บรรทัดฐาน (คณิตศาสตร์)

กำหนดช่องว่างเวกเตอร์ ${\ displaystyle V}$เหนือฟิลด์ย่อย Fของจำนวนเชิงซ้อน${\ displaystyle \ mathbb {C}}$เป็นบรรทัดฐานในVเป็นฟังก์ชั่นมูลค่าจริง ${\ displaystyle p: V \ to \ mathbb {R}}$ ด้วยคุณสมบัติดังต่อไปนี้โดยที่ ${\ displaystyle | s |}$หมายถึงค่าสัมบูรณ์ตามปกติของสเกลาร์${\ displaystyle s}$: ^[2]

1. Subadditivity / Triangle อสมการ :${\ displaystyle p (x + y) \ leq p (x) + p (y)}$ สำหรับทุกอย่าง ${\ displaystyle x, y \ in V}$.
2. ความสม่ำเสมอที่แน่นอน :${\ displaystyle p (sx) = \ left | s \ right | p (x)}$ สำหรับทุกอย่าง ${\ displaystyle x \ in V}$ และสเกลาร์ทั้งหมด ${\ displaystyle s}$.
3. ความชัดเจนเชิงบวก /การแยกจุด : สำหรับทุกคน${\ displaystyle x \ in V}$, ถ้า ${\ displaystyle p (x) = 0}$ แล้ว ${\ displaystyle x = 0}$.
   • เนื่องจากคุณสมบัติ (2) หมายถึง ${\ displaystyle p (0) = 0}$,นักเขียนบางคนเปลี่ยนสถานที่ให้บริการ (3) ที่มีสภาพเทียบเท่า: สำหรับทุก${\ displaystyle x \ in V}$, ${\ displaystyle p (x) = 0}$ ถ้าและเฉพาะในกรณีที่ ${\ displaystyle x = 0}$.

เซมินอร์มบน${\ displaystyle V}$ เป็นฟังก์ชัน ${\ displaystyle p: V \ to \ mathbb {R}}$ที่มีคุณสมบัติ (1) และ (2) ^[3]ดังนั้นโดยเฉพาะอย่างยิ่งทุกบรรทัดฐานยังเป็นเซมินอร์ม (และเป็นฟังก์ชันซับไลน์ด้วย ) อย่างไรก็ตามมีเซมินอร์ที่ไม่ใช่บรรทัดฐาน คุณสมบัติ (1) และ (2) บ่งบอกว่าถ้า${\ displaystyle p}$ เป็นบรรทัดฐาน (หรือโดยทั่วไปมากกว่าเซมินอร์ม) แล้ว ${\ displaystyle p (0) = 0}$ และนั่น ${\ displaystyle p}$ ยังมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

4. การไม่เนกาติวิตี :${\ displaystyle p (x) \ geq 0}$ สำหรับทุกอย่าง ${\ displaystyle x \ in V}$.

ผู้เขียนบางคนรวมถึงการไม่ปฏิเสธเป็นส่วนหนึ่งของคำจำกัดความของ "บรรทัดฐาน" แม้ว่าจะไม่จำเป็นก็ตาม

บรรทัดฐานที่เท่าเทียมกัน

สมมติว่าPและQเป็นสองบรรทัดฐาน (หรือ seminorms) บนปริภูมิเวกเตอร์V จากนั้นPและQจะเรียกว่าเทียบเท่าถ้ามีอยู่คงที่จริงสองคและCมีค > 0เช่นว่าสำหรับทุกเวกเตอร์วี ∈ V ,

${\ displaystyle cq (\ mathbf {v}) \ leq p (\ mathbf {v}) \ leq Cq (\ mathbf {v}).}$

บรรทัดฐานPและQเทียบเท่าและถ้าหากพวกเขาก่อให้เกิดโครงสร้างเดียวกันบนV ^[4]สองบรรทัดฐานใด ๆ บนปริภูมิที่มีมิติ จำกัด จะเทียบเท่ากัน แต่สิ่งนี้ไม่ได้ขยายไปถึงช่องว่างมิติที่ไม่มีที่สิ้นสุด ^[4]

ถ้าเป็นบรรทัดฐาน ${\ displaystyle p: X \ to \ mathbb {R}}$กำหนดให้บนเวกเตอร์สเปซXจากนั้นบรรทัดฐานของเวกเตอร์v ∈ Xมักจะแสดงโดยการใส่ไว้ในเส้นแนวตั้งคู่:${\ displaystyle \ left \ | v \ right \ | = p (v)}$. บางครั้งสัญกรณ์ดังกล่าวยังใช้ถ้าpเป็นเพียงเซมินอร์ม สำหรับความยาวของเวกเตอร์ในปริภูมิแบบยุคลิด (ซึ่งเป็นตัวอย่างของบรรทัดฐานดังที่อธิบายไว้ด้านล่าง ) สัญกรณ์| v | เส้นแนวตั้งเดี่ยวก็แพร่หลายเช่นกัน

ในLaTeXและภาษามาร์กอัปที่เกี่ยวข้องแถบคู่ของสัญกรณ์บรรทัดฐานจะถูกป้อนด้วยมาโคร\|ซึ่งแสดงผลเป็น${\ displaystyle \ |}$. เส้นแนวตั้งสองครั้งที่ใช้เพื่อแสดงเส้นคู่ขนาน , ผู้ประกอบการแบบคู่ขนานและนอกจากขนานถูกป้อนด้วย\parallelและมีการแสดงผลเป็น${\ displaystyle \ parallel}$. แม้ว่าจะดูคล้ายกัน แต่มาโครทั้งสองนี้จะต้องไม่สับสนเนื่องจาก\|หมายถึงวงเล็บและ\parallelหมายถึงตัวดำเนินการ ดังนั้นขนาดและช่องว่างรอบ ๆ จึงไม่ได้คำนวณในลักษณะเดียวกัน ในทำนองเดียวกันแถบแนวตั้งเดี่ยวจะถูกเข้ารหัส|เมื่อใช้เป็นวงเล็บและ\midเมื่อใช้เป็นตัวดำเนินการ

ในUnicodeจุดรหัสของอักขระ "เส้นแนวตั้งคู่" ‖คือ U + 2016 สัญลักษณ์ "เส้นแนวตั้งคู่" ไม่ควรสับสนกับสัญลักษณ์ "ขนานกับ" Unicode U + 2225 (∥) ซึ่งมีจุดมุ่งหมายเพื่อแสดงถึงเส้นขนานและตัวดำเนินการขนาน ไม่ควรสับสนเส้นแนวตั้งคู่กับ Unicode U + 01C1 (ǁ) ซึ่งมีวัตถุประสงค์เพื่อแสดงการคลิกด้านข้างในภาษาศาสตร์

เส้นแนวตั้งเดียว | เรียกว่า "เส้นแนวตั้ง" ใน Unicode และจุดรหัสคือ U + 007C

พื้นที่เวกเตอร์ (จริงหรือเชิงซ้อน) ทุกตัวยอมรับบรรทัดฐาน: ถ้าx _• = ( x _i ) _{i ∈ ฉัน}เป็นพื้นฐาน Hamelสำหรับปริภูมิเวกเตอร์Xแล้วแผนที่มูลค่าจริงที่ส่งx = ∑ _{i ∈ I} s _i x _i ∈ X (ที่ทั้งหมด แต่ขีดหลายเกลาs _ฉัน 0) เพื่อΣ _{ฉัน ∈ ฉัน} | s _ฉัน | เป็นบรรทัดฐานในX ^[5]นอกจากนี้ยังมีบรรทัดฐานจำนวนมากที่แสดงคุณสมบัติเพิ่มเติมที่ทำให้เป็นประโยชน์สำหรับปัญหาเฉพาะ

บรรทัดฐานค่าสัมบูรณ์

ค่าสัมบูรณ์

${\ displaystyle \ left \ | x \ right \ | = \ left | x \ right |}$

เป็นบรรทัดฐานในหนึ่งมิติช่องว่างเวกเตอร์ที่เกิดขึ้นจากจริงหรือตัวเลขที่ซับซ้อน ^[6]

บรรทัดฐานใด ๆpบนปริภูมิเวกเตอร์มิติเดียวXจะเทียบเท่า (ถึงมาตราส่วน) กับค่าสัมบูรณ์ซึ่งหมายความว่ามีไอโซมอร์ฟิซึ่มที่คงไว้ซึ่งบรรทัดฐานของช่องว่างเวกเตอร์${\ displaystyle f: \ mathbb {F} \ ถึง X}$,ที่ไหน${\ displaystyle \ mathbb {F}}$ เป็นอย่างใดอย่างหนึ่ง ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ หรือ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$,และบรรทัดฐานรักษาหมายความว่า${\ displaystyle \ left | x \ right | = p (f (x))}$. isomorphism นี้ได้รับจากการส่ง${\ displaystyle 1 \ in \ mathbb {F}}$เป็นเวกเตอร์ของบรรทัดฐาน1ซึ่งมีอยู่เนื่องจากเวกเตอร์ดังกล่าวได้มาจากการคูณเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ด้วยค่าผกผันของบรรทัดฐาน

บรรทัดฐานแบบยุคลิด

บนอวกาศยุคลิดnมิติ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$,ความคิดที่ใช้งานง่ายของความยาวของเวกเตอร์x = ( x ₁ , x ₂ , ... , x _n )ถูกจับโดยสูตร^[7]

${\ displaystyle \ left \ | {\ boldsymbol {x}} \ right \ | _ {2}: = {\ sqrt {x_ {1} ^ {2} + \ cdots + x_ {n} ^ {2}}} .}$

นี้เป็นบรรทัดฐานยุคลิดซึ่งจะช่วยให้ระยะสามัญที่ได้จากต้นกำเนิดไปที่จุดX -a ผลมาจากทฤษฎีบทพีทาโกรัส การดำเนินการนี้อาจเรียกว่า "SRSS" ซึ่งเป็นคำย่อของs quare r oot ของs um of s quares ^[8]

บรรทัดฐานแบบยุคลิดเป็นบรรทัดฐานที่ใช้กันมากที่สุด ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$, ^[7]แต่มีบรรทัดฐานอื่น ๆ บนพื้นที่เวกเตอร์นี้ดังที่จะแสดงด้านล่าง อย่างไรก็ตามบรรทัดฐานเหล่านี้เทียบเท่ากันในแง่ที่ว่าพวกเขาทั้งหมดกำหนดโทโพโลยีเดียวกัน

ผลคูณภายในของเวกเตอร์สองตัวของปริภูมิเวกเตอร์แบบยุคลิดคือผลคูณจุดของเวกเตอร์พิกัดบนพื้นฐานออร์ ธ อนปกติ ดังนั้นบรรทัดฐานแบบยุคลิดสามารถเขียนในรูปแบบที่ไม่มีพิกัดได้เช่นเดียวกับ

${\ displaystyle \ left \ | {\ boldsymbol {x}} \ right \ |: = {\ sqrt {{\ boldsymbol {x}} \ cdot {\ boldsymbol {x}}}}$

บรรทัดฐานยุคลิดจะเรียกว่าL ²บรรทัดฐาน , ^[9] ℓ ²บรรทัดฐาน , 2 บรรทัดฐานหรือตารางปกติ ; ดูL Pพื้นที่ มันกำหนดฟังก์ชั่นในระยะที่เรียกว่าระยะเวลาในยุคลิด , L ²ระยะหรือℓ ²ระยะ

ชุดของเวกเตอร์ใน ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n + 1}}$ซึ่งยุคลิดบรรทัดฐานที่กำหนดรูปแบบคงที่บวกn -sphere

บรรทัดฐานของจำนวนเชิงซ้อนแบบยุคลิด

บรรทัดฐานแบบยุคลิดของจำนวนเชิงซ้อนคือค่าสัมบูรณ์ (เรียกอีกอย่างว่าโมดูลัส ) ของมันถ้าระนาบเชิงซ้อนถูกระบุด้วยระนาบแบบยุคลิด ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$. การระบุจำนวนเชิงซ้อนx + i yเป็นเวกเตอร์ในระนาบยุคลิดทำให้ปริมาณ${\ textstyle {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}}$ (ตามที่ออยเลอร์แนะนำเป็นครั้งแรก) บรรทัดฐานแบบยุคลิดที่เกี่ยวข้องกับจำนวนเชิงซ้อน

ควอเทอร์เนียนและอ็อกโทเนียน

มีตรงสี่จีบแบบยุคลิด Hurwitzมากกว่าตัวเลขจริง นี่คือจำนวนจริง${\ displaystyle \ mathbb {R}}$จำนวนเชิงซ้อน ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ควอเทอร์เนียน ${\ displaystyle \ mathbb {H}}$และสุดท้ายคือoctonions ${\ displaystyle \ mathbb {O}}$โดยที่ขนาดของช่องว่างเหล่านี้เหนือจำนวนจริงคือ1 , 2 , 4และ8ตามลำดับ บรรทัดฐานที่ยอมรับได้เปิดอยู่${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ และ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$คือฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์ตามที่กล่าวไว้ก่อนหน้านี้

บรรทัดฐานบัญญัติเปิดอยู่ ${\ displaystyle \ mathbb {H}}$ของquaternionsถูกกำหนดโดย

${\ displaystyle \ lVert q \ rVert = {\ sqrt {\, qq ^ {*} ~}} = {\ sqrt {\, q ^ {*} q ~}} = {\ sqrt {\, a ^ {2 } + b ^ {2} + c ^ {2} + d ^ {2} ~}}}$

สำหรับทุกควอเทอร์เนียน ${\ displaystyle q = a + b \, \ mathbf {i} + c \, \ mathbf {j} + d \, \ mathbf {k}}$ ใน ${\ displaystyle \ mathbb {H}}$. นี่เป็นเช่นเดียวกับบรรทัดฐานของยุคลิด${\ displaystyle \ mathbb {H}}$ ถือเป็นปริภูมิเวกเตอร์ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}}$. ในทำนองเดียวกันบรรทัดฐานที่ยอมรับได้เกี่ยวกับอ็อกโทเนียนก็เป็นเพียงบรรทัดฐานแบบยุคลิด${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {8}}$.

ช่องว่างเชิงบรรทัดฐานแบบ จำกัด มิติ

บนพื้นที่ซับซ้อนn -dimensional ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$,บรรทัดฐานที่พบมากที่สุดคือ

${\ displaystyle \ left \ | {\ boldsymbol {z}} \ right \ |: = {\ sqrt {\ left | z_ {1} \ right | ^ {2} + \ cdots + \ left | z_ {n} \ ขวา | ^ {2}}} = {\ sqrt {z_ {1} {\ bar {z}} _ {1} + \ cdots + z_ {n} {\ bar {z}} _ {n}}} }$

ในกรณีนี้บรรทัดฐานสามารถแสดงเป็นรากที่สองของผลคูณภายในของเวกเตอร์และตัวมันเอง:

${\ displaystyle \ left \ | {\ boldsymbol {x}} \ right \ |: = {\ sqrt {{\ boldsymbol {x}} ^ {H} ~ {\ boldsymbol {x}}}},}$

ที่ไหน ${\ displaystyle {\ boldsymbol {x}}}$แสดงเป็นเวกเตอร์คอลัมน์ ([ x ₁ ; x ₂ ; …; x _n ])และ${\ displaystyle {\ boldsymbol {x}} ^ {H}}$หมายถึงมันtranspose ผัน

สูตรนี้ใช้ได้กับพื้นที่ภายในผลิตภัณฑ์ใด ๆรวมถึงยุคลิดและช่องว่างเชิงซ้อน สำหรับพื้นที่ที่ซับซ้อนสินค้าภายในเทียบเท่ากับสินค้า dot ซับซ้อน ดังนั้นสูตรในกรณีนี้สามารถเขียนได้โดยใช้สัญกรณ์ต่อไปนี้:

${\ displaystyle \ left \ | {\ boldsymbol {x}} \ right \ |: = {\ sqrt {{\ boldsymbol {x}} \ cdot {\ boldsymbol {x}}}}$

บรรทัดฐานแท็กซี่หรือบรรทัดฐานของแมนฮัตตัน

${\ displaystyle \ left \ | {\ boldsymbol {x}} \ right \ | _ {1}: = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ left | x_ {i} \ right |.}$

ชื่อที่เกี่ยวข้องกับระยะทางที่รถแท็กซี่มีการขับในรูปสี่เหลี่ยมตารางที่จะได้รับจากต้นทางไปยังจุดx

ชุดของเวกเตอร์ที่มี 1 บรรทัดฐานที่กำหนดรูปแบบคงที่พื้นผิวของที่polytope ข้ามเทียบเท่ามิติกับที่ของบรรทัดฐานลบ 1. แท็กซี่ปกติจะเรียกว่าℓ ₁บรรทัดฐาน ระยะทางที่ได้มาจากบรรทัดฐานนี้เรียกว่าระยะทางที่แมนฮัตตันหรือℓ ₁ระยะทาง

1-norm เป็นเพียงผลรวมของค่าสัมบูรณ์ของคอลัมน์

ในทางตรงกันข้าม,

${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i}}$

ไม่ใช่บรรทัดฐานเพราะอาจให้ผลลัพธ์เชิงลบ

p -บรรทัดฐาน

ให้p ≥ 1เป็นจำนวนจริง พี -norm (ที่เรียกว่า${\ displaystyle \ ell _ {p}}$-norm) ของเวกเตอร์ ${\ displaystyle \ mathbf {x} = (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})}$คือ^[7]

${\ displaystyle \ left \ | \ mathbf {x} \ right \ | _ {p}: = \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} \ left | x_ {i} \ right | ^ {p } \ right) ^ {1 / p}.}$

สำหรับP = 1 , เราได้รับบรรทัดฐานรถแท็กซี่ , ^[6]สำหรับP = 2 , เราได้รับบรรทัดฐานยุคลิดและเป็นพีแนวทาง∞ พี -norm แนวทางบรรทัดฐานอินฟินิตี้หรือบรรทัดฐานสูงสุด :

${\ displaystyle \ left \ | \ mathbf {x} \ right \ | _ {\ infty}: = \ max _ {i} \ left | x_ {i} \ right |.}$

พี -norm เกี่ยวข้องกับทั่วไปเฉลี่ยหรืออำนาจเฉลี่ย

คำนิยามนี้ยังคงเป็นที่น่าสนใจบางอย่างสำหรับ0 < P <1แต่ฟังก์ชั่นส่งผลให้ไม่ได้กำหนดบรรทัดฐาน, ^[10]เพราะละเมิดความไม่เท่าเทียมกันสามเหลี่ยม สิ่งที่เป็นจริงสำหรับกรณีของ0 < p <1นี้แม้ในอะนาล็อกที่วัดได้ก็คือคลาสL ^{p ที่}สอดคล้องกันคือปริภูมิเวกเตอร์และมันก็เป็นความจริงเช่นกันที่ฟังก์ชัน

${\ displaystyle \ int _ {X} \ left | f (x) -g (x) \ right | ^ {p} ~ \ mathrm {d} \ mu}$

(โดยไม่ต้องพี TH ราก) กำหนดระยะทางที่ทำให้L ^P ( X )เป็นตัวชี้วัดที่สมบูรณ์ปริภูมิเวกเตอร์ทอพอโลยี พื้นที่เหล่านี้มีความสนใจอย่างมากในการวิเคราะห์การทำงาน , ทฤษฎีความน่าจะเป็นและการวิเคราะห์สอดคล้องกัน อย่างไรก็ตามนอกเหนือจากกรณีเล็กน้อยพื้นที่เวกเตอร์โทโพโลยีนี้ไม่นูนเฉพาะที่และไม่มีรูปแบบเชิงเส้นที่ไม่เป็นศูนย์ต่อเนื่อง ดังนั้นพื้นที่คู่โทโพโลยีจึงมีเพียงค่าศูนย์เท่านั้น

อนุพันธ์ย่อยของp -norm กำหนดโดย

${\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {k}}} \ left \ | \ mathbf {x} \ right \ | _ {p} = {\ frac {x_ {k} \ left | x_ { k} \ right | ^ {p-2}} {\ left \ | \ mathbf {x} \ right \ | _ {p} ^ {p-1}}}}$

อนุพันธ์เทียบกับxจึงเป็น

${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ | \ mathbf {x} \ | _ {p}} {\ partial \ mathbf {x}}} = {\ frac {\ mathbf {x} \ circ | \ mathbf {x } | ^ {p-2}} {\ | \ mathbf {x} \ | _ {p} ^ {p-1}}}}$

โดยที่∘หมายถึงผลิตภัณฑ์ Hadamardและ${\ displaystyle | \ cdot |}$ ใช้สำหรับค่าสัมบูรณ์ของแต่ละองค์ประกอบของเวกเตอร์

สำหรับกรณีพิเศษของp = 2จะกลายเป็น

${\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {k}}} \ left \ | \ mathbf {x} \ right \ | _ {2} = {\ frac {x_ {k}} {\ left \ | \ mathbf {x} \ right \ | _ {2}}},}$

หรือ

${\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial \ mathbf {x}}} \ left \ | \ mathbf {x} \ right \ | _ {2} = {\ frac {\ mathbf {x}} {\ ซ้าย \ | \ mathbf {x} \ right \ | _ {2}}}}$

บรรทัดฐานสูงสุด (กรณีพิเศษของ: infinity norm, uniform norm หรือ supremum norm)

${\ displaystyle \ left \ | x \ right \ | _ {\ infty} = 1}$

ถ้า ${\ displaystyle \ mathbf {x}}$ เป็นเวกเตอร์บางตัวที่ ${\ displaystyle \ mathbf {x} = (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n})}$,แล้ว:

${\ displaystyle \ left \ | \ mathbf {x} \ right \ | _ {\ infty}: = \ max \ left (\ left | x_ {1} \ right |, \ ldots, \ left | x_ {n} \ ขวา | \ right).}$

ชุดของเวกเตอร์ที่มีบรรทัดฐานอินฟินิตี้เป็นค่าคงที่ให้ครูปแบบพื้นผิวของที่hypercubeกับขอบยาว 2 ค

บรรทัดฐานเป็นศูนย์

ในการวิเคราะห์ความน่าจะเป็นและเชิงฟังก์ชันบรรทัดฐานศูนย์ทำให้เกิดโทโพโลยีเมตริกที่สมบูรณ์สำหรับพื้นที่ของฟังก์ชันที่วัดได้และสำหรับF-spaceของลำดับด้วย F - norm${\ textstyle (x_ {n}) \ mapsto \ sum _ {n} {2 ^ {- n} x_ {n} / (1 + x_ {n})}}$. ^{[11] ใน}ที่นี้เราหมายถึงF-normฟังก์ชันที่มีมูลค่าจริง${\ displaystyle \ lVert \ cdot \ rVert}$บน F-space ที่มีระยะห่างdเช่นนั้น${\ displaystyle \ lVert x \ rVert = d (x, 0)}$. F -norm อธิบายไว้ข้างต้นไม่ได้เป็นบรรทัดฐานในความรู้สึกปกติเพราะขาดคุณสมบัติต้องเป็นเนื้อเดียวกัน

ระยะการขัดขวางของเวกเตอร์จากศูนย์

ในเรขาคณิตเมตริกเมตริกที่ไม่ต่อเนื่องจะใช้ค่าหนึ่งสำหรับจุดที่แตกต่างกันและเป็นศูนย์ เมื่อนำมาใช้การประสานงานที่ชาญฉลาดเพื่อให้องค์ประกอบของปริภูมิเวกเตอร์ที่ระยะทางที่ไม่ต่อเนื่องกำหนดระยะ Hammingซึ่งเป็นสิ่งสำคัญในการเข้ารหัสและทฤษฎีสารสนเทศ ในด้านจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อนระยะห่างของเมตริกที่ไม่ต่อเนื่องจากศูนย์จะไม่เป็นเนื้อเดียวกันในจุดที่ไม่ใช่ศูนย์ แน่นอนว่าระยะห่างจากศูนย์ยังคงเป็นหนึ่งเนื่องจากอาร์กิวเมนต์ที่ไม่ใช่ศูนย์เข้าใกล้ศูนย์ อย่างไรก็ตามระยะห่างที่ไม่ต่อเนื่องของตัวเลขจากศูนย์จะตอบสนองคุณสมบัติอื่น ๆ ของบรรทัดฐานนั่นคืออสมการสามเหลี่ยมและความแน่นอนเชิงบวก เมื่อนำองค์ประกอบที่ชาญฉลาดไปใช้กับเวกเตอร์ระยะห่างที่ไม่ต่อเนื่องจากศูนย์จะทำงานเหมือน "บรรทัดฐาน" ที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันซึ่งจะนับจำนวนส่วนประกอบที่ไม่ใช่ศูนย์ในอาร์กิวเมนต์เวกเตอร์ อีกครั้ง "บรรทัดฐาน" ที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันนี้ไม่ต่อเนื่อง

ในการประมวลผลสัญญาณและสถิติ , เดวิด Donohoเรียกว่าเป็นศูนย์ " บรรทัดฐาน"ในเครื่องหมายคำพูด ตามสัญกรณ์ของ Donoho ศูนย์ "norm" ของxเป็นเพียงจำนวนพิกัดที่ไม่ใช่ศูนย์ของxหรือระยะทาง Hamming ของเวกเตอร์จากศูนย์ เมื่อเป็นเช่นนี้ "บรรทัดฐาน" เป็นภาษาท้องถิ่นชุด bounded มันเป็นข้อ จำกัด ของพี -norms เป็นPแนวทาง 0. แน่นอนศูนย์ "บรรทัดฐาน" คือไม่ได้อย่างแท้จริงบรรทัดฐานเพราะมันไม่ได้เป็นเนื้อเดียวกันในเชิงบวก อันที่จริงมันไม่ใช่แม้แต่ F-norm ในความหมายที่อธิบายไว้ข้างต้นเนื่องจากมันไม่ต่อเนื่องร่วมกันและหลาย ๆ ส่วนเกี่ยวกับอาร์กิวเมนต์สเกลาร์ในการคูณสเกลาร์ - เวกเตอร์และเกี่ยวกับอาร์กิวเมนต์เวกเตอร์ ใช้คำศัพท์ในทางที่ผิดวิศวกรบางคน^{[ ใคร? ]}งด Donoho ของเครื่องหมายคำพูดไม่เหมาะสมและโทรไปยังหมายเลขของ nonzeros ฟังก์ชันL ⁰บรรทัดฐานสะท้อนสัญกรณ์สำหรับพื้นที่เกอของฟังก์ชั่นที่สามารถวัดได้

มิติที่ไม่มีที่สิ้นสุด

การวางนัยทั่วไปของบรรทัดฐานข้างต้นกับส่วนประกอบจำนวนไม่ จำกัด นำไปสู่ช่องว่างℓ pและL pโดยมีบรรทัดฐาน

${\ displaystyle \ left \ | x \ right \ | _ {p} = {\ bigg (} \ sum _ {i \ in \ mathbb {N}} \ left | x_ {i} \ right | ^ {p} { \ bigg)} ^ {1 / p} {\ text {and}} \ \ left \ | f \ right \ | _ {p, X} = {\ bigg (} \ int _ {X} \ left | f ( x) \ right | ^ {p} ~ \ mathrm {d} x {\ bigg)} ^ {1 / p}}$

สำหรับลำดับและฟังก์ชันที่มีมูลค่าซับซ้อน ${\ displaystyle X \ subseteq \ mathbb {R} ^ {n}}$ตามลำดับซึ่งสามารถสรุปได้ทั่วไปเพิ่มเติม (ดูการวัดฮาร์ )

ผลิตภัณฑ์ภายในใด ๆก่อให้เกิดบรรทัดฐานตามธรรมชาติ${\ textstyle \ left \ | x \ right \ |: = {\ sqrt {\ langle x, x \ rangle}}}$.

ตัวอย่างอื่น ๆ ของเวกเตอร์ปริภูมิเชิงบรรทัดฐานที่ไม่มีที่สิ้นสุดสามารถพบได้ในบทความBanach space

บรรทัดฐานของคอมโพสิต

บรรทัดฐานอื่น ๆ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$สามารถสร้างได้โดยการรวมข้างต้น ตัวอย่างเช่น

${\ displaystyle \ left \ | x \ right \ |: = 2 \ left | x_ {1} \ right | + {\ sqrt {3 \ left | x_ {2} \ right | ^ {2} + \ max (\ ซ้าย | x_ {3} \ right |, 2 \ left | x_ {4} \ right |) ^ {2}}}}$

เป็นบรรทัดฐาน ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}}$.

สำหรับบรรทัดฐานใด ๆ และใด ๆนึง แปลงเชิงเส้น เราสามารถกำหนดบรรทัดฐานใหม่ของxเท่ากับ

${\ displaystyle \ left \ | Ax \ right \ |.}$

ใน 2 มิติด้วยการหมุนA 45 °และมาตราส่วนที่เหมาะสมสิ่งนี้จะเปลี่ยนบรรทัดฐานของรถแท็กซี่เป็นค่ามาตรฐานสูงสุด แต่ละAใช้กับบรรทัดฐานของรถแท็กซี่จนถึงการผกผันและการเปลี่ยนแกนจะให้ลูกบอลหน่วยที่แตกต่างกัน: สี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีรูปร่างขนาดและการวางแนวเฉพาะ

ใน 3 มิติสิ่งนี้จะคล้ายกัน แต่แตกต่างกันสำหรับ 1-norm ( octahedrons ) และบรรทัดฐานสูงสุด ( ปริซึมที่มีฐานสี่เหลี่ยมด้านขนาน)

มีตัวอย่างของบรรทัดฐานที่ไม่ได้กำหนดโดยสูตร "entrywise" ตัวอย่างเช่นMinkowski ทำงานของร่างกายนูนที่สมมาตรตรงกลางใน${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ (ศูนย์กลางที่ศูนย์) กำหนดบรรทัดฐาน ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$(ดู§การจำแนกเซมินอร์ม: ชุดการดูดซับแบบนูนด้านล่าง)

สูตรทั้งหมดข้างต้นยังให้ผลตามบรรทัดฐานด้วย ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$ โดยไม่ต้องดัดแปลง

นอกจากนี้ยังมีบรรทัดฐานในช่องว่างของการฝึกอบรม (กับรายการจริงหรือซับซ้อน) ที่เรียกว่าบรรทัดฐานเมทริกซ์

ในพีชคณิตนามธรรม

ให้Eเป็นส่วนขยายขอบเขตของสนามkของแยกออกไม่ได้ระดับ P ^μและให้kมีพีชคณิตปิดK หากแตกต่างembeddingsของEมี{ σ _J } _Jแล้วบรรทัดฐาน Galois ทฤษฎีขององค์ประกอบอัลฟ่า ∈ Eคือค่า${\ textstyle \ left (\ prod _ {j} {\ sigma _ {k} (\ alpha)} \ right) ^ {p ^ {\ mu}}}$. เนื่องจากฟังก์ชันนั้นเป็นเนื้อเดียวกันของระดับ[ E : k ]บรรทัดฐานของทฤษฎี Galois จึงไม่ใช่บรรทัดฐานในความหมายของบทความนี้ อย่างไรก็ตามราก[ E : k ] ที่สองของบรรทัดฐาน (สมมติว่าแนวคิดนั้นสมเหตุสมผล) เป็นบรรทัดฐาน ^[12]

algebras องค์ประกอบ

แนวคิดของบรรทัดฐาน ${\ displaystyle N (z)}$ในการจัดองค์ประกอบ algebrasจะไม่แบ่งปันคุณสมบัติตามปกติของบรรทัดฐานเนื่องจากอาจเป็นลบหรือเป็นศูนย์สำหรับz ≠ 0 พีชคณิตองค์ประกอบ( A , *, N )ประกอบด้วยพีชคณิตบนฟิลด์ A , อินโวลูชั่น * และกำลังสอง แบบฟอร์ม น ( z ) = z z ∗ {\ displaystyle N (z) = zz ^ {*}} ,ซึ่งเรียกว่า "บรรทัดฐาน"

คุณลักษณะเฉพาะของ algebras องค์ประกอบคือคุณสมบัติhomomorphismของN : สำหรับผลิตภัณฑ์wzของสององค์ประกอบwและzของพีชคณิตองค์ประกอบบรรทัดฐานของมันเป็นไปตาม${\ displaystyle N (wz) = N (w) N (z)}$. สำหรับ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$, ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$, ${\ displaystyle \ mathbb {H}}$,และOบรรทัดฐานองค์ประกอบพีชคณิตเป็นตารางจากบรรทัดฐานที่กล่าวข้างต้น ในกรณีดังกล่าวเป็นบรรทัดฐานเป็นรูปแบบสมการกำลังสองแน่นอน ใน algebras องค์ประกอบอื่น ๆ บรรทัดฐานเป็นรูปแบบสมการกำลังสองทิศทาง

สำหรับบรรทัดฐานใด ๆหน้าบนปริภูมิเวกเตอร์Vที่ไม่เท่าเทียมกันสามเหลี่ยมกลับถือ: สำหรับทุกUและV ∈ V ,

p ( u ± v ) ≥ | p ( u ) - p ( v ) |

ถ้าu  : X → Yเป็นแผนที่เชิงเส้นต่อเนื่องระหว่างปริภูมิที่กำหนดบรรทัดฐานของuและบรรทัดฐานของทรานสโพสของuจะเท่ากัน ^[13]

สำหรับบรรทัดฐานL pเรามีความไม่เท่าเทียมกันของHölder ^[14]

${\ displaystyle \ left | \ langle x, y \ rangle \ right | \ leq \ left \ | x \ right \ | _ {p} \ left \ | y \ right \ | _ {q} \ qquad {\ frac { 1} {p}} + {\ frac {1} {q}} = 1.}$

กรณีพิเศษคืออสมการ Cauchy – Schwarz : ^[14]

${\ displaystyle \ left | \ langle x, y \ rangle \ right | \ leq \ left \ | x \ right \ | _ {2} \ left \ | y \ right \ | _ {2}}$

ภาพประกอบของ วงกลมหน่วยในบรรทัดฐานที่แตกต่างกัน

ความเท่าเทียมกัน

แนวคิดของวงกลมหน่วย (ชุดของเวกเตอร์ทั้งหมดของบรรทัดฐาน 1) มีความแตกต่างกันในบรรทัดฐานที่แตกต่างกัน: สำหรับ 1-norm วงกลมของหน่วยเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสสำหรับ 2-norm (บรรทัดฐานแบบยุคลิด) เป็นที่รู้จักกันดีวงกลมหน่วยในขณะที่สำหรับบรรทัดฐานอินฟินิตี้มันเป็นกำลังสองที่แตกต่างกัน สำหรับp -norm ใด ๆมันคือเส้นเหนือเส้นที่มีแกนที่เท่ากัน (ดูภาพประกอบประกอบ) เนื่องจากคำจำกัดความของบรรทัดฐานวงกลมหน่วยจะต้องนูนและสมมาตรตรงกลาง (ตัวอย่างเช่นลูกบอลหน่วยอาจเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้า แต่ไม่สามารถเป็นรูปสามเหลี่ยมและ${\ displaystyle p \ geq 1}$สำหรับp -norm)

ในแง่ของปริภูมิเวกเตอร์เซมินอร์มกำหนดโทโพโลยีบนอวกาศและนี่คือโทโพโลยีของHausdorffอย่างแม่นยำเมื่อเซมินอร์มสามารถแยกความแตกต่างระหว่างเวกเตอร์ที่แตกต่างกันซึ่งเทียบเท่าอีกครั้งกับเซมินอร์ที่เป็นบรรทัดฐาน โทโพโลยีที่กำหนดไว้ (โดยบรรทัดฐานหรือเซมินอร์ม) สามารถเข้าใจได้ทั้งในรูปแบบของลำดับหรือเซตเปิด ลำดับของเวกเตอร์${\ displaystyle \ {v_ {n} \}}$กล่าวกันว่ามาบรรจบกันในบรรทัดฐานเป็น${\ displaystyle v}$,ถ้า${\ displaystyle \ left \ | v_ {n} -v \ right \ | \ to 0}$ เช่น ${\ displaystyle n \ to \ infty}$. โทโพโลยีประกอบด้วยชุดทั้งหมดที่สามารถแสดงเป็นสหภาพของลูกบอลเปิดได้ ถ้า( X , || ⋅ ||)เป็นช่องว่างปกติแล้ว|| x - y || = || x - z || + || z - y || สำหรับx , y , z ∈ Xทั้งหมด ^[15]

สองบรรทัดฐาน‖•‖ _αและ‖•‖ _βบนปริภูมิเวกเตอร์Vจะเรียกว่าเทียบเท่าถ้ามันทำให้เกิดโทโพโลยีเดียวกัน ^[4]ซึ่งจะเกิดขึ้นก็ต่อเมื่อมีจำนวนจริงบวกCและDเช่นนั้นสำหรับxทั้งหมดในV

${\ displaystyle C \ left \ | x \ right \ | _ {\ alpha} \ leq \ left \ | x \ right \ | _ {\ beta} \ leq D \ left \ | x \ right \ | _ {\ alpha }.}$

ตัวอย่างเช่นถ้าp > r ≥ 1 บน${\ displaystyle \ mathbf {C} ^ {n}}$,แล้ว

${\ displaystyle \ left \ | x \ right \ | _ {p} \ leq \ left \ | x \ right \ | _ {r} \ leq n ^ {(1 / r-1 / p)} \ left \ | x \ right \ | _ {p}}$^[16]

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง,

${\ displaystyle \ left \ | x \ right \ | _ {2} \ leq \ left \ | x \ right \ | _ {1} \ leq {\ sqrt {n}} \ left \ | x \ right \ | _ {2}}$

${\ displaystyle \ left \ | x \ right \ | _ {\ infty} \ leq \ left \ | x \ right \ | _ {2} \ leq {\ sqrt {n}} \ left \ | x \ right \ | _ {\ infty}}$

${\ displaystyle \ left \ | x \ right \ | _ {\ infty} \ leq \ left \ | x \ right \ | _ {1} \ leq n \ left \ | x \ right \ | _ {\ infty}, }$

นั่นคือ,

${\ displaystyle \ left \ | x \ right \ | _ {\ infty} \ leq \ left \ | x \ right \ | _ {2} \ leq \ left \ | x \ right \ | _ {1} \ leq { \ sqrt {n}} \ left \ | x \ right \ | _ {2} \ leq n \ left \ | x \ right \ | _ {\ infty}}$

ถ้าพื้นที่เวกเตอร์เป็นมิติ จำกัด จริงหรือเชิงซ้อนบรรทัดฐานทั้งหมดจะเทียบเท่ากัน ในทางกลับกันในกรณีของช่องว่างเวกเตอร์มิติที่ไม่มีที่สิ้นสุดบรรทัดฐานทั้งหมดจะไม่เทียบเท่ากัน

บรรทัดฐานที่เท่าเทียมกันกำหนดแนวคิดเดียวกันของความต่อเนื่องและการบรรจบกันและไม่จำเป็นต้องแยกแยะเพื่อวัตถุประสงค์หลายประการ จะแม่นยำมากขึ้นโครงสร้างเครื่องแบบที่กำหนดโดยบรรทัดฐานเทียบเท่าในปริภูมิเวกเตอร์คือisomorphic สม่ำเสมอ

seminorms ทั้งหมดบนปริภูมิเวกเตอร์Vสามารถแบ่งได้ในแง่ของการอย่างนูน ดูดซับย่อย ของV สำหรับแต่ละส่วนย่อยดังกล่าวสอดคล้องกับเซมินอร์มp _Aเรียกว่ามาตรวัดของAซึ่งกำหนดเป็น

พี ( x ) = INF { α  : α > 0 x ∈ αA }

โดยที่ 'inf' คือinfimumโดยมีคุณสมบัติที่

{ x  : p _A ( x ) <1} ⊆ A ⊆ { x  : p _A ( x ) ≤ 1}

ตรงกันข้าม:

พื้นที่เวกเตอร์ทอพอโลยีแบบนูนในพื้นที่ใด ๆมีพื้นฐานเฉพาะที่ซึ่งประกอบด้วยชุดนูนอย่างแน่นอน วิธีการทั่วไปในการสร้างพื้นฐานดังกล่าวคือการใช้ family ( p ) ของ seminorms pที่แยกจุด : การรวบรวมจุดตัดของเซตทั้งหมด { p <1 / n } จะเปลี่ยนช่องว่างให้เป็นพื้นที่เวกเตอร์โทโพโลยีแบบนูนเฉพาะที่เพื่อให้ ทุกหน้าเป็นอย่างต่อเนื่อง

วิธีการดังกล่าวจะใช้ในการออกแบบที่อ่อนแอและอ่อนแอโครงสร้าง *

กรณีปกติ:

สมมติว่าตอนนี้ที่ ( P ) มีเพียงหนึ่งเดียว P : ตั้งแต่ ( P ) จะ แยก , Pเป็นบรรทัดฐานและ = { P <1}คือเปิด บอลหน่วย จากนั้น Aคือพื้นที่ใกล้เคียงที่มีขอบเขตนูนอย่างแน่นอน ของ 0 และ p = p _Aนั้นต่อเนื่องกัน

การสนทนาเป็นผลมาจาก Andrey Kolmogorov : พื้นที่เวกเตอร์โทโพโลยีที่นูนในพื้นที่และมีขอบเขตเฉพาะที่เป็น เรื่องปกติ แม่นยำ:

ถ้า Vเป็นพื้นที่ใกล้เคียงที่มีขอบนูนอย่างแน่นอนมาตรวัด g _V (เพื่อให้ V = { g _V <1} ) เป็นบรรทัดฐาน

• บรรทัดฐานไม่สมมาตร  - ลักษณะทั่วไปของแนวคิดของบรรทัดฐาน
• F-seminorm
• Gowers บรรทัดฐาน
• ระยะทาง Mahalanobis
• ขนาด (คณิตศาสตร์)
• Matrix Norm  - บรรทัดฐานบนปริภูมิเวกเตอร์ของเมทริกซ์
• Minkowski ทำงานได้
• บรรทัดฐานของตัวดำเนินการ
• พารานอร์ม
• ความสัมพันธ์ของบรรทัดฐานและเมตริก
• เซมินอร์ม
• ฟังก์ชัน Sublinear

• บูร์บากินิโคลัส (2530) [2524]. สิ่งที่ต้องทำคือใช้โทโพโลจิกแบบเวกเตอร์ [ Topological Vector Spaces: บทที่ 1–5 ] แอนนาเล Institut de l'ฟูริเยร์ องค์ประกอบเดmathématique 2 . แปลโดย Eggleston, HG; Madan, S. Berlin New York: Springer-Verlag ISBN 978-3-540-42338-6. OCLC  17499190
• Khaleelulla, SM (1982). counterexamples ในช่องว่าง เอกสารประกอบการบรรยายวิชาคณิตศาสตร์ . 936 . เบอร์ลิน, ไฮเดลเบิร์ก, New York: Springer-Verlag ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC  8588370
• Narici, ลอว์เรนซ์ ; Beckenstein, Edward (2011). ช่องว่าง topological เวกเตอร์ คณิตศาสตร์บริสุทธิ์และประยุกต์ (Second ed.) Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834
• เชเฟอร์เฮลมุทเอช ; วูล์ฟแมนเฟรดพี (2542). ช่องว่าง topological เวกเตอร์ GTM 8 (ฉบับที่สอง) New York, NY: Springer New York Imprint Springer ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135
• เทรฟส์, ฟรองซัวส์ (2549) [2510]. ช่องว่าง topological เวกเตอร์และการกระจายเมล็ด Mineola, NY: Dover Publications ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322
• วิลันสกีอัลเบิร์ต (2013). วิธีการที่ทันสมัยในช่องว่าง topological เวกเตอร์ Mineola, New York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC  849801114 .