวลีย์ . นิวยอร์ก. น.  28 , 226. Bibcode : 1994muaa.book.....D . ISBN 978-0-171-17661-9.
• Kreyszig, Erwin (1972), Advanced Engineering Mathematics (ฉบับที่ 3), New York: Wiley , ISBN 978-0-471-50728-4.
• Steinhaus, H. (1969), Mathematical Snapshots (Third American ed.), Oxford University Press Oxford.
• Woods, Frederick S. (1961) [1922], Higher Geometry / An Introduction to Advanced Methods in Analytic Geometry , Dover.

• คณิตศาสตร์/การกระจายทรงกลมสม่ำเสมอ Sp
• พื้นที่ผิวของหลักฐานทรงกลม