สมมุติฐานคู่ขนาน

อาจเป็นที่รู้จักกันดีที่สุดของสมมุติฐานคู่ขนานของ Euclid ซึ่งขึ้นอยู่กับสมมติฐานอื่น ๆ ของเขาคือสัจพจน์ของ Playfairซึ่งตั้งชื่อตามนักคณิตศาสตร์ ชาวสก็อตJohn Playfairซึ่งระบุว่า:

ในระนาบกำหนดเส้นและจุดที่ไม่อยู่บนนั้นเส้นที่ขนานกับเส้นที่กำหนดให้ลากผ่านจุดนั้นได้มากที่สุด ^[4]

สัจพจน์นี้ไม่ได้มีเหตุผลเทียบเท่ากับสมมุติฐานคู่ขนานแบบยุคลิดเนื่องจากมีรูปทรงเรขาคณิตที่หนึ่งเป็นจริงและอีกรูปหนึ่งไม่เป็นเช่นนั้น อย่างไรก็ตามในการปรากฏตัวของสัจพจน์ที่เหลือที่ให้รูปทรงเรขาคณิตแบบยุคลิดแต่ละเหล่านี้สามารถนำมาใช้เพื่อพิสูจน์อื่น ๆ เพื่อให้พวกเขามีความเทียบเท่าในบริบทของรูปทรงเรขาคณิตที่แน่นอน ^[5]

งบอื่น ๆ อีกมากมายเทียบเท่ากับสมมุติขนานได้รับการแนะนำบางส่วนของพวกเขาปรากฏตัวในตอนแรกจะเป็นที่ไม่เกี่ยวข้องกับความเท่าเทียมและดูเหมือนบางอย่างเพื่อให้ตัวเองชัดเจนว่าพวกเขาไม่รู้ตัวสันนิษฐานโดยคนที่อ้างว่าได้รับการพิสูจน์แล้วสมมุติขนานจากสมมุติฐานอื่น ๆ ของยุคลิด . ข้อความเทียบเท่าเหล่านี้ ได้แก่ :

1. มีมากที่สุดหนึ่งเส้นที่สามารถลากขนานกับอีกเส้นหนึ่งผ่านจุดภายนอกได้ ( สัจพจน์ของ Playfair )
2. ผลรวมของมุมในทุก ๆสามเหลี่ยมคือ 180 ° ( สมมุติฐานสามเหลี่ยม )
3. มีสามเหลี่ยมที่มีมุมรวมกันได้ถึง 180 °
4. ผลรวมของมุมเท่ากันทุกสามเหลี่ยม
5. มีสามเหลี่ยมที่คล้ายกันแต่ไม่เท่ากันอยู่คู่หนึ่ง
6. ทุกสามเหลี่ยมสามารถล้อมรอบได้
7. ถ้าสามมุมของรูปสี่เหลี่ยมที่มีมุมขวาแล้วมุมที่สี่ยังเป็นมุมขวา
8. มีอยู่รูปสี่เหลี่ยมซึ่งในทุกมุมเป็นมุมขวาที่เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า
9. มีเส้นตรงคู่หนึ่งที่มีระยะห่างคงที่จากกัน
10. เส้นสองเส้นที่ขนานกับเส้นเดียวกันจะขนานกันด้วย
11. ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากสี่เหลี่ยมของด้านตรงข้ามมุมฉากจะเท่ากับผลรวมของกำลังสองของอีกสองด้าน ( ทฤษฎีบทของพีทาโกรัส ) ^{[6] [7]}
12. กฎหมายของความผาสุก , ลักษณะทั่วไปของ Pythagoras' ทฤษฎีบท
13. ไม่มีขีด จำกัด บนสำหรับพื้นที่ของสามเหลี่ยม ( วัลลิสสัจพจน์ ) ^[8]
14. มุมยอดของรูปสี่เหลี่ยมจตุรัส Saccheriคือ 90 °
15. หากเส้นใดเส้นหนึ่งตัดกับเส้นขนานหนึ่งในสองเส้นซึ่งทั้งสองเส้นเป็น coplanar กับเส้นเดิมเส้นนั้นก็ตัดอีกเส้นหนึ่งด้วย ( สัจพจน์ของProclus ) ^[9]

แต่ทางเลือกที่จ้างคำว่า "คู่ขนาน" ยุติการปรากฏเพื่อให้ง่ายเมื่อมีภาระผูกพันที่จะอธิบายซึ่งข้อกำหนดของสี่ร่วมกันของ "คู่ขนาน" มีความหมาย - แยกคงไม่เคยประชุม, มุมเดียวกับที่โดนบางบรรทัดที่สามหรือ มุมเดียวกับที่โดนใด ๆบรรทัดที่สาม - ตั้งแต่เท่าเทียมกันของทั้งสี่คนนี้คือตัวเองเป็นหนึ่งในสมมติฐานที่เห็นได้ชัดโดยไม่รู้ตัวเทียบเท่ากับสมมุติที่ห้าของยุคลิด ในรายการด้านบนมักจะอ้างถึงเส้นที่ไม่ตัดกันเสมอ ตัวอย่างเช่นถ้าคำว่า "ขนาน" ในสัจพจน์ของ Playfair หมายถึง "การแยกคงที่" หรือ "มุมเดียวกันกับที่ขีดเส้นที่สาม" คำนั้นจะไม่เทียบเท่ากับสมมุติฐานที่ 5 ของ Euclid อีกต่อไปและสามารถพิสูจน์ได้จากสี่ข้อแรก (สัจพจน์กล่าวว่า 'มีมากที่สุดหนึ่งบรรทัด ... ' ซึ่งสอดคล้องกับการไม่มีเส้นดังกล่าว) อย่างไรก็ตามหากใช้คำจำกัดความเพื่อให้เส้นขนานเป็นเส้นที่ไม่ตัดกันหรือมีเส้นบางเส้นตัดกันในมุมเดียวกันสัจพจน์ของ Playfair จะเทียบเท่าบริบทกับสมมุติฐานที่ห้าของ Euclid และด้วยเหตุนี้จึงเป็นอิสระจากเหตุผลสี่ประการแรก โปรดสังเกตว่าคำจำกัดความสองคำหลังไม่เทียบเท่ากันเนื่องจากในเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกคำจำกัดความที่สองมีไว้สำหรับเส้นคู่ขนานแบบ ultrapaเท่านั้น

เป็นเวลาสองพันปีที่มีความพยายามหลายครั้งในการพิสูจน์หลักฐานคู่ขนานโดยใช้สมมติฐานสี่ประการแรกของ Euclid เหตุผลหลักที่การพิสูจน์ดังกล่าวเป็นที่ต้องการอย่างมากก็คือไม่เหมือนกับสี่ข้อแรกคือสมมุติฐานคู่ขนานไม่ชัดเจนในตัวเอง หากลำดับที่สมมุติฐานถูกระบุไว้ในองค์ประกอบนั้นมีความสำคัญแสดงว่า Euclid รวมสมมุติฐานนี้ไว้ก็ต่อเมื่อเขาตระหนักว่าเขาไม่สามารถพิสูจน์ได้หรือดำเนินการต่อโดยปราศจากมัน ^[10]มีความพยายามหลายครั้งที่จะพิสูจน์ข้อที่ห้าจากอีกสี่ข้อโดยหลายคนได้รับการยอมรับว่าเป็นข้อพิสูจน์เป็นเวลานานจนกว่าจะพบข้อผิดพลาด ความผิดพลาดที่เกิดขึ้นอย่างต่อเนื่องคือการสันนิษฐานว่ามีคุณสมบัติที่ 'ชัดเจน' ซึ่งกลายเป็นสิ่งที่เทียบเท่ากับสมมติฐานที่ห้า ( สัจพจน์ของ Playfair ) แม้ว่าจะรู้จักกันมาตั้งแต่สมัย Proclus แต่สิ่งนี้ก็กลายเป็นที่รู้จักในชื่อความจริงของ Playfair หลังจากที่ John Playfair เขียนคำบรรยายที่มีชื่อเสียงเกี่ยวกับ Euclid ในปี 1795 ซึ่งเขาเสนอให้แทนที่สมมุติฐานที่ห้าของ Euclid ด้วยสัจพจน์ของเขาเอง

Proclus (410–485) เขียนความเห็นเกี่ยวกับThe Elementsที่เขาแสดงความคิดเห็นเกี่ยวกับการพยายามพิสูจน์หลักฐานที่ห้าจากอีกสี่ข้อ; โดยเฉพาะอย่างยิ่งเขาตั้งข้อสังเกตว่าปโตเลมีได้สร้าง 'หลักฐาน' ที่ผิดพลาด จากนั้น Proclus ก็ให้การพิสูจน์เท็จด้วยตัวเขาเอง อย่างไรก็ตามเขาได้ตั้งสมมุติฐานซึ่งเทียบเท่ากับข้อที่ห้า

Ibn al-Haytham (Alhazen) (965-1039) ซึ่งเป็นนักคณิตศาสตร์อาหรับทำให้ความพยายามที่พิสูจน์สมมุติขนานโดยใช้หลักฐานจากความขัดแย้ง , ^[11]ในระหว่างที่เขาแนะนำแนวคิดของการเคลื่อนไหวและการเปลี่ยนแปลงเข้ามาในรูปทรงเรขาคณิต ^[12]เขาสูตรสี่เหลี่ยมแลมเบิร์ซึ่งชื่อบอริสอับราโมวิ Rozenfeld ว่า "Ibn al-Haytham-Lambert รูปสี่เหลี่ยม" ^[13]และหลักฐานความพยายามของเขาที่มีองค์ประกอบคล้ายกับที่พบในรูปสี่เหลี่ยมแลมเบิร์และความจริงเพลย์แฟร์ ^[14]

นักคณิตศาสตร์ชาวเปอร์เซียนักดาราศาสตร์นักปรัชญาและกวีOmar Khayyám (1050–1123) พยายามที่จะพิสูจน์ข้อที่ห้าจากข้อสันนิษฐานอื่นที่ให้ไว้อย่างชัดเจน (ตามหลักที่สี่ในห้าประการเนื่องจากปราชญ์ ( อริสโตเติล ) กล่าวคือ "สอง เส้นตรงที่มาบรรจบกันจะตัดกันและเป็นไปไม่ได้ที่เส้นตรงสองเส้นที่มาบรรจบกันจะเบี่ยงเบนไปในทิศทางที่พวกมันมาบรรจบกัน " ^[15]เขาได้ผลลัพธ์ก่อนหน้านี้บางส่วนที่เป็นของเรขาคณิตทรงรีและเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกแม้ว่าสมมุติฐานของเขาจะไม่รวมความเป็นไปได้ในภายหลัง^[16] Saccheri สี่เหลี่ยมก็ถือว่าเป็นครั้งแรกโดยมาร์ Khayyam ในช่วงปลายศตวรรษที่ 11 ในหนังสือเล่มที่ฉันจากคำอธิบายของความยากลำบากในสมมุติฐานของยุคลิด . ^[13]ซึ่งแตกต่างจากการแสดงความเห็นจำนวนมากใน Euclid ก่อนและหลังเขา (รวมทั้งจิโอวานนี่จิโรลาโม Saccheri ) Khayyámไม่ได้พยายามพิสูจน์หลักฐานคู่ขนานเช่นนี้ แต่ได้มาจากสมมุติฐานที่เท่าเทียมกันของเขาเขาตระหนักดีว่าความเป็นไปได้สามประการเกิดขึ้นจาก ละเว้นสมมุติฐานที่ห้าของ Euclid; ถ้าสองเส้นที่ตั้งฉากกับเส้นหนึ่งข้ามอีกเส้นหนึ่งทางเลือกสุดท้ายอย่างรอบคอบสามารถทำให้มุมภายในที่ตรงกับทั้งสองตั้งฉากเท่ากัน (จากนั้นขนานกับเส้นแรก) ถ้ามุมภายในที่เท่ากันเหล่านั้นเป็นมุมฉากเราจะได้สมมุติฐานที่ห้าของยูคลิดมิฉะนั้นมุมนั้นจะต้องเป็นมุมแหลมหรือป้าน เขาแสดงให้เห็นว่ากรณีเฉียบพลันและป้านนำไปสู่ความขัดแย้งโดยใช้สมมุติฐานของเขา แต่ตอนนี้สมมุติฐานของเขาเป็นที่รู้กันว่าเทียบเท่ากับข้อที่ห้า

Nasir al-Din al-Tusi (1201–1274) ในAl-risala al-shafiya'an al-shakk fi'l-khutut al-mutawaziya ของเขา ( การอภิปรายซึ่งขจัดข้อสงสัยเกี่ยวกับเส้นขนาน ) (1250) ได้เขียนบทวิจารณ์โดยละเอียด ของสมมุติฐานคู่ขนานและการพิสูจน์ความพยายามของKhayyámเมื่อหนึ่งศตวรรษก่อนหน้านี้ Nasir al-Din พยายามที่จะได้รับการพิสูจน์โดยความขัดแย้งของสมมุติฐานคู่ขนาน ^[17]นอกจากนี้เขายังพิจารณากรณีของสิ่งที่เรียกว่ารูปไข่และรูปทรงไฮเพอร์โบลิกแม้ว่าเขาจะตัดมันออกไปทั้งคู่ ^[16]

เรขาคณิตแบบยูคลิดรูปไข่และไฮเพอร์โบลิก Parallel Postulate เป็นที่พอใจสำหรับแบบจำลองของรูปทรงเรขาคณิตแบบยุคลิดเท่านั้น

Sadr al-Din บุตรชายของ Nasir al-Din (บางครั้งเรียกว่า " Pseudo-Tusi ") เขียนหนังสือเรื่องนี้ในปี ค.ศ. 1298 โดยอาศัยความคิดในภายหลังของบิดาของเขาซึ่งนำเสนอข้อโต้แย้งแรกสุดสำหรับสมมติฐานที่ไม่ใช่แบบยุคลิด เทียบเท่ากับสมมุติฐานคู่ขนาน "เขาแก้ไขทั้งระบบสัจพจน์และสมมุติฐานแบบยูคลิดเป็นหลักและการพิสูจน์ข้อเสนอมากมายจากองค์ประกอบ " ^{[17] [18]}งานของเขาได้รับการตีพิมพ์ในกรุงโรมในปี 1594 และได้รับการศึกษาโดยนักเรขาคณิตชาวยุโรป งานนี้เป็นจุดเริ่มต้นสำหรับงานของ Saccheri ในเรื่องนี้^[17]ซึ่งเปิดขึ้นพร้อมกับการวิจารณ์งานของ Sadr al-Din และงานของ Wallis ^[19]

Giordano Vitale (1633-1711) ในหนังสือEuclide restituo (1680, 1686) ใช้รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน Khayyam-Saccheri เพื่อพิสูจน์ว่าถ้าจุดสามจุดมีความเท่ากันบนฐาน AB และแผ่นซีดีการประชุมสุดยอด AB และ CD จะมีความเท่ากันทุกที่ Girolamo Saccheri (1667-1733) ดำเนินการตามแนวเดียวกันของการให้เหตุผลอย่างละเอียดถี่ถ้วนมากขึ้นโดยได้รับความไร้สาระอย่างถูกต้องจากกรณีป้าน (การดำเนินการเช่น Euclid จากสมมติฐานโดยนัยที่สามารถขยายเส้นไปเรื่อย ๆ และมีความยาวไม่สิ้นสุด) แต่ล้มเหลวในการหักล้าง กรณีเฉียบพลัน (แม้ว่าเขาจะพยายามโน้มน้าวตัวเองอย่างผิด ๆ ก็ตาม)

ในปี ค.ศ. 1766 โยฮันน์แลมเบิร์ตเขียน แต่ไม่ได้ตีพิมพ์Theorie der Parallellinienซึ่งเขาพยายามเช่นเดียวกับที่ Saccheri ทำเพื่อพิสูจน์ข้อที่ห้า เขาทำงานกับรูปที่เราเรียกกันในปัจจุบันว่ารูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนแลมเบิร์ตซึ่งเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านข้างที่มีมุมฉากสามมุม เขากำจัดความเป็นไปได้อย่างรวดเร็วที่มุมที่สี่จะเป็นมุมป้านเช่นเดียวกับ Saccheri และKhayyámจากนั้นจึงดำเนินการพิสูจน์หลายทฤษฎีภายใต้สมมติฐานของมุมแหลม ต่างจาก Saccheri เขาไม่เคยรู้สึกว่าเขาขัดแย้งกับสมมติฐานนี้ เขาได้พิสูจน์ผลลัพธ์ที่ไม่ใช่แบบยุคลิดว่าผลรวมของมุมในรูปสามเหลี่ยมเพิ่มขึ้นเมื่อพื้นที่ของสามเหลี่ยมลดลงและสิ่งนี้ทำให้เขาคาดเดาถึงความเป็นไปได้ของแบบจำลองของกรณีเฉียบพลันบนทรงกลมของรัศมีจินตภาพ เขาไม่ได้ดำเนินความคิดนี้ต่อไป ^[20]

ที่Khayyámและ Saccheri พยายามพิสูจน์ข้อที่ห้าของ Euclid โดยการพิสูจน์ทางเลือกเดียวที่เป็นไปได้ในที่สุดศตวรรษที่สิบเก้าก็ได้เห็นนักคณิตศาสตร์สำรวจทางเลือกเหล่านั้นและค้นพบรูปทรงเรขาคณิตที่สอดคล้องกันอย่างมีเหตุผลซึ่งเป็นผล ในปีพ. ศ. 2372 Nikolai Ivanovich Lobachevsky ได้ตีพิมพ์เรื่องราวของเรขาคณิตเฉียบพลันในวารสารรัสเซียที่คลุมเครือ (ตีพิมพ์ซ้ำในปี พ.ศ. 2383 ในภาษาเยอรมัน) ในปีพ. ศ. 2374 János Bolyaiรวมอยู่ในหนังสือของพ่อของเขาภาคผนวกที่อธิบายรูปทรงเรขาคณิตเฉียบพลันซึ่งเขาได้พัฒนาขึ้นโดยไม่ต้องสงสัยเลยว่า Lobachevsky เป็นอิสระ Carl Friedrich Gaussได้ศึกษาปัญหานี้เช่นกัน แต่เขาไม่ได้เผยแพร่ผลการวิจัยใด ๆ ของเขา เมื่อได้ยินผลของ Bolyai ในจดหมายจากพ่อของBolyai Farkas Bolyaiเกาส์กล่าวว่า:

“ ถ้าฉันเริ่มต้นด้วยการบอกว่าฉันไม่สามารถยกย่องงานนี้ได้คุณจะต้องประหลาดใจไปชั่วขณะ แต่ฉันไม่สามารถพูดเป็นอย่างอื่นได้การยกย่องก็คือการยกย่องตัวเองจริงๆแล้วเนื้อหาทั้งหมดของงานเส้นทางที่ดำเนินไป โดยลูกชายของคุณผลลัพธ์ที่เขานำไปนั้นตรงกับการทำสมาธิของฉันเกือบทั้งหมดซึ่งครอบงำจิตใจของฉันส่วนหนึ่งในช่วงสามสิบหรือสามสิบห้าปีที่ผ่านมา " ^[21]

รูปทรงเรขาคณิตที่ได้รับการพัฒนาต่อมาโดยLobachevsky , RiemannและPoincaréเป็นรูปเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิก (กรณีเฉียบพลัน) และรูปทรงรี (กรณีป้าน) ความเป็นอิสระของสมมุติฐานคู่ขนานจากสัจพจน์อื่น ๆ ของ Euclid ได้รับการพิสูจน์โดยEugenio Beltramiในปีพ. ศ. 2411

การสนทนาของสมมุติฐานคู่ขนาน: ถ้าผลรวมของมุมภายในทั้งสองเท่ากับ 180 °เส้นจะขนานกันและจะไม่มีวันตัดกัน

Euclid ไม่ได้อ้างถึงการสนทนาของสมมุติฐานที่ห้าของเขาซึ่งเป็นวิธีหนึ่งในการแยกแยะรูปทรงเรขาคณิตแบบยูคลิดจากเรขาคณิตทรงรี องค์ประกอบประกอบด้วยข้อพิสูจน์ของข้อความเทียบเท่า (เล่มที่ 1 ข้อเสนอ 27): ถ้าเส้นตรงที่ตกลงบนเส้นตรงสองเส้นทำให้มุมสลับกันเป็นเส้นตรงเส้นตรงจะขนานกัน ดังที่เดอมอร์แกน^[22]ชี้ให้เห็นสิ่งนี้มีเหตุผลเทียบเท่ากับ (เล่มที่ 1 ข้อเสนอที่ 16) ผลลัพธ์เหล่านี้ไม่ได้ขึ้นอยู่กับสมมุติฐานที่ห้า แต่ต้องใช้สมมุติฐานที่สอง^[23]ซึ่งละเมิดในรูปทรงรี

ความพยายามที่จะพิสูจน์ได้ว่ามีเหตุผลสมมุติขนานมากกว่าความจริงที่แปด^[24]ถูกวิพากษ์วิจารณ์โดยอาร์เธอร์ชอในโลกที่จะเป็นและความคิด อย่างไรก็ตามข้อโต้แย้งที่โชเพนเฮาเออร์ใช้คือสมมุติฐานนั้นเห็นได้ชัดโดยการรับรู้ไม่ใช่ว่าไม่ใช่ผลทางตรรกะของสัจพจน์อื่น ๆ ^[25]

สมมุติขนานเทียบเท่าตามที่แสดงใน^[26]เพื่อร่วมของLotschnittaxiomและความจริงของอริสโตเติล ในอดีตระบุว่าเส้นตั้งฉากกับด้านข้างของมุมฉากตัดกันในขณะที่ข้อหลังระบุว่าไม่มีขอบเขตบนสำหรับความยาวของระยะทางจากขาของมุมไปยังขาอีกข้างหนึ่ง ดังที่แสดงใน^[27]สมมุติฐานคู่ขนานเทียบเท่ากับการรวมกันของรูปแบบอุบัติการณ์ - เรขาคณิตต่อไปนี้ของLotschnittaxiomและสัจพจน์ของอริสโตเติล :

ด้วยเส้นขนานสามเส้นมีเส้นที่ตัดกันทั้งสามเส้น

เมื่อกำหนดเส้น a และเส้นตัดกันที่แตกต่างกันสองเส้น m และ n แต่ละเส้นต่างจาก a มีเส้น g ซึ่งตัดกับ a และ m แต่ไม่ใช่ n

• เรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิด

• Carroll, Lewis , Euclid และคู่แข่งสมัยใหม่ของเขา Dover ไอ 0-486-22968-8
• Faber, Richard L. (1983), รากฐานของเรขาคณิตแบบยุคลิดและไม่ใช่ยุคลิดนิวยอร์ก: Marcel Dekker Inc. , ISBN 0-8247-1748-1
• เฮนเดอร์สัน, เดวิดดับเบิลยู.; Taimiņa, Daina (2005), Experiencing Geometry: Euclidean and Non-Euclidean with History (3rd ed.), Upper Saddle River, NJ: Pearson Prentice Hall, ISBN 0-13-143748-8
• Katz, Victor J. (1998), History of Mathematics: An Introduction , Addison-Wesley , ISBN 0-321-01618-1, OCLC  38199387
• Rozenfeld, Boris A. (1988), A History of Non-Euclidean Geometry: Evolution of the Concept of a Geometric Space , Springer Science + Business Media , ISBN 0-387-96458-4, OCLC  15550634
• Smith, John D. (1992), "The Remarkable Ibn al-Haytham", The Mathematical Gazette , Mathematical Association , 76 (475): 189–198, doi : 10.2307 / 3620392 , JSTOR  3620392
• บูทรีปิแอร์; Gries, Charly; นาร์บูกซ์, จูเลียน; Schreck, Pascal (2019), "หลักการคู่ขนานและสัจพจน์ความต่อเนื่อง: การศึกษาเชิงกลไกในตรรกะสัญชาตญาณโดยใช้ Coq" , Journal of Automated Reasoning , 62 : 1–68, doi : 10.1007 / s10817-017-9422-8 , S2CID  25900234
• Pambuccian, วิกเตอร์; Schacht, Celia (2021), "The ubiquitous axiom" , Results in Mathematics , 76 (3): 1--39, doi : 10.1007 / s00025-021-01424-3

• บนเทือกเขาเกาส์

Eder, Michelle (2000), Views of Euclid's Parallel Postulate in Ancient Greece and in Medieval Islam , Rutgers University , สืบค้นเมื่อ 2008-01-23