• logo

อินทิกรัลหลายตัว

ในวิชาคณิตศาสตร์ (เฉพาะแคลคูลัสหลายตัวแปร ) ซึ่งเป็นหนึ่งหลายเป็นหนึ่งที่ชัดเจนของฟังก์ชั่นของตัวแปรจริงหลายตัวอย่างเช่นF ( x , Y )หรือF ( x , Y , Z ) ปริพันธ์ของฟังก์ชันของตัวแปรสองตัวบนพื้นที่ใน R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} \mathbb {R} ^{2}( ระนาบจำนวนจริง ) เรียกว่าอินทิกรัลคู่และอินทิกรัลของฟังก์ชันของตัวแปรสามตัวบนพื้นที่ใน R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} \mathbb {R} ^{3}(จำนวนจริงพื้นที่ 3D) จะเรียกว่าปริพันธ์สาม [1]สำหรับหลายปริพันธ์ของฟังก์ชันเดียวตัวแปรดูสูตร Cauchy เพื่อบูรณาการซ้ำแล้วซ้ำอีก

ปริพันธ์เป็นพื้นที่ระหว่างเส้นโค้งสองเส้น
ปริพันธ์สองเท่าเป็นปริมาตรใต้พื้นผิว z = 10 −x 2 − y 2/8. พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่ด้านล่างของร่างกายคือโดเมนของการบูรณาการ ในขณะที่พื้นผิวคือกราฟของฟังก์ชันสองตัวแปรที่จะรวมเข้าด้วยกัน

บทนำ

เช่นเดียวกับที่อินทิกรัลแน่นอนของฟังก์ชันบวกของตัวแปรหนึ่งตัวแสดงพื้นที่ของพื้นที่ระหว่างกราฟของฟังก์ชันกับแกนx ปริพันธ์คู่ของฟังก์ชันบวกของตัวแปรสองตัวก็แทนปริมาตรของพื้นที่ระหว่างพื้นผิวที่กำหนด โดยฟังก์ชั่น (บนสามมิติเครื่องบินคาร์ทีเซียนที่Z = F ( x , Y ) ) และเครื่องบินที่มีของโดเมน [1]หากมีตัวแปรมากกว่านี้ อินทิกรัลหลายตัวจะให้ผลเป็นไฮเปอร์โวลูมของฟังก์ชันหลายมิติ

การรวมฟังก์ชันหลายรายการในตัวแปรnตัว: f ( x 1 , x 2 , ..., x n )เหนือโดเมนDมักแสดงด้วยสัญญาณอินทิกรัลที่ซ้อนกันในลำดับย้อนกลับของการดำเนินการ ) ตามด้วยฟังก์ชันและอาร์กิวเมนต์จำนวนเต็มในลำดับที่เหมาะสม (อินทิกรัลเทียบกับอาร์กิวเมนต์ขวาสุดจะถูกคำนวณครั้งสุดท้าย) โดเมนของการรวมเป็นสัญลักษณ์สำหรับทุกอาร์กิวเมนต์เหนือเครื่องหมายปริพันธ์แต่ละอัน หรือย่อโดยตัวแปรที่เครื่องหมายอินทิกรัลขวาสุด: [2]

∫ ⋯ ∫ ดี ฉ ( x 1 , x 2 , … , x น ) d x 1 ⋯ d x น {\displaystyle \int \cdots \int _{\mathbf {D} }\,f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,dx_{1}\!\cdots dx_ {n}} {\displaystyle \int \cdots \int _{\mathbf {D} }\,f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,dx_{1}\!\cdots dx_{n}}

เนื่องจากแนวคิดของแอนติเดริเวทีฟถูกกำหนดไว้สำหรับฟังก์ชันของตัวแปรจริงเพียงตัวเดียว คำจำกัดความปกติของอินทิกรัลไม่แน่นอนจึงไม่ขยายไปถึงอินทิกรัลพหุคูณ

ความหมายทางคณิตศาสตร์

สำหรับn > 1พิจารณาที่เรียกว่า "ครึ่งเปิด" nมิติhyperrectangularโดเมนTหมายถึง:

ตู่ = [ 1 , ข 1 ) × [ 2 , ข 2 ) × ⋯ × [ น , ข น ) ⊆ R น . {\displaystyle T=[a_{1},b_{1})\times [a_{2},b_{2})\times \cdots \times [a_{n},b_{n})\subseteq \mathbb {ร} ^{n}.} {\displaystyle T=[a_{1},b_{1})\times [a_{2},b_{2})\times \cdots \times [a_{n},b_{n})\subseteq \mathbb {R} ^{n}.}

แบ่งแต่ละช่วง[ a j , b j )ออกเป็นแฟมิลีจำกัดI jของช่วงย่อยที่ไม่ทับซ้อนกันi j αโดยแต่ละช่วงย่อยปิดที่ปลายด้านซ้าย และเปิดที่ปลายด้านขวา

จากนั้นแฟมิลี่จำกัดของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าCให้โดย

ค = ผม 1 × ผม 2 × ⋯ × ผม น {\displaystyle C=I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{n}} C=I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{n}

เป็นพาร์ทิชันของT ; ที่เป็นสี่เหลี่ยมย่อยC kจะไม่ทับซ้อนกันและสหภาพของพวกเขาคือT

Let ฉ  : T → Rเป็นฟังก์ชั่นที่กำหนดไว้ในเสื้อ พิจารณาพาร์ติชันCของTตามที่กำหนดไว้ข้างต้น โดยที่Cเป็นแฟมิลีของmสี่เหลี่ยมผืนผ้าย่อยC mและ

ตู่ = ค 1 ∪ ค 2 ∪ ⋯ ∪ ค ม {\displaystyle T=C_{1}\cup C_{2}\cup \cdots \cup C_{m}} T=C_{1}\cup C_{2}\cup \cdots \cup C_{m}

เราสามารถใกล้เคียงทั้งหมด( n + 1) TH-มิติปริมาณล้อมรอบด้านล่างโดยn hyperrectangle มิติTและเหนือโดยnกราฟมิติของฉมีดังต่อไปรวม Riemann :

Σ k = 1 ม ฉ ( พี k ) ม ⁡ ( ค k ) {\displaystyle \sum _{k=1}^{m}f(P_{k})\,\operatorname {m} (C_{k})} \sum _{k=1}^{m}f(P_{k})\,\operatorname {m} (C_{k})

ที่P kเป็นจุดในC kและเมตร ( C k )เป็นผลิตภัณฑ์ของความยาวของช่วงเวลาที่มีผลิตภัณฑ์ Cartesian เป็นC kยังเป็นที่รู้จักเป็นตัวชี้วัดของC k

เส้นผ่าศูนย์กลางของสี่เหลี่ยมอันC kเป็นที่ใหญ่ที่สุดของความยาวของช่วงเวลาที่มีผลิตภัณฑ์ Cartesianเป็นC k เส้นผ่านศูนย์กลางของพาร์ติชันที่กำหนดของTถูกกำหนดให้เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางที่ใหญ่ที่สุดของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าย่อยในพาร์ติชัน ตามสัญชาตญาณแล้ว เนื่องจากเส้นผ่านศูนย์กลางของพาร์ติชันCถูกจำกัดให้เล็กลงเรื่อยๆ จำนวนของสี่เหลี่ยมผืนผ้าย่อยmจะมากขึ้น และการวัดm( C k )ของแต่ละสี่เหลี่ยมผืนผ้าย่อยจะเล็กลง ฟังก์ชันfเรียกว่ารีมันน์อินทิเกรตได้ถ้าลิมิต

ส = ลิม δ → 0 Σ k = 1 ม ฉ ( พี k ) ม ⁡ ( ค k ) {\displaystyle S=\lim _{\delta \to 0}\sum _{k=1}^{m}f(P_{k})\,\operatorname {m} (C_{k})} {\displaystyle S=\lim _{\delta \to 0}\sum _{k=1}^{m}f(P_{k})\,\operatorname {m} (C_{k})}

มีอยู่โดยที่ขีด จำกัด จะถูกนำไปใช้กับพาร์ติชันที่เป็นไปได้ทั้งหมดของT ที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางมากที่สุดδ . [3]

หากฉเป็น Riemann integrable, Sเรียกว่าหนึ่ง Riemannของฉมากกว่าTและมีการแสดง

∫ ⋯ ∫ ตู่ ฉ ( x 1 , x 2 , … , x น ) d x 1 ⋯ d x น {\displaystyle \int \cdots \int _{T}\,f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,dx_{1}\!\cdots dx_{n}} {\displaystyle \int \cdots \int _{T}\,f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,dx_{1}\!\cdots dx_{n}}

บ่อยครั้งสัญกรณ์นี้มีตัวย่อว่า

∫ ตู่ ฉ ( x ) d น x . {\displaystyle \int _{T}\!f(\mathbf {x} )\,d^{n}\mathbf {x} .} \int _{T}\!f(\mathbf {x} )\,d^{n}\mathbf {x} .

ที่xหมายถึงn -tuple ( x 1 , ... , x n )และd n xเป็นnปริมาณมิติค่า

อินทิกรัลรีมันน์ของฟังก์ชันที่กำหนดเหนือชุดมิติn ที่มีขอบเขตตามอำเภอใจสามารถกำหนดได้โดยการขยายฟังก์ชันนั้นไปยังฟังก์ชันที่กำหนดไว้บนสี่เหลี่ยมผืนผ้าครึ่งเปิดซึ่งมีค่าเป็นศูนย์นอกโดเมนของฟังก์ชันดั้งเดิม จากนั้นอินทิกรัลของฟังก์ชันดั้งเดิมเหนือโดเมนดั้งเดิมถูกกำหนดให้เป็นอินทิกรัลของฟังก์ชันขยายเหนือโดเมนสี่เหลี่ยม ถ้ามีอยู่

ในสิ่งต่อไปนี้ Riemann หนึ่งในnมิติจะถูกเรียกว่าหนึ่งหลาย

คุณสมบัติ

อินทิกรัลหลายตัวมีคุณสมบัติหลายอย่างที่เหมือนกันกับอินทิกรัลของฟังก์ชันของตัวแปรเดียว (ลิเนียร์ การสลับสับเปลี่ยน ความซ้ำซากจำเจ และอื่นๆ) คุณสมบัติที่สำคัญประการหนึ่งของอินทิกรัลพหุคูณคือค่าของอินทิกรัลไม่ขึ้นกับลำดับของอินทิกรัลภายใต้เงื่อนไขบางประการ สถานที่แห่งนี้เป็นที่รู้จักกันแพร่หลายเป็นทฤษฎีบท Fubini ของ [4]

กรณีพิเศษ

ในกรณีของ ตู่ ⊆ R 2 {\displaystyle T\subseteq \mathbb {R} ^{2}} {\displaystyle T\subseteq \mathbb {R} ^{2}},ปริพันธ์

l = ∬ ตู่ ฉ ( x , y ) d x d y {\displaystyle l=\iint _{T}f(x,y)\,dx\,dy} {\displaystyle l=\iint _{T}f(x,y)\,dx\,dy}

เป็นอินทิกรัลคู่ของfบนTและ if ตู่ ⊆ R 3 {\displaystyle T\subseteq \mathbb {R} ^{3}} {\displaystyle T\subseteq \mathbb {R} ^{3}} ปริพันธ์

l = ∭ ตู่ ฉ ( x , y , z ) d x d y d z {\displaystyle l=\iiint _{T}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz} {\displaystyle l=\iiint _{T}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz}

เป็นหนึ่งสามของฉบนT

สังเกตว่า ตามแบบแผน อินทิกรัลคู่มีอินทิกรัลสองตัว และอินทิกรัลสามตัวมีสามตัว; นี่เป็นแบบแผนเชิงสัญกรณ์ซึ่งสะดวกเมื่อคำนวณอินทิกรัลหลายตัวเป็นอินทิกรัลแบบวนซ้ำ ดังที่แสดงในบทความนี้

วิธีการบูรณาการ

การแก้ปัญหาด้วยอินทิกรัลพหุคูณ ในกรณีส่วนใหญ่ การหาวิธีลดอินทิกรัลพหุคูณให้เป็นอินทิกรัลแบบวนซ้ำซึ่งเป็นชุดของอินทิกรัลของตัวแปรหนึ่งตัว ซึ่งแต่ละตัวสามารถแก้ได้โดยตรง สำหรับฟังก์ชั่นอย่างต่อเนื่องนี้เป็นธรรมโดยทฤษฎีบท Fubini ของ บางครั้ง สามารถรับผลการรวมได้โดยการตรวจสอบโดยตรงโดยไม่ต้องคำนวณใดๆ

ต่อไปนี้คือวิธีการง่ายๆ ในการผสานรวม: [1]

การรวมฟังก์ชันคงที่

เมื่ออินทิกรัลเป็นฟังก์ชันคงที่ cอินทิกรัลจะเท่ากับผลคูณของcและการวัดโดเมนของการผสานรวม ถ้าc = 1และโดเมนเป็นภูมิภาคย่อยของR 2อินทิกรัลจะให้พื้นที่ของภูมิภาค ในขณะที่ถ้าโดเมนเป็นภูมิภาคย่อยของR 3อินทิกรัลจะให้ปริมาตรของภูมิภาค

ตัวอย่าง. ให้f ( x , y ) = 2และ

ดี = { ( x , y ) ∈ R 2   :   2 ≤ x ≤ 4   ;   3 ≤ y ≤ 6 } {\displaystyle D=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\ :\ 2\leq x\leq 4\ ;\ 3\leq y\leq 6\right\}} {\displaystyle D=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\ :\ 2\leq x\leq 4\ ;\ 3\leq y\leq 6\right\}}

ในกรณีใด

∫ 3 6 ∫ 2 4   2   d x d y = 2 ∫ 3 6 ∫ 2 4   1   d x d y = 2 ⋅ พื้นที่ ⁡ ( ดี ) = 2 ⋅ ( 2 ⋅ 3 ) = 12 , {\displaystyle \int _{3}^{6}\int _{2}^{4}\ 2\ dx\,dy=2\int _{3}^{6}\int _{2}^{ 4}\ 1\ dx\,dy=2\cdot \operatorname {area} (D)=2\cdot (2\cdot 3)=12,} {\displaystyle \int _{3}^{6}\int _{2}^{4}\ 2\ dx\,dy=2\int _{3}^{6}\int _{2}^{4}\ 1\ dx\,dy=2\cdot \operatorname {area} (D)=2\cdot (2\cdot 3)=12,}

เนื่องจากตามคำจำกัดความเรามี:

∫ 3 6 ∫ 2 4   1   d x d y = พื้นที่ ⁡ ( ดี ) . {\displaystyle \int _{3}^{6}\int _{2}^{4}\ 1\ dx\,dy=\operatorname {area} (D).} {\displaystyle \int _{3}^{6}\int _{2}^{4}\ 1\ dx\,dy=\operatorname {area} (D).}

การใช้ความสมมาตร

เมื่อโดเมนของการรวมมีความสมมาตรเกี่ยวกับจุดกำเนิดโดยเทียบกับตัวแปรของการผสานรวมอย่างน้อยหนึ่งตัว และอินทิกรัลเป็นค่าคี่เมื่อเทียบกับตัวแปรนี้ อินทิกรัลจะเท่ากับศูนย์ เนื่องจากอินทิกรัลเหนือสองส่วนของโดเมนมี ค่าสัมบูรณ์เดียวกันแต่เครื่องหมายตรงข้าม เมื่อ integrand คือแม้ด้วยความเคารพให้กับตัวแปรนี้หนึ่งเท่ากับสองครั้งหนึ่งมากกว่าครึ่งหนึ่งของโดเมนเป็นปริพันธ์ในช่วงสองครึ่งของโดเมนมีค่าเท่ากัน

ตัวอย่างที่ 1พิจารณาฟังก์ชันf ( x , y ) = 2 sin( x ) − 3 y 3 + 5 ที่รวมเข้ากับโดเมน

ตู่ = { ( x , y ) ∈ R 2   :   x 2 + y 2 ≤ 1 } , {\displaystyle T=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\ :\ x^{2}+y^{2}\leq 1\right\},} {\displaystyle T=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\ :\ x^{2}+y^{2}\leq 1\right\},}

แผ่นดิสก์ที่มีรัศมี  1 อยู่ตรงกลางที่จุดกำเนิดพร้อมขอบเขตรวมอยู่ด้วย

การใช้คุณสมบัติเชิงเส้นตรง อินทิกรัลสามารถแบ่งออกเป็นสามส่วน:

∬ ตู่ ( 2 บาป ⁡ x − 3 y 3 + 5 ) d x d y = ∬ ตู่ 2 บาป ⁡ x d x d y − ∬ ตู่ 3 y 3 d x d y + ∬ ตู่ 5 d x d y {\displaystyle \iint _{T}\left(2\sin x-3y^{3}+5\right)\,dx\,dy=\iint _{T}2\sin x\,dx\,dy -\iint _{T}3y^{3}\,dx\,dy+\iint _{T}5\,dx\,dy} {\displaystyle \iint _{T}\left(2\sin x-3y^{3}+5\right)\,dx\,dy=\iint _{T}2\sin x\,dx\,dy-\iint _{T}3y^{3}\,dx\,dy+\iint _{T}5\,dx\,dy}

ฟังก์ชัน2 บาป ( x )เป็นฟังก์ชันคี่ในตัวแปรxและดิสก์Tมีความสมมาตรเมื่อเทียบกับแกนyดังนั้นค่าของอินทิกรัลแรกจึงเป็น 0 ในทำนองเดียวกัน ฟังก์ชัน3 y 3เป็นฟังก์ชันคี่ ของyและTมีความสมมาตรเมื่อเทียบกับแกนxดังนั้น การสนับสนุนอย่างเดียวต่อผลลัพธ์สุดท้ายคืออินทิกรัลที่สาม ดังนั้นอินทิกรัลดั้งเดิมจึงเท่ากับพื้นที่ของดิสก์คูณ 5 หรือ 5 π .

ตัวอย่างที่ 2พิจารณาฟังก์ชันf ( x , y , z ) = x exp ( y 2 + z 2 )และเมื่อรวมลูกบอลที่มีรัศมี 2 ไว้ตรงกลางจุดกำเนิด

ตู่ = { ( x , y , z ) ∈ R 3   :   x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4 } . {\displaystyle T=\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\ :\ x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 4 \ขวา\}.} {\displaystyle T=\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\ :\ x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 4\right\}.}

"ลูกบอล" มีความสมมาตรเกี่ยวกับแกนทั้งสาม แต่ก็เพียงพอที่จะรวมเข้ากับแกนxเพื่อแสดงว่าอินทิกรัลเป็น 0 เพราะฟังก์ชันนี้เป็นฟังก์ชันคี่ของตัวแปรนั้น

โดเมนปกติบนR 2

วิธีนี้ใช้ได้กับโดเมนDใดๆซึ่ง:

  • ประมาณการของDบนทั้งxแกนหรือYแกนเป็นที่สิ้นสุดโดยทั้งสองค่าและข
  • ตั้งฉากเส้นใด ๆ กับแกนที่ผ่านระหว่างทั้งสองค่าปริภูมิโดเมนในช่วง endpoints ที่จะได้รับจากกราฟของทั้งสองฟังก์ชั่นที่αและβ

โดเมนดังกล่าวจะอยู่ที่นี่เรียกว่าโดเมนปกติ ที่อื่นในวรรณคดี โดเมนปกติบางครั้งเรียกว่าโดเมนประเภท I หรือประเภท II ขึ้นอยู่กับแกนที่โดเมนถูกไฟเบอร์ ในทุกกรณี ฟังก์ชันที่จะรวมต้องเป็น Riemann integraable บนโดเมน ซึ่งเป็นจริง (เช่น) ถ้าฟังก์ชันต่อเนื่องกัน

แกนx

หากโดเมนDเป็นปกติด้วยความเคารพต่อxแกนและF  : D → Rเป็นฟังก์ชั่นอย่างต่อเนื่อง ; แล้วα ( x )และβ ( x ) (ซึ่งทั้งสองจะมีการกำหนดในช่วงเวลา[ , ข ] ) เป็นสองฟังก์ชั่นที่กำหนดD จากนั้น โดยทฤษฎีบทของ Fubini: [5]

∬ ดี ฉ ( x , y ) d x d y = ∫ ข d x ∫ α ( x ) β ( x ) ฉ ( x , y ) d y . {\displaystyle \iint _{D}f(x,y)\,dx\,dy=\int _{a}^{b}dx\int _{\alpha (x)}^{\beta (x) }f(x,y)\,dy.} {\displaystyle \iint _{D}f(x,y)\,dx\,dy=\int _{a}^{b}dx\int _{\alpha (x)}^{\beta (x)}f(x,y)\,dy.}

แกนy

ถ้าDเป็นปกติเมื่อเทียบกับแกนyและf  : D → Rเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง แล้วα ( Y )และβ ( Y ) (ซึ่งทั้งสองจะมีการกำหนดในช่วงเวลา[ , ข ] ) เป็นสองฟังก์ชั่นที่กำหนดD อีกครั้งตามทฤษฎีบทของ Fubini:

∬ ดี ฉ ( x , y ) d x d y = ∫ ข d y ∫ α ( y ) β ( y ) ฉ ( x , y ) d x . {\displaystyle \iint _{D}f(x,y)\,dx\,dy=\int _{a}^{b}dy\int _{\alpha (y)}^{\beta (y) }f(x,y)\,dx.} {\displaystyle \iint _{D}f(x,y)\,dx\,dy=\int _{a}^{b}dy\int _{\alpha (y)}^{\beta (y)}f(x,y)\,dx.}

โดเมนปกติในR 3

ถ้าTเป็นโดเมนปกติเมื่อเทียบกับระนาบ xyและถูกกำหนดโดยฟังก์ชันα ( x , y )และβ ( x , y )แล้ว

∭ ตู่ ฉ ( x , y , z ) d x d y d z = ∬ ดี ∫ α ( x , y ) β ( x , y ) ฉ ( x , y , z ) d z d x d y {\displaystyle \iiint _{T}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=\iint _{D}\int _{\alpha (x,y)}^{\beta ( x,y)}f(x,y,z)\,dz\,dx\,dy} {\displaystyle \iiint _{T}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=\iint _{D}\int _{\alpha (x,y)}^{\beta (x,y)}f(x,y,z)\,dz\,dx\,dy}

คำนิยามนี้จะเหมือนกันสำหรับอีกห้ากรณีปกติบนR 3 มันสามารถทั่วไปในทางที่ตรงไปตรงมาโดเมนในR n

การเปลี่ยนแปลงของตัวแปร

ข้อจำกัดของการรวมเข้าด้วยกันมักใช้แทนกันได้ไม่ง่ายนัก (หากไม่มีสภาวะปกติหรือด้วยสูตรที่ซับซ้อนในการรวมเข้าด้วยกัน) คนหนึ่งทำการเปลี่ยนแปลงตัวแปรเพื่อเขียนอินทิกรัลใหม่ในบริเวณที่ "สะดวก" มากขึ้น ซึ่งสามารถอธิบายได้ในสูตรที่ง่ายกว่า ในการทำเช่นนั้น ต้องปรับฟังก์ชันให้เข้ากับพิกัดใหม่

ตัวอย่างที่ 1ก. ฟังก์ชันคือf ( x , y ) = ( x − 1) 2 + √ y ; ถ้าใครทำผิดกฎหมายทดแทนU = x - 1 , V = Yดังนั้นx = U + 1 , Y = วีคนหนึ่งได้ฟังก์ชั่นใหม่F 2 ( U , V ) = ( U ) 2 + √วี

  • ในทำนองเดียวกันสำหรับโดเมนเนื่องจากมีการคั่นด้วยตัวแปรดั้งเดิมที่แปลงก่อนหน้านี้ ( xและyในตัวอย่าง)
  • ดิฟเฟอเรนเชียล dxและdyแปลงผ่านค่าสัมบูรณ์ของดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์จาโคเบียนที่มีอนุพันธ์บางส่วนของการแปลงที่เกี่ยวข้องกับตัวแปรใหม่ (พิจารณา เป็นตัวอย่าง การแปลงเชิงอนุพันธ์ในพิกัดเชิงขั้ว)

มี "ประเภท" หลักสามประการของการเปลี่ยนแปลงของตัวแปร (หนึ่งในR 2สองในR 3 ); อย่างไรก็ตาม การแทนที่ทั่วไปสามารถทำได้โดยใช้หลักการเดียวกัน

พิกัดเชิงขั้ว

การแปลงจากคาร์ทีเซียนเป็นพิกัดเชิงขั้ว

ในR 2หากโดเมนมีความสมมาตรแบบวงกลมและฟังก์ชันมีลักษณะเฉพาะบางอย่าง เราสามารถใช้การแปลงกับพิกัดเชิงขั้ว (ดูตัวอย่างในภาพ) ซึ่งหมายความว่าจุดทั่วไปP ( x , y )ในพิกัดคาร์ทีเซียนจะเปลี่ยนเป็น จุดตามลำดับในพิกัดเชิงขั้ว ที่ช่วยให้สามารถเปลี่ยนรูปร่างของโดเมนและทำให้การดำเนินการง่ายขึ้น

ความสัมพันธ์พื้นฐานในการทำการเปลี่ยนแปลงมีดังต่อไปนี้:

ฉ ( x , y ) → ฉ ( ρ cos ⁡ φ , ρ บาป ⁡ φ ) . {\displaystyle f(x,y)\rightarrow f(\rho \cos \varphi ,\rho \sin \varphi )} {\displaystyle f(x,y)\rightarrow f(\rho \cos \varphi ,\rho \sin \varphi ).}

ตัวอย่างที่ 2ก. ฟังก์ชันคือf ( x , y ) = x + yและใช้การแปลงที่ได้รับ

ฉ ( ρ , φ ) = ρ cos ⁡ φ + ρ บาป ⁡ φ = ρ ( cos ⁡ φ + บาป ⁡ φ ) . {\displaystyle f(\rho ,\varphi )=\rho \cos \varphi +\rho \sin \varphi =\rho (\cos \varphi +\sin \varphi )} {\displaystyle f(\rho ,\varphi )=\rho \cos \varphi +\rho \sin \varphi =\rho (\cos \varphi +\sin \varphi ).}

ตัวอย่างที่ 2b. ฟังก์ชันคือf ( x , y ) = x 2 + y 2ในกรณีนี้มี:

ฉ ( ρ , φ ) = ρ 2 ( cos 2 ⁡ φ + บาป 2 ⁡ φ ) = ρ 2 {\displaystyle f(\rho ,\varphi )=\rho ^{2}\left(\cos ^{2}\varphi +\sin ^{2}\varphi \right)=\rho ^{2}} {\displaystyle f(\rho ,\varphi )=\rho ^{2}\left(\cos ^{2}\varphi +\sin ^{2}\varphi \right)=\rho ^{2}}

โดยใช้เอกลักษณ์ตรีโกณมิติพีทาโกรัส (มีประโยชน์มากในการทำให้การดำเนินการนี้ง่ายขึ้น)

การเปลี่ยนแปลงของโดเมนจะทำโดยการกำหนดรัศมีความยาวมงกุฎและความกว้างของมุมอธิบายเพื่อกำหนดρ , φช่วงเวลาที่เริ่มต้นจากx , y ที่

ตัวอย่างการแปลงโดเมนจากคาร์ทีเซียนเป็นโพลาร์

ตัวอย่างที่ 2ค. โดเมนคือD = { x 2 + y 2 ≤ 4}นั่นคือเส้นรอบวงรัศมี 2; เห็นได้ชัดว่ามุมที่ครอบคือมุมของวงกลม ดังนั้นφจึงแปรผันจาก 0 ถึง 2 πในขณะที่รัศมีเม็ดมะยมแตกต่างกันไปตั้งแต่ 0 ถึง 2 (เม็ดมะยมที่มีรัศมีภายในเป็นโมฆะเป็นเพียงวงกลม)

ตัวอย่างที่ 2d. โดเมนคือD = { x 2 + y 2 ≤ 9, x 2 + y 2 ≥ 4, y ≥ 0}นั่นคือมงกุฎวงกลมในระนาบyบวก(โปรดดูภาพในตัวอย่าง); φอธิบายมุมระนาบในขณะที่ρแตกต่างกันไปตั้งแต่ 2 ถึง 3 ดังนั้นโดเมนที่แปลงแล้วจะเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าต่อไปนี้:

ตู่ = { 2 ≤ ρ ≤ 3 ,   0 ≤ φ ≤ พาย } . {\displaystyle T=\{2\leq \rho \leq 3,\ 0\leq \varphi \leq \pi \}.} {\displaystyle T=\{2\leq \rho \leq 3,\ 0\leq \varphi \leq \pi \}.}

ดีเทอร์มีแนนต์ของจาโคเบียนของการเปลี่ยนแปลงนั้นมีดังต่อไปนี้:

∂ ( x , y ) ∂ ( ρ , φ ) = | cos ⁡ φ − ρ บาป ⁡ φ บาป ⁡ φ ρ cos ⁡ φ | = ρ {\displaystyle {\frac {\partial (x,y)}{\partial (\rho ,\varphi )}}={\begin{vmatrix}\cos \varphi &-\rho \sin \varphi \\\sin \varphi &\rho \cos \varphi \end{vmatrix}}=\rho } {\displaystyle {\frac {\partial (x,y)}{\partial (\rho ,\varphi )}}={\begin{vmatrix}\cos \varphi &-\rho \sin \varphi \\\sin \varphi &\rho \cos \varphi \end{vmatrix}}=\rho }

ซึ่งได้มาจากการแทรกอนุพันธ์บางส่วนของx = ρ cos( φ ) , y = ρ sin( φ )ในคอลัมน์แรกเทียบกับρและในส่วนที่สองของφดังนั้นdx dy ดิฟเฟอเรนเชียลในการแปลงนี้จึงกลายเป็นρ ดร ด .

เมื่อฟังก์ชันถูกแปลงและประเมินโดเมนแล้ว เป็นไปได้ที่จะกำหนดสูตรสำหรับการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรในพิกัดเชิงขั้ว:

∬ ดี ฉ ( x , y ) d x d y = ∬ ตู่ ฉ ( ρ cos ⁡ φ , ρ บาป ⁡ φ ) ρ d ρ d φ . {\displaystyle \iint _{D}f(x,y)\,dx\,dy=\iint _{T}f(\rho \cos \varphi ,\rho \sin \varphi )\rho \,d\ rho \,d\varphi .} {\displaystyle \iint _{D}f(x,y)\,dx\,dy=\iint _{T}f(\rho \cos \varphi ,\rho \sin \varphi )\rho \,d\rho \,d\varphi .}

φใช้ได้ในช่วง[0, 2π]ในขณะที่ρซึ่งเป็นหน่วยวัดความยาว สามารถมีค่าบวกได้เท่านั้น

ตัวอย่างที่ 2e ฟังก์ชันคือf ( x , y ) = xและโดเมนเหมือนกับในตัวอย่างที่ 2d จากการวิเคราะห์ก่อนหน้านี้ของDเราทราบช่วงเวลาของρ (จาก 2 ถึง 3) และของφ (จาก 0 ถึงπ ) ตอนนี้เราเปลี่ยนฟังก์ชั่น:

ฉ ( x , y ) = x ⟶ ฉ ( ρ , φ ) = ρ cos ⁡ φ . {\displaystyle f(x,y)=x\longrightarrow f(\rho ,\varphi )=\rho \cos \varphi .} {\displaystyle f(x,y)=x\longrightarrow f(\rho ,\varphi )=\rho \cos \varphi .}

ในที่สุด ลองใช้สูตรการรวม:

∬ ดี x d x d y = ∬ ตู่ ρ cos ⁡ φ ρ d ρ d φ . {\displaystyle \iint _{D}x\,dx\,dy=\iint _{T}\rho \cos \varphi \rho \,d\rho \,d\varphi .} {\displaystyle \iint _{D}x\,dx\,dy=\iint _{T}\rho \cos \varphi \rho \,d\rho \,d\varphi .}

เมื่อทราบช่วงเวลาแล้ว คุณจะได้

∫ 0 พาย ∫ 2 3 ρ 2 cos ⁡ φ d ρ d φ = ∫ 0 พาย cos ⁡ φ   d φ [ ρ 3 3 ] 2 3 = [ บาป ⁡ φ ] 0 พาย   ( 9 − 8 3 ) = 0. {\displaystyle \int _{0}^{\pi }\int _{2}^{3}\rho ^{2}\cos \varphi \,d\rho \,d\varphi =\int _{0 }^{\pi }\cos \varphi \ d\varphi \left[{\frac {\rho ^{3}}{3}}\right]_{2}^{3}={\Big [}\ บาป \varphi {\Big ]}_{0}^{\pi }\ \left(9-{\frac {8}{3}}\right)=0.} {\displaystyle \int _{0}^{\pi }\int _{2}^{3}\rho ^{2}\cos \varphi \,d\rho \,d\varphi =\int _{0}^{\pi }\cos \varphi \ d\varphi \left[{\frac {\rho ^{3}}{3}}\right]_{2}^{3}={\Big [}\sin \varphi {\Big ]}_{0}^{\pi }\ \left(9-{\frac {8}{3}}\right)=0.}

พิกัดทรงกระบอก

พิกัดทรงกระบอก

ในR 3บูรณาการบนโดเมนที่มีฐานวงกลมสามารถทำได้โดยผ่านไปยังพิกัดทรงกระบอก ; การแปลงฟังก์ชันทำโดยความสัมพันธ์ต่อไปนี้:

ฉ ( x , y , z ) → ฉ ( ρ cos ⁡ φ , ρ บาป ⁡ φ , z ) {\displaystyle f(x,y,z)\rightarrow f(\rho \cos \varphi ,\rho \sin \varphi ,z)} {\displaystyle f(x,y,z)\rightarrow f(\rho \cos \varphi ,\rho \sin \varphi ,z)}

การแปลงโดเมนสามารถทำได้แบบกราฟิก เนื่องจากมีเพียงรูปร่างของฐานเท่านั้นที่แตกต่างกันไป ในขณะที่ความสูงจะเป็นไปตามรูปร่างของพื้นที่เริ่มต้น

ตัวอย่างที่ 3ก. บริเวณคือD = { x 2 + y 2 ≤ 9, x 2 + y 2 ≥ 4, 0 ≤ z ≤ 5} (นั่นคือ "ท่อ" ที่มีฐานเป็นมงกุฎทรงกลมของตัวอย่างที่ 2d และสูง 5) ; หากใช้การแปลงจะได้รับพื้นที่นี้:

ตู่ = { 2 ≤ ρ ≤ 3 ,   0 ≤ φ ≤ 2 พาย ,   0 ≤ z ≤ 5 } {\displaystyle T=\{2\leq \rho \leq 3,\ 0\leq \varphi \leq 2\pi ,\ 0\leq z\leq 5\}} {\displaystyle T=\{2\leq \rho \leq 3,\ 0\leq \varphi \leq 2\pi ,\ 0\leq z\leq 5\}}

(นั่นคือ รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีฐานคล้ายกับสี่เหลี่ยมผืนผ้าในตัวอย่างที่ 2d และมีความสูงเท่ากับ 5)

เพราะZองค์ประกอบไม่เปลี่ยนแปลงในช่วงการเปลี่ยนแปลงที่DX DY DZแตกต่างแตกต่างกันไปในทางที่จะพิกัดเชิงขั้วเพราะฉะนั้นพวกเขากลายเป็นρdρdφ DZ

สุดท้าย เป็นไปได้ที่จะนำสูตรสุดท้ายไปใช้กับพิกัดทรงกระบอก:

∭ ดี ฉ ( x , y , z ) d x d y d z = ∭ ตู่ ฉ ( ρ cos ⁡ φ , ρ บาป ⁡ φ , z ) ρ d ρ d φ d z . {\displaystyle \iiint _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=\iiint _{T}f(\rho \cos \varphi ,\rho \sin \varphi ,z )\rho \,d\rho \,d\varphi \,dz.} {\displaystyle \iiint _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=\iiint _{T}f(\rho \cos \varphi ,\rho \sin \varphi ,z)\rho \,d\rho \,d\varphi \,dz.}

วิธีนี้สะดวกในกรณีของโดเมนทรงกระบอกหรือทรงกรวย หรือในบริเวณที่ง่ายต่อการแยกแยะช่วงzและแม้แต่แปลงฐานวงกลมและฟังก์ชัน

ตัวอย่างที่ 3b. ฟังก์ชั่นคือF ( x , Y , Z ) = x 2 + y ที่2 + Zและเป็นโดเมนบูรณาการนี้ทรงกระบอก : D = { x 2 + y ที่2 ≤ 9 -5 ≤ Z ≤ 5} การแปลงของDในพิกัดทรงกระบอกมีดังต่อไปนี้:

ตู่ = { 0 ≤ ρ ≤ 3 ,   0 ≤ φ ≤ 2 พาย ,   − 5 ≤ z ≤ 5 } . {\displaystyle T=\{0\leq \rho \leq 3,\ 0\leq \varphi \leq 2\pi ,\ -5\leq z\leq 5\}.} {\displaystyle T=\{0\leq \rho \leq 3,\ 0\leq \varphi \leq 2\pi ,\ -5\leq z\leq 5\}.}

ในขณะที่ฟังก์ชันกลายเป็น

ฉ ( ρ cos ⁡ φ , ρ บาป ⁡ φ , z ) = ρ 2 + z {\displaystyle f(\rho \cos \varphi ,\rho \sin \varphi ,z)=\rho ^{2}+z} {\displaystyle f(\rho \cos \varphi ,\rho \sin \varphi ,z)=\rho ^{2}+z}

ในที่สุดก็สามารถใช้สูตรการรวม:

∭ ดี ( x 2 + y 2 + z ) d x d y d z = ∭ ตู่ ( ρ 2 + z ) ρ d ρ d φ d z ; {\displaystyle \iiint _{D}\left(x^{2}+y^{2}+z\right)\,dx\,dy\,dz=\iiint _{T}\left(\rho ^ {2}+z\right)\rho \,d\rho \,d\varphi \,dz;} {\displaystyle \iiint _{D}\left(x^{2}+y^{2}+z\right)\,dx\,dy\,dz=\iiint _{T}\left(\rho ^{2}+z\right)\rho \,d\rho \,d\varphi \,dz;}

พัฒนาสูตรที่คุณมี

∫ − 5 5 d z ∫ 0 2 พาย d φ ∫ 0 3 ( ρ 3 + ρ z ) d ρ = 2 พาย ∫ − 5 5 [ ρ 4 4 + ρ 2 z 2 ] 0 3 d z = 2 พาย ∫ − 5 5 ( 81 4 + 9 2 z ) d z = ⋯ = 405 พาย . {\displaystyle \int _{-5}^{5}dz\int _{0}^{2\pi }d\varphi \int _{0}^{3}\left(\rho ^{3}+ \rho z\right)\,d\rho =2\pi \int _{-5}^{5}\left[{\frac {\rho ^{4}}{4}}+{\frac {\ rho ^{2}z}{2}}\right]_{0}^{3}\,dz=2\pi \int _{-5}^{5}\left({\frac {81}{ 4}}+{\frac {9}{2}}z\right)\,dz=\cdots =405\pi .} {\displaystyle \int _{-5}^{5}dz\int _{0}^{2\pi }d\varphi \int _{0}^{3}\left(\rho ^{3}+\rho z\right)\,d\rho =2\pi \int _{-5}^{5}\left[{\frac {\rho ^{4}}{4}}+{\frac {\rho ^{2}z}{2}}\right]_{0}^{3}\,dz=2\pi \int _{-5}^{5}\left({\frac {81}{4}}+{\frac {9}{2}}z\right)\,dz=\cdots =405\pi .}

พิกัดทรงกลม

พิกัดทรงกลม

ในR 3บางโดเมนมีความสมมาตรทรงกลม ดังนั้นจึงเป็นไปได้ที่จะระบุพิกัดของทุกจุดของขอบเขตการรวมเป็นสองมุมและหนึ่งระยะทาง มันเป็นไปได้ที่จะใช้จึงผ่านไปยังพิกัดทรงกลม ; ฟังก์ชันถูกเปลี่ยนโดยความสัมพันธ์นี้:

ฉ ( x , y , z ) ⟶ ฉ ( ρ cos ⁡ θ บาป ⁡ φ , ρ บาป ⁡ θ บาป ⁡ φ , ρ cos ⁡ φ ) {\displaystyle f(x,y,z)\longrightarrow f(\rho \cos \theta \sin \varphi ,\rho \sin \theta \sin \varphi ,\rho \cos \varphi )} {\displaystyle f(x,y,z)\longrightarrow f(\rho \cos \theta \sin \varphi ,\rho \sin \theta \sin \varphi ,\rho \cos \varphi )}

จุดบนแกนzไม่มีคุณลักษณะที่ชัดเจนในพิกัดทรงกลม ดังนั้นθจึงสามารถแปรผันได้ระหว่าง 0 ถึง 2 π .

โดเมนการรวมที่ดีกว่าสำหรับข้อความนี้คือทรงกลม

ตัวอย่างที่ 4ก. โดเมนคือD = x 2 + y 2 + z 2 ≤ 16 (ทรงกลมที่มีรัศมี 4 และจุดศูนย์กลางที่จุดกำเนิด) ใช้การแปลงที่คุณได้รับภูมิภาค

ตู่ = { 0 ≤ ρ ≤ 4 ,   0 ≤ φ ≤ พาย ,   0 ≤ θ ≤ 2 พาย } . {\displaystyle T=\{0\leq \rho \leq 4,\ 0\leq \varphi \leq \pi ,\ 0\leq \theta \leq 2\pi \}.} {\displaystyle T=\{0\leq \rho \leq 4,\ 0\leq \varphi \leq \pi ,\ 0\leq \theta \leq 2\pi \}.}

ดีเทอร์มีแนนต์ของจาโคเบียนของการเปลี่ยนแปลงนี้มีดังต่อไปนี้:

∂ ( x , y , z ) ∂ ( ρ , θ , φ ) = | cos ⁡ θ บาป ⁡ φ − ρ บาป ⁡ θ บาป ⁡ φ ρ cos ⁡ θ cos ⁡ φ บาป ⁡ θ บาป ⁡ φ ρ cos ⁡ θ บาป ⁡ φ ρ บาป ⁡ θ cos ⁡ φ cos ⁡ φ 0 − ρ บาป ⁡ φ | = ρ 2 บาป ⁡ φ {\displaystyle {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (\rho ,\theta ,\varphi )}}={\begin{vmatrix}\cos \theta \sin \varphi &-\ rho \sin \theta \sin \varphi &\rho \cos \theta \cos \varphi \\\sin \theta \sin \varphi &\rho \cos \theta \sin \varphi &\rho \sin \theta \cos \varphi \\\cos \varphi &0&-\rho \sin \varphi \end{vmatrix}}=\rho ^{2}\sin \varphi } {\displaystyle {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (\rho ,\theta ,\varphi )}}={\begin{vmatrix}\cos \theta \sin \varphi &-\rho \sin \theta \sin \varphi &\rho \cos \theta \cos \varphi \\\sin \theta \sin \varphi &\rho \cos \theta \sin \varphi &\rho \sin \theta \cos \varphi \\\cos \varphi &0&-\rho \sin \varphi \end{vmatrix}}=\rho ^{2}\sin \varphi }

DX DY DZความแตกต่างจึงเปลี่ยนρ 2บาป ( φ ) dρ dθ dφ

ผลลัพธ์ที่ได้คือสูตรการรวมขั้นสุดท้าย:

∭ ดี ฉ ( x , y , z ) d x d y d z = ∭ ตู่ ฉ ( ρ บาป ⁡ φ cos ⁡ θ , ρ บาป ⁡ φ บาป ⁡ θ , ρ cos ⁡ φ ) ρ 2 บาป ⁡ φ d ρ d θ d φ . {\displaystyle \iiint _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=\iiint _{T}f(\rho \sin \varphi \cos \theta ,\rho \sin \varphi \sin \theta ,\rho \cos \varphi )\rho ^{2}\sin \varphi \,d\rho \,d\theta \,d\varphi .} {\displaystyle \iiint _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=\iiint _{T}f(\rho \sin \varphi \cos \theta ,\rho \sin \varphi \sin \theta ,\rho \cos \varphi )\rho ^{2}\sin \varphi \,d\rho \,d\theta \,d\varphi .}

ควรใช้วิธีนี้ในกรณีของโดเมนทรงกลมและในกรณีของฟังก์ชันที่ลดความซับซ้อนได้โดยง่ายโดยความสัมพันธ์พื้นฐานครั้งแรกของตรีโกณมิติที่ขยายไปยังR 3 (ดูตัวอย่างที่ 4b) ในกรณีอื่นๆ จะดีกว่าถ้าใช้พิกัดทรงกระบอก (ดูตัวอย่างที่ 4c)

∭ ตู่ ฉ ( , ข , ค ) ρ 2 บาป ⁡ φ d ρ d θ d φ . {\displaystyle \iiint _{T}f(a,b,c)\rho ^{2}\sin \varphi \,d\rho \,d\theta \,d\varphi .} {\displaystyle \iiint _{T}f(a,b,c)\rho ^{2}\sin \varphi \,d\rho \,d\theta \,d\varphi .}

ρ 2พิเศษและบาปφมาจากภาษาจาโคเบียน

ในตัวอย่างต่อไปนี้ บทบาทของφและθกลับกัน

ตัวอย่างที่ 4b. Dเป็นพื้นที่เดียวกับในตัวอย่างที่ 4a และf ( x , y , z ) = x 2 + y 2 + z 2เป็นฟังก์ชันที่จะรวมเข้าด้วยกัน การเปลี่ยนแปลงนั้นง่ายมาก:

ฉ ( ρ บาป ⁡ φ cos ⁡ θ , ρ บาป ⁡ φ บาป ⁡ θ , ρ cos ⁡ φ ) = ρ 2 , {\displaystyle f(\rho \sin \varphi \cos \theta ,\rho \sin \varphi \sin \theta ,\rho \cos \varphi )=\rho ^{2},} {\displaystyle f(\rho \sin \varphi \cos \theta ,\rho \sin \varphi \sin \theta ,\rho \cos \varphi )=\rho ^{2},}

ในขณะที่เราทราบช่วงเวลาของพื้นที่ที่แปลงแล้วTจากD :

ตู่ = { 0 ≤ ρ ≤ 4 ,   0 ≤ φ ≤ พาย ,   0 ≤ θ ≤ 2 พาย } . {\displaystyle T=\{0\leq \rho \leq 4,\ 0\leq \varphi \leq \pi ,\ 0\leq \theta \leq 2\pi \}.} {\displaystyle T=\{0\leq \rho \leq 4,\ 0\leq \varphi \leq \pi ,\ 0\leq \theta \leq 2\pi \}.}

ดังนั้นเราจึงใช้สูตรการรวม:

∭ ดี ( x 2 + y 2 + z 2 ) d x d y d z = ∭ ตู่ ρ 2 ρ 2 บาป ⁡ θ d ρ d θ d φ , {\displaystyle \iiint _{D}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\,dx\,dy\,dz=\iiint _{T}\rho ^{2}\,\rho ^{2}\sin \theta \,d\rho \,d\theta \,d\varphi ,} {\displaystyle \iiint _{D}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\,dx\,dy\,dz=\iiint _{T}\rho ^{2}\,\rho ^{2}\sin \theta \,d\rho \,d\theta \,d\varphi ,}

และการพัฒนาเราได้รับ

∭ ตู่ ρ 4 บาป ⁡ θ d ρ d θ d φ = ∫ 0 พาย บาป ⁡ φ d φ ∫ 0 4 ρ 4 d ρ ∫ 0 2 พาย d θ = 2 พาย ∫ 0 พาย บาป ⁡ φ [ ρ 5 5 ] 0 4 d φ = 2 พาย [ ρ 5 5 ] 0 4 [ − cos ⁡ φ ] 0 พาย = 4096 พาย 5 . {\displaystyle \iiint _{T}\rho ^{4}\sin \theta \,d\rho \,d\theta \,d\varphi =\int _{0}^{\pi }\sin \varphi \,d\varphi \int _{0}^{4}\rho ^{4}d\rho \int _{0}^{2\pi }d\theta =2\pi \int _{0}^ {\pi }\sin \varphi \left[{\frac {\rho ^{5}}{5}}\right]_{0}^{4}\,d\varphi =2\pi \left[{ \frac {\rho ^{5}}{5}}\right]_{0}^{4}{\Big [}-\cos \varphi {\Big ]}_{0}^{\pi }= {\frac {4096\pi }{5}}.} {\displaystyle \iiint _{T}\rho ^{4}\sin \theta \,d\rho \,d\theta \,d\varphi =\int _{0}^{\pi }\sin \varphi \,d\varphi \int _{0}^{4}\rho ^{4}d\rho \int _{0}^{2\pi }d\theta =2\pi \int _{0}^{\pi }\sin \varphi \left[{\frac {\rho ^{5}}{5}}\right]_{0}^{4}\,d\varphi =2\pi \left[{\frac {\rho ^{5}}{5}}\right]_{0}^{4}{\Big [}-\cos \varphi {\Big ]}_{0}^{\pi }={\frac {4096\pi }{5}}.}

ตัวอย่างที่ 4ค. โดเมนDคือลูกบอลที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิดและรัศมี3 a ,

ดี = { x 2 + y 2 + z 2 ≤ 9 2 } {\displaystyle D=\left\{x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 9a^{2}\right\}} D=\left\{x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 9a^{2}\right\}

และf ( x , y , z ) = x 2 + y 2เป็นฟังก์ชันที่จะรวมเข้าด้วยกัน

เมื่อดูที่โดเมน ดูเหมือนว่าสะดวกที่จะนำเนื้อเรื่องไปยังพิกัดทรงกลม อันที่จริง ช่วงเวลาของตัวแปรที่คั่นขอบเขตTใหม่นั้นชัดเจน:

ตู่ = { 0 ≤ ρ ≤ 3 ,   0 ≤ φ ≤ 2 พาย ,   0 ≤ θ ≤ พาย } . {\displaystyle T=\{0\leq \rho \leq 3a,\ 0\leq \varphi \leq 2\pi ,\ 0\leq \theta \leq \pi \}.} {\displaystyle T=\{0\leq \rho \leq 3a,\ 0\leq \varphi \leq 2\pi ,\ 0\leq \theta \leq \pi \}.}

อย่างไรก็ตาม เมื่อนำการแปลงไปใช้ เราจะได้

ฉ ( x , y , z ) = x 2 + y 2 ⟶ ρ 2 บาป 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ φ + ρ 2 บาป 2 ⁡ θ บาป 2 ⁡ φ = ρ 2 บาป 2 ⁡ θ . {\displaystyle f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}\longrightarrow \rho ^{2}\sin ^{2}\theta \cos ^{2}\varphi +\rho ^{2}\sin ^{2}\theta \sin ^{2}\varphi =\rho ^{2}\sin ^{2}\theta .} {\displaystyle f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}\longrightarrow \rho ^{2}\sin ^{2}\theta \cos ^{2}\varphi +\rho ^{2}\sin ^{2}\theta \sin ^{2}\varphi =\rho ^{2}\sin ^{2}\theta .}

การใช้สูตรสำหรับการบูรณาการที่เราได้รับ:

∭ ตู่ ρ 2 บาป 2 ⁡ θ ρ 2 บาป ⁡ θ d ρ d θ d φ = ∭ ตู่ ρ 4 บาป 3 ⁡ θ d ρ d θ d φ {\displaystyle \iiint _{T}\rho ^{2}\sin ^{2}\theta \rho ^{2}\sin \theta \,d\rho \,d\theta \,d\varphi =\ iiint _{T}\rho ^{4}\sin ^{3}\theta \,d\rho \,d\theta \,d\varphi } {\displaystyle \iiint _{T}\rho ^{2}\sin ^{2}\theta \rho ^{2}\sin \theta \,d\rho \,d\theta \,d\varphi =\iiint _{T}\rho ^{4}\sin ^{3}\theta \,d\rho \,d\theta \,d\varphi }

ซึ่งสามารถแก้ไขได้โดยเปลี่ยนเป็นอินทิกรัลแบบวนซ้ำ


∭ ตู่ ρ 4 บาป 3 ⁡ θ d ρ d θ d φ = ∫ 0 3 ρ 4 d ρ ⏟ ผม ∫ 0 พาย บาป 3 ⁡ θ d θ ⏟ ผม ผม ∫ 0 2 พาย d φ ⏟ ผม ผม ผม {\displaystyle \iiint _{T}\rho ^{4}\sin ^{3}\theta \,d\rho \,d\theta \,d\varphi =\underbrace {\int _{0}^{ 3a}\rho ^{4}d\rho } _{I}\,\underbrace {\int _{0}^{\pi }\sin ^{3}\theta \,d\theta } _{II} \,\underbrace {\int _{0}^{2\pi }d\varphi } _{III}} {\displaystyle \iiint _{T}\rho ^{4}\sin ^{3}\theta \,d\rho \,d\theta \,d\varphi =\underbrace {\int _{0}^{3a}\rho ^{4}d\rho } _{I}\,\underbrace {\int _{0}^{\pi }\sin ^{3}\theta \,d\theta } _{II}\,\underbrace {\int _{0}^{2\pi }d\varphi } _{III}}.

ผม = ∫ 0 3 ρ 4 d ρ = ρ 5 5 | 0 3 = 243 5 5 {\displaystyle I=\left.\int _{0}^{3a}\rho ^{4}d\rho ={\frac {\rho ^{5}}{5}}\right\vert _{0 }^{3a}={\frac {243}{5}}a^{5}} {\displaystyle I=\left.\int _{0}^{3a}\rho ^{4}d\rho ={\frac {\rho ^{5}}{5}}\right\vert _{0}^{3a}={\frac {243}{5}}a^{5}},

ผม ผม = ∫ 0 พาย บาป 3 ⁡ θ d θ = − ∫ 0 พาย บาป 2 ⁡ θ d ( cos ⁡ θ ) = ∫ 0 พาย ( cos 2 ⁡ θ − 1 ) d ( cos ⁡ θ ) = cos 3 ⁡ θ 3 | 0 พาย − cos ⁡ θ | 0 พาย = 4 3 {\displaystyle II=\int _{0}^{\pi }\sin ^{3}\theta \,d\theta =-\int _{0}^{\pi }\sin ^{2}\theta \,d(\cos \theta )=\int _{0}^{\pi }(\cos ^{2}\theta -1)\,d(\cos \theta )=\left.{\frac { \cos ^{3}\theta }{3}}\right|_{0}^{\pi }-\left.\cos \theta \right|_{0}^{\pi }={\frac { 4}{3}}} {\displaystyle II=\int _{0}^{\pi }\sin ^{3}\theta \,d\theta =-\int _{0}^{\pi }\sin ^{2}\theta \,d(\cos \theta )=\int _{0}^{\pi }(\cos ^{2}\theta -1)\,d(\cos \theta )=\left.{\frac {\cos ^{3}\theta }{3}}\right|_{0}^{\pi }-\left.\cos \theta \right|_{0}^{\pi }={\frac {4}{3}}},

ผม ผม ผม = ∫ 0 2 พาย d φ = 2 พาย {\displaystyle III=\int _{0}^{2\pi }d\varphi =2\pi } {\displaystyle III=\int _{0}^{2\pi }d\varphi =2\pi }.


รวบรวมทุกส่วน,

∭ ตู่ ρ 4 บาป 3 ⁡ θ d ρ d θ d φ = ผม ⋅ ผม ผม ⋅ ผม ผม ผม = 243 5 5 ⋅ 4 3 ⋅ 2 พาย = 648 5 พาย 5 {\displaystyle \iiint _{T}\rho ^{4}\sin ^{3}\theta \,d\rho \,d\theta \,d\varphi =I\cdot II\cdot III={\frac {243}{5}}a^{5}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot 2\pi ={\frac {648}{5}}\pi a^{5}} {\displaystyle \iiint _{T}\rho ^{4}\sin ^{3}\theta \,d\rho \,d\theta \,d\varphi =I\cdot II\cdot III={\frac {243}{5}}a^{5}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot 2\pi ={\frac {648}{5}}\pi a^{5}}.


อีกทางหนึ่งปัญหานี้สามารถแก้ไขได้โดยใช้ทางเดินไปยังพิกัดทรงกระบอก ช่วงเวลาTใหม่คือ

ตู่ = { 0 ≤ ρ ≤ 3 ,   0 ≤ φ ≤ 2 พาย ,   − 9 2 − ρ 2 ≤ z ≤ 9 2 − ρ 2 } ; {\displaystyle T=\left\{0\leq \rho \leq 3a,\ 0\leq \varphi \leq 2\pi ,\ -{\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}} \leq z\leq {\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}\right\};} {\displaystyle T=\left\{0\leq \rho \leq 3a,\ 0\leq \varphi \leq 2\pi ,\ -{\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}\leq z\leq {\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}\right\};}

Zช่วงได้รับโดยการหารลูกลงสองซีกโดยเพียงแค่การแก้ความไม่เท่าเทียมกันจากสูตรของD (แล้วโดยตรงเปลี่ยนx 2 + y ที่2ลงในρ 2 ) ฟังก์ชั่นใหม่นั้นง่ายρ 2 . การใช้สูตรบูรณาการ integration

∭ ตู่ ρ 2 ρ d ρ d φ d z . {\displaystyle \iiint _{T}\rho ^{2}\rho \,d\rho \,d\varphi \,dz.} {\displaystyle \iiint _{T}\rho ^{2}\rho \,d\rho \,d\varphi \,dz.}

แล้วเราจะได้

∫ 0 2 พาย d φ ∫ 0 3 ρ 3 d ρ ∫ − 9 2 − ρ 2 9 2 − ρ 2 d z = 2 พาย ∫ 0 3 2 ρ 3 9 2 − ρ 2 d ρ = − 2 พาย ∫ 9 2 0 ( 9 2 − t ) t d t t = 9 2 − ρ 2 = 2 พาย ∫ 0 9 2 ( 9 2 t − t t ) d t = 2 พาย ( ∫ 0 9 2 9 2 t d t − ∫ 0 9 2 t t d t ) = 2 พาย [ 9 2 2 3 t 3 2 − 2 5 t 5 2 ] 0 9 2 = 2 ⋅ 27 พาย 5 ( 6 − 18 5 ) = 648 พาย 5 5 . {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{2\pi }d\varphi \int _{0}^{3a}\rho ^{3}d\rho \int _{-{\ sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}}^{\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}\,dz&=2\pi \int _{0}^ {3a}2\rho ^{3}{\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}\,d\rho \\&=-2\pi \int _{9a^{2} }^{0}(9a^{2}-t){\sqrt {t}}\,dt&&t=9a^{2}-\rho ^{2}\\&=2\pi \int _{0} ^{9a^{2}}\left(9a^{2}{\sqrt {t}}-t{\sqrt {t}}\right)\,dt\\&=2\pi \left(\int _{0}^{9a^{2}}9a^{2}{\sqrt {t}}\,dt-\int _{0}^{9a^{2}}t{\sqrt {t}} \,dt\right)\\&=2\pi \left[9a^{2}{\frac {2}{3}}t^{\frac {3}{2}}-{\frac {2} {5}}t^{\frac {5}{2}}\right]_{0}^{9a^{2}}\\&=2\cdot 27\pi a^{5}\left(6) -{\frac {18}{5}}\right)\\&={\frac {648\pi }{5}}a^{5}.\end{aligned}}} {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{2\pi }d\varphi \int _{0}^{3a}\rho ^{3}d\rho \int _{-{\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}}^{\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}\,dz&=2\pi \int _{0}^{3a}2\rho ^{3}{\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}\,d\rho \\&=-2\pi \int _{9a^{2}}^{0}(9a^{2}-t){\sqrt {t}}\,dt&&t=9a^{2}-\rho ^{2}\\&=2\pi \int _{0}^{9a^{2}}\left(9a^{2}{\sqrt {t}}-t{\sqrt {t}}\right)\,dt\\&=2\pi \left(\int _{0}^{9a^{2}}9a^{2}{\sqrt {t}}\,dt-\int _{0}^{9a^{2}}t{\sqrt {t}}\,dt\right)\\&=2\pi \left[9a^{2}{\frac {2}{3}}t^{\frac {3}{2}}-{\frac {2}{5}}t^{\frac {5}{2}}\right]_{0}^{9a^{2}}\\&=2\cdot 27\pi a^{5}\left(6-{\frac {18}{5}}\right)\\&={\frac {648\pi }{5}}a^{5}.\end{aligned}}}

ต้องขอบคุณทางผ่านไปยังพิกัดทรงกระบอก ทำให้สามารถลดอินทิกรัลสามตัวให้เป็นอินทิกรัลแบบตัวแปรเดียวได้ง่ายขึ้น

ดูเพิ่มเติมรายการปริมาณค่าในNabla ในรูปทรงกระบอกและทรงกลมพิกัด

ตัวอย่าง

อินทิกรัลสองเท่าบนสี่เหลี่ยม

สมมติว่าเราต้องการรวมฟังก์ชันพหุตัวแปรfบนพื้นที่A :

อา = { ( x , y ) ∈ R 2   :   11 ≤ x ≤ 14   ;   7 ≤ y ≤ 10 }  และ  ฉ ( x , y ) = x 2 + 4 y {\displaystyle A=\left\{(x,y)\in \mathbf {R} ^{2}\ :\ 11\leq x\leq 14\ ;\ 7\leq y\leq 10\right\}{ \mbox{ และ }}f(x,y)=x^{2}+4y\,} {\displaystyle A=\left\{(x,y)\in \mathbf {R} ^{2}\ :\ 11\leq x\leq 14\ ;\ 7\leq y\leq 10\right\}{\mbox{ and }}f(x,y)=x^{2}+4y\,}

จากนี้เรากำหนดอินทิกรัลที่มีการวนซ้ำ

∫ 7 10 ∫ 11 14 ( x 2 + 4 y ) d x d y {\displaystyle \int _{7}^{10}\int _{11}^{14}(x^{2}+4y)\,dx\,dy} {\displaystyle \int _{7}^{10}\int _{11}^{14}(x^{2}+4y)\,dx\,dy}

ซึ่งเป็นส่วนประกอบสำคัญภายในเป็นครั้งแรกที่ดำเนินการบูรณาการเกี่ยวกับการxและสละYเป็นอย่างต่อเนื่องในขณะที่มันไม่ได้เป็นตัวแปรของการรวมกลุ่ม ผลมาจากการที่สำคัญนี้ซึ่งเป็นฟังก์ชั่นขึ้นอยู่เฉพาะในปีเป็นแบบบูรณาการนั้นด้วยความเคารพต่อปี

∫ 11 14 ( x 2 + 4 y ) d x = [ 1 3 x 3 + 4 y x ] x = 11 x = 14 = 1 3 ( 14 ) 3 + 4 y ( 14 ) − 1 3 ( 11 ) 3 − 4 y ( 11 ) = 471 + 12 y {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{11}^{14}\left(x^{2}+4y\right)\,dx&=\left[{\frac {1}{3}}x ^{3}+4yx\right]_{x=11}^{x=14}\\&={\frac {1}{3}}(14)^{3}+4y(14)-{\ frac {1}{3}}(11)^{3}-4y(11)\\&=471+12y\end{aligned}}} {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{11}^{14}\left(x^{2}+4y\right)\,dx&=\left[{\frac {1}{3}}x^{3}+4yx\right]_{x=11}^{x=14}\\&={\frac {1}{3}}(14)^{3}+4y(14)-{\frac {1}{3}}(11)^{3}-4y(11)\\&=471+12y\end{aligned}}}

จากนั้นเราจะบูรณาการผลที่เกี่ยวกับY

∫ 7 10 ( 471 + 12 y )   d y = [ 471 y + 6 y 2 ] y = 7 y = 10 = 471 ( 10 ) + 6 ( 10 ) 2 − 471 ( 7 ) − 6 ( 7 ) 2 = 1719 {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{7}^{10}(471+12y)\ dy&={\Big [}471y+6y^{2}{\Big ]}_{y=7} ^{y=10}\\&=471(10)+6(10)^{2}-471(7)-6(7)^{2}\\&=1719\end{aligned}}} {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{7}^{10}(471+12y)\ dy&={\Big [}471y+6y^{2}{\Big ]}_{y=7}^{y=10}\\&=471(10)+6(10)^{2}-471(7)-6(7)^{2}\\&=1719\end{aligned}}}

ในกรณีที่อินทิกรัลคู่ของค่าสัมบูรณ์ของฟังก์ชันมีขอบเขตจำกัด ลำดับของการบูรณาการสามารถใช้แทนกันได้ กล่าวคือ การรวมเข้ากับxก่อน และการรวมเทียบกับyก่อนจะให้ผลลัพธ์แบบเดียวกัน นั่นคือทฤษฎีบท Fubini ของ ตัวอย่างเช่น การทำการคำนวณก่อนหน้าโดยมีการกลับคำสั่งให้ผลลัพธ์เหมือนกัน:

∫ 11 14 ∫ 7 10 ( x 2 + 4 y ) d y d x = ∫ 11 14 [ x 2 y + 2 y 2 ] y = 7 y = 10 d x = ∫ 11 14 ( 3 x 2 + 102 ) d x = [ x 3 + 102 x ] x = 11 x = 14 = 1719. {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{11}^{14}\int _{7}^{10}\,\left(x^{2}+4y\right)\,dy\,dx& =\int _{11}^{14}{\Big [}x^{2}y+2y^{2}{\Big ]}_{y=7}^{y=10}\,dx\\ &=\int _{11}^{14}\,(3x^{2}+102)\,dx\\&={\Big [}x^{3}+102x{\Big ]}_{x =11}^{x=14}\\&=1719.\end{aligned}}} {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{11}^{14}\int _{7}^{10}\,\left(x^{2}+4y\right)\,dy\,dx&=\int _{11}^{14}{\Big [}x^{2}y+2y^{2}{\Big ]}_{y=7}^{y=10}\,dx\\&=\int _{11}^{14}\,(3x^{2}+102)\,dx\\&={\Big [}x^{3}+102x{\Big ]}_{x=11}^{x=14}\\&=1719.\end{aligned}}}

อินทิกรัลคู่เหนือโดเมนปกติ

ตัวอย่าง: อินทิกรัลคู่เหนือพื้นที่ปกติ D

พิจารณาภูมิภาค (โปรดดูภาพในตัวอย่าง):

ดี = { ( x , y ) ∈ R 2   :   x ≥ 0 , y ≤ 1 , y ≥ x 2 } {\displaystyle D=\{(x,y)\in \mathbf {R} ^{2}\ :\ x\geq 0,y\leq 1,y\geq x^{2}\}} D=\{(x,y)\in \mathbf {R} ^{2}\ :\ x\geq 0,y\leq 1,y\geq x^{2}\}

คำนวณ

∬ ดี ( x + y ) d x d y . {\displaystyle \iint _{D}(x+y)\,dx\,dy.} \iint _{D}(x+y)\,dx\,dy.

โดเมนนี้เป็นเรื่องปกติสำหรับทั้งแกนxและy ในการใช้สูตร จำเป็นต้องค้นหาฟังก์ชันที่กำหนดDและช่วงเวลาที่กำหนดฟังก์ชันเหล่านี้ ในกรณีนี้ ทั้งสองฟังก์ชันคือ:

α ( x ) = x 2  และ  β ( x ) = 1 {\displaystyle \alpha (x)=x^{2}{\text{ and }}\beta (x)=1} \alpha (x)=x^{2}{\text{ and }}\beta (x)=1

ในขณะที่ช่วงเวลาถูกกำหนดโดยจุดตัดของฟังก์ชันด้วยx  = 0 ดังนั้นช่วงเวลาคือ [ a ,  b ] = [0, 1] (ค่าปกติถูกเลือกตามแกนxเพื่อให้เข้าใจภาพได้ดีขึ้น)

ตอนนี้เป็นไปได้ที่จะใช้สูตร:

∬ ดี ( x + y ) d x d y = ∫ 0 1 d x ∫ x 2 1 ( x + y ) d y = ∫ 0 1 d x   [ x y + y 2 2 ] x 2 1 {\displaystyle \iint _{D}(x+y)\,dx\,dy=\int _{0}^{1}dx\int _{x^{2}}^{1}(x+y )\,dy=\int _{0}^{1}dx\ \left[xy+{\frac {y^{2}}{2}}\right]_{x^{2}}^{1} } \iint _{D}(x+y)\,dx\,dy=\int _{0}^{1}dx\int _{x^{2}}^{1}(x+y)\,dy=\int _{0}^{1}dx\ \left[xy+{\frac {y^{2}}{2}}\right]_{x^{2}}^{1}

(ในตอนแรกอินทิกรัลที่สองคำนวณโดยพิจารณาxเป็นค่าคงที่) การดำเนินการที่เหลือประกอบด้วยการใช้เทคนิคพื้นฐานของการรวม:

∫ 0 1 [ x y + y 2 2 ] x 2 1 d x = ∫ 0 1 ( x + 1 2 − x 3 − x 4 2 ) d x = ⋯ = 13 20 . {\displaystyle \int _{0}^{1}\left[xy+{\frac {y^{2}}{2}}\right]_{x^{2}}^{1}\,dx= \int _{0}^{1}\left(x+{\frac {1}{2}}-x^{3}-{\frac {x^{4}}{2}}\right)dx= \cdots ={\frac {13}{20}}.} \int _{0}^{1}\left[xy+{\frac {y^{2}}{2}}\right]_{x^{2}}^{1}\,dx=\int _{0}^{1}\left(x+{\frac {1}{2}}-x^{3}-{\frac {x^{4}}{2}}\right)dx=\cdots ={\frac {13}{20}}.

หากเราเลือกความปกติเทียบกับแกนyเราก็คำนวณได้

∫ 0 1 d y ∫ 0 y ( x + y ) d x . {\displaystyle \int _{0}^{1}dy\int _{0}^{\sqrt {y}}(x+y)\,dx.} \int _{0}^{1}dy\int _{0}^{\sqrt {y}}(x+y)\,dx.

และได้รับค่าเท่ากัน

ตัวอย่างของโดเมนใน R 3ว่าเป็นเรื่องปกติที่เกี่ยวกับ XYเครื่องบิน

กำลังคำนวณปริมาตร

การใช้วิธีการที่อธิบายไว้ก่อนหน้านี้ทำให้สามารถคำนวณปริมาตรของของแข็งทั่วไปบางชนิดได้

  • ทรงกระบอก : ปริมาตรของทรงกระบอกที่มีความสูง hและฐานวงกลมของรัศมี Rสามารถคำนวณได้โดยการรวมฟังก์ชันคงที่ hบนฐานวงกลม โดยใช้พิกัดเชิงขั้ว
วี o l ยู ม อี = ∫ 0 2 พาย d φ ∫ 0 R ห่า ρ d ρ = 2 พาย ห่า [ ρ 2 2 ] 0 R = พาย R 2 ห่า {\displaystyle \mathrm {Volume} =\int _{0}^{2\pi }d\varphi \,\int _{0}^{R}h\rho \,d\rho =2\pi h\ left[{\frac {\rho ^{2}}{2}}\right]_{0}^{R}=\pi R^{2}h} {\displaystyle \mathrm {Volume} =\int _{0}^{2\pi }d\varphi \,\int _{0}^{R}h\rho \,d\rho =2\pi h\left[{\frac {\rho ^{2}}{2}}\right]_{0}^{R}=\pi R^{2}h}

ซึ่งสอดคล้องกับสูตรปริมาตรของปริซึม

วี o l ยู ม อี = พื้นที่ฐาน × ส่วนสูง . {\displaystyle \mathrm {Volume} ={\text{base area}}\times {\text{height}}.} {\displaystyle \mathrm {Volume} ={\text{base area}}\times {\text{height}}.}
  • ทรงกลม : ปริมาตรของทรงกลมที่มีรัศมี Rสามารถคำนวณได้โดยการรวมฟังก์ชันคงที่ 1 บนทรงกลม โดยใช้พิกัดทรงกลม
ปริมาณ = ∭ ดี ฉ ( x , y , z ) d x d y d z = ∭ ดี 1 d วี = ∭ ส ρ 2 บาป ⁡ φ d ρ d θ d φ = ∫ 0 2 พาย d θ ∫ 0 พาย บาป ⁡ φ d φ ∫ 0 R ρ 2 d ρ = 2 พาย ∫ 0 พาย บาป ⁡ φ d φ ∫ 0 R ρ 2 d ρ = 2 พาย ∫ 0 พาย บาป ⁡ φ R 3 3 d φ = 2 3 พาย R 3 [ − cos ⁡ φ ] 0 พาย = 4 3 พาย R 3 . {\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Volume}}&=\iiint _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz\\&=\iiint _{D }1\,dV\\&=\iiint _{S}\rho ^{2}\sin \varphi \,d\rho \,d\theta \,d\varphi \\&=\int _{0} ^{2\pi }\,d\theta \int _{0}^{\pi }\sin \varphi \,d\varphi \int _{0}^{R}\rho ^{2}\,d \rho \\&=2\pi \int _{0}^{\pi }\sin \varphi \,d\varphi \int _{0}^{R}\rho ^{2}\,d\rho \\&=2\pi \int _{0}^{\pi }\sin \varphi {\frac {R^{3}}{3}}\,d\varphi \\&={\frac {2 }{3}}\pi R^{3}{\Big [}-\cos \varphi {\Big ]}_{0}^{\pi }={\frac {4}{3}}\pi R ^{3}.\end{aligned}}} {\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Volume}}&=\iiint _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz\\&=\iiint _{D}1\,dV\\&=\iiint _{S}\rho ^{2}\sin \varphi \,d\rho \,d\theta \,d\varphi \\&=\int _{0}^{2\pi }\,d\theta \int _{0}^{\pi }\sin \varphi \,d\varphi \int _{0}^{R}\rho ^{2}\,d\rho \\&=2\pi \int _{0}^{\pi }\sin \varphi \,d\varphi \int _{0}^{R}\rho ^{2}\,d\rho \\&=2\pi \int _{0}^{\pi }\sin \varphi {\frac {R^{3}}{3}}\,d\varphi \\&={\frac {2}{3}}\pi R^{3}{\Big [}-\cos \varphi {\Big ]}_{0}^{\pi }={\frac {4}{3}}\pi R^{3}.\end{aligned}}}
  • จัตุรมุข (พีระมิดรูปสามเหลี่ยมหรือ 3-ซิมเพล็กซ์ ): ปริมาตรของจัตุรมุขที่มีจุดยอดอยู่ที่จุดกำเนิดและขอบของความยาว ℓตามแกนx -, y - และ zสามารถคำนวณได้โดยการรวมฟังก์ชันคงที่ 1 บนจัตุรมุข
ปริมาณ = ∫ 0 ℓ d x ∫ 0 ℓ − x d y ∫ 0 ℓ − x − y d z = ∫ 0 ℓ d x ∫ 0 ℓ − x ( ℓ − x − y ) d y = ∫ 0 ℓ ( l 2 − 2 ℓ x + x 2 − ( ℓ − x ) 2 2 ) d x = ℓ 3 − ℓ ℓ 2 + ℓ 3 3 − [ ℓ 2 x 2 − ℓ x 2 2 + x 3 6 ] 0 ℓ = ℓ 3 3 − ℓ 3 6 = ℓ 3 6 {\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Volume}}&=\int _{0}^{\ell }dx\int _{0}^{\ell -x}\,dy\int _{ 0}^{\ell -xy}\,dz\\&=\int _{0}^{\ell }dx\int _{0}^{\ell -x}(\ell -xy)\,dy \\&=\int _{0}^{\ell }\left(l^{2}-2\ell x+x^{2}-{\frac {(\ell -x)^{2}} {2}}\right)\,dx\\&=\ell ^{3}-\ell \ell ^{2}+{\frac {\ell ^{3}}{3}}-\left[{ \frac {\ell ^{2}x}{2}}-{\frac {\ell x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}\right] _{0}^{\ell }\\&={\frac {\ell ^{3}}{3}}-{\frac {\ell ^{3}}{6}}={\frac {\ ทั้งหมด ^{3}}{6}}\end{aligned}}} {\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Volume}}&=\int _{0}^{\ell }dx\int _{0}^{\ell -x}\,dy\int _{0}^{\ell -x-y}\,dz\\&=\int _{0}^{\ell }dx\int _{0}^{\ell -x}(\ell -x-y)\,dy\\&=\int _{0}^{\ell }\left(l^{2}-2\ell x+x^{2}-{\frac {(\ell -x)^{2}}{2}}\right)\,dx\\&=\ell ^{3}-\ell \ell ^{2}+{\frac {\ell ^{3}}{3}}-\left[{\frac {\ell ^{2}x}{2}}-{\frac {\ell x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}\right]_{0}^{\ell }\\&={\frac {\ell ^{3}}{3}}-{\frac {\ell ^{3}}{6}}={\frac {\ell ^{3}}{6}}\end{aligned}}}
ซึ่งสอดคล้องกับสูตรปริมาตรของ ปิรามิด
วี o l ยู ม อี = 1 3 × พื้นที่ฐาน × ส่วนสูง = 1 3 × ℓ 2 2 × ℓ = ℓ 3 6 . {\displaystyle \mathrm {Volume} ={\frac {1}{3}}\times {\text{base area}}\times {\text{height}}={\frac {1}{3}}\ ครั้ง {\frac {\ell ^{2}}{2}}\times \ell ={\frac {\ell ^{3}}{6}}.} {\displaystyle \mathrm {Volume} ={\frac {1}{3}}\times {\text{base area}}\times {\text{height}}={\frac {1}{3}}\times {\frac {\ell ^{2}}{2}}\times \ell ={\frac {\ell ^{3}}{6}}.}
ตัวอย่างโดเมนที่ไม่เหมาะสม

ปริพันธ์ที่ไม่เหมาะสมหลายตัว

ในกรณีของโดเมนมากมายหรือฟังก์ชั่นไม่ได้ล้อมรอบอยู่ใกล้กับเขตแดนของโดเมนที่เรามีที่จะแนะนำคู่หนึ่งที่ไม่เหมาะสมหรือหนึ่งที่ไม่เหมาะสมสาม

อินทิกรัลหลายตัวและอินทิกรัลแบบวนซ้ำ

ทฤษฎีบทของ Fubiniระบุว่าถ้า[4]

∬ อา × บี | ฉ ( x , y ) | d ( x , y ) < ∞ , {\displaystyle \iint _{A\times B}\left|f(x,y)\right|\,d(x,y)<\infty ,} {\displaystyle \iint _{A\times B}\left|f(x,y)\right|\,d(x,y)<\infty ,}

นั่นคือ ถ้าอินทิกรัลมาบรรจบกันโดยสิ้นเชิง อินทิกรัลพหุคูณจะให้ผลลัพธ์เดียวกันกับอินทิกรัลที่วนซ้ำสองอันใดอันหนึ่ง:

∬ อา × บี ฉ ( x , y ) d ( x , y ) = ∫ อา ( ∫ บี ฉ ( x , y ) d y ) d x = ∫ บี ( ∫ อา ฉ ( x , y ) d x ) d y . {\displaystyle \iint _{A\times B}f(x,y)\,d(x,y)=\int _{A}\left(\int _{B}f(x,y)\, dy\right)\,dx=\int _{B}\left(\int _{A}f(x,y)\,dx\right)\,dy.} \iint _{A\times B}f(x,y)\,d(x,y)=\int _{A}\left(\int _{B}f(x,y)\,dy\right)\,dx=\int _{B}\left(\int _{A}f(x,y)\,dx\right)\,dy.

โดยเฉพาะอย่างยิ่งสิ่งนี้จะเกิดขึ้นหาก| f ( x , y ) | เป็นฟังก์ชั่น จำกัดและและBเป็นเซต จำกัด

ถ้าอินทิกรัลไม่ได้ลู่เข้าอย่างเด็ดขาด การดูแลก็ไม่จำเป็นที่จะทำให้แนวคิดของอินทิกรัลพหุคูณและปริพันธ์แบบวนซ้ำโดยเฉพาะอย่างยิ่งเนื่องจากสัญกรณ์เดียวกันมักถูกใช้สำหรับแนวคิดใดแนวคิดหนึ่ง สัญกรณ์

∫ 0 1 ∫ 0 1 ฉ ( x , y ) d y d x {\displaystyle \int _{0}^{1}\int _{0}^{1}f(x,y)\,dy\,dx} \int _{0}^{1}\int _{0}^{1}f(x,y)\,dy\,dx

หมายถึง ในบางกรณี อินทิกรัลแบบวนซ้ำมากกว่าอินทิกรัลคู่จริง ในอินทิกรัลแบบวนซ้ำ อินทิกรัลภายนอก

∫ 0 1 ⋯ d x {\displaystyle \int _{0}^{1}\cdots \,dx} \int _{0}^{1}\cdots \,dx

เป็นอินทิกรัลเทียบกับxของฟังก์ชันต่อไปนี้ของx :

ก ( x ) = ∫ 0 1 ฉ ( x , y ) d y . {\displaystyle g(x)=\int _{0}^{1}f(x,y)\,dy.} g(x)=\int _{0}^{1}f(x,y)\,dy.

อินทิกรัคู่บนมืออื่น ๆ ที่ถูกกำหนดด้วยความเคารพในพื้นที่XYเครื่องบิน ถ้าอินทิกรัลคู่มีอยู่ มันจะเท่ากับอินทิกรัลแบบวนซ้ำทั้งสองแต่ละตัว (อย่างใดอย่างหนึ่ง " dy dx " หรือ " dx dy ") และอีกอันหนึ่งมักจะคำนวณโดยการคำนวณอินทิกรัลที่มีการวนซ้ำอย่างใดอย่างหนึ่ง แต่บางครั้งอินทิกรัลแบบวนซ้ำสองอินทิกรัลมีอยู่เมื่ออินทิกรัลคู่ไม่มี และในบางกรณีอินทิกรัลที่มีการวนซ้ำทั้งสองเป็นจำนวนที่แตกต่างกัน กล่าวคือ ตัวหนึ่งมี

∫ 0 1 ∫ 0 1 ฉ ( x , y ) d y d x ≠ ∫ 0 1 ∫ 0 1 ฉ ( x , y ) d x d y . {\displaystyle \int _{0}^{1}\int _{0}^{1}f(x,y)\,dy\,dx\neq \int _{0}^{1}\int _ {0}^{1}f(x,y)\,dx\,dy.} \int _{0}^{1}\int _{0}^{1}f(x,y)\,dy\,dx\neq \int _{0}^{1}\int _{0}^{1}f(x,y)\,dx\,dy.

นี่คือตัวอย่างของการจัดเรียงอินทิกรัลคอนเวอร์เจนต์แบบมีเงื่อนไขใหม่

ในทางกลับกัน เงื่อนไขบางอย่างทำให้แน่ใจว่าอินทิกรัลที่มีการวนซ้ำทั้งสองมีค่าเท่ากัน แม้ว่าอินทิกรัลคู่ไม่จำเป็นต้องมีอยู่ โดยทฤษฎีบทฟิชเทนโฮลซ์ – ลิกเตนสไตน์ถ้าfอยู่บน[0, 1] × [0, 1]และอินทิกรัลที่มีการวนซ้ำทั้งสองมีอยู่จริง พวกมันจะเท่ากัน ยิ่งกว่านั้น การมีอยู่ของอินทิกรัลภายในทำให้แน่ใจถึงการมีอยู่ของปริพันธ์ภายนอก [6] [7] [8]ความจำเป็นหนึ่งคู่ไม่อยู่ในกรณีนี้แม้ในขณะที่เกอหนึ่งตามSierpiński [9]

สัญกรณ์

∫ [ 0 , 1 ] × [ 0 , 1 ] ฉ ( x , y ) d x d y {\displaystyle \int _{[0,1]\times [0,1]}f(x,y)\,dx\,dy} \int _{[0,1]\times [0,1]}f(x,y)\,dx\,dy

อาจใช้หากต้องการเน้นย้ำถึงอินทิกรัลคู่มากกว่าอินทิกรัลแบบวนซ้ำ

การใช้งานจริงบางอย่าง

โดยทั่วไป เช่นเดียวกับในตัวแปรเดียว เราสามารถใช้อินทิกรัลหลายตัวเพื่อค้นหาค่าเฉลี่ยของฟังก์ชันในชุดที่กำหนด ได้รับชุดD ⊆ R nและฟังก์ชั่น integrable ฉมากกว่าD , ค่าเฉลี่ยของฉมากกว่าประสิทธิภาพสูงจะได้รับจาก

ฉ ¯ = 1 ม ( ดี ) ∫ ดี ฉ ( x ) d x , {\displaystyle {\bar {f}}={\frac {1}{m(D)}}\int _{D}f(x)\,dx,} {\bar {f}}={\frac {1}{m(D)}}\int _{D}f(x)\,dx,

ที่ม. ( D )เป็นตัวชี้วัดของการพัฒนา

นอกจากนี้หลาย integrals ที่ใช้ในงานจำนวนมากในฟิสิกส์ ตัวอย่างด้านล่างยังแสดงรูปแบบต่างๆ ในสัญกรณ์อีกด้วย

ในกลศาสตร์ที่โมเมนต์ความเฉื่อยจะถูกคำนวณเป็นหนึ่งระดับเสียง (หนึ่งสาม) ของความหนาแน่นของการชั่งน้ำหนักกับตารางของระยะทางจากแกนไปนี้:

ผม z = ∭ วี ρ r 2 d วี . {\displaystyle I_{z}=\iiint _{V}\rho r^{2}\,dV.} I_{z}=\iiint _{V}\rho r^{2}\,dV.

โน้มถ่วงที่เกี่ยวข้องกับการกระจายมวลกำหนดโดยมวลวัด dmสามมิติแบบยุคลิดพื้นที่ R 3คือ[10]

วี ( x ) = − ∭ R 3 จี | x − y | d ม ( y ) . {\displaystyle V(\mathbf {x} )=-\iiint _{\mathbf {R} ^{3}}{\frac {G}{|\mathbf {x} ) -\mathbf {y} |}}\ ,dm(\mathbf {y} ).} V(\mathbf {x} )=-\iiint _{\mathbf {R} ^{3}}{\frac {G}{|\mathbf {x} -\mathbf {y} |}}\,dm(\mathbf {y} ).

หากมีฟังก์ชันต่อเนื่องρ ( x )แทนความหนาแน่นของการกระจายที่xดังนั้นdm ( x ) = ρ ( x ) d 3 xโดยที่d 3 xเป็นองค์ประกอบปริมาตรแบบยุคลิดดังนั้นศักย์โน้มถ่วงจะเป็น

วี ( x ) = − ∭ R 3 จี | x − y | ρ ( y ) d 3 y . {\displaystyle V(\mathbf {x} )=-\iiint _{\mathbf {R} ^{3}}{\frac {G}{|\mathbf {x} ) -\mathbf {y} |}}\ ,\rho (\mathbf {y} )\,d^{3}\mathbf {y} .} V(\mathbf {x} )=-\iiint _{\mathbf {R} ^{3}}{\frac {G}{|\mathbf {x} -\mathbf {y} |}}\,\rho (\mathbf {y} )\,d^{3}\mathbf {y} .

ในแม่เหล็กไฟฟ้า , สมการของแมกซ์เวลล์สามารถเขียนได้ใช้หลาย integrals ในการคำนวณและสนามแม่เหล็กไฟฟ้าทั้งหมด [11]ในตัวอย่างต่อไปนี้สนามไฟฟ้าที่เกิดจากการกระจายประจุที่กำหนดโดยความหนาแน่นประจุของ ปริมาตรρ ( r → )ได้มาจากอินทิกรัลสามตัวของฟังก์ชันเวกเตอร์:

อี → = 1 4 พาย ε 0 ∭ r → − r → ′ ‖ r → − r → ′ ‖ 3 ρ ( r → ′ ) d 3 r ′ . {\displaystyle {\vec {E}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\iiint {\frac {{\vec {r}}-{\vec {r}} '}{\left\|{\vec {r}}-{\vec {r}}'\right\|^{3}}}\rho ({\vec {r}}')\,d^{ 3}ร'.} {\displaystyle {\vec {E}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\iiint {\frac {{\vec {r}}-{\vec {r}}'}{\left\|{\vec {r}}-{\vec {r}}'\right\|^{3}}}\rho ({\vec {r}}')\,d^{3}r'.}

นอกจากนี้ยังสามารถเขียนเป็นอินทิกรัลที่เกี่ยวข้องกับการวัดที่ลงนามซึ่งแสดงถึงการกระจายค่าธรรมเนียม

ดูสิ่งนี้ด้วย

  • ทฤษฎีบทการวิเคราะห์หลักที่เกี่ยวข้องกับอินทิกรัลหลายตัว:
    • ทฤษฎีบทไดเวอร์เจนซ์
    • ทฤษฎีบทของสโตกส์
    • ทฤษฎีบทของกรีน

อ้างอิง

  1. อรรถเป็น ข c สจ๊วต เจมส์ (2008) Calculus: Early Transcendentals (ฉบับที่ 6) การเรียนรู้ Brooks Cole Cengage ISBN 978-0-495-01166-8.
  2. ^ ลาร์สัน; เอ็ดเวิร์ดส์ (2014). แคลคูลัสหลายตัวแปร (ฉบับที่ 10) Cengage การเรียนรู้ ISBN 978-1-285-08575-3.
  3. ^ รูดิน, วอลเตอร์ . หลัก การ วิเคราะห์ ทาง คณิตศาสตร์ . Walter Rudin Student Series in Advanced Mathematics (ฉบับที่ 3) แมคกรอว์–ฮิลล์. ISBN 978-0-07-054235-8.
  4. ^ ข โจนส์, แฟรงค์ (2001). บูรณาการเกอในยุคลิดอวกาศ โจนส์และบาร์ตเลตต์ น.  527 –529.[ ไม่มี ISBN ]
  5. ^ สจ๊วต, เจมส์ (2015-05-07). แคลคูลัสฉบับที่ 8 Cengage การเรียนรู้ ISBN 978-1285740621.
  6. ^ เลวิน, โจนาธาน (2003). บทนำโต้ตอบเพื่อการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ เคมบริดจ์. นิกาย. 16.6. ISBN 978-1107694040.
  7. ^ เลวิน, โจนาธาน (1987). "การประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทบรรจบที่มีขอบเขตสำหรับหลักสูตรเบื้องต้นในการวิเคราะห์" . อเมริกันคณิตศาสตร์รายเดือน อสม. 94 (10): 988–993. ดอย : 10.2307/2322609 . จส ทอร์ 2322609 .
  8. ^ ซินแคลร์, จอร์จ เอ็ดเวิร์ด (1974) "การสรุปแบบเติมแต่งอย่างจำกัดของทฤษฎีบทฟิชเทนโฮลซ์–ลิกเตนสไตน์" . ธุรกรรมของ American Society อสม. 193 : 359–374. ดอย : 10.2307/1996919 . JSTOR  1996919
  9. ^ Bogachev, Vladimir I. (2006). ทฤษฎีการวัด 1 . สปริงเกอร์. ข้อ 3.10.49[ ไม่มี ISBN ]
  10. ^ Kibble ทอม WB; เบิร์กเชียร์, แฟรงค์ เอช. (2004). กลศาสตร์คลาสสิก (ฉบับที่ 5) อิมพีเรียลคอลเลจกด ISBN 978-1-86094-424-6.
  11. ^ แจ็คสัน, จอห์น ดี. (1998). คลาสสิกอิเล็กโทรไดนามิกส์ (ฉบับที่ 3) ไวลีย์. ISBN 0-471-30932-X.

อ่านเพิ่มเติม

  • อดัมส์, โรเบิร์ต เอ. (2003). แคลคูลัส: หลักสูตรที่สมบูรณ์ (ฉบับที่ 5) ISBN 0-201-79131-5.
  • เชน RK; ไอเยนการ์, SRK (2009). คณิตศาสตร์วิศวกรรมขั้นสูง (ฉบับที่ 3) สำนักพิมพ์นฤสา. ISBN 978-81-7319-730-7.
  • Herman, Edwin “Jed” & Strang, Gilbert (2016): Calculus : Volume 3  : OpenStax, Rice University, Houston, Texas, USA. ไอ 978-1-50669-805-2 . ( PDF )

ลิงค์ภายนอก

  • Weisstein, Eric W. "อินทิกรัลหลายตัว" . คณิตศาสตร์โลก.
  • LD Kudryavtsev (2001) [1994], "อินทิกรัลหลายตัว" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press
  • ผู้ช่วยทางคณิตศาสตร์บนเว็บการประเมินอินทิกรัลคู่ในพิกัดคาร์ทีเซียนและพิกัดเชิงขั้ว (รวมถึงขั้นตอนกลางในโซลูชัน ขับเคลื่อนโดยMaxima (ซอฟต์แวร์) )
Language
  • Thai
  • Français
  • Deutsch
  • Arab
  • Português
  • Nederlands
  • Türkçe
  • Tiếng Việt
  • भारत
  • 日本語
  • 한국어
  • Hmoob
  • ខ្មែរ
  • Africa
  • Русский

©Copyright This page is based on the copyrighted Wikipedia article "/wiki/Multiple_integral" (Authors); it is used under the Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported License. You may redistribute it, verbatim or modified, providing that you comply with the terms of the CC-BY-SA. Cookie-policy To contact us: mail to admin@tvd.wiki

TOP