จำนวนลบ

ในวิชาคณิตศาสตร์เป็นจำนวนลบหมายถึงตรงข้าม ^[1]ในจำนวนจริงระบบจำนวนลบเป็นตัวเลขที่ไม่น้อยกว่า ศูนย์ ตัวเลขเชิงลบมักใช้เพื่อแสดงขนาดของการสูญเสียหรือการขาด หนี้ที่เป็นหนี้อาจจะคิดว่าเป็นสินทรัพย์เชิงลบลดลงในปริมาณที่บางคนอาจจะคิดว่าเป็นการเพิ่มขึ้นในเชิงลบ ถ้าปริมาณเช่นประจุบนอิเล็กตรอนอาจมีความรู้สึกที่ตรงกันข้ามกันอย่างใดอย่างหนึ่งอาจเลือกที่จะแยกแยะความแตกต่างระหว่างความรู้สึกเหล่านั้น - บางทีโดยพลการ - เป็นบวกและลบ. ตัวเลขเชิงลบใช้เพื่ออธิบายค่าในสเกลที่ต่ำกว่าศูนย์เช่นสเกลเซลเซียสและฟาเรนไฮต์สำหรับอุณหภูมิ กฎของเลขคณิตสำหรับจำนวนลบทำให้แน่ใจได้ว่าความคิดสามัญสำนึกของสิ่งที่ตรงกันข้ามจะสะท้อนให้เห็นในเลขคณิต ตัวอย่างเช่น - (- 3) = 3 เนื่องจากค่าตรงข้ามกับค่าเดิม

เครื่องวัดอุณหภูมินี้แสดงอุณหภูมิฟาเรนไฮต์ติดลบ (−4 ° F)

ตัวเลขเชิงลบมักเขียนโดยมีเครื่องหมายลบอยู่ข้างหน้า ตัวอย่างเช่น −3 หมายถึงปริมาณเชิงลบที่มีขนาดเป็นสามและออกเสียงว่า "ลบสาม" หรือ "ลบสาม" เพื่อช่วยบอกความแตกต่างระหว่างการดำเนินการลบและจำนวนลบบางครั้งเครื่องหมายลบจะถูกวางไว้สูงกว่าเครื่องหมายลบเล็กน้อย(เป็นตัวยก ) ตรงกันข้ามตัวเลขที่มีค่ามากกว่าศูนย์เรียกว่าบวก ; โดยปกติจะเป็นศูนย์ ( แต่ไม่เสมอไป ) คิดเป็นค่าบวกหรือเชิงลบ ^[2]ความเป็นบวกของตัวเลขอาจเน้นได้โดยการใส่เครื่องหมายบวกไว้ข้างหน้าเช่น +3 โดยทั่วไปการปฏิเสธหรือบวกของตัวเลขจะเรียกว่าเป็นของตนเข้าสู่ระบบ

จำนวนจริงทั้งหมดที่ไม่ใช่ศูนย์เป็นบวกหรือลบ ตัวเลขทั้งที่ไม่ใช่เชิงลบจะเรียกว่าเป็นจำนวนธรรมชาติ (เช่น 0, 1, 2, 3 ... ) ในขณะที่ในเชิงบวกและเชิงลบจำนวนเต็ม (ร่วมกับศูนย์) จะเรียกว่าเป็นจำนวนเต็ม (คำจำกัดความบางประการของจำนวนธรรมชาติไม่รวมศูนย์)

ในการทำบัญชีจำนวนเงินที่ค้างชำระมักแสดงด้วยตัวเลขสีแดงหรือตัวเลขในวงเล็บเป็นสัญกรณ์ทางเลือกในการแทนจำนวนลบ

ตัวเลขเชิงลบปรากฏเป็นครั้งแรกในประวัติศาสตร์ในเก้าบทเกี่ยวกับศิลปะคณิตศาสตร์ซึ่งในรูปแบบปัจจุบันเกิดขึ้นตั้งแต่ช่วงราชวงศ์ฮั่นของจีน(202 ปีก่อนคริสตกาล - ค.ศ. 220) แต่อาจมีเนื้อหาที่เก่ากว่ามาก ^[3] Liu Hui (ค. ศตวรรษที่ 3) ได้กำหนดกฎเกณฑ์ในการบวกและลบจำนวนลบ ^[4]เมื่อถึงศตวรรษที่ 7 นักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียเช่นพรหมคุปตะกำลังอธิบายถึงการใช้จำนวนลบ นักคณิตศาสตร์อิสลามพัฒนาต่อกฎของการลบและการคูณตัวเลขที่ติดลบและปัญหาเกี่ยวกับการแก้ปัญหาในเชิงลบค่าสัมประสิทธิ์ ^[5]ก่อนที่จะมีแนวคิดเรื่องจำนวนลบนักคณิตศาสตร์เช่นDiophantusคิดว่าการแก้ปัญหาเชิงลบสำหรับปัญหา "เท็จ" และสมการที่ต้องใช้วิธีแก้ปัญหาเชิงลบถูกอธิบายว่าไร้สาระ ^[6]นักคณิตศาสตร์ชาวตะวันตกเช่น Leibniz (1646–1716) ถือว่าจำนวนลบนั้นไม่ถูกต้อง แต่ก็ยังคงใช้ในการคำนวณ ^[7]^[8]

บทนำ

อันเป็นผลมาจากการลบ

จำนวนลบสามารถคิดได้ว่าเป็นผลมาจากการลบจำนวนที่มากขึ้นจากจำนวนที่น้อยกว่า ตัวอย่างเช่นลบสามเป็นผลมาจากการลบสามออกจากศูนย์:

0 - 3 = -3.

โดยทั่วไปการลบจำนวนที่มากขึ้นจากจำนวนที่น้อยกว่าจะให้ผลลัพธ์ที่เป็นลบโดยขนาดของผลลัพธ์คือความแตกต่างระหว่างตัวเลขทั้งสอง ตัวอย่างเช่น,

5 - 8 = -3

ตั้งแต่ $8-5 =$ 3

เส้นจำนวน

ความสัมพันธ์ระหว่างจำนวนลบจำนวนบวกและศูนย์มักแสดงในรูปแบบของเส้นจำนวน :

ตัวเลขที่ปรากฏอยู่ไกลออกไปทางขวาของบรรทัดนี้จะมากกว่าในขณะที่ตัวเลขที่ปรากฏห่างออกไปทางซ้ายจะน้อยกว่า ดังนั้นศูนย์จึงปรากฏตรงกลางโดยมีตัวเลขบวกอยู่ทางขวาและตัวเลขลบทางซ้าย

โปรดทราบว่าจำนวนลบที่มีขนาดมากกว่าถือว่าน้อยกว่า ตัวอย่างเช่นแม้ว่า (บวก) $8$ จะมากกว่า (บวก) $5$ ก็ตาม

8> 5

ลบ $8$ ถือว่าน้อยกว่าลบ $5$ :

-8 <-5.

(เพราะตัวอย่างเช่นถ้าคุณมี£ −8 หนี้ 8 ปอนด์คุณจะมีเงินน้อยกว่าหลังจากเพิ่มแล้วพูดว่า 10 ปอนด์มากกว่าถ้าคุณมี 5 ปอนด์) ตามมาว่าจำนวนลบใด ๆ ที่มีค่าน้อยกว่า จำนวนบวกใด ๆ ดังนั้น

-8 <5

และ

-5 <8

หมายเลขที่ลงนาม

ในบริบทของตัวเลขที่ติดลบจำนวนที่มีค่ามากกว่าศูนย์จะเรียกว่าเป็นบวก ดังนั้นทุกจำนวนจริงนอกเหนือจากศูนย์จึงเป็นบวกหรือลบในขณะที่ศูนย์เองไม่ถือว่ามีเครื่องหมาย บางครั้งจำนวนบวกจะเขียนโดยมีเครื่องหมายบวกอยู่ข้างหน้าเช่น $+3$ หมายถึงบวกสาม

เนื่องจากศูนย์ไม่ใช่ทั้งบวกหรือลบคำว่าnonnegativeบางครั้งจึงใช้เพื่ออ้างถึงจำนวนที่เป็นบวกหรือศูนย์ในขณะที่nonpositiveใช้เพื่ออ้างถึงจำนวนที่เป็นลบหรือศูนย์ ศูนย์คือจำนวนที่เป็นกลาง

การใช้ตัวเลขเชิงลบในชีวิตประจำวัน

กีฬา

คะแนนกอล์ฟติดลบเทียบกับพาร์

เป้าหมายที่แตกต่างในสมาคมฟุตบอลและฮอกกี้ ; ชี้ความแตกต่างในรักบี้ฟุตบอล ; อัตราการวิ่งสุทธิในคริกเก็ต กอล์ฟคะแนนเทียบกับหุ้นที่ตราไว้
ค่าความแตกต่างบวกลบในฮ็อกกี้น้ำแข็ง : ความแตกต่างของประตูรวมที่ทำได้สำหรับทีม (+) และต่อทีม (-) เมื่อผู้เล่นคนใดคนหนึ่งอยู่บนน้ำแข็งคือคะแนน +/− ของผู้เล่น ผู้เล่นสามารถมีคะแนนติดลบ (+/−)
รันดิฟเฟอเรนเชียลในเบสบอล : ค่าความแตกต่างของการวิ่งจะเป็นลบหากทีมปล่อยให้วิ่งได้มากกว่าที่พวกเขาทำแต้มได้
สโมสรอาจถูกหักคะแนนจากการละเมิดกฎหมายและจะมีคะแนนรวมติดลบจนกว่าพวกเขาจะได้รับคะแนนอย่างน้อยในฤดูกาลนั้น ^[9]^[10]
เวลารอบ (หรือเซกเตอร์) ในสูตร 1อาจได้รับเป็นความแตกต่างเมื่อเทียบกับรอบก่อนหน้า (หรือเซกเตอร์) (เช่นบันทึกก่อนหน้าหรือรอบที่เพิ่งเสร็จสมบูรณ์โดยคนขับอยู่ข้างหน้า) และจะเป็นบวกถ้าช้ากว่าและ ลบถ้าเร็วกว่า ^[11]
ในบางกรีฑาเหตุการณ์เช่นวิ่งแข่งที่อุปสรรค์ที่สามกระโดดและกระโดดไกลที่ความช่วยเหลือลมเป็นวัดและบันทึก^[12]และเป็นบวกสำหรับองศาเซลเซียสและเชิงลบสำหรับลม ^[13]

วิทยาศาสตร์

อุณหภูมิที่เย็นกว่า 0 ° C หรือ 0 ° F ^[14]^[15]
ละติจูดใต้ของเส้นศูนย์สูตรและลองจิจูดทางตะวันตกของเส้นแวงที่สำคัญ
ลักษณะภูมิประเทศของพื้นผิวโลกได้รับความสูงเหนือระดับน้ำทะเลซึ่งอาจเป็นลบได้ (เช่นการยกระดับพื้นผิวของทะเลเดดซีหรือหุบเขามรณะหรือความสูงของอุโมงค์เทมส์ไทด์เวย์ )
วงจรไฟฟ้า . เมื่อเชื่อมต่อแบตเตอรี่ในขั้วย้อนกลับแรงดันไฟฟ้าที่ใช้จะกล่าวได้ว่าตรงข้ามกับแรงดันไฟฟ้าที่ได้รับการจัดอันดับ ตัวอย่างเช่นแบตเตอรี่ 6 โวลต์ที่เชื่อมต่อแบบย้อนกลับจะใช้แรงดันไฟฟ้า −6 โวลต์
ไอออนมีประจุไฟฟ้าเป็นบวกหรือลบ
อิมพีแดนซ์ของหอกระจายสัญญาณ AM ที่ใช้ในอาร์เรย์เสาอากาศหลายทิศทางซึ่งอาจเป็นบวกหรือลบ

การเงิน

งบการเงินอาจรวมยอดคงเหลือติดลบซึ่งระบุด้วยเครื่องหมายลบหรือโดยใส่ยอดดุลไว้ในวงเล็บ ^[16]ตัวอย่าง ได้แก่ เงินเบิกเกินบัญชีธนาคารและการขาดทุนทางธุรกิจ ( รายได้ติดลบ)
การคืนเงินไปยังบัตรเครดิตหรือบัตรเดบิตเป็นค่าใช้จ่ายที่ติดลบกับบัตร ^[17]^[18]
การเจริญเติบโตร้อยละต่อปีในประเทศของจีดีพีอาจจะเป็นเชิงลบซึ่งเป็นหนึ่งในตัวบ่งชี้ของการอยู่ในภาวะเศรษฐกิจถดถอย ^[19]
ในบางครั้งอัตราเงินเฟ้ออาจติดลบ ( ภาวะเงินฝืด ) ซึ่งแสดงถึงการลดลงของราคาเฉลี่ย ^[20]
การเปลี่ยนแปลงในชีวิตประจำวันในหุ้นราคาตลาดหุ้นดัชนีเช่นดัชนี FTSE 100หรือดาวโจนส์
ตัวเลขติดลบในการจัดหาเงินมีความหมายเหมือนกันกับ "หนี้" และ "การขาดดุล" ซึ่งเรียกอีกอย่างว่า
อัตราดอกเบี้ยอาจติดลบ^[21]^[22]^[23]เมื่อผู้ให้กู้ถูกเรียกเก็บเงินเพื่อฝากเงิน

อื่น ๆ

หมายเลขชั้นติดลบในลิฟต์

จำนวนชั้นในอาคารด้านล่างชั้นล่าง
เมื่อเล่นไฟล์เสียงบนเครื่องเล่นสื่อแบบพกพาเช่นiPodการแสดงผลบนหน้าจออาจแสดงเวลาที่เหลืออยู่เป็นจำนวนลบซึ่งจะเพิ่มขึ้นเป็นศูนย์ในอัตราเดียวกับเวลาที่เล่นแล้วเพิ่มขึ้นจากศูนย์
รายการเกมทางโทรทัศน์:
- ผู้เข้าร่วมในQIมักจะจบด้วยคะแนนติดลบ
- ทีมในUniversity Challengeมีคะแนนติดลบหากคำตอบแรกไม่ถูกต้องและขัดจังหวะคำถาม
- อันตราย! มีคะแนนเงินติดลบ - ผู้เข้าแข่งขันเล่นด้วยเงินจำนวนหนึ่งและคำตอบที่ไม่ถูกต้องใด ๆ ที่ทำให้พวกเขาเสียค่าใช้จ่ายมากกว่าที่มีอยู่ในตอนนี้อาจส่งผลให้ได้คะแนนติดลบ
- ในราคาถูก ' s การกำหนดราคาเกมซื้อหรือขายถ้าจำนวนเงินจะหายไปที่มีมากขึ้นกว่าจำนวนเงินที่ขณะนี้อยู่ในธนาคารก็เกิดขึ้นคะแนนลบ
การเปลี่ยนแปลงในการสนับสนุนสำหรับบุคคลทางการเมืองระหว่างการเลือกตั้งที่รู้จักกันในวงสวิง
นักการเมืองของคะแนนเห็นชอบ ^[24]
ในวิดีโอเกมตัวเลขติดลบหมายถึงการสูญเสียชีวิตความเสียหายการลงโทษคะแนนหรือการใช้ทรัพยากรขึ้นอยู่กับประเภทของการจำลอง
พนักงานที่มีชั่วโมงการทำงานที่ยืดหยุ่นอาจมียอดคงเหลือติดลบในแผ่นเวลาของพวกเขาหากพวกเขาทำงานจำนวนชั่วโมงรวมน้อยกว่าที่สัญญาไว้จนถึงจุดนั้น พนักงานอาจใช้เวลามากกว่าค่าใช้จ่ายในวันหยุดพักผ่อนประจำปีในหนึ่งปีและส่งต่อยอดติดลบไปยังปีถัดไป
การเปลี่ยนโน้ตบนแป้นพิมพ์อิเล็กทรอนิกส์จะแสดงบนหน้าจอพร้อมตัวเลขบวกสำหรับการเพิ่มและตัวเลขเชิงลบสำหรับการลดลงเช่น "−1" สำหรับหนึ่งเซมิโทนลง

เลขคณิตที่เกี่ยวข้องกับจำนวนลบ

เครื่องหมายลบ "-" หมายถึงผู้ประกอบการทั้งในไบนารี (สองตัวถูกดำเนินการ ) การดำเนินงานของการลบ (ในขณะที่ $Y - Z$ ) และเอกการดำเนินงาน (ตัวถูกดำเนินการอย่างใดอย่างหนึ่ง) ของการปฏิเสธ (ในขณะที่ $- x$ หรือสองครั้งใน $- ( - x)$ ) กรณีพิเศษของการปฏิเสธเอกภาพเกิดขึ้นเมื่อทำงานกับจำนวนบวกซึ่งในกรณีนี้ผลลัพธ์จะเป็นจำนวนลบ (เช่นใน $-5$ )

ความคลุมเครือของสัญลักษณ์ "-" โดยทั่วไปไม่ได้นำไปสู่ความคลุมเครือในนิพจน์ทางคณิตศาสตร์เนื่องจากลำดับของการดำเนินการทำให้การตีความเพียงครั้งเดียวหรืออีกแบบหนึ่งเป็นไปได้สำหรับแต่ละ "-" อย่างไรก็ตามอาจทำให้เกิดความสับสนและเป็นเรื่องยากสำหรับบุคคลที่จะเข้าใจนิพจน์เมื่อสัญลักษณ์ตัวดำเนินการปรากฏติดกัน วิธีแก้ปัญหาคือการใส่เครื่องหมายยูนารี "-" พร้อมกับตัวถูกดำเนินการ

ตัวอย่างเช่นนิพจน์ $7 + -5$ อาจชัดเจนกว่าถ้าเขียน $7 + (-5)$ (แม้ว่าจะมีความหมายเหมือนกันทุกประการก็ตาม) ลบแสดงออก $7-5$ เป็นการแสดงออกที่แตกต่างกันที่ไม่ได้เป็นตัวแทนของการดำเนินงานเดียวกัน แต่จะประเมินให้ผลแบบเดียวกัน

บางครั้งในโรงเรียนประถมอาจมีเครื่องหมายลบตัวยกหรือเครื่องหมายบวกนำหน้าเพื่อแยกแยะตัวเลขเชิงลบและจำนวนบวกอย่างชัดเจนเช่นเดียวกับ^[25]

- 2 + - 5

ให้

-

7

ส่วนที่เพิ่มเข้าไป

การแสดงภาพของการบวกจำนวนบวกและลบ ลูกบอลขนาดใหญ่แสดงถึงตัวเลขที่มีขนาดมากกว่า

การบวกจำนวนลบสองจำนวนนั้นคล้ายกับการบวกจำนวนบวกสองจำนวนมาก ตัวอย่างเช่น,

(-3) + (-5) =

-8

แนวคิดก็คือหนี้สองก้อนสามารถรวมกันเป็นหนี้ก้อนเดียวที่มีขนาดใหญ่กว่าได้

เมื่อบวกจำนวนบวกและลบเข้าด้วยกันเราสามารถคิดว่าจำนวนลบเป็นจำนวนบวกที่ถูกลบออก ตัวอย่างเช่น:

8 + (-3) = 8-3 = 5

และ

(-2) + 7 = 7-2 =

5

ในตัวอย่างแรก, เครดิตของ $8$ รวมกับหนี้ของ $3$ ซึ่งมีผลเป็นสินเชื่อรวมของ5หากจำนวนลบมีขนาดมากกว่าผลลัพธ์จะเป็นลบ:

(-8) + 3 = 3-8 = -5

และ

2 + (-7) = 2-7 =

-5

ที่นี่เครดิตน้อยกว่าหนี้ดังนั้นผลสุทธิจึงเป็นหนี้

การลบ

ตามที่กล่าวไว้ข้างต้นเป็นไปได้ที่การลบจำนวนสองจำนวนที่ไม่เป็นลบเพื่อให้ได้คำตอบที่เป็นลบ:

5 - 8 = -3

โดยทั่วไปการลบจำนวนบวกจะให้ผลลัพธ์เช่นเดียวกับการบวกจำนวนลบที่มีขนาดเท่ากัน ด้วยประการฉะนี้

5 - 8 = 5 + (-8) = -3

และ

(-3) - 5 = (-3) + (-5) = -8

ในทางกลับกันการลบจำนวนลบจะให้ผลลัพธ์เช่นเดียวกับการบวกจำนวนบวกที่มีขนาดเท่ากัน (แนวคิดก็คือการสูญเสียหนี้เป็นสิ่งเดียวกับการได้รับเครดิต) ดังนั้น

3 - (-5) = 3 + 5 = 8

และ

(-5) - (-8) = (-5) + 8 =

3

การคูณ

เมื่อคูณตัวเลขขนาดของผลคูณจะเป็นเพียงผลคูณของสองขนาดเสมอ เครื่องหมายของผลิตภัณฑ์จะถูกกำหนดโดยกฎต่อไปนี้:

ผลคูณของจำนวนบวกหนึ่งตัวและจำนวนลบหนึ่งตัวเป็นลบ
ผลคูณของจำนวนลบสองจำนวนเป็นบวก

ด้วยประการฉะนี้

(-2) \times 3 = -6

และ

(-2) \times (-3) = 6

.

เหตุผลที่อยู่เบื้องหลังตัวอย่างแรกนั้นง่ายมาก: การบวก $-2$ สามตัวเข้าด้วยกันจะได้ $-6$ :

(-2) x = 3 (-2) + (-2) + (-2) =

-6

การให้เหตุผลเบื้องหลังตัวอย่างที่สองมีความซับซ้อนมากขึ้น ความคิดอีกครั้งก็คือการสูญเสียหนี้เป็นสิ่งเดียวกับการได้รับเครดิต ในกรณีนี้การสูญเสียหนี้สองครั้งจากสามต่อแต่ละครั้งจะเหมือนกับการได้รับเครดิตหก:

(-2

หนี้

) \times (-3

ต่อ

) = +6

เครดิต

การประชุมว่าผลิตภัณฑ์ของตัวเลขสองเชิงลบเป็นบวกยังเป็นสิ่งจำเป็นสำหรับการคูณที่จะปฏิบัติตามกฎหมายการจำหน่าย ในกรณีนี้เรารู้ดีว่า

(-2) \times (-3) + 2 \times (-3) = (-2 + 2) \times (-3) = 0 \times (-3) =

0

ตั้งแต่ $2 \times (-3) = -6$ ผลิตภัณฑ์ $(-2) \times (-3)$ ต้องเท่ากับ6

กฎเหล่านี้นำไปสู่การอื่น (เทียบเท่า) กฎการเข้าสู่ระบบของผลิตภัณฑ์ใด× ขขึ้นอยู่กับสัญลักษณ์ของดังนี้

ถ้าเป็นบวกแล้วสัญลักษณ์ของ× ขเป็นเช่นเดียวกับสัญลักษณ์ของขและ
ถ้าเป็นลบแล้วสัญลักษณ์ของ× ขอยู่ฝั่งตรงข้ามของสัญลักษณ์ของข

เหตุผลว่าทำไมผลิตภัณฑ์ของทั้งสองตัวเลขที่ติดลบเป็นจำนวนบวกสามารถสังเกตได้ในการวิเคราะห์ของตัวเลขที่ซับซ้อน

แผนก

กฎเครื่องหมายสำหรับการหารจะเหมือนกับการคูณ ตัวอย่างเช่น,

8 \div (-2) = -4

,

(-8) \div 2 = -4

,

และ

(-8) \div (-2) = 4

.

หากเงินปันผลและตัวหารมีเครื่องหมายเดียวกันผลลัพธ์จะเป็นบวกหากมีสัญญาณต่างกันผลลัพธ์จะเป็นลบ

การปฏิเสธ

รุ่นเชิงลบของจำนวนบวกจะเรียกว่าเป็นของตนปฏิเสธ ยกตัวอย่างเช่น $-3$ เป็นผลทางลบของจำนวนบวกที่3ผลรวมของจำนวนและการปฏิเสธของมันจะมีค่าเท่ากับศูนย์:

3 + (-3) = 0

.

นั่นคือการปฏิเสธของจำนวนบวกคือการผกผันของจำนวนบวก

การใช้พีชคณิตเราอาจเขียนหลักการนี้เป็นอัตลักษณ์ทางพีชคณิต :

x + (- x) = 0

.

ตัวตนนี้ถือสำหรับการใด ๆ จำนวนบวกxสามารถทำให้ถือเป็นจำนวนจริงทั้งหมดได้โดยขยายคำจำกัดความของการปฏิเสธเพื่อรวมจำนวนศูนย์และจำนวนลบ โดยเฉพาะ:

การปฏิเสธของ 0 คือ 0 และ
การปฏิเสธของจำนวนลบคือจำนวนบวกที่สอดคล้องกัน

ยกตัวอย่างเช่นการปฏิเสธของ $-3$ เป็น3โดยทั่วไปแล้ว

- (- x) = x

.

ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเป็นจำนวนที่ไม่ใช่เชิงลบที่มีขนาดเดียวกัน ยกตัวอย่างเช่นค่าสัมบูรณ์ของ $-3$ และค่าสัมบูรณ์ของ $3$ ทั้งสองเท่ากับ $3$ และค่าสัมบูรณ์ของ $0$ เป็น0

การสร้างจำนวนเต็มลบอย่างเป็นทางการ

ในทำนองเดียวกันกับจำนวนตรรกยะเราสามารถขยายจำนวนธรรมชาติ Nเป็นจำนวนเต็มZ ได้โดยกำหนดจำนวนเต็มเป็นคู่ของจำนวนธรรมชาติที่เรียงตามลำดับ ( a , b ) เราสามารถขยายการบวกและการคูณให้กับคู่เหล่านี้ได้โดยใช้กฎต่อไปนี้:

( a , b ) + ( c , d ) = ( a + c , b + d )

( a , b ) × ( c , d ) = ( a × c + b × d , a × d + b × c )

เรากำหนดความสัมพันธ์ที่เท่ากัน ~ กับคู่เหล่านี้ด้วยกฎต่อไปนี้:

( a , b ) ~ ( c , d ) if and only if a + d = b + c .

ความสัมพันธ์เทียบเท่านี้เข้ากันได้กับการบวกและการคูณที่กำหนดไว้ข้างต้นและเราอาจกำหนดให้Zเป็นเซตผลหาร N ² / ~ กล่าวคือเราระบุสองคู่ ( a , b ) และ ( c , d ) หากมีค่าเท่ากันใน เหนือความรู้สึก โปรดสังเกตว่าZพร้อมกับการบวกและการคูณเหล่านี้เป็นวงแหวนและในความเป็นจริงแล้วตัวอย่างต้นแบบของวงแหวน

เรายังสามารถกำหนดลำดับรวมบนZ ได้ด้วยการเขียน

( , ข ) ≤ ( C , D ) และถ้าหาก + d ≤ ข + ค

สิ่งนี้จะนำไปสู่ศูนย์บวกของรูปแบบ ( a , a ), ส่วนผกผันของ ( a , b ) ของรูปแบบ ( b , a ), หน่วยคูณของรูปแบบ ( a + 1, a ) และ a ความหมายของการลบ

( a , b ) - ( c , d ) = ( a + d , b + c )

การก่อสร้างนี้เป็นกรณีพิเศษของการก่อสร้าง Grothendieck

ความเป็นเอกลักษณ์

ค่าลบของตัวเลขไม่ซ้ำกันดังที่แสดงโดยการพิสูจน์ต่อไปนี้

ให้xเป็นจำนวนและให้yเป็นลบ สมมติว่าy ′เป็นลบของxอีกตัว โดยสัจพจน์ของระบบจำนวนจริง

{\ displaystyle x + y ^ {\ prime} = 0, \ quad {\ text {and}} \ quad x + y = 0.}

ดังนั้นx + Y ' = x + y ที่ การใช้กฎหมายที่มีการยกเลิกสำหรับนอกจากนี้จะเห็นว่าY ' = Y ดังนั้นYเท่ากับเชิงลบอื่น ๆ ของx นั่นคือy ที่เป็นเชิงลบที่เป็นเอกลักษณ์ของx

ประวัติศาสตร์

เป็นเวลานานการแก้ไขปัญหาเชิงลบถือเป็น "เท็จ" ในขนมผสมน้ำยาอียิปต์ที่กรีกคณิตศาสตร์Diophantusในศตวรรษที่ 3 เรียกว่าสมการที่เทียบเท่ากับ 4 x + 20 = 4 (ซึ่งมีวิธีการแก้ปัญหาในเชิงลบ) ในArithmeticaบอกว่าสมเป็นเรื่องเหลวไหล ^[26]ด้วยเหตุนี้รูปทรงเรขาคณิตของกรีกจึงสามารถแก้สมการกำลังสองทางเรขาคณิตได้ทุกรูปแบบซึ่งให้รากที่เป็นบวก ในขณะที่พวกเขาไม่สามารถคำนึงถึงผู้อื่นได้ ^[27]

ตัวเลขเชิงลบปรากฏเป็นครั้งแรกในประวัติศาสตร์ในเก้าบทเกี่ยวกับศิลปะคณิตศาสตร์ ( Jiu zhang suan-shu ) ซึ่งในรูปแบบปัจจุบันเกิดขึ้นตั้งแต่ช่วงราชวงศ์ฮั่น (202 ปีก่อนคริสตกาล - ค.ศ. 220) แต่อาจมี วัสดุที่เก่ากว่ามาก ^[3]นักคณิตศาสตร์Liu Hui (ประมาณศตวรรษที่ 3) ได้กำหนดกฎเกณฑ์สำหรับการบวกและการลบจำนวนลบ Jean-Claude Martzloff นักประวัติศาสตร์ตั้งทฤษฎีว่าความสำคัญของความเป็นคู่ในปรัชญาธรรมชาติของจีนทำให้ชาวจีนยอมรับแนวคิดเรื่องตัวเลขเชิงลบได้ง่ายขึ้น ^[4]ชาวจีนสามารถแก้สมการที่เกี่ยวข้องกับจำนวนลบพร้อมกันได้ บทที่เก้าที่ใช้สีแดงแท่งนับเพื่อแสดงถึงการบวกค่าสัมประสิทธิ์และแท่งสีดำสำหรับเชิงลบ ^[4]^[28]ระบบนี้ตรงข้ามกับการพิมพ์ตัวเลขบวกและลบร่วมสมัยในสาขาการธนาคารการบัญชีและการพาณิชย์โดยตัวเลขสีแดงแสดงถึงค่าลบและตัวเลขสีดำหมายถึงค่าบวก Liu Hui เขียนว่า:

ตอนนี้มีแท่งนับสองชนิดที่ตรงกันข้ามกันสำหรับกำไรและขาดทุนให้เรียกว่าบวกและลบ แท่งนับสีแดงเป็นบวกแท่งนับสีดำเป็นลบ ^[4]

ต้นฉบับ Bakhshaliของอินเดียโบราณทำการคำนวณด้วยตัวเลขเชิงลบโดยใช้ "+" เป็นเครื่องหมายลบ ^[29]วันที่ของต้นฉบับไม่แน่นอน LV Gurjar มีอายุไม่เกินศตวรรษที่ 4 ^[30] Hoernle มีอายุระหว่างศตวรรษที่สามและสี่ Ayyangar และ Pingree มีอายุในศตวรรษที่ 8 หรือ 9 ^[31]และ George Gheverghese Joseph มีอายุประมาณ ค.ศ. 400 และ ไม่เกินต้นศตวรรษที่ 7 ^[32]

ในช่วงคริสต์ศตวรรษที่ 7 ตัวเลขเชิงลบถูกใช้ในอินเดียเพื่อแสดงถึงหนี้สิน อินเดียคณิตศาสตร์ Brahmaguptaในพระพรหม-Sphuta-Siddhanta (เขียนค. ศ 630) กล่าวถึงการใช้ตัวเลขติดลบในการผลิตรูปแบบทั่วไปสมสูตรที่ยังคงใช้อยู่ในปัจจุบัน ^[26]เขายังพบการแก้ปัญหาเชิงลบของสมการกำลังสองและให้กฎเกี่ยวกับการดำเนินการที่เกี่ยวข้องกับจำนวนลบและศูนย์เช่น "หนี้ที่ถูกตัดขาดจากความว่างเปล่าจะกลายเป็นเครดิตเครดิตที่ถูกตัดออกจากความว่างเปล่ากลายเป็นหนี้" เขาเรียกตัวเลขที่เป็นบวกว่า "โชคชะตา" ศูนย์ "เลขรหัส" และ "หนี้สิน" ^[33]^[34]

ในศตวรรษที่ 9 นักคณิตศาสตร์ชาวอิสลามคุ้นเคยกับตัวเลขเชิงลบจากผลงานของนักคณิตศาสตร์ชาวอินเดีย แต่การรับรู้และการใช้ตัวเลขเชิงลบในช่วงเวลานี้ยังคงเป็นเรื่องขี้อาย ^[5] Al-KhwarizmiในAl-jabr wa'l-muqabala ของเขา (ซึ่งเราได้คำว่า "พีชคณิต") ไม่ได้ใช้จำนวนลบหรือสัมประสิทธิ์เชิงลบ ^[5]แต่ภายในห้าสิบปีอาบูคามิลแสดงกฎของสัญญาณสำหรับการขยายการคูณ ${\ displaystyle (a \ pm b) (c \ pm d)}$ , ^[35]และอัล - คาราจีเขียนไว้ในอัล - ฟัครฺของเขาว่า "ต้องนับปริมาณเชิงลบเป็นเงื่อนไข" ^[5]ในศตวรรษที่ 10 อาบูอัล-Wafa' อัลBūzjānīถือว่าเป็นหนี้เป็นตัวเลขที่ติดลบในหนังสือเกี่ยวกับสิ่งที่จำเป็นจากวิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์สำหรับกรานและนักธุรกิจ ^[35]

โดยศตวรรษที่ 12 สืบทอดอัลคาราจีของคนที่จะระบุกฎทั่วไปของสัญญาณและใช้พวกเขาในการแก้ดิวิชั่นพหุนาม ^{[5] ดัง}ที่อัล - ซามาอว์เขียนว่า:

ผลคูณของจำนวนลบ - al-nāqiṣ - โดยจำนวนบวก - al-zāʾid - เป็นลบและโดยจำนวนลบเป็นบวก ถ้าเราลบจำนวนลบออกจากจำนวนลบที่สูงกว่าส่วนที่เหลือจะเป็นผลต่างเชิงลบ ความแตกต่างยังคงเป็นบวกถ้าเราลบจำนวนลบออกจากจำนวนลบที่ต่ำกว่า ถ้าเราลบจำนวนลบออกจากจำนวนบวกส่วนที่เหลือจะเป็นผลบวกของพวกมัน ถ้าเราลบจำนวนบวกออกจากกำลังว่าง ( martaba khāliyya ) ส่วนที่เหลือจะเป็นลบเท่ากันและถ้าเราลบจำนวนลบออกจากกำลังว่างส่วนที่เหลือจะเป็นจำนวนบวกเดียวกัน ^[5]

ในศตวรรษที่ 12 ในอินเดียBhāskara IIให้รากเชิงลบสำหรับสมการกำลังสอง แต่ปฏิเสธเพราะไม่เหมาะสมในบริบทของปัญหา เขาระบุว่าค่าติดลบคือ "ในกรณีนี้ไม่ควรนำมาใช้เพราะไม่เพียงพอผู้คนไม่เห็นด้วยกับรากที่เป็นลบ"

นักคณิตศาสตร์ชาวยุโรปส่วนใหญ่ต่อต้านแนวคิดเรื่องตัวเลขเชิงลบจนถึงศตวรรษที่ 17 ^{[ ต้องการอ้างอิง ]}แม้ว่าฟีโบนักชีจะอนุญาตให้มีการแก้ปัญหาเชิงลบในปัญหาทางการเงินซึ่งสามารถตีความได้ว่าเป็นเดบิต (บทที่ 13 ของLiber Abaciค.ศ. 1202) และหลังจากนั้น เป็นการสูญเสีย (ในFlos )

ในศตวรรษที่ 15 Nicolas Chuquetชาวฝรั่งเศสใช้ตัวเลขเชิงลบเป็นเลขชี้กำลัง^[36]แต่เรียกมันว่า "ตัวเลขไร้สาระ" ^[37]ในของเขา 1544 Arithmetica Integra ไมเคิล Stifelยังจัดการกับตัวเลขที่ติดลบยังเรียกพวกเขาNumeri absurdi

ในปี 1545 Gerolamo CardanoในArs Magnaของเขาได้ให้การรักษาตัวเลขเชิงลบที่น่าพอใจเป็นครั้งแรกในยุโรป ^[26]เขาไม่อนุญาตให้ใช้จำนวนลบในการพิจารณาสมการลูกบาศก์ดังนั้นเขาจึงต้องปฏิบัติตัวอย่างเช่นx ³ + ax = bแยกจากx ³ = ax + b (มีa , b > 0 ในทั้งสองกรณี) . โดยรวมแล้ว Cardano ได้รับแรงผลักดันให้ศึกษาสมการลูกบาศก์สิบสามประเภทที่แตกต่างกันซึ่งแต่ละชนิดแสดงในรูปของจำนวนบวกอย่างหมดจด

ในปีคริสตศักราช 1759 ฟรานซิสมาเซเรสนักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษเขียนว่าตัวเลขเชิงลบ "ทำให้หลักคำสอนทั้งหมดของสมการมืดลง เขาได้ข้อสรุปว่าตัวเลขเชิงลบเป็นเรื่องไร้สาระ ^[38]

ในศตวรรษที่ 18 เป็นเรื่องปกติที่จะเพิกเฉยต่อผลลัพธ์เชิงลบใด ๆ ที่ได้มาจากสมการโดยสันนิษฐานว่าไม่มีความหมาย ^[39]

Gottfried Wilhelm Leibnizเป็นนักคณิตศาสตร์คนแรกที่ใช้ตัวเลขเชิงลบอย่างเป็นระบบซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของระบบคณิตศาสตร์ที่สอดคล้องกันซึ่งเป็นแคลคูลัสที่มีจำนวนน้อย แคลคูลัสทำให้ตัวเลขติดลบมีความจำเป็นและการเลิกจ้างเป็น "ตัวเลขไร้สาระ" ก็ค่อยๆจางหายไป ^{[ ขัดแย้ง ]}^{[ ต้องการอ้างอิง ]}

ดูสิ่งนี้ด้วย

เซ็นชื่อศูนย์
ผกผันสารเติมแต่ง
ประวัติของศูนย์
จำนวนเต็ม
ส่วนบวกและลบ
สรุปตัวเลข
ตัวเลขจริง
เข้าสู่ระบบ
ลงชื่อ (คณิตศาสตร์)
การแสดงหมายเลขลงนาม

อ้างอิง

การอ้างอิง

^ "จำนวนเต็มคือเซตของจำนวนเต็มและจำนวนเต็ม", Richard W. Fisher, No-Nonsense Algebra, 2nd Edition, Math Essentials, ISBN 978-0999443330
^ การประชุมที่ว่าศูนย์ไม่ใช่ทั้งบวกหรือลบนั้นไม่เป็นสากล ตัวอย่างเช่นในอนุสัญญาฝรั่งเศสศูนย์ถือเป็นทั้งบวกและลบ คำภาษาฝรั่งเศส positifและ négatifมีความหมายเหมือนกับภาษาอังกฤษ "positive หรือ zero" และ "negative หรือ zero" ตามลำดับ
^ a b Struik, หน้า 32–33 "ในเมทริกซ์เหล่านี้เราพบตัวเลขติดลบซึ่งปรากฏที่นี่เป็นครั้งแรกในประวัติศาสตร์"
^ ขคง ลุคฮอดจ์กิน (2548). ประวัติความเป็นมาของคณิตศาสตร์: จากโสโปเตเมียให้ทันสมัย สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ด น. 88 . ISBN 978-0-19-152383-0. หลิวมีความชัดเจนในเรื่องนี้ ณ จุดที่เก้าบทให้ 'Sign Rule' โดยละเอียดและเป็นประโยชน์
^ a b c d e ฉ Rashed, R. (30 มิถุนายน 2537). การพัฒนาคณิตศาสตร์อาหรับ: ระหว่างเลขคณิตและพีชคณิต สปริงเกอร์. หน้า 36–37 ISBN 9780792325659.
^ Diophantus ,Arithmetica
^ Kline, มอร์ริส (2515) คณิตศาสตร์คิดจากโบราณสมัยใหม่ สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ดนิวยอร์ก น. 252.
^ มาร์ธาสมิ ธ "ประวัติตัวเลขติดลบ" .
^ "ซาราเซ็นส์เงินเดือนละเมิด: แชมป์พรีเมียร์ลีกจะไม่แข่งขันการลงโทษ" BBC . สืบค้นเมื่อ18 พฤศจิกายน 2562 . ด้านของ Mark McCall ลดลงจากอันดับสามลงมาอยู่ล่างสุดของพรีเมียร์ชิพด้วยคะแนน −22
^ "โบลตันวันเดอเรอร์ส 1−0 มิลตันคียนส์ดอนส์" . BBC . สืบค้นเมื่อ30 พฤศจิกายน 2562 . แต่ในนาทีที่สามของช่วงทดเวลาบาดเจ็บกองหน้าหันมาครอสของลุคเมอร์ฟีจากระยะแปดหลาเพื่อรับชัยชนะในลีกวันที่สามติดต่อกันสำหรับฝั่งของฮิลล์ซึ่งเริ่มการรณรงค์ด้วยคะแนน −12 หลังจากเข้าบริหารในเดือนพฤษภาคม
^ "อภิธานศัพท์" . Formula1.com . สืบค้นเมื่อ30 พฤศจิกายน 2562 . เวลาเดลต้า: คำที่ใช้อธิบายความแตกต่างของเวลาระหว่างสองรอบที่ต่างกันหรือรถสองคันที่แตกต่างกัน ตัวอย่างเช่นมักจะมีค่าเดลต้าเป็นลบระหว่างเวลารอบการปฏิบัติที่ดีที่สุดของผู้ขับขี่กับเวลารอบที่เหมาะสมที่สุดของเขาเนื่องจากเขาใช้เชื้อเพลิงน้อยและยางใหม่
^ "บีบีซีสปอร์ต - การแข่งขันกีฬาโอลิมปิกลอนดอน - 2012 - ชายกระโดดไกล: กรีฑา - ผลการค้นหา" 5 สิงหาคม 2012 ที่จัดเก็บจากเดิมในวันที่ 5 สิงหาคม 2012 สืบค้นเมื่อ5 ธันวาคม 2561 .
^ "วิธีการให้ความช่วยเหลือลมทำงานในลู่และลาน" elitefeet.com . สืบค้นเมื่อ18 พฤศจิกายน 2562 . โดยปกติความช่วยเหลือจากลมจะแสดงเป็นเมตรต่อวินาทีไม่ว่าจะเป็นบวกหรือลบ การวัดค่าเป็นบวกหมายความว่าลมช่วยนักวิ่งและการวัดค่าเป็นลบหมายความว่านักวิ่งต้องต่อสู้กับลม ตัวอย่างเช่นลมที่ −2.2m / s และ + 1.9m / s นั้นถูกกฎหมายในขณะที่ลมที่ + 2.1m / s นั้นให้ความช่วยเหลือมากเกินไปและถือว่าผิดกฎหมาย นอกจากนี้ยังมีการใช้คำว่า "tailwind" และ "headwind" ด้วย ลมหางผลักนักวิ่งไปข้างหน้า (+) ในขณะที่ลมพัดแรงผลักนักวิ่งไปข้างหลัง (-)
^ Forbes, Robert B. (6 มกราคม 2518). การมีส่วนร่วมในธรณีวิทยาของลุ่มน้ำทะเลแบริ่งและภูมิภาคที่อยู่ติดกัน: เอกสารคัดสรรจากการประชุมวิชาการธรณีวิทยาและธรณีฟิสิกส์ของภูมิภาคทะเลแบริ่งในโอกาสการเปิดอาคาร CT Elvey มหาวิทยาลัยอลาสก้าวันที่ 26-28 มิถุนายน ปี 1970 และจาก 2d การประชุมวิชาการนานาชาติเกี่ยวกับอาร์กติกธรณีวิทยาจัดขึ้นในซานฟรานซิส 1-04 กุมภาพันธ์ 1971 สมาคมธรณีวิทยาแห่งอเมริกา น. 194. ISBN 9780813721514.
^ Wilks, Daniel S. (6 มกราคม 2018). วิธีการทางสถิติในบรรยากาศวิทยาศาสตร์ สำนักพิมพ์วิชาการ. น. 17. ISBN 9780123850225.
^ แครีส์ฟอร์ ธ แครอล; Neild, Mike (2002), Double Award , Heinemann, p. 375, ISBN 978-0-435-44746-5
^ เกอร์เวอร์โรเบิร์ตเค; Sgroi, Richard J. (2010), Financial Algebra, Student Edition , Cengage Learning, p. 201, ISBN 978-0-538-44967-0
^ ตัวเลขติดลบในใบแจ้งยอดบัตรเครดิตหมายถึงอะไร? , Pocketsense 27 ตุลาคม 2561
^ "เศรษฐกิจสหราชอาณาจักรหดตัวลงในตอนท้ายของปี 2012" 25 มกราคม 2556 . สืบค้นเมื่อ5 ธันวาคม 2561 - ทาง www.bbc.co.uk.
^ "ตัวเลขเงินเฟ้อติดลบครั้งแรกนับตั้งแต่ปี 2503" . อิสระ 21 เมษายน 2552 . สืบค้นเมื่อ5 ธันวาคม 2561 .
^ "ECB มีการเรียกเก็บอัตราดอกเบี้ยเชิงลบ" ข่าวบีบีซี . 5 มิถุนายน 2557 . สืบค้นเมื่อ5 ธันวาคม 2561 .
^ ลินน์แมทธิว "คิดอัตราดอกเบี้ยเชิงลบไม่สามารถเกิดขึ้นที่นี่? คิดอีกครั้ง" MarketWatch สืบค้นเมื่อ5 ธันวาคม 2561 .
^ "อัตราดอกเบี้ยสวิสจะติดลบ" . ข่าวบีบีซี . 18 ธันวาคม 2557 . สืบค้นเมื่อ5 ธันวาคม 2561 .
^ Wintour, Patrick (17 มิถุนายน 2557). "ความนิยมของมิลิแบนด์และ Clegg ตกไปอยู่ในระดับต่ำสุดที่บันทึกโดย ICM สำรวจความคิดเห็น" สืบค้น5 ธันวาคม 2561 - ทาง www.theguardian.com.
^ ให้ P. Wiggins; เจย์แม็คทิเก (2548). การทำความเข้าใจโดยการออกแบบ สิ่งพิมพ์ ACSD น. 210 . ISBN 1-4166-0035-3.
^ ก ข ค นีดแฮมโจเซฟ; หวังหลิง (2538) [2502]. วิทยาศาสตร์และอารยธรรมจีน: เล่ม 3; คณิตศาสตร์และศาสตร์แห่งสวรรค์และโลก (พิมพ์ซ้ำ). Cambridge: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ น. 90. ISBN 0-521-05801-5.
^ ฮี ธ โธมัสแอล. (2440). ผลงานของ Archimedes สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ น. cxxiii.
^ นีดแฮมโจเซฟ; หวังหลิง (2538) [2502]. วิทยาศาสตร์และอารยธรรมจีน: เล่ม 3; คณิตศาสตร์และศาสตร์แห่งสวรรค์และโลก (พิมพ์ซ้ำ). Cambridge: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ หน้า 90–91 ISBN 0-521-05801-5.
^ เทเร ซีดิ๊ก (2545). การค้นพบที่หายไป: รากโบราณของวิทยาศาสตร์สมัยใหม่จากชาวบาบิโลนกับชาวมายัน นิวยอร์ก: Simon & Schuster ไอ 0-684-83718-8 . หน้า 65.
^ Pearce, Ian (พฤษภาคม 2545). "ต้นฉบับ Bakhshali" . ประวัติความเป็นมา MacTutor คณิตศาสตร์เก็บ สืบค้นเมื่อ24 กรกฎาคม 2550 .
^ Takao Hayashi (2008), "Bakhshālī Manuscript"ในHelaine Selin (ed.), สารานุกรมประวัติศาสตร์วิทยาศาสตร์เทคโนโลยีและการแพทย์ในวัฒนธรรมที่ไม่ใช่ตะวันตก , 1 , Springer, p. B2, ISBN 9781402045592
^ เทเร ซีดิ๊ก (2545). การค้นพบที่หายไป: รากโบราณของวิทยาศาสตร์สมัยใหม่จากชาวบาบิโลนกับชาวมายัน นิวยอร์ก: Simon & Schuster ไอ 0-684-83718-8 . หน้า 65–66.
^ Colva เมตร Roney-Dougal , อาจารย์ในคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ที่มหาวิทยาลัยเซนต์แอนดรูกล่าวนี้บนวิทยุบีบีซี 4 โปรแกรม "ในเวลาของเรา" ที่ 9 มีนาคม 2006
^ การ ถ่ายทอดความรู้และการรับรู้กาลเวลาปาฐกถาพิเศษของ ICEE-2002 โดย Colin Adamson-Macedo "การอ้างถึงผลงานอันยิ่งใหญ่ของพรหมคุปตะอีกครั้งมีการกำหนดกฎเกณฑ์ที่จำเป็นทั้งหมดสำหรับพีชคณิตรวมถึง 'กฎของสัญญาณ' แต่ในรูปแบบที่ใช้ภาษาและจินตภาพของการค้าและตลาดดังนั้น 'dhana' (= โชคชะตา ) ใช้แทนจำนวนบวกในขณะที่ 'rina' (= หนี้) เป็นค่าลบ "
^ ก ข Mat Rofa Bin Ismail (2008), "พีชคณิตในคณิตศาสตร์อิสลาม" ในHelaine Selin (ed.), สารานุกรมประวัติศาสตร์วิทยาศาสตร์เทคโนโลยีและการแพทย์ในวัฒนธรรมที่ไม่ใช่ตะวันตก , 1 (2nd ed.), Springer, p . 115, ISBN 9781402045592
^ เฟลกก์, เกรแฮม; เฮย์, ค.; Moss, B. (1985), Nicolas Chuquet, นักคณิตศาสตร์ยุคฟื้นฟูศิลปวิทยา: การศึกษาที่มีการแปลต้นฉบับทางคณิตศาสตร์ของ Chuquet ซึ่งเสร็จสมบูรณ์ในปี 1484 , D. Reidel Publishing Co. , p. 354, ISBN 9789027718723.
^ ปัญหาที่มีชื่อเสียงและนักคณิตศาสตร์ของพวกเขา Greenwood Publishing Group, 1999, p. 56, ISBN 9781563084461.
^ มาเซเรสฟรานซิส (1758) วิทยานิพนธ์เกี่ยวกับการใช้เครื่องหมายลบในพีชคณิต: ประกอบด้วยการสาธิตของกฎที่มักให้ไว้เกี่ยวกับมัน และแสดงให้เห็นว่าสมการกำลังสองและลูกบาศก์สามารถอธิบายได้อย่างไรโดยไม่ต้องคำนึงถึงรากที่เป็นลบ ซึ่งจะมีการเพิ่มเป็นภาคผนวกนาย Machin ของการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสของวงกลม การอ้างอิงจากงานของ Maseres: หากมีการระบุปริมาณเดียวด้วยเครื่องหมาย + หรือเครื่องหมาย - โดยไม่ส่งผลกระทบต่อปริมาณอื่น ๆ เครื่องหมายจะไม่มีความหมายหรือความสำคัญดังนั้นหากกล่าวว่ากำลังสองของ −5 หรือ สินค้า -5 เข้า -5 เท่ากับ 25 เช่นการยืนยันจะต้องมีความหมายไม่เกิน 5 ครั้ง 5 มีค่าเท่ากับ 25 โดยไม่คำนึงใด ๆ สำหรับสัญญาณหรือมันจะต้องเป็นเพียงเรื่องไร้สาระหรือศัพท์แสงที่ไม่มีสาระ
^ มาร์ติเนซ, Alberto A. (2006). คณิตศาสตร์เชิงลบ: กฎทางคณิตศาสตร์สามารถโค้งงอได้อย่างไร มหาวิทยาลัยพรินซ์กด ประวัติความเป็นมาของการโต้เถียงเกี่ยวกับตัวเลขเชิงลบส่วนใหญ่ตั้งแต่ทศวรรษที่ 1600 จนถึงต้นทศวรรษที่ 1900

บรรณานุกรม

Bourbaki, Nicolas (1998). องค์ประกอบของประวัติศาสตร์ของคณิตศาสตร์ เบอร์ลินไฮเดลเบิร์กและนิวยอร์ก: Springer-Verlag ISBN 3-540-64767-8
Struik, Dirk J. (1987). ประวัติย่อ ๆ ของคณิตศาสตร์ นิวยอร์ก: Dover Publications.

ลิงก์ภายนอก

ข้อมูลชีวประวัติของ Maseres
ซีรีส์ BBC Radio 4 In Our Timeเรื่อง "Negative Numbers" วันที่ 9 มีนาคม 2549
ตัวอย่างและแบบฝึกหัดที่ไม่มีที่สิ้นสุด: การดำเนินการกับจำนวนเต็มที่ลงชื่อ
Math Forum: Ask Dr. Math FAQ: Negative Times a Negative

[1] "จำนวนเต็มคือเซตของจำนวนเต็มและจำนวนเต็ม", Richard W. Fisher, No-Nonsense Algebra, 2nd Edition, Math Essentials, ISBN 978-0999443330

[2] การประชุมที่ว่าศูนย์ไม่ใช่ทั้งบวกหรือลบนั้นไม่เป็นสากล ตัวอย่างเช่นในอนุสัญญาฝรั่งเศสศูนย์ถือเป็นทั้งบวกและลบ คำภาษาฝรั่งเศส positifและ négatifมีความหมายเหมือนกับภาษาอังกฤษ "positive หรือ zero" และ "negative หรือ zero" ตามลำดับ

[struik33-3] Struik, หน้า 32–33 "ในเมทริกซ์เหล่านี้เราพบตัวเลขติดลบซึ่งปรากฏที่นี่เป็นครั้งแรกในประวัติศาสตร์"

[Hodgkin-4] ขคง ลุคฮอดจ์กิน (2548). ประวัติความเป็นมาของคณิตศาสตร์: จากโสโปเตเมียให้ทันสมัย สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ด น. 88 . ISBN 978-0-19-152383-0. หลิวมีความชัดเจนในเรื่องนี้ ณ จุดที่เก้าบทให้ 'Sign Rule' โดยละเอียดและเป็นประโยชน์

[Rashed-5] ฉ Rashed, R. (30 มิถุนายน 2537). การพัฒนาคณิตศาสตร์อาหรับ: ระหว่างเลขคณิตและพีชคณิต สปริงเกอร์. หน้า 36–37 ISBN 9780792325659.

[6] Diophantus ,Arithmetica

[7] Kline, มอร์ริส (2515) คณิตศาสตร์คิดจากโบราณสมัยใหม่ สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ดนิวยอร์ก น. 252.

[8] มาร์ธาสมิ ธ "ประวัติตัวเลขติดลบ" .

[9] "ซาราเซ็นส์เงินเดือนละเมิด: แชมป์พรีเมียร์ลีกจะไม่แข่งขันการลงโทษ" BBC . สืบค้นเมื่อ18 พฤศจิกายน 2562 . ด้านของ Mark McCall ลดลงจากอันดับสามลงมาอยู่ล่างสุดของพรีเมียร์ชิพด้วยคะแนน −22

[10] "โบลตันวันเดอเรอร์ส 1−0 มิลตันคียนส์ดอนส์" . BBC . สืบค้นเมื่อ30 พฤศจิกายน 2562 . แต่ในนาทีที่สามของช่วงทดเวลาบาดเจ็บกองหน้าหันมาครอสของลุคเมอร์ฟีจากระยะแปดหลาเพื่อรับชัยชนะในลีกวันที่สามติดต่อกันสำหรับฝั่งของฮิลล์ซึ่งเริ่มการรณรงค์ด้วยคะแนน −12 หลังจากเข้าบริหารในเดือนพฤษภาคม

[11] "อภิธานศัพท์" . Formula1.com . สืบค้นเมื่อ30 พฤศจิกายน 2562 . เวลาเดลต้า: คำที่ใช้อธิบายความแตกต่างของเวลาระหว่างสองรอบที่ต่างกันหรือรถสองคันที่แตกต่างกัน ตัวอย่างเช่นมักจะมีค่าเดลต้าเป็นลบระหว่างเวลารอบการปฏิบัติที่ดีที่สุดของผู้ขับขี่กับเวลารอบที่เหมาะสมที่สุดของเขาเนื่องจากเขาใช้เชื้อเพลิงน้อยและยางใหม่

[12] "บีบีซีสปอร์ต - การแข่งขันกีฬาโอลิมปิกลอนดอน - 2012 - ชายกระโดดไกล: กรีฑา - ผลการค้นหา" 5 สิงหาคม 2012 ที่จัดเก็บจากเดิมในวันที่ 5 สิงหาคม 2012 สืบค้นเมื่อ5 ธันวาคม 2561 .

[13] "วิธีการให้ความช่วยเหลือลมทำงานในลู่และลาน" elitefeet.com . สืบค้นเมื่อ18 พฤศจิกายน 2562 . โดยปกติความช่วยเหลือจากลมจะแสดงเป็นเมตรต่อวินาทีไม่ว่าจะเป็นบวกหรือลบ การวัดค่าเป็นบวกหมายความว่าลมช่วยนักวิ่งและการวัดค่าเป็นลบหมายความว่านักวิ่งต้องต่อสู้กับลม ตัวอย่างเช่นลมที่ −2.2m / s และ + 1.9m / s นั้นถูกกฎหมายในขณะที่ลมที่ + 2.1m / s นั้นให้ความช่วยเหลือมากเกินไปและถือว่าผิดกฎหมาย นอกจากนี้ยังมีการใช้คำว่า "tailwind" และ "headwind" ด้วย ลมหางผลักนักวิ่งไปข้างหน้า (+) ในขณะที่ลมพัดแรงผลักนักวิ่งไปข้างหลัง (-)

[14] Forbes, Robert B. (6 มกราคม 2518). การมีส่วนร่วมในธรณีวิทยาของลุ่มน้ำทะเลแบริ่งและภูมิภาคที่อยู่ติดกัน: เอกสารคัดสรรจากการประชุมวิชาการธรณีวิทยาและธรณีฟิสิกส์ของภูมิภาคทะเลแบริ่งในโอกาสการเปิดอาคาร CT Elvey มหาวิทยาลัยอลาสก้าวันที่ 26-28 มิถุนายน ปี 1970 และจาก 2d การประชุมวิชาการนานาชาติเกี่ยวกับอาร์กติกธรณีวิทยาจัดขึ้นในซานฟรานซิส 1-04 กุมภาพันธ์ 1971 สมาคมธรณีวิทยาแห่งอเมริกา น. 194. ISBN 9780813721514.

[15] Wilks, Daniel S. (6 มกราคม 2018). วิธีการทางสถิติในบรรยากาศวิทยาศาสตร์ สำนักพิมพ์วิชาการ. น. 17. ISBN 9780123850225.

[CarysforthNeild2002-16] แครีส์ฟอร์ ธ แครอล; Neild, Mike (2002), Double Award , Heinemann, p. 375, ISBN 978-0-435-44746-5

[GerverSgroi2010-17] เกอร์เวอร์โรเบิร์ตเค; Sgroi, Richard J. (2010), Financial Algebra, Student Edition , Cengage Learning, p. 201, ISBN 978-0-538-44967-0

[18] ตัวเลขติดลบในใบแจ้งยอดบัตรเครดิตหมายถึงอะไร? , Pocketsense 27 ตุลาคม 2561

[19] "เศรษฐกิจสหราชอาณาจักรหดตัวลงในตอนท้ายของปี 2012" 25 มกราคม 2556 . สืบค้นเมื่อ5 ธันวาคม 2561 - ทาง www.bbc.co.uk.

[20] "ตัวเลขเงินเฟ้อติดลบครั้งแรกนับตั้งแต่ปี 2503" . อิสระ 21 เมษายน 2552 . สืบค้นเมื่อ5 ธันวาคม 2561 .

[21] "ECB มีการเรียกเก็บอัตราดอกเบี้ยเชิงลบ" ข่าวบีบีซี . 5 มิถุนายน 2557 . สืบค้นเมื่อ5 ธันวาคม 2561 .

[22] ลินน์แมทธิว "คิดอัตราดอกเบี้ยเชิงลบไม่สามารถเกิดขึ้นที่นี่? คิดอีกครั้ง" MarketWatch สืบค้นเมื่อ5 ธันวาคม 2561 .

[23] "อัตราดอกเบี้ยสวิสจะติดลบ" . ข่าวบีบีซี . 18 ธันวาคม 2557 . สืบค้นเมื่อ5 ธันวาคม 2561 .

[24] Wintour, Patrick (17 มิถุนายน 2557). "ความนิยมของมิลิแบนด์และ Clegg ตกไปอยู่ในระดับต่ำสุดที่บันทึกโดย ICM สำรวจความคิดเห็น" สืบค้น5 ธันวาคม 2561 - ทาง www.theguardian.com.

[25] ให้ P. Wiggins; เจย์แม็คทิเก (2548). การทำความเข้าใจโดยการออกแบบ สิ่งพิมพ์ ACSD น. 210 . ISBN 1-4166-0035-3.

[Needham_volume_3_p90-26] ก ข ค นีดแฮมโจเซฟ; หวังหลิง (2538) [2502]. วิทยาศาสตร์และอารยธรรมจีน: เล่ม 3; คณิตศาสตร์และศาสตร์แห่งสวรรค์และโลก (พิมพ์ซ้ำ). Cambridge: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ น. 90. ISBN 0-521-05801-5.

[27] ฮี ธ โธมัสแอล. (2440). ผลงานของ Archimedes สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ น. cxxiii.

[Needham_volume_3_pp90-91-28] นีดแฮมโจเซฟ; หวังหลิง (2538) [2502]. วิทยาศาสตร์และอารยธรรมจีน: เล่ม 3; คณิตศาสตร์และศาสตร์แห่งสวรรค์และโลก (พิมพ์ซ้ำ). Cambridge: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ หน้า 90–91 ISBN 0-521-05801-5.

[29] ^ เทเร ซีดิ๊ก (2545). การค้นพบที่หายไป: รากโบราณของวิทยาศาสตร์สมัยใหม่จากชาวบาบิโลนกับชาวมายัน นิวยอร์ก: Simon & Schuster ไอ 0-684-83718-8 . หน้า 65.

[30] Pearce, Ian (พฤษภาคม 2545). "ต้นฉบับ Bakhshali" . ประวัติความเป็นมา MacTutor คณิตศาสตร์เก็บ สืบค้นเมื่อ24 กรกฎาคม 2550 .

[HayashiEncy-31] Takao Hayashi (2008), "Bakhshālī Manuscript"ในHelaine Selin (ed.), สารานุกรมประวัติศาสตร์วิทยาศาสตร์เทคโนโลยีและการแพทย์ในวัฒนธรรมที่ไม่ใช่ตะวันตก , 1 , Springer, p. B2, ISBN 9781402045592

[32] ^ เทเร ซีดิ๊ก (2545). การค้นพบที่หายไป: รากโบราณของวิทยาศาสตร์สมัยใหม่จากชาวบาบิโลนกับชาวมายัน นิวยอร์ก: Simon & Schuster ไอ 0-684-83718-8 . หน้า 65–66.

[33] Colva เมตร Roney-Dougal , อาจารย์ในคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ที่มหาวิทยาลัยเซนต์แอนดรูกล่าวนี้บนวิทยุบีบีซี 4 โปรแกรม "ในเวลาของเรา" ที่ 9 มีนาคม 2006

[34] ^ การ ถ่ายทอดความรู้และการรับรู้กาลเวลาปาฐกถาพิเศษของ ICEE-2002 โดย Colin Adamson-Macedo "การอ้างถึงผลงานอันยิ่งใหญ่ของพรหมคุปตะอีกครั้งมีการกำหนดกฎเกณฑ์ที่จำเป็นทั้งหมดสำหรับพีชคณิตรวมถึง 'กฎของสัญญาณ' แต่ในรูปแบบที่ใช้ภาษาและจินตภาพของการค้าและตลาดดังนั้น 'dhana' (= โชคชะตา ) ใช้แทนจำนวนบวกในขณะที่ 'rina' (= หนี้) เป็นค่าลบ "

[Ismail-35] ก ข Mat Rofa Bin Ismail (2008), "พีชคณิตในคณิตศาสตร์อิสลาม" ในHelaine Selin (ed.), สารานุกรมประวัติศาสตร์วิทยาศาสตร์เทคโนโลยีและการแพทย์ในวัฒนธรรมที่ไม่ใช่ตะวันตก , 1 (2nd ed.), Springer, p . 115, ISBN 9781402045592

[36] เฟลกก์, เกรแฮม; เฮย์, ค.; Moss, B. (1985), Nicolas Chuquet, นักคณิตศาสตร์ยุคฟื้นฟูศิลปวิทยา: การศึกษาที่มีการแปลต้นฉบับทางคณิตศาสตร์ของ Chuquet ซึ่งเสร็จสมบูรณ์ในปี 1484 , D. Reidel Publishing Co. , p. 354, ISBN 9789027718723.

[37] ปัญหาที่มีชื่อเสียงและนักคณิตศาสตร์ของพวกเขา Greenwood Publishing Group, 1999, p. 56, ISBN 9781563084461.

[38] มาเซเรสฟรานซิส (1758) วิทยานิพนธ์เกี่ยวกับการใช้เครื่องหมายลบในพีชคณิต: ประกอบด้วยการสาธิตของกฎที่มักให้ไว้เกี่ยวกับมัน และแสดงให้เห็นว่าสมการกำลังสองและลูกบาศก์สามารถอธิบายได้อย่างไรโดยไม่ต้องคำนึงถึงรากที่เป็นลบ ซึ่งจะมีการเพิ่มเป็นภาคผนวกนาย Machin ของการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสของวงกลม การอ้างอิงจากงานของ Maseres: หากมีการระบุปริมาณเดียวด้วยเครื่องหมาย + หรือเครื่องหมาย - โดยไม่ส่งผลกระทบต่อปริมาณอื่น ๆ เครื่องหมายจะไม่มีความหมายหรือความสำคัญดังนั้นหากกล่าวว่ากำลังสองของ −5 หรือ สินค้า -5 เข้า -5 เท่ากับ 25 เช่นการยืนยันจะต้องมีความหมายไม่เกิน 5 ครั้ง 5 มีค่าเท่ากับ 25 โดยไม่คำนึงใด ๆ สำหรับสัญญาณหรือมันจะต้องเป็นเพียงเรื่องไร้สาระหรือศัพท์แสงที่ไม่มีสาระ

[39] มาร์ติเนซ, Alberto A. (2006). คณิตศาสตร์เชิงลบ: กฎทางคณิตศาสตร์สามารถโค้งงอได้อย่างไร มหาวิทยาลัยพรินซ์กด ประวัติความเป็นมาของการโต้เถียงเกี่ยวกับตัวเลขเชิงลบส่วนใหญ่ตั้งแต่ทศวรรษที่ 1600 จนถึงต้นทศวรรษที่ 1900

[1]