การวิเคราะห์ที่ไม่เป็นมาตรฐาน

องค์ประกอบที่ไม่ใช่ศูนย์ของฟิลด์ที่สั่งซื้อ ${\ displaystyle \ mathbb {F}}$น้อยที่สุดก็ต่อเมื่อค่าสัมบูรณ์มีค่าน้อยกว่าองค์ประกอบใด ๆ ของ${\ displaystyle \ mathbb {F}}$ ของแบบฟอร์ม ${\ displaystyle {\ frac {1} {n}}}$สำหรับ ${\ displaystyle n}$จำนวนธรรมชาติมาตรฐาน เขตออกคำสั่งให้มีองค์ประกอบเล็กที่เรียกว่าไม่ใช่ Archimedean โดยทั่วไปการวิเคราะห์ที่ไม่เป็นมาตรฐานเป็นรูปแบบใด ๆ ของคณิตศาสตร์ที่อาศัยรูปแบบที่ไม่เป็นมาตรฐานและหลักการถ่ายโอน ฟิลด์ที่ตรงตามหลักการโอนย้ายสำหรับจำนวนจริงคือฟิลด์ไฮเปอร์เรียลและการวิเคราะห์จริงที่ไม่เป็นมาตรฐานจะใช้ฟิลด์เหล่านี้เป็นโมเดลจำนวนจริงที่ไม่เป็นมาตรฐาน

แนวทางดั้งเดิมของโรบินสันมีพื้นฐานมาจากแบบจำลองที่ไม่เป็นมาตรฐานเหล่านี้ของเขตข้อมูลจำนวนจริง หนังสือพื้นฐานคลาสสิกของเขาในหัวข้อการวิเคราะห์ที่ไม่เป็นมาตรฐานได้รับการตีพิมพ์ในปีพ. ศ. 2509 และยังคงพิมพ์อยู่ ^[8]ในหน้า 88 โรบินสันเขียนว่า:

การมีอยู่ของแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่ไม่เป็นมาตรฐานถูกค้นพบโดยThoralf Skolem (1934) วิธีการของ Skolem เล็งเห็นถึงการสร้างพลังพิเศษ [... ]

ต้องแก้ไขปัญหาทางเทคนิคหลายประการเพื่อพัฒนาแคลคูลัสของ infinitesimals ตัวอย่างเช่นไม่เพียงพอที่จะสร้างฟิลด์ตามลำดับที่มีขนาดเล็ก ดูบทความเกี่ยวกับตัวเลขไฮเปอร์เรียลสำหรับการอภิปรายเกี่ยวกับแนวคิดที่เกี่ยวข้องบางส่วน

ในส่วนนี้เราได้สรุปแนวทางที่ง่ายที่สุดวิธีหนึ่งในการกำหนดเขตข้อมูลไฮเปอร์เรียล ${\ displaystyle ^ {*} \ mathbb {R}}$. ปล่อย${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ เป็นฟิลด์ของจำนวนจริงและปล่อยให้ ${\ displaystyle \ mathbb {N}}$เป็นค่ากึ่งของจำนวนธรรมชาติ แสดงโดย${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {\ mathbb {N}}}$ชุดของลำดับของจำนวนจริง ฟิลด์${\ displaystyle ^ {*} \ mathbb {R}}$ ถูกกำหนดให้เป็นผลหารที่เหมาะสมของ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {\ mathbb {N}}}$ดังต่อไปนี้. ใช้ฟิลเตอร์อัลตร้าฟิลเตอร์ที่ไม่เป็นหลัก ${\ displaystyle F \ subseteq P (\ mathbb {N})}$. โดยเฉพาะอย่างยิ่ง,${\ displaystyle F}$มีตัวกรองFréchet พิจารณาคู่ของลำดับ

${\ displaystyle u = (u_ {n}), v = (v_ {n}) \ in \ mathbb {R} ^ {\ mathbb {N}}}$

เราว่าอย่างนั้น ${\ displaystyle u}$ และ ${\ displaystyle v}$ จะเทียบเท่ากันหากตรงกับชุดของดัชนีที่เป็นสมาชิกของ ultrafilter หรือในสูตร:

${\ displaystyle \ {n \ in \ mathbb {N}: u_ {n} = v_ {n} \} \ ใน F}$

ผลหารของ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {\ mathbb {N}}}$ โดยความสัมพันธ์การเทียบเท่าผลลัพธ์คือเขตข้อมูลไฮเปอร์เรียล ${\ displaystyle ^ {*} \ mathbb {R}}$สถานการณ์ที่สรุปโดยสูตร ${\ displaystyle ^ {*} \ mathbb {R} = {\ mathbb {R} ^ {\ mathbb {N}}} / {F}}$.

มีเหตุผลอย่างน้อยสามประการที่ควรพิจารณาการวิเคราะห์ที่ไม่เป็นมาตรฐาน: ประวัติศาสตร์การสอนและทางเทคนิค

ประวัติศาสตร์

มากของการพัฒนาที่เก่าแก่ที่สุดของแคลคูลัสโดยนิวตันและไลบ์นิซเป็นสูตรที่ใช้นิพจน์เช่นจำนวนน้อยและปริมาณที่หายไป ดังที่ระบุไว้ในบทความเกี่ยวกับตัวเลขไฮเปอร์เรียลสูตรเหล่านี้ถูกวิพากษ์วิจารณ์อย่างกว้างขวางโดยGeorge Berkeleyและคนอื่น ๆ เป็นความท้าทายในการพัฒนาทฤษฎีการวิเคราะห์ที่สอดคล้องกันโดยใช้สัตว์เล็ก ๆ น้อย ๆ และบุคคลแรกที่ทำเช่นนี้ด้วยวิธีที่น่าพอใจคืออับราฮัมโรบินสัน ^[6]

ในปีพ. ศ. 2501 Curt Schmieden และDetlef Laugwitz ได้ตีพิมพ์บทความ "Eine Erweiterung der Infinitesimalrechnung" ^[9] ("An Extension of Infinitesimal Calculus") ซึ่งเสนอให้มีการสร้างวงแหวนที่มีขนาดเล็ก แหวนถูกสร้างขึ้นจากลำดับของจำนวนจริง ลำดับสองลำดับถือว่าเท่ากันหากมีความแตกต่างกันในองค์ประกอบจำนวน จำกัด เท่านั้น การคำนวณทางคณิตศาสตร์ถูกกำหนดอย่างเป็นองค์ประกอบ อย่างไรก็ตามวงแหวนที่สร้างด้วยวิธีนี้มีตัวหารเป็นศูนย์จึงไม่สามารถเป็นฟิลด์ได้

น้ำท่วมทุ่ง

H. Jerome Keisler , David Tallและนักการศึกษาคนอื่น ๆ ยืนยันว่าการใช้ infinitesimals นั้นง่ายกว่าและเข้าใจได้ง่ายกว่าของนักเรียนมากกว่าแนวทาง"epsilon – delta"สำหรับแนวคิดการวิเคราะห์ ^[10]แนวทางนี้บางครั้งสามารถให้การพิสูจน์ผลลัพธ์ได้ง่ายกว่าการกำหนดสูตร epsilon - delta ที่สอดคล้องกันของการพิสูจน์ การทำให้เข้าใจง่ายส่วนใหญ่มาจากการใช้กฎที่ง่ายมากของการคำนวณทางคณิตศาสตร์ที่ไม่เป็นมาตรฐานดังต่อไปนี้:

infinitesimal × finite = infinitesimal

infinitesimal + infinitesimal = infinitesimal

พร้อมกับหลักการถ่ายโอนที่ระบุไว้ด้านล่าง

อีกโปรแกรมที่สอนไม่เป็นมาตรฐานของการวิเคราะห์คือเอ็ดเวิร์ดเนลสันรักษา 's ทฤษฎีของกระบวนการสุ่ม ^[11]

เทคนิค

งานล่าสุดบางชิ้นได้ทำการวิเคราะห์โดยใช้แนวคิดจากการวิเคราะห์ที่ไม่เป็นมาตรฐานโดยเฉพาะอย่างยิ่งในการตรวจสอบกระบวนการ จำกัด ของสถิติและฟิสิกส์เชิงคณิตศาสตร์ Sergio Albeverioและคณะ ^[12]พูดคุยเกี่ยวกับแอปพลิเคชันเหล่านี้บางส่วน

มีสองแนวทางหลักที่แตกต่างกันในการวิเคราะห์ที่ไม่เป็นมาตรฐาน: วิธีเชิงความหมายหรือแบบจำลอง - ทฤษฎีและแนวทางวากยสัมพันธ์ แนวทางทั้งสองนี้ใช้กับวิชาอื่น ๆ ของคณิตศาสตร์นอกเหนือจากการวิเคราะห์ ได้แก่ ทฤษฎีจำนวนพีชคณิตและโทโพโลยี

โรบินสันสูตรดั้งเดิมของการวิเคราะห์ที่ไม่เป็นมาตรฐานตกอยู่ในประเภทของวิธีการความหมาย ในฐานะที่พัฒนาโดยเขาในเอกสารของเขาก็จะขึ้นอยู่กับการศึกษาแบบจำลอง (โดยเฉพาะรุ่นอิ่มตัว ) ของทฤษฎี ตั้งแต่งานของโรบินสันปรากฏตัวครั้งแรกวิธีการเชิงความหมายที่ง่ายกว่า (เนื่องจาก Elias Zakon) ได้รับการพัฒนาโดยใช้วัตถุเชิงทฤษฎีที่เรียกว่าโครงสร้างขั้นสูง ในวิธีการนี้รูปแบบของทฤษฎีที่ถูกแทนที่ด้วยวัตถุที่เรียกว่าโครงสร้าง V ( S )มากกว่าชุดS เริ่มต้นจากโครงสร้างV ( S )หนึ่งในการสร้างวัตถุอื่น* V ( S )โดยใช้UltraPowerก่อสร้างร่วมกับการทำแผนที่V ( S ) → * V ( S )ที่ตรงกับหลักการถ่ายโอน แผนที่ * คุณสมบัติที่เกี่ยวข้องอย่างเป็นทางการของV ( S )และ* V ( S ) ยิ่งไปกว่านั้นเป็นไปได้ที่จะพิจารณารูปแบบของความอิ่มตัวที่ง่ายกว่าที่เรียกว่าความอิ่มตัวที่นับได้ แนวทางที่เรียบง่ายนี้ยังเหมาะสำหรับการใช้งานโดยนักคณิตศาสตร์ที่ไม่ใช่ผู้เชี่ยวชาญในทฤษฎีแบบจำลองหรือตรรกะ

วิธีประโยคต้องมากน้อยตรรกะและรูปแบบทฤษฎีการเข้าใจและใช้ วิธีการนี้ได้รับการพัฒนาในปี 1970 ในช่วงกลางโดยนักคณิตศาสตร์เอ็ดเวิร์ดเนลสัน เนลสันแนะนำสูตรการวิเคราะห์ที่ไม่เป็นมาตรฐานตามความเป็นจริงทั้งหมดซึ่งเขาเรียกว่าทฤษฎีเซตภายใน (IST) ^[13] IST เป็นส่วนขยายของทฤษฎีเซตของZermelo – Fraenkel (ZF) ซึ่งควบคู่ไปกับความสัมพันธ์ระหว่างสมาชิกแบบไบนารีพื้นฐาน∈โดยแนะนำมาตรฐานเพรดิเคตแบบเอกพจน์ใหม่ซึ่งสามารถนำไปใช้กับองค์ประกอบของเอกภพทางคณิตศาสตร์ร่วมกับสัจพจน์บางประการสำหรับการให้เหตุผล ด้วยเพรดิเคตใหม่นี้

การวิเคราะห์ที่ไม่เป็นมาตรฐานเชิงวากยสัมพันธ์ต้องใช้ความระมัดระวังอย่างมากในการใช้หลักการของการสร้างเซต (เรียกอย่างเป็นทางการว่าสัจพจน์ของความเข้าใจ ) ซึ่งนักคณิตศาสตร์มักจะยอมรับ เป็นจุดเนลสันออกการเข้าใจผิดในการให้เหตุผลใน IST เป็นที่ของการสร้างชุดที่ผิดกฎหมาย ตัวอย่างเช่นไม่มีการตั้งค่าใน IST ที่มีองค์ประกอบเป็นจำนวนเต็มมาตรฐานอย่างแม่นยำ (ที่นี่มาตรฐานเข้าใจในความหมายของเพรดิเคตใหม่) เพื่อหลีกเลี่ยงการสร้างเซตที่ผิดกฎหมายต้องใช้เพรดิเคตของ ZFC เพื่อกำหนดเซ็ตย่อยเท่านั้น ^[13]

อีกตัวอย่างหนึ่งของวิธีการทางวากยสัมพันธ์คือทฤษฎีเซตทางเลือก^{[14] ที่}นำเสนอโดยPetr Vopěnkaโดยพยายามค้นหาสัจพจน์ทฤษฎีเซตที่เข้ากันได้กับการวิเคราะห์ที่ไม่เป็นมาตรฐานมากกว่าสัจพจน์ของ ZF

ในปี 2018 Abdeljalil Saghe ได้เสนอแนวทางที่ชัดเจนในการสร้างเขตข้อมูลของการวิเคราะห์ที่ไม่เป็นมาตรฐานโดยไม่ต้องใช้ตัวกรองอัลตร้าฟิลเตอร์

ในปีเดียวกันของปี 2018 Anggha Nugraha ได้นำแนวทางอื่นมาใช้เพื่อสร้างสิ่งที่เขาเรียกว่าNaïve Infinitesimal Analysis ^{[15] [16]}แนวทางของเขาอยู่ในระหว่างสองแนวทางที่กล่าวถึงข้างต้น (แนวทางเชิงความหมายและวากยสัมพันธ์) เขาเสนอแบบจำลองทางความหมาย${\ displaystyle \ mathbb {R ^ {Z _ {<}}}}$นั่นคือในบางวิธีในรูปแบบที่เรียบง่ายของ ${\ displaystyle \ mathbb {^ {*} R}}$. อย่างไรก็ตามเขาไม่ปล่อยให้สิ่งนี้เข้ามาขัดขวางเป้าหมายในการใช้ภาษากลางในการพูดคุยเกี่ยวกับทั้งสองอย่าง${\ displaystyle \ mathbb {R ^ {Z _ {<}}}}$ และ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$. ตามความเป็นจริงเขายังพูดถึงไวยากรณ์ เขาใช้หลักการบางอย่างที่ชวนให้นึกถึงเบลล์^[17]เช่นกัน - microstability และเช่นนั้น อย่างไรก็ตามเขาไม่จำเป็นต้องแยกความแตกต่างระหว่างชุด "ภายใน" และ "ภายนอก" เนื่องจากกลยุทธ์ของเขาคือChunk & Permeateดังนั้นเขาจึงไม่ต้องกังวลกับความไม่ลงรอยกันที่เกิดขึ้นจากการรวมกันของทั้งสอง ข้อดีอีกอย่างของการใช้แนวทางของเขาคือมันทำงานได้อย่างมีเหตุผลโดยสัญชาตญาณโดยไม่ต้องจมอยู่กับความซับซ้อนทางเทคนิค (เกินไป)

หนังสือการวิเคราะห์ที่ไม่เป็นมาตรฐานของอับราฮัมโรบินสันตีพิมพ์ในปี 2509 หัวข้อบางส่วนที่พัฒนาในหนังสือเล่มนี้มีอยู่แล้วในบทความปี 2504 ของเขาโดยใช้ชื่อเรื่องเดียวกัน (โรบินสัน 1961) ^[18]นอกจากจะมีการวิเคราะห์ที่ไม่เป็นมาตรฐานฉบับสมบูรณ์เล่มแรกแล้วหนังสือเล่มนี้ยังมีส่วนประวัติศาสตร์โดยละเอียดที่โรบินสันท้าทายความคิดเห็นบางส่วนที่ได้รับเกี่ยวกับประวัติศาสตร์ของคณิตศาสตร์โดยอาศัยการรับรู้การวิเคราะห์ที่ไม่ได้มาตรฐานก่อนหน้านี้เกี่ยวกับสัตว์ที่ไม่ได้มาตรฐานว่าเป็นเอนทิตีที่ไม่สอดคล้องกัน ดังนั้นโรบินสันจึงท้าทายแนวคิดที่ว่า" ทฤษฎีบทสรุป " ของออกัสติน - หลุยส์เคาชีในCours d'Analyseเกี่ยวกับการบรรจบกันของชุดฟังก์ชันต่อเนื่องนั้นไม่ถูกต้องและเสนอให้มีการตีความสมมติฐานที่อิงน้อยที่สุดซึ่งส่งผลให้เกิดทฤษฎีบทที่ถูกต้อง .

อับราฮัมโรบินสันและอัลเลนเบิร์นสไตน์ใช้การวิเคราะห์ที่ไม่เป็นมาตรฐานเพื่อพิสูจน์ว่าตัวดำเนินการเชิงเส้นแบบพหุนามขนาดกะทัดรัดทุกตัวบนพื้นที่ฮิลเบิร์ตมีพื้นที่ย่อยที่ไม่แน่นอน ^[19]

ป.ร. ให้ผู้ประกอบการทีในพื้นที่ Hilbert Hพิจารณาวงโคจรของจุดโวลต์ในHภายใต้ iterates ของT การใช้แกรมชมิดท์คนหนึ่งได้เป็นประจำ orthonormal ( อี_ฉัน )สำหรับH Let ( H _ฉัน )เป็นลำดับที่ซ้อนกันที่สอดคล้องกันของ "ประสานงาน" subspaces ของH เมทริกซ์a _{i, j}แสดงTเทียบกับ( e _i )เกือบจะเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านบนในแง่ที่ว่าสัมประสิทธิ์a _{i +1, i}เป็นสัมประสิทธิ์เส้นทแยงมุมย่อยที่ไม่ใช่ศูนย์เท่านั้น Bernstein และโรบินสันแสดงให้เห็นว่าถ้าเสื้อมีขนาดกะทัดรัด polynomially แล้วมีดัชนี hyperfinite Wดังกล่าวว่าเมทริกซ์ค่าสัมประสิทธิ์_{W +1 W}เป็นเล็ก ถัดไปพิจารณาสเปซH _Wของ* H หากYในH _Wมีบรรทัดฐานที่แน่นอนแล้วT ( Y )เป็นอนันต์ใกล้กับH W

ตอนนี้ให้T _wเป็นตัวดำเนินการ${\ displaystyle P_ {w} \ circ T}$ทำหน้าที่เกี่ยวกับH _Wที่P _WคือการฉายฉากกับH W แสดงโดยqพหุนามซึ่งทำให้q ( T )มีขนาดกะทัดรัด สเปซย่อยH _wอยู่ภายในของมิติไฮเปอร์ฟินิท โดยการถ่ายโอนรูปสามเหลี่ยมด้านบนของตัวดำเนินการของพื้นที่เวกเตอร์เชิงซ้อนเชิงมิติ จำกัด มีพื้นฐานสเปซฮิลเบิร์ตภายในหรือปกติ( e _k )สำหรับH _wโดยที่kวิ่งจาก1ถึงwดังนั้นแต่ละพื้นที่ย่อยk -dimensional ที่สอดคล้องกันE _kคือT - ตัวแปร แสดงว่าโดยΠ _kฉายไปยังสเปซE k สำหรับเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์xของบรรทัดฐาน จำกัด ในHเราสามารถสันนิษฐานได้ว่าq ( T ) ( x )ไม่ใช่ศูนย์หรือ| q ( T ) ( x ) | > 1เพื่อแก้ไขความคิด เนื่องจากq ( T )เป็นตัวดำเนินการขนาดกะทัดรัด( q ( T _w )) ( x )จึงใกล้q ( T ) ( x )อย่างไม่มีที่สิ้นสุดดังนั้นจึงมี| q ( T _w ) ( x ) | > 1 . ตอนนี้ให้jเป็นดัชนีที่ยิ่งใหญ่ที่สุด${\ displaystyle | q (T_ {w}) \ left (\ Pi _ {j} (x) \ right) | <{\ tfrac {1} {2}}}$. จากนั้นช่องว่างขององค์ประกอบมาตรฐานทั้งหมดที่อยู่ใกล้กับE _jคือสเปซย่อยคงที่ที่ต้องการ

เมื่ออ่านเอกสารฉบับพิมพ์ของ Bernstein และ Robinson Paul Halmosตีความหลักฐานของพวกเขาใหม่โดยใช้เทคนิคมาตรฐาน ^[20]ทั้งเอกสารที่ปรากฏกลับไปกลับมาอยู่ในเรื่องเดียวกันของแปซิฟิกวารสารคณิตศาสตร์ แนวคิดบางอย่างที่ใช้ในการพิสูจน์ของ Halmos ปรากฏขึ้นอีกครั้งในหลายปีต่อมาในผลงานของ Halmos เกี่ยวกับตัวดำเนินการกึ่งสามเหลี่ยม

ผลลัพธ์อื่น ๆ จะได้รับตามแนวของการตีความใหม่หรือการกล่าวซ้ำผลลัพธ์ที่ทราบก่อนหน้านี้ น่าสนใจโดยเฉพาะ Teturo Kamae หลักฐาน^[21]ของทฤษฎีบทแต่ละอัตลักษณ์หรือแอลแวนเดนดและอเล็กซ์วิลคี 's รักษา^[22]ของทฤษฎีบทโกรมอฟที่กลุ่มของการเจริญเติบโตของพหุนาม Larry Manevitz และShmuel Weinbergerใช้การวิเคราะห์ที่ไม่เป็นมาตรฐานเพื่อพิสูจน์ผลลัพธ์ในโทโพโลยีพีชคณิต ^[23]

การมีส่วนร่วมที่แท้จริงของการวิเคราะห์ที่ไม่เป็นมาตรฐานนั้นอยู่ในแนวคิดและทฤษฎีบทที่ใช้ภาษาขยายใหม่ของทฤษฎีเซตที่ไม่เป็นมาตรฐาน ในรายการแอปพลิเคชันใหม่ ๆ ในคณิตศาสตร์มีวิธีการใหม่ ๆ สำหรับความน่าจะเป็น^[11]อุทกพลศาสตร์^[24]ทฤษฎีการวัด^[25]การวิเคราะห์แบบไม่ราบรื่นและฮาร์มอนิก^[26]เป็นต้น

นอกจากนี้ยังมีการใช้งานที่ไม่เป็นมาตรฐานของการวิเคราะห์ทฤษฎีของกระบวนการสุ่มโดยเฉพาะอย่างยิ่งการก่อสร้างของการเคลื่อนไหว Brownianเป็นเดินสุ่ม Albeverio และคณะ ^[12]มีการแนะนำอย่างดีเยี่ยมเกี่ยวกับพื้นที่ของการวิจัยนี้

การประยุกต์ใช้แคลคูลัส

เป็นโปรแกรมประยุกต์ไปสู่การศึกษาคณิตศาสตร์ , เอชเจอโรม Keislerเขียนประถมแคลคูลัส: วิธีการเล็ก ^[10]ครอบคลุมแคลคูลัสที่ไม่เป็นมาตรฐานโดยพัฒนาแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และเชิงอนุพันธ์โดยใช้จำนวนไฮเปอร์เรียลซึ่งรวมถึงองค์ประกอบที่น้อยที่สุด โปรแกรมเหล่านี้ไม่เป็นมาตรฐานของการวิเคราะห์ขึ้นอยู่กับการดำรงอยู่ของส่วนหนึ่งของมาตรฐานของ HyperReal จำกัดR ส่วนมาตรฐานของRชี้แนะเซนต์ ( R )เป็นจำนวนจริงมาตรฐานเพียบใกล้กับR หนึ่งในอุปกรณ์สร้างภาพที่ Keisler ใช้คือกล้องจุลทรรศน์กำลังขยายแบบไม่มีที่สิ้นสุดในจินตนาการเพื่อแยกแยะจุดที่อยู่ใกล้กันอย่างไม่มีที่สิ้นสุด หนังสือของ Keisler ไม่ได้พิมพ์ออกมาแล้ว แต่สามารถหาซื้อได้จากเว็บไซต์ของเขาอย่างอิสระ ดูข้อมูลอ้างอิงด้านล่าง

แม้จะมีความสง่างามและความสนใจของบางแง่มุมของการวิเคราะห์ที่ไม่เป็นมาตรฐานที่ได้รับการวิพากษ์วิจารณ์เปล่งออกมาเป็นอย่างดีเช่นนั้นโดยErrett บิชอป , อเลนคอนเนสและพี Halmos เป็นเอกสารที่วิจารณ์ของการวิเคราะห์ที่ไม่เป็นมาตรฐาน

เมื่อกำหนดชุดSใด ๆโครงสร้างส่วนบนเหนือชุดSคือชุดV ( S ) ที่กำหนดโดยเงื่อนไข

${\ displaystyle V_ {0} (S) = S,}$

${\ displaystyle V_ {n + 1} (S) = V_ {n} (S) \ cup \ wp (V_ {n} (S)),}$

${\ displaystyle V (S) = \ bigcup _ {n \ in \ mathbf {N}} V_ {n} (S).}$

ดังนั้นโครงสร้างส่วนบนเหนือSจึงได้มาโดยเริ่มจากSและทำซ้ำการทำงานของการเชื่อมต่อชุดกำลังของSและการรวมกันของลำดับผลลัพธ์ โครงสร้างส่วนบนเหนือจำนวนจริงรวมถึงโครงสร้างทางคณิตศาสตร์มากมายตัวอย่างเช่นมีสำเนาไอโซมอร์ฟิกของช่องว่างเมตริกที่แยกออกได้ทั้งหมดและช่องว่างโทโพโลยีแบบเมตริซิเบิล เกือบทั้งหมดของคณิตศาสตร์ที่มีความสนใจนักวิเคราะห์ไปในภายในV ( R )

มุมมองการทำงานของการวิเคราะห์ที่ไม่เป็นมาตรฐานคือชุด* Rและการแมป*: V ( R ) → V (* R )ที่ตรงตามคุณสมบัติเพิ่มเติมบางประการ ในการกำหนดหลักการเหล่านี้เราจะกล่าวถึงคำจำกัดความบางประการก่อน

สูตรมีขอบเขตการหาปริมาณหากและเฉพาะในกรณีที่ตัวระบุปริมาณที่เกิดขึ้นในสูตรเท่านั้นที่มีช่วงที่ จำกัด อยู่เหนือชุดนั่นคือรูปแบบทั้งหมด:

${\ displaystyle \ forall x \ in A, \ Phi (x, \ alpha _ {1}, \ ldots, \ alpha _ {n})}$

${\ displaystyle \ อยู่ x \ ใน A, \ Phi (x, \ alpha _ {1}, \ ldots, \ alpha _ {n})}$

ตัวอย่างเช่นสูตร

${\ displaystyle \ forall x \ ใน A, \ อยู่ y \ ใน 2 ^ {B}, \ quad x \ in y}$

มีปริมาณ จำกัด ตัวแปรเชิงปริมาณในระดับสากลxช่วงกว่าที่วัด existentially ตัวแปรYช่วงกว่า powerset ของB ในทางกลับกัน,

${\ displaystyle \ forall x \ ใน A, \ อยู่ y, \ quad x \ ใน y}$

ไม่มีการหาจำนวนที่ จำกัด เนื่องจากการหาปริมาณของyไม่ถูก จำกัด

เซตxอยู่ภายในถ้าxเป็นองค์ประกอบของ * Aสำหรับบางองค์ประกอบAของV ( R )เท่านั้น * ตัวเองเป็นภายในถ้าเป็นV ( R )

ตอนนี้เรากำหนดกรอบตรรกะพื้นฐานของการวิเคราะห์ที่ไม่เป็นมาตรฐาน:

• หลักการขยาย : แมป * เป็นตัวตนบนR
• หลักการถ่ายโอน : สำหรับสูตรใด ๆP ( x ₁ , ... , x _n ) ที่มีการหาจำนวนขอบเขตและด้วยตัวแปรอิสระx ₁ , ... , x _nและสำหรับองค์ประกอบใด ๆA ₁ , ... , A _nของV ( R )ความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้ถือ:

${\ displaystyle P (A_ {1}, \ ldots, A_ {n}) \ iff P (* A_ {1}, \ ldots, * A_ {n})}$

• ความอิ่มตัวที่นับได้ : ถ้า { A _k } _{k ∈ N}เป็นลำดับที่ลดลงของเซตภายในที่ไม่ว่างเปล่าโดยมีkอยู่เหนือจำนวนธรรมชาติดังนั้น

${\ displaystyle \ bigcap _ {k} A_ {k} \ neq \ emptyset}$

เราสามารถแสดงโดยใช้ ultraproducts ว่ามีแผนที่ * ดังกล่าวอยู่ องค์ประกอบของV ( R )จะเรียกว่ามาตรฐาน องค์ประกอบของ* Rจะเรียกว่าหมายเลข HyperReal

สัญลักษณ์* Nหมายถึงจำนวนธรรมชาติที่ไม่เป็นมาตรฐาน โดยหลักการนามสกุลนี้เป็น superset ของN ชุด* N - Nไม่ว่างเปล่า หากต้องการดูสิ่งนี้ให้ใช้ความอิ่มตัวที่นับได้กับลำดับของชุดภายใน

${\ displaystyle A_ {n} = \ {k \ in {^ {*} \ mathbf {N}}: k \ geq n \}}$

ลำดับ{ A _n } _{n ∈ N}มีจุดตัดที่ไม่ว่างเปล่าเพื่อพิสูจน์ผลลัพธ์

เราเริ่มต้นด้วยคำจำกัดความบางประการ: Hyperreals r , sจะปิดไม่สิ้นสุด ถ้าและต่อเมื่อ

${\ displaystyle r \ Cong s \ iff \ forall \ theta \ in \ mathbf {R} ^ {+}, \ | rs | \ leq \ theta}$

ไฮเปอร์เรอัลrนั้นมีค่าน้อยมากก็ต่อเมื่อมันอยู่ใกล้กับ 0 ไม่สิ้นสุดเท่านั้นตัวอย่างเช่นถ้าnเป็นไฮเปอร์อินเทอร์เจอร์เช่นองค์ประกอบของ* N - Nดังนั้น1 / nจะเป็นค่าที่น้อยที่สุด ไฮเปอร์เรียลrถูกจำกัด (หรือจำกัด ) ก็ต่อเมื่อค่าสัมบูรณ์ของมันถูกครอบงำโดย (น้อยกว่า) จำนวนเต็มมาตรฐาน ไฮเปอร์เรอัลที่ จำกัด จะสร้างส่วนย่อยของ* Rที่มีค่าเรียล ในแหวนนี้ hyperreals เล็กเป็นอุดมคติ

ชุดของไฮเปอร์เรอัลที่ จำกัด หรือชุดของไฮเปอร์เรอัลที่น้อยที่สุดคือเซตย่อยภายนอกของV (* R ) ; สิ่งนี้หมายความว่าในทางปฏิบัติคือการหาจำนวนขอบเขตโดยที่ขอบเขตเป็นเซตภายในไม่เคยอยู่ในช่วงของเซตเหล่านี้

ตัวอย่าง : ระนาบ( x , y ) ที่มีxและyตั้งแต่ช่วง* Rอยู่ภายในและเป็นแบบจำลองของเรขาคณิตแบบยุคลิดของระนาบ ระนาบที่มีxและyถูก จำกัด ไว้ที่ค่าที่ จำกัด (คล้ายกับระนาบ Dehn ) เป็นระนาบภายนอกและในระนาบที่ จำกัด นี้จะมีการละเมิดสมมุติฐานคู่ขนาน ตัวอย่างเช่นเส้นใด ๆ ที่ผ่านจุด(0, 1)บนแกนyและมีความชันน้อยที่สุดจะขนานกับแกนx

ทฤษฎีบท. สำหรับ HyperReal จำกัด ใด ๆRมีความเป็นจริงมาตรฐานที่ไม่ซ้ำกันแสดงST ( R )อนันต์ใกล้กับR การทำแผนที่เซนต์เป็น homomorphism แหวนจากแหวน hyperreals จำกัด ให้R

การทำแผนที่ยังอยู่ภายนอก

วิธีหนึ่งในการคิดถึงส่วนมาตรฐานของไฮเปอร์เรียลคือในแง่ของการตัดแบบ Dedekind ; ใด ๆ HyperReal จำกัดsกำหนดตัดโดยพิจารณาคู่ของชุด( L , U )ที่Lคือชุดของ rationals มาตรฐานน้อยกว่าsและUคือชุดของ rationals มาตรฐานขมากกว่าs จำนวนจริงที่สอดคล้องกับ( L , U )สามารถมองเห็นได้เพื่อตอบสนองเงื่อนไขของการเป็นส่วนหนึ่งของมาตรฐานของs

ลักษณะเฉพาะของความต่อเนื่องที่เข้าใจง่ายอย่างหนึ่งมีดังนี้:

ทฤษฎีบท. ฟังก์ชันที่มีมูลค่าจริงfในช่วงเวลา[ a , b ]นั้นต่อเนื่องถ้าสำหรับ hyperreal xทุกตัวในช่วงเวลา* [ a , b ]เรามี: * f ( x ) ≅ * f (st ( x ) ) .

(ดูmicrocontinuityสำหรับรายละเอียดเพิ่มเติม) ในทำนองเดียวกัน

ทฤษฎีบท. ฟังก์ชันที่มีมูลค่าจริงfสามารถแตกต่างกันได้ที่ค่าจริงxหากและเฉพาะในกรณีที่สำหรับจำนวนไฮเปอร์เรียลที่น้อยที่สุดทุกค่าhค่า

${\ displaystyle f '(x) = \ operatorname {st} \ left ({\ frac {{^ {*} f} (x + h) - {^ {*} f} (x)} {h}} \ ขวา)}$

ที่มีอยู่และเป็นอิสระจากเอช ในกรณีนี้F ( x )เป็นจำนวนจริงและเป็นที่มาของFที่x

เป็นไปได้ที่จะ "ปรับปรุง" ความอิ่มตัวโดยอนุญาตให้ตัดคอลเลกชันของคาร์ดินาลลิตี้ที่สูงกว่าได้ แบบจำลองคือκ - อิ่มตัวเมื่อใดก็ตาม${\ displaystyle \ {A_ {i} \} _ {i \ in I}}$คือชุดของชุดภายในที่มีคุณสมบัติจุดตัด จำกัดและ${\ displaystyle | ฉัน | \ leq \ kappa}$,

${\ displaystyle \ bigcap _ {i \ in I} A_ {i} \ neq \ emptyset}$

สิ่งนี้มีประโยชน์เช่นในพื้นที่ทอพอโลยีXซึ่งเราอาจต้องการ| 2 ^X | - ความอิ่มตัวเพื่อให้แน่ใจว่าจุดตัดของฐานย่านมาตรฐานไม่ว่างเปล่า ^[27]

สำหรับพระคาร์ดินัลใดκเป็นκขยาย -saturated สามารถสร้าง ^[28]

• EE Rosinger, [คณิต / 0407178]. แนะนำสั้น ๆ เกี่ยวกับการวิเคราะห์ไม่เป็นมาตรฐาน arxiv.org

• ใบเสนอราคาที่เกี่ยวข้องกับการวิเคราะห์ที่ไม่เป็นมาตรฐานใน Wikiquote
• Ghosts of Departed Quantitiesโดย Lindsay Keegan