• logo

ควอเทอร์เนียน

สูตรคูณควอเทอร์เนียน
1 ผม ญ k
1 1 ผม ญ k
ผม ผม −1 k - ญ
ญ ญ - k −1 ผม
k k ญ - ผม −1

ในคณิตศาสตร์ที่quaternion ระบบเลขขยายตัวเลขที่ซับซ้อน Quaternions ถูกอธิบายเป็นครั้งแรกโดยนักคณิตศาสตร์ชาวไอริชวิลเลียมโรวันแฮมิลตันใน 1843 [1] [2]และนำไปใช้กลศาสตร์ในพื้นที่สามมิติ แฮมิลตันกำหนด quaternion เป็นความฉลาดของทั้งสองสายการกำกับในพื้นที่สามมิติ, [3]หรือเท่ากันเป็นความฉลาดของสองเวกเตอร์ [4]คูณ quaternions เป็นnoncommutative

กราฟ Q8 เคย์ลีแสดง 6 รอบของการคูณโดย ฉัน , Jและ K (ในไฟล์ SVGให้วางเมาส์เหนือหรือคลิกรอบเพื่อไฮไลต์)

โดยทั่วไปแล้วควอเทอร์เนียนจะแสดงในรูปแบบ

ก + ข   ผม + ค   ญ + ง   k {\ displaystyle a + b \ \ mathbf {i} + c \ \ mathbf {j} + d \ \ mathbf {k}} {\ displaystyle a + b \ \ mathbf {i} + c \ \ mathbf {j} + d \ \ mathbf {k}}

ที่, B , CและDเป็นตัวเลขจริง ; และฉัน , Jและkเป็นquaternions พื้นฐาน

quaternions ใช้ในคณิตศาสตร์บริสุทธิ์แต่ยังมีการใช้งานจริงในคณิตศาสตร์ประยุกต์โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับการคำนวณที่เกี่ยวข้องกับการหมุนสามมิติเช่นในคอมพิวเตอร์กราฟิกสามมิติ , คอมพิวเตอร์วิสัยทัศน์และเนื้อ crystallographicวิเคราะห์ [5]สามารถใช้ร่วมกับวิธีการหมุนอื่น ๆ เช่นมุมออยเลอร์และเมทริกซ์การหมุนหรือเป็นทางเลือกอื่นก็ได้ขึ้นอยู่กับการใช้งาน

ในปัจจุบันภาษาคณิตศาสตร์ , quaternions รูปแบบสี่มิติ เชื่อมโยง พีชคณิตเกณฑ์แบ่งมากกว่าตัวเลขจริงและดังนั้นจึงยังมีโดเมน พีชคณิตของ quaternions มักจะแสดงโดยH (สำหรับแฮมิลตัน ) หรือในกระดานดำตัวหนาโดย ซ . {\ displaystyle \ mathbb {H}.} {\ displaystyle \ mathbb {H}.}นอกจากนี้ยังสามารถกำหนดได้จากการจำแนกประเภทพีชคณิตของ Clifford Cl 0 , 2 ⁡ ( ร ) ≅ Cl 3 , 0 + ⁡ ( ร ) . {\ displaystyle \ operatorname {Cl} _ {0,2} (\ mathbb {R}) \ Cong \ operatorname {Cl} _ {3,0} ^ {+} (\ mathbb {R}).} {\ displaystyle \ operatorname {Cl} _ {0,2} (\ mathbb {R}) \ Cong \ operatorname {Cl} _ {3,0} ^ {+} (\ mathbb {R}).}ในความเป็นจริงมันเป็นพีชคณิตการหารที่ไม่ใช่เชิงคำนวณตัวแรกที่ถูกค้นพบ

ตามทฤษฎีบท Frobeniusพีชคณิต ซ {\ displaystyle \ mathbb {H}} \ mathbb {H} เป็นหนึ่งในวงแหวนการแบ่งมิติ จำกัด เพียงสองวงที่มีไอโซม อร์ฟิกย่อยที่เหมาะสมกับจำนวนจริง อีกตัวคือจำนวนเชิงซ้อน แหวนเหล่านี้ยังจีบแบบยุคลิด Hurwitzซึ่ง quaternions ที่ใหญ่ที่สุดสมาคมพีชคณิต ส่งเสริมการขยาย quaternions ผลผลิตที่ไม่เชื่อมโยง octonionsซึ่งเป็นวันสุดท้ายส่วนพีชคณิตเกณฑ์มากกว่าตัวเลขจริง (เส้นประสาทส่วนขยายของเลขฐานแปดมีตัวหารเป็นศูนย์ดังนั้นจึงไม่สามารถเป็นพีชคณิตการหารเชิงบรรทัดฐานได้) [6]

ยูนิท quaternionsสามารถจะคิดว่าเป็นทางเลือกของกลุ่มโครงสร้างใน3 ทรงกลม S 3ที่ช่วยให้กลุ่มสปิน (3)ซึ่งเป็น isomorphic เพื่อSU (2)และยังรวมถึงฝาครอบสากลของSO (3)

การแสดงภาพกราฟิกของผลิตภัณฑ์ของหน่วยควอเทอร์เนียนเป็นการหมุน 90 °ในระนาบของพื้นที่ 4 มิติที่ทอดด้วยสองของ {1, i , j , k } ปัจจัยด้านซ้ายสามารถมองได้ว่าถูกหมุนโดยปัจจัยที่เหมาะสมเพื่อมาถึงผลิตภัณฑ์ สายตา ฉัน ⋅  J = - ( เจ ⋅  ฉัน )
  • ในสีฟ้า :
    • 1  ⋅ i = i    ( ระนาบ1 / i )
    • i  ⋅ j = k    (ระนาบ i / k )
  • ในสีแดง :
    • 1  ⋅ j = j    ( ระนาบ1 / j )
    • j  ⋅ i = - k    (เครื่องบิน j / k )

ประวัติศาสตร์

มอบโล่ประกาศเกียรติคุณ quaternion บน ม้า (ไม้กวาด) สะพาน , ดับลินซึ่งพูดว่า:

ที่นี่ในขณะที่เขาเดินผ่าน
ในวันที่ 16 ตุลาคม พ.ศ. 2386
เซอร์วิลเลียมโรวันแฮมิลตัน
ด้วยความอัจฉริยะค้นพบ
สูตรพื้นฐานสำหรับการ
คูณควอเทอร์เนียน
i 2 = j 2 = k 2 = ijk = −1
และตัดมันลงบนหินของสะพานนี้

Quaternions แนะนำโดยแฮมิลตันในปี 1843 [7]สารตั้งต้นที่สำคัญในการทำงานนี้รวมสี่ตารางเอกลักษณ์ของออยเลอร์ (1748) และอลินดร็อดริกส์ ' parameterization ผลัดทั่วไปโดยพารามิเตอร์ทั้งสี่ (1840) แต่ค่าของนักเขียนเหล่านี้ได้รับการรักษาสี่พารามิเตอร์ การหมุนเป็นพีชคณิต [8] [9] คาร์ลฟรีดริชเกาส์ยังค้นพบควอเทอร์เนียนในปีพ. ศ. 2362 แต่งานนี้ไม่ได้รับการตีพิมพ์จนถึง พ.ศ. 2443 [10] [11]

แฮมิลตันรู้ว่าตัวเลขที่ซับซ้อนอาจจะตีความว่าเป็นจุดในเครื่องบินและเขากำลังมองหาวิธีที่จะทำเช่นเดียวกันสำหรับคะแนนในสามมิติพื้นที่ จุดในอวกาศสามารถแสดงได้ด้วยพิกัดซึ่งเป็นสามเท่าของจำนวนและเป็นเวลาหลายปีแล้วที่เขารู้จักวิธีบวกและลบสามเท่าของจำนวน อย่างไรก็ตามแฮมิลตันติดปัญหาเรื่องการคูณและการหารมาเป็นเวลานาน เขาไม่สามารถหาวิธีคำนวณผลหารของพิกัดสองจุดในอวกาศได้ ในความเป็นจริงเฟอร์ดินานด์เฟรดโฟรเบนิอุสได้พิสูจน์ในภายหลังในปี พ.ศ. 2420 ว่าสำหรับพีชคณิตการหารมากกว่าจำนวนจริงนั้นเป็นมิติที่ จำกัด และเชื่อมโยงกันมันไม่สามารถเป็นสามมิติได้และมีเพียงสามอัลเจบราที่แบ่งดังกล่าว: ร , ค {\ displaystyle \ mathbb {R, C}} {\displaystyle \mathbb {R,C} } (จำนวนเชิงซ้อน) และ ซ {\ displaystyle \ mathbb {H}} \mathbb {H} (quaternions) ซึ่งมีมิติที่ 1, 2 และ 4 ตามลำดับ

ความก้าวหน้าครั้งยิ่งใหญ่ในควอเทอร์เนียนในที่สุดก็มาถึงในวันจันทร์ที่ 16 ตุลาคม พ.ศ. 2386 ในดับลินเมื่อแฮมิลตันกำลังเดินทางไปยังRoyal Irish Academyซึ่งเขาจะเป็นประธานในการประชุมสภา ในขณะที่เขาเดินไปตามท้องทุ่งของรอยัลคลองกับภรรยาของเขาแนวคิดที่อยู่เบื้องหลัง quaternions ถูกสละรูปร่างในใจของเขา เมื่อคำตอบเริ่มขึ้นกับเขาแฮมิลตันไม่สามารถต้านทานความต้องการที่จะแกะสลักสูตรสำหรับควอเทอร์เนียนได้

ผม 2 = ญ 2 = k 2 = ผม ญ k = - 1 {\ displaystyle \ mathbf {i} ^ {2} = \ mathbf {j} ^ {2} = \ mathbf {k} ^ {2} = \ mathbf {i \, j \, k} = -1} {\displaystyle \mathbf {i} ^{2}=\mathbf {j} ^{2}=\mathbf {k} ^{2}=\mathbf {i\,j\,k} =-1}

เข้าไปในหินของสะพาน Broughamในขณะที่เขาหยุดมัน แม้ว่าการแกะสลักจะจางหายไป แต่ก็มีการแสวงบุญประจำปีตั้งแต่ปี 1989 เรียกว่าHamilton Walkสำหรับนักวิทยาศาสตร์และนักคณิตศาสตร์ที่เดินจากหอดูดาว Dunsinkไปยังสะพาน Royal Canal เพื่อรำลึกถึงการค้นพบของ Hamilton

ในวันต่อมาแฮมิลตันเขียนจดหมายถึงเพื่อนและเพื่อนนักคณิตศาสตร์ของเขาจอห์นที. เกรฟส์โดยอธิบายถึงรถไฟแห่งความคิดที่นำไปสู่การค้นพบของเขา จดหมายฉบับนี้ถูกตีพิมพ์ในภายหลังในจดหมายไปที่ลอนดอนเอดินบะระและปรัชญานิตยสารและวารสารดับลินวิทยาศาสตร์ ; [12]แฮมิลตันกล่าวว่า:

และที่นี่เริ่มมีความคิดที่ว่าเราต้องยอมรับว่าในแง่หนึ่งมิติที่สี่ของพื้นที่สำหรับจุดประสงค์ในการคำนวณด้วยสามเท่า ... วงจรไฟฟ้าดูเหมือนจะปิดลงและมีประกายไฟกระพริบออกมา [12]

แฮมิลตันเรียกสี่เท่าด้วยกฎการคูณเหล่านี้ว่าควอเทอร์เนียนและเขาอุทิศเวลาส่วนใหญ่ที่เหลือของชีวิตให้กับการเรียนและการสอนพวกเขา การรักษาของแฮมิลตันเป็นรูปทรงเรขาคณิตมากกว่าแนวทางสมัยใหม่ซึ่งเน้นคุณสมบัติทางพีชคณิตของควอเทอร์เนียน เขาก่อตั้งโรงเรียน "ควอเทอร์เนียนนิสต์" และเขาพยายามทำให้ควอเทอร์เนียนเป็นที่นิยมในหนังสือหลายเล่ม สุดท้ายและยาวที่สุดของหนังสือของเขาองค์ประกอบของ Quaternions , [13] 800 หน้ายาว; แก้ไขโดยลูกชายของเขาและเผยแพร่ไม่นานหลังจากที่เขาเสียชีวิต

หลังจากการตายของแฮมิลตันPeter Taitนักเรียนของเขายังคงส่งเสริมควอเทอร์เนียนต่อไป ในเวลานี้ควอเทอร์เนียนเป็นหัวข้อการสอบที่จำเป็นในดับลิน หัวข้อทางฟิสิกส์และเรขาคณิตซึ่งตอนนี้จะอธิบายโดยใช้เวกเตอร์เช่นจลนศาสตร์ในอวกาศและสมการของแมกซ์เวลล์ได้รับการอธิบายทั้งหมดในรูปของควอเทอร์เนียน มีแม้แต่สมาคมวิจัยมืออาชีพQuaternion Societyซึ่งอุทิศให้กับการศึกษาควอเทอร์เนียนและระบบตัวเลขไฮเปอร์คอมเพล็กซ์อื่น ๆ

ฉากงานเลี้ยงน้ำชาของ Mad Hatter ในAlice in Wonderlandเป็นการเสียดสีของ Quaternions โดยLewis Carollที่คัดค้านสิ่งที่เขาคิดว่าเป็นคณิตศาสตร์ "ไม่ใช่แบบดั้งเดิม" [14]

จากยุค 1880 กลาง quaternions เริ่มถูกแทนที่ด้วยการวิเคราะห์เวกเตอร์ซึ่งได้รับการพัฒนาโดยJosiah Willard Gibbs , โอลิเวอร์เฮเวอร์และแฮร์มันน์ฟอน Helmholtz การวิเคราะห์เวกเตอร์อธิบายปรากฏการณ์เดียวกันกับควอเทอร์เนียนดังนั้นจึงยืมแนวคิดและคำศัพท์บางอย่างมาจากวรรณกรรมเรื่องควอเทอร์เนียน อย่างไรก็ตามการวิเคราะห์เวกเตอร์เป็นแนวคิดที่เรียบง่ายและ notationally ทำความสะอาดและในที่สุดก็ quaternions ถูกผลักไสให้เป็นตัวประกอบในวิชาคณิตศาสตร์และฟิสิกส์ ผลข้างเคียงของการเปลี่ยนแปลงนี้คืองานของแฮมิลตันยากที่จะเข้าใจสำหรับผู้อ่านสมัยใหม่จำนวนมาก คำจำกัดความดั้งเดิมของแฮมิลตันไม่คุ้นเคยและรูปแบบการเขียนของเขาเป็นคำที่ใช้คำและยากต่อการติดตาม

อย่างไรก็ตาม quaternions มีการฟื้นตัวตั้งแต่ช่วงปลายศตวรรษที่ 20 ที่เป็นหลักเนื่องจากการสาธารณูปโภคของพวกเขาในการอธิบายการหมุนเชิงพื้นที่ การเป็นตัวแทนของการหมุนโดย quaternions มีขนาดกะทัดรัดมากขึ้นและรวดเร็วในการประมวลผลมากกว่าการแสดงโดยการฝึกอบรม นอกจากนี้ซึ่งแตกต่างจากมุมออยเลอร์คือไม่หวั่นไหวต่อ " gimbal lock " ด้วยเหตุนี้ควอเทอร์เนียนจึงถูกใช้ในคอมพิวเตอร์กราฟิก , [15] [16] การ มองเห็นของคอมพิวเตอร์ , หุ่นยนต์ , [17] ทฤษฎีการควบคุม , การประมวลผลสัญญาณ , การควบคุมทัศนคติ , ฟิสิกส์ , ชีวสารสนเทศศาสตร์ , [18] [19] พลวัตของโมเลกุล , การจำลองคอมพิวเตอร์ , และกลศาสตร์โคจร ตัวอย่างเช่นเป็นเรื่องปกติที่ระบบควบคุมทัศนคติของยานอวกาศจะได้รับคำสั่งในแง่ของควอเทอร์เนียน Quaternions ได้รับเพิ่มอีกจากทฤษฎีจำนวนเพราะความสัมพันธ์ของพวกเขาด้วยรูปแบบสมการกำลังสอง [20]

ควอเทอร์เนียนในฟิสิกส์

บทความในปี 1984 ของ PR Girard กลุ่มควอเทอร์เนียนและฟิสิกส์สมัยใหม่[21]กล่าวถึงบทบาทบางประการของควอเทอร์เนียนในฟิสิกส์ เรียงความแสดงให้เห็นว่ากลุ่มแปรปรวนทางกายภาพต่างๆ ได้แก่SO (3)กลุ่มอเรนซ์, ทฤษฎีทั่วไปของกลุ่มสัมพัทธภาพที่ Clifford พีชคณิตSU (2)และกลุ่มมาตราส่วนที่สามารถจะเกี่ยวข้องกับกลุ่ม quaternionในพีชคณิตสมัยใหม่ ราร์ดเริ่มด้วยการพูดถึงตัวแทนกลุ่มและตัวแทนบางพื้นที่กลุ่มของผลึก เขาดำเนินการจลนศาสตร์ของการเคลื่อนไหวร่างกายที่แข็ง ถัดไปเขาใช้ quaternions ซับซ้อน ( biquaternions ) เพื่อเป็นตัวแทนของกลุ่ม Lorentzสัมพัทธภาพพิเศษรวมทั้งโทมัส precession เขาอ้างผู้เขียนห้าเริ่มต้นด้วยLudwik Silbersteinผู้ใช้ที่มีศักยภาพการทำงานของหนึ่งตัวแปร quaternionในการแสดงสมการของแมกซ์เวลล์ในครั้งเดียวสมการเชิงอนุพันธ์ เกี่ยวกับสัมพัทธภาพทั่วไปเขาแสดงเวกเตอร์ Runge พร เขากล่าวถึงคลิฟฟอร์ดบิควอเทอร์เนียน ( Split-biquaternions ) ว่าเป็นตัวอย่างของพีชคณิตคลิฟฟอร์ด สุดท้ายกล่าวอ้างซึ่งกันและกันของ biquaternion ที่ราร์ดอธิบายแผนที่มาตราส่วนในกาลอวกาศ ท่ามกลางการอ้างอิงห้าสิบราร์ดรวมถึงอเล็กซานเด Macfarlaneของเขาและแถลงการณ์ของQuaternion สังคม ในปี 2542 เขาได้แสดงให้เห็นว่าสมการสัมพัทธภาพทั่วไปของไอน์สไตน์สามารถจัดทำขึ้นได้อย่างไรภายในพีชคณิต Clifford ที่เชื่อมโยงโดยตรงกับควอเทอร์เนียน [22]

การค้นพบในปีพ. ศ. 2467 ในกลศาสตร์ควอนตัมการหมุนของอิเล็กตรอนและอนุภาคสสารอื่น ๆ (เรียกว่าสปินเนอร์ ) สามารถอธิบายได้โดยใช้ควอเทอร์เนียนที่เพิ่มความสนใจ ควอเทอร์เนียนช่วยให้เข้าใจว่าการหมุนของอิเล็กตรอนแบบ 360 °สามารถมองเห็นได้อย่างไรจาก 720 ° (" เคล็ดลับจาน ") [23] [24]ณ ปี 2018[อัปเดต]การใช้งานของพวกเขายังไม่ได้ทันกลุ่มหมุน [a]

คำจำกัดความ

ควอเทอร์เนียนคือนิพจน์ของรูปแบบ

ก + ข ผม + ค ญ + ง k   , {\ displaystyle a + b \, \ mathbf {i} + c \, \ mathbf {j} + d \, \ mathbf {k} \,} {\displaystyle a+b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k} \ ,}

โดยที่a , b , c , dเป็นจำนวนจริงและi , j , kเป็นสัญลักษณ์ที่สามารถตีความได้ว่าเป็นเวกเตอร์หน่วยที่ชี้ไปตามแกนเชิงพื้นที่ทั้งสาม ในทางปฏิบัติถ้าหนึ่งในa , b , c , dเป็น 0 คำที่เกี่ยวข้องจะถูกละไว้ ถ้าa , b , c , dเป็นศูนย์ทั้งหมดควอเทอร์เนียนเป็นศูนย์ควอเทอร์เนียนแทน 0; ถ้าหนึ่งในข , ค , งเท่ากับ 1 คำที่สอดคล้องกันเป็นลายลักษณ์อักษรเพียงฉัน , Jหรือk

แฮมิลตันอธิบายถึงควอเทอร์เนียน q = ก + ข ผม + ค ญ + ง k {\ displaystyle q = a + b \, \ mathbf {i} + c \, \ mathbf {j} + d \, \ mathbf {k}} {\displaystyle q=a+b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k} }เนื่องจากประกอบด้วยส่วนสเกลาร์และส่วนเวกเตอร์ ควอเทอร์เนียน ข ผม + ค ญ + ง k {\ displaystyle b \, \ mathbf {i} + c \, \ mathbf {j} + d \, \ mathbf {k}} {\displaystyle b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k} }จะเรียกว่าเป็นส่วนหนึ่งเวกเตอร์ (บางครั้งส่วนจินตภาพ ) ของQและเป็นส่วนหนึ่งเกลา (บางครั้งส่วนจริง ) ของคิว ควอเทอร์เนียนที่เท่ากับส่วนจริง (นั่นคือส่วนเวกเตอร์เป็นศูนย์) เรียกว่าสเกลาร์หรือควอเทอร์เนียนจริงและระบุด้วยจำนวนจริงที่สอดคล้องกัน นั่นคือจำนวนจริงฝังอยู่ในควอเทอร์เนียน (เพิ่มเติมอย่างถูกต้องข้อมูลของตัวเลขที่แท้จริงคือ isomorphic ย่อยของ quaternions ได้. เขตของตัวเลขที่ซับซ้อนยังเป็น isomorphic สามส่วนย่อยของ quaternions.) [25] quaternion ที่เท่ากับส่วนหนึ่งของเวกเตอร์ที่เรียกว่าquaternion เวกเตอร์

ชุดควอเทอร์เนียนสร้างพื้นที่เวกเตอร์ 4 มิติเหนือจำนวนจริงโดยมี { 1 , ผม , ญ , k } {\ displaystyle \ left \ {1, \ mathbf {i}, \ mathbf {j}, \ mathbf {k} \ right \}} {\displaystyle \left\{1,\mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k} \right\}}เป็นพื้นฐานโดยการเพิ่มส่วนประกอบ

( ก 1 + ข 1 ผม + ค 1 ญ + ง 1 k ) + ( ก 2 + ข 2 ผม + ค 2 ญ + ง 2 k ) = ( ก 1 + ก 2 ) + ( ข 1 + ข 2 ) ผม + ( ค 1 + ค 2 ) ญ + ( ง 1 + ง 2 ) k , {\ displaystyle (a_ {1} + b_ {1} \, \ mathbf {i} + c_ {1} \, \ mathbf {j} + d_ {1} \, \ mathbf {k}) + (a_ {2 } + b_ {2} \, \ mathbf {i} + c_ {2} \, \ mathbf {j} + d_ {2} \, \ mathbf {k}) = (a_ {1} + a_ {2}) + (b_ {1} + b_ {2}) \, \ mathbf {i} + (c_ {1} + c_ {2}) \, \ mathbf {j} + (d_ {1} + d_ {2}) \, \ mathbf {k} \ ,,} {\displaystyle (a_{1}+b_{1}\,\mathbf {i} +c_{1}\,\mathbf {j} +d_{1}\,\mathbf {k} )+(a_{2}+b_{2}\,\mathbf {i} +c_{2}\,\mathbf {j} +d_{2}\,\mathbf {k} )=(a_{1}+a_{2})+(b_{1}+b_{2})\,\mathbf {i} +(c_{1}+c_{2})\,\mathbf {j} +(d_{1}+d_{2})\,\mathbf {k} \,,}

และการคูณสเกลาร์แบบคอมโพเนนต์

λ ( ก + ข ผม + ค ญ + ง k ) = λ ก + ( λ ข ) ผม + ( λ ค ) ญ + ( λ ง ) k . {\ displaystyle \ lambda (a + b \, \ mathbf {i} + c \, \ mathbf {j} + d \, \ mathbf {k}) = \ lambda a + (\ lambda b) \, \ mathbf {i } + (\ lambda c) \, \ mathbf {j} + (\ lambda d) \, \ mathbf {k}.} {\displaystyle \lambda (a+b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k} )=\lambda a+(\lambda b)\,\mathbf {i} +(\lambda c)\,\mathbf {j} +(\lambda d)\,\mathbf {k} .}

โครงสร้างกลุ่มแบบทวีคูณที่เรียกว่าผลิตภัณฑ์แฮมิลตันซึ่งแสดงโดยการตีข่าวสามารถกำหนดบนควอเทอร์เนียนได้ด้วยวิธีต่อไปนี้:

  • quaternion จริง1เป็นเอกลักษณ์องค์ประกอบ
  • ควอเทอร์เนียนจริงเดินทางกับควอเทอร์เนียนอื่น ๆ ทั้งหมดนั่นคือaq = qaสำหรับทุกควอเทอร์เนียนqและควอเทอร์เนียนจริงทุกควอเทอร์เนียนก . ในคำศัพท์เกี่ยวกับพีชคณิตนี่คือการบอกว่าเขตข้อมูลของควอเทอร์เนียนจริงเป็นศูนย์กลางของพีชคณิตควอเทอร์เนียนนี้
  • ผลิตภัณฑ์ถูกกำหนดก่อนสำหรับองค์ประกอบพื้นฐาน (ดูส่วนย่อยถัดไป) จากนั้นขยายไปยังควอเทอร์เนียนทั้งหมดโดยใช้คุณสมบัติการกระจายและคุณสมบัติกึ่งกลางของควอเทอร์เนียนจริง ผลิตภัณฑ์แฮมิลตันไม่ใช่การสับเปลี่ยนแต่เป็นการเชื่อมโยงดังนั้นควอเทอร์เนียนจึงสร้างพีชคณิตเชื่อมโยงกับจำนวนจริง
  • นอกจากนี้ควอเทอร์เนียนที่ไม่ใช่ศูนย์ทุกตัวยังมีสิ่งที่ตรงกันข้ามกับผลิตภัณฑ์แฮมิลตัน:
( ก + ข ผม + ค ญ + ง k ) - 1 = 1 ก 2 + ข 2 + ค 2 + ง 2 ( ก - ข ผม - ค ญ - ง k ) . {\ displaystyle (a + b \, \ mathbf {i} + c \, \ mathbf {j} + d \, \ mathbf {k}) ^ {- 1} = {\ frac {1} {a ^ {2 } + b ^ {2} + c ^ {2} + d ^ {2}}} \, (ab \, \ mathbf {i} -c \, \ mathbf {j} -d \, \ mathbf {k} ).} {\displaystyle (a+b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k} )^{-1}={\frac {1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}}\,(a-b\,\mathbf {i} -c\,\mathbf {j} -d\,\mathbf {k} ).}

ดังนั้นควอเทอร์เนียนจึงสร้างพีชคณิตแบบหาร

การคูณองค์ประกอบพื้นฐาน

ตารางการคูณ
× 1 ผม ญ k
1 1 ผม ญ k
ผม ผม −1 k - ญ
ญ ญ - k −1 ผม
k k ญ - ผม −1
การไม่สับเปลี่ยนจะเน้นด้วยสี่เหลี่ยมสี

การคูณด้วย1ในองค์ประกอบพื้นฐานi , jและkถูกกำหนดโดยข้อเท็จจริงที่ว่า1คือเอกลักษณ์การคูณนั่นคือ

ผม 1 = 1 ผม = ผม , ญ 1 = 1 ญ = ญ , k 1 = 1 k = k . {\ displaystyle \ mathbf {i} \, 1 = 1 \, \ mathbf {i} = \ mathbf {i}, \ qquad \ mathbf {j} \, 1 = 1 \, \ mathbf {j} = \ mathbf { j}, \ qquad \ mathbf {k} \, 1 = 1 \, \ mathbf {k} = \ mathbf {k} \ ,. } {\displaystyle \mathbf {i} \,1=1\,\mathbf {i} =\mathbf {i} ,\qquad \mathbf {j} \,1=1\,\mathbf {j} =\mathbf {j} ,\qquad \mathbf {k} \,1=1\,\mathbf {k} =\mathbf {k} \,.}

ผลิตภัณฑ์อื่น ๆ ขององค์ประกอบพื้นฐานถูกกำหนดจากกฎผลิตภัณฑ์สำหรับ ผม {\ displaystyle \ mathbf {i}} {\displaystyle \mathbf {i} } และ ญ : {\ displaystyle \ mathbf {j} \, \ colon} {\displaystyle \mathbf {j} \,\colon }

ผม 2 = ญ 2 = - 1 {\ displaystyle \ mathbf {i} ^ {2} = \ mathbf {j} ^ {2} = - 1} {\displaystyle \mathbf {i} ^{2}=\mathbf {j} ^{2}=-1}

และ

ผม ญ = k , ญ ผม = - k . {\ displaystyle {\ begin {aligned} \ mathbf {i \, j} & = \ mathbf {k} \ ,, \ quad & \ mathbf {j \, i} & = - \ mathbf {k} \,. \ จบ {aligned}}} {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {i\,j} &=\mathbf {k} \,,\quad &\mathbf {j\,i} &=-\mathbf {k} \,.\end{aligned}}}

จากนั้นกฎผลิตภัณฑ์อื่น ๆ จะได้รับโดยการแทนที่ k {\ displaystyle \ mathbf {k}} \mathbf {k} โดย ผม ญ , {\ displaystyle \ mathbf {i \, j},} {\displaystyle \mathbf {i\,j} ,}และการใช้การเชื่อมโยงและการต่อต้านการสื่อสารของ ผม {\ displaystyle \ mathbf {i}} {\displaystyle \mathbf {i} } และ ญ {\ displaystyle \ mathbf {j}} {\mathbf j} (นั่นคือ, ผม ญ = - ญ ผม {\ displaystyle \ mathbf {i \, j} = - \ mathbf {j \, i}} {\displaystyle \mathbf {i\,j} =-\mathbf {j\,i} }), ซึ่งจะช่วยให้

k 2 = - 1 ญ k = ผม , k ญ = - ผม , k ผม = ญ , ผม k = - ญ , ผม ญ k = - 1 . {\ displaystyle {\ begin {aligned} \ mathbf {k} ^ {2} & = - 1 \, \\\ mathbf {j \, k} & = \ mathbf {i} \ ,, \ quad & \ mathbf { k \, j} & = - \ mathbf {i} \ ,, \\\ mathbf {k \, i} & = \ mathbf {j} \ ,, \ quad & \ mathbf {i \, k} & = - \ mathbf {j} \ ,, \\\ mathbf {i \, j \, k} & = - 1 \,. \ end {aligned}}} {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {k} ^{2}&=-1\,\\\mathbf {j\,k} &=\mathbf {i} \,,\quad &\mathbf {k\,j} &=-\mathbf {i} \,,\\\mathbf {k\,i} &=\mathbf {j} \,,\quad &\mathbf {i\,k} &=-\mathbf {j} \,,\\\mathbf {i\,j\,k} &=-1\,.\end{aligned}}}

ศูนย์

ศูนย์ของแหวน noncommutativeเป็น subring ขององค์ประกอบคดังกล่าวที่cx = XCสำหรับทุกx จุดศูนย์กลางของพีชคณิตควอเทอร์เนียนคือฟิลด์ย่อยของควอเทอร์เนียนจริง ในความเป็นจริงมันเป็นส่วนหนึ่งของคำจำกัดความที่ว่าควอเทอร์เนียนที่แท้จริงเป็นของศูนย์กลาง ในทางกลับกันถ้าq = a + b i + c j + d kเป็นของศูนย์ดังนั้น

0 = ผม q - q ผม = 2 ค ผม ญ + 2 ง ผม k = 2 ค k - 2 ง ญ , {\ displaystyle 0 = \ mathbf {i} \, qq \, \ mathbf {i} = 2c \, \ mathbf {ij} + 2d \, \ mathbf {ik} = 2c \, \ mathbf {k} -2d \ , \ mathbf {j} \ ,,} {\displaystyle 0=\mathbf {i} \,q-q\,\mathbf {i} =2c\,\mathbf {ij} +2d\,\mathbf {ik} =2c\,\mathbf {k} -2d\,\mathbf {j} \,,}

และC = d = 0 การคำนวณที่คล้ายกันกับjแทนที่จะเป็นiแสดงว่ามีb = 0ด้วย ดังนั้นq = aคือควอเทอร์เนียนจริง

ควอเทอร์เนียนเป็นพีชคณิตการหาร ซึ่งหมายความว่าไม่ใช่ commutativity ของการคูณเป็นคุณสมบัติเดียวที่ทำให้ quaternions แตกต่างจากสนาม การไม่สับเปลี่ยนนี้มีผลที่ไม่คาดคิดในหมู่พวกเขาว่าสมการพหุนามเหนือควอเทอร์เนียนสามารถมีคำตอบที่แตกต่างกันได้มากกว่าระดับของพหุนาม ยกตัวอย่างเช่นสมZ 2 + 1 = 0 ,มีการแก้ปัญหา quaternion หลายอย่างมากมายซึ่งเป็นหมู่Z = ข ฉัน + ค เจ + d kดังกล่าวว่าข2 + ค2 + d 2 = 1 ดังนั้น "รากของ –1" เหล่านี้จึงสร้างทรงกลมหน่วยในปริภูมิสามมิติของเวกเตอร์ควอเทอร์เนียน

ผลิตภัณฑ์แฮมิลตัน

สำหรับสององค์ประกอบ1 + ข1 ผม + ค1 เจ + d 1 kและ2 + B 2 ผม + ค2 เจ + d 2 k , ผลิตภัณฑ์ของพวกเขาเรียกว่าสินค้าแฮมิลตัน ( 1 + ข1 ผม + ค1 J + d 1 k ) ( 2 + B 2 ผม + ค2 เจ + d 2 k ) จะถูกกำหนดโดยผลิตภัณฑ์ขององค์ประกอบพื้นฐานและการที่กฎหมายการจำหน่าย กฎหมายการกระจายทำให้สามารถขยายผลิตภัณฑ์เพื่อให้เป็นผลรวมของผลิตภัณฑ์ขององค์ประกอบพื้นฐาน สิ่งนี้ให้นิพจน์ต่อไปนี้:

ก 1 ก 2 + ก 1 ข 2 ผม + ก 1 ค 2 ญ + ก 1 ง 2 k + ข 1 ก 2 ผม + ข 1 ข 2 ผม 2 + ข 1 ค 2 ผม ญ + ข 1 ง 2 ผม k + ค 1 ก 2 ญ + ค 1 ข 2 ญ ผม + ค 1 ค 2 ญ 2 + ค 1 ง 2 ญ k + ง 1 ก 2 k + ง 1 ข 2 k ผม + ง 1 ค 2 k ญ + ง 1 ง 2 k 2 {\ displaystyle {\ begin {alignedat} {4} & a_ {1} a_ {2} && + a_ {1} b_ {2} \ mathbf {i} && + a_ {1} c_ {2} \ mathbf {j} && + a_ {1} d_ {2} \ mathbf {k} \\ {} + {} & b_ {1} a_ {2} \ mathbf {i} && + b_ {1} b_ {2} \ mathbf {i} ^ {2} && + b_ {1} c_ {2} \ mathbf {ij} && + b_ {1} d_ {2} \ mathbf {ik} \\ {} + {} & c_ {1} a_ {2} \ mathbf {j} && + c_ {1} b_ {2} \ mathbf {ji} && + c_ {1} c_ {2} \ mathbf {j} ^ {2} && + c_ {1} d_ {2} \ mathbf {jk} \\ {} + {} & d_ {1} a_ {2} \ mathbf {k} && + d_ {1} b_ {2} \ mathbf {ki} && + d_ {1} c_ {2} \ mathbf {kj} && + d_ {1} d_ {2} \ mathbf {k} ^ {2} \ end {alignedat}}} {\displaystyle {\begin{alignedat}{4}&a_{1}a_{2}&&+a_{1}b_{2}\mathbf {i} &&+a_{1}c_{2}\mathbf {j} &&+a_{1}d_{2}\mathbf {k} \\{}+{}&b_{1}a_{2}\mathbf {i} &&+b_{1}b_{2}\mathbf {i} ^{2}&&+b_{1}c_{2}\mathbf {ij} &&+b_{1}d_{2}\mathbf {ik} \\{}+{}&c_{1}a_{2}\mathbf {j} &&+c_{1}b_{2}\mathbf {ji} &&+c_{1}c_{2}\mathbf {j} ^{2}&&+c_{1}d_{2}\mathbf {jk} \\{}+{}&d_{1}a_{2}\mathbf {k} &&+d_{1}b_{2}\mathbf {ki} &&+d_{1}c_{2}\mathbf {kj} &&+d_{1}d_{2}\mathbf {k} ^{2}\end{alignedat}}}

ตอนนี้องค์ประกอบพื้นฐานสามารถคูณได้โดยใช้กฎที่ให้ไว้ด้านบนเพื่อรับ: [7]

ก 1 ก 2 - ข 1 ข 2 - ค 1 ค 2 - ง 1 ง 2 + ( ก 1 ข 2 + ข 1 ก 2 + ค 1 ง 2 - ง 1 ค 2 ) ผม + ( ก 1 ค 2 - ข 1 ง 2 + ค 1 ก 2 + ง 1 ข 2 ) ญ + ( ก 1 ง 2 + ข 1 ค 2 - ค 1 ข 2 + ง 1 ก 2 ) k {\ displaystyle {\ begin {alignedat} {4} & a_ {1} a_ {2} && - b_ {1} b_ {2} && - c_ {1} c_ {2} && - d_ {1} d_ {2} \\ {} + {} (& a_ {1} b_ {2} && + b_ {1} a_ {2} && + c_ {1} d_ {2} && - d_ {1} c_ {2}) \ mathbf { i} \\ {} + {} (& a_ {1} c_ {2} && - b_ {1} d_ {2} && + c_ {1} a_ {2} && + d_ {1} b_ {2}) \ mathbf {j} \\ {} + {} (& a_ {1} d_ {2} && + b_ {1} c_ {2} && - c_ {1} b_ {2} && + d_ {1} a_ {2} ) \ mathbf {k} \ end {alignedat}}} {\displaystyle {\begin{alignedat}{4}&a_{1}a_{2}&&-b_{1}b_{2}&&-c_{1}c_{2}&&-d_{1}d_{2}\\{}+{}(&a_{1}b_{2}&&+b_{1}a_{2}&&+c_{1}d_{2}&&-d_{1}c_{2})\mathbf {i} \\{}+{}(&a_{1}c_{2}&&-b_{1}d_{2}&&+c_{1}a_{2}&&+d_{1}b_{2})\mathbf {j} \\{}+{}(&a_{1}d_{2}&&+b_{1}c_{2}&&-c_{1}b_{2}&&+d_{1}a_{2})\mathbf {k} \end{alignedat}}}

ผลิตภัณฑ์ของทั้งสองquaternions หมุน[26]จะเทียบเท่ากับการหมุน2 + B 2 ผม + ค2 เจ + d 2 kตามด้วยการหมุน1 + ข1 ผม + ค1 เจ + d 1 k

ส่วนสเกลาร์และเวกเตอร์

ควอเทอร์เนียนของรูปแบบa + 0 i + 0 j + 0 kโดยที่aเป็นจำนวนจริงเรียกว่าสเกลาร์และควอเทอร์เนียนของรูปแบบ0 + b i + c j + d kโดยที่b , cและdเป็นจำนวนจริงและที่น้อยที่สุดของB , CหรือDไม่ใช่ศูนย์ที่เรียกว่าquaternion เวกเตอร์ หาก+ ขฉัน + คเจ + d kคือ quaternion ใด ๆ แล้วจะเรียกว่ามันเป็นส่วนหนึ่งเกลาและขฉัน + คเจ + d kจะเรียกว่ามันเป็นส่วนหนึ่งของเวกเตอร์ แม้ว่าทุกควอเทอร์เนียนสามารถมองว่าเป็นเวกเตอร์ในปริภูมิเวกเตอร์สี่มิติได้ แต่ก็เป็นเรื่องปกติที่จะอ้างถึงส่วนเวกเตอร์เป็นเวกเตอร์ในปริภูมิสามมิติ ด้วยหลักการนี้เวกเตอร์จึงเหมือนกับองค์ประกอบของปริภูมิเวกเตอร์ ร 3 . {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}.} {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}[b]

แฮมิลตันเรียกว่าหมู่เวกเตอร์quaternions ขวา[28] [29]และตัวเลขจริง (ถือว่าเป็นส่วนหนึ่งกับ quaternions ศูนย์เวกเตอร์) quaternions เกลา

ถ้าควอเทอร์เนียนแบ่งออกเป็นส่วนสเกลาร์และส่วนเวกเตอร์นั่นคือ

q = ( ร ,   v → ) ,     q ∈ ซ ,     ร ∈ ร ,     v → ∈ ร 3 , {\ displaystyle \ mathbf {q} = (r, \ {\ vec {v}}), ~~ \ mathbf {q} \ in \ mathbb {H}, ~~ r \ in \ mathbb {R}, ~~ {\ vec {v}} \ in \ mathbb {R} ^ {3},} {\displaystyle \mathbf {q} =(r,\ {\vec {v}}),~~\mathbf {q} \in \mathbb {H} ,~~r\in \mathbb {R} ,~~{\vec {v}}\in \mathbb {R} ^{3},}

สูตรสำหรับการบวกและการคูณคือ

( ร 1 ,   v → 1 ) + ( ร 2 ,   v → 2 ) = ( ร 1 + ร 2 ,   v → 1 + v → 2 ) , {\ displaystyle (r_ {1}, \ {\ vec {v}} _ {1}) + (r_ {2}, \ {\ vec {v}} _ {2}) = (r_ {1} + r_ {2}, \ {\ vec {v}} _ {1} + {\ vec {v}} _ {2}),} {\displaystyle (r_{1},\ {\vec {v}}_{1})+(r_{2},\ {\vec {v}}_{2})=(r_{1}+r_{2},\ {\vec {v}}_{1}+{\vec {v}}_{2}),}
( ร 1 ,   v → 1 ) ( ร 2 ,   v → 2 ) = ( ร 1 ร 2 - v → 1 ⋅ v → 2 ,   ร 1 v → 2 + ร 2 v → 1 + v → 1 × v → 2 ) , {\ displaystyle (r_ {1}, \ {\ vec {v}} _ {1}) (r_ {2}, \ {\ vec {v}} _ {2}) = (r_ {1} r_ {2 } - {\ vec {v}} _ {1} \ cdot {\ vec {v}} _ {2}, \ r_ {1} {\ vec {v}} _ {2} + r_ {2} {\ vec {v}} _ {1} + {\ vec {v}} _ {1} \ times {\ vec {v}} _ {2}),} {\displaystyle (r_{1},\ {\vec {v}}_{1})(r_{2},\ {\vec {v}}_{2})=(r_{1}r_{2}-{\vec {v}}_{1}\cdot {\vec {v}}_{2},\ r_{1}{\vec {v}}_{2}+r_{2}{\vec {v}}_{1}+{\vec {v}}_{1}\times {\vec {v}}_{2}),}

ที่ไหน " ⋅ {\ displaystyle \ cdot} \cdot "และ" × {\ displaystyle \ times} \times "แสดงตามลำดับสินค้า dotและสินค้าข้าม

การผันคำกริยาบรรทัดฐานและซึ่งกันและกัน

การผันควอเทอร์เนียนนั้นคล้ายคลึงกับการผันจำนวนเชิงซ้อนและการเปลี่ยนตำแหน่ง (หรือที่เรียกว่าการกลับรายการ) ขององค์ประกอบของ Clifford algebras เพื่อกำหนดมันให้ q = ก + ข ผม + ค ญ + ง k {\ displaystyle q = a + b \, \ mathbf {i} + c \, \ mathbf {j} + d \, \ mathbf {k}} {\displaystyle q=a+b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k} }เป็นควอเทอร์เนียน ผันของQคือ quaternion q ∗ = ก - ข ผม - ค ญ - ง k {\ displaystyle q ^ {*} = ab \, \ mathbf {i} -c \, \ mathbf {j} -d \, \ mathbf {k}} {\displaystyle q^{*}=a-b\,\mathbf {i} -c\,\mathbf {j} -d\,\mathbf {k} }. แสดงด้วยq ∗ , q t , q ~ {\ displaystyle {\ tilde {q}}} {\tilde {q}}หรือq . [7] การผันคำกริยาคือการผันแปรซึ่งหมายความว่ามันเป็นตัวผกผันของตัวเองดังนั้นการผันองค์ประกอบสองครั้งจึงส่งคืนองค์ประกอบดั้งเดิม ผันของผลิตภัณฑ์ของทั้งสอง quaternions เป็นสินค้าของคอนจูเกตที่อยู่ในลำดับที่กลับ นั่นคือถ้าPและQมี quaternions แล้ว( PQ ) * = Q * P *ไม่P * Q *

การผันคำกริยาของควอเทอร์เนียนตรงกันข้ามกับการตั้งค่าที่ซับซ้อนโดยสิ้นเชิงสามารถแสดงด้วยการคูณและการเพิ่มควอเทอร์เนียน:

q ∗ = - 1 2 ( q + ผม q ผม + ญ q ญ + k q k )   . {\ displaystyle q ^ {*} = - {\ frac {1} {2}} (q + \, \ mathbf {i} \, q \, \ mathbf {i} + \, \ mathbf {j} \, q \, \ mathbf {j} + \, \ mathbf {k} \, q \, \ mathbf {k}) ~.} {\displaystyle q^{*}=-{\frac {1}{2}}(q+\,\mathbf {i} \,q\,\mathbf {i} +\,\mathbf {j} \,q\,\mathbf {j} +\,\mathbf {k} \,q\,\mathbf {k} )~.}

การผันคำกริยาสามารถใช้เพื่อแยกส่วนสเกลาร์และเวกเตอร์ของควอเทอร์เนียนได้ ส่วนสเกลาร์ของpคือ1/2( P + P * ) ,และส่วนเวกเตอร์ของ Pคือ1/2( พี - พี* )

รากของผลิตภัณฑ์ของ quaternion กับคอนจูเกตมันจะเรียกว่ามันเป็นบรรทัดฐานและจะแสดง|| q || (แฮมิลตันเรียกปริมาณนี้ว่าเทนเซอร์ของqแต่ขัดแย้งกับความหมายสมัยใหม่ของ " เทนเซอร์ ") ในสูตรจะแสดงดังนี้:

‖ q ‖ = q q ∗   = q ∗ q   = ก 2 + ข 2 + ค 2 + ง 2   {\ displaystyle \ lVert q \ rVert = {\ sqrt {\, qq ^ {*} ~}} = {\ sqrt {\, q ^ {*} q ~}} = {\ sqrt {\, a ^ {2 } + b ^ {2} + c ^ {2} + d ^ {2} ~}}} {\displaystyle \lVert q\rVert ={\sqrt {\,qq^{*}~}}={\sqrt {\,q^{*}q~}}={\sqrt {\,a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}~}}}

นี่เป็นจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบเสมอและเป็นเช่นเดียวกับบรรทัดฐานของยุคลิด ซ {\ displaystyle \ mathbb {H}} \mathbb {H} ถือเป็นปริภูมิเวกเตอร์ ร 4 {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}} {\mathbb R}^{4}. การคูณควอเทอร์เนียนด้วยจำนวนจริงจะปรับขนาดบรรทัดฐานของมันด้วยค่าสัมบูรณ์ของจำนวน นั่นคือถ้าαเป็นของจริง

‖ α q ‖ = | α | ‖ q ‖   . {\ displaystyle \ lVert \ alpha q \ rVert = \ left | \ alpha \ right | \, \ lVert q \ rVert ~.} {\displaystyle \lVert \alpha q\rVert =\left|\alpha \right|\,\lVert q\rVert ~.}

นี่เป็นกรณีพิเศษของความจริงที่ว่าบรรทัดฐานเป็นแบบทวีคูณซึ่งหมายความว่า

‖ น q ‖ = ‖ น ‖ ‖ q ‖ {\ displaystyle \ lVert pq \ rVert = \ lVert p \ rVert \, \ lVert q \ rVert} {\displaystyle \lVert pq\rVert =\lVert p\rVert \,\lVert q\rVert }

สำหรับสอง quaternions PและQ Multiplicativity เป็นผลมาจากสูตรการผันคำกริยาของผลิตภัณฑ์ หรืออีกวิธีหนึ่งตามมาจากตัวตน

det ( ก + ผม ข ผม ง + ค ผม ง - ค ก - ผม ข ) = ก 2 + ข 2 + ค 2 + ง 2 , {\ displaystyle \ det {\ Bigl (} {\ begin {array} {cc} a + ib & id + c \\ id-c & a-ib \ end {array}} {\ Bigr)} = a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} + d ^ {2},} {\displaystyle \det {\Bigl (}{\begin{array}{cc}a+ib&id+c\\id-c&a-ib\end{array}}{\Bigr )}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2},}

(โดยที่ฉันหมายถึงหน่วยจินตภาพตามปกติ) และด้วยเหตุนี้จากคุณสมบัติการคูณของดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์กำลังสอง

บรรทัดฐานนี้ทำให้สามารถกำหนดระยะทาง d ( p , q ) ระหว่างpและqเป็นบรรทัดฐานของความแตกต่าง:

ง ( น , q ) = ‖ น - q ‖   . {\ displaystyle d (p, q) = \ lVert pq \ rVert ~.} {\displaystyle d(p,q)=\lVert p-q\rVert ~.}

สิ่งนี้ทำให้ ซ {\ displaystyle \ mathbb {H}} \mathbb {H} พื้นที่ตัวชี้วัด บวกและการคูณมีอย่างต่อเนื่องในโครงสร้างตัวชี้วัด แท้จริงสำหรับเกลาใด ๆ ในเชิงบวกมันถือ

‖ ( น + ก น 1 + q + ก q 1 ) - ( น + q ) ‖ = ก ‖ น 1 + q 1 ‖ . {\ displaystyle \ lVert (p + ap_ {1} + q + aq_ {1}) - (p + q) \ rVert = a \ lVert p_ {1} + q_ {1} \ rVert \ ,. } {\displaystyle \lVert (p+ap_{1}+q+aq_{1})-(p+q)\rVert =a\lVert p_{1}+q_{1}\rVert \,.}

ความต่อเนื่องตามมาจากการหาค่าเป็นศูนย์ในขีด จำกัด ความต่อเนื่องของการคูณถือในทำนองเดียวกัน

หน่วย quaternion

ควอเทอร์เนียนหน่วยเป็นควอเทอร์เนียนของบรรทัดฐานหนึ่ง การหารควอเทอร์เนียนที่ไม่ใช่ศูนย์qด้วยบรรทัดฐานจะทำให้เกิดหน่วยควอเทอร์เนียนU qเรียกว่าผลคูณของq :

ยู q = q ‖ q ‖ . {\ displaystyle \ mathbf {U} q = {\ frac {q} {\ lVert q \ rVert}}} \mathbf {U} q={\frac {q}{\lVert q\rVert }}.

ทุกควอเทอร์เนียนมีการสลายตัวที่ขั้ว q = ‖ q ‖ ⋅ ยู q {\ displaystyle q = \ lVert q \ rVert \ cdot \ mathbf {U} q} {\displaystyle q=\lVert q\rVert \cdot \mathbf {U} q}.

การใช้การผันคำกริยาและบรรทัดฐานทำให้สามารถกำหนดส่วนกลับของควอเทอร์เนียนที่ไม่ใช่ศูนย์ได้ ผลคูณของควอเทอร์เนียนที่มีซึ่งกันและกันควรเท่ากับ 1 และการพิจารณาข้างต้นหมายความว่าผลคูณของ q {\ displaystyle q} q และ q ∗ / ‖ q ‖ 2 {\ displaystyle q ^ {*} / \ left \ Vert q \ right \ | ^ {2}} {\displaystyle q^{*}/\left\Vert q\right\|^{2}}คือ 1 (สำหรับลำดับการคูณอย่างใดอย่างหนึ่ง) ดังนั้นซึ่งกันและกันของqจึงถูกกำหนดให้เป็น

q - 1 = q ∗ ‖ q ‖ 2 . {\ displaystyle q ^ {- 1} = {\ frac {q ^ {*}} {\ lVert q \ rVert ^ {2}}}.} q^{-1}={\frac {q^{*}}{\lVert q\rVert ^{2}}}.

สิ่งนี้ทำให้สามารถแบ่งควอเทอร์เนียนสองตัวpและq ได้สองวิธีที่แตกต่างกัน (เมื่อqไม่ใช่ศูนย์) นั่นคือผลหารสามารถเป็นp q −1หรือq −1 p  ; โดยทั่วไปผลคูณเหล่านั้นจะแตกต่างกันขึ้นอยู่กับลำดับของการคูณยกเว้นกรณีพิเศษที่pและqเป็นตัวคูณสเกลาร์ของกันและกัน (ซึ่งรวมถึงกรณีที่p = 0 ) ดังนั้นสัญกรณ์น/qมีความคลุมเครือเนื่องจากไม่ได้ระบุว่าqหารทางซ้ายหรือทางขวา (ไม่ว่า q −1คูณpทางซ้ายหรือขวา)

คุณสมบัติทางพีชคณิต

กราฟเคย์ลีของ Q 8 ลูกศรสีแดงแทนคูณทางด้านขวาโดย ฉันและลูกศรสีเขียวแทนคูณด้านขวาโดย เจ

ชุด ซ {\ displaystyle \ mathbb {H}} \mathbb {H} ของควอเทอร์เนียนทั้งหมดคือปริภูมิเวกเตอร์เหนือจำนวนจริงที่มีมิติ  4 [c] การคูณควอเทอร์เนียนเป็นการเชื่อมโยงและกระจายมากกว่าการบวกเวกเตอร์ แต่ยกเว้นเซตย่อยของสเกลาร์จะไม่สับเปลี่ยน ดังนั้นควอเทอร์เนียน ซ {\ displaystyle \ mathbb {H}} \mathbb {H} เป็นพีชคณิตเชื่อมโยงแบบไม่สับเปลี่ยนกับจำนวนจริง ถึงแม้ว่า ซ {\ displaystyle \ mathbb {H}} \mathbb {H} มีสำเนาของจำนวนเชิงซ้อนไม่ใช่พีชคณิตเชื่อมโยงกับจำนวนเชิงซ้อน

เนื่องจากเป็นไปได้ที่จะแบ่งควอเทอร์เนียนจึงทำให้เกิดพีชคณิตแบบหาร นี่คือโครงสร้างที่คล้ายกับเขตข้อมูลยกเว้นการไม่สับเปลี่ยนของการคูณ อัลเกบราสดิวิชันที่เชื่อมโยงแบบ จำกัด มิติเหนือจำนวนจริงนั้นหายากมาก Frobenius ทฤษฎีบทรัฐว่ามีตรงที่สาม: ร {\ displaystyle \ mathbb {R}} \mathbb {R} , ค {\ displaystyle \ mathbb {C}} \mathbb {C} และ ซ {\ displaystyle \ mathbb {H}} \mathbb {H} . บรรทัดฐานทำให้ควอเทอร์เนียนกลายเป็นพีชคณิตเชิงบรรทัดฐานและอัลเกบราสหารที่เป็นบรรทัดฐานเหนือจำนวนจริงก็หายากมากเช่นกัน: ทฤษฎีบทของเฮอร์วิตซ์กล่าวว่ามีเพียงสี่: ร {\ displaystyle \ mathbb {R}} \mathbb {R} , ค {\ displaystyle \ mathbb {C}} \mathbb {C} , ซ {\ displaystyle \ mathbb {H}} \mathbb {H} และ โอ {\ displaystyle \ mathbb {O}} \mathbb {O} (อ็อกโทเนียน) quaternions นอกจากนี้ยังมีตัวอย่างของหนึ่งพีชคณิตองค์ประกอบและของ unital นาคพีชคณิต

สามมิติของกราฟ Q 8 ลูกศรสีแดงเขียวและน้ำเงินแทนการคูณด้วย i , jและ kตามลำดับ การคูณด้วยจำนวนลบจะถูกละไว้เพื่อความชัดเจน

เนื่องจากผลคูณของเวกเตอร์พื้นฐานสองตัวเป็นบวกหรือลบเวกเตอร์พื้นฐานอื่นเซต{± 1, ± i , ± j , ± k } จึงสร้างกลุ่มภายใต้การคูณ นี้ไม่ใช่คริสต์กลุ่มที่เรียกว่า quaternion กลุ่มและมีการแสดงQ 8 [30]แหวนกลุ่มที่แท้จริงของQ 8คือแหวน ร [ ถาม 8 ] {\ displaystyle \ mathbb {R} [\ mathrm {Q} _ {8}]} {\displaystyle \mathbb {R} [\mathrm {Q} _{8}]} ซึ่งเป็นพื้นที่เวกเตอร์แปดมิติทับ ร . {\ displaystyle \ mathbb {R}.} {\mathbb R}. มันมีเวกเตอร์พื้นฐานหนึ่งรายการสำหรับแต่ละองค์ประกอบของ ร [ ถาม 8 ] . {\ displaystyle \ mathbb {R} [\ mathrm {Q} _ {8}].} {\displaystyle \mathbb {R} [\mathrm {Q} _{8}].}ควอเทอร์เนียนเป็นไอโซมอร์ฟิกของวงแหวนผลหารของ ร [ ถาม 8 ] {\ displaystyle \ mathbb {R} [\ mathrm {Q} _ {8}]} {\displaystyle \mathbb {R} [\mathrm {Q} _{8}]}โดยเหมาะสร้างโดยองค์ประกอบ1 + (-1) , ฉัน + (- ฉัน ) , เจ + (- เจ )และK + (- k ) คำแรกในแต่ละความแตกต่างคือหนึ่งในองค์ประกอบพื้นฐาน1, i , jและkและเทอมที่สองเป็นหนึ่งในองค์ประกอบพื้นฐาน−1, - i , - jและ- kไม่ใช่การผกผันเพิ่มเติม ของ1, ผม , JและK

ควอเทอร์เนียนและเรขาคณิตอวกาศ

ส่วนเวกเตอร์ของควอเทอร์เนียนสามารถตีความได้ว่าเป็นเวกเตอร์พิกัดใน ร 3 ; {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3};} {\displaystyle \mathbb {R} ^{3};} ดังนั้นการดำเนินการเกี่ยวกับพีชคณิตของควอเทอร์เนียนจึงสะท้อนถึงรูปทรงเรขาคณิตของ ร 3 . {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}.} {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}การดำเนินการเช่นจุดเวกเตอร์และผลิตภัณฑ์ข้ามสามารถกำหนดได้ในรูปของควอเทอร์เนียนและทำให้สามารถใช้เทคนิคควอเทอร์เนียนได้ทุกที่ที่เวกเตอร์เชิงพื้นที่เกิดขึ้น การประยุกต์ใช้ควอเทอร์เนียนที่มีประโยชน์คือการสอดแทรกการวางแนวของคีย์เฟรมในคอมพิวเตอร์กราฟิก [15]

ส่วนที่เหลือของส่วนนี้i , jและkจะแสดงทั้งเวกเตอร์พื้นฐาน[31]ในจินตภาพทั้งสามของ ซ {\ displaystyle \ mathbb {H}} \mathbb {H} และเป็นพื้นฐานสำหรับ ร 3 . {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}.} {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}การแทนที่i by - i , j by - jและk by - kจะส่งเวกเตอร์ไปยังอินเวอร์สของสารเติมแต่งดังนั้นการผกผันการบวกของเวกเตอร์จะเหมือนกับการผันคำกริยาเป็นควอเทอร์เนียน ด้วยเหตุนี้การผันบางครั้งเรียกว่าผกผันเชิงพื้นที่

สำหรับสองเวกเตอร์ควอเทอร์เนียนp = b 1 i + c 1 j + d 1 k และq = b 2 i + c 2 j + d 2 k ผลคูณดอทของพวกมันโดยการเปรียบเทียบกับเวกเตอร์ใน ร 3 , {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3},} {\displaystyle \mathbb {R} ^{3},} คือ

น ⋅ q = ข 1 ข 2 + ค 1 ค 2 + ง 1 ง 2   . {\ displaystyle p \ cdot q = b_ {1} b_ {2} + c_ {1} c_ {2} + d_ {1} d_ {2} ~.} {\displaystyle p\cdot q=b_{1}b_{2}+c_{1}c_{2}+d_{1}d_{2}~.}

นอกจากนี้ยังสามารถแสดงในลักษณะที่ไม่มีส่วนประกอบเช่น

น ⋅ q = 1 2 ( น ∗ q + q ∗ น ) = 1 2 ( น q ∗ + q น ∗ ) . {\ displaystyle p \ cdot q = \ textstyle {\ frac {1} {2}} (p ^ {*} q + q ^ {*} p) = \ textstyle {\ frac {1} {2}} (pq ^ {*} + qp ^ {*})} p\cdot q=\textstyle {\frac {1}{2}}(p^{*}q+q^{*}p)=\textstyle {\frac {1}{2}}(pq^{*}+qp^{*}).

นี้จะมีค่าเท่ากับส่วนเกลาของผลิตภัณฑ์PQ * , QP * , P * QและQ *หน้า สังเกตว่าชิ้นส่วนเวกเตอร์ของพวกมันแตกต่างกัน

ผลคูณไขว้ของpและqเทียบกับการวางแนวที่กำหนดโดยพื้นฐานที่สั่งi , jและkคือ

น × q = ( ค 1 ง 2 - ง 1 ค 2 ) ผม + ( ง 1 ข 2 - ข 1 ง 2 ) ญ + ( ข 1 ค 2 - ค 1 ข 2 ) k . {\ displaystyle p \ times q = (c_ {1} d_ {2} -d_ {1} c_ {2}) \ mathbf {i} + (d_ {1} b_ {2} -b_ {1} d_ {2 }) \ mathbf {j} + (b_ {1} c_ {2} -c_ {1} b_ {2}) \ mathbf {k} \ ,. } {\displaystyle p\times q=(c_{1}d_{2}-d_{1}c_{2})\mathbf {i} +(d_{1}b_{2}-b_{1}d_{2})\mathbf {j} +(b_{1}c_{2}-c_{1}b_{2})\mathbf {k} \,.}

(จำได้ว่าการวางแนวเป็นสิ่งที่จำเป็นในการกำหนดเครื่องหมาย.) นี้จะมีค่าเท่ากับส่วนเวกเตอร์ของสินค้าPQ (ตาม quaternions) เช่นเดียวกับการเป็นส่วนหนึ่งของเวกเตอร์- Q * P * นอกจากนี้ยังมีสูตร

น × q = 1 2 ( น q - q น ) . {\ displaystyle p \ times q = \ textstyle {\ tfrac {1} {2}} (pq-qp)} {\displaystyle p\times q=\textstyle {\tfrac {1}{2}}(pq-qp).}

สำหรับคอมมิวเตเตอร์[ p , q ] = pq - qpของสองเวกเตอร์ควอเทอร์เนียนที่หนึ่งได้รับ

[ น , q ] = 2 น × q . {\ displaystyle [p, q] = 2p \ times q.} [p,q]=2p\times q.

โดยทั่วไปให้pและqเป็น quaternions และเขียน

น = น s + น v , {\ displaystyle p = p _ {\ text {s}} + p _ {\ text {v}},} {\displaystyle p=p_{\text{s}}+p_{\text{v}},}
q = q s + q v , {\ displaystyle q = q _ {\ text {s}} + q _ {\ text {v}},} {\displaystyle q=q_{\text{s}}+q_{\text{v}},}

ที่P sและQ sเป็นส่วนที่สเกลาร์และพีวีและคิวโวลต์เป็นส่วนเวกเตอร์ของPและQ จากนั้นเรามีสูตร

น q = ( น q ) s + ( น q ) v = ( น s q s - น v ⋅ q v ) + ( น s q v + q s น v + น v × q v ) . {\ displaystyle pq = (pq) _ {\ text {s}} + (pq) _ {\ text {v}} = (p _ {\ text {s}} q _ {\ text {s}} - p _ {\ ข้อความ {v}} \ cdot q _ {\ text {v}}) + (p _ {\ text {s}} q _ {\ text {v}} + q _ {\ text {s}} p _ {\ text {v} } + p _ {\ text {v}} \ times q _ {\ text {v}})} {\displaystyle pq=(pq)_{\text{s}}+(pq)_{\text{v}}=(p_{\text{s}}q_{\text{s}}-p_{\text{v}}\cdot q_{\text{v}})+(p_{\text{s}}q_{\text{v}}+q_{\text{s}}p_{\text{v}}+p_{\text{v}}\times q_{\text{v}}).}

สิ่งนี้แสดงให้เห็นว่าความไม่สัมพันธ์กันของการคูณควอเทอร์เนียนมาจากการคูณของเวกเตอร์ควอเทอร์เนียน นอกจากนี้ยังแสดงให้เห็นว่าควอเทอร์เนียนสองตัวเคลื่อนที่ในกรณีที่ส่วนเวกเตอร์เป็น collinear แฮมิลตัน[32]แสดงให้เห็นว่าผลิตภัณฑ์นี้คำนวณจุดยอดที่สามของสามเหลี่ยมทรงกลมจากจุดยอดสองจุดที่กำหนดและความยาวส่วนโค้งที่สัมพันธ์กันซึ่งเป็นพีชคณิตของจุดในรูปทรงรีด้วย

ควอเทอร์เนียนของหน่วยสามารถระบุได้ด้วยการหมุนเข้า ร 3 {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}} \mathbb {R} ^{3}และถูกเรียกว่าโองการโดยแฮมิลตัน [32]ดูควอเทอร์เนียนและการหมุนเชิงพื้นที่สำหรับข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับการสร้างแบบจำลองการหมุนสามมิติโดยใช้ควอเทอร์เนียน

ดูHanson (2005) [33]สำหรับการสร้างภาพของควอเทอร์เนียน

การแสดงเมทริกซ์

เช่นเดียวกับจำนวนเชิงซ้อนที่สามารถแสดงเป็นเมทริกซ์ควอเทอร์เนียนก็เช่นกัน มีอย่างน้อยสองวิธีในการเป็นตัวแทนของ quaternions เช่นเดียวกับการฝึกอบรมในลักษณะที่นอกจาก quaternion และการคูณตรงตามลักษณะที่นอกจากเมทริกซ์และคูณเมทริกซ์ หนึ่งคือการใช้เมทริกซ์เชิงซ้อน 2 × 2 และอีกตัวคือการใช้เมทริกซ์จริง 4 × 4 ในแต่ละกรณีการแทนค่าที่ให้เป็นหนึ่งในตระกูลของการแสดงที่เกี่ยวข้องกับเชิงเส้น ในคำศัพท์ของพีชคณิตนามธรรมสิ่งเหล่านี้คือhomomorphisms แบบฉีด จาก ซ {\ displaystyle \ mathbb {H}} \mathbb {H} กับแหวนเมทริกซ์ M (2, ℂ)และM (4, ℝ) ,ตามลำดับ

การใช้เมทริกซ์เชิงซ้อน 2 × 2 ควอเทอร์เนียนa + bi + cj + dkสามารถแสดงเป็น

[ ก + ข ผม ค + ง ผม - ค + ง ผม ก - ข ผม ] . {\ displaystyle {\ begin {bmatrix} a + bi & c + di \\ - c + di & a-bi \ end {bmatrix}}} {\displaystyle {\begin{bmatrix}a+bi&c+di\\-c+di&a-bi\end{bmatrix}}.}

การแสดงนี้มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

  • การ จำกัด สองb , cและdให้เป็นศูนย์จะทำให้เกิดการแทนจำนวนเชิงซ้อน ตัวอย่างเช่นการตั้งค่าc = d = 0ทำให้เกิดการแทนเมทริกซ์เชิงซ้อนทแยงมุมของจำนวนเชิงซ้อนและการตั้งค่าb = d = 0จะสร้างการแทนเมทริกซ์จริง
  • บรรทัดฐานของควอเทอร์เนียน (รากที่สองของผลิตภัณฑ์ที่มีคอนจูเกตเช่นเดียวกับจำนวนเชิงซ้อน) คือรากที่สองของดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ที่สอดคล้องกัน [34]
  • คอนจูเกตของควอเทอร์เนียนสอดคล้องกับคอนจูเกตทรานสโพสของเมทริกซ์
  • โดยการ จำกัด การแสดงนี้อัตราผลตอบแทนถัวมอร์ฟระหว่างกลุ่มย่อยของยูนิท quaternions และภาพของพวกเขาSU (2) โครงสร้างควอเทอร์เนียนหน่วยเป็น 3 ทรงกลมดังนั้นช่องว่างพื้นฐานของ SU (2) จึงเป็น 3 ทรงกลมด้วย กลุ่มSU (2)เป็นสิ่งสำคัญสำหรับการอธิบายการหมุนในกลศาสตร์ควอนตัม ; ดูการฝึกอบรม Pauli
  • มีความสัมพันธ์ที่แข็งแกร่งระหว่างหน่วยควอเทอร์เนียนและเมทริกซ์ของ Pauli หาเมทริกซ์หน่วยควอเทอร์เนียนแปดหน่วยโดยหา a , b , cและdตั้งค่าสามตัวที่ศูนย์และสี่ที่ 1 หรือ −1 การคูณเมทริกซ์ Pauli สองตัวใด ๆ จะให้เมทริกซ์หน่วยควอเทอร์เนียนเสมอทั้งหมดยกเว้น −1 หนึ่งได้รับ −1 ผ่านทางi 2 = j 2 = k 2 = ijk = −1; เช่นความเสมอภาคสุดท้ายคือ
ผม ญ k = σ 1 σ 2 σ 3 σ 1 σ 2 σ 3 = - 1 {\ displaystyle {\ begin {aligned} ijk = \ sigma _ {1} \ sigma _ {2} \ sigma _ {3} \ sigma _ {1} \ sigma _ {2} \ sigma _ {3} = - 1 \ end {aligned}}} {\displaystyle {\begin{aligned}ijk=\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{3}\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{3}=-1\end{aligned}}}

การใช้เมทริกซ์จริง 4 × 4 ควอเทอร์เนียนเดียวกันนั้นสามารถเขียนเป็น

[ ก - ข - ค - ง ข ก - ง ค ค ง ก - ข ง - ค ข ก ] = ก [ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ] + ข [ 0 - 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 - 1 0 0 1 0 ] + ค [ 0 0 - 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 - 1 0 0 ] + ง [ 0 0 0 - 1 0 0 - 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 ] . {\ displaystyle {\ begin {bmatrix} a & -b & -c & -d \\ b & a & -d & c \\ c & d & a & -b \\ d & -c & b & a \ end {bmatrix}} = a {\ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \ \ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix}} + b {\ begin {bmatrix} 0 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \ end {bmatrix}} + c {\ begin {bmatrix} 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \ end {bmatrix}} + d {\ begin {bmatrix} 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \ end {bmatrix}}} {\displaystyle {\begin{bmatrix}a&-b&-c&-d\\b&a&-d&c\\c&d&a&-b\\d&-c&b&a\end{bmatrix}}=a{\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}+b{\begin{bmatrix}0&-1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&1&0\end{bmatrix}}+c{\begin{bmatrix}0&0&-1&0\\0&0&0&1\\1&0&0&0\\0&-1&0&0\end{bmatrix}}+d{\begin{bmatrix}0&0&0&-1\\0&0&-1&0\\0&1&0&0\\1&0&0&0\end{bmatrix}}.}

อย่างไรก็ตามการแทนค่าควอเทอร์เนียนในM (4, ℝ)นั้นไม่ซ้ำกัน ตัวอย่างเช่น quaternion เดียวกันสามารถแสดงเป็น

[ ก ง - ข - ค - ง ก ค - ข ข - ค ก - ง ค ข ง ก ] = ก [ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ] + ข [ 0 0 - 1 0 0 0 0 - 1 1 0 0 0 0 1 0 0 ] + ค [ 0 0 0 - 1 0 0 1 0 0 - 1 0 0 1 0 0 0 ] + ง [ 0 1 0 0 - 1 0 0 0 0 0 0 - 1 0 0 1 0 ] . {\ displaystyle {\ begin {bmatrix} a & d & -b & -c \\ - d & a & c & -b \\ b & -c & a & -d \\ c & b & d & a \ end {bmatrix}} = a {\ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix}} + b {\ begin {bmatrix} 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \ end {bmatrix}} + c {\ begin {bmatrix} 0 & 0 & 0 & -1 \ \ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \ end {bmatrix}} + d {\ begin {bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ - 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \ end {bmatrix}}} {\displaystyle {\begin{bmatrix}a&d&-b&-c\\-d&a&c&-b\\b&-c&a&-d\\c&b&d&a\end{bmatrix}}=a{\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}+b{\begin{bmatrix}0&0&-1&0\\0&0&0&-1\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{bmatrix}}+c{\begin{bmatrix}0&0&0&-1\\0&0&1&0\\0&-1&0&0\\1&0&0&0\end{bmatrix}}+d{\begin{bmatrix}0&1&0&0\\-1&0&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&1&0\end{bmatrix}}.}

มีการแสดงเมทริกซ์ที่แตกต่างกัน 48 แบบของรูปแบบนี้ซึ่งหนึ่งในเมทริกซ์แสดงถึงส่วนสเกลาร์และอีกสามเมทริกซ์ทั้งหมดเป็นแบบสมมาตรเอียง อย่างแม่นยำยิ่งขึ้นมีเมทริกซ์จำนวน 48 ชุดที่มีข้อ จำกัด สมมาตรเหล่านี้ซึ่งฟังก์ชันที่ส่ง1, i , jและkไปยังเมทริกซ์ในสี่เท่านั้นเป็นโฮโมมอร์ฟิสซึ่มนั่นคือมันส่งผลรวมและผลคูณของควอเทอร์เนียนเป็นผลรวม และผลิตภัณฑ์เมทริกซ์ [35]ในการแทนค่านี้คอนจูเกตของควอเทอร์เนียนสอดคล้องกับทรานสโพสของเมทริกซ์ กำลังสี่ของบรรทัดฐานของควอเทอร์เนียนคือดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ที่สอดคล้องกัน เช่นเดียวกับการแทนค่าเชิงซ้อน 2 × 2 ข้างต้นจำนวนเชิงซ้อนสามารถสร้างได้อีกครั้งโดยการ จำกัด ค่าสัมประสิทธิ์ให้เหมาะสม เช่นเป็นบล็อกเมทริกซ์ทแยงมุมกับสอง 2 × 2 ช่วงตึกโดยการตั้งค่าC = d = 0

การแทนเมทริกซ์ 4 × 4 แต่ละเมทริกซ์ของควอเทอร์เนียนสอดคล้องกับตารางการคูณของควอเทอร์เนียนของหน่วย ตัวอย่างเช่นการแทนค่าเมทริกซ์สุดท้ายที่ระบุไว้ข้างต้นสอดคล้องกับตารางการคูณ

× ก ง - ข - ค
ก ก ง −b −c
−d −d ก ค −b
ข ข - ค ก - ง
ค ค ข ง ก

ซึ่งเป็นไอโซมอร์ฟิก - ผ่าน { ก ↦ 1 , ข ↦ ผม , ค ↦ ญ , ง ↦ k } {\ displaystyle \ {a \ mapsto 1, b \ mapsto i, c \ mapsto j, d \ mapsto k \}} {\displaystyle \{a\mapsto 1,b\mapsto i,c\mapsto j,d\mapsto k\}} - ถึง

× 1 k - ผม - ญ
1 1 k - ผม - ญ
- k - k 1 ญ - ผม
ผม ผม - ญ 1 - k
ญ ญ ผม k 1

การ จำกัด ตารางการคูณดังกล่าวให้มีข้อมูลประจำตัวในแถวและคอลัมน์แรกและเพื่อให้สัญญาณของส่วนหัวแถวตรงข้ามกับส่วนหัวของคอลัมน์จากนั้นมี 3 ทางเลือกที่เป็นไปได้สำหรับคอลัมน์ที่สอง (เครื่องหมายละเว้น), 2 เป็นไปได้ ตัวเลือกสำหรับคอลัมน์ที่สาม (การละเว้นเครื่องหมาย) และ 1 ทางเลือกที่เป็นไปได้สำหรับคอลัมน์ที่สี่ (การละเว้นเครื่องหมาย) ที่สร้างความเป็นไปได้ 6 ประการ จากนั้นคอลัมน์ที่สองสามารถเลือกให้เป็นบวกหรือลบคอลัมน์ที่สามสามารถเลือกได้ว่าจะเป็นบวกหรือลบและคอลัมน์ที่สี่สามารถเลือกได้ว่าจะเป็นบวกหรือลบโดยให้ความเป็นไปได้ 8 แบบสำหรับเครื่องหมาย การคูณความเป็นไปได้สำหรับตำแหน่งตัวอักษรและสำหรับเครื่องหมายของพวกเขาจะให้ผล 48. จากนั้นแทนที่1ด้วยa , iด้วยb , jด้วยcและkด้วยdและการลบส่วนหัวของแถวและคอลัมน์จะให้การแสดงเมทริกซ์ของa + b i + c j + d k .

ทฤษฎีบทสี่เหลี่ยมของ Lagrange

ควอเทอร์เนียนยังใช้ในหนึ่งในการพิสูจน์ทฤษฎีบทสี่เหลี่ยมของลากรองจ์ในทฤษฎีจำนวนซึ่งระบุว่าจำนวนเต็มที่ไม่เป็นค่าลบทั้งหมดคือผลรวมของจำนวนเต็มสี่กำลังสอง นอกเหนือจากการเป็นทฤษฎีบทที่สง่างามในตัวมันเองแล้วทฤษฎีบทสี่เหลี่ยมของ Lagrange ยังมีประโยชน์ในการใช้งานในสาขาคณิตศาสตร์นอกทฤษฎีจำนวนเช่นทฤษฎีการออกแบบคอมบิเนเตอร์ หลักฐาน quaternion-based ใช้ quaternions Hurwitz เป็น subring ของแหวนของ quaternions ทั้งหมดที่มีเป็นอะนาล็อกของขั้นตอนวิธี Euclidean

ควอเทอร์เนียนเป็นคู่ของจำนวนเชิงซ้อน

ควอเทอร์เนียนสามารถแสดงเป็นคู่ของจำนวนเชิงซ้อน จากมุมมองนี้ควอเทอร์เนียนเป็นผลมาจากการใช้โครงสร้างของเคย์ลีย์ - ดิกสันกับจำนวนเชิงซ้อน นี่คือลักษณะทั่วไปของการสร้างจำนวนเชิงซ้อนเป็นคู่ของจำนวนจริง

ปล่อย ค 2 {\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {2}} {\mathbb C}^{2}เป็นพื้นที่เวกเตอร์สองมิติทับจำนวนเชิงซ้อน เลือกพื้นฐานประกอบด้วยสององค์ประกอบที่ 1และเจ เวกเตอร์ใน ค 2 {\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {2}} {\mathbb C}^{2}สามารถเขียนในรูปขององค์ประกอบพื้นฐาน1และjเป็น

( ก + ข ผม ) 1 + ( ค + ง ผม ) ญ . {\ displaystyle (a + bi) 1+ (c + di) \ mathbf {j} \ ,. } {\displaystyle (a+bi)1+(c+di)\mathbf {j} \,.}

ถ้าเรากำหนดJ 2 = -1และฉัน J = - J ฉัน ,แล้วเราสามารถคูณสองเวกเตอร์โดยใช้กฎหมายการจำหน่าย การใช้kเป็นสัญกรณ์ย่อสำหรับผลคูณi jนำไปสู่กฎเดียวกันสำหรับการคูณเช่นเดียวกับควอเทอร์เนียนปกติ ดังนั้นเวกเตอร์เหนือของตัวเลขที่สอดคล้องกับที่ซับซ้อนในการ quaternion + สอง + คเจ + d k ถ้าเราเขียนองค์ประกอบของ ค 2 {\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {2}} {\mathbb C}^{2} ตามลำดับคู่และควอเทอร์เนียนเป็นสี่เท่าดังนั้นการโต้ตอบคือ

( ก + ข ผม ,   ค + ง ผม ) ↔ ( ก , ข , ค , ง ) . {\ displaystyle (a + bi, \ c + di) \ leftrightarrow (a, b, c, d)} (a+bi,\ c+di)\leftrightarrow (a,b,c,d).

รากที่สอง

รากที่สองของ −1

ในจำนวนเชิงซ้อน ค , {\ displaystyle \ mathbb {C},} {\displaystyle \mathbb {C} ,}มีเพียงสองตัวเลขคือiและ - iซึ่งกำลังสองคือ −1 ใน ซ {\ displaystyle \ mathbb {H}} \mathbb {H} มีรากที่สองจำนวนมากของลบหนึ่งอย่างไม่สิ้นสุด: สารละลายควอเทอร์เนียนสำหรับรากที่สองของ −1 คือหน่วยทรงกลมใน ร 3 . {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}.} {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}หากต้องการดูสิ่งนี้ให้q = a + b i + c j + d k เป็นควอเทอร์เนียนและสมมติว่ากำลังสองคือ −1 ในแง่ของa , b , cและdนี่หมายถึง

ก 2 - ข 2 - ค 2 - ง 2 = - 1 , {\ displaystyle a ^ {2} -b ^ {2} -c ^ {2} -d ^ {2} = - 1,} a^{2}-b^{2}-c^{2}-d^{2}=-1,
2 ก ข = 0 , {\ displaystyle 2ab = 0,} 2ab=0,
2 ก ค = 0 , {\ displaystyle 2ac = 0,} 2ac=0,
2 ก ง = 0. {\ displaystyle 2ad = 0.} 2ad=0.

เพื่อตอบสนองความสมการที่ผ่านมาสามทั้ง= 0หรือข , คและงมีทั้งหมด 0. หลังเป็นไปไม่ได้เพราะเป็นจำนวนจริงและสมการแรกจะบ่งบอกว่า2 = -1 ดังนั้น= 0และข2 + ค2 + d 2 = 1 กล่าวอีกนัยหนึ่ง: ควอเทอร์เนียนกำลังสองเป็น −1 ถ้าเป็นเวกเตอร์ควอเทอร์เนียนที่มีบรรทัดฐาน 1 เท่านั้นตามนิยามเซตของเวกเตอร์ดังกล่าวทั้งหมดจะสร้างทรงกลมของหน่วย

ควอเทอร์เนียนจริงเชิงลบเท่านั้นที่มีรากที่สองจำนวนมากไม่สิ้นสุด คนอื่น ๆ ทั้งหมดมีเพียงสอง (หรือหนึ่งในกรณีของ 0) [ ต้องการอ้างอิง ] [d]

ในฐานะที่เป็นสหภาพของเครื่องบินที่ซับซ้อน

รากที่สองของ −1 แต่ละคู่จะสร้างสำเนาที่แตกต่างกันของจำนวนเชิงซ้อนภายในควอเทอร์เนียน ถ้าคิว2 = -1 ,แล้วสำเนาถูกกำหนดโดยฟังก์ชั่น

ก + ข - 1 ↦ ก + ข q . {\ displaystyle a + b {\ sqrt {-1 \,}} \ mapsto a + bq \ ,. } {\displaystyle a+b{\sqrt {-1\,}}\mapsto a+bq\,.}

ในภาษาของพีชคณิตนามธรรมแต่ละเป็นหนึง แหวน homomorphismจาก ค {\ displaystyle \ mathbb {C}} \mathbb {C} ถึง ซ {\ displaystyle \ mathbb {H}} \mathbb {H} . ภาพของการฝังที่ตรงกับqและ - qเหมือนกัน

ควอเทอร์เนียนที่ไม่ใช่จริงทุกตัวจะสร้างsubalgebraของควอเทอร์เนียนที่เป็นไอโซมอร์ฟิก ค , {\ displaystyle \ mathbb {C},} {\displaystyle \mathbb {C} ,} และจึงเป็นพื้นที่ย่อยระนาบของ ค : {\ displaystyle \ mathbb {C} \ colon} {\displaystyle \mathbb {C} \colon }เขียนqเป็นผลรวมของส่วนสเกลาร์และส่วนเวกเตอร์:

q = q s + q → v . {\ displaystyle q = q_ {s} + {\ vec {q}} _ {v}.} q=q_{s}+{\vec {q}}_{v}.

ย่อยสลายส่วนเวกเตอร์เพิ่มเติมเป็นผลคูณของบรรทัดฐานและความตรงข้าม :

q = q s + ‖ q → v ‖ ⋅ ยู q → v = q s + q v ‖ q v ‖ . {\ displaystyle q = q_ {s} + \ lVert {\ vec {q}} _ {v} \ rVert \ cdot \ mathbf {U} {\ vec {q}} _ {v} = q_ {s} + { \ frac {q_ {v}} {\ | q_ {v} \ |}}} {\displaystyle q=q_{s}+\lVert {\vec {q}}_{v}\rVert \cdot \mathbf {U} {\vec {q}}_{v}=q_{s}+{\frac {q_{v}}{\|q_{v}\|}}.}

(โปรดทราบว่าสิ่งนี้ไม่เหมือนกับไฟล์ q s + ‖ q ‖ ⋅ ยู q {\ displaystyle q_ {s} + \ lVert q \ rVert \ cdot \ mathbf {U} q} q_{s}+\lVert q\rVert \cdot \mathbf {U} q.) ความตรงข้ามของส่วนเวกเตอร์ของq , ยู q → v {\ displaystyle \ mathbf {U} {\ vec {q}} _ {v}} \mathbf {U} {\vec {q}}_{v}เป็นข้อที่ถูกต้องโดยมี –1 เป็นกำลังสอง การตรวจสอบอย่างตรงไปตรงมาแสดงให้เห็นว่า

ก + ข - 1 ↦ ก + ข ยู q → v {\ displaystyle a + b {\ sqrt {-1 \,}} \ mapsto a + b \ mathbf {U} {\ vec {q}} _ {v}} {\displaystyle a+b{\sqrt {-1\,}}\mapsto a+b\mathbf {U} {\vec {q}}_{v}}

กำหนดhomomorphismแบบฉีดของalgebras ที่เป็นบรรทัดฐานจาก ค {\ displaystyle \ mathbb {C}} \mathbb {C} เข้าสู่ควอเทอร์เนียน ภายใต้ homomorphism นี้qคือรูปของจำนวนเชิงซ้อน q s + ‖ q → v ‖ ผม {\ displaystyle q_ {s} + \ lVert {\ vec {q}} _ {v} \ rVert i} q_{s}+\lVert {\vec {q}}_{v}\rVert i.

เช่น ซ {\ displaystyle \ mathbb {H}} \mathbb {H} เป็นสหภาพของภาพของ homomorphisms เหล่านี้จะช่วยให้การดู quaternions เป็นสหภาพของเครื่องบินที่ซับซ้อนตัดในที่บรรทัดที่แท้จริง ระนาบที่ซับซ้อนเหล่านี้แต่ละระนาบมีจุดแอนติโพดัลหนึ่งคู่ของทรงกลมของรากที่สองของลบหนึ่ง

การสับเปลี่ยนย่อย

ความสัมพันธ์ของควอเทอร์เนียนซึ่งกันและกันภายในระนาบย่อยที่ซับซ้อนของ ซ {\ displaystyle \ mathbb {H}} \mathbb {H} นอกจากนี้ยังสามารถระบุและแสดงในแง่ของการสับเปลี่ยน subrings โดยเฉพาะเนื่องจากสอง quaternions pและq commute (กล่าวคือpq = qp ) ก็ต่อเมื่อพวกมันอยู่ใน subplane ที่ซับซ้อนเดียวกันของ ซ {\ displaystyle \ mathbb {H}} \mathbb {H} รายละเอียดของ ซ {\ displaystyle \ mathbb {H}} \mathbb {H} เป็นสหภาพของเครื่องบินที่ซับซ้อนเกิดขึ้นเมื่อหนึ่งพยายามที่จะหา subrings สับเปลี่ยนทั้งหมดของ quaternion แหวน

รากที่สองของควอเทอร์เนียนโดยพลการ

ควอเทอร์เนียนใด ๆ q = ( ร , v → ) {\ displaystyle \ mathbf {q} = (r, \, {\ vec {v}})} {\displaystyle \mathbf {q} =(r,\,{\vec {v}})} (แสดงที่นี่ในการแทนสเกลาร์ - เวกเตอร์) มีรากที่สองอย่างน้อยหนึ่งรูท q = ( x , ย → ) {\ displaystyle {\ sqrt {\ mathbf {q}}} = (x, \, {\ vec {y}})} {\displaystyle {\sqrt {\mathbf {q} }}=(x,\,{\vec {y}})} ซึ่งแก้สมการ q 2 = ( x , ย → ) 2 = q {\ displaystyle {\ sqrt {\ mathbf {q}}} ^ {2} = (x, \, {\ vec {y}}) ^ {2} = \ mathbf {q}} {\displaystyle {\sqrt {\mathbf {q} }}^{2}=(x,\,{\vec {y}})^{2}=\mathbf {q} }. การดูที่ส่วนสเกลาร์และเวกเตอร์ในสมการนี้แยกกันจะให้ผลลัพธ์สองสมการซึ่งเมื่อแก้ไขแล้วจะให้คำตอบ

q = ( ร , v → ) = ± ( ‖ q ‖ + ร 2 ,   v → ‖ v → ‖ ‖ q ‖ - ร 2 ) , {\ displaystyle {\ sqrt {\ mathbf {q}}} = {\ sqrt {(r, \, {\ vec {v}} \,)}} = \ pm \ left ({\ sqrt {\ frac {\ | \ mathbf {q} \ | + r} {2}}}, \ {\ frac {\ vec {v}} {\ | {\ vec {v}} \ |}} {\ sqrt {\ frac {\ | \ mathbf {q} \ | -r} {2}}} \ right),} {\displaystyle {\sqrt {\mathbf {q} }}={\sqrt {(r,\,{\vec {v}}\,)}}=\pm \left({\sqrt {\frac {\|\mathbf {q} \|+r}{2}}},\ {\frac {\vec {v}}{\|{\vec {v}}\|}}{\sqrt {\frac {\|\mathbf {q} \|-r}{2}}}\right),}

ที่ไหน ‖ v → ‖ = v → ⋅ v → = - v → 2 {\ displaystyle \ | {\ vec {v}} \ | = {\ sqrt {{\ vec {v}} \ cdot {\ vec {v}}}} = {\ sqrt {- {\ vec {v}} ^ {2}}}} {\displaystyle \|{\vec {v}}\|={\sqrt {{\vec {v}}\cdot {\vec {v}}}}={\sqrt {-{\vec {v}}^{2}}}} เป็นบรรทัดฐานของ v → {\ displaystyle {\ vec {v}}} {\vec {v}} และ ‖ q ‖ = q ∗ q = ร 2 + ‖ v → ‖ 2 {\ displaystyle \ | \ mathbf {q} \ | = {\ sqrt {\ mathbf {q} ^ {*} \ mathbf {q}}} = r ^ {2} + \ | {\ vec {v}} \ | ^ {2}} {\displaystyle \|\mathbf {q} \|={\sqrt {\mathbf {q} ^{*}\mathbf {q} }}=r^{2}+\|{\vec {v}}\|^{2}} เป็นบรรทัดฐานของ q {\ displaystyle \ mathbf {q}} \mathbf q. สำหรับควอเทอร์เนียนสเกลาร์ใด ๆ q {\ displaystyle \ mathbf {q}} \mathbf qสมการนี้จะให้รากที่สองที่ถูกต้องถ้า v → ‖ v → ‖ {\ displaystyle {\ frac {\ vec {v}} {\ | {\ vec {v}} \ |}}} {\displaystyle {\frac {\vec {v}}{\|{\vec {v}}\|}}} ถูกตีความว่าเป็นเวกเตอร์หน่วยโดยพลการ

ดังนั้นควอเทอร์เนียนที่ไม่ใช่ศูนย์ไม่ใช่สเกลาร์หรือควอเทอร์เนียนสเกลาร์ที่เป็นบวกจึงมีสองรากที่แน่นอนในขณะที่ 0 มีรากเดียว (0) และควอเทอร์เนียนสเกลาร์เชิงลบมีจำนวนรากไม่สิ้นสุดซึ่งเป็นเวกเตอร์ควอเทอร์เนียนที่อยู่บน { 0 } × ส 2 ( - ร ) {\ displaystyle \ {0 \} \ times S ^ {2} ({\ sqrt {-r}})} {\displaystyle \{0\}\times S^{2}({\sqrt {-r}})}กล่าวคือโดยที่ส่วนสเกลาร์เป็นศูนย์และส่วนเวกเตอร์ตั้งอยู่บนทรงกลม 2 ลูกที่มีรัศมี - ร {\ displaystyle {\ sqrt {-r}}} {\displaystyle {\sqrt {-r}}}.

หน้าที่ของตัวแปรควอเทอร์เนียน

ชุด Julia และชุด Mandelbrot สามารถขยายไปยัง Quaternions ได้ แต่ต้องใช้ส่วนตัดขวางเพื่อแสดงผลด้วยภาพเป็น 3 มิติ ชุดนี้จูเลียถูกตัดข้ามที่ XYเครื่องบิน

เช่นเดียวกับฟังก์ชันของตัวแปรที่ซับซ้อนฟังก์ชันของตัวแปรควอเทอร์เนียนจะแนะนำแบบจำลองทางกายภาพที่เป็นประโยชน์ ตัวอย่างเช่นสนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็กดั้งเดิมที่อธิบายโดย Maxwell เป็นฟังก์ชันของตัวแปรควอเทอร์เนียน ตัวอย่างของฟังก์ชันอื่น ๆ ได้แก่ ส่วนขยายของชุด Mandelbrotและชุด Juliaเป็นพื้นที่ 4 มิติ [37]

ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลลอการิทึมและกำลัง

ให้ควอเทอร์เนียน

q = ก + ข ผม + ค ญ + ง k = ก + v {\ displaystyle q = a + b \ mathbf {i} + c \ mathbf {j} + d \ mathbf {k} = a + \ mathbf {v}} {\displaystyle q=a+b\mathbf {i} +c\mathbf {j} +d\mathbf {k} =a+\mathbf {v} }

เลขชี้กำลังคำนวณเป็น[38]

ประสบการณ์ ⁡ ( q ) = ∑ n = 0 ∞ q n n ! = จ ก ( cos ⁡ ‖ v ‖ + v ‖ v ‖ บาป ⁡ ‖ v ‖ )     {\ displaystyle \ exp (q) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {q ^ {n}} {n!}} = e ^ {a} \ left (\ cos \ | \ mathbf {v} \ | + {\ frac {\ mathbf {v}} {\ | \ mathbf {v} \ |}} \ sin \ | \ mathbf {v} \ | \ right) ~~} {\displaystyle \exp(q)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n}}{n!}}=e^{a}\left(\cos \|\mathbf {v} \|+{\frac {\mathbf {v} }{\|\mathbf {v} \|}}\sin \|\mathbf {v} \|\right)~~}

และลอการิทึมคือ[38]

ln ⁡ ( q ) = ln ⁡ ‖ q ‖ + v ‖ v ‖ Arccos ⁡ ก ‖ q ‖     {\ displaystyle \ ln (q) = \ ln \ | q \ | + {\ frac {\ mathbf {v}} {\ | \ mathbf {v} \ |}} \ arccos {\ frac {a} {\ | q \ |}} ~~} {\displaystyle \ln(q)=\ln \|q\|+{\frac {\mathbf {v} }{\|\mathbf {v} \|}}\arccos {\frac {a}{\|q\|}}~~}

เป็นไปตามนั้นอาจมีการเขียนการสลายตัวเชิงขั้วของควอเทอร์เนียน

q = ‖ q ‖ จ n ^ φ = ‖ q ‖ ( cos ⁡ ( φ ) + n ^ บาป ⁡ ( φ ) ) , {\ displaystyle q = \ | q \ | e ^ {{\ hat {n}} \ varphi} = \ | q \ | \ left (\ cos (\ varphi) + {\ hat {n}} \ sin (\ วาร์ฟี) \ right),} {\displaystyle q=\|q\|e^{{\hat {n}}\varphi }=\|q\|\left(\cos(\varphi )+{\hat {n}}\sin(\varphi )\right),}

ที่มุม φ {\ displaystyle \ varphi} \varphi [e]

ก = ‖ q ‖ cos ⁡ ( φ ) {\ displaystyle a = \ | q \ | \ cos (\ varphi)} {\displaystyle a=\|q\|\cos(\varphi )}

และเวกเตอร์หน่วย n ^ {\ displaystyle {\ hat {n}}} {\hat {n}} ถูกกำหนดโดย:

v = n ^ ‖ v ‖ = n ^ ‖ q ‖ บาป ⁡ ( φ ) . {\ displaystyle \ mathbf {v} = {\ hat {n}} \ | \ mathbf {v} \ | = {\ hat {n}} \ | q \ | \ sin (\ varphi) \,} {\displaystyle \mathbf {v} ={\hat {n}}\|\mathbf {v} \|={\hat {n}}\|q\|\sin(\varphi )\,.}

ควอเทอร์เนียนหน่วยใด ๆ อาจแสดงในรูปเชิงขั้วเป็น:

q = ประสบการณ์ ⁡ ( n ^ φ ) {\ displaystyle q = \ exp {({\ hat {n}} \ varphi)}} {\displaystyle q=\exp {({\hat {n}}\varphi )}}.

อำนาจของ quaternion ยกพล (จริง) ยกกำลังxจะได้รับโดย:

q x = ‖ q ‖ x จ n ^ x φ = ‖ q ‖ x ( cos ⁡ ( x φ ) + n ^ บาป ⁡ ( x φ ) )   . {\ displaystyle q ^ {x} = \ | q \ | ^ {x} e ^ {{\ hat {n}} x \ varphi} = \ | q \ | ^ {x} \ left (\ cos (x \ วาร์ฟี) + {\ hat {n}} \, \ sin (x \ varphi) \ right) ~.} {\displaystyle q^{x}=\|q\|^{x}e^{{\hat {n}}x\varphi }=\|q\|^{x}\left(\cos(x\varphi )+{\hat {n}}\,\sin(x\varphi )\right)~.}

บรรทัดฐานทางธรณีวิทยา

ระยะเนื้อที่ d กรัม ( P , Q )ระหว่างหน่วย quaternions PและQหมายถึง:

ง ก ( น , q ) = ‖ ln ⁡ ( น - 1 q ) ‖ . {\ displaystyle d _ {\ text {g}} (p, q) = \ lVert \ ln (p ^ {- 1} q) \ rVert.} {\displaystyle d_{\text{g}}(p,q)=\lVert \ln(p^{-1}q)\rVert .}[40]

และเท่ากับค่าสัมบูรณ์ของครึ่งหนึ่งของมุมที่ถูกย่อยด้วยpและqตามส่วนโค้งที่ยิ่งใหญ่ของทรงกลมS 3 มุมนี้สามารถคำนวณได้จากผลิตภัณฑ์จุดควอเทอร์เนียนโดยไม่มีลอการิทึมเป็น:

Arccos ⁡ ( 2 ( น ⋅ q ) 2 - 1 ) . {\ displaystyle \ arccos (2 (p \ cdot q) ^ {2} -1).} {\displaystyle \arccos(2(p\cdot q)^{2}-1).}

กลุ่มการหมุนสามมิติและสี่มิติ

คำว่า " ผัน " นอกจากความหมายที่ระบุไว้ข้างต้นแล้วยังสามารถหมายถึงการนำองค์ประกอบaถึงr a r −1โดยที่rคือควอเทอร์เนียนที่ไม่ใช่ศูนย์ องค์ประกอบทั้งหมดที่ผันเข้ากับองค์ประกอบที่กำหนด (ในความหมายของคำว่า conjugate) มีส่วนจริงเหมือนกันและบรรทัดฐานเดียวกันของส่วนเวกเตอร์ (ดังนั้นคอนจูเกตในอีกนัยหนึ่งก็คือหนึ่งในคอนจูเกตในความหมายนี้)

ดังนั้นกลุ่มการคูณของควอเทอร์เนียนที่ไม่ใช่ศูนย์จึงทำหน้าที่โดยการผันคำกริยาบนสำเนาของ ร 3 {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}} \mathbb {R} ^{3}ประกอบด้วยควอเทอร์เนียนที่มีส่วนจริงเท่ากับศูนย์ การผันโดยหน่วยควอเทอร์เนียน (ควอเทอร์เนียนของค่าสัมบูรณ์ 1) กับส่วนจริงcos ( φ )คือการหมุนด้วยมุม2 φแกนของการหมุนเป็นทิศทางของส่วนเวกเตอร์ ข้อดีของ quaternions คือ:

  • การหลีกเลี่ยงgimbal lockปัญหาเกี่ยวกับระบบเช่นมุมออยเลอร์
  • ได้เร็วขึ้นและมีขนาดกะทัดรัดมากขึ้นกว่าการฝึกอบรม
  • การแทนค่าที่ไม่เป็นหนึ่งเดียว (เปรียบเทียบกับมุมออยเลอร์เป็นต้น)
  • คู่ของควอเทอร์เนียนหน่วยแทนการหมุนในอวกาศ4D (ดูการหมุนในปริภูมิแบบยุคลิด 4 มิติ: พีชคณิตของการหมุน 4D )

เซตของควอเทอร์เนียนของหน่วยทั้งหมด ( ข้อต่อ ) เป็น 3 ทรงกลมS 3และกลุ่ม ( กลุ่มโกหก ) ภายใต้การคูณสองครั้งที่ครอบคลุมกลุ่มSO (3, ℝ)ของเมทริกซ์ 3 × 3 ที่ตั้งฉากจริง  ของดีเทอร์มิแนนต์  1 ตั้งแต่สองหน่วย ควอเทอร์เนียนสอดคล้องกับการหมุนทุกครั้งภายใต้การโต้ตอบข้างต้น ดูเคล็ดลับจาน

ภาพของกลุ่มย่อยของ Versors คือกลุ่มจุดและในทางกลับกันภาพก่อนหน้าของกลุ่มจุดคือกลุ่มย่อยของ Versors preimage ของกลุ่มจุด จำกัด มีชื่อเดียวกันกับคำนำหน้าไบนารี ยกตัวอย่างเช่น preimage ของกลุ่ม icosahedralเป็นกลุ่ม icosahedral ไบนารี

กลุ่มของ Versors คือ isomorphic ถึงSU (2)กลุ่มของเมทริกซ์ 2 × 2 ที่ซับซ้อนรวมกันของดีเทอร์มิแนนต์  1

ให้เป็นชุดของ quaternions ของฟอร์ม+ ขฉัน + คเจ + d kที่A, B, C,และDมีทั้งทุกจำนวนเต็มหรือทั้งหมดครึ่งจำนวนเต็ม ชุดAคือวงแหวน (ในความเป็นจริงโดเมน ) และตาข่ายและเรียกว่าวงแหวนของ Hurwitz quaternions วงแหวนนี้มีควอเทอร์เนียน 24 หน่วยและเป็นจุดยอดของเซลล์ 24 เซลล์ปกติที่มีสัญลักษณ์Schläfli {3,4,3} พวกเขาตรงกับปกคู่ของกลุ่มทรงกลดสมมาตรของปกติจัตุรมุข ในทำนองเดียวกันจุดยอดของเซลล์ปกติ 600 เซลล์ที่มีสัญลักษณ์Schläfli {3,3,5} สามารถใช้เป็นหน่วยไอโคเซียนซึ่งสอดคล้องกับฝาปิดสองชั้นของกลุ่มสมมาตรแบบหมุนของไอโคซาเฮดรอนปกติ ฝาครอบสองชั้นของกลุ่มสมมาตรแบบหมุนของรูปแปดหน้าปกติตรงกับควอเทอร์เนียนที่แสดงถึงจุดยอดของเซลล์ 288 ดิฟฟินอยด์

Quaternion algebras

Quaternions สามารถทั่วไปเข้ามาจีบต่อไปเรียกว่าจีบ quaternion ใช้Fจะเป็นใด ๆข้อมูลที่มีลักษณะแตกต่างจาก 2 และและBจะเป็นองค์ประกอบของF ; สี่มิติรวมสมาคมพีชคณิตสามารถกำหนดมากกว่าFมีพื้นฐาน1, ผม , เจ ,และIJที่ฉัน2 = , เจ2 = BและIJ = - ji (ดังนั้น(IJ) 2 = - AB )

quaternion จีบเป็น isomorphic พีชคณิตของ 2 × 2  การฝึกอบรมมากกว่าFหรือจีบส่วนรูปแบบมากกว่าFขึ้นอยู่กับทางเลือกของและข

ควอเทอร์เนียนเป็นส่วนคู่ของCl 3,0 (ℝ)

ประโยชน์ของควอเทอร์เนียนสำหรับการคำนวณทางเรขาคณิตสามารถนำไปสู่มิติอื่น ๆ ได้โดยการระบุควอเทอร์เนียนเป็นส่วนคู่ Cl 3 , 0 + ⁡ ( ร ) {\ displaystyle \ operatorname {Cl} _ {3,0} ^ {+} (\ mathbb {R})} {\displaystyle \operatorname {Cl} _{3,0}^{+}(\mathbb {R} )} ของพีชคณิต Clifford Cl 3 , 0 ⁡ ( ร ) . {\ displaystyle \ operatorname {Cl} _ {3,0} (\ mathbb {R}).} {\displaystyle \operatorname {Cl} _{3,0}(\mathbb {R} ).}นี่คือพีชคณิตหลายตัวเชื่อมโยงที่สร้างขึ้นจากองค์ประกอบพื้นฐานพื้นฐานσ 1 , σ 2 , σ 3โดยใช้กฎผลิตภัณฑ์

σ 1 2 = σ 2 2 = σ 3 2 = 1 , {\ displaystyle \ sigma _ {1} ^ {2} = \ sigma _ {2} ^ {2} = \ sigma _ {3} ^ {2} = 1,} \sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}=\sigma _{3}^{2}=1,
σ ผม σ ญ = - σ ญ σ ผม ( ญ ≠ ผม ) . {\ displaystyle \ sigma _ {i} \ sigma _ {j} = - \ sigma _ {j} \ sigma _ {i} \ qquad (j \ neq i)} \sigma _{i}\sigma _{j}=-\sigma _{j}\sigma _{i}\qquad (j\neq i).

หากองค์ประกอบพื้นฐานพื้นฐานเหล่านี้ถูกนำไปใช้แทนเวกเตอร์ในอวกาศ 3 มิติปรากฎว่าสามารถเขียนการสะท้อนของเวกเตอร์rในระนาบที่ตั้งฉากกับเวกเตอร์หน่วยwได้:

ร ′ = - ว ร ว . {\ displaystyle r ^ {\ prime} = - w \, r \, w.} r^{\prime }=-w\,r\,w.

การสะท้อนสองครั้งทำให้เกิดการหมุนด้วยมุมเป็นสองเท่าของมุมระหว่างระนาบสะท้อนทั้งสองดังนั้น

ร ′ ′ = σ 2 σ 1 ร σ 1 σ 2 {\ displaystyle r ^ {\ prime \ prime} = \ sigma _ {2} \ sigma _ {1} \, r \, \ sigma _ {1} \ sigma _ {2}} r^{\prime \prime }=\sigma _{2}\sigma _{1}\,r\,\sigma _{1}\sigma _{2}

สอดคล้องกับการหมุน 180 องศาในเครื่องบินที่มีσ 1และσ 2 สิ่งนี้คล้ายกับสูตรควอเทอร์เนียนที่เกี่ยวข้องมาก

ร ′ ′ = - k ร k . {\ displaystyle r ^ {\ prime \ prime} = - \ mathbf {k} \, r \, \ mathbf {k}.} r^{\prime \prime }=-\mathbf {k} \,r\,\mathbf {k} .

ในความเป็นจริงทั้งสองเหมือนกันถ้าเราทำการระบุตัวตน

k = σ 2 σ 1 , ผม = σ 3 σ 2 , ญ = σ 1 σ 3 , {\ displaystyle \ mathbf {k} = \ sigma _ {2} \ sigma _ {1} \ ,, \ quad \ mathbf {i} = \ sigma _ {3} \ sigma _ {2} \ ,, \ quad \ Mathbf {j} = \ sigma _ {1} \ sigma _ {3} \ ,,} {\displaystyle \mathbf {k} =\sigma _{2}\sigma _{1}\,,\quad \mathbf {i} =\sigma _{3}\sigma _{2}\,,\quad \mathbf {j} =\sigma _{1}\sigma _{3}\,,}

และเป็นการยืนยันอย่างตรงไปตรงมาว่านี่เป็นการรักษาความสัมพันธ์ของแฮมิลตัน

ผม 2 = ญ 2 = k 2 = ผม ญ k = - 1   . {\ displaystyle \ mathbf {i} ^ {2} = \ mathbf {j} ^ {2} = \ mathbf {k} ^ {2} = \ mathbf {i \, j \, k} = -1 ~.} {\displaystyle \mathbf {i} ^{2}=\mathbf {j} ^{2}=\mathbf {k} ^{2}=\mathbf {i\,j\,k} =-1~.}

ในภาพนี้เรียกว่า "หมู่เวกเตอร์" (นั่นคือ quaternions จินตนาการบริสุทธิ์) ตรงที่จะไม่พาหะ แต่bivectors - ปริมาณที่มีขนาดและทิศทางโดยเฉพาะอย่างยิ่งที่เกี่ยวข้องกับ 2D  เครื่องบินมากกว่า 1D  ทิศทาง ความสัมพันธ์กับจำนวนเชิงซ้อนก็ชัดเจนขึ้นเช่นกันใน 2 มิติโดยมีเวกเตอร์สองทิศทางσ 1และσ 2มีองค์ประกอบพื้นฐานของไบเวคเตอร์เพียงตัวเดียวσ 1 σ 2ดังนั้นจึงมีเพียงจินตภาพเดียว แต่ในรูปแบบ 3 มิติด้วยเวกเตอร์สามทิศทางจะมีองค์ประกอบพื้นฐานของไบเวคเตอร์สามองค์ประกอบคือσ 1 σ 2 , σ 2 σ 3 , σ 3 σ 1ดังนั้นสามจินตภาพ

การให้เหตุผลนี้ขยายออกไปอีก ในพีชคณิต Clifford Cl 4 , 0 ⁡ ( ร ) , {\ displaystyle \ operatorname {Cl} _ {4,0} (\ mathbb {R}),} {\displaystyle \operatorname {Cl} _{4,0}(\mathbb {R} ),}มีองค์ประกอบพื้นฐานของ bivector หกองค์ประกอบเนื่องจากมีทิศทางเวกเตอร์พื้นฐานสี่ทิศทางที่แตกต่างกันหกคู่ที่แตกต่างกันและดังนั้นจึงสามารถกำหนดระนาบอิสระเชิงเส้นที่แตกต่างกันหกแบบได้ ผลัดในพื้นที่ดังกล่าวโดยใช้ภาพรวมเหล่านี้ quaternions เรียกว่าใบพัด , จะมีประโยชน์มากสำหรับการใช้งานที่เกี่ยวข้องกับพิกัดที่เป็นเนื้อเดียวกัน แต่มันก็เป็นเพียงในแบบ 3 มิติว่าจำนวนของ bivectors พื้นฐานเท่ากับจำนวนของเวกเตอร์พื้นฐานและแต่ละ bivector สามารถระบุได้ว่าเป็นความpseudovector

มีข้อดีหลายประการสำหรับการวางควอเทอร์เนียนในการตั้งค่าที่กว้างขึ้นนี้: [41]

  • โรเทอร์เป็นส่วนหนึ่งตามธรรมชาติของพีชคณิตเรขาคณิตและเข้าใจได้ง่ายว่าเป็นการเข้ารหัสของการสะท้อนสองครั้ง
  • ในพีชคณิตเรขาคณิตโรเตอร์และวัตถุที่ทำงานอยู่ในพื้นที่เดียวกัน สิ่งนี้ช่วยลดความจำเป็นในการเปลี่ยนการแทนค่าและการเข้ารหัสโครงสร้างข้อมูลและวิธีการใหม่ซึ่งเป็นสิ่งจำเป็นแบบดั้งเดิมเมื่อเพิ่มพีชคณิตเชิงเส้นด้วยควอเทอร์เนียน
  • โรเตอร์สามารถใช้ได้กับทุกองค์ประกอบของพีชคณิตไม่ใช่แค่เวกเตอร์และควอเทอร์เนียนอื่น ๆ เท่านั้น แต่ยังรวมถึงเส้นระนาบวงกลมทรงกลมรังสีและอื่น ๆ อีกด้วย
  • ในแบบจำลองตามรูปแบบของเรขาคณิตแบบยูคลิดโรเตอร์อนุญาตให้เข้ารหัสการหมุนการแปลและการปรับขนาดในองค์ประกอบเดียวของพีชคณิตโดยทั่ว ๆ ไปที่ทำหน้าที่กับองค์ประกอบใด ๆ โดยเฉพาะอย่างยิ่งนั่นหมายความว่าใบพัดสามารถแสดงการหมุนรอบแกนโดยพลการในขณะที่ควอเทอร์เนียนถูก จำกัด ไว้ที่แกนผ่านจุดกำเนิด
  • การแปลงที่เข้ารหัสด้วยโรเตอร์ทำให้การแก้ไขตรงไปตรงมาเป็นพิเศษ
  • ใบพัดดำเนินไปตามธรรมชาติที่ช่องว่างหลอกยุคลิด , ตัวอย่างเช่นคอฟสกีพื้นที่ของสัมพัทธภาพพิเศษ ในพื้นที่ดังกล่าวใบพัดสามารถนำมาใช้อย่างมีประสิทธิภาพแทนช่วยเพิ่มเรนซ์และการตีความสูตรที่เกี่ยวข้องกับการฝึกอบรมแกมมา

สำหรับรายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับการใช้เรขาคณิตของ algebras Clifford ดูพีชคณิตเรขาคณิต

กลุ่ม Brauer

ควอเทอร์เนียนนั้น "โดยพื้นฐาน" เป็นพีชคณิตกลาง (CSA) เพียงอย่างเดียว (ที่ไม่สำคัญ) เหนือจำนวนจริงในแง่ที่ว่า CSA ทุกตัวในจำนวนจริงจะเท่ากับ Brauer เทียบเท่ากับจำนวนจริงหรือควอเทอร์เนียน เห็นได้ชัดว่ากลุ่ม Brauerของจำนวนจริงประกอบด้วยสองคลาสซึ่งแสดงด้วยจำนวนจริงและควอเทอร์เนียนโดยที่กลุ่ม Brauer เป็นชุดของ CSA ทั้งหมดขึ้นอยู่กับความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกันของ CSA หนึ่งที่เป็นวงแหวนเมทริกซ์เหนืออีกกลุ่มหนึ่ง ตามทฤษฎีบท Artin - Wedderburn (โดยเฉพาะส่วนของ Wedderburn) CSAs ล้วนเป็นอัลเจอบราแบบเมทริกซ์บนพีชคณิตแบบหารดังนั้นควอเทอร์เนียนจึงเป็นพีชคณิตการหารที่ไม่สำคัญเพียงอย่างเดียวเหนือจำนวนจริง

CSA - วงแหวนเหนือฟิลด์ซึ่งเป็นอัลเจอร์บราธรรมดา ๆ (ไม่มีอุดมคติ 2 ด้านที่ไม่สำคัญเช่นเดียวกับฟิลด์) ซึ่งมีจุดศูนย์กลางอยู่ตรงกับฟิลด์ - เป็นแอนะล็อกของฟิลด์ส่วนขยายที่ไม่ซับซ้อนและมีข้อ จำกัด มากกว่าส่วนขยายของวงแหวนทั่วไป . ความจริงที่ว่าควอเทอร์เนียนเป็นเพียง CSA ที่ไม่สำคัญเหนือจำนวนจริง (ขึ้นอยู่กับความเท่าเทียมกัน) อาจเปรียบเทียบได้กับข้อเท็จจริงที่ว่าจำนวนเชิงซ้อนเป็นเพียงส่วนขยายฟิลด์ที่ไม่สำคัญของจำนวนจริง

ใบเสนอราคา

ฉันถือว่ามันเป็นความไม่สง่างามหรือความไม่สมบูรณ์ในควอเทอร์เนียนหรือในสภาพที่มันถูกคลี่ออกมาจนบัดนี้เมื่อใดก็ตามที่มันกลายเป็นหรือดูเหมือนว่าจำเป็นต้องมีการไล่เบี้ยx, y, zฯลฯ

-  วิลเลียมโรวันแฮมิลตัน[42]

กล่าวกันว่าเวลามีเพียงมิติเดียวและช่องว่างที่จะมีสามมิติ ... ควอเทอร์เนียนทางคณิตศาสตร์เป็นส่วนหนึ่งขององค์ประกอบทั้งสองนี้ ในภาษาทางเทคนิคอาจกล่าวได้ว่าเป็น "เวลาบวกช่องว่าง" หรือ "ช่องว่างบวกเวลา" และในแง่นี้ก็มีหรืออย่างน้อยก็เกี่ยวข้องกับการอ้างอิงถึงสี่มิติ และ One of Time, of Space the Three, Might in the Chain of Symbols ที่คาดเอวได้อย่างไร

-  วิลเลียมโรวันแฮมิลตัน[43] [ ต้องการอ้างอิงแบบเต็ม ]

Quaternions มาจากแฮมิลตันหลังจากที่เขาทำงานได้ดีจริง ๆ ; และแม้ว่าจะมีความแยบยลอย่างสวยงาม แต่ก็เป็นความชั่วร้ายที่ไม่มีการผสมกันสำหรับผู้ที่สัมผัสพวกเขาไม่ว่าด้วยวิธีใดก็ตามรวมถึงเสมียนแม็กซ์เวลล์ด้วย

-  W. Thompson, Lord Kelvin (1892) [ ต้องการอ้างอิง ]

ฉันมาดูในภายหลังว่าเท่าที่การวิเคราะห์เวกเตอร์ที่ฉันต้องการนั้นเกี่ยวข้องควอเทอร์เนียนไม่เพียง แต่ไม่จำเป็นเท่านั้น แต่ยังเป็นความชั่วร้ายในเชิงบวกที่ไม่มีขนาดที่ไม่สามารถพิจารณาได้อีกด้วย และด้วยการหลีกเลี่ยงการสร้างการวิเคราะห์เวกเตอร์จึงทำได้ค่อนข้างง่ายและการทำงานของมันก็ง่ายขึ้นด้วยและสามารถสอดประสานกับงานคาร์ทีเซียนธรรมดาได้อย่างสะดวก

-  โอลิเวอร์เฮวิไซด์ (พ.ศ. 2436) [44]

ทั้งเมทริกซ์หรือควอเทอร์เนียนและเวกเตอร์ธรรมดาไม่ถูกขับออกจากบททั้งสิบ [เพิ่มเติม] เหล่านี้ สำหรับแม้ว่าจะมีพลังที่ไม่มีใครโต้แย้งของ Tensor Calculus สมัยใหม่ได้ แต่ในความคิดของฉันก็ยังคงใช้ภาษาทางคณิตศาสตร์ที่เก่าแก่กว่านั้นเพื่อเสนอข้อได้เปรียบที่เด่นชัดในด้านทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษที่ จำกัด ยิ่งไปกว่านั้นในทางวิทยาศาสตร์และในชีวิตประจำวันความเชี่ยวชาญของภาษามากกว่าหนึ่งภาษาก็มีค่าเช่นกันเนื่องจากมันขยายมุมมองของเราเอื้อต่อการวิพากษ์วิจารณ์ในเรื่องนี้และป้องกันไม่ให้เกิดความเย่อหยิ่ง [รากฐานที่อ่อนแอ] ของเรื่องที่แสดงออกมา ด้วยคำหรือสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์

-  ลุดวิกซิลเบอร์สไตน์ (2467) [45] [ ต้องการอ้างอิงแบบเต็ม ]

... ควอเทอร์เนียนดูเหมือนจะแผ่ออกไปในอากาศแห่งการสลายตัวในศตวรรษที่สิบเก้าในฐานะสายพันธุ์ที่ค่อนข้างไม่ประสบความสำเร็จในการต่อสู้เพื่อชีวิตของความคิดทางคณิตศาสตร์ นักคณิตศาสตร์ยอมรับว่ายังคงเป็นสถานที่ที่อบอุ่นในหัวใจของพวกเขาสำหรับคุณสมบัติทางพีชคณิตที่น่าทึ่งของควอเทอร์เนียน แต่อนิจจาความกระตือรือร้นดังกล่าวมีความหมายเพียงเล็กน้อยสำหรับนักวิทยาศาสตร์ทางกายภาพที่ยากลำบาก

-  ไซมอนแอลอัลท์มันน์ (2529) [46]

ดูสิ่งนี้ด้วย

  • การแปลงระหว่างควอเทอร์เนียนและมุมออยเลอร์
  • ควอเทอร์เนียนคู่
  • จำนวนเชิงซ้อนคู่
  • พีชคณิตภายนอก
  • คำสั่ง Hurwitz quaternion
  • ไฮเพอร์โบลิกควอเทอร์เนียน
  • Lénártทรงกลม
  • เมทริกซ์ Pauli
  • เมทริกซ์ Quaternionic
  • polytope ควอเทอร์เนียน
  • พื้นที่ฉายภาพ Quaternionic
  • การหมุนในอวกาศแบบยุคลิด 4 มิติ
  • สเลอร์ป
  • แยกควอเทอร์เนียน
  • Tesseract

หมายเหตุ

  1. ^ มุมมองที่เป็นส่วนตัวมากขึ้นเกี่ยวกับควอเทอร์เนียนเขียนโดยโจอาคิมแลมเบกในปี 1995 เขาเขียนในเรียงความของเขาหากแฮมิลตันมีชัย: ควอเทอร์เนียนในวิชาฟิสิกส์ : "ความสนใจของฉันในฐานะนักศึกษาปริญญาโทได้รับแรงบันดาลใจจากหนังสือสร้างแรงบันดาลใจของซิลเบอร์สไตน์" เขาสรุปโดยระบุว่า "ฉันเชื่อมั่นอย่างยิ่งว่าควอเทอร์เนียนสามารถเป็นทางลัดสำหรับนักคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ที่ต้องการทำความคุ้นเคยกับบางแง่มุมของฟิสิกส์เชิงทฤษฎี" ลัมเบก, J. (1995). "ถ้าแฮมิลตันมีชัย: ควอเทอร์เนียนในฟิสิกส์" คณิตศาสตร์. อินเทลลิเจนเซอร์ . ฉบับ. 17 เลขที่ 4. หน้า 7–15 ดอย : 10.1007 / BF03024783 .
  2. ^ สิ่งสำคัญคือต้องสังเกตว่าส่วนเวกเตอร์ของควอเทอร์เนียนตามความเป็นจริงแล้วเวกเตอร์ "แกน" หรือ "เทียม "ไม่ใช่เวกเตอร์ธรรมดาหรือ "ขั้ว" ตามที่ Altmann (1986) ได้รับการพิสูจน์อย่างเป็นทางการ [27]เวกเตอร์เชิงขั้วสามารถแสดงในการคำนวณ (ตัวอย่างเช่นสำหรับการหมุนโดยควอเทอร์เนียน "การแปลงความคล้ายคลึงกัน") โดยควอเทอร์เนียนในจินตนาการที่บริสุทธิ์โดยไม่มีการสูญเสียข้อมูล แต่ทั้งสองไม่ควรสับสน แกนของควอเทอร์เนียนการหมุนแบบ "ไบนารี" (180 °) สอดคล้องกับทิศทางของเวกเตอร์เชิงขั้วที่เป็นตัวแทนในกรณีเช่นนี้
  3. ^ ในการเปรียบเทียบจำนวนจริง ร {\ displaystyle \ mathbb {R}} \mathbb {R} มีมิติที่ 1 จำนวนเชิงซ้อน ค {\ displaystyle \ mathbb {C}} \mathbb {C} มีมิติที่ 2 และอ็อกโทเนียน โอ {\ displaystyle \ mathbb {O}} \mathbb {O} มีมิติ 8.
  4. ^ การระบุรากที่สองของการลบหนึ่งใน ซ {\ displaystyle \ mathbb {H}} \mathbb {H} ได้รับจากแฮมิลตัน[36]แต่มักถูกมองข้ามในข้อความอื่น ๆ ปี 1971 โดยทรงกลมถูกรวมโดยแซมปะลิสในการแสดงออกสามหน้าของเขารวมอยู่ในหัวข้อที่สำคัญทางประวัติศาสตร์ในพีชคณิต (หน้า 39) การตีพิมพ์โดยสภาแห่งชาติของครูคณิตศาสตร์ เมื่อเร็ว ๆ นี้วงของรากที่สองของลบหนึ่งอธิบายไว้ในเอียนอาร์ Porteousหนังสือ 's Clifford Algebras และกลุ่มคลาสสิก (เคมบริดจ์, 1995) ในเรื่องที่ 8.13 ในหน้า 60
  5. ^ หนังสือเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ประยุกต์เช่น Corke (2017) [39]มักจะใช้สัญกรณ์ที่แตกต่างกับ φ  = 1/2θ - นั่นคือตัวแปรอื่น θ = 2 φ

อ้างอิง

  1. ^ "บนควอเทอร์เนียนหรือบนระบบจินตภาพใหม่ในพีชคณิต" จดหมายถึงจอห์นตันหลุมฝังศพ 17 ตุลาคม พ.ศ. 2386
  2. ^ โรเซนเฟลอิด, บอริสอับราโมวิช (2531). ประวัติความเป็นมาของเรขาคณิต euclidean: วิวัฒนาการของแนวคิดของพื้นที่ทางเรขาคณิต สปริงเกอร์. น. 385. ISBN 9780387964584.
  3. ^ แฮมิลตัน ฮอดจ์และสมิ ธ พ.ศ. 2396 น. 60 . เส้นผลหารควอเทอร์เนียนเวลาปริภูมิสามมิติ
  4. ^ ฮาร์ดี 1881 Ginn, Heath และ co. พ.ศ. 2424 น. 32. ISBN 9781429701860.
  5. ^ คุนเซ, คาร์สเทน; Schaeben, Helmut (พฤศจิกายน 2547). "การกระจายตัวของควอเทอร์เนียนของ Bingham และการแปลงเรดอนทรงกลมในการวิเคราะห์พื้นผิว" ธรณีวิทยาทางคณิตศาสตร์ . 36 (8): 917–943 ดอย : 10.1023 / B: MATG.0000048799.56445.59 . S2CID  55009081
  6. ^ สมิ ธ แฟรงค์ (โทนี่) “ ทำไมไม่ใจเย็น” . สืบค้นเมื่อ8 มิถุนายน 2561 .
  7. ^ a b c ดูHazewinkel, Gubareni & Kirichenko 2004 , p. 12
  8. ^ คอนเวย์สมิ ธ & 2003พี 9
  9. ^ แบรดลีย์โรเบิร์ตอี.; แซนดิเฟอร์ชาร์ลส์เอ็ดเวิร์ด (2550) Leonhard ออยเลอร์: ชีวิตการทำงานและมรดก น. 193. ISBN 978-0-444-52728-8.. พวกเขากล่าวถึงคำกล่าวอ้างของWilhelm Blaschkeในปี 2502 ว่า "แอลออยเลอร์ระบุควอเทอร์เนียนเป็นครั้งแรกในจดหมายถึง Goldbach ที่เขียนเมื่อวันที่ 4 พฤษภาคม ค.ศ. 1748" และพวกเขาแสดงความคิดเห็นว่า ควอเทอร์เนียนในจดหมายฉบับนี้ ... คำกล่าวอ้างนี้ไร้สาระ "
  10. ^ Altmann, Simon L. (ธันวาคม 1989). "แฮมิลตันโรดริเกซและเรื่องอื้อฉาวควอเทอร์เนียน" นิตยสารคณิตศาสตร์ . 62 (5): 306. ดอย : 10.2307 / 2689481 . JSTOR  2689481
  11. ^ เกาส์, CF (1900) "Mutationen des Raumes [การเปลี่ยนแปลงของอวกาศ] (ค. 1819)". ใน Martin Brendel (ed.). Carl Friedrich Gauss Werke [ ผลงานของ Carl Friedrich Gauss ] 8 . แก้ไขบทความโดยศ. Stäckelแห่งคีลเยอรมนี เกิตทิงเกน, เดอร์: Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften [Royal Society of Sciences] หน้า 357–361
  12. ^ ก ข แฮมิลตัน, WR (1844) "จดหมาย". ลอนดอนเอดินบะระและดับลินปรัชญานิตยสารและวารสารวิทยาศาสตร์ ฉบับ. xxv. หน้า 489–495
  13. ^ แฮมิลตันเซอร์ WR (2409) แฮมิลตันเรา (เอ็ด) องค์ประกอบของ Quaternions ลอนดอนสหราชอาณาจักร: Longmans, Green, & Co.
  14. ^ https://www.maa.org/external_archive/devlin/devlin_03_10.html
  15. ^ ก ข ชูเมคเคน (2528) "เคลื่อนไหวการหมุนที่มีเส้นโค้ง Quaternion" (PDF) คอมพิวเตอร์กราฟิก . 19 (3): 245–254. ดอย : 10.1145 / 325165.325242 .นำเสนอที่SIGGRAPH '85
  16. ^ Tomb Raider (1996) มักจะอ้างว่าเป็นเกมคอมพิวเตอร์มวลตลาดแรกที่มี quaternions ใช้เพื่อให้บรรลุเรียบหมุนสามมิติ ดูตัวอย่างเช่น Nick Bobick (กรกฎาคม 1998) "การหมุนวัตถุโดยใช้ควอเทอร์เนียน" . ผู้พัฒนาเกม
  17. ^ McCarthy, JM (1990). รู้เบื้องต้นเกี่ยวกับทฤษฎีจลนศาสตร์ MIT Press. ISBN 978-0-262-13252-7.
  18. ^ Shu, Jian-Jun; อูว, LS (2004). "การจัดเรียงลำดับดีเอ็นเอแบบคู่โดยใช้การแสดงหมายเลขไฮเปอร์คอมเพล็กซ์" Bulletin of Mathematical Biology . 66 (5): 1423–1438 arXiv : 1403.2658 ดอย : 10.1016 / j.bulm.2004.01.005 . PMID  15294431 S2CID  27156563
  19. ^ Shu, Jian-Jun; หลี่ย. (2010). "ไฮเปอร์คอมเพล็กซ์ข้ามสหสัมพันธ์ของลำดับดีเอ็นเอ". วารสารระบบชีวภาพ . 18 (4): 711–725 arXiv : 1402.5341 ดอย : 10.1142 / S0218339010003470 . S2CID  5395916
  20. ^ Hurwitz, A. (1919), Vorlesungen über die Zahlentheorie der Quaternionen , Berlin: J. Springer, JFM  47.0106.01เกี่ยวกับHurwitz quaternions
  21. ^ จิราร์ด, PR (1984). "กลุ่มควอเทอร์เนียนและฟิสิกส์สมัยใหม่". วารสารฟิสิกส์ยุโรป . 5 (1): 25–32. รหัสไปรษณีย์ : 1984EJPh .... 5 ... 25G . ดอย : 10.1088 / 0143-0807 / 5/1/007 .
  22. ^ Girard, Patrick R. (1999). "ไอน์สไตของสมการและ Clifford พีชคณิต" (PDF) ความก้าวหน้าในการประยุกต์ Clifford Algebras 9 (2): 225–230 ดอย : 10.1007 / BF03042377 . S2CID  122211720 สืบค้นจากต้นฉบับ (PDF)เมื่อ 17 ธันวาคม 2553.
  23. ^ Huerta, John (27 กันยายน 2553). "แนะนำ Quaternions" (PDF) เก็บถาวร (PDF)จากเดิม 2014/10/21 สืบค้นเมื่อ8 มิถุนายน 2561 .
  24. ^ Wood, Charlie (6 กันยายน 2018). "แปลกตัวเลขที่กำเนิดสมัยใหม่พีชคณิต" บล็อกนามธรรม นิตยสาร Quanta
  25. ^ ยั้วเยี้ย (1976 , น. 391)
  26. ^ "คณิตศาสตร์ - แปลงโดยใช้ Quaternions" EuclideanSpace หมุนเวียนของq1ตามการหมุนของq2จะเทียบเท่ากับการหมุนเดียวของไตรมาสที่ 2 ไตรมาสที่ 1 สังเกตการกลับคำสั่งนั่นคือเราวางการหมุนครั้งแรกทางด้านขวามือของการคูณ
  27. ^ Altmann, SL หมุน Quaternions และกลุ่มคู่ ช. 12.
  28. ^ แฮมิลตันเซอร์วิลเลียมโรวัน (2409) "มาตรา 285". องค์ประกอบของ Quaternions Longmans, Green, & Company น. 310 .
  29. ^ ฮาร์ดี (1881) "องค์ประกอบของควอเทอร์เนียน" . วิทยาศาสตร์ . library.cornell.edu 2 (75): 65. ดอย : 10.1126 / science.os-2.75.564 . PMID  17819877
  30. ^ "quaternion กลุ่ม" Wolframalpha.com .
  31. ^ กิ๊บส์เจ. วิลลาร์ด; Wilson, Edwin Bidwell (1901) การวิเคราะห์เวกเตอร์ สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเยล น. 428 . เทนเซอร์ dyadic ที่ถูกต้อง
  32. ^ ก ข แฮมิลตัน, WR (1844–1850) "ในหมู่หรือระบบใหม่ของ IMAGINARIES ในพีชคณิต" คอลเลกชัน David R.Wilkins ปรัชญานิตยสาร Trinity College, ดับลิน
  33. ^ "Visualizing Quaternions" . Morgan-Kaufmann / Elsevier 2548.
  34. ^ "[ไม่มีชื่ออ้างการประเมินปัจจัย]" Wolframalpha.com .
  35. ^ Farebrother ริชาร์ดวิลเลียม; Groß, เจอร์เก้น; Troschke, Sven-Oliver (2003). "ตัวแทนของเมทริกซ์ quaternions" พีชคณิตเชิงเส้นและการประยุกต์ใช้ 362 : 251–255 ดอย : 10.1016 / s0024-3795 (02) 00535-9 .
  36. ^ แฮมิลตัน WR (2442) องค์ประกอบของ Quaternions (2nd ed.) น. 244. ISBN 1-108-00171-8.
  37. ^ "[ไม่มีชื่ออ้าง]" (PDF) bridgesmathart.org . เก็บ สืบค้นเมื่อ19 สิงหาคม 2561 .
  38. ^ ก ข Särkkä, Simo (28 มิถุนายน 2550). "หมายเหตุเกี่ยวกับ Quaternions" (PDF) Lce.hut.fi สืบค้นจากต้นฉบับ (PDF)เมื่อวันที่ 5 กรกฎาคม 2017.
  39. ^ Corke, ปีเตอร์ (2017). หุ่นยนต์วิสัยทัศน์และการควบคุม - อัลกอริทึมพื้นฐานในMATLAB® สปริงเกอร์ . ISBN 978-3-319-54413-7.
  40. ^ ปาร์ค, เอฟซี; ราวานี, Bahram (1997). "การแก้ไขการหมุนที่คงที่อย่างราบรื่น" ธุรกรรม ACM บนกราฟิก 16 (3): 277–295 ดอย : 10.1145 / 256157.256160 . S2CID  6192031
  41. ^ "ควอเทอร์เนียนและพีชคณิตเรขาคณิต" . geometricalgebra.net สืบค้นเมื่อ2008-09-12 . ดูสิ่งนี้ด้วย: ดอร์สต์ลีโอ; ฟอนติญ, แดเนียล; แมนน์สตีเฟน (2550). พีชคณิตเรขาคณิตสำหรับวิทยาการคอมพิวเตอร์ . มอร์แกน Kaufmann ISBN 978-0-12-369465-2.
  42. ^ อ้างจากจดหมายจาก Tait ถึง Cayley [ ต้องการอ้างอิง ]
  43. ^ เกรฟส์ RP ชีวิตของเซอร์วิลเลียมโรวันแฮมิลตัน
  44. ^ เฮวิไซด์โอลิเวอร์ (2436) ทฤษฎีแม่เหล็กไฟฟ้า . ฉัน . ลอนดอนสหราชอาณาจักร: The Electrician Printing and Publishing Company. หน้า 134–135
  45. ^ Ludwik Silberstein (1924) หมายเหตุเกี่ยวกับการเตรียมความพร้อมรุ่นที่สองของเขาทฤษฎีสัมพัทธ
  46. ^ Altmann, Simon L. (1986). ผลัด quaternions และกลุ่มคู่ Clarendon Press ISBN 0-19-855372-2. LCCN  85013615

อ่านเพิ่มเติม

หนังสือและสิ่งพิมพ์

  • แฮมิลตันวิลเลียมโรวัน (1844) "ในหมู่หรือในระบบใหม่ของ IMAGINARIES ในพีชคณิต" ปรัชญานิตยสาร 25 (3): 489–495 ดอย : 10.1080 / 14786444408645047 .*
  • Hamilton, William Rowan (1853), " Lectures on Quaternions ". ราชบัณฑิตยสถานของไอริช
  • แฮมิลตัน (2409) องค์ประกอบของ สำนักพิมพ์Quaternions University of Dublin แก้ไขโดย William Edwin Hamilton ลูกชายของผู้เขียนผู้ล่วงลับ
  • Hamilton (1899) Elements of Quaternions volume I, (1901) volume II. แก้ไขโดยCharles Jasper Joly ; เผยแพร่โดยLongmans เขียว & Co.
  • Tait, Peter Guthrie (1873), " บทความเบื้องต้นเกี่ยวกับควอเทอร์เนียน " 2d ed., Cambridge, [Eng.]: The University Press.
  • แม็กซ์เวลล์เจมส์เสมียน (2416) " บทความเกี่ยวกับไฟฟ้าและแม่เหล็ก " Clarendon Press, Oxford
  • Tait, Peter Guthrie (1886), ""คัดลอกเก็บ" สืบค้นจากต้นฉบับเมื่อวันที่ 8 สิงหาคม 2014 . สืบค้นเมื่อ26 มิถุนายน 2548 .CS1 maint: สำเนาที่เก็บถาวรเป็นชื่อ ( ลิงค์ ) CS1 maint: unfit URL ( link )". MA Sec. RSE Encyclopdia Britannica , Ninth Edition, 1886, Vol. XX, pp. 160–164. (bzipped PostScript file)
  • โจลี่ชาร์ลส์แจสเปอร์ (1905) คู่มือของ quaternions แม็คมิลแลน. LCCN  05036137 .
  • Macfarlane อเล็กซานเดอร์ (1906) การวิเคราะห์เวกเตอร์และควอเทอร์เนียน (ฉบับที่ 4) ไวลีย์. LCCN  16000048
  • Chisholm, Hugh, ed. (พ.ศ. 2454). "พีชคณิต"  . สารานุกรมบริแทนนิกา (ฉบับที่ 11). สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์( ดูหัวข้อควอเทอร์เนียน )
  • ฟิงเคลสไตน์, เดวิด; Jauch, Josef M. ; ชิมิโนวิช, ซามูเอล; สปีเซอร์เดวิด (2505) "ฐานรากของกลศาสตร์ควอนตัมควอเทอร์เนียน". ญ. คณิต. สรวง 3 (2): 207–220. ดอย : 10.1063 / 1.1703794 .
  • ดูวาลแพทริค (2507) Homographies, quaternions และผลัด เอกสารทางคณิตศาสตร์ของ Oxford Clarendon Press LCCN  64056979
  • โครว์ไมเคิลเจ (2510) ประวัติความเป็นมาของการวิเคราะห์เวกเตอร์ : วิวัฒนาการของแนวคิดของระบบเวกเตอร์สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยนอเทรอดาม สำรวจระบบเวกเตอร์หลักและรองของศตวรรษที่ 19 (Hamilton, Möbius, Bellavitis, Clifford, Grassmann, Tait, Peirce, Maxwell, Macfarlane, MacAuley, Gibbs, Heaviside)
  • Altmann, Simon L. (1989). "Hamilton, Rodrigues และ Quaternion Scandal" นิตยสารคณิตศาสตร์ . 62 (5): 291–308 ดอย : 10.1080 / 0025570X.1989.11977459 .
  • แอดเลอร์สตีเฟนแอล. (1995). quaternionic กลศาสตร์ควอนตัควอนตัมและสาขา เอกสารชุดนานาชาติเกี่ยวกับฟิสิกส์ 88 . สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ด ISBN 0-19-506643-X. LCCN  94006306
  • วอร์ด, JP (1997). Quaternions และเคย์ลีเบอร์: พีชคณิตและการประยุกต์ใช้ Kluwer นักวิชาการ ISBN 0-7923-4513-4.
  • คันตอร์อิลลินอยส์; Solodnikov, AS (1989) หมายเลข hypercomplex, การแนะนำประถมจีบ สปริงเกอร์ - เวอร์ ISBN 0-387-96980-2.
  • เกอร์เลเบ็ค, เคลาส์; Sprössig, Wolfgang (1997). quaternionic และ Clifford แคลคูลัสสำหรับนักฟิสิกส์และวิศวกร วิธีการทางคณิตศาสตร์ในทางปฏิบัติ 1 . ไวลีย์. ISBN 0-471-96200-7. LCCN  98169958
  • Kuipers, Jack (2002). Quaternions และหมุนลำดับ: รองพื้นด้วยการประยุกต์ใช้ในการโคจร, ยานอวกาศและเสมือนจริง มหาวิทยาลัยพรินซ์กด ISBN 0-691-10298-8.
  • คอนเวย์, จอห์นฮอร์ตัน ; Smith, Derek A. (2003). เมื่อวันที่ Quaternions และ octonions: เรขาคณิตของพวกเขาเลขคณิตและสมมาตร เอเคปีเตอร์ส ISBN 1-56881-134-9.( ทบทวน ).
  • แจ็ค, น. (2546). "พื้นที่ทางกายภาพเป็นโครงสร้างควอเทอร์เนียน I: สมการแม็กซ์เวลล์หมายเหตุสั้น ๆ " arXiv : คณิตศาสตร์ PH / 0307038
  • คราฟเชนโกวลาดิสลาฟ (2546). การประยุกต์ใช้การวิเคราะห์ quaternionic Heldermann Verlag ISBN 3-88538-228-8.
  • เฮซวิงเคิลมิเคียล ; กูบาเรนี, นาดียา; คิริเชนโกวลาดิเมียร์วี. (2004). จีบรา, แหวนและโมดูล 1 . สปริงเกอร์. ISBN 1-4020-2690-0.
  • แฮนสัน, แอนดรูว์เจ. (2549). แสดงผล Quaternions เอลส์เวียร์. ISBN 0-12-088400-3.
  • บินซ์เอิร์นส์; ฝักซอนจา (2551). "1. สนามเอียงของควอเทอร์เนียน". รูปทรงเรขาคณิตของไฮเซนเบิร์กกลุ่ม สมาคมคณิตศาสตร์อเมริกัน . ISBN 978-0-8218-4495-3.
  • โดรันคริส JL ; Lasenby, Anthony N. (2003). เรขาคณิตพีชคณิตสำหรับฟิสิกส์ สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ ISBN 978-0-521-48022-2.
  • วินซ์, จอห์นเอ. (2008). เรขาคณิตพีชคณิตสำหรับคอมพิวเตอร์กราฟฟิค สปริงเกอร์. ISBN 978-1-84628-996-5.
  • สำหรับโมเลกุลที่ถือได้ว่าเป็นร่างกายที่แข็งแบบคลาสสิกการจำลองด้วยคอมพิวเตอร์พลศาสตร์โมเลกุลนั้นใช้ควอเทอร์เนียน พวกเขาได้รับการแนะนำครั้งแรกเพื่อจุดประสงค์นี้โดย อีแวนส์ดีเจ (2520) "เกี่ยวกับการเป็นตัวแทนของพื้นที่ปฐมนิเทศ". โมล สรวง 34 (2): 317–325 ดอย : 10.1080 / 00268977700101751 .
  • จางฝูเจิ้น (1997). "ควอเทอร์เนียนและเมทริกซ์ของควอเทอร์เนียน" . พีชคณิตเชิงเส้นและการประยุกต์ใช้ 251 : 21–57 ดอย : 10.1016 / 0024-3795 (95) 00543-9 .
  • รอนโกลด์แมน (2010). ทบทวน Quaternions: ทฤษฎีและการคำนวณ มอร์แกนและเคลย์พูล ISBN 978-1-60845-420-4.
  • Eves, Howard (1976), An Introduction to the History of Mathematics (4th ed.), New York: Holt, Rinehart and Winston , ISBN 0-03-089539-1

ลิงค์และเอกสาร

  • "คำประกาศ Quaternion" ประกาศและเอกสารที่เกี่ยวข้องกับการนำเสนอในการประชุม Quaternion
  • "Quaternion" , สารานุกรมของคณิตศาสตร์ , EMS กด 2001 [1994]
  • "คำถามที่พบบ่อย" . เมทริกซ์และ Quaternion 1.21.
  • Sweetser ดั๊ก "การทำฟิสิกส์ด้วยควอเทอร์เนียน" .
  • Quaternions สำหรับคอมพิวเตอร์กราฟิกและกลศาสตร์ (Gernot Hoffman)
  • Gsponer, อังเดร; เฮอร์นี, ฌอง - ปิแอร์ (2545). "มรดกทางกายภาพของเซอร์ดับบลิวแฮมิลตัน". arXiv : คณิตศาสตร์ PH / 0201058
  • วิลกินส์ DR "การวิจัยแฮมิลตันใน Quaternions"
  • กรอสแมน, เดวิดเจ"จูเลีย Quaternion Fractals"] 3D Raytraced Quaternion Julia Fractals
  • "Quaternion คณิตศาสตร์และ Conversion" หน้าที่ยอดเยี่ยมที่อธิบายคณิตศาสตร์พื้นฐานพร้อมลิงก์ไปยังสูตรการแปลงการหมุนไปข้างหน้าอย่างตรงไปตรงมา
  • แมทธิวส์, จอห์นเอช"บรรณานุกรมสำหรับ Quaternions" สืบค้นจากต้นฉบับเมื่อ 2006-09-02.
  • "พลังควอเทอร์เนียน" . GameDev.net
  • แฮนสันแอนดรูว์ "หน้าบ้านแสดงผล Quaternions" สืบค้นจากต้นฉบับเมื่อ 2006-11-05.
  • Karney, Charles FF (มกราคม 2550) "ควอเทอร์เนียนในการสร้างแบบจำลองโมเลกุล". J. Mol. กราฟ. Mod . 25 (5): 595–604 arXiv : ฟิสิกส์ / 0506177 ดอย : 10.1016 / j.jmgm.2006.04.002 . PMID  16777449 S2CID  6690718 .
  • เมบิอุสโยฮันอี. (2548). "การพิสูจน์โดยใช้เมทริกซ์ของทฤษฎีบทการแสดงควอเทอร์เนียนสำหรับการหมุนสี่มิติ" arXiv : คณิตศาสตร์ / 0501249
  • เมบิอุสโยฮันอี. (2550). "ที่มาของสูตรออยเลอร์ - โรดริเกสสำหรับการหมุนสามมิติจากสูตรทั่วไปสำหรับการหมุนสี่มิติ" arXiv : คณิต / 0701759 .
  • “ แฮมิลตันวอล์ค” . ภาควิชาคณิตศาสตร์NUI Maynooth
  • "การใช้ควอเทอร์เนียนแทนการหมุน" . OpenGL: สอน สืบค้นจากต้นฉบับเมื่อ 2007-12-15.
  • David Erickson, Defense Research and Development Canada (DRDC), การสร้างเมทริกซ์การหมุนที่สมบูรณ์จากการแสดงควอเทอร์เนียนแบบรวมในกระดาษ DRDC TR 2005-228
  • มาร์ติเนซ, อัลแบร์โต้. "เชิงลบคณิตศาสตร์วิธีทางคณิตศาสตร์กฎสามารถเป็นบวกก้ม" ภาควิชาประวัติศาสตร์มหาวิทยาลัยเท็กซัส สืบค้นจากต้นฉบับเมื่อ 2011-09-24.
  • Stahlke, D. "Quaternions ในกลศาสตร์คลาสสิก" (PDF)
  • โมริเออร์ - เจนูดโซฟี; Ovsienko, Valentin (2008). “ เอาล่ะป๊าคูณแฝดสามได้ไหม”. arXiv : 0810.5562 [ math.AC ].อธิบายวิธี quaternions สามารถทำให้เป็นพีชคณิตลาดสับเปลี่ยนอย่างช้า ๆ โดยZ / 2 × Z / 2 × Z / 2
  • Joyce, Helen (พฤศจิกายน 2547). "Curious Quaternions" . เป็นเจ้าภาพโดยจอห์น Baez
  • อิบาเนซ, หลุยส์. "การสอนบน Quaternions. ฉัน" (PDF) เก็บจากต้นฉบับ (PDF)เมื่อ 2012-02-04 . สืบค้นเมื่อ2011-12-05 . ส่วนที่ II (PDF ใช้คำศัพท์ของ Hamilton ซึ่งแตกต่างจากการใช้งานสมัยใหม่)
  • Ghiloni, R.; โมเร็ตติ, โวลต์; Perotti, A. (2013). "แคลคูลัสเชิงฟังก์ชันสไลซ์ต่อเนื่องในช่องว่างควอเทอร์เนียนฮิลเบิร์ต" รายได้คณิตศาสตร์ สรวง 25 (4): 1350006–126 arXiv : 1207.0666 Bibcode : 2013RvMaP..2550006G . ดอย : 10.1142 / S0129055X13500062 . S2CID  119651315 .
    Ghiloni, R.; โมเร็ตติ, โวลต์; Perotti, A. (2017). "การแสดงสเปกตรัมของตัวดำเนินการปกติผ่านมาตรการมูลค่าการฉายภาพแบบควอเทอร์นิออนิก" รายได้คณิตศาสตร์ สรวง 29 : 1750034. arXiv : 1602.02661 . ดอย : 10.1142 / S0129055X17500349 . เอกสารเชิงอธิบายสองฉบับเกี่ยวกับแคลคูลัสเชิงฟังก์ชันต่อเนื่องและทฤษฎีสเปกตรัมในช่องว่างเชิงปริมาณฮิลเบิร์ตมีประโยชน์ในกลศาสตร์ควอนตัมควอเทอร์เนียนที่เข้มงวด
  • Quaternionsแอป Android จะแสดงควอเทอร์เนียนที่สอดคล้องกับการวางแนวของอุปกรณ์
  • การหมุนวัตถุโดยใช้บทความQuaternions ที่พูดถึงการใช้ Quaternions สำหรับการหมุนในวิดีโอเกม / คอมพิวเตอร์กราฟิก

ลิงก์ภายนอก

  • สื่อที่เกี่ยวข้องกับQuaternionsที่ Wikimedia Commons
Language
  • Thai
  • Français
  • Deutsch
  • Arab
  • Português
  • Nederlands
  • Türkçe
  • Tiếng Việt
  • भारत
  • 日本語
  • 한국어
  • Hmoob
  • ខ្មែរ
  • Africa
  • Русский

©Copyright This page is based on the copyrighted Wikipedia article "/wiki/Quaternion" (Authors); it is used under the Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported License. You may redistribute it, verbatim or modified, providing that you comply with the terms of the CC-BY-SA. Cookie-policy To contact us: mail to admin@tvd.wiki

TOP