เอกพจน์ (คณิตศาสตร์)
ในวิชาคณิตศาสตร์เป็นเอกพจน์อยู่ในจุดทั่วไปที่วัตถุทางคณิตศาสตร์ที่ได้รับไม่ได้ถูกกำหนดหรือจุดที่วัตถุทางคณิตศาสตร์กรที่จะต้องมีความประพฤติดีในลักษณะเฉพาะบางอย่างเช่นโดยขาดอนุพันธ์หรือanalyticity [1] [2] [3] [4]
ตัวอย่างเช่นฟังก์ชันจริง
มีความเป็นเอกฐานที่ซึ่งดูเหมือนว่าจะ "ระเบิด" และด้วยเหตุนี้จึงไม่ได้กำหนดไว้ ค่าสัมบูรณ์ฟังก์ชั่นนอกจากนี้ยังมีความแปลกประหลาดที่x = 0เพราะมันไม่ได้เป็นอนุพันธ์มี [1] [5]
พีชคณิตเส้นโค้งที่กำหนดโดยในระบบพิกัดมีภาวะเอกฐาน (เรียกว่าcusp ) ที่ สำหรับเอกในพีชคณิตเรขาคณิตดูจุดเอกพจน์หลากหลายเกี่ยวกับพีชคณิต สำหรับเอกในเรขาคณิตต่างกันดูทฤษฎีภาวะเอกฐาน
วิเคราะห์จริง[ แก้ไข]
ในการวิเคราะห์จริงความเป็นเอกฐานอาจเป็นความไม่ต่อเนื่องหรือความไม่ต่อเนื่องของอนุพันธ์ (บางครั้งก็เป็นความไม่ต่อเนื่องของอนุพันธ์ลำดับที่สูงกว่าด้วย) ความไม่ต่อเนื่องมีสี่ประเภท ได้แก่ประเภท Iซึ่งมีสองประเภทย่อยและประเภทที่สองซึ่งสามารถแบ่งออกเป็นสองประเภทย่อยได้ (แม้ว่าโดยปกติจะไม่เป็นเช่นนั้นก็ตาม)
เพื่ออธิบายวิธีการทั้งสองประเภทของข้อ จำกัด ที่มีการใช้สมมติว่าเป็นหน้าที่ของอาร์กิวเมนต์จริงและคุ้มค่าของการโต้แย้งใด ๆ พูดแล้วมือซ้ายขีด จำกัด , และวงเงินขวามือ , เป็น ที่กำหนดโดย:
- , ถูก จำกัด โดยและ
- , ถูก จำกัด โดย.
ค่าคือค่าที่ฟังก์ชั่นมีแนวโน้มไปสู่การเป็นค่าแนวทางจากด้านล่างและค่าคือค่าที่ฟังก์ชั่นมีแนวโน้มไปสู่การเป็นค่าแนวทางจากข้างต้น โดยไม่คำนึงถึงมูลค่าที่แท้จริงฟังก์ชั่นได้ที่จุดที่
มีฟังก์ชันบางอย่างที่ไม่มีข้อ จำกัด เหล่านี้เลย ตัวอย่างเช่นฟังก์ชัน
ไม่มีแนวโน้มที่จะเป็นแนวทางใด ๆ ขีด จำกัด ในกรณีนี้ไม่ได้ไม่มีที่สิ้นสุด แต่ไม่ได้กำหนดไว้ : ไม่มีค่าที่กำหนดไว้ การกู้ยืมเงินจากการวิเคราะห์ที่ซับซ้อนนี้บางครั้งเรียกว่าภาวะเอกฐานที่สำคัญ
กรณีที่เป็นไปได้ที่ค่าที่กำหนดสำหรับอาร์กิวเมนต์มีดังนี้
- จุดของความต่อเนื่องเป็นมูลค่าของที่เป็นหนึ่งคาดว่าสำหรับฟังก์ชั่นได้อย่างราบรื่น ค่าทั้งหมดต้อง จำกัด ถ้าไม่ได้เป็นจุดของความต่อเนื่องแล้วไม่ต่อเนื่องที่เกิดขึ้นใน
- ประเภทที่ต่อเนื่องเกิดขึ้นเมื่อทั้งสองและอยู่และมี จำกัด แต่อย่างน้อยหนึ่งต่อไปนี้สามเงื่อนไขยังใช้:
- ;
- ไม่ได้กำหนดไว้สำหรับกรณีของ; หรือ
- มีค่าที่กำหนดไว้ซึ่งไม่ตรงกับค่าของขีด จำกัด ทั้งสอง
- ความไม่ต่อเนื่องประเภท I สามารถแยกแยะได้อีกว่าเป็นหนึ่งในประเภทย่อยต่อไปนี้:
- ความไม่ต่อเนื่องในการกระโดดเกิดขึ้นเมื่อไม่ว่าจะกำหนดไว้หรือไม่และไม่คำนึงถึงค่าของมันหากมีการกำหนดไว้
- ความไม่ต่อเนื่องแบบถอดได้เกิดขึ้นเมื่อไม่ว่าจะกำหนดไว้หรือไม่และไม่คำนึงถึงค่าหากมีการกำหนดไว้ (แต่ไม่ตรงกับขีด จำกัด ทั้งสอง)
- ความไม่ต่อเนื่องของประเภท IIเกิดขึ้นเมื่อมีหรือไม่มีอยู่ (อาจเป็นได้ทั้งสองอย่าง) สิ่งนี้มีสองประเภทย่อยซึ่งโดยปกติจะไม่ได้รับการพิจารณาแยกกัน:
- ความไม่ต่อเนื่องที่ไม่มีที่สิ้นสุดเป็นกรณีพิเศษเมื่อไม่มีขีด จำกัด ของมือซ้ายหรือมือขวาโดยเฉพาะอย่างยิ่งเพราะมันไม่มีที่สิ้นสุดและขีด จำกัด อื่น ๆ ก็ไม่สิ้นสุดเช่นกันหรือเป็นจำนวน จำกัด ที่กำหนดไว้อย่างดี ในคำอื่น ๆ ฟังก์ชั่นที่มีความต่อเนื่องไม่มีที่สิ้นสุดเมื่อของกราฟมีสิ้นสุดแนวตั้ง
- ความเป็นเอกฐานที่สำคัญคือคำที่ยืมมาจากการวิเคราะห์ที่ซับซ้อน (ดูด้านล่าง) เป็นกรณีนี้เมื่อใดคนหนึ่งหรือข้อ จำกัด อื่น ๆหรือไม่ได้อยู่ แต่ไม่ได้เพราะมันเป็นความต่อเนื่องไม่มีที่สิ้นสุด ความเป็นเอกฐานที่สำคัญไม่มีขีด จำกัด แม้ว่าจะมีการขยายคำตอบที่ถูกต้องเพื่อรวมไว้ก็ตาม
ในการวิเคราะห์จริงความเป็นเอกฐานหรือความไม่ต่อเนื่องเป็นคุณสมบัติของฟังก์ชันเพียงอย่างเดียว ความเป็นเอกฐานใด ๆ ที่อาจมีอยู่ในอนุพันธ์ของฟังก์ชันจะถือว่าเป็นของอนุพันธ์ไม่ใช่ของฟังก์ชันดั้งเดิม
เอกพจน์ของพิกัด[ แก้ไข]
ความเป็นเอกฐานของพิกัดเกิดขึ้นเมื่อความเป็นเอกฐานที่ชัดเจนหรือความไม่ต่อเนื่องเกิดขึ้นในกรอบพิกัดหนึ่งซึ่งสามารถลบออกได้โดยการเลือกเฟรมอื่น ตัวอย่างนี้เป็นความแปลกประหลาดที่เห็นได้ชัดที่ละติจูด 90 องศาในพิกัดทรงกลมวัตถุที่เคลื่อนที่ไปทางทิศเหนือเนื่องจาก (เช่นตามเส้นลองจิจูด 0 องศา) บนพื้นผิวของทรงกลมจู่ๆเส้นแวงที่ขั้วเปลี่ยนไปทันที (ในกรณีของตัวอย่างคือการกระโดดจากลองจิจูด 0 ไปยังลองจิจูด 180 องศา) . อย่างไรก็ตามความไม่ต่อเนื่องนี้เป็นที่ประจักษ์เท่านั้น มันเป็นสิ่งประดิษฐ์ของระบบพิกัดที่เลือกซึ่งเป็นเอกพจน์ที่เสา ระบบพิกัดที่แตกต่างกันจะขจัดความไม่ต่อเนื่องที่เห็นได้ชัด (เช่นโดยการแทนที่การแทนละติจูด / ลองจิจูดด้วยn - การแสดงเวกเตอร์ )
การวิเคราะห์ที่ซับซ้อน[ แก้ไข]
ในการวิเคราะห์ที่ซับซ้อนมีความเป็นเอกฐานหลายชั้น สิ่งเหล่านี้รวมถึงเอกฐานที่แยกได้เอกฐานที่ไม่แยกออกและจุดแตกแขนง
เอกพจน์ที่แยกได้[ แก้ไข]
สมมติว่ามึงเป็นเซตเปิดของที่ซับซ้อนหมายเลข Cมีจุดเป็นองค์ประกอบของUและFเป็นฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนอนุพันธ์กำหนดในบางเขตรอบไม่รวม: U \ { } แล้ว:
- จุดaคือความเป็นเอกฐานที่ถอดออกได้ของfถ้ามีฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก g ที่กำหนดไว้บนUทั้งหมดเช่นนั้นf ( z ) = g ( z ) สำหรับzทั้งหมดในU \ { a } ฟังก์ชั่นกรัมจะเปลี่ยนอย่างต่อเนื่องสำหรับฟังก์ชั่นF [6]
- จุดaคือขั้วหรือความเป็นเอกฐานที่ไม่สำคัญของf หากมีฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกg ที่กำหนดไว้บนUด้วยg ( a ) ไม่ใช่ศูนย์และจำนวนธรรมชาติ nเช่นนั้นf ( z ) = g ( z ) / ( z - a ) nสำหรับzทั้งหมดในU \ { a } จำนวนn ที่น้อยที่สุดเรียกว่าลำดับของเสา. อนุพันธ์ที่มีความเป็นเอกฐานที่ไม่สำคัญนั้นเองก็มีความเป็นเอกฐานที่ไม่จำเป็นโดยnเพิ่มขึ้น 1 (ยกเว้นถ้าnเป็น 0 เพื่อให้ความเป็นเอกฐานนั้นถอดออกได้)
- จุดaคือความเป็นเอกฐานที่สำคัญของfถ้าไม่ใช่ทั้งเอกฐานที่ถอดออกได้หรือมีขั้ว จุดเป็นเอกพจน์ที่สำคัญถ้าหากชุด Laurentมีพลังหลายอย่างมากมายในระดับเชิงลบ [2]
ความเป็นเอกฐานที่ไม่แยกได้[ แก้ไข]
นอกเหนือจากความเป็นเอกฐานที่แยกได้แล้วฟังก์ชันที่ซับซ้อนของตัวแปรหนึ่งตัวอาจแสดงพฤติกรรมเอกพจน์อื่น ๆ สิ่งเหล่านี้เรียกว่าเอกพจน์แบบไม่แยกซึ่งมีสองประเภท:
- จุดคลัสเตอร์ : จำกัด จุดของเอกฐานที่แยกได้ หากพวกเขาเป็นเสาทั้งหมดแม้ว่าจะยอมรับการขยายซีรีส์ของ Laurentในแต่ละชุดแต่ก็ไม่มีการขยายตัวดังกล่าวที่ขีด จำกัด
- ขอบเขตธรรมชาติ : เซตที่ไม่แยกใด ๆ (เช่นเส้นโค้ง) ซึ่งฟังก์ชันไม่สามารถวิเคราะห์ต่อไปรอบ ๆ ได้ (หรืออยู่นอกพวกเขาหากเป็นเส้นโค้งปิดในทรงกลม Riemann )
คะแนนสาขา[ แก้ไข]
คะแนนสาขาโดยทั่วไปเป็นผลมาจากฟังก์ชันที่มีหลายค่าเช่นหรือซึ่งกำหนดไว้ภายในโดเมนที่ จำกัด เพื่อให้ฟังก์ชันสามารถสร้างมูลค่าเดียวภายในโดเมนได้ การตัดคือเส้นหรือเส้นโค้งที่แยกออกจากโดเมนเพื่อแนะนำการแยกทางเทคนิคระหว่างค่าที่ไม่ต่อเนื่องของฟังก์ชัน เมื่อจำเป็นต้องใช้การตัดอย่างแท้จริงฟังก์ชันจะมีค่าที่แตกต่างกันอย่างชัดเจนในแต่ละด้านของการตัดกิ่ง รูปร่างของการตัดกิ่งเป็นเรื่องของทางเลือกแม้ว่าจะต้องเชื่อมต่อจุดกิ่งไม้ที่แตกต่างกันสองจุด (เช่นและสำหรับ) ซึ่งได้รับการแก้ไขในสถานที่
ความเป็นเอกฐานเวลา จำกัด[ แก้ไข]
ความเป็นเอกฐานเวลา จำกัดเกิดขึ้นเมื่อตัวแปรอินพุตหนึ่งตัวคือเวลาและตัวแปรเอาต์พุตจะเพิ่มขึ้นเป็นอนันต์ในเวลาที่ จำกัด สิ่งเหล่านี้มีความสำคัญในจลนศาสตร์และ PDE ( สมการเชิงอนุพันธ์ย่อย ) ไม่ได้เกิดขึ้นทางร่างกาย แต่พฤติกรรมที่อยู่ใกล้ความเป็นเอกฐานมักเป็นที่สนใจ ในทางคณิตศาสตร์ความเป็นเอกฐานเวลา จำกัด ที่ง่ายที่สุดคือกฎแห่งอำนาจสำหรับเลขชี้กำลังต่างๆของรูปแบบที่ง่ายที่สุดคือการเติบโตแบบไฮเพอร์โบลิกโดยเลขชี้กำลังคือ (ลบ) 1: แม่นยำยิ่งขึ้นเพื่อให้ได้ค่าเอกพจน์ในเวลาบวกเมื่อเวลาก้าวหน้า ( ดังนั้นผลลัพธ์จึงเพิ่มขึ้นเป็นอนันต์) หนึ่งแทนใช้(โดยใช้tสำหรับเวลากลับทิศทางเพื่อให้เวลาเพิ่มขึ้นเป็นอนันต์และเปลี่ยนค่าเอกฐานไปข้างหน้าจาก 0 เป็นเวลาคงที่)
ตัวอย่างเช่นการกระดอนของลูกบอลที่ไม่ยืดหยุ่นบนระนาบ หากพิจารณาการเคลื่อนที่ในอุดมคติซึ่งพลังงานจลน์ที่เท่ากันจะสูญเสียไปในการตีกลับแต่ละครั้งความถี่ของการตีกลับจะไม่มีที่สิ้นสุดเมื่อลูกบอลหยุดนิ่งในเวลาที่ จำกัด ตัวอย่างอื่น ๆ ของเอกพจน์เวลา จำกัด ได้แก่ รูปแบบต่างๆของPainlevé paradox (เช่นแนวโน้มของชอล์คที่จะข้ามเมื่อลากผ่านกระดานดำ) และอัตราการหมุนของเหรียญที่หมุนบนพื้นผิวเรียบจะเร่งความเร็วไปยังอนันต์ได้อย่างไร - ก่อนที่จะหยุดกะทันหัน (ตามที่ศึกษาโดยใช้ของเล่นดิสก์ของออยเลอร์ )
ตัวอย่างสมมุติฐาน ได้แก่" สมการโลกาวินาศ " ของHeinz von Foerster (แบบจำลองที่เรียบง่ายให้จำนวนประชากรมนุษย์ไม่สิ้นสุดในเวลา จำกัด )
เรขาคณิตพีชคณิตและพีชคณิตสับเปลี่ยน[ แก้ไข]
ในเรขาคณิตเชิงพีชคณิตความเป็นเอกฐานของความหลากหลายทางพีชคณิตคือจุดของความหลากหลายที่อาจไม่ได้กำหนดพื้นที่สัมผัสเป็นประจำ ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดของเอกพจน์คือเส้นโค้งที่ข้ามตัวเอง แต่มีชนิดอื่น ๆ ของเอกเช่นcusps ยกตัวอย่างเช่นสมการY 2 - x 3 = 0กำหนดเส้นโค้งที่มียอดที่แหล่งกำเนิดx = Y = 0 เราสามารถกำหนดx -axis เป็นแทนเจนต์ ณ จุดนี้ได้ แต่นิยามนี้ไม่สามารถเหมือนกับนิยามที่จุดอื่น ๆ อันที่จริงในกรณีนี้x- แกนคือ "สัมผัสคู่"
สำหรับพันธุ์AffineและProjectiveค่าเอกพจน์คือจุดที่เมทริกซ์จาโคเบียนมีอันดับที่ต่ำกว่าจุดอื่น ๆ ของความหลากหลาย
ความหมายเทียบเท่าในแง่ของพีชคณิตสับเปลี่ยนอาจจะได้รับซึ่งขยายไปถึงสายพันธุ์ที่เป็นนามธรรมและรูปแบบ : จุดเป็นเอกพจน์ถ้าแหวนท้องถิ่นที่จุดนี้ไม่ได้เป็นแหวนประจำท้องถิ่น
ดูเพิ่มเติม[ แก้ไข]
- ทฤษฎีวิบัติ
- กำหนดและไม่ได้กำหนด
- ความเสื่อม (คณิตศาสตร์)
- การหารด้วยศูนย์
- การเติบโตของไฮเพอร์โบลิก
- พยาธิวิทยา (คณิตศาสตร์)
- วิธีแก้ปัญหาเอกพจน์
- ความเป็นเอกฐานที่ถอดออกได้
อ้างอิง[ แก้ไข]
- ^ ข "แตกหักคำศัพท์อุดมศึกษาคณิตศาสตร์ศัพท์แสง - เอกพจน์" คณิตศาสตร์ห้องนิรภัย 2019-08-01 . สืบค้นเมื่อ2019-12-12 .
- ^ ข "เอก, ศูนย์และเสา" mathfaculty.fullerton.edu สืบค้นเมื่อ2019-12-12 .
- ^ "เอกพจน์ | การทำงานที่ซับซ้อน" สารานุกรมบริแทนนิกา. สืบค้นเมื่อ2019-12-12 .
- ^ "เอกพจน์ (คณิตศาสตร์)" TheFreeDictionary.com . สืบค้นเมื่อ2019-12-12 .
- ^ Berresford เจฟฟรีย์ C .; Rockett, Andrew M. (2015). แคลคูลัสประยุกต์ . การเรียนรู้ Cengage หน้า 151. ISBN 978-1-305-46505-3.
- ^ Weisstein, Eric W. "Singularity" . mathworld.wolfram.com . สืบค้นเมื่อ2019-12-12 .