จุด (เรขาคณิต)

ชุด จำกัด ของคะแนนในสองมิติ ปริภูมิแบบยุคลิด

คะแนนที่พิจารณาในกรอบของเรขาคณิตแบบยุคลิดเป็นวัตถุพื้นฐานที่สุดชิ้นหนึ่ง ยูคลิดเดิมกำหนดจุดเป็น "สิ่งที่ไม่มีส่วน" ในปริภูมิแบบยุคลิดสองมิติจุดจะถูกแทนด้วยคู่ลำดับ ( x ,  y ) ของตัวเลข โดยที่หมายเลขแรกตามอัตภาพแทนแนวนอนและมักแสดงด้วยxและหมายเลขที่สองตามอัตภาพแสดงถึงแนวตั้งและมักใช้แทน โดยy . ความคิดนี้เป็นทั่วไปได้อย่างง่ายดายเพื่อสามมิติปริภูมิแบบยุคลิดซึ่งเป็นจุดที่มีตัวแทนเป็นแฝดสั่งซื้อ ( x ,  Y ,  Z ) มีจำนวนสามเพิ่มเติมที่เป็นตัวแทนของความลึกและแสดงโดยมักZ ภาพรวมต่อไปโดยมีตัวแทนสั่งtupletของnข้อตกลง( ₁ ,  ₂ , ... ,  _n )ที่nเป็นมิติของพื้นที่ในจุดที่ตั้งอยู่

โครงสร้างหลายอย่างภายในเรขาคณิตแบบยุคลิดประกอบด้วยการรวบรวมจุดที่ไม่สิ้นสุดซึ่งสอดคล้องกับสัจพจน์บางอย่าง ซึ่งมักจะแสดงด้วยชุดของคะแนน ตัวอย่างเช่นเส้นคือเซตของจุดที่ไม่มีที่สิ้นสุดของฟอร์ม${\displaystyle \scriptstyle {L=\lbrace (a_{1},a_{2},...a_{n})|a_{1}c_{1}+a_{2}c_{2}+.. .a_{n}c_{n}=d\rbrace }}$โดยที่c ₁ถึงc _nและdเป็นค่าคงที่ และnคือมิติของช่องว่าง การก่อสร้างที่คล้ายกันอยู่ที่กำหนดเครื่องบิน , ส่วนของเส้นและแนวคิดอื่น ๆ ที่เกี่ยวข้อง ส่วนของเส้นตรงที่ประกอบด้วยจุดเดียวเรียกว่าส่วนของเส้นที่เสื่อมสภาพ

นอกเหนือจากการกำหนดจุดและโครงสร้างที่เกี่ยวข้องกับจุด Euclid ยังตั้งสมมติฐานแนวคิดหลักเกี่ยวกับจุดด้วยว่าจุดสองจุดใดๆ สามารถเชื่อมต่อด้วยเส้นตรงได้ สิ่งนี้สามารถยืนยันได้อย่างง่ายดายภายใต้ส่วนขยายที่ทันสมัยของเรขาคณิตแบบยุคลิด และมีผลที่ตามมาในช่วงเริ่มต้น ทำให้สามารถสร้างแนวคิดทางเรขาคณิตเกือบทั้งหมดที่รู้จักในขณะนั้น อย่างไรก็ตาม สมมติฐานของ Euclid นั้นไม่สมบูรณ์และไม่สมบูรณ์ และบางครั้งเขาก็สันนิษฐานข้อเท็จจริงเกี่ยวกับประเด็นที่ไม่ได้เป็นไปตามสัจพจน์ของเขาโดยตรง เช่น การเรียงลำดับจุดบนเส้นหรือการมีอยู่ของจุดเฉพาะ แม้จะมีสิ่งนี้ การขยายระบบสมัยใหม่ก็ช่วยขจัดข้อสันนิษฐานเหล่านี้ได้

มีคำจำกัดความของมิติทางคณิตศาสตร์ที่ไม่เท่ากันหลายประการ ในคำจำกัดความทั่วไปทั้งหมด จุดหนึ่งคือ 0 มิติ

มิติพื้นที่เวกเตอร์

ขนาดของปริภูมิเวกเตอร์คือขนาดสูงสุดของเซตย่อยที่ไม่ขึ้นกับเชิงเส้น ในพื้นที่เวกเตอร์ที่ประกอบด้วยจุดเดียว (ซึ่งต้องเป็นเวกเตอร์ศูนย์0 ) ไม่มีเซตย่อยอิสระเชิงเส้น เวกเตอร์ศูนย์ไม่เป็นอิสระเชิงเส้น เนื่องจากมีการรวมเชิงเส้นที่ไม่สำคัญทำให้เป็นศูนย์:${\displaystyle 1\cdot \mathbf {0} =\mathbf {0} }$.

มิติโทโพโลยี

มิติทอพอโลยีของปริภูมิทอพอโลยี ${\displaystyle X}$ถูกกำหนดให้เป็นค่าต่ำสุดของnเช่นว่าทุก ๆ ขอบเขตที่เปิดอยู่ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ของ ${\displaystyle X}$ ยอมรับการปกปิดแบบเปิดจำกัด ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ของ ${\displaystyle X}$ซึ่งกลั่น ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ซึ่งไม่มีจุดรวมอยู่ในองค์ประกอบn +1 มากกว่า หากไม่มีค่าnน้อยที่สุดกล่าวได้ว่าพื้นที่นั้นมีมิติครอบคลุมอนันต์

จุดหนึ่งมีมิติเป็นศูนย์เมื่อเทียบกับมิติการปกปิด เนื่องจากทุกปกที่เปิดอยู่ของสเปซมีการปรับแต่งที่ประกอบด้วยชุดเปิดชุดเดียว

มิติ Hausdorff

ให้Xเป็นพื้นที่ตัวชี้วัด ถ้าS ⊂ Xและd ∈ [0, ∞) เนื้อหาd -dimensional HausdorffของSคือinfimumของชุดของตัวเลข δ ≥ 0 ซึ่งจะมีการรวบรวมลูกบอลบางส่วน (จัดทำดัชนี) ${\displaystyle \{B(x_{i},r_{i}):i\in I\}}$ครอบคลุมSกับR _ฉัน > 0 สำหรับแต่ละฉัน ∈ ผมว่าน่าพอใจ${\displaystyle \sum _{i\in I}r_{i}^{d}<\delta }$.

มิติดอร์ฟของXจะถูกกำหนดโดย

${\displaystyle \operatorname {dim} _{\operatorname {H} }(X):=\inf\{d\geq 0:C_{H}^{d}(X)=0\}.}$

จุดหนึ่งมีมิติ Hausdorff เป็น 0 เนื่องจากสามารถครอบคลุมโดยลูกบอลเดียวที่มีรัศมีขนาดเล็กตามอำเภอใจ

แม้ว่าความคิดของจุดโดยทั่วไปถือว่าเป็นพื้นฐานในเรขาคณิตหลักและโครงสร้างมีระบบบางอย่างที่ละเลยมันเช่นเรขาคณิต noncommutativeและโครงสร้างไม่มีจุดหมาย พื้นที่ "ไม่มีจุดหมาย" หรือ "ไม่มีจุด" ไม่ได้ถูกกำหนดให้เป็นชุดแต่ผ่านโครงสร้างบางอย่าง ( เกี่ยวกับพีชคณิตหรือตรรกะตามลำดับ) ซึ่งดูเหมือนพื้นที่ฟังก์ชันที่รู้จักกันดีในชุด: พีชคณิตของฟังก์ชันต่อเนื่องหรือพีชคณิตของชุดตามลำดับ . โครงสร้างดังกล่าวสรุปช่องว่างของฟังก์ชันที่รู้จักกันดีในลักษณะที่การดำเนินการ "รับค่า ณ จุดนี้" อาจไม่ถูกกำหนด เป็นประเพณีต่อไปเริ่มต้นจากหนังสือบางส่วนของเฮดซึ่งในความคิดของภูมิภาคจะถือว่าเป็นกันแบบดั้งเดิมกับหนึ่งในการรวมหรือการเชื่อมต่อ

บ่อยครั้งในวิชาฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ การคิดว่าจุดหนึ่งมีมวลหรือประจุไม่เป็นศูนย์นั้นมีประโยชน์ (ซึ่งเป็นเรื่องปกติโดยเฉพาะอย่างยิ่งในแม่เหล็กไฟฟ้าแบบคลาสสิกโดยที่อิเล็กตรอนถูกทำให้เป็นอุดมคติเป็นจุดที่มีประจุไม่เป็นศูนย์) ฟังก์ชั่นเดลต้าแรคหรือδฟังก์ชั่นเป็น (อย่างไม่เป็นทางการบริการ) ฟังก์ชั่นทั่วไปบนเส้นจำนวนจริงที่เป็นศูนย์ทุกที่ยกเว้นที่ศูนย์กับหนึ่งของหนึ่งเหนือเส้นจริงทั้งหมด ^{[2] [3] [4]}เดลต้าฟังก์ชั่นบางครั้งคิดเป็นอนันต์สูงขัดขวางบางอนันต์จุดเริ่มต้นที่มีพื้นที่รวมภายใต้การขัดขวางและร่างกายหมายถึงอุดมคติมวลจุดหรือจุดประจุ ^[5]มันถูกแนะนำโดยPaul Diracนักฟิสิกส์เชิงทฤษฎี. ในบริบทของการประมวลผลสัญญาณมักเรียกกันว่าสัญลักษณ์หน่วยแรงกระตุ้น (หรือฟังก์ชัน) ^[6]อะนาล็อกที่ไม่ต่อเนื่องของมันคือฟังก์ชันKronecker deltaซึ่งมักจะถูกกำหนดในโดเมน จำกัด และรับค่า 0 และ 1

• Clarke, Bowman, 1985, " Individuals and Points , " Notre Dame Journal of Formal Logic 26 : 61–75.
• De Laguna, T., 1922, "จุด เส้น และพื้นผิวเป็นชุดของของแข็ง" The Journal of Philosophy 19 : 449–61.
• Gerla, G. , 1995, " Pointless Geometries " ใน Buekenhout, F. , Kantor, W. eds., คู่มือเรขาคณิตอุบัติการณ์: อาคารและฐานราก . เหนือ-ฮอลแลนด์: 1015–31.
• Whitehead, AN , 1919. การสอบสวนเกี่ยวกับหลักการของความรู้ตามธรรมชาติ . มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ กด. ครั้งที่ 2, 2468.
• Whitehead, AN, 1920. แนวคิดของธรรมชาติ . มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ กด. หนังสือปกอ่อน พ.ศ. 2547 ถูก 1919 Tarner บรรยายส่งที่Trinity College
• ไวท์เฮด, AN, 1979 (1929) กระบวนการและความเป็นจริง กดฟรี.

• "จุด" . แพลนเน็ตแมท .
• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู "พอยต์" . คณิตศาสตร์โลก.