ค่าเฉลี่ย

ค่าเฉลี่ยในคณิตศาสตร์มีหลายประเภทโดยเฉพาะอย่างยิ่งในด้านสถิติ :

สำหรับชุดข้อมูลที่มัชฌิมเลขคณิตยังเป็นที่รู้จักเฉลี่ยค่าเฉลี่ยหรือคำนวณเป็นค่ากลางของขอบเขตของตัวเลข: เฉพาะผลรวมของค่าหารด้วยจำนวนของค่า โดยทั่วไปค่าเฉลี่ยเลขคณิตของชุดตัวเลขx ₁ , x ₂ , ... , x _nจะแสดงด้วย ${\ displaystyle {\ bar {x}}}$ ^{[หมายเหตุ}1] หากชุดข้อมูลเป็นไปตามชุดของการสังเกตที่ได้จากการสุ่มตัวอย่างจากประชากรทางสถิติค่าเฉลี่ยเลขคณิตคือค่าเฉลี่ยตัวอย่าง (แสดงเป็น ${\ displaystyle {\ bar {x}}}$ ) เพื่อแยกความแตกต่างจากค่าเฉลี่ยหรือค่าที่คาดหวังของการแจกแจงพื้นฐานค่าเฉลี่ยประชากร (แสดง ${\ displaystyle \ mu}$ หรือ ${\ displaystyle \ mu _ {x}}$ ^{[หมายเหตุ 2]} ) ^[1]^[2]

ในความน่าจะเป็นและสถิติที่ประชากรเฉลี่ยหรือค่าที่คาดว่าจะเป็นตัวชี้วัดของแนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลางอย่างใดอย่างหนึ่งของการกระจายหรือของตัวแปรสุ่มโดดเด่นด้วยการจัดจำหน่ายที่ ^[3]ในการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบไม่ต่อเนื่องของตัวแปรสุ่มXค่าเฉลี่ยจะเท่ากับผลรวมของค่าที่เป็นไปได้ทุกค่าที่ถ่วงน้ำหนักด้วยความน่าจะเป็นของค่านั้น นั่นคือมันคำนวณโดยการหาผลคูณของแต่ละค่าที่เป็นไปได้xของXและความน่าจะเป็นp ( x ) แล้วบวกผลคูณเหล่านี้ทั้งหมดเข้าด้วยกัน ${\ displaystyle \ mu = \ sum xp (x) .... }$ . ^[4]^[5]สูตรคล้ายนำไปใช้กับกรณีของการกระจายอย่างต่อเนื่อง ไม่ใช่ทุกการแจกแจงความน่าจะเป็นที่มีค่าเฉลี่ยที่กำหนดไว้ (ดูตัวอย่างการแจกแจงแบบ Cauchy ) ยิ่งไปกว่านั้นค่าเฉลี่ยอาจไม่มีที่สิ้นสุดสำหรับการแจกแจงบางอย่าง

สำหรับประชากรที่ จำกัดค่าเฉลี่ยประชากรของคุณสมบัติจะเท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคุณสมบัติที่ระบุในขณะที่พิจารณาสมาชิกทุกคนของประชากร ตัวอย่างเช่นค่าเฉลี่ยความสูงของประชากรจะเท่ากับผลรวมของความสูงของทุกคน - หารด้วยจำนวนบุคคลทั้งหมด ค่าเฉลี่ยตัวอย่างอาจแตกต่างจากค่าเฉลี่ยประชากรโดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับกลุ่มตัวอย่างขนาดเล็ก กฎหมายจำนวนมากระบุว่าขนาดของกลุ่มตัวอย่างที่มีโอกาสมากขึ้นก็คือว่าค่าเฉลี่ยของกลุ่มตัวอย่างจะใกล้เคียงกับค่าเฉลี่ยของประชากร ^[6]

น่าจะออกไปข้างนอกและสถิติที่หลากหลายของความคิดอื่น ๆ ของค่าเฉลี่ยมักจะใช้ในรูปทรงเรขาคณิตและการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ; ตัวอย่างมีให้ด้านล่าง

ประเภทของวิธีการ

พีทาโกรัสหมายถึง

ค่าเฉลี่ยเลขคณิต (AM)

ค่ามัชฌิมเลขคณิต (หรือเพียงแค่ค่าเฉลี่ย ) ของรายการของตัวเลขคือผลรวมของทั้งหมดของตัวเลขหารด้วยจำนวนของตัวเลข ในทำนองเดียวกันค่าเฉลี่ยของกลุ่มตัวอย่าง ${\ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}}$ มักจะแสดงโดย ${\ displaystyle {\ bar {x}}}$ , ^[1]คือผลรวมของค่าตัวอย่างหารด้วยจำนวนรายการในตัวอย่าง

{\ displaystyle {\ bar {x}} = {\ frac {1} {n}} \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} {x_ {i}} \ right) = {\ frac { x_ {1} + x_ {2} + \ cdots + x_ {n}} {n}}}

ตัวอย่างเช่นค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่า 5 ค่า ได้แก่ 4, 36, 45, 50, 75 คือ:

{\ displaystyle {\ frac {4 + 36 + 45 + 50 + 75} {5}} = {\ frac {210} {5}} = 42.}

ค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิต (GM)

เฉลี่ยเรขาคณิตเป็นค่าเฉลี่ยที่เป็นประโยชน์สำหรับชุดของตัวเลขในเชิงบวกที่มีการตีความตามผลิตภัณฑ์ของพวกเขา (เป็นกรณีที่มีอัตราการเจริญเติบโต) และไม่ใช่ผลรวมของพวกเขา (เป็นกรณีที่มีค่าเฉลี่ยเลขคณิต):

{\ displaystyle {\ bar {x}} = \ left (\ prod _ {i = 1} ^ {n} {x_ {i}} \ right) ^ {\ frac {1} {n}} = \ left ( x_ {1} x_ {2} \ cdots x_ {n} \ right) ^ {\ frac {1} {n}}}

^[7]

ตัวอย่างเช่นค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิตของค่า 5 ค่า ได้แก่ 4, 36, 45, 50, 75 คือ:

{\ displaystyle (4 \ คูณ 36 \ คูณ 45 \ คูณ 50 \ คูณ 75) ^ {\ frac {1} {5}} = {\ sqrt [{5}] {24 \; 300 \; 000}} = 30 .}

ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก (HM)

เฉลี่ยฮาร์โมนิเป็นค่าเฉลี่ยซึ่งจะเป็นประโยชน์สำหรับชุดของตัวเลขที่มีการกำหนดไว้ในความสัมพันธ์กับบางหน่วยเช่นในกรณีของความเร็ว (เช่นระยะทางต่อหน่วยของเวลา):

{\ displaystyle {\ bar {x}} = n \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {1} {x_ {i}}} \ right) ^ {- 1}}

ตัวอย่างเช่นค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกของค่า 5 ค่า ได้แก่ 4, 36, 45, 50, 75 คือ

{\ displaystyle {\ frac {5} {{\ tfrac {1} {4}} + {\ tfrac {1} {36}} + {\ tfrac {1} {45}} + {\ tfrac {1} { 50}} + {\ tfrac {1} {75}}}} = {\ frac {5} {\; {\ tfrac {1} {3}} \;}} = 15.}

ความสัมพันธ์ระหว่าง AM, GM และ HM

โดยไม่ต้องพิสูจน์คำพูดของ ความไม่เท่าเทียมกันของค่ามัชฌิมเลขคณิตและเรขาคณิต :
พีอาร์เป็นเส้นผ่าศูนย์กลางของวงกลมที่มีศูนย์กลางอยู่ที่ O; รัศมี AO เป็น ค่าเฉลี่ยของ และ ข โดยใช้ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ยเรขาคณิต , สามเหลี่ยม PGR ของระดับความสูง GQ เป็น ค่าเฉลี่ยเรขาคณิต สำหรับอัตราส่วน a : b , AO ≥ GQ

AM, GM และ HM ตอบสนองความไม่เท่าเทียมกันเหล่านี้:

{\ displaystyle \ mathrm {AM} \ geq \ mathrm {GM} \ geq \ mathrm {HM} \,}

ความเท่าเทียมกันจะถือหากองค์ประกอบทั้งหมดของตัวอย่างที่กำหนดมีค่าเท่ากัน

ตำแหน่งทางสถิติ

เป็นการเปรียบเทียบค่าเฉลี่ยเลขคณิตค่า มัธยฐานและ โหมดของการแจกแจงแบบเบ้ ( log-normal ) สองค่า

การแสดงภาพทางเรขาคณิตของโหมดค่ามัธยฐานและค่าเฉลี่ยของฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นโดยพลการ ^[8]

ในสถิติเชิงพรรณนาค่าเฉลี่ยอาจจะสับสนกับค่ามัธยฐาน , โหมดหรือช่วงกลางเช่นใด ๆ เหล่านี้อาจจะเรียกว่าเป็น "ค่าเฉลี่ย" (อีกอย่างเป็นทางการ, การวัดแนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง ) ค่าเฉลี่ยของชุดการสังเกตคือค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่า อย่างไรก็ตามสำหรับการแจกแจงแบบเบ้ค่าเฉลี่ยไม่จำเป็นต้องเหมือนกับค่ากลาง (มัธยฐาน) หรือค่าที่เป็นไปได้มากที่สุด (โหมด) ตัวอย่างเช่นโดยทั่วไปแล้วรายได้เฉลี่ยมักจะเบาบางลงเนื่องจากคนจำนวนน้อยที่มีรายได้มากจนคนส่วนใหญ่มีรายได้ต่ำกว่าค่าเฉลี่ย ในทางตรงกันข้ามรายได้เฉลี่ยคือระดับที่ครึ่งหนึ่งของประชากรต่ำกว่าและครึ่งหนึ่งอยู่สูงกว่า รายได้จากโหมดนี้เป็นรายได้ที่เป็นไปได้มากที่สุดและเป็นที่ชื่นชอบของผู้คนจำนวนมากที่มีรายได้ต่ำกว่า ในขณะที่ค่ามัธยฐานและโหมดมักจะมีมาตรการที่ใช้งานง่ายมากขึ้นสำหรับข้อมูลที่บิดเบือนเช่นการแจกแจงเบ้จำนวนมากอยู่ในความเป็นจริงที่ดีที่สุดอธิบายโดยเฉลี่ยพวกเขารวมทั้งชี้แจงและPoissonกระจาย

ค่าเฉลี่ยของการแจกแจงความน่าจะเป็น

ค่าเฉลี่ยของการแจกแจงความน่าจะเป็นคือค่าเฉลี่ยเลขคณิตระยะยาวของตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงนั้น หากตัวแปรสุ่มแสดงโดย ${\ displaystyle X}$ จากนั้นจึงเรียกอีกอย่างหนึ่งว่ามูลค่าที่คาดหวังของ ${\ displaystyle X}$ (แสดง ${\ displaystyle E (X)}$ ). ^[1]สำหรับการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบไม่ต่อเนื่องค่าเฉลี่ยจะถูกกำหนดโดย ${\ displaystyle \ textstyle \ sum xP (x)}$ โดยที่ผลรวมถูกนำไปทับค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่มและ ${\ displaystyle P (x)}$ คือฟังก์ชันมวลความน่าจะเป็น สำหรับการแจกแจงแบบต่อเนื่องค่าเฉลี่ยคือ ${\ displaystyle \ textstyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} xf (x) \, dx}$ , ที่ไหน ${\ displaystyle f (x)}$ เป็นฟังก์ชั่นความหนาแน่นของความน่าจะเป็น ^[5]ในทุกกรณีรวมถึงกรณีที่การแจกแจงไม่ต่อเนื่องหรือไม่ต่อเนื่องค่าเฉลี่ยคืออินทิกรัล Lebesgueของตัวแปรสุ่มที่เกี่ยวกับการวัดความน่าจะเป็น ค่าเฉลี่ยไม่จำเป็นต้องมีอยู่หรือ จำกัด สำหรับการแจกแจงความน่าจะบางหมายถึงเป็นอนันต์ ( $+ \infty$ หรือ $-\infty$ ) ในขณะที่คนอื่น ๆ หมายถึงคือไม่ได้กำหนด

วิธีการทั่วไป

ค่าเฉลี่ยกำลัง

ทั่วไปเฉลี่ยยังเป็นที่รู้จักอำนาจหรือผู้ถือเฉลี่ยค่าเฉลี่ยเป็นนามธรรมของสมการทางคณิตศาสตร์เรขาคณิตและฮาร์โมนิหมายถึง กำหนดไว้สำหรับชุดของจำนวนบวกn x _i by

{\ displaystyle {\ bar {x}} (m) = \ left ({\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {m} \ right) ^ {\ frac {1} {m}}}

^[7]

โดยการเลือกค่าที่แตกต่างกันสำหรับพารามิเตอร์mจะได้รับประเภทต่อไปนี้:

${\ displaystyle m \ rightarrow \ infty}$	สูงสุดของ ${\ displaystyle x_ {i}}$
${\ displaystyle m = 2}$	ค่าเฉลี่ยกำลังสอง
${\ displaystyle m = 1}$	ค่าเฉลี่ยเลขคณิต
${\ displaystyle m \ rightarrow 0}$	เฉลี่ยเรขาคณิต
${\ displaystyle m = -1}$	ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก
${\ displaystyle m \ rightarrow - \ infty}$	ขั้นต่ำของ ${\ displaystyle x_ {i}}$

ฉ -หมายถึง

สิ่งนี้สามารถสรุปได้เพิ่มเติมว่าf -mean ทั่วไป

{\ displaystyle {\ bar {x}} = f ^ {- 1} \ left ({{\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} {f \ left (x_ { i} \ right)}} \ right)}

และอีกครั้งทางเลือกที่เหมาะสมของ $f$ กลับด้านจะให้

${\ displaystyle f (x) = x}$	มัชฌิมเลขคณิต ,
${\ displaystyle f (x) = {\ frac {1} {x}}}$	ค่าเฉลี่ยฮาร์โมนิ ,
${\ displaystyle f (x) = x ^ {m}}$	หมายถึงอำนาจ ,
${\ displaystyle f (x) = \ ln (x)}$	ค่าเฉลี่ยเรขาคณิต

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตถ่วงน้ำหนัก

ถ่วงน้ำหนักมัชฌิมเลขคณิต (หรือถัวเฉลี่ยถ่วงน้ำหนัก) ถูกนำมาใช้หากต้องการที่จะรวมค่าเฉลี่ยจากตัวอย่างขนาดแตกต่างกันของประชากรเดียวกัน:

{\ displaystyle {\ bar {x}} = {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {n} {w_ {i} {\ bar {x_ {i}}}} {\ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i}}}

^[7]

ที่ไหน ${\ displaystyle {\ bar {x_ {i}}}}$ และ ${\ displaystyle w_ {i}}$ คือค่าเฉลี่ยและขนาดของตัวอย่าง ${\ displaystyle i}$ ตามลำดับ ในแอปพลิเคชันอื่นแสดงถึงการวัดความน่าเชื่อถือของอิทธิพลที่มีต่อค่าเฉลี่ยตามค่าที่เกี่ยวข้อง

ค่าเฉลี่ยที่ถูกตัดทอน

บางครั้งชุดของตัวเลขอาจมีค่าผิดปกติ (เช่นค่าข้อมูลที่ต่ำกว่ามากหรือสูงกว่าค่าอื่น ๆ มาก) บ่อยครั้งที่ผิดปกติจะมีข้อมูลที่ผิดพลาดที่เกิดจากสิ่งประดิษฐ์ ในกรณีนี้เราสามารถใช้ค่าเฉลี่ยที่ถูกตัดทอนได้ มันเกี่ยวข้องกับการทิ้งส่วนที่กำหนดของข้อมูลที่ด้านบนหรือด้านล่างโดยทั่วไปจะมีจำนวนเท่ากันที่ปลายแต่ละด้านแล้วจึงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลที่เหลือ จำนวนค่าที่ลบออกจะระบุเป็นเปอร์เซ็นต์ของจำนวนค่าทั้งหมด

ค่าเฉลี่ยระหว่างควอไทล์

เฉลี่ย interquartileเป็นตัวอย่างเฉพาะของตัดทอนค่าเฉลี่ย เป็นเพียงค่าเฉลี่ยเลขคณิตหลังจากลบค่าต่ำสุดและสูงสุดในสี่ของค่าออกไปแล้ว

{\ displaystyle {\ bar {x}} = {\ frac {2} {n}} \; \ sum _ {i = {\ frac {n} {4}} + 1} ^ {{\ frac {3} {4}} n} \! \! x_ {i}}

สมมติว่ามีการเรียงลำดับค่าแล้วดังนั้นจึงเป็นเพียงตัวอย่างเฉพาะของค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักสำหรับชุดน้ำหนักที่เฉพาะเจาะจง

ค่าเฉลี่ยของฟังก์ชัน

ในบางสถานการณ์นักคณิตศาสตร์อาจคำนวณค่าเฉลี่ยของชุดค่าที่ไม่สิ้นสุด (หรือนับไม่ได้ ) สิ่งนี้สามารถเกิดขึ้นได้เมื่อคำนวณค่าเฉลี่ย ${\ displaystyle y _ {\ text {avg}}}$ ของฟังก์ชัน ${\ displaystyle f (x)}$ . โดยสัญชาตญาณค่าเฉลี่ยของฟังก์ชันสามารถคิดได้จากการคำนวณพื้นที่ภายใต้ส่วนของเส้นโค้งแล้วหารด้วยความยาวของส่วนนั้น ซึ่งสามารถทำได้โดยหยาบสี่เหลี่ยมนับบนกระดาษกราฟหรืออย่างแม่นยำมากขึ้นโดยบูรณาการ สูตรการรวมเขียนเป็น:

{\ displaystyle y _ {\ text {avg}} (a, b) = {\ frac {1} {ba}} \ int \ LIMIT _ {a} ^ {b} \! f (x) \, dx}

ในกรณีนี้ต้องใช้ความระมัดระวังเพื่อให้แน่ใจว่าอินทิกรัลมาบรรจบกัน แต่ค่าเฉลี่ยอาจ จำกัด แม้ว่าฟังก์ชันจะมีแนวโน้มที่จะไม่มีที่สิ้นสุดในบางจุดก็ตาม

ค่าเฉลี่ยของมุมและปริมาณวัฏจักร

มุมเวลาของวันและปริมาณวัฏจักรอื่น ๆ จำเป็นต้องมีการคำนวณแบบแยกส่วนเพื่อเพิ่มและรวมตัวเลข ในสถานการณ์ทั้งหมดนี้จะไม่มีค่าเฉลี่ยที่ไม่ซ้ำกัน ตัวอย่างเช่นเวลาหนึ่งชั่วโมงก่อนและหลังเที่ยงคืนจะมีระยะทางเท่ากันกับทั้งเที่ยงคืนและเที่ยง อาจเป็นไปได้ว่าไม่มีค่าเฉลี่ย พิจารณาวงล้อสี - ไม่มีความหมายสำหรับชุดของสีทั้งหมด ในสถานการณ์เหล่านี้คุณต้องตัดสินใจว่าค่าเฉลี่ยใดมีประโยชน์มากที่สุด คุณสามารถทำได้โดยการปรับค่าก่อนที่ค่าเฉลี่ยหรือโดยการใช้วิธีการเฉพาะสำหรับค่าเฉลี่ยของปริมาณวงกลม

เฟรเชต์หมายถึง

Fréchetเฉลี่ยให้ลักษณะการกำหนด "ศูนย์" ของการกระจายมวลบนพื้นผิวหรือมากกว่าโดยทั่วไปนานารีมัน ซึ่งแตกต่างจากวิธีการอื่น ๆ อีกมากมายค่าเฉลี่ยFréchetถูกกำหนดไว้บนช่องว่างที่ไม่จำเป็นต้องเพิ่มองค์ประกอบเข้าด้วยกันหรือคูณด้วยสเกลาร์ บางครั้งเรียกอีกอย่างว่าKarcher mean (ตั้งชื่อตาม Hermann Karcher)

กฎของสเวนสัน

นี่คือการประมาณค่าเฉลี่ยสำหรับการแจกแจงแบบเบ้ปานกลาง ^[9]ใช้ในการสำรวจไฮโดรคาร์บอนและถูกกำหนดให้เป็น

{\ displaystyle m = 0.3P_ {10} + 0.4P_ {50} + 0.3P_ {90}}

โดยที่P ₁₀ , P ₅₀และP ₉₀เปอร์เซ็นไทล์ที่ 10, 50 และ 90 ของการแจกแจง

วิธีอื่น

ค่าเฉลี่ยเลขคณิต - เรขาคณิต
ค่าเฉลี่ยเลขคณิต - ฮาร์มอนิก
Cesàroหมายถึง
Chisini หมายถึง
ค่าเฉลี่ย Contraharmonic
ค่าเฉลี่ยสมมาตรเบื้องต้น
ค่าเฉลี่ยเรขาคณิต - ฮาร์มอนิก
ค่าเฉลี่ยที่ยิ่งใหญ่
ไฮนซ์หมายถึง
หมายถึงนกกระสา
ค่าเฉลี่ยตัวตน
Lehmer หมายถึง
ค่าเฉลี่ยลอการิทึม
ค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่
Neuman – Sándorหมายถึง
ค่าเฉลี่ยกึ่งเลขคณิต
กำลังสองค่าเฉลี่ยราก (ค่าเฉลี่ยกำลังสอง)
เอนโทรปีของRényi ( ค่าเฉลี่ย f ทั่วไป )
ค่าเฉลี่ยทรงกลม
ค่าเฉลี่ย Stolarsky
ค่าเฉลี่ยเรขาคณิตถ่วงน้ำหนัก
ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกแบบถ่วงน้ำหนัก

การแจกแจงของค่าเฉลี่ยตัวอย่าง

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของประชากรหรือประชากรเฉลี่ยมักจะแสดงμ ^[1]ค่าเฉลี่ยตัวอย่าง ${\ displaystyle {\ bar {x}}}$ (ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของตัวอย่างค่าที่ดึงมาจากประชากร) ทำให้ตัวประมาณค่าเฉลี่ยประชากรได้ดีเนื่องจากค่าที่คาดหวังจะเท่ากับค่าเฉลี่ยประชากร (นั่นคือค่าประมาณที่เป็นกลาง ) ค่าเฉลี่ยตัวอย่างเป็นตัวแปรสุ่มไม่ใช่ค่าคงที่เนื่องจากค่าที่คำนวณได้จะแตกต่างกันแบบสุ่มขึ้นอยู่กับว่าสมาชิกของประชากรกลุ่มใดถูกสุ่มตัวอย่างดังนั้นจึงมีการแจกแจงของตัวเอง สำหรับตัวอย่างสุ่มของการสังเกตอิสระn ค่าที่คาดหวังของค่าเฉลี่ยตัวอย่างคือ

{\ displaystyle \ operatorname {E} ({\ bar {x}}) = \ mu}

และความแปรปรวนของค่าเฉลี่ยตัวอย่างคือ

{\ displaystyle \ operatorname {var} ({\ bar {x}}) = {\ frac {\ sigma ^ {2}} {n}}.}

หากมีการกระจายประชากรตามปกติค่าเฉลี่ยตัวอย่างจะกระจายตามปกติดังนี้:

{\ displaystyle {\ bar {x}} \ thicksim N \ left \ {\ mu, {\ frac {\ sigma ^ {2}} {n}} \ right \}.}

หากประชากรไม่ได้รับการกระจายตามปกติค่าเฉลี่ยตัวอย่างจะกระจายตามปกติโดยประมาณถ้าnมีขนาดใหญ่และ σ ² / n <+ ∞ นี้เป็นผลมาจากเซ็นทรัล จำกัด ทฤษฎีบท

ดูสิ่งนี้ด้วย

แนวโน้มกลาง
- ค่ามัธยฐาน
- โหมด
สถิติเชิงพรรณนา
เคอร์โทซิส
กฎของค่าเฉลี่ย
ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย
ช่วงเวลา (คณิตศาสตร์)
สถิติสรุป
กฎหมายของเทย์เลอร์

หมายเหตุ

^ ออกเสียงว่า " x bar"
^ กรีกจดหมาย μสำหรับ "ค่าเฉลี่ย" เด่นชัด / 'MJU /

อ้างอิง

^ ขคง "รายการน่าจะเป็นและสถิติสัญลักษณ์" คณิตศาสตร์ห้องนิรภัย 2020-04-26 . สืบค้นเมื่อ2020-08-21 .
^ อันเดอร์ฮิลล์ LG; แบรดฟิลด์ง. (1998) Introstat , Juta and Company Ltd. ISBN 0-7021-3838-X น . 181
^ เฟลเลอร์วิลเลียม (2493) ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับทฤษฎีความน่าจะเป็นและการประยุกต์ใช้เล่มที่ 1 ไวลีย์. หน้า 221. ISBN 0471257087.
^ สถิติเบื้องต้นโดย Robert R.Johnson และ Patricia J. Kuby, p. 279
^ ก ข Weisstein, Eric W. "ค่าเฉลี่ยประชากร" . mathworld.wolfram.com . สืบค้นเมื่อ2020-08-21 .
^ Outline Schaum ของทฤษฎีและปัญหาของความน่าจะเป็นโดยซีมัวร์ลิปชุตซ์และมาร์ค Lipson, P 141
^ ก ข ค "ค่าเฉลี่ย | คณิตศาสตร์" . สารานุกรมบริแทนนิกา. สืบค้นเมื่อ2020-08-21 .
^ "AP สถิติ Review - Curves ความหนาแน่นและการกระจายปกติ" สืบค้นจากต้นฉบับเมื่อ 2 เมษายน 2558 . สืบค้นเมื่อ16 มีนาคม 2558 .
^ เฮิร์สต์บราวน์ GC สเวนสัน RI (2000) สเวนสัน 30-40-30 กฎ American Association of Petroleum Geologists Bulletin 84 (12) 1883-1891

[1] ออกเสียงว่า " x bar"

[2] กรีกจดหมาย μสำหรับ "ค่าเฉลี่ย" เด่นชัด / 'MJU /

[:0-3] ขคง "รายการน่าจะเป็นและสถิติสัญลักษณ์" คณิตศาสตร์ห้องนิรภัย 2020-04-26 . สืบค้นเมื่อ2020-08-21 .

[4] อันเดอร์ฮิลล์ LG; แบรดฟิลด์ง. (1998) Introstat , Juta and Company Ltd. ISBN 0-7021-3838-X น . 181

[5] เฟลเลอร์วิลเลียม (2493) ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับทฤษฎีความน่าจะเป็นและการประยุกต์ใช้เล่มที่ 1 ไวลีย์. หน้า 221. ISBN 0471257087.

[6] สถิติเบื้องต้นโดย Robert R.Johnson และ Patricia J. Kuby, p. 279

[:1-7] ก ข Weisstein, Eric W. "ค่าเฉลี่ยประชากร" . mathworld.wolfram.com . สืบค้นเมื่อ2020-08-21 .

[8] Outline Schaum ของทฤษฎีและปัญหาของความน่าจะเป็นโดยซีมัวร์ลิปชุตซ์และมาร์ค Lipson, P 141

[:2-9] ก ข ค "ค่าเฉลี่ย | คณิตศาสตร์" . สารานุกรมบริแทนนิกา. สืบค้นเมื่อ2020-08-21 .

[10] "AP สถิติ Review - Curves ความหนาแน่นและการกระจายปกติ" สืบค้นจากต้นฉบับเมื่อ 2 เมษายน 2558 . สืบค้นเมื่อ16 มีนาคม 2558 .

[Hurst2000-11] เฮิร์สต์บราวน์ GC สเวนสัน RI (2000) สเวนสัน 30-40-30 กฎ American Association of Petroleum Geologists Bulletin 84 (12) 1883-1891

[หมายเหตุ