เครื่องบิน (เรขาคณิต)

Euclidเป็นจุดสังเกตที่ยิ่งใหญ่แห่งแรกของความคิดทางคณิตศาสตร์ซึ่งเป็นการรักษาตามความเป็นจริงของเรขาคณิต ^[1]เขาเลือกแก่นเล็ก ๆ ของคำศัพท์ที่ไม่ได้กำหนด (เรียกว่าแนวคิดทั่วไป ) และสมมุติฐาน (หรือสัจพจน์ ) ซึ่งเขาใช้เพื่อพิสูจน์ข้อความทางเรขาคณิตต่างๆ แม้ว่าเครื่องบินในความหมายสมัยใหม่จะไม่ได้ให้คำจำกัดความโดยตรงในองค์ประกอบใดๆ แต่ก็อาจถูกมองว่าเป็นส่วนหนึ่งของแนวคิดทั่วไป ^[2] Euclid ไม่เคยใช้ตัวเลขในการวัดความยาวมุมหรือพื้นที่ ด้วยวิธีนี้เครื่องบินแบบยุคลิดจึงไม่เหมือนกับเครื่องบินคาร์ทีเซียน

เครื่องบินสามลำขนานกัน

ระนาบเป็นพื้นผิวที่มีการปกครอง

ในส่วนนี้จะเป็นห่วง แต่เพียงผู้เดียวกับเครื่องบินที่ฝังอยู่ในสามมิติ: เฉพาะในR 3

การกำหนดโดยจุดและเส้นที่มีอยู่

ในพื้นที่ยุคลิดที่มีขนาดเท่าใดก็ได้ระนาบจะถูกกำหนดโดยไม่ซ้ำกันโดยสิ่งใดสิ่งหนึ่งต่อไปนี้:

• สามจุดที่ไม่ใช่collinear (จุดไม่อยู่ในบรรทัดเดียว)
• เส้นและจุดไม่อยู่บนเส้นนั้น
• เส้นสองเส้นที่แตกต่างกัน แต่ตัดกัน
• เส้นขนานสองเส้นที่แตกต่างกัน แต่เป็นเส้นขนาน

คุณสมบัติ

ข้อความต่อไปนี้ถือไว้ในปริภูมิแบบยุคลิดสามมิติ แต่ไม่ใช่ในมิติที่สูงกว่าแม้ว่าจะมีแอนะล็อกในมิติที่สูงกว่า:

• เครื่องบินสองลำที่แตกต่างกันมีทั้งแบบคู่ขนานหรือพวกเขาจะตัดกันที่บรรทัด
• เส้นขนานกับระนาบตัดกันที่จุดเดียวหรืออยู่ในระนาบ
• เส้นที่แตกต่างกันสองเส้นที่ตั้งฉากกับระนาบเดียวกันจะต้องขนานกัน
• ระนาบที่แตกต่างกันสองระนาบตั้งฉากกับเส้นเดียวกันจะต้องขนานกัน

จุด - รูปแบบปกติและรูปแบบทั่วไปของสมการของระนาบ

ในลักษณะที่คล้ายคลึงกับวิธีที่เส้นในปริภูมิสองมิติถูกอธิบายโดยใช้รูปแบบจุด - ความชันสำหรับสมการของพวกเขาระนาบในปริภูมิสามมิติมีคำอธิบายที่เป็นธรรมชาติโดยใช้จุดในระนาบและเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับมัน ( เวกเตอร์ปกติ ) เพื่อระบุ "ความเอียง"

โดยเฉพาะให้r ₀เป็นเวกเตอร์ตำแหน่งของบางจุดP ₀ = ( x ₀ , y ₀ , z ₀ )และให้n = ( a , b , c )เป็นเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ เครื่องบินที่กำหนดโดยจุดP ₀และเวกเตอร์nประกอบด้วยผู้ที่จุดPกับเวกเตอร์ตำแหน่งRเช่นว่าเวกเตอร์มาจากP ₀เพื่อPจะตั้งฉากกับn เมื่อนึกถึงว่าเวกเตอร์สองตัวตั้งฉากก็ต่อเมื่อและเฉพาะในกรณีที่ผลิตภัณฑ์ดอทเป็นศูนย์ดังนั้นระนาบที่ต้องการจึงสามารถอธิบายได้ว่าเป็นเซตของจุดทั้งหมดrเช่นนั้น

${\ displaystyle {\ boldsymbol {n}} \ cdot ({\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {0}) = 0}$

จุดที่นี่หมายถึงจุด (เกลา) ผลิตภัณฑ์
ขยายสิ่งนี้จะกลายเป็น

${\ displaystyle a (x-x_ {0}) + b (y-y_ {0}) + c (z-z_ {0}) = 0,}$

ซึ่งเป็นรูปแบบจุด - ปกติของสมการของระนาบ ^[3]นี่เป็นเพียงสมการเชิงเส้น

${\ displaystyle ax + by + cz + d = 0,}$

ที่ไหน

${\ displaystyle d = - (ax_ {0} + by_ {0} + cz_ {0})}$,

ซึ่งเป็นรูปแบบขยายของ ${\ displaystyle - {\ boldsymbol {n}} \ cdot {\ boldsymbol {r}} _ {0}.}$

ในทางคณิตศาสตร์มันเป็นแบบแผนทั่วไปในการแสดงปกติเป็นเวกเตอร์หน่วยแต่อาร์กิวเมนต์ข้างต้นถือเป็นเวกเตอร์ปกติที่มีความยาวไม่เป็นศูนย์

ในทางกลับกันแสดงให้เห็นได้อย่างง่ายดายว่าถ้าa , b , cและdเป็นค่าคงที่และa , bและcไม่ใช่ศูนย์ทั้งหมดดังนั้นกราฟของสมการ

${\ displaystyle ax + by + cz + d = 0,}$

คือระนาบที่มีเวกเตอร์n = ( a , b , c )ตามปกติ ^[4]สมการที่คุ้นเคยสำหรับเครื่องบินนี้เรียกว่าสมการทั่วไปของเครื่องบิน ^[5]

ตัวอย่างเช่นสมการการถดถอยของรูปแบบy = d + ax + cz (พร้อมb = −1 ) สร้างระนาบที่พอดีที่สุดในปริภูมิสามมิติเมื่อมีตัวแปรอธิบายสองตัวแปร

อธิบายระนาบที่มีจุดและเวกเตอร์สองตัววางอยู่บนนั้น

อีกวิธีหนึ่งเครื่องบินอาจถูกอธิบายในเชิงพารามิเตอร์ว่าเป็นชุดของจุดทั้งหมดของแบบฟอร์ม

${\ displaystyle {\ boldsymbol {r}} = {\ boldsymbol {r}} _ {0} + s {\ boldsymbol {v}} + t {\ boldsymbol {w}},}$

คำอธิบายเวกเตอร์ของเครื่องบิน

โดยที่ช่วงsและtเหนือจำนวนจริงทั้งหมดvและwจะได้รับเวกเตอร์อิสระเชิงเส้นที่ กำหนดระนาบและr ₀คือเวกเตอร์ที่แสดงตำแหน่งของจุดตามอำเภอใจ (แต่คงที่) บนระนาบ เวกเตอร์vและwสามารถมองเห็นได้เป็นเวกเตอร์ที่เริ่มต้นที่r ₀และชี้ไปในทิศทางต่างๆตามแนวระนาบ เวกเตอร์vและwสามารถตั้งฉากได้ แต่ไม่สามารถขนานกันได้

อธิบายเครื่องบินผ่านสามจุด

ให้p ₁ = (x ₁ , y ₁ , z ₁ ) , p ₂ = (x ₂ , y ₂ , z ₂ )และp ₃ = (x ₃ , y ₃ , z ₃ )เป็นจุดที่ไม่เรียงกัน

วิธีที่ 1

ระนาบที่ผ่านp ₁ , p ₂และp ₃สามารถอธิบายได้ว่าเป็นเซตของจุดทั้งหมด (x, y, z) ที่ตรงตามสมการดีเทอร์มิแนนต์ต่อไปนี้:

${\ displaystyle {\ begin {vmatrix} x-x_ {1} & y-y_ {1} & z-z_ {1} \\ x_ {2} -x_ {1} & y_ {2} -y_ {1} & z_ {2 } -z_ {1} \\ x_ {3} -x_ {1} & y_ {3} -y_ {1} & z_ {3} -z_ {1} \ end {vmatrix}} = {\ begin {vmatrix} x- x_ {1} & y-y_ {1} & z-z_ {1} \\ x-x_ {2} & y-y_ {2} & z-z_ {2} \\ x-x_ {3} & y-y_ {3} & z-z_ {3} \ end {vmatrix}} = 0.}$

วิธีที่ 2

เพื่ออธิบายระนาบด้วยสมการของแบบฟอร์ม ${\ displaystyle ax + by + cz + d = 0}$แก้ระบบสมการต่อไปนี้:

${\ displaystyle \, ax_ {1} + by_ {1} + cz_ {1} + d = 0}$

${\ displaystyle \, ax_ {2} + by_ {2} + cz_ {2} + d = 0}$

${\ displaystyle \, ax_ {3} + by_ {3} + cz_ {3} + d = 0.}$

ระบบนี้สามารถแก้ไขได้โดยใช้กฎของ Cramerและการจัดการเมทริกซ์พื้นฐาน ปล่อย

${\ displaystyle D = {\ begin {vmatrix} x_ {1} & y_ {1} & z_ {1} \\ x_ {2} & y_ {2} & z_ {2} \\ x_ {3} & y_ {3} & z_ {3 } \ end {vmatrix}}}$.

ถ้าDไม่ใช่ศูนย์ (สำหรับเครื่องบินที่ไม่ผ่านจุดกำเนิด) ค่าของa , bและcสามารถคำนวณได้ดังนี้:

${\ displaystyle a = {\ frac {-d} {D}} {\ begin {vmatrix} 1 & y_ {1} & z_ {1} \\ 1 & y_ {2} & z_ {2} \\ 1 & y_ {3} & z_ {3} \ end {vmatrix}}}$

${\ displaystyle b = {\ frac {-d} {D}} {\ begin {vmatrix} x_ {1} & 1 & z_ {1} \\ x_ {2} & 1 & z_ {2} \\ x_ {3} & 1 & z_ {3} \ end {vmatrix}}}$

${\ displaystyle c = {\ frac {-d} {D}} {\ begin {vmatrix} x_ {1} & y_ {1} & 1 \\ x_ {2} & y_ {2} & 1 \\ x_ {3} & y_ { 3} & 1 \ end {vmatrix}}.}$

สมการเหล่านี้เป็นตัวแปรในd การตั้งค่าdเท่ากับจำนวนใด ๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์และการแทนที่มันลงในสมการเหล่านี้จะทำให้ได้ชุดโซลูชันหนึ่งชุด

วิธีที่ 3

เครื่องบินนี้ยังสามารถอธิบายได้ด้วยใบสั่งยา" จุดและเวกเตอร์ปกติ " ข้างต้น เวกเตอร์ปกติที่เหมาะสมจะได้รับจากผลคูณไขว้

${\ displaystyle {\ boldsymbol {n}} = ({\ boldsymbol {p}} _ {2} - {\ boldsymbol {p}} _ {1}) \ times ({\ boldsymbol {p}} _ {3} - {\ boldsymbol {p}} _ {1}),}$

และจุดr ₀สามารถนำมาเป็นจุดใดก็ได้ที่กำหนดp ₁ , p ₂หรือp ₃ ^[6] (หรือจุดอื่น ๆ ในระนาบ)

ระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังเครื่องบิน

สำหรับเครื่องบิน ${\ displaystyle \ Pi: ax + by + cz + d = 0}$ และจุด ${\ displaystyle {\ boldsymbol {p}} _ {1} = (x_ {1}, y_ {1}, z_ {1})}$ ไม่จำเป็นต้องนอนบนเครื่องบินระยะทางที่สั้นที่สุดจาก ${\ displaystyle {\ boldsymbol {p}} _ {1}}$ ไปยังเครื่องบินคือ

${\ displaystyle D = {\ frac {\ left | ax_ {1} + by_ {1} + cz_ {1} + d \ right |} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}}}}.}$

ก็เป็นไปตามนั้น ${\ displaystyle {\ boldsymbol {p}} _ {1}}$อยู่ในระนาบถ้า D = 0เท่านั้น

ถ้า ${\ displaystyle {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}}} = 1}$หมายความว่าa , bและcถูกทำให้เป็นมาตรฐาน^[7]จากนั้นสมการจะกลายเป็น

${\ displaystyle D = \ | ax_ {1} + by_ {1} + cz_ {1} + d |.}$

รูปแบบเวกเตอร์อีกสมการของเครื่องบินที่เรียกว่ารูปแบบปกติเฮสส์อาศัยอยู่กับพารามิเตอร์D แบบฟอร์มนี้คือ: ^[5]

${\ displaystyle {\ boldsymbol {n}} \ cdot {\ boldsymbol {r}} - D_ {0} = 0,}$

ที่ไหน ${\ displaystyle {\ boldsymbol {n}}}$ เป็นเวกเตอร์หน่วยปกติของระนาบ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {r}}}$เวกเตอร์ตำแหน่งของจุดของเครื่องบินและD ₀ระยะห่างของเครื่องบินจากจุดกำเนิด

สูตรทั่วไปสำหรับมิติที่สูงขึ้นสามารถมาถึงได้อย่างรวดเร็วโดยใช้สัญกรณ์เวกเตอร์ ให้ไฮเปอร์เพลนมีสมการ${\ displaystyle {\ boldsymbol {n}} \ cdot ({\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {0}) = 0}$, ที่ไหน ${\ displaystyle {\ boldsymbol {n}}}$เป็นเวกเตอร์ปกติและ${\ displaystyle {\ boldsymbol {r}} _ {0} = (x_ {10}, x_ {20}, \ dots, x_ {N0})}$เป็นเวกเตอร์ตำแหน่งไปยังจุดในส่วนไฮเปอร์เพล เราต้องการระยะตั้งฉากกับจุด${\ displaystyle {\ boldsymbol {r}} _ {1} = (x_ {11}, x_ {21}, \ dots, x_ {N1})}$. ไฮเปอร์เพลนก็อาจจะเป็นตัวแทนจากสมการเกลา${\ displaystyle \ textstyle \ sum _ {i = 1} ^ {N} a_ {i} x_ {i} = - a_ {0}}$สำหรับค่าคงที่ ${\ displaystyle \ {a_ {i} \}}$. ในทำนองเดียวกัน${\ displaystyle {\ boldsymbol {n}}}$ อาจแสดงเป็น ${\ displaystyle (a_ {1}, a_ {2}, \ dots, a_ {N})}$. เราต้องการการฉายภาพสเกลาร์ของเวกเตอร์${\ displaystyle {\ boldsymbol {r}} _ {1} - {\ boldsymbol {r}} _ {0}}$ ในทิศทางของ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {n}}}$. สังเกตว่า${\ displaystyle {\ boldsymbol {n}} \ cdot {\ boldsymbol {r}} _ {0} = {\ boldsymbol {r}} _ {0} \ cdot {\ boldsymbol {n}} = - a_ {0} }$ (เช่น ${\ displaystyle {\ boldsymbol {r}} _ {0}}$เป็นไปตามสมการของไฮเปอร์เพลน ) ที่เรามี

${\ displaystyle {\ begin {aligned} D & = {\ frac {| ({\ boldsymbol {r}} _ {1} - {\ boldsymbol {r}} _ {0}) \ cdot {\ boldsymbol {n}} |} {| {\ boldsymbol {n}} |}} \\ & = {\ frac {| {\ boldsymbol {r}} _ {1} \ cdot {\ boldsymbol {n}} - {\ boldsymbol {r} } _ {0} \ cdot {\ boldsymbol {n}} |} {| {\ boldsymbol {n}} |}} \\ & = {\ frac {| {\ boldsymbol {r}} _ {1} \ cdot {\ boldsymbol {n}} + a_ {0} |} {| {\ boldsymbol {n}} |}} \\ & = {\ frac {| a_ {1} x_ {11} + a_ {2} x_ { 21} + \ dots + a_ {N} x_ {N1} + a_ {0} |} {\ sqrt {a_ {1} ^ {2} + a_ {2} ^ {2} + \ dots + a_ {N} ^ {2}}}} \ end {aligned}}}$.

เส้นตัดระหว่างระนาบ

ในเรขาคณิตวิเคราะห์จุดตัดของที่เส้นและเครื่องบินในพื้นที่สามมิติสามารถเป็นเซตว่างเป็นจุดหรือเส้น

เส้นตัดระหว่างระนาบสองลำ

ระนาบสองข้างที่ตัดกันในพื้นที่สามมิติ

เส้นตัดระหว่างระนาบสองระนาบ ${\ displaystyle \ Pi _ {1}: {\ boldsymbol {n}} _ {1} \ cdot {\ boldsymbol {r}} = h_ {1}}$ และ ${\ displaystyle \ Pi _ {2}: {\ boldsymbol {n}} _ {2} \ cdot {\ boldsymbol {r}} = h_ {2}}$ ที่ไหน ${\ displaystyle {\ boldsymbol {n}} _ {i}}$ ถูกทำให้เป็นมาตรฐานโดย

${\ displaystyle {\ boldsymbol {r}} = (c_ {1} {\ boldsymbol {n}} _ {1} + c_ {2} {\ boldsymbol {n}} _ {2}) + \ lambda ({\ boldsymbol {n}} _ {1} \ times {\ boldsymbol {n}} _ {2})}$

ที่ไหน

${\ displaystyle c_ {1} = {\ frac {h_ {1} -h_ {2} ({\ boldsymbol {n}} _ {1} \ cdot {\ boldsymbol {n}} _ {2})} {1 - ({\ boldsymbol {n}} _ {1} \ cdot {\ boldsymbol {n}} _ {2}) ^ {2}}}}$

${\ displaystyle c_ {2} = {\ frac {h_ {2} -h_ {1} ({\ boldsymbol {n}} _ {1} \ cdot {\ boldsymbol {n}} _ {2})} {1 - ({\ boldsymbol {n}} _ {1} \ cdot {\ boldsymbol {n}} _ {2}) ^ {2}}}.}$

สิ่งนี้พบได้จากการสังเกตว่าเส้นต้องตั้งฉากกับบรรทัดฐานของระนาบทั้งสองและขนานกับผลคูณไขว้ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {n}} _ {1} \ times {\ boldsymbol {n}} _ {2}}$ (ผลคูณไขว้นี้เป็นศูนย์ก็ต่อเมื่อเครื่องบินขนานกันดังนั้นจึงไม่ตัดกันหรือบังเอิญทั้งหมด)

ส่วนที่เหลือของนิพจน์จะมาถึงโดยการหาจุดใดจุดหนึ่งบนเส้น ในการทำเช่นนั้นให้พิจารณาว่าจุดใด ๆ ในอวกาศอาจเขียนเป็น${\ displaystyle {\ boldsymbol {r}} = c_ {1} {\ boldsymbol {n}} _ {1} + c_ {2} {\ boldsymbol {n}} _ {2} + \ lambda ({\ boldsymbol { n}} _ {1} \ times {\ boldsymbol {n}} _ {2})}$, ตั้งแต่ ${\ displaystyle \ {{\ boldsymbol {n}} _ {1}, {\ boldsymbol {n}} _ {2}, ({\ boldsymbol {n}} _ {1} \ times {\ boldsymbol {n}} _ {2}) \}}$เป็นพื้นฐาน เราต้องการหาจุดที่อยู่บนระนาบทั้งสอง (เช่นบนจุดตัดของมัน) ดังนั้นให้แทรกสมการนี้ลงในสมการของเครื่องบินแต่ละสมการเพื่อให้ได้สมการพร้อมกันสองสมการซึ่งสามารถแก้ไขได้สำหรับ${\ displaystyle c_ {1}}$ และ ${\ displaystyle c_ {2}}$.

หากเราสันนิษฐานต่อไปว่า ${\ displaystyle {\ boldsymbol {n}} _ {1}}$ และ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {n}} _ {2}}$มีorthonormalแล้วจุดที่ใกล้ที่สุดในสายตัดไปจุดเริ่มต้นคือ${\ displaystyle {\ boldsymbol {r}} _ {0} = h_ {1} {\ boldsymbol {n}} _ {1} + h_ {2} {\ boldsymbol {n}} _ {2}}$. หากไม่เป็นเช่นนั้นจะต้องใช้ขั้นตอนที่ซับซ้อนมากขึ้น ^[8]

มุมไดฮีดรัล

ระบุเครื่องบินตัดกันสองลำที่อธิบายโดย ${\ displaystyle \ Pi _ {1}: a_ {1} x + b_ {1} y + c_ {1} z + d_ {1} = 0}$ และ ${\ displaystyle \ Pi _ {2}: a_ {2} x + b_ {2} y + c_ {2} z + d_ {2} = 0}$ที่มุมไดฮีดรัระหว่างพวกเขาถูกกำหนดให้เป็นมุม${\ displaystyle \ alpha}$ ระหว่างเส้นทางปกติ:

${\ displaystyle \ cos \ alpha = {\ frac {{\ hat {n}} _ {1} \ cdot {\ hat {n}} _ {2}} {| {\ hat {n}} _ {1} || {\ hat {n}} _ {2} |}} = {\ frac {a_ {1} a_ {2} + b_ {1} b_ {2} + c_ {1} c_ {2}} {{ \ sqrt {a_ {1} ^ {2} + b_ {1} ^ {2} + c_ {1} ^ {2}}} {\ sqrt {a_ {2} ^ {2} + b_ {2} ^ { 2} + c_ {2} ^ {2}}}}}$

นอกเหนือจากโครงสร้างทางเรขาคณิตที่คุ้นเคยด้วยไอโซมอร์ฟิสที่เป็นไอโซเมตริกที่เกี่ยวกับผลิตภัณฑ์ภายในตามปกติแล้วเครื่องบินยังอาจถูกมองในระดับนามธรรมอื่น ๆ อีกมากมาย แต่ละระดับของนามธรรมสอดคล้องกับการที่เฉพาะเจาะจงหมวดหมู่

ในขั้นสุดขั้วหนึ่งแนวคิดทางเรขาคณิตและเมตริกทั้งหมดอาจถูกทิ้งเพื่อออกจากระนาบโทโพโลยีซึ่งอาจคิดได้ว่าเป็นแผ่นยางที่ไม่มีที่สิ้นสุดที่ไม่สิ้นสุดในอุดมคติของhomotopicallyซึ่งยังคงรักษาแนวความคิดของความใกล้ชิด แต่ไม่มีระยะทาง ระนาบทอโพโลยีมีแนวคิดเกี่ยวกับเส้นทางเชิงเส้น แต่ไม่มีแนวคิดเกี่ยวกับเส้นตรง เครื่องบินทอพอโลยีหรือเทียบเท่าเปิดแผ่นดิสก์ของมันคือย่านทอพอโลยีขั้นพื้นฐานที่ใช้ในการสร้างพื้นผิว (หรือ 2 แมนิโฟล) จัดให้อยู่ในโครงสร้างต่ำมิติ Isomorphisms ของเครื่องบินทอพอโลยีทุกคนอย่างต่อเนื่อง bijections เครื่องบินทอพอโลยีเป็นบริบทธรรมชาติสำหรับสาขาของทฤษฎีกราฟที่เกี่ยวข้องกับกราฟเชิงระนาบและผลเช่นทฤษฎีบทสี่สี

เครื่องบินอาจถูกมองว่าเป็นช่องว่างที่มีความสัมพันธ์ซึ่งไอโซมอร์ฟิสม์คือการรวมกันของการแปลและแผนที่เชิงเส้นที่ไม่ใช่เอกพจน์ จากมุมมองนี้มีระยะทางไม่ แต่collinearityและอัตราส่วนของระยะทางบนเส้นใด ๆ จะถูกเก็บไว้

เรขาคณิตต่างมุมมองเครื่องบินเป็นจริง 2 มิตินานาเครื่องบินทอพอโลยีที่มีให้กับโครงสร้างค่า อีกครั้งในกรณีนี้ไม่มีแนวคิดเรื่องระยะทาง แต่ตอนนี้มีแนวคิดเรื่องความเรียบของแผนที่ตัวอย่างเช่นเส้นทางที่แตกต่างกันหรือเรียบ (ขึ้นอยู่กับประเภทของโครงสร้างส่วนต่างที่ใช้) isomorphisms ในกรณีนี้คือ bijections ที่มีระดับความแตกต่างที่เลือกไว้

ในทิศทางที่ตรงข้ามของนามธรรมที่เราอาจนำมาใช้เป็นโครงสร้างข้อมูลที่เข้ากันได้กับระนาบเรขาคณิตให้สูงขึ้นเพื่อซับซ้อนเครื่องบินและพื้นที่สำคัญของการวิเคราะห์ที่ซับซ้อน สนามที่ซับซ้อนมีเพียงสอง isomorphisms ที่ออกจากสายจริงคงเอกลักษณ์และผัน

ในทำนองเดียวกับในกรณีจริงระนาบอาจถูกมองว่าเป็นท่อร่วมที่ซับซ้อนที่ง่ายที่สุดมิติเดียว (บนจำนวนเชิงซ้อน) บางครั้งเรียกว่าเส้นเชิงซ้อน อย่างไรก็ตามมุมมองนี้แตกต่างอย่างมากกับกรณีของเครื่องบินในฐานะท่อร่วม 2 มิติจริง ไอโซมอร์ฟิสม์คือการคาดคะเนเชิงโครงสร้างของระนาบเชิงซ้อน แต่ความเป็นไปได้เดียวคือแผนที่ที่สอดคล้องกับองค์ประกอบของการคูณด้วยจำนวนเชิงซ้อนและการแปล

นอกจากนี้เรขาคณิตแบบยุคลิด (ซึ่งมีความโค้งเป็นศูนย์ทุกที่) ไม่ใช่รูปทรงเรขาคณิตเดียวที่ระนาบอาจมีได้ เครื่องบินอาจได้รับเรขาคณิตทรงกลมโดยใช้การฉาย stereographic อาจคิดได้ว่าเป็นการวางทรงกลมบนระนาบ (เช่นเดียวกับลูกบอลบนพื้น) ลบจุดบนสุดและฉายทรงกลมไปยังระนาบจากจุดนี้) นี่เป็นหนึ่งในการคาดการณ์ที่อาจใช้ในการสร้างแผนที่แบนของส่วนหนึ่งของพื้นผิวโลก รูปทรงเรขาคณิตที่ได้จะมีความโค้งเป็นบวกคงที่

อีกทางเลือกหนึ่งของเครื่องบินนอกจากนี้ยังสามารถกำหนดตัวชี้วัดซึ่งจะทำให้มันโค้งเชิงลบคงให้เป็นระนาบการผ่อนชำระ ความเป็นไปได้หลังพบการประยุกต์ใช้ในทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษในกรณีที่เรียบง่ายซึ่งมีสองมิติเชิงพื้นที่และมิติเวลาเดียว (เครื่องบินผ่อนชำระเป็นtimelike hypersurfaceในสามมิติคอฟสกีพื้นที่ .)

การบีบอัดจุดเดียวของเครื่องบินคือ homeomorphic เป็นทรงกลม (ดูการฉายภาพสามมิติ ); ดิสก์ที่เปิดอยู่คือ homeomorphic เป็นทรงกลมโดยไม่มี "ขั้วเหนือ" การเพิ่มจุดนั้นจะทำให้ทรงกลม (กะทัดรัด) สมบูรณ์ ผลจากการ compactification นี้คือนานาเรียกว่าทรงกลม Riemannหรือซับซ้อน projective แถว ประมาณการจากเครื่องบินแบบยุคลิดเพื่อทรงกลมโดยไม่ต้องจุดเป็นdiffeomorphismและแม้แต่แผนที่มาตราส่วน

เครื่องบินนั้นเป็นแบบ homeomorphic (และ diffeomorphic) ไปยังดิสก์ที่เปิดอยู่ สำหรับระนาบไฮเพอร์โบลิกความแตกต่างดังกล่าวเป็นไปตามรูปแบบ แต่สำหรับระนาบยุคลิดนั้นไม่เป็นเช่นนั้น

• Anton, Howard (1994), Elementary Linear Algebra (7th ed.), John Wiley & Sons, ISBN 0-471-58742-7
• Eves, Howard (1963), A Survey of Geometry , I , Boston: Allyn and Bacon, Inc.

• "เครื่องบิน" , สารานุกรมของคณิตศาสตร์ , EMS กด 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "เครื่องบิน" . แม ธ เวิลด์
• "การคลี่คลายความยากของเลขคณิตและเรขาคณิตเชิงระนาบ"เป็นต้นฉบับภาษาอาหรับตั้งแต่ศตวรรษที่ 15 ซึ่งทำหน้าที่เป็นบทช่วยสอนเกี่ยวกับเรขาคณิตระนาบและเลขคณิต