เรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิด

พื้นหลัง

เรขาคณิตแบบยูคลิดซึ่งตั้งชื่อตามยูคลิดนักคณิตศาสตร์ชาวกรีก รวมถึงคณิตศาสตร์ที่เก่าแก่ที่สุดที่รู้จักกันบางส่วนและรูปทรงเรขาคณิตที่เบี่ยงเบนไปจากนี้ไม่ได้รับการยอมรับอย่างกว้างขวางว่าถูกต้องตามกฎหมายจนกระทั่งศตวรรษที่ 19

การอภิปรายว่าในที่สุดจะนำไปสู่การค้นพบของรูปทรงเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิดเริ่มเกือบจะทันทีที่ Euclid เขียนองค์ประกอบ ในองค์ประกอบ Euclid เริ่มต้นด้วยสมมติฐานจำนวน จำกัด (คำจำกัดความ 23 ข้อแนวคิดทั่วไป 5 ข้อและสมมติฐาน 5 ข้อ) และพยายามพิสูจน์ผลลัพธ์อื่น ๆ ทั้งหมด ( ประพจน์ ) ในงาน สมมุติฐานที่มีชื่อเสียงที่สุดมักเรียกกันว่า "Euclid's Fifth Postulate" หรือเพียงแค่สมมุติฐานคู่ขนานซึ่งในสูตรดั้งเดิมของ Euclid คือ:

ถ้าเส้นตรงตกลงบนเส้นตรงสองเส้นในลักษณะที่มุมภายในด้านเดียวกันรวมกันน้อยกว่าสองมุมฉากเส้นตรงหากสร้างไปเรื่อย ๆ จะพบกันที่ด้านนั้นซึ่งมีมุมน้อยกว่า มุมฉากสองมุม

นักคณิตศาสตร์คนอื่น ๆ ได้คิดค้นรูปแบบที่เรียบง่ายกว่าของคุณสมบัตินี้ อย่างไรก็ตามไม่ว่ารูปแบบของสมมุติฐานจะเป็นอย่างไรก็มักจะมีความซับซ้อนมากกว่าสมมุติฐานอื่น ๆ ของ Euclid :

1. ในการลากเส้นตรงจากจุดใดจุดหนึ่งไปยังจุดใดก็ได้

2. เพื่อสร้าง [ขยาย] เส้นตรง จำกัด อย่างต่อเนื่องเป็นเส้นตรง

3. เพื่ออธิบายวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางและระยะทาง [รัศมี]

4. มุมฉากทั้งหมดเท่ากับอีกมุมหนึ่ง

เป็นเวลาอย่างน้อยหนึ่งพันปีที่เรขาคณิตมีปัญหากับความซับซ้อนที่แตกต่างกันของสมมติฐานที่ห้าและเชื่อว่ามันสามารถพิสูจน์ได้ว่าเป็นทฤษฎีบทจากอีกสี่ข้อ หลายคนพยายามที่จะหาข้อพิสูจน์โดยความขัดแย้งรวมทั้งอิบันอัล - เฮย์ธัม ( อัลฮาเซนศตวรรษที่ 11) ^[1] โอมาร์ไคยาม (ศตวรรษที่ 12) นาเซอร์อัล - ดันอัล - ทิส (ศตวรรษที่ 13) และจิโอวานนีจิโรลาโมซาเชอรี (ศตวรรษที่ 18 ).

ทฤษฎีของ Ibn al-Haytham, Khayyam และ al-Tusi เกี่ยวกับรูปสี่เหลี่ยมรวมถึงรูปสี่เหลี่ยมด้านข้างแลมเบิร์ตและรูปสี่เหลี่ยมด้านข้างของ Saccheriเป็น "ทฤษฎีบทสองสามตัวแรกของไฮเพอร์โบลิกและรูปทรงวงรี " ทฤษฎีบทเหล่านี้พร้อมกับสมมุติฐานทางเลือกเช่นสัจพจน์ของ Playfairมีบทบาทสำคัญในการพัฒนารูปทรงเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิดในเวลาต่อมา ความพยายามในช่วงแรกเหล่านี้ในการท้าทายข้อที่ห้ามีอิทธิพลอย่างมากต่อการพัฒนาของรูปทรงเรขาคณิตของยุโรปในยุคต่อมา ได้แก่Witelo , Levi ben Gerson , Alfonso , John Wallisและ Saccheri ^[2]ความพยายามในช่วงแรก ๆ เหล่านี้ที่พยายามกำหนดรูปทรงเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิดอย่างไรก็ตามให้ข้อพิสูจน์ที่มีข้อบกพร่องของสมมุติฐานคู่ขนานซึ่งมีข้อสันนิษฐานที่เทียบเท่ากับสมมุติฐานคู่ขนาน อย่างไรก็ตามความพยายามในช่วงแรก ๆ เหล่านี้ได้ให้คุณสมบัติบางประการในช่วงต้นของรูปทรงไฮเพอร์โบลิกและรูปไข่

ยกตัวอย่างเช่น Khayyam พยายามที่จะได้มาจากสมมุติฐานที่เทียบเท่าซึ่งเขากำหนดขึ้นจาก "หลักการของปราชญ์" ( อริสโตเติล ): " เส้นตรงที่มาบรรจบกันสองเส้นตัดกันและเป็นไปไม่ได้ที่เส้นตรงสองเส้นที่มาบรรจบกันจะเบี่ยงเบนไปในทิศทางที่พวกเขา มาบรรจบกัน " ^[3]จากนั้น Khayyam ได้พิจารณาทั้งสามกรณีที่ถูกต้อง, ป้านและเฉียบพลันที่มุมยอดของรูปสี่เหลี่ยมจตุรัส Saccheri สามารถรับได้และหลังจากพิสูจน์ทฤษฎีบทจำนวนหนึ่งเกี่ยวกับพวกเขาแล้วเขาก็หักล้างกรณีป้านและเฉียบพลันอย่างถูกต้องตามสมมติฐานของเขา และด้วยเหตุนี้สมมุติฐานคลาสสิกของยุคลิดซึ่งเขาไม่รู้ว่าเทียบเท่ากับสมมุติฐานของเขาเอง อีกตัวอย่างหนึ่งคือ Sadr al-Din บุตรชายของ al-Tusi (บางครั้งเรียกว่า "Pseudo-Tusi") ผู้เขียนหนังสือเรื่องนี้ในปี ค.ศ. 1298 โดยอาศัยความคิดในภายหลังของ al-Tusi ซึ่งนำเสนอสมมติฐานอื่นที่เทียบเท่ากับสมมุติฐานคู่ขนาน . "เขาแก้ไขทั้งระบบสัจพจน์และสมมุติฐานแบบยูคลิดเป็นหลักและการพิสูจน์ข้อเสนอมากมายจากองค์ประกอบ " ^{[4] [5]}งานของเขาได้รับการตีพิมพ์ในกรุงโรมในปี 1594 และได้รับการศึกษาโดยนักเรขาคณิตชาวยุโรปรวมทั้ง Saccheri ^[4]ที่วิพากษ์วิจารณ์งานนี้เช่นเดียวกับงานของ Wallis ^[6]

Giordano VitaleในหนังสือของเขาEuclide restituo (1680, 1686) ใช้รูปสี่เหลี่ยมจตุรัส Saccheri เพื่อพิสูจน์ว่าถ้าจุดสามจุดมีความเท่ากันบนฐาน AB และซีดีการประชุมสุดยอด AB และ CD จะมีความเท่ากันทุกที่

ในผลงานชื่อEuclides ab Omni Naevo Vindicatus ( Euclid Freed from All Flaws ) ซึ่งตีพิมพ์ในปี 1733 Saccheri ได้ทิ้งรูปทรงวงรีอย่างรวดเร็วเนื่องจากเป็นไปได้ (สัจพจน์ของ Euclid บางส่วนต้องได้รับการแก้ไขเพื่อให้เรขาคณิตทรงรีทำงานได้) และตั้งค่าให้ทำงานพิสูจน์ a ผลลัพธ์จำนวนมากในรูปเรขาคณิตไฮเพอร์โบลิก

ในที่สุดเขาก็มาถึงจุดที่เขาเชื่อว่าผลลัพธ์ของเขาแสดงให้เห็นถึงความเป็นไปไม่ได้ของเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิก คำกล่าวอ้างของเขาดูเหมือนจะตั้งอยู่บนสมมติฐานของยุคลิดเพราะไม่มีความขัดแย้งทางตรรกะ ในความพยายามที่จะพิสูจน์รูปทรงเรขาคณิตแบบยุคลิดนี้เขาได้ค้นพบรูปทรงเรขาคณิตใหม่ที่ใช้งานได้โดยไม่ได้ตั้งใจ แต่กลับไม่รู้ตัว

ในปี ค.ศ. 1766 โยฮันน์แลมเบิร์ตเขียน แต่ไม่ได้ตีพิมพ์Theorie der Parallellinienซึ่งเขาพยายามเช่นเดียวกับที่ Saccheri ทำเพื่อพิสูจน์ข้อที่ห้า เขาทำงานกับรูปที่ปัจจุบันรู้จักกันในชื่อรูปสี่เหลี่ยมด้านข้างแลมเบิร์ตซึ่งเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านข้างที่มีมุมฉากสามมุม เขากำจัดความเป็นไปได้อย่างรวดเร็วที่มุมที่สี่จะเป็นมุมป้านเช่นเดียวกับ Saccheri และ Khayyam จากนั้นจึงดำเนินการพิสูจน์หลายทฤษฎีภายใต้สมมติฐานของมุมแหลม ต่างจาก Saccheri เขาไม่เคยรู้สึกว่าเขาขัดแย้งกับสมมติฐานนี้ เขาได้พิสูจน์ผลลัพธ์ที่ไม่ใช่แบบยุคลิดว่าผลรวมของมุมในรูปสามเหลี่ยมเพิ่มขึ้นเมื่อพื้นที่ของสามเหลี่ยมลดลงและสิ่งนี้ทำให้เขาคาดเดาถึงความเป็นไปได้ของแบบจำลองของกรณีเฉียบพลันบนทรงกลมของรัศมีจินตภาพ เขาไม่ได้ดำเนินความคิดนี้ต่อไป ^[7]

ในเวลานี้มีความเชื่อกันอย่างกว้างขวางว่าจักรวาลทำงานตามหลักการของเรขาคณิตแบบยุคลิด ^[8]

การค้นพบเรขาคณิตที่ไม่ใช่ยุคลิด

จุดเริ่มต้นของศตวรรษที่ 19 ในที่สุดก็จะเป็นสักขีพยานในการสร้างรูปทรงเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิด ประมาณปีค. ศ. 1813 คาร์ลฟรีดริชเกาส์และเป็นอิสระในราวปีพ. ศ. 2361 ศาสตราจารย์ด้านกฎหมายชาวเยอรมันเฟอร์ดินานด์คาร์ลชไวการ์ต^[9]มีแนวคิดพื้นฐานเกี่ยวกับเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยูคลิดได้ผล แต่ไม่มีการเผยแพร่ผลใด ๆ Franz Taurinusหลานชายของ Schweikart ได้ตีพิมพ์ผลลัพธ์ที่สำคัญของไฮเปอร์โบลิกตรีโกณมิติในเอกสารสองฉบับในปี 1825 และ 1826 แต่ในขณะที่ยอมรับความสอดคล้องภายในของเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกเขายังคงเชื่อในบทบาทพิเศษของเรขาคณิตแบบยูคลิด ^[10]

จากนั้นในปี 1829–1830 นักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซียNikolai Ivanovich Lobachevskyและในปี 1832 János Bolyaiนักคณิตศาสตร์ชาวฮังการีแยกกันและได้รับการตีพิมพ์บทความเกี่ยวกับเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกอย่างอิสระ ดังนั้นเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกจึงเรียกว่ารูปทรงเรขาคณิต Lobachevskian หรือ Bolyai-Lobachevskian เนื่องจากนักคณิตศาสตร์ทั้งสองไม่ขึ้นจากกันเป็นผู้เขียนพื้นฐานของเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยูคลิด เกาส์พูดถึงพ่อของ Bolyai เมื่อแสดงผลงานของ Bolyai ที่อายุน้อยกว่าเขาได้พัฒนารูปทรงเรขาคณิตดังกล่าวเมื่อหลายปีก่อน^[11]แม้ว่าเขาจะไม่ได้เผยแพร่ก็ตาม ในขณะที่ Lobachevsky สร้างไม่เรขาคณิตแบบยุคลิดโดยกวนสมมุติขนาน, Bolyai ทำงานออกเรขาคณิตที่ทั้งยุคลิดและรูปทรงเรขาคณิตที่เกินความจริงที่เป็นไปได้ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์  k Bolyai จบงานของเขาด้วยการกล่าวว่าเป็นไปไม่ได้ที่จะตัดสินใจโดยใช้เหตุผลทางคณิตศาสตร์เพียงอย่างเดียวว่าเรขาคณิตของจักรวาลทางกายภาพเป็นแบบยุคลิดหรือไม่ใช่แบบยุคลิด นี่เป็นงานสำหรับวิทยาศาสตร์กายภาพ

Bernhard Riemannในการบรรยายที่มีชื่อเสียงในปี 1854 ก่อตั้งเขตของรีมันเรขาคณิตอภิปรายโดยเฉพาะอย่างยิ่งความคิดนี้เรียกว่าmanifolds , เมตริกรีมันและความโค้ง เขาสร้างครอบครัวที่ไม่มีที่สิ้นสุดของรูปทรงเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิดโดยให้สูตรสำหรับครอบครัวของตัวชี้วัดรีมันบนยูนิทบอลในพื้นที่ Euclidean สิ่งที่ง่ายที่สุดนี้เรียกว่าเรขาคณิตทรงรีและถือว่าเป็นรูปทรงเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยูคลิดเนื่องจากไม่มีเส้นคู่ขนาน ^[12]

ด้วยการกำหนดรูปทรงเรขาคณิตในรูปของเทนเซอร์ความโค้งRiemann อนุญาตให้ใช้รูปทรงเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิดเพื่อใช้กับมิติที่สูงขึ้น Beltrami (1868) เป็นคนแรกที่ใช้รูปทรงเรขาคณิตของ Riemann กับช่องว่างของความโค้งเชิงลบ

คำศัพท์

เกาส์เป็นผู้บัญญัติศัพท์คำว่า "เรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิด" ^[13]เขาหมายถึงการทำงานของตัวเองซึ่งในวันนี้เราเรียกว่ารูปทรงเรขาคณิตที่เกินความจริง ปัจจุบันผู้เขียนหลายคนยังคิดว่าไม่ใช่เรขาคณิตแบบยุคลิดและรูปทรงเรขาคณิตผ่อนชำระพ้อง

Arthur Cayleyตั้งข้อสังเกตว่าระยะห่างระหว่างจุดภายในรูปกรวยสามารถกำหนดได้ในรูปของลอการิทึมและฟังก์ชันอัตราส่วนข้ามโปรเจ็กต์ วิธีการนี้เรียกว่าCayley - Kleinเพราะเฟลิกซ์ไคลน์ใช้ประโยชน์จากมันเพื่ออธิบายรูปทรงเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิดในบทความ^[14]ในปีพ. ศ. 2414 และ พ.ศ. 2416 และต่อมาในรูปแบบหนังสือ เมตริกของ Cayley – Klein ได้จัดทำแบบจำลองการทำงานของรูปทรงเรขาคณิตแบบไฮเพอร์โบลิกและรูปไข่รวมทั้งเรขาคณิตแบบยูคลิด

ไคลน์รับผิดชอบคำว่า "ไฮเพอร์โบลิก" และ "รูปไข่" (ในระบบของเขาเขาเรียกว่าพาราโบลาเรขาคณิตแบบยูคลิดซึ่งเป็นคำที่ไม่ได้ใช้งานโดยทั่วไป^[15] ) อิทธิพลของเขานำไปสู่การใช้คำว่า "เรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิด" ในปัจจุบันเพื่อหมายถึงรูปทรงเรขาคณิต "ไฮเพอร์โบลิก" หรือ "รูปไข่"

มีนักคณิตศาสตร์บางคนที่จะขยายรายชื่อรูปทรงเรขาคณิตที่ควรเรียกว่า "ไม่ใช่แบบยุคลิด" ในรูปแบบต่างๆ ^[16]

เรขาคณิตแบบยูคลิดสามารถอธิบายตามความเป็นจริงได้หลายวิธี น่าเสียดายที่ระบบดั้งเดิมของ Euclid ที่มีสมมุติฐานห้าประการ (สัจพจน์) ไม่ใช่หนึ่งในสิ่งเหล่านี้เนื่องจากการพิสูจน์ของเขาอาศัยสมมติฐานที่ไม่ได้ระบุไว้หลายประการซึ่งควรถูกนำมาใช้เป็นสัจพจน์ด้วย ระบบของฮิลเบิร์ตประกอบด้วย 20 สัจพจน์^[17]ใกล้ชิดที่สุดตามแนวทางของยุคลิดและให้เหตุผลสำหรับการพิสูจน์ทั้งหมดของยูคลิด ระบบอื่น ๆ โดยใช้ชุดคำศัพท์ที่ไม่ได้กำหนดต่างกันจะได้รูปทรงเรขาคณิตเดียวกันในเส้นทางที่ต่างกัน อย่างไรก็ตามแนวทางทั้งหมดมีสัจพจน์ที่มีเหตุผลเทียบเท่ากับสมมุติฐานที่ห้าของยูคลิดคือสมมุติฐานคู่ขนาน ฮิลเบิร์ตใช้รูปแบบสัจพจน์ของ Playfair ในขณะที่Birkhoffใช้สัจพจน์ที่กล่าวว่า "มีรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน แต่ไม่เท่ากัน" ในใด ๆ ของระบบเหล่านี้การกำจัดของเทียบเท่าหนึ่งความจริงที่จะสมมุติขนานในรูปแบบใดก็จะใช้เวลาและทิ้งหลักการอื่น ๆ เหมือนเดิมผลิตรูปทรงเรขาคณิตที่แน่นอน เนื่องจาก 28 ประพจน์แรกของ Euclid (ในThe Elements ) ไม่จำเป็นต้องใช้สมมุติฐานคู่ขนานหรือสิ่งใด ๆ ที่เทียบเท่ากันจึงเป็นข้อความจริงทั้งหมดในรูปเรขาคณิตสัมบูรณ์ ^[18]

ที่จะได้รับไม่เรขาคณิตแบบยุคลิดสมมุติขนาน (หรือเทียบเท่า) จะต้องถูกแทนที่ด้วยของการปฏิเสธ การลบล้างสัจพจน์ของ Playfairเนื่องจากเป็นคำสั่งผสม (... มีหนึ่งเดียว ... ) สามารถทำได้สองวิธี:

• อาจมีมากกว่าหนึ่งเส้นผ่านจุดที่ขนานกับเส้นที่กำหนดหรือจะไม่มีเส้นผ่านจุดขนานกับเส้นที่กำหนด ในกรณีแรกแทนที่สมมุติฐานคู่ขนาน (หรือเทียบเท่า) ด้วยคำสั่ง "ในระนาบกำหนดจุด P และเส้นl ที่ไม่ผ่าน P มีสองบรรทัดผ่าน P ซึ่งไม่ตรงตามl " และการรักษา ทุกหลักการอื่น ๆ ผลตอบแทนถัวเฉลี่ยเรขาคณิตการผ่อนชำระ ^[19]
• กรณีที่สองไม่ได้จัดการง่ายๆ เพียงแค่แทนที่สมมุติฐานคู่ขนานด้วยข้อความว่า "ในระนาบกำหนดจุด P และเส้นlไม่ผ่าน P เส้นทั้งหมดที่ผ่าน P พบกับl " ไม่ได้ให้ชุดสัจพจน์ที่สอดคล้องกัน สิ่งนี้ตามมาตั้งแต่มีเส้นขนานในรูปเรขาคณิตสัมบูรณ์^[20]แต่คำสั่งนี้บอกว่าไม่มีเส้นขนาน ปัญหานี้เป็นที่รู้กัน (ในรูปแบบอื่น) สำหรับ Khayyam, Saccheri และ Lambert และเป็นพื้นฐานสำหรับการปฏิเสธสิ่งที่เรียกว่า "กรณีมุมป้าน" เพื่อให้ได้ชุดของสัจพจน์ที่สอดคล้องกันซึ่งรวมถึงสัจพจน์เกี่ยวกับการไม่มีเส้นขนานนี้จะต้องปรับเปลี่ยนสัจพจน์อื่น ๆ การปรับเปลี่ยนเหล่านี้ขึ้นอยู่กับระบบสัจพจน์ที่ใช้ ในบรรดาคนอื่น ๆ การปรับแต่งเหล่านี้มีผลในการปรับเปลี่ยนสมมุติฐานที่สองของ Euclid จากคำสั่งที่ว่าส่วนของบรรทัดสามารถขยายไปยังข้อความที่ไม่มีการผูกมัดได้ รูปทรงวงรีของRiemannกลายเป็นรูปทรงเรขาคณิตที่เป็นธรรมชาติที่สุดที่ตอบสนองสัจพจน์นี้

การเปรียบเทียบรูปทรงรีรูปทรงเรขาคณิตแบบยูคลิดและไฮเพอร์โบลิกในสองมิติ

บนทรงกลมผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมไม่เท่ากับ 180 ° พื้นผิวของทรงกลมไม่ใช่ช่องว่างแบบยุคลิด แต่โดยทั่วไปแล้วกฎของเรขาคณิตแบบยูคลิดเป็นค่าประมาณที่ดี ในรูปสามเหลี่ยมเล็ก ๆ บนพื้นโลกผลรวมของมุมเกือบ 180 °

เรขาคณิตแบบยูคลิดสองมิติถูกจำลองขึ้นโดยแนวคิดของเราเกี่ยวกับ " ระนาบแบน"

เรขาคณิตวงรี

แบบจำลองที่ง่ายที่สุดสำหรับเรขาคณิตทรงรีคือทรงกลมโดยเส้นเป็น " วงกลมใหญ่ " (เช่นเส้นศูนย์สูตรหรือเส้นเมอริเดียนบนโลก ) และมีการระบุจุดที่อยู่ตรงข้ามกัน (เรียกว่าจุดแอนติโพดัล ) (ถือว่าเหมือนกัน) และนี่ก็เป็นหนึ่งในรูปแบบมาตรฐานของเครื่องบินจริง projective ความแตกต่างก็คือในฐานะที่เป็นแบบจำลองของรูปทรงเรขาคณิตรูปไข่จะมีการนำเมตริกมาใช้เพื่อให้สามารถวัดความยาวและมุมได้ในขณะที่แบบจำลองของระนาบโปรเจ็กต์จะไม่มีเมตริกดังกล่าว

ในรูปแบบรูปไข่สำหรับสายใดก็ตามลิตรและจุดซึ่งไม่ได้อยู่บนลิตรทุกสายผ่านจะตัดลิตร

เรขาคณิตไฮเพอร์โบลิก

แม้หลังจากผลงานของ Lobachevsky, Gauss และ Bolyai คำถามก็ยังคงอยู่: "แบบจำลองดังกล่าวมีอยู่สำหรับเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกหรือไม่" แบบจำลองสำหรับรูปทรงเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกได้รับคำตอบโดยEugenio Beltramiในปีพ. ศ. 2411 ซึ่งเป็นครั้งแรกที่แสดงให้เห็นว่าพื้นผิวที่เรียกว่าpseudosphereมีความโค้งที่เหมาะสมในการสร้างแบบจำลองส่วนหนึ่งของปริภูมิไฮเพอร์โบลิกและในกระดาษแผ่นที่สองในปีเดียวกันได้กำหนดแบบจำลองไคลน์ซึ่ง สร้างแบบจำลองของปริภูมิไฮเพอร์โบลิกทั้งหมดและใช้สิ่งนี้เพื่อแสดงว่าเรขาคณิตแบบยูคลิดและเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกมีความเท่าเทียมกันเพื่อให้รูปเรขาคณิตไฮเพอร์โบลิกมีความสอดคล้องกันอย่างมีเหตุผลในกรณีที่เรขาคณิตแบบยูคลิดเท่านั้น (ความหมายย้อนกลับมาจากแบบจำลองโฮโรสเฟียร์ของเรขาคณิตแบบยุคลิด)

ในรูปแบบการผ่อนชำระภายในระนาบสองมิติสำหรับสายใดก็ตามลิตรและจุดซึ่งไม่ได้อยู่บนลิตรมีเพียบหลายสายผ่านที่ทำไม่ได้ตัดต่อลิตร

ในแบบจำลองเหล่านี้แนวคิดของรูปทรงเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิดจะแสดงโดยวัตถุแบบยุคลิดในการตั้งค่าแบบยุคลิด สิ่งนี้นำเสนอการบิดเบือนการรับรู้โดยเส้นตรงของเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิดนั้นแสดงด้วยเส้นโค้งแบบยุคลิดที่โค้งงอด้วยสายตา "การดัด" นี้ไม่ได้เป็นสมบัติของเส้นที่ไม่ใช่ยุคลิด แต่เป็นเพียงข้อบ่งชี้ของวิธีที่พวกเขาแสดงเท่านั้น

เรขาคณิตสามมิติที่ไม่ใช่แบบยุคลิด

ในสามมิติมีรูปทรงเรขาคณิตแปดแบบ ^[21]มีรูปทรงเรขาคณิตแบบยูคลิดรูปไข่และไฮเพอร์โบลิกเช่นเดียวกับกรณีสองมิติ รูปทรงเรขาคณิตผสมที่เป็นแบบยุคลิดบางส่วนและไฮเปอร์โบลิกบางส่วนหรือทรงกลม รูปทรงเรขาคณิตแบบผสมที่บิดเบี้ยว และรูปทรงเรขาคณิตที่ผิดปกติอย่างหนึ่งซึ่งเป็นแอนไอโซโทรปิกโดยสิ้นเชิง(กล่าวคือทุกทิศทางมีพฤติกรรมแตกต่างกัน)

รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนแลมเบิร์ตในรูปเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิก

Saccheri quadrilaterals ในสามรูปทรงเรขาคณิต

รูปทรงเรขาคณิตแบบยุคลิดและไม่ใช่ยุคลิดโดยธรรมชาติมีคุณสมบัติหลายประการที่คล้ายคลึงกันกล่าวคือรูปทรงที่ไม่ได้ขึ้นอยู่กับลักษณะของความเท่าเทียมกัน ความธรรมดานี้เป็นเรื่องของเรขาคณิตสัมบูรณ์ (เรียกอีกอย่างว่าเรขาคณิตเป็นกลาง ) อย่างไรก็ตามคุณสมบัติที่แยกแยะรูปทรงเรขาคณิตหนึ่งจากรูปทรงอื่น ๆ ได้รับความสนใจมากที่สุดในอดีต

นอกจากพฤติกรรมของเส้นที่เกี่ยวข้องกับการตั้งฉากทั่วไปที่กล่าวถึงในบทนำแล้วเรายังมีสิ่งต่อไปนี้:

• แลมเบิร์รูปสี่เหลี่ยมเป็นรูปสี่เหลี่ยมที่มีสามมุมขวา มุมที่สี่ของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนแลมเบิร์ตเป็นมุมแหลมถ้ารูปทรงเรขาคณิตเป็นไฮเปอร์โบลิกมุมฉากถ้ารูปทรงเรขาคณิตเป็นแบบยูคลิดหรือป้านถ้ารูปทรงเรขาคณิตเป็นรูปไข่ ดังนั้นรูปสี่เหลี่ยมจึงมีอยู่ (คำสั่งที่เทียบเท่ากับสมมุติฐานคู่ขนาน) เฉพาะในรูปทรงเรขาคณิตแบบยุคลิดเท่านั้น
• Saccheri รูปสี่เหลี่ยมเป็นรูปสี่เหลี่ยมที่มีสองด้านยาวเท่ากันตั้งฉากทั้งสองด้านที่เรียกว่าฐาน อีกสองมุมของรูปสี่เหลี่ยมด้านหลังของ Saccheri เรียกว่ามุมยอดและมีขนาดเท่ากัน มุมยอดของรูปสี่เหลี่ยมจตุรัส Saccheri เป็นมุมแหลมถ้ารูปทรงเรขาคณิตเป็นไฮเพอร์โบลิกมุมฉากถ้ารูปทรงเรขาคณิตเป็นแบบยูคลิดและมุมป้านถ้ารูปทรงเรขาคณิตเป็นรูปไข่
• ผลรวมของการวัดมุมของสามเหลี่ยมใด ๆ มีค่าน้อยกว่า 180 °หากรูปทรงเรขาคณิตเป็นไฮเพอร์โบลิกเท่ากับ 180 °ถ้ารูปทรงเรขาคณิตเป็นแบบยูคลิดและมากกว่า 180 °หากรูปทรงเรขาคณิตเป็นรูปไข่ ข้อบกพร่องของรูปสามเหลี่ยมเป็นค่าตัวเลข (180 ° - ผลรวมของมาตรการของมุมของรูปสามเหลี่ยม) ผลลัพธ์นี้อาจระบุได้ว่า: ข้อบกพร่องของรูปสามเหลี่ยมในรูปเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกเป็นค่าบวกข้อบกพร่องของรูปสามเหลี่ยมในรูปทรงเรขาคณิตแบบยูคลิดเป็นศูนย์และข้อบกพร่องของรูปสามเหลี่ยมในรูปทรงรีเป็นค่าลบ

ก่อนที่รูปแบบของเครื่องบินที่ไม่ใช่แบบยุคลิดที่ถูกนำเสนอโดย Beltrami ไคลน์และPoincaréเรขาคณิตแบบยุคลิดยืนท้าเป็นแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของพื้นที่ นอกจากนี้เนื่องจากเนื้อหาของวัตถุในรูปทรงเรขาคณิตสังเคราะห์เป็นส่วนจัดแสดงหลักของความเป็นเหตุเป็นผลมุมมองของยุคลิดจึงแสดงถึงอำนาจที่แท้จริง

การค้นพบรูปทรงเรขาคณิตที่ไม่ใช่ยุคลิดมีผลกระเพื่อมซึ่งไปไกลเกินขอบเขตของคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์ การปฏิบัติต่อความรู้ของมนุษย์ของนักปรัชญาอิมมานูเอลคานท์มีบทบาทพิเศษสำหรับเรขาคณิต มันเป็นตัวอย่างที่สำคัญของเขาในการสังเคราะห์ความรู้เบื้องต้น; ไม่ได้มาจากประสาทสัมผัสหรืออนุมานด้วยตรรกะ - ความรู้เกี่ยวกับอวกาศของเราเป็นความจริงที่เราเกิดมา น่าเสียดายสำหรับคานท์แนวคิดของเขาเกี่ยวกับรูปทรงเรขาคณิตที่แท้จริงที่ไม่เปลี่ยนแปลงนี้เป็นแบบยุคลิด เทววิทยายังได้รับผลกระทบจากการเปลี่ยนแปลงจากความจริงสัมบูรณ์ไปสู่ความจริงสัมพัทธ์ในลักษณะที่คณิตศาสตร์เกี่ยวข้องกับโลกรอบตัวซึ่งเป็นผลมาจากการเปลี่ยนกระบวนทัศน์นี้ ^[22]

เรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิดเป็นตัวอย่างของการปฏิวัติทางวิทยาศาสตร์ในประวัติศาสตร์วิทยาศาสตร์ซึ่งนักคณิตศาสตร์และนักวิทยาศาสตร์ได้เปลี่ยนวิธีที่พวกเขามองเรื่องของตน ^[23]นักเรขาคณิตบางคนเรียกLobachevskyว่า" Copernicus of Geometry" เนื่องจากลักษณะการปฏิวัติของงานของเขา ^{[24] [25]}

การดำรงอยู่ของรูปทรงเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิดส่งผลกระทบต่อชีวิตทางปัญญาของอังกฤษในยุควิกตอเรียในหลาย ๆ ด้าน^[26]และโดยเฉพาะอย่างยิ่งเป็นปัจจัยสำคัญประการหนึ่งที่ทำให้เกิดการตรวจสอบการสอนเรขาคณิตตามองค์ประกอบของยุคลิดอีกครั้ง ปัญหาหลักสูตรนี้ได้รับการถกเถียงกันอย่างถึงพริกถึงขิงในเวลาและแม้กระทั่งเรื่องของหนังสือที่Euclid และคู่แข่งโมเดิร์นของเขาที่เขียนโดยชาร์ลส์วิทซ์ดอดจ์สัน (1832-1898) ที่รู้จักกันดีของลูอิสแครอล , ผู้เขียนของอลิซในแดนมหัศจรรย์

ในเรขาคณิตวิเคราะห์เครื่องบินถูกอธิบายด้วยพิกัดคาร์ทีเซียน  : C = {( x, y ): x , y ที่ ∈ℝ} จุดบางครั้งจะมีการระบุด้วยตัวเลขที่ซับซ้อนZ = x + y ที่ εที่ε ² ∈ {-1, 0, 1}

ระนาบยุคลิดสอดคล้องกับกรณีε ² = −1เนื่องจากโมดูลัสของzถูกกำหนดโดย

${\ displaystyle zz ^ {\ ast} = (x + y \ epsilon) (xy \ epsilon) = x ^ {2} + y ^ {2}}$

และปริมาณนี้คือกำลังสองของระยะห่างแบบยุคลิดระหว่างzกับจุดกำเนิด ตัวอย่างเช่น{ z | ZZ * = 1}เป็นวงกลมหน่วย

สำหรับพีชคณิตระนาบเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยูคลิดเกิดขึ้นในกรณีอื่น ๆ เมื่อε ² = +1ดังนั้นzคือจำนวนเชิงซ้อนที่แยกส่วนและตามอัตภาพjแทนที่ epsilon แล้ว

${\ displaystyle zz ^ {\ ast} = (x + y \ mathbf {j}) (xy \ mathbf {j}) = x ^ {2} -y ^ {2} \!}$

และ{ z | zz * = 1}คือหน่วยไฮเพอร์โบลา

เมื่อε ² = 0แล้วZเป็นจำนวนคู่ ^[27]

แนวทางนี้เกี่ยวกับเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิดจะอธิบายถึงมุมที่ไม่ใช่แบบยุคลิด: พารามิเตอร์ของความชันในระนาบเลขคู่และมุมไฮเพอร์โบลิกในระนาบเชิงซ้อนแยกนั้นสอดคล้องกับมุมในเรขาคณิตแบบยูคลิด อันที่จริงพวกเขาแต่ละคนเกิดขึ้นในการย่อยสลายขั้วของจำนวนเชิงซ้อนZ ^[28]

เรขาคณิตผ่อนชำระพบการประยุกต์ใช้ในจลนศาสตร์กับร่างกายจักรวาลนำโดยแฮร์มันน์คอฟสกีในปี 1908 คอฟสกีแนะนำคำเช่นWorldlineและเวลาที่เหมาะสมลงในฟิสิกส์คณิตศาสตร์ เขาตระหนักว่าsubmanifoldซึ่งเป็นเหตุการณ์ช่วงเวลาหนึ่งของเวลาที่เหมาะสมในอนาคตถือได้ว่าเป็นพื้นที่ไฮเปอร์โบลิกของสามมิติ ^{[29] [30]}ในปี 1890 Alexander Macfarlaneได้สร้างแผนภูมิย่อยนี้ผ่านAlgebra of Physicsและhyperbolic quaternionsแม้ว่า Macfarlane ไม่ได้ใช้ภาษาจักรวาลเหมือนที่ Minkowski ทำในปี 1908 โครงสร้างที่เกี่ยวข้องปัจจุบันเรียกว่าแบบจำลองไฮเพอร์โบลอยด์ของเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิก .

algebras ระนาบที่ไม่ใช่แบบยุคลิดสนับสนุนรูปทรงจลนศาสตร์ในระนาบ ตัวอย่างเช่นจำนวนเชิงซ้อนที่แยก z = e ^{a j}สามารถแสดงถึงเหตุการณ์กาลอวกาศช่วงเวลาหนึ่งในอนาคตของกรอบอ้างอิงของความรวดเร็ว ก . ยิ่งไปกว่านั้นการคูณด้วยzจะเท่ากับการเพิ่มลอเรนซ์โดยการแมปเฟรมด้วยค่าความเร็วเป็นศูนย์กับความรวดเร็วก .

การศึกษาจลนศาสตร์ใช้ประโยชน์จากตัวเลขคู่ ${\ displaystyle z = x + y \ epsilon, \ quad \ epsilon ^ {2} = 0,}$เพื่อแสดงถึงคำอธิบายแบบคลาสสิกของการเคลื่อนที่ในเวลาและปริภูมิสัมบูรณ์ : สมการ${\ displaystyle x ^ {\ prime} = x + vt, \ quad t ^ {\ prime} = t}$เทียบเท่ากับการทำแผนที่เฉือนในพีชคณิตเชิงเส้น:

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} x '\\ t' \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 1 & v \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} x \\ t \ end {pmatrix}}.}$

ด้วยตัวเลขคู่การจับคู่คือ ${\ displaystyle t ^ {\ prime} + x ^ {\ prime} \ epsilon = (1 + v \ epsilon) (t + x \ epsilon) = t + (x + vt) \ epsilon.}$^[31]

อีกมุมมองหนึ่งของทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษในฐานะเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยูคลิดได้รับการพัฒนาขั้นสูงโดยEB WilsonและGilbert LewisในการดำเนินการของAmerican Academy of Arts and Sciencesในปี 1912 พวกเขาปรับปรุงรูปทรงเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์โดยนัยในพีชคณิตจำนวนเชิงซ้อนให้เป็นเรขาคณิตสังเคราะห์ของสถานที่ และการหักเงิน ^{[32] [33]}

ไม่เรขาคณิต Euclidean มักจะทำให้การปรากฏตัวในการทำงานของนิยายวิทยาศาสตร์และแฟนตาซี

• ในปี 1895, HG Wellsตีพิมพ์เรื่องสั้นกรณีที่โดดเด่นของดวงตาเดวิดสัน ในการชื่นชมเรื่องราวนี้เราควรทราบว่าจุดแอนติโพดัลบนทรงกลมนั้นถูกระบุในแบบจำลองของระนาบวงรีอย่างไร ในเรื่องนี้ท่ามกลางพายุฝนฟ้าคะนองซิดนีย์เดวิดสันเห็น "คลื่นและเรือใบที่ประณีตอย่างน่าทึ่ง" ขณะทำงานในห้องปฏิบัติการไฟฟ้าที่วิทยาลัยเทคนิคฮาร์โลว์ ที่ใกล้ชิดของเรื่องเดวิดสันพิสูจน์ให้ได้เห็นรเหลวไหลออกจากเกาะตรงข้าม
• ไม่เรขาคณิต Euclidean มีการเชื่อมต่อบางครั้งก็มีอิทธิพลของศตวรรษที่ 20 นิยายสยองขวัญนักเขียนเลิฟคราฟท์ ในผลงานของเขาสิ่งที่ผิดธรรมชาติหลายอย่างเป็นไปตามกฎเรขาคณิตที่เป็นเอกลักษณ์ของตัวเอง: ในCthulhu MythosของLovecraftเมืองR'lyeh ที่จมอยู่ใต้น้ำมีลักษณะทางเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิด มีนัยอย่างมากว่านี่เป็นผลข้างเคียงของการไม่ปฏิบัติตามกฎธรรมชาติของจักรวาลนี้แทนที่จะใช้แบบจำลองทางเรขาคณิตแบบอื่นเนื่องจากความผิดโดยธรรมชาติที่แท้จริงของมันกล่าวกันว่าสามารถผลักดันให้ผู้ที่มองดูมันเสียสติได้ ^[34]
• ตัวละครหลักในZenของRobert Pirsig และ Art of Motorcycle Maintenanceกล่าวถึง Riemannian Geometry หลายครั้ง
• ในThe Brothers Karamazov Dostoevsky กล่าวถึงรูปทรงเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิดผ่านตัวละครของเขาอีวาน
• นิยายInverted Worldของ Christopher Priest อธิบายถึงการต่อสู้เพื่อการมีชีวิตอยู่บนโลกด้วยรูปแบบของpseudosphere ที่หมุนได้
• The Number of the Beast ของ Robert Heinlein ใช้รูปทรงเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิดเพื่ออธิบายการขนส่งผ่านอวกาศและเวลาในทันทีและระหว่างจักรวาลคู่ขนานกับจักรวาลสมมติ
• HyperRogueของ Zeno Rogue เป็นเกมโร๊คไลค์ที่ตั้งอยู่บนระนาบไฮเปอร์โบลิกทำให้ผู้เล่นได้สัมผัสกับคุณสมบัติมากมายของรูปทรงเรขาคณิตนี้ กลศาสตร์เควสและสถานที่หลายอย่างขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกอย่างมาก ^[35]
• ในการหักหลังกองทัพ นิยายวิทยาศาสตร์การตั้งค่าสำหรับFASA 's wargame , บทบาทการเล่นเกมและนิยายได้เร็วกว่าแสงเดินทางและการสื่อสารเป็นไปได้ผ่านการใช้งานของ Hsieh โฮ Polydimensional ไม่เรขาคณิต Euclidean ตีพิมพ์ในช่วงกลางของ ศตวรรษที่ 22
• ในFlatterlandของเอียนสจ๊วตผู้ เป็นตัวเอกของวิกตอเรียไลน์ไปเยี่ยมชมโลกที่ไม่ใช่ยุคลิด

• ปริภูมิไฮเพอร์โบลิก
• Lénártทรงกลม
• เรขาคณิตโปรเจกต์
• การเจริญเติบโตของพื้นผิวที่ไม่ใช่แบบยุคลิด

• A'Campo, Norbert and Papadopoulos, Athanase , (2012) Notes on hyperbolic geometry , in: Strasbourg Master class on Geometry, pp. 1–182, IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics, Vol. 18, Zürich: European Mathematical Society (EMS), 461 หน้า, ISBN  978-3-03719-105-7 , DOI: 10.4171 / 105 .
• Anderson, James W. Hyperbolic Geometry , พิมพ์ครั้งที่สอง, Springer, 2005
• Beltrami, Eugenio Teoria fondamentale degli spazî di curvatura costante , Annali ดิ Mat., ser II 2 (1868), 232–255
• Blumenthal, Leonard M. (1980), มุมมองทางเรขาคณิตสมัยใหม่ , นิวยอร์ก: Dover, ISBN 0-486-63962-2
• Carroll, Lewis Euclid และคู่แข่งสมัยใหม่ของเขา , New York: Barnes and Noble, 2009 (พิมพ์ซ้ำ) ไอ 978-1-4351-2348-9
• HSM Coxeter (1942) ไม่เรขาคณิต Euclidean , มหาวิทยาลัยโตรอนโตกดไหปี 1998 โดยสมาคมคณิตศาสตร์แห่งอเมริกา , ISBN  0-88385-522-4
• Faber, Richard L. (1983), รากฐานของเรขาคณิตแบบยุคลิดและไม่ใช่ยุคลิดนิวยอร์ก: Marcel Dekker, ISBN 0-8247-1748-1
• เจเรมีสีเทา (1989) ไอเดียของพื้นที่: ยูคลิดไม่ยุคลิดและความสัมพันธ์ , ฉบับที่ 2, คลาเรนดอนกด
• Greenberg, Marvin Jay Euclidean และเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิด: พัฒนาการและประวัติศาสตร์ , 4th ed., New York: WH Freeman, 2007 ISBN  0-7167-9948-0
• มอร์ริสไคลน์ (1972) คณิตศาสตร์คิดจากโบราณสมัยใหม่บทที่ 36 ไม่เรขาคณิต Euclidean, PP 861-81, Oxford University Press
• Bernard H. Lavenda , (2012) "มุมมองใหม่เกี่ยวกับสัมพัทธภาพ: โอดิสซีย์ในรูปทรงเรขาคณิตที่ไม่ใช่ยุคลิด", World Scientific , หน้า 696, ISBN  9789814340489
• Nikolai Lobachevsky (2010) Pangeometry , Translator and Editor: A.Papadopoulos , Heritage of European Mathematics Series, Vol. 4 สมาคมคณิตศาสตร์ยุโรป
• Manning, Henry Parker (1963), Introductory Non-Euclidean Geometry , New York: Dover
• Meschkowski, Herbert (1964), Noneuclidean Geometry , New York: สำนักพิมพ์วิชาการ
• Milnor, John W. (1982) Hyperbolic geometry: 150 ปีแรก Bull. Amer. คณิตศาสตร์. Soc. (NS) Volume 6, Number 1, pp. 9–24
• Richards, Joan L. (1988), Mathematical Visions: The Pursuit of Geometry in Victorian England , Boston: Academic Press, ISBN 0-12-587445-6
• สมาร์ทเจมส์อาร์ (1997) เรขาคณิตสมัยใหม่ (ฉบับที่ 5)แปซิฟิกโกรฟ: บรูคส์ / โคลISBN 0-534-35188-3
• Stewart, Ian (2001) Flatterland , New York: Perseus Publishing ISBN  0-7382-0675-X (ปกอ่อน)
• จอห์นสติลเวล (1996) แหล่งที่มาของการผ่อนชำระเรขาคณิต , สมาคมคณิตศาสตร์อเมริกันISBN  0-8218-0529-0
• Trudeau, Richard J. (1987), The Non-Euclidean Revolution , Boston: Birkhauser, ISBN 0-8176-3311-1
• A. Papadopoulos et Guillaume Théret (2014) La théorie des parallèles de Johann Heinrich Lambert (สมุดบันทึกของแลมเบิร์ตฉบับวิจารณ์ที่มีการแปลเป็นภาษาฝรั่งเศสพร้อมบันทึกประวัติศาสตร์และคณิตศาสตร์และข้อคิดเห็นéd. Blanchard, coll. Sciences dans l'Histoire, Parisไอ 978-2-85367-266-5

• สื่อที่เกี่ยวข้องกับเรขาคณิตที่ไม่ใช่ยุคลิดในวิกิมีเดียคอมมอนส์

• Roberto Bonola (1912) เรขาคณิตที่ไม่ใช่ยุคลิด , Open Court, Chicago
• MacTutor Archive บทความเกี่ยวกับเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิด
• เรขาคณิต euclideanที่PlanetMath
• รูปทรงที่ไม่ใช่แบบยุคลิดจากสารานุกรมคณิตศาสตร์ของสมาคมคณิตศาสตร์ยุโรปและวิทยาศาสตร์สปริงเกอร์ + สื่อธุรกิจ
• กาลอวกาศสังเคราะห์การย่อยของสัจพจน์ที่ใช้และทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้วโดย Wilson และ Lewis เก็บถาวรโดยWebCite