• logo

ละแวกบ้าน (คณิตศาสตร์)

ในโครงสร้างและพื้นที่ที่เกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์เป็นเขต (หรือเขต ) เป็นหนึ่งในแนวคิดพื้นฐานในพื้นที่ทอพอโลยี มันเป็นเรื่องที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับแนวคิดของชุดเปิดและการตกแต่งภายใน พูดโดยสังหรณ์ใจย่านของจุดคือชุดของจุดที่มีจุดนั้นซึ่งเราสามารถเคลื่อนย้ายจำนวนหนึ่งไปในทิศทางใดก็ได้จากจุดนั้นโดยไม่ต้องออกจากฉากนั้น

ชุด วี {\ displaystyle V} วีใน เครื่องบินเป็นพื้นที่ใกล้เคียงของจุด น {\ displaystyle p} น หากเป็นแผ่นดิสก์ขนาดเล็ก น {\ displaystyle p} น มีอยู่ใน วี {\ displaystyle V} วี.

คำจำกัดความ

ย่านของจุด

ถ้า X {\ displaystyle X} Xเป็นพื้นที่ทอพอโลยีและ น {\ displaystyle p} p เป็นประเด็นใน X {\ displaystyle X} X, พื้นที่ใกล้เคียงของ น {\ displaystyle p} pเป็นส่วนย่อย วี {\ displaystyle V} V ของ X {\ displaystyle X} Xซึ่งรวมถึงชุดเปิด ยู {\ displaystyle U} U ที่มี น , {\ displaystyle p,} p,

น ∈ ยู ⊆ วี . {\ displaystyle p \ in U \ subseteq V. } p\in U\subseteq V.

นี้ยังเทียบเท่ากับจุด น ∈ X {\ displaystyle p \ in X} p\in Xเป็นของการตกแต่งภายในโทโพโลยีของ วี {\ displaystyle V} V ใน X . {\ displaystyle X. } X.

เพื่อนบ้าน วี {\ displaystyle V} Vไม่จำเป็นต้องเป็นส่วนย่อยที่เปิดอยู่ X , {\ displaystyle X,} X, แต่เมื่อ วี {\ displaystyle V} V เปิดให้บริการใน X {\ displaystyle X} X จากนั้นจะเรียกว่าไฟล์ เขตเปิด [1]เป็นที่ทราบกันดีว่าผู้เขียนบางคนกำหนดให้มีการเปิดพื้นที่ใกล้เคียงดังนั้นจึงเป็นเรื่องสำคัญที่จะต้องสังเกตการประชุม

สี่เหลี่ยมผืนผ้าปิดไม่มีพื้นที่ใกล้เคียงที่มุมหรือขอบเขตใด ๆ

เซตที่เป็นพื้นที่ใกล้เคียงของแต่ละจุดจะเปิดเนื่องจากสามารถแสดงเป็นการรวมกันของเซตเปิดที่มีแต่ละจุด สี่เหลี่ยมผืนผ้าตามที่แสดงในรูปไม่ใช่พื้นที่ใกล้เคียงของทุกจุด จุดบนขอบหรือมุมของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าไม่มีอยู่ในชุดเปิดใด ๆ ที่มีอยู่ภายในสี่เหลี่ยมผืนผ้า

การรวบรวมย่านทั้งหมดของจุดเรียกว่าระบบย่านที่จุด

พื้นที่ใกล้เคียงของชุด

ถ้า ส {\ displaystyle S} Sเป็นส่วนย่อยของพื้นที่ทอพอโลยี X {\ displaystyle X} Xจากนั้นก็เป็นย่านของ ส {\ displaystyle S} S เป็นชุด วี {\ displaystyle V} V ซึ่งรวมถึงชุดเปิด ยู {\ displaystyle U} U ที่มี ส {\ displaystyle S} S. ตามนั้นเซตVคือย่านของSถ้าเป็นย่านใกล้เคียงของจุดทั้งหมดในSเท่านั้น นอกจากนี้Vยังเป็นย่านของS ถ้า Sเป็นส่วนย่อยของการตกแต่งภายในของVเท่านั้น ย่านของSที่ยังเป็นชุดที่เปิดอยู่จะเรียกว่าเขตเปิดของS พื้นที่ใกล้เคียงของจุดเป็นเพียงกรณีพิเศษของคำจำกัดความนี้

ในช่องว่างเมตริก

ชุด ส {\ displaystyle S} S ในเครื่องบินและพื้นที่ใกล้เคียง วี {\ displaystyle V} V ของ ส {\ displaystyle S} S.
ย่าน epsilon ของตัวเลข aบนเส้นจำนวนจริง

ในช่องว่างเมตริก ม = ( X , ง ) {\ displaystyle M = (X, d)} M=(X,d), ชุด วี {\ displaystyle V} Vเป็นย่านของจุด น {\ displaystyle p} pหากมีบอลเปิดที่มีศูนย์กลาง น {\ displaystyle p} p และรัศมี ร > 0 {\ displaystyle r> 0} r>0, ดังนั้น

ข ร ( น ) = ข ( น ; ร ) = { x ∈ X ∣ ง ( x , น ) < ร } {\ displaystyle B_ {r} (p) = B (p; r) = \ {x \ in X \ mid d (x, p) B_{r}(p)=B(p;r)=\{x\in X\mid d(x,p)<r\}

มีอยู่ใน วี {\ displaystyle V} V.

วี {\ displaystyle V} Vเรียกว่าพื้นที่ใกล้เคียงของชุด ส {\ displaystyle S} S ถ้ามีจำนวนบวก ร {\ displaystyle r} r เช่นนั้นสำหรับทุกองค์ประกอบ น {\ displaystyle p} p ของ ส {\ displaystyle S} S,

ข ร ( น ) = { x ∈ X ∣ ง ( x , น ) < ร } {\ displaystyle B_ {r} (p) = \ {x \ in X \ mid d (x, p) B_{r}(p)=\{x\in X\mid d(x,p)<r\}

มีอยู่ใน วี {\ displaystyle V} V.

สำหรับ ร > 0 {\ displaystyle r> 0} r > 0 ที่ ร {\ displaystyle r} r-ย่าน ส ร {\ displaystyle S_ {r}} S_r ของชุด ส {\ displaystyle S} S คือชุดของจุดทั้งหมดใน X {\ displaystyle X} X ที่อยู่ในระยะทางน้อยกว่า ร {\ displaystyle r} r จาก ส {\ displaystyle S} S (หรือเทียบเท่า ส {\ displaystyle S} S ร {\ displaystyle r} r คือการรวมกันของลูกรัศมีที่เปิดอยู่ทั้งหมด ร {\ displaystyle r} r ที่อยู่กึ่งกลางที่จุดหนึ่ง ส {\ displaystyle S} S): ส ร = ⋃ น ∈ ส ข ร ( น ) . {\ displaystyle S_ {r} = \ bigcup \ ขีด จำกัด _ {p \ in {} S} B_ {r} (p).} {\displaystyle S_{r}=\bigcup \limits _{p\in {}S}B_{r}(p).}

เป็นไปตามนั้นโดยตรง ร {\ displaystyle r} r-neighbourhood เป็นย่านที่เหมือนกันและชุดนั้นเป็นพื้นที่ใกล้เคียงที่เหมือนกันก็ต่อเมื่อมีไฟล์ ร {\ displaystyle r} r- ย่านธุรกิจสำหรับมูลค่าบางส่วนของ ร {\ displaystyle r} r.

ตัวอย่าง

เซต M เป็นย่านใกล้เคียงของหมายเลข a เนื่องจากมีย่านεซึ่งเป็นเซตย่อยของ M

กำหนดชุดของจำนวนจริง ร {\ displaystyle \ mathbb {R}} \mathbb {R} ด้วยเมตริกแบบยุคลิดปกติและชุดย่อย วี {\ displaystyle V} V กำหนดเป็น

วี : = ⋃ n ∈ น ข ( n ; 1 / n ) , {\ displaystyle V: = \ bigcup _ {n \ in \ mathbb {N}} B \ left (n \,; \, 1 / n \ right),} V:=\bigcup _{{n\in {\mathbb {N}}}}B\left(n\,;\,1/n\right),

แล้ว วี {\ displaystyle V} V เป็นพื้นที่ใกล้เคียงสำหรับฉาก น {\ displaystyle \ mathbb {N}} \mathbb {N} ของจำนวนธรรมชาติแต่ไม่ใช่ย่านที่เหมือนกันของชุดนี้

โทโพโลยีจากละแวกใกล้เคียง

คำจำกัดความข้างต้นมีประโยชน์หากมีการกำหนดแนวคิดของชุดเปิดไว้แล้ว มีทางเลือกอื่นในการกำหนดโทโพโลยีโดยการกำหนดระบบพื้นที่ใกล้เคียงก่อนจากนั้นจึงเปิดชุดเป็นชุดที่มีย่านใกล้เคียงของแต่ละจุด

ระบบพื้นที่ใกล้เคียงเปิดอยู่ X {\ displaystyle X} Xเป็นการกำหนดตัวกรอง น ( x ) {\ displaystyle N (x)} N(x) ของชุดย่อยของ X {\ displaystyle X} X สำหรับแต่ละคน x {\ displaystyle x} x ใน X {\ displaystyle X} X, ดังนั้น

  1. ประเด็น x {\ displaystyle x} x เป็นองค์ประกอบของแต่ละ ยู {\ displaystyle U} U ใน น ( x ) {\ displaystyle N (x)} N(x)
  2. แต่ละ ยู {\ displaystyle U} U ใน น ( x ) {\ displaystyle N (x)} N(x) มีบางส่วน วี {\ displaystyle V} V ใน น ( x ) {\ displaystyle N (x)} N(x) เช่นนั้นสำหรับแต่ละคน ย {\ displaystyle y} y ใน วี {\ displaystyle V} V, ยู {\ displaystyle U} U อยู่ใน น ( ย ) {\ displaystyle N (y)} N(y).

เราสามารถแสดงให้เห็นว่าคำจำกัดความทั้งสองเข้ากันได้กล่าวคือโทโพโลยีที่ได้รับจากระบบย่านใกล้เคียงที่กำหนดโดยใช้เซตเปิดเป็นแบบดั้งเดิมและในทางกลับกันเมื่อเริ่มต้นจากระบบย่าน

ย่านที่เหมือนกัน

ในพื้นที่ที่สม่ำเสมอ ส = ( X , Φ ) {\ displaystyle S = (X, \ Phi)} {\displaystyle S=(X,\Phi )}, วี {\ displaystyle V} Vเรียกว่าย่านเดียวกันของ ป {\ displaystyle P} Pหากมีสภาพแวดล้อม ยู ∈ Φ {\ displaystyle U \ in \ Phi} {\displaystyle U\in \Phi } ดังนั้น วี {\ displaystyle V} V มีจุดทั้งหมดของ X {\ displaystyle X} X นั้นคือ ยู {\ displaystyle U} U- ใกล้บางจุด ป {\ displaystyle P} P; นั่นคือ, ยู [ x ] ⊆ วี {\ displaystyle U [x] \ subseteq V} {\displaystyle U[x]\subseteq V} สำหรับทุกอย่าง x ∈ ป {\ displaystyle x \ in P} x\in P.

พื้นที่ใกล้เคียงที่ถูกลบ

ลบเขตของจุด น {\ displaystyle p} p(บางครั้งเรียกว่าย่านเจาะ ) เป็นย่านของ น {\ displaystyle p} pโดยไม่ต้อง { น } {\ displaystyle \ {p \}} \{p\}. ตัวอย่างเช่นช่วงเวลา ( - 1 , 1 ) = { ย : - 1 < ย < 1 } {\ displaystyle (-1,1) = \ {y: -1 (-1,1)=\{y:-1<y<1\} เป็นพื้นที่ใกล้เคียงของ น = 0 {\ displaystyle p = 0} p=0ในบรรทัดจริงดังนั้นชุด ( - 1 , 0 ) ∪ ( 0 , 1 ) = ( - 1 , 1 ) ∖ { 0 } {\ displaystyle (-1,0) \ cup (0,1) = (- 1,1) \ setminus \ {0 \}} (-1,0)\cup (0,1)=(-1,1)\setminus \{0\} เป็นย่านที่ถูกลบของ 0 {\ displaystyle 0} {\displaystyle 0}. ย่านที่ถูกลบของจุดที่ระบุนั้นไม่ได้เป็นย่านของจุดนั้น แนวคิดของย่านที่ถูกลบเกิดขึ้นในนิยามของขีด จำกัด ของฟังก์ชันและในนิยามของจุด จำกัด (เหนือสิ่งอื่นใด)

ดูสิ่งนี้ด้วย

  • ระบบย่าน
  • ภาค (คณิตศาสตร์)
  • ย่านท่อ

อ้างอิง

  1. ^ Dixmier ฌาคส์ (1984) โทโพโลยีทั่วไป ตำราคณิตศาสตร์ระดับปริญญาตรี แปลโดย Sterling K. สปริงเกอร์. น. 6 . ISBN 0-387-90972-9. ตามคำจำกัดความนี้ย่านเปิดของ x {\ displaystyle x} x ไม่มีอะไรมากไปกว่าส่วนย่อยที่เปิดอยู่ของ จ {\ displaystyle E} E ที่ประกอบด้วย x . {\ displaystyle x.} x.
  • ตวัดจอห์นแอล. (2518). โครงสร้างทั่วไป นิวยอร์ก: Springer-Verlag ISBN 0-387-90125-6.
  • Bredon, Glen E. (1993). โทโพโลยีและเรขาคณิต . นิวยอร์ก: Springer-Verlag ISBN 0-387-97926-3.
  • Kaplansky, เออร์วิง (2544). ทฤษฎีเซตและเมตริก Spaces สมาคมคณิตศาสตร์อเมริกัน. ISBN 0-8218-2694-8.
Language
  • Thai
  • Français
  • Deutsch
  • Arab
  • Português
  • Nederlands
  • Türkçe
  • Tiếng Việt
  • भारत
  • 日本語
  • 한국어
  • Hmoob
  • ខ្មែរ
  • Africa
  • Русский

©Copyright This page is based on the copyrighted Wikipedia article "/wiki/Neighbourhood_(mathematics)" (Authors); it is used under the Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported License. You may redistribute it, verbatim or modified, providing that you comply with the terms of the CC-BY-SA. Cookie-policy To contact us: mail to admin@tvd.wiki

TOP