กฎการอนุมาน

กฎของการอนุมาน , กฎการอนุมานหรือกฎการเปลี่ยนแปลงเป็นตรรกะแบบประกอบด้วยฟังก์ชั่นซึ่งจะใช้เวลาสถานที่การวิเคราะห์ของพวกเขาไวยากรณ์และผลตอบแทนที่ได้ข้อสรุป (หรือข้อสรุป ) ตัวอย่างเช่นกฎของการอนุมานที่เรียกว่าmodus ponensใช้สองสถานที่หนึ่งในรูปแบบ "ถ้า p แล้ว q" และอีกที่หนึ่งในรูป "p" และส่งกลับข้อสรุป "q" กฎนี้ใช้ได้เมื่อเทียบกับความหมายของตรรกะคลาสสิก (เช่นเดียวกับความหมายของตรรกะอื่น ๆ ที่ไม่ใช่คลาสสิก ) ในแง่ที่ว่าถ้าสถานที่นั้นเป็นจริง (ภายใต้การตีความ) ดังนั้นข้อสรุปก็เป็นเช่นนั้น

โดยทั่วไปกฎของการอนุมานจะรักษาความจริงไว้ซึ่งเป็นคุณสมบัติทางความหมาย ในตรรกะที่มีมูลค่ามากมายจะรักษาการกำหนดทั่วไป แต่กฎของการกระทำของการอนุมานเป็นรูปแบบวากยสัมพันธ์ล้วนๆและไม่จำเป็นต้องรักษาคุณสมบัติทางความหมายใด ๆ : ฟังก์ชันใด ๆ จากชุดของสูตรไปจนถึงสูตรจะนับเป็นกฎของการอนุมาน โดยปกติกฎที่เรียกซ้ำเท่านั้นที่มีความสำคัญ นั่นคือกฎที่มีขั้นตอนที่มีประสิทธิภาพในการพิจารณาว่าสูตรใดที่กำหนดเป็นข้อสรุปของชุดสูตรที่กำหนดตามกฎ ตัวอย่างของกฎที่ไม่ได้มีประสิทธิภาพในความรู้สึกนี้เป็น infinitary ωกฎ ^[1]

กฎระเบียบที่เป็นที่นิยมของการอนุมานในตรรกะประพจน์รวมถึงวิธี ponens , tollens วิธีการทำงานและcontraposition ลำดับแรกตรรกะกริยาใช้กฎของการอนุมานที่จะจัดการกับปริมาณตรรกะ

แบบฟอร์มมาตรฐาน

ในตรรกะที่เป็นทางการ (และหลาย ๆ ส่วนที่เกี่ยวข้อง) กฎของการอนุมานมักจะได้รับในรูปแบบมาตรฐานต่อไปนี้:

  สถานที่ตั้ง # 1
  สถานที่ตั้ง # 2
        ...
  สถานที่ # n
  บทสรุป

นิพจน์นี้ระบุว่าเมื่อใดก็ตามที่ได้รับมาจากสถานที่ที่กำหนดไว้ในระหว่างการหาที่มาทางตรรกะบางส่วนสามารถใช้ข้อสรุปที่ระบุได้เช่นกัน ภาษาที่เป็นทางการแน่นอนที่ใช้เพื่ออธิบายทั้งสถานที่และข้อสรุปขึ้นอยู่กับบริบทที่แท้จริงของการหามา ในกรณีง่ายๆอาจใช้สูตรตรรกะเช่นใน:

{\ displaystyle A \ ถึง B}

{\ displaystyle {\ ขีดเส้นใต้ {A \ quad \ quad \ quad}} \, \!}

{\ displaystyle B \!}

นี่คือวิธี ponensกฎของแคลคูลัสเชิงประพจน์ กฎของการอนุมานมักจะเป็นสูตรที่เป็นschemataจ้างmetavariables ^[2]ในกฎ (สคีมา) ข้างต้น metavariables A และ B สามารถสร้างอินสแตนซ์ให้กับองค์ประกอบใด ๆ ของจักรวาล (หรือบางครั้งตามอนุสัญญาชุดย่อยที่ จำกัด เช่นประพจน์ ) เพื่อสร้างชุดกฎการอนุมานที่ไม่สิ้นสุด

ระบบหลักฐานถูกสร้างมาจากชุดของกฎที่ถูกล่ามโซ่ด้วยกันเพื่อพิสูจน์รูปแบบที่เรียกว่าการพิสูจน์ การได้มาใด ๆ มีข้อสรุปสุดท้ายเพียงข้อเดียวซึ่งเป็นข้อความที่พิสูจน์แล้วหรือได้มา หากสถานที่ไม่เป็นที่พอใจในการได้มาการได้มานั้นเป็นข้อพิสูจน์ของคำแถลงสมมุติ : " ถ้าสถานที่นั้นมีอยู่ผลสรุปก็จะมีขึ้น"

ตัวอย่าง: ระบบฮิลเบิร์ตสำหรับตรรกศาสตร์สองเชิง

ในระบบฮิลเบิร์ตสถานที่และข้อสรุปของกฎการอนุมานเป็นเพียงสูตรของบางภาษาโดยปกติจะใช้ metavariables เพื่อความกะทัดรัดเชิงกราฟิกของงานนำเสนอและเพื่อเน้นความแตกต่างระหว่างสัจพจน์และกฎของการอนุมานส่วนนี้ใช้สัญกรณ์ลำดับ ( ${\ displaystyle \ vdash}$ ) แทนการนำเสนอกฎในแนวตั้ง

ภาษาที่เป็นทางการสำหรับตรรกศาสตร์เชิงประพจน์แบบคลาสสิกสามารถแสดงได้โดยใช้เพียงการปฏิเสธ (,) การแสดงนัย (→) และสัญลักษณ์เชิงประพจน์ Axiomatization ที่รู้จักกันดีซึ่งประกอบด้วยแผนผังความจริงสามแบบและกฎการอนุมานหนึ่งข้อ ( modus ponens ) คือ:

(CA1) ⊢ A → ( B → A ) 
(CA2) ⊢ ( A → ( B → C )) → (( A → B ) → ( A → C )) 
(CA3) ⊢ (¬ A →¬ B ) → ( B → A ) 
(MP) A , A → B ⊢ B

อาจดูเหมือนซ้ำซ้อนที่จะมีการอนุมานสองแนวคิดในกรณีนี้คือ⊢และ→ ในตรรกศาสตร์เชิงประพจน์คลาสสิกมันตรงกัน หักทฤษฎีบทระบุว่า⊢ Bถ้าหาก⊢ → B อย่างไรก็ตามมีความแตกต่างที่ควรเน้นแม้ในกรณีนี้: สัญกรณ์แรกอธิบายการหักซึ่งเป็นกิจกรรมของการส่งผ่านจากประโยคไปยังประโยคในขณะที่A → Bเป็นเพียงสูตรที่สร้างขึ้นโดยมีความสัมพันธ์เชิงตรรกะโดยนัยในกรณีนี้ หากไม่มีกฎการอนุมาน (เช่นmodus ponensในกรณีนี้) จะไม่มีการหักหรืออนุมาน ประเด็นนี้แสดงให้เห็นในบทสนทนาของLewis Carrollที่เรียกว่า " What the Tortoise Said to Achilles ", ^[3]เช่นเดียวกับความพยายามในภายหลังของBertrand Russell และ Peter Winchในการแก้ไขความขัดแย้งที่เกิดขึ้นในบทสนทนา

สำหรับตรรกศาสตร์ที่ไม่ใช่คลาสสิกบางอย่างทฤษฎีบทการหักไม่ได้ถือไว้ ตัวอย่างเช่นตรรกะสามค่าของŁukasiewiczสามารถทำให้เป็นจริงได้ดังนี้: ^[4]

(CA1) ⊢ A → ( B → A ) 
(LA2) ⊢ ( A → B ) → (( B → C ) → ( A → C )) 
(CA3) ⊢ (¬ A →¬ B ) → ( B → A ) 
(LA4) ⊢ (( A →¬ A ) → A ) → A

(MP) A , A → B ⊢ B

ลำดับนี้แตกต่างจากตรรกะคลาสสิกโดยการเปลี่ยนแปลงในสัจพจน์ 2 และการเพิ่มสัจพจน์ 4 ทฤษฎีบทการหักแบบคลาสสิกไม่ถือสำหรับตรรกะนี้อย่างไรก็ตามรูปแบบที่แก้ไขจะถือไว้คือA ⊢ Bถ้าและเฉพาะในกรณีที่⊢ A → ( A → B ) ^[5]

การยอมรับและการสืบทอด

อยู่ในชุดของกฎกฎการอนุมานอาจจะซ้ำซ้อนในแง่ที่ว่ามันเป็นที่ยอมรับหรือได้มา กฎที่เป็นไปได้คือกฎที่สามารถหาข้อสรุปได้จากสถานที่ของมันโดยใช้กฎอื่น ๆ กฎที่ยอมรับได้คือกฎที่มีข้อสรุปเมื่อใดก็ตามที่สถานที่นั้นมีอยู่ ยอมรับกฎที่เป็นไปได้ทั้งหมด เพื่อชื่นชมความแตกต่างให้พิจารณาชุดของกฎต่อไปนี้เพื่อกำหนดจำนวนธรรมชาติ (การตัดสิน ${\ displaystyle n \, \, {\ mathsf {nat}}}$ ยืนยันความจริงที่ว่า ${\ displaystyle n}$ เป็นจำนวนธรรมชาติ):

{\ displaystyle {\ begin {matrix} {\ frac {} {\ mathbf {0} \, \, {\ mathsf {nat}}}} & {\ frac {n \, \, {\ mathsf {nat}} } {\ mathbf {s (} n \ mathbf {)} \, \, {\ mathsf {nat}}}} \\\ end {matrix}}}

กฎข้อแรกระบุว่า0เป็นจำนวนธรรมชาติและข้อที่สองระบุว่าs (n)เป็นจำนวนธรรมชาติถ้าnเป็น ในระบบการพิสูจน์นี้กฎต่อไปนี้ที่แสดงให้เห็นว่าผู้สืบทอดลำดับที่สองของจำนวนธรรมชาตินั้นเป็นจำนวนธรรมชาติด้วยเช่นกัน

{\ displaystyle {\ frac {n \, \, {\ mathsf {nat}}} {\ mathbf {s (s (} n \ mathbf {))} \, \, {\ mathsf {nat}}}}}

ที่มาของมันคือองค์ประกอบของการใช้สองประการของกฎผู้สืบทอดข้างต้น กฎต่อไปนี้สำหรับการยืนยันการมีอยู่ของรุ่นก่อนสำหรับหมายเลขที่ไม่ใช่ศูนย์เป็นเพียงสิ่งที่ยอมรับได้:

{\ displaystyle {\ frac {\ mathbf {s (} n \ mathbf {)} \, \, {\ mathsf {nat}}} {n \, \, {\ mathsf {nat}}}}}

นี่คือความจริงที่แท้จริงของจำนวนธรรมชาติที่สามารถพิสูจน์โดยการเหนี่ยวนำ (เพื่อพิสูจน์ว่ากฎนี้ยอมรับได้ให้สมมติว่าเป็นที่มาของหลักฐานและอุปนัยเพื่อสร้างที่มาของ ${\ displaystyle n \, \, {\ mathsf {nat}}}$ .) อย่างไรก็ตามมันไม่สามารถหาค่าได้เพราะมันขึ้นอยู่กับโครงสร้างของการได้มาของหลักฐาน ด้วยเหตุนี้ความสามารถในการอนุพันธ์จึงมีเสถียรภาพภายใต้การเพิ่มเติมของระบบการพิสูจน์ในขณะที่ความสามารถในการยอมรับไม่ได้ หากต้องการดูความแตกต่างสมมติว่ามีการเพิ่มกฎไร้สาระต่อไปนี้ในระบบการพิสูจน์:

{\ displaystyle {\ frac {} {\ mathbf {s (-3)} \, \, {\ mathsf {nat}}}}}

ในระบบใหม่นี้กฎการสืบต่อสองครั้งยังคงเป็นไปได้ อย่างไรก็ตามกฎสำหรับการค้นหาบรรพบุรุษไม่สามารถยอมรับได้อีกต่อไปเนื่องจากไม่มีทางที่จะได้รับ ${\ displaystyle \ mathbf {-3} \, \, {\ mathsf {nat}}}$ . ความเปราะบางของการยอมรับได้มาจากวิธีการพิสูจน์: เนื่องจากการพิสูจน์สามารถเหนี่ยวนำโครงสร้างของที่มาของสถานที่ได้การขยายไปยังระบบจึงเพิ่มกรณีใหม่ในการพิสูจน์นี้ซึ่งอาจไม่สามารถระงับได้อีกต่อไป

กฎที่ยอมรับได้อาจถือได้ว่าเป็นทฤษฎีของระบบการพิสูจน์ ตัวอย่างเช่นในแคลคูลัสต่อเนื่องที่มีการกำจัดการตัดอยู่สามารถยอมรับกฎการตัดได้

ดูสิ่งนี้ด้วย

รูปแบบการโต้แย้ง
การอนุมานทันที
การคัดค้านการอนุมาน
กฎแห่งความคิด
รายการกฎของการอนุมาน
ความจริงเชิงตรรกะ
กฎโครงสร้าง

อ้างอิง

^ บูลอสจอร์จ; เบอร์เกส, จอห์น; เจฟฟรีย์, Richard C. (2007). การคำนวณและตรรกะ Cambridge: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ น. 364 . ISBN 0-521-87752-0.
^ จอห์นซี. เรย์โนลด์ส (2552) [2541]. ทฤษฎีภาษาโปรแกรม . สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ น. 12. ISBN 978-0-521-10697-9.
^ คอสตาโดเซน (2539). "ผลลัพธ์เชิงตรรกะ: เปลี่ยนสไตล์" ในMaria Luisa Dalla Chiara ; Kees Doets; ดานิเอเล่มุนดิซี; Johan van Benthem (eds.) ลอจิกและวิธีการทางวิทยาศาสตร์: เล่มหนึ่งในสิบของการประชุมนานาชาติลอจิกวิธีการและปรัชญาของวิทยาศาสตร์, ฟลอเรนซ์, สิงหาคม 1995 สปริงเกอร์. น. 290. ISBN 978-0-7923-4383-7. พิมพ์ล่วงหน้า (มีการแบ่งหน้าต่างกัน)
^ Bergmann, Merrie (2008). ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับตรรกะหลายมูลค่าและคลุมเครือ: ความหมายจีบราส์และระบบรากศัพท์ สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ น. 100 . ISBN 978-0-521-88128-9.
^ Bergmann, Merrie (2008). ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับตรรกะหลายมูลค่าและคลุมเครือ: ความหมายจีบราส์และระบบรากศัพท์ สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ น. 114 . ISBN 978-0-521-88128-9.

[1] บูลอสจอร์จ; เบอร์เกส, จอห์น; เจฟฟรีย์, Richard C. (2007). การคำนวณและตรรกะ Cambridge: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ น. 364 . ISBN 0-521-87752-0.

[Reynolds2009-2] จอห์นซี. เรย์โนลด์ส (2552) [2541]. ทฤษฎีภาษาโปรแกรม . สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ น. 12. ISBN 978-0-521-10697-9.

[ChiaraDoets1996-3] คอสตาโดเซน (2539). "ผลลัพธ์เชิงตรรกะ: เปลี่ยนสไตล์" ในMaria Luisa Dalla Chiara ; Kees Doets; ดานิเอเล่มุนดิซี; Johan van Benthem (eds.) ลอจิกและวิธีการทางวิทยาศาสตร์: เล่มหนึ่งในสิบของการประชุมนานาชาติลอจิกวิธีการและปรัชญาของวิทยาศาสตร์, ฟลอเรนซ์, สิงหาคม 1995 สปริงเกอร์. น. 290. ISBN 978-0-7923-4383-7. พิมพ์ล่วงหน้า (มีการแบ่งหน้าต่างกัน)

[4] Bergmann, Merrie (2008). ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับตรรกะหลายมูลค่าและคลุมเครือ: ความหมายจีบราส์และระบบรากศัพท์ สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ น. 100 . ISBN 978-0-521-88128-9.

[5] Bergmann, Merrie (2008). ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับตรรกะหลายมูลค่าและคลุมเครือ: ความหมายจีบราส์และระบบรากศัพท์ สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ น. 114 . ISBN 978-0-521-88128-9.

[1]