กลุ่มอวกาศ

กลุ่มอวกาศใน 2 มิติคือกลุ่มวอลล์เปเปอร์ 17 กลุ่มซึ่งเป็นที่รู้จักกันมานานหลายศตวรรษแม้ว่าจะมีการพิสูจน์ว่ารายการนี้เสร็จสมบูรณ์ในปี พ.ศ. 2434 เท่านั้นหลังจากการจำแนกกลุ่มอวกาศที่ยากขึ้นมากได้เสร็จสิ้นลงแล้ว ^[2]ในปีพ. ศ. 2422 Leonhard Sohnckeนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันได้แสดงรายการกลุ่มอวกาศ 65 กลุ่ม (เรียกว่ากลุ่ม Sohncke) ซึ่งองค์ประกอบต่างๆยังคงรักษาความเป็นchiralityไว้ ^[3]ถูกต้องมากขึ้นเขาระบุ 66 กลุ่ม แต่ทั้งนักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซียและนักผลึกศาสตร์ Evgraf Fedorovและนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันArthur Moritz Schoenfliesสังเกตเห็นว่าทั้งสองกลุ่มเหมือนกันจริงๆ กลุ่มอวกาศในสามมิติได้รับการแจกแจงครั้งแรกในปี พ.ศ. 2434 โดย Fedorov ^[4] (รายการซึ่งมีการละเว้นสองรายการ (I 4 3d และ Fdd2) และการทำซ้ำ 1 รายการ (Fmm2)) และหลังจากนั้นไม่นานในปี พ.ศ. 2434 Schönfliesก็แจกแจงโดยอิสระ^[5] (รายการที่มีการละเว้นสี่รายการ (I 4 3d, Pc, Cc,?) และการทำซ้ำหนึ่งรายการ (P 4 2 ₁ม.)) รายชื่อกลุ่มอวกาศ 230 กลุ่มที่ถูกต้องถูกพบในปี 1892 ระหว่างการติดต่อระหว่าง Fedorov และSchönflies ^[6] Barlow  ( 1894 ) ต่อมาได้แจกแจงกลุ่มด้วยวิธีการที่แตกต่างกัน แต่ละเว้นสี่กลุ่ม (Fdd2, I 4 2d, P 4 2 ₁ d และ P 4 2 ₁ c) แม้ว่าเขาจะมีรายชื่อที่ถูกต้อง 230 อยู่แล้วก็ตาม กลุ่มจาก Fedorov และSchönflies; ข้ออ้างทั่วไปที่ว่า Barlow ไม่รู้ว่างานของพวกเขาไม่ถูกต้อง ^{[ ต้องการอ้างอิง ]} Burckhardt (1967)อธิบายถึงประวัติความเป็นมาของการค้นพบกลุ่มอวกาศโดยละเอียด

กลุ่มพื้นที่ในสามมิติที่ทำจากการรวมกันของ 32 crystallographic ชี้กลุ่มกับ 14 โปรย Bravaisแต่ละหลังเป็นของหนึ่งใน 7 ระบบตาข่าย สิ่งนี้หมายความว่าการกระทำขององค์ประกอบใด ๆ ของกลุ่มพื้นที่ที่กำหนดสามารถแสดงเป็นการกระทำขององค์ประกอบของกลุ่มจุดที่เหมาะสมตามด้วยการแปลเป็นทางเลือก กลุ่มพื้นที่จึงรวมกันของสมมาตรแปลของบางหน่วยเซลล์ (รวมถึงกลางตาข่าย ), การดำเนินงานของกลุ่มจุดสมมาตรของการสะท้อน , การหมุนและไม่เหมาะสมหมุน (เรียกว่า rotoinversion) และแกนสกรูและเครื่องบินเหินการดำเนินงานสมมาตร การรวมกันของการดำเนินการสมมาตรทั้งหมดเหล่านี้ทำให้เกิดกลุ่มอวกาศที่แตกต่างกันทั้งหมด 230 กลุ่มซึ่งอธิบายถึงความสมมาตรของคริสตัลที่เป็นไปได้ทั้งหมด

องค์ประกอบที่กำหนดจุด

องค์ประกอบของกลุ่มพื้นที่กำหนดจุดของพื้นที่เป็นเอกลักษณ์องค์ประกอบการสะท้อนการหมุนและการหมุนที่ไม่เหมาะสม

การแปล

การแปลเป็นกลุ่มย่อยของ abelian ตามปกติของอันดับที่ 3 เรียกว่า Bravais lattice มีโครงตาข่าย Bravais 14 ประเภทที่เป็นไปได้ ความฉลาดของกลุ่มพื้นที่โดยตาข่าย Bravais เป็นกลุ่ม จำกัด ซึ่งเป็นหนึ่งที่เป็นไปได้ 32 กลุ่มจุด

ร่อนเครื่องบิน

เครื่องบินร่อนเป็นภาพสะท้อนในระนาบตามด้วยคู่ขนานกับการแปลเครื่องบินลำนั้น นี่คือข้อสังเกตโดย${\ displaystyle a}$, ${\ displaystyle b}$, หรือ ${\ displaystyle c}$ขึ้นอยู่กับแกนที่ร่อนอยู่ตามแนวแกน นอกจากนี้ยังมีไฟล์${\ displaystyle n}$ เหินซึ่งเป็นการเหินตามครึ่งหนึ่งของเส้นทแยงมุมของใบหน้าและ ${\ displaystyle d}$ร่อนซึ่งเป็นหนึ่งในสี่ของวิธีตามแนวขวางหน้าหรือช่องว่างของเซลล์หน่วย อย่างหลังนี้เรียกว่าเครื่องบินร่อนเพชรเนื่องจากมีคุณสมบัติในโครงสร้างเพชร ใน 17 พื้นที่กลุ่มเนื่องจากอยู่ตรงกลางของเซลล์, ซิกแซกเกิดขึ้นในสองทิศทางตั้งฉากพร้อมกันเช่นเครื่องบินร่อนเดียวกันสามารถเรียกขหรือค , หรือข , หรือค ตัวอย่างเช่นกลุ่ม Abm2 อาจเรียกอีกอย่างว่า Acm2 กลุ่ม Ccca อาจเรียกว่า Cccb ในปี 1992 แนะนำให้ใช้สัญลักษณ์eสำหรับเครื่องบินดังกล่าว มีการแก้ไขสัญลักษณ์สำหรับกลุ่มอวกาศห้ากลุ่ม:

แกนสกรู

แกนสกรูคือการหมุนรอบแกนตามด้วยการแปลไปตามทิศทางของแกนที่ สิ่งเหล่านี้บันทึกไว้ด้วยตัวเลขnเพื่ออธิบายระดับการหมุนโดยที่ตัวเลขคือจำนวนการดำเนินการที่ต้องใช้เพื่อให้การหมุนเต็มสมบูรณ์ (เช่น 3 จะหมายถึงการหมุนหนึ่งในสามของทางรอบแกนในแต่ละครั้ง) . จากนั้นระดับของการแปลจะถูกเพิ่มเป็นตัวห้อยที่แสดงว่าการแปลอยู่ห่างจากแกนเท่าใดโดยเป็นส่วนหนึ่งของเวกเตอร์แลตทิซคู่ขนาน ดังนั้น 2 ₁คือการหมุนสองเท่าตามด้วยการแปล 1/2 ของเวกเตอร์แลตติซ

สูตรทั่วไป

สูตรทั่วไปสำหรับการกระทำขององค์ประกอบของกลุ่มช่องว่างคือ

Y = M x + ง

ที่Mคือเมทริกซ์ของDเป็นเวกเตอร์ของตนและที่แปลงองค์ประกอบชี้xเข้าไปในจุดY โดยทั่วไปD = D ( แลตทิซ ) + D ( M ) โดยที่D ( M ) เป็นฟังก์ชันเฉพาะของMที่เป็นศูนย์สำหรับMเป็นเอกลักษณ์ เมทริกซ์Mสร้างกลุ่มจุดที่เป็นพื้นฐานของกลุ่มอวกาศ โครงตาข่ายต้องสมมาตรภายใต้กลุ่มจุดนั้น แต่โครงสร้างผลึกเองอาจไม่สมมาตรภายใต้กลุ่มจุดนั้นเมื่อนำไปใช้กับจุดใดจุดหนึ่ง (นั่นคือไม่มีการแปล) ตัวอย่างเช่นโครงสร้างลูกบาศก์ของเพชรไม่มีจุดใด ๆ ที่ใช้กลุ่มจุดลูกบาศก์

มิติโครงตาข่ายอาจน้อยกว่ามิติโดยรวมทำให้เกิดกลุ่มช่องว่าง "subperiodic" สำหรับ (ขนาดโดยรวมขนาดโครงตาข่าย):

• (1,1): กลุ่มเส้นมิติเดียว
• (2,1): กลุ่มเส้นสองมิติ: กลุ่มผ้าสักหลาด
• (2,2): กลุ่มวอลเปเปอร์
• (3,1): กลุ่มเส้นสามมิติ; ด้วยกลุ่มจุดตกผลึก 3 มิติกลุ่มแท่ง
• (3,2): กลุ่มเลเยอร์
• (3,3): กลุ่มอวกาศที่กล่าวถึงในบทความนี้

มีอย่างน้อยสิบวิธีในการตั้งชื่อกลุ่มพื้นที่ วิธีการเหล่านี้บางวิธีสามารถกำหนดชื่อที่แตกต่างกันหลายชื่อให้กับกลุ่มพื้นที่เดียวกันดังนั้นจึงมีชื่อที่แตกต่างกันมากมาย

จำนวน

International Union of Crystallography เผยแพร่ตารางของกลุ่มอวกาศทุกประเภทและกำหนดหมายเลขที่ไม่ซ้ำกันตั้งแต่ 1 ถึง 230 การกำหนดหมายเลขเป็นไปตามอำเภอใจยกเว้นว่ากลุ่มที่มีระบบคริสตัลเดียวกันหรือกลุ่มจุดจะได้รับตัวเลขที่ต่อเนื่องกัน

สัญกรณ์ห้องโถง ^[7]

สัญกรณ์กลุ่มอวกาศที่มีต้นกำเนิดอย่างชัดเจน สัญลักษณ์การหมุนการแปลและทิศทางแกนจะแยกออกจากกันอย่างชัดเจนและมีการกำหนดศูนย์ผกผันอย่างชัดเจน การสร้างและรูปแบบของสัญกรณ์ทำให้เหมาะอย่างยิ่งกับการสร้างข้อมูลสมมาตรของคอมพิวเตอร์ ตัวอย่างเช่นกลุ่มหมายเลข 3 มีสัญลักษณ์ Hall สามตัว: P 2y (P 1 2 1), P 2 (P 1 1 2), P 2x (P 2 1 1)

สัญกรณ์Schönflies

กลุ่มช่องว่างที่มีกลุ่มจุดที่กำหนดจะมีหมายเลข 1, 2, 3, ... (ตามลำดับเดียวกันกับหมายเลขสากล) และตัวเลขนี้จะถูกเพิ่มเป็นตัวยกของสัญลักษณ์Schönfliesสำหรับกลุ่มจุด ตัวอย่างเช่นกลุ่มหมายเลข 3 ถึง 5 ที่มีกลุ่มจุดคือ C ₂จะมีสัญลักษณ์Schönflies C¹
₂, C²
₂, C³
₂.

สัญกรณ์ Coxeter

สัดส่วนกลุ่มเชิงพื้นที่และจุดแสดงเป็น modications ของบริสุทธิ์ reflectional กลุ่ม Coxeter

สัญกรณ์เรขาคณิต^[9]

พีชคณิตเรขาคณิตสัญกรณ์

มี (อย่างน้อย) 10 วิธีในการจำแนกกลุ่มพื้นที่ออกเป็นชั้นเรียน ความสัมพันธ์ระหว่างสิ่งเหล่านี้มีอธิบายไว้ในตารางต่อไปนี้ ระบบการจัดหมวดหมู่แต่ละระบบเป็นการปรับแต่งระบบที่อยู่ด้านล่าง

Conway , Delgado Friedrichs และ Huson et al. ( 2001 ) ให้การจำแนกประเภทของพื้นที่กลุ่มที่เรียกว่าอีกสัญกรณ์ fibrifoldตามfibrifoldโครงสร้างในสอดคล้องorbifold พวกเขาแบ่งกลุ่มอวกาศ 219 กลุ่มออกเป็นกลุ่มที่ลดลงและไม่สามารถลดทอนได้ กลุ่มที่ลดลงแบ่งออกเป็น 17 คลาสที่สอดคล้องกับกลุ่มวอลเปเปอร์ 17 กลุ่มและกลุ่มที่ไม่สามารถลดได้อีก 35 กลุ่มที่เหลือจะเหมือนกับกลุ่มลูกบาศก์และแยกออกจากกัน

ทฤษฎีบทของ Bieberbach

ในnมิติกลุ่มอวกาศ Affine หรือกลุ่มบีเบอร์บัคคือกลุ่มย่อยที่ไม่ต่อเนื่องของไอโซเมตริกของปริภูมิแบบยุคลิดnมิติที่มีโดเมนพื้นฐานขนาดกะทัดรัด Bieberbach ( 1911 , 1912 ) พิสูจน์แล้วว่ากลุ่มย่อยของการแปลของกลุ่มใด ๆ นั้นมีการแปลอิสระเชิงเส้นจำนวนnและเป็นกลุ่มย่อยของดัชนี จำกัด ของabelian ที่เป็นอิสระและยังเป็นกลุ่มย่อย abelian ปกติสูงสุดที่ไม่ซ้ำกันอีกด้วย นอกจากนี้เขายังแสดงให้เห็นว่าในมิติใด ๆnมีความเป็นไปได้ที่ จำกัด สำหรับคลาสไอโซมอร์ฟิซึมของกลุ่มพื้นฐานของกลุ่มอวกาศเท่านั้นและยิ่งไปกว่านั้นการกระทำของกลุ่มบนอวกาศยุคลิดนั้นมีลักษณะเฉพาะสำหรับการผันคำกริยาโดยการแปลง นี้ส่วนคำตอบของปัญหาที่สิบแปดฮิลแบร์ต Zassenhaus (1948)แสดงให้เห็นว่าตรงกันข้ามกลุ่มใด ๆ ที่เป็นส่วนขยาย^{[ เมื่อกำหนดเป็น? ]}ของZ ⁿโดยกลุ่ม จำกัด ที่ทำหน้าที่อย่างซื่อสัตย์คือกลุ่มอวกาศ Affine การรวมผลลัพธ์เหล่านี้แสดงให้เห็นว่าการจำแนกกลุ่มสเปซในnมิติจนถึงการผันโดยการแปลงความสัมพันธ์นั้นเหมือนกับการจำแนกคลาสไอโซมอร์ฟิซึมสำหรับกลุ่มที่เป็นส่วนขยายของZ ⁿโดยกลุ่ม จำกัด ที่ทำหน้าที่อย่างซื่อสัตย์

มันเป็นสิ่งสำคัญในทฤษฎีบทของ Bieberbach ที่จะถือว่ากลุ่มนั้นทำหน้าที่เป็นไอโซเมตริก ทฤษฎีบทไม่ได้กล่าวถึงกลุ่ม cocompact ที่ไม่ต่อเนื่องของการเปลี่ยนแปลงของ Affine ของปริภูมิแบบยุคลิด ตัวอย่างตอบโต้ได้รับจากกลุ่ม Heisenberg 3 มิติของจำนวนเต็มซึ่งทำหน้าที่โดยการแปลในกลุ่ม Heisenberg ของจริงซึ่งระบุด้วยปริภูมิแบบยุคลิด 3 มิติ นี่คือกลุ่ม cocompact ไม่ต่อเนื่องของการเปลี่ยนแปลงของพื้นที่เลียนแบบ แต่ไม่ได้มีกลุ่มย่อยZ 3

การจัดหมวดหมู่ในขนาดเล็ก

ตารางนี้แสดงจำนวนประเภทกลุ่มพื้นที่ในขนาดเล็กรวมถึงจำนวนคลาสต่างๆของกลุ่มพื้นที่ จำนวนของคู่ enantiomorphic จะได้รับในวงเล็บ

กลุ่มแม่เหล็กและการย้อนเวลา

นอกจากกลุ่มอวกาศที่ตกผลึกแล้วยังมีกลุ่มอวกาศแม่เหล็ก (เรียกอีกอย่างว่ากลุ่มตกผลึกสองสี (ขาวดำ) หรือกลุ่ม Shubnikov) สมมาตรเหล่านี้มีองค์ประกอบที่เรียกว่าการย้อนเวลา พวกเขาถือว่าเวลาเป็นมิติเพิ่มเติมและองค์ประกอบของกลุ่มอาจรวมถึงการย้อนเวลาเป็นภาพสะท้อนในนั้น พวกเขามีความสำคัญในโครงสร้างแม่เหล็กที่มีคำสั่งให้สปิน unpaired คือferro- , ferri-หรือantiferromagneticโครงสร้างเป็นศึกษาโดยนิวตรอนเลนส์ องค์ประกอบการย้อนเวลาจะพลิกการหมุนแม่เหล็กในขณะที่ปล่อยให้โครงสร้างอื่น ๆ เหมือนกันทั้งหมดและสามารถใช้ร่วมกับองค์ประกอบสมมาตรอื่น ๆ ได้ รวมถึงการย้อนเวลาด้วย 1651 กลุ่มพื้นที่แม่เหล็กใน 3 มิติ ( Kim 1999 , p.428) นอกจากนี้ยังเป็นไปได้ที่จะสร้างเวอร์ชันแม่เหล็กสำหรับขนาดโดยรวมและขนาดตาข่ายอื่น ๆ ( เอกสารของ Daniel Litvin , ( Litvin 2008 ), ( Litvin 2005 )) กลุ่ม Frieze คือกลุ่มเส้นแม่เหล็ก 1D และกลุ่มเลเยอร์เป็นกลุ่มวอลเปเปอร์แม่เหล็กและกลุ่มจุด 3 มิติตามแนวแกนคือกลุ่มจุดแม่เหล็ก 2 มิติ จำนวนกลุ่มดั้งเดิมและแม่เหล็กตามมิติ (โดยรวม, โครงตาข่าย): ( Palistrant 2012 ) ( Souvignier 2006 )

มิติโดยรวม	มิติตาข่าย	กลุ่มสามัญ			กลุ่มแม่เหล็ก
		ชื่อ	สัญลักษณ์	นับ	สัญลักษณ์	นับ
0	0	กลุ่มสมมาตรศูนย์มิติ	${\ displaystyle G_ {0}}$	1	${\ displaystyle G_ {0} ^ {1}}$	2
1	0	กลุ่มจุดมิติเดียว	${\ displaystyle G_ {10}}$	2	${\ displaystyle G_ {10} ^ {1}}$	5
	1	กลุ่มสมมาตรที่ไม่ต่อเนื่องหนึ่งมิติ	${\ displaystyle G_ {1}}$	2	${\ displaystyle G_ {1} ^ {1}}$	7
2	0	กลุ่มจุดสองมิติ	${\ displaystyle G_ {20}}$	10	${\ displaystyle G_ {20} ^ {1}}$	31
	1	กลุ่ม Frieze	${\ displaystyle G_ {21}}$	7	${\ displaystyle G_ {21} ^ {1}}$	31
	2	กลุ่มวอลเปเปอร์	${\ displaystyle G_ {2}}$	17	${\ displaystyle G_ {2} ^ {1}}$	80
3	0	กลุ่มจุดสามมิติ	${\ displaystyle G_ {30}}$	32	${\ displaystyle G_ {30} ^ {1}}$	122
	1	กลุ่มร็อด	${\ displaystyle G_ {31}}$	75	${\ displaystyle G_ {31} ^ {1}}$	394
	2	กลุ่มเลเยอร์	${\ displaystyle G_ {32}}$	80	${\ displaystyle G_ {32} ^ {1}}$	528
	3	กลุ่มพื้นที่สามมิติ	${\ displaystyle G_ {3}}$	230	${\ displaystyle G_ {3} ^ {1}}$	พ.ศ. 2194
4	0	กลุ่มจุดสี่มิติ	${\ displaystyle G_ {40}}$	271	${\ displaystyle G_ {40} ^ {1}}$	1202
	1		${\ displaystyle G_ {41}}$	343
	2		${\ displaystyle G_ {42}}$	1091
	3		${\ displaystyle G_ {43}}$	พ.ศ. 2137
	4	กลุ่มสมมาตรไม่ต่อเนื่องสี่มิติ	${\ displaystyle G_ {4}}$	4894	${\ displaystyle G_ {4} ^ {1}}$	62227

ตารางกลุ่มวอลเปเปอร์โดยใช้การจำแนกกลุ่มพื้นที่ 3 มิติ:

ระบบคริสตัล (โครงตาข่าย Bravais)	กลุ่มพอยต์คลาสเรขาคณิต				คลาสเลขคณิต	กลุ่มวอลเปเปอร์ (แผนภาพเซลล์)
	Schön.	วงโคจร	ค็อกซ์	ออร์เดอร์
เฉียง	ค1	(1)	[] +	1	ไม่มี	p1 (1)
	ค2	(22)	[2] +	2	ไม่มี	p2 (2222)
สี่เหลี่ยม	ง1	(*)	[]	2	พร้อม	น. (**)		หน้า (××)
	ง2	(* 22)	[2]	4	พร้อม	น. (* 2222)		pmg (22 *)
สี่เหลี่ยมตรงกลาง	ง1	(*)	[]	2	ระหว่าง	ซม. (* ×)
	ง2	(* 22)	[2]	4	ระหว่าง	ซม. (2 * 22)		pgg (22 ×)
สแควร์	ค4	(44)	[4] +	4	ไม่มี	p4 (442)
	ง4	(* 44)	[4]	8	ทั้งสอง	p4m (* 442)		p4g (4 * 2)
หกเหลี่ยม	ค3	(33)	[3] +	3	ไม่มี	p3 (333)
	ง3	(* 33)	[3]	6	ระหว่าง	p3m1 (* 333)		p31m (3 * 3)
	ค6	(66)	[6] +	6	ไม่มี	p6 (632)
	ง6	(* 66)	[6]	12	ทั้งสอง	p6m (* 632)

สำหรับคลาสเรขาคณิตแต่ละคลาสเลขคณิตที่เป็นไปได้คือ

• ไม่มี: ไม่มีเส้นสะท้อน
• Along: เส้นสะท้อนตามทิศทางขัดแตะ
• ระหว่าง: เส้นสะท้อนกึ่งกลางระหว่างทิศทางขัดแตะ
• ทั้งสอง: เส้นสะท้อนทั้งตามและระหว่างทิศทางขัดแตะ

#	ระบบคริสตัล (นับ) ตาข่าย Bravais	กลุ่มจุด					กลุ่มอวกาศ (สัญลักษณ์ย่อสากล)
		Int'l	Schön.	วงโคจร	ค็อกซ์	ออร์เดอร์
1	ไตรคลินิก (2)	1	ค1	11	[] +	1	P1
2		1	C ฉัน	1 ×	[2 + , 2 + ]	2	หน้า1
3–5	โมโนคลินิก (13)	2	ค2	22	[2] +	2	P2, P2 1 C2
6–9		ม	C s	* 11	[]	2	น. พีซี ซม. ซีซี
10–15		2 / ม	ค2 ชม	2 *	[2,2 + ]	4	P2 / m, P2 1 / m C2 / m, P2 / c, P2 1 / c C2 / c
16–24	Orthorhombic (59)	222	ง2	222	[2,2] +	4	P222, P222 1 , P2 1 2 1 2, P2 1 2 1 2 1 , C222 1 , C222, F222, I222, I2 1 2 1 2 1
25–46		มม 2	C 2v	* 22	[2]	4	Pmm2, Pmc2 1 , Pcc2, Pma2, Pca2 1 , Pnc2, Pmn2 1 , Pba2, Pna2 1 , Pnn2 Cmm2, Cmc2 1 , Ccc2, Amm2, Aem2, Ama2, Aea2 Fmm2, Fdd2 Imm2, Iba2, Ima2
47–74		อืม	D 2 ชม	* 222	[2,2]	8	Pmmm, Pnnn, Pccm, Pban, Pmma, Pnna, Pmna, Pcca, Pbam, Pccn, Pbcm, Pnnm, Pmmn, Pbcn, Pbca, Pnma Cmcm, Cmce, Cmmm, Cccm, Cmme, Ccce Fmmm, Fddd Immca , อิมมา
75–80	เตตรารานัล (68)	4	ค4	44	[4] +	4	P4, P4 1 , P4 2 , P4 3 , I4, I4 1
81–82		4	ส4	2 ×	[2 + , 4 + ]	4	P 4 , ฉัน4
83–88		4 / ม	ค4 ชม	4 *	[2,4 + ]	8	P4 / ม., P4 2 / ม., P4 / n, P4 2 / n I4 / ม., I4 1 / a
89–98		422	ง4	224	[2,4] +	8	P422, P42 1 2, P4 1 22, P4 1 2 1 2, P4 2 22, P4 2 2 1 2, P4 3 22, P4 3 2 1 2 I422, I4 1 22
99–110		4 มม	ค4v	* 44	[4]	8	P4mm, P4bm, P4 2ซม., P4 2นาโนเมตร, P4cc, P4nc, P4 2 mc, P4 2 bc I4mm, I4cm, I4 1 md, I4 1 cd
111–122		4 2 ม	D 2d	2 * 2	[2 + , 4]	8	P 4 2m, P 4 2c, P 4 2 1 m, P 4 2 1 c, P 4 m2, P 4 c2, P 4 b2, P 4 n2 I 4 m2, I 4 c2, I 4 2m, I 4 2d
123–142		4 / มม	D 4 ชม	* 224	[2,4]	16	P4 / mmm, P4 / mcc, P4 / nbm, P4 / nnc, P4 / mbm, P4 / mnc, P4 / nmm, P4 / ncc, P4 2 / mmc, P4 2 / mcm, P4 2 / nbc, P4 2 / nnm, P4 2 / mbc, P4 2 / mnm, P4 2 / nmc, P4 2 / ncm I4 / mmm, I4 / mcm, I4 1 / amd, I4 1 / acd
143–146	ตรีโกณมิติ (25)	3	ค3	33	[3] +	3	P3, P3 1 , P3 2 R3
147–148		3	ส6	3 ×	[2 + , 6 + ]	6	ป3ร3
149–155		32	ง3	223	[2,3] +	6	P312, P321, P3 1 12, P3 1 21, P3 2 12, P3 2 21 R32
156–161		3 ม	ค3v	* 33	[3]	6	P3m1, P31m, P3c1, P31c R3m, R3c
162–167		3ม	D 3d	2 * 3	[2 + , 6]	12	P 3 1m, P 3 1c, P 3 m1, P 3 c1 R 3 m, R 3 c
168–173	หกเหลี่ยม (27)	6	ค6	66	[6] +	6	P6, P6 1 , P6 5 , P6 2 , P6 4 , P6 3
174		6	ค3 ชม	3 *	[2,3 + ]	6	หน้า6
175–176		6 / ม	ค6 ชม	6 *	[2,6 + ]	12	P6 / ม., P6 3 / ม
177–182		622	ง6	226	[2,6] +	12	P622, P6 1 22, P6 5 22, P6 2 22, P6 4 22, P6 3 22
183–186		6 มม	C 6v	* 66	[6]	12	P6mm, P6cc, P6 3ซม., P6 3 MC
187–190		6ตร.ม.	D 3 ชม	* 223	[2,3]	12	P 6 m², P 6 c2, P 6 2m, P 6 2c
191–194		6 / มม	D 6 ชม	* 226	[2,6]	24	P6 / mmm, P6 / mcc, P6 3 / mcm, P6 3 / mmc
พ.ศ. 2495-2542	ลูกบาศก์ (36)	23	ที	332	[3,3] +	12	P23, F23, I23 P2 1 3, I2 1 3
200–206		ม. 3	T h	3 * 2	[3 + , 4]	24	น. 3 , น. 3 , Fm 3 , Fd 3 , Im 3 , Pa 3 , Ia 3
207–214		432	โอ	432	[3,4] +	24	P432, P4 2 32 F432, F4 1 32 I432 P4 3 32, P4 1 32, I4 1 32
215–220		4 3 ม	ทง	* 332	[3,3]	24	P 4 3m, F 4 3m, I 4 3m P 4 3n, F 4 3c, I 4 3d
221–230		ม. 3ม	O h	* 432	[3,4]	48	Pm 3เมตร Pn 3 n, Pm 3 n, Pn 3เมตร Fm 3เมตร Fm 3 C, Fd 3เมตร Fd 3ค อิ่ม3เมตร Ia 3 d

หมายเหตุ: เครื่องบินeคือเครื่องบินเหินสองชั้นลำหนึ่งเหินไปในสองทิศทางที่แตกต่างกัน พบในกลุ่มอวกาศเจ็ด orthorhombic ห้า tetragonal และ 5 ลูกบาศก์อวกาศทั้งหมดมีตาข่ายตรงกลาง การใช้สัญลักษณ์อีกลายเป็นอย่างเป็นทางการกับฮาห์น (2002)

ระบบขัดแตะสามารถพบได้ดังต่อไปนี้ ถ้าระบบคริสตัลไม่ใช่ตรีโกณมิติระบบแลตทิซจะเป็นประเภทเดียวกัน ถ้าระบบคริสตัลเป็นตรีโกณมิติระบบแลตทิซจะเป็นหกเหลี่ยมเว้นแต่ว่ากลุ่มช่องว่างจะเป็นหนึ่งในเจ็ดในระบบตาข่ายรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนซึ่งประกอบด้วยกลุ่มปริภูมิตรีโกณมิติ 7 กลุ่มในตารางด้านบนซึ่งมีชื่อขึ้นต้นด้วย R (คำว่าระบบ rhombohedral คือ บางครั้งก็ใช้เป็นชื่ออื่นสำหรับระบบตรีโกณมิติทั้งหมด) ระบบตาข่ายหกเหลี่ยมมีขนาดใหญ่กว่าระบบคริสตัลหกเหลี่ยมและประกอบด้วยระบบคริสตัลหกเหลี่ยมพร้อมกับ 18 กลุ่มของระบบคริสตัลตรีโกณมิตินอกเหนือจากเจ็ดที่มีชื่อขึ้นต้น กับร.

ตาข่าย Bravaisของกลุ่มพื้นที่ที่ถูกกำหนดโดยระบบตาข่ายร่วมกับอักษรตัวแรกของชื่อซึ่งสำหรับกลุ่มที่ไม่ใช่ rhombohedral เป็น P, I, F, A หรือ C ยืนสำหรับเงินต้นร่างกายศูนย์กลางใบหน้าศูนย์กลาง , โครงหน้าตรงกลางหน้าหรือหน้า C

1. ปล่อยประเภท Bravais ออกไป
2. แปลงองค์ประกอบสมมาตรทั้งหมดที่มีส่วนประกอบการแปลเป็นองค์ประกอบสมมาตรตามลำดับโดยไม่ต้องแปลสมมาตร (เครื่องบินร่อนจะถูกแปลงเป็นระนาบกระจกธรรมดาแกนสกรูจะถูกแปลงเป็นแกนหมุนอย่างง่าย)
3. แกนหมุนแกนหมุนกลับและระนาบกระจกยังคงไม่เปลี่ยนแปลง

• Barlow, W (1894), "Über die geometrischen Eigenschaften starrer Strukturen und ihre Anwendung auf Kristalle" [เกี่ยวกับคุณสมบัติทางเรขาคณิตของโครงสร้างแข็งและการประยุกต์ใช้กับคริสตัล], Zeitschrift für Kristallographie , 23 : 1–63, doi : 10.1524 / zkri .1894.23.1.1 , S2CID  102301331
• Bieberbach, Ludwig (1911), "Über die Bewegungsgruppen der Euklidischen Räume" [ในกลุ่มของการเปลี่ยนแปลงที่เข้มงวดในช่องว่างแบบยุคลิด], Mathematische Annalen , 70 (3): 297–336, ดอย : 10.1007 / BF01564500 , ISSN  0025-5831 , S2CID  124429194
• Bieberbach, Ludwig (1912), "Über die Bewegungsgruppen der Euklidischen Räume (Zweite Abhandlung.) Die Gruppen mit einem endlichen Fundamentalbereich" [ในกลุ่มของการแปลงแบบแข็งในช่องว่างแบบยุคลิด (Second Mathematche ) กลุ่มที่มีโดเมนพื้นฐาน จำกัด ] อันนาเลน , 72 (3): 400–412, ดอย : 10.1007 / BF01456724 , ISSN  0025-5831 , S2CID  119472023
• บราวน์แฮโรลด์; บูโลว์, รอล์ฟ; นอยบูเซอร์, โจอาคิม; Wondratschek, ฮันส์; Zassenhaus, Hans (1978), กลุ่ม Crystallographic ของอวกาศสี่มิติ , New York: Wiley-Interscience [John Wiley & Sons], ISBN 978-0-471-03095-9, MR  0484179
• Burckhardt, Johann Jakob (1947), Die Bewegungsgruppen der Kristallographie [ Groups of Rigid Transformations in Crystallography ], Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiete der exakten Wissenschaften (Textbooks and Monographs from the F of the Exact Sciences), 13 , Verlag Birkhäuser, Baselkhäuser MR  0020553
• Burckhardt, Johann Jakob (1967), "Zur Geschichte der Entdeckung der 230 Raumgruppen" [ในประวัติศาสตร์การค้นพบกลุ่มอวกาศ 230 กลุ่ม], Archive for History of Exact Sciences , 4 (3): 235–246, doi : 10.1007 / BF00412962 , ISSN  0003-9519 , MR  0220837 , S2CID  121994079
• คอนเวย์, จอห์นฮอร์ตัน ; เดลกาโดฟรีดริชส์โอลาฟ; ฮูซอนดาเนียลเอช; Thurston, William P. (2001), "ในกลุ่มอวกาศสามมิติ" , Beiträge zur Algebra und Geometrie , 42 (2): 475–507, ISSN  0138-4821 , MR  1865535
• Fedorov, ES (1891), "Симметріяправильныхъсистемъфигуръ" [ Simmetriya pravil'nykh Sistem Figurความสมมาตรของระบบปกติของตัวเลข] ЗапискиИмператорского С. -ПетербургскогоМинералогическогоОбщества (Zapiski Imperatorskova Sankt Petersburgskova Mineralogicheskova Obshchestva กิจการของอิมพีเรียล St. Petersburg Mineralogical Society) , ชุดที่ 2, 28 (2): 1–146
• Fedorov, ES (1971), Symmetry of crystals , ACA Monograph, 7 , American Crystallographic Association
• ฮัน, ธ . (2002), Hahn, Theo (ed.), International Tables for Crystallography, Volume A: Space Group Symmetry , International Tables for Crystallography, A (5th ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag , doi : 10.1107 / 97809553602060000100 , ISBN 978-0-7923-6590-7
• Hall, SR (1981), "Space-Group Notation with an Explicit Origin", Acta Crystallographica A , 37 (4): 517–525, Bibcode : 1981AcCrA..37..517H , doi : 10.1107 / s0567739481001228
• Janssen, T. ; เบอร์แมนเจแอล; Dénoyer, F.; Koptsik, เวอร์จิเนีย; เวอร์เกอร์ - กอกรีเจแอล; ไวเจล, D.; ยามาโมโตะ, อ.; อับราฮัมส์เซาท์แคโรไลนา; Kopsky, V. (2002), "รายงานของคณะอนุกรรมการระบบการตั้งชื่อของn -Dimensional Crystallography II. สัญลักษณ์สำหรับคลาสคริสตัลทางคณิตศาสตร์คลาส Bravais และกลุ่มอวกาศ", Acta Crystallographica A , 58 (Pt 6): 605–621 , ดอย : 10.1107 / S010876730201379X , PMID  12388880
• Kim, Shoon K. (1999), กลุ่มวิธีการทางทฤษฎีและการประยุกต์ใช้กับโมเลกุลและผลึก , สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ , ดอย : 10.1017 / CBO9780511534867 , ISBN 978-0-521-64062-6, MR  1713786 , S2CID  117849701
• Litvin, DB (พฤษภาคม 2008), "Tables of crystallographic properties of magnetic space groups", Acta Crystallographica A , 64 (Pt 3): 419–24, Bibcode : 2008AcCrA..64..419L , doi : 10.1107 / S010876730800768X , PMID  18421131
• Litvin, DB (พฤษภาคม 2548), "Tables of properties of magnetic subperiodic groups" (PDF) , Acta Crystallographica A , 61 (Pt 3): 382–5, Bibcode : 2005AcCrA..61..382L , doi : 10.1107 / S010876730500406X , PMID  15846043
• Neubüser, J.; Souvignier, บี; Wondratschek, H. (2002), "Corrections to Crystallographic Groups of Four-Dimensional Space โดย Brown et al. (1978) [New York: Wiley and Sons]", Acta Crystallographica A , 58 (Pt 3): 301, doi : 10.1107 / S0108767302001368 , PMID  11961294
• Opgenorth, J; Plesken, W; Schulz, T (1998), "Crystallographic Algorithms and Tables", Acta Crystallographica A , 54 (Pt 5): 517–531, doi : 10.1107 / S010876739701547X
• Palistrant, AF (2012), "Complete Scheme of Four-Dimensional Crystallographic Symmetry Groups", Crystallography Reports , 57 (4): 471–477, Bibcode : 2012CryRp..57..471P , doi : 10.1134 / S1063774512040104 , S2CID  95680790
• เพลสเคน, วิลเฮล์ม; Hanrath, W (1984), "โครงร่างของช่องว่างหกมิติ", คณิตศาสตร์. คอมพ์ , 43 (168): 573–587, ดอย : 10.1090 / s0025-5718-1984-0758205-5
• เพลสเคน, วิลเฮล์ม; Schulz, Tilman (2000), "การนับกลุ่มผลึกในมิติต่ำ" , คณิตศาสตร์ทดลอง , 9 (3): 407–411, ดอย : 10.1080 / 10586458.2000.10504417 , ISSN  1058-6458 , MR  1795312 , S2CID  40588234
• Schönflies, Arthur Moritz (1923), "Theorie der Kristallstruktur" [Theory of Crystal Structure], GebrüderBornträger, Berlin
• Souvignier, Bernd (2006), "จุดแม่เหล็กสี่มิติและกลุ่มอวกาศ", Zeitschrift für Kristallographie , 221 : 77–82, Bibcode : 2006ZK .... 221 ... 77S , doi : 10.1524 / zkri.2006.221 1.77 , S2CID  99946564
• Vinberg, E. (2001) [1994], "Crystallographic group" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press
• Zassenhaus, Hans (1948), "Über einen Algorithmus zur Bestimmung der Raumgruppen" [บนอัลกอริทึมสำหรับการกำหนดกลุ่มอวกาศ], Commentarii Mathematici Helvetici , 21 : 117–141, doi : 10.1007 / BF02568029 , ISSN  0010-2571 , MR  0024424 , S2CID  120651709
• Souvignier, Bernd (2003), "Enantiomorphism ของกลุ่มผลึกในมิติที่สูงขึ้นพร้อมผลลัพธ์ในขนาดสูงสุด 6", Acta Crystallographica A , 59 (3): 210–220, ดอย : 10.1107 / S0108767303004161 , PMID  12714771

• International Union of Crystallography
• Point Groups และ Bravais Lattices
• [1] เซิร์ฟเวอร์ Bilbao Crystallographic
• ข้อมูลกลุ่มอวกาศ (เก่า)
• ข้อมูลกลุ่มอวกาศ (ใหม่)
• โครงสร้างตาข่ายคริสตัล: จัดทำดัชนีโดย Space Group
• รายชื่อทั้งหมด 230 กลุ่มพื้นที่ตกผลึก
• การแสดงภาพ 3 มิติเชิงโต้ตอบของกลุ่มพื้นที่ตกผลึกทั้งหมด 230 กลุ่ม
• Huson, Daniel H. (1999), สัญกรณ์ Fibrifold และการจำแนกประเภทสำหรับกลุ่มอวกาศ 3 มิติ (PDF)
• ศูนย์เรขาคณิต: 2.1 สูตรสำหรับการสมมาตรในพิกัดคาร์ทีเซียน (สองมิติ)
• ศูนย์เรขาคณิต: 10.1 สูตรสำหรับการสมมาตรในพิกัดคาร์ทีเซียน (สามมิติ)