ทศนิยมซ้ำ

ซ้ำทศนิยมหรือทศนิยมที่เกิดขึ้นคือการแสดงทศนิยมของตัวเลขที่มีตัวเลขเป็นระยะ ๆ (ซ้ำค่าของมันในช่วงเวลาปกติ) และอนันต์ส่วนซ้ำไม่ได้เป็นศูนย์ สามารถแสดงให้เห็นว่าตัวเลขมีเหตุผลก็ต่อเมื่อการแทนค่าทศนิยมซ้ำหรือสิ้นสุด (กล่าวคือทั้งหมดยกเว้นตัวเลขจำนวนมากที่แน่นอนเป็นศูนย์) ตัวอย่างเช่นการแทนค่าทศนิยมของ1/3กลายเป็นคาบหลังจุดทศนิยมซ้ำเลขหลักเดียว "3" ตลอดไปคือ 0.333 .... ตัวอย่างที่ซับซ้อนกว่านั้นคือ 3227/555ซึ่งทศนิยมจะกลายเป็นคาบที่เลขหลักที่สองตามหลังจุดทศนิยมแล้วทำซ้ำลำดับ "144" ตลอดไปคือ 5.8144144144 .... ในปัจจุบันไม่มีสัญกรณ์หรือวลีที่เป็นที่ยอมรับในระดับสากลเพียงตัวเดียวสำหรับการกำหนดทศนิยมซ้ำ

ลำดับหลักซ้ำแล้วซ้ำอีกเพียบเรียกว่าrepetendหรือreptend ถ้าการทำซ้ำเป็นศูนย์การแทนค่าทศนิยมนี้เรียกว่าการยุติทศนิยมแทนที่จะเป็นทศนิยมซ้ำเนื่องจากสามารถละเว้นศูนย์ได้และทศนิยมจะสิ้นสุดก่อนเลขศูนย์เหล่านี้ ^[1]ทุกการยุติการแทนทศนิยมสามารถเขียนเป็นเศษส่วนทศนิยมได้เศษส่วนที่มีตัวส่วนเป็นเลขยกกำลัง 10 (เช่น1.585 = พ.ศ. 2128/1,000); นอกจากนี้ยังอาจเขียนเป็นอัตราส่วนของแบบฟอร์ม k/2 ⁿ 5 ^เมตร(เช่น1.585 = 317/2 ³ 5 ²). อย่างไรก็ตามทุกหมายเลขมีการยกเลิกการแสดงทศนิยมยังนิด ๆ มีสองทางเลือกการแสดงเป็นทศนิยมซ้ำซึ่ง repetend เป็นหลัก9 สิ่งนี้ได้มาจากการลดตัวเลขสุดท้าย (ขวาสุด) ที่ไม่ใช่ศูนย์ลงหนึ่งตัวและต่อท้ายการทำซ้ำด้วย 9. 1.000 ... = 0.999 ...และ1.585000 ... = 1.584999 ...เป็นสองตัวอย่างของสิ่งนี้ (ชนิดของทศนิยมซ้ำนี้สามารถรับได้โดยการหารยาวหากใช้รูปแบบการแก้ไขตามปกติขั้นตอนวิธีการแบ่ง . ^[2] )

หมายเลขใด ๆ ที่ไม่สามารถแสดงเป็นอัตราส่วนของทั้งสองจำนวนเต็มกล่าวจะไม่มีเหตุผล การแทนค่าทศนิยมของพวกเขาจะไม่ยุติหรือซ้ำไม่สิ้นสุด แต่จะขยายตลอดไปโดยไม่มีการทำซ้ำอย่างสม่ำเสมอ ตัวอย่างของตัวเลขไม่ลงตัวเช่นเป็นรากที่สองของ 2และπ

พื้นหลัง

สัญกรณ์

มีรูปแบบการสัญกรณ์หลายประการสำหรับการแทนทศนิยมที่ซ้ำกัน ไม่มีใครได้รับการยอมรับในระดับสากล

ในประเทศสหรัฐอเมริกา , แคนาดา , อินเดีย , ฝรั่งเศส , เยอรมนี , วิตเซอร์แลนด์ , เช็กและสโลวาเกียประชุมคือการวาดเส้นแนวนอน (กvinculum ) เหนือ repetend (ดูตัวอย่างในตารางด้านล่างคอลัมน์ Vinculum)
ในสหราชอาณาจักร , นิวซีแลนด์ , ออสเตรเลีย , เกาหลีใต้และจีนแผ่นดินใหญ่ , การประชุมคือการวางจุดที่อยู่บนเลขนอกสุดของ repetend (ดูตัวอย่างในตารางด้านล่างคอลัมน์ Dots)
ในส่วนของยุโรป , เวียดนามและรัสเซียประชุมคือการใส่ repetend ในวงเล็บ (ดูตัวอย่างในตารางด้านล่างวงเล็บคอลัมน์.) ซึ่งอาจทำให้เกิดความสับสนกับสัญกรณ์สำหรับความไม่แน่นอนมาตรฐาน
ในสเปนและบางประเทศในละตินอเมริกายังใช้สัญกรณ์อาร์กเหนือการทำซ้ำเป็นทางเลือกแทน vinculum และสัญกรณ์จุด (ดูตัวอย่างในตารางด้านล่างคอลัมน์ Arc)
โดยไม่เป็นทางการทศนิยมที่ซ้ำกันมักจะแสดงด้วยจุดไข่ปลา (สามช่วงเวลา 0.333 ... ) โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อมีการสอนการประชุมเชิงสัญกรณ์ก่อนหน้านี้ในโรงเรียน ความไม่แน่นอนนี้สัญกรณ์เปิดตัวเป็นที่ตัวเลขควรจะซ้ำและแม้กระทั่งว่าการทำซ้ำที่เกิดขึ้นทั้งหมดตั้งแต่จุดดังกล่าวยังมีการจ้างงานสำหรับตัวเลขไม่ลงตัว ; ตัวอย่างเช่น $π$ สามารถแสดงเป็น 3.14159 ....

ตัวอย่าง
เศษส่วน	Vinculum	จุด	วงเล็บ	อาร์ค	จุดไข่ปลา
1/9	0. 1	${\ displaystyle 0. {\ dot {1}}}$	0. (1)	${\ displaystyle 0. {\ overset {\ frown} {1}}}$	0.111 ...
1/3 = 3/9	0. 3	${\ displaystyle 0. {\ dot {3}}}$	0. (3)	${\ displaystyle 0. {\ overset {\ frown} {3}}}$	0.333 ...
2/3 = 6/9	0. 6	${\ displaystyle 0. {\ dot {6}}}$	0. (6)	${\ displaystyle 0. {\ overset {\ frown} {6}}}$	0.666 ...
9/11 = 81/99	0. 81	${\ displaystyle 0. {\ dot {8}} {\ dot {1}}}$	0. (81)	${\ displaystyle 0. {\ overset {\ frown} {81}}}$	0.8181 ...
7/12 = 525/900	0.58 3	${\ displaystyle 0.58 {\ dot {3}}}$	0.58 (3)	${\ displaystyle 0.58 {\ overset {\ frown} {3}}}$	0.58 333 ...
1/7 = 142857/999999	0. 142857	${\ displaystyle 0. {\ dot {1}} 4285 {\ dot {7}}}$	0. (142857)	^[3]	0.142857 142857 ...
1/81 = 12345679/999999999	0. 012345679	${\ displaystyle 0. {\ dot {0}} 1234567 {\ dot {9}}}$	0. (012345679)	^[3]	0.012345679 012345679 ...
22/7 = 3142854/999999	3. 142857	${\ displaystyle 3. {\ dot {1}} 4285 {\ dot {7}}}$	3. (142857)	^[3]	3.142857 142857 ...

ในภาษาอังกฤษมีหลายวิธีในการอ่านออกเสียงทศนิยมซ้ำ ตัวอย่างเช่น 1.2 34อาจอ่านว่า "หนึ่งจุดสองซ้ำสามสี่" "หนึ่งจุดสองซ้ำสามสี่" "หนึ่งจุดสองซ้ำสามสี่" "หนึ่งจุดสองซ้ำสามสี่" หรือ "หนึ่งจุดสองเป็นอินฟินิตี้ สามสี่".

การขยายทศนิยมและลำดับการเกิดซ้ำ

เพื่อที่จะแปลงจำนวนจริงแสดงเป็นส่วนในรูปแบบทศนิยมหนึ่งอาจจะใช้หารยาว ตัวอย่างเช่นพิจารณาจำนวนตรรกยะ 5/74:

  0.0 675 74) 5.00000 4.44 560 518 420 370 500

ฯลฯ สังเกตว่าในแต่ละขั้นตอนเรามีส่วนที่เหลืออยู่ ส่วนที่เหลือต่อเนื่องที่แสดงด้านบนคือ 56, 42, 50 เมื่อเรามาถึงที่ 50 เป็นส่วนที่เหลือและนำ "0" ลงมาเราพบว่าตัวเองหาร 500 ด้วย 74 ซึ่งเป็นปัญหาเดียวกับที่เราเริ่มต้น ดังนั้นทศนิยมซ้ำ: 0.0675 675 675 ....

ทุกจำนวนที่มีเหตุผลเป็นทศนิยมที่ยุติหรือซ้ำกัน

สำหรับตัวหารที่กำหนดสามารถเกิดขึ้นได้เฉพาะส่วนที่เหลือที่แตกต่างกันจำนวนมากเท่านั้น ในตัวอย่างข้างต้น 74 ส่วนที่เหลือที่เป็นไปได้คือ 0, 1, 2, ... , 73 ถ้า ณ จุดใด ๆ ในการหารเศษเหลือเป็น 0 การขยายจะสิ้นสุดที่จุดนั้น จากนั้นความยาวของการทำซ้ำหรือที่เรียกว่า "ระยะเวลา" จะถูกกำหนดให้เป็น 0

ถ้า 0 ไม่เคยเกิดขึ้นเป็นส่วนที่เหลือกระบวนการหารจะดำเนินต่อไปตลอดกาลและในที่สุดส่วนที่เหลือจะต้องเกิดขึ้นก่อน ขั้นตอนต่อไปในการหารจะให้เลขโดดใหม่เดียวกันในผลหารและเศษใหม่ที่เหลือเหมือนครั้งก่อนส่วนที่เหลือเท่ากัน ดังนั้นการหารต่อไปนี้จะทำซ้ำผลลัพธ์เดียวกัน ลำดับของตัวเลขที่ซ้ำกันเรียกว่า "repetend" ซึ่งมีความยาวที่แน่นอนมากกว่า 0 เรียกอีกอย่างว่า "จุด" ^[4]

ทศนิยมที่ซ้ำหรือยุติทุกครั้งเป็นตัวเลขที่มีเหตุผล

เลขฐานสิบที่ซ้ำกันแต่ละตัวจะเป็นไปตามสมการเชิงเส้นที่มีสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มและวิธีแก้ปัญหาเฉพาะของมันคือจำนวนตรรกยะ เพื่อแสดงจุดหลังจำนวนα = 5.8144144144 ...ด้านบนตรงตามสมการ10,000 α - 10 α = 58144.144144 ... - 58.144144 ... = 58086ซึ่งคำตอบคือα = 58086/9990 = 3227/555. กระบวนการของวิธีการหาค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มเหล่านี้อธิบายไว้ด้านล่าง

ตารางค่า

เศษส่วน	การขยายทศนิยม	ℓ ₁₀
1/2	0.5	0
1/3	0. 3	1
1/4	0.25	0
1/5	0.2	0
1/6	0.1 6	1
1/7	0. 142857	6
1/8	0.125	0
1/9	0. 1	1
1/10	0.1	0
1/11	0. 09	2
1/12	0.08 3	1
1/13	0. 076923	6
1/14	0.0 714285	6
1/15	0.0 6	1
1/16	0.0625	0

เศษส่วน	การขยายทศนิยม	ℓ ₁₀
1/17	0. 0588235294117647	16
1/18	0.0 5	1
1/19	0. 052631578947368421	18
1/20	0.05	0
1/21	0. 047619	6
1/22	0.0 45	2
1/23	0. 0434782608695652173913	22
1/24	0.041 6	1
1/25	0.04	0
1/26	0.0 384615	6
1/27	0. 037	3
1/28	0.03 571428	6
1/29	0. 0344827586206896551724137931	28
1/30	0.0 3	1
1/31	0. 032258064516129	15

เศษส่วน	การขยายทศนิยม	ℓ ₁₀
1/32	0.03125	0
1/33	0. 03	2
1/34	0.0 2941176470588235	16
1/35	0.0 285714	6
1/36	0.02 7	1
1/37	0. 027	3
1/38	0.0 263157894736842105	18
1/39	0. 025641	6
1/40	0.025	0
1/41	0. 02439	5
1/42	0.0 238095	6
1/43	0. 023255813953488372093	21
1/44	0.02 27	2
1/45	0.0 2	1
1/46	0.0 2173913043478260869565	22

เศษส่วนจึงเป็นเศษส่วนของหน่วย1/nและℓ ₁₀คือความยาวของการทำซ้ำ (ทศนิยม)

ความยาวของการทำซ้ำของ 1/n, n = 1, 2, 3, ... คือ:

0, 0, 1, 0, 0, 1, 6, 0, 1, 0, 2, 1, 6, 6, 1, 0, 16, 1, 18, 0, 6, 2, 22, 1, 0, 6, 3, 6, 28, 1, 15, 0, 2, 16, 6, 1, 3, 18, 6, 0, 5, 6, 21, 2, 1, 22, 46, 1, 42, 0, 16, 6, 13, 3, 2, 6, 18, 28, 58, 1, 60, 15, 6, 0, 6, 2, 33, 16, 22, 6, 35, 1, 8, 3, 1, ... (ลำดับ A051626ใน OEIS )

การทำซ้ำของ 1/n, n = 1, 2, 3, ... คือ:

0, 0, 3, 0, 0, 6, 142857, 0, 1, 0, 09, 3, 076923, 714285, 6, 0, 0588235294117647, 5, 052631578947368421, 0, 047619, 45, 0434782608695652173913, 6, 0, 384615, 037, 571428, 0344827586206896551724137931, 3, ... (ลำดับ A036275ใน OEIS )

ความยาวซ้ำของ 1/น, p = 2, 3, 5, ... ( nไพรม์) คือ:

0, 1, 0, 6, 2, 6, 16, 18, 22, 28, 15, 3, 5, 21, 46, 13, 58, 60, 33, 35, 8, 13, 41, 44, 96, 4, 34, 53, 108, 112, 42, 130, 8, 46, 148, 75, 78, 81, 166, 43, 178, 180, 95, 192, 98, 99, 30, 222, 113, 228, 232, 7, 30, 50, 256, 262, 268, 5, 69, 28, ... (ลำดับ A002371ใน OEIS )

อย่างน้อยช่วงพีที่ 1/นมีความยาวซ้ำn , n = 1, 2, 3, ... คือ:

3, 11, 37, 101, 41, 7, 239, 73, 333667, 9091, 21649, 9901, 53, 909091, 31, 17, 2071723, 19, 1111111111111111111, 3541, 43, 23, 11111111111111111111111, 99990001, 21401, 859, 757, 29, 3191, 211, ... (ลำดับ A007138ใน OEIS )

อย่างน้อยช่วงพีที่ k/นมีnรอบที่แตกต่างกัน ( 1 ≤ k ≤ p −1 ), n = 1, 2, 3, ... คือ:

7, 3, 103, 53, 11, 79, 211, 41, 73, 281, 353, 37, 2393, 449, 3061, 1889, 137, 2467, 16189, 641, 3109, 4973, 11087, 1321, 101, 7151, 7669, 757, 38629, 1231, ... (ลำดับ A054471ใน OEIS )

สำหรับการเปรียบเทียบความยาวของการทำซ้ำของเศษส่วนไบนารี1/n, n = 1, 2, 3, ... คือ:

1, 2, 1, 4, 2, 3, 1, 6, 4, 10, 2, 12, 3, 4, 1, 8, 6, 18, 4, 6, 10, 11, 2, 20, 12, 18, 3, 28, 4, 5, 1, 10, 8, 12, 6, 36, 18, 12, 4, 20, 6, 14, 10, 12, 11, ... (ลำดับ A007733ใน OEIS ) .

เศษส่วนกับตัวส่วนที่สำคัญ

เศษส่วนในเงื่อนไขต่ำสุดที่มีตัวส่วนเฉพาะนอกเหนือจาก 2 หรือ 5 (เช่นcoprimeถึง 10) จะสร้างทศนิยมซ้ำเสมอ ความยาวของการทำซ้ำ (ระยะเวลาของส่วนทศนิยมที่ทำซ้ำ) ของ 1/นเท่ากับการสั่งซื้อ 10 แบบโมดูโลพี ถ้า 10 เป็นดั้งเดิมรากโมดูโลพี , ความยาว repetend เท่ากับพี - 1; หากไม่ได้ความยาว repetend เป็นปัจจัยของพี - 1. ผลที่ได้นี้จะสามารถสรุปได้จากทฤษฎีบทเล็ก ๆ น้อย ๆ ของแฟร์มาต์ซึ่งระบุว่า10 ^{P -1} ≡ 1 (สมัยP )

การทำซ้ำฐาน -10 ของจำนวนเฉพาะที่มากกว่า 5 หารด้วย 9 ได้^[5]

ถ้าความยาวซ้ำของ 1/นสำหรับนายกPเท่ากับพี - 1 แล้ว repetend ที่แสดงเป็นจำนวนเต็มเรียกว่าจำนวนวัฏจักร

ตัวเลขวัฏจักร

ตัวอย่างเศษส่วนที่อยู่ในกลุ่มนี้ ได้แก่

1/7= 0. 142857 , ตัวเลขซ้ำ 6 หลัก
1/17= 0. 0588235294117647 , ตัวเลขที่ซ้ำ 16 หลัก
1/19= 0. 052631578947368421 , ตัวเลขที่ซ้ำ 18 หลัก
1/23= 0 0434782608695652173913ตัวเลขที่ซ้ำกัน 22 หลัก
1/29= 0. 0344827586206896551724137931 , 28 หลักซ้ำ
1/47= 0. 0212765957446808510638297872340425531914893617 , 46 หลักที่ซ้ำกัน
1/59= 0. 0169491525423728813559322033898305084745762711864406779661 58 หลักที่ซ้ำกัน
1/61= 0. 016393442622950819672131147540983606557377049180327868852459 60 หลักซ้ำ
1/97= 0. 010309278350515463917525773195876288659793814432989690721649484536082474226804123711340206185567 , 96 หลักซ้ำ

รายการนี้สามารถรวมเศษส่วนได้ 1/109, 1/113, 1/131, 1/149, 1/167, 1/179, 1/181, 1/193ฯลฯ (ลำดับA001913ในOEIS )

ทุกๆจำนวนที่เหมาะสมของจำนวนรอบ (นั่นคือจำนวนนับที่มีจำนวนหลักเท่ากัน) คือการหมุนเวียน:

1/7 = 1 × 0.142857 ... = 0.142857 ...
2/7 = 2 × 0.142857 ... = 0.285714 ...
3/7 = 3 × 0.142857 ... = 0.428571 ...
4/7 = 4 × 0.142857 ... = 0.571428 ...
5/7 = 5 × 0.142857 ... = 0.714285 ...
6/7 = 6 × 0.142857 ... = 0.857142 ...

สาเหตุของพฤติกรรมวัฏจักรนั้นชัดเจนจากแบบฝึกหัดทางคณิตศาสตร์ของการหารยาว 1/7คือเหลือตามลำดับเป็นลำดับวงจร{1, 3, 2, 6, 4, 5} โปรดดูบทความ142,857สำหรับคุณสมบัติเพิ่มเติมของจำนวนรอบนี้

เศษส่วนที่เป็นวัฏจักรจึงมีทศนิยมที่เกิดซ้ำซึ่งมีความยาวเท่ากันซึ่งแบ่งออกเป็นสองลำดับในรูปแบบประกอบของเก้า ตัวอย่างเช่น 1/7 เริ่มต้น '142' และตามด้วย '857' ในขณะที่ 6/7(ตามวาระ) เริ่มต้น '857' ตามด้วยของเก้าเติมเต็ม '142'

สำคัญที่เหมาะสมเป็นนายกพีซึ่งสิ้นสุดในหลัก 1 ใน 10 ฐานและมีซึ่งกันและกันใน 10 ฐานมี repetend มีความยาวหน้า - 1. ในช่วงเวลาดังกล่าวแต่ละหลัก 0, 1, ... , 9 ปรากฏในการทำซ้ำ ลำดับจำนวนครั้งเดียวกันกับตัวเลขอื่น ๆ (กล่าวคือ พี - 1/10ครั้ง) พวกเขาคือ: ^[6]^{: 166}

61, 131, 181, 461, 491, 541, 571, 701, 811, 821, 941, 971, 1021, 1051, 1091, 1171, 1181, 1291, 1301, 1349, 1381, 1531, 1571, 1621, 1741, 1811, 1829, 1861, ... (ลำดับ A073761ใน OEIS )

ไพรม์เป็นไพรม์ที่เหมาะสมเฉพาะในกรณีที่เป็นไพรม์สัตว์เลื้อยคลานเต็มรูปแบบและสอดคล้องกับ 1 mod 10

ถ้านายกพีเป็นทั้งเต็ม reptend ที่สำคัญและที่สำคัญปลอดภัยแล้ว 1/นจะผลิตกระแสของพี - 1 ตัวเลขสุ่มหลอก ช่วงเวลาเหล่านั้นคือ

7, 23, 47, 59, 167, 179, 263, 383, 503, 863, 887, 983, 1019, 1367, 1487, 1619, 1823, ... (ลำดับ A000353ใน OEIS )

ซึ่งกันและกันของช่วงเวลาอื่น ๆ

ซึ่งกันและกันของช่วงเวลาที่ไม่สร้างตัวเลขวัฏจักร ได้แก่ :

1/3= 0. 3ซึ่งมีจุด (ความยาวซ้ำ) เท่ากับ 1
1/11= 0. 09ซึ่งมีคาบ 2.
1/13= 0. 076923ซึ่งมีคาบ 6.
1/31= 0. 032258064516129ซึ่งมีคาบ 15.
1/37= 0. 027ซึ่งมีคาบ 3.
1/41= 0. 02439ซึ่งมีคาบ 5.
1/43= 0. 023255813953488372093ซึ่งมีคาบ 21.
1/53= 0. 0188679245283ซึ่งมีคาบ 13.
1/67= 0. 014925373134328358208955223880597ซึ่งมีคาบ 33.

(ลำดับA006559ในOEIS )

เหตุผลก็คือ 3 เป็นตัวหารของ 9, 11 เป็นตัวหาร 99, 41 เป็นตัวหาร 99999 เป็นต้นในการหาคาบของ 1/นเราสามารถตรวจสอบได้ว่าไพรม์pหารจำนวน 999 ... 999 โดยที่จำนวนหลักหารp - 1 หรือไม่เนื่องจากช่วงเวลาไม่เกินp - 1 เราสามารถหาค่านี้ได้โดยการคำนวณ 10 ^{หน้า −1} - 1/น. ตัวอย่างเช่นสำหรับ 11 เราได้รับ

{\ displaystyle {\ frac {10 ^ {11-1} -1} {11}} = 909090909}

จากนั้นโดยการตรวจสอบค้นหาการทำซ้ำ 09 และช่วงเวลาของ 2

ซึ่งกันและกันของไพรม์เหล่านี้สามารถเชื่อมโยงกับลำดับทศนิยมที่ซ้ำกันได้หลายลำดับ ตัวอย่างเช่นการทวีคูณของ 1/13สามารถแบ่งออกเป็นสองชุดโดยมีการทำซ้ำที่แตกต่างกัน ชุดแรกคือ:

1/13 = 0.076923 ...
10/13 = 0.769230 ...
9/13 = 0.692307 ...
12/13 = 0.923076 ...
3/13 = 0.230769 ...
4/13 = 0.307692 ... ,

โดยที่การทำซ้ำของเศษส่วนแต่ละครั้งเป็นการจัดเรียงแบบวนซ้ำของ 076923 ชุดที่สองคือ:

2/13 = 0.153846 ...
7/13 = 0.538461 ...
5/13 = 0.384615 ...
11/13 = 0.846153 ...
6/13 = 0.461538 ...
8/13 = 0.615384 ... ,

โดยที่การทำซ้ำของเศษส่วนแต่ละส่วนเป็นการจัดเรียงแบบวนซ้ำของ 153846

โดยทั่วไปชุดของการทวีคูณที่เหมาะสมของซึ่งกันและกันของไพรม์pประกอบด้วยเซตย่อยnแต่ละชุดมีความยาวซ้ำ kโดยที่nk = p - 1

กฎ Totient

สำหรับจำนวนเต็มnโดยพลการความยาวL ( n ) ของทศนิยมซ้ำของ 1/nแบ่งφ ( n ) ที่φเป็นtotient ฟังก์ชัน ความยาวเท่ากับφ ( n )และถ้าหาก 10 เป็นแบบโมดูโลรากดั้งเดิม n ^[7]

โดยเฉพาะอย่างยิ่งมันตามที่L ( P ) = P - 1 และถ้าหาก หน้าเป็นนายกรัฐมนตรีและ 10 เป็นรากดั้งเดิมแบบโมดูโลพี จากนั้นการขยายทศนิยมของ n/นสำหรับn = 1, 2, ... , p - 1 ทั้งหมดมีช่วงเวลาp - 1 และแตกต่างกันโดยการเรียงสับเปลี่ยนแบบวัฏจักรเท่านั้น ตัวเลขดังกล่าวหน้าจะเรียกว่าช่วงเวลา repetend เต็ม

ซึ่งกันและกันของจำนวนเต็มคอมโพสิต coprime ถึง 10

ถ้าpเป็นไพรม์อื่นที่ไม่ใช่ 2 หรือ 5 การแทนทศนิยมของเศษส่วน 1/หน้า² ซ้ำ:

149= 0. 020408163265306122448979591836734693877551 .

ระยะเวลา (repetend ยาว) L (49) จะต้องเป็นปัจจัยของλ (49) = 42, ที่λ ( n ) เป็นที่รู้จักกันเป็นฟังก์ชั่นคาร์ไมเคิ สิ่งนี้มาจากทฤษฎีบทของคาร์ไมเคิลซึ่งระบุว่าถ้าnเป็นจำนวนเต็มบวกแล้วλ ( n ) เป็นจำนวนเต็มm ที่เล็กที่สุดดังนั้น

{\ displaystyle a ^ {m} \ equiv 1 {\ pmod {n}}}

สำหรับทุกจำนวนเต็มที่เป็นcoprimeเพื่อn

ช่วงเวลาของ 1/หน้า²มักจะเป็นpT _pโดยที่T _pคือช่วงเวลาของ 1/น. มีสามช่วงเวลาที่ทราบซึ่งไม่เป็นความจริงและสำหรับช่วงเวลาดังกล่าว 1/หน้า² จะเหมือนกับช่วงเวลาของ 1/นเพราะp ²หาร 10 ^{p −1} −1 สามช่วงนี้คือ 3, 487 และ 56598313 (ลำดับA045616ในOEIS ) ^[8]

ในทำนองเดียวกันช่วงเวลาของ 1/p ^kโดยปกติคือp ^{k –1}T _p

ถ้าpและqเป็นไพรม์อื่นที่ไม่ใช่ 2 หรือ 5 การแทนค่าทศนิยมของเศษส่วน 1/pqซ้ำ ตัวอย่างคือ 1/119:

119 = 7 × 17

λ (7 × 17) = LCM ( λ (7), λ (17)) = LCM (6, 16) = 48,

ที่ LCM ซึกตัวคูณร่วมน้อย

ช่วงTของ 1/pqเป็นตัวประกอบของλ ( pq ) และเป็น 48 ในกรณีนี้:

1119= 0 008403361344537815126050420168067226890756302521

ช่วงTของ 1/pqคือ LCM ( T _p , T _q ) โดยที่T _pคือช่วงเวลาของ 1/นและT _qคือช่วงเวลาของ 1/q.

ถ้าp , q , rฯลฯ เป็นไพรม์อื่นที่ไม่ใช่ 2 หรือ 5 และk , l , mฯลฯ เป็นจำนวนเต็มบวกดังนั้น

{\ displaystyle {\ frac {1} {p ^ {k} q ^ {l} r ^ {m} \ cdots}}}

เป็นทศนิยมที่ทำซ้ำโดยมีจุด

{\ displaystyle \ operatorname {LCM} (T_ {p ^ {k}}, T_ {q ^ {l}}, T_ {r ^ {m}}, \ ldots)}

โดยที่T _{p ^k} , T _{q ^l} , T _{r ^m} , ... เป็นช่วงเวลาของทศนิยมที่ซ้ำกันตามลำดับ 1/p ^k, 1/Q ^ลิตร, 1/r ^ม, ... ตามที่กำหนดไว้ข้างต้น.

ซึ่งกันและกันของจำนวนเต็มไม่ใช่ coprime ถึง 10

จำนวนเต็มที่ไม่ใช่ coprime ถึง 10 แต่มีตัวประกอบเฉพาะอื่นที่ไม่ใช่ 2 หรือ 5 มีซึ่งกันและกันซึ่งในที่สุดก็เป็นคาบ แต่มีลำดับของตัวเลขที่ไม่ซ้ำกันซึ่งนำหน้าส่วนที่เกิดซ้ำ ซึ่งกันและกันสามารถแสดงเป็น:

{\ displaystyle {\ frac {1} {2 ^ {a} 5 ^ {b} p ^ {k} q ^ {l} \ cdots}} \ ,,}

โดยที่aและbไม่ใช่ศูนย์ทั้งคู่

เศษส่วนนี้สามารถแสดงเป็น:

{\ displaystyle {\ frac {5 ^ {ab}} {10 ^ {a} p ^ {k} q ^ {l} \ cdots}} \ ,,}

ถ้าa > bหรือเป็น

{\ displaystyle {\ frac {2 ^ {ba}} {10 ^ {b} p ^ {k} q ^ {l} \ cdots}} \ ,,}

ถ้าb > aหรือเป็น

{\ displaystyle {\ frac {1} {10 ^ {a} p ^ {k} q ^ {l} \ cdots}} \ ,,}

ถ้าa = b .

ทศนิยมมี:

ชั่วคราวเริ่มต้นของจำนวนสูงสุด ( a , b ) หลักหลังจุดทศนิยม ตัวเลขบางตัวหรือทั้งหมดในชั่วคราวอาจเป็นเลขศูนย์
การทำซ้ำในภายหลังซึ่งเหมือนกับเศษส่วน 1/p ^k q ^l ⋯.

ตัวอย่างเช่น 1/28= 0.03 571428 :

a = 2, b = 0 และปัจจัยอื่น ๆp ^k q ^l ⋯ = 7
มีตัวเลขเริ่มต้น 2 หลักที่ไม่ซ้ำกันคือ 03; และ
มีตัวเลขที่ซ้ำกัน 6 หลัก 571428 เท่ากับ 1/7 มี.

การแปลงทศนิยมซ้ำเป็นเศษส่วน

เมื่อพิจารณาถึงทศนิยมซ้ำจึงสามารถคำนวณเศษส่วนที่สร้างขึ้นได้ ตัวอย่างเช่น:

{\ displaystyle {\ begin {alignedat} {1} x & = 0.333333 \ ldots \\ 10x & = 3.333333 \ ldots \ quad & {\ text {(คูณแต่ละด้านของบรรทัดด้านบนด้วย 10)}} \\ 9x & = 3 & { \ text {(ลบบรรทัดที่ 1 ออกจากบรรทัดที่ 2)}} \\ x & = {\ frac {3} {9}} = {\ frac {1} {3}} & {\ text {(ลดเป็นคำต่ำสุด) }} \\\ end {alignedat}}}

ตัวอย่างอื่น:

{\ displaystyle {\ begin {alignedat} {1} x & = \ \ \ \ 0.836363636 \ ldots \\ 10x & = \ \ \ \ 8.36363636 \ ldots \ quad & {\ text {(คูณด้วยเลขยกกำลัง 10 เพื่อย้ายทศนิยมไปที่ จุดเริ่มต้นของการทำซ้ำ)}} \\ 1000x & = 836.36363636 \ ldots & {\ text {(คูณด้วยเลขยกกำลัง 100 เพื่อย้ายจุดทศนิยมไปยังจุดสิ้นสุดของทศนิยมที่เกิดซ้ำครั้งแรก)}} \\ 990x & = 828 & {\ text {(ลบเพื่อล้าง ทศนิยม)}} \\ x & = {\ frac {828} {990}} = {\ frac {18 \ times 46} {18 \ times 55}} = {\ frac {46} {55}}. \ end { alignedat}}}

ทางลัด

ขั้นตอนด้านล่างนี้สามารถใช้ได้โดยเฉพาะอย่างยิ่งหากการทำซ้ำมีnหลักซึ่งทั้งหมดนี้เป็น 0 ยกเว้นขั้นสุดท้ายซึ่งเป็น 1 ตัวอย่างเช่นสำหรับn = 7:

{\ displaystyle {\ begin {aligned} x & = 0.000000100000010000001 \ ldots \\ 10 ^ {7} x & = 1.000000100000010000001 \ ldots \\\ left (10 ^ {7} -1 \ right) x = 9999999x & = 1 \\ x & = {\ frac {1} {10 ^ {7} -1}} = {\ frac {1} {9999999}} \ end {aligned}}}

ดังนั้นทศนิยมที่ซ้ำกันโดยเฉพาะนี้จึงสอดคล้องกับเศษส่วน 1/10 ⁿ - 1โดยที่ตัวส่วนคือจำนวนที่เขียนเป็นnหลัก 9 รู้แค่นั้นทศนิยมซ้ำทั่วไปสามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้โดยไม่ต้องแก้สมการ ตัวอย่างเช่นหนึ่งอาจให้เหตุผล:

{\ displaystyle {\ begin {aligned} 7.48181818 \ ldots & = 7.3 + 0.18181818 \ ldots \\ [8pt] & = {\ frac {73} {10}} + {\ frac {18} {99}} = {\ frac {73} {10}} + {\ frac {9 \ times 2} {9 \ times 11}} = {\ frac {73} {10}} + {\ frac {2} {11}} \\ [ 12pt] & = {\ frac {11 \ times 73 + 10 \ times 2} {10 \ times 11}} = {\ frac {823} {110}} \ end {aligned}}}

เป็นไปได้ที่จะได้สูตรทั่วไปที่แสดงทศนิยมซ้ำโดยมีn -digit period (ความยาวซ้ำ) โดยเริ่มต้นหลังจุดทศนิยมเป็นเศษส่วน:

{\ displaystyle {\ begin {aligned} x & = 0. {\ overline {a_ {1} a_ {2} \ cdots a_ {n}}} \\ 10 ^ {n} x & = a_ {1} a_ {2} \ cdots a_ {n}. {\ overline {a_ {1} a_ {2} \ cdots a_ {n}}} \\\ left (10 ^ {n} -1 \ right) x = 99 \ cdots 99x & = a_ {1} a_ {2} \ cdots a_ {n} \\ x & = {\ frac {a_ {1} a_ {2} \ cdots a_ {n}} {10 ^ {n} -1}} = {\ frac {a_ {1} a_ {2} \ cdots a_ {n}} {99 \ cdots 99}} \ end {aligned}}}

ชัดเจนยิ่งขึ้นมีกรณีต่อไปนี้:

ถ้าทศนิยมที่ทำซ้ำอยู่ระหว่าง 0 ถึง 1 และบล็อกการทำซ้ำมีความยาวnหลักโดยอันดับแรกจะเกิดขึ้นหลังจุดทศนิยมดังนั้นเศษส่วน (ไม่จำเป็นต้องลดลง) จะเป็นจำนวนเต็มแทนด้วยn -digit block หารด้วย หนึ่งแทนด้วยnหลัก 9 ตัวอย่างเช่น

0.444444 ... = 4/9 เนื่องจากบล็อกการทำซ้ำคือ 4 (บล็อก 1 หลัก)
0.565656 ... = 56/99 เนื่องจากบล็อกการทำซ้ำคือ 56 (บล็อก 2 หลัก)
0.012012 ... = 12/999เนื่องจากบล็อกการทำซ้ำคือ 012 (บล็อก 3 หลัก) สิ่งนี้จะลดลงไปอีก 4/333.
0.999999 ... = 9/9 = 1 เนื่องจากบล็อกการทำซ้ำคือ 9 (เช่นเดียวกับบล็อก 1 หลัก)

หากทศนิยมที่ซ้ำกันอยู่ข้างต้นยกเว้นว่ามีk (พิเศษ) หลัก 0 ระหว่างจุดทศนิยมและบล็อกn -digit ที่ทำซ้ำเราสามารถเพิ่มkหลัก 0 หลังnหลัก 9 ของตัวส่วน (และในฐานะ ก่อนหน้านี้เศษส่วนอาจถูกทำให้ง่ายขึ้นในภายหลัง) ตัวอย่างเช่น,

0.000444 ... = 4/9000 เนื่องจากบล็อกที่ทำซ้ำคือ 4 และบล็อกนี้นำหน้าด้วย 3 ศูนย์
0.005656 ... = 56/9900 เนื่องจากบล็อกการทำซ้ำคือ 56 และนำหน้าด้วย 2 ศูนย์
0.00012012 ... = 12/99900 = 1/8325 เนื่องจากบล็อกการทำซ้ำคือ 012 และนำหน้าด้วย 2 ศูนย์

ทศนิยมที่ซ้ำกันใด ๆ ที่ไม่ใช่รูปแบบที่อธิบายไว้ข้างต้นสามารถเขียนเป็นผลรวมของทศนิยมที่สิ้นสุดและทศนิยมที่ซ้ำกันของหนึ่งในสองประเภทข้างต้น (จริง ๆ แล้วคือประเภทแรกพอเพียง แต่อาจต้องการให้ทศนิยมที่สิ้นสุดเป็นค่าลบ) ตัวอย่างเช่น,

1.23444 ... = 1.23 + 0.00444 ... = 123/100 + 4/900 = 1107/900 + 4/900 = 1111/900
- หรืออีกทางหนึ่งคือ 1.23444 ... = 0.79 + 0.44444 ... = 79/100 + 4/9 = 711/900 + 400/900 = 1111/900
0.3789789 ... = 0.3 + 0.0789789 ... = 3/10 + 789/9990 = 2997/9990 + 789/9990 = 3786/9990 = 631/1665
- หรือ 0.3789789 ... = −0.6 + 0.9789789 ... = - 6/10 + 978/999 = - 5994/9990 + 9780/9990 = 3786/9990 = 631/1665

วิธีที่เร็วกว่านั้นคือการเพิกเฉยต่อจุดทศนิยมอย่างสมบูรณ์และทำเช่นนี้

1.23444 ... = 1234 - 123/900 = 1111/900 (ตัวส่วนมีหนึ่ง 9 และ 0 สองตัวเนื่องจากตัวเลขหนึ่งตัวซ้ำและมีสองหลักที่ไม่ซ้ำหลังจุดทศนิยม)
0.3789789 ... = 3789 - 3/9990 = 3786/9990 (ตัวส่วนมีเลข 9 สามตัวและ 0 หนึ่งตัวเนื่องจากตัวเลขสามหลักซ้ำกันและมีหนึ่งหลักที่ไม่ซ้ำหลังจุดทศนิยม)

มันตามที่ทศนิยมซ้ำใด ๆ กับระยะเวลาที่ nและkตัวเลขหลังจุดทศนิยมที่ไม่ได้เป็นส่วนหนึ่งของการทำซ้ำสามารถเขียนเป็น (ไม่จำเป็นต้องลดลง) ส่วนที่มีตัวหารเป็น (10 ⁿ - 1) 10 k

ตรงกันข้ามกับช่วงเวลาของทศนิยมที่ซ้ำกันของเศษส่วน ค/งจะเป็น (อย่างมาก) จำนวนที่เล็กที่สุดnเช่นที่ 10 ⁿ - 1 หารด้วยd

ตัวอย่างเช่นเศษส่วน 2/7มีd = 7 และk ที่เล็กที่สุดที่ทำให้ 10 ^k - 1 หารด้วย 7 ได้คือk = 6 เพราะ 999999 = 7 × 142857 คาบของเศษส่วน 2/7 จึงเป็น 6

ทศนิยมซ้ำเป็นอนุกรมอนันต์

ทศนิยมซ้ำนอกจากนี้ยังสามารถแสดงเป็นแบบไม่มีที่สิ้นสุด นั่นคือทศนิยมซ้ำสามารถถือได้ว่าเป็นผลรวมของจำนวนตรรกยะที่ไม่มีที่สิ้นสุด เพื่อเป็นตัวอย่างที่ง่ายที่สุด

{\ displaystyle 0. {\ overline {1}} = {\ frac {1} {10}} + {\ frac {1} {100}} + {\ frac {1} {1000}} + \ cdots = \ ผลรวม _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {10 ^ {n}}}}

อนุกรมข้างต้นเป็นอนุกรมเรขาคณิตที่มีเทอมแรกเป็น 1/10 และปัจจัยร่วม 1/10. เนื่องจากค่าสัมบูรณ์ของปัจจัยร่วมมีค่าน้อยกว่า 1 เราสามารถพูดได้ว่าอนุกรมเรขาคณิตมาบรรจบกันและหาค่าที่แน่นอนในรูปเศษส่วนโดยใช้สูตรต่อไปนี้โดยที่aเป็นเทอมแรกของอนุกรมและrคือ ปัจจัยร่วม

{\ displaystyle {\ frac {a} {1-r}} = {\ frac {\ frac {1} {10}} {1 - {\ frac {1} {10}}}} = {\ frac {1 } {10-1}} = {\ frac {1} {9}}}

ในทำนองเดียวกัน

{\ displaystyle {\ begin {aligned} 0. {\ overline {142857}} & = {\ frac {142857} {10 ^ {6}}} + {\ frac {142857} {10 ^ {12}}} + {\ frac {142857} {10 ^ {18}}} + \ cdots = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {142857} {10 ^ {6n}}} \\ [6px] \ นัย & \ quad {\ frac {a} {1-r}} = {\ frac {\ frac {142857} {10 ^ {6}}} {1 - {\ frac {1} {10 ^ {6} }}}} = {\ frac {142857} {10 ^ {6} -1}} = {\ frac {142857} {999999}} = {\ frac {1} {7}} \ end {aligned}}}

การคูณและการเรียงสับเปลี่ยนแบบวัฏจักร

พฤติกรรมวัฏจักรของการคูณทศนิยมซ้ำในการคูณยังนำไปสู่การสร้างจำนวนเต็มซึ่งได้รับการอนุญาติเป็นวัฏจักรเมื่อคูณด้วยจำนวนที่แน่นอน ยกตัวอย่างเช่น102,564 × 4 = 410256 102564 เป็นการทำซ้ำของ 4/39 และ 410256 การทำซ้ำของ 16/39.

คุณสมบัติอื่น ๆ ของความยาวซ้ำ

คุณสมบัติต่างๆของความยาวซ้ำ (ช่วงเวลา) มอบให้โดย Mitchell ^[9]และ Dickson ^[10]

ช่วงเวลาของ 1/kสำหรับจำนวนเต็มkคือ≤ k - 1 เสมอ

ถ้าpเป็นไพรม์ระยะเวลาของ 1/นหารเท่า ๆ กันเป็นp - 1

ถ้าkเป็นคอมโพสิตระยะเวลาของ 1/kน้อยกว่าk - 1 อย่างเคร่งครัด

ช่วงเวลาของ ค/kสำหรับc coprimeถึงkเท่ากับช่วงเวลาของ 1/k.

ถ้าk = 2 ^a 5 ^b nโดยที่n > 1 และnไม่หารด้วย 2 หรือ 5 ความยาวของชั่วคราวของ 1/kคือ max ( , B ) และระยะเวลาเท่ากับRที่Rคือเลขที่เล็กที่สุดเช่นว่า10 ^R ≡ 1 (สมัยn )

ถ้าp , p ′ , p″ , ... เป็นไพรม์ที่แตกต่างกันดังนั้นช่วงเวลาของ 1/p p ′ p″ ⋯ เท่ากับตัวคูณที่มีค่าต่ำสุดของช่วงเวลาของ 1/น, 1/p ′, 1/p″, ....

ถ้าkและk ′ไม่มีปัจจัยเฉพาะร่วมกันนอกเหนือจาก 2 หรือ 5 ดังนั้นช่วงเวลาของ 1/kk ′ เท่ากับตัวคูณที่พบน้อยที่สุดของช่วงเวลาของ 1/k และ 1/k ′.

สำหรับไพรม์พีถ้า

{\ displaystyle {\ text {period}} \ left ({\ frac {1} {p}} \ right) = {\ text {period}} \ left ({\ frac {1} {p ^ {2}} } \ right) = \ cdots = {\ text {period}} \ left ({\ frac {1} {p ^ {m}}} \ right)}

สำหรับบาง ม.แต่

{\ displaystyle {\ text {period}} \ left ({\ frac {1} {p ^ {m}}} \ right) \ neq {\ text {period}} \ left ({\ frac {1} {p ^ {m + 1}}} \ right),}

แล้วสำหรับ c ≥ 0 เรามี

{\ displaystyle {\ text {period}} \ left ({\ frac {1} {p ^ {m + c}}} \ right) = p ^ {c} \ cdot {\ text {period}} \ left ( {\ frac {1} {p}} \ right)}

ถ้าpเป็นไพรม์ลงท้ายที่เหมาะสมใน 1 นั่นคือถ้าการทำซ้ำของ 1/นคือจำนวนวัฏจักรของความยาวp - 1 และp = 10 h + 1 สำหรับบางhจากนั้นแต่ละหลัก 0, 1, ... , 9 จะปรากฏในการทำซ้ำh = พี - 1/10 ครั้ง.

สำหรับคุณสมบัติอื่น ๆ ของการทำซ้ำดูเพิ่มเติม ^[11]

ขยายไปยังฐานอื่น ๆ

คุณสมบัติต่างๆของทศนิยมซ้ำขยายไปถึงการแทนค่าตัวเลขในฐานจำนวนเต็มอื่น ๆ ทั้งหมดไม่ใช่แค่ฐาน 10:

จำนวนจริงใด ๆ ที่สามารถเป็นตัวแทนในฐานะที่เป็นส่วนจำนวนเต็มตามด้วยกี่จุด (ทั่วไปของการจุดทศนิยมกับระบบที่ไม่ใช่ทศนิยม) ตามด้วยการ จำกัด หรือจำนวนอนันต์ของตัวเลข
ถ้าฐานเป็นจำนวนเต็มลำดับการยุติจะแสดงถึงจำนวนที่มีเหตุผลอย่างชัดเจน
จำนวนตรรกยะมีลำดับการยุติถ้าปัจจัยเฉพาะทั้งหมดของตัวส่วนของรูปเศษส่วนที่ลดลงอย่างเต็มที่เป็นปัจจัยของฐานด้วย ตัวเลขเหล่านี้ทำขึ้นชุดหนาแน่นใน $Q$ และR
ถ้าระบบตัวเลขตำแหน่งเป็นระบบมาตรฐานแสดงว่ามีฐาน

{\ displaystyle b \ in \ mathbb {Z} \ setminus \ {- 1,0,1 \}}

รวมกับชุดตัวเลขที่ต่อเนื่องกัน

{\ displaystyle D: = \ {d_ {1}, d_ {1} +1, \ dots, d_ {r} \}}

ด้วย

r : = | b |

,

d r : = d 1 + r - 1

และ

0 \in D

ดังนั้นลำดับการยุติจะเทียบเท่ากับลำดับเดียวกันโดยเห็นได้ชัดว่า ส่วนที่ทำซ้ำที่ไม่สิ้นสุดซึ่งประกอบด้วยตัวเลข 0 หากฐานเป็นบวกแสดงว่ามี คำสั่งอยู่ homomorphismจาก ลำดับศัพท์ของ สตริงอนันต์ด้านขวาทับ ตัวอักษร

D

ลงในช่วงปิดของเรียลซึ่งแมปสตริง

0. A 1 A 2 ... A n d b

และ

0. A 1 A 2 .. . (A n +1) d 1

โดยให้

A i \in D

และ

A n \neq d b

เป็นจำนวนจริงเดียวกัน - และไม่มีรูปภาพอื่นที่ซ้ำกัน ในระบบทศนิยมเช่นมี 0. 9 = 1. 0 = 1; ใน ระบบternary ที่สมดุลมี 0 1 = 1 T = 12.

จำนวนตรรกยะมีลำดับความยาว จำกัด ที่ซ้ำไปเรื่อย ๆ $l$ ถ้าตัวส่วนของเศษส่วนที่ลดลงมีตัวประกอบเฉพาะที่ไม่ใช่ตัวประกอบของฐาน ถ้า $คิว$ เป็นปัจจัยสูงสุดของตัวหารลดลงซึ่งเป็น coprime ไปยังฐานที่ $ลิตร$ เป็นสัญลักษณ์เล็กที่สุดเช่นว่า $คิว$ แบ่ง $ข L -$ 1 มันเป็นคูณเพื่อ $อ๊อด Q (ข)$ ของระดับสารตกค้าง $ข mod Q$ ซึ่งเป็นตัวหารของฟังก์ชั่นคาร์ไมเคิ $λ (Q)$ ซึ่งจะมีขนาดเล็กกว่าQลำดับการทำซ้ำจะนำหน้าด้วยความยาว จำกัด ชั่วคราวหากเศษส่วนที่ลดลงยังแบ่งตัวประกอบเฉพาะกับฐาน ลำดับการทำซ้ำ

{\ displaystyle (0. {\ overline {A_ {1} A_ {2} \ ldots A_ {l}}}) _ {b}}

แทนเศษส่วน

{\ displaystyle {\ frac {\ left ({A_ {1} A_ {2} \ ldots A_ {l}} \ right) _ {b}} {b ^ {l} -1}}}

.

จำนวนอตรรกยะมีการแสดงความยาวที่ไม่มีที่สิ้นสุดซึ่งไม่ได้มาจากจุดใด ๆ เป็นลำดับของความยาว จำกัด ที่ซ้ำไปเรื่อย ๆ

ยกตัวอย่างเช่นในส่วนที่สิบสอง , 1/2 = 0.6, 1/3 = 0.4, 1/4 = 0.3 และ 1/6 = 0.2 สิ้นสุดทั้งหมด 1/5= 0. 2497ซ้ำกับช่วงเวลายาว 4 ในทางตรงกันข้ามกับการขยายทศนิยมที่เท่ากันคือ 0.2; 1/7= 0. 186 ᘔ 35มีจุด 6 เป็นเลขทศนิยมเช่นเดียวกับทศนิยม

ถ้าbเป็นฐานจำนวนเต็มและkเป็นจำนวนเต็ม

{\ displaystyle {\ frac {1} {k}} = {\ frac {1} {b}} + {\ frac {(bk) ^ {1}} {b ^ {2}}} + {\ frac { (bk) ^ {2}} {b ^ {3}}} + {\ frac {(bk) ^ {3}} {b ^ {4}}} + {\ frac {(bk) ^ {4}} {b ^ {5}}} + \ cdots + {\ frac {(bk) ^ {N-1}} {b ^ {N}}} + \ cdots}

ตัวอย่างเช่น 1/7 ใน duodecimal:

17 = ( 110 + 510 ² + 2110 ³ + ᘔ 510 ⁴ + 44110 ⁵ + พ.ศ. 252810 ⁶+ ... ) _{ฐาน 12}

ซึ่งก็คือ 0. 186 ᘔ 35 (ฐาน 12) 10 (ฐาน 12) คือ 12 (ฐาน 10), 10 ² (ฐาน 12) คือ 144 (ฐาน 10), 21 (ฐาน 12) คือ 25 (ฐาน 10), ᘔ 5 (ฐาน 12) คือ 125 (ฐาน 10), ..

อัลกอริทึมสำหรับฐานบวก

สำหรับเหตุผล $0 < น / q <1$ (และฐาน $b \in N > 1$ ) มีอัลกอริทึมต่อไปนี้ที่สร้างการทำซ้ำพร้อมกับความยาว:

ฟังก์ชัน b_adic ( b , p , q )  // b ≥ 2; 0  ตัวเลขคงที่ = "0123 ... " ; // ถึงตัวเลขที่มีค่า b – 1 เริ่มต้นs = "" ; // สตริงหลักpos = 0 ; // ทุกสถานที่มีสิทธิในการจุดมุฎฐานในขณะที่ไม่ได้กำหนดไว้( เกิดขึ้น[ P ]) ทำเกิดขึ้น[ P ] = POS ; // ตำแหน่งของสถานที่ที่มีเศษเหลือ p bp = b * p ;                       z  =  ชั้น( bp / q ) ;  // ดัชนี z ของหลักภายใน: 0 ≤ z ≤ b-1 p  =  b * p - z * q ;  // 0 ≤ p  ถ้า p  =  0  แล้ว L  =  0 ;  ผลตอบแทน ( s ) ;  จบ ถ้า s  =  s ย่อย( ตัวเลข, Z , 1 ) ; // ต่อท้ายอักขระของหลักpos + = 1 ; สิ้นสุดในขณะที่L = pos - เกิดขึ้น[ p ] ; // ความยาวของ repetend ที่ (เป็น // ทำเครื่องหมายตัวเลขของ repetend โดย vinculum แขก: สำหรับผมจากที่เกิดขึ้น[ P ] เพื่อPOS - 1 ไม่substring ( s , ฉัน, 1 ) = overline ( substring ( s , ผม, 1 )) ; สิ้นสุดสำหรับผลตอบแทน( s ) ; ฟังก์ชันสิ้นสุด

บรรทัดแรกไฮไลต์สีเหลืองคำนวณหลักZ

บรรทัดต่อมาคำนวณใหม่ที่เหลือP 'ของการแบ่งแบบโมดูโลหารQ อันเป็นผลมาจากฟังก์ชันพื้นที่ floorเรามี

{\ displaystyle {\ frac {bp} {q}} - 1 \; \; <\; \; z = \ left \ lfloor {\ frac {bp} {q}} \ right \ rfloor \; \; \ leq \; \; {\ frac {bp} {q}},}

ดังนั้น

{\ displaystyle bp-q

และ

{\ displaystyle zq \ leq bp \ quad \ หมายความว่า \ quad 0 \ leq bp-zq =: p '\ ,. }

เนื่องจากส่วนที่เหลือทั้งหมดเหล่านี้pเป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบน้อยกว่าqจึงมีได้เพียงจำนวน จำกัด เท่านั้นที่จะต้องเกิดซ้ำในwhileลูป เกิดซ้ำดังกล่าวจะตรวจพบโดยอาเรย์ occursหลักzใหม่ถูกสร้างขึ้นในเส้นสีเหลืองโดยที่pเป็นค่าคงที่เท่านั้น ความยาวLของการทำซ้ำจะเท่ากับจำนวนของส่วนที่เหลือ (ดูหัวข้อเพิ่มเติมจำนวนที่มีเหตุผลทุกตัวเป็นทศนิยมที่ยุติหรือซ้ำกัน )

แอปพลิเคชั่นสำหรับการเข้ารหัส

การทำทศนิยมซ้ำ (เรียกอีกอย่างว่าลำดับทศนิยม) พบแอปพลิเคชันการเข้ารหัสและแก้ไขข้อผิดพลาด ^[12]ในแอพพลิเคชั่นเหล่านี้มักใช้ทศนิยมซ้ำกับฐาน 2 ซึ่งก่อให้เกิดลำดับไบนารี ลำดับไบนารีความยาวสูงสุดสำหรับ 1/น(เมื่อ 2 เป็นรากดั้งเดิมของp ) กำหนดโดย: ^[13]

{\ displaystyle a (i) = 2 ^ {i} ~ {\ bmod {p}} ~ {\ bmod {2}}}

ลำดับของช่วงเวลาp - 1 เหล่านี้มีฟังก์ชัน autocorrelation ที่มีจุดสูงสุดเป็นลบ −1 สำหรับการเลื่อนของ พี - 1/2. แบบแผนของลำดับเหล่านี้ได้รับการตรวจสอบโดยการทดสอบมิจฉาทิฐิ ^[14]

ดูสิ่งนี้ด้วย

การแทนค่าทศนิยม
ไพรม์สัตว์เลื้อยคลานเต็มรูปแบบ
ทฤษฎีบทของ Midy
จำนวนปรสิต
ต่อท้ายศูนย์
เฉพาะนายก
0.999 ...ทศนิยมซ้ำเท่ากับหนึ่ง

การอ้างอิงและข้อสังเกต

^ Courant, R. และ Robbins, H.คณิตศาสตร์คืออะไร: แนวทางเบื้องต้นสำหรับแนวคิดและวิธีการ, 2nd ed. อ๊อกซฟอร์ดอังกฤษ: Oxford University Press, 1996: p. 67.
^ Beswick คิม (2004), "ทำไม 0.999 ... = 1 ?: ไม้ยืนต้นคำถามและความรู้สึกเชิงจำนวน" ออสเตรเลียคณิตศาสตร์ครู , 60 (4): 7-9
^ a b c ณ วันที่ 1 กุมภาพันธ์ 2018 ส่วนเหนือชั้นจะจำกัด ไว้ที่ 1 หรือ 2 หลักใน Wikipedia
^ สำหรับฐาน bและตัวหาร nในแง่ของทฤษฎีกลุ่มความยาวนี้หาร
${\ displaystyle \ operatorname {ord} _ {n} (b): = \ min \ {L \ in \ mathbb {N} \, \ mid \, b ^ {L} \ equiv 1 {\ text {mod}} n \}}$
(ด้วยเลขคณิตแบบแยกส่วน ≡ 1 mod n ) ซึ่งแบ่งฟังก์ชันคาร์ไมเคิล
${\ displaystyle \ lambda (n): = \ max \ {\ operatorname {ord} _ {n} (b) \, \ mid \, \ gcd (b, n) = 1 \}}$
ซึ่งแบ่งฟังก์ชัน totient ของออยเลอร์ อีกครั้งφ ( n )
^ Gray, Alexander J. , "Digital Roots and Reserval of primes", Mathematical Gazette 84.09, มีนาคม 2000, 86
^ ดิกสัน, LE,ประวัติความเป็นมาของทฤษฎีของตัวเลขเล่ม 1 เชลซีพับลิชชิ่ง, 1952
^ วิลเลียมอีฮีล คุณสมบัติบางประการของการทำซ้ำ พงศาวดารคณิตศาสตร์ฉบับ. 3, ฉบับที่ 4 (ส.ค. 2430), หน้า 97–103
^ อัลเบิร์เอช Beiler,การพักผ่อนหย่อนใจในทฤษฎีของตัวเลขพี 79
M Mitchell, Douglas W. , "เครื่องสร้างตัวเลขสุ่มแบบไม่เชิงเส้นที่มีความยาวรอบยาวเป็นที่รู้จัก", Cryptologia 17, มกราคม 1993, 55–62
^ ดิกสัน, ลีโอนาร์อี ,ประวัติความเป็นมาของทฤษฎีของตัวเลขฉบับ ฉันเชลซี Publ บจก., 2495 (กำเนิด. 2461), 164–173
^ อาร์มสตรอง, นิวเจอร์ซีย์และอาร์มสตรอง, RJ, "คุณสมบัติบางส่วนของ repetends"คณิตศาสตร์ราชกิจจานุเบกษา 87 พฤศจิกายน 2003 437-443
^ กั๊ก, ซับฮาช, แชตเตอร์จี, น. "บนลำดับทศนิยม". IEEE Transactions on Information Theory, vol. IT-27, หน้า 647–652, กันยายน 2524
^ Kak, Subhash, "การเข้ารหัสและการแก้ไขข้อผิดพลาดโดยใช้ d-sequences" ทรานส์ IEEE เกี่ยวกับคอมพิวเตอร์ฉบับ. C-34, หน้า 803–809, 1985
^ Bellamy, J. "การสุ่มลำดับ D ผ่านการทดสอบมิจฉาทิฐิ" 2556. arXiv: 1312.3618

ลิงก์ภายนอก

Weisstein, Eric W. "ทศนิยมซ้ำ" . แม ธ เวิลด์

[1] Courant, R. และ Robbins, H.คณิตศาสตร์คืออะไร: แนวทางเบื้องต้นสำหรับแนวคิดและวิธีการ, 2nd ed. อ๊อกซฟอร์ดอังกฤษ: Oxford University Press, 1996: p. 67.

[2] Beswick คิม (2004), "ทำไม 0.999 ... = 1 ?: ไม้ยืนต้นคำถามและความรู้สึกเชิงจำนวน" ออสเตรเลียคณิตศาสตร์ครู , 60 (4): 7-9

[ArcLimit-3] ณ วันที่ 1 กุมภาพันธ์ 2018 ส่วนเหนือชั้นจะจำกัด ไว้ที่ 1 หรือ 2 หลักใน Wikipedia

[4] สำหรับฐาน bและตัวหาร nในแง่ของทฤษฎีกลุ่มความยาวนี้หาร
${\ displaystyle \ operatorname {ord} _ {n} (b): = \ min \ {L \ in \ mathbb {N} \, \ mid \, b ^ {L} \ equiv 1 {\ text {mod}} n \}}$
(ด้วยเลขคณิตแบบแยกส่วน ≡ 1 mod n ) ซึ่งแบ่งฟังก์ชันคาร์ไมเคิล
${\ displaystyle \ lambda (n): = \ max \ {\ operatorname {ord} _ {n} (b) \, \ mid \, \ gcd (b, n) = 1 \}}$
ซึ่งแบ่งฟังก์ชัน totient ของออยเลอร์ อีกครั้งφ ( n )

[5] Gray, Alexander J. , "Digital Roots and Reserval of primes", Mathematical Gazette 84.09, มีนาคม 2000, 86

[6] ดิกสัน, LE,ประวัติความเป็นมาของทฤษฎีของตัวเลขเล่ม 1 เชลซีพับลิชชิ่ง, 1952

[7] วิลเลียมอีฮีล คุณสมบัติบางประการของการทำซ้ำ พงศาวดารคณิตศาสตร์ฉบับ. 3, ฉบับที่ 4 (ส.ค. 2430), หน้า 97–103

[8] อัลเบิร์เอช Beiler,การพักผ่อนหย่อนใจในทฤษฎีของตัวเลขพี 79

[9] M Mitchell, Douglas W. , "เครื่องสร้างตัวเลขสุ่มแบบไม่เชิงเส้นที่มีความยาวรอบยาวเป็นที่รู้จัก", Cryptologia 17, มกราคม 1993, 55–62

[10] ดิกสัน, ลีโอนาร์อี ,ประวัติความเป็นมาของทฤษฎีของตัวเลขฉบับ ฉันเชลซี Publ บจก., 2495 (กำเนิด. 2461), 164–173

[11] อาร์มสตรอง, นิวเจอร์ซีย์และอาร์มสตรอง, RJ, "คุณสมบัติบางส่วนของ repetends"คณิตศาสตร์ราชกิจจานุเบกษา 87 พฤศจิกายน 2003 437-443

[12] กั๊ก, ซับฮาช, แชตเตอร์จี, น. "บนลำดับทศนิยม". IEEE Transactions on Information Theory, vol. IT-27, หน้า 647–652, กันยายน 2524

[13] Kak, Subhash, "การเข้ารหัสและการแก้ไขข้อผิดพลาดโดยใช้ d-sequences" ทรานส์ IEEE เกี่ยวกับคอมพิวเตอร์ฉบับ. C-34, หน้า 803–809, 1985

[14] Bellamy, J. "การสุ่มลำดับ D ผ่านการทดสอบมิจฉาทิฐิ" 2556. arXiv: 1312.3618

[1]