เบอร์จริง

ในวิชาคณิตศาสตร์เป็นจำนวนจริงเป็นค่าของอย่างต่อเนื่องปริมาณที่สามารถเป็นตัวแทนของระยะทางตามบรรทัด (หรือหรือปริมาณที่สามารถแสดงเป็นอนันต์ขยายตัวทศนิยม ) คำคุณศัพท์จริงในบริบทนี้เป็นที่รู้จักในศตวรรษที่ 17 โดยRené Descartesที่โดดเด่นระหว่างจริงและจินตนาการ รากของพหุนาม จำนวนจริงประกอบด้วยจำนวนตรรกยะทั้งหมดเช่นจำนวนเต็ม -5 และเศษส่วน 4/3 และจำนวนอตรรกยะทั้งหมดเช่น√ 2 (1.41421356..., รากที่สองของ 2 , จำนวนพีชคณิตอตรรกยะ) รวมอยู่ใน irrationals เป็นจริงตัวเลขยอดเยี่ยมเช่น $π$ (3.14159265 ... ) ^[1]นอกจากระยะทางวัดตัวเลขจริงสามารถนำมาใช้ในการวัดปริมาณดังกล่าวเป็นเวลา , มวล , พลังงาน , ความเร็ว , และอื่น ๆ อีกมากมาย ชุดของจำนวนจริงแสดงโดยใช้สัญลักษณ์Rหรือ $\mathbb {R}$ ^[2]^[3]และบางครั้งเรียกว่า "ของจริง" ^[4]

สัญลักษณ์แทนเซตของจำนวนจริง

จำนวนจริงสามารถคิดได้ว่าเป็นจุดบนเส้นยาวอนันต์ที่เรียกว่าเส้นจำนวนหรือเส้นจริงโดยจุดที่ตรงกับจำนวนเต็มจะมีระยะห่างเท่ากัน จำนวนจริงใดๆ สามารถกำหนดได้โดยการแสดงทศนิยมแบบอนันต์เช่น 8.632 โดยที่แต่ละหลักต่อเนื่องกันจะถูกวัดเป็นหน่วยหนึ่งในสิบของขนาดก่อนหน้า บรรทัดที่แท้จริงสามารถจะคิดว่าเป็นส่วนหนึ่งของเครื่องบินที่ซับซ้อนและตัวเลขจริงอาจจะคิดว่าเป็นส่วนหนึ่งของตัวเลขที่ซับซ้อน

จำนวนจริงสามารถคิดได้ว่าเป็นจุดบนเส้นจำนวนยาวอนันต์

คำอธิบายของจำนวนจริงเหล่านี้ไม่เข้มงวดเพียงพอตามมาตรฐานสมัยใหม่ของคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ การค้นพบคำจำกัดความที่เข้มงวดอย่างเหมาะสมของจำนวนจริง—อันที่จริง การตระหนักว่าจำเป็นต้องมีคำจำกัดความที่ดีกว่า—ถือเป็นหนึ่งในพัฒนาการที่สำคัญที่สุดของคณิตศาสตร์ในศตวรรษที่ 19 คำจำกัดความเชิงสัจพจน์มาตรฐานปัจจุบันคือจำนวนจริงสร้างฟิลด์ลำดับDedekind-complete ที่ ไม่ซ้ำกัน( $\mathbb {R}$ ; + ; · ; <) ถึงมอร์ฟ , ^{[เป็น]}ในขณะที่คำจำกัดความที่สร้างสรรค์เป็นที่นิยมของตัวเลขจริงรวมถึงการประกาศว่าพวกเขาเป็นชั้นสมมูลของลำดับ Cauchy (สรุปตัวเลข) ตัด Dedekindหรือไม่มีที่สิ้นสุดการแสดงทศนิยมร่วมกับการตีความแม่นยำสำหรับการดำเนินการทางคณิตศาสตร์และ ความสัมพันธ์ของคำสั่ง คำจำกัดความทั้งหมดเหล่านี้เป็นไปตามคำจำกัดความเชิงสัจพจน์และเทียบเท่ากัน

เซตของจำนวนจริงทั้งหมดนั้นนับไม่ได้ในแง่ที่ว่าทั้งเซตของจำนวนจริงทั้งหมดและเซตของจำนวนจริงทั้งหมดเป็นเซตอนันต์แต่ไม่มีฟังก์ชันแบบหนึ่งต่อหนึ่งจากจำนวนจริงถึงจำนวนธรรมชาติ . อันที่จริงจำนวนนับของเซตของจำนวนจริงทั้งหมด แทนด้วย ${\mathfrak {c}}$ และเรียกว่าคาร์ดินัลลิตี้ของคอนตินิวอัม , ^[2]มากกว่าคาร์ดินัลลิตี้ของเซตของจำนวนธรรมชาติทั้งหมดอย่างเคร่งครัด (แสดง $\aleph _{0}$ , 'ไม่มีสาระ' ^[2] )

ข้อความว่าไม่มีสับเซตของจำนวนจริงที่มีจำนวนเชิงการนับมากกว่า $\aleph _{0}$ และเล็กกว่า .อย่างเคร่งครัด ${\mathfrak {c}}$ เรียกว่าสมมติฐานต่อเนื่อง (CH) ไม่สามารถพิสูจน์หรือหักล้างได้โดยใช้สัจพจน์ของทฤษฎีเซตของZermelo–Fraenkelรวมถึงสัจพจน์ของทางเลือก (ZFC) ซึ่งเป็นรากฐานมาตรฐานของคณิตศาสตร์สมัยใหม่ ในความเป็นจริง ZFC บางรุ่นตอบสนอง CH ในขณะที่บางรุ่นละเมิด

ประวัติศาสตร์

ตัวเลขจริง

(\mathbb {R} )

รวม จำนวนตรรกยะ

(\mathbb {Q} )

ซึ่งรวมถึง จำนวนเต็ม

(\mathbb {Z} )

ซึ่งรวมถึง จำนวนธรรมชาติ

(\mathbb {N} )

ชาวอียิปต์ใช้เศษส่วนอย่างง่ายประมาณ 1,000 ปีก่อนคริสตกาล เวท " Shulba พระสูตร " ( "กฎของคอร์ด") ในค 600 BC , รวมถึงสิ่งที่อาจจะเป็นครั้งแรกที่ "การใช้งาน" ของตัวเลขไม่ลงตัว แนวคิดของความไม่ลงตัวได้รับการยอมรับโดยปริยายต้นคณิตศาสตร์อินเดียเช่นManava ( c. 750-690 BC)ที่มีความตระหนักว่ารากของตัวเลขบางอย่างเช่นที่ 2 และ 61, ไม่สามารถกำหนดว่า ^[5]รอบ 500 ก่อนคริสต์ศักราชคณิตศาสตร์ชาวกรีกนำโดยPythagorasตระหนักถึงความจำเป็นสำหรับตัวเลขไม่ลงตัวโดยเฉพาะอย่างยิ่งความไม่ลงตัวของรากที่สองของ 2

ยุคกลางนำเกี่ยวกับการยอมรับของศูนย์ , ตัวเลขที่ติดลบ , จำนวนเต็มและเศษส่วนตัวเลขเป็นครั้งแรกโดยอินเดียและนักคณิตศาสตร์ชาวจีนแล้วโดยนักคณิตศาสตร์อาหรับที่ยังเป็นครั้งแรกในการรักษาตัวเลขไม่ลงตัวเป็นวัตถุพีชคณิต (หลังถูกทำไปได้ โดยการพัฒนาพีชคณิต) ^[6]นักคณิตศาสตร์ชาวอาหรับได้รวมแนวคิดของ " จำนวน " และ " ขนาด " เข้าด้วยกันเป็นแนวคิดทั่วไปของจำนวนจริง ^[7]นักคณิตศาสตร์ชาวอียิปต์Abū Kāmil Shuja ibn Aslam ( ค. 850–930)เป็นคนแรกที่ยอมรับจำนวนอตรรกยะเป็นคำตอบของสมการกำลังสองหรือเป็นสัมประสิทธิ์ในสมการ (มักอยู่ในรูปของรากที่สองรากที่สามและสี่ ราก ). ^[8]

ในศตวรรษที่ 16 ไซม่อน สตีวินได้สร้างพื้นฐานสำหรับสัญกรณ์ทศนิยมสมัยใหม่และยืนยันว่าไม่มีความแตกต่างระหว่างจำนวนตรรกยะและอตรรกยะในเรื่องนี้

ในศตวรรษที่ 17 เดส์การตส์แนะนำคำว่า "ของจริง" เพื่ออธิบายรากของพหุนาม โดยแยกความแตกต่างจากคำว่า "จินตภาพ"

ในวันที่ 18 และ 19 ศตวรรษมีการทำงานมากในการที่ไม่มีเหตุผลและตัวเลขยอดเยี่ยม โยฮันน์ ไฮน์ริช แลมเบิร์ต (ค.ศ. 1761) ให้ข้อพิสูจน์ที่มีข้อบกพร่องประการแรกว่า $π$ ไม่มีเหตุผล Adrien-Marie Legendre (1794) ได้เสร็จสิ้นการพิสูจน์^[9]และแสดงให้เห็นว่า $π$ ไม่ใช่รากที่สองของจำนวนตรรกยะ ^[10] Paolo Ruffini (1799) และNiels Henrik Abel (1842) ต่างก็สร้างการพิสูจน์ของทฤษฎีบท Abel–Ruffini : ว่าสมการquinticทั่วไปหรือสมการที่สูงกว่าไม่สามารถแก้ไขได้ด้วยสูตรทั่วไปที่เกี่ยวข้องกับการดำเนินการทางคณิตศาสตร์และรากเท่านั้น

Évariste Galois (1832) ได้พัฒนาเทคนิคในการพิจารณาว่าสมการที่กำหนดสามารถแก้ไขได้โดยอนุมูลหรือไม่ ซึ่งทำให้เกิดทฤษฎีกาลอย Joseph Liouville (1840) แสดงให้เห็นว่าทั้งeและe ²ไม่สามารถเป็นรากของสมการกำลังสองจำนวนเต็มได้ และจากนั้นก็สร้างการมีอยู่ของจำนวนอนันต์ Georg Cantor (1873) ขยายขอบเขตและทำให้ข้อพิสูจน์นี้ง่ายขึ้นอย่างมาก ^[11] Charles Hermite (1873) พิสูจน์ครั้งแรกว่าeเหนือธรรมชาติ และFerdinand von Lindemann (1882) แสดงให้เห็นว่า $π$ เหนือธรรมชาติ หลักฐาน Lindemann ก็ง่ายมากโดย Weierstrass (1885) ยังคงต่อไปโดยเดวิดฮิลแบร์ต (1893) และได้รับการทำในที่สุดประถมโดยอดอล์ฟ Hurwitz ^[12]และพอลกอร์แดน ^[13]

การพัฒนาแคลคูลัสในศตวรรษที่ 18 ใช้ชุดของจำนวนจริงทั้งหมดโดยไม่ได้กำหนดอย่างเข้มงวด ความหมายอย่างเข้มงวดแรกที่ได้รับการตีพิมพ์โดยเฟรดต้นเสียงในปี 1871 ใน 1874 เขาพบว่าชุดของตัวเลขจริงทั้งหมดคือไม่มีที่สิ้นสุด uncountablyแต่ชุดของทุกตัวเลขเกี่ยวกับพีชคณิตเป็นอนันต์วท์ ขัดกับความเชื่อที่จัดขึ้นกันอย่างแพร่หลายวิธีแรกของเขาไม่ได้มีชื่อเสียงของเขาแย้งทแยงซึ่งเขาตีพิมพ์ในปี 1891 สำหรับข้อมูลเพิ่มเติมโปรดดูที่ต้นเสียงหลักฐาน uncountability แรก

คำนิยาม

ระบบจำนวนจริง $(\mathbb {R} ;{}+{};{}\cdot {};{}<{})$ สามารถกำหนดตามสัจพจน์ได้ถึงisomorphismซึ่งจะอธิบายต่อไปในที่นี้ มีหลายวิธีในการสร้าง "ระบบจำนวนจริง" และวิธีการที่นิยมเกี่ยวข้องกับการเริ่มจากจำนวนธรรมชาติ จากนั้นกำหนดจำนวนตรรกยะเชิงพีชคณิต และสุดท้ายกำหนดจำนวนจริงเป็นคลาสสมมูลของลำดับ Cauchyหรือเป็นการตัด Dedekindซึ่งแน่นอน เซตย่อยของจำนวนตรรกยะ อีกวิธีหนึ่งคือการเริ่มต้นจากการทำให้เป็นจริงของเรขาคณิตแบบยุคลิดอย่างเข้มงวด (พูดถึงฮิลเบิร์ตหรือทาร์สกี้) แล้วกำหนดระบบจำนวนจริงในเชิงเรขาคณิต ที่ดินเหล่านี้ทั้งหมดของตัวเลขจริงได้รับการแสดงที่จะเทียบเท่าในความรู้สึกที่ส่งผลให้ระบบมีจำนวนisomorphic

วิธีการเชิงสัจพจน์

ปล่อย $\mathbb {R}$ แทนเซตของจำนวนจริงทั้งหมด แล้ว:

ชุด $\mathbb {R}$ เป็นฟิลด์หมายความว่าการบวกและการคูณถูกกำหนดและมีคุณสมบัติตามปกติ
สนาม $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ มีการสั่งซื้อซึ่งหมายความว่ามีการสั่งซื้อรวม ≥เช่นว่าสำหรับตัวเลขจริงทั้งหมดx , YและZ :
- ถ้าx ≥ yแล้วx + z ≥ y + z ;
- ถ้าx ≥ 0 และy ≥ 0 แล้วxy ≥ 0
ลำดับคือDedekind-completeหมายความว่าทุกเซตย่อยที่ไม่ว่างเปล่าSของ $\mathbb {R}$ ที่มีขอบเขตบนใน $\mathbb {R}$ มีขอบบนที่น้อยที่สุด (aka, สูงสุด) ใน $\mathbb {R}$ .

คุณสมบัติสุดท้ายคือสิ่งที่สร้างความแตกต่างของจำนวนจริงจากการใช้เหตุผล (และจากฟิลด์ที่เรียงลำดับที่แปลกใหม่กว่าอื่น ๆ ) ตัวอย่างเช่น, $\{x\in \mathbb {Q} :x^{2}<2\}$ มีขอบเขตบนที่มีเหตุผล (เช่น 1.42) แต่ไม่มีขอบเขตบนที่มีเหตุผลน้อยที่สุดเพราะleast 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} ไม่สมเหตุสมผล

คุณสมบัติเหล่านี้บ่งบอกถึงคุณสมบัติของอาร์คิมีดีน (ซึ่งไม่ได้หมายความถึงความสมบูรณ์อื่นใด) ซึ่งระบุว่าเซตของจำนวนเต็มไม่มีขอบเขตบนในจำนวนจริง อันที่จริง หากเป็นเท็จ จำนวนเต็มจะมีขอบเขตบนที่น้อยที่สุดN ; แล้วN - 1 จะไม่ถูกผูกไว้บนและจะมีจำนวนเต็มnเช่นที่n > N - 1และทำให้n + 1> Nซึ่งเป็นความขัดแย้งกับบนผูกพันทรัพย์สินของN

จำนวนจริงถูกระบุโดยคุณสมบัติข้างต้นอย่างไม่ซ้ำกัน แม่นยำยิ่งขึ้นโดยให้ฟิลด์ที่สั่งซื้อ Dedekind สมบูรณ์สองช่อง $\mathbb {R} _{1}$ และ $\mathbb {R} _{2}$ มีisomorphismฟิลด์ที่ไม่ซ้ำกันจาก $\mathbb {R} _{1}$ ถึง $\mathbb {R_{2}}$ . เอกลักษณ์นี้ทำให้เราสามารถคิดว่ามันเป็นวัตถุทางคณิตศาสตร์เดียวกันโดยพื้นฐานแล้ว

สำหรับสัจพจน์ของ $\mathbb {R}$ ดูaxiomatization Tarski ของจำนวนจริง

การสร้างจากจำนวนตรรกยะ

จำนวนจริงสามารถสร้างเป็นผลสำเร็จของจำนวนตรรกยะ ในลักษณะที่ลำดับที่กำหนดโดยการขยายฐานสิบหรือไบนารีเช่น (3; 3.1; 3.14; 3.141; 3.1415; ...) มาบรรจบกันเป็นจำนวนจริงที่ไม่ซ้ำกัน —ในกรณีนี้ $π$ . สำหรับรายละเอียดและการก่อสร้างอื่น ๆ ของตัวเลขจริงเห็นการก่อสร้างของจำนวนจริง

คุณสมบัติ

คุณสมบัติพื้นฐาน

ไม่ใช่ใด ๆ ที่ศูนย์จำนวนจริงเป็นทั้งเชิงลบหรือบวก
ผลรวมและผลคูณของจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบสองตัวนั้นเป็นจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบ นั่นคือ พวกมันถูกปิดภายใต้การดำเนินการเหล่านี้ และเกิดรูปกรวยบวกทำให้เกิดลำดับเชิงเส้นของจำนวนจริงตามจำนวน สาย .
จำนวนจริงประกอบขึ้นเป็นชุดของจำนวนอนันต์ที่ไม่สามารถแมปแบบฉีดเข้ากับเซตของจำนวนธรรมชาติที่ไม่มีที่สิ้นสุดกล่าวคือ มีจำนวนจริงจำนวนมากนับไม่ถ้วน ในขณะที่จำนวนธรรมชาติเรียกว่าอนันต์ที่นับได้ นี้กำหนดว่าในความรู้สึกบางอย่างที่มีมากขึ้นตัวเลขจริงมากกว่าที่มีองค์ประกอบในชุดนับใด ๆ
มีลำดับชั้นย่อยอนันต์วท์ของตัวเลขจริงเช่นเป็นจำนวนเต็มที่rationalsที่ตัวเลขเกี่ยวกับพีชคณิตและคำนวณตัวเลขแต่ละชุดเป็นชุดย่อยที่เหมาะสมของการต่อไปในลำดับ เติมเต็มทุกชุดเหล่านี้ ( ไม่ลงตัว , อดิศัยและตัวเลขจริงไม่ใช่คำนวณ) ใน reals ที่มีทั้งหมดชุดอนันต์ uncountably
ตัวเลขจริงสามารถนำมาใช้ในการแสดงการวัดของอย่างต่อเนื่องปริมาณ พวกเขาอาจจะแสดงออกโดยการแสดงทศนิยมที่สุดของพวกเขาที่มีลำดับอนันต์ตัวเลขไปทางขวาของจุดทศนิยม ; เหล่านี้มักจะแสดงเช่น 324.823122147... โดยที่จุดไข่ปลา (สามจุด) บ่งชี้ว่ายังคงมีตัวเลขเพิ่มขึ้น สิ่งนี้ชี้ให้เห็นถึงความจริงที่ว่าเราสามารถระบุจำนวนจริงที่เลือกได้อย่างแม่นยำเพียงไม่กี่จำนวนที่มีสัญลักษณ์มากมาย

อย่างเป็นทางการกว่านั้น จำนวนจริงมีคุณสมบัติพื้นฐานสองประการของการเป็นฟิลด์ที่เรียงลำดับและมีคุณสมบัติขอบบนที่น้อยที่สุด ประการแรกกล่าวว่าจำนวนจริงประกอบด้วยฟิลด์โดยมีการบวกและการคูณ รวมถึงการหารด้วยตัวเลขที่ไม่ใช่ศูนย์ ซึ่งสามารถเรียงลำดับได้ทั้งหมดบนเส้นจำนวนในลักษณะที่เข้ากันได้กับการบวกและการคูณ ที่สองบอกว่าถ้าชุดไม่ว่างเปล่าของจำนวนจริงมียอดที่ถูกผูกไว้บนแล้วมันมีจริงอย่างน้อยผูกไว้ด้านบน เงื่อนไขที่สองแยกจำนวนจริงออกจากจำนวนตรรกยะ: ตัวอย่างเช่น ชุดของจำนวนตรรกยะที่มีกำลังสองน้อยกว่า 2 เป็นเซตที่มีขอบเขตบน (เช่น 1.5) แต่ไม่มีขอบเขตบนที่น้อยที่สุด (ตรรกยะ): ดังนั้น จำนวนตรรกยะ ไม่เป็นไปตามคุณสมบัติขอบบนที่น้อยที่สุด

ความสมบูรณ์

เหตุผลหลักสำหรับการใช้ตัวเลขที่แท้จริงคือเพื่อให้ลำดับหลายคนมีขีด จำกัด อย่างเป็นทางการมากขึ้น จำนวนจริงเสร็จสมบูรณ์ (ในแง่ของช่องว่างเมตริกหรือช่องว่างที่เหมือนกันซึ่งเป็นความหมายที่แตกต่างจากความสมบูรณ์ของ Dedekind ของคำสั่งในส่วนก่อนหน้า):

ลำดับ ( x _n ) ของจำนวนจริงที่เรียกว่าลำดับ Cauchyถ้าสำหรับε> 0มีอยู่จำนวนเต็มN (อาจจะขึ้นอยู่กับε) เช่นว่าระยะทาง | x _n − x _m | น้อยกว่าεสำหรับทุกnและม.ที่มีทั้งความยิ่งใหญ่กว่าN คำจำกัดความนี้ แต่เดิมจัดทำโดยCauchyทำให้ความจริงที่ว่าx _nมาและยังคงอยู่ใกล้กันโดยพลการ

ลำดับ ( x _n ) มาบรรจบกันที่ขีด จำกัด xถ้าในที่สุดองค์ประกอบของมันมาและยังคงอยู่ใกล้กับxโดยพลการนั่นคือถ้าสำหรับε > 0จะมีจำนวนเต็มN (อาจขึ้นอยู่กับ ε) ซึ่งระยะทาง| x _n − x | น้อยกว่าεสำหรับnมากกว่าN

ทุกลำดับการบรรจบกันเป็นลำดับ Cauchy และคอนเวิร์สเป็นจริงสำหรับจำนวนจริง และนี่หมายความว่าปริภูมิทอพอโลยีของจำนวนจริงนั้นสมบูรณ์

ชุดของจำนวนตรรกยะไม่สมบูรณ์ ตัวอย่างเช่น ลำดับ (1; 1.4; 1.41; 1.414; 1.4142; 1.41421; ...) โดยที่แต่ละเทอมจะเพิ่มตัวเลขของการขยายทศนิยมของรากที่สองที่เป็นบวกของ 2 คือ Cauchy แต่ไม่มาบรรจบกันเป็น จำนวนตรรกยะ (ในทางตรงกันข้าม จำนวนจริงจะบรรจบกับรากที่สองที่เป็นบวกของ 2)

คุณสมบัติความสมบูรณ์ของจำนวนจริงเป็นพื้นฐานในการคำนวณหาแคลคูลัสและโดยทั่วไปแล้วการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์จะถูกสร้างขึ้น โดยเฉพาะอย่างยิ่ง การทดสอบว่าซีเควนซ์เป็นซีเควนซ์ Cauchy ช่วยให้พิสูจน์ได้ว่าซีเควนซ์มีขีดจำกัด โดยไม่ต้องคำนวณ และแม้จะไม่รู้ตัวก็ตาม

ตัวอย่างเช่น อนุกรมมาตรฐานของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}

มาบรรจบกันเป็นจำนวนจริงสำหรับทุก ๆxเพราะผลรวม

\sum _{n=N}^{M}{\frac {x^{n}}{n!}}

สามารถทำให้มีขนาดเล็กตามอำเภอใจ (ไม่ขึ้นกับM ) โดยเลือกNขนาดใหญ่เพียงพอ นี่เป็นการพิสูจน์ว่าซีเควนซ์เป็น Cauchy และมาบรรจบกัน แสดงว่า $e^{x}$ มีการกำหนดไว้อย่างดีสำหรับทุกx

"ช่องสั่งสมบูรณ์"

ตัวเลขจริงมักถูกอธิบายว่าเป็น "ช่องลำดับที่สมบูรณ์" ซึ่งเป็นวลีที่สามารถตีความได้หลายวิธี

ขั้นแรก คำสั่งสามารถขัดแตะให้สมบูรณ์ได้ ง่ายที่จะเห็นว่าไม่มีฟิลด์ที่เรียงลำดับใดสามารถสมบูรณ์ขัดแตะได้ เนื่องจากไม่มีองค์ประกอบที่ใหญ่ที่สุด (เนื่องจากองค์ประกอบใด ๆz , z + 1จะใหญ่กว่า)

นอกจากนี้การสั่งซื้อสามารถDedekind สมบูรณ์ดูวิธี§ซึ่งเป็นจริง ผลลัพธ์ที่เป็นเอกลักษณ์ที่ส่วนท้ายของส่วนนั้นใช้คำว่า "the" ในวลี "สมบูรณ์ตามคำสั่งฟิลด์" เมื่อนี่คือความหมายของ "สมบูรณ์" ที่มีความหมาย ความรู้สึกสมบูรณ์นี้สัมพันธ์อย่างใกล้ชิดที่สุดกับการสร้างของจริงจากการตัดของ Dedekind เนื่องจากการก่อสร้างนั้นเริ่มต้นจากสนามที่ได้รับคำสั่ง (เหตุผล) และจากนั้นสร้าง Dedekind-complement ของมันในลักษณะมาตรฐาน

แนวคิดเรื่องความสมบูรณ์ทั้งสองนี้ละเว้นโครงสร้างสนาม อย่างไรก็ตามกลุ่มที่สั่งซื้อ (ในกรณีนี้กลุ่มสารเติมแต่งของสนาม) กำหนดเครื่องแบบโครงสร้างและโครงสร้างเครื่องแบบมีความคิดของความสมบูรณ์ ; คำอธิบายใน§ ความสมบูรณ์เป็นกรณีพิเศษ (เราอ้างถึงแนวคิดเรื่องความสมบูรณ์ในช่องว่างที่สม่ำเสมอมากกว่าแนวคิดที่เกี่ยวข้องและรู้จักกันดีสำหรับปริภูมิเมตริกเนื่องจากคำจำกัดความของปริภูมิเมตริกอาศัยการจำแนกลักษณะจำนวนจริงอยู่แล้ว) ไม่เป็นความจริงที่ $\mathbb {R}$ เป็นสนามที่มีระเบียบสมบูรณ์เพียงสนามเดียว แต่เป็นสนามอาร์คิมีดีนที่สมบูรณ์เพียงสนามเดียว และแน่นอน เรามักจะได้ยินวลี "เขตอาร์คิมีดีนที่สมบูรณ์" แทนที่จะเป็น "ฟิลด์ที่สั่งสมบูรณ์" ฟิลด์อาร์คิมีดีนที่สมบูรณ์ทุกฟิลด์จะต้องสมบูรณ์ด้วยเดเดคินด์ (และในทางกลับกัน) โดยให้เหตุผลโดยใช้ "the" ในวลี "ฟิลด์อาร์คิมีดีนที่สมบูรณ์" ความรู้สึกถึงความสมบูรณ์นี้สัมพันธ์อย่างใกล้ชิดที่สุดกับการสร้างของจริงจากลำดับ Cauchy (การก่อสร้างที่ดำเนินการอย่างครบถ้วนในบทความนี้) เพราะมันเริ่มต้นด้วยเขตข้อมูลอาร์คิมีดีน (เหตุผล) และสร้างความสมบูรณ์ที่สม่ำเสมอของมันในมาตรฐาน ทาง.

แต่เดิมการใช้วลี "สมบูรณ์สนามอาร์คิมีดีน" เป็นของDavid Hilbertผู้ซึ่งยังคงหมายถึงอย่างอื่นด้วย เขาหมายถึงว่าจำนวนจริงสร้างสนามอาร์คิมีดีนที่ใหญ่ที่สุดในแง่ที่ว่าทุกฟิลด์อาร์คิมีดีนเป็นฟิลด์ย่อยของ $\mathbb {R}$ . ดังนั้น $\mathbb {R}$ คือ "สมบูรณ์" ในแง่ที่ว่าไม่มีอะไรเพิ่มเติมเข้าไปได้โดยไม่ทำให้ไม่เป็นสนามอาร์คิมีดีนอีกต่อไป ความรู้สึกสมบูรณ์นี้เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดที่สุดกับการสร้างจำนวนจริงจากจำนวนเซอร์เรียลเนื่องจากการสร้างนั้นเริ่มต้นด้วยคลาสที่เหมาะสมซึ่งมีฟิลด์ที่เรียงลำดับทุกฟิลด์ (เซอร์เรียล) จากนั้นเลือกฟิลด์ย่อยที่ใหญ่ที่สุดของอาร์คิมีดีน

คุณสมบัติขั้นสูง

ของจริงนับไม่ได้ ; นั่นคือมีจำนวนอย่างเคร่งครัดจริงมากกว่าจำนวนธรรมชาติแม้ว่าทั้งสองชุดมีอนันต์ อันที่จริงคาร์ดินาลิตี้ของจำนวนจริงเท่ากับเซตของเซตย่อย (เช่น เซตกำลัง) ของจำนวนธรรมชาติ และอาร์กิวเมนต์ในแนวทแยงของแกนทอร์ระบุว่าจำนวนการนับของเซตหลังนั้นมากกว่าคาร์ดินัลลิตี้ของ $\mathbb {N}$ . ตั้งแต่ชุดของตัวเลขเกี่ยวกับพีชคณิตเป็นนับเกือบทุกตัวเลขจริงเป็นเยี่ยม ไม่ใช่การดำรงอยู่ของส่วนย่อยของ reals กับ cardinality อย่างเคร่งครัดระหว่างที่ของจำนวนเต็มและ reals ที่เป็นที่รู้จักกันเป็นสมมติฐาน สมมติฐานต่อเนื่องไม่สามารถพิสูจน์หรือหักล้างได้ มันเป็นอิสระจากหลักการของทฤษฎีเซต

ในฐานะที่เป็นพื้นที่ทอพอโลยีตัวเลขจริงมีแยกกันไม่ออก นี่เป็นเพราะเซตของตรรกยะซึ่งนับได้นั้นหนาแน่นในจำนวนจริง จำนวนอตรรกยะก็หนาแน่นในจำนวนจริงเช่นกัน อย่างไรก็ตาม พวกมันนับไม่ได้และมีคาร์ดินาลลิตี้เหมือนกันกับจำนวนจริง

จำนวนจริงสร้างช่องว่างเมตริก : ระยะห่างระหว่างxและyถูกกำหนดเป็นค่าสัมบูรณ์ | x − y | . โดยอาศัยอำนาจเป็นชุดที่ได้รับคำสั่งโดยสิ้นเชิงพวกเขายังดำเนินการโทโพโลยีลำดับด้วย โครงสร้างที่เกิดขึ้นจากตัวชี้วัดและหนึ่งที่เกิดขึ้นจากการสั่งซื้อเหมือนกัน แต่ผลผลิตการนำเสนอที่แตกต่างกันสำหรับโครงสร้างในโครงสร้างเพื่อเป็นช่วงเวลาที่ได้รับคำสั่งในโครงสร้างตัวชี้วัดเป็น epsilon ลูก โครงสร้างแบบตัดของ Dedekind ใช้การนำเสนอโทโพโลยีแบบออร์เดอร์ ในขณะที่การสร้างซีเควนซ์ของ Cauchy ใช้การนำเสนอโทโพโลยีแบบเมตริก reals รูปแบบหดตัว (เพราะฉะนั้นการเชื่อมต่อและการเชื่อมต่อเพียง ) แยกกันไม่ออกและสมบูรณ์พื้นที่ตัวชี้วัดของมิติดอร์ฟ 1. ตัวเลขจริงที่มีขนาดกะทัดรัดในประเทศแต่ไม่ขนาดกะทัดรัด มีคุณสมบัติต่าง ๆ ที่ระบุไม่ซ้ำกัน ตัวอย่างเช่นโทโพโลยีลำดับที่ไม่ จำกัด เชื่อมต่อและแยกออกได้ทั้งหมดจำเป็นต้องเป็นhomeomorphicกับจำนวนจริง

จำนวนจริงไม่ติดลบทุกจำนวนมีรากที่สองใน $\mathbb {R}$ แม้ว่าจะไม่มีจำนวนลบก็ตาม นี่แสดงว่าคำสั่งบน $\mathbb {R}$ ถูกกำหนดโดยโครงสร้างพีชคณิต นอกจากนี้ ทุกพหุนามของดีกรีคี่ยอมรับอย่างน้อยหนึ่งรูตจริง: คุณสมบัติทั้งสองนี้ทำให้ $\mathbb {R}$ ตัวอย่างชั้นนำของปิดสนามจริง พิสูจน์นี้จะช่วงครึ่งแรกของหนึ่งพิสูจน์ทฤษฎีบทมูลฐานของพีชคณิต

จำนวนจริงมีการวัดตามบัญญัติ, การวัด Lebesgue , ซึ่งเป็นการวัด Haarบนโครงสร้างของพวกเขาในฐานะกลุ่มทอพอโลยีทำให้เป็นมาตรฐานเพื่อให้ช่วงหน่วย [0;1] มีการวัด 1 มีชุดของจำนวนจริงที่ไม่สามารถวัดได้ Lebesgue, เช่นชุดทา

สัจพจน์สูงสุดของจำนวนจริงหมายถึงส่วนย่อยของจำนวนจริงและดังนั้นจึงเป็นคำสั่งเชิงตรรกะอันดับสอง เป็นไปไม่ได้ที่จะอธิบายลักษณะเฉพาะของจำนวนจริงด้วยตรรกะอันดับหนึ่งเพียงอย่างเดียว: ทฤษฎีบทโลเวนไฮม์–สโกเลมบอกเป็นนัยว่ามีเซตย่อยหนาแน่นที่นับได้ของจำนวนจริงที่ตอบสนองประโยคเดียวกันในตรรกะลำดับที่หนึ่งเหมือนกับจำนวนจริงที่มีอยู่จริง ชุดของจำนวนไฮเปอร์เรียลตอบสนองประโยคลำดับแรกเหมือนกันเช่น $\mathbb {R}$ . ช่องที่เรียงลำดับซึ่งตรงกับประโยคลำดับที่หนึ่งเดียวกันกับ $\mathbb {R}$ เรียกว่าโมเดลที่ไม่เป็นมาตรฐานของ $\mathbb {R}$ . นี่คือสิ่งที่ทำให้การวิเคราะห์ที่ไม่ได้มาตรฐานทำงาน โดยการพิสูจน์คำสั่งลำดับแรกในรูปแบบที่ไม่เป็นมาตรฐาน (ซึ่งอาจง่ายกว่าการพิสูจน์ใน $\mathbb {R}$ ) เรารู้ว่าข้อความเดียวกันนี้ก็ต้องเป็นจริงของ .ด้วย $\mathbb {R}$ .

ฟิลด์ $\mathbb {R}$ ของจำนวนจริงคือส่วนต่อขยายของสนาม $\mathbb {Q}$ ของจำนวนตรรกยะและ $\mathbb {R}$ จึงสามารถมองเป็นปริภูมิเวกเตอร์ทับได้ $\mathbb {Q}$ . เซตทฤษฎี Zermelo–Fraenkelกับสัจพจน์ของการเลือกรับประกันการมีอยู่ของฐานของสเปซเวกเตอร์นี้: มีเซตBของจำนวนจริงที่จำนวนจริงทุกตัวสามารถเขียนได้อย่างเฉพาะเจาะจงเป็นการรวมองค์ประกอบเชิงเส้นจำกัดของเซตนี้ โดยใช้ สัมประสิทธิ์ที่เป็นตรรกยะเท่านั้น และไม่มีองค์ประกอบของB ที่เป็นผลรวมเชิงเส้นที่เป็นตรรกยะของตัวอื่นๆ อย่างไรก็ตาม ทฤษฎีบทการดำรงอยู่นี้เป็นทฤษฎีล้วนๆ เนื่องจากฐานดังกล่าวไม่เคยมีการอธิบายอย่างชัดเจนมาก่อน

ดีสั่งซื้อทฤษฎีบทหมายความว่าตัวเลขจริงสามารถมีระเบียบถ้าจริงของการเลือกจะสันนิษฐาน: มีอยู่ยอดสั่งซื้อได้ที่ $\mathbb {R}$ ด้วยคุณสมบัติที่ทุกเซตย่อยไม่ว่าง ของ $\mathbb {R}$ มีองค์ประกอบน้อยที่สุดในลำดับนี้ (การเรียงลำดับมาตรฐาน ≤ ของจำนวนจริงไม่ใช่การเรียงลำดับที่ดี เนื่องจากเช่นช่วงเปิดไม่มีองค์ประกอบที่น้อยที่สุดในการเรียงลำดับนี้) อีกครั้ง การมีอยู่ของการเรียงลำดับอย่างดีนั้นเป็นทฤษฎีล้วนๆ อย่างที่ไม่เคยมีมาก่อน อธิบายไว้อย่างชัดเจน ถ้าสมมุติว่าV=Lเพิ่มเติมจากสัจพจน์ของ ZF การเรียงลำดับของจำนวนจริงที่ดีสามารถแสดงให้กำหนดได้อย่างชัดเจนโดยสูตร ^[14]

จำนวนจริงอาจคำนวณได้หรือคำนวณไม่ได้ ทั้งอัลกอริทึมแบบสุ่มหรือไม่ และสุ่มเลขคณิตหรือไม่ก็ได้

การใช้งานและการเชื่อมต่อกับพื้นที่อื่นๆ

ตัวเลขจริงและตรรกะ

จำนวนจริงมักถูกทำให้เป็นทางการโดยใช้สัจพจน์ของเซอร์เมโล–เฟรนเคิลของทฤษฎีเซต แต่นักคณิตศาสตร์บางคนศึกษาตัวเลขจริงด้วยพื้นฐานทางตรรกะอื่นๆ ของคณิตศาสตร์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งตัวเลขจริงยังมีการศึกษาในวิชาคณิตศาสตร์ย้อนกลับและในการสร้างสรรค์คณิตศาสตร์ ^[15]

หมายเลข HyperRealเป็นที่พัฒนาโดยเอ็ดวินเฮวิตต์ , อับราฮัมโรบินสันและอื่น ๆ ขยายชุดของตัวเลขจริงโดยการแนะนำเล็กและไม่มีที่สิ้นสุดตัวเลขเพื่อให้สามารถสร้างแคลคูลัสในทางที่ใกล้ชิดกับสัญชาติญาณเดิมของไลบ์นิซ , ออยเลอร์ , Cauchyและอื่น ๆ

เอ็ดเวิร์ดเนลสัน 's ทฤษฎีเซตภายในเสริมสร้างZermelo-Fraenkelทฤษฎีเซต syntactically โดยการแนะนำกริยาเอก 'มาตรฐาน' ในแนวทางนี้ อนันต์คือองค์ประกอบ (ไม่ใช่ "มาตรฐาน") ของเซตของจำนวนจริง (แทนที่จะเป็นองค์ประกอบของการขยายมัน ดังในทฤษฎีของโรบินสัน)

ต่อเนื่องสมมติฐาน posits ว่า cardinality ชุดของตัวเลขจริงที่เป็น $\aleph _{1}$ ; คือไม่มีที่สิ้นสุดที่เล็กที่สุดนับหลังจาก $\aleph _{0}$ , การนับจำนวนเต็มของจำนวนเต็ม พอล โคเฮนพิสูจน์ในปี 1963 ว่ามันเป็นสัจพจน์ที่ไม่ขึ้นกับสัจพจน์อื่นๆ ของทฤษฎีเซต นั่นคือ: หนึ่งอาจเลือกสมมติฐานต่อเนื่องหรือการปฏิเสธเป็นสัจพจน์ของทฤษฎีเซตโดยไม่มีข้อขัดแย้ง

ในวิชาฟิสิกส์

ในวิทยาศาสตร์กายภาพ ค่าคงที่ทางกายภาพส่วนใหญ่ เช่น ค่าคงที่โน้มถ่วงสากล และตัวแปรทางกายภาพ เช่น ตำแหน่ง มวล ความเร็ว และประจุไฟฟ้า ถูกจำลองโดยใช้จำนวนจริง ในความเป็นจริงทฤษฎีทางกายภาพพื้นฐานเช่นกลศาสตร์คลาสสิก , แม่เหล็กไฟฟ้า , กลศาสตร์ควอนตัม , มพัทธภาพทั่วไปและแบบจำลองมาตรฐานจะมีการอธิบายโดยใช้โครงสร้างทางคณิตศาสตร์โดยทั่วไปmanifolds เรียบหรือช่องว่าง Hilbertที่อยู่บนพื้นฐานของตัวเลขจริงแม้จะวัดที่แท้จริงของปริมาณทางกายภาพ มีขอบเขตความถูกต้องและความแม่นยำ

นักฟิสิกส์แนะนำเป็นครั้งคราวว่าทฤษฎีพื้นฐานมากกว่าจะแทนที่จำนวนจริงด้วยปริมาณที่ไม่ก่อให้เกิดความต่อเนื่อง แต่ข้อเสนอดังกล่าวยังคงเป็นการเก็งกำไร ^[16]

ในการคำนวณ

ด้วยข้อยกเว้นบางประการเครื่องคิดเลขส่วนใหญ่ไม่ทำงานกับตัวเลขจริง แต่จะทำงานกับค่าประมาณที่มีความแม่นยำจำกัดซึ่งเรียกว่าตัวเลขทศนิยมแทน อันที่จริงการคำนวณทางวิทยาศาสตร์ส่วนใหญ่ใช้เลขทศนิยม ตัวเลขจริงตอบสนองกฎปกติของเลขคณิตแต่จำนวนจุดลอยตัวไม่ได้

คอมพิวเตอร์ไม่สามารถเก็บตัวเลขจริงตามอำเภอใจได้โดยตรงด้วยตัวเลขจำนวนมากเป็นอนันต์ ความแม่นยำทำได้ถูก จำกัด ด้วยจำนวนบิตที่จัดสรรให้กับการจัดเก็บตัวเลขไม่ว่าจะเป็นจำนวนจุดลอยตัวหรือหมายเลขพลแม่นยำ อย่างไรก็ตามระบบพีชคณิตของคอมพิวเตอร์สามารถทำงานกับปริมาณที่ไม่ลงตัวได้อย่างแม่นยำโดยการจัดการสูตรสำหรับพวกมัน (เช่น ${\sqrt {2}},$ $\arcsin(2/23),$ หรือ $\textstyle \int _{0}^{1}x^{x}\,dx$ ) มากกว่าการประมาณที่เป็นเหตุเป็นผลหรือทศนิยม ^[17]โดยทั่วไปเป็นไปไม่ได้ที่จะระบุได้ว่านิพจน์สองนิพจน์นั้นเท่ากันหรือไม่ ( ปัญหาคงที่ )

จำนวนจริงเรียกว่าคำนวณได้หากมีอัลกอริทึมที่ให้ตัวเลข เนื่องจากมีอัลกอริธึมที่นับได้จำนวนมากเท่านั้น^[18]แต่มีจำนวนจริงที่นับไม่ได้ จำนวนจริงเกือบทั้งหมดจึงไม่สามารถคำนวณได้ นอกจากนี้ ความเท่าเทียมกันของตัวเลขที่คำนวณได้สองตัวยังเป็นปัญหาที่ตัดสินไม่ได้ คอนสตรัคติวิสต์บางคนยอมรับการมีอยู่ของจำนวนจริงที่คำนวณได้เท่านั้น ชุดตัวเลขที่กำหนดได้กว้างกว่า แต่ยังนับได้เท่านั้น

"ของจริง" ในทฤษฎีเซต

ในทฤษฎีเซต ทฤษฎีเซตเชิงพรรณนาโดยเฉพาะ สเปซBaireถูกใช้เป็นตัวแทนสำหรับจำนวนจริงเนื่องจากหลังมีคุณสมบัติทอพอโลยีบางอย่าง (ความเชื่อมโยง) ซึ่งเป็นความไม่สะดวกทางเทคนิค องค์ประกอบของพื้นที่แบร์เรียกว่า "ของจริง"

คำศัพท์และสัญกรณ์

นักคณิตศาสตร์ใช้สัญลักษณ์Rหรืออีกทางหนึ่ง $\mathbb {R}$ ที่ตัวอักษร "R"ในกระดานดำตัวหนา (เข้ารหัสในUnicodeเป็นU + 211D ℝ DOUBLE หลงทุน R (HTML ℝ · &reals, &Ropf )) เพื่อเป็นตัวแทนของชุดของตัวเลขจริงทั้งหมด เนื่องจากชุดนี้ประกอบด้วยโครงสร้างของฟิลด์ ฟิลด์นิพจน์ของจำนวนจริงจึงมักถูกใช้เมื่อพิจารณาคุณสมบัติเกี่ยวกับพีชคณิต

ชุดของจำนวนจริงบวกและจำนวนจริงติดลบมักถูกบันทึกไว้ $\mathbb {R} ^{+}$ และ $\mathbb {R} ^{-}$ , ^[19]ตามลำดับ; $\mathbb {R} _{+}$ และ $\mathbb {R} _{-}$ ยังใช้. ^[20]สามารถสังเกตจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบได้ $\mathbb {R} _{\geq 0}$ แต่มักจะเห็นชุดนี้ตั้งข้อสังเกต $\mathbb {R} ^{+}\cup \{0\}.$ ^[19]ในวิชาคณิตศาสตร์ของฝรั่งเศสจำนวนจริงบวกและจำนวนจริงเชิงลบจะรวมศูนย์และเซตเหล่านี้จะถูกบันทึกไว้ตามลำดับ $\mathbb {R_{+}}$ และ $\mathbb {R_{-}} .$ ^[20]ในความเข้าใจนี้ เซตตามลำดับที่ไม่มีศูนย์จะเรียกว่าจำนวนจริงบวกอย่างเคร่งครัดและจำนวนจริงเชิงลบอย่างเคร่งครัด และจะถูกบันทึกไว้ $\mathbb {R} _{+}*$ และ $\mathbb {R} _{-}*.$ ⁽²⁰⁾

สัญกรณ์ $\mathbb {R} ^{n}$ หมายถึงผลิตภัณฑ์คาร์ทีเซียนของ $n$ สำเนาของ $\mathbb {R}$ ซึ่งเป็น $n$ - มิติ ปริภูมิเวกเตอร์ที่สนามของจำนวนจริง; ปริภูมิเวกเตอร์นี้อาจจะระบุไป $n$ - มิติพื้นที่ของรูปทรงเรขาคณิตแบบยุคลิดทันทีที่ระบบพิกัดได้รับการคัดเลือกในภายหลัง ตัวอย่างเช่น ค่าจาก $\mathbb {R} ^{3}$ ประกอบด้วยทูเพิลของจำนวนจริงสามจำนวนและระบุพิกัดของจุดในพื้นที่สามมิติ

ในวิชาคณิตศาสตร์ ค่าจริงถูกใช้เป็นคำคุณศัพท์ หมายความว่าเขตข้อมูลที่เป็นเขตข้อมูลของจำนวนจริง (หรือเขตข้อมูลจริง ) ยกตัวอย่างเช่นจริงเมทริกซ์ , จริงพหุนามและจริงพีชคณิต คำนี้ยังใช้เป็นคำนามหมายถึงจำนวนจริง (เช่นใน "เซตของจำนวนจริงทั้งหมด")

ลักษณะทั่วไปและส่วนขยาย

จำนวนจริงสามารถสรุปและขยายได้หลายทิศทาง:

ตัวเลขที่ซับซ้อนประกอบด้วยการแก้ปัญหาทุกพหุนามสมและด้วยเหตุนี้เป็นพีชคณิตปิดสนามแตกต่างจากตัวเลขจริง อย่างไรก็ตามตัวเลขที่ซับซ้อนไม่ได้ข้อมูลสั่งซื้อ
ขยาย affinely ระบบจำนวนจริงเพิ่มสององค์ประกอบ + ∞และ-∞ มันเป็นพื้นที่ที่มีขนาดกะทัดรัด มันไม่ใช่ฟิลด์ หรือแม้แต่กลุ่มเพิ่มเติม แต่ยังคงมีการสั่งซื้อทั้งหมด ; ยิ่งไปกว่านั้นมันเป็นตาข่ายที่สมบูรณ์
บรรทัดจริง projectiveเพิ่มเพียงค่าเดียว∞ นอกจากนี้ยังเป็นพื้นที่ขนาดกะทัดรัด อีกครั้ง มันไม่ใช่ฟิลด์ หรือแม้แต่กลุ่มเพิ่มเติม อย่างไรก็ตาม อนุญาตให้แบ่งองค์ประกอบที่ไม่ใช่ศูนย์ด้วยศูนย์ได้ แต่ก็มีการสั่งซื้อวงจรอธิบายโดยความสัมพันธ์แยก
เส้นยาวจริงน้ำพริกกันℵ ₁ * + ℵ ₁สำเนาของสายบวกจริงเป็นจุดเดียว (ที่นี่ℵ ₁ * หมายถึงการสั่งซื้อแบบผันกลับของℵ ₁ ) เพื่อสร้างชุดคำสั่งว่าเป็น "ท้องถิ่น" เหมือนกันกับตัวเลขจริง แต่อย่างใดอีกต่อไป; ตัวอย่างเช่น มีการฝัง ℵ ₁เพื่อรักษาลำดับในเส้นจริงยาวแต่ไม่ฝังในจำนวนจริง เส้นจริงที่ยาวคือชุดคำสั่งที่ใหญ่ที่สุดที่เสร็จสมบูรณ์และอยู่ในกลุ่มอาร์คิมีดีน เช่นเดียวกับสองตัวอย่างก่อนหน้านี้ ชุดนี้ไม่ใช่ฟิลด์หรือกลุ่มเพิ่มเติมอีกต่อไป
เขตมีคำสั่งให้ขยาย reals เป็นตัวเลข HyperRealและหมายเลข surreal ; ทั้งสองมีจำนวนน้อยและมากจนนับไม่ถ้วน ดังนั้นจึงเป็นฟิลด์ที่ไม่ได้รับคำสั่งจากอาร์คิมีดีน
โอเปอเรเตอร์ที่อยู่ติดกันในสเปซของฮิลเบิร์ต (เช่นเมทริกซ์เชิงซ้อนกำลังสองที่ติดกันตัวเอง) ให้ค่าจำนวนจริงทั่วไปในหลาย ๆ ด้าน: สามารถสั่งได้ (แต่ไม่ได้เรียงทั้งหมด) สมบูรณ์ค่าลักษณะเฉพาะทั้งหมดเป็นจริงและก่อตัวเป็น จริงสมาคมพีชคณิต ตัวดำเนินการที่เป็นบวกแน่นอนจะสอดคล้องกับจำนวนจริงที่เป็นบวกและตัวดำเนินการปกติจะสอดคล้องกับจำนวนเชิงซ้อน

ดูสิ่งนี้ด้วย

ความสมบูรณ์ของจำนวนจริง
เศษส่วนต่อ
จำนวนจริงที่กำหนดได้
จำนวนจริงบวก
วิเคราะห์จริง

หมายเหตุ

↑ ให้ แม่นยำยิ่งขึ้น เมื่อพิจารณาฟิลด์ที่มีการจัดลำดับอย่างสมบูรณ์สองฟิลด์ มีisomorphism ที่ไม่ซ้ำกันระหว่างฟิลด์เหล่านี้ นี่หมายความว่าตัวตนเป็นลักษณะอัตโนมัติของสนามที่มีลักษณะเฉพาะของจำนวนจริงที่เข้ากันได้กับการสั่งซื้อ

อ้างอิง

การอ้างอิง

^ "จำนวนจริง | คณิตศาสตร์" . สารานุกรมบริแทนนิกา. สืบค้นเมื่อ2020-08-11 .
^ a b c "บทสรุปของสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์" . คณิตศาสตร์ห้องนิรภัย 2020-03-01 . สืบค้นเมื่อ2020-08-11 .
^ Weisstein, Eric W. "จำนวนจริง" . mathworld.wolfram.com . สืบค้นเมื่อ2020-08-11 .
^ พจนานุกรมภาษาอังกฤษฉบับที่ 3 ปี 2008 SV 'จริง', n.2 , B.4 : "คณิตศาสตร์.จำนวนจริงมักจะอยู่ใน.พหูพจน์ ."
^ TK Puttaswamy "ความสำเร็จของอินเดียโบราณคณิตศาสตร์", PP. 410-11 ใน: เซลิน, เฮเลน ; ดัมโบรซิโอ, อุบิราตัน , สหพันธ์. (2000), คณิตศาสตร์ข้ามวัฒนธรรม: ประวัติของคณิตศาสตร์ที่ไม่ใช่ตะวันตก , สปริงเกอร์ , ISBN 978-1-4020-0260-1.
^ โอคอนเนอร์, จอห์น เจ. ; Robertson, Edmund F. , "คณิตศาสตร์อารบิก: ลืมความฉลาด?" , MacTutor History of Mathematics archive , มหาวิทยาลัยเซนต์แอนดรู.
^ Matvievskaya, Galina (1987), "Theory of Quadratic Irrationals in Medieval Oriental Mathematics", พงศาวดารของ New York Academy of Sciences , 500 (1): 253–77 [254] Bibcode : 1987NYASA.500..253M , ดอย : 10.1111/j.1749-6632.1987.tb37206.x
^ ฌา Sesiano "อิสลามคณิตศาสตร์" หน 148 ใน เซลิน, เฮเลน; D'Ambrosio, Ubiratan (2000), Mathematics Across Cultures: The History of Non-western Mathematics , สปริงเกอร์ , ISBN 978-1-4020-0260-1
^ Beckmann, Petr (1993), A History of Pi , Dorset Classic Reprints, Barnes & Noble Publishing, พี. 170, ISBN 978-0-88029-418-8, เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 2016-05-04 , เรียกข้อมูล2015-11-15.
^ Arndt, ยอร์ก; Haenel, Christoph (2001), Pi Unleashed , สปริงเกอร์, พี. 192, ISBN 978-3-540-66572-4, เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 2016-05-21 , ดึงข้อมูล2015-11-15.
^ Dunham, William (2015), The Calculus Gallery: Masterpieces from Newton to Lebesgue , สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยพรินซ์ตัน, หน้า. 127, ISBN 978-1-4008-6679-3, เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ2015-05-14 , ดึงข้อมูล2015-02-17 , คันทอร์พบทางลัดที่โดดเด่นในการบรรลุข้อสรุปของ Liouville ด้วยเศษเสี้ยวของงาน
^ เฮอร์วิทซ์, อดอล์ฟ (1893). "Beweis der Transendenz der Zahl e". Mathematische Annalen (43): 134–35.
^ กอร์แดน, พอล (1893). "Transcendence von e und π" . มาเทมาติช แอนนาเลน . 43 (2–3): 222–224. ดอย : 10.1007/bf01443647 .
^ Moschovakis, Yiannis N. (1980), "ทฤษฎีเซตเชิงพรรณนา" , Studies in Logic and the Foundations of Mathematics , Amsterdam; นิวยอร์ก: North-Holland Publishing Co., 100 , pp. xii, 637 , ISBN 978-0-444-85305-9, บทที่ V.
^ บิชอป เออร์เร็ตต์; Bridges, Douglas (1985), การวิเคราะห์เชิงสร้างสรรค์, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [หลักการพื้นฐานของคณิตศาสตร์], 279 , เบอร์ลิน, นิวยอร์ก: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-15066-4, บทที่ 2.
^ วีลเลอร์, จอห์น อาร์ชิบอลด์ (1986) "Hermann Weyl and the Unity of Knowledge: ในความเชื่อมโยงของความลึกลับสี่ประการ - "ที่มา" ของการดำรงอยู่ เวลา ความต่อเนื่องทางคณิตศาสตร์ และการใช่หรือไม่ใช่ของฟิสิกส์ควอนตัมที่ไม่ต่อเนื่อง - อาจเป็นกุญแจสำคัญในการทำความเข้าใจใหม่อย่างลึกซึ้ง ". นักวิทยาศาสตร์อเมริกัน . 74 (4): 366–75. Bibcode : 1986AmSci..74..366W . JSTOR 27854250 .
Bengtsson, Ingemar (2017). "ตัวเลขเบื้องหลัง SIC-POVM ที่ง่ายที่สุด" รากฐานของฟิสิกส์ . 47 (8): 1031–41. arXiv : 1611.9087 . Bibcode : 2017FoPh...47.1031B . ดอย : 10.1007/s10701-017-0078-3 .
^ Cohen, Joel S. (2002), พีชคณิตคอมพิวเตอร์และการคำนวณเชิงสัญลักษณ์: อัลกอริธึมเบื้องต้น , 1 , AK Peters, p. 32, ISBN 978-1-56881-158-1
^ Hein, James L. (2010), "14.1.1", Discrete Structures, Logic, and Computability (3 ed.), Sudbury, MA: Jones and Bartlett Publishers, ISBN 97-80763772062, เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 2016-06-17 , ดึงข้อมูล2015-11-15
^ ข ชูมัคเกอร์ 1996 , PP. 114-15
^ ขค École Normale Supérieureของปารีส , " Nombres ม้วน " ( "ตัวเลขจริง") ที่จัดเก็บ 2014/05/08 ที่เครื่อง Waybackพี 6

แหล่งที่มา

คันทอร์, จอร์จ (1874). " Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen ". Journal für die Reine und Angewandte Mathematikเล่มที่ 77 หน้า 258–62
เฟเฟอร์แมน, โซโลมอน (1989). ระบบตัวเลข: รากฐานของพีชคณิตและการวิเคราะห์ , AMS Chelsea, ไอเอสบีเอ็น 0-8218-2915-7 .
แคทซ์, โรเบิร์ต (1964) การวิเคราะห์เชิงสัจพจน์ , DC Heath and Company.
รถม้า, เอ๊ดมันด์ (2001). รากฐานของการวิเคราะห์ . สมาคมคณิตศาสตร์อเมริกัน , ISBN 0-8218-2693-X
Howie, John M. การวิเคราะห์ที่แท้จริง . สปริงเกอร์, 2005, ไอ 1-85233-314-6 .
ชูมัคเกอร์, แครอล (1996), ChapterZero / แนวคิดพื้นฐานของคณิตศาสตร์นามธรรม BV , แอดดิสัน-เวสลีย์, ISBN 978-0-201-82653-1.

ลิงค์ภายนอก

"จำนวนจริง" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]

[5] ↑ ให้ แม่นยำยิ่งขึ้น เมื่อพิจารณาฟิลด์ที่มีการจัดลำดับอย่างสมบูรณ์สองฟิลด์ มีisomorphism ที่ไม่ซ้ำกันระหว่างฟิลด์เหล่านี้ นี่หมายความว่าตัวตนเป็นลักษณะอัตโนมัติของสนามที่มีลักษณะเฉพาะของจำนวนจริงที่เข้ากันได้กับการสั่งซื้อ

[1] "จำนวนจริง | คณิตศาสตร์" . สารานุกรมบริแทนนิกา. สืบค้นเมื่อ2020-08-11 .

[:0-2] "บทสรุปของสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์" . คณิตศาสตร์ห้องนิรภัย 2020-03-01 . สืบค้นเมื่อ2020-08-11 .

[3] Weisstein, Eric W. "จำนวนจริง" . mathworld.wolfram.com . สืบค้นเมื่อ2020-08-11 .

[4] พจนานุกรมภาษาอังกฤษฉบับที่ 3 ปี 2008 SV 'จริง', n.2 , B.4 : "คณิตศาสตร์.จำนวนจริงมักจะอยู่ใน.พหูพจน์ ."

[6] TK Puttaswamy "ความสำเร็จของอินเดียโบราณคณิตศาสตร์", PP. 410-11 ใน: เซลิน, เฮเลน ; ดัมโบรซิโอ, อุบิราตัน , สหพันธ์. (2000), คณิตศาสตร์ข้ามวัฒนธรรม: ประวัติของคณิตศาสตร์ที่ไม่ใช่ตะวันตก , สปริงเกอร์ , ISBN 978-1-4020-0260-1.

[7] โอคอนเนอร์, จอห์น เจ. ; Robertson, Edmund F. , "คณิตศาสตร์อารบิก: ลืมความฉลาด?" , MacTutor History of Mathematics archive , มหาวิทยาลัยเซนต์แอนดรู.

[8] Matvievskaya, Galina (1987), "Theory of Quadratic Irrationals in Medieval Oriental Mathematics", พงศาวดารของ New York Academy of Sciences , 500 (1): 253–77 [254] Bibcode : 1987NYASA.500..253M , ดอย : 10.1111/j.1749-6632.1987.tb37206.x

[9] ฌา Sesiano "อิสลามคณิตศาสตร์" หน 148 ใน เซลิน, เฮเลน; D'Ambrosio, Ubiratan (2000), Mathematics Across Cultures: The History of Non-western Mathematics , สปริงเกอร์ , ISBN 978-1-4020-0260-1

[10] Beckmann, Petr (1993), A History of Pi , Dorset Classic Reprints, Barnes & Noble Publishing, พี. 170, ISBN 978-0-88029-418-8, เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 2016-05-04 , เรียกข้อมูล2015-11-15.

[11] Arndt, ยอร์ก; Haenel, Christoph (2001), Pi Unleashed , สปริงเกอร์, พี. 192, ISBN 978-3-540-66572-4, เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 2016-05-21 , ดึงข้อมูล2015-11-15.

[12] Dunham, William (2015), The Calculus Gallery: Masterpieces from Newton to Lebesgue , สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยพรินซ์ตัน, หน้า. 127, ISBN 978-1-4008-6679-3, เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ2015-05-14 , ดึงข้อมูล2015-02-17 , คันทอร์พบทางลัดที่โดดเด่นในการบรรลุข้อสรุปของ Liouville ด้วยเศษเสี้ยวของงาน

[13] เฮอร์วิทซ์, อดอล์ฟ (1893). "Beweis der Transendenz der Zahl e". Mathematische Annalen (43): 134–35.

[14] กอร์แดน, พอล (1893). "Transcendence von e und π" . มาเทมาติช แอนนาเลน . 43 (2–3): 222–224. ดอย : 10.1007/bf01443647 .

[15] Moschovakis, Yiannis N. (1980), "ทฤษฎีเซตเชิงพรรณนา" , Studies in Logic and the Foundations of Mathematics , Amsterdam; นิวยอร์ก: North-Holland Publishing Co., 100 , pp. xii, 637 , ISBN 978-0-444-85305-9, บทที่ V.

[16] บิชอป เออร์เร็ตต์; Bridges, Douglas (1985), การวิเคราะห์เชิงสร้างสรรค์, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [หลักการพื้นฐานของคณิตศาสตร์], 279 , เบอร์ลิน, นิวยอร์ก: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-15066-4, บทที่ 2.

[17] วีลเลอร์, จอห์น อาร์ชิบอลด์ (1986) "Hermann Weyl and the Unity of Knowledge: ในความเชื่อมโยงของความลึกลับสี่ประการ - "ที่มา" ของการดำรงอยู่ เวลา ความต่อเนื่องทางคณิตศาสตร์ และการใช่หรือไม่ใช่ของฟิสิกส์ควอนตัมที่ไม่ต่อเนื่อง - อาจเป็นกุญแจสำคัญในการทำความเข้าใจใหม่อย่างลึกซึ้ง ". นักวิทยาศาสตร์อเมริกัน . 74 (4): 366–75. Bibcode : 1986AmSci..74..366W . JSTOR 27854250 .
Bengtsson, Ingemar (2017). "ตัวเลขเบื้องหลัง SIC-POVM ที่ง่ายที่สุด" รากฐานของฟิสิกส์ . 47 (8): 1031–41. arXiv : 1611.9087 . Bibcode : 2017FoPh...47.1031B . ดอย : 10.1007/s10701-017-0078-3 .

[18] Cohen, Joel S. (2002), พีชคณิตคอมพิวเตอร์และการคำนวณเชิงสัญลักษณ์: อัลกอริธึมเบื้องต้น , 1 , AK Peters, p. 32, ISBN 978-1-56881-158-1

[19] Hein, James L. (2010), "14.1.1", Discrete Structures, Logic, and Computability (3 ed.), Sudbury, MA: Jones and Bartlett Publishers, ISBN 97-80763772062, เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 2016-06-17 , ดึงข้อมูล2015-11-15

[Schumacher96-20] ข ชูมัคเกอร์ 1996 , PP. 114-15

[nombres-reels-ens-paris-21] ขค École Normale Supérieureของปารีส , " Nombres ม้วน " ( "ตัวเลขจริง") ที่จัดเก็บ 2014/05/08 ที่เครื่อง Waybackพี 6

[1]