เรขาคณิตโปรเจกต์

ทฤษฎีพื้นฐานของเรขาคณิตโปรเจกต์

เรขาคณิตโปรเจกต์เป็นรูปเรขาคณิตที่ไม่ใช่เชิงเมตริกพื้นฐานซึ่งหมายความว่าไม่ได้ขึ้นอยู่กับแนวคิดเรื่องระยะทาง ในสองมิติมันเริ่มต้นด้วยการศึกษาของการกำหนดค่าของจุดและเส้น ว่ามีความเป็นจริงบางอย่างที่น่าสนใจทางเรขาคณิตในการตั้งค่าเบาบางนี้เป็นครั้งแรกที่จัดตั้งขึ้นโดยDesarguesและคนอื่น ๆ ในการสำรวจของพวกเขาจากหลักการของศิลปะมุมมอง ^[1]ในมิติที่สูงขึ้นช่องว่างที่มีการพิจารณาhyperplanes (ที่มักจะตอบสนองความต้องการ) และ subspaces เชิงเส้นอื่น ๆ ซึ่งแสดงหลักการของการเป็นคู่ ภาพประกอบที่ง่ายที่สุดของความเป็นคู่อยู่ในระนาบการฉายซึ่งข้อความ "จุดที่แตกต่างกันสองจุดเป็นตัวกำหนดเส้นที่ไม่ซ้ำกัน" (เช่นเส้นผ่านจุดเหล่านั้น) และ "เส้นที่แตกต่างกันสองเส้นกำหนดจุดที่ไม่ซ้ำกัน" (เช่นจุดตัดของจุดตัด) แสดงเหมือนกัน โครงสร้างเป็นประพจน์ เรขาคณิตโปรเจ็กต์ยังสามารถมองได้ว่าเป็นรูปทรงเรขาคณิตของสิ่งก่อสร้างที่มีขอบตรงเพียงอย่างเดียว ^[2]เนื่องจากไม่รวมเรขาคณิต projective ล้อมก่อสร้างมีวงกลมไม่มีมุมไม่มีวัดไม่มีแนวไม่และแนวคิดของการไม่มีintermediacy ^[3]ตระหนักว่าทฤษฎีบทที่ใช้กับเรขาคณิตเชิงโปรเจ็กต์เป็นข้อความที่ง่ายกว่า ตัวอย่างเช่นภาคตัดกรวยที่แตกต่างกันล้วนมีความเท่าเทียมกันในรูปเรขาคณิตเชิงโปรเจ็กต์ (ซับซ้อน) และทฤษฎีบางอย่างเกี่ยวกับวงกลมถือได้ว่าเป็นกรณีพิเศษของทฤษฎีบททั่วไปเหล่านี้

ในช่วงต้นศตวรรษที่ 19 ผลงานของฌอง - วิกเตอร์พอนอร์กลาซาเรคาร์โนต์และคนอื่น ๆ ได้สร้างเรขาคณิตเชิงโปรเจ็กต์เป็นสาขาคณิตศาสตร์อิสระ ^[3]ฐานรากที่เข้มงวดได้รับการแก้ไขโดยKarl von Staudtและได้รับการแก้ไขโดยชาวอิตาลีGiuseppe Peano , Mario Pieri , Alessandro PadoaและGino Fanoในช่วงปลายศตวรรษที่ 19 ^[4]เรขาคณิตโปรเจ็กต์เช่นเดียวกับเรขาคณิตแบบ AffineและEuclideanยังสามารถพัฒนาได้จากโปรแกรม Erlangenของเฟลิกซ์ไคลน์; เรขาคณิตโปรเจ็กต์มีลักษณะเป็นค่าคงที่ภายใต้การเปลี่ยนแปลงของกลุ่มโพรเจกไทล์

หลังจากทำงานเกี่ยวกับทฤษฎีบทจำนวนมากในหัวข้อนี้แล้วดังนั้นจึงเข้าใจพื้นฐานของรูปทรงเรขาคณิตแบบโพรเจกไทล์ โครงสร้างอุบัติการณ์และข้ามอัตราส่วนมีค่าคงที่พื้นฐานภายใต้การเปลี่ยนแปลง projective รูปทรงเรขาคณิตแบบโปรเจ็กต์สามารถสร้างแบบจำลองได้โดยระนาบความสัมพันธ์ (หรือช่องว่าง) บวกกับเส้น (ไฮเปอร์เพลน) "ที่อินฟินิตี้" แล้วถือว่าเส้นนั้น (หรือไฮเปอร์เพลน) เป็น "ธรรมดา" ^[5]แบบจำลองพีชคณิตสำหรับการสร้างรูปทรงเรขาคณิตแบบโปรเจกต์ในรูปแบบของเรขาคณิตวิเคราะห์ได้รับจากพิกัดที่เป็นเนื้อเดียวกัน ^{[6] [7]}ในทางกลับกันการศึกษาเชิงสัจพจน์เปิดเผยการมีอยู่ของเครื่องบินที่ไม่ใช่ Desarguesianตัวอย่างที่แสดงให้เห็นว่าสัจพจน์ของอุบัติการณ์สามารถจำลองได้ (ในสองมิติเท่านั้น) โดยโครงสร้างที่ไม่สามารถใช้เหตุผลผ่านระบบพิกัดที่เป็นเนื้อเดียวกันได้

การวัดการเจริญเติบโตและกระแสน้ำวนขั้ว จากผลงานของ Lawrence Edwards

ในความรู้สึกพื้นฐานเรขาคณิต projective และเรขาคณิตสั่งซื้อเป็นระดับประถมศึกษาตั้งแต่พวกเขาเกี่ยวข้องกับต่ำสุดของหลักการและทั้งสามารถใช้เป็นพื้นฐานสำหรับการเลียนแบบและรูปทรงเรขาคณิตแบบยุคลิด ^{[8] [9]}รูปทรงเรขาคณิตแบบโพรเจกต์ไม่ใช่ "เรียงลำดับ" ^[3]ดังนั้นจึงเป็นรากฐานที่แตกต่างกันสำหรับรูปทรงเรขาคณิต

คุณสมบัติทางเรขาคณิตแรกของธรรมชาติ projective ถูกค้นพบในช่วงศตวรรษที่ 3 โดยPappus ซานเดรีย ^[3] Filippo Brunelleschi (1404–1472) เริ่มตรวจสอบรูปทรงเรขาคณิตของมุมมองในช่วง ค.ศ. 1425 ^[10] (ดูประวัติของมุมมองสำหรับการอภิปรายอย่างละเอียดมากขึ้นเกี่ยวกับงานในวิจิตรศิลป์ที่กระตุ้นให้เกิดการพัฒนาเรขาคณิตเชิงภาพมากขึ้น) Johannes Kepler (1571–1630) และGérard Desargues (1591–1661) ได้พัฒนาแนวคิดเรื่อง "point at infinity" อย่างอิสระ ^[11] Desargues พัฒนาวิธีอื่นในการสร้างภาพวาดมุมมองโดยการใช้จุดที่หายไปโดยทั่วไปเพื่อรวมกรณีที่สิ่งเหล่านี้อยู่ห่างไกลออกไปอย่างไม่มีที่สิ้นสุด เขาสร้างเรขาคณิตแบบยูคลิดโดยที่เส้นขนานขนานกันอย่างแท้จริงเป็นกรณีพิเศษของระบบเรขาคณิตที่ครอบคลุมทั้งหมด การศึกษาเกี่ยวกับภาคตัดกรวยของ Desargues ดึงดูดความสนใจของเบลสปาสคาลวัย 16 ปีและช่วยเขากำหนดทฤษฎีบทของปาสคาล ผลงานของGaspard Mongeในตอนท้ายของวันที่ 18 และต้นศตวรรษที่ 19 มีความสำคัญต่อการพัฒนารูปทรงเรขาคณิตแบบโพรเจกไทล์ในเวลาต่อมา การทำงานของ Desargues ก็ไม่สนใจจนMichel Chasles chanced เมื่อสำเนาที่เขียนด้วยลายมือในช่วงปี 1845 ในขณะเดียวกันJean-Victor Ponceletได้ตีพิมพ์ตำราพื้นฐานในเรขาคณิต projective ระหว่าง 1822 Poncelet ตรวจสอบคุณสมบัติ projective ของวัตถุ (คงที่อยู่ภายใต้การฉายกลาง) และ โดยอาศัยทฤษฎีของเขาเกี่ยวกับขั้วคอนกรีตและความสัมพันธ์เชิงขั้วที่เกี่ยวกับวงกลมสร้างความสัมพันธ์ระหว่างเมตริกและคุณสมบัติเชิงโปรเจ็กต์ รูปทรงเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิดค้นพบหลังจากนั้นไม่นานในที่สุดก็แสดงให้เห็นถึงมีรูปแบบเช่นรูปแบบ Kleinของพื้นที่ซึ่งเกินความจริงที่เกี่ยวข้องกับเรขาคณิต projective

ใน 1,855 AF Möbiusเขียนบทความเกี่ยวกับพีชคณิตตอนนี้เรียกว่าการแปลงMöbiusของวงการทั่วไปในระนาบเชิงซ้อน การเปลี่ยนแปลงเหล่านี้เป็นตัวแทน projectivities ของเส้นซับซ้อน projective ในการศึกษาเส้นในอวกาศJulius Plückerใช้พิกัดที่เป็นเนื้อเดียวกันในคำอธิบายของเขาและดูชุดของเส้นบนรูปสี่เหลี่ยมไคลน์ซึ่งเป็นหนึ่งในการมีส่วนร่วมในช่วงต้นของเรขาคณิตเชิงโปรเจ็กต์ในสนามใหม่ที่เรียกว่าเรขาคณิตเชิงพีชคณิตซึ่งเป็นหน่อของเรขาคณิตวิเคราะห์ด้วยความคิดที่เป็นโปรเจ็กต์

เรขาคณิตโปรเจกต์เป็นเครื่องมือในการตรวจสอบความถูกต้องของการคาดเดาของ Lobachevski และ Bolyai เกี่ยวกับเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกโดยการจัดเตรียมแบบจำลองสำหรับระนาบไฮเพอร์โบลิก : ^[12]ตัวอย่างเช่นแบบจำลองแผ่นดิสก์Poincaréที่วงกลมทั่วไปตั้งฉากกับวงกลมหน่วยตรงกับ "เส้นไฮเพอร์โบลิก" ( geodesics ) และ "การแปล" ของโมเดลนี้อธิบายโดยการแปลงMöbiusที่แมปแผ่นดิสก์กับตัวมันเอง ระยะห่างระหว่างจุดจะถูกกำหนดโดยเมตริก Cayley-Kleinซึ่งทราบกันดีว่าไม่แปรผันภายใต้การแปลเนื่องจากขึ้นอยู่กับอัตราส่วนข้ามซึ่งเป็นค่าคงที่เชิงโปรเจ็กต์ที่สำคัญ แปลอธิบายไว้นานัปการisometriesในพื้นที่ตัวชี้วัดทางทฤษฎีเป็นแปลงเศษส่วนเชิงเส้นอย่างเป็นทางการและเป็นแปลงเชิงเส้น projective ของตรงกลุ่ม projectiveในกรณีนี้SU (1, 1)

งานของPonixabay , Jakob Steinerและคนอื่น ๆ ไม่ได้มีวัตถุประสงค์เพื่อขยายเรขาคณิตวิเคราะห์ เทคนิคควรจะสังเคราะห์ : ในพื้นที่ฉายผลตามที่เข้าใจในตอนนี้จะถูกนำมาใช้ตามความเป็นจริง ด้วยเหตุนี้การปรับรูปแบบงานในช่วงแรก ๆ ในรูปทรงเรขาคณิตแบบโปรเจ็กต์เพื่อให้เป็นไปตามมาตรฐานความเข้มงวดในปัจจุบันจึงทำได้ค่อนข้างยาก แม้ในกรณีของprojective เครื่องบินเพียงอย่างเดียววิธีการจริงจะส่งผลในรูปแบบที่ไม่พรรณนาผ่านพีชคณิตเชิงเส้น

ระยะเวลาในเรขาคณิตนี้ถูกครอบงำด้วยการวิจัยเกี่ยวกับทั่วไปเกี่ยวกับพีชคณิตเส้นโค้งโดยClebsch , Riemann , สูงสุด Noetherและอื่น ๆ ซึ่งยืดเทคนิคที่มีอยู่แล้วโดยทฤษฎี invariant ในช่วงปลายศตวรรษโรงเรียนเรขาคณิตพีชคณิตของอิตาลี ( Enriques , Segre , Severi ) ได้แตกประเด็นจากเนื้อหาแบบดั้งเดิมไปสู่พื้นที่ที่ต้องการเทคนิคที่ลึกซึ้งยิ่งขึ้น

ในช่วงต่อมาของศตวรรษที่ 19 การศึกษารูปทรงเรขาคณิตแบบโพรเจกไทล์โดยละเอียดกลายเป็นแฟชั่นน้อยลงแม้ว่าวรรณกรรมจะมีมากมายก็ตาม บางคนทำงานที่สำคัญได้ทำในรูปทรงเรขาคณิต enumerativeโดยเฉพาะอย่างยิ่งโดยชูเบิร์ตที่ถือว่าขณะนี้เป็นที่คาดการณ์ไว้ทฤษฎีของการเรียนเชิญนำมาเป็นตัวแทนของtopology เกี่ยวกับพีชคณิตของGrassmannians

Paul Diracศึกษาเรขาคณิตเชิงโปรเจ็กต์และใช้เป็นพื้นฐานในการพัฒนาแนวคิดเกี่ยวกับกลศาสตร์ควอนตัมแม้ว่าผลงานที่ตีพิมพ์ของเขาจะอยู่ในรูปพีชคณิตเสมอ ดูบทความในบล็อกที่อ้างถึงบทความและหนังสือเกี่ยวกับเรื่องนี้รวมถึงคำพูดที่ Dirac มอบให้กับผู้ชมทั่วไปในช่วงปี 1972 ในบอสตันเกี่ยวกับเรขาคณิตเชิงโปรเจ็กต์โดยไม่เจาะจงเกี่ยวกับการประยุกต์ใช้ในฟิสิกส์ของเขา

เรขาคณิต projective เป็นข้อ จำกัด น้อยกว่าทั้งรูปทรงเรขาคณิตแบบยุคลิดหรือรูปทรงเรขาคณิตที่เลียนแบบ มันเป็นรูปทรงเรขาคณิตที่ไม่ใช่เชิงเมตริกซึ่งหมายความว่าข้อเท็จจริงไม่ขึ้นอยู่กับโครงสร้างเมตริกใด ๆ ภายใต้การเปลี่ยนแปลงเชิงโปรเจ็กต์โครงสร้างอุบัติการณ์และความสัมพันธ์ของคอนจูเกตฮาร์มอนิกแบบฉายภาพจะถูกเก็บรักษาไว้ ช่วง projectiveเป็นรากฐานหนึ่งมิติ เรขาคณิตเชิงโปรเจ็กต์ทำให้หลักการสำคัญประการหนึ่งของศิลปะเปอร์สเปคทีฟเป็นรูปเป็นร่างนั่นคือเส้นขนานที่มาบรรจบกันที่ระยะอนันต์ดังนั้นจึงถูกวาดในลักษณะนั้น โดยพื้นฐานแล้วเรขาคณิตแบบโพรเจกต์อาจถือได้ว่าเป็นส่วนขยายของรูปทรงเรขาคณิตแบบยุคลิดซึ่ง "ทิศทาง" ของแต่ละเส้นจะถูกย่อยภายในเส้นเป็น "จุด" พิเศษและ "เส้นขอบฟ้า" ของทิศทางที่สอดคล้องกับเส้น coplanar ถือได้ว่าเป็น "เส้น" ดังนั้นเส้นขนานสองเส้นมาบรรจบกันบนเส้นขอบฟ้าโดยอาศัยการผสมผสานในทิศทางเดียวกัน

ทิศทางในอุดมคติเรียกว่าจุดที่ไม่มีที่สิ้นสุดในขณะที่ขอบฟ้าในอุดมคติเรียกว่าเส้นที่ไม่มีที่สิ้นสุด ในทางกลับกันเส้นเหล่านี้ทั้งหมดอยู่ในระนาบที่ระยะอนันต์ อย่างไรก็ตามอินฟินิตี้เป็นแนวคิดแบบเมตริกดังนั้นรูปทรงเรขาคณิตแบบฉายเพียงอย่างเดียวจึงไม่แยกจุดเส้นหรือระนาบใด ๆ ออกไปในเรื่องนี้ผู้ที่อยู่ในระยะอนันต์จะได้รับการปฏิบัติเช่นเดียวกับส่วนอื่น ๆ

เนื่องจากรูปทรงเรขาคณิตแบบยูคลิดมีอยู่ในรูปเรขาคณิตแบบโพรเจกไทล์โดยเรขาคณิตแบบโปรเจ็กต์มีรากฐานที่ง่ายกว่าผลลัพธ์ทั่วไปในรูปทรงเรขาคณิตแบบยูคลิดอาจได้มาในลักษณะที่โปร่งใสมากขึ้นโดยที่ทฤษฎีเรขาคณิตแบบยูคลิดที่แยกจากกัน แต่คล้ายคลึงกันอาจได้รับการจัดการร่วมกันภายในกรอบของการฉายภาพ เรขาคณิต. ตัวอย่างเช่นไม่จำเป็นต้องถือว่าเส้นขนานและไม่ขนานเป็นกรณีแยกกัน ค่อนข้าง projective เครื่องบินโดยพลการจะแยกออกมาเป็นเครื่องบินที่เหมาะและตั้งอยู่ "ที่อินฟินิตี้" โดยใช้พิกัดที่เป็นเนื้อเดียวกัน

คุณสมบัติเพิ่มเติมพื้นฐานสำคัญ ได้แก่ทฤษฎีบท Desargues'และทฤษฏีของ Pappus ในพื้นที่ฉายภาพขนาด 3 ขึ้นไปมีโครงสร้างที่ช่วยให้สามารถพิสูจน์ทฤษฎีบทของ Desarguesได้ แต่สำหรับมิติที่ 2 จะต้องมีการตั้งสมมุติฐานแยกกัน

การใช้ทฤษฎีบทของ Desarguesรวมกับสัจพจน์อื่น ๆ ทำให้สามารถกำหนดการดำเนินการพื้นฐานของเลขคณิตเชิงเรขาคณิตได้ การดำเนินงานที่เกิดสัจพจน์ของเขตข้อมูล - ยกเว้นว่า commutativity ของการคูณต้องทฤษฎีบทของปัปปุส เป็นผลให้จุดของแต่ละบรรทัดอยู่ในการติดต่อแบบหนึ่งต่อหนึ่งกับฟิลด์ที่กำหนดFเสริมด้วยองค์ประกอบเพิ่มเติม∞เช่นr ⋅∞ = ∞ , −∞ = ∞ , r + ∞ = ∞ , R / 0 = ∞ , R / ∞ = 0 , ∞ - R = R - ∞ = ∞ยกเว้นว่า0/0 , ∞ / ∞ , ∞∞ + , ∞ - ∞ , 0 ⋅∞และ∞⋅ 0ยังคงไม่ได้กำหนด .

เรขาคณิตโปรเจกต์ยังรวมถึงทฤษฎีภาคตัดกรวยเต็มรูปแบบซึ่งเป็นหัวข้อที่พัฒนาอย่างกว้างขวางในรูปทรงเรขาคณิตแบบยุคลิด มีข้อได้เปรียบในความสามารถในการคิดว่าการมีhyperbolaและวงรีเป็นความโดดเด่นด้วยวิธีการเพียง hyperbola โกหกข้ามเส้นที่อินฟินิตี้ ; และพาราโบลานั้นมีความโดดเด่นโดยการสัมผัสกับเส้นตรงเดียวกันเท่านั้น ทั้งครอบครัวของวงกลมถือได้ว่าเป็นรูปกรวยที่ผ่านจุดที่กำหนดสองจุดบนเส้นที่ไม่มีที่สิ้นสุด - ด้วยค่าใช้จ่ายที่ต้องใช้พิกัดที่ซับซ้อน เนื่องจากพิกัดไม่ใช่ "สังเคราะห์" หนึ่งจึงแทนที่ด้วยการกำหนดเส้นและจุดสองจุดบนนั้นและพิจารณาระบบเชิงเส้นของรูปกรวยทั้งหมดที่ผ่านจุดเหล่านั้นเป็นเป้าหมายพื้นฐานของการศึกษา วิธีนี้พิสูจน์แล้วว่าน่าสนใจมากสำหรับนักเรขาคณิตที่มีความสามารถและมีการศึกษาหัวข้อนี้อย่างละเอียด ตัวอย่างของวิธีนี้คือตำราหลายปริมาณโดยHF เบเกอร์

มีรูปทรงเรขาคณิตหลายรูปแบบซึ่งอาจแบ่งออกเป็นแบบไม่ต่อเนื่องและไม่ต่อเนื่อง: รูปทรงเรขาคณิตที่ไม่ต่อเนื่องประกอบด้วยชุดของจุดซึ่งอาจมีจำนวน จำกัดหรือไม่ก็ได้ในขณะที่รูปทรงเรขาคณิตที่ต่อเนื่องมีจุดจำนวนมากโดยไม่มีช่องว่างระหว่างกัน

เรขาคณิตโปรเจ็กต์เดียวของมิติ 0 คือจุดเดียว รูปทรงเรขาคณิตแบบฉายภาพของมิติที่ 1 ประกอบด้วยเส้นเดียวที่มีอย่างน้อย 3 จุด การสร้างทางเรขาคณิตของการคำนวณทางคณิตศาสตร์ไม่สามารถทำได้ในกรณีเหล่านี้ สำหรับมิติที่ 2 มีโครงสร้างที่อุดมไปด้วยคุณธรรมของการขาดของDesargues' ทฤษฎีบท

เครื่องบินโน่เป็น projective เครื่องบินที่มีคะแนนน้อยที่สุดและเส้น

จากข้อมูลของ Greenberg (1999) และอื่น ๆ รูปทรงเรขาคณิตแบบโปรเจ็กต์ 2 มิติที่ง่ายที่สุดคือระนาบ Fanoซึ่งมี 3 จุดในทุกบรรทัดโดยมี 7 จุดและ 7 เส้นโดยมีความคล้ายคลึงกันดังต่อไปนี้:

ด้วยพิกัดที่ เป็นเนื้อเดียวกันA = (0,0,1) , B = (0,1,1) , C = (0,1,0) , D = (1,0,1) , E = (1,0, 0) , F = (1,1,1) , G = (1,1,0)หรือในพิกัดสัมพันธ์A = (0,0) , B = (0,1) , C = (∞) , D = (1,0) , E = (0) , F = (1,1)และG = (1) พิกัดความสัมพันธ์ในระนาบ Desarguesian สำหรับจุดที่กำหนดให้เป็นจุดที่ไม่มีที่สิ้นสุด (ในตัวอย่างนี้: C, E และ G) สามารถกำหนดได้หลายวิธี

ในสัญกรณ์มาตรฐานเรขาคณิตโปรเจกต์ จำกัดเขียนPG ( a , b )โดยที่:

aคือมิติข้อมูลแบบฉายภาพ (หรือเรขาคณิต) และ

bคือหนึ่งน้อยกว่าจำนวนจุดบนเส้น (เรียกว่า ลำดับของเรขาคณิต)

ดังนั้นตัวอย่างมีเพียง 7 คะแนนจะถูกเขียนPG (2, 2)

คำว่า "เรขาคณิตเชิงโปรเจ็กต์" บางครั้งใช้เพื่อบ่งบอกถึงรูปทรงเรขาคณิตนามธรรมที่เป็นพื้นฐานโดยทั่วไปและบางครั้งก็ใช้เพื่อระบุรูปทรงเรขาคณิตเฉพาะที่น่าสนใจเช่นเรขาคณิตเมตริกของพื้นที่ราบซึ่งเราวิเคราะห์ผ่านการใช้พิกัดที่เป็นเนื้อเดียวกันและในยุคลิดอาจมีการฝังรูปทรงเรขาคณิต (ดังนั้นชื่อของมันจึงเป็นระนาบแบบยุคลิดขยาย )

คุณสมบัติพื้นฐานที่ซิงเกิ้ลออกมาจากรูปทรงเรขาคณิต projective ทั้งหมดเป็นรูปไข่ อุบัติการณ์ทรัพย์สินที่ใด ๆ ที่แตกต่างกันสองสายLและMในprojective เครื่องบินตัดที่ตรงจุดหนึ่งP กรณีพิเศษในเรขาคณิตวิเคราะห์ของเส้นขนานจะถูกย่อยในรูปแบบที่เรียบกว่าของเส้นตรงที่ระยะอนันต์ซึ่งPอยู่ บรรทัดที่อินฟินิตี้จึงเป็นเส้นเหมือนคนอื่น ๆ ในทฤษฎี: มันอยู่ในไม่มีวิธีพิเศษหรือแตกต่าง (ในเจตนารมณ์ของโปรแกรม Erlangenในเวลาต่อมาเราสามารถชี้ไปที่วิธีที่กลุ่มการเปลี่ยนแปลงสามารถเคลื่อนย้ายเส้นใดก็ได้ไปยังเส้นที่ไม่มีที่สิ้นสุด )

สมบัติการขนานกันของรูปทรงรียูคลิดและไฮเพอร์โบลิกรูปทรงเรขาคณิตมีความแตกต่างกันดังนี้:

กำหนดเส้น lและจุด Pไม่อยู่บนเส้น

รูปไข่

ไม่มีเส้นผ่าน Pที่ไม่ตรงตาม l

ยุคลิด

มีอยู่หนึ่งบรรทัดผ่าน Pที่ไม่ตรงตาม l

ไฮเปอร์โบลิก

มีมากกว่าหนึ่งบรรทัดผ่าน Pที่ไม่ตรงตาม l

สมบัติคู่ขนานของเรขาคณิตวงรีเป็นแนวคิดหลักที่นำไปสู่หลักการของความเป็นคู่แบบโพรเจกไทล์ซึ่งอาจเป็นคุณสมบัติที่สำคัญที่สุดที่รูปทรงเรขาคณิตแบบโพรเจกไทล์ทั้งหมดมีเหมือนกัน

ใน 1825 โจเซฟ Gergonneตั้งข้อสังเกตหลักการของคู่พัฒนาการเรขาคณิต projective เครื่องบิน: รับทฤษฎีบทใด ๆ หรือความหมายของรูปทรงเรขาคณิตที่แทนจุดสำหรับสาย , นอนสำหรับผ่าน , collinearสำหรับพร้อมกัน , แยกสำหรับเข้าร่วมหรือในทางกลับกันผลอีก ทฤษฎีบทหรือคำจำกัดความที่ถูกต้อง "คู่" ของข้อแรก ในทำนองเดียวกันใน 3 มิติความสัมพันธ์แบบคู่จะยึดระหว่างจุดและระนาบทำให้ทฤษฎีบทใด ๆ สามารถเปลี่ยนได้โดยจุดแลกเปลี่ยนและระนาบ ถูกบรรจุและมีอยู่ โดยทั่วไปสำหรับช่องว่างฉายของมิติ N จะมีความเป็นคู่ระหว่างพื้นที่ย่อยของมิติ R และมิติ N − R − 1 สำหรับ N = 2 สิ่งนี้เชี่ยวชาญในรูปแบบของความเป็นคู่ที่รู้จักกันทั่วไปนั่นคือระหว่างจุดและเส้น หลักการคู่ยังถูกค้นพบโดยอิสระโดยJean-Victor Poncelet

ในการสร้างความเป็นคู่จะต้องมีการสร้างทฤษฎีบทซึ่งเป็นเวอร์ชันคู่ของสัจพจน์สำหรับมิติที่เป็นปัญหา ดังนั้นสำหรับช่องว่าง 3 มิติเราจำเป็นต้องแสดงให้เห็นว่า (1 *) ทุกจุดอยู่ในระนาบที่แตกต่างกัน 3 ระนาบ (2 *) ทุกระนาบตัดกันเป็นเส้นที่ไม่ซ้ำกันและเอฟเฟกต์ (3 *) แบบคู่: ถ้าจุดตัดของระนาบ P และ Q เป็น coplanar กับจุดตัดของระนาบ R และ S ดังนั้นจุดตัดตามลำดับของระนาบ P และ R, Q และ S (สมมติว่าระนาบ P และ S แตกต่างจาก Q และ R)

ในทางปฏิบัติหลักการของความเป็นคู่ช่วยให้เราสามารถตั้งค่าการโต้ตอบแบบคู่ระหว่างโครงสร้างทางเรขาคณิตสองแบบ สิ่งที่มีชื่อเสียงที่สุดคือขั้วหรือการแลกเปลี่ยนซึ่งกันและกันของตัวเลขสองตัวในเส้นโค้งรูปกรวย (ใน 2 มิติ) หรือพื้นผิวรูปสี่เหลี่ยม (ใน 3 มิติ) ตัวอย่างที่พบเห็นได้ทั่วไปในการตอบสนองของรูปทรงหลายเหลี่ยมสมมาตรในทรงกลมศูนย์กลางเพื่อให้ได้รูปทรงหลายเหลี่ยมคู่

อีกตัวอย่างหนึ่งคือทฤษฎีบทของ Brianchonซึ่งเป็นคู่ของทฤษฎีบทของปาสคาลที่กล่าวถึงไปแล้วและหนึ่งในข้อพิสูจน์ประกอบด้วยการใช้หลักการของความเป็นคู่กับปาสคาล นี่คือข้อความเปรียบเทียบของทฤษฎีบททั้งสองนี้ (ในทั้งสองกรณีภายในกรอบของระนาบโปรเจ็กต์):

• ปาสคาล:ถ้าจุดยอดทั้งหกของรูปหกเหลี่ยมวางอยู่บนกรวยแล้วจุดตัดของด้านตรงข้าม(ถือเป็นเส้นเต็มเนื่องจากในระนาบการฉายไม่มี "ส่วนของเส้นตรง")เป็นสามจุด collinear เส้นที่เชื่อมเข้าด้วยกันเรียกว่าเส้นปาสคาลของรูปหกเหลี่ยม
• Brianchon:ถ้าทั้งหกด้านของรูปหกเหลี่ยมสัมผัสกันเป็นรูปกรวยแล้วเส้นทแยงมุมของมัน (เช่นเส้นที่เชื่อมจุดยอดตรงข้ามกัน) จะเป็นเส้นสามเส้นพร้อมกัน จุดตัดของพวกเขาเรียกว่าจุด Brianchonของรูปหกเหลี่ยม

(ถ้ารูปกรวยเสื่อมเป็นเส้นตรงสองเส้น Pascal จะกลายเป็น ทฤษฎีบทของ Pappusซึ่งไม่มีคู่ที่น่าสนใจเนื่องจากจุด Brianchon เล็กน้อยกลายเป็นจุดตัดสองเส้น)

รูปทรงเรขาคณิตใด ๆ ที่ระบุอาจอนุมานได้จากชุดสัจพจน์ที่เหมาะสม รูปทรงเรขาคณิต projective มีความโดดเด่นโดย "รูปไข่คู่ขนาน" ความจริงที่สองเครื่องบินมักจะตอบสนองในเวลาเพียงหนึ่งเส้นหรือในเครื่องบินใด ๆ สองสายเสมอตอบสนองในเวลาเพียงหนึ่งจุด กล่าวอีกนัยหนึ่งคือไม่มีเส้นขนานหรือระนาบในรูปทรงเรขาคณิตแบบโพรเจกไทล์

มีการเสนอชุดสัจพจน์ทางเลือกมากมายสำหรับเรขาคณิตเชิงโปรเจ็กต์ (ดูตัวอย่างเช่น Coxeter 2003, Hilbert & Cohn-Vossen 1999, Greenberg 1980)

สัจพจน์ของ Whitehead

สัจพจน์เหล่านี้มีพื้นฐานมาจากWhitehead "The Axioms of Projective Geometry" มีสองประเภทคือจุดและเส้นและความสัมพันธ์ "อุบัติการณ์" อย่างหนึ่งระหว่างจุดและเส้น สัจพจน์สามประการคือ:

• G1: ทุกบรรทัดมีอย่างน้อย 3 จุด
• G2: ทุกๆสองจุดที่แตกต่างกัน A และ B วางอยู่บนเส้นที่ไม่ซ้ำกัน AB
• G3: ถ้าเส้น AB และ CD ตัดกันให้ทำเช่นนั้นเส้น AC และ BD (ซึ่งสมมติว่า A และ D แตกต่างจาก B และ C)

เหตุผลที่ถือว่าแต่ละบรรทัดมีอย่างน้อย 3 จุดคือเพื่อขจัดความเสื่อมโทรมบางกรณี ช่องว่างความพึงพอใจของทั้งสามหลักการทั้งสองได้มากที่สุดคนหนึ่งบรรทัดหรือช่องว่างของมิติ projective บางกว่าแหวนส่วนหรือเครื่องบินที่ไม่ใช่ Desarguesian

สัจพจน์เพิ่มเติม

เราสามารถเพิ่มสัจพจน์เพิ่มเติมที่ จำกัด มิติหรือวงแหวนพิกัดได้ ยกตัวอย่างเช่น Coxeter ของProjective เรขาคณิต , ^[13]อ้างอิง Veblen ^[14]ในช่วงสามหลักการข้างต้นร่วมกับอีก 5 หลักการที่ทำให้ 3 มิติและแหวนประสานงานสนามสับเปลี่ยนลักษณะไม่ 2

สัจพจน์โดยใช้ความสัมพันธ์แบบ ternary

เราสามารถไล่ตามสัจพจน์ได้โดยการตั้งสมมติฐานเกี่ยวกับความสัมพันธ์แบบ ternary, [ABC] เพื่อแสดงว่าจุดสามจุด (ไม่จำเป็นต้องแตกต่างกันทั้งหมด) เป็น collinear สัจพจน์อาจถูกเขียนลงในแง่ของความสัมพันธ์นี้เช่นกัน:

• C0: [ABA]
• C1: ถ้า A และ B เป็นสองจุดเช่น [ABC] และ [ABD] แล้ว [BDC]
• C2: ถ้า A และ B เป็นสองจุดแสดงว่ามีจุดที่สาม C เช่นนั้น [ABC]
• C3: ถ้า A และ C เป็นสองจุด B และ D ด้วย [BCE], [ADE] แต่ไม่ใช่ [ABE] แสดงว่ามีจุด F เช่นเดียวกับ [ACF] และ [BDF]

สำหรับจุดที่แตกต่างกันสองจุด A และ B บรรทัด AB ถูกกำหนดให้ประกอบด้วยจุด C ทั้งหมดที่ [ABC] สัจพจน์ C0 และ C1 จากนั้นให้เป็นทางการของ G2; C2 สำหรับ G1 และ C3 สำหรับ G3

แนวคิดของเส้นเป็นภาพรวมของเครื่องบินและพื้นที่ย่อยที่มีมิติสูงกว่า สเปซย่อย AB … XY อาจถูกกำหนดแบบวนซ้ำในแง่ของสเปซย่อย AB … X เนื่องจากมีจุดทั้งหมดของทุกบรรทัด YZ ขณะที่ Z อยู่ในช่วง AB … X Collinearity จากนั้นจะกล่าวถึงความสัมพันธ์ของ "ความเป็นอิสระ" เซต {A, B, …, Z} ของพอยต์เป็นอิสระ, [AB … Z] ถ้า {A, B, …, Z} เป็นเซ็ตย่อยที่สร้างน้อยที่สุดสำหรับสเปซย่อย AB … Z

สัจพจน์เชิงฉายอาจเสริมด้วยสัจพจน์เพิ่มเติมที่ระบุข้อ จำกัด เกี่ยวกับมิติของช่องว่าง มิติต่ำสุดถูกกำหนดโดยการมีอยู่ของชุดขนาดที่ต้องการโดยอิสระ สำหรับมิติข้อมูลที่ต่ำที่สุดเงื่อนไขที่เกี่ยวข้องอาจระบุไว้ในรูปแบบที่เทียบเท่าได้ดังต่อไปนี้ พื้นที่ฉายภาพคือ:

• (L1) อย่างน้อยมิติ 0 ถ้ามีอย่างน้อย 1 จุด
• (L2) อย่างน้อยมิติที่ 1 หากมีจุดที่แตกต่างกันอย่างน้อย 2 จุด (ดังนั้นจึงเป็นเส้น)
• (L3) อย่างน้อยมิติที่ 2 ถ้ามีอย่างน้อย 3 จุดที่ไม่ใช่ collinear (หรือสองเส้นหรือเส้นและจุดไม่อยู่บนเส้น)
• (L4) อย่างน้อยมิติ 3 ถ้ามีอย่างน้อย 4 จุดที่ไม่ใช่ coplanar

มิติข้อมูลสูงสุดอาจถูกกำหนดในลักษณะที่คล้ายกัน สำหรับมิติข้อมูลที่ต่ำที่สุดจะใช้รูปแบบต่อไปนี้ พื้นที่ฉายภาพคือ:

• (M1) ที่มิติมากที่สุด 0 ถ้ามีไม่เกิน 1 จุด
• (M2) มากที่สุดขนาด 1 ถ้ามีไม่เกิน 1 บรรทัด
• (M3) ไม่เกินขนาด 2 ถ้ามีระนาบไม่เกิน 1 ระนาบ

และอื่น ๆ มันเป็นทฤษฎีบททั่วไป (เป็นผลมาจากสัจพจน์ (3)) ที่เส้นโคพลานาร์ทั้งหมดตัดกัน - โดยหลักการแล้ว Projective Geometry มีจุดมุ่งหมายเพื่อรวบรวม ดังนั้นคุณสมบัติ (M3) อาจระบุได้ในทำนองเดียวกันว่าเส้นทั้งหมดตัดกันซึ่งกันและกัน

โดยทั่วไปจะถือว่าช่องว่างแบบฉายภาพมีขนาดอย่างน้อย 2 ในบางกรณีหากโฟกัสอยู่ที่ระนาบโปรเจ็กต์อาจมีการตั้งสมมุติฐานตัวแปรของ M3 สัจพจน์ของ (Eves 1997: 111) เช่นรวมถึง (1) (2) (L3) และ (M3) ความจริง (3) กลายเป็นจริงอย่างว่างเปล่าภายใต้ (M3) ดังนั้นจึงไม่จำเป็นในบริบทนี้

สัจพจน์สำหรับเครื่องบินแบบโพรเจกไทล์

ในรูปทรงเรขาคณิตของอุบัติการณ์ผู้เขียนส่วนใหญ่^[15]ให้การรักษาโดยรวมเอาระนาบฟาโน PG (2, 2) เป็นระนาบฉายภาพ จำกัด ที่เล็กที่สุด ระบบสัจพจน์ที่บรรลุสิ่งนี้มีดังนี้:

• (P1) จุดที่แตกต่างกันสองจุดอยู่บนเส้นที่ไม่ซ้ำกัน
• (P2) เส้นที่แตกต่างกันสองเส้นมาบรรจบกันในจุดที่ไม่ซ้ำกัน
• (P3) มีจุดอย่างน้อยสี่จุดที่ไม่มีสามจุดเป็น collinear

Coxeter's Introduction to Geometry ^[16]ให้รายชื่อสัจพจน์ห้าประการสำหรับแนวคิดที่เข้มงวดยิ่งขึ้นของระนาบโปรเจ็กต์ที่มาจาก Bachmann โดยเพิ่มทฤษฎีบทของ Pappusในรายการสัจพจน์ข้างต้น (ซึ่งกำจัดเครื่องบินที่ไม่ใช่ Desarguesian ) และไม่รวมระนาบโปรเจ็กต์เหนือเขตข้อมูลของ ลักษณะที่ 2 (สิ่งที่ไม่ตรงตามสัจพจน์ของ Fano) เครื่องบินที่ถูก จำกัด ให้ในลักษณะนี้มีลักษณะใกล้เคียงกับเครื่องบินฉายจริงมากขึ้น

ด้วยจุดสามจุดที่ไม่ใช่แนวคอลลิเนียร์มีเส้นสามเส้นเชื่อมต่อกัน แต่มีสี่จุดไม่มีคอลลิเนียร์สามจุดมีเส้นเชื่อมต่อกันหกเส้นและ "จุดทแยงมุม" เพิ่มเติมอีกสามจุดซึ่งกำหนดโดยจุดตัดของพวกมัน ศาสตร์แห่งการจับเรขาคณิต projective ส่วนเกินนี้กำหนดโดยสี่จุดผ่านความสัมพันธ์ที่สี่และ projectivities ซึ่งรักษาจัตุรัสสมบูรณ์การกำหนดค่า

โอทีฮาร์โมนิของจุดบนเส้นเกิดขึ้นเมื่อมีสมบูรณ์จัตุรัสสองมีจุดเส้นทแยงมุมอยู่ในตำแหน่งแรกและสามของสี่เท่าและอีกสองตำแหน่งเป็นจุดบนเส้นร่วมสองจุดจัตุรัสผ่านจุดเส้นทแยงมุมที่สาม . ^[17]

มุมมองเชิงปริภูมิของโครงร่างโครงร่างในระนาบหนึ่งให้การกำหนดค่าดังกล่าวในอีกระนาบหนึ่งและใช้กับการกำหนดค่าของรูปสี่เหลี่ยมที่สมบูรณ์ ดังนั้นรูปสี่เหลี่ยมฮาร์มอนิกจึงถูกรักษาไว้โดยมุมมอง หากมุมมองหนึ่งเป็นไปตามอีกมุมมองหนึ่งการกำหนดค่าจะเป็นไปตามนั้น องค์ประกอบของสอง perspectivities ไม่มี perspectivity แต่projectivity

แม้ว่าจุดที่สอดคล้องกันของมุมมองจะมาบรรจบกัน ณ จุดใดจุดหนึ่ง แต่การบรรจบกันนี้ไม่เป็นความจริงสำหรับการฉายภาพที่ไม่ใช่มุมมอง ในเรขาคณิตโปรเจ็กต์จุดตัดของเส้นที่เกิดจากจุดที่สอดคล้องกันของการฉายภาพในระนาบเป็นสิ่งที่น่าสนใจเป็นพิเศษ ชุดของทางแยกดังกล่าวจะเรียกว่าเป็นรูปกรวย projectiveและใน acknowlegement ของการทำงานของจาคอบสทิมันถูกเรียกว่าเป็นรูปกรวยทิ

สมมติว่าการคาดการณ์เกิดขึ้นจากสองมุมมองที่มีศูนย์กลางอยู่ที่จุดAและBซึ่งเกี่ยวข้องกับxถึงXโดยตัวกลางp :

${\ displaystyle x \ {\ overset {A} {\ doublebarwedge}} \ p \ {\ overset {B} {\ doublebarwedge}} \ X. }$

จากนั้นก็ฉายภาพ ${\ displaystyle x \ \ barwedge \ X. }$ จากนั้นให้การฉายภาพ ${\ displaystyle \ barwedge}$ รูปกรวยที่เหนี่ยวนำคือ

${\ displaystyle C (\ barwedge) \ = \ \ bigcup \ {xX \ cdot yY: x \ barwedge X \ \ \ land \ \ y \ barwedge Y \}}$

กำหนดให้มีรูปกรวยCและจุดPไม่อยู่บนเส้นแบ่งสองเส้นที่แตกต่างกันผ่านPตัดกันC เป็นสี่จุด จุดทั้งสี่นี้กำหนดรูปสี่เหลี่ยมซึ่งPคือจุดทแยงมุม เส้นผ่านอีกสองจุดทแยงมุมเรียกว่าขั้วของPและPคือขั้วของเส้นนี้ ^[18]อีกวิธีหนึ่งคือสายขั้วของPคือชุดของคอนจูเกตฮาร์โมนิ projectiveของPบนเส้น secant ตัวแปรผ่านPและC

• Projective Geometry สำหรับ Machine Vision - บทช่วยสอนโดย Joe Mundy และ Andrew Zisserman
• หมายเหตุขึ้นอยู่กับ Coxeter ของจริง Projective เครื่องบิน
• Projective Geometry สำหรับการวิเคราะห์รูปภาพ - บทช่วยสอนฟรีโดย Roger Mohr และ Bill Triggs
• เรขาคณิตโปรเจกต์ - สอนฟรีโดย Tom Davis
• วิธี Grassmann ในรูปทรงเรขาคณิตแบบโปรเจ็กต์การรวบรวมบันทึกสามข้อโดย Cesare Burali-Forti เกี่ยวกับการประยุกต์ใช้พีชคณิตภายนอกกับเรขาคณิตเชิงฉาย
• C. Burali-Forti, "Introduction to Differential Geometry ตามวิธีการของ H. Grassmann" (หนังสือแปลภาษาอังกฤษ)
• E. Kummer, "ทฤษฎีทั่วไปของระบบรังสีตรงเส้นตรง" (แปลเป็นภาษาอังกฤษ)
• M. Pasch, "บนพื้นผิวโฟกัสของระบบเรย์และพื้นผิวเอกฐานของคอมเพล็กซ์" (แปลเป็นภาษาอังกฤษ)