ปริมณฑล

รูปร่าง	สูตร	ตัวแปร
วงกลม	${\ displaystyle 2 \ pi r = \ pi d}$	ที่ไหน ${\ displaystyle r}$ คือรัศมีของวงกลมและ ${\ displaystyle d}$ คือเส้นผ่านศูนย์กลาง
สามเหลี่ยม	${\ displaystyle a + b + c \,}$	ที่ไหน ${\ displaystyle a}$, ${\ displaystyle b}$ และ ${\ displaystyle c}$ คือความยาวของด้านข้างของสามเหลี่ยม
สี่เหลี่ยมจัตุรัส / รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน	${\ displaystyle 4a}$	ที่ไหน ${\ displaystyle a}$ คือความยาวด้านข้าง
สี่เหลี่ยมผืนผ้า	${\ displaystyle 2 (l + w)}$	ที่ไหน ${\ displaystyle l}$ คือความยาวและ ${\ displaystyle w}$ คือความกว้าง
รูปหลายเหลี่ยมด้านเท่า	${\ displaystyle n \ times a \,}$	ที่ไหน ${\ displaystyle n}$ คือจำนวนด้านและ ${\ displaystyle a}$ คือความยาวของด้านใดด้านหนึ่ง
รูปหลายเหลี่ยมปกติ	${\ displaystyle 2nb \ sin \ left ({\ frac {\ pi} {n}} \ right)}$	ที่ไหน ${\ displaystyle n}$ คือจำนวนด้านและ ${\ displaystyle b}$คือระยะห่างระหว่างจุดศูนย์กลางของรูปหลายเหลี่ยมกับหนึ่งในจุดยอดของรูปหลายเหลี่ยม
รูปหลายเหลี่ยมทั่วไป	${\ displaystyle a_ {1} + a_ {2} + a_ {3} + \ cdots + a_ {n} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i}}$	ที่ไหน ${\ displaystyle a_ {i}}$ คือความยาวของไฟล์ ${\ displaystyle i}$-th (1, 2, 3 ... n th) ด้านข้างของรูปหลายเหลี่ยมด้านn

หัวใจ${\ displaystyle \ gamma: [0,2 \ pi] \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {2}}$
(วาดด้วย ${\ displaystyle a = 1}$)
${\ displaystyle x (t) = 2a \ cos (t) (1+ \ cos (t))}$
${\ displaystyle y (t) = 2a \ sin (t) (1+ \ cos (t))}$
${\ displaystyle L = \ int \ LIMIT _ {0} ^ {2 \ pi} {\ sqrt {x '(t) ^ {2} + y' (t) ^ {2}}} \, \ mathrm {d } t = 16a}$

เส้นรอบวงคือระยะห่างรอบ ๆ รูปร่าง สามารถคำนวณเส้นรอบวงสำหรับรูปร่างทั่วไปเป็นเส้นทางใดก็ได้ด้วย${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {L} \ mathrm {d} s}$, ที่ไหน ${\ displaystyle L}$ คือความยาวของเส้นทางและ ${\ displaystyle ds}$เป็นองค์ประกอบเส้นเล็ก ๆ น้อย ๆ ทั้งสองอย่างนี้จะต้องถูกแทนที่ด้วยรูปแบบพีชคณิตเพื่อให้คำนวณได้จริง หากกำหนดให้เส้นรอบวงเป็นเส้นโค้งระนาบเรียบแบบปิดเป็นชิ้น ๆ ${\ displaystyle \ gamma: [a, b] \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {2}}$ ด้วย

${\ displaystyle \ gamma (t) = {\ begin {pmatrix} x (t) \\ y (t) \ end {pmatrix}}}$

แล้วความยาวของมัน ${\ displaystyle L}$ สามารถคำนวณได้ดังนี้:

${\ displaystyle L = \ int \ LIMIT _ {a} ^ {b} {\ sqrt {x '(t) ^ {2} + y' (t) ^ {2}}} \, \ mathrm {d} t }$

แนวคิดทั่วไปเกี่ยวกับปริมณฑลซึ่งรวมถึงhypersurfacesขอบเขตวอลุ่มใน${\ displaystyle n}$- มิติ ช่องว่างแบบยุคลิด , อธิบายโดยทฤษฎีของชุด Caccioppoli

เส้นรอบวงของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า

รูปหลายเหลี่ยมเป็นพื้นฐานในการกำหนดเส้นรอบรูปไม่เพียงเพราะเป็นรูปทรงที่ง่ายที่สุด แต่ยังเป็นเพราะเส้นรอบวงของรูปทรงจำนวนมากถูกคำนวณโดยการประมาณด้วยลำดับของรูปหลายเหลี่ยมที่พุ่งเข้าหารูปร่างเหล่านี้ นักคณิตศาสตร์รู้จักกันครั้งแรกที่จะมีการใช้ชนิดของเหตุผลนี้เป็นArchimedesที่ประมาณปริมณฑลของวงกลมโดยรอบด้วยรูปหลายเหลี่ยมปกติ

ปริมณฑลของรูปหลายเหลี่ยมเท่ากับผลรวมของความยาวของมันด้าน (ขอบ) โดยเฉพาะอย่างยิ่งเส้นรอบวงของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีความกว้าง${\ displaystyle w}$ และความยาว ${\ displaystyle \ ell}$ เท่ากับ ${\ displaystyle 2w + 2 \ ell.}$

รูปหลายเหลี่ยมด้านเท่ากันหมดคือรูปหลายเหลี่ยมซึ่งมีทุกด้านของความยาวเดียวกัน (เช่นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเป็น 4 เหลี่ยมรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่า) ในการคำนวณเส้นรอบวงของรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่ากันเราต้องคูณความยาวร่วมกันของด้านข้างด้วยจำนวนด้าน

เหลี่ยมปกติอาจจะโดดเด่นด้วยจำนวนของด้านของตนและของตนcircumradiusนั่นคือจะบอกว่าระยะทางที่ต่อเนื่องระหว่างของศูนย์และแต่ละของจุด ความยาวของด้านข้างสามารถคำนวณโดยใช้ตรีโกณมิติ ถ้าRเป็นรัศมีของรูปหลายเหลี่ยมปกติและnคือจำนวนด้านของมันแสดงว่าปริมณฑลของมันคือ

${\ displaystyle 2nR \ sin \ left ({\ frac {180 ^ {\ circ}} {n}} \ right)}$

แยกของสามเหลี่ยมเป็นcevian (ส่วนจากจุดสุดยอดไปยังฝั่งตรงข้าม) ที่แบ่งปริมณฑลเป็นสองความยาวเท่ากันความยาวที่พบนี้ถูกเรียกว่าsemiperimeterของรูปสามเหลี่ยม ตัวแยกทั้งสามของสามเหลี่ยมทั้งหมดตัดกันที่จุด Nagelของสามเหลี่ยม

มีดของสามเหลี่ยมคือส่วนจากจุดกึ่งกลางของด้านของรูปสามเหลี่ยมไปยังด้านตรงข้ามเพื่อให้เส้นรอบวงแบ่งออกเป็นสองส่วนที่มีความยาวเท่ากัน สาม cleavers ของรูปสามเหลี่ยมทั้งหมดตัดกันที่สามเหลี่ยมของศูนย์ Spieker

ถ้าเส้นผ่าศูนย์กลางของวงกลมคือ 1, เส้นรอบวงเท่ากับ π

ปริมณฑลของวงกลมมักจะเรียกว่าเส้นรอบวงเป็นสัดส่วนของขนาดเส้นผ่าศูนย์กลางและรัศมี กล่าวคือมีจำนวนคงที่pi , π ( p ของกรีก สำหรับเส้นรอบวง) ดังนั้นถ้าPคือเส้นรอบวงของวงกลมและDเส้นผ่านศูนย์กลางของมัน

${\ displaystyle P = \ pi \ cdot {D}. \!}$

ในแง่ของรัศมีrของวงกลมสูตรนี้จะกลายเป็น

${\ displaystyle P = 2 \ pi \ cdot r.}$

ในการคำนวณเส้นรอบวงของวงกลมความรู้เกี่ยวกับรัศมีหรือเส้นผ่านศูนย์กลางและจำนวนπเพียงพอ ปัญหาคือπไม่เป็นเหตุเป็นผล (ไม่สามารถแสดงเป็นผลหารของจำนวนเต็มสองจำนวนได้ ) และไม่ใช่พีชคณิต (ไม่ใช่รากของสมการพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เชิงเหตุผล) ดังนั้นการได้ค่าประมาณที่ถูกต้องของπจึงมีความสำคัญในการคำนวณ การคำนวณตัวเลขของπมีความเกี่ยวข้องกับหลายสาขาเช่นการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ , อัลกอริธึและวิทยาการคอมพิวเตอร์

ยิ่งใครตัดรูปร่างนี้มากเท่าไหร่พื้นที่ก็จะยิ่งน้อยลงและปริมณฑลก็จะยิ่งมากขึ้นเท่านั้น เปลือกนูนยังคงเหมือนเดิม

Neuf-Brisachป้อมปราการปริมณฑลมีความซับซ้อน เส้นทางที่สั้นที่สุดรอบ ๆ มันเป็นไปของมัน เปลือกนูน

ปริมณฑลและพื้นที่เป็นสองมาตรการหลักของรูปทรงเรขาคณิต การทำให้สับสนถือเป็นข้อผิดพลาดที่พบบ่อยเช่นเดียวกับการเชื่อว่ายิ่งข้อใดใหญ่กว่านั้นก็ยิ่งต้องมีมากขึ้นเท่านั้น อันที่จริงข้อสังเกตที่พบเห็นได้ทั่วไปก็คือการขยาย (หรือการลดขนาด) ของรูปร่างทำให้พื้นที่ของมันเติบโตขึ้น (หรือลดลง) รวมทั้งขอบเขตของมัน ตัวอย่างเช่นหากมีการวาดเขตข้อมูลบนแผนที่มาตราส่วน 1 / 10,000 ขอบเขตของสนามจริงสามารถคำนวณได้โดยคูณเส้นรอบวงที่วาดด้วย 10,000 พื้นที่จริง 10,000 ²เท่าของพื้นที่รูปร่างบนแผนที่ อย่างไรก็ตามไม่มีความสัมพันธ์ระหว่างพื้นที่และปริมณฑลของรูปทรงธรรมดา ตัวอย่างเช่นเส้นรอบวงของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ากว้าง 0.001 และความยาว 1,000 จะสูงกว่า 2000 เล็กน้อยในขณะที่เส้นรอบวงของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ากว้าง 0.5 และยาว 2 คือ 5 พื้นที่ทั้งสองเท่ากับ 1

Proclus (ศตวรรษที่ 5) รายงานว่าชาวนากรีก "พอสมควร" แยกทุ่งนาโดยอาศัยขอบเขตของพวกเขา ^[1]อย่างไรก็ตามการผลิตในไร่นาเป็นสัดส่วนกับพื้นที่ของมันไม่ใช่ในขอบเขตของมันดังนั้นชาวนาที่ไร้เดียงสาจำนวนมากอาจมีทุ่งนาที่มีขอบเขตยาว แต่มีพื้นที่เล็ก ๆ (ดังนั้นจึงมีพืชผลเพียงไม่กี่ชนิด)

หากมีใครเอาชิ้นส่วนออกจากรูปพื้นที่ของมันจะลดลง แต่ขอบเขตของมันอาจไม่ได้ ในกรณีที่มีรูปร่างผิดปกติมากอาจเกิดความสับสนระหว่างเส้นรอบวงและตัวถังนูน ลำตัวนูนของรูปอาจมองเห็นได้เนื่องจากรูปร่างที่เกิดจากแถบยางที่ขึงไว้รอบ ๆ ในภาพเคลื่อนไหวทางด้านซ้ายตัวเลขทั้งหมดมีตัวถังนูนเหมือนกัน ใหญ่ครั้งแรกหกเหลี่ยม

ปัญหา isoperimetric คือการกำหนดรูปที่มีพื้นที่ใหญ่ที่สุดในบรรดาที่มีขอบเขตที่กำหนด การแก้ปัญหานั้นใช้งานง่าย มันเป็นวงกลม โดยเฉพาะอย่างยิ่งสิ่งนี้สามารถใช้เพื่ออธิบายว่าทำไมหยดไขมันบนพื้นผิวน้ำซุปจึงเป็นวงกลม

ปัญหานี้อาจดูเหมือนง่าย แต่การพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ต้องใช้ทฤษฎีบทที่ซับซ้อน บางครั้งปัญหา isoperimetric จะง่ายขึ้นโดยการ จำกัด ประเภทของตัวเลขที่จะใช้ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในการหารูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสหรือสามเหลี่ยมหรือรูปอื่นโดยเฉพาะโดยมีพื้นที่ที่ใหญ่ที่สุดในบรรดารูปทรงเดียวกันที่มีเส้นรอบวงที่กำหนด วิธีการแก้ปัญหา isoperimetric รูปสี่เหลี่ยมเป็นตารางและวิธีการแก้ปัญหาสามเหลี่ยมเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า โดยทั่วไปรูปหลายเหลี่ยมที่มีnด้านที่มีพื้นที่ใหญ่ที่สุดและเส้นรอบวงที่กำหนดคือรูปหลายเหลี่ยมปกติซึ่งอยู่ใกล้กับความเป็นวงกลมมากกว่ารูปหลายเหลี่ยมที่มีจำนวนด้านเท่ากัน

คำนี้มาจากภาษากรีก περίμετρος perimetrosจากπερί peri "around" และμέτρον metron "measure"

• Weisstein, Eric W. "ปริมณฑล" . แม ธ เวิลด์
• Weisstein, Eric W. "Semiperimeter" . แม ธ เวิลด์