This is a good article. Click here for more information.

พื้นที่เวกเตอร์

จาก Wikipedia สารานุกรมเสรี
  (เปลี่ยนเส้นทางจากช่องว่างเวกเตอร์จริง )
ข้ามไปที่การนำทางข้ามไปที่การค้นหา
การบวกเวกเตอร์และการคูณสเกลาร์: เวกเตอร์v (สีน้ำเงิน) ถูกเพิ่มลงในเวกเตอร์อื่นw (สีแดงภาพประกอบด้านบน) ด้านล่างนี้Wถูกยืดออกโดยปัจจัยที่ 2 ผลผลิตรวมวี + 2 W

ปริภูมิเวกเตอร์ (เรียกว่ายังเป็นพื้นที่เชิงเส้น ) เป็นชุดของวัตถุที่เรียกว่าพาหะซึ่งอาจจะเพิ่มเข้าด้วยกันและคูณ ( "ปรับขนาด") โดยตัวเลขที่เรียกว่าสเกลาสเกลามักจะถูกนำไปเป็นตัวเลขจริงแต่ยังมีช่องว่างเวกเตอร์คูณด้วยสเกลาโดยตัวเลขที่ซับซ้อน , สรุปตัวเลขหรือทั่วไปใดฟิลด์การดำเนินการของการบวกเวกเตอร์และการคูณสเกลาร์ต้องเป็นไปตามข้อกำหนดบางประการเรียกว่าสัจพจน์เวกเตอร์(แสดงรายการด้านล่างใน§คำจำกัดความ). ในการระบุว่าสเกลาร์เป็นจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อนมักใช้ คำว่าปริภูมิเวกเตอร์จริงและปริภูมิเวกเตอร์เชิงซ้อน

เวกเตอร์ยุคลิดบางชุดเป็นตัวอย่างทั่วไปของเวกเตอร์ปริภูมิ พวกเขาแสดงถึงปริมาณทางกายภาพเช่นแรงซึ่งสามารถเพิ่มสองแรงใด ๆ (ชนิดเดียวกัน) เพื่อให้ได้หนึ่งในสามและการคูณเวกเตอร์แรงด้วยตัวคูณจริงเป็นเวกเตอร์แรงอื่น ในทำนองเดียวกัน (แต่ในความหมายทางเรขาคณิตมากกว่า) เวกเตอร์ที่แสดงการกระจัดกระจายในระนาบหรือปริภูมิสามมิติก็สร้างช่องว่างเวกเตอร์ได้เช่นกัน เวกเตอร์ในปริภูมิเวกเตอร์ไม่จำเป็นต้องเป็นวัตถุที่มีลักษณะเหมือนลูกศรตามที่ปรากฏในตัวอย่างที่กล่าวถึง: เวกเตอร์ถือเป็นวัตถุทางคณิตศาสตร์ที่เป็นนามธรรม ด้วยคุณสมบัติเฉพาะซึ่งในบางกรณีสามารถมองเห็นเป็นลูกศร

เวกเตอร์สเปซเป็นหัวข้อของพีชคณิตเชิงเส้นและมีความโดดเด่นด้วยมิติของมันซึ่งโดยประมาณจะระบุจำนวนทิศทางอิสระในช่องว่าง ไม่มีที่สิ้นสุดมิติช่องว่างเวกเตอร์ที่เกิดขึ้นตามธรรมชาติในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์เป็นพื้นที่ทำงานที่มีเวกเตอร์ที่มีฟังก์ชั่นช่องว่างเวกเตอร์เหล่านี้โดยทั่วไปมีโครงสร้างเพิ่มเติมบางอย่างเช่นโทโพโลยีซึ่งช่วยให้สามารถพิจารณาประเด็นของความใกล้ชิดและความต่อเนื่องได้ ในบรรดาโทโพโลยีเหล่านี้สิ่งที่กำหนดโดยบรรทัดฐานหรือผลิตภัณฑ์ภายในมักใช้กันมากขึ้น (ติดตั้งด้วยแนวคิดเกี่ยวกับระยะห่างระหว่างสองเวกเตอร์) โดยเฉพาะอย่างยิ่งในกรณีของช่องว่าง Banachและช่องว่างของ Hilbertซึ่งเป็นพื้นฐานในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์

ประวัติศาสตร์ความคิดแรกที่นำไปสู่ช่องว่างเวกเตอร์สามารถสืบย้อนกลับเท่าที่ศตวรรษที่ 17 ของเรขาคณิตวิเคราะห์ , เมทริกซ์ , ระบบสมการเชิงเส้นและเวกเตอร์แบบยุคลิด ในปัจจุบันการรักษานามธรรมมากขึ้นสูตรครั้งแรกโดยจูเซปเป้อาโน่ในปี 1888 โลกไซเบอร์วัตถุทั่วไปมากกว่าพื้นที่ Euclideanแต่มากของทฤษฎีที่สามารถมองเห็นเป็นส่วนขยายของความคิดทางเรขาคณิตคลาสสิกเช่นสาย , เครื่องบินและ analogs สูงมิติของพวกเขา

วันนี้ช่องว่างเวกเตอร์ถูกนำมาใช้ตลอดคณิตศาสตร์ , วิทยาศาสตร์และวิศวกรรมพวกเขามีความคิดเชิงเส้นพีชคณิตที่เหมาะสมในการจัดการกับระบบสมการเชิงเส้นพวกเขามีกรอบการทำงานสำหรับการขยายตัวของฟูริเยร์ซึ่งเป็นลูกจ้างในการบีบอัดภาพการปฏิบัติและพวกเขาให้สภาพแวดล้อมที่สามารถใช้สำหรับเทคนิควิธีการแก้ปัญหาสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์นอกจากนี้ช่องว่างให้เวกเตอร์นามธรรมประสานงานฟรีวิธีการจัดการกับวัตถุทางเรขาคณิตและทางกายภาพเช่นเทนเซอร์สิ่งนี้จะช่วยให้สามารถตรวจสอบคุณสมบัติเฉพาะของท่อร่วมได้โดยเทคนิคเชิงเส้น ช่องว่างเวกเตอร์อาจจะทั่วไปในหลายวิธีที่นำไปสู่ความคิดที่สูงขึ้นในรูปทรงเรขาคณิตและพีชคณิตนามธรรม

บทความนี้เกี่ยวข้องกับปริภูมิเวกเตอร์มิติ จำกัด เป็นหลัก อย่างไรก็ตามหลักการหลายอย่างก็ใช้ได้สำหรับปริภูมิเวกเตอร์มิติที่ไม่มีที่สิ้นสุด

บทนำและคำจำกัดความ[ แก้]

แนวคิดของปริภูมิเวกเตอร์ก่อนอื่นจะอธิบายโดยการอธิบายสองตัวอย่างเฉพาะ:

ตัวอย่างแรก: ลูกศรในเครื่องบิน[ แก้ไข]

ตัวอย่างแรกของปริภูมิเวกเตอร์ประกอบด้วยลูกศรในระนาบคงที่โดยเริ่มจากจุดคงที่จุดเดียว นี้จะใช้ในฟิสิกส์เพื่ออธิบายกองกำลังหรือความเร็วได้รับสองลูกศรใด ๆ ดังกล่าวVและWที่สี่เหลี่ยมด้านขนานทอดทั้งสองลูกศรมีลูกศรหนึ่งเส้นทแยงมุมที่เริ่มต้นที่จุดเริ่มต้นมากเกินไป ลูกศรใหม่นี้เรียกว่าผลรวมของทั้งสองลูกศรและจะแสดงวี + W [1]ในกรณีพิเศษของลูกศรสองอันในบรรทัดเดียวกันผลรวมคือลูกศรบนเส้นนี้ซึ่งมีความยาวเป็นผลรวมหรือผลต่างของความยาวขึ้นอยู่กับว่าลูกศรมีทิศทางเดียวกันหรือไม่ การดำเนินงานที่สามารถทำได้ด้วยลูกศรก็คือการปรับขนาด: ใดก็ตามที่เป็นบวกจำนวนจริง , ลูกศรที่มีทิศทางเดียวกับโวลต์แต่พองหรือหดโดยการคูณความยาวของมันโดยจะเรียกว่าคูณของวีโดยมันแสดงเป็นv . เมื่อเป็นลบวีถูกกำหนดให้เป็นลูกศรชี้ไปในทิศทางตรงข้ามแทน

ต่อไปนี้จะแสดงตัวอย่างบางส่วน: ถ้าa = 2เวกเตอร์ผลลัพธ์a wมีทิศทางเดียวกับwแต่ถูกยืดออกเป็นความยาวสองเท่าของw (ภาพด้านล่าง) เท่ากัน2 WคือผลรวมW + W ยิ่งไปกว่านั้น(−1) v = - vมีทิศทางตรงกันข้ามและมีความยาวเท่ากับv (เวกเตอร์สีน้ำเงินชี้ลงในภาพด้านขวา)

ตัวอย่างที่สอง: เรียงลำดับคู่ของตัวเลข[ แก้ไข]

ตัวอย่างที่สำคัญที่สองของปริภูมิเวกเตอร์ที่ให้บริการโดยคู่ของจำนวนจริงxและy ที่ (คำสั่งของส่วนประกอบxและy ที่มีความสำคัญดังนั้นเช่นคู่ที่เรียกว่ายังเป็นคู่ลำดับ .) ดังกล่าวเป็นคู่ที่เขียนเป็น( x , Y ) ผลรวมของสองคู่ดังกล่าวและการคูณของคู่ที่มีตัวเลขกำหนดไว้ดังนี้:

และ

ตัวอย่างแรกด้านบนจะลดเป็นค่านี้หากลูกศรแสดงด้วยพิกัดคาร์ทีเซียนคู่ของจุดสิ้นสุด

คำจำกัดความ[ แก้ไข]

ในบทความนี้เวกเตอร์จะแสดงเป็นตัวหนาเพื่อแยกความแตกต่างจากสเกลาร์ [nb 1]

พื้นที่เวกเตอร์บนฟิลด์ Fคือเซต Vพร้อมกับการดำเนินการสองอย่างที่ตรงตามสัจพจน์แปดประการที่แสดงด้านล่าง ต่อไปนี้V × Vหมายถึงผลคูณคาร์ทีเซียนของVด้วยตัวมันเองและหมายถึงการแมปจากชุดหนึ่งไปยังอีกชุดหนึ่ง

  • การดำเนินการแรกเรียกว่าการบวกเวกเตอร์หรือเพียงแค่การบวก +: V × VVใช้เวกเตอร์สองตัว  vและwและกำหนดเวกเตอร์ตัวที่สามซึ่งมักเขียนว่าv + wและเรียกผลรวมของเวกเตอร์ทั้งสองนี้ (เวกเตอร์ผลลัพธ์เป็นองค์ประกอบของเซตVด้วย)
  • การดำเนินการที่สองเรียกว่าคูณสเกลา ·: F × VVใช้เกลาใด ๆ  และเวกเตอร์  โวลต์และให้เวกเตอร์อื่น  วี (ในทำนองเดียวกันเวกเตอร์a vเป็นองค์ประกอบของเซตV การคูณสเกลาร์จะต้องไม่สับสนกับผลคูณสเกลาร์หรือที่เรียกว่าผลิตภัณฑ์ภายในหรือผลิตภัณฑ์ดอทซึ่งเป็นโครงสร้างเพิ่มเติมที่มีอยู่ในช่องว่างเฉพาะบางส่วน แต่ไม่ใช่เวกเตอร์ทั้งหมด . การคูณสเกลาร์คือการคูณเวกเตอร์โดยสเกลาร์; อีกอันคือการคูณของเวกเตอร์สองตัวที่ทำให้เกิดสเกลาร์)

องค์ประกอบของVจะเรียกว่าปกติเวกเตอร์ องค์ประกอบของ  Fมักเรียกว่าสเกลาร์ สัญลักษณ์ทั่วไปสำหรับแสดงถึงช่องว่างเวกเตอร์ ได้แก่U , VและW [1]

ในสองตัวอย่างข้างต้นฟิลด์คือฟิลด์ของจำนวนจริงและเซตของเวกเตอร์ประกอบด้วยลูกศรระนาบที่มีจุดเริ่มต้นคงที่และคู่ของจำนวนจริงตามลำดับ

จะมีคุณสมบัติเป็นปริภูมิเวกเตอร์ชุด  Vและการดำเนินงานของการบวกและการคูณจะต้องเป็นไปตามจำนวนของความต้องการที่เรียกว่าสัจพจน์ [2]เหล่านี้มีการระบุไว้ในตารางด้านล่างที่U , VและWแสดงว่าเวกเตอร์โดยพลการในVและและแสดงว่าสเกลาในF [3] [4]

สัจพจน์ความหมาย
ความสัมพันธ์ของการเพิ่มยู + ( v + w ) = ( u + v ) + w
การสับเปลี่ยนของการบวกคุณ + v = v + u
องค์ประกอบประจำตัวของการบวกมีองค์ประกอบที่มีอยู่0Vเรียกว่าเวกเตอร์ศูนย์เช่นว่าV + 0 = Vสำหรับทุกวี V
องค์ประกอบผกผันของการบวกทุกวีVมีอยู่องค์ประกอบ- วีVเรียกว่าตรงกันข้ามของโวลต์เช่นว่าV + (- วี ) = 0
ความเข้ากันได้ของการคูณสเกลาร์กับการคูณฟิลด์a ( b v ) = ( ab ) v [nb 2]
องค์ประกอบประจำตัวของการคูณสเกลาร์1 V = Vที่1หมายถึงตัวตนคูณในF
การแจกแจงของการคูณสเกลาร์ที่เกี่ยวกับการบวกเวกเตอร์  a ( u + v ) = a u + a v
การแจกแจงของการคูณสเกลาร์ที่เกี่ยวกับการเพิ่มฟิลด์( a + b ) v = a v + b v

สัจพจน์เหล่านี้สรุปคุณสมบัติของเวกเตอร์ที่นำเสนอในตัวอย่างข้างต้น อันที่จริงผลลัพธ์ของการเพิ่มคู่คำสั่งสองคู่ (ดังตัวอย่างที่สองด้านบน) ไม่ได้ขึ้นอยู่กับลำดับของ summands:

( x V , Y V ) + ( x W , Y W ) = ( x W , Y W ) + ( x V , Y โวลต์ )

เช่นเดียวกันในตัวอย่างทางเรขาคณิตของเวกเตอร์เป็นลูกศรv + w = w + vเนื่องจากสี่เหลี่ยมด้านขนานที่กำหนดผลรวมของเวกเตอร์นั้นไม่ขึ้นอยู่กับลำดับของเวกเตอร์ สัจพจน์อื่น ๆ ทั้งหมดสามารถตรวจสอบได้ในลักษณะที่คล้ายกันในทั้งสองตัวอย่าง ดังนั้นโดยไม่คำนึงถึงลักษณะที่เป็นรูปธรรมของเวกเตอร์ประเภทใดประเภทหนึ่งคำจำกัดความจึงรวมสองตัวอย่างนี้และตัวอย่างอื่น ๆ อีกมากมายไว้ในแนวคิดเดียวของพื้นที่เวกเตอร์

การลบเวกเตอร์สองตัวและการหารด้วยสเกลาร์ (ที่ไม่ใช่ศูนย์) สามารถกำหนดเป็น

เมื่อสนามสเกลาFเป็นตัวเลขจริง R , ปริภูมิเวกเตอร์เรียกว่าปริภูมิเวกเตอร์จริงเมื่อสนามสเกลาร์เป็นที่ซับซ้อนหมายเลขC , ปริภูมิเวกเตอร์เรียกว่าปริภูมิเวกเตอร์ที่ซับซ้อนสองกรณีนี้เป็นกรณีที่ใช้บ่อยที่สุดในด้านวิศวกรรม ความหมายทั่วไปของปริภูมิเวกเตอร์ช่วยเกลาให้เป็นองค์ประกอบของการแก้ไขใด ๆฟิลด์ Fความคิดที่เป็นที่รู้จักกันแล้วเป็นF - ปริภูมิเวกเตอร์หรือปริภูมิเวกเตอร์ Fเขตข้อมูลเป็นหลักซึ่งเป็นชุดของตัวเลขที่มีนอกจากนี้ , การลบ , การคูณและหารการดำเนินงาน [nb 3]ตัวอย่างเช่นจำนวนตรรกยะจะสร้างฟิลด์

ในทางตรงกันข้ามกับสัญชาตญาณอันเนื่องมาจากพาหะในเครื่องบินและกรณีสูงมิติเวกเตอร์ในพื้นที่โดยทั่วไปมีความคิดของการไม่มีความใกล้ชิด , มุมหรือระยะทาง เพื่อจัดการกับเรื่องดังกล่าวจึงมีการนำเวกเตอร์สเปซบางประเภทมาใช้ ดู§ช่องว่างเวกเตอร์พร้อมโครงสร้างเพิ่มเติมด้านล่างสำหรับข้อมูลเพิ่มเติม

สูตรทางเลือกและผลลัพธ์เบื้องต้น[ แก้ไข]

นอกจากเวกเตอร์และการคูณสเกลาร์มีการดำเนินงาน, ความพึงพอใจของการปิดสถานที่ให้บริการ: U + Vและวีอยู่ในVสำหรับทุกในFและU , VในVแหล่งข้อมูลเก่าบางแห่งกล่าวถึงคุณสมบัติเหล่านี้ว่าเป็นสัจพจน์ที่แยกจากกัน[5]

ในสำนวนของพีชคณิตนามธรรมสัจพจน์สี่ประการแรกจะเทียบเท่ากับการกำหนดให้ชุดเวกเตอร์เป็นกลุ่มอาเบเลียนภายใต้การบวก หลักการที่เหลือให้กลุ่มนี้F - โมดูลโครงสร้าง กล่าวอีกนัยหนึ่งคือมีโฮโมมอร์ฟิสซึมของวงแหวน fจากสนามFเข้าไปในวงแหวนเอนโดมอร์ฟิซึมของกลุ่มเวกเตอร์ จากนั้นคูณสเกลาวีถูกกำหนดให้เป็น( ( )) ( วี ) [6]

มีผลโดยตรงหลายประการของสัจพจน์ของพื้นที่เวกเตอร์ บางส่วนได้มาจากทฤษฎีกลุ่มเบื้องต้นซึ่งนำไปใช้กับกลุ่มเวกเตอร์ที่เพิ่มเข้ามาเช่นเวกเตอร์ศูนย์0ของVและส่วนผกผันของการบวก- vของเวกเตอร์vใด ๆจะไม่ซ้ำกัน คุณสมบัติเพิ่มเติมตามด้วยการจ้างงานยังมีการจำหน่ายกฎหมายสำหรับการคูณสเกลาเช่นวีเท่ากับ0และถ้าหากเท่ากับ0หรือวีเท่ากับ0

ประวัติ[ แก้ไข]

ช่องว่างเวกเตอร์เกิดจากเรขาคณิตเชิงเส้นผ่านการแนะนำพิกัดในระนาบหรือปริภูมิสามมิติ รอบ 1636 นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสRené Descartesและปิแอร์เดอแฟร์มาต์ก่อตั้งเรขาคณิตวิเคราะห์โดยระบุแก้สมการสองตัวแปรที่มีจุดบนระนาบเส้นโค้ง [7]เพื่อให้บรรลุผลการแก้ปัญหาทางเรขาคณิตโดยไม่ใช้พิกัดโบลซาโนเปิดตัวในปี 1804 การดำเนินการบางอย่างกับจุดเส้นและระนาบซึ่งเป็นรุ่นก่อนหน้าของเวกเตอร์[8] Möbius (1827)นำความคิดของพิกัด Barycentric Bellavitis (1833)แนะนำแนวคิดของ bipoint กล่าวคือส่วนที่มุ่งเน้นส่วนที่ปลายเป็นจุดเริ่มต้นและอีกส่วนหนึ่งเป็นเป้าหมาย[9]เวกเตอร์ได้รับการพิจารณาใหม่ด้วยการนำเสนอจำนวนเชิงซ้อนโดยArgandและHamiltonและการเริ่มต้นควอเทอร์เนียนในยุคหลัง[10]เป็นองค์ประกอบในR 2และR 4 ; การปฏิบัติต่อพวกเขาโดยใช้ชุดค่าผสมเชิงเส้นย้อนกลับไปที่Laguerreในปีพ. ศ. 2410 ซึ่งเป็นผู้กำหนดระบบสมการเชิงเส้นด้วย

ในปีพ. ศ. 2407 เคย์ลีย์ได้เปิดตัวสัญกรณ์เมทริกซ์ซึ่งช่วยให้การประสานและทำให้แผนที่เชิงเส้นง่ายขึ้น ในช่วงเวลาเดียวกันGrassmannได้ศึกษาแคลคูลัส barycentric ที่ริเริ่มโดยMöbius เขาจินตนาการถึงชุดของวัตถุนามธรรมที่ประกอบไปด้วยปฏิบัติการ[11]ในงานของเขาแนวคิดของความเป็นอิสระเชิงเส้นและมิติเช่นเดียวกับผลิตภัณฑ์สเกลาร์ที่มีอยู่ จริงๆแล้วงานของ Grassmann ในปี 1844 นั้นเกินกรอบของช่องว่างเวกเตอร์เนื่องจากการพิจารณาการคูณของเขาก็ทำให้เขาไปสู่สิ่งที่เรียกว่าอัลเจบราในปัจจุบันPeanoนักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลีเป็นคนแรกที่ให้คำจำกัดความที่ทันสมัยของพื้นที่เวกเตอร์และแผนที่เชิงเส้นในปี พ.ศ. 2431 [12]

การพัฒนาที่สำคัญของช่องว่างเวกเตอร์เกิดจากการก่อสร้างของพื้นที่ทำงานโดยอองรีเกอ นี้เป็นกรงเล็บในภายหลังโดยBanachและฮิลแบร์ตรอบปี 1920 [13]ในเวลานั้นพีชคณิตและเขตข้อมูลใหม่จากการวิเคราะห์การทำงานเริ่มที่จะมีปฏิสัมพันธ์สะดุดตากับแนวความคิดที่สำคัญเช่นช่องว่างของหน้าฟังก์ชั่น -integrableและช่องว่าง Hilbert [14]ในเวลานี้มีการศึกษาครั้งแรกเกี่ยวกับปริภูมิเวกเตอร์มิติที่ไม่มีที่สิ้นสุด

ตัวอย่าง[ แก้ไข]

พื้นที่ประสานงาน[ แก้ไข]

ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดของปริภูมิเวกเตอร์บนฟิลด์Fคือฟิลด์นั้นเองพร้อมกับการบวกและการคูณมาตรฐาน โดยทั่วไปแล้วn -tuplesทั้งหมด(ลำดับของความยาวn )

( 1 , 2 , ... , n )

ขององค์ประกอบของFรูปแบบปริภูมิเวกเตอร์ที่มักจะแสดงF nและเรียกได้ว่าเป็นพื้นที่ประสานงาน [15] กรณีที่n = 1เป็นตัวอย่างที่ง่ายที่สุดที่กล่าวมาข้างต้นซึ่งฟิลด์Fถือเป็นช่องว่างเวกเตอร์เหนือตัวมันเอง กรณีF = Rและn = 2ถูกกล่าวถึงในบทนำข้างต้น

จำนวนเชิงซ้อนและส่วนขยายฟิลด์อื่น ๆ[ แก้ไข]

ชุดของจำนวนเชิงซ้อน Cนั่นคือตัวเลขที่เขียนได้ในรูปx + iyสำหรับจำนวนจริง xและyโดยที่iคือหน่วยจินตภาพสร้างพื้นที่เวกเตอร์เหนือจำนวนจริงด้วยการบวกและการคูณตามปกติ: ( x + iy ) + ( a + ib ) = ( x + a ) + i ( y + b )และc ⋅ ( x + iy ) = ( cx ) + ฉัน ( Y )สำหรับจำนวนจริงx , Y , , และสัจพจน์ต่างๆของปริภูมิเวกเตอร์เกิดขึ้นจากข้อเท็จจริงที่ว่ากฎเดียวกันนี้ใช้สำหรับการคำนวณจำนวนเชิงซ้อน

ในความเป็นจริงตัวอย่างของจำนวนเชิงซ้อนนั้นโดยพื้นฐานแล้วจะเหมือนกัน (นั่นคือมันคือไอโซมอร์ฟิก ) กับพื้นที่เวกเตอร์ของคู่จำนวนจริงตามลำดับที่กล่าวถึงข้างต้น: ถ้าเราคิดว่าจำนวนเชิงซ้อนx + i yเป็นตัวแทนของคู่ลำดับ( x , y )ในระนาบเชิงซ้อนจากนั้นเราจะเห็นว่ากฎสำหรับการบวกและการคูณสเกลาร์นั้นสอดคล้องกับกฎในตัวอย่างก่อนหน้านี้ทุกประการ

โดยทั่วไปส่วนขยายสาขาให้ระดับตัวอย่างของเวกเตอร์พื้นที่โดยเฉพาะอย่างยิ่งในพีชคณิตและอีกจำนวนเกี่ยวกับพีชคณิตทฤษฎี : สนามFมีข้อมูลที่มีขนาดเล็ก Eเป็นEพื้นที่เวกเตอร์โดยให้คูณและนอกจากนี้การดำเนินงานของเรนไฮน์ [16]ตัวอย่างเช่นตัวเลขที่ซับซ้อนเป็นปริภูมิเวกเตอร์R , และการขยายสนามเป็นพื้นที่เวกเตอร์Q

ช่องว่างฟังก์ชัน[ แก้ไข]

การเพิ่มฟังก์ชัน: ผลรวมของไซน์และฟังก์ชันเลขชี้กำลังอยู่ด้วย

ฟังก์ชันจากเซตคงที่Ωไปยังฟิลด์F จะสร้างช่องว่างเวกเตอร์ด้วยการบวกและการคูณสเกลาร์แบบชี้ นั่นคือผลรวมของสองฟังก์ชันfและgคือฟังก์ชัน( f + g ) ที่กำหนดโดย

( f + g ) ( w ) = f ( w ) + g ( w ) ,

และในทำนองเดียวกันสำหรับการคูณ พื้นที่ทำงานดังกล่าวเกิดขึ้นในสถานการณ์ทางเรขาคณิตจำนวนมากเมื่อΩเป็นเส้นจริงหรือช่วงเวลาหรืออื่น ๆส่วนย่อยของRความคิดจำนวนมากในโครงสร้างและการวิเคราะห์เช่นความต่อเนื่อง , integrabilityหรืออนุพันธ์จะมีความประพฤติดีเกี่ยวกับการเชิงเส้น: ผลบวกและทวีคูณเกลาของฟังก์ชั่นที่มีคุณสมบัติดังกล่าวยังคงมีสถานที่ให้บริการ[17] ดังนั้นชุดของฟังก์ชันดังกล่าวจึงเป็นช่องว่างเวกเตอร์ พวกเขามีการศึกษาในรายละเอียดมากขึ้นโดยใช้วิธีการของการวิเคราะห์การทำงานให้ดูที่ด้านล่าง [จำเป็นต้องมีการชี้แจง ]ข้อ จำกัด เกี่ยวกับพีชคณิตยังให้ช่องว่างเวกเตอร์:พื้นที่เวกเตอร์ F [x]ถูกกำหนดโดยฟังก์ชันพหุนาม:

F ( x ) = R 0 + R 1 x + ... + R n -1 x n -1 + R n x nที่ค่าสัมประสิทธิ์ r 0 , ... , R nอยู่ในF [18]

สมการเชิงเส้น[ แก้ไข]

ระบบสมการเชิงเส้นที่เป็นเนื้อเดียวกันนั้นเชื่อมโยงอย่างใกล้ชิดกับช่องว่างเวกเตอร์ [19]ตัวอย่างเช่นการแก้ปัญหาของ

+3 += 0
4 +2 +2 = 0

จะได้รับจากอเนกประสงค์พล, B = / 2และC = -5 / 2 พวกเขาสร้างพื้นที่เวกเตอร์: ผลรวมและผลคูณสเกลาร์ของสามเท่าดังกล่าวยังคงเป็นไปตามอัตราส่วนเดียวกันของตัวแปรทั้งสาม ดังนั้นจึงเป็นวิธีแก้ปัญหาเช่นกัน เมทริกซ์สามารถใช้เพื่อย่อสมการเชิงเส้นหลาย ๆ สมการข้างต้นให้เป็นสมการเวกเตอร์เดียวคือ

x = 0 ,

เมทริกซ์ที่มีค่าสัมประสิทธิ์ของสมการที่กำหนดอยู่ที่ไหนxคือเวกเตอร์( a , b , c ) , A xหมายถึงผลิตภัณฑ์เมทริกซ์และ0 = (0, 0)คือเวกเตอร์ศูนย์ ในหลอดเลือดดำที่คล้ายกันคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นที่เป็นเนื้อเดียวกันจะสร้างช่องว่างเวกเตอร์ ตัวอย่างเช่น,

f ′′ ( x ) + 2 f ′( x ) + f ( x ) = 0

อัตราผลตอบแทนF ( x ) = อี- x + BX อี- xที่และBมีค่าคงที่โดยพลการและE xเป็นฟังก์ชันเลขชี้กำลังธรรมชาติ

พื้นฐานและมิติข้อมูล[ แก้ไข]

เวกเตอร์vในR 2 (สีน้ำเงิน) แสดงในรูปของฐานที่แตกต่างกัน: โดยใช้พื้นฐานมาตรฐานของR 2 : v = x e 1 + y e 2 (สีดำ) และใช้พื้นฐานอื่นที่ไม่ใช่มุมฉาก : v = f 1 + f 2 (สีแดง)

ฐานให้หนึ่งในการเป็นตัวแทนของเวกเตอร์โดยลำดับของสเกลาเรียกว่าพิกัดหรือส่วนประกอบ พื้นฐานคือชุด B = { B ฉัน } ฉันผมของเวกเตอร์ฉันเพื่อความสะดวกมักจะจัดทำดัชนีโดยบางส่วนดัชนีตั้ง ผมว่าครอบคลุมพื้นที่ทั้งหมดและเป็นอิสระเป็นเส้นตรง "การขยายพื้นที่ทั้งหมด" หมายความว่าเวกเตอร์ vใด ๆสามารถแสดงเป็นผลรวม จำกัด (เรียกว่าการรวมเชิงเส้น ) ขององค์ประกอบพื้นฐาน:

 

 

 

 

( 1 )

ที่kเป็นสเกลาเรียกว่าพิกัด (หรือส่วนประกอบ) ของเวกเตอร์โวลต์ที่เกี่ยวกับพื้นฐานBและB ฉันk ( k = 1, ... , n )องค์ประกอบของBความเป็นอิสระเชิงเส้นหมายความว่าพิกัดa kถูกกำหนดโดยไม่ซ้ำกันสำหรับเวกเตอร์ใด ๆ ในปริภูมิเวกเตอร์

ตัวอย่างเช่นเวกเตอร์พิกัด e 1 = (1, 0, …, 0) , e 2 = (0, 1, 0, …, 0)ถึงe n = (0, 0, …, 0, 1) , สร้างพื้นฐานของF nเรียกว่าพื้นฐานมาตรฐานเนื่องจากเวกเตอร์ใด ๆ( x 1 , x 2 , …, x n )สามารถแสดงโดยไม่ซ้ำกันเป็นการรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์เหล่านี้:

( x 1 , x 2 , …, x n ) = x 1 (1, 0, …, 0) + x 2 (0, 1, 0, …, 0) + ⋯ + x n (0, …, 0, 1) = x 1 อี1 + x 2 อี2 + ⋯ + x n E n

พิกัดที่สอดคล้องกันx 1 , x 2 , , x nเป็นเพียงพิกัดคาร์ทีเซียนของเวกเตอร์

เวกเตอร์สเปซทุกตัวมีพื้นฐาน นี้ต่อไปนี้จากZorn ของบทแทรก , สูตรเทียบเท่าของจริงของการเลือก [20]จากสัจพจน์อื่น ๆ ของทฤษฎีเซต Zermelo - Fraenkelการมีอยู่ของฐานจะเทียบเท่ากับสัจพจน์ที่เลือก[21]คำศัพท์ ultrafilterซึ่งอ่อนกว่าสัจพจน์ที่เลือกหมายความว่าฐานทั้งหมดของปริภูมิเวกเตอร์ที่กำหนดมีจำนวนองค์ประกอบเท่ากันหรือคาดินาลลิตี้ (เปรียบเทียบทฤษฎีบทมิติสำหรับปริภูมิเวกเตอร์ ) [22]เรียกว่ามิติของปริภูมิเวกเตอร์ซึ่งแสดงด้วยสลัวV. หากพื้นที่นั้นถูกขยายโดยเวกเตอร์จำนวนมากอย่างแน่นอนข้อความข้างต้นสามารถพิสูจน์ได้โดยไม่ต้องมีข้อมูลพื้นฐานดังกล่าวจากทฤษฎีเซต[23]

มิติของพื้นที่พิกัดF nคือnโดยพื้นฐานที่แสดงไว้ด้านบน ขนาดของวงแหวนพหุนามF [ x ] ที่นำเสนอข้างต้น[ ต้องมีการชี้แจง ]นั้นนับไม่ถ้วนโดยมี1 , x , x 2 , A fortioriซึ่งเป็นขนาดของช่องว่างฟังก์ชันทั่วไปเช่นพื้นที่ของฟังก์ชัน ในบางช่วง (มีขอบเขตหรือไม่ถูกผูกมัด) จะไม่มีที่สิ้นสุด[nb 4]ภายใต้สมมติฐานความสม่ำเสมอที่เหมาะสมเกี่ยวกับสัมประสิทธิ์ที่เกี่ยวข้องมิติของพื้นที่การแก้ปัญหาของความเป็นเนื้อเดียวกันสมการเชิงอนุพันธ์สามัญเท่ากับระดับของสมการ[24]ตัวอย่างเช่นพื้นที่การแก้ปัญหาสำหรับสมการข้างต้น[ ต้องการชี้แจง ]ถูกสร้างขึ้นโดยอี- xและXE - xฟังก์ชันทั้งสองนี้เป็นอิสระเชิงเส้นเหนือRดังนั้นขนาดของช่องว่างนี้จึงเป็นสองเช่นเดียวกับระดับของสมการ

การขยายฟิลด์เหนือเหตุผลQสามารถคิดได้ว่าเป็นพื้นที่เวกเตอร์ส่วนQ (โดยการกำหนดเวกเตอร์ที่เพิ่มเป็นการเพิ่มฟิลด์กำหนดการคูณสเกลาร์เป็นการคูณฟิลด์ด้วยองค์ประกอบของQและไม่สนใจการคูณฟิลด์) มิติ (หรือการศึกษาระดับปริญญา ) ของฟิลด์นามสกุลQ ( α )มากกว่าQขึ้นอยู่กับαถ้าαเป็นไปตามสมการพหุนามบางสมการ

ด้วยค่าสัมประสิทธิ์เชิงเหตุผลq n , ... , q 0 (กล่าวอีกนัยหนึ่งคือถ้าαเป็นพีชคณิต ) มิติจะ จำกัด แม่นยำกว่านั้นเท่ากับระดับของพหุนามขั้นต่ำที่มีαเป็นรู[25]ตัวอย่างเช่นตัวเลขที่ซับซ้อนCเป็นพื้นที่สองมิติจริงเวกเตอร์ที่สร้างขึ้นโดย 1 และหน่วยจินตภาพ ฉันค่าหลังตรงตามi 2 + 1 = 0 สมการของดีกรีสอง ดังนั้นCจึงเป็นช่องว่างR -vector สองมิติ(และในฐานะที่เป็นเขตข้อมูลใด ๆ มิติเดียวเป็นช่องว่างเวกเตอร์เหนือตัวมันเอง ). ถ้าαไม่ใช่พีชคณิตมิติของQ ( α ) ส่วนQจะไม่มีที่สิ้นสุด ตัวอย่างเช่นสำหรับα = πไม่มีสมการดังกล่าว นั่นคือπมียอดเยี่ยม [26]

แผนที่เชิงเส้นและเมทริกซ์[ แก้ไข]

ความสัมพันธ์ของทั้งสองช่องว่างเวกเตอร์สามารถแสดงโดยเส้นแผนที่หรือการแปลงเชิงเส้น เป็นฟังก์ชันที่สะท้อนถึงโครงสร้างสเปซเวกเตอร์นั่นคือรักษาผลรวมและการคูณสเกลาร์:

และF ( · โวลต์ ) = · ( วี )สำหรับทุกVและWในVทั้งหมดในF [27]

มอร์ฟเป็นเส้นแผนที่  : VWดังกล่าวที่มีอยู่แผนที่ผกผัน กรัม  : WVซึ่งเป็นแผนที่ดังกล่าวว่าทั้งสองเป็นไปได้องค์ประกอบ กรัม  : WWและกรัม  : VVมีแผนที่ตัวตนในทางเดียวกันfเป็นทั้งแบบตัวต่อตัว ( แบบฉีด ) และแบบต่อเนื่อง ( surjective ) [28] ถ้ามี isomorphism ระหว่างVและWช่องว่างทั้งสองจะถูกกล่าวว่าเป็นisomorphic ; พวกเขาจะเป็นหลักแล้วเหมือนเป็นช่องว่างเวกเตอร์ตั้งแต่ตัวตนทั้งหมดการถือหุ้นในVจะผ่าน , เคลื่อนย้ายไปยังคนที่คล้ายกันในWและโอละพ่อผ่านกรัม

อธิบายลูกศรเวกเตอร์โวลต์โดยพิกัดxและy ที่อัตราผลตอบแทนมอร์ฟของพื้นที่เวกเตอร์

ตัวอย่างเช่นเวกเตอร์ช่องว่าง "ลูกศรในระนาบ" และ "คู่ตัวเลข" ในบทนำคือ isomorphic: ลูกศรระนาบv ที่ออกจากจุดกำเนิดของระบบพิกัด (คงที่) บางระบบสามารถแสดงเป็นคู่ที่เรียงลำดับได้โดยพิจารณาจากx - และy - ส่วนประกอบของลูกศรดังที่แสดงในภาพทางด้านขวา ตรงกันข้ามให้คู่( x , Y ) , ลูกศรไปด้วยxไปทางขวา (หรือไปทางซ้ายถ้าxเป็นลบ) และYขึ้น (ลดลงถ้าYเป็นลบ) หันกลับมาที่ลูกศรวี

เชิงเส้นแผนที่VWช่องว่างระหว่างสองเวกเตอร์รูปแบบปริภูมิเวกเตอร์หอมF ( V , W )ยังแสดงL ( V , W )หรือ𝓛 ( V , W ) [29]พื้นที่ของแผนที่เชิงเส้นจากVเพื่อFเรียกว่าปริภูมิเวกเตอร์คู่ชี้แนะV * [30]ผ่านแผนที่ธรรมชาติแบบฉีดVV ∗∗พื้นที่เวกเตอร์ใด ๆ ที่สามารถฝังตัวในของbidual ; แผนที่เป็นไอโซมอร์ฟิซึมถ้าช่องว่างนั้นมีมิติ จำกัด[31]

เมื่อเลือกพื้นฐานของVแล้วแผนที่เชิงเส้นf  : VWจะถูกกำหนดอย่างสมบูรณ์โดยการระบุภาพของเวกเตอร์พื้นฐานเนื่องจากองค์ประกอบใด ๆ ของVจะแสดงโดยไม่ซ้ำกันเป็นการรวมเชิงเส้นของพวกมัน[32]หากสลัวV = สลัวWเป็นจดหมาย 1 ต่อ 1ระหว่างฐานคงที่ของVและWก่อให้เกิดเส้นแผนที่ที่แมองค์ประกอบพื้นฐานใด ๆ ของVไปยังองค์ประกอบพื้นฐานที่สอดคล้องกันของWมันเป็นไอโซมอร์ฟิซึมตามความหมายของมัน[33]ดังนั้นเวกเตอร์สองช่องว่างจึงเป็นไอโซมอร์ฟิกถ้าขนาดของมันตกลงและในทางกลับกัน อีกวิธีหนึ่งในการแสดงสิ่งนี้คือพื้นที่เวกเตอร์ใด ๆ ถูกจัดประเภทอย่างสมบูรณ์ ( ไม่เกิน isomorphism) ตามขนาดเป็นจำนวนเดียว โดยเฉพาะอย่างยิ่งใด ๆnมิติFพื้นที่เวกเตอร์Vคือ isomorphic เพื่อF nอย่างไรก็ตามไม่มี "บัญญัติ" หรือ isomorphism ที่ต้องการ; ที่จริงแล้ว isomorphism φ  : F nVเทียบเท่ากับการเลือกพื้นฐานของVโดยการจับคู่พื้นฐานมาตรฐานของF nถึงVผ่านทางφ. อิสระในการเลือกพื้นฐานที่สะดวกมีประโยชน์อย่างยิ่งในบริบทมิติที่ไม่มีที่สิ้นสุด ดูด้านล่าง [ ต้องการคำชี้แจง ]

เมทริกซ์[ แก้ไข]

เมทริกซ์ทั่วไป

เมทริกซ์เป็นแนวคิดที่มีประโยชน์ในการเข้ารหัสแผนที่เชิงเส้น [34] พวกเขาเขียนเป็นอาร์เรย์ของสเกลาร์รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าเช่นเดียวกับในภาพทางด้านขวา เมทริกซ์m -by- nใด ๆAก่อให้เกิดแผนที่เชิงเส้นจากF nถึงF mดังต่อไปนี้

ซึ่งหมายถึงผลรวม ,

หรือใช้การคูณเมทริกซ์ของเมทริกซ์Aกับเวกเตอร์พิกัดx :

xx .

ยิ่งไปกว่านั้นหลังจากเลือกฐานของVและWแล้วแผนที่เชิงเส้นใด ๆf  : VWจะแสดงโดยเมทริกซ์โดยไม่ซ้ำกันผ่านการกำหนดนี้ [35]

ปริมาณการนี้parallelepipedเป็นค่าที่แน่นอนของปัจจัยของเมทริกซ์ 3 โดย 3 รูปแบบเวกเตอร์ที่r 1 , R 2และR 3

ดีเทอร์มิแนนต์ det ( A )ของเมทริกซ์สี่เหลี่ยม Aเป็นสเกลาร์ที่บอกว่าแผนผังที่เกี่ยวข้องเป็นไอโซมอร์ฟิซึมหรือไม่: เพื่อให้เพียงพอและจำเป็นที่ดีเทอร์มิแนนต์จะไม่เป็นศูนย์ [36]การแปลงเชิงเส้นของR n ที่สอดคล้องกับเมทริกซ์n -by- nจริงคือการจัดวางแนวถ้าดีเทอร์มิแนนต์เป็นบวกเท่านั้น

ค่าลักษณะเฉพาะและค่าลักษณะเฉพาะ[ แก้ไข]

Endomorphismsแผนที่เชิงเส้นf  : VVมีความสำคัญอย่างยิ่งเนื่องจากในกรณีนี้สามารถเปรียบเทียบเวกเตอร์vกับภาพภายใต้f , f ( v )ได้ ใด ๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์เวกเตอร์โวลต์ความพึงพอใจλ V = F ( วี )ที่λเป็นสเกลาร์ที่เรียกว่าวิคเตอร์ของFกับeigenvalue λ [nb 5] [37]เทียบเท่าvคือองค์ประกอบของเคอร์เนลความแตกต่าง - λ · Id (ที่ Id เป็นแผนที่ตัวตน VV ) ถ้าVเป็นมิติ จำกัด สามารถเปลี่ยนวลีได้โดยใช้ดีเทอร์มิแนนต์: f มีค่าลักษณะเฉพาะλเทียบเท่ากับ

เดชอุดม ( - λ · Id) = 0

โดยการสะกดออกความหมายของปัจจัยการแสดงออกทางด้านซ้ายมือจะเห็นว่าเป็นฟังก์ชันพหุนามในλเรียกว่าพหุนามลักษณะเฉพาะของ [38] หากฟิลด์Fมีขนาดใหญ่พอที่จะมีศูนย์ของพหุนามนี้ (ซึ่งจะเกิดขึ้นโดยอัตโนมัติสำหรับF ปิดตามพีชคณิตเช่นF = C ) แผนที่เชิงเส้นใด ๆ จะมี eigenvector อย่างน้อยหนึ่งตัว เวกเตอร์สเปซVอาจมีหรือไม่มีeigenbasisซึ่งเป็นพื้นฐานประกอบด้วย eigenvectors ปรากฏการณ์นี้อยู่ภายใต้รูปแบบแผนที่บัญญัติของจอร์แดน[39][nb 6]ชุดของ eigenvectors ทั้งหมดที่สอดคล้องกับค่าลักษณะเฉพาะของ fสร้างพื้นที่เวกเตอร์ที่เรียกว่า eigenspace ที่สอดคล้องกับค่าลักษณะเฉพาะ (และ f ) ที่เป็นปัญหา เพื่อให้บรรลุทฤษฎีบทสเปกตรัมคำสั่งที่สอดคล้องกันในกรณีที่ไม่มีที่สิ้นสุดมิติ, เครื่องมือในการวิเคราะห์การทำงานเป็นสิ่งจำเป็นดูที่ด้านล่าง [ ต้องการคำชี้แจง ]

โครงสร้างพื้นฐาน[ แก้ไข]

นอกเหนือจากตัวอย่างที่เป็นรูปธรรมข้างต้นแล้วยังมีโครงสร้างพีชคณิตเชิงเส้นมาตรฐานอีกจำนวนหนึ่งที่ให้ช่องว่างเวกเตอร์ที่เกี่ยวข้องกับสิ่งที่กำหนด นอกเหนือจากคำจำกัดความที่ระบุด้านล่างแล้วยังมีคุณสมบัติสากลอีกด้วยซึ่งกำหนดวัตถุXโดยการระบุแผนที่เชิงเส้นจากXไปยังพื้นที่เวกเตอร์อื่น ๆ

ช่องว่างย่อยและช่องว่างผลหาร[ แก้ไข]

เส้นที่ผ่านจุดกำเนิด (สีน้ำเงินหนา) ในR 3เป็นสเปซเชิงเส้น มันคือจุดตัดของเครื่องบินสองลำ (สีเขียวและสีเหลือง)

เซ็ตย่อยที่ ไม่ว่างเปล่าWของพื้นที่เวกเตอร์Vที่ปิดภายใต้การบวกและการคูณสเกลาร์ (ดังนั้นจึงมี0 -เวกเตอร์ของV ) เรียกว่าสเปซเชิงเส้นของVหรือเพียงแค่สเปซย่อยของVเมื่อพื้นที่แวดล้อมไม่น่าสงสัย พื้นที่เวกเตอร์[40] [nb 7] Subspaces ของVคือช่องว่างเวกเตอร์ (อยู่เหนือช่องเดียวกัน) ทางด้านขวาของมันเอง จุดตัดของพื้นที่ย่อยทั้งหมดที่มีเวกเตอร์Sชุดที่กำหนดเรียกว่าสแปนและเป็นสเปซย่อยที่เล็กที่สุดของVมีชุดS แสดงในแง่ขององค์ประกอบช่วงคือสเปซประกอบด้วยทั้งหมดรวมกันเชิงเส้นขององค์ประกอบของS [41]

สเปซเชิงเส้นของมิติที่ 1 เป็นเส้นเวกเตอร์ สเปซเชิงเส้นของมิติที่ 2 เป็นเครื่องบินเวกเตอร์ สเปซเชิงเส้นที่มีองค์ประกอบทั้งหมด แต่หนึ่งในพื้นฐานของพื้นที่โดยรอบเป็นไฮเปอร์เพลเวกเตอร์ ในพื้นที่ที่ จำกัด เวกเตอร์ของมิติnเป็นไฮเปอร์เพลเวกเตอร์จึงเป็นสเปซของมิติn - 1

คู่ที่จะ subspaces มีช่องว่างเวกเตอร์ฉลาด [42]เมื่อพิจารณาถึงพื้นที่ย่อยWVช่องว่างผลหารV / W (" V โมดูโล W ") จะถูกกำหนดดังนี้: ในชุดประกอบด้วยv + W = { v + w  : wW } โดยที่โวลต์เป็นเวกเตอร์โดยพลการในVผลรวมของสององค์ประกอบดังกล่าวv 1 + Wและv 2 + Wคือ( โวลต์1 + V 2 ) + W ,และการคูณสเกลาร์จะได้รับโดย· ( V + W ) = ( · โวลต์ ) + W ประเด็นสำคัญในนิยามนี้คือv 1 + W = v 2 + Wถ้าความแตกต่างของv 1และv 2อยู่ในWเท่านั้น [nb 8]ด้วยวิธีนี้ช่องว่างผลหาร "ลืม" ข้อมูลที่มีอยู่ในสเปซย่อยW .

เคอร์เนลเคอร์ ( ) ของเส้นแผนที่  : VWประกอบด้วยเวกเตอร์โวลต์ที่มีการแมปไป0ในW [43]เคอร์เนลและอิมเมจ im ( f ) = { f ( v ): vV }เป็นพื้นที่ย่อยของVและWตามลำดับ[44]การมีอยู่ของเมล็ดและรูปภาพเป็นส่วนหนึ่งของข้อความที่ระบุว่าหมวดหมู่ของช่องว่างเวกเตอร์ (บนฟิลด์คงที่F ) คือหมวดหมู่ศาสนาคริสต์ที่เป็นคลังของวัตถุทางคณิตศาสตร์และโครงสร้างการรักษาแผนที่ระหว่างพวกเขา (เป็นหมวดหมู่ ) ที่จะทำงานมากเช่นหมวดหมู่ของกลุ่มศาสนาคริสต์ [45]ด้วยเหตุนี้ข้อความจำนวนมากเช่นทฤษฎีบทไอโซมอร์ฟิซึมแรก (เรียกอีกอย่างว่าทฤษฎีบทอันดับ - โมฆะในคำที่เกี่ยวข้องกับเมทริกซ์)

V / ker ( f ) ≡ im ( f )

และทฤษฎีบทมอร์ฟที่สองและสามได้สูตรและพิสูจน์ในทางที่คล้ายกันมากกับงบที่สอดคล้องกันสำหรับกลุ่ม

ตัวอย่างที่สำคัญคือเคอร์เนลของแผนที่เชิงเส้นxxบางเมทริกซ์คงเป็นดังกล่าวข้างต้น [ ต้องการชี้แจง ]เคอร์เนลของแผนที่นี้มีสเปซของเวกเตอร์xดังกล่าวว่าx = 0ซึ่งเป็นชุดที่แม่นยำของการแก้ปัญหาของระบบสมการเชิงเส้นที่เป็นเนื้อเดียวกันอยู่ที่ แนวคิดนี้ยังขยายไปถึงสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้น

โดยที่สัมประสิทธิ์a iคือฟังก์ชันในxด้วย

ในแผนที่ที่เกี่ยวข้อง

,

อนุพันธ์ของฟังก์ชันปรากฏเป็นเส้นตรง (เมื่อเทียบกับเอฟ '' ( x ) 2ตัวอย่าง) เนื่องจากความแตกต่างเป็นขั้นตอนการเชิงเส้น (นั่นคือ( + กรัม ) '= ' + G 'และ( · )' = · 'สำหรับคง ) งานนี้เป็นเส้นตรงที่เรียกว่าผู้ประกอบการเชิงเส้นแตกต่างโดยเฉพาะอย่างยิ่งการแก้สมการเชิงอนุพันธ์D ( f ) = 0สร้างช่องว่างเวกเตอร์ (เหนือRหรือC )

ผลรวมโดยตรงและผลรวมโดยตรง[ แก้ไข]

ผลคูณโดยตรงของปริภูมิเวกเตอร์และผลรวมโดยตรงของช่องว่างเวกเตอร์เป็นสองวิธีในการรวมกลุ่มเวกเตอร์ที่จัดทำดัชนีไว้ในปริภูมิเวกเตอร์ใหม่

สินค้าโดยตรง ในครอบครัวของพื้นที่เวกเตอร์V ฉันประกอบด้วยชุดของ tuples ทั้งหมด ( วีฉัน ) ฉันฉันซึ่งระบุสำหรับแต่ละดัชนีฉันในบางดัชนีตั้งผมเป็นองค์ประกอบวีฉันของVฉัน [46] การบวกและการคูณสเกลาร์จะดำเนินการตามองค์ประกอบ ตัวแปรของโครงสร้างนี้คือผลรวมโดยตรง (เรียกอีกอย่างว่าcoproductและแสดงเป็นสัญลักษณ์) ซึ่งอนุญาตให้ใช้เฉพาะ tuples ที่มีเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์จำนวนมากเท่านั้น หากดัชนีตั้งค่าI มีข้อ จำกัด โครงสร้างทั้งสองเห็นด้วยกัน แต่โดยทั่วไปแล้วจะแตกต่างกัน

ผลิตภัณฑ์ Tensor [ แก้ไข]

เมตริกซ์ผลิตภัณฑ์ VF WหรือเพียงVWของสองช่องว่างเวกเตอร์VและWเป็นหนึ่งในความคิดกลางของพีชคณิต multilinearซึ่งเกี่ยวข้องกับการขยายความคิดเช่นแผนที่เชิงเส้นหลายตัวแปร แผนที่กรัม  : V × WXเรียกว่าบิลิแนร์ถ้ากรัมเป็นเส้นตรงในทั้งสองตัวแปรvและWกล่าวคือสำหรับแก้ไขwแผนที่vg ( v, w )เป็นเส้นตรงในความหมายข้างต้นและเช่นเดียวกันสำหรับคงที่v .

ผลิตภัณฑ์เทนเซอร์คือปริภูมิเวกเตอร์เฉพาะที่เป็นผู้รับสากลของแผนที่ทวิภาคีgดังต่อไปนี้ มันถูกกำหนดให้เป็นพื้นที่เวกเตอร์ซึ่งประกอบด้วยผลรวมของสัญลักษณ์ จำกัด (เป็นทางการ) ที่เรียกว่าเทนเซอร์

v 1w 1 + v 2w 2 + ⋯ + v nw n ,

อยู่ภายใต้กฎระเบียบ

a · ( vw ) = ( a · v ) ⊗ w = v ⊗ ( a · w ) โดยที่aเป็นสเกลาร์
( v 1 + v 2 ) ⊗ w = v 1w + v 2wและ
วี ⊗ ( W 1 + W 2 ) = VW 1 + วีW 2 [47]
แผนภาพการสับเปลี่ยนแสดงคุณสมบัติสากลของผลิตภัณฑ์เทนเซอร์

กฎเหล่านี้ทำให้แน่ใจว่าแผนที่fจากV × WถึงVWที่จับคู่ทูเปิ ( v , w )กับvwเป็นทวิภาคี เป็นสากลระบุว่าได้รับใด ๆปริภูมิเวกเตอร์Xและใด ๆแผนที่ bilinear กรัม  : V × WXมีอยู่แผนที่ที่ไม่ซ้ำกันยูแสดงในแผนภาพที่มีลูกศรประซึ่งเป็นองค์ประกอบที่มีเท่ากับกรัม: u ( vw ) = g ( v , w ) . [48]สิ่งนี้เรียกว่าคุณสมบัติสากลของผลิตภัณฑ์เทนเซอร์ซึ่งเป็นตัวอย่างของวิธีการซึ่งใช้กันมากในพีชคณิตนามธรรมขั้นสูงเพื่อกำหนดวัตถุทางอ้อมโดยการระบุแผนที่จากหรือไปยังวัตถุนี้

ช่องว่างเวกเตอร์ที่มีโครงสร้างเพิ่มเติม[ แก้ไข]

จากมุมมองของพีชคณิตเชิงเส้นเวกเตอร์สเปซจะเข้าใจได้อย่างสมบูรณ์ตราบเท่าที่พื้นที่เวกเตอร์ใด ๆ มีลักษณะเฉพาะขึ้นอยู่กับไอโซมอร์ฟิซึมตามขนาดของมัน อย่างไรก็ตามช่องว่างเวกเตอร์ต่อ seไม่ได้นำเสนอกรอบในการจัดการกับคำถามซึ่งมีความสำคัญต่อการวิเคราะห์ว่าลำดับของฟังก์ชันมาบรรจบกันเป็นฟังก์ชันอื่นหรือไม่ ในทำนองเดียวกันพีชคณิตเชิงเส้นไม่ได้รับการปรับให้เข้ากับอนุกรมอนันต์เนื่องจากการดำเนินการเพิ่มเติมช่วยให้สามารถเพิ่มคำศัพท์ได้มากเท่านั้นดังนั้นความต้องการของการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันจึงจำเป็นต้องพิจารณาโครงสร้างเพิ่มเติม

พื้นที่เวกเตอร์อาจได้รับลำดับบางส่วน ≤ซึ่งสามารถเปรียบเทียบเวกเตอร์บางส่วนได้ [49]ตัวอย่างเช่นn -dimensional พื้นที่จริงR nสามารถจัดลำดับได้โดยการเปรียบเทียบเวกเตอร์แบบประกอบ ช่องว่างเวกเตอร์ที่เรียงลำดับเช่นช่องว่าง Rieszเป็นพื้นฐานของการรวม Lebesgueซึ่งอาศัยความสามารถในการแสดงฟังก์ชันเป็นความแตกต่างของฟังก์ชันบวกสองฟังก์ชัน

f = f + - - ,

โดยที่f +หมายถึงส่วนบวกของfและf -ส่วนลบ [50]

ช่องว่างเวกเตอร์บรรทัดฐานและช่องว่างภายในผลิตภัณฑ์[ แก้ไข]

เวกเตอร์ "การวัด" ทำได้โดยการระบุบรรทัดฐานข้อมูลที่วัดความยาวของเวกเตอร์หรือโดยผลิตภัณฑ์ด้านในซึ่งวัดมุมระหว่างเวกเตอร์ บรรทัดฐานและผลิตภัณฑ์ภายในจะแสดงและ,ตามลำดับ พ่อค้าของสินค้าภายใน entails ว่าความยาวของเวกเตอร์สามารถกำหนดเกินไปด้วยการกำหนดบรรทัดฐานที่เกี่ยวข้อง ช่องว่างเวกเตอร์ที่มีข้อมูลดังกล่าวเรียกว่าช่องว่างเวกเตอร์ที่เป็นบรรทัดฐานและช่องว่างภายในผลิตภัณฑ์ตามลำดับ [51]

Coordinate space Fn can be equipped with the standard dot product:

In R2, this reflects the common notion of the angle between two vectors x and y, by the law of cosines:

Because of this, two vectors satisfying are called orthogonal. An important variant of the standard dot product is used in Minkowski space: R4 endowed with the Lorentz product

[52]

In contrast to the standard dot product, it is not positive definite: also takes negative values, for example, for . Singling out the fourth coordinate—corresponding to time, as opposed to three space-dimensions—makes it useful for the mathematical treatment of special relativity.

Topological vector spaces[edit]

Convergence questions are treated by considering vector spaces V carrying a compatible topology, a structure that allows one to talk about elements being close to each other.[53][54] Compatible here means that addition and scalar multiplication have to be continuous maps. Roughly, if x and y in V, and a in F vary by a bounded amount, then so do x + y and ax.[nb 9] To make sense of specifying the amount a scalar changes, the field F also has to carry a topology in this context; a common choice are the reals or the complex numbers.

In such topological vector spaces one can consider series of vectors. The infinite sum

denotes the limit of the corresponding finite partial sums of the sequence (fi)iN of elements of V. For example, the fi could be (real or complex) functions belonging to some function space V, in which case the series is a function series. The mode of convergence of the series depends on the topology imposed on the function space. In such cases, pointwise convergence and uniform convergence are two prominent examples.

Unit "spheres" in R2 consist of plane vectors of norm 1. Depicted are the unit spheres in different p-norms, for p = 1, 2, and ∞. The bigger diamond depicts points of 1-norm equal to 2.

A way to ensure the existence of limits of certain infinite series is to restrict attention to spaces where any Cauchy sequence has a limit; such a vector space is called complete. Roughly, a vector space is complete provided that it contains all necessary limits. For example, the vector space of polynomials on the unit interval [0,1], equipped with the topology of uniform convergence is not complete because any continuous function on [0,1] can be uniformly approximated by a sequence of polynomials, by the Weierstrass approximation theorem.[55] In contrast, the space of all continuous functions on [0,1] with the same topology is complete.[56] A norm gives rise to a topology by defining that a sequence of vectors vn converges to v if and only if

Banach and Hilbert spaces are complete topological vector spaces whose topologies are given, respectively, by a norm and an inner product. Their study—a key piece of functional analysis—focuses on infinite-dimensional vector spaces, since all norms on finite-dimensional topological vector spaces give rise to the same notion of convergence.[57] The image at the right shows the equivalence of the 1-norm and ∞-norm on R2: as the unit "balls" enclose each other, a sequence converges to zero in one norm if and only if it so does in the other norm. In the infinite-dimensional case, however, there will generally be inequivalent topologies, which makes the study of topological vector spaces richer than that of vector spaces without additional data.

From a conceptual point of view, all notions related to topological vector spaces should match the topology. For example, instead of considering all linear maps (also called functionals) VW, maps between topological vector spaces are required to be continuous.[58] In particular, the (topological) dual space V consists of continuous functionals VR (or to C). The fundamental Hahn–Banach theorem is concerned with separating subspaces of appropriate topological vector spaces by continuous functionals.[59]

Banach spaces[edit]

Banach spaces, introduced by Stefan Banach, are complete normed vector spaces.[60]

A first example is the vector space ℓ p {\displaystyle \ell ^{p}} consisting of infinite vectors with real entries whose p {\displaystyle p} -norm given by

for    and   .

The topologies on the infinite-dimensional space are inequivalent for different . For example, the sequence of vectors , in which the first components are and the following ones are , converges to the zero vector for , but does not for :

, but

More generally than sequences of real numbers, functions are endowed with a norm that replaces the above sum by the Lebesgue integral

The space of integrable functions on a given domain (for example an interval) satisfying , and equipped with this norm are called Lebesgue spaces, denoted .[nb 10]

These spaces are complete.[61] (If one uses the Riemann integral instead, the space is not complete, which may be seen as a justification for Lebesgue's integration theory.[nb 11]) Concretely this means that for any sequence of Lebesgue-integrable functions      with, satisfying the condition

there exists a function belonging to the vector space such that

Imposing boundedness conditions not only on the function, but also on its derivatives leads to Sobolev spaces.[62]

Hilbert spaces[edit]

The succeeding snapshots show summation of 1 to 5 terms in approximating a periodic function (blue) by finite sum of sine functions (red).

Complete inner product spaces are known as Hilbert spaces, in honor of David Hilbert.[63] The Hilbert space L2(Ω), with inner product given by

where denotes the complex conjugate of g(x),[64][nb 12] is a key case.

By definition, in a Hilbert space any Cauchy sequence converges to a limit. Conversely, finding a sequence of functions fn with desirable properties that approximates a given limit function, is equally crucial. Early analysis, in the guise of the Taylor approximation, established an approximation of differentiable functions f by polynomials.[65] By the Stone–Weierstrass theorem, every continuous function on [a, b] can be approximated as closely as desired by a polynomial.[66] A similar approximation technique by trigonometric functions is commonly called Fourier expansion, and is much applied in engineering, see below.[clarification needed] More generally, and more conceptually, the theorem yields a simple description of what "basic functions", or, in abstract Hilbert spaces, what basic vectors suffice to generate a Hilbert space H, in the sense that the closure of their span (that is, finite linear combinations and limits of those) is the whole space. Such a set of functions is called a basis of H, its cardinality is known as the Hilbert space dimension.[nb 13] Not only does the theorem exhibit suitable basis functions as sufficient for approximation purposes, but also together with the Gram–Schmidt process, it enables one to construct a basis of orthogonal vectors.[67] Such orthogonal bases are the Hilbert space generalization of the coordinate axes in finite-dimensional Euclidean space.

The solutions to various differential equations can be interpreted in terms of Hilbert spaces. For example, a great many fields in physics and engineering lead to such equations and frequently solutions with particular physical properties are used as basis functions, often orthogonal.[68] As an example from physics, the time-dependent Schrödinger equation in quantum mechanics describes the change of physical properties in time by means of a partial differential equation, whose solutions are called wavefunctions.[69] Definite values for physical properties such as energy, or momentum, correspond to eigenvalues of a certain (linear) differential operator and the associated wavefunctions are called eigenstates. The spectral theorem decomposes a linear compact operator acting on functions in terms of these eigenfunctions and their eigenvalues.[70]

Algebras over fields[edit]

A hyperbola, given by the equation xy = 1. The coordinate ring of functions on this hyperbola is given by R[x, y] / (x · y − 1), an infinite-dimensional vector space over R.

General vector spaces do not possess a multiplication between vectors. A vector space equipped with an additional bilinear operator defining the multiplication of two vectors is an algebra over a field.[71] Many algebras stem from functions on some geometrical object: since functions with values in a given field can be multiplied pointwise, these entities form algebras. The Stone–Weierstrass theorem, for example, relies on Banach algebras which are both Banach spaces and algebras.

Commutative algebra makes great use of rings of polynomials in one or several variables, introduced above.[clarification needed] Their multiplication is both commutative and associative. These rings and their quotients form the basis of algebraic geometry, because they are rings of functions of algebraic geometric objects.[72]

Another crucial example are Lie algebras, which are neither commutative nor associative, but the failure to be so is limited by the constraints ([x, y] denotes the product of x and y):

  • [x, y] = −[y, x] (anticommutativity), and
  • [x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0 (Jacobi identity).[73]

Examples include the vector space of n-by-n matrices, with [x, y] = xyyx, the commutator of two matrices, and R3, endowed with the cross product.

The tensor algebra T(V) is a formal way of adding products to any vector space V to obtain an algebra.[74] As a vector space, it is spanned by symbols, called simple tensors

v1v2 ⊗ ⋯ ⊗ vn, where the degree n varies.

The multiplication is given by concatenating such symbols, imposing the distributive law under addition, and requiring that scalar multiplication commute with the tensor product ⊗, much the same way as with the tensor product of two vector spaces introduced above.[clarification needed] In general, there are no relations between v1v2 and v2v1. Forcing two such elements to be equal leads to the symmetric algebra, whereas forcing v1v2 = − v2v1 yields the exterior algebra.[75]

When a field, F is explicitly stated, a common term used is F-algebra.

Applications[edit]

Vector spaces have many applications as they occur frequently in common circumstances, namely wherever functions with values in some field are involved. They provide a framework to deal with analytical and geometrical problems, or are used in the Fourier transform. This list is not exhaustive: many more applications exist, for example in optimization. The minimax theorem of game theory stating the existence of a unique payoff when all players play optimally can be formulated and proven using vector spaces methods.[76] Representation theory fruitfully transfers the good understanding of linear algebra and vector spaces to other mathematical domains such as group theory.[77]

Distributions[edit]

A distribution (or generalized function) is a linear map assigning a number to each "test" function, typically a smooth function with compact support, in a continuous way: in the above[clarification needed] terminology the space of distributions is the (continuous) dual of the test function space.[78] The latter space is endowed with a topology that takes into account not only f itself, but also all its higher derivatives. A standard example is the result of integrating a test function f over some domain Ω:

When Ω = {p}, the set consisting of a single point, this reduces to the Dirac distribution, denoted by δ, which associates to a test function f its value at the p: δ(f) = f(p). Distributions are a powerful instrument to solve differential equations. Since all standard analytic notions such as derivatives are linear, they extend naturally to the space of distributions. Therefore, the equation in question can be transferred to a distribution space, which is bigger than the underlying function space, so that more flexible methods are available for solving the equation. For example, Green's functions and fundamental solutions are usually distributions rather than proper functions, and can then be used to find solutions of the equation with prescribed boundary conditions. The found solution can then in some cases be proven to be actually a true function, and a solution to the original equation (for example, using the Lax–Milgram theorem, a consequence of the Riesz representation theorem).[79]

Fourier analysis[edit]

The heat equation describes the dissipation of physical properties over time, such as the decline of the temperature of a hot body placed in a colder environment (yellow depicts colder regions than red).

Resolving a periodic function into a sum of trigonometric functions forms a Fourier series, a technique much used in physics and engineering.[nb 14][80] The underlying vector space is usually the Hilbert space L2(0, 2π), for which the functions sin(mx) and cos(mx) (where m is an integer) form an orthogonal basis.[81] The Fourier expansion of an L2 function f is

The coefficients am and bm are called Fourier coefficients of f, and are calculated by the formulas[82]

,

In physical terms the function is represented as a superposition of sine waves and the coefficients give information about the function's frequency spectrum.[83] A complex-number form of Fourier series is also commonly used.[82] The concrete formulae above are consequences of a more general mathematical duality called Pontryagin duality.[84] Applied to the group R, it yields the classical Fourier transform; an application in physics are reciprocal lattices, where the underlying group is a finite-dimensional real vector space endowed with the additional datum of a lattice encoding positions of atoms in crystals.[85]

Fourier series are used to solve boundary value problems in partial differential equations.[86] In 1822, Fourier first used this technique to solve the heat equation.[87] A discrete version of the Fourier series can be used in sampling applications where the function value is known only at a finite number of equally spaced points. In this case the Fourier series is finite and its value is equal to the sampled values at all points.[88] The set of coefficients is known as the discrete Fourier transform (DFT) of the given sample sequence. The DFT is one of the key tools of digital signal processing, a field whose applications include radar, speech encoding, image compression.[89] The JPEG image format is an application of the closely related discrete cosine transform.[90]

The fast Fourier transform is an algorithm for rapidly computing the discrete Fourier transform.[91] It is used not only for calculating the Fourier coefficients but, using the convolution theorem, also for computing the convolution of two finite sequences.[92] They in turn are applied in digital filters[93] and as a rapid multiplication algorithm for polynomials and large integers (Schönhage–Strassen algorithm).[94][95]

Differential geometry[edit]

The tangent space to the 2-sphere at some point is the infinite plane touching the sphere in this point.

The tangent plane to a surface at a point is naturally a vector space whose origin is identified with the point of contact. The tangent plane is the best linear approximation, or linearization, of a surface at a point.[nb 15] Even in a three-dimensional Euclidean space, there is typically no natural way to prescribe a basis of the tangent plane, and so it is conceived of as an abstract vector space rather than a real coordinate space. The tangent space is the generalization to higher-dimensional differentiable manifolds.[96]

Riemannian manifolds are manifolds whose tangent spaces are endowed with a suitable inner product.[97] Derived therefrom, the Riemann curvature tensor encodes all curvatures of a manifold in one object, which finds applications in general relativity, for example, where the Einstein curvature tensor describes the matter and energy content of space-time.[98][99] The tangent space of a Lie group can be given naturally the structure of a Lie algebra and can be used to classify compact Lie groups.[100]

Generalizations[edit]

Vector bundles[edit]

A Möbius strip. Locally, it looks like U × R.

A vector bundle is a family of vector spaces parametrized continuously by a topological space X.[96] More precisely, a vector bundle over X is a topological space E equipped with a continuous map

π : EX

such that for every x in X, the fiber π−1(x) is a vector space. The case dim V = 1 is called a line bundle. For any vector space V, the projection X × VX makes the product X × V into a "trivial" vector bundle. Vector bundles over X are required to be locally a product of X and some (fixed) vector space V: for every x in X, there is a neighborhood U of x such that the restriction of π to π−1(U) is isomorphic[nb 16] to the trivial bundle U × VU. Despite their locally trivial character, vector bundles may (depending on the shape of the underlying space X) be "twisted" in the large (that is, the bundle need not be (globally isomorphic to) the trivial bundle X × V). For example, the Möbius strip can be seen as a line bundle over the circle S1 (by identifying open intervals with the real line). It is, however, different from the cylinder S1 × R, because the latter is orientable whereas the former is not.[101]

Properties of certain vector bundles provide information about the underlying topological space. For example, the tangent bundle consists of the collection of tangent spaces parametrized by the points of a differentiable manifold. The tangent bundle of the circle S1 is globally isomorphic to S1 × R, since there is a global nonzero vector field on S1.[nb 17] In contrast, by the hairy ball theorem, there is no (tangent) vector field on the 2-sphere S2 which is everywhere nonzero.[102] K-theory studies the isomorphism classes of all vector bundles over some topological space.[103] In addition to deepening topological and geometrical insight, it has purely algebraic consequences, such as the classification of finite-dimensional real division algebras: R, C, the quaternions H and the octonions O.

The cotangent bundle of a differentiable manifold consists, at every point of the manifold, of the dual of the tangent space, the cotangent space. Sections of that bundle are known as differential one-forms.

Modules[edit]

Modules are to rings what vector spaces are to fields: the same axioms, applied to a ring R instead of a field F, yield modules.[104] The theory of modules, compared to that of vector spaces, is complicated by the presence of ring elements that do not have multiplicative inverses. For example, modules need not have bases, as the Z-module (that is, abelian group) Z/2Z shows; those modules that do (including all vector spaces) are known as free modules. Nevertheless, a vector space can be compactly defined as a module over a ring which is a field, with the elements being called vectors. Some authors use the term vector space to mean modules over a division ring.[105] The algebro-geometric interpretation of commutative rings via their spectrum allows the development of concepts such as locally free modules, the algebraic counterpart to vector bundles.

Affine and projective spaces[edit]

An affine plane (light blue) in R3. It is a two-dimensional subspace shifted by a vector x (red).

Roughly, affine spaces are vector spaces whose origins are not specified.[106] More precisely, an affine space is a set with a free transitive vector space action. In particular, a vector space is an affine space over itself, by the map

V × VV, (v, a) ↦ a + v.

If W is a vector space, then an affine subspace is a subset of W obtained by translating a linear subspace V by a fixed vector xW; this space is denoted by x + V (it is a coset of V in W) and consists of all vectors of the form x + v for vV. An important example is the space of solutions of a system of inhomogeneous linear equations

Ax = b

generalizing the homogeneous case above, which can be found by setting b = 0 in this equation.[clarification needed][107] The space of solutions is the affine subspace x + V where x is a particular solution of the equation, and V is the space of solutions of the homogeneous equation (the nullspace of A).

The set of one-dimensional subspaces of a fixed finite-dimensional vector space V is known as projective space; it may be used to formalize the idea of parallel lines intersecting at infinity.[108] Grassmannians and flag manifolds generalize this by parametrizing linear subspaces of fixed dimension k and flags of subspaces, respectively.

See also[edit]

  • Vector (mathematics and physics), for a list of various kinds of vectors

Notes[edit]

  1. ^ It is also common, especially in physics, to denote vectors with an arrow on top: v.
  2. ^ This axiom and the next refer to two different operations: scalar multiplication: bv; and field multiplication: ab. They do not assert the associativity of either operation. More formally, scalar multiplication is a monoid action of the multiplicative monoid of the field F on the vector space V.
  3. ^ Some authors (such as Brown 1991) restrict attention to the fields R or C, but most of the theory is unchanged for an arbitrary field.
  4. ^ The indicator functions of intervals (of which there are infinitely many) are linearly independent, for example.
  5. ^ The nomenclature derives from German "eigen", which means own or proper.
  6. ^ See also Jordan–Chevalley decomposition.
  7. ^ This is typically the case when a vector space is also considered as an affine space. In this case, a linear subspace contains the zero vector, while an affine subspace does not necessarily contain it.
  8. ^ Some authors (such as Roman 2005) choose to start with this equivalence relation and derive the concrete shape of V/W from this.
  9. ^ This requirement implies that the topology gives rise to a uniform structure, Bourbaki 1989, ch. II
  10. ^ The triangle inequality for is provided by the Minkowski inequality. For technical reasons, in the context of functions one has to identify functions that agree almost everywhere to get a norm, and not only a seminorm.
  11. ^ "Many functions in of Lebesgue measure, being unbounded, cannot be integrated with the classical Riemann integral. So spaces of Riemann integrable functions would not be complete in the norm, and the orthogonal decomposition would not apply to them. This shows one of the advantages of Lebesgue integration.", Dudley 1989, §5.3, p. 125
  12. ^ For p ≠2, Lp(Ω) is not a Hilbert space.
  13. ^ A basis of a Hilbert space is not the same thing as a basis in the sense of linear algebra above.[clarification needed] For distinction, the latter is then called a Hamel basis.
  14. ^ Although the Fourier series is periodic, the technique can be applied to any L2 function on an interval by considering the function to be continued periodically outside the interval. See Kreyszig 1988, p. 601
  15. ^ That is to say (BSE-3 2001), the plane passing through the point of contact P such that the distance from a point P1 on the surface to the plane is infinitesimally small compared to the distance from P1 to P in the limit as P1 approaches P along the surface.
  16. ^ That is, there is a homeomorphism from π−1(U) to V × U which restricts to linear isomorphisms between fibers.
  17. ^ A line bundle, such as the tangent bundle of S1 is trivial if and only if there is a section that vanishes nowhere, see Husemoller 1994, Corollary 8.3. The sections of the tangent bundle are just vector fields.

Citations[edit]

  1. ^ a b "Comprehensive List of Algebra Symbols". Math Vault. 2020-03-25. Retrieved 2020-08-23.
  2. ^ Roman 2005, ch. 1, p. 27
  3. ^ "5: Vector Spaces". Mathematics LibreTexts. 2016-02-29. Retrieved 2020-08-23.
  4. ^ Weisstein, Eric W. "Vector Space". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-08-23.
  5. ^ van der Waerden 1993, Ch. 19
  6. ^ Bourbaki 1998, §II.1.1. Bourbaki calls the group homomorphisms f(a) homotheties.
  7. ^ Bourbaki 1969, ch. "Algèbre linéaire et algèbre multilinéaire", pp. 78–91.
  8. ^ Bolzano 1804.
  9. ^ Dorier (1995)
  10. ^ Hamilton 1853.
  11. ^ Grassmann 2000.
  12. ^ Peano 1888, ch. IX.
  13. ^ Banach 1922.
  14. ^ Dorier 1995, Moore 1995.
  15. ^ Lang 1987, ch. I.1
  16. ^ Lang 2002, ch. V.1
  17. ^ Lang 1993, ch. XII.3., p. 335
  18. ^ Lang 1987, ch. IX.1
  19. ^ Lang 1987, ch. VI.3.
  20. ^ Roman 2005, Theorem 1.9, p. 43
  21. ^ Blass 1984
  22. ^ Halpern 1966, pp. 670–673
  23. ^ Artin 1991, Theorem 3.3.13
  24. ^ Braun 1993, Th. 3.4.5, p. 291
  25. ^ Stewart 1975, Proposition 4.3, p. 52
  26. ^ Stewart 1975, Theorem 6.5, p. 74
  27. ^ Roman 2005, ch. 2, p. 45
  28. ^ Lang 1987, ch. IV.4, Corollary, p. 106
  29. ^ Lang 1987, Example IV.2.6
  30. ^ Lang 1987, ch. VI.6
  31. ^ Halmos 1974, p. 28, Ex. 9
  32. ^ Lang 1987, Theorem IV.2.1, p. 95
  33. ^ Roman 2005, Th. 2.5 and 2.6, p. 49
  34. ^ Lang 1987, ch. V.1
  35. ^ Lang 1987, ch. V.3., Corollary, p. 106
  36. ^ Lang 1987, Theorem VII.9.8, p. 198
  37. ^ Roman 2005, ch. 8, p. 135–156
  38. ^ Lang 1987, ch. IX.4
  39. ^ Roman 2005, ch. 8, p. 140.
  40. ^ Roman 2005, ch. 1, p. 29
  41. ^ Roman 2005, ch. 1, p. 35
  42. ^ Roman 2005, ch. 3, p. 64
  43. ^ Lang 1987, ch. IV.3.
  44. ^ Roman 2005, ch. 2, p. 48
  45. ^ Mac Lane 1998
  46. ^ Roman 2005, ch. 1, pp. 31–32
  47. ^ Lang 2002, ch. XVI.1
  48. ^ Roman 2005, Th. 14.3. See also Yoneda lemma.
  49. ^ Schaefer & Wolff 1999, pp. 204–205
  50. ^ Bourbaki 2004, ch. 2, p. 48
  51. ^ Roman 2005, ch. 9
  52. ^ Naber 2003, ch. 1.2
  53. ^ Treves 1967
  54. ^ Bourbaki 1987
  55. ^ Kreyszig 1989, §4.11-5
  56. ^ Kreyszig 1989, §1.5-5
  57. ^ Choquet 1966, Proposition III.7.2
  58. ^ Treves 1967, p. 34–36
  59. ^ Lang 1983, Cor. 4.1.2, p. 69
  60. ^ Treves 1967, ch. 11
  61. ^ Treves 1967, Theorem 11.2, p. 102
  62. ^ Evans 1998, ch. 5
  63. ^ Treves 1967, ch. 12
  64. ^ Dennery & Krzywicki 1996, p.190
  65. ^ Lang 1993, Th. XIII.6, p. 349
  66. ^ Lang 1993, Th. III.1.1
  67. ^ Choquet 1966, Lemma III.16.11
  68. ^ Kreyszig 1999, Chapter 11
  69. ^ Griffiths 1995, Chapter 1
  70. ^ Lang 1993, ch. XVII.3
  71. ^ Lang 2002, ch. III.1, p. 121
  72. ^ Eisenbud 1995, ch. 1.6
  73. ^ Varadarajan 1974
  74. ^ Lang 2002, ch. XVI.7
  75. ^ Lang 2002, ch. XVI.8
  76. ^ Luenberger 1997, §7.13
  77. ^ See representation theory and group representation.
  78. ^ Lang 1993, Ch. XI.1
  79. ^ Evans 1998, Th. 6.2.1
  80. ^ Folland 1992, p. 349 ff
  81. ^ Gasquet & Witomski 1999, p. 150
  82. ^ a b Gasquet & Witomski 1999, §4.5
  83. ^ Gasquet & Witomski 1999, p. 57
  84. ^ Loomis 1953, Ch. VII
  85. ^ Ashcroft & Mermin 1976, Ch. 5
  86. ^ Kreyszig 1988, p. 667
  87. ^ Fourier 1822
  88. ^ Gasquet & Witomski 1999, p. 67
  89. ^ Ifeachor & Jervis 2001, pp. 3–4, 11
  90. ^ Wallace 1992
  91. ^ Ifeachor & Jervis 2001, p. 132
  92. ^ Gasquet & Witomski 1999, §10.2
  93. ^ Ifeachor & Jervis 2001, pp. 307–310
  94. ^ Gasquet & Witomski 1999, §10.3
  95. ^ Schönhage & Strassen 1971
  96. ^ a b Spivak 1999, ch. 3
  97. ^ Jost 2005. See also Lorentzian manifold.
  98. ^ Misner, Thorne & Wheeler 1973, ch. 1.8.7, p. 222 and ch. 2.13.5, p. 325
  99. ^ Jost 2005, ch. 3.1
  100. ^ Varadarajan 1974, ch. 4.3, Theorem 4.3.27
  101. ^ Kreyszig 1991, §34, p. 108
  102. ^ Eisenberg & Guy 1979
  103. ^ Atiyah 1989
  104. ^ Artin 1991, ch. 12
  105. ^ Grillet, Pierre Antoine. Abstract algebra. Vol. 242. Springer Science & Business Media, 2007.
  106. ^ Meyer 2000, Example 5.13.5, p. 436
  107. ^ Meyer 2000, Exercise 5.13.15–17, p. 442
  108. ^ Coxeter 1987

References[edit]

Algebra[edit]

  • Artin, Michael (1991), Algebra, Prentice Hall, ISBN 978-0-89871-510-1
  • Blass, Andreas (1984), "Existence of bases implies the axiom of choice", Axiomatic set theory (Boulder, Colorado, 1983), Contemporary Mathematics, 31, Providence, R.I.: American Mathematical Society, pp. 31–33, MR 0763890
  • Brown, William A. (1991), Matrices and vector spaces, New York: M. Dekker, ISBN 978-0-8247-8419-5
  • Lang, Serge (1987), Linear algebra, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-96412-6
  • Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556
  • Mac Lane, Saunders (1999), Algebra (3rd ed.), pp. 193–222, ISBN 978-0-8218-1646-2
  • Meyer, Carl D. (2000), Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, SIAM, ISBN 978-0-89871-454-8
  • Roman, Steven (2005), Advanced Linear Algebra, Graduate Texts in Mathematics, 135 (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-24766-3
  • Spindler, Karlheinz (1993), Abstract Algebra with Applications: Volume 1: Vector spaces and groups, CRC, ISBN 978-0-8247-9144-5
  • van der Waerden, Bartel Leendert (1993), Algebra (in German) (9th ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-56799-8

Analysis[edit]

  • Bourbaki, Nicolas (1987), Topological vector spaces, Elements of mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-13627-9
  • Bourbaki, Nicolas (2004), Integration I, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-41129-1
  • Braun, Martin (1993), Differential equations and their applications: an introduction to applied mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-97894-9
  • BSE-3 (2001) [1994], "Tangent plane", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
  • Choquet, Gustave (1966), Topology, Boston, MA: Academic Press
  • Dennery, Philippe; Krzywicki, Andre (1996), Mathematics for Physicists, Courier Dover Publications, ISBN 978-0-486-69193-0
  • Dudley, Richard M. (1989), Real analysis and probability, The Wadsworth & Brooks/Cole Mathematics Series, Pacific Grove, CA: Wadsworth & Brooks/Cole Advanced Books & Software, ISBN 978-0-534-10050-6
  • Dunham, William (2005), The Calculus Gallery, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-09565-3
  • Evans, Lawrence C. (1998), Partial differential equations, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-0772-9
  • Folland, Gerald B. (1992), Fourier Analysis and Its Applications, Brooks-Cole, ISBN 978-0-534-17094-3
  • Gasquet, Claude; Witomski, Patrick (1999), Fourier Analysis and Applications: Filtering, Numerical Computation, Wavelets, Texts in Applied Mathematics, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98485-8
  • Ifeachor, Emmanuel C.; Jervis, Barrie W. (2001), Digital Signal Processing: A Practical Approach (2nd ed.), Harlow, Essex, England: Prentice-Hall (published 2002), ISBN 978-0-201-59619-9
  • Krantz, Steven G. (1999), A Panorama of Harmonic Analysis, Carus Mathematical Monographs, Washington, DC: Mathematical Association of America, ISBN 978-0-88385-031-2
  • Kreyszig, Erwin (1988), Advanced Engineering Mathematics (6th ed.), New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-85824-9
  • Kreyszig, Erwin (1989), Introductory functional analysis with applications, Wiley Classics Library, New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-50459-7, MR 0992618
  • Lang, Serge (1983), Real analysis, Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-14179-5
  • Lang, Serge (1993), Real and functional analysis, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94001-4
  • Loomis, Lynn H. (1953), An introduction to abstract harmonic analysis, Toronto-New York–London: D. Van Nostrand Company, Inc., pp. x+190, hdl:2027/uc1.b4250788
  • Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topological Vector Spaces. Pure and applied mathematics (Second ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
  • Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
  • Treves, François (1967), Topological vector spaces, distributions and kernels, Boston, MA: Academic Press

Historical references[edit]

  • Banach, Stefan (1922), "Sur les opérations dans les ensembles abstraits et leur application aux équations intégrales (On operations in abstract sets and their application to integral equations)" (PDF), Fundamenta Mathematicae (in French), 3: 133–181, doi:10.4064/fm-3-1-133-181, ISSN 0016-2736
  • Bolzano, Bernard (1804), Betrachtungen über einige Gegenstände der Elementargeometrie (Considerations of some aspects of elementary geometry) (in German)
  • Bellavitis, Giuso (1833), "Sopra alcune applicazioni di un nuovo metodo di geometria analitica", Il poligrafo giornale di scienze, lettre ed arti, Verona, 13: 53–61.
  • Bourbaki, Nicolas (1969), Éléments d'histoire des mathématiques (Elements of history of mathematics) (in French), Paris: Hermann
  • Dorier, Jean-Luc (1995), "A general outline of the genesis of vector space theory", Historia Mathematica, 22 (3): 227–261, doi:10.1006/hmat.1995.1024, MR 1347828
  • Fourier, Jean Baptiste Joseph (1822), Théorie analytique de la chaleur (in French), Chez Firmin Didot, père et fils
  • Grassmann, Hermann (1844), Die Lineale Ausdehnungslehre - Ein neuer Zweig der Mathematik (in German), O. Wigand, reprint: Grassmann, Hermann (2000), Kannenberg, L.C. (ed.), Extension Theory, translated by Kannenberg, Lloyd C., Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-2031-5
  • Hamilton, William Rowan (1853), Lectures on Quaternions, Royal Irish Academy
  • Möbius, August Ferdinand (1827), Der Barycentrische Calcul : ein neues Hülfsmittel zur analytischen Behandlung der Geometrie (Barycentric calculus: a new utility for an analytic treatment of geometry) (in German), archived from the original on 2006-11-23
  • Moore, Gregory H. (1995), "The axiomatization of linear algebra: 1875–1940", Historia Mathematica, 22 (3): 262–303, doi:10.1006/hmat.1995.1025
  • Peano, Giuseppe (1888), Calcolo Geometrico secondo l'Ausdehnungslehre di H. Grassmann preceduto dalle Operazioni della Logica Deduttiva (in Italian), Turin
  • Peano, G. (1901) Formulario mathematico: vct axioms via Internet Archive

Further references[edit]

  • Ashcroft, Neil; Mermin, N. David (1976), Solid State Physics, Toronto: Thomson Learning, ISBN 978-0-03-083993-1
  • Atiyah, Michael Francis (1989), K-theory, Advanced Book Classics (2nd ed.), Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-09394-0, MR 1043170
  • Bourbaki, Nicolas (1998), Elements of Mathematics : Algebra I Chapters 1-3, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-64243-5
  • Bourbaki, Nicolas (1989), General Topology. Chapters 1-4, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-64241-1
  • Coxeter, Harold Scott MacDonald (1987), Projective Geometry (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-96532-1
  • Eisenberg, Murray; Guy, Robert (1979), "A proof of the hairy ball theorem", The American Mathematical Monthly, 86 (7): 572–574, doi:10.2307/2320587, JSTOR 2320587
  • Eisenbud, David (1995), Commutative algebra, Graduate Texts in Mathematics, 150, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94269-8, MR 1322960
  • Goldrei, Derek (1996), Classic Set Theory: A guided independent study (1st ed.), London: Chapman and Hall, ISBN 978-0-412-60610-6
  • Griffiths, David J. (1995), Introduction to Quantum Mechanics, Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, ISBN 978-0-13-124405-4
  • Halmos, Paul R. (1974), Finite-dimensional vector spaces, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90093-3
  • Halpern, James D. (Jun 1966), "Bases in Vector Spaces and the Axiom of Choice", Proceedings of the American Mathematical Society, 17 (3): 670–673, doi:10.2307/2035388, JSTOR 2035388
  • Hughes-Hallett, Deborah; McCallum, William G.; Gleason, Andrew M. (2013), Calculus : Single and Multivariable (6 ed.), John Wiley & Sons, ISBN 978-0470-88861-2
  • Husemoller, Dale (1994), Fibre Bundles (3rd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94087-8
  • Jost, Jürgen (2005), Riemannian Geometry and Geometric Analysis (4th ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-25907-7
  • Kreyszig, Erwin (1991), Differential geometry, New York: Dover Publications, pp. xiv+352, ISBN 978-0-486-66721-8
  • Kreyszig, Erwin (1999), Advanced Engineering Mathematics (8th ed.), New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-15496-9
  • Luenberger, David (1997), Optimization by vector space methods, New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-18117-0
  • Mac Lane, Saunders (1998), Categories for the Working Mathematician (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98403-2
  • Misner, Charles W.; Thorne, Kip; Wheeler, John Archibald (1973), Gravitation, W. H. Freeman, ISBN 978-0-7167-0344-0
  • Naber, Gregory L. (2003), The geometry of Minkowski spacetime, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-43235-9, MR 2044239
  • Schönhage, A.; Strassen, Volker (1971), "Schnelle Multiplikation großer Zahlen (Fast multiplication of big numbers)", Computing (in German), 7 (3–4): 281–292, doi:10.1007/bf02242355, ISSN 0010-485X, S2CID 9738629
  • Spivak, Michael (1999), A Comprehensive Introduction to Differential Geometry (Volume Two), Houston, TX: Publish or Perish
  • Stewart, Ian (1975), Galois Theory, Chapman and Hall Mathematics Series, London: Chapman and Hall, ISBN 978-0-412-10800-6
  • Varadarajan, V. S. (1974), Lie groups, Lie algebras, and their representations, Prentice Hall, ISBN 978-0-13-535732-3
  • Wallace, G.K. (Feb 1992), "The JPEG still picture compression standard" (PDF), IEEE Transactions on Consumer Electronics, 38 (1): xviii–xxxiv, CiteSeerX 10.1.1.318.4292, doi:10.1109/30.125072, ISSN 0098-3063, archived from the original (PDF) on 2007-01-13, retrieved 2017-10-25
  • Weibel, Charles A. (1994). An introduction to homological algebra. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. 38. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-55987-4. MR 1269324. OCLC 36131259.

External links[edit]

  • "Vector space", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]