เรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิด
ในคณิตศาสตร์ , ไม่ใช่เรขาคณิตแบบยุคลิดประกอบด้วยสองรูปทรงเรขาคณิตที่อยู่บนพื้นฐานของหลักการที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับผู้ที่ระบุรูปทรงเรขาคณิตแบบยุคลิด เนื่องจากเรขาคณิตแบบยูคลิดตั้งอยู่ที่จุดตัดของเรขาคณิตเมตริกและเรขาคณิตเชิงเส้นเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยูคลิดเกิดขึ้นโดยการผ่อนคลายข้อกำหนดเมตริกหรือแทนที่สมมุติฐานคู่ขนานด้วยทางเลือกอื่น ในกรณีหลังเราได้รับเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกและรูปไข่ซึ่งเป็นรูปทรงเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยูคลิดแบบดั้งเดิม เมื่อข้อกำหนดเกี่ยวกับเมตริกผ่อนคลายแล้วจะมีเครื่องบิน Affine ที่เกี่ยวข้องกับอัลเจบราแบบระนาบซึ่งก่อให้เกิดรูปทรงจลนศาสตร์ที่เรียกอีกอย่างว่าเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิด

ความแตกต่างที่สำคัญระหว่างรูปทรงเรขาคณิตตัวชี้วัดที่เป็นธรรมชาติของขนานเส้น สมมุติฐานที่ห้าของEuclidซึ่งเป็นสมมุติฐานคู่ขนานเทียบเท่ากับสมมุติฐานของ Playfairซึ่งระบุว่าภายในระนาบสองมิติสำหรับเส้นที่กำหนดlและจุดAซึ่งไม่ได้อยู่ในlจะมีหนึ่งบรรทัดผ่านAที่ไม่ได้ตัดต่อลิตร ในเรขาคณิตผ่อนชำระโดยคมชัดมีเพียบหลายสายผ่านไม่ได้ตัดต่อลิตรขณะที่อยู่ในรูปทรงเรขาคณิตรูปไข่เส้นใด ๆ ผ่านปริภูมิลิตร
อีกวิธีหนึ่งในการอธิบายความแตกต่างระหว่างรูปทรงเรขาคณิตเหล่านี้คือการพิจารณาเส้นตรงสองเส้นที่ขยายไปเรื่อย ๆ ในระนาบสองมิติซึ่งทั้งคู่ตั้งฉากกับเส้นที่สาม (ในระนาบเดียวกัน):
- ในเรขาคณิตแบบยูคลิดเส้นยังคงมีระยะห่างคงที่จากกัน (หมายความว่าเส้นที่ลากตั้งฉากกับเส้นหนึ่ง ณ จุดใดจุดหนึ่งจะตัดกับเส้นอีกเส้นหนึ่งและความยาวของส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมจุดตัดกันจะคงที่) และเป็นที่ทราบกันดีว่า เป็นแนวเดียวกัน
- ในรูปเรขาคณิตไฮเพอร์โบลิกพวกมัน "โค้งห่าง" จากกันเพิ่มขึ้นเป็นระยะทางเมื่อเส้นหนึ่งเคลื่อนที่ไกลออกไปจากจุดตัดกับจุดตั้งฉากทั่วไป เส้นเหล่านี้มักจะเรียกว่าultraparallels
- ในเรขาคณิตทรงรีเส้นจะ "โค้งเข้าหา" ซึ่งกันและกันและตัดกัน
ประวัติศาสตร์
พื้นหลัง
เรขาคณิตแบบยูคลิดซึ่งตั้งชื่อตามยูคลิดนักคณิตศาสตร์ชาวกรีก รวมถึงคณิตศาสตร์ที่เก่าแก่ที่สุดที่รู้จักกันบางส่วนและรูปทรงเรขาคณิตที่เบี่ยงเบนไปจากนี้ไม่ได้รับการยอมรับอย่างกว้างขวางว่าถูกต้องตามกฎหมายจนกระทั่งศตวรรษที่ 19
การอภิปรายว่าในที่สุดจะนำไปสู่การค้นพบของรูปทรงเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิดเริ่มเกือบจะทันทีที่ Euclid เขียนองค์ประกอบ ในองค์ประกอบ Euclid เริ่มต้นด้วยสมมติฐานจำนวน จำกัด (คำจำกัดความ 23 ข้อแนวคิดทั่วไป 5 ข้อและสมมติฐาน 5 ข้อ) และพยายามพิสูจน์ผลลัพธ์อื่น ๆ ทั้งหมด ( ประพจน์ ) ในงาน สมมุติฐานที่มีชื่อเสียงที่สุดมักเรียกกันว่า "Euclid's Fifth Postulate" หรือเพียงแค่สมมุติฐานคู่ขนานซึ่งในสูตรดั้งเดิมของ Euclid คือ:
ถ้าเส้นตรงตกลงบนเส้นตรงสองเส้นในลักษณะที่มุมภายในด้านเดียวกันรวมกันน้อยกว่าสองมุมฉากเส้นตรงหากสร้างไปเรื่อย ๆ จะพบกันที่ด้านนั้นซึ่งมีมุมน้อยกว่า มุมฉากสองมุม
นักคณิตศาสตร์คนอื่น ๆ ได้คิดค้นรูปแบบที่เรียบง่ายกว่าของคุณสมบัตินี้ อย่างไรก็ตามไม่ว่ารูปแบบของสมมุติฐานจะเป็นอย่างไรก็มักจะมีความซับซ้อนมากกว่าสมมุติฐานอื่น ๆ ของ Euclid :
1. ในการลากเส้นตรงจากจุดใดจุดหนึ่งไปยังจุดใดก็ได้
2. เพื่อสร้าง [ขยาย] เส้นตรง จำกัด อย่างต่อเนื่องเป็นเส้นตรง
3. เพื่ออธิบายวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางและระยะทาง [รัศมี]
4. มุมฉากทั้งหมดเท่ากับอีกมุมหนึ่ง
เป็นเวลาอย่างน้อยหนึ่งพันปีที่เรขาคณิตมีปัญหากับความซับซ้อนที่แตกต่างกันของสมมติฐานที่ห้าและเชื่อว่ามันสามารถพิสูจน์ได้ว่าเป็นทฤษฎีบทจากอีกสี่ข้อ หลายคนพยายามที่จะหาข้อพิสูจน์โดยความขัดแย้งรวมทั้งอิบันอัล - เฮย์ธัม ( อัลฮาเซนศตวรรษที่ 11) [1] โอมาร์ไคยาม (ศตวรรษที่ 12) นาเซอร์อัล - ดันอัล - ทิส (ศตวรรษที่ 13) และจิโอวานนีจิโรลาโมซาเชอรี (ศตวรรษที่ 18 ).
ทฤษฎีของ Ibn al-Haytham, Khayyam และ al-Tusi เกี่ยวกับรูปสี่เหลี่ยมรวมถึงรูปสี่เหลี่ยมด้านข้างแลมเบิร์ตและรูปสี่เหลี่ยมด้านข้างของ Saccheriเป็น "ทฤษฎีบทสองสามตัวแรกของไฮเพอร์โบลิกและรูปทรงวงรี " ทฤษฎีบทเหล่านี้พร้อมกับสมมุติฐานทางเลือกเช่นสัจพจน์ของ Playfairมีบทบาทสำคัญในการพัฒนารูปทรงเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิดในเวลาต่อมา ความพยายามในช่วงแรกเหล่านี้ในการท้าทายข้อที่ห้ามีอิทธิพลอย่างมากต่อการพัฒนาของรูปทรงเรขาคณิตของยุโรปในยุคต่อมา ได้แก่Witelo , Levi ben Gerson , Alfonso , John Wallisและ Saccheri [2]ความพยายามในช่วงแรก ๆ เหล่านี้ที่พยายามกำหนดรูปทรงเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิดอย่างไรก็ตามให้ข้อพิสูจน์ที่มีข้อบกพร่องของสมมุติฐานคู่ขนานซึ่งมีข้อสันนิษฐานที่เทียบเท่ากับสมมุติฐานคู่ขนาน อย่างไรก็ตามความพยายามในช่วงแรก ๆ เหล่านี้ได้ให้คุณสมบัติบางประการในช่วงต้นของรูปทรงไฮเพอร์โบลิกและรูปไข่
ยกตัวอย่างเช่น Khayyam พยายามที่จะได้มาจากสมมุติฐานที่เทียบเท่าซึ่งเขากำหนดขึ้นจาก "หลักการของปราชญ์" ( อริสโตเติล ): " เส้นตรงที่มาบรรจบกันสองเส้นตัดกันและเป็นไปไม่ได้ที่เส้นตรงสองเส้นที่มาบรรจบกันจะเบี่ยงเบนไปในทิศทางที่พวกเขา มาบรรจบกัน " [3]จากนั้น Khayyam ได้พิจารณาทั้งสามกรณีที่ถูกต้อง, ป้านและเฉียบพลันที่มุมยอดของรูปสี่เหลี่ยมจตุรัส Saccheri สามารถรับได้และหลังจากพิสูจน์ทฤษฎีบทจำนวนหนึ่งเกี่ยวกับพวกเขาแล้วเขาก็หักล้างกรณีป้านและเฉียบพลันอย่างถูกต้องตามสมมติฐานของเขา และด้วยเหตุนี้สมมุติฐานคลาสสิกของยุคลิดซึ่งเขาไม่รู้ว่าเทียบเท่ากับสมมุติฐานของเขาเอง อีกตัวอย่างหนึ่งคือ Sadr al-Din บุตรชายของ al-Tusi (บางครั้งเรียกว่า "Pseudo-Tusi") ผู้เขียนหนังสือเรื่องนี้ในปี ค.ศ. 1298 โดยอาศัยความคิดในภายหลังของ al-Tusi ซึ่งนำเสนอสมมติฐานอื่นที่เทียบเท่ากับสมมุติฐานคู่ขนาน . "เขาแก้ไขทั้งระบบสัจพจน์และสมมุติฐานแบบยูคลิดเป็นหลักและการพิสูจน์ข้อเสนอมากมายจากองค์ประกอบ " [4] [5]งานของเขาได้รับการตีพิมพ์ในกรุงโรมในปี 1594 และได้รับการศึกษาโดยนักเรขาคณิตชาวยุโรปรวมทั้ง Saccheri [4]ที่วิพากษ์วิจารณ์งานนี้เช่นเดียวกับงานของ Wallis [6]
Giordano VitaleในหนังสือของเขาEuclide restituo (1680, 1686) ใช้รูปสี่เหลี่ยมจตุรัส Saccheri เพื่อพิสูจน์ว่าถ้าจุดสามจุดมีความเท่ากันบนฐาน AB และซีดีการประชุมสุดยอด AB และ CD จะมีความเท่ากันทุกที่
ในผลงานชื่อEuclides ab Omni Naevo Vindicatus ( Euclid Freed from All Flaws ) ซึ่งตีพิมพ์ในปี 1733 Saccheri ได้ทิ้งรูปทรงวงรีอย่างรวดเร็วเนื่องจากเป็นไปได้ (สัจพจน์ของ Euclid บางส่วนต้องได้รับการแก้ไขเพื่อให้เรขาคณิตทรงรีทำงานได้) และตั้งค่าให้ทำงานพิสูจน์ a ผลลัพธ์จำนวนมากในรูปเรขาคณิตไฮเพอร์โบลิก
ในที่สุดเขาก็มาถึงจุดที่เขาเชื่อว่าผลลัพธ์ของเขาแสดงให้เห็นถึงความเป็นไปไม่ได้ของเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิก คำกล่าวอ้างของเขาดูเหมือนจะตั้งอยู่บนสมมติฐานของยุคลิดเพราะไม่มีความขัดแย้งทางตรรกะ ในความพยายามที่จะพิสูจน์รูปทรงเรขาคณิตแบบยุคลิดนี้เขาได้ค้นพบรูปทรงเรขาคณิตใหม่ที่ใช้งานได้โดยไม่ได้ตั้งใจ แต่กลับไม่รู้ตัว
ในปี ค.ศ. 1766 โยฮันน์แลมเบิร์ตเขียน แต่ไม่ได้ตีพิมพ์Theorie der Parallellinienซึ่งเขาพยายามเช่นเดียวกับที่ Saccheri ทำเพื่อพิสูจน์ข้อที่ห้า เขาทำงานกับรูปที่ปัจจุบันรู้จักกันในชื่อรูปสี่เหลี่ยมด้านข้างแลมเบิร์ตซึ่งเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านข้างที่มีมุมฉากสามมุม เขากำจัดความเป็นไปได้อย่างรวดเร็วที่มุมที่สี่จะเป็นมุมป้านเช่นเดียวกับ Saccheri และ Khayyam จากนั้นจึงดำเนินการพิสูจน์หลายทฤษฎีภายใต้สมมติฐานของมุมแหลม ต่างจาก Saccheri เขาไม่เคยรู้สึกว่าเขาขัดแย้งกับสมมติฐานนี้ เขาได้พิสูจน์ผลลัพธ์ที่ไม่ใช่แบบยุคลิดว่าผลรวมของมุมในรูปสามเหลี่ยมเพิ่มขึ้นเมื่อพื้นที่ของสามเหลี่ยมลดลงและสิ่งนี้ทำให้เขาคาดเดาถึงความเป็นไปได้ของแบบจำลองของกรณีเฉียบพลันบนทรงกลมของรัศมีจินตภาพ เขาไม่ได้ดำเนินความคิดนี้ต่อไป [7]
ในเวลานี้มีความเชื่อกันอย่างกว้างขวางว่าจักรวาลทำงานตามหลักการของเรขาคณิตแบบยุคลิด [8]
การค้นพบเรขาคณิตที่ไม่ใช่ยุคลิด
จุดเริ่มต้นของศตวรรษที่ 19 ในที่สุดก็จะเป็นสักขีพยานในการสร้างรูปทรงเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิด ประมาณปีค. ศ. 1813 คาร์ลฟรีดริชเกาส์และเป็นอิสระในราวปีพ. ศ. 2361 ศาสตราจารย์ด้านกฎหมายชาวเยอรมันเฟอร์ดินานด์คาร์ลชไวการ์ต[9]มีแนวคิดพื้นฐานเกี่ยวกับเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยูคลิดได้ผล แต่ไม่มีการเผยแพร่ผลใด ๆ Franz Taurinusหลานชายของ Schweikart ได้ตีพิมพ์ผลลัพธ์ที่สำคัญของไฮเปอร์โบลิกตรีโกณมิติในเอกสารสองฉบับในปี 1825 และ 1826 แต่ในขณะที่ยอมรับความสอดคล้องภายในของเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกเขายังคงเชื่อในบทบาทพิเศษของเรขาคณิตแบบยูคลิด [10]
จากนั้นในปี 1829–1830 นักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซียNikolai Ivanovich Lobachevskyและในปี 1832 János Bolyaiนักคณิตศาสตร์ชาวฮังการีแยกกันและได้รับการตีพิมพ์บทความเกี่ยวกับเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกอย่างอิสระ ดังนั้นเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกจึงเรียกว่ารูปทรงเรขาคณิต Lobachevskian หรือ Bolyai-Lobachevskian เนื่องจากนักคณิตศาสตร์ทั้งสองไม่ขึ้นจากกันเป็นผู้เขียนพื้นฐานของเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยูคลิด เกาส์พูดถึงพ่อของ Bolyai เมื่อแสดงผลงานของ Bolyai ที่อายุน้อยกว่าเขาได้พัฒนารูปทรงเรขาคณิตดังกล่าวเมื่อหลายปีก่อน[11]แม้ว่าเขาจะไม่ได้เผยแพร่ก็ตาม ในขณะที่ Lobachevsky สร้างไม่เรขาคณิตแบบยุคลิดโดยกวนสมมุติขนาน, Bolyai ทำงานออกเรขาคณิตที่ทั้งยุคลิดและรูปทรงเรขาคณิตที่เกินความจริงที่เป็นไปได้ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ k Bolyai จบงานของเขาด้วยการกล่าวว่าเป็นไปไม่ได้ที่จะตัดสินใจโดยใช้เหตุผลทางคณิตศาสตร์เพียงอย่างเดียวว่าเรขาคณิตของจักรวาลทางกายภาพเป็นแบบยุคลิดหรือไม่ใช่แบบยุคลิด นี่เป็นงานสำหรับวิทยาศาสตร์กายภาพ
Bernhard Riemannในการบรรยายที่มีชื่อเสียงในปี 1854 ก่อตั้งเขตของรีมันเรขาคณิตอภิปรายโดยเฉพาะอย่างยิ่งความคิดนี้เรียกว่าmanifolds , เมตริกรีมันและความโค้ง เขาสร้างครอบครัวที่ไม่มีที่สิ้นสุดของรูปทรงเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิดโดยให้สูตรสำหรับครอบครัวของตัวชี้วัดรีมันบนยูนิทบอลในพื้นที่ Euclidean สิ่งที่ง่ายที่สุดนี้เรียกว่าเรขาคณิตทรงรีและถือว่าเป็นรูปทรงเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยูคลิดเนื่องจากไม่มีเส้นคู่ขนาน [12]
ด้วยการกำหนดรูปทรงเรขาคณิตในรูปของเทนเซอร์ความโค้งRiemann อนุญาตให้ใช้รูปทรงเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิดเพื่อใช้กับมิติที่สูงขึ้น Beltrami (1868) เป็นคนแรกที่ใช้รูปทรงเรขาคณิตของ Riemann กับช่องว่างของความโค้งเชิงลบ
คำศัพท์
เกาส์เป็นผู้บัญญัติศัพท์คำว่า "เรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิด" [13]เขาหมายถึงการทำงานของตัวเองซึ่งในวันนี้เราเรียกว่ารูปทรงเรขาคณิตที่เกินความจริง ปัจจุบันผู้เขียนหลายคนยังคิดว่าไม่ใช่เรขาคณิตแบบยุคลิดและรูปทรงเรขาคณิตผ่อนชำระพ้อง
Arthur Cayleyตั้งข้อสังเกตว่าระยะห่างระหว่างจุดภายในรูปกรวยสามารถกำหนดได้ในรูปของลอการิทึมและฟังก์ชันอัตราส่วนข้ามโปรเจ็กต์ วิธีการนี้เรียกว่าCayley - Kleinเพราะเฟลิกซ์ไคลน์ใช้ประโยชน์จากมันเพื่ออธิบายรูปทรงเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิดในบทความ[14]ในปีพ. ศ. 2414 และ พ.ศ. 2416 และต่อมาในรูปแบบหนังสือ เมตริกของ Cayley – Klein ได้จัดทำแบบจำลองการทำงานของรูปทรงเรขาคณิตแบบไฮเพอร์โบลิกและรูปไข่รวมทั้งเรขาคณิตแบบยูคลิด
ไคลน์รับผิดชอบคำว่า "ไฮเพอร์โบลิก" และ "รูปไข่" (ในระบบของเขาเขาเรียกว่าพาราโบลาเรขาคณิตแบบยูคลิดซึ่งเป็นคำที่ไม่ได้ใช้งานโดยทั่วไป[15] ) อิทธิพลของเขานำไปสู่การใช้คำว่า "เรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิด" ในปัจจุบันเพื่อหมายถึงรูปทรงเรขาคณิต "ไฮเพอร์โบลิก" หรือ "รูปไข่"
มีนักคณิตศาสตร์บางคนที่จะขยายรายชื่อรูปทรงเรขาคณิตที่ควรเรียกว่า "ไม่ใช่แบบยุคลิด" ในรูปแบบต่างๆ [16]
พื้นฐานเชิงสัจพจน์ของเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิด
เรขาคณิตแบบยูคลิดสามารถอธิบายตามความเป็นจริงได้หลายวิธี น่าเสียดายที่ระบบดั้งเดิมของ Euclid ที่มีสมมุติฐานห้าประการ (สัจพจน์) ไม่ใช่หนึ่งในสิ่งเหล่านี้เนื่องจากการพิสูจน์ของเขาอาศัยสมมติฐานที่ไม่ได้ระบุไว้หลายประการซึ่งควรถูกนำมาใช้เป็นสัจพจน์ด้วย ระบบของฮิลเบิร์ตประกอบด้วย 20 สัจพจน์[17]ใกล้ชิดที่สุดตามแนวทางของยุคลิดและให้เหตุผลสำหรับการพิสูจน์ทั้งหมดของยูคลิด ระบบอื่น ๆ โดยใช้ชุดคำศัพท์ที่ไม่ได้กำหนดต่างกันจะได้รูปทรงเรขาคณิตเดียวกันในเส้นทางที่ต่างกัน อย่างไรก็ตามแนวทางทั้งหมดมีสัจพจน์ที่มีเหตุผลเทียบเท่ากับสมมุติฐานที่ห้าของยูคลิดคือสมมุติฐานคู่ขนาน ฮิลเบิร์ตใช้รูปแบบสัจพจน์ของ Playfair ในขณะที่Birkhoffใช้สัจพจน์ที่กล่าวว่า "มีรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน แต่ไม่เท่ากัน" ในใด ๆ ของระบบเหล่านี้การกำจัดของเทียบเท่าหนึ่งความจริงที่จะสมมุติขนานในรูปแบบใดก็จะใช้เวลาและทิ้งหลักการอื่น ๆ เหมือนเดิมผลิตรูปทรงเรขาคณิตที่แน่นอน เนื่องจาก 28 ประพจน์แรกของ Euclid (ในThe Elements ) ไม่จำเป็นต้องใช้สมมุติฐานคู่ขนานหรือสิ่งใด ๆ ที่เทียบเท่ากันจึงเป็นข้อความจริงทั้งหมดในรูปเรขาคณิตสัมบูรณ์ [18]
ที่จะได้รับไม่เรขาคณิตแบบยุคลิดสมมุติขนาน (หรือเทียบเท่า) จะต้องถูกแทนที่ด้วยของการปฏิเสธ การลบล้างสัจพจน์ของ Playfairเนื่องจากเป็นคำสั่งผสม (... มีหนึ่งเดียว ... ) สามารถทำได้สองวิธี:
- อาจมีมากกว่าหนึ่งเส้นผ่านจุดที่ขนานกับเส้นที่กำหนดหรือจะไม่มีเส้นผ่านจุดขนานกับเส้นที่กำหนด ในกรณีแรกแทนที่สมมุติฐานคู่ขนาน (หรือเทียบเท่า) ด้วยคำสั่ง "ในระนาบกำหนดจุด P และเส้นl ที่ไม่ผ่าน P มีสองบรรทัดผ่าน P ซึ่งไม่ตรงตามl " และการรักษา ทุกหลักการอื่น ๆ ผลตอบแทนถัวเฉลี่ยเรขาคณิตการผ่อนชำระ [19]
- กรณีที่สองไม่ได้จัดการง่ายๆ เพียงแค่แทนที่สมมุติฐานคู่ขนานด้วยข้อความว่า "ในระนาบกำหนดจุด P และเส้นlไม่ผ่าน P เส้นทั้งหมดที่ผ่าน P พบกับl " ไม่ได้ให้ชุดสัจพจน์ที่สอดคล้องกัน สิ่งนี้ตามมาตั้งแต่มีเส้นขนานในรูปเรขาคณิตสัมบูรณ์[20]แต่คำสั่งนี้บอกว่าไม่มีเส้นขนาน ปัญหานี้เป็นที่รู้กัน (ในรูปแบบอื่น) สำหรับ Khayyam, Saccheri และ Lambert และเป็นพื้นฐานสำหรับการปฏิเสธสิ่งที่เรียกว่า "กรณีมุมป้าน" เพื่อให้ได้ชุดของสัจพจน์ที่สอดคล้องกันซึ่งรวมถึงสัจพจน์เกี่ยวกับการไม่มีเส้นขนานนี้จะต้องปรับเปลี่ยนสัจพจน์อื่น ๆ การปรับเปลี่ยนเหล่านี้ขึ้นอยู่กับระบบสัจพจน์ที่ใช้ ในบรรดาคนอื่น ๆ การปรับแต่งเหล่านี้มีผลในการปรับเปลี่ยนสมมุติฐานที่สองของ Euclid จากคำสั่งที่ว่าส่วนของบรรทัดสามารถขยายไปยังข้อความที่ไม่มีการผูกมัดได้ รูปทรงวงรีของRiemannกลายเป็นรูปทรงเรขาคณิตที่เป็นธรรมชาติที่สุดที่ตอบสนองสัจพจน์นี้
แบบจำลองของเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิด


เรขาคณิตแบบยูคลิดสองมิติถูกจำลองขึ้นโดยแนวคิดของเราเกี่ยวกับ " ระนาบแบน"
เรขาคณิตวงรี
แบบจำลองที่ง่ายที่สุดสำหรับเรขาคณิตทรงรีคือทรงกลมโดยเส้นเป็น " วงกลมใหญ่ " (เช่นเส้นศูนย์สูตรหรือเส้นเมอริเดียนบนโลก ) และมีการระบุจุดที่อยู่ตรงข้ามกัน (เรียกว่าจุดแอนติโพดัล ) (ถือว่าเหมือนกัน) และนี่ก็เป็นหนึ่งในรูปแบบมาตรฐานของเครื่องบินจริง projective ความแตกต่างก็คือในฐานะที่เป็นแบบจำลองของรูปทรงเรขาคณิตรูปไข่จะมีการนำเมตริกมาใช้เพื่อให้สามารถวัดความยาวและมุมได้ในขณะที่แบบจำลองของระนาบโปรเจ็กต์จะไม่มีเมตริกดังกล่าว
ในรูปแบบรูปไข่สำหรับสายใดก็ตามลิตรและจุดซึ่งไม่ได้อยู่บนลิตรทุกสายผ่านจะตัดลิตร
เรขาคณิตไฮเพอร์โบลิก
แม้หลังจากผลงานของ Lobachevsky, Gauss และ Bolyai คำถามก็ยังคงอยู่: "แบบจำลองดังกล่าวมีอยู่สำหรับเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกหรือไม่" แบบจำลองสำหรับรูปทรงเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกได้รับคำตอบโดยEugenio Beltramiในปีพ. ศ. 2411 ซึ่งเป็นครั้งแรกที่แสดงให้เห็นว่าพื้นผิวที่เรียกว่าpseudosphereมีความโค้งที่เหมาะสมในการสร้างแบบจำลองส่วนหนึ่งของปริภูมิไฮเพอร์โบลิกและในกระดาษแผ่นที่สองในปีเดียวกันได้กำหนดแบบจำลองไคลน์ซึ่ง สร้างแบบจำลองของปริภูมิไฮเพอร์โบลิกทั้งหมดและใช้สิ่งนี้เพื่อแสดงว่าเรขาคณิตแบบยูคลิดและเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกมีความเท่าเทียมกันเพื่อให้รูปเรขาคณิตไฮเพอร์โบลิกมีความสอดคล้องกันอย่างมีเหตุผลในกรณีที่เรขาคณิตแบบยูคลิดเท่านั้น (ความหมายย้อนกลับมาจากแบบจำลองโฮโรสเฟียร์ของเรขาคณิตแบบยุคลิด)
ในรูปแบบการผ่อนชำระภายในระนาบสองมิติสำหรับสายใดก็ตามลิตรและจุดซึ่งไม่ได้อยู่บนลิตรมีเพียบหลายสายผ่านที่ทำไม่ได้ตัดต่อลิตร
ในแบบจำลองเหล่านี้แนวคิดของรูปทรงเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิดจะแสดงโดยวัตถุแบบยุคลิดในการตั้งค่าแบบยุคลิด สิ่งนี้นำเสนอการบิดเบือนการรับรู้โดยเส้นตรงของเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิดนั้นแสดงด้วยเส้นโค้งแบบยุคลิดที่โค้งงอด้วยสายตา "การดัด" นี้ไม่ได้เป็นสมบัติของเส้นที่ไม่ใช่ยุคลิด แต่เป็นเพียงข้อบ่งชี้ของวิธีที่พวกเขาแสดงเท่านั้น
เรขาคณิตสามมิติที่ไม่ใช่แบบยุคลิด
ในสามมิติมีรูปทรงเรขาคณิตแปดแบบ [21]มีรูปทรงเรขาคณิตแบบยูคลิดรูปไข่และไฮเพอร์โบลิกเช่นเดียวกับกรณีสองมิติ รูปทรงเรขาคณิตผสมที่เป็นแบบยุคลิดบางส่วนและไฮเปอร์โบลิกบางส่วนหรือทรงกลม รูปทรงเรขาคณิตแบบผสมที่บิดเบี้ยว และรูปทรงเรขาคณิตที่ผิดปกติอย่างหนึ่งซึ่งเป็นแอนไอโซโทรปิกโดยสิ้นเชิง(กล่าวคือทุกทิศทางมีพฤติกรรมแตกต่างกัน)
คุณสมบัติที่ไม่ธรรมดา


รูปทรงเรขาคณิตแบบยุคลิดและไม่ใช่ยุคลิดโดยธรรมชาติมีคุณสมบัติหลายประการที่คล้ายคลึงกันกล่าวคือรูปทรงที่ไม่ได้ขึ้นอยู่กับลักษณะของความเท่าเทียมกัน ความธรรมดานี้เป็นเรื่องของเรขาคณิตสัมบูรณ์ (เรียกอีกอย่างว่าเรขาคณิตเป็นกลาง ) อย่างไรก็ตามคุณสมบัติที่แยกแยะรูปทรงเรขาคณิตหนึ่งจากรูปทรงอื่น ๆ ได้รับความสนใจมากที่สุดในอดีต
นอกจากพฤติกรรมของเส้นที่เกี่ยวข้องกับการตั้งฉากทั่วไปที่กล่าวถึงในบทนำแล้วเรายังมีสิ่งต่อไปนี้:
- แลมเบิร์รูปสี่เหลี่ยมเป็นรูปสี่เหลี่ยมที่มีสามมุมขวา มุมที่สี่ของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนแลมเบิร์ตเป็นมุมแหลมถ้ารูปทรงเรขาคณิตเป็นไฮเปอร์โบลิกมุมฉากถ้ารูปทรงเรขาคณิตเป็นแบบยูคลิดหรือป้านถ้ารูปทรงเรขาคณิตเป็นรูปไข่ ดังนั้นรูปสี่เหลี่ยมจึงมีอยู่ (คำสั่งที่เทียบเท่ากับสมมุติฐานคู่ขนาน) เฉพาะในรูปทรงเรขาคณิตแบบยุคลิดเท่านั้น
- Saccheri รูปสี่เหลี่ยมเป็นรูปสี่เหลี่ยมที่มีสองด้านยาวเท่ากันตั้งฉากทั้งสองด้านที่เรียกว่าฐาน อีกสองมุมของรูปสี่เหลี่ยมด้านหลังของ Saccheri เรียกว่ามุมยอดและมีขนาดเท่ากัน มุมยอดของรูปสี่เหลี่ยมจตุรัส Saccheri เป็นมุมแหลมถ้ารูปทรงเรขาคณิตเป็นไฮเพอร์โบลิกมุมฉากถ้ารูปทรงเรขาคณิตเป็นแบบยูคลิดและมุมป้านถ้ารูปทรงเรขาคณิตเป็นรูปไข่
- ผลรวมของการวัดมุมของสามเหลี่ยมใด ๆ มีค่าน้อยกว่า 180 °หากรูปทรงเรขาคณิตเป็นไฮเพอร์โบลิกเท่ากับ 180 °ถ้ารูปทรงเรขาคณิตเป็นแบบยูคลิดและมากกว่า 180 °หากรูปทรงเรขาคณิตเป็นรูปไข่ ข้อบกพร่องของรูปสามเหลี่ยมเป็นค่าตัวเลข (180 ° - ผลรวมของมาตรการของมุมของรูปสามเหลี่ยม) ผลลัพธ์นี้อาจระบุได้ว่า: ข้อบกพร่องของรูปสามเหลี่ยมในรูปเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกเป็นค่าบวกข้อบกพร่องของรูปสามเหลี่ยมในรูปทรงเรขาคณิตแบบยูคลิดเป็นศูนย์และข้อบกพร่องของรูปสามเหลี่ยมในรูปทรงรีเป็นค่าลบ
ความสำคัญ
ก่อนที่รูปแบบของเครื่องบินที่ไม่ใช่แบบยุคลิดที่ถูกนำเสนอโดย Beltrami ไคลน์และPoincaréเรขาคณิตแบบยุคลิดยืนท้าเป็นแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของพื้นที่ นอกจากนี้เนื่องจากเนื้อหาของวัตถุในรูปทรงเรขาคณิตสังเคราะห์เป็นส่วนจัดแสดงหลักของความเป็นเหตุเป็นผลมุมมองของยุคลิดจึงแสดงถึงอำนาจที่แท้จริง
การค้นพบรูปทรงเรขาคณิตที่ไม่ใช่ยุคลิดมีผลกระเพื่อมซึ่งไปไกลเกินขอบเขตของคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์ การปฏิบัติต่อความรู้ของมนุษย์ของนักปรัชญาอิมมานูเอลคานท์มีบทบาทพิเศษสำหรับเรขาคณิต มันเป็นตัวอย่างที่สำคัญของเขาในการสังเคราะห์ความรู้เบื้องต้น; ไม่ได้มาจากประสาทสัมผัสหรืออนุมานด้วยตรรกะ - ความรู้เกี่ยวกับอวกาศของเราเป็นความจริงที่เราเกิดมา น่าเสียดายสำหรับคานท์แนวคิดของเขาเกี่ยวกับรูปทรงเรขาคณิตที่แท้จริงที่ไม่เปลี่ยนแปลงนี้เป็นแบบยุคลิด เทววิทยายังได้รับผลกระทบจากการเปลี่ยนแปลงจากความจริงสัมบูรณ์ไปสู่ความจริงสัมพัทธ์ในลักษณะที่คณิตศาสตร์เกี่ยวข้องกับโลกรอบตัวซึ่งเป็นผลมาจากการเปลี่ยนกระบวนทัศน์นี้ [22]
เรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิดเป็นตัวอย่างของการปฏิวัติทางวิทยาศาสตร์ในประวัติศาสตร์วิทยาศาสตร์ซึ่งนักคณิตศาสตร์และนักวิทยาศาสตร์ได้เปลี่ยนวิธีที่พวกเขามองเรื่องของตน [23]นักเรขาคณิตบางคนเรียกLobachevskyว่า" Copernicus of Geometry" เนื่องจากลักษณะการปฏิวัติของงานของเขา [24] [25]
การดำรงอยู่ของรูปทรงเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิดส่งผลกระทบต่อชีวิตทางปัญญาของอังกฤษในยุควิกตอเรียในหลาย ๆ ด้าน[26]และโดยเฉพาะอย่างยิ่งเป็นปัจจัยสำคัญประการหนึ่งที่ทำให้เกิดการตรวจสอบการสอนเรขาคณิตตามองค์ประกอบของยุคลิดอีกครั้ง ปัญหาหลักสูตรนี้ได้รับการถกเถียงกันอย่างถึงพริกถึงขิงในเวลาและแม้กระทั่งเรื่องของหนังสือที่Euclid และคู่แข่งโมเดิร์นของเขาที่เขียนโดยชาร์ลส์วิทซ์ดอดจ์สัน (1832-1898) ที่รู้จักกันดีของลูอิสแครอล , ผู้เขียนของอลิซในแดนมหัศจรรย์
ระนาบระนาบ
ในเรขาคณิตวิเคราะห์เครื่องบินถูกอธิบายด้วยพิกัดคาร์ทีเซียน : C = {( x, y ): x , y ที่ ∈ℝ} จุดบางครั้งจะมีการระบุด้วยตัวเลขที่ซับซ้อนZ = x + y ที่ εที่ε 2 ∈ {-1, 0, 1}
ระนาบยุคลิดสอดคล้องกับกรณีε 2 = −1เนื่องจากโมดูลัสของzถูกกำหนดโดย
และปริมาณนี้คือกำลังสองของระยะห่างแบบยุคลิดระหว่างzกับจุดกำเนิด ตัวอย่างเช่น{ z | ZZ * = 1}เป็นวงกลมหน่วย
สำหรับพีชคณิตระนาบเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยูคลิดเกิดขึ้นในกรณีอื่น ๆ เมื่อε 2 = +1ดังนั้นzคือจำนวนเชิงซ้อนที่แยกส่วนและตามอัตภาพjแทนที่ epsilon แล้ว
และ{ z | zz * = 1}คือหน่วยไฮเพอร์โบลา
เมื่อε 2 = 0แล้วZเป็นจำนวนคู่ [27]
แนวทางนี้เกี่ยวกับเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิดจะอธิบายถึงมุมที่ไม่ใช่แบบยุคลิด: พารามิเตอร์ของความชันในระนาบเลขคู่และมุมไฮเพอร์โบลิกในระนาบเชิงซ้อนแยกนั้นสอดคล้องกับมุมในเรขาคณิตแบบยูคลิด อันที่จริงพวกเขาแต่ละคนเกิดขึ้นในการย่อยสลายขั้วของจำนวนเชิงซ้อนZ [28]
รูปทรงจลนศาสตร์
เรขาคณิตผ่อนชำระพบการประยุกต์ใช้ในจลนศาสตร์กับร่างกายจักรวาลนำโดยแฮร์มันน์คอฟสกีในปี 1908 คอฟสกีแนะนำคำเช่นWorldlineและเวลาที่เหมาะสมลงในฟิสิกส์คณิตศาสตร์ เขาตระหนักว่าsubmanifoldซึ่งเป็นเหตุการณ์ช่วงเวลาหนึ่งของเวลาที่เหมาะสมในอนาคตถือได้ว่าเป็นพื้นที่ไฮเปอร์โบลิกของสามมิติ [29] [30]ในปี 1890 Alexander Macfarlaneได้สร้างแผนภูมิย่อยนี้ผ่านAlgebra of Physicsและhyperbolic quaternionsแม้ว่า Macfarlane ไม่ได้ใช้ภาษาจักรวาลเหมือนที่ Minkowski ทำในปี 1908 โครงสร้างที่เกี่ยวข้องปัจจุบันเรียกว่าแบบจำลองไฮเพอร์โบลอยด์ของเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิก .
algebras ระนาบที่ไม่ใช่แบบยุคลิดสนับสนุนรูปทรงจลนศาสตร์ในระนาบ ตัวอย่างเช่นจำนวนเชิงซ้อนที่แยก z = e a jสามารถแสดงถึงเหตุการณ์กาลอวกาศช่วงเวลาหนึ่งในอนาคตของกรอบอ้างอิงของความรวดเร็ว ก . ยิ่งไปกว่านั้นการคูณด้วยzจะเท่ากับการเพิ่มลอเรนซ์โดยการแมปเฟรมด้วยค่าความเร็วเป็นศูนย์กับความรวดเร็วก .
การศึกษาจลนศาสตร์ใช้ประโยชน์จากตัวเลขคู่ เพื่อแสดงถึงคำอธิบายแบบคลาสสิกของการเคลื่อนที่ในเวลาและปริภูมิสัมบูรณ์ : สมการเทียบเท่ากับการทำแผนที่เฉือนในพีชคณิตเชิงเส้น:
ด้วยตัวเลขคู่การจับคู่คือ [31]
อีกมุมมองหนึ่งของทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษในฐานะเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยูคลิดได้รับการพัฒนาขั้นสูงโดยEB WilsonและGilbert LewisในการดำเนินการของAmerican Academy of Arts and Sciencesในปี 1912 พวกเขาปรับปรุงรูปทรงเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์โดยนัยในพีชคณิตจำนวนเชิงซ้อนให้เป็นเรขาคณิตสังเคราะห์ของสถานที่ และการหักเงิน [32] [33]
นิยาย
ไม่เรขาคณิต Euclidean มักจะทำให้การปรากฏตัวในการทำงานของนิยายวิทยาศาสตร์และแฟนตาซี
- ในปี 1895, HG Wellsตีพิมพ์เรื่องสั้นกรณีที่โดดเด่นของดวงตาเดวิดสัน ในการชื่นชมเรื่องราวนี้เราควรทราบว่าจุดแอนติโพดัลบนทรงกลมนั้นถูกระบุในแบบจำลองของระนาบวงรีอย่างไร ในเรื่องนี้ท่ามกลางพายุฝนฟ้าคะนองซิดนีย์เดวิดสันเห็น "คลื่นและเรือใบที่ประณีตอย่างน่าทึ่ง" ขณะทำงานในห้องปฏิบัติการไฟฟ้าที่วิทยาลัยเทคนิคฮาร์โลว์ ที่ใกล้ชิดของเรื่องเดวิดสันพิสูจน์ให้ได้เห็นรเหลวไหลออกจากเกาะตรงข้าม
- ไม่เรขาคณิต Euclidean มีการเชื่อมต่อบางครั้งก็มีอิทธิพลของศตวรรษที่ 20 นิยายสยองขวัญนักเขียนเลิฟคราฟท์ ในผลงานของเขาสิ่งที่ผิดธรรมชาติหลายอย่างเป็นไปตามกฎเรขาคณิตที่เป็นเอกลักษณ์ของตัวเอง: ในCthulhu MythosของLovecraftเมืองR'lyeh ที่จมอยู่ใต้น้ำมีลักษณะทางเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิด มีนัยอย่างมากว่านี่เป็นผลข้างเคียงของการไม่ปฏิบัติตามกฎธรรมชาติของจักรวาลนี้แทนที่จะใช้แบบจำลองทางเรขาคณิตแบบอื่นเนื่องจากความผิดโดยธรรมชาติที่แท้จริงของมันกล่าวกันว่าสามารถผลักดันให้ผู้ที่มองดูมันเสียสติได้ [34]
- ตัวละครหลักในZenของRobert Pirsig และ Art of Motorcycle Maintenanceกล่าวถึง Riemannian Geometry หลายครั้ง
- ในThe Brothers Karamazov Dostoevsky กล่าวถึงรูปทรงเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิดผ่านตัวละครของเขาอีวาน
- นิยายInverted Worldของ Christopher Priest อธิบายถึงการต่อสู้เพื่อการมีชีวิตอยู่บนโลกด้วยรูปแบบของpseudosphere ที่หมุนได้
- The Number of the Beast ของ Robert Heinlein ใช้รูปทรงเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิดเพื่ออธิบายการขนส่งผ่านอวกาศและเวลาในทันทีและระหว่างจักรวาลคู่ขนานกับจักรวาลสมมติ
- HyperRogueของ Zeno Rogue เป็นเกมโร๊คไลค์ที่ตั้งอยู่บนระนาบไฮเปอร์โบลิกทำให้ผู้เล่นได้สัมผัสกับคุณสมบัติมากมายของรูปทรงเรขาคณิตนี้ กลศาสตร์เควสและสถานที่หลายอย่างขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกอย่างมาก [35]
- ในการหักหลังกองทัพ นิยายวิทยาศาสตร์การตั้งค่าสำหรับFASA 's wargame , บทบาทการเล่นเกมและนิยายได้เร็วกว่าแสงเดินทางและการสื่อสารเป็นไปได้ผ่านการใช้งานของ Hsieh โฮ Polydimensional ไม่เรขาคณิต Euclidean ตีพิมพ์ในช่วงกลางของ ศตวรรษที่ 22
- ในFlatterlandของเอียนสจ๊วตผู้ เป็นตัวเอกของวิกตอเรียไลน์ไปเยี่ยมชมโลกที่ไม่ใช่ยุคลิด
ดูสิ่งนี้ด้วย
- ปริภูมิไฮเพอร์โบลิก
- Lénártทรงกลม
- เรขาคณิตโปรเจกต์
- การเจริญเติบโตของพื้นผิวที่ไม่ใช่แบบยุคลิด
หมายเหตุ
- ^ เอ๊ดมิเชล (2000), มุมมองของยุคลิดขนานสมมุติในยุคกรีกโบราณและในยุคกลางอิสลาม , มหาวิทยาลัยรัทเกอร์เรียก2008/01/23
- ^ บอริเอแจสันและอดอล์ฟพี Youschkevitch "เรขาคณิต" หน 470, ใน Roshdi Rashed & Régis Morelon (1996),สารานุกรมประวัติศาสตร์วิทยาศาสตร์อาหรับ , Vol. 2, หน้า 447–494, Routledge , London and New York:
"นักวิทยาศาสตร์สามคนอิบันอัล - เฮย์ธัมไคยัมและอัลทูซีมีส่วนร่วมอย่างมากที่สุดในสาขาเรขาคณิตนี้ซึ่งความสำคัญได้รับการยอมรับอย่างสมบูรณ์ในศตวรรษที่สิบเก้าเท่านั้นโดยพื้นฐานแล้วข้อเสนอของพวกเขาเกี่ยวกับคุณสมบัติของรูปสี่เหลี่ยม - ซึ่งพวกเขาคิดว่าสมมติว่ามุมบางส่วนของตัวเลขเหล่านี้เป็นมุมแหลมของรูปป้าน - เป็นตัวเป็นตนของทฤษฎีบทสองสามประการแรกของไฮเพอร์โบลิกและรูปทรงวงรีข้อเสนออื่น ๆ ของพวกเขาแสดงให้เห็นว่าข้อความทางเรขาคณิตต่างๆเทียบเท่ากับสมมุติฐานของยุคลิด V มันมีความสำคัญอย่างยิ่ง ว่านักวิชาการเหล่านี้สร้างความเชื่อมโยงซึ่งกันและกันระหว่างสมมุติฐานนี้กับผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมและรูปสี่เหลี่ยมโดยผลงานของพวกเขาเกี่ยวกับทฤษฎีเส้นขนานนักคณิตศาสตร์ชาวอาหรับมีอิทธิพลโดยตรงต่อการสืบสวนที่เกี่ยวข้องของคู่หูในยุโรปของพวกเขาความพยายามครั้งแรกของยุโรปในการพิสูจน์ สมมุติฐานบนเส้นขนาน - สร้างโดยWiteloนักวิทยาศาสตร์ชาวโปแลนด์ในศตวรรษที่สิบสาม ในขณะที่การแก้ไขIbn al-Haytham 's หนังสือของเลนส์ ( Kitab อัล Manazir ) - ได้รับแจ้งจากแหล่งต้องสงสัยอาหรับ การพิสูจน์ในศตวรรษที่สิบสี่โดยนักวิชาการชาวยิวLevi ben Gersonซึ่งอาศัยอยู่ทางตอนใต้ของฝรั่งเศสและโดย Alfonso จากสเปนที่กล่าวถึงข้างต้นมีพรมแดนโดยตรงกับการสาธิตของ Ibn al-Haytham ข้างต้นเราได้แสดงให้เห็นแล้วว่าExposition of Euclid ของ Pseudo-Tusiได้กระตุ้นการศึกษาทฤษฎีเส้นขนานของBorth J. Wallis และ G. Saccheri "
- ^ บอริเอแจสันและอดอล์ฟพี Youschkevitch (1996), "เรขาคณิต" หน 467, ใน Roshdi Rashed & Régis Morelon (1996),สารานุกรมประวัติศาสตร์วิทยาศาสตร์อาหรับ , Vol. 2, หน้า 447–494,เลดจ์ , ISBN 0-415-12411-5
- ^ a b Victor J.Katz (1998), History of Mathematics: An Introduction , p. 270–271, แอดดิสัน - เวสลีย์ , ไอ 0-321-01618-1 :
"แต่ในต้นฉบับอาจเขียนโดยลูกชายของเขา Sadr al-Din ในปี 1298 โดยอาศัยความคิดในภายหลังของ Nasir al-Din เกี่ยวกับเรื่องนี้มีการโต้แย้งใหม่ตามสมมติฐานอื่นซึ่งเทียบเท่ากับ Euclid's [... ] ความสำคัญของงานชิ้นหลังนี้คือได้รับการตีพิมพ์ในกรุงโรมในปี 1594 และได้รับการศึกษาโดยนักเรขาคณิตชาวยุโรปโดยเฉพาะอย่างยิ่งมันกลายเป็นจุดเริ่มต้นของงาน Saccheri และในท้ายที่สุดก็คือการค้นพบเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิด "
- ^ บอริเอแจสันและอดอล์ฟพี Youschkevitch (1996), "เรขาคณิต" ในรชด้แราเชดเอ็ด.สารานุกรมประวัติศาสตร์ของอาหรับวิทยาศาสตร์ฉบับ 2, หน้า 447–494 [469], Routledge , London และ New York:
"ในExposition of Euclid ของ Pseudo-Tusi [... ] อีกประโยคหนึ่งถูกใช้แทนสมมุติฐานมันเป็นอิสระจาก Euclidean สมมุติ V และง่ายต่อการพิสูจน์ [... ] เขาแก้ไขสัจพจน์ทั้งระบบแบบยุคลิด และสมมุติฐานและบทพิสูจน์ของข้อเสนอมากมายจากองค์ประกอบ "
- ^ Giovanni Girolamo Saccheri ของ MacTutor
- ^ โอคอนเนอร์เจเจ; โรเบิร์ต EF "โยฮันน์เฮ็นแลมเบิร์" สืบค้นเมื่อ16 กันยายน 2554 .
- ^ ข้อยกเว้นที่น่าสังเกตคือเดวิดฮูมผู้ซึ่งในช่วงต้นปี ค.ศ. 1739 ได้ให้ความบันเทิงอย่างจริงจังถึงความเป็นไปได้ที่จักรวาลของเราจะไม่ใช่ยุคลิด ดู David Hume (1739/1978) A Treatise of Human Nature , LA Selby-Bigge, ed. (Oxford: Oxford University Press), หน้า 51-52
- ^ ในจดหมายของธันวาคม 1818 ที่เฟอร์ดินานด์คาร์ล Schweikart (1780-1859) ร่างข้อมูลเชิงลึกไม่กี่เข้าไปไม่เรขาคณิตแบบยุคลิด จดหมายฉบับนี้ถูกส่งต่อไปยัง Gauss ในปี 1819 โดย Gerling อดีตนักเรียนของ Gauss ในคำตอบของเขาต่อ Gerling Gauss ยกย่อง Schweikart และกล่าวถึงงานวิจัยก่อนหน้านี้เกี่ยวกับเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิด ดู:
- Carl Friedrich Gauss, Werke (Leipzig, Germany: BG Teubner, 1900) เล่ม 8 หน้า 180-182
- จดหมายฉบับแปลภาษาอังกฤษของ Schweikart และ Gauss ตอบกลับ Gerling ปรากฏใน: หมายเหตุหลักสูตร: "Gauss and non-Euclidean geometry", University of Waterloo, Ontario, Canada ; ดูโดยเฉพาะหน้า 10 และ 11
- จดหมายโดย Schweikart และงานเขียนของหลานชายของเขาFranz Adolph Taurinusผู้ซึ่งสนใจเรื่องเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิดและในปีพ. ศ. 2368 ได้ตีพิมพ์หนังสือสั้น ๆ เกี่ยวกับสัจพจน์คู่ขนานปรากฏใน: Paul Stäckelและ Friedrich Engel, Die theorie der Parallellinien von Euklid bis auf Gauss, eine Urkundensammlung der nichteuklidischen Geometrie (ทฤษฎีเส้นขนานจาก Euclid ถึง Gauss ที่เก็บถาวรของเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิด), (Leipzig, Germany: BG Teubner, 1895), หน้า 243 ff
- ^ โบโนลา, อาร์. (2455). ไม่ใช่เรขาคณิตแบบยุคลิด: การศึกษาที่สำคัญและประวัติศาสตร์ของการพัฒนา ชิคาโก: โอเพ่นคอร์ท
- ^ ในจดหมายถึงโวล์ฟกัง (ฟาร์คัส) Bolyai ของ 6 มีนาคม 1832 เกาส์อ้างว่าได้ทำงานเกี่ยวกับปัญหาที่เกิดขึ้นมานานกว่าสามสิบหรือสามสิบห้าปี (ร้าง 1983 , PG. 162) ในจดหมายของเขาในปี 1824 ถึง Taurinus ( Faber 1983 , หน้า 158) เขาอ้างว่าเขาทำงานกับปัญหามานานกว่า 30 ปีและให้รายละเอียดเพียงพอที่จะแสดงให้เห็นว่าเขาได้ดำเนินการตามรายละเอียดจริง อ้างอิงจาก Faber (1983 , หน้า 156) จนกระทั่งราวปี 1813 เกาส์ได้ยอมรับการมีอยู่ของรูปทรงเรขาคณิตใหม่
- ^ อย่างไรก็ตามต้องเปลี่ยนสัจพจน์อื่น ๆ นอกเหนือจากสมมุติฐานคู่ขนานเพื่อให้เป็นรูปทรงเรขาคณิตที่เป็นไปได้
- ^ เฟลิกซ์ไคลน์คณิตศาสตร์ประถมศึกษาจากมุมมองขั้นสูง: เรขาคณิตโดเวอร์ 1948 (พิมพ์ภาษาอังกฤษแปล 3rd Edition 1940 ฉบับพิมพ์ครั้งแรกในเยอรมัน, 1908) หน้า 176
- ^ F.Clein, Über die sogenannte nichteuklidische Geometrie, Mathematische Annalen , 4 (1871)
- ^ เครื่องบินยุคลิดยังคงเรียกว่าพาราโบลาในบริบทของรูปทรงเรขาคณิตมาตราส่วน : ดู uniformization ทฤษฎีบท
- ^ ตัวอย่างเช่น Manning 1963และ Yaglom 1968
- ^ a สัจพจน์ที่ 21 ปรากฏในการแปลภาษาฝรั่งเศสของ Grundlagen der Geometrieของ Hilbertตาม Smart 1997หน้า 416
- ^ ( Smart 1997 , หน้า 366)
- ^ ในขณะที่มีการตั้งสมมติฐานเพียงสองบรรทัด แต่ก็แสดงให้เห็นได้อย่างง่ายดายว่าจะต้องมีจำนวนไม่สิ้นสุดของบรรทัดดังกล่าว
- ^ Book I Proposition 27 ของ Euclid's Elements
- ^ *วิลเลียมเทอร์สตัน เรขาคณิตสามมิติและโทโพโลยี ฉบับ. 1 . แก้ไขโดย Silvio Levy อนุกรมคณิตศาสตร์ Princeton, 35. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1997. x + 311 pp. ISBN 0-691-08304-5 (อธิบายเชิงลึกเกี่ยวกับรูปทรงแปดเหลี่ยมและการพิสูจน์ว่ามีเพียงแปดรูปแบบ)
- ^ Imre Toth, "Gott und Geometrie: Eine viktorianische Kontroverse," Evolutionstheorie und ihre Evolution , Dieter Henrich, ed. (Schriftenreihe der Universität Regensburg, band 7, 1982) หน้า 141–204
- ^ ดู Trudeau 1987 , p. vii-viii
- ^ เบลล์ ET (1986) ผู้ชายคณิตศาสตร์ . หนังสือ Touchstone น. 294. ISBN 978-0-671-62818-5.ผู้เขียนแอตทริบิวต์อ้างนี้เพื่อนักคณิตศาสตร์อีกวิลเลียม Kingdon Clifford
- ^ นี่คือคำพูดจากคำนำของนักแปลของ GB Halsted ที่แปลเรื่อง The Theory of Parallels ในปี 1914: "สิ่งที่ Vesaliusเป็นของ Galenสิ่งที่ Copernicusมีต่อทอเลมีนั่นคือ Lobachevsky ถึง Euclid " -ดับบลิวเคคลิฟฟอร์ด
- ^ (ริชาร์ดส์ 1988 )
- ^ ไอแซคยากลอม (1968)เบอร์คอมเพล็กซ์ในเรขาคณิตแปลโดยอีพริมโรส 1963 จากเดิมรัสเซียภาคผนวก "รูปทรงเรขาคณิตแบบยุคลิดไม่อยู่ในระนาบและตัวเลขที่ซับซ้อน", PP 195-219,นักวิชาการสื่อมวลชน , นิวยอร์ก
- ^ ริชาร์ดโทลแมน (2004) ทฤษฎีสัมพัทธภาพยนตร์, หน้า 194 §180มุมที่ไม่ใช่ยุคลิด§181ตีความ Kinematical ของมุมในแง่ของความเร็ว
- ^ แฮร์มันน์คอฟสกี (1908-9) "อวกาศและเวลา" (Wikisource).
- ^ ก็อตต์วอลเตอร์ (1999)ไม่ยุคลิดสไตล์ของสัมพัทธภาพพิเศษ
- ^ Isaak Yaglom (1979) เรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิดง่ายๆและพื้นฐานทางกายภาพ: เรื่องราวเบื้องต้นของเรขาคณิตของกาลิลีและหลักการสัมพัทธภาพของกาลิลีสปริงเกอร์ ไอ 0-387-90332-1
- ^ เอ็ดวินบีวิลสันและกิลเบิร์เอ็นลูอิส (1912) "The Space เวลา Manifold พัทธไม่เรขาคณิต Euclidean กลศาสตร์และคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า" การดำเนินการของอเมริกันสถาบันศิลปะและวิทยาศาสตร์ 48: 387-507
- ^ กาลอวกาศสังเคราะห์เป็นส่วนย่อยของสัจพจน์ที่ใช้และทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์โดยวิลสันและลูอิส เก็บถาวรโดย WebCite
- ^ “ การเรียกของคธูลู” .
- ^ "เว็บไซต์ HyperRogue" .
อ้างอิง
- A'Campo, Norbert and Papadopoulos, Athanase , (2012) Notes on hyperbolic geometry , in: Strasbourg Master class on Geometry, pp. 1–182, IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics, Vol. 18, Zürich: European Mathematical Society (EMS), 461 หน้า, ISBN 978-3-03719-105-7 , DOI: 10.4171 / 105 .
- Anderson, James W. Hyperbolic Geometry , พิมพ์ครั้งที่สอง, Springer, 2005
- Beltrami, Eugenio Teoria fondamentale degli spazî di curvatura costante , Annali ดิ Mat., ser II 2 (1868), 232–255
- Blumenthal, Leonard M. (1980), มุมมองทางเรขาคณิตสมัยใหม่ , นิวยอร์ก: Dover, ISBN 0-486-63962-2
- Carroll, Lewis Euclid และคู่แข่งสมัยใหม่ของเขา , New York: Barnes and Noble, 2009 (พิมพ์ซ้ำ) ไอ 978-1-4351-2348-9
- HSM Coxeter (1942) ไม่เรขาคณิต Euclidean , มหาวิทยาลัยโตรอนโตกดไหปี 1998 โดยสมาคมคณิตศาสตร์แห่งอเมริกา , ISBN 0-88385-522-4
- Faber, Richard L. (1983), รากฐานของเรขาคณิตแบบยุคลิดและไม่ใช่ยุคลิดนิวยอร์ก: Marcel Dekker, ISBN 0-8247-1748-1
- เจเรมีสีเทา (1989) ไอเดียของพื้นที่: ยูคลิดไม่ยุคลิดและความสัมพันธ์ , ฉบับที่ 2, คลาเรนดอนกด
- Greenberg, Marvin Jay Euclidean และเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิด: พัฒนาการและประวัติศาสตร์ , 4th ed., New York: WH Freeman, 2007 ISBN 0-7167-9948-0
- มอร์ริสไคลน์ (1972) คณิตศาสตร์คิดจากโบราณสมัยใหม่บทที่ 36 ไม่เรขาคณิต Euclidean, PP 861-81, Oxford University Press
- Bernard H. Lavenda , (2012) "มุมมองใหม่เกี่ยวกับสัมพัทธภาพ: โอดิสซีย์ในรูปทรงเรขาคณิตที่ไม่ใช่ยุคลิด", World Scientific , หน้า 696, ISBN 9789814340489
- Nikolai Lobachevsky (2010) Pangeometry , Translator and Editor: A.Papadopoulos , Heritage of European Mathematics Series, Vol. 4 สมาคมคณิตศาสตร์ยุโรป
- Manning, Henry Parker (1963), Introductory Non-Euclidean Geometry , New York: Dover
- Meschkowski, Herbert (1964), Noneuclidean Geometry , New York: สำนักพิมพ์วิชาการ
- Milnor, John W. (1982) Hyperbolic geometry: 150 ปีแรก Bull. Amer. คณิตศาสตร์. Soc. (NS) Volume 6, Number 1, pp. 9–24
- Richards, Joan L. (1988), Mathematical Visions: The Pursuit of Geometry in Victorian England , Boston: Academic Press, ISBN 0-12-587445-6
- สมาร์ทเจมส์อาร์ (1997) เรขาคณิตสมัยใหม่ (ฉบับที่ 5)แปซิฟิกโกรฟ: บรูคส์ / โคลISBN 0-534-35188-3
- Stewart, Ian (2001) Flatterland , New York: Perseus Publishing ISBN 0-7382-0675-X (ปกอ่อน)
- จอห์นสติลเวล (1996) แหล่งที่มาของการผ่อนชำระเรขาคณิต , สมาคมคณิตศาสตร์อเมริกันISBN 0-8218-0529-0
- Trudeau, Richard J. (1987), The Non-Euclidean Revolution , Boston: Birkhauser, ISBN 0-8176-3311-1
- A. Papadopoulos et Guillaume Théret (2014) La théorie des parallèles de Johann Heinrich Lambert (สมุดบันทึกของแลมเบิร์ตฉบับวิจารณ์ที่มีการแปลเป็นภาษาฝรั่งเศสพร้อมบันทึกประวัติศาสตร์และคณิตศาสตร์และข้อคิดเห็นéd. Blanchard, coll. Sciences dans l'Histoire, Parisไอ 978-2-85367-266-5
ลิงก์ภายนอก
สื่อที่เกี่ยวข้องกับเรขาคณิตที่ไม่ใช่ยุคลิดในวิกิมีเดียคอมมอนส์
- Roberto Bonola (1912) เรขาคณิตที่ไม่ใช่ยุคลิด , Open Court, Chicago
- MacTutor Archive บทความเกี่ยวกับเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิด
- เรขาคณิต euclideanที่PlanetMath
- รูปทรงที่ไม่ใช่แบบยุคลิดจากสารานุกรมคณิตศาสตร์ของสมาคมคณิตศาสตร์ยุโรปและวิทยาศาสตร์สปริงเกอร์ + สื่อธุรกิจ
- กาลอวกาศสังเคราะห์การย่อยของสัจพจน์ที่ใช้และทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้วโดย Wilson และ Lewis เก็บถาวรโดยWebCite