กลุ่มจุด

blakeana Bauhiniaดอกไม้ในฮ่องกงธงภูมิภาคมี C 5สมมาตร; ดาวบนกลีบดอกแต่ละกลีบมีสมมาตรD 5

สัญลักษณ์หยินและหยางมีความสมมาตรC 2ของรูปทรงเรขาคณิตที่มีสีกลับหัว

ในรูปทรงเรขาคณิตเป็นกลุ่มจุดเป็นกลุ่มของเรขาคณิตสมมาตร ( isometries ) ที่เก็บไว้อย่างน้อยหนึ่งจุดคงที่ กลุ่มจุดสามารถมีอยู่ในช่องว่างแบบยุคลิดที่มีมิติใด ๆ และทุกกลุ่มจุดในมิติdคือกลุ่มย่อยของกลุ่มมุมฉาก O ( d ) กลุ่มจุดสามารถรับรู้เป็นชุดของเมทริกซ์มุมฉาก Mที่เปลี่ยนจุดxเป็นจุดy :

y = Mx

ที่จุดกำเนิดคือจุดคงที่ องค์ประกอบกลุ่มจุดสามารถหมุนได้ (ดีเทอร์มิแนนต์ของM = 1) หรืออื่น ๆ การสะท้อนหรือการหมุนที่ไม่เหมาะสม (ดีเทอร์มิแนนต์ของM = −1)

กลุ่มจุดที่ไม่ต่อเนื่องในมากกว่าหนึ่งมิติมาในตระกูลที่ไม่มีที่สิ้นสุด แต่จากทฤษฎีบทการ จำกัด การตกผลึกและหนึ่งในทฤษฎีบทของบีเบอร์บาคแต่ละมิติมีเพียงกลุ่มจุดจำนวน จำกัด ที่สมมาตรเหนือโครงตาข่ายหรือเส้นตารางที่มีตัวเลขนั้น เหล่านี้เป็นcrystallographic ชี้กลุ่ม

กลุ่มจุด Chiral และ achiral กลุ่มสะท้อน

กลุ่มจุดสามารถแบ่งออกเป็นกลุ่มchiral (หรือแบบหมุนล้วนๆ) และกลุ่มachiral ^[1]กลุ่ม chiral เป็นกลุ่มย่อยของกลุ่มมุมฉากพิเศษ SO ( d ): มีเฉพาะการเปลี่ยนแปลงมุมฉากที่รักษาทิศทางเท่านั้นกล่าวคือกลุ่มของดีเทอร์มิแนนต์ +1 กลุ่ม achiral ยังมีการเปลี่ยนแปลงของดีเทอร์มิแนนต์ −1 ในกลุ่ม achiral การเปลี่ยนแปลงที่รักษาแนวการวางแนวจะสร้างกลุ่มย่อย (chiral) ของดัชนี 2

กลุ่มไฟไนต์คอกซีเตอร์หรือกลุ่มสะท้อนคือกลุ่มจุดที่สร้างขึ้นโดยชุดของกระจกสะท้อนแสงที่ผ่านจุดเดียวกัน อันดับn Coxeter กลุ่มที่มีnกระจกและเป็นตัวแทนจากแผนภาพ Coxeter-Dynkin สัญกรณ์ Coxeterนำเสนอสัญกรณ์แบบวงเล็บเทียบเท่ากับแผนภาพ Coxeter พร้อมด้วยสัญลักษณ์มาร์กอัปสำหรับกลุ่มจุดสมมาตรแบบหมุนและอื่น ๆ กลุ่มการสะท้อนจำเป็นต้องมีความสัมพันธ์กัน (ยกเว้นกลุ่มเล็กน้อยที่มีเฉพาะองค์ประกอบเอกลักษณ์เท่านั้น)

รายชื่อกลุ่มจุด

มิติเดียว

มีเพียงสองกลุ่มจุดมิติเดียวคือกลุ่มอัตลักษณ์และกลุ่มสะท้อน

กลุ่ม	Coxeter	แผนภาพ Coxeter	ใบสั่ง	คำอธิบาย
ค1	[] +		1	เอกลักษณ์
ง1	[]		2	กลุ่มสะท้อน

สองมิติ

ชี้กลุ่มในสองมิติบางครั้งเรียกว่ากลุ่มดอกกุหลาบ

พวกเขามาในสองครอบครัวที่ไม่มีที่สิ้นสุด:

1. กลุ่มวัฏจักร C _nของn -กลุ่มการหมุนพับ
2. กลุ่มไดฮีดรัล D _nของn -fold การหมุนและกลุ่มการสะท้อน

ใช้crystallographic ข้อ จำกัด ทฤษฎีบทข้อกำหนดด้านnเป็นค่า 1, 2, 3, 4, และ 6 สำหรับทั้งครอบครัวที่ให้ผลผลิต 10 กลุ่ม

isomorphism จำกัด และการโต้ตอบ

ชุดย่อยของกลุ่มจุดสะท้อนบริสุทธิ์ที่กำหนดโดยกระจก 1 หรือ 2 ชิ้นสามารถกำหนดโดยกลุ่ม Coxeterและรูปหลายเหลี่ยมที่เกี่ยวข้องได้ ซึ่งรวมถึงกลุ่มผลึก 5 กลุ่ม ความสมมาตรของกลุ่มการสะท้อนสามารถเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่าโดยไอโซมอร์ฟิซึมการทำแผนที่กระจกทั้งสองเข้าด้วยกันด้วยกระจกแบ่งส่วนทำให้ลำดับสมมาตรเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่า

สะท้อนแสง						หมุน			รูปหลายเหลี่ยมที่เกี่ยวข้อง
กลุ่ม	กลุ่ม Coxeter		แผนภาพ Coxeter		ใบสั่ง	กลุ่มย่อย	Coxeter	ใบสั่ง
ง1	ก1	[]			2	ค1	[] +	1	Digon
ง2	ก1 2	[2]			4	ค2	[2] +	2	สี่เหลี่ยมผืนผ้า
ง3	ก2	[3]			6	ค3	[3] +	3	สามเหลี่ยมด้านเท่า
ง4	พ.ศ. 2	[4]			8	ค4	[4] +	4	สแควร์
ง5	H 2	[5]			10	ค5	[5] +	5	ห้าเหลี่ยมปกติ
ง6	ช2	[6]			12	ค6	[6] +	6	หกเหลี่ยมปกติ
D n	ฉัน2 (n)	[n]			2 n	C n	[n] +	n	รูปหลายเหลี่ยมปกติ
D 2 × 2	ก1 2 × 2	[[2]] = [4]		=	8
D 3 × 2	ก2 × 2	[[3]] = [6]		=	12
D 4 × 2	BC 2 × 2	[[4]] = [8]		=	16
D 5 × 2	สูง2 × 2	[[5]] = [10]		=	20
D 6 × 2	ก2 × 2	[[6]] = [12]		=	24
D n × 2	ฉัน2 (n) × 2	[[n]] = [2n]		=	4 n

สามมิติ

ชี้กลุ่มในสามมิติบางครั้งเรียกว่าชี้กลุ่มโมเลกุลหลังการใช้งานกว้างของพวกเขาในการศึกษาสมมาตรของขนาดเล็กโมเลกุล

พวกมันมาใน 7 ตระกูลที่ไม่มีที่สิ้นสุดของกลุ่มตามแนวแกนหรือปริซึมและอีก 7 กลุ่มที่มีรูปหลายเหลี่ยมเพิ่มเติมหรือกลุ่ม Platonic ในสัญกรณ์Schönflies *

• กลุ่มแกน: C _n , S _{2 n} , C _{n h} , C _{n v} , D _n , D _{n d} , D _{n h}
• กลุ่มรูปหลายเหลี่ยม : T, T _d , T _h , O, O _h , I, I _h

การประยุกต์ใช้ทฤษฎีบท crystallographic จำกัด กับกลุ่มเหล่านี้มีอัตราผลตอบแทน 32 crystallographic ชี้กลุ่ม

โดเมนพื้นฐานสีคู่ / คี่ของกลุ่มสะท้อนแสง

คำสั่งC 1v 2	ลำดับ C 2v 4	ลำดับ C 3v 6	ลำดับ C 4v 8	ค5v ออเดอร์ 10	คำสั่งC 6v 12	...
D 1h คำสั่งซื้อ 4	D 2h คำสั่งซื้อ 8	D 3h คำสั่งซื้อ 12	D 4h คำสั่ง 16	D 5 ชม. สั่งซื้อ 20	D 6h ออเดอร์ 24	...
T d สั่งซื้อ 24	O ชั่วโมง สั่งซื้อ 48	ฉันชั่วโมง สั่งซื้อ 120

กลุ่มสะท้อน

isomorphism จำกัด และการโต้ตอบ

กลุ่มจุดสะท้อนที่กำหนดโดยระนาบกระจก 1 ถึง 3 ชิ้นสามารถกำหนดได้จากกลุ่ม Coxeterและรูปทรงหลายเหลี่ยมที่เกี่ยวข้อง กลุ่ม [3,3] สามารถเพิ่มเป็นสองเท่าเขียนเป็น [[3,3]] จับคู่กระจกตัวแรกและตัวสุดท้ายเข้าด้วยกันเพิ่มความสมมาตรเป็น 48 และ isomorphic เป็นกลุ่ม [4,3]

Schönflies	กลุ่ม Coxeter		แผนภาพ Coxeter			ใบสั่ง	รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติและทรงปริซึมที่เกี่ยวข้อง
ทง	ก3	[3,3]				24	จัตุรมุข
T d × Dih 1 = O ชั่วโมง	ก3 × 2 = BC 3	[[3,3]] = [4,3]			=	48	รูปแปดเหลี่ยมที่เป็นดาวฤกษ์
O h	พ.ศ. 3	[4,3]				48	Cube , แปดด้าน
ฉันh	ชั่วโมง3	[5,3]				120	ฮอว์คิง , เฟ
D 3 ชม	ก2 ×ก1	[3,2]				12	ปริซึมสามเหลี่ยม
D 3h × Dih 1 = D 6 ชม	ก2 ×ก1 × 2	[[3], 2]			=	24	ปริซึมหกเหลี่ยม
D 4 ชม	BC 2 × A 1	[4,2]				16	ปริซึมสี่เหลี่ยม
D 4h × Dih 1 = D 8 ชม	BC 2 ×ก1 × 2	[[4], 2] = [8,2]			=	32	ปริซึมแปดเหลี่ยม
D 5 ชม	สูง2 ×ก1	[5,2]				20	ปริซึมห้าเหลี่ยม
D 6 ชม	ก2 ×ก1	[6,2]				24	ปริซึมหกเหลี่ยม
D nh	ฉัน2 (n) × A 1	[n, 2]				4 n	n - ปริซึมมุมฉาก
D nh × Dih 1 = D 2nh	ฉัน2 (n) × A 1 × 2	[[n], 2]			=	8 n
D 2 ชม	ก1 3	[2,2]				8	ทรงลูกบาศก์
D 2h × Dih 1	ก1 3 × 2	[[2], 2] = [4,2]			=	16
D 2h × Dih 3 = O ชั่วโมง	ก1 3 × 6	[3 [2,2]] = [4,3]			=	48
ค3v	ก2	[1,3]				6	โฮโซฮีดรอน
ค4v	พ.ศ. 2	[1,4]				8
ค5v	H 2	[1,5]				10
C 6v	ช2	[1,6]				12
C nv	ฉัน2 (n)	[1, n]				2 n
C nv × Dih 1 = C 2 nv	ฉัน2 ( n ) × 2	[1, [ n ]] = [1,2n]			=	4 n
C 2 โวลต์	ก1 2	[1,2]				4
C 2 v × Dih 1	ก1 2 × 2	[1, [2]]			=	8
C s	ก1	[1,1]				2

สี่มิติ

กลุ่มจุดสี่มิติ (chiral และ achiral) แสดงอยู่ใน Conway and Smith, ^[1] Section 4, Tables 4.1-4.3

isomorphism จำกัด และการโต้ตอบ

รายการต่อไปนี้ให้กลุ่มการสะท้อนสี่มิติ (ไม่รวมกลุ่มที่ปล่อยให้พื้นที่ย่อยคงที่และนั่นจึงเป็นกลุ่มการสะท้อนมิติที่ต่ำกว่า) แต่ละกลุ่มจะระบุเป็นกลุ่ม Coxeterและเช่นกลุ่ม polyhedralของ 3D ก็สามารถตั้งชื่อโดยที่เกี่ยวข้องนูนปกติ 4 กลุ่มการหมุนบริสุทธิ์ที่เกี่ยวข้องมีอยู่สำหรับแต่ละกลุ่มที่มีลำดับครึ่งหนึ่งและสามารถแทนด้วยเครื่องหมาย Coxeter ของวงเล็บที่มีเลขชี้กำลัง '+' ตัวอย่างเช่น [3,3,3] ⁺มีจุดการหมุน 3 เท่าสามจุดและลำดับสมมาตร 60 กลุ่มสมมาตรหน้า - หลังเช่น [3,3,3] และ [3,4,3] สามารถเพิ่มเป็นสองเท่าโดยแสดงเป็นวงเล็บคู่ในสัญลักษณ์ของ Coxeter เช่น [[3,3,3]] โดยลำดับเพิ่มขึ้นสองเท่าเป็น 240 .

กลุ่ม Coxeter / สัญกรณ์		แผนภาพ Coxeter		ใบสั่ง	polytopes ที่เกี่ยวข้อง
ก4	[3,3,3]			120	5 เซลล์
ก4 × 2	[[3,3,3]]			240	สารประกอบคู่ 5 เซลล์
พ.ศ. 4	[4,3,3]			384	16 เซลล์ / Tesseract
ง4	[3 1,1,1 ]			192	Demitesseractic
D 4 × 2 = พ.ศ. 4	<[3,3 1,1 ]> = [4,3,3]		=	384
D 4 × 6 = F 4	[3 [3 1,1,1 ]] = [3,4,3]		=	1152
ฉ4	[3,4,3]			1152	24 เซลล์
ก4 × 2	[[3,4,3]]			2304	สารประกอบคู่ 24 เซลล์
ชั่วโมง4	[5,3,3]			14400	120 เซลล์ / 600 เซลล์
ก3 ×ก1	[3,3,2]			48	ปริซึม Tetrahedral
ก3 ×ก1 × 2	[[3,3], 2] = [4,3,2]		=	96	ปริซึมแปดเหลี่ยม
BC 3 × A 1	[4,3,2]			96
สูง3 ×ก1	[5,3,2]			240	ปริซึมทรงกระบอก
ก2 ×ก2	[3,2,3]			36	Duoprism
ก2 × BC 2	[3,2,4]			48
ก2 ×ส2	[3,2,5]			60
ก2 × G 2	[3,2,6]			72
BC 2 × BC 2	[4,2,4]			64
พ.ศ. 2 2 × 2	[[4,2,4]]			128
BC 2 × H 2	[4,2,5]			80
BC 2 × G 2	[4,2,6]			96
สูง2 ×ส2	[5,2,5]			100
สูง2 × G 2	[5,2,6]			120
ก2 ×ก2	[6,2,6]			144
ฉัน2 (p) ×ฉัน2 (q)	[p, 2, q]			4 PQ
ฉัน2 (2p) ×ฉัน2 (q)	[[p], 2, q] = [2p, 2, q]		=	8 PQ
ฉัน2 (2p) ×ฉัน2 (2q)	[[p]], 2, [[q]] = [2 หน้า , 2,2 q ]		=	16 PQ
ฉัน2 (p) 2 × 2	[[p, 2, p]]			8 หน้า2
ฉัน2 (2p) 2 × 2	[[[p], 2, [p]]] = [[2p, 2,2p]]		=	32 หน้า2
ก2 ×ก1 ×ก1	[3,2,2]			24
BC 2 ×ก1 ×ก1	[4,2,2]			32
สูง2 ×ก1 ×ก1	[5,2,2]			40
ก2 ×ก1 ×ก1	[6,2,2]			48
ฉัน2 (p) ×ก1 ×ก1	[หน้า 2,2]			8 หน้า
ฉัน2 (2p) ×ก1 ×ก1 × 2	[[p], 2,2] = [2p, 2,2]		=	16 หน้า
ฉัน2 (p) × A 1 2 × 2	[p, 2, [2]] = [p, 2,4]		=	16 หน้า
ฉัน2 (2p) ×ก1 2 × 4	[[p]], 2, [[2]] = [2p, 2,4]		=	32 หน้า
ก1 ×ก1 ×ก1 ×ก1	[2,2,2]			16	4- ออร์โธโทป
ก1 2 ×ก1 ×ก1 × 2	[[2], 2,2] = [4,2,2]		=	32
ก1 2 ×ก1 2 × 4	[[2]], 2, [[2]] = [4,2,4]		=	64
ก1 3 ×ก1 × 6	[3 [2,2], 2] = [4,3,2]		=	96
ก1 4 × 24	[3,3 [2,2,2]] = [4,3,3]		=	384

ห้ามิติ

isomorphism จำกัด และการโต้ตอบ

ตารางต่อไปนี้จะช่วยให้กลุ่มสะท้อนห้ามิติ (ไม่รวมผู้ที่อยู่ในกลุ่มที่ต่ำกว่าการสะท้อนมิติ) โดยรายชื่อพวกเขาเป็นกลุ่ม Coxeter กลุ่ม chiral ที่เกี่ยวข้องมีอยู่สำหรับแต่ละกลุ่มที่มีลำดับครึ่งหนึ่งและสามารถแทนด้วยเครื่องหมาย Coxeter ของวงเล็บที่มีเลขชี้กำลัง '+' ตัวอย่างเช่น [3,3,3,3] ⁺มีจุดหมุน 3 เท่าสี่จุดและลำดับสมมาตร 360 .

กลุ่ม Coxeter / สัญกรณ์		Coxeter แผนภาพ		ใบสั่ง	polytopes ปกติและปริซึมที่เกี่ยวข้อง
ก5	[3,3,3,3]			720	5 ซิมเพล็กซ์
ก5 × 2	[[3,3,3,3]]			1440	สารประกอบคู่5-simplex
พ.ศ. 5	[4,3,3,3]			3840	5 ก้อน , 5 orthoplex
ง5	[3 2,1,1 ]			พ.ศ. 2463	5 เดมิคิวบ์
D 5 × 2	<[3,3,3 1,1 ]>		=	3840
ก4 ×ก1	[3,3,3,2]			240	ปริซึม5 เซลล์
ก4 ×ก1 × 2	[[3,3,3], 2]			480
BC 4 × A 1	[4,3,3,2]			768	ปริซึมtesseract
ก4 ×ก1	[3,4,3,2]			2304	ปริซึม24 เซลล์
ก4 ×ก1 × 2	[[3,4,3], 2]			4608
สูง4 ×ก1	[5,3,3,2]			28800	ปริซึม600 เซลล์หรือ120 เซลล์
ง4 ×ก1	[3 1,1,1 , 2]			384	ปริซึม Demitesseract
ก3 ×ก2	[3,3,2,3]			144	Duoprism
ก3 ×ก2 × 2	[[3,3], 2,3]			288
ก3 × BC 2	[3,3,2,4]			192
ก3 ×ส2	[3,3,2,5]			240
ก3 × G 2	[3,3,2,6]			288
ก3 × I 2 (p)	[3,3,2, p]			48p
BC 3 × A 2	[4,3,2,3]			288
BC 3 × BC 2	[4,3,2,4]			384
BC 3 × H 2	[4,3,2,5]			480
BC 3 × G 2	[4,3,2,6]			576
BC 3 × I 2 (หน้า)	[4,3,2, p]			96p
สูง3 ×ก2	[5,3,2,3]			720
H 3 × BC 2	[5,3,2,4]			960
สูง3 ×ส2	[5,3,2,5]			1200
สูง3 × G 2	[5,3,2,6]			1440
H 3 × I 2 (หน้า)	[5,3,2, p]			240p
ก3 ×ก1 2	[3,3,2,2]			96
BC 3 × A 1 2	[4,3,2,2]			192
สูง3 ×ก1 2	[5,3,2,2]			480
ก2 2 ×ก1	[3,2,3,2]			72	ปริซึม duoprism
ก2 × BC 2 ×ก1	[3,2,4,2]			96
ก2 ×ส2 ×ก1	[3,2,5,2]			120
ก2 ×ก2 ×ก1	[3,2,6,2]			144
พ.ศ. 2 2 ×ก1	[4,2,4,2]			128
BC 2 × H 2 × A 1	[4,2,5,2]			160
BC 2 × G 2 × A 1	[4,2,6,2]			192
สูง2 2 ×ก1	[5,2,5,2]			200
สูง2 ×ก2 ×ก1	[5,2,6,2]			240
ก2 2 ×ก1	[6,2,6,2]			288
ฉัน2 (p) ×ฉัน2 (q) × A 1	[p, 2, q, 2]			8pq
ก2 ×ก1 3	[3,2,2,2]			48
BC 2 × A 1 3	[4,2,2,2]			64
สูง2 ×ก1 3	[5,2,2,2]			80
ก2 ×ก1 3	[6,2,2,2]			96
ผม2 (p) × A 1 3	[หน้า 2,2,2]			16p
ก1 5	[2,2,2,2]			32	5- ออร์โธโทป
ก1 5 × (2 ! )	[[2], 2,2,2]		=	64
ก1 5 × (2! × 2 ! )	[[2]], 2, [2], 2]		=	128
ก1 5 × (3 ! )	[3 [2,2], 2,2]		=	192
ก1 5 × (3! × 2 ! )	[3 [2,2], 2, [[2]]		=	384
ก1 5 × (4 ! )	[3,3 [2,2,2], 2]]		=	768
ก1 5 × (5 ! )	[3,3,3 [2,2,2,2]]		=	3840

หกมิติ

isomorphism จำกัด และการโต้ตอบ

ตารางต่อไปนี้จะช่วยให้กลุ่มสะท้อนหกมิติ (ไม่รวมผู้ที่อยู่ในกลุ่มที่ต่ำกว่าการสะท้อนมิติ) โดยรายชื่อพวกเขาเป็นกลุ่ม Coxeter กลุ่มการหมุนบริสุทธิ์ที่เกี่ยวข้องมีอยู่สำหรับแต่ละกลุ่มที่มีลำดับครึ่งหนึ่งและสามารถแสดงด้วยเครื่องหมาย Coxeter ของวงเล็บที่มีเลขชี้กำลัง '+' ตัวอย่างเช่น [3,3,3,3,3] ⁺มีจุดหมุน 3 เท่า 5 จุดและ ลำดับสมมาตร พ.ศ. 2520