กาลอวกาศ

ในฟิสิกส์ , กาลอวกาศใด ๆแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ซึ่งฟิวส์สามมิติของพื้นที่และหนึ่งมิติของเวลาเป็นหนึ่งสี่มิติ ต่าง ๆ นานา โครงสร้างของกาลอวกาศคือโมเดลเชิงแนวคิดที่ผสมผสานสามมิติของอวกาศกับมิติที่สี่ของเวลา ไดอะแกรมกาลอวกาศสามารถใช้เพื่อแสดงภาพผลสัมพัทธภาพได้เช่น เหตุใดผู้สังเกตการณ์ที่แตกต่างกันจึงรับรู้เหตุการณ์ต่างๆ เกิดขึ้นที่ไหนและเมื่อใดต่างกัน

จนถึงศตวรรษที่ 20 สันนิษฐานว่าเรขาคณิตสามมิติของจักรวาล (การแสดงออกเชิงพื้นที่ในแง่ของพิกัด ระยะทาง และทิศทาง) เป็นอิสระจากเวลาหนึ่งมิติ นักฟิสิกส์ชื่อดัง อัลเบิร์ต ไอน์สไตน์ ได้ช่วยพัฒนาแนวคิดเรื่องกาลอวกาศซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของทฤษฎีสัมพัทธภาพของเขา ก่อนเริ่มงานบุกเบิก นักวิทยาศาสตร์มีสองทฤษฎีแยกกันเพื่ออธิบายปรากฏการณ์ทางกายภาพ: กฎฟิสิกส์ของไอแซก นิวตันอธิบายการเคลื่อนที่ของวัตถุขนาดใหญ่ ในขณะที่แบบจำลองแม่เหล็กไฟฟ้าของ James Clerk Maxwell อธิบายคุณสมบัติของแสง อย่างไรก็ตามในปี 1905 Albert Einsteinตามการทำงานในการสัมพัทธภาพพิเศษสองสมมุติฐาน:

กฎของฟิสิกส์ไม่แปรผัน (กล่าวคือ เหมือนกัน) ในทุกระบบเฉื่อย (กล่าวคือ กรอบอ้างอิงที่ไม่เร่ง)
ความเร็วของแสงในสูญญากาศจะเหมือนกันสำหรับผู้สังเกตการณ์ทั้งหมดโดยไม่คำนึงถึงการเคลื่อนที่ของแหล่งกำเนิดแสง

ผลเชิงตรรกะของการนำสมมุติฐานเหล่านี้มารวมกันคือการรวมกันที่แยกออกไม่ได้ของมิติทั้งสี่—ซึ่งปัจจุบันนี้ถือว่าเป็นอิสระจากอวกาศและเวลา ผลที่ตามมาที่ขัดกับสัญชาตญาณหลายอย่างเกิดขึ้น: นอกจากจะเป็นอิสระจากการเคลื่อนที่ของแหล่งกำเนิดแสงแล้ว ความเร็วของแสงจะคงที่โดยไม่คำนึงถึงกรอบอ้างอิงซึ่งถูกวัด ระยะทางและแม้กระทั่งการเรียงลำดับชั่วคราวของเหตุการณ์คู่จะเปลี่ยนไปเมื่อวัดในกรอบอ้างอิงเฉื่อยที่แตกต่างกัน(นี่คือสัมพัทธภาพของความพร้อมกัน ); และการบวกเชิงเส้นของความเร็วไม่เป็นจริงอีกต่อไป

Einstein กำหนดกรอบทฤษฎีของเขาในแง่ของจลนศาสตร์ (การศึกษาวัตถุเคลื่อนที่) ทฤษฎีของเขาเป็นล่วงหน้ามากกว่าอเรนซ์ของ 1904 ทฤษฎีของปรากฏการณ์แม่เหล็กไฟฟ้าและทฤษฎี electrodynamic Poincaréของ แม้ว่าทฤษฎีเหล่านี้จะรวมสมการที่เหมือนกันกับสมการที่ไอน์สไตน์แนะนำ (เช่น การแปลงลอเรนซ์ ) โดยพื้นฐานแล้ว พวกมันเป็นแบบจำลองเฉพาะกิจที่เสนอให้อธิบายผลลัพธ์ของการทดลองต่างๆ—รวมถึงการทดสอบอินเตอร์เฟอโรมิเตอร์ของ Michelson–Morley ที่มีชื่อเสียง—ซึ่งยากอย่างยิ่งที่จะนำมาปรับใช้ กระบวนทัศน์ที่มีอยู่

ในปี 1908, แฮร์มันน์คอฟสกีหนึ่ง -once ของอาจารย์คณิตศาสตร์ของเด็กหนุ่มน์สไตน์ในซูริคนำเสนอการตีความทางเรขาคณิตของสัมพัทธภาพพิเศษที่ผสมเวลาและสามมิติเชิงพื้นที่ของพื้นที่ต่อเนื่องเป็นสี่มิติเดียวในขณะนี้ที่รู้จักกันเป็นพื้นที่คอฟสกี คุณลักษณะสำคัญของการตีความนี้คือคำจำกัดความอย่างเป็นทางการของช่วงเวลากาลอวกาศ แม้ว่าการวัดระยะทางและเวลาระหว่างเหตุการณ์จะแตกต่างกันสำหรับการวัดที่ทำขึ้นในกรอบอ้างอิงที่ต่างกัน แต่ช่วงเวลาของกาลอวกาศไม่ขึ้นกับกรอบอ้างอิงเฉื่อยซึ่งจะถูกบันทึกไว้ ^[1]

การตีความสัมพัทธภาพเชิงเรขาคณิตของ Minkowski พิสูจน์ให้เห็นถึงความสำคัญต่อการพัฒนาของไอน์สไตน์เกี่ยวกับทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปในปี 1915 ของไอน์สไตน์ซึ่งเขาแสดงให้เห็นว่ามวลและพลังงาน โค้งในกาลอวกาศที่แบนราบเป็นท่อร่วมเทียมรีมันเนียนได้อย่างไร

บทนำ

คำจำกัดความ

กลศาสตร์คลาสสิกที่ไม่สัมพันธ์กันถือว่าเวลาเป็นปริมาณการวัดที่เป็นสากลซึ่งมีความสม่ำเสมอทั่วทั้งอวกาศและแยกออกจากอวกาศ กลศาสตร์คลาสสิกถือว่าเวลามีอัตราการผ่านคงที่ โดยไม่ขึ้นกับสถานะการเคลื่อนที่ของผู้สังเกตหรือสิ่งภายนอกใดๆ ^[2]นอกจากนี้ ถือว่าพื้นที่เป็นEuclidean ; มันถือว่าช่องว่างตามเรขาคณิตของสามัญสำนึก ^[3]

ในบริบทของทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษเวลาไม่สามารถแยกออกจากสามมิติของอวกาศได้ เนื่องจากอัตราการสังเกตที่เวลาผ่านไปสำหรับวัตถุขึ้นอยู่กับความเร็วของวัตถุที่สัมพันธ์กับผู้สังเกต ทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปยังให้คำอธิบายว่าสนามโน้มถ่วงสามารถชะลอเวลาของวัตถุตามที่ผู้สังเกตการณ์ภายนอกสนามเห็นได้อย่างไร

ในพื้นที่สามัญตำแหน่งที่ระบุโดยสามตัวเลขที่รู้จักกันในมิติ ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสิ่งเหล่านี้เรียกว่า x, y และ z ตำแหน่งในกาลอวกาศเรียกว่าเหตุการณ์และต้องระบุตัวเลขสี่ตัว: ตำแหน่งสามมิติในอวกาศ บวกกับตำแหน่งในเวลา (รูปที่ 1) เหตุการณ์ที่เป็นตัวแทนจากชุดของพิกัดx , Y , Zและเสื้อ เวลาอวกาศจึงเป็นสี่มิติ เหตุการณ์ทางคณิตศาสตร์มีระยะเวลาเป็นศูนย์และแสดงจุดเดียวในกาลอวกาศ

เส้นทางของอนุภาคผ่านกาลอวกาศถือได้ว่าเป็นเหตุการณ์ที่ต่อเนื่องกัน ชุดของเหตุการณ์สามารถเชื่อมโยงเข้าด้วยกันเพื่อสร้างเส้นที่แสดงถึงความก้าวหน้าของอนุภาคผ่านกาลอวกาศ สายที่เรียกว่าอนุภาคของสายโลก ^[4]^{: 105}

ในทางคณิตศาสตร์ กาลอวกาศเป็นองค์ประกอบหลายอย่างกล่าวคือ ปรากฏในพื้นที่ "แบน" ใกล้แต่ละจุดในลักษณะเดียวกับที่ลูกโลกมีลักษณะแบนราบในขนาดที่เล็กพอ ^[5]ปัจจัยสเกลที่ใหญ่มาก $c$ (ปกติเรียกว่าความเร็วแสง ) เกี่ยวข้องกับระยะทางที่วัดในอวกาศด้วยระยะทางที่วัดได้ในเวลา ขนาดของปัจจัยมาตราส่วนนี้ (เกือบ 300,000 กิโลเมตรหรือ 190,000 ไมล์ในอวกาศเทียบเท่ากับหนึ่งวินาทีในหนึ่งวินาที) พร้อมกับข้อเท็จจริงที่ว่ากาลอวกาศมีความหลากหลาย หมายความว่าที่ความเร็วปกติที่ไม่สัมพันธ์กันและในระดับปกติของมนุษย์ ระยะทาง มีเพียงเล็กน้อยที่มนุษย์อาจสังเกตเห็นซึ่งแตกต่างอย่างเห็นได้ชัดจากสิ่งที่พวกเขาอาจสังเกตเห็นหากโลกเป็นยุคลิด ในช่วงกลางปี ค.ศ. 1800 เช่น การทดลอง FizeauและการทดลองของMichelson–Morleyความคลาดเคลื่อนที่ทำให้งงเริ่มได้รับการสังเกตระหว่างการสังเกตกับการคาดคะเนตามสมมติฐานโดยปริยายของพื้นที่แบบยุคลิด ^[6]

รูปที่ 1-1. แต่ละตำแหน่งในกาลอวกาศจะถูกทำเครื่องหมายด้วยตัวเลขสี่ตัวที่กำหนดโดย กรอบอ้างอิง : ตำแหน่งในอวกาศ และเวลา (ซึ่งสามารถมองเห็นเป็นการอ่านนาฬิกาที่อยู่ในแต่ละตำแหน่งในอวกาศ) 'ผู้สังเกตการณ์' จะซิงโครไนซ์นาฬิกาตามกรอบอ้างอิงของตนเอง

ในทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ ในกรณีส่วนใหญ่ ผู้สังเกตจะหมายถึงกรอบอ้างอิงซึ่งชุดของวัตถุหรือเหตุการณ์จะถูกวัด การใช้งานนี้แตกต่างอย่างมากจากความหมายภาษาอังกฤษทั่วไปของคำศัพท์ เฟรมอ้างอิงเป็นโครงสร้างที่ไม่ใช่แบบโลคัลโดยเนื้อแท้ และตามการใช้คำนี้ การพูดถึงผู้สังเกตการณ์ว่ามีตำแหน่งไม่สมเหตุสมผล ในรูปที่ 1-1 ลองนึกภาพว่ากรอบที่อยู่ระหว่างการพิจารณามีตะแกรงนาฬิกาหนาแน่นซึ่งซิงโครไนซ์ภายในกรอบอ้างอิงนี้ ซึ่งขยายออกไปอย่างไม่มีกำหนดตลอดสามมิติของพื้นที่ ตำแหน่งเฉพาะใดๆ ภายในโครงตาข่ายไม่สำคัญ โครงตาข่ายของนาฬิกาใช้เพื่อกำหนดเวลาและตำแหน่งของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นภายในเฟรมทั้งหมด คำว่าผู้สังเกตการณ์หมายถึงนาฬิกาทั้งชุดที่เกี่ยวข้องกับกรอบอ้างอิงเฉื่อยหนึ่งกรอบ ^[7]^{: 17–22}ในกรณีในอุดมคตินี้ ทุกจุดในอวกาศมีนาฬิกาที่เกี่ยวข้องกัน และด้วยเหตุนี้นาฬิกาจึงบันทึกแต่ละเหตุการณ์ในทันที โดยไม่มีการหน่วงเวลาระหว่างเหตุการณ์และการบันทึก อย่างไรก็ตาม ผู้สังเกตการณ์ตัวจริงจะเห็นความล่าช้าระหว่างการส่งสัญญาณและการตรวจจับเนื่องจากความเร็วแสง ในการซิงโครไนซ์นาฬิกา ในการลดข้อมูลหลังการทดลอง เวลาที่รับสัญญาณจะได้รับการแก้ไขเพื่อให้สะท้อนถึงเวลาจริงของสัญญาณที่บันทึกโดยโครงข่ายนาฬิกาในอุดมคติ

ในหนังสือหลายเล่มเกี่ยวกับทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ โดยเฉพาะอย่างยิ่งหนังสือที่มีอายุมากกว่า คำว่า "ผู้สังเกตการณ์" ถูกใช้ในความหมายที่ธรรมดากว่าของคำนั้น มักจะมีความชัดเจนจากบริบทที่นำความหมายมาใช้

นักฟิสิกส์แยกความแตกต่างระหว่างสิ่งที่วัดหรือสังเกต (หลังจากที่ได้แยกเอาความล่าช้าในการแพร่กระจายสัญญาณ) กับสิ่งที่มองเห็นได้ด้วยตาเปล่าโดยไม่มีการแก้ไขดังกล่าว การไม่เข้าใจความแตกต่างระหว่างสิ่งที่วัด/สังเกตกับสิ่งที่เห็นเป็นสาเหตุของข้อผิดพลาดอย่างมากในหมู่นักเรียนเริ่มต้นของสัมพัทธภาพ ^[8]

ประวัติศาสตร์

รูปที่ 1-2 มิเชลสันและมอร์ลีย์คาดว่าการเคลื่อนที่ผ่านอากาศธาตุจะทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงเฟสระหว่างแสงที่ส่องผ่านแขนทั้งสองของอุปกรณ์ คำอธิบายที่สมเหตุสมผลที่สุดสำหรับผลลัพธ์เชิงลบคือ การลากอีเทอร์ ขัดแย้งกับการสังเกตความเบี่ยงเบนของดาว

โดยปี 1800 กลางการทดลองต่างๆเช่นการสังเกตของจุด Aragoและการวัดค่าของความเร็วของแสงในอากาศเมื่อเทียบกับน้ำได้รับการพิจารณาจะได้รับการพิสูจน์ลักษณะคลื่นของแสงเมื่อเทียบกับทฤษฎี corpuscular ^{[9] การ}แพร่กระจายของคลื่นจะถือว่าจำเป็นต้องมีการมีอยู่ของสื่อโบก ; ในกรณีของคลื่นแสงนี้ได้รับการพิจารณาให้เป็นสมมุติเปล่งแสงอากาศธาตุ ^{[หมายเหตุ 1]}อย่างไรก็ตาม ความพยายามต่างๆ ในการสร้างคุณสมบัติของสื่อสมมุตินี้ให้ผลลัพธ์ที่ขัดแย้งกัน ตัวอย่างเช่น การทดลอง Fizeauในปี 1851 แสดงให้เห็นว่าความเร็วของแสงในน้ำไหลนั้นน้อยกว่าผลรวมของความเร็วของแสงในอากาศบวกกับความเร็วของน้ำด้วยปริมาณที่ขึ้นอยู่กับดัชนีการหักเหของน้ำ ท่ามกลางประเด็นอื่นๆ การพึ่งพาอาศัยการลากอีเทอร์บางส่วนโดยนัยจากการทดลองนี้กับดัชนีการหักเหของแสง (ซึ่งขึ้นอยู่กับความยาวคลื่น) ทำให้เกิดข้อสรุปที่ไม่อร่อยว่าอีเทอร์จะไหลพร้อมกันด้วยความเร็วต่างกันสำหรับสีต่างๆ ของแสง ^[10]การทดลองที่มีชื่อเสียงของมิเชลสัน–มอร์ลีย์ในปี พ.ศ. 2430 (รูปที่ 1-2) ไม่แสดงอิทธิพลของการเคลื่อนที่ของโลกผ่านอากาศธาตุตามสมมุติฐานต่อความเร็วของแสง และคำอธิบายที่น่าจะเป็นไปได้มากที่สุดคือการลากอีเทอร์โดยสมบูรณ์นั้นขัดแย้งกับ การสังเกตของดาราวิปลาส ^[6]

จอร์จ ฟรานซิส ฟิตซ์เจอรัลด์ในปี พ.ศ. 2432 และเฮนดริก ลอเรนซ์ในปี พ.ศ. 2435 เสนออย่างอิสระว่าวัตถุที่เดินทางผ่านอากาศธาตุที่ตรึงอยู่กับที่นั้นได้รับผลกระทบทางร่างกายจากการผ่านของพวกมัน โดยหดตัวในทิศทางของการเคลื่อนที่ในปริมาณที่เพียงพอสำหรับอธิบายผลลัพธ์เชิงลบ การทดลองของมิเชลสัน–มอร์ลีย์ (ไม่มีการเปลี่ยนแปลงความยาวเกิดขึ้นในทิศทางขวางกับทิศทางการเคลื่อนที่)

ในปี ค.ศ. 1904 ลอเรนซ์ได้ขยายทฤษฎีของเขาจนทำให้เขาได้สมการที่เป็นทางการเหมือนกับสมการที่ไอน์สไตน์จะได้รับในภายหลัง (เช่น การแปลงลอเรนซ์ ) แต่ด้วยการตีความที่แตกต่างกันโดยพื้นฐาน ตามทฤษฎีพลศาสตร์ (การศึกษาแรงและแรงบิดและผลกระทบต่อการเคลื่อนที่) ทฤษฎีของเขาสันนิษฐานว่าการเสียรูปทางกายภาพที่แท้จริงขององค์ประกอบทางกายภาพของสสาร ^[11]^{: 163–174}สมการของลอเรนซ์ทำนายปริมาณที่เขาเรียกว่าเวลาท้องถิ่นซึ่งเขาสามารถอธิบายความเบี่ยงเบนของแสงการทดลองฟิโซ และปรากฏการณ์อื่นๆ ได้ อย่างไรก็ตาม ลอเรนตซ์ถือว่าเวลาท้องถิ่นเป็นเพียงเครื่องมือทางคณิตศาสตร์เสริม ซึ่งเป็นกลอุบายที่ทำให้การแปลงจากระบบหนึ่งไปสู่อีกระบบหนึ่งง่ายขึ้น

นักฟิสิกส์และนักคณิตศาสตร์คนอื่น ๆ ในช่วงเปลี่ยนศตวรรษเข้ามาใกล้ถึงจุดที่เรียกว่ากาลอวกาศ ไอน์สไตน์เองตั้งข้อสังเกตว่า มีคนจำนวนมากที่ไขปริศนาแยกกัน "ทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ หากเราพิจารณาพัฒนาการของมันในการหวนกลับ ก็สุกงอมสำหรับการค้นพบในปี ค.ศ. 1905" ⁽¹²⁾

เฮนดริก ลอเรนซ์

Henri Poincaré

Albert Einstein

Hermann Minkowski

รูปที่ 1-3

ตัวอย่างที่สำคัญคือHenri Poincaré , ^[13]^[14]^{: 73–80,93–95}ซึ่งในปี 1898 ได้โต้แย้งว่าเหตุการณ์สองเหตุการณ์พร้อมกันนั้นเป็นเรื่องของการประชุม ^[15]^{[หมายเหตุ 2]}ในปี 1900 เขาจำได้ว่า "เวลาท้องถิ่น" ของลอเรนซ์คือสิ่งที่ระบุโดยนาฬิกาเคลื่อนที่โดยการใช้คำจำกัดความการปฏิบัติงานอย่างชัดเจนของการซิงโครไนซ์นาฬิกาโดยใช้ความเร็วแสงคงที่ ^{[หมายเหตุ 3]}ในปี ค.ศ. 1900 และ พ.ศ. 2447 เขาได้เสนอแนะการตรวจพบไม่ได้โดยธรรมชาติของอีเธอร์โดยเน้นความถูกต้องของสิ่งที่เขาเรียกว่าหลักการสัมพัทธภาพและในปี 1905/1906 ^[16]เขาได้ปรับปรุงทฤษฎีอิเล็กตรอนของลอเรนทซ์ทางคณิตศาสตร์ให้สมบูรณ์เพื่อนำมา ตามทฤษฎีสัมพัทธภาพ ขณะที่คุยสมมติฐานต่างๆเกี่ยวกับลอเรนคงที่แรงโน้มถ่วงเขาแนะนำแนวคิดนวัตกรรมใหม่ของกาลอวกาศ 4 มิติด้วยการกำหนดต่างๆสี่พาหะคือสี่ตำแหน่ง , สี่ความเร็วและแรงสี่มิติ ^[17]^[18]เขาไม่ได้ติดตามรูปแบบ 4 มิติในเอกสารฉบับต่อๆ ไป อย่างไรก็ตาม ระบุว่างานวิจัยแนวนี้ดูเหมือนจะ "สร้างความเจ็บปวดอย่างมากเพื่อผลกำไรที่จำกัด" และสรุปว่า "ภาษาสามมิติดูเหมาะสมที่สุด เพื่ออธิบายโลกของเรา" ^[18]ยิ่งกว่านั้น แม้จะดึกมากแล้วในปี ค.ศ. 1909 Poincaré ยังคงเชื่อในการตีความแบบไดนามิกของการเปลี่ยนแปลงของลอเรนซ์ ^[11]^{: 163–174}ด้วยเหตุผลเหล่านี้และเหตุผลอื่นๆ นักประวัติศาสตร์วิทยาศาสตร์ส่วนใหญ่โต้แย้งว่า Poincaré ไม่ได้ประดิษฐ์สิ่งที่เรียกว่าทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ ^[14]^[11]

ในปี ค.ศ. 1905 ไอน์สไตน์ได้แนะนำทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ (แม้ว่าจะไม่ได้ใช้เทคนิคของกาลอวกาศก็ตาม) ในการทำความเข้าใจสมัยใหม่ว่าเป็นทฤษฎีของอวกาศและเวลา ^[14]^[11]แม้ว่าผลลัพธ์ของเขาจะเทียบเท่าทางคณิตศาสตร์กับผลลัพธ์ของลอเรนซ์และปัวคาเร แต่ไอน์สไตน์แสดงให้เห็นว่าการเปลี่ยนแปลงลอเรนตซ์ไม่ได้เป็นผลมาจากปฏิสัมพันธ์ระหว่างสสารและอีเธอร์ แต่เกี่ยวข้องกับธรรมชาติของอวกาศและเวลามากกว่า เขาได้รับผลลัพธ์ทั้งหมดโดยตระหนักว่าทฤษฎีทั้งหมดสามารถสร้างขึ้นได้จากสองสมมุติฐาน: หลักการสัมพัทธภาพและหลักการความคงตัวของความเร็วแสง

ไอน์สไตน์ทำการวิเคราะห์ของเขาในแง่ของจลนศาสตร์ (การศึกษาวัตถุเคลื่อนที่โดยไม่มีการอ้างอิงถึงแรง) มากกว่าพลวัต งานของเขาในการแนะนำตัวแบบเต็มไปด้วยภาพที่สดใสซึ่งเกี่ยวข้องกับการแลกเปลี่ยนสัญญาณแสงระหว่างนาฬิกาที่เคลื่อนที่ การวัดความยาวของแท่งที่เคลื่อนที่อย่างระมัดระวัง และตัวอย่างอื่นๆ ^[19]^{[หมายเหตุ 4]}

นอกจากนี้ ในปี ค.ศ. 1905 ไอน์สไตน์ได้เข้ามาแทนที่ความพยายามครั้งก่อนของความสัมพันธ์มวลแม่เหล็กไฟฟ้า –พลังงาน โดยการแนะนำสมมูลทั่วไปของมวลและพลังงานซึ่งเป็นเครื่องมือสำหรับการกำหนดหลักการสมมูลในภายหลังของเขาในปี ค.ศ. 1907 ซึ่งประกาศความสมมูลของมวลเฉื่อยและมวลโน้มถ่วง โดยการใช้ความเท่าเทียมมวลพลังงาน Einstein แสดงให้เห็นว่าในนอกจากนี้ที่มวลโน้มถ่วงของร่างกายเป็นสัดส่วนกับปริมาณพลังงานของ บริษัท ซึ่งเป็นหนึ่งในผลต้นในการพัฒนาความสัมพันธ์ทั่วไป ในขณะที่ดูเหมือนว่าในตอนแรกเขาไม่ได้คิดเชิงเรขาคณิตเกี่ยวกับกาลอวกาศ^[21]^{: 219}ในการพัฒนาต่อไปของทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป Einstein ได้รวมเอารูปแบบกาลอวกาศไว้อย่างครบถ้วน

เมื่อ Einstein ตีพิมพ์ในปี ค.ศ. 1905 คู่แข่งรายอื่นของเขาคือHermann Minkowskiอดีตศาสตราจารย์คณิตศาสตร์ของเขาได้มาถึงองค์ประกอบพื้นฐานของทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษเกือบทั้งหมด Max Bornเล่าถึงการประชุมที่เขาทำกับ Minkowski โดยพยายามจะเป็นนักเรียน/ผู้ทำงานร่วมกันของ Minkowski: ^[22]

ฉันไปที่โคโลญจน์ พบกับ Minkowski และได้ยินการบรรยายเรื่อง 'Space and Time' อันโด่งดังของเขาเมื่อวันที่ 2 กันยายน 1908 […] เขาบอกฉันในภายหลังว่าเขารู้สึกตกใจอย่างมากเมื่อ Einstein ตีพิมพ์บทความของเขาซึ่งมีความเท่าเทียมกันของ เวลาท้องถิ่นที่แตกต่างกันของผู้สังเกตการณ์ที่เคลื่อนไหวสัมพันธ์กันนั้นเด่นชัด เพราะเขาบรรลุข้อสรุปเดียวกันโดยอิสระ แต่ไม่ได้เผยแพร่เพราะเขาต้องการสร้างโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ในความงดงามของมันก่อน เขาไม่เคยเรียกร้องลำดับความสำคัญและให้ Einstein มีส่วนร่วมอย่างเต็มที่ในการค้นพบครั้งยิ่งใหญ่

Minkowski กังวลเกี่ยวกับสถานะของอิเล็กโทรไดนามิกส์หลังจากการทดลองที่ก่อกวนของ Michelson อย่างน้อยก็นับตั้งแต่ฤดูร้อนปี 1905 เมื่อ Minkowski และDavid Hilbertเป็นผู้นำการสัมมนาขั้นสูงที่เข้าร่วมโดยนักฟิสิกส์ที่มีชื่อเสียงในสมัยนั้นเพื่อศึกษาบทความของ Lorentz, Poincaré et al อย่างไรก็ตาม ไม่ชัดเจนเลยเมื่อ Minkowski เริ่มกำหนดสูตรทางเรขาคณิตของทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษซึ่งจะใช้ชื่อของเขา หรือว่าเขาได้รับอิทธิพลจากการตีความสี่มิติของ Poincaré เกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงของ Lorentz มากน้อยเพียงใด และไม่ชัดเจนว่าเขาเคยชื่นชมการสนับสนุนที่สำคัญของ Einstein ในการทำความเข้าใจการเปลี่ยนแปลงของ Lorentz โดยคิดว่างานของ Einstein เป็นส่วนขยายของงานของ Lorentz ^[23]

รูปที่ 1–4 ความโปร่งใสของมือที่นำเสนอโดย Minkowski ในการบรรยาย Raum und Zeitในปี 1908 ของเขา

เมื่อวันที่ 5 พฤศจิกายน พ.ศ. 2450 (มากกว่าหนึ่งปีก่อนที่เขาจะเสียชีวิต) Minkowski ได้แนะนำการตีความทางเรขาคณิตของกาลอวกาศในการบรรยายต่อสังคมคณิตศาสตร์เกิททิงเงนด้วยชื่อเรื่องว่า หลักการสัมพัทธภาพ ( Das Relativitätsprinzip ) ^{[หมายเหตุ 5]}เมื่อวันที่ 21 กันยายน พ.ศ. 2451 Minkowski ได้นำเสนอการบรรยายที่มีชื่อเสียงของเขา เรื่องSpace and Time ( Raum und Zeit ) ^[24]ต่อสมาคมนักวิทยาศาสตร์และแพทย์แห่งเยอรมนี คำพูดเริ่มต้นของSpace and Timeรวมถึงคำกล่าวที่มีชื่อเสียงของ Minkowski ว่า "ต่อจากนี้ไป พื้นที่สำหรับตัวมันเอง และเวลาสำหรับตัวมันเองจะลดเหลือเพียงเงาโดยสิ้นเชิง และมีเพียงการรวมกันของทั้งสองเท่านั้นที่จะคงไว้ซึ่งความเป็นอิสระ" อวกาศและเวลารวมถึงการนำเสนอแผนภาพกาลอวกาศต่อสาธารณะครั้งแรก (รูปที่ 1-4) และรวมการสาธิตที่น่าทึ่งว่าแนวคิดของช่วงเวลาคงที่ ( อธิบายด้านล่าง ) พร้อมกับการสังเกตเชิงประจักษ์ว่าความเร็วของแสงมี จำกัด ช่วยให้ ที่มาของทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษทั้งหมด ^{[หมายเหตุ 6]}

แนวคิดกาลอวกาศและกลุ่มอเรนซ์มีการเชื่อมต่ออย่างใกล้ชิดกับบางประเภทของทรงกลม , การผ่อนชำระหรือรูปทรงเรขาคณิตมาตราส่วนและกลุ่มการเปลี่ยนแปลงของพวกเขาพัฒนาแล้วในศตวรรษที่ 19 ซึ่งในช่วงเวลาที่คงที่คล้ายคลึงกับช่วงกาลอวกาศถูกนำมาใช้ ^{[หมายเหตุ 7]}

ในส่วนของ Einstein นั้น ตอนแรกไม่สนใจการตีความทางเรขาคณิตของ Minkowski เกี่ยวกับทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ เกี่ยวกับเรื่องนี้ว่าเป็นüberflüssige Gelehrsamkeit (การเรียนรู้ฟุ่มเฟือย) อย่างไรก็ตาม เพื่อให้การค้นหาทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปเสร็จสมบูรณ์ซึ่งเริ่มขึ้นในปี 1907 การตีความทางเรขาคณิตของทฤษฎีสัมพัทธภาพมีความสำคัญ และในปี 1916 ไอน์สไตน์ยอมรับอย่างเต็มที่ว่าเขาเป็นหนี้ Minkowski ซึ่งการตีความช่วยอำนวยความสะดวกอย่างมากในการเปลี่ยนผ่านไปสู่ทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป ^[11]^{: 151–152}เนื่องจากมีกาลอวกาศประเภทอื่น เช่น กาลอวกาศโค้งของทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป กาลอวกาศของทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษในปัจจุบันเรียกว่ากาลอวกาศ Minkowski

กาลอวกาศในทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ

ช่วงเวลากาล

ในสามมิติระยะทาง $\เดลต้า {d}$ ระหว่างจุดสองจุดสามารถกำหนดได้โดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส :

(\Delta {d})^{2}=(\Delta {x})^{2}+(\Delta {y})^{2}+(\Delta {z})^{2}

แม้ว่าผู้ชมสองคนอาจวัดตำแหน่งx , yและzของจุดสองจุดโดยใช้ระบบพิกัดที่ต่างกัน ระยะห่างระหว่างจุดทั้งสองจะเท่ากัน (สมมติว่าพวกเขากำลังวัดโดยใช้หน่วยเดียวกัน) ระยะทางเป็น "ค่าคงที่"

ในพัทธภาพพิเศษ แต่ระยะห่างระหว่างสองจุดจะไม่เหมือนกันถ้าวัดจากผู้สังเกตการณ์สองแตกต่างกันเมื่อหนึ่งของผู้สังเกตการณ์ที่มีการเคลื่อนไหวเพราะLorentz หด สถานการณ์จะยิ่งซับซ้อนขึ้นไปอีกหากจุดสองจุดถูกแยกจากกันในเวลาและในอวกาศ ตัวอย่างเช่น หากผู้สังเกตคนหนึ่งเห็นเหตุการณ์สองเหตุการณ์เกิดขึ้นที่เดียวกัน แต่คนละเวลากัน บุคคลที่เคลื่อนไหวด้วยความเคารพต่อผู้สังเกตคนแรกจะเห็นเหตุการณ์สองเหตุการณ์เกิดขึ้นในสถานที่ต่างกัน เพราะ (จากมุมมองของพวกเขา) เหตุการณ์นั้นหยุดนิ่ง และตำแหน่งของเหตุการณ์กำลังถอยหรือใกล้เข้ามา ดังนั้น ต้องใช้การวัดที่แตกต่างกันเพื่อวัด "ระยะทาง" ที่มีประสิทธิภาพระหว่างสองเหตุการณ์

ในกาลอวกาศสี่มิติอะนาล็อกเป็นระยะทางเป็นช่วงเวลา แม้ว่าเวลาจะเข้ามาเป็นมิติที่สี่ แต่ก็มีการปฏิบัติที่แตกต่างจากมิติเชิงพื้นที่ คอฟสกีพื้นที่จึงแตกต่างกันในประการที่สำคัญจากสี่มิติพื้นที่ Euclidean เหตุผลพื้นฐานในการรวมเนื้อที่และเวลาเข้ากับกาลอวกาศก็คือที่ว่างและเวลาไม่คงที่ กล่าวคือ ภายใต้สภาวะที่เหมาะสม ผู้สังเกตที่แตกต่างกันจะไม่เห็นด้วยกับระยะเวลาระหว่างสองเหตุการณ์ (เนื่องจากการขยายเวลา ) หรือ ระยะห่างระหว่างสองเหตุการณ์ (เนื่องจากการหดตัวของความยาว ) แต่ทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษให้ค่าคงที่ใหม่ เรียกว่าช่วงเวลากาลอวกาศซึ่งรวมระยะทางในอวกาศและเวลา ผู้สังเกตการณ์ทุกคนที่วัดเวลาและระยะทางระหว่างสองเหตุการณ์ใด ๆ จะจบลงด้วยการคำนวณช่วงเวลาเดียวกัน สมมติว่าผู้สังเกตการณ์วัดเหตุการณ์สองเหตุการณ์โดยแยกจากกันในเวลาโดย $\Delta t$ และระยะห่างเชิงพื้นที่ $\Delta x.$ จากนั้นช่วงกาลอวกาศ $(\Delta {s})^{2}$ ระหว่างสองเหตุการณ์ที่ห่างกันโดยระยะทาง $\เดลต้า {x}$ ในอวกาศและโดย $\Delta {ct}=c\Delta t$ ใน $ct$ - พิกัดคือ:

(\Delta s)^{2}=(\Delta ct)^{2}-(\Delta x)^{2},

หรือสามมิติของพื้นที่

(\Delta s)^{2}=(\Delta ct)^{2}-(\Delta x)^{2}-(\Delta y)^{2}-(\Delta z)^{ 2}.

⁽²⁸⁾

ค่าคงที่ $c,$ ความเร็วแสง แปลงหน่วยเวลา (เช่น วินาที) เป็นหน่วยพื้นที่ (เช่น เมตร) วินาที คูณ เมตร/วินาที = เมตร

แม้ว่าเพื่อความกระชับ มักเห็นนิพจน์ช่วงเวลาที่แสดงโดยไม่มีเดลตา รวมทั้งในการสนทนาส่วนใหญ่ต่อไปนี้ ควรเข้าใจว่าโดยทั่วไป $x$ หมายถึง $\เดลต้า {x}$ ฯลฯ เรามักจะกังวลกับความแตกต่างของค่าพิกัดเชิงพื้นที่หรือเชิงเวลาที่เป็นของสองเหตุการณ์ และเนื่องจากไม่มีจุดเริ่มต้นที่ต้องการ ค่าพิกัดเดียวจึงไม่มีความหมายที่จำเป็น

รูปที่ 2–1 แผนภาพกาลอวกาศแสดงโฟตอนสองโฟตอน A และ B ซึ่งมีต้นกำเนิดจากเหตุการณ์เดียวกัน และวัตถุที่มีความเร็วช้ากว่าแสง C

สมการข้างต้นคล้ายกับทฤษฎีบทพีทาโกรัส ยกเว้นมีเครื่องหมายลบระหว่าง $(ct)^{2}$ และ $x^{2}$ เงื่อนไข ช่วงเวลากาลอวกาศคือปริมาณ $s^{2},$ ไม่ $s$ ตัวเอง. เหตุผลก็คือระยะทางในเรขาคณิตแบบยุคลิดนั้นต่างจากช่วงเวลาในกาลอวกาศ Minkowski ที่เป็นค่าลบได้ แทนที่จะจัดการกับรากที่สองของจำนวนลบ นักฟิสิกส์มักจะคำนึงถึง $s^{2}$ เป็นสัญลักษณ์ที่ชัดเจนในตัวเอง แทนที่จะเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสของบางสิ่ง ^[21]^{: 217}

เนื่องจากเครื่องหมายลบ ช่วงเวลาเว้นวรรคระหว่างเหตุการณ์ที่แตกต่างกันสองเหตุการณ์จึงสามารถเป็นศูนย์ได้ ถ้า $s^{2}$ เป็นค่าบวก ช่วงเวลากาลอวกาศเป็นเหมือนเวลาหมายความว่าสองเหตุการณ์ถูกคั่นด้วยเวลามากกว่าช่องว่าง ถ้า $s^{2}$ เป็นลบช่วงกาลอวกาศเป็นspacelikeหมายความว่าทั้งสองเหตุการณ์จะถูกแยกออกจากพื้นที่มากขึ้นกว่าเวลา ช่วงเวลากาลอวกาศเป็นศูนย์เมื่อ $x=\pm ct.$ กล่าวอีกนัยหนึ่ง ช่วงเวลากาลอวกาศระหว่างสองเหตุการณ์บนเส้นโลกของบางสิ่งที่เคลื่อนที่ด้วยความเร็วแสงเป็นศูนย์ ดังกล่าวเป็นช่วงเวลาที่เรียกว่าlightlikeหรือnull โฟตอนที่เข้ามาในดวงตาของเราจากดาวฤกษ์ที่อยู่ห่างไกลจะไม่แก่ชรา แม้ว่า (จากมุมมองของเรา) จะใช้เวลาหลายปีในการเดินทาง

โดยทั่วไป แผนภาพกาลอวกาศจะวาดด้วยช่องว่างเพียงช่องเดียวและพิกัดเวลาเดียว รูปที่ 2-1 แสดงแผนภาพกาลอวกาศที่แสดงเส้นโลก (เช่น เส้นทางในกาลอวกาศ) ของโฟตอนสองโฟตอน A และ B ซึ่งเกิดจากเหตุการณ์เดียวกันและไปในทิศทางตรงกันข้าม นอกจากนี้ C ยังแสดงเส้นโลกของวัตถุที่มีความเร็วน้อยกว่าแสง พิกัดเวลาแนวตั้งถูกปรับขนาดโดย $c$ เพื่อให้มีหน่วย (เมตร) เท่ากันกับพิกัดพื้นที่แนวนอน เนื่องจากโฟตอนเดินทางด้วยความเร็วแสง เส้นโลกของพวกมันจึงมีความชัน ±1 กล่าวอีกนัยหนึ่ง ทุกเมตรที่โฟตอนเคลื่อนที่ไปทางซ้ายหรือขวาต้องใช้เวลาประมาณ 3.3 นาโนวินาที

มีอนุสัญญาการใช้สัญลักษณ์สองแบบในวรรณคดีสัมพัทธภาพ:

s^{2}=(ct)^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}

และ

s^{2}=-(ct)^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}

แบบแผนการลงนามเหล่านี้เกี่ยวข้องกับลายเซ็นเมตริก (+ − − −)และ(− + + +) รูปแบบเล็กน้อยคือการวางพิกัดเวลาไว้สุดท้ายแทนที่จะเป็นอันดับแรก อนุสัญญาทั้งสองนี้ใช้กันอย่างแพร่หลายในด้านการศึกษา

กรอบอ้างอิง

รูปที่ 2-2 แผนภาพกาลิเลียนของกรอบอ้างอิงสองกรอบในการกำหนดค่ามาตรฐาน

รูปที่ 2–3 (ก) แผนภาพกาลิเลียนของกรอบอ้างอิงสองกรอบในรูปแบบมาตรฐาน (ข) แผนภาพกาลอวกาศของกรอบอ้างอิงสองกรอบ (ค) แผนภาพกาลอวกาศแสดงเส้นทางของพัลส์แสงสะท้อน

เพื่อให้ได้ข้อมูลเชิงลึกว่าพิกัดของกาลอวกาศที่วัดโดยผู้สังเกตการณ์ในหน้าต่างอ้างอิงต่างๆเปรียบเทียบกันอย่างไร การทำงานกับการตั้งค่าแบบง่ายกับเฟรมในการกำหนดค่ามาตรฐานจึงมีประโยชน์ ด้วยความระมัดระวัง สิ่งนี้ทำให้คณิตศาสตร์เข้าใจง่ายขึ้นโดยไม่สูญเสียความทั่วไปในข้อสรุปที่บรรลุ ในรูปที่ 2-2 กรอบอ้างอิงของกาลิเลียนสองกรอบ (เช่นกรอบสามมิติแบบธรรมดา) จะแสดงในการเคลื่อนไหวสัมพันธ์กัน เฟรม S อยู่ในผู้สังเกตการณ์คนแรก O และเฟรม S′ (ออกเสียงว่า "S ไพรม์") อยู่ในผู้สังเกตการณ์คนที่สอง O′

แกนx , y , zของเฟรม S ถูกวางแนวขนานกับแกนที่เตรียมไว้ตามลำดับของเฟรม S′
เฟรม S ' เคลื่อนที่ในทิศทางxของเฟรม S ด้วยความเร็วคงที่vตามที่วัดในเฟรม S
ต้นกำเนิดของเฟรม S และ S′ เกิดขึ้นพร้อมกันเมื่อเวลาt = 0 สำหรับเฟรม S และt ′ = 0 สำหรับเฟรม S′ ^[4]^{: 107}

รูปที่ 2-3a วาดใหม่ รูปที่ 2-2 ในทิศทางที่แตกต่างกัน รูปที่ 2-3b แสดงแผนภาพกาลอวกาศจากมุมมองของผู้สังเกต O เนื่องจาก S และ S′ อยู่ในโครงแบบมาตรฐาน ต้นกำเนิดของมันตรงกันในบางครั้งt = 0 ในเฟรม S และt ′ = 0 ในเฟรม S′ กะรัต 'แกนผ่านเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นในกรอบ S' ที่มีx '= 0 แต่จุดที่มีx ' = 0 กำลังจะย้ายในx -direction ของกรอบ S กับความเร็วโวลต์เพื่อที่ว่าพวกเขาจะไม่ประจวบกับกะรัตแกนในเวลาใดก็ได้ที่ไม่ใช่ศูนย์ ดังนั้นแกนct ′ จึงเอียงเทียบกับแกนctด้วยมุมθ ที่กำหนดโดย

\tan(\theta )=v/c.

xแกน 'ยังเอียงด้วยความเคารพต่อxแกน ในการกำหนดมุมของการเอียงนี้ เราจำได้ว่าความชันของเส้นโลกของพัลส์แสงอยู่ที่ ±1 เสมอ รูปที่ 2-3c แสดงแผนภาพกาลอวกาศจากมุมมองของผู้สังเกตการณ์ O′ เหตุการณ์ P หมายถึงการปล่อยชีพจรแสงที่x '= 0, กะรัต ' = - ชีพจรสะท้อนจากกระจกที่อยู่ห่างจากแหล่งกำเนิดแสงa (เหตุการณ์ Q) และกลับสู่แหล่งกำเนิดแสงที่x ′ = 0, ct ′ = a (เหตุการณ์ R)

เหตุการณ์เดียวกัน P, Q, R ถูกพล็อตในรูปที่ 2-3b ในกรอบของผู้สังเกต O เส้นทางแสงมีความลาดชัน = 1 และ -1 ดังนั้น △PQR จะสร้างสามเหลี่ยมมุมฉากกับ PQ และ QR ทั้งสองที่ 45 องศา ไปที่แกนxและct เนื่องจาก OP = OQ = OR มุมระหว่างx ′ และxจะต้องเป็นθด้วย ^[4]^{: 113–118}

ในขณะที่เฟรมที่พักมีแกนช่องว่างและเวลาซึ่งมาบรรจบกันที่มุมฉาก เฟรมที่เคลื่อนที่จะถูกวาดด้วยแกนที่บรรจบกันในมุมแหลม เฟรมนั้นเทียบเท่ากันจริงๆ ความไม่สมมาตรเกิดจากการบิดเบือนที่หลีกเลี่ยงไม่ได้ในการที่พิกัดกาลอวกาศสามารถทำแผนที่บนระนาบคาร์ทีเซียนและไม่ควรถือว่าแปลกไปกว่าลักษณะที่การฉายภาพเมอร์เคเตอร์ของโลก ขนาดสัมพัทธ์ของมวลดินใกล้ขั้ว (กรีนแลนด์และ แอนตาร์กติกา) เกินจริงอย่างมากเมื่อเทียบกับมวลดินใกล้เส้นศูนย์สูตร

กรวยไฟ

รูปที่ 2–4 โคนแสงที่มีศูนย์กลางอยู่ที่เหตุการณ์แบ่งกาลอวกาศที่เหลือออกเป็นอนาคต อดีต และ "ที่อื่น"

ในรูปที่ 2–4 เหตุการณ์ O อยู่ที่จุดกำเนิดของแผนภาพกาลอวกาศ และเส้นทแยงสองเส้นแสดงถึงเหตุการณ์ทั้งหมดที่มีช่วงกาลอวกาศเป็นศูนย์เมื่อเทียบกับเหตุการณ์กำเนิด เส้นสองเส้นนี้ก่อให้เกิดสิ่งที่เรียกว่ากรวยแสงของเหตุการณ์ O เนื่องจากการเพิ่มมิติเชิงพื้นที่ที่สอง (รูปที่ 2-5) ทำให้ลักษณะที่ปรากฏของกรวยวงกลมด้านขวาสองอันมาบรรจบกับปลายของพวกมันที่จุด O หนึ่งรูปกรวยขยายไปสู่อนาคต (t>0) อีกอันหนึ่งในอดีต (t<0).

รูปที่ 2–5 กรวยแสงในพื้นที่ 2 มิติบวกมิติเวลา

กรวยแสง (สองเท่า) แบ่งกาลอวกาศออกเป็นบริเวณที่แยกจากกันตามยอดของมัน ภายในของกรวยแสงในอนาคตประกอบด้วยเหตุการณ์ทั้งหมดที่แยกออกจากยอดตามเวลา (ระยะทางชั่วคราว) มากกว่าที่จำเป็นในการข้ามระยะห่างเชิงพื้นที่ด้วยความเร็วแสง เหตุการณ์เหล่านี้ประกอบด้วยเหตุการณ์ที่คล้ายคลึงกันในอนาคตของเหตุการณ์ O ในทำนองเดียวกันอดีตที่ย้อนเวลาก็ประกอบด้วยเหตุการณ์ภายในของกรวยแสงในอดีตเช่นเดียวกัน ดังนั้นในช่วงเวลาไทม์ไลค์ Δ ctมากกว่า Δ xทำให้ช่วงเวลาไทม์ไลค์เป็นบวก ภูมิภาคภายนอกกรวยแสงประกอบด้วยเหตุการณ์ที่แยกออกมาจากเหตุการณ์ O โดยการเพิ่มเติมพื้นที่เกินกว่าที่จะข้ามที่ Lightspeed ในกำหนดเวลา เหตุการณ์เหล่านี้ประกอบด้วยบริเวณที่เรียกว่าสเปซไลค์ของเหตุการณ์ O ซึ่งแสดงเป็น "ที่อื่น" ในรูปที่ 2-4 เหตุการณ์บนโคนแสงนั้นกล่าวกันว่าเบา (หรือnull แยกจากกัน ) จาก O เนื่องจากความแปรปรวนของช่วงเวลากาลอวกาศ ผู้สังเกตทั้งหมดจะกำหนดกรวยแสงเดียวกันให้กับเหตุการณ์ใดก็ตาม และด้วยเหตุนี้จึงจะเห็นด้วยกับการแบ่งกาลอวกาศนี้ . ^[21]^{: 220}

กรวยแสงมีบทบาทสำคัญภายในแนวคิดของเวรกรรม เป็นไปได้ที่สัญญาณความเร็วไม่เร็วกว่าแสงจะเดินทางจากตำแหน่งและเวลาของ O ไปยังตำแหน่งและเวลาของ D (รูปที่ 2-4) ดังนั้นจึงเป็นไปได้ที่เหตุการณ์ O จะมีอิทธิพลเชิงสาเหตุต่อเหตุการณ์ D กรวยแสงในอนาคตประกอบด้วยเหตุการณ์ทั้งหมดที่อาจได้รับอิทธิพลจากสาเหตุโดย O ในทำนองเดียวกัน เป็นไปได้ที่สัญญาณความเร็วไม่เร็วกว่าแสง เดินทางจากตำแหน่งและเวลาของ A ไปยังตำแหน่งและเวลาของ O กรวยแสงในอดีตประกอบด้วยเหตุการณ์ทั้งหมดที่อาจมีอิทธิพลเชิงสาเหตุต่อ O ในทางตรงกันข้าม สมมติว่าสัญญาณไม่สามารถเดินทางได้เร็วกว่าความเร็วแสงใดๆ เหตุการณ์ เช่น B หรือ C ในพื้นที่คล้ายอวกาศ (ที่อื่น) ไม่สามารถส่งผลกระทบต่อเหตุการณ์ O และจะไม่ได้รับผลกระทบจากเหตุการณ์ O ที่ใช้การส่งสัญญาณดังกล่าว ภายใต้สมมติฐานนี้ ไม่รวมความสัมพันธ์เชิงสาเหตุใดๆ ระหว่างเหตุการณ์ O และเหตุการณ์ใดๆ ในบริเวณที่คล้ายอวกาศของกรวยแสง ^[29]

สัมพัทธภาพของความพร้อมกัน

รูปที่ 2-6 แอนิเมชั่นที่แสดงทฤษฎีสัมพัทธภาพของความพร้อมกัน

ผู้สังเกตการณ์ทุกคนจะยอมรับว่าสำหรับเหตุการณ์ใดก็ตาม เหตุการณ์ภายในกรวยแสงในอนาคตของเหตุการณ์ที่กำหนดจะเกิดขึ้นหลังจากเหตุการณ์ที่กำหนด ในทำนองเดียวกัน สำหรับเหตุการณ์ใดก็ตาม เหตุการณ์ภายในกรวยแสงในอดีตของเหตุการณ์ที่กำหนดจะเกิดขึ้นก่อนเหตุการณ์ที่กำหนด ความสัมพันธ์ก่อน-หลังที่สังเกตได้สำหรับเหตุการณ์ที่แยกตามเวลายังคงไม่เปลี่ยนแปลงไม่ว่ากรอบอ้างอิงของผู้สังเกตจะเป็นเช่นไร กล่าวคือ ไม่ว่าผู้สังเกตจะเคลื่อนไหวอย่างไร สถานการณ์ค่อนข้างแตกต่างสำหรับเหตุการณ์ที่แยกจากกันในอวกาศ รูปที่ 2-4ถูกดึงออกมาจากหน้าต่างอ้างอิงของผู้สังเกตที่กำลังเคลื่อนที่ที่v = 0จากหน้าต่างอ้างอิงนี้ เหตุการณ์ C จะสังเกตเห็นว่าเกิดขึ้นหลังจากเหตุการณ์ O และสังเกตได้ว่าเหตุการณ์ B จะเกิดขึ้นก่อนเหตุการณ์ O จากการอ้างอิงอื่น กรอบ ลำดับของเหตุการณ์ที่ไม่เกี่ยวกับสาเหตุเหล่านี้สามารถย้อนกลับได้ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง คนหนึ่งตั้งข้อสังเกตว่าถ้าเหตุการณ์สองเหตุการณ์เกิดขึ้นพร้อมกันในหน้าต่างอ้างอิงเฉพาะ เหตุการณ์เหล่านั้นจำเป็นต้องแยกจากกันด้วยช่วงที่เหมือนช่องว่างและด้วยเหตุนี้จึงไม่มีความสัมพันธ์กันแบบเชิงสาเหตุ การสังเกตว่าพร้อมกันไม่ได้แน่นอน แต่ขึ้นอยู่กับกรอบอ้างอิงของผู้สังเกตการณ์จะเรียกว่าทฤษฎีสัมพัทธภาพของพร้อมกัน ^[30]

รูปที่ 2-6 แสดงการใช้แผนภาพกาลอวกาศในการวิเคราะห์สัมพัทธภาพของความพร้อมกัน เหตุการณ์ในกาลอวกาศเป็นค่าคงที่ แต่กรอบพิกัดจะเปลี่ยนไปตามที่กล่าวไว้ข้างต้นสำหรับรูปที่ 2-3 ทั้งสามเหตุการณ์(A, B, C)พร้อมกันจากกรอบอ้างอิงของผู้สังเกตการณ์ที่เคลื่อนที่ด้วยV = 0จากกรอบอ้างอิงของผู้สังเกตการณ์ที่เคลื่อนที่ด้วยV = 0.3 ค ,เหตุการณ์ที่เกิดขึ้นดูเหมือนจะเกิดขึ้นในการสั่งซื้อC, B เอจากกรอบอ้างอิงของผู้สังเกตการณ์ที่เคลื่อนที่ด้วยV = -0.5 ค , เหตุการณ์ที่เกิดขึ้นดูเหมือนจะเกิดขึ้นในการสั่งซื้อA, B, C เส้นสีขาวแสดงถึงระนาบของความพร้อมกันที่ย้ายจากอดีตของผู้สังเกตไปสู่อนาคตของผู้สังเกต โดยเน้นถึงเหตุการณ์ที่อาศัยอยู่บนเส้นนั้น พื้นที่สีเทาคือกรวยแสงของผู้สังเกต ซึ่งยังคงไม่เปลี่ยนแปลง

ช่วงเวลากาลอวกาศที่คล้ายอวกาศให้ระยะทางเดียวกันกับที่ผู้สังเกตจะวัดว่าเหตุการณ์ที่ถูกวัดนั้นเกิดขึ้นพร้อมกันกับผู้สังเกตหรือไม่ ช่วงเวลากาลอวกาศที่เหมือนกันจึงให้การวัดระยะทางที่เหมาะสมเช่น ระยะทางจริง = ${\sqrt {-s^{2}}}.$ ในทำนองเดียวกัน ช่วงเวลากาลอวกาศที่คล้ายคลึงกันจะให้การวัดเวลาแบบเดียวกับที่แสดงโดยการติ๊กสะสมของนาฬิกาที่เคลื่อนที่ไปตามเส้นโลกที่กำหนด ช่วงเวลากาลครั้งหนึ่งจึงให้การวัดเวลาที่เหมาะสม = ${\sqrt {s^{2}}}.$ ^[21]^{: 220–221}

ไฮเปอร์โบลาคงที่

รูปที่ 2–7 (a) ครอบครัวของไฮเพอร์โบลาคงที่ (b) ไฮเปอร์โบลอยด์สองแผ่นและหนึ่งแผ่น

ในอวกาศแบบยุคลิด (มีมิติเชิงพื้นที่เท่านั้น) ชุดของจุดที่เท่ากัน (โดยใช้เมตริกแบบยุคลิด) จากบางจุดจะสร้างวงกลม (ในสองมิติ) หรือทรงกลม (ในสามมิติ) ในกาลอวกาศ Minkowski มิติ (1+1) มิติ (มีหนึ่งมิติชั่วขณะและหนึ่งมิติเชิงพื้นที่) จุดที่ช่วงกาลอวกาศคงที่บางช่วงห่างจากจุดกำเนิด (โดยใช้เมตริก Minkowski) ในรูปแบบเส้นโค้งที่กำหนดโดยสมการทั้งสอง

(ct)^{2}-x^{2}=\pm s^{2},

กับ $s^{2}$ ค่าคงที่จริงบวกบางส่วน สมการเหล่านี้จะอธิบายทั้งสองครอบครัวของไฮเพอร์โบลาในx - กะรัตกาลอวกาศแผนภาพซึ่งจะเรียกว่าไฮเพอร์โบลาคงที่

ในรูปที่ 2-7a ไฮเปอร์โบลาสีม่วงแดงแต่ละอันเชื่อมต่อเหตุการณ์ทั้งหมดที่มีการแยกจากจุดกำเนิดที่เหมือนอวกาศคงที่ ในขณะที่ไฮเปอร์โบลาสีเขียวเชื่อมต่อเหตุการณ์ที่มีการแยกตามเวลาเท่ากัน

ไฮเปอร์โบลาสีม่วงแดงซึ่งตัดผ่านแกนxเป็นเส้นโค้งที่เหมือนเวลา กล่าวคือว่าไฮเปอร์โบลาเหล่านี้เป็นตัวแทนของเส้นทางจริงที่สามารถข้ามผ่านโดยอนุภาค (ที่เร่งอย่างต่อเนื่อง) ในกาลอวกาศ: ระหว่างสองเหตุการณ์ใดๆ บนไฮเปอร์โบลาเดียว ความสัมพันธ์เชิงสาเหตุอาจเป็นไปได้ เพราะค่าผกผันของความชัน—แทนความเร็วที่จำเป็น—สำหรับซีแคนต์ทั้งหมดมีค่าน้อยกว่า $c$ . ในอีกทางหนึ่ง ไฮเปอร์โบลาสีเขียวซึ่งตัดผ่านแกนctเป็นเส้นโค้งที่คล้ายอวกาศเนื่องจากช่วงทั้งหมดตามไฮเพอร์โบลาเหล่านี้เป็นช่วงที่เหมือนช่องว่าง: ไม่มีเหตุที่เป็นไปได้ระหว่างจุดสองจุดใดๆ บนหนึ่งในไฮเปอร์โบลาเหล่านี้ เพราะเซแคนต์ทั้งหมดแทนความเร็วที่มากกว่า $c$ .

รูปที่ 2-7b สะท้อนถึงสถานการณ์ในกาลอวกาศ Minkowski (1+2) มิติ (หนึ่งมิติชั่วขณะและสองมิติเชิงพื้นที่) ด้วยไฮเปอร์โบลอยด์ที่สอดคล้องกัน ไฮเปอร์โบลาคงที่ที่ถูกแทนที่โดยช่วงเว้นวรรคจากจุดกำเนิดจะสร้างไฮเปอร์โบลอยด์ของแผ่นงานหนึ่งแผ่น ในขณะที่ไฮเปอร์โบลาคงที่ที่ถูกแทนที่ด้วยช่วงเวลาที่คล้ายกันจากจุดกำเนิดจะสร้างไฮเปอร์โบลอยด์สองแผ่น

ขอบเขตมิติ (1+2) ระหว่างไฮเปอร์โบลอยด์ในอวกาศและไทม์ไลค์ กำหนดขึ้นโดยเหตุการณ์ที่สร้างช่วงเวลาปริภูมิเป็นศูนย์ไปยังจุดกำเนิด ประกอบขึ้นโดยการทำให้ไฮเปอร์โบลอยด์เสื่อมสภาพไปที่กรวยแสง ในขนาด (1+1) ไฮเพอร์โบลาเสื่อมสภาพเป็นเส้นสีเทา 45°-เส้นสองเส้นที่แสดงไว้ในรูปที่ 2-7a

การขยายเวลาและการหดตัวของความยาว

รูปที่ 2–8 ไฮเปอร์โบลาคงที่ประกอบด้วยจุดที่สามารถเข้าถึงได้จากจุดเริ่มต้นในเวลาที่เหมาะสมโดยนาฬิกาที่เคลื่อนที่ด้วยความเร็วต่างกัน

รูปที่ 2-8 แสดงไฮเปอร์โบลาคงที่สำหรับเหตุการณ์ทั้งหมดที่สามารถเข้าถึงได้จากจุดเริ่มต้นในเวลาที่เหมาะสม 5 เมตร (โดยประมาณ 1.67 × 10 ^-8 s ) เส้นโลกที่แตกต่างกันแสดงถึงนาฬิกาที่เคลื่อนที่ด้วยความเร็วที่ต่างกัน นาฬิกาที่อยู่กับที่เมื่อเทียบกับผู้สังเกตจะมีเส้นโลกที่เป็นแนวตั้ง และเวลาที่ใช้ไปโดยผู้สังเกตจะเท่ากับเวลาที่เหมาะสม สำหรับนาฬิกาเดินทางที่ 0.3 cเวลาที่ผ่านไปวัดโดยผู้สังเกตคือ 5.24 เมตร (1.75 × 10 ⁻⁸ s ) ในขณะที่นาฬิกาเดินที่ 0.7 cเวลาที่ผ่านไปวัดโดยผู้สังเกตคือ 7.00 เมตร (2.34 × 10 ^-8 s ) นี้แสดงให้เห็นปรากฏการณ์ที่เรียกว่าการขยายเวลา นาฬิกาที่เคลื่อนที่เร็วกว่าจะใช้เวลานานกว่า (ในกรอบผู้สังเกต) ในการทำเครื่องหมายเวลาที่เหมาะสมเท่ากัน และนาฬิกาจะเคลื่อนที่ไปตามแกน x ภายในเวลาที่เหมาะสมมากกว่าที่ไม่มีการขยายเวลา ^[21]^{: 220–221}การวัดการขยายเวลาโดยผู้สังเกตสองคนในกรอบอ้างอิงเฉื่อยที่ต่างกันนั้นใช้ร่วมกัน ถ้าผู้สังเกต O วัดนาฬิกาของผู้สังเกต O′ ว่าวิ่งช้าลงในเฟรมของเขา ผู้สังเกตการณ์ O′ จะวัดนาฬิกาของผู้สังเกต O ว่าวิ่งช้าลง

รูปที่ 2–9 ในแผนภาพกาลอวกาศนี้ ความยาว 1 ม. ของแกนเคลื่อนที่ตามที่วัดในเฟรมที่ลงสีพื้นแล้ว คือ OC ระยะทางที่สั้นไว้ล่วงหน้าเมื่อฉายลงบนเฟรมที่ยังไม่ได้ไพรเมอร์

การหดตัวของความยาวเช่นเดียวกับการขยายเวลาเป็นการสำแดงของสัมพัทธภาพของความพร้อมกัน การวัดความยาวต้องใช้การวัดช่วงเวลากาลอวกาศระหว่างสองเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นพร้อมกันในกรอบอ้างอิง แต่เหตุการณ์ที่เกิดขึ้นพร้อมกันในกรอบอ้างอิงเดียว โดยทั่วไป จะไม่เกิดขึ้นพร้อมกันในกรอบอ้างอิงอื่น

รูปที่ 2-9 แสดงการเคลื่อนที่ของแท่งยาว 1 ม. ซึ่งเคลื่อนที่ที่ 0.5 cตามแนวแกนx ขอบของแถบสีน้ำเงินแสดงถึงเส้นโลกของจุดปลายทั้งสองของแกน ไฮเปอร์โบลาคงที่แสดงเหตุการณ์ที่แยกจากจุดกำเนิดด้วยช่วงเว้นวรรค 1 เมตร จุดสิ้นสุด O และ B วัดเมื่อt ′ = 0 เป็นเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นพร้อมกันในเฟรม S′ แต่สำหรับผู้สังเกตในเฟรม S เหตุการณ์ O และ B จะไม่เกิดขึ้นพร้อมกัน ในการวัดความยาว ผู้สังเกตในเฟรม S วัดจุดสิ้นสุดของแท่งที่ฉายบนแกนxตามเส้นโลก การฉายภาพแผ่นโลกของแกนบนแกนxให้ความยาว OC ที่สั้นลง ^[4]^{: 125}

(ไม่ได้แสดงภาพประกอบ) การวาดเส้นแนวตั้งผ่าน A เพื่อให้ตัดแกนx ′ แสดงให้เห็นว่า แม้ว่า OB จะถูกตัดทอนจากมุมมองของผู้สังเกต O ก็ตาม OA ก็ถูกย่อจากมุมมองของผู้สังเกตการณ์ O′ ด้วยเช่นกัน ในลักษณะเดียวกับที่ผู้สังเกตการณ์แต่ละคนวัดนาฬิกาของอีกฝ่ายหนึ่งว่าเดินช้า ผู้สังเกตการณ์แต่ละคนวัดผู้ปกครองของอีกฝ่ายหนึ่งว่าถูกทำสัญญา

ในส่วนที่เกี่ยวกับการหดตัวของความยาวร่วมกัน 2-9แสดงให้เห็นว่าเฟรมที่ลงสีพื้นและไม่ได้ไพรม์นั้นหมุนกันโดยมุมไฮเปอร์โบลิก (คล้ายกับมุมปกติในเรขาคณิตแบบยุคลิด) ^{[หมายเหตุ 8]}เนื่องจากการหมุนนี้ การฉายภาพของแท่งเมตรที่เตรียมไว้บนแกนx ที่ยังไม่ได้เตรียมสีจึงถูกทำให้สั้นลง ในขณะที่การฉายภาพของแท่งเมตรที่ไม่ได้ลงสีไว้บนแกน x′ ที่เตรียมไว้ก็ถูกทำให้สั้นลงเช่นเดียวกัน

การขยายเวลาร่วมกันและความขัดแย้งคู่

การขยายเวลาร่วมกัน

การขยายเวลาร่วมกันและการหดตัวของความยาวมักจะกระทบกับผู้เริ่มต้นเนื่องจากแนวคิดที่ขัดแย้งกันเองโดยเนื้อแท้ หากผู้สังเกตในกรอบ S วัดนาฬิกา ขณะหยุดนิ่งในกรอบ S' ว่าวิ่งช้ากว่าของเขา' ในขณะที่ S' กำลังเคลื่อนที่ด้วยความเร็วvใน S หลักการสัมพัทธภาพต้องการให้ผู้สังเกตในกรอบ S' ทำการวัดเช่นเดียวกัน นาฬิกาในกรอบ S เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว − vใน S' ซึ่งวิ่งช้ากว่านาฬิกาของเธอ การที่นาฬิกาสองนาฬิกาสามารถวิ่งได้ช้ากว่าอีกนาฬิกาหนึ่งนั้นเป็นคำถามสำคัญที่ "เข้าถึงหัวใจของการทำความเข้าใจทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ" ^[21]^{: 198}

ความขัดแย้งที่เห็นได้ชัดนี้เกิดจากการไม่คำนึงถึงการตั้งค่าต่างๆ ของการวัดที่จำเป็นและเกี่ยวข้องอย่างถูกต้อง การตั้งค่าเหล่านี้ช่วยให้สามารถอธิบายความขัดแย้งที่ชัดเจนเพียงอย่างเดียวได้อย่างสม่ำเสมอ มันไม่ได้เกี่ยวกับการฟ้องที่เป็นนามธรรมของนาฬิกาสองตัวที่เหมือนกัน แต่เกี่ยวกับวิธีการวัดระยะทางชั่วคราวของสองเห็บของนาฬิกาที่กำลังเคลื่อนที่ในกรอบเดียว ปรากฎว่าในการสังเกตระยะเวลาร่วมกันระหว่างขีดของนาฬิกา แต่ละอันเคลื่อนที่ในกรอบที่เกี่ยวข้อง จะต้องเกี่ยวข้องกับชุดนาฬิกาที่แตกต่างกัน เพื่อวัดในกรอบ S ระยะเวลาขีดของนาฬิกาเคลื่อนที่ W ′ (พักใน S′) เราใช้นาฬิกาที่ซิงโครไนซ์เพิ่มเติมอีกสองตัว W ₁และ W ₂ที่หยุดนิ่งในจุดคงที่สองจุดใน S พร้อมระยะห่างเชิงพื้นที่d .

สองเหตุการณ์สามารถกำหนดได้โดยเงื่อนไข "สองนาฬิกาพร้อมกันที่เดียว" คือเมื่อ W 'ผ่านแต่ละ W ₁และ W 2สำหรับทั้งสองเหตุการณ์ การอ่านสองครั้งของนาฬิกาที่จัดไว้จะถูกบันทึก ความแตกต่างของทั้งสองอ่าน W ₁และ W ₂คือระยะทางที่ชั่วของทั้งสองเหตุการณ์ใน S, และระยะทางอวกาศของพวกเขาคือd ความแตกต่างของการอ่าน W สองครั้งคือระยะทางชั่วคราวของทั้งสองเหตุการณ์ใน S′ ใน S′ เหตุการณ์เหล่านี้แยกจากกันในเวลาเท่านั้น เกิดขึ้นที่เดียวกันใน S′ เนื่องจากค่าคงที่ของช่วงเวลากาลอวกาศที่ขยายโดยเหตุการณ์ทั้งสองนี้ และการแยกเชิงพื้นที่ที่ไม่ใช่ศูนย์dใน S ระยะทางชั่วคราวใน S′ ต้องน้อยกว่าหนึ่งใน S: ระยะห่างชั่วคราวที่น้อยกว่าระหว่างสองเหตุการณ์ซึ่งเป็นผลมาจาก การอ่านค่าของนาฬิกาเคลื่อนที่ W′ เป็นของนาฬิกาที่วิ่งช้ากว่า W′

ในทางกลับกัน สำหรับการตัดสินในเฟรม S′ ระยะทางชั่วคราวของสองเหตุการณ์บนนาฬิกาที่กำลังเคลื่อนที่ W (พักใน S) หนึ่งต้องการนาฬิกาสองนาฬิกาที่เหลือใน S′

ในการเปรียบเทียบนี้นาฬิกา W มีการเคลื่อนไหวโดยมีความเร็ว - วี การบันทึกค่าที่อ่านได้สี่ครั้งสำหรับเหตุการณ์ซึ่งกำหนดโดย "นาฬิกาสองนาฬิกาพร้อมกันในที่เดียว" ส่งผลให้เกิดระยะห่างชั่วคราวที่คล้ายคลึงกันของทั้งสองเหตุการณ์ ซึ่งขณะนี้แยกจากกันชั่วคราวและเชิงพื้นที่ใน S′ และแยกจากกันชั่วคราวแต่จัดอยู่ใน S ถึง ให้ช่วงเวลากาลอวกาศไม่แปรผัน ระยะทางชั่วคราวใน S ต้องน้อยกว่าใน S′ เนื่องจากการแยกเชิงพื้นที่ของเหตุการณ์ใน S′: ตอนนี้นาฬิกา W จะวิ่งช้าลง

การบันทึกที่จำเป็นสำหรับการตัดสินทั้งสองครั้ง โดยมี "นาฬิกาเคลื่อนที่หนึ่งนาฬิกา" และ "นาฬิกาหยุดนิ่งสองนาฬิกา" ตามลำดับ S หรือ S เกี่ยวข้องกับชุดที่แตกต่างกันสองชุด แต่ละชุดมีสามนาฬิกา เนื่องจากมีชุดนาฬิกาที่แตกต่างกันที่เกี่ยวข้องกับการวัด จึงไม่มีความจำเป็นโดยธรรมชาติที่การวัดจะ "สอดคล้องกัน" ซึ่งกันและกัน ดังนั้น หากผู้สังเกตการณ์คนหนึ่งวัดนาฬิกาที่เคลื่อนที่ให้ช้า ผู้สังเกตการณ์อีกคนหนึ่งจะวัดนาฬิกาของตนให้เร็ว ^[21]^{: 198–199}

รูปที่ 2-10 การขยายเวลาร่วมกัน

รูปที่ 2-10 แสดงการสนทนาก่อนหน้านี้เกี่ยวกับการขยายเวลาร่วมกันกับไดอะแกรม Minkowski ภาพบนสะท้อนการวัดที่เห็นจากเฟรม S "ที่อยู่นิ่ง" ด้วยแกนสี่เหลี่ยมที่ยังไม่ได้ ลงสีพื้นและเฟรม S′ "เคลื่อนที่ด้วยv > 0" ประสานด้วยแกนเฉียงลงสีพื้น เอียงไปทางขวา รูปภาพด้านล่างแสดงกรอบ S′ "เมื่ออยู่นิ่ง" โดยมีการลงสีพื้น พิกัดสี่เหลี่ยม และเฟรม S "เคลื่อนที่ด้วย − v < 0" โดยมีแกนเฉียงที่ยังไม่ได้ลงสีพื้น เอียงไปทางซ้าย

แต่ละเส้นที่ลากขนานกับแกนเชิงพื้นที่ ( x , x ′) แสดงถึงเส้นของความพร้อมกัน เหตุการณ์ทั้งหมดในบรรทัดดังกล่าวมีค่าเวลาเท่ากัน ( ct , ct ′) ในทำนองเดียวกัน แต่ละเส้นที่ลากขนานกับแกนชั่วขณะ ( ct , ct′ ) แสดงถึงเส้นที่มีค่าพิกัดเชิงพื้นที่เท่ากัน ( x , x ′)

ทั้งสองภาพอาจกำหนดแหล่งกำเนิดO (= O ′ ) เป็นเหตุการณ์ โดยที่ "นาฬิกาเคลื่อนที่" ตามลำดับจะจัดวางร่วมกับ "นาฬิกาแรกที่หยุดนิ่ง" ในการเปรียบเทียบทั้งสองแบบ แน่นอน สำหรับเหตุการณ์นี้ การอ่านค่านาฬิกาทั้งสองในการเปรียบเทียบทั้งสองจะเป็นศูนย์ ด้วยเหตุนี้ เส้นโลกของนาฬิกาเคลื่อนที่จึงเอียงไปทางแกนct ′- ขวา(ภาพบน, นาฬิกา W′) และแกนctทางซ้ายที่เอียง (ภาพล่าง, นาฬิกา W) เส้นโลกของ W ₁และ W′ ₁เป็นแกนเวลาแนวตั้งที่สอดคล้องกัน ( ctในภาพด้านบน และct ′ ในภาพด้านล่าง)

ในภาพด้านบน สถานที่สำหรับ W ₂จะเป็นA _x > 0 ดังนั้นเส้นโลก (ไม่แสดงในรูปภาพ) ของนาฬิกานี้ตัดกับเส้นโลกของนาฬิกาเคลื่อนที่ ( แกนct ′) ในเหตุการณ์ที่มีป้ายกำกับAโดยที่ "นาฬิกาสองนาฬิกาพร้อมกันในที่เดียว" ในภาพที่ต่ำกว่าสถานที่สำหรับ W ' ₂จะนำไปเป็นC _{x '} <0, และอื่น ๆ ในวัดนี้ย้ายนาฬิกา W ผ่าน W ' ₂ในกรณีที่C

ในภาพบนกะรัตประสานงาน_{เสื้อ}ของเหตุการณ์(อ่านน W ₂ ) จะมีป้ายBจึงทำให้เวลาที่ผ่านไประหว่างสองเหตุการณ์วัดด้วย W ₁และ W ₂เป็นOB สำหรับการเปรียบเทียบ ความยาวของช่วงเวลาOAวัดด้วย W′ ต้องแปลงเป็นมาตราส่วนของแกนct นี้จะกระทำโดย hyperbola คงที่ (ดูรูป. 2-8) ผ่านเชื่อมต่อเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นทั้งหมดที่มีช่วงเวลากาลอวกาศเดียวกันจากแหล่งกำเนิดเป็น สิ่งนี้ให้ผลเหตุการณ์Cบนแกนctและเห็นได้ชัดว่า: OC < OBนาฬิกา "เคลื่อนที่" W′ ทำงานช้าลง

เพื่อแสดงการขยายเวลาร่วมกันทันทีในภาพบน เหตุการณ์Dอาจสร้างเป็นเหตุการณ์ที่x ′ = 0 (ตำแหน่งของนาฬิกา W′ ใน S′) ซึ่งพร้อมกันกับC ( OCมีช่วงเวลากาลว่างเท่ากับOA ) ใน S′. นี่แสดงว่าช่วงเวลาODยาวกว่าOAแสดงว่านาฬิกา "เคลื่อนที่" ทำงานช้าลง ^[4]^{: 124}

ในภาพด้านล่าง เฟรม S กำลังเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว − vในเฟรม S′ เมื่อหยุดนิ่ง เส้นโลกของนาฬิกา W คือแกนct - (เอียงไปทางซ้าย) เส้นโลกของ W′ ₁คือแกนct ′ แนวตั้งและเส้นโลกของ W′ ₂เป็นแนวตั้งผ่านเหตุการณ์Cโดยมีพิกัดct ′- ด . hyperbola คงผ่านเหตุการณ์Cตาชั่งเวลาช่วงOCจะโอเอซึ่งสั้นกว่าOD ; นอกจากนี้Bถูกสร้างขึ้น (คล้ายกับDในภาพด้านบน) พร้อมกันกับAใน S ที่x = 0 ผลลัพธ์OB > OC จะสอดคล้องกับด้านบนอีกครั้ง

คำว่า "วัด" นั้นสำคัญไฉน ในฟิสิกส์คลาสสิก ผู้สังเกตไม่สามารถส่งผลกระทบต่อวัตถุที่สังเกตได้ แต่สถานะการเคลื่อนที่ของวัตถุสามารถส่งผลต่อการสังเกตของผู้สังเกตวัตถุได้

ทวินพาราด็อกซ์

การแนะนำทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษหลายครั้งแสดงให้เห็นความแตกต่างระหว่างทฤษฎีสัมพัทธภาพกาลิลีและทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษโดยการวางชุดของ "ความขัดแย้ง" อันที่จริงแล้ว ความขัดแย้งเหล่านี้เป็นปัญหาที่ไม่น่าเป็นไปได้ ซึ่งเป็นผลมาจากความไม่คุ้นเคยกับความเร็วที่เทียบได้กับความเร็วแสง วิธีแก้ไขคือการแก้ปัญหามากมายในทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ และทำความคุ้นเคยกับสิ่งที่เรียกว่าการคาดคะเนแบบตอบโต้โดยสัญชาตญาณ แนวทางเรขาคณิตในการศึกษากาลอวกาศถือเป็นหนึ่งในวิธีที่ดีที่สุดในการพัฒนาสัญชาตญาณสมัยใหม่ ^[31]

เส้นขนานคู่เป็นทดลองทางความคิดที่เกี่ยวข้องกับฝาแฝดเหมือนคนหนึ่งที่ทำให้การเดินทางเข้าไปในพื้นที่ในจรวดความเร็วสูงกลับบ้านไปพบว่าคู่ที่ยังคงอยู่บนโลกมีมากขึ้นอายุ ผลลัพธ์นี้ดูน่าสงสัยเพราะคู่แฝดแต่ละคู่สังเกตว่าแฝดอีกคู่หนึ่งกำลังเคลื่อนไหว ดังนั้นในแวบแรก ดูเหมือนว่าทั้งคู่จะพบว่าอีกฝ่ายมีอายุน้อยกว่า Twin Paradox หลีกเลี่ยงเหตุผลสำหรับการขยายเวลาร่วมกันที่แสดงด้านบนโดยหลีกเลี่ยงข้อกำหนดสำหรับนาฬิกาที่สาม ^[21]^{: 207}อย่างไรก็ตาม ทวินพาราด็อกซ์ไม่ใช่ความขัดแย้งที่แท้จริง เพราะเข้าใจได้ง่ายในบริบทของทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ

ความประทับใจที่มีความขัดแย้งเกิดขึ้นจากความเข้าใจผิดในสิ่งที่สัมพัทธภาพพิเศษระบุ ทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษไม่ได้ประกาศว่ากรอบอ้างอิงทั้งหมดเทียบเท่ากัน มีเพียงกรอบเฉื่อยเท่านั้น โครงของแฝดที่เดินทางไม่เฉื่อยในช่วงเวลาที่เธอเร่งความเร็ว นอกจากนี้ ความแตกต่างระหว่างฝาแฝดทั้งสองยังสังเกตได้จากการสังเกต: แฝดที่เดินทางต้องยิงจรวดของเธอเพื่อให้สามารถกลับบ้านได้ ในขณะที่แฝดที่อาศัยอยู่ที่บ้านไม่ทำ ⁽³²⁾^{[หมายเหตุ 9]}

รูปที่ 2-11 คำอธิบายกาลอวกาศของคู่ขัดแย้ง

ความแตกต่างเหล่านี้ควรส่งผลให้เกิดความแตกต่างในวัยของฝาแฝด แผนภาพกาลอวกาศของรูปที่ 2-11 แสดงกรณีง่าย ๆ ของคู่แฝดที่ยื่นออกไปตามแกน x แล้วหันหลังกลับทันที จากมุมมองของแฝดที่อยู่บ้าน ไม่มีอะไรทำให้งงเกี่ยวกับแฝดที่ผิดธรรมดาเลย เวลาที่เหมาะสมที่วัดตามเส้นโลกของแฝดที่เดินทางจาก O ถึง C บวกกับเวลาที่เหมาะสมที่วัดจาก C ถึง B นั้นน้อยกว่าเวลาที่เหมาะสมของฝาแฝดที่อยู่ที่บ้านซึ่งวัดจาก O ถึง A ถึง B วิถีโคจรที่ซับซ้อนมากขึ้นจำเป็นต้องมีการบูรณาการ เวลาที่เหมาะสมระหว่างเหตุการณ์ที่เกี่ยวข้องตามเส้นโค้ง (เช่นปริพันธ์ของเส้นทาง ) เพื่อคำนวณระยะเวลาทั้งหมดที่เหมาะสมที่แฝดเดินทาง ⁽³²⁾

ภาวะแทรกซ้อนจะเกิดขึ้นหากมีการวิเคราะห์ความขัดแย้งคู่จากมุมมองของฝาแฝดที่เดินทาง

ระบบการตั้งชื่อของ Weiss ซึ่งกำหนดให้แฝดที่อยู่บ้านเป็นเทอเรนซ์และแฝดเดินทางเป็นสเตลล่าจะถูกนำมาใช้ในภายหลัง ⁽³²⁾

สเตลล่าไม่อยู่ในกรอบเฉื่อย เมื่อพิจารณาจากข้อเท็จจริงนี้ บางครั้งมีการกล่าวอย่างไม่ถูกต้องว่าความละเอียดที่สมบูรณ์ของเส้นขนานแฝดต้องใช้ทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป: ^[32]

การวิเคราะห์ SR ล้วนๆ จะเป็นดังนี้: เมื่อวิเคราะห์ในกรอบการพักของ Stella เธอนิ่งเฉยตลอดการเดินทาง เมื่อเธอยิงจรวดเพื่อพลิกกลับ เธอพบกับแรงหลอกซึ่งคล้ายกับแรงโน้มถ่วง ^[32] มะเดื่อ 2-6และ 2-11 แสดงแนวคิดของเส้น (ระนาบ) ของความพร้อมกัน: เส้นขนานกับแกนxของผู้สังเกต( ระนาบ xy ) แสดงถึงชุดของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นพร้อมกันในกรอบผู้สังเกต ในรูปที่ 2-11 เส้นสีน้ำเงินเชื่อมเหตุการณ์บนเส้นโลกของเทอเรนซ์ ซึ่งจากมุมมองของสเตลล่าจะเกิดพร้อมกันกับเหตุการณ์ในแนวโลกของเธอ (ในทางกลับกัน เทอเรนซ์จะสังเกตชุดของเส้นแนวนอนของความพร้อมกัน) ตลอดทั้งขาขาออกและขาขาเข้าของการเดินทางของสเตลลา เธอวัดนาฬิกาของเทอเรนซ์ว่าเดินช้ากว่านาฬิกาของเธอเอง แต่ในระหว่างการพลิกกลับ (เช่น ระหว่างเส้นสีน้ำเงินหนาในรูปภาพ) จะเกิดการเปลี่ยนแปลงในมุมของเส้นพร้อมกันของเธอ ซึ่งสอดคล้องกับการข้ามไปอย่างรวดเร็วของเหตุการณ์ในแนวโลกของ Terence ที่สเตลล่ามองว่าเป็นไปพร้อม ๆ กัน ของเธอเอง ดังนั้น เมื่อสิ้นสุดการเดินทาง สเตลล่าพบว่าเทอเรนซ์แก่กว่าที่เธอมี ⁽³²⁾

แม้ว่าทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปจะไม่มีความจำเป็นในการวิเคราะห์ความขัดแย้งคู่ แต่การประยุกต์ใช้หลักการสมมูลของทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปช่วยให้เข้าใจลึกซึ้งยิ่งขึ้นในเรื่อง สเตลล่าไม่อยู่กับที่ในกรอบเฉื่อย เมื่อวิเคราะห์ในกรอบที่พักของสเตลล่าแล้ว เธอนิ่งตลอดการเดินทาง เมื่อเธอกำลังพักผ่อน โครงที่พักของเธอจะเฉื่อย และนาฬิกาของ Terence ดูเหมือนจะเดินช้า แต่เมื่อเธอยิงจรวดเพื่อพลิกกลับ โครงที่พักของเธอจะเป็นโครงแบบเร่งรัด และเธอได้รับประสบการณ์จากแรงที่ผลักเธอราวกับว่าเธออยู่ในสนามโน้มถ่วง เทอเรนซ์จะดูสูงขึ้นในสนามนั้น และเนื่องจากการขยายเวลาโน้มถ่วงนาฬิกาของเขาจึงดูเหมือนวิ่งเร็ว มากเสียจนผลสุทธิจะอยู่ที่เทอเรนซ์มีอายุมากกว่าสเตลล่าเมื่อพวกมันกลับมารวมกันอีกครั้ง ^[32]อาร์กิวเมนต์ทางทฤษฎีที่ทำนายการขยายเวลาโน้มถ่วงไม่ได้มีไว้สำหรับทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปเท่านั้น ทฤษฎีแรงโน้มถ่วงใดๆ จะทำนายการขยายเวลาโน้มถ่วงหากเป็นไปตามหลักการของความสมมูล ซึ่งรวมถึงทฤษฎีของนิวตันด้วย ^[21]^{: 16}

ความโน้มถ่วง

ส่วนเกริ่นนำนี้เน้นที่กาลอวกาศของทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ เนื่องจากเป็นการอธิบายที่ง่ายที่สุด กาลอวกาศ Minkowski นั้นแบนราบ ไม่คำนึงถึงแรงโน้มถ่วง มีความสม่ำเสมอตลอด และทำหน้าที่เป็นพื้นหลังที่คงที่สำหรับเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นในนั้น การปรากฏตัวของแรงโน้มถ่วงทำให้คำอธิบายของกาลอวกาศซับซ้อนมาก ในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป กาลอวกาศไม่ได้เป็นพื้นหลังแบบคงที่อีกต่อไป แต่มีปฏิสัมพันธ์อย่างแข็งขันกับระบบทางกายภาพที่มีอยู่ เส้นโค้งของกาลอวกาศเมื่อมีสสาร สามารถแพร่กระจายคลื่น หักเหแสง และแสดงปรากฏการณ์อื่นๆ มากมาย ^[21]^{: 221}ปรากฏการณ์เหล่านี้บางส่วนได้อธิบายไว้ในส่วนท้ายของบทความนี้

คณิตศาสตร์พื้นฐานของกาลอวกาศ

การเปลี่ยนแปลงของกาลิเลียน

เป้าหมายพื้นฐานคือเพื่อให้สามารถเปรียบเทียบการวัดที่ทำโดยผู้สังเกตด้วยการเคลื่อนไหวแบบสัมพัทธ์ หากมีผู้สังเกตการณ์ O ในเฟรม S ซึ่งได้วัดพิกัดเวลาและพื้นที่ของเหตุการณ์ กำหนดพิกัดคาร์ทีเซียนสามตัวกับเหตุการณ์นี้ และเวลาตามที่วัดบนโครงตาข่ายของนาฬิกาที่ซิงโครไนซ์( x , y , z , t ) (ดูรูปที่ . 1-1 ). เป็นครั้งที่สองสังเกตการณ์ O 'ในกรอบที่แตกต่างกัน S' มาตรการเหตุการณ์เดียวกันในระบบพิกัดของเธอและเธอขัดแตะของนาฬิกาตรงกัน( x ' , Y ' , Z ' , T ' ) ด้วยกรอบเฉื่อยไม่อยู่ภายใต้การสังเกตการณ์การเร่งความเร็วและชุดที่เรียบง่ายของสมการช่วยให้เราสามารถที่จะเกี่ยวข้องกับพิกัด( x , Y , Z , T )การ( x ' , Y ' , Z ' , T ' ) เนื่องจากระบบพิกัดทั้งสองอยู่ในการกำหนดค่ามาตรฐาน หมายความว่าระบบทั้งสองอยู่ในแนวเดียวกับพิกัดขนาน( x , y , z )และt = 0เมื่อt ′ = 0การแปลงพิกัดจะเป็นดังนี้: ^[33]^[34]

x'=x-vt

y'=y

z'=z

t'=t.

รูปที่ 3–1 กาลอวกาศกาลิเลียนและองค์ประกอบของความเร็ว

รูปที่ 3-1 แสดงให้เห็นว่าในทฤษฎีของนิวตัน เวลานั้นเป็นสากล ไม่ใช่ความเร็วของแสง ^[35]^{: 36–37}พิจารณาการทดลองทางความคิดต่อไปนี้: ลูกศรสีแดงแสดงภาพรถไฟที่กำลังเคลื่อนที่ที่ 0.4 c เมื่อเทียบกับแท่น ภายในรถไฟ ผู้โดยสารคนหนึ่งยิงกระสุนด้วยความเร็ว 0.4 c ในโครงของรถไฟ ลูกศรสีน้ำเงินแสดงให้เห็นว่าบุคคลที่ยืนอยู่บนรางรถไฟวัดกระสุนเมื่อเดินทางที่ 0.8 c เป็นไปตามความคาดหวังที่ไร้เดียงสาของเรา

มากกว่าปกติสมมติว่ากรอบ S 'มีการเคลื่อนไหวที่ความเร็วโวลต์ที่เกี่ยวกับกรอบ S แล้วภายในกรอบ S' สังเกตการณ์ O 'มาตรการวัตถุที่เคลื่อนที่ด้วยความเร็วU ' ความเร็วuเทียบกับเฟรม S เนื่องจากx = ut , x ′ = x − vt , และt = t ′สามารถเขียนได้เป็นx ′ = ut − vt = ( u − v ) t = ( u − v ) t ' . สิ่งนี้นำไปสู่u ′ = x ′ / t ′และในที่สุด

u'=uv

หรือ

u=u'+v,

ซึ่งเป็นสามัญสำนึกที่กฎหมายกาลิเลโอนอกเหนือจากตัวแปรความเร็ว

องค์ประกอบเชิงสัมพันธ์ของความเร็ว

รูปที่ 3–2 องค์ประกอบเชิงสัมพันธ์ของความเร็ว

องค์ประกอบของความเร็วค่อนข้างแตกต่างกันในกาลอวกาศเชิงสัมพัทธภาพ เพื่อลดความซับซ้อนของสมการลงเล็กน้อย เราแนะนำชวเลขทั่วไปสำหรับอัตราส่วนความเร็วของวัตถุที่สัมพันธ์กับแสง

\beta =v/c

รูป. 3-2a แสดงให้เห็นถึงรถไฟสีแดงที่จะก้าวไปข้างหน้าด้วยความเร็วที่กำหนดโดยวี / C = β = s / จากกรอบรองพื้นของรถไฟผู้โดยสารหน่อกระสุนที่มีความเร็วที่กำหนดโดยU ' / C = β ' = n / ม.ที่ระยะทางวัดตามแนวขนานกับสีแดงx 'แกนมากกว่าขนานไปกับแกนxสีดำ ความเร็วประกอบuของกระสุนที่สัมพันธ์กับแท่นเป็นเท่าใด ตามที่แสดงด้วยลูกศรสีน้ำเงิน อ้างอิงจากรูปที่ 3-2b:

จากแพลตฟอร์มความเร็วคอมโพสิตของกระสุนจะได้รับจากU = C ( s + R ) / ( + ข )
ทั้งสองรูปสามเหลี่ยมสีเหลืองมีความคล้ายคลึงกันเพราะพวกเขาเป็นรูปสามเหลี่ยมที่เหมาะสมที่แบ่งปันมุมทั่วไปα ในสามเหลี่ยมสีเหลืองขนาดใหญ่ อัตราส่วนs / a = v / c = β .
อัตราส่วนของด้านที่สอดคล้องกันของสามเหลี่ยมสีเหลืองสองรูปนั้นเป็นค่าคงที่ ดังนั้นr / a = b / s = n / m = β ′ . ดังนั้นb = u ′ s / cและr = u ′ a / c .
แทนที่นิพจน์สำหรับbและrในนิพจน์สำหรับคุณในขั้นตอนที่ 1 เพื่อให้ได้สูตรของ Einstein สำหรับการบวกความเร็ว: ^[35]^{: 42–48}

u={v+u' \over 1+(vu'/c^{2})}.

สูตรสัมพัทธภาพสำหรับการบวกความเร็วที่นำเสนอข้างต้นแสดงคุณลักษณะที่สำคัญหลายประการ:

ถ้าu ′และvทั้งคู่มีขนาดเล็กมากเมื่อเทียบกับความเร็วของแสง ผลคูณvu ′ / c ²จะเล็กลงจนหมด และผลลัพธ์โดยรวมจะแยกไม่ออกจากสูตรกาลิเลียน (สูตรของนิวตัน) สำหรับการเติมความเร็ว: u = คุณ′ + วี . สูตรกาลิเลียนเป็นกรณีพิเศษของสูตรสัมพัทธภาพที่ใช้กับความเร็วต่ำ
ถ้ามึง'ถูกตั้งค่าเท่ากับคแล้วอัตราผลตอบแทนสูตรU = Cโดยไม่คำนึงถึงความคุ้มค่าเริ่มต้นของโวลต์ ความเร็วของแสงจะเท่ากันสำหรับผู้สังเกตทุกคน โดยไม่คำนึงถึงการเคลื่อนที่สัมพันธ์กับแหล่งกำเนิดแสง ^[35]^{: 49}

ขยายเวลาและการหดตัวของความยาวอีกครั้ง

รูปที่ 3-3 แผนภาพกาลอวกาศแสดงการขยายเวลาและการหดตัวของความยาว

การหานิพจน์เชิงปริมาณสำหรับการขยายเวลาและการย่อความยาวเป็นเรื่องง่าย รูปที่ 3-3 เป็นภาพคอมโพสิตที่มีเฟรมแต่ละเฟรมที่นำมาจากแอนิเมชั่นก่อนหน้านี้สองภาพ ทำให้ง่ายขึ้นและติดป้ายกำกับใหม่เพื่อจุดประสงค์ของส่วนนี้

เพื่อลดความซับซ้อนของสมการเล็กน้อย มีสัญกรณ์ชวเลขหลายแบบสำหรับct :

\mathrm {T} =ct

และ

w=ct

เป็นเรื่องธรรมดา.

เรามักเห็นการใช้อนุสัญญานี้บ่อยมาก

c=1.

รูปที่ 3–4 ตัวประกอบลอเรนซ์เป็นฟังก์ชันของความเร็ว

ในรูปที่ 3-3a เซ็กเมนต์OAและOKแสดงถึงช่วงเวลาว่างที่เท่ากัน การขยายเวลาเป็นตัวแทนจากอัตราส่วนOB / ตกลง hyperbola คงมีสมการ $W = \sqrt x 2 + k 2$ ที่k = ตกลงและสายสีแดงที่เป็นตัวแทนของสายในโลกของอนุภาคในการเคลื่อนไหวมีสมการW = x / β = XC / โวลต์ การแปลงพีชคณิตเล็กน้อยให้ผล ${\textstyle OB=OK/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}.}$

นิพจน์ที่เกี่ยวข้องกับสัญลักษณ์รากที่สองปรากฏบ่อยมากในทฤษฎีสัมพัทธภาพ และอีกอันหนึ่งอยู่เหนือนิพจน์เรียกว่าปัจจัยลอเรนซ์ ซึ่งเขียนแทนด้วยตัวอักษรกรีกแกมมา $\gamma$ : ^[36]

\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2 }}}}

ถ้าvมากกว่าหรือเท่ากับcนิพจน์สำหรับ $\gamma$ กลายเป็นความไร้ความหมายทางกายภาพ หมายความว่าcเป็นความเร็วสูงสุดที่เป็นไปได้ในธรรมชาติ สำหรับค่าvใด ๆ ที่มากกว่าศูนย์ ปัจจัยลอเรนซ์จะมากกว่า 1 แม้ว่ารูปร่างของเส้นโค้งจะเป็นเช่นนั้นสำหรับความเร็วต่ำ ปัจจัยลอเรนซ์จะใกล้เคียงอย่างยิ่ง

ในรูปที่ 3-3b เซ็กเมนต์OAและOKแสดงถึงช่วงเวลาว่างที่เท่ากัน ความยาวหดตัวเป็นตัวแทนจากอัตราส่วนOB / ตกลง hyperbola คงมีสมการ $x = \sqrt W 2 + k 2$ ที่k = ตกลงและขอบของวงสีฟ้าเป็นตัวแทนของสายโลกของปลายทางของแกนในการเคลื่อนไหวที่มีความลาดชัน 1 / β = C / V เหตุการณ์ A มีพิกัด ( x , w ) = ( γk , γβk ) เนื่องจากเส้นสัมผัสผ่าน A และ B มีสมการw = ( x − OB )/ βเราจึงมีγβk = ( γk − OB )/ βและ

OB/OK=\gamma (1-\beta ^{2})={\frac {1}{\gamma }}

การแปลงร่างของลอเรนซ์

การเปลี่ยนแปลงของกาลิเลียนและกฎสามัญสำนึกที่ตามมาของการบวกความเร็วนั้นทำงานได้ดีในโลกความเร็วต่ำทั่วไปของเครื่องบิน รถยนต์ และลูกบอล อย่างไรก็ตาม เมื่อเริ่มกลางปี ค.ศ. 1800 เครื่องมือทางวิทยาศาสตร์ที่มีความละเอียดอ่อนได้เริ่มค้นหาความผิดปกติที่ไม่สอดคล้องกับการเพิ่มความเร็วตามปกติ

การแปลงแบบลอเรนซ์ใช้เพื่อแปลงพิกัดของเหตุการณ์จากเฟรมหนึ่งไปยังอีกเฟรมหนึ่งในทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ

ปัจจัยลอเรนซ์ปรากฏในการแปลงลอเรนซ์:

{\begin{aligned}t'&=\gamma \left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right)\\x'&=\gamma \left(x- vt\right)\\y'&=y\\z'&=z\end{aligned}}

การแปลงลอเรนซ์ผกผันคือ:

{\begin{aligned}t&=\gamma \left(t'+{\frac {vx'}{c^{2}}}\right)\\x&=\gamma \left(x'+vt '\right)\\y&=y'\\z&=z'\end{aligned}}

เมื่อv ≪ cและxมีขนาดเล็กเพียงพอพจน์v ² / c ²และvx / c ²จะเข้าใกล้ศูนย์ และการแปลงลอเรนซ์จะใกล้เคียงกับการแปลงของกาลิเลียน

$t'=\gamma (t-vx/c^{2}),$ $x'=\gamma (x-vt)$ ฯลฯ ส่วนใหญ่มักจะหมายถึง $\Delta t'=\gamma (\Delta tv\Delta x/c^{2}),$ $\Delta x'=\gamma (\Delta xv\Delta t)$ เป็นต้น แม้ว่าเพื่อความกระชับ สมการการแปลงลอเรนซ์จะถูกเขียนโดยไม่มีเดลตาxหมายถึง Δ xฯลฯ โดยทั่วไปแล้ว เรามักจะคำนึงถึงความแตกต่างของพื้นที่และเวลาระหว่างเหตุการณ์เสมอ

การเรียกการเปลี่ยนแปลงชุดหนึ่งว่าการแปลงแบบลอเรนซ์แบบปกติและอีกรูปแบบหนึ่งเรียกว่าการแปลงแบบผกผันทำให้เข้าใจผิด เนื่องจากไม่มีความแตกต่างที่แท้จริงระหว่างเฟรม ผู้เขียนต่างกันเรียกการเปลี่ยนแปลงชุดใดชุดหนึ่งว่าชุด "ผกผัน" การแปลงไปข้างหน้าและการแปลงผกผันมีความเกี่ยวข้องกันเล็กน้อย เนื่องจากเฟรมSสามารถเคลื่อนที่ไปข้างหน้าหรือย้อนกลับด้วยความเคารพS ′เท่านั้น ดังนั้น inverting สมการเพียงแค่สร้างความเปลี่ยนตัวแปร primed และ unprimed และแทนที่วีด้วย - วี ^[37]^{: 71–79}

ตัวอย่าง: Terence และ Stella อยู่ในการแข่งขันอวกาศ Earth-to-Mars เทอเรนซ์เป็นผู้ตัดสินที่จุดเริ่มต้น ขณะที่สเตลล่าเป็นผู้มีส่วนร่วม ในช่วงเวลา $T = T' = 0$ , ยานอวกาศสเตลล่าเร่งทันทีความเร็ว 0.5 ค ระยะทางจากโลกถึงดาวอังคารคือ 300 วินาทีแสง (ประมาณ90.0 × 10 ⁶ กม. ). เทอเรนเตลล่าข้ามสังเกตนาฬิกาเสร็จเส้นที่ $T = 600.00$ s แต่สเตลล่าสังเกตเวลาบนเครื่องวัดความเร็วของเรือเป็น $t^{\prime }=\gamma \left(t-vx/c^{2}\right)=519.62\ {\text{s}}$ เมื่อเธอผ่านเส้นชัย และเธอคำนวณระยะห่างระหว่างเส้นเริ่มต้นและเส้นชัย ตามที่วัดในเฟรมของเธอ เป็น 259.81 วินาทีแสง (ประมาณ 77.9 × 10 ⁶ กม. ). 1).

การได้มาซึ่งการแปลงแบบลอเรนซ์

รูปที่ 3–5 ที่มาของการเปลี่ยนแปลงลอเรนซ์

มีการดัดแปลงแบบลอเรนซ์หลายสิบแบบตั้งแต่งานดั้งเดิมของไอน์สไตน์ในปี ค.ศ. 1905 โดยแต่ละงานมีจุดเน้นเฉพาะ แม้ว่าที่มาของไอน์สไตน์จะอิงจากความแปรปรวนของความเร็วแสง แต่ก็มีหลักการทางกายภาพอื่นๆ ที่อาจใช้เป็นจุดเริ่มต้น ในท้ายที่สุด จุดเริ่มต้นทางเลือกเหล่านี้ถือได้ว่าเป็นการแสดงออกที่แตกต่างกันของหลักการพื้นฐานของท้องถิ่นซึ่งระบุว่าอิทธิพลที่อนุภาคหนึ่งส่งไปยังอีกอนุภาคหนึ่งไม่สามารถส่งผ่านได้ในทันที ^[38]

ที่มาที่ให้ไว้ที่นี่และแสดงไว้ในรูปที่ 3-5 อิงจากผลลัพธ์ที่เสนอโดย Bais ^[35]^{: 64–66}และใช้ประโยชน์จากผลลัพธ์ก่อนหน้าจากองค์ประกอบเชิงสัมพันธ์ของส่วนความเร็ว การขยายเวลา และการหดตัวของความยาว เหตุการณ์ P มีพิกัด ( W , x ) ในสีดำ "ระบบส่วนที่เหลือ" และพิกัด $(W', x')$ ในกรอบสีแดงที่มีการเคลื่อนไหวด้วยความเร็วพารามิเตอร์ $β = V /$ Cในการหาค่าw ′และx ′ในรูปของwและx (หรือในทางกลับกัน) การหาค่าผกผันของ Lorentz ในตอนแรกจะง่ายกว่า

ในแนวขวางจะไม่มีการขยาย/หดตัวของความยาว y 'ต้องเท่ากับyและz 'ต้องเท่ากับzมิฉะนั้น ลูกบอลขนาด 1 ม. ที่เคลื่อนที่เร็วจะสอดเข้าไปในรูกลมขนาด 1 ม. ได้หรือไม่นั้นขึ้นอยู่กับผู้สังเกต หลักทฤษฎีสัมพัทธภาพข้อแรกระบุว่ากรอบเฉื่อยทั้งหมดเท่ากัน และการขยายตัว/การหดตัวตามขวางจะละเมิดกฎข้อนี้ ^[37]^{: 27–28}
จากรูปวาดw = a + bและ $x = r + s$
จากผลลัพธ์ก่อนหน้าโดยใช้สามเหลี่ยมที่คล้ายกัน เรารู้ว่า $s / a = b / r = v / c = β$ .
เนื่องจากการขยายเวลา $a = γw'$
แทนสมการ (4) เป็น $s / a = β$ ให้ $s = γw' β$ .
การหดตัวของความยาวและรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกันทำให้เรา $r = γx'$ และ $b = βr = βγx'$
แทนนิพจน์สำหรับs , a , rและbลงในสมการในขั้นตอนที่ 2 ให้ผลทันที
$w=\gamma w'+\beta \gamma x'$
$x=\gamma x'+\beta \gamma w'$

สมการข้างต้นนี้เป็นสำนวนที่สำรองสำหรับ t และ x สมการผกผัน Lorentz การเปลี่ยนแปลงที่สามารถเห็นได้โดยการแทนกะรัตสำหรับW , กะรัต'สำหรับW 'และโวลต์ / คสำหรับβ จากการเปลี่ยนแปลงผกผันสมการของการเปลี่ยนแปลงการส่งต่อสามารถจะได้มาโดยการแก้สำหรับเสื้อ'และx '

ลิเนียริตี้ของการแปลงลอเรนซ์

การแปลงแบบลอเรนซ์มีคุณสมบัติทางคณิตศาสตร์ที่เรียกว่า ลิเนียริตี้ เนื่องจากได้x ′และt ′จากการรวมกันเชิงเส้นของxและtโดยไม่มีกำลังสูงกว่าที่เกี่ยวข้อง ความเป็นเส้นตรงของการแปลงภาพสะท้อนถึงคุณสมบัติพื้นฐานของกาลอวกาศที่สมมติโดยปริยายในการหารากศัพท์ กล่าวคือ คุณสมบัติของกรอบอ้างอิงเฉื่อยไม่ขึ้นกับตำแหน่งและเวลา ในกรณีที่ไม่มีแรงโน้มถ่วง กาลอวกาศจะดูเหมือนกันทุกที่ ^[35]^{: 67}ผู้สังเกตการณ์เฉื่อยทั้งหมดจะเห็นด้วยกับสิ่งที่ถือเป็นการเคลื่อนที่แบบเร่งและไม่เร่ง ^[37]^{: 72–73}ผู้สังเกตการณ์คนใดคนหนึ่งสามารถใช้การวัดพื้นที่และเวลาของตนเองได้ แต่ไม่มีอะไรที่แน่นอนเกี่ยวกับพวกเขา ข้อตกลงของผู้สังเกตการณ์คนอื่นจะทำเช่นเดียวกัน ^[21]^{: 190}

ผลลัพธ์ของลิเนียริตี้คือถ้าใช้การแปลงลอเรนซ์สองครั้งตามลำดับ ผลลัพธ์ก็คือการแปลงลอเรนซ์ด้วย

ตัวอย่าง: Terence สังเกต Stella เร่งความเร็วจากเขาที่ 0.500 cและเขาสามารถใช้การแปลง Lorentz ด้วย $β = 0.500$ เพื่อเชื่อมโยงการวัดของ Stella กับตัวเขาเอง Stella ในกรอบของเธอ สังเกตว่า Ursula เดินทางจากเธอที่ 0.250 cและเธอสามารถใช้การแปลง Lorentz ด้วย $β = 0.250$ เพื่อเชื่อมโยงการวัดของ Ursula กับตัวเธอเอง เนื่องจากความเป็นเส้นตรงของการแปลงและองค์ประกอบเชิงสัมพันธ์ของความเร็ว Terence สามารถใช้การแปลง Lorentz ด้วย $β = 0.666$ เพื่อเชื่อมโยงการวัดของเออซูล่ากับของเขาเอง

ดอปเปลอร์เอฟเฟกต์

เอฟเฟกต์ดอปเปลอร์คือการเปลี่ยนแปลงความถี่หรือความยาวคลื่นของคลื่นสำหรับตัวรับและแหล่งกำเนิดในการเคลื่อนที่สัมพัทธ์ เพื่อความง่าย เราพิจารณาสถานการณ์พื้นฐานสองสถานการณ์ต่อไปนี้: (1) การเคลื่อนที่ของแหล่งสัญญาณและ/หรือตัวรับอยู่ตรงแนวที่เชื่อมต่อกัน (เอฟเฟกต์ Doppler ตามยาว) และ (2) การเคลื่อนที่อยู่ที่มุมฉากกับเส้นดังกล่าว ( ผล Doppler ตามขวาง ). เรากำลังละเลยสถานการณ์ที่พวกมันเคลื่อนที่ไปตามมุมตรงกลาง

เอฟเฟกต์ดอปเปลอร์ตามยาว

การวิเคราะห์ Doppler แบบคลาสสิกเกี่ยวข้องกับคลื่นที่แพร่กระจายในตัวกลาง เช่น คลื่นเสียงหรือระลอกน้ำ และคลื่นที่ส่งผ่านระหว่างแหล่งกำเนิดและเครื่องรับที่เคลื่อนที่เข้าหาหรือออกจากกัน การวิเคราะห์คลื่นดังกล่าวขึ้นอยู่กับว่าแหล่งกำเนิด ตัวรับ หรือทั้งสองกำลังเคลื่อนที่สัมพันธ์กับตัวกลาง จากสถานการณ์ที่เครื่องรับอยู่กับที่เมื่อเทียบกับตัวกลาง และแหล่งกำเนิดกำลังเคลื่อนที่ออกจากเครื่องรับโดยตรงด้วยความเร็วv _sสำหรับพารามิเตอร์ความเร็วของβ _sความยาวคลื่นจะเพิ่มขึ้น และให้ความถี่f ที่สังเกตได้ โดย

f={\frac {1}{1+\beta _{s}}}f_{0}

ในทางกลับกัน เมื่อพิจารณาจากสถานการณ์ที่แหล่งกำเนิดอยู่กับที่ และเครื่องรับเคลื่อนที่ออกจากแหล่งกำเนิดโดยตรงด้วยความเร็วv _rสำหรับพารามิเตอร์ความเร็วของβ _rความยาวคลื่นจะไม่เปลี่ยนแปลง แต่ความเร็วการส่งของคลื่น สัมพันธ์กับตัวรับลดลง และความถี่ที่สังเกตได้fถูกกำหนดโดย

f=(1-\beta _{r})f_{0}

รูปที่ 3–6 แผนภาพกาลอวกาศของเอฟเฟกต์ดอปเปลอร์เชิงสัมพัทธภาพ

แสงไม่เหมือนเสียงหรือระลอกน้ำ ไม่ได้แพร่กระจายผ่านตัวกลาง และไม่มีความแตกต่างระหว่างแหล่งกำเนิดที่เคลื่อนออกจากเครื่องรับหรือเครื่องรับที่เคลื่อนที่ออกจากแหล่งกำเนิด รูป. 3-6 แสดงให้เห็นถึงความสัมพันธ์กาลอวกาศแผนภาพแสดงแหล่งที่มาของการแยกจากตัวรับสัญญาณที่มีพารามิเตอร์ความเร็วβเพื่อให้แยกระหว่างแหล่งที่มาและรับในเวลาWเป็นβw เนื่องจากการขยายเวลา $W=YW^{\prime }$ . เนื่องจากความชันของรังสีแสงสีเขียวคือ -1 ${T}=W+\beta w=\gamma w^{\prime }(1+\beta )$ . ดังนั้น เอฟเฟกต์ดอปเปลอร์สัมพัทธภาพจึงถูกกำหนดโดย^[35]^{: 58–59}

f={\sqrt {\frac {1-\beta }{1+\beta }}}\,f_{0}.

เอฟเฟกต์ Doppler ตามขวาง

รูปที่ 3–7 สถานการณ์เอฟเฟกต์ Doppler ตามขวาง

สมมติว่าแหล่งกำเนิดและเครื่องรับซึ่งทั้งคู่เข้าใกล้กันด้วยการเคลื่อนที่เฉื่อยสม่ำเสมอตามแนวที่ไม่ตัดกันนั้นอยู่ใกล้กันมากที่สุด ดูเหมือนว่าการวิเคราะห์แบบคลาสสิกจะทำนายว่าผู้รับตรวจพบว่าไม่มีดอปเปลอร์ชิฟต์ เนื่องจากความละเอียดอ่อนในการวิเคราะห์ ความคาดหวังนั้นไม่จำเป็นต้องเป็นความจริงเสมอไป อย่างไรก็ตาม เมื่อกำหนดไว้อย่างเหมาะสมแล้ว การเลื่อนดอปเปลอร์ตามขวางเป็นผลสัมพัทธภาพที่ไม่มีแอนะล็อกแบบคลาสสิก รายละเอียดปลีกย่อยคือ: ^[39]^{: 541–543}

มะเดื่อ 3-7a การวัดความถี่เมื่อเครื่องรับเข้าใกล้แหล่งกำเนิดทางเรขาคณิตมากที่สุดคือเท่าใด สถานการณ์นี้วิเคราะห์ได้ง่ายที่สุดจากเฟรม S ของแหล่งที่มา ^{[หมายเหตุ 10]}
มะเดื่อ 3-7b. การวัดความถี่เมื่อเครื่องรับเห็นว่าแหล่งกำเนิดอยู่ใกล้ที่สุดคืออะไร? สถานการณ์นี้วิเคราะห์ได้ง่ายที่สุดจากเฟรม S ของเครื่องรับ

อีกสองสถานการณ์มักจะถูกตรวจสอบในการอภิปรายการเปลี่ยนแปลง Doppler ตามขวาง:

มะเดื่อ 3-7c. ถ้าเครื่องรับเคลื่อนที่เป็นวงกลมรอบแหล่งกำเนิด เครื่องรับจะวัดความถี่เท่าใด
มะเดื่อ 3-7d. ถ้าแหล่งกำเนิดเคลื่อนที่เป็นวงกลมรอบเครื่องรับ เครื่องรับจะวัดความถี่เท่าใด

ในสถานการณ์ (a) จุดที่เข้าใกล้ที่สุดจะไม่ขึ้นกับเฟรมและแสดงถึงช่วงเวลาที่ไม่มีการเปลี่ยนแปลงในระยะทางเทียบกับเวลา (เช่น dr/dt = 0 โดยที่rคือระยะห่างระหว่างตัวรับและแหล่งกำเนิด) ดังนั้นจึงไม่มี Doppler ตามยาว กะ แหล่งกำเนิดสังเกตว่าเครื่องรับถูกส่องสว่างด้วยแสงความถี่f ′แต่ยังสังเกตว่าเครื่องรับมีนาฬิกาแบบขยายเวลาด้วย ในเฟรม S เครื่องรับจึงสว่างด้วยแสงความถี่บลูชิฟต์

f=f'\gamma =f'/{\sqrt {1-\beta ^{2}}}

ในสถานการณ์สมมติ (b) ภาพประกอบแสดงให้เห็นว่าเครื่องรับได้รับแสงจากเมื่อแหล่งกำเนิดอยู่ใกล้ผู้รับมากที่สุด ถึงแม้ว่าแหล่งกำเนิดแสงจะเคลื่อนที่ต่อไปแล้วก็ตาม เนื่องจากนาฬิกาของแหล่งกำเนิดมีการขยายเวลาตามที่วัดในเฟรม S และเนื่องจาก dr/dt เท่ากับศูนย์ ณ จุดนี้ แสงจากแหล่งกำเนิดที่ปล่อยออกมาจากจุดที่ใกล้ที่สุดนี้จะถูกเปลี่ยนสีแดงด้วยความถี่

f=f'/\gamma =f'{\sqrt {1-\beta ^{2}}}

สถานการณ์จำลอง (c) และ (d) สามารถวิเคราะห์ได้ด้วยอาร์กิวเมนต์การขยายเวลาอย่างง่าย ใน (c) ผู้รับสังเกตแสงจากแหล่งกำเนิดว่าเป็น blueshifted โดยปัจจัยของ $\gamma$ และใน (d) ไฟจะเปลี่ยนเป็นสีแดง ความซับซ้อนเพียงอย่างเดียวที่ดูเหมือนคือวัตถุที่โคจรอยู่ในการเคลื่อนที่แบบเร่ง อย่างไรก็ตาม หากผู้สังเกตการณ์เฉื่อยดูที่นาฬิกาเร่งความเร็ว เฉพาะความเร็วชั่วขณะของนาฬิกาเท่านั้นที่มีความสำคัญเมื่อคำนวณการขยายเวลา (อย่างไรก็ตาม การสนทนาไม่เป็นความจริง) ^[39]^{: 541-543}รายงานส่วนใหญ่ของการเปลี่ยนแปลงดอปเปลอร์ตามขวางหมายถึงผลกระทบเป็นการเปลี่ยนสีแดงและวิเคราะห์ผลกระทบในแง่ของสถานการณ์ (b) หรือ (d) ^{[หมายเหตุ 11]}

พลังงานและโมเมนตัม

ขยายโมเมนตัมเป็นสี่มิติ

รูปที่ 3–8 เวกเตอร์โมเมนตัมเชิงสัมพัทธภาพ

ในกลศาสตร์คลาสสิก สถานะของการเคลื่อนที่ของอนุภาคมีลักษณะเฉพาะด้วยมวลและความเร็วของอนุภาค เป็น Linear โมเมนตัมผลิตภัณฑ์ของมวลของอนุภาคและความเร็วเป็นเวกเตอร์ปริมาณที่มีทิศทางเดียวกับความเร็ว: $P = ม$ วีเป็นปริมาณที่สงวนไว้หมายความว่าถ้าระบบปิดไม่ได้รับผลกระทบจากแรงภายนอก โมเมนตัมเชิงเส้นทั้งหมดจะไม่เปลี่ยนแปลง

ในกลศาสตร์สัมพัทธภาพ เวกเตอร์โมเมนตัมถูกขยายเป็นสี่มิติ เพิ่มไปยังเวกเตอร์โมเมนตัมเป็นองค์ประกอบเวลาที่ช่วยให้เวกเตอร์โมเมนตัมกาลอวกาศสามารถแปลงเหมือนเวกเตอร์ตำแหน่งกาลอวกาศ $(x,t)$ . ในการสำรวจคุณสมบัติของโมเมนตัมกาลอวกาศ เราจะเริ่มในรูปที่ 3-8a โดยพิจารณาว่าอนุภาคเมื่ออยู่นิ่งเป็นอย่างไร ในกรอบที่เหลือซึ่งเป็นองค์ประกอบเชิงพื้นที่ของโมเมนตัมเป็นศูนย์คือ $P = 0$ แต่องค์ประกอบเวลาเท่ากับMC

เราสามารถหาส่วนประกอบที่แปลงแล้วของเวกเตอร์นี้ในเฟรมที่เคลื่อนที่ได้โดยใช้การแปลงแบบลอเรนซ์ หรือเราสามารถอ่านจากรูปได้โดยตรงเพราะเรารู้ว่า $(mc)^{\prime }=\gamma mc$ และ $p^{\prime }=-\beta \gamma mc$ เนื่องจากแกนสีแดงถูกปรับขนาดใหม่โดยแกมมา รูปที่ 3-8b แสดงสถานการณ์ตามที่ปรากฏในเฟรมที่กำลังเคลื่อนที่ มันเป็นที่ชัดเจนว่าพื้นที่และเวลาองค์ประกอบของสี่โมเมนตัมไปที่อินฟินิตี้เป็นความเร็วของกรอบการย้ายแนวทางค ^[35]^{: 84–87}

เราจะใช้ข้อมูลนี้ในไม่ช้าจะได้รับการแสดงออกที่สี่โมเมนตัม

โมเมนตัมของแสง

รูปที่ 3–9 พลังงานและโมเมนตัมของแสงในกรอบเฉื่อยต่างๆ

อนุภาคแสงหรือโฟตอน, การเดินทางที่ความเร็วของคคงที่ที่เป็นที่รู้จักกันตามอัตภาพเป็นความเร็วของแสง ข้อความนี้ไม่ใช่การกล่าวซ้ำซาก เนื่องจากสูตรสัมพัทธภาพสมัยใหม่จำนวนมากไม่ได้เริ่มต้นด้วยความเร็วคงที่ของแสงเป็นสมมุติฐาน โฟตอนจึงแพร่กระจายไปตามเส้นโลกที่เหมือนแสง และในหน่วยที่เหมาะสม จะมีองค์ประกอบด้านพื้นที่และเวลาเท่ากันสำหรับผู้สังเกตทุกคน

ผลที่ตามมาของทฤษฎีแม่เหล็กไฟฟ้าของแมกซ์เวลล์คือแสงนำพาพลังงานและโมเมนตัม และอัตราส่วนเป็นค่าคงที่: $E/p=c$ . จัดเรียงใหม่ $E/c=p$ และเนื่องจากโฟตอน ส่วนประกอบอวกาศและเวลาเท่ากัน ดังนั้นE/cจึงต้องเท่ากับองค์ประกอบเวลาของเวกเตอร์โมเมนตัมของกาลอวกาศ

โฟตอนเดินทางด้วยความเร็วแสง แต่มีโมเมนตัมและพลังงานจำกัด สำหรับเรื่องนี้ที่จะให้คำมวลในγmcต้องเป็นศูนย์หมายความว่าโฟตอนเป็นอนุภาคเยอะ อินฟินิตี้คูณศูนย์เป็นปริมาณที่ไม่ชัดเจน แต่E/cถูกกำหนดไว้อย่างดี

จากการวิเคราะห์นี้ หากพลังงานของโฟตอนเท่ากับEในกรอบพัก จะเท่ากับ $E^{\prime }=(1-\beta )\gamma E$ ในกรอบที่เคลื่อนไหว ผลลัพธ์นี้สามารถหาได้โดยการตรวจสอบจากรูปที่ 3-9 หรือโดยการใช้การแปลงแบบลอเรนซ์ และสอดคล้องกับการวิเคราะห์ผลกระทบของดอปเปลอร์ที่ให้ไว้ก่อนหน้านี้ ^[35]^{: 88}

ความสัมพันธ์ระหว่างมวลกับพลังงาน

การพิจารณาความสัมพันธ์ระหว่างองค์ประกอบต่างๆ ของเวกเตอร์โมเมนตัมสัมพัทธภาพทำให้ไอน์สไตน์ได้ข้อสรุปที่มีชื่อเสียงหลายประการ

ในขีดจำกัดความเร็วต่ำเมื่อ $β = v/c$ เข้าใกล้ศูนย์ $γ$ เข้าใกล้ 1 ดังนั้นองค์ประกอบเชิงพื้นที่ของโมเมนตัมเชิงสัมพันธ์ $\beta \gamma mc=\gamma mv$ เข้าใกล้mvศัพท์คลาสสิกสำหรับโมเมนตัม ต่อไปนี้มุมมองนี้γmสามารถตีความได้ว่าลักษณะทั่วไปของความสัมพันธ์เมตร ไอน์สไตน์เสนอว่ามวลสัมพัทธภาพของวัตถุเพิ่มขึ้นด้วยความเร็วตามสูตร $m_{rel}=\gamma m$ .
ในทำนองเดียวกัน การเปรียบเทียบองค์ประกอบเวลาของโมเมนตัมสัมพัทธภาพกับของโฟตอน $\gamma mc=m_{rel}c=E/c$ เพื่อให้ไอน์สไตน์มาถึงความสัมพันธ์ arrived $E=m_{rel}c^{2}$ . ทำให้ง่ายขึ้นในกรณีของความเร็วเป็นศูนย์ นี่คือสมการที่มีชื่อเสียงของไอน์สไตน์เกี่ยวกับพลังงานและมวล

อีกวิธีหนึ่งในการดูความสัมพันธ์ระหว่างมวลและพลังงานคือการพิจารณาการขยายอนุกรมของ $γmc 2$ ที่ความเร็วต่ำ:

E=\gamma mc^{2}={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}

\ประมาณ mc^{2}+{\frac {1}{2}}mv^{2}...

เทอมที่สองเป็นเพียงการแสดงออกถึงพลังงานจลน์ของอนุภาค มวลดูเหมือนจะเป็นพลังงานอีกรูปแบบหนึ่ง ^[35]^{: 90–92}^[37]^{: 129–130,180}

แนวคิดของมวลความสัมพันธ์ที่ไอน์สไตนำมาใช้ในปี 1905 ม. _relแม้ว่าการตรวจสอบอย่างพอเพียงทุกวันในเครื่องเร่งอนุภาคทั่วโลก (หรืออันที่จริงในการใช้เครื่องมือใด ๆ ที่มีการใช้งานขึ้นอยู่กับอนุภาคความเร็วสูงเช่นกล้องจุลทรรศน์อิเล็กตรอน^[40]สมัยเก่า เครื่องรับโทรทัศน์สี ฯลฯ ) ยังไม่ได้พิสูจน์ว่าเป็นแนวคิดที่มีผลในทางฟิสิกส์ในแง่ที่ว่าไม่ใช่แนวคิดที่เป็นพื้นฐานสำหรับการพัฒนาทฤษฎีอื่นๆ ตัวอย่างเช่น มวลสัมพัทธภาพไม่มีบทบาทในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป

ด้วยเหตุผลนี้ เช่นเดียวกับข้อกังวลในการสอน นักฟิสิกส์ส่วนใหญ่ในปัจจุบันจึงนิยมใช้คำศัพท์ที่แตกต่างกันออกไปเมื่อพูดถึงความสัมพันธ์ระหว่างมวลและพลังงาน ^[41] "มวลสัมพัทธภาพ" เป็นคำที่เลิกใช้แล้ว คำว่า "มวล" โดยตัวมันเองหมายถึงมวลที่เหลือหรือมวลคงที่และเท่ากับความยาวคงที่ของเวกเตอร์โมเมนตัมสัมพัทธภาพ แสดงเป็นสูตร

E^{2}-p^{2}c^{2}=m^{2}c^{4}

สูตรนี้ใช้ได้กับอนุภาคทั้งหมด ทั้งมวลน้อยและมวลมาก สำหรับโฟตอนที่ไม่มีมวล จะให้ความสัมพันธ์แบบเดียวกับที่กำหนดไว้ก่อนหน้านี้ $E=\pm pc$ . ^[35]^{: 90–92}

สี่โมเมนตัม

เนื่องจากความสัมพันธ์ที่ใกล้ชิดระหว่างมวลและพลังงาน สี่โมเมนตัม (เรียกอีกอย่างว่า 4-โมเมนตัม) จึงถูกเรียกว่าเวกเตอร์พลังงาน-โมเมนตัม การใช้ตัวพิมพ์ใหญ่Pเพื่อแทนโมเมนตัมสี่และpตัวพิมพ์เล็กเพื่อแสดงถึงโมเมนตัมเชิงพื้นที่ สี่โมเมนตัมอาจเขียนเป็น

P\equiv (E/c,{\vec {p}})=(E/c,p_{x},p_{y},p_{z})

หรืออีกทางหนึ่ง

P\equiv (E,{\vec {p}})=(E,p_{x},p_{y},p_{z})

โดยใช้อนุสัญญาว่า

c=1.

^[37]^{: 129–130,180}

กฎหมายอนุรักษ์

ในทางฟิสิกส์ กฎการอนุรักษ์ระบุว่าคุณสมบัติที่วัดได้บางอย่างของระบบทางกายภาพที่แยกออกมาจะไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อระบบมีวิวัฒนาการเมื่อเวลาผ่านไป ในปี 1915 Emmy Noetherค้นพบว่ากฎหมายการอนุรักษ์แต่ละข้อมีความสมมาตรพื้นฐานของธรรมชาติ ^[42]ความจริงที่ว่ากระบวนการทางกายภาพไม่สนใจว่าจะเกิดขึ้นที่ใดในอวกาศ (สมมาตรการแปลอวกาศ ) ทำให้เกิดการอนุรักษ์โมเมนตัมความจริงที่ว่ากระบวนการดังกล่าวไม่สนใจว่าจะเกิดขึ้นเมื่อใด (สมมาตรการแปลเวลา ) ทำให้เกิดการอนุรักษ์พลังงานและอื่นๆ ในส่วนนี้ เราจะพิจารณามุมมองของนิวตันเกี่ยวกับการอนุรักษ์มวล โมเมนตัม และพลังงานจากมุมมองเชิงสัมพัทธภาพ

โมเมนตัมทั้งหมด

รูปที่ 3-10 การอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงสัมพัทธภาพ

เพื่อทำความเข้าใจว่ามุมมองของนิวตันเกี่ยวกับการอนุรักษ์โมเมนตัมจำเป็นต้องแก้ไขในบริบทเชิงสัมพัทธภาพอย่างไร เราจึงตรวจสอบปัญหาของวัตถุที่ชนกันสองตัวที่จำกัดอยู่ในมิติเดียว

ในกลศาสตร์ของนิวตัน กรณีสุดโต่งสองกรณีของปัญหานี้อาจแยกความแตกต่างได้จากการยอมให้คณิตศาสตร์มีความซับซ้อนน้อยที่สุด:

(1) ร่างทั้งสองกระดอนออกจากกันด้วยการชนกันอย่างยืดหยุ่นอย่างสมบูรณ์

(2) ร่างกายทั้งสองเกาะติดกันและเคลื่อนที่ต่อไปเป็นอนุภาคเดียว กรณีที่สองนี้เป็นกรณีของการชนกันแบบไม่ยืดหยุ่นอย่างสมบูรณ์

สำหรับทั้งสองกรณี (1) และ (2) โมเมนตัม มวล และพลังงานทั้งหมดจะถูกอนุรักษ์ไว้ อย่างไรก็ตาม พลังงานจลน์จะไม่ถูกอนุรักษ์ไว้ในกรณีที่เกิดการชนกันแบบไม่ยืดหยุ่น พลังงานจลน์เริ่มต้นบางส่วนจะถูกแปลงเป็นความร้อน

ในกรณี (2) มวลสองก้อนที่มีโมเมนตัม ${\boldsymbol {p}}_{\boldsymbol {1}}=m_{t}{\boldsymbol {v}}_{\boldsymbol {1}}$ และ ${\boldsymbol {p}}_{\boldsymbol {2}}=m_{t}{\boldsymbol {v}}_{\boldsymbol {2}}$ ชนกันเพื่อผลิตอนุภาคของมวลอนุรักษ์เดียว $m=m_{1}+m_{2}$ เดินทางที่จุดศูนย์กลางความเร็วมวลของระบบเดิม ${\boldsymbol {v_{cm}}}=\left(m_{1}{\boldsymbol {v_{1}}}+m_{2}{\boldsymbol {v_{2}}}\right)/ \left(m_{1}+m_{2}\right)$ . โมเมนตัมทั้งหมด ${\boldsymbol {p=p_{1}+p_{2}}}$ ถูกอนุรักษ์ไว้

รูปที่ 3-10 แสดงการชนกันแบบไม่ยืดหยุ่นของอนุภาคสองอนุภาคจากมุมมองเชิงสัมพัทธภาพ ส่วนประกอบของเวลา $E_{1}/c$ และ $E_{2}/c$ รวมE/c ทั้งหมดของเวกเตอร์ผลลัพธ์ หมายความว่าพลังงานถูกอนุรักษ์ไว้ ในทำนองเดียวกัน ส่วนประกอบอวกาศ ${\boldsymbol {p_{1}}}$ และ ${\boldsymbol {p_{2}}}$ รวมกันเป็นpของเวกเตอร์ผลลัพธ์ สี่โมเมนตัมเป็นไปตามที่คาดไว้ เป็นปริมาณที่อนุรักษ์ไว้ อย่างไรก็ตาม มวลคงที่ของอนุภาคหลอมรวม กำหนดโดยจุดที่ไฮเปอร์โบลาคงที่ของโมเมนตัมทั้งหมดตัดกับแกนพลังงาน ไม่เท่ากับผลรวมของมวลคงที่ของอนุภาคแต่ละตัวที่ชนกัน แท้จริงแล้วมันมากกว่าผลรวมของมวลแต่ละก้อน: $m>m_{1}+m_{2}$ . ^[35]^{: 94–97}

เมื่อพิจารณาเหตุการณ์ของสถานการณ์สมมตินี้ในลำดับย้อนกลับ เราจะเห็นว่าการไม่อนุรักษ์มวลเป็นเหตุการณ์ทั่วไป: เมื่ออนุภาคมูลฐานที่ไม่เสถียรสลายตัวเป็นอนุภาคที่เบากว่าสองอนุภาคเองตามธรรมชาติ พลังงานทั้งหมดจะถูกอนุรักษ์ไว้ แต่มวลจะไม่เป็นอย่างนั้น ส่วนหนึ่งของมวลจะถูกแปลงเป็นพลังงานจลน์ ^[37]^{: 134–138}

ทางเลือกของกรอบอ้างอิง

รูปที่ 3-11
(ด้านบน) แล็บเฟรม .
(ขวา) ศูนย์โมเมนตัมกรอบ

อิสระในการเลือกเฟรมใด ๆ ที่จะทำการวิเคราะห์ช่วยให้เราเลือกเฟรมที่อาจสะดวกเป็นพิเศษ สำหรับการวิเคราะห์ปัญหาโมเมนตัมและพลังงาน เฟรมที่สะดวกที่สุดมักจะเป็น " เฟรมศูนย์กลางของโมเมนตัม " (เรียกอีกอย่างว่าเฟรมซีโร่โมเมนตัม หรือเฟรม COM) นี่คือกรอบที่องค์ประกอบพื้นที่ของโมเมนตัมรวมของระบบเป็นศูนย์ รูปที่ 3-11 แสดงการแตกตัวของอนุภาคความเร็วสูงออกเป็นสองอนุภาคลูกสาว ในกรอบของห้องปฏิบัติการ อนุภาคลูกจะถูกปล่อยออกมาในทิศทางที่เน้นไปตามวิถีของอนุภาคดั้งเดิม อย่างไรก็ตาม ในกรอบ COM อนุภาคลูกสาวสองคนถูกปล่อยออกมาในทิศทางตรงกันข้าม แม้ว่าโดยทั่วไปแล้วมวลและขนาดของความเร็วจะไม่เท่ากัน

การอนุรักษ์พลังงานและโมเมนตัม

ในการวิเคราะห์อนุภาคที่มีปฏิสัมพันธ์ของนิวตัน การแปลงระหว่างเฟรมนั้นง่าย เพราะทั้งหมดที่จำเป็นคือการใช้การแปลงกาลิเลียนกับความเร็วทั้งหมด ตั้งแต่ $v'=vu$ , โมเมนตัม $p'=p-mu$ . หากสังเกตพบว่าโมเมนตัมรวมของระบบปฏิสัมพันธ์ของอนุภาคถูกอนุรักษ์ไว้ในเฟรมเดียว ก็จะถูกสังเกตเช่นเดียวกันว่าจะอนุรักษ์ในอีกเฟรมหนึ่ง ^[37]^{: 241–245}

การอนุรักษ์โมเมนตัมในเฟรม COM เท่ากับความต้องการที่ $p = 0$ ทั้งก่อนและหลังการชน ในการวิเคราะห์ของนิวตัน การอนุรักษ์มวลกำหนดว่า $m=m_{1}+m_{2}$ . ในสถานการณ์หนึ่งมิติที่ง่ายขึ้นที่เราได้พิจารณามานั้น จำเป็นต้องมีข้อจำกัดเพิ่มเติมเพียงข้อเดียวเท่านั้นก่อนที่จะสามารถกำหนดโมเมนต์ขาออกของอนุภาคได้ นั่นคือสภาวะพลังงาน ในกรณีหนึ่งมิติของการชนกันแบบยืดหยุ่นอย่างสมบูรณ์โดยไม่สูญเสียพลังงานจลน์ ความเร็วขาออกของอนุภาคสะท้อนกลับในเฟรม COM จะเท่ากันและตรงข้ามกับความเร็วที่เข้ามา ในกรณีของการชนกันแบบไม่ยืดหยุ่นโดยสิ้นเชิงกับการสูญเสียพลังงานจลน์ทั้งหมด ความเร็วขาออกของอนุภาคสะท้อนกลับจะเป็นศูนย์ ^[37]^{: 241–245}

โมเมนตาของนิวตัน คำนวณเป็น $p=mv$ ทำงานไม่ถูกต้องภายใต้การแปลงแบบลอเรนเซียน การแปลงเชิงเส้นของความเร็ว $v'=vu$ ถูกแทนที่ด้วยความไม่เชิงเส้นสูง $v^{\prime }=(vu){\Big /}\left(1-{\frac {vu}{c^{2}}}\right)$ เพื่อให้การคำนวณที่แสดงให้เห็นถึงการรักษาโมเมนตัมในเฟรมหนึ่งจะไม่ถูกต้องในอีกเฟรมหนึ่ง ไอน์สไตน์ต้องเผชิญกับทั้งต้องละทิ้งการอนุรักษ์โมเมนตัมหรือเปลี่ยนคำจำกัดความของโมเมนตัม ตัวเลือกที่สองนี้คือสิ่งที่เขาเลือก ^[35]^{: 104}

รูปที่ 3-12ก. แผนภาพพลังงาน-โมเมนตัมสำหรับการสลายตัวของไพออนที่มีประจุ

รูปที่ 3-12b. การวิเคราะห์เครื่องคำนวณกราฟของการสลายตัวของไพออนที่มีประจุ

กฎการอนุรักษ์เชิงสัมพัทธภาพสำหรับพลังงานและโมเมนตัมแทนที่กฎการอนุรักษ์แบบคลาสสิกสามกฎสำหรับพลังงาน โมเมนตัม และมวล มวลไม่ได้รับการอนุรักษ์อย่างอิสระอีกต่อไป เพราะมันถูกรวมเข้ากับพลังงานสัมพัทธภาพทั้งหมด สิ่งนี้ทำให้การอนุรักษ์พลังงานเชิงสัมพัทธภาพเป็นแนวคิดที่ง่ายกว่าในกลศาสตร์ที่ไม่สัมพันธ์กัน เนื่องจากพลังงานทั้งหมดถูกอนุรักษ์โดยไม่มีคุณสมบัติใดๆ พลังงานจลน์ที่แปลงเป็นความร้อนหรือพลังงานศักย์ภายในจะแสดงเป็นมวลที่เพิ่มขึ้น ^[37]^{: 127}

ตัวอย่าง:เนื่องจากความเท่าเทียมกันของมวลและพลังงาน มวลอนุภาคมูลฐานจึงถูกกำหนดเป็นหน่วยพลังงาน โดยที่1 MeV = 10 ⁶อิเล็กตรอนโวลต์ พีออนที่มีประจุเป็นอนุภาคที่มีมวล 139.57 MeV (ประมาณ 273 เท่าของมวลอิเล็กตรอน) มันไม่เสถียรและสลายตัวเป็นมิวออนที่มีมวล 105.66 MeV (ประมาณ 207 เท่าของมวลอิเล็กตรอน) และแอนตินิวตริโนซึ่งมีมวลเพียงเล็กน้อย ความแตกต่างระหว่างมวลไพออนและมวลมิวออนคือ 33.91 MeV

พาย⁻
→ ไมโคร− + νไมโคร

รูปที่ 3-12a แสดงแผนภาพพลังงาน-โมเมนตัมสำหรับปฏิกิริยาการสลายตัวนี้ในกรอบส่วนที่เหลือของไพออน เนื่องจากมีมวลเพียงเล็กน้อย นิวตริโนจึงเดินทางด้วยความเร็วเกือบเท่าแสง การแสดงออกเชิงสัมพัทธภาพสำหรับพลังงานของมัน เช่นเดียวกับโฟตอน คือ $E_{v}=pc,$ ซึ่งเป็นค่าขององค์ประกอบอวกาศของโมเมนตัมด้วย เพื่อรักษาโมเมนตัม มิวออนมีค่าเท่ากันขององค์ประกอบอวกาศของโมเมนตัมของนิวตริโน แต่ไปในทิศทางตรงกันข้าม

การวิเคราะห์เชิงพีชคณิตของพลังงานของปฏิกิริยาการสลายนี้มีให้ทางออนไลน์^[43]ดังนั้น รูปที่ 3-12b จะแสดงโซลูชันเครื่องคิดเลขแบบกราฟแทน พลังงานของนิวตริโนเป็น 29.79 MeV และการใช้พลังงานของ muon เป็น33.91 MeV - 29.79 MeV = 4.12 MeV พลังงานส่วนใหญ่ถูกส่งออกไปโดยนิวตริโนที่มีมวลใกล้ศูนย์

เกินพื้นฐาน

หัวข้อในส่วนนี้มีความยุ่งยากทางเทคนิคมากกว่าหัวข้อก่อนหน้านี้อย่างมาก และไม่จำเป็นสำหรับการทำความเข้าใจบทนำเกี่ยวกับกาลอวกาศแบบโค้ง

ความรวดเร็ว

รูปที่ 4-1ก. รังสีที่ผ่าน วงกลมหนึ่งหน่วยx ² + y ² = 1ในจุด (cos a , sin a )โดยที่ aเป็นพื้นที่สองเท่าระหว่างรังสี วงกลม และ แกน x

รูปที่ 4-1b. รังสีที่ทะลุผ่าน หน่วยไฮเปอร์โบลาx ² − y ² = 1ในจุด (cosh a , sinh a )โดยที่ aเป็นพื้นที่สองเท่าระหว่างรังสี ไฮเปอร์โบลา และ แกน x

รูปที่ 4–2 พล็อตของทั้งสามขั้นพื้นฐาน ฟังก์ชั่นการผ่อนชำระ : ไซน์ ( Sinh ) โคไซน์การผ่อนชำระ ( กระบอง ) และสัมผัสการผ่อนชำระ ( tanh ) Sinh เป็นสีแดง cosh เป็นสีน้ำเงินและ tanh เป็นสีเขียว

การแปลงแบบลอเรนซ์สัมพันธ์กับพิกัดของเหตุการณ์ในหน้าต่างอ้างอิงหนึ่งกับอีกกรอบหนึ่ง องค์ประกอบเชิงสัมพัทธภาพของความเร็วใช้เพื่อเพิ่มความเร็วสองความเร็วเข้าด้วยกัน สูตรสำหรับการคำนวณหลังเป็นแบบไม่เชิงเส้น ทำให้ซับซ้อนกว่าสูตรกาลิเลียนที่สอดคล้องกัน

ความไม่เชิงเส้นนี้เป็นสิ่งประดิษฐ์ที่เราเลือกใช้พารามิเตอร์ ^[7]^{: 47–59}เราเคยตั้งข้อสังเกตว่าในแผนภาพกาลอวกาศx–ctจุดในช่วงกาลอวกาศคงที่บางช่วงจากจุดกำเนิดจะสร้างไฮเปอร์โบลาที่ไม่เปลี่ยนแปลง นอกจากนี้เรายังตั้งข้อสังเกตว่าระบบพิกัดของกรอบอ้างอิงกาลอวกาศสองกรอบในการกำหนดค่ามาตรฐานนั้นมีการหมุนเวียนแบบไฮเปอร์โบลาด้วยความเคารพซึ่งกันและกัน

ฟังก์ชั่นธรรมชาติสำหรับการแสดงความสัมพันธ์เหล่านี้เป็นanalogs การผ่อนชำระของฟังก์ชันตรีโกณมิติ รูปที่ 4-1a แสดงวงกลมหนึ่งหน่วยที่มีบาป ( a ) และ cos ( a ) ความแตกต่างเพียงอย่างเดียวระหว่างแผนภาพนี้กับวงกลมหน่วยที่คุ้นเคยของตรีโกณมิติมูลฐานที่แปลค่า aไม่ใช่มุมระหว่างรังสีและxแกนแต่เป็นครั้งที่สองในพื้นที่ของภาคกวาดออกโดยเรย์จากที่xแกน (ในเชิงตัวเลข หน่วยวัดมุมและพื้นที่ 2 ×สำหรับวงกลมหนึ่งหน่วยเหมือนกัน) รูปที่ 4-1b แสดงไฮเปอร์โบลาหน่วยที่มี sinh( a ) และ cosh( a ) โดยที่aถูกตีความว่าเป็นสองเท่าของพื้นที่ย้อมสี ^[44]รูปที่ 4-2 แสดงแผนผังของฟังก์ชัน sinh, cosh และ tanh

สำหรับวงกลมหนึ่งหน่วย ความชันของรังสีถูกกำหนดโดย

{\text{slope}}=\tan a={\frac {\sin a}{\cos a}}.

ในระนาบคาร์ทีเซียน การหมุนของจุด( x , y )เป็นจุด( x ' , y ' )โดยมุมθถูกกำหนดโดย

{\begin{pmatrix}x'\\y'\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \ theta \\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\\end{pmatrix}}.

ในแผนภาพกาลอวกาศ พารามิเตอร์ความเร็ว $\beta$ เป็นแอนะล็อกของความชัน รวดเร็ว , φถูกกำหนดโดย^[37]^{: 96-99}

\beta \equiv \tanh \phi \equiv {\frac {v}{c}},

ที่ไหน

\tanh \phi ={\frac {\sinh \phi }{\cosh \phi }}={\frac {e^{\phi }-e^{-\phi }}{e^{\phi }+e^{-\phi }}}.

ความรวดเร็วที่กำหนดไว้ข้างต้นมีประโยชน์มากในทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ เนื่องจากนิพจน์จำนวนมากใช้รูปแบบที่ง่ายกว่ามากเมื่อแสดงในรูปของสมการ ตัวอย่างเช่น ความรวดเร็วเป็นเพียงการเติมในสูตรการบวกความเร็วคอลลิเนียร์ ^[7]^{: 47–59}

\beta ={\frac {\beta _{1}+\beta _{2}}{1+\beta _{1}\beta _{2}}}=

{\frac {\tanh \phi _{1}+\tanh \phi _{2}}{1+\tanh \phi _{1}\tanh \phi _{2}}}=

\tanh(\phi _{1}+\phi _{2}),

หรืออีกนัยหนึ่งคือ $\phi =\phi _{1}+\phi _{2}.$

การแปลงแบบลอเรนซ์ใช้รูปแบบง่ายๆ เมื่อแสดงเป็นความรวดเร็ว γปัจจัยที่สามารถเขียนเป็น

\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-\tanh ^{2}\phi }} }

=\cosh \phi ,

\gamma \beta ={\frac {\beta }{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}={\frac {\tanh \phi }{\sqrt {1-\tanh ^{ 2}\phi }}}

=\sinh \phi .

การแปลงที่อธิบายการเคลื่อนที่สัมพัทธ์ด้วยความเร็วสม่ำเสมอและไม่มีการหมุนของแกนพิกัดอวกาศเรียกว่าบูสต์

การแทนที่γและγβลงในการแปลงดังที่แสดงไว้ก่อนหน้านี้และเขียนใหม่ในรูปแบบเมทริกซ์ การเพิ่ม Lorentz ในทิศทางxอาจเขียนเป็น

{\begin{pmatrix}ct'\\x'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cosh \phi &-\sinh \phi \\-\sinh \phi &\cosh \phi \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}ct\\x\end{pmatrix}},

และการเพิ่ม Lorentz ผกผันในทิศทางxอาจเขียนเป็น

{\begin{pmatrix}ct\\x\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cosh \phi &\sinh \phi \\\sinh \phi &\cosh \phi \end{pmatrix }}{\begin{pmatrix}ct'\\x'\end{pmatrix}}.

กล่าวอีกนัยหนึ่ง Lorentz boosts แสดงถึงการหมุนเวียนแบบไฮเปอร์โบลิกในกาลอวกาศ Minkowski ^[37]^{: 96–99}

ข้อดีของการใช้ฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิกคือหนังสือเรียนบางเล่ม เช่น แบบคลาสสิกโดย Taylor และ Wheeler แนะนำให้ใช้งานในช่วงแรกๆ ^[7]^[45]^{[หมายเหตุ 12]}

4‑เวกเตอร์

สี่เวกเตอร์ถูกกล่าวถึงข้างต้นในบริบทของพลังงาน–โมเมนตัม4‑vectorแต่ไม่มีการเน้นมาก อันที่จริง ไม่มีอนุพันธ์เบื้องต้นของทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษใดที่ต้องการ แต่เมื่อเข้าใจแล้ว4‑vectorsและเทนเซอร์โดยทั่วไป จะทำให้คณิตศาสตร์และความเข้าใจเชิงแนวคิดของทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษง่ายขึ้นอย่างมาก การทำงานเฉพาะกับออบเจกต์ดังกล่าวจะนำไปสู่สูตรที่ไม่เปลี่ยนแปลงอย่างชัดแจ้งซึ่งเป็นข้อได้เปรียบอย่างมากในบริบทที่ไม่สำคัญ ตัวอย่างเช่น การแสดงค่าคงที่สัมพัทธภาพของสมการของแมกซ์เวลล์ในรูปแบบปกติไม่ใช่เรื่องเล็กน้อย ในขณะที่เป็นเพียงการคำนวณตามปกติ (จริงๆ แล้วไม่เกินการสังเกต) โดยใช้สูตรเทนเซอร์ความแรงของสนาม ในทางกลับกัน ทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปตั้งแต่เริ่มแรกนั้นอาศัย4‑vectorsอย่างมาก และโดยทั่วไปแล้วเทนเซอร์ซึ่งเป็นตัวแทนของเอนทิตีที่เกี่ยวข้องทางกายภาพ ความสัมพันธ์เหล่านี้โดยใช้สมการที่ไม่อาศัยพิกัดเฉพาะต้องใช้เทนเซอร์ สามารถเชื่อมต่อเวกเตอร์ 4 ตัวดังกล่าวได้แม้ในกาลอวกาศโค้งไม่ใช่แค่ภายในเส้นแบนเหมือนในทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ การศึกษาเมตริกซ์อยู่นอกขอบเขตของบทความนี้ ซึ่งให้เพียงการอภิปรายพื้นฐานของกาลอวกาศเท่านั้น

คำจำกัดความของ 4-เวกเตอร์

4-tuple, $A=\left(A_{0},A_{1},A_{2},A_{3}\right)$ เป็น "เวกเตอร์ 4 ตัว" หากองค์ประกอบA _ฉันเปลี่ยนระหว่างเฟรมตามการแปลงลอเรนซ์

ถ้าใช้ $(ct,x,y,z)$ พิกัดAเป็นเวกเตอร์ 4 ตัวถ้ามันแปลง (ในx -direction ) ตาม

{\begin{aligned}A_{0}'&=\gamma \left(A_{0}-(v/c)A_{1}\right)\\A_{1}'&=\gamma \ left(A_{1}-(v/c)A_{0}\right)\\A_{2}'&=A_{2}\\A_{3}'&=A_{3}\end{aligned} }

ซึ่งมาจากการแทนที่ctด้วยA ₀และxด้วยA ₁ในการนำเสนอก่อนหน้าของการแปลง Lorentz

ตามปกติเมื่อเราเขียนx , tฯลฯ โดยทั่วไปเราหมายถึงΔx , Δtเป็นต้น

องค์ประกอบสามตัวสุดท้ายของ4-vectorต้องเป็นเวกเตอร์มาตรฐานในปริภูมิสามมิติ ดังนั้นเวกเตอร์ 4ต้องแปลงเป็นเช่น $(c\Delta t,\Delta x,\Delta y,\Delta z)$ ภายใต้การแปลงแบบลอเรนซ์และการหมุน ^[31]^{: 36–59}

คุณสมบัติของ 4-เวกเตอร์

ปิดภายใต้การรวมเชิงเส้น:ถ้าAและBเป็น4-เวกเตอร์แล้ว4- $C=aA+aB$ นอกจากนี้ยังเป็น4 เวกเตอร์
ความแปรปรวนของผลิตภัณฑ์ภายใน:ถ้าAและBเป็น4-vectorsดังนั้นผลิตภัณฑ์ภายใน (ผลิตภัณฑ์สเกลาร์) จะไม่เปลี่ยนแปลง กล่าวคือ ผลิตภัณฑ์ภายในของพวกมันไม่ขึ้นกับเฟรมที่คำนวณ สังเกตว่าการคำนวณผลิตภัณฑ์ภายในแตกต่างจากการคำนวณผลิตภัณฑ์ภายในของเวกเตอร์ 3-เวกเตอร์อย่างไร ดังต่อไปนี้ ${\vec {A}}$ และ ${\vec {B}}$ เป็น3-เวกเตอร์ :

A\cdot B\equiv

A_{0}B_{0}-A_{1}B_{1}-A_{2}B_{2}-A_{3}B_{3}\equiv

A_{0}B_{0}-{\vec {A}}\cdot {\vec {B}}

นอกเหนือจากค่าคงที่ภายใต้การแปลงแบบลอเรนซ์แล้ว ผลิตภัณฑ์ภายในด้านบนยังเป็นค่าคงที่ภายใต้การหมุนใน 3สเปซ

เวกเตอร์สองตัวเรียกว่า มุมฉาก if

A\cdot B=0.

ต่างจากกรณีที่มี 3-เวกเตอร์, 4-vectorมุมฉาก ไม่จำเป็นต้องอยู่ในมุมฉากซึ่งกันและกัน กฎคือเวกเตอร์ 4-เวกเตอร์สอง เส้นเป็นมุมฉากถ้าพวกมันถูกชดเชยด้วยมุมที่เท่ากันและตรงข้ามกันจากเส้น 45° ซึ่งเป็นเส้นโลกของรังสีแสง ซึ่งหมายความว่า lightlike 4 เวกเตอร์ตั้งฉากกับ ตัวเอง

ความแปรปรวนของขนาดของเวกเตอร์:ขนาดของเวกเตอร์เป็นผลคูณภายในของเวกเตอร์ 4ตัวกับตัวมันเอง และเป็นคุณสมบัติที่ไม่ขึ้นกับเฟรม เช่นเดียวกับช่วงเวลา ขนาดอาจเป็นค่าบวก ค่าลบ หรือศูนย์ ดังนั้นเวกเตอร์จึงถูกอ้างถึงเป็นไทม์ไลค์ ไลค์สเปซไลค์ หรือโมฆะ (ไลต์ไลค์) โปรดทราบว่าเวกเตอร์ว่างไม่เหมือนกับเวกเตอร์ศูนย์ เวกเตอร์ว่างเป็นหนึ่งซึ่ง for $A\cdot A=0,$ ในขณะที่เวกเตอร์ศูนย์คือเวกเตอร์ที่มีองค์ประกอบทั้งหมดเป็นศูนย์ กรณีพิเศษที่แสดงค่าคงที่ของบรรทัดฐาน ได้แก่ ช่วงค่าคงที่ $c^{2}t^{2}-x^{2}$ และความยาวคงที่ของเวกเตอร์โมเมนตัมสัมพัทธภาพ $E^{2}-p^{2}c^{2}.$ ^[37]^{: 178–181}^[31]^{: 36–59}

ตัวอย่างของ 4-เวกเตอร์

แทนที่ 4 เวกเตอร์:หรือที่เรียกว่าแยกกาลอวกาศนี้เป็น( Δt, Δx, Δy, Δz )หรือสำหรับการแยกเล็ก( DT, DX, DY, DZ )

dS\equiv (dt,dx,dy,dz)

Velocity 4-vector:ผลลัพธ์นี้เมื่อ displacement 4-vectorหารด้วย $d\tau$ ที่ไหน $d\tau$ เป็นเวลาที่เหมาะสมระหว่างสองเหตุการณ์ที่อัตราผลตอบแทนdt, DX, DYและDZ

V\equiv {\frac {dS}{d\tau }}={\frac {(dt,dx,dy,dz)}{dt/\gamma }}=

\gamma \left(1,{\frac {dx}{dt}},{\frac {dy}{dt}},{\frac {dz}{dt}}\right)=

(\gamma ,\gamma {\vec {v}})

รูปที่ 4-3a กรอบอ้างอิงที่เคลื่อนตัวออกมาชั่วขณะของอนุภาคที่เร่งความเร็วตามที่สังเกตได้จากกรอบหยุดนิ่ง

รูปที่ 4-3b. กรอบอ้างอิงที่เคลื่อนตัวขึ้นชั่วขณะตามแนววิถีของผู้สังเกตการเร่งความเร็ว (กลาง)

4 ความเร็วสัมผัสกับสายโลกของอนุภาคและมีความยาวเท่ากับหนึ่งหน่วยเวลาในกรอบของอนุภาค

อนุภาคที่เร่งความเร็วไม่มีกรอบเฉื่อยซึ่งอยู่นิ่งเสมอ อย่างไรก็ตาม สามารถพบกรอบเฉื่อยได้เสมอซึ่งมากับอนุภาคในชั่วขณะหนึ่ง กรอบนี้ ซึ่งเป็นกรอบอ้างอิงที่เคลื่อนตัวได้ ชั่วขณะ (MCRF) ช่วยให้สามารถประยุกต์ใช้ทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษกับการวิเคราะห์อนุภาคที่เร่งความเร็วได้

เนื่องจากโฟตอนเคลื่อนที่บนเส้นศูนย์

d\tau =0

สำหรับโฟตอนและ ไม่สามารถกำหนดความเร็ว 4ได้ ไม่มีกรอบใดที่โฟตอนหยุดนิ่ง และไม่สามารถกำหนด MCRF ตามเส้นทางของโฟตอนได้

พลังงาน–โมเมนตัม 4-เวกเตอร์:

P\equiv (E/c,{\vec {p}})=(E/c,p_{x},p_{y},p_{z})

ตามที่ระบุไว้ก่อนหน้านี้ มีการรักษาที่แตกต่างกันสำหรับเวกเตอร์พลังงานโมเมนตัม 4เพื่อให้เราเห็นว่าแสดงเป็น

(E,{\vec {p}})

หรือ

(E,{\vec {p}}c).

องค์ประกอบแรกคือพลังงานทั้งหมด (รวมถึงมวล) ของอนุภาค (หรือระบบของอนุภาค) ในเฟรมที่กำหนด ในขณะที่ส่วนประกอบที่เหลือคือโมเมนตัมเชิงพื้นที่ พลังงาน-โมเมนตัม 4-เวกเตอร์เป็นปริมาณที่อนุรักษ์ไว้

อัตราเร่ง 4-เวกเตอร์: เป็นผลจากการหาอนุพันธ์ของเวกเตอร์ความเร็ว4-เวกเตอร์เทียบกับ $\tau .$

A\equiv {\frac {dV}{d\tau }}=

{\frac {d}{d\tau }}(\gamma ,\gamma {\vec {v}})=

\gamma \left({\frac {d\gamma }{dt}},{\frac {d(\gamma {\vec {v}})}{dt}}\right)

แรง 4-เวกเตอร์:นี่คืออนุพันธ์ของเวกเตอร์โมเมนตัม4เทียบกับ $\tau .$

F\equiv {\frac {dP}{d\tau }}=

\gamma \left({\frac {dE}{dt}},{\frac {d{\vec {p}}}{dt}}\right)=

\gamma \left({\frac {dE}{dt}},{\vec {f}}\right)

คาดว่าจะเป็นส่วนประกอบที่สุดท้ายของการดังกล่าวข้างต้น4 เวกเตอร์มีทั้งหมดมาตรฐาน3 เวกเตอร์ที่สอดคล้องกับอวกาศ3 โมเมนตัม , 3 แรงฯลฯ^[37]^{: 178-181}^[31]^{: 36-59}

4-เวกเตอร์และกฎทางกายภาพ

สมมุติฐานแรกของทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษประกาศความสมมูลของเฟรมเฉื่อยทั้งหมด กฎทางกายภาพที่ถือไว้ในเฟรมเดียวต้องใช้กับเฟรมทั้งหมด มิฉะนั้น จะสามารถแยกความแตกต่างระหว่างเฟรมได้ โมเมนตัมของนิวตันล้มเหลวในการปฏิบัติตนอย่างเหมาะสมภายใต้การแปลงแบบลอเรนท์เซียน และไอน์สไตน์ต้องการเปลี่ยนคำจำกัดความของโมเมนตัมเป็นคำที่เกี่ยวข้องกับเวกเตอร์ 4 ตัวแทนที่จะยอมแพ้ในการอนุรักษ์โมเมนตัม

กฎทางกายภาพต้องอยู่บนพื้นฐานของโครงสร้างที่เป็นอิสระจากกรอบ ซึ่งหมายความว่ากฎกายภาพอาจอยู่ในรูปของสมการที่เชื่อมกับสเกลาร์ ซึ่งมักจะไม่ขึ้นกับกรอบ แต่สมการที่เกี่ยวข้องกับ4 เวกเตอร์ต้องใช้เทนเซอร์ที่มีตำแหน่งที่เหมาะสมซึ่งตัวเองสามารถจะคิดว่าเป็นที่ถูกสร้างขึ้นจาก4 เวกเตอร์ ^[37]^{: 186}

อัตราเร่ง

เป็นความเข้าใจผิดทั่วไปที่ว่าทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษใช้ได้กับเฟรมเฉื่อยเท่านั้น และไม่สามารถจัดการกับวัตถุที่เร่งความเร็วหรือเฟรมอ้างอิงที่เร่งความเร็วได้ ที่จริงแล้ว โดยทั่วไปแล้ว วัตถุที่เร่งความเร็วสามารถวิเคราะห์ได้โดยไม่จำเป็นต้องจัดการกับเฟรมเร่งเลย เฉพาะเมื่อความโน้มถ่วงมีความสำคัญเท่านั้นที่จำเป็นต้องมีสัมพัทธภาพทั่วไป ^[46]

อย่างไรก็ตาม การจัดการเฟรมเร่งความเร็วอย่างเหมาะสมนั้นต้องใช้ความระมัดระวัง ความแตกต่างระหว่างทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษและสัมพัทธภาพทั่วไปคือ (1) ในทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ ความเร็วทั้งหมดเป็นสัมพัทธ์ แต่ความเร่งเป็นค่าสัมบูรณ์ (2) ในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป การเคลื่อนที่ทั้งหมดสัมพันธ์กัน ไม่ว่าจะเฉื่อย ความเร่ง หรือการหมุน เพื่อรองรับความแตกต่างนี้ ทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปใช้กาลอวกาศโค้ง ^[46]

ในส่วนนี้ เราวิเคราะห์สถานการณ์ต่างๆ ที่เกี่ยวข้องกับหน้าต่างอ้างอิงที่เร่งความเร็ว

Dewan–Beran–Bell ยานอวกาศที่ขัดแย้งกัน

ความขัดแย้งของยานอวกาศ Dewan–Beran–Bell (ความขัดแย้งของยานอวกาศของ Bell ) เป็นตัวอย่างที่ดีของปัญหาที่การให้เหตุผลโดยสัญชาตญาณโดยไม่ได้รับความช่วยเหลือจากข้อมูลเชิงลึกทางเรขาคณิตของวิธีการกาลอวกาศสามารถนำไปสู่ปัญหาได้

รูปที่ 4-4 Dewan–Beran–Bell ยานอวกาศที่ขัดแย้งกัน

ในรูปที่ 4-4 ยานอวกาศสองลำที่เหมือนกันจะลอยอยู่ในอวกาศและหยุดนิ่งโดยสัมพันธ์กัน พวกเขาเชื่อมต่อกันด้วยเชือกที่สามารถยืดออกได้ในปริมาณที่จำกัดก่อนจะแตกหัก ในช่วงเวลาที่กำหนดในเฟรมของเรา เฟรมผู้สังเกตการณ์ ยานอวกาศทั้งสองจะเร่งความเร็วไปในทิศทางเดียวกันตามเส้นแบ่งระหว่างพวกมันด้วยความเร่งที่เหมาะสมคงที่เท่ากัน ^{[หมายเหตุ 13]}เชือกจะขาดหรือไม่?

เมื่อความขัดแย้งเป็นเรื่องใหม่และไม่เป็นที่รู้จักนัก แม้แต่นักฟิสิกส์มืออาชีพก็ยังประสบปัญหาในการแก้ปัญหา การให้เหตุผลสองบรรทัดนำไปสู่ข้อสรุปที่ตรงกันข้าม อาร์กิวเมนต์ทั้งสองซึ่งแสดงไว้ด้านล่างมีข้อบกพร่อง แม้ว่าข้อโต้แย้งข้อใดข้อหนึ่งจะให้คำตอบที่ถูกต้อง ^[37]^{: 106,120–122}

สำหรับผู้สังเกตการณ์ในเฟรมที่พัก ยานอวกาศจะเริ่มต้นระยะห่างLออกจากกัน และยังคงระยะห่างเท่าเดิมในระหว่างการเร่งความเร็ว ในระหว่างการเร่งความเร็วLคือระยะทางที่หดตัวของระยะทางL ' = γLในกรอบของยานอวกาศที่เร่งความเร็ว หลังจากเวลาผ่านไปนานพอสมควรγจะเพิ่มขึ้นเป็นปัจจัยที่มากพอที่จะทำให้สตริงขาด
ให้AและBเป็นยานอวกาศด้านหลังและด้านหน้า ในกรอบของยานอวกาศ ยานอวกาศแต่ละลำเห็นยานอวกาศอีกลำทำแบบเดียวกับที่มันทำ Aบอกว่าBมีอัตราเร่งเท่ากัน และBเห็นว่าA เข้ากับเธอทุกการเคลื่อนไหว ดังนั้นยานอวกาศจึงอยู่ห่างกันเท่าๆ กัน และเชือกก็ไม่ขาด ^[37]^{: 106,120–122}

ปัญหาเกี่ยวกับอาร์กิวเมนต์แรกคือไม่มี "กรอบของยานอวกาศ" เป็นไปไม่ได้เพราะยานอวกาศทั้งสองนั้นวัดระยะห่างที่เพิ่มขึ้นระหว่างทั้งสอง เนื่องจากไม่มีกรอบทั่วไปของยานอวกาศ ความยาวของสตริงจึงไม่ชัดเจน อย่างไรก็ตาม ข้อสรุปนั้นถูกต้อง และข้อโต้แย้งส่วนใหญ่ถูกต้อง อาร์กิวเมนต์ที่สองไม่สนใจสัมพัทธภาพความพร้อมกันโดยสิ้นเชิง ^[37]^{: 106,120–122}

รูปที่ 4-5 เส้นสีน้ำเงินแสดงถึงเส้นโลกของผู้สังเกตการณ์สองคน A และ B ซึ่งเร่งไปในทิศทางเดียวกันด้วยความเร่งขนาดคงที่เท่ากัน ที่ A' และ B' ผู้สังเกตหยุดเร่ง เส้นประเป็นเส้นของความพร้อมกันสำหรับผู้สังเกตคนใดคนหนึ่งหลังจากการเร่งความเร็วหยุดลง

แผนภาพกาลอวกาศ (รูปที่ 4-5) ทำให้วิธีแก้ปัญหาที่ถูกต้องสำหรับความขัดแย้งนี้ปรากฏชัดเกือบจะในทันที ผู้สังเกตการณ์สองคนในกาลอวกาศ Minkowski เร่งความเร็วด้วยขนาดคงที่ $k$ การเร่งความเร็วในเวลาที่เหมาะสม $\sigma$ (ความเร่งและเวลาที่ผ่านไปวัดโดยผู้สังเกตเอง ไม่ใช่ผู้สังเกตการณ์เฉื่อย) พวกมันกำลังเคลื่อนที่และเฉื่อยก่อนและหลังระยะนี้ ในเรขาคณิต Minkowski ความยาวของส่วนของเส้นเหมือนสเปซไลค์ $A'B''$ ปรากฎว่ามากกว่าความยาวของส่วนของเส้นสเปซไลค์ $AB$ .

การเพิ่มความยาวสามารถคำนวณได้โดยใช้การแปลงลอเรนซ์ ถ้า ดังที่แสดงในรูปที่ 4-5 การเร่งความเร็วเสร็จสิ้น เรือรบจะยังคงอยู่ที่ออฟเซ็ตคงที่ในบางเฟรม $S'.$ ถ้า $x_{A}$ และ $x_{B}=x_{A}+L$ เป็นตำแหน่งของเรือใน $S,$ ตำแหน่งในกรอบ $S'$ คือ: ^[47]

{\begin{aligned}x'_{A}&=\gamma \left(x_{A}-vt\right)\\x'_{B}&=\gamma \left(x_{A} +L-vt\right)\\L'&=x'_{B}-x'_{A}=\gamma L\end{aligned}}

"ความขัดแย้ง" อย่างที่มันเป็น มาจากวิธีที่เบลล์สร้างแบบอย่างของเขา ในการอภิปรายตามปกติของการหดตัวของลอเรนซ์ ความยาวที่เหลือจะคงที่และความยาวที่เคลื่อนที่จะสั้นลงตามที่วัดในเฟรม $S$ . ดังแสดงในรูปที่ 4-5 ตัวอย่างของ Bell ยืนยันความยาวเคลื่อนที่ $AB$ และ $A'B'$ วัดในกรอบ $S$ ที่จะได้รับการแก้ไขจึงบังคับความยาวส่วนที่เหลือของเฟรม $A'B''$ ในกรอบ $S'$ เพื่อเพิ่ม.

ผู้สังเกตแบบเร่งด้วยขอบฟ้า

บางพิเศษการตั้งค่าสัมพัทธปัญหาสามารถนำไปสู่ความเข้าใจเกี่ยวกับปรากฏการณ์ปกติที่เกี่ยวข้องกับสัมพัทธภาพทั่วไปเช่นขอบฟ้าเหตุการณ์ ในข้อความที่มาพร้อมกับรูปที่ 2-7ไฮเปอร์โบลาสีม่วงแดงแสดงถึงเส้นทางจริงที่ถูกติดตามโดยนักเดินทางที่เร่งความเร็วอย่างต่อเนื่องในกาลอวกาศ ในช่วงที่มีการเร่งความเร็วในเชิงบวก ความเร็วของผู้เดินทางจะเข้าใกล้ความเร็วแสง ในขณะที่วัดในกรอบของเรา ความเร่งของผู้เดินทางจะลดลงอย่างต่อเนื่อง

รูปที่ 4-6 ผู้สังเกตสัมพัทธภาพแบบเร่งด้วยขอบฟ้า อีกภาพประกอบดีที่วาดในหัวข้อเดียวกันอาจจะดูได้ ที่นี่

รูปที่ 4-6 ให้รายละเอียดคุณลักษณะต่างๆ ของการเคลื่อนไหวของนักเดินทางที่มีความเฉพาะเจาะจงมากขึ้น ในช่วงเวลาใดก็ตาม แกนอวกาศของเธอถูกสร้างขึ้นโดยเส้นที่ลากผ่านจุดกำเนิดและตำแหน่งปัจจุบันของเธอบนไฮเพอร์โบลา ในขณะที่แกนเวลาของเธอคือแทนเจนต์ของไฮเปอร์โบลาที่ตำแหน่งของเธอ พารามิเตอร์ความเร็ว $\beta$ เข้าใกล้ขีด จำกัด หนึ่งเช่น $ct$ เพิ่มขึ้น ในทำนองเดียวกัน $\gamma$ เข้าใกล้อนันต์

รูปร่างของไฮเปอร์โบลาคงที่สอดคล้องกับเส้นทางของการเร่งความเร็วที่เหมาะสมคงที่ แสดงให้เห็นได้ดังนี้

เราจำได้ว่า $\beta =ct/x.$
ตั้งแต่ $c^{2}t^{2}-x^{2}=s^{2},$ เราสรุปได้ว่า $\beta (ct)=ct/{\sqrt {c^{2}t^{2}-s^{2}}}.$
$\gamma =1/{\sqrt {1-\beta ^{2}}}=$ ${\sqrt {c^{2}t^{2}-s^{2}}}/s$
จากกฎแรงสัมพัทธภาพ จะได้ว่า $F=dp/dt=$ $dpc/d(ct)=d(\beta \gamma mc^{2})/d(ct).$
ทดแทน $\beta (ct)$ จากขั้นตอนที่ 2 และนิพจน์สำหรับ $\gamma$ จากขั้นตอนที่ 3 ให้ผลตอบแทน $F=mc^{2}/s,$ ซึ่งเป็นนิพจน์คงที่ ^[35]^{: 110–113}

รูปที่ 4-6 แสดงสถานการณ์จำลองจากการคำนวณเฉพาะ Terence (A) และ Stella (B) เริ่มแรกยืนอยู่ด้วยกัน 100 ชั่วโมงแสงจากแหล่งกำเนิด สเตลล่ายกขึ้นที่เวลา 0 ยานอวกาศของเธอเร่งความเร็วที่ 0.01 องศาเซลเซียสต่อชั่วโมง ทุกๆ 20 ชั่วโมง วิทยุของ Terence จะอัปเดต Stella เกี่ยวกับสถานการณ์ที่บ้าน (เส้นสีเขียวทึบ) สเตลล่าได้รับการส่งสัญญาณปกติเหล่านี้ แต่ระยะทางที่เพิ่มขึ้น (ชดเชยบางส่วนด้วยการขยายเวลา) ทำให้เธอได้รับการสื่อสารของ Terence ในภายหลังและภายหลังตามการวัดบนนาฬิกาของเธอ และเธอไม่เคยได้รับการสื่อสารใดๆ จาก Terence หลังจากผ่านไป 100 ชั่วโมงบนนาฬิกาของเขา (เส้นประสีเขียว เส้น) ^[35]^{: 110–113}

หลังจาก 100 ชั่วโมงตามนาฬิกาของเทอเรนซ์ สเตลล่าก็เข้าสู่พื้นที่มืด เธอได้เดินทางไปนอกอนาคตที่เหมือนกาลเวลาของเทอเรนซ์ ในทางกลับกัน เทอเรนซ์สามารถรับข้อความของสเตลล่าถึงเขาได้ต่อไปอย่างไม่มีกำหนด เขาต้องรอนานพอ กาลอวกาศถูกแบ่งออกเป็นภูมิภาคที่แตกต่างกันโดยคั่นด้วยขอบฟ้าเหตุการณ์ที่ชัดเจน ตราบใดที่สเตลล่ายังคงเร่งความเร็วต่อไป เธอไม่มีทางรู้ได้เลยว่าเกิดอะไรขึ้นเบื้องหลังขอบฟ้านี้ ^[35]^{: 110–113}

บทนำสู่กาลอวกาศโค้ง

ข้อเสนอพื้นฐาน

ทฤษฎีของนิวตันสันนิษฐานว่าการเคลื่อนไหวเกิดขึ้นกับฉากหลังของกรอบอ้างอิงแบบยุคลิดที่แข็งกระด้างซึ่งขยายไปทั่วทุกพื้นที่และตลอดเวลา แรงโน้มถ่วงเป็นสื่อกลางโดยแรงลึกลับซึ่งกระทำการทันทีในระยะไกล ซึ่งการกระทำนั้นไม่ขึ้นกับพื้นที่ที่แทรกแซง ^{[หมายเหตุ 14]}ในทางตรงกันข้าม ไอน์สไตน์ปฏิเสธว่าไม่มีกรอบอ้างอิงแบบยุคลิดพื้นหลังใด ๆ ที่ขยายไปทั่วอวกาศ และไม่มีสิ่งใดที่เรียกว่าแรงโน้มถ่วง มีเพียงโครงสร้างของกาลอวกาศเท่านั้น ^[7]^{: 175–190}

รูปที่ 5–1 ผลกระทบน้ำขึ้นน้ำลง ^{[คลิกที่นี่สำหรับรายละเอียดเพิ่มเติม 1]}

ในแง่ของกาลอวกาศ เส้นทางของดาวเทียมที่โคจรรอบโลกไม่ได้ถูกกำหนดโดยอิทธิพลของโลก ดวงจันทร์ และดวงอาทิตย์ที่อยู่ห่างไกลออกไป ดาวเทียมจะเคลื่อนที่ผ่านอวกาศเพื่อตอบสนองต่อสภาพท้องถิ่นเท่านั้น เนื่องจากกาลอวกาศอยู่ในพื้นที่ราบทุกแห่งเมื่อพิจารณาในขนาดที่เล็กเพียงพอ ดาวเทียมจึงเดินตามเส้นตรงในกรอบเฉื่อยของท้องถิ่นเสมอ เราบอกว่าดาวเทียมจะเดินตามเส้นทางของgeodesicเสมอ ไม่พบหลักฐานความโน้มถ่วงตามการเคลื่อนที่ของอนุภาคเดียว ^[7]^{: 175–190}

ในการวิเคราะห์ของกาลอวกาศใด ๆ หลักฐานของแรงโน้มถ่วงต้องที่หนึ่งสังเกตความเร่งญาติของทั้งสองหน่วยงานหรืออนุภาคสองแยกออกจากกัน ในรูปที่ 5-1 อนุภาคสองตัวที่แยกจากกันซึ่งตกลงมาอย่างอิสระในสนามโน้มถ่วงของโลก แสดงความเร่งของคลื่นอันเนื่องมาจากความไม่เท่าเทียมกันของท้องถิ่นในสนามโน้มถ่วง โดยที่แต่ละอนุภาคจะเดินตามเส้นทางที่แตกต่างกันผ่านกาลอวกาศ ความเร่งของกระแสน้ำที่อนุภาคเหล่านี้แสดงด้วยความเคารพซึ่งกันและกันไม่จำเป็นต้องใช้กำลังในการอธิบาย แต่ไอน์สไตน์อธิบายพวกมันในแง่ของเรขาคณิตของกาลอวกาศ กล่าวคือ ความโค้งของกาลอวกาศ ความเร่งของกระแสน้ำเหล่านี้เป็นระดับท้องถิ่นอย่างเคร่งครัด มันเป็นผลรวมสะสมของอาการในท้องถิ่นจำนวนมากของความโค้งที่ผลในลักษณะของแรงโน้มถ่วงทำหน้าที่ในระยะยาวจากโลก ^[7]^{: 175–190}

ข้อเสนอส่วนกลางสองประการรองรับทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป

แนวคิดสำคัญประการแรกคือการประสานงานอิสระ: กฎของฟิสิกส์ไม่สามารถขึ้นอยู่กับระบบพิกัดที่ใช้ นี่เป็นส่วนขยายที่สำคัญของหลักการสัมพัทธภาพจากเวอร์ชันที่ใช้ในทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ ซึ่งระบุว่ากฎของฟิสิกส์จะต้องเหมือนกันสำหรับผู้สังเกตทุกคนที่เคลื่อนที่ในกรอบอ้างอิงที่ไม่เร่ง (เฉื่อย) ในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป ในการใช้คำ (แปล) ของไอน์สไตน์ "กฎของฟิสิกส์ต้องมีลักษณะที่นำไปใช้กับระบบอ้างอิงในการเคลื่อนที่แบบใดก็ได้" ^[48]^{: 113}สิ่งนี้นำไปสู่ปัญหาในทันที: ในเฟรมที่เร่งความเร็ว เรารู้สึกถึงพลังที่ดูเหมือนว่าจะทำให้เราสามารถประเมินสถานะของการเร่งความเร็วในความหมายที่แท้จริง ไอน์สไตน์แก้ไขปัญหานี้ด้วยหลักการความเท่าเทียมกัน ^[49]^{: 137–149}

รูปที่ 5–2 หลักการเทียบเท่า

หลักความเท่าเทียมระบุว่าในภูมิภาคที่มีขนาดเล็กพอ ๆ ของพื้นที่ผลกระทบของแรงโน้มถ่วงเป็นเช่นเดียวกับผู้ที่มาจากการเร่งความเร็ว

ในรูป. 5-2 คนที่อยู่ในยานอวกาศไกลจากวัตถุขนาดใหญ่ใด ๆ ที่ผ่านการเร่งเครื่องแบบ กรัม บุคคล B อยู่ในกล่องที่วางอยู่บนโลก โดยมีเงื่อนไขว่ายานอวกาศมีขนาดเล็กเพียงพอจนไม่สามารถวัดผลกระทบของคลื่นได้ (ด้วยความไวของเครื่องมือวัดแรงโน้มถ่วงในปัจจุบัน A และ B น่าจะเป็น Lilliputians ) ไม่มีการทดลองใดที่ A และ B สามารถทำได้ซึ่งจะทำให้พวกเขาสามารถบอกได้ ที่ตั้งอยู่ ^[49]^{: 141–149}

การแสดงออกทางเลือกของหลักการความเท่าเทียมกันที่จะทราบว่าในกฎหมายสากลของนิวตันแรงโน้มถ่วง, F = GMM _กรัม / R ² = เมตร_กรัมกรัมและกฎข้อที่สองของนิวตัน F = m _ฉัน ,ไม่มี เบื้องต้นเหตุผลว่าทำไม แรงโน้มถ่วง มวลm _gควรเท่ากับ มวลเฉื่อยม. _ผม . หลักการสมมูลระบุว่ามวลทั้งสองนี้เหมือนกัน ^[49]^{: 141–149}

การเปลี่ยนจากคำอธิบายเบื้องต้นข้างต้นของกาลอวกาศโค้งไปเป็นคำอธิบายที่สมบูรณ์ของความโน้มถ่วงนั้นต้องใช้แคลคูลัสเทนเซอร์และเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ หัวข้อที่ทั้งสองต้องมีการศึกษาอย่างมาก หากไม่มีเครื่องมือทางคณิตศาสตร์เหล่านี้ เป็นไปได้ที่จะเขียนเกี่ยวกับทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป แต่เป็นไปไม่ได้ที่จะแสดงการอนุมานที่ไม่สำคัญใดๆ

ความโค้งของเวลา

รูปที่ 5–3 อาร์กิวเมนต์ของไอน์สไตน์ที่เสนอแนะการเปลี่ยนแปลงความโน้มถ่วง

ในการอภิปรายเกี่ยวกับทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ กองกำลังไม่ได้มีบทบาทมากไปกว่าบทบาทเบื้องหลัง ทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษถือว่าความสามารถในการกำหนดกรอบเฉื่อยที่เติมกาลอวกาศทั้งหมด ซึ่งนาฬิกาทั้งหมดทำงานที่อัตราเดียวกับนาฬิกาที่จุดกำเนิด เป็นไปได้จริงๆเหรอ? ในสนามโน้มถ่วงที่ไม่เท่ากัน การทดลองบอกว่าคำตอบคือไม่ สนามโน้มถ่วงทำให้ไม่สามารถสร้างกรอบเฉื่อยของโลกได้ ในบริเวณกาลอวกาศที่เล็กพอเฟรมเฉื่อยท้องถิ่นยังคงเป็นไปได้ ทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปเกี่ยวข้องกับการเย็บเฟรมท้องถิ่นเหล่านี้เข้าด้วยกันอย่างเป็นระบบในภาพรวมของกาลอวกาศ ^[31]^{: 118–126}

ไม่นานหลังจากการตีพิมพ์ทฤษฎีทั่วไปในปี 1916 นักวิทยาศาสตร์จำนวนหนึ่งชี้ให้เห็นว่าทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปทำนายการมีอยู่ของการเปลี่ยนแปลงความโน้มถ่วง ไอน์สไตน์เองเสนอการทดลองทางความคิดต่อไปนี้: (i) สมมติว่ามีการสร้างหอคอยสูงh (รูปที่ 5-3) (ii) ปล่อยอนุภาคของมวลพักmจากยอดหอคอย มันตกลงอย่างอิสระด้วยความเร่งgถึงพื้นด้วยความเร็ว $v = (2 gh) 1/2$ เพื่อให้พลังงานทั้งหมดEที่วัดโดยผู้สังเกตบนพื้นเป็น $m+{\frac {{\frac {1}{2}}mv^{2}}{c^{2}}}=m+{\frac {mgh}{c^{2}}}$ (iii) เครื่องแปลงมวลพลังงานแปลงพลังงานทั้งหมดของอนุภาคให้เป็นโฟตอนพลังงานสูงตัวเดียวซึ่งจะพุ่งขึ้นข้างบน (iv) ที่ด้านบนของหอแปลงพลังงานมวลแปลงพลังงานของโฟตอนE 'กลับเข้ามาในอนุภาคของส่วนที่เหลือมวลม ' ^[31]^{: 118–126}

ต้องเป็นอย่างนั้น $m = m'$ มิฉะนั้นจะสามารถสร้างอุปกรณ์เคลื่อนที่ถาวรได้ ดังนั้นเราจึงทำนายว่า $E' = m$ ดังนั้น

{\frac {E'}{E}}={\frac {h\nu \,'}{h\nu }}={\frac {m}{m+{\frac {mgh}{c^ {2}}}}}=1-{\frac {gh}{c^{2}}}

โฟตอนที่ปีนขึ้นไปในสนามโน้มถ่วงของโลกสูญเสียพลังงานและเปลี่ยนเป็นสีแดง ความพยายามในช่วงแรกๆ ในการวัดการเปลี่ยนแปลงสีแดงผ่านการสังเกตทางดาราศาสตร์นั้นค่อนข้างสรุปไม่ได้ แต่การสังเกตการณ์ในห้องปฏิบัติการขั้นสุดท้ายดำเนินการโดยPound & Rebka (1959)และต่อมาโดย Pound & Snider (1964) ^[50]

แสงมีความถี่ที่เกี่ยวข้องและอาจใช้ความถี่นี้เพื่อขับเคลื่อนการทำงานของนาฬิกา การเปลี่ยนทิศทางความโน้มถ่วงนำไปสู่ข้อสรุปที่สำคัญเกี่ยวกับเวลา: แรงโน้มถ่วงทำให้เวลาวิ่งช้าลง สมมติว่าเราสร้างนาฬิกาสองเรือนที่เหมือนกันซึ่งอัตราถูกควบคุมโดยการเปลี่ยนแปลงของอะตอมที่เสถียร วางนาฬิกาเรือนหนึ่งไว้บนยอดหอคอย ขณะที่นาฬิกาอีกเรือนยังคงอยู่บนพื้น นักทดลองบนยอดหอคอยสังเกตว่าสัญญาณจากนาฬิกาภาคพื้นดินมีความถี่ต่ำกว่าสัญญาณนาฬิกาที่อยู่ถัดจากเธอบนหอคอย แสงที่ส่องขึ้นไปบนหอคอยเป็นเพียงคลื่น และมันเป็นไปไม่ได้ที่ยอดคลื่นจะหายไประหว่างทางขึ้น การสั่นของแสงจำนวนมากมาถึงด้านบนสุดของหอคอยเช่นเดียวกับที่เปล่งออกมาที่ด้านล่าง ผู้ทดลองสรุปว่านาฬิกาภาคพื้นดินเดินช้า และสามารถยืนยันได้โดยนำนาฬิกาทาวเวอร์ลงเพื่อเปรียบเทียบกับนาฬิกาภาคพื้นดิน ^[21]^{: 16–18}สำหรับหอคอย 1 กม. ความคลาดเคลื่อนจะอยู่ที่ประมาณ 9.4 นาโนวินาทีต่อวันซึ่งวัดได้ง่ายด้วยเครื่องมือที่ทันสมัย

นาฬิกาในสนามโน้มถ่วงไม่ได้วิ่งในอัตราเดียวกันทั้งหมด การทดลองอย่างเช่น การทดลองปอนด์-เรบกาได้กำหนดความโค้งขององค์ประกอบเวลาของกาลอวกาศไว้อย่างแน่นหนา การทดลองปอนด์-Rebka กล่าวว่าไม่มีอะไรเกี่ยวกับความโค้งของพื้นที่ส่วนหนึ่งของกาลอวกาศ แต่ข้อโต้แย้งทางทฤษฎีที่ทำนายการขยายเวลาโน้มถ่วงไม่ได้ขึ้นอยู่กับรายละเอียดของทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปเลย ทฤษฎีแรงโน้มถ่วงใดๆจะทำนายการขยายเวลาโน้มถ่วงหากเป็นไปตามหลักการของความสมมูล ^[21]^{: 16}ซึ่งรวมถึงความโน้มถ่วงของนิวตันด้วย การสาธิตมาตรฐานในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปคือการแสดงให้เห็นว่า ใน " ขีดจำกัดของนิวตัน " (กล่าวคือ อนุภาคเคลื่อนที่ช้า สนามโน้มถ่วงอ่อน และสนามคงที่) ความโค้งของเวลาเพียงอย่างเดียวก็เพียงพอแล้วที่จะได้กฎแรงโน้มถ่วงของนิวตัน . ^[51]^{: 101–106}

ความโน้มถ่วงของนิวตันเป็นทฤษฎีของเวลาโค้ง ทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปเป็นทฤษฎีของเวลาโค้งและพื้นที่โค้ง ให้Gเป็นค่าคงตัวโน้มถ่วงMเป็นมวลของดาวนิวโทเนียน และวัตถุโคจรของมวลไม่มีนัยสำคัญที่ระยะทางrจากดาวฤกษ์ ช่วงเวลากาลอวกาศสำหรับความโน้มถ่วงของนิวตันเป็นช่วงหนึ่งซึ่งสัมประสิทธิ์เวลาเท่านั้นที่เป็นตัวแปรได้^[21]^{: 229–232}

\Delta s^{2}=\left(1-{\frac {2GM}{c^{2}r}}\right)(c\Delta t)^{2}-\,(\Delta x)^{2}-(\Delta y)^{2}-(\Delta z)^{2}

ความโค้งของอวกาศ

ดิ $(1-2GM/(c^{2}r))$ ค่าสัมประสิทธิ์หน้า $(c\Delta t)^{2}$ อธิบายความโค้งของเวลาในความโน้มถ่วงของนิวตัน และความโค้งนี้อธิบายโดยสมบูรณ์สำหรับผลกระทบความโน้มถ่วงของนิวตันทั้งหมด ตามที่คาดไว้ ปัจจัยการแก้ไขนี้เป็นสัดส่วนโดยตรงกับ $G$ และ $M$ และเพราะว่า $r$ ในตัวส่วน ปัจจัยการแก้ไขจะเพิ่มขึ้นเมื่อเข้าใกล้วัตถุโน้มถ่วง ซึ่งหมายความว่าเวลาจะโค้ง

แต่ทฤษฏีสัมพัทธภาพทั่วไปเป็นทฤษฎีของพื้นที่โค้งและเวลาที่โค้ง ดังนั้น หากมีเงื่อนไขที่ปรับเปลี่ยนองค์ประกอบเชิงพื้นที่ของช่วงกาลอวกาศที่แสดงไว้ข้างต้น ก็ไม่ควรเห็นผลของมันต่อ เช่น วงโคจรของดาวเคราะห์และดาวเทียมเนื่องจากปัจจัยการแก้ไขความโค้ง กับเงื่อนไขเชิงพื้นที่?

คำตอบก็คือว่าพวกเขาจะเห็น แต่ผลมีขนาดเล็ก เหตุผลก็คือความเร็วของดาวเคราะห์นั้นน้อยมากเมื่อเทียบกับความเร็วของแสง ดังนั้นสำหรับดาวเคราะห์และดาวเทียมของระบบสุริยะ $(c\Delta t)^{2}$ ระยะแคระเงื่อนไขเชิงพื้นที่ ^[21]^{: 234–238}

แม้จะมีความประณีตของเงื่อนไขเชิงพื้นที่ แต่สัญญาณแรกที่บ่งชี้ว่ามีบางอย่างผิดปกติกับความโน้มถ่วงของนิวตันถูกค้นพบเมื่อกว่าศตวรรษครึ่งที่ผ่านมา ในปี ค.ศ. 1859 เออร์เบน เลอ แวร์ริเอร์ ในการวิเคราะห์การสังเกตการณ์การเคลื่อนตัวของดาวพุธเหนือจานของดวงอาทิตย์ตามกำหนดเวลาระหว่างปี ค.ศ. 1697 ถึง ค.ศ. 1848 รายงานว่าฟิสิกส์ที่รู้จักไม่สามารถอธิบายวงโคจรของดาวพุธได้ เว้นแต่จะมีดาวเคราะห์หรือแถบดาวเคราะห์น้อยอยู่ภายใน วงโคจรของดาวพุธ จุดใกล้สุดของวงโคจรของดาวพุธแสดงอัตราการเคลื่อนตัวที่เกินซึ่งอธิบายได้จากการชักเย่อของดาวเคราะห์ดวงอื่น ^[52]ความสามารถในการตรวจจับและแม่นยำในการวัดค่านาทีของ precession ผิดปกตินี้ (เพียง 43 วินาทีส่วนโค้งต่อศตวรรษที่เขตร้อน ) เป็นเครื่องยืนยันถึงความซับซ้อนของศตวรรษที่ 19 astrometry

รูปที่ 5–4 ทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปเป็นทฤษฎีของเวลา โค้งและพื้นที่โค้ง คลิกที่นี่เพื่อเคลื่อนไหว

ในฐานะนักดาราศาสตร์ที่มีชื่อเสียงซึ่งก่อนหน้านี้ได้ค้นพบการมีอยู่ของดาวเนปจูน "ที่ปลายปากกา" โดยการวิเคราะห์ความวอกแวกในวงโคจรของดาวยูเรนัส การประกาศของเลอ แวร์ริเอร์ ทำให้เกิด "วัลแคน-มาเนีย" เป็นเวลานานกว่าสองทศวรรษทั้งในฐานะมืออาชีพและมือสมัครเล่น นักดาราศาสตร์ต่างล่าหาดาวเคราะห์ดวงใหม่ตามสมมุติฐาน การค้นหานี้รวมถึงการพบเห็นวัลแคนที่ผิดพลาดหลายครั้ง ในที่สุดก็เป็นที่ยอมรับแล้วว่าไม่มีดาวเคราะห์หรือแถบดาวเคราะห์น้อยดังกล่าวอยู่ ^[53]

ในปีพ.ศ. 2459 ไอน์สไตน์ได้แสดงให้เห็นว่าการเคลื่อนตัวของดาวพุธที่ผิดปกตินี้อธิบายได้จากเงื่อนไขเชิงพื้นที่ในความโค้งของกาลอวกาศ ความโค้งในระยะเวลาชั่วคราว ซึ่งเป็นเพียงการแสดงออกถึงความโน้มถ่วงของนิวตัน ไม่มีส่วนในการอธิบายการเคลื่อนตัวผิดปกตินี้ ความสำเร็จในการคำนวณของเขาเป็นเครื่องบ่งชี้อันทรงพลังแก่เพื่อนร่วมงานของไอน์สไตน์ว่าทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปอาจถูกต้อง

การคาดการณ์ที่น่าตื่นเต้นที่สุดของไอน์สไตน์คือการคำนวณของเขาว่าเงื่อนไขความโค้งในองค์ประกอบเชิงพื้นที่ของช่วงกาลอวกาศสามารถวัดได้จากการโค้งงอของแสงรอบวัตถุขนาดใหญ่ แสงมีความชัน ±1 บนแผนภาพกาลอวกาศ การเคลื่อนที่ในอวกาศเท่ากับการเคลื่อนที่ของเวลา สำหรับนิพจน์ฟิลด์ที่อ่อนแอของช่วงเวลาที่ไม่แปรผัน Einstein ได้คำนวณความโค้งของเครื่องหมายที่เท่ากันแต่ตรงกันข้ามในองค์ประกอบเชิงพื้นที่ ^[21]^{: 234–238}

\Delta s^{2}=\left(1-{\frac {2GM}{c^{2}r}}\right)(c\Delta t)^{2}

-\,\left(1+{\frac {2GM}{c^{2}r}}\right)\left[(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2 }+(\Delta z)^{2}\right]

ในความโน้มถ่วงของนิวตัน $(1-2GM/(c^{2}r))$ ค่าสัมประสิทธิ์หน้า $(c\Delta t)^{2}$ ทำนายการโก่งตัวของแสงรอบดาว ในสัมพัทธภาพทั่วไป $(1+2GM/(c^{2}r))$ ค่าสัมประสิทธิ์หน้า $\left[(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}+(\Delta z)^{2}\right]$ ทำนายการดัดโค้งทั้งหมดเป็นสองเท่า ^[21]^{: 234–238}

เรื่องราวของการเดินทางคราสในเอดดิงตันในปี 1919 และการขึ้นสู่ชื่อเสียงของไอน์สไตน์นั้นได้รับการบอกเล่าเป็นอย่างดีในที่อื่นๆ ^[54]

แหล่งที่มาของความโค้งของกาลอวกาศ

รูปที่ 5-5 องค์ประกอบที่ขัดแย้งกันของเทนเซอร์ความเค้น-พลังงาน

ในทฤษฎีของนิวตันแรงโน้มถ่วง , แหล่งเดียวของแรงโน้มถ่วงเป็นมวล

ในทางตรงกันข้าม ทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไประบุแหล่งที่มาของความโค้งของกาลอวกาศหลายแหล่งนอกเหนือจากมวล ในสมการสนามของไอน์สไตน์แหล่งที่มาของแรงโน้มถ่วงจะแสดงทางด้านขวามือใน $T_{\mu \nu },$ เน้นเมตริกซ์พลังงาน

รูปที่ 5-5 จำแนกแหล่งที่มาของแรงโน้มถ่วงต่างๆ ในเทนเซอร์ของความเครียดและพลังงาน:

$T^{00}$ (สีแดง): ความหนาแน่นของมวล-พลังงานทั้งหมด รวมถึงการมีส่วนสนับสนุนใดๆ ต่อพลังงานศักย์จากแรงระหว่างอนุภาค เช่นเดียวกับพลังงานจลน์จากการเคลื่อนที่ด้วยความร้อนแบบสุ่ม
$T^{0i}$ และ $T^{i0}$ (สีส้ม): นี่คือเงื่อนไขความหนาแน่นของโมเมนตัม แม้ว่าจะไม่มีการเคลื่อนที่แบบเทกอง พลังงานอาจถูกส่งผ่านโดยการนำความร้อน และพลังงานที่ดำเนินการจะมีโมเมนตัม
$T^{ij}$ มีอัตราการไหลของฉัน -componentของโมเมนตัมต่อหน่วยพื้นที่ในเจ -direction แม้ว่าจะไม่มีการเคลื่อนที่แบบเทกอง แต่การเคลื่อนที่ด้วยความร้อนแบบสุ่มของอนุภาคจะทำให้เกิดการไหลของโมเมนตัม ดังนั้นเทอม $i = j$ (สีเขียว) แสดงถึงความดันไอโซโทรปิก และเทอม $i \neq j$ (สีน้ำเงิน) แสดงถึงความเค้นเฉือน ^[55]

หนึ่งในข้อสรุปที่สำคัญจะได้รับจากสมการที่เป็นที่เรียกขานพูดแรงโน้มถ่วงของตัวเองสร้างแรงโน้มถ่วง ^{[หมายเหตุ 15]}พลังงานมีมวล แม้แต่ในแรงโน้มถ่วงของนิวตัน สนามโน้มถ่วงยังสัมพันธ์กับพลังงาน $E=mgh,$ เรียกว่าพลังงานที่มีศักยภาพแรงโน้มถ่วง ในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป พลังงานของสนามโน้มถ่วงจะดึงกลับเข้าสู่การสร้างสนามโน้มถ่วง สิ่งนี้ทำให้สมการไม่เป็นเชิงเส้นและแก้ได้ยากในสิ่งอื่นที่ไม่ใช่กรณีภาคสนามที่อ่อนแอ ^[21]^{: 240} ทฤษฎีสัมพัทธตัวเลขเป็นสาขาของสัมพัทธภาพทั่วไปโดยใช้วิธีการเชิงตัวเลขเพื่อแก้ปัญหาและวิเคราะห์ปัญหามักจะจ้างซูเปอร์คอมพิวเตอร์เพื่อการศึกษาหลุมดำ , คลื่นความโน้มถ่วง , ดาวนิวตรอนและปรากฏการณ์อื่น ๆ ในระบอบการปกครองของสนามที่แข็งแกร่ง

พลังงาน-โมเมนตัม

รูปที่ 5-6 (ซ้าย) มวลพลังงานแปรปรวนกาลอวกาศ (ขวา) หมุนกระจายมวลพลังงาน โมเมนตัมเชิงมุมJสร้าง เขต gravitomagnetic H

ในทฤษฎีสัมพัทธมวลพลังงานมีการเชื่อมต่ออย่างใกล้ชิดกับโมเมนตัม เช่นเดียวกับพื้นที่และเวลาที่มีลักษณะแตกต่างกันของนิติบุคคลที่ครอบคลุมมากขึ้นเรียกว่ากาลอวกาศมวลพลังงานและโมเมนตัมมีลักษณะที่แตกต่างกันแค่แบบครบวงจรปริมาณสี่มิติที่เรียกว่าสี่โมเมนตัม ดังนั้น ถ้ามวล-พลังงานเป็นแหล่งของแรงโน้มถ่วง โมเมนตัมก็ต้องเป็นแหล่งกำเนิดด้วย รวมของโมเมนตัมเป็นแหล่งที่มาของการนำไปสู่แรงโน้มถ่วงเพื่อทำนายว่าการย้ายหรือหมุนมวลชนสามารถสร้างสนามคล้ายกับสนามแม่เหล็กที่เกิดจากค่าใช้จ่ายในการเคลื่อนย้ายปรากฏการณ์ที่เรียกว่าgravitomagnetism ^[56]

รูปที่ 5–7 กำเนิดของแรงโน้มถ่วงแม่เหล็ก

เป็นที่ทราบกันดีว่าแรงของสนามแม่เหล็กสามารถอนุมานได้โดยใช้กฎสัมพัทธภาพพิเศษกับประจุเคลื่อนที่ (การสาธิตอย่างมีคารมคมคายนี้ถูกนำเสนอโดยเฟย์นแมนในเล่มที่ 2 บทที่ 13-6ของการบรรยายวิชาฟิสิกส์ออนไลน์ได้^[57] ) ตรรกะที่คล้ายคลึงกันสามารถใช้เพื่อแสดงที่มาของแรงโน้มถ่วงได้ ในรูปที่ 5-7a อนุภาคขนาดใหญ่ที่ขนานกันและยาวเป็นอนันต์สองเส้นมีความเร็วเท่ากันและตรงกันข้าม − vและ + vเทียบกับอนุภาคทดสอบที่อยู่นิ่งและอยู่ตรงกลางระหว่างทั้งสอง เนื่องจากความสมมาตรของการติดตั้ง แรงสุทธิบนอนุภาคตรงกลางจึงเป็นศูนย์ สมมติ $v\ll c$ เพื่อให้ความเร็วเป็นเพียงการบวก มะเดื่อ 5-7b แสดงการตั้งค่าเดียวกันทุกประการ แต่อยู่ในเฟรมของสตรีมบน อนุภาคทดสอบมีความเร็วของ + A โวลต์และกระแสล่างมีความเร็วของ 2 วี เนื่องจากสถานการณ์ทางกายภาพไม่ได้เปลี่ยนแปลง เฉพาะเฟรมที่สังเกตสิ่งต่าง ๆ เท่านั้น ไม่ควรดึงดูดอนุภาคทดสอบไปทางสตรีมทั้งสอง แต่ไม่ชัดเจนเลยสักนิดว่าแรงที่กระทำต่ออนุภาคทดสอบนั้นเท่ากัน (1) เนื่องจากกระแสน้ำด้านล่างเคลื่อนที่เร็วกว่าด้านบน อนุภาคแต่ละตัวในกระแสน้ำด้านล่างจึงมีพลังงานมวลมากกว่าอนุภาคที่อยู่ด้านบน (2) เนื่องจากการหดตัวของ Lorentz มีอนุภาคต่อความยาวหน่วยในกระแสด้านล่างมากกว่าในกระแสบน (3) การมีส่วนร่วมอีกประการหนึ่งต่อมวลความโน้มถ่วงเชิงรุกของกระแสน้ำด้านล่างมาจากระยะความดันเพิ่มเติม ซึ่ง ณ จุดนี้ เราไม่มีภูมิหลังเพียงพอที่จะหารือ ผลกระทบทั้งหมดเหล่านี้ดูเหมือนจะต้องการให้อนุภาคทดสอบถูกดึงไปทางกระแสน้ำด้านล่าง

อนุภาคทดสอบไม่ได้ถูกดึงไปที่กระแสน้ำด้านล่างเนื่องจากแรงที่ขึ้นกับความเร็วซึ่งทำหน้าที่ขับไล่อนุภาคที่เคลื่อนที่ไปในทิศทางเดียวกับกระแสน้ำด้านล่าง เอฟเฟกต์ความโน้มถ่วงที่ขึ้นกับความเร็วนี้คือแรงโน้มถ่วงแม่เหล็ก ^[21]^{: 245–253}

เรื่องในการเคลื่อนไหวผ่านสนาม gravitomagnetic เป็นด้วยเหตุนี้อาจมีการเรียกว่ากรอบการลากผลกระทบคล้ายกับเหนี่ยวนำแม่เหล็กไฟฟ้า มีการเสนอว่าแรงแม่เหล็กโน้มถ่วงดังกล่าวรองรับการสร้างไอพ่นสัมพัทธภาพ (รูปที่ 5-8) ที่พุ่งออกมาโดยหลุมดำมวลมหาศาลที่หมุนรอบตัว ^[58]^[59]

ความกดดันและความเครียด

ปริมาณที่เกี่ยวข้องโดยตรงกับการใช้พลังงานและโมเมนตัมควรจะเป็นแหล่งที่มาของแรงโน้มถ่วงเป็นอย่างดีกล่าวคือภายในความกดดันและความเครียด เมื่อนำมารวมกันมวล-พลังงานโมเมนตัม ความดัน และความเครียด ล้วนเป็นแหล่งของแรงโน้มถ่วง: โดยรวมแล้ว สิ่งเหล่านี้เป็นสิ่งที่บอกกาลอวกาศว่าต้องโค้งอย่างไร

ทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปทำนายว่าความดันทำหน้าที่เป็นแหล่งความโน้มถ่วงที่มีความแรงเท่ากันทุกประการกับความหนาแน่นของมวลและพลังงาน การรวมแรงดันเป็นแหล่งของแรงโน้มถ่วงทำให้เกิดความแตกต่างอย่างมากระหว่างการทำนายของสัมพัทธภาพทั่วไปกับการคาดการณ์ของแรงโน้มถ่วงแบบนิวตัน ยกตัวอย่างเช่นระยะความดันกำหนดขีด จำกัด สูงสุดเพื่อมวลของที่ดาวนิวตรอน ยิ่งดาวนิวตรอนมีมวลมากเท่าใด ก็จะยิ่งต้องใช้แรงกดมากขึ้นเพื่อรองรับน้ำหนักของมันต่อแรงโน้มถ่วง อย่างไรก็ตาม ความดันที่เพิ่มขึ้นจะเพิ่มแรงโน้มถ่วงที่กระทำต่อมวลของดาวฤกษ์ เหนือมวลบางอย่างที่กำหนดโดยวงเงิน Tolman ออพ-Volkoffกระบวนการที่จะกลายเป็นผู้หลบหนีและดาวนิวตรอนทรุดฮวบลงไปเป็นหลุมดำ ^[21]^{: 243,280}

เงื่อนไขความเครียดมีความสำคัญอย่างมากเมื่อทำการคำนวณ เช่น การจำลองอุทกพลศาสตร์ของซุปเปอร์โนวาแกนยุบตัว ^[60]

การคาดคะเนบทบาทของแรงกดดัน โมเมนตัม และความเครียดในฐานะแหล่งที่มาของความโค้งของกาลอวกาศนั้นงดงามและมีบทบาทสำคัญในทฤษฎี ในแง่ของความดัน เอกภพยุคแรกถูกครอบงำด้วยการแผ่รังสี^[61]และไม่น่าเป็นไปได้สูงที่ข้อมูลทางจักรวาลวิทยาที่เกี่ยวข้อง (เช่นความอุดมสมบูรณ์ของการสังเคราะห์นิวคลีโอชัน ฯลฯ) จะทำซ้ำได้หากความดันไม่ได้มีส่วนทำให้เกิดแรงโน้มถ่วง หรือหากเป็นเช่นนั้น ไม่มีความแรงเท่ากับแหล่งกำเนิดของแรงโน้มถ่วงเท่ากับมวล-พลังงาน ในทำนองเดียวกัน ความสอดคล้องทางคณิตศาสตร์ของสมการภาคสนามของ Einstein จะถูกทำลายหากเงื่อนไขของความเครียดไม่ได้มีส่วนทำให้เกิดแรงโน้มถ่วง

การทดสอบเชิงทดลองของแหล่งกำเนิดความโค้งของกาลอวกาศ

คำนิยาม: มวลแอคทีฟ พาสซีฟ และเฉื่อย

Bondi แยกแยะความแตกต่างระหว่างมวลที่เป็นไปได้ประเภทต่างๆ: (1) มวลที่ใช้งาน ( $m_{a}$ )คือมวลที่ทำหน้าที่เป็นแหล่งกำเนิดสนามโน้มถ่วง (2) มวลแฝง ( $m_{p}$ )คือมวลที่ทำปฏิกิริยากับสนามโน้มถ่วง (3) มวลเฉื่อย ( $m_{i}$ )คือมวลที่ทำปฏิกิริยากับความเร่ง ^[62]

$m_{p}$ เท่ากับมวลโน้มถ่วง ( $m_{g}$ )ในการอภิปรายของหลักการความเท่าเทียมกัน

ในทฤษฎีของนิวตัน

กฎข้อที่สามของการกระทำและปฏิกิริยากำหนดว่า $m_{a}$ และ $m_{p}$ จะต้องเหมือนกัน
ในทางกลับกัน ไม่ว่า $m_{p}$ และ $m_{i}$ เท่ากันเป็นผลเชิงประจักษ์

ในสัมพัทธภาพทั่วไป

ความเท่าเทียมกันของ $m_{p}$ และ $m_{i}$ ถูกกำหนดโดยหลักการสมมูล
ไม่มีหลักการของ "การกระทำและปฏิกิริยา" ที่กำหนดความสัมพันธ์ที่จำเป็นระหว่าง $m_{a}$ และ $m_{p}$ . ^[62]

ความดันเป็นแหล่งกำเนิดแรงโน้มถ่วง

รูปที่ 5–9 (A) การทดลองคาเวนดิช (B) การทดลองของครูเซอร์

การทดลองแบบคลาสสิกเพื่อวัดความแรงของแหล่งความโน้มถ่วง (เช่น มวลที่แอคทีฟของมัน) ดำเนินการครั้งแรกในปี ค.ศ. 1797 โดยHenry Cavendish (รูปที่ 5-9) สองลูกเล็ก ๆ แต่มีความหนาแน่นสูงกำลังแขวนอยู่บนเส้นลวดดีทำให้ความสมดุลของแรงบิด การนำมวลทดสอบขนาดใหญ่สองก้อนมาใกล้ลูกบอลทำให้เกิดแรงบิดที่ตรวจจับได้ ด้วยขนาดของเครื่องมือและค่าคงที่สปริงที่วัดได้ของลวดบิด ค่าคงที่ความโน้มถ่วงGสามารถกำหนดได้

ในการศึกษาผลกระทบของแรงกดโดยการบีบอัดมวลทดสอบนั้นสิ้นหวัง เนื่องจากแรงดันในห้องปฏิบัติการที่เข้าถึงได้นั้นไม่มีนัยสำคัญเมื่อเปรียบเทียบกับพลังงานมวลของลูกบอลโลหะ

อย่างไรก็ตามแรงกดดันแม่เหล็กไฟฟ้าที่น่ารังเกียจที่เกิดจากโปรตอนถูกบีบแน่นภายในนิวเคลียสของอะตอมโดยทั่วไปในการสั่งซื้อ 10 ²⁸ ตู้เอทีเอ็ม≈ 10 ³³ Pa ≈ 10 ³³ กก. · ^{s -2}เมตร-1จำนวนนี้ประมาณ 1% ของความหนาแน่นของมวลนิวเคลียร์ประมาณ 10 ¹⁸กิโลกรัม / เมตร³ (หลังจากแฟค² ≈ 9 × 10 ¹⁶ม. ² s ^-2 ) ^[63]

รูปที่ 5-10. การทดลองวัดระยะด้วยเลเซอร์ทางจันทรคติ (ซ้าย) แผ่นสะท้อนแสงนี้ ถูกทิ้งไว้บนดวงจันทร์โดยนักบินอวกาศใน ภารกิจอพอลโล 11 (ขวา) นักดาราศาสตร์ทั่วโลกได้สะท้อนแสงเลเซอร์จากเครื่องสะท้อนแสงเรโทรที่นักบินอวกาศอพอลโลและยานสำรวจดวงจันทร์ของรัสเซียทิ้งไว้เพื่อวัดระยะทางระหว่างโลกและดวงจันทร์ได้อย่างแม่นยำ

หากความดันไม่ทำหน้าที่เป็นแหล่งความโน้มถ่วง ดังนั้นอัตราส่วน $m_{a}/m_{p}$ ควรต่ำกว่าสำหรับนิวเคลียสที่มีเลขอะตอมสูงกว่าZซึ่งแรงดันไฟฟ้าสถิตจะสูงกว่า LB Kreuzer (1968) ทำการทดลองคาเวนดิชโดยใช้มวลเทฟลอนที่แขวนลอยในส่วนผสมของของเหลวไตรคลอโรเอทิลีนและไดโบรโมอีเทนที่มีความหนาแน่นลอยตัวเช่นเดียวกับเทฟลอน (รูปที่ 5-9b) ฟลูออรีนมีเลขอะตอม $Z = 9$ ในขณะที่มีโบรมีน $Z =$ 35 Kreuzer พบว่าตำแหน่งมวลเทฟลอนไม่ก่อให้เกิดการโก่งค่าของแถบแรงบิดจึงสร้างมวลที่ใช้งานและมวลเรื่อย ๆ จะเทียบเท่าความแม่นยำ 5 × 10 -5^[64]

แม้ว่าในขั้นต้น Kreuzer จะถือว่าการทดลองนี้เป็นเพียงการทดสอบอัตราส่วนของมวลแอคทีฟต่อมวลเชิงรับ แต่ Clifford Will (1976) ตีความการทดลองใหม่ว่าเป็นการทดสอบพื้นฐานของการควบคู่ของแหล่งกำเนิดกับสนามโน้มถ่วง ^[65]

ในปี 1986 Bartlett และ Van Buren ตั้งข้อสังเกตว่าการตรวจวัดระยะด้วยเลเซอร์บนดวงจันทร์ได้ตรวจพบระยะห่าง 2 กม. ระหว่างจุดศูนย์กลางของดวงจันทร์กับจุดศูนย์กลางมวล สิ่งนี้บ่งชี้ความไม่สมดุลในการกระจายของ Fe (มีมากมายในแกนกลางของดวงจันทร์) และ Al (มีมากมายในเปลือกโลกและเสื้อคลุม) หากแรงกดไม่ได้ส่งผลต่อความโค้งของกาลอวกาศเท่าๆ กับมวล-พลังงาน ดวงจันทร์ก็จะไม่อยู่ในวงโคจรตามที่กลศาสตร์คลาสสิกทำนายไว้ พวกเขาใช้วัดของพวกเขาที่จะกระชับข้อ จำกัด ในความแตกต่างใด ๆ ระหว่างมวลเชิงรุกและเชิงประมาณ 10 -12^[66]

แรงโน้มถ่วง

รูปที่ 5-11 Gravity Probe B ยืนยันการมีอยู่ของแรงโน้มถ่วงแม่เหล็ก

การมีอยู่ของแรงโน้มถ่วง แม่เหล็กได้รับการพิสูจน์โดยGravity Probe B (GP-B)ซึ่งเป็นภารกิจจากดาวเทียมซึ่งเปิดตัวเมื่อวันที่ 20 เมษายน พ.ศ. 2547 ^[67]ระยะการบินในอวกาศดำเนินไปจนกระทั่ง2005. จุดมุ่งหมายภารกิจในการวัดความโค้งกาลอวกาศใกล้โลกโดยเน้นเฉพาะในgravitomagnetism

ผลลัพธ์เบื้องต้นยืนยันผล geodetic ที่ค่อนข้างใหญ่(ซึ่งเกิดจากความโค้งของกาลกาลธรรมดา และเรียกอีกอย่างว่า de Sitter precession) มีความแม่นยำประมาณ 1% เอฟเฟกต์การลากเฟรมที่เล็กกว่ามาก(ซึ่งเกิดจากการโน้มถ่วงแม่เหล็ก และยังเป็นที่รู้จักกันในนามLense–Thirring precession ) นั้นยากต่อการวัดเนื่องจากเอฟเฟกต์ประจุที่ไม่คาดคิดทำให้ตัวแปรลอยในไจโรสโคป อย่างไรก็ตาม โดยสิงหาคม 2551, เอฟเฟกต์การลากเฟรมได้รับการยืนยันภายใน 15% ของผลลัพธ์ที่คาดไว้^[68]ในขณะที่เอฟเฟกต์ geodetic ได้รับการยืนยันว่าดีกว่า 0.5% ^[69]^[70]

การวัดภายหลังของการลากเฟรมโดยการสังเกตระยะด้วยเลเซอร์ของดาวเทียมLARES , LAGEOS -1และLAGEOS-2ได้ปรับปรุงในการวัดGP-Bโดยผลลัพธ์ (ณ ปี 2016) แสดงให้เห็นผลกระทบภายใน 5% ของค่าตามทฤษฎี^[71]แม้ว่าจะมีความไม่เห็นด้วยบางประการเกี่ยวกับความถูกต้องของผลลัพธ์นี้ ^[72]

อีกความพยายามหนึ่งคือการทดลอง Gyroscopes in General Relativity (GINGER) พยายามใช้เลเซอร์วงแหวนขนาด 6 ม. สามตัวที่ติดตั้งในมุมฉากซึ่งกันและกัน 1,400 ม. ใต้พื้นผิวโลกเพื่อวัดผลกระทบนี้ ^[73]^[74]

หัวข้อทางเทคนิค

กาลอวกาศโค้งจริงหรือ?

ในPoincaréของconventionalistวิวเกณฑ์ที่จำเป็นตามที่หนึ่งควรเลือกรูปทรงเรขาคณิตแบบยุคลิดเมื่อเทียบกับที่ไม่ใช่แบบยุคลิดจะเป็นเศรษฐกิจและความเรียบง่าย นักสัจนิยมจะบอกว่าไอน์สไตน์ค้นพบกาลอวกาศว่าไม่ใช่ยุคลิด นักอนุรักษนิยมกล่าวว่าไอน์สไตน์เพียงพบว่าสะดวกกว่าที่จะใช้เรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิด conventionalist จะรักษาว่าการวิเคราะห์ของ Einstein กล่าวว่าไม่มีอะไรเกี่ยวกับสิ่งที่รูปทรงเรขาคณิตของกาลอวกาศจริงๆคือ ^[75]

การกล่าวเช่นนี้

1. เป็นไปได้ไหมที่จะเป็นตัวแทนของทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปในแง่ของกาลอวกาศที่แบนราบ?

2. มีสถานการณ์ใดบ้างที่การตีความกาลอวกาศแบบเรียบของทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปอาจ สะดวกกว่าการตีความกาลอวกาศแบบโค้งปกติหรือไม่?

ในการตอบคำถามแรก ผู้เขียนหลายคนรวมถึง Deser, Grishchuk, Rosen, Weinberg เป็นต้น ได้จัดเตรียมสูตรความโน้มถ่วงต่างๆ ในรูปแบบสนามในท่อร่วมไอดี ทฤษฎีเหล่านี้เรียกอย่างหลากหลายว่า " แรงโน้มถ่วงแบบสองมิติ ", "แนวทางทฤษฎีสนามกับทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป" และอื่นๆ ^[76]^[77]^[78]^[79] Kip Thorne ได้จัดให้มีการทบทวนทฤษฎีเหล่านี้ที่เป็นที่นิยม ^[80]^{: 397–403}

กระบวนทัศน์กาลอวกาศที่แบนราบวางตำแหน่งที่สำคัญจะสร้างสนามโน้มถ่วงที่ทำให้ไม้บรรทัดหดตัวเมื่อเปลี่ยนจากการวางแนวเส้นรอบวงเป็นแนวรัศมี และทำให้อัตราการฟ้องของนาฬิกาขยายออก กระบวนทัศน์กาลอวกาศที่ราบเรียบนั้นเทียบเท่ากับกระบวนทัศน์กาลอวกาศแบบโค้งอย่างสมบูรณ์โดยที่ทั้งสองแสดงปรากฏการณ์ทางกายภาพที่เหมือนกัน อย่างไรก็ตาม สูตรทางคณิตศาสตร์ของพวกมันแตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง นักฟิสิกส์ที่ทำงานมักจะสลับไปมาระหว่างการใช้เทคนิคกาลอวกาศแบบโค้งและแบบแบนตามข้อกำหนดของปัญหา กระบวนทัศน์กาลอวกาศแบบเรียบกลายเป็นว่าสะดวกเป็นพิเศษเมื่อทำการคำนวณโดยประมาณในฟิลด์ที่อ่อนแอ ดังนั้นจะใช้เทคนิคกาลอวกาศแบนในการแก้ปัญหาคลื่นโน้มถ่วง ในขณะที่เทคนิคกาลอวกาศโค้งจะถูกนำมาใช้ในการวิเคราะห์หลุมดำ ^[80]^{: 397–403}

สมมาตรแบบไม่แสดงอาการ

กลุ่มสมมาตรกาลอวกาศสำหรับทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษคือกลุ่ม Poincaréซึ่งเป็นกลุ่มสิบมิติของการเพิ่ม Lorentz สามครั้ง การหมุนสามครั้ง และการแปลกาลอวกาศสี่ครั้ง มันเป็นเหตุผลที่จะขอให้สิ่งที่สมมาตรถ้ามีอาจจะนำไปใช้ในพัทธภาพทั่วไป กรณีที่เข้าใจได้ง่ายอาจต้องพิจารณาถึงความสมมาตรของกาลอวกาศตามที่ผู้สังเกตพบซึ่งอยู่ห่างจากแหล่งสนามโน้มถ่วงทั้งหมด ความคาดหวังที่ไร้เดียงสาสำหรับสมมาตรกาลอวกาศที่ราบเรียบแบบไม่แสดงอาการอาจเป็นเพียงการขยายและสร้างสมมาตรของกาลอวกาศที่ราบเรียบของทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษกล่าวคือ ,กลุ่ม Poincaré

ในปี 1962 แฮร์มันน์บอน , MG แวนเดอร์เบิร์ก, AW Metzner ^[81]และเรนเนอร์เคแมนแซคส์^[82] addressed นี้สมมาตร asymptoticปัญหาในการสั่งซื้อเพื่อตรวจสอบการไหลของพลังงานที่อินฟินิตี้เนื่องจากการแพร่กระจายคลื่นความโน้มถ่วง ขั้นตอนแรกของพวกเขาคือการตัดสินใจเกี่ยวกับเงื่อนไขขอบเขตที่สมเหตุสมผลทางกายภาพบางอย่างเพื่อวางบนสนามโน้มถ่วงที่ระยะอนันต์เหมือนแสงเพื่ออธิบายลักษณะการพูดว่าตัวชี้วัดนั้นราบเรียบโดยไม่มีอาการไม่มีการตั้งสมมติฐานล่วงหน้าเกี่ยวกับธรรมชาติของกลุ่มสมมาตรเชิงซีมโทติก — ไม่แม้แต่การสันนิษฐานว่ากลุ่มดังกล่าวมีอยู่จริง จากนั้น หลังจากที่ออกแบบสิ่งที่พวกเขาคิดว่าเป็นเงื่อนไขขอบเขตที่สมเหตุสมผลที่สุด พวกเขาได้ตรวจสอบธรรมชาติของการเปลี่ยนแปลงสมมาตรเชิงซีมโทติคที่เป็นผลลัพธ์ ซึ่งปล่อยให้รูปแบบของเงื่อนไขขอบเขตไม่แปรผันตามความเหมาะสมสำหรับสนามโน้มถ่วงที่ราบเรียบไม่มีซีมโทติค สิ่งที่พวกเขาพบคือการเปลี่ยนแปลงสมมาตรเชิงซีมโทติกจริง ๆ แล้วสร้างกลุ่มและโครงสร้างของกลุ่มนี้ไม่ได้ขึ้นอยู่กับสนามโน้มถ่วงที่เกิดขึ้นจริง ซึ่งหมายความว่า ตามที่คาดไว้ เราสามารถแยกจลนศาสตร์ของกาลอวกาศออกจากไดนามิกของสนามโน้มถ่วงอย่างน้อยก็ที่อนันต์เชิงพื้นที่ ความประหลาดใจที่ทำให้งงในปี 1962 คือการค้นพบกลุ่มอนันต์มิติที่ร่ำรวย (กลุ่มที่เรียกว่า BMS) เป็นกลุ่มสมมาตรเชิงซีมโทติก แทนที่จะเป็นกลุ่มพอยคาเรที่มีมิติ จำกัด ซึ่งเป็นกลุ่มย่อยของกลุ่ม BMS ไม่เพียงแต่การแปลงแบบลอเรนซ์เป็นการแปลงแบบสมมาตรเชิงซีมโทติกเท่านั้น แต่ยังมีการเปลี่ยนแปลงเพิ่มเติมที่ไม่ใช่การแปลงแบบลอเรนซ์แต่เป็นการแปลงสมมาตรเชิงซีมโทติกด้วย ในความเป็นจริงพวกเขาพบว่าอินฟินิตี้ที่เพิ่มขึ้นของเครื่องกำเนิดไฟฟ้าการเปลี่ยนแปลงที่รู้จักในฐานะsupertranslations นี่แสดงถึงข้อสรุปที่ว่าทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป (GR) ไม่ได้ลดลงเป็นทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษในกรณีของสนามที่อ่อนแอในระยะทางไกล ^[83]^{: 35}

เรขาคณิตรีมันเนียน

รีมันเรขาคณิตเป็นสาขาของเรขาคณิตต่างกันว่าการศึกษาmanifolds รีมัน , เรียบ manifoldsกับรีมันเมตริกเช่นกับสินค้าชั้นบนพื้นที่สัมผัสกันในแต่ละจุดที่แตกต่างกันได้อย่างราบรื่นจากจุดไปยังจุด นี้จะช่วยให้โดยเฉพาะอย่างยิ่งความคิดของท้องถิ่นมุม , ความยาวของเส้นโค้ง , พื้นที่ผิวและปริมาณ จากสิ่งเหล่านี้ ปริมาณอื่นๆ ทั่วโลกสามารถได้มาโดยการรวมการบริจาคในท้องถิ่น

เรขาคณิตของรีมันเนียนเกิดขึ้นจากวิสัยทัศน์ของ แบร์นฮาร์ด รีมันน์ที่แสดงในการบรรยายครั้งแรกของเขาว่า "Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen" ^[84] ("บนสมมติฐานที่อิงตามเรขาคณิต") มันเป็นลักษณะทั่วไปมากในวงกว้างและนามธรรมของ เรขาคณิตต่างของพื้นผิวใน R 3การพัฒนาเรขาคณิตของรีมันเนียนส่งผลให้เกิดการสังเคราะห์ผลลัพธ์ที่หลากหลายเกี่ยวกับเรขาคณิตของพื้นผิวและพฤติกรรมของ จีโอเดซิกส์บนพวกมัน ด้วยเทคนิคที่สามารถประยุกต์ใช้กับการศึกษา แมนิโฟลด์ดิฟเฟอเรนติเอเบิลของมิติที่สูงขึ้นได้ มันเปิดใช้สูตรของ Einstein 's ทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปของทำผลกระทบต่อ ทฤษฎีกลุ่มและ ทฤษฎีการแสดงเช่นเดียวกับ การวิเคราะห์และกระตุ้นการพัฒนาของ พีชคณิตและ โครงสร้างค่า

ท่อร่วมโค้ง

ด้วยเหตุผลทางกายภาพ ความต่อเนื่องของกาลอวกาศถูกกำหนดทางคณิตศาสตร์เป็นท่อร่วมลอเรนเซียนสี่มิติที่ราบรื่นและเชื่อมต่อกัน $(ม.,ก.)$ . นี่หมายถึงเมตริกลอเรนซ์ที่ราบรื่น $g$ มีลายเซ็น $(3,1)$ . เมตริกกำหนดเรขาคณิตของกาลอวกาศตลอดจนการกำหนดgeodesicsของอนุภาคและลำแสง เกี่ยวกับแต่ละจุด (เหตุการณ์) บนความหลากหลายนี้แผนภูมิพิกัดถูกใช้เพื่อเป็นตัวแทนของผู้สังเกตการณ์ในหน้าต่างอ้างอิง โดยปกติพิกัดคาร์ทีเซียน $(x,y,z,t)$ ถูกนำมาใช้ ยิ่งไปกว่านั้น เพื่อความเรียบง่าย หน่วยวัดมักจะถูกเลือกเพื่อให้ความเร็วของแสง $c$ เท่ากับ 1. ^[85]

หน้าต่างอ้างอิง (ผู้สังเกตการณ์) สามารถระบุได้ด้วยแผนภูมิพิกัดเหล่านี้ ผู้สังเกตการณ์คนใดสามารถอธิบายเหตุการณ์ใด ๆ ได้ $p$ . หน้าต่างอ้างอิงอื่นอาจถูกระบุโดยแผนภูมิพิกัดที่สองเกี่ยวกับ $p$

[1]