• logo

เมทริกซ์ (คณิตศาสตร์)

ในวิชาคณิตศาสตร์เป็นเมทริกซ์ (พหูพจน์เมทริกซ์ ) เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า อาร์เรย์หรือตารางของตัวเลข , สัญลักษณ์หรือการแสดงออกเรียงแถวและคอลัมน์ [1] [2]ตัวอย่างเช่นขนาดของเมทริกซ์ด้านล่างคือ 2 × 3 (อ่านว่า "สองคูณสาม") เนื่องจากมีสองแถวและสามคอลัมน์:

เมตร × nเมทริกซ์ที่: ม.แถวเป็นแนวนอนและ nคอลัมน์แนวตั้ง แต่ละองค์ประกอบของเมทริกซ์มักจะแสดงด้วยตัวแปรที่มีตัวห้อยสอง ตัว ยกตัวอย่างเช่น 2,1แสดงให้เห็นถึงองค์ประกอบที่แถวที่สองและคอลัมน์แรกของเมทริกซ์
[ 1 9 - 13 20 5 - 6 ] . {\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 9 & -13 \\ 20 & 5 & -6 \ end {bmatrix}}} {\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 9 & -13 \\ 20 & 5 & -6 \ end {bmatrix}}}

โดยมีเงื่อนไขว่ามีมิติเดียวกัน (แต่ละเมทริกซ์มีจำนวนแถวและจำนวนคอลัมน์เท่ากันกับอีกเมทริกซ์) เมทริกซ์สองตัวสามารถเพิ่มหรือลบองค์ประกอบตามองค์ประกอบได้ (ดูเมทริกซ์ที่เข้ากันได้ ) อย่างไรก็ตามกฎสำหรับการคูณเมทริกซ์คือเมทริกซ์สองตัวสามารถคูณได้ก็ต่อเมื่อจำนวนคอลัมน์ในคอลัมน์แรกเท่ากับจำนวนแถวในวินาที (นั่นคือขนาดภายในเหมือนกันnสำหรับ ( m × n ) -matrix คูณ a ( n × p ) - เมทริกซ์ทำให้เกิด ( m × p ) -matrix) แม้ว่าเมทริกซ์สองตัวจะมีมิติที่อนุญาตให้คูณในลำดับใดก็ได้ผลลัพธ์ก็ไม่จำเป็นต้องเหมือนกัน นั่นคือคูณเมทริกซ์ไม่ได้โดยทั่วไปสับเปลี่ยน เมทริกซ์ใด ๆ ที่สามารถคูณองค์ประกอบที่ชาญฉลาดโดยเกลาจากที่เกี่ยวข้องฟิลด์ เมทริกซ์มักแสดงด้วยอักษรโรมันตัวใหญ่เช่น ก {\ displaystyle A} ก, ข {\ displaystyle B} ข และ ค {\ displaystyle C} ค. [3]

แต่ละรายการในม. × nเมทริกซ์มักจะแสดงโดยฉัน , เจที่ฉันและเจมักจะแตกต่างกันไปตั้งแต่ 1 ถึงม.และnตามลำดับจะเรียกว่าองค์ประกอบหรือรายการ [4] [5]เพื่อความสะดวกในการแสดงองค์ประกอบของผลลัพธ์ของการดำเนินการเมทริกซ์ดัชนีขององค์ประกอบมักจะแนบกับนิพจน์เมทริกซ์ในวงเล็บหรือวงเล็บ (ตัวอย่างเช่น ( AB ) i , jหมายถึงองค์ประกอบของเมทริกซ์ ผลิตภัณฑ์). ในบริบทของสัญกรณ์ดัชนีนามธรรมนี้ยังหมายถึงผลิตภัณฑ์เมทริกซ์ทั้งหมดอย่างคลุมเครือ

การประยุกต์ใช้เมทริกซ์ที่สำคัญคือการแสดงการแปลงเชิงเส้น (นั่นคือลักษณะทั่วไปของฟังก์ชันเชิงเส้นเช่นf ( x ) = 4 x ) ตัวอย่างเช่นการหมุนของเวกเตอร์ในปริภูมิสามมิติเป็นการแปลงเชิงเส้นซึ่งสามารถแสดงโดยเมทริกซ์การหมุน R : ถ้าvเป็นเวกเตอร์คอลัมน์ (เมทริกซ์ที่มีเพียงคอลัมน์เดียว) ที่อธิบายตำแหน่งของจุดในอวกาศ ผลิตภัณฑ์Rvคือเวกเตอร์คอลัมน์ที่อธิบายตำแหน่งของจุดนั้นหลังจากการหมุน ผลคูณของเมทริกซ์การแปลงสองรายการคือเมทริกซ์ที่แสดงถึงองค์ประกอบของการแปลงสองรายการ การประยุกต์ใช้การฝึกอบรมก็คือในการแก้ปัญหาของระบบสมการเชิงเส้น

ถ้าเมทริกซ์เป็นกำลังสอง (นั่นคือขนาดของมันเท่ากัน) ก็เป็นไปได้ที่จะอนุมานคุณสมบัติบางอย่างโดยการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ ตัวอย่างเช่นเมทริกซ์สี่เหลี่ยมจะมีอินเวอร์ส ถ้าดีเทอร์มิแนนต์ไม่ใช่ศูนย์ ความเข้าใจในรูปทรงเรขาคณิตของการแปลงเชิงเส้นได้มา (พร้อมกับข้อมูลอื่น ๆ ) จากเมทริกซ์ของเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ

การประยุกต์ใช้เมทริกซ์พบได้ในสาขาวิทยาศาสตร์ส่วนใหญ่ [6]ในสาขาของทุกฟิสิกส์รวมทั้งกลศาสตร์คลาสสิก , เลนส์ , แม่เหล็กไฟฟ้า , กลศาสตร์ควอนตัมและไฟฟ้ากระแสควอนตัมที่พวกเขาจะใช้ในการศึกษาปรากฏการณ์ทางกายภาพเช่นการเคลื่อนไหวของร่างกายแข็ง

ในคอมพิวเตอร์กราฟิกพวกเขาจะใช้ในการจัดการแบบจำลอง 3 มิติและโครงการลงบนหน้าจอ 2 มิติ ในทฤษฎีความน่าจะเป็นและสถิติ , เมทริกซ์สุ่มที่ใช้เพื่ออธิบายชุดของความน่าจะเป็น ตัวอย่างเช่นใช้ในอัลกอริทึมเพจแรงก์ที่จัดอันดับหน้าเว็บในการค้นหาของ Google [7] แคลคูลัสเมทริกซ์สรุปแนวคิดการวิเคราะห์แบบคลาสสิกเช่นอนุพันธ์และเลขชี้กำลังไปสู่มิติที่สูงขึ้น เมทริกซ์ใช้ในเศรษฐศาสตร์เพื่ออธิบายระบบความสัมพันธ์ทางเศรษฐกิจ

สาขาหลักของการวิเคราะห์เชิงตัวเลขอุทิศให้กับการพัฒนาอัลกอริทึมที่มีประสิทธิภาพสำหรับการคำนวณเมทริกซ์ซึ่งเป็นเรื่องที่มีอายุหลายศตวรรษและปัจจุบันเป็นพื้นที่การวิจัยที่ขยายตัวมากขึ้น วิธีการสลายตัวของเมทริกซ์ทำให้การคำนวณง่ายขึ้นทั้งในทางทฤษฎีและทางปฏิบัติ อัลกอริทึมที่ปรับให้เหมาะกับโครงสร้างเมทริกซ์เฉพาะเช่นเมทริกซ์แบบเบาบางและเมทริกซ์ใกล้เส้นทแยงมุมเร่งการคำนวณในวิธีการ จำกัด องค์ประกอบและการคำนวณอื่น ๆ เมทริกซ์อนันต์เกิดขึ้นในทฤษฎีของดาวเคราะห์และในทฤษฎีอะตอม ตัวอย่างง่ายๆของเมทริกซ์ไม่มีที่สิ้นสุดคือเมทริกซ์ที่เป็นตัวแทนของตัวดำเนินการอนุพันธ์ซึ่งทำหน้าที่ในอนุกรมเทย์เลอร์ของฟังก์ชัน

คำจำกัดความ

เมทริกซ์เป็นอาร์เรย์สี่เหลี่ยมของตัวเลข (หรือวัตถุทางคณิตศาสตร์อื่น ๆ ) ซึ่งการดำเนินการเช่นนอกจากและคูณมีการกำหนด [8]โดยทั่วไปเมทริกซ์กว่าฟิลด์ Fเป็นอาร์เรย์สี่เหลี่ยมของสเกลาแต่ละแห่งซึ่งเป็นสมาชิกของF [9] [10]ส่วนใหญ่ของบทความนี้มุ่งเน้นไปที่จริงและการฝึกอบรมที่ซับซ้อน , ที่อยู่, เมทริกซ์ซึ่งเป็นธาตุตามลำดับตัวเลขจริงหรือตัวเลขที่ซับซ้อน ประเภททั่วไปอื่น ๆ ของรายการที่จะกล่าวถึงด้านล่าง ตัวอย่างเช่นนี่คือเมทริกซ์จริง:

ก = [ - 1.3 0.6 20.4 5.5 9.7 - 6.2 ] . {\ displaystyle \ mathbf {A} = {\ begin {bmatrix} -1.3 & 0.6 \\ 20.4 & 5.5 \\ 9.7 & -6.2 \ end {bmatrix}}} {\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}-1.3&0.6\\20.4&5.5\\9.7&-6.2\end{bmatrix}}.}

ตัวเลขสัญลักษณ์หรือนิพจน์ในเมทริกซ์จะเรียกว่าของรายการหรือขององค์ประกอบ เส้นแนวนอนและแนวตั้งของรายการในเมทริกซ์เรียกว่าแถวและคอลัมน์ตามลำดับ

ขนาด

ขนาดของเมทริกซ์ถูกกำหนดโดยจำนวนแถวและคอลัมน์ที่มีอยู่ ไม่มีการ จำกัด จำนวนแถวและคอลัมน์ที่เมทริกซ์ (ในความหมายปกติ) สามารถมีได้ตราบเท่าที่เป็นจำนวนเต็มบวก เมทริกซ์กับม.แถวและnคอลัมน์เรียกว่าม.  × nเมทริกซ์หรือม -by- nเมทริกซ์ในขณะที่ม.และnจะเรียกว่าของมิติ ตัวอย่างเช่นเมทริกซ์Aด้านบนคือเมทริกซ์3 × 2   

การฝึกอบรมที่มีแถวเดียวจะเรียกว่าเวกเตอร์แถวและผู้ที่มีคอลัมน์เดียวจะเรียกว่าเวกเตอร์คอลัมน์ เมทริกซ์ที่มีหมายเลขเดียวกันของแถวและคอลัมน์ที่เรียกว่าตารางเมทริกซ์ [11]เมทริกซ์ที่มีจำนวนอนันต์ของแถวหรือคอลัมน์ (หรือทั้งสอง) จะเรียกว่าเมทริกซ์ที่ไม่มีที่สิ้นสุด ในบริบทบางอย่างเช่นโปรแกรมพีชคณิตคอมพิวเตอร์จะเป็นประโยชน์ในการพิจารณาเมทริกซ์ที่ไม่มีแถวหรือคอลัมน์ที่ไม่มีเรียกว่าเมทริกซ์ที่ว่างเปล่า

ภาพรวมของขนาดเมทริกซ์
ชื่อ ขนาด ตัวอย่าง คำอธิบาย
เวกเตอร์แถว 1  × n  [ 3 7 2 ] {\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 3 & 7 & 2 \ end {bmatrix}}} {\begin{bmatrix}3&7&2\end{bmatrix}} เมทริกซ์ที่มีแถวเดียวบางครั้งใช้แทนเวกเตอร์
เวกเตอร์คอลัมน์ n  ×  1 [ 4 1 8 ] {\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 4 \\ 1 \\ 8 \ end {bmatrix}}} {\begin{bmatrix}4\\1\\8\end{bmatrix}} เมทริกซ์ที่มีหนึ่งคอลัมน์บางครั้งใช้แทนเวกเตอร์
เมทริกซ์สแควร์ n  × n  [ 9 13 5 1 11 7 2 6 3 ] {\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 9 & 13 & 5 \\ 1 & 11 & 7 \\ 2 & 6 & 3 \ end {bmatrix}}} {\displaystyle {\begin{bmatrix}9&13&5\\1&11&7\\2&6&3\end{bmatrix}}} เมทริกซ์ที่มีหมายเลขเดียวกันของแถวและคอลัมน์บางครั้งใช้เป็นตัวแทนของการแปลงเชิงเส้นจากปริภูมิเวกเตอร์ให้ตัวเองเช่นการสะท้อน , การหมุนหรือตัด

สัญกรณ์

เมทริกซ์มักเขียนในวงเล็บกล่องหรือวงเล็บ :

ก = [ ก 11 ก 12 ⋯ ก 1 n ก 21 ก 22 ⋯ ก 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ก ม 1 ก ม 2 ⋯ ก ม n ] = ( ก 11 ก 12 ⋯ ก 1 n ก 21 ก 22 ⋯ ก 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ก ม 1 ก ม 2 ⋯ ก ม n ) = ( ก ผม ญ ) ∈ ร ม × n . {\ displaystyle \ mathbf {A} = {\ begin {bmatrix} a_ {11} & a_ {12} & \ cdots & a_ {1n} \\ a_ {21} & a_ {22} & \ cdots & a_ {2n} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ a_ {m1} & a_ {m2} & \ cdots & a_ {mn} \ end {bmatrix}} = {\ begin {pmatrix} a_ {11} & a_ {12} & \ cdots & a_ {1n} \\ a_ {21} & a_ {22} & \ cdots & a_ {2n} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ a_ {m1} & a_ {m2} & \ cdots & a_ { mn} \ end {pmatrix}} = \ left (a_ {ij} \ right) \ in \ mathbb {R} ^ {m \ times n}.} {\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{pmatrix}}=\left(a_{ij}\right)\in \mathbb {R} ^{m\times n}.}

ลักษณะเฉพาะของสัญกรณ์เมทริกซ์เชิงสัญลักษณ์แตกต่างกันอย่างมากโดยมีแนวโน้มที่เกิดขึ้น เมทริกซ์มักจะใช้เป็นสัญลักษณ์บนกรณีตัวอักษร (เช่นในตัวอย่างข้างต้น) [3]ในขณะที่สอดคล้องกันกรณีที่ต่ำกว่าตัวอักษรสองดัชนีห้อย (เช่น11หรือ1,1 ) แทนรายการ . นอกเหนือจากการใช้ตัวอักษรตัวพิมพ์ใหญ่เพื่อเป็นสัญลักษณ์ของเมทริกซ์แล้วผู้เขียนหลายคนยังใช้รูปแบบการพิมพ์พิเศษโดยทั่วไปคือตัวหนาตั้งตรง (ไม่ใช่ตัวเอียง) เพื่อแยกความแตกต่างของเมทริกซ์จากวัตถุทางคณิตศาสตร์อื่น ๆ สัญกรณ์ทางเลือกเกี่ยวข้องกับการใช้การขีดเส้นใต้สองครั้งกับชื่อตัวแปรโดยมีหรือไม่มีลักษณะตัวหนา (เช่นในกรณีของ ก _ _ {\ displaystyle {\ underline {\ underline {A}}}} {\underline {\underline {A}}}).

รายการในฉัน -th แถวและเจคอลัมน์ -th ของเมทริกซ์บางครั้งจะเรียกว่าเป็นฉัน , J ( ฉัน , J ) หรือ ( ฉัน , J ) รายการของเมทริกซ์, th และส่วนใหญ่แสดงทั่วไปว่าเป็นฉัน , JหรือIJ สัญลักษณ์ทางเลือกสำหรับรายการที่มี[ I, J ] หรือฉัน j ยกตัวอย่างเช่น (1,3) การเข้ามาของเมทริกซ์ต่อไปคือ 5 (ยังแสดง13 , 1,3 , [ 1,3 ] หรือ1,3 ):

ก = [ 4 - 7 5 0 - 2 0 11 8 19 1 - 3 12 ] {\ displaystyle \ mathbf {A} = {\ begin {bmatrix} 4 & -7 & \ color {red} {5} & 0 \\ - 2 & 0 & 11 & 8 \\ 19 & 1 & -3 & 12 \ end {bmatrix}}} {\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}4&-7&\color {red}{5}&0\\-2&0&11&8\\19&1&-3&12\end{bmatrix}}}

บางครั้งรายการของเมทริกซ์สามารถกำหนดได้โดยสูตรเช่นฉัน , J = F ( ฉัน , J ) ยกตัวอย่างเช่นในแต่ละรายการของเมทริกซ์ต่อไปจะถูกกำหนดโดยสูตรIJ = IJ

ก = [ 0 - 1 - 2 - 3 1 0 - 1 - 2 2 1 0 - 1 ] {\ displaystyle \ mathbf {A} = {\ begin {bmatrix} 0 & -1 & -2 & -3 \\ 1 & 0 & -1 & -2 \\ 2 & 1 & 0 & -1 \ end {bmatrix}}} {\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}0&-1&-2&-3\\1&0&-1&-2\\2&1&0&-1\end{bmatrix}}}

ในกรณีนี้บางครั้งเมทริกซ์เองก็ถูกกำหนดโดยสูตรนั้นภายในวงเล็บเหลี่ยมหรือวงเล็บคู่ ตัวอย่างเช่นเมทริกซ์ด้านบนกำหนดเป็นA = [ i - j ] หรือA = (( i - j )) ถ้าขนาดเมทริกซ์คือm × nสูตรที่กล่าวถึงข้างต้นf ( i , j ) จะใช้ได้กับi = 1, ... , mและj = 1, ... , nใด ๆ สามารถระบุแยกกันหรือระบุโดยใช้m × nเป็นตัวห้อย ตัวอย่างเช่นเมทริกซ์Aด้านบนคือ 3 × 4 และสามารถกำหนดเป็นA = [ i - j ] ( i = 1, 2, 3; j = 1, ... , 4) หรือA = [ i - ญ ] 3 × 4 .

ภาษาการเขียนโปรแกรมบางภาษาใช้อาร์เรย์ที่ห้อยเป็นสองเท่า (หรืออาร์เรย์ของอาร์เรย์) เพื่อแสดงเมทริกซ์m - × - n บางคนเริ่มต้นการเขียนโปรแกรมภาษาหมายเลขของดัชนีอาร์เรย์ที่ศูนย์ซึ่งในกรณีที่รายการของนั้นม -by- nเมทริกซ์ที่มีการจัดทำดัชนีโดย0 ≤ ฉัน ≤ เมตร - 1และ0 ≤ เจ ≤ n - 1 [12]บทความนี้เป็นไปตามหลักการทั่วไปในการเขียนทางคณิตศาสตร์ที่การแจงนับเริ่มจาก 1

บางครั้งมีการใช้เครื่องหมายดอกจันเพื่ออ้างถึงทั้งแถวหรือคอลัมน์ในเมทริกซ์ ยกตัวอย่างเช่นฉัน *หมายถึงฉันTHแถวของและ* เจหมายถึงเจTHคอลัมน์ ชุดของม -by- nเมทริกซ์จะแสดง ม ( ม , n ) , {\ displaystyle \ mathbb {M} (m, n),} {\displaystyle \mathbb {M} (m,n),} หรือ ร ม × n {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {m \ times n}} {\displaystyle \mathbb {R} ^{m\times n}} สำหรับเมทริกซ์จริง

การดำเนินการขั้นพื้นฐาน

วิดีโอภายนอก
video icon วิธีจัดระเบียบเพิ่มและคูณเมทริกซ์ - Bill Shillito , TED ED [13]

มีจำนวนของการดำเนินงานพื้นฐานที่สามารถนำมาใช้ในการปรับเปลี่ยนการฝึกอบรมที่เรียกว่าเป็นเมทริกซ์นอกจากนี้ , คูณสเกลาร์ , ขนย้าย , คูณเมทริกซ์ , การดำเนินงานแถวและsubmatrix [14]

การบวกการคูณสเกลาร์และการขนย้าย

การดำเนินการกับเมทริกซ์
การดำเนินการ คำจำกัดความ ตัวอย่าง
ส่วนที่เพิ่มเข้าไป รวม + Bสองเมตร -by- nเมทริกซ์และBจะถูกคำนวณ entrywise:
( + B ) ฉัน , J = ฉัน , J + B ฉัน , เจที่ 1 ≤ ฉัน ≤ เมตรและ 1 ≤ เจ ≤ n

[ 1 3 1 1 0 0 ] + [ 0 0 5 7 5 0 ] = [ 1 + 0 3 + 0 1 + 5 1 + 7 0 + 5 0 + 0 ] = [ 1 3 6 8 5 0 ] {\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \ end {bmatrix}} + {\ begin {bmatrix} 0 & 0 & 5 \\ 7 & 5 & 0 \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 + 0 & 3 + 0 & 1 + 5 \\ 1 + 7 & 0 + 5 & 0 + 0 \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 & 3 & 6 \\ 8 & 5 & 0 \ end {bmatrix}}} {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&1\\1&0&0\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0&5\\7&5&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+0&3+0&1+5\\1+7&0+5&0+0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&6\\8&5&0\end{bmatrix}}}

การคูณสเกลาร์ ผลคูณc Aของจำนวนc (เรียกอีกอย่างว่าสเกลาร์ในสำนวนของพีชคณิตนามธรรม ) และเมทริกซ์AคำนวณโดยการคูณทุกรายการของAด้วยc :
( c A ) i , j = c · A i , j .

การดำเนินการนี้เรียกว่าการคูณสเกลาร์แต่ผลลัพธ์ของมันไม่มีชื่อว่า "ผลคูณสเกลาร์" เพื่อหลีกเลี่ยงความสับสนเนื่องจากบางครั้ง "ผลคูณสเกลาร์" ถูกใช้เป็นคำพ้องความหมายของ " ผลิตภัณฑ์ภายใน "

 2 ⋅ [ 1 8 - 3 4 - 2 5 ] = [ 2 ⋅ 1 2 ⋅ 8 2 ⋅ - 3 2 ⋅ 4 2 ⋅ - 2 2 ⋅ 5 ] = [ 2 16 - 6 8 - 4 10 ] {\ displaystyle 2 \ cdot {\ begin {bmatrix} 1 & 8 & -3 \\ 4 & -2 & 5 \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 2 \ cdot 1 & 2 \ cdot 8 & 2 \ cdot -3 \\ 2 \ cdot 4 & 2 \ cdot -2 & 2 \ cdot 5 \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 2 & 16 & -6 \\ 8 & -4 & 10 \ end {bmatrix}}} {\displaystyle 2\cdot {\begin{bmatrix}1&8&-3\\4&-2&5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2\cdot 1&2\cdot 8&2\cdot -3\\2\cdot 4&2\cdot -2&2\cdot 5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&16&-6\\8&-4&10\end{bmatrix}}}
การขนย้าย transposeของม -by- nเมทริกซ์เป็นn -by- มเมทริกซ์T (ยังแสดงTRหรือเสื้อ ) ที่เกิดขึ้นจากการเปลี่ยนแถวลงในคอลัมน์และในทางกลับกัน:
( A T ) i , j = A j , i .
 [ 1 2 3 0 - 6 7 ] ที = [ 1 0 2 - 6 3 7 ] {\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -6 & 7 \ end {bmatrix}} ^ {\ mathrm {T}} = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & -6 \\ 3 & 7 \ end {bmatrix} }} {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2&3\\0&-6&7\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }={\begin{bmatrix}1&0\\2&-6\\3&7\end{bmatrix}}}

คุณสมบัติที่คุ้นเคยของตัวเลขขยายไปถึงการดำเนินการเหล่านี้ของเมทริกซ์: ยกตัวอย่างเช่นนอกจากนี้คือการสับเปลี่ยนที่เป็นผลรวมเมทริกซ์ไม่ขึ้นอยู่กับคำสั่งของ summands นี้: + B = B + [15] transpose เข้ากันได้กับบวกและการคูณสเกลาที่แสดงโดย ( ค ) T = C ( T ) และ ( + B ) T = T + B T สุดท้าย ( T ) T =              

การคูณเมทริกซ์

ภาพแผนผังของเมทริกซ์ผลิตภัณฑ์ ABสองเมทริกซ์ และ B

การคูณของเมทริกซ์สองเมทริกซ์ถูกกำหนดในกรณีที่จำนวนคอลัมน์ของเมทริกซ์ด้านซ้ายเท่ากันกับจำนวนแถวของเมทริกซ์ด้านขวา ถ้าAเป็นเมทริกซ์m -by- nและBเป็นเมทริกซ์n -by- pดังนั้นผลิตภัณฑ์เมทริกซ์ ของพวกเขาABคือเมทริกซ์m -by- pซึ่งรายการถูกกำหนดโดยผลิตภัณฑ์ดอทของแถวที่สอดคล้องกันของAและที่สอดคล้องกัน คอลัมน์B : [16]

[ ก ข ] ผม , ญ = ก ผม , 1 ข 1 , ญ + ก ผม , 2 ข 2 , ญ + ⋯ + ก ผม , n ข n , ญ = ∑ ร = 1 n ก ผม , ร ข ร , ญ , {\ displaystyle [\ mathbf {AB}] _ {i, j} = a_ {i, 1} b_ {1, j} + a_ {i, 2} b_ {2, j} + \ cdots + a_ {i, n} b_ {n, j} = \ sum _ {r = 1} ^ {n} a_ {i, r} b_ {r, j},} {\displaystyle [\mathbf {AB} ]_{i,j}=a_{i,1}b_{1,j}+a_{i,2}b_{2,j}+\cdots +a_{i,n}b_{n,j}=\sum _{r=1}^{n}a_{i,r}b_{r,j},}

ที่ 1 ≤ ฉัน ≤ เมตรและ 1 ≤ เจ ≤ P [17]ตัวอย่างเช่นรายการที่ขีดเส้นใต้ 2340 ในผลิตภัณฑ์คำนวณเป็น(2 × 1000) + (3 × 100) + (4 × 10) = 2340:

[ 2 _ 3 _ 4 _ 1 0 0 ] [ 0 1,000 _ 1 100 _ 0 10 _ ] = [ 3 2340 _ 0 1,000 ] . {\ displaystyle {\ begin {aligned} {\ begin {bmatrix} {\ underline {2}} & {\ underline {3}} & {\ underline {4}} \\ 1 & 0 & 0 \\\ end {bmatrix}} { \ begin {bmatrix} 0 & {\ underline {1000}} \\ 1 & {\ underline {100}} \\ 0 & {\ underline {10}} \\\ end {bmatrix}} & = {\ begin {bmatrix} 3 & {\ ขีดเส้นใต้ {2340}} \\ 0 & 1000 \\\ end {bmatrix}}. \ end {aligned}}} {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}{\underline {2}}&{\underline {3}}&{\underline {4}}\\1&0&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&{\underline {1000}}\\1&{\underline {100}}\\0&{\underline {10}}\\\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}3&{\underline {2340}}\\0&1000\\\end{bmatrix}}.\end{aligned}}

การคูณเมทริกซ์เป็นไปตามกฎ ( AB ) C = A ( BC ) (การเชื่อมโยง ) และ ( A + B ) C = AC + BCเช่นเดียวกับC ( A + B ) = CA + CB ( การกระจายซ้ายและขวา) เมื่อใดก็ตาม ขนาดของเมทริกซ์เป็นขนาดที่กำหนดผลิตภัณฑ์ต่างๆ [18]ผลิตภัณฑ์ABอาจถูกกำหนดโดยไม่ต้องBAถูกกำหนดไว้คือถ้าและBเป็นเมตร -by- nและn -by- kเมทริกซ์ตามลำดับและม. ≠ k แม้ว่าผลิตภัณฑ์ทั้งสองจะถูกกำหนดไว้ แต่โดยทั่วไปไม่จำเป็นต้องเท่ากันนั่นคือ:

AB ≠ BA ,

ในคำอื่น ๆคูณเมทริกซ์ไม่ได้สับเปลี่ยน ,ในทางตรงกันข้ามการทำเครื่องหมายที่จะ (เหตุผลจริงหรือซับซ้อน) ตัวเลขที่มีสินค้าที่เป็นอิสระจากคำสั่งของปัจจัย [16]ตัวอย่างของเมทริกซ์สองตัวที่ไม่ได้เชื่อมต่อกันคือ:

[ 1 2 3 4 ] [ 0 1 0 0 ] = [ 0 1 0 3 ] , {\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\\ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \\\ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 3 \\\ end {bmatrix}},} {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&1\\0&0\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1\\0&3\\\end{bmatrix}},

ในขณะที่

[ 0 1 0 0 ] [ 1 2 3 4 ] = [ 3 4 0 0 ] . {\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \\\ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\\ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 3 & 4 \\ 0 & 0 \\\ end {bmatrix}}.} {\displaystyle {\begin{bmatrix}0&1\\0&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3&4\\0&0\\\end{bmatrix}}.}

นอกจากคูณเมทริกซ์สามัญอธิบายเพียงการดำเนินงานอื่น ๆ น้อยที่ใช้บ่อยในการฝึกอบรมที่ได้รับการพิจารณารูปแบบของการคูณยังมีอยู่เช่นสินค้า Hadamardและผลิตภัณฑ์ Kronecker [19]พวกเขาเกิดขึ้นในการแก้สมการเมทริกซ์เช่นสมซิลเวส

การดำเนินการแถว

การดำเนินการแถวมีสามประเภท:

  1. นอกจากนี้แถวนั่นคือการเพิ่มแถวไปยังอีก
  2. การคูณแถวนั่นคือการคูณรายการทั้งหมดของแถวด้วยค่าคงที่ที่ไม่ใช่ศูนย์
  3. การสลับแถวนั่นคือการแลกเปลี่ยนเมทริกซ์สองแถว

การดำเนินงานเหล่านี้จะถูกนำมาใช้ในหลาย ๆ ด้านรวมทั้งการแก้สมการเชิงเส้นและการหาแปรผกผันเมทริกซ์

ซับเมทริกซ์

submatrixของเมทริกซ์จะได้รับโดยการลบคอลเลกชันของแถวและ / หรือคอลัมน์ใด ๆ [20] [21] [22]ตัวอย่างเช่นจากเมทริกซ์ 3 คูณ 4 ต่อไปนี้เราสามารถสร้างเมทริกซ์ย่อย 2 คูณ 3 ได้โดยการลบแถว 3 และคอลัมน์ 2:

ก = [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ] → [ 1 3 4 5 7 8 ] . {\ displaystyle \ mathbf {A} = {\ begin {bmatrix} 1 & \ color {red} {2} & 3 & 4 \\ 5 & \ color {red} {6} & 7 & 8 \\\ color {red} {9} & \ color {red} {10} & \ color {red} {11} & \ color {red} {12} \ end {bmatrix}} \ rightarrow {\ begin {bmatrix} 1 & 3 & 4 \\ 5 & 7 & 8 \ end {bmatrix}}} {\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&\color {red}{2}&3&4\\5&\color {red}{6}&7&8\\\color {red}{9}&\color {red}{10}&\color {red}{11}&\color {red}{12}\end{bmatrix}}\rightarrow {\begin{bmatrix}1&3&4\\5&7&8\end{bmatrix}}.}

ผู้เยาว์และปัจจัยของเมทริกซ์ที่พบจากการคำนวณปัจจัยของ submatrices บางอย่าง [22] [23]

submatrix เงินต้นเป็นตาราง submatrix ได้โดยการลบแถวและคอลัมน์บางอย่าง คำจำกัดความแตกต่างกันไปในแต่ละผู้เขียน ตามที่ผู้เขียนบางคนระบุว่าเมทริกซ์หลักคือเมทริกซ์ย่อยซึ่งชุดของดัชนีแถวที่ยังคงเป็นชุดของดัชนีคอลัมน์ที่ยังคงอยู่ [24] [25]ผู้เขียนคนอื่นให้นิยาม submatrix หลักว่าเป็นหนึ่งในแถวและคอลัมน์kแรกสำหรับจำนวนkบางตัวเป็นแถวที่ยังคงอยู่ [26]ประเภทของ submatrix นี้ยังได้รับการเรียกว่าsubmatrix หลักชั้นนำ [27]

สมการเชิงเส้น

เมทริกซ์สามารถใช้เพื่อเขียนอย่างกะทัดรัดและทำงานกับสมการเชิงเส้นหลายตัวแปรนั่นคือระบบสมการเชิงเส้น ตัวอย่างเช่นถ้าAเป็นเมทริกซ์m -by- n xกำหนดเวกเตอร์คอลัมน์ (นั่นคือn × 1-matrix) ของตัวแปรn x 1 , x 2 , ... , x nและbคือm ×เวกเตอร์ 1 คอลัมน์ตามด้วยสมการเมทริกซ์

ก x = ข {\ displaystyle \ mathbf {Ax} = \ mathbf {b}} \mathbf {Ax} =\mathbf {b}

เทียบเท่ากับระบบสมการเชิงเส้น[28]

ก 1 , 1 x 1 + ก 1 , 2 x 2 + ⋯ + ก 1 , n x n = ข 1     ⋮ ก ม , 1 x 1 + ก ม , 2 x 2 + ⋯ + ก ม , n x n = ข ม {\ displaystyle {\ begin {aligned} a_ {1,1} x_ {1} + a_ {1,2} x_ {2} + & \ cdots + a_ {1, n} x_ {n} = b_ {1} \\ & \ \ \ vdots \\ a_ {m, 1} x_ {1} + a_ {m, 2} x_ {2} + & \ cdots + a_ {m, n} x_ {n} = b_ {m} \ end {aligned}}} {\displaystyle {\begin{aligned}a_{1,1}x_{1}+a_{1,2}x_{2}+&\cdots +a_{1,n}x_{n}=b_{1}\\&\ \ \vdots \\a_{m,1}x_{1}+a_{m,2}x_{2}+&\cdots +a_{m,n}x_{n}=b_{m}\end{aligned}}}

การใช้เมทริกซ์นี้สามารถแก้ไขได้อย่างกะทัดรัดกว่าที่จะเป็นไปได้โดยการเขียนสมการทั้งหมดแยกกัน ถ้าn = mและสมการเป็นอิสระก็สามารถทำได้โดยการเขียน

x = ก - 1 ข {\ displaystyle \ mathbf {x} = \ mathbf {A} ^ {- 1} \ mathbf {b}} {\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {b} }

ที่-1เป็นเมทริกซ์ผกผันของ หากไม่มีผกผันการแก้ปัญหาถ้าใด ๆ สามารถพบการใช้ของมันผกผันทั่วไป

การแปลงเชิงเส้น

เวกเตอร์ที่แสดงด้วยเมทริกซ์ 2 คูณ 2 ตรงกับด้านข้างของสี่เหลี่ยมจัตุรัสหน่วยที่เปลี่ยนเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน

การฝึกอบรมและการคูณเมทริกซ์เผยให้เห็นคุณสมบัติที่สำคัญของพวกเขาเมื่อเกี่ยวข้องกับการแปลงเชิงเส้นที่เรียกว่าเป็นแผนที่เชิงเส้น จริงเมตร -by- nเมทริกซ์ก่อให้เกิดการเปลี่ยนแปลงเชิงเส้นR n → R ม.ทำแผนที่แต่ละเวกเตอร์xในR nไป (เมทริกซ์) ผลิตภัณฑ์ขวานซึ่งเป็นเวกเตอร์ในRเมตร ตรงกันข้ามแต่ละแปลงเชิงเส้นฉ : R n → R เมตรเกิดจากการที่ไม่ซ้ำกันเมตร -by- nเมทริกซ์: ชัดเจนที่( ฉัน , J ) -entryของเป็นฉันTHพิกัดของF ( อีเจ ) ที่จJ = (0, ... , 0,1,0, ... , 0)เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่มี 1 ในเจTHตำแหน่งและอื่น ๆ 0 เมทริกซ์มีการกล่าวถึงเป็นตัวแทนของเส้นแผนที่ฉและเรียกว่าเมทริกซ์การเปลี่ยนแปลงของฉ

ตัวอย่างเช่นเมทริกซ์ 2 × 2

ก = [ ก ค ข ง ] {\ displaystyle \ mathbf {A} = {\ begin {bmatrix} a & c \\ b & d \ end {bmatrix}}} {\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a&c\\b&d\end{bmatrix}}}

สามารถมองได้ว่าการแปลงของตารางหน่วยเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีจุดที่(0, 0) , ( , ข ) , ( + C , B + d )และ( ค , d ) รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่อยู่ทางด้านขวาหาได้จากการคูณAกับเวกเตอร์คอลัมน์แต่ละตัว [ 0 0 ] , [ 1 0 ] , [ 1 1 ] {\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 0 \\ 0 \ end {bmatrix}}, {\ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix}}, {\ begin {bmatrix} 1 \\ 1 \ end { bmatrix}}} {\displaystyle {\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}}และ [ 0 1 ] {\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \ end {bmatrix}}} {\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}ในทางกลับกัน เวกเตอร์เหล่านี้กำหนดจุดยอดของตารางหน่วย

แสดงให้เห็นว่าตารางต่อไปนี้หลาย 2 × 2 การฝึกอบรมจริงกับแผนที่เชิงเส้นที่เกี่ยวข้องของR 2 ต้นฉบับสีน้ำเงินถูกจับคู่กับตารางสีเขียวและรูปร่าง จุดเริ่มต้น (0,0) ถูกทำเครื่องหมายด้วยจุดดำ

เฉือนแนวนอน
ด้วยm = 1.25		การสะท้อนผ่านแกนแนวตั้งบีบการแมป
ด้วยr = 3/2		สเกล
ด้วยตัวคูณ 3/2		หมุน
โดยπ / 6 = 30 °
[ 1 1.25 0 1 ] {\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 1.25 \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}}} {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1.25\\0&1\end{bmatrix}}} [ - 1 0 0 1 ] {\ displaystyle {\ begin {bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}}} {\displaystyle {\begin{bmatrix}-1&0\\0&1\end{bmatrix}}} [ 3 2 0 0 2 3 ] {\ displaystyle {\ begin {bmatrix} {\ frac {3} {2}} & 0 \\ 0 & {\ frac {2} {3}} \ end {bmatrix}}} {\displaystyle {\begin{bmatrix}{\frac {3}{2}}&0\\0&{\frac {2}{3}}\end{bmatrix}}} [ 3 2 0 0 3 2 ] {\ displaystyle {\ begin {bmatrix} {\ frac {3} {2}} & 0 \\ 0 & {\ frac {3} {2}} \ end {bmatrix}}} {\displaystyle {\begin{bmatrix}{\frac {3}{2}}&0\\0&{\frac {3}{2}}\end{bmatrix}}} [ cos ⁡ ( π 6 ) - บาป ⁡ ( π 6 ) บาป ⁡ ( π 6 ) cos ⁡ ( π 6 ) ] {\ displaystyle {\ begin {bmatrix} \ cos \ left ({\ frac {\ pi} {6}} \ right) & - \ sin \ left ({\ frac {\ pi} {6}} \ right) \ \\ sin \ left ({\ frac {\ pi} {6}} \ right) & \ cos \ left ({\ frac {\ pi} {6}} \ right) \ end {bmatrix}}} {\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos \left({\frac {\pi }{6}}\right)&-\sin \left({\frac {\pi }{6}}\right)\\\sin \left({\frac {\pi }{6}}\right)&\cos \left({\frac {\pi }{6}}\right)\end{bmatrix}}}
VerticalShear m=1.25.svg Flip map.svg Squeeze r=1.5.svg Scaling by 1.5.svg Rotation by pi over 6.svg

ภายใต้ความสอดคล้องแบบ 1 ต่อ 1ระหว่างเมทริกซ์และแผนที่เชิงเส้นการคูณเมทริกซ์สอดคล้องกับองค์ประกอบของแผนที่: [29]ถ้าเมทริกซ์k -by- m Bแทนแผนที่เชิงเส้นอื่นg : R m → R kดังนั้นองค์ประกอบg ∘ fแสดงโดยBAตั้งแต่

( g ∘ f ) ( x ) = g ( f ( x )) = g ( ขวาน ) = B ( ขวาน ) = ( BA ) x .

ความเสมอภาคสุดท้ายตามมาจากการเชื่อมโยงดังกล่าวข้างต้นของการคูณเมทริกซ์

ยศเมทริกซ์ เป็นจำนวนสูงสุดของlinearly อิสระเวกเตอร์แถวของเมทริกซ์ซึ่งเป็นเช่นเดียวกับจำนวนสูงสุดของเวกเตอร์คอลัมน์ linearly อิสระ [30]เท่ามันเป็นมิติของภาพของเส้นแผนที่แสดงโดย [31]ยศเป็นโมฆะทฤษฎีบทระบุว่ามิติของเคอร์เนลของเมทริกซ์บวกยศเท่ากับจำนวนคอลัมน์ของเมทริกซ์ [32]

เมทริกซ์สแควร์

ตารางเมทริกซ์คือเมทริกซ์ที่มีหมายเลขเดียวกันของแถวและคอลัมน์ [11] n -by- nเมทริกซ์เป็นที่รู้จักกันเป็นตารางเมทริกซ์ของการสั่งซื้อn สามารถเพิ่มและคูณเมทริกซ์สแควร์สองรายการที่มีลำดับเดียวกันได้ รายการที่iiสร้างเส้นทแยงมุมหลักของตารางเมทริกซ์ พวกเขานอนอยู่บนเส้นสมมุติที่วิ่งจากมุมบนซ้ายไปยังมุมล่างขวาของเมทริกซ์

ประเภทหลัก

ชื่อตัวอย่างที่มีn = 3
เมทริกซ์แนวทแยง [ ก 11 0 0 0 ก 22 0 0 0 ก 33 ] {\ displaystyle {\ begin {bmatrix} a_ {11} & 0 & 0 \\ 0 & a_ {22} & 0 \\ 0 & 0 & a_ {33} \\\ end {bmatrix}}} {\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&0&0\\0&a_{22}&0\\0&0&a_{33}\\\end{bmatrix}}}
เมทริกซ์สามเหลี่ยมด้านล่าง [ ก 11 0 0 ก 21 ก 22 0 ก 31 ก 32 ก 33 ] {\ displaystyle {\ begin {bmatrix} a_ {11} & 0 & 0 \\ a_ {21} & a_ {22} & 0 \\ a_ {31} & a_ {32} & a_ {33} \\\ end {bmatrix}}} {\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&0&0\\a_{21}&a_{22}&0\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{bmatrix}}}
เมทริกซ์สามเหลี่ยมด้านบน [ ก 11 ก 12 ก 13 0 ก 22 ก 23 0 0 ก 33 ] {\ displaystyle {\ begin {bmatrix} a_ {11} & a_ {12} & a_ {13} \\ 0 & a_ {22} & a_ {23} \\ 0 & 0 & a_ {33} \\\ end {bmatrix}}} {\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\0&a_{22}&a_{23}\\0&0&a_{33}\\\end{bmatrix}}}

เมทริกซ์ในแนวทแยงและสามเหลี่ยม

ถ้ามีรายการทั้งหมดของด้านล่างเส้นทแยงมุมหลักเป็นศูนย์เรียกว่าบนเมทริกซ์สามเหลี่ยม ในทำนองเดียวกันถ้ารายการทั้งหมดของเหนือเส้นทแยงมุมหลักเป็นศูนย์เรียกว่าเมทริกซ์สามเหลี่ยมที่ต่ำกว่า ถ้ามีรายการทั้งหมดที่อยู่นอกเส้นทแยงมุมหลักเป็นศูนย์เรียกว่าเมทริกซ์ทแยงมุม

เมทริกซ์เอกลักษณ์

เมทริกซ์เอกลักษณ์ ฉันnขนาดnเป็นn -by- nเมทริกซ์ซึ่งในทุกองค์ประกอบในแนวทแยงหลักจะเท่ากับ 1 และองค์ประกอบอื่น ๆ ทั้งหมดจะเท่ากับ 0 ยกตัวอย่างเช่น

ผม 1 = [ 1 ] ,   ผม 2 = [ 1 0 0 1 ] ,   … ,   ผม n = [ 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ 1 ] {\ displaystyle \ mathbf {I} _ {1} = {\ begin {bmatrix} 1 \ end {bmatrix}}, \ \ mathbf {I} _ {2} = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}}, \ \ ldots, \ \ mathbf {I} _ {n} = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 & \ cdots & 0 \\ 0 & 1 & \ cdots & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \ \ 0 & 0 & \ cdots & 1 \ end {bmatrix}}} {\displaystyle \mathbf {I} _{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},\ \mathbf {I} _{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\ \ldots ,\ \mathbf {I} _{n}={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}}

มันเป็นเมทริกซ์ตารางของการสั่งซื้อnและยังเป็นชนิดพิเศษของเมทริกซ์ทแยงมุม เรียกว่าเมทริกซ์เอกลักษณ์เนื่องจากการคูณกับเมทริกซ์จะไม่เปลี่ยนแปลง:

AI n = ฉันเมตร =สำหรับการใด ๆ เมตร -by- nเมทริกซ์

สเกลาร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ของเมทริกซ์เอกลักษณ์เรียกว่าเมทริกซ์สเกลาร์ ถ้ารายการเมทริกซ์มาจากฟิลด์เมทริกซ์สเกลาร์จะสร้างกลุ่มภายใต้การคูณเมทริกซ์นั่นคือไอโซมอร์ฟิกของกลุ่มการคูณขององค์ประกอบที่ไม่ใช่ศูนย์ของฟิลด์

เมทริกซ์สมมาตรหรือเอียง - สมมาตร

เมทริกซ์ตารางที่เท่ากับ transpose ของตนนั่นคือ= Tเป็นเมทริกซ์สมมาตร แต่ถ้าเท่ากับเชิงลบของ transpose ของตนนั่นคือ= - T ,แล้วเป็นเมทริกซ์สมมาตรเสมือน ในการฝึกอบรมที่ซับซ้อนสมมาตรมักจะถูกแทนที่ด้วยแนวคิดของการฝึกอบรมเทียนซึ่งตอบสนองความ* = ที่ดาวหรือเครื่องหมายดอกจันหมายถึงtranspose ผันของเมทริกซ์, ที่อยู่, ไขว้ของคอนจูเกตที่ซับซ้อนของ

ตามทฤษฎีบทสเปกตรัมเมทริกซ์สมมาตรจริงและเมทริกซ์เฮอร์มิเชียนที่ซับซ้อนมีeigenbasis ; นั่นคือเวกเตอร์ทุกตัวสามารถแสดงออกได้เป็นการรวมเชิงเส้นของตัวบ่งชี้ลักษณะเฉพาะ ในทั้งสองกรณีค่าลักษณะเฉพาะทั้งหมดเป็นจริง [33]ทฤษฎีบทนี้สามารถทั่วไปอนันต์มิติสถานการณ์ที่เกี่ยวข้องกับการฝึกอบรมที่มีแถวและคอลัมน์หลายอย่างมากมายดูด้านล่าง

เมทริกซ์ผกผันและผกผัน

เมทริกซ์กำลังสองAเรียกว่ากลับด้านหรือไม่เป็นเอกพจน์ถ้ามีเมทริกซ์Bเช่นนั้น

AB = BA = ฉันn , [34] [35]

ที่ฉันnเป็นn × n เมทริกซ์เอกลักษณ์ด้วย 1s บนเส้นทแยงมุมหลักและ 0s อื่น ๆ ถ้าBที่มีอยู่ก็เป็นเอกลักษณ์และเป็นที่เรียกว่าเมทริกซ์ผกผันของชี้แนะ-1

เมทริกซ์ที่แน่นอน

เมทริกซ์แน่นอนเชิงบวกเมทริกซ์ไม่แน่นอน
[ 1 4 0 0 1 ] {\ displaystyle {\ begin {bmatrix} {\ frac {1} {4}} & 0 \\ 0 & 1 \\\ end {bmatrix}}} {\displaystyle {\begin{bmatrix}{\frac {1}{4}}&0\\0&1\\\end{bmatrix}}} [ 1 4 0 0 - 1 4 ] {\ displaystyle {\ begin {bmatrix} {\ frac {1} {4}} & 0 \\ 0 & - {\ frac {1} {4}} \ end {bmatrix}}} {\displaystyle {\begin{bmatrix}{\frac {1}{4}}&0\\0&-{\frac {1}{4}}\end{bmatrix}}}
Q ( x , y ) =1/4 x 2 + y 2Q ( x , y ) = 1/4 x 2 - 1/4 y 2
Ellipse in coordinate system with semi-axes labelled.svg
จุดที่ทำให้Q ( x , y ) = 1
( วงรี )		Hyperbola2 SVG.svg
จุดที่ทำให้Q ( x , y ) = 1
( ไฮเพอร์โบลา )

สมมาตรn × nเมทริกซ์Aเรียกว่าบวกแน่นอนถ้ารูปแบบกำลังสองที่เกี่ยวข้อง

f  ( x ) = x T A  x

มีค่าในเชิงบวกสำหรับทุกภัณฑ์เวกเตอร์xในR n หากฉ  ( x ) เพียงผลตอบแทนถัวเฉลี่ยค่าลบแล้วเป็นเชิงลบที่ชัดเจน ; ถ้าฉจะผลิตทั้งลบและบวกค่าแล้วคือไม่แน่นอน [36]ถ้ารูปแบบกำลังสองfให้เฉพาะค่าที่ไม่เป็นลบ (บวกหรือศูนย์) เมทริกซ์สมมาตรจะเรียกว่าpositive-semidefinite (หรือถ้าเฉพาะค่าที่ไม่ใช่บวก ด้วยเหตุนี้เมทริกซ์จึงไม่มีกำหนดแน่นอนเมื่อไม่มีทั้งบวก - เซมิไฟต์หรือลบ - เซมิไฟต์

เมทริกซ์สมมาตรเป็นค่าที่แน่นอนในเชิงบวกก็ต่อเมื่อค่าลักษณะเฉพาะทั้งหมดเป็นค่าบวกนั่นคือเมทริกซ์จะเป็นค่าบวก - กึ่งไม่มีที่สิ้นสุดและจะกลับด้านได้ [37]ตารางทางด้านขวาแสดงความเป็นไปได้สองแบบสำหรับเมทริกซ์แบบ 2 คูณ 2

การอนุญาตให้เป็นอินพุตเวกเตอร์ที่ต่างกันสองตัวแทนที่จะให้รูปแบบทวิภาคีที่เกี่ยวข้องกับA :

B A ( x , y ) = x T Ay . [38]

เมทริกซ์มุมฉาก

เมทริกซ์มุมฉากเป็นเมทริกซ์ตารางที่มีจริงรายการที่มีคอลัมน์และแถวเป็นมุมฉาก เวกเตอร์หน่วย (นั่นคือorthonormalเวกเตอร์) เมทริกซ์Aมีค่าเท่ากันถ้าทรานสโพสต์เท่ากับอินเวอร์ส :

ก ที = ก - 1 , {\ displaystyle \ mathbf {A} ^ {\ mathrm {T}} = \ mathbf {A} ^ {- 1}, \,} {\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {T} }=\mathbf {A} ^{-1},\,}

ซึ่งเกี่ยวข้องกับ

ก ที ก = ก ก ที = ผม n , {\ displaystyle \ mathbf {A} ^ {\ mathrm {T}} \ mathbf {A} = \ mathbf {A} \ mathbf {A} ^ {\ mathrm {T}} = \ mathbf {I} _ {n} ,} {\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {T} }\mathbf {A} =\mathbf {A} \mathbf {A} ^{\mathrm {T} }=\mathbf {I} _{n},}

ที่ฉันnเป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ขนาดn

เมทริกซ์มุมฉากAจำเป็นต้องกลับด้าน (โดยผกผันA −1 = A T ) รวมกัน ( A −1 = A * ) และปกติ ( A * A = AA * ) ปัจจัยของเมทริกซ์มุมฉากใด ๆ ที่เป็นทั้ง+1หรือ-1 เมทริกซ์ orthogonal พิเศษเป็นมุมฉากเมทริกซ์ที่มีปัจจัย 1 ในการแปลงเชิงเส้นเมทริกซ์มุมฉากทุกเมทริกซ์ที่มีดีเทอร์มิแนนต์+1เป็นการหมุนที่บริสุทธิ์โดยไม่มีการสะท้อนกล่าวคือการเปลี่ยนแปลงจะรักษาแนวของโครงสร้างที่เปลี่ยนรูปในขณะที่เมทริกซ์มุมฉากทุกเมทริกซ์ที่มีดีเทอร์มิแนนต์-1จะกลับทิศทางกล่าวคือเป็นองค์ประกอบของ a การสะท้อนที่บริสุทธิ์และการหมุน (อาจเป็นโมฆะ) เมทริกซ์เอกลักษณ์มีดีเทอร์มิแนนต์1และเป็นการหมุนที่บริสุทธิ์โดยมีมุมเป็นศูนย์

ซับซ้อนอะนาล็อกของเมทริกซ์มุมฉากเป็นเมทริกซ์รวม

การดำเนินงานหลัก

ติดตาม

ร่องรอย , TR ( ) ของตารางเมทริกซ์คือผลรวมของรายการในแนวทแยงของตน แม้ว่าการคูณเมทริกซ์ไม่ได้เป็นการสับเปลี่ยนตามที่กล่าวไว้ข้างต้นการติดตามผลคูณของเมทริกซ์สองตัวนั้นไม่ขึ้นอยู่กับลำดับของปัจจัย:

tr ( AB ) = tr ( BA )

นี่คือทันทีจากคำจำกัดความของการคูณเมทริกซ์:

tr ⁡ ( ก ข ) = ∑ ผม = 1 ม ∑ ญ = 1 n ก ผม ญ ข ญ ผม = tr ⁡ ( ข ก ) . {\ displaystyle \ operatorname {tr} (\ mathbf {AB}) = \ sum _ {i = 1} ^ {m} \ sum _ {j = 1} ^ {n} a_ {ij} b_ {ji} = \ operatorname {tr} (\ mathbf {BA}).} {\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {AB} )=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{ji}=\operatorname {tr} (\mathbf {BA} ).}

ตามมาว่าการติดตามผลคูณของเมทริกซ์มากกว่าสองเมทริกซ์นั้นไม่ขึ้นอยู่กับการเรียงสับเปลี่ยนแบบวนรอบของเมทริกซ์อย่างไรก็ตามโดยทั่วไปจะไม่ใช้สำหรับการเรียงสับเปลี่ยนโดยพลการ (ตัวอย่างเช่น tr ( ABC ) ≠ tr ( BAC ) โดยทั่วไป) นอกจากนี้ร่องรอยของเมทริกซ์ยังเท่ากับทรานสโพสนั่นคือ

TR ( ) = TR ( T )

ปัจจัยกำหนด

การแปลงเชิงเส้นบน R 2 ที่กำหนดโดยเมทริกซ์ที่ระบุ ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์นี้คือ −1 เนื่องจากพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานสีเขียวทางด้านขวาคือ 1 แต่แผนที่จะกลับ ทิศทางเนื่องจากจะเปลี่ยนทิศทางทวนเข็มนาฬิกาของเวกเตอร์เป็นหนึ่งตามเข็มนาฬิกา

ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์สี่เหลี่ยมA (แสดงถึง det ( A ) หรือ | A | [3] ) คือตัวเลขที่เข้ารหัสคุณสมบัติบางอย่างของเมทริกซ์ เมทริกซ์ผกผันคือถ้าหากปัจจัยของมันจะไม่ใช่ศูนย์ ค่าสัมบูรณ์ของมันเท่ากับพื้นที่ (ในR 2 ) หรือปริมาตร (ในR 3 ) ของรูปภาพของหน่วยสี่เหลี่ยมจัตุรัส (หรือลูกบาศก์) ในขณะที่เครื่องหมายของมันสอดคล้องกับการวางแนวของแผนที่เชิงเส้นที่สอดคล้องกัน: ดีเทอร์มิแนนต์เป็นบวกถ้าและเท่านั้น หากการวางแนวถูกเก็บรักษาไว้

ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ 2 คูณ 2 กำหนดโดย

det [ ก ข ค ง ] = ก ง - ข ค . {\ displaystyle \ det {\ begin {bmatrix} a & b \\ c & d \ end {bmatrix}} = ad-bc.} \det {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}=ad-bc.[6]

ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ 3 คูณ 3 เกี่ยวข้องกับ 6 เทอม ( กฎของซาร์รัส ) ยิ่งสูตรไลบนิซที่มีความยาวมากขึ้นจะทำให้สูตรทั้งสองนี้ครอบคลุมทุกมิติ [39]

ดีเทอร์มิแนนต์ของผลคูณของเมทริกซ์กำลังสองเท่ากับผลคูณของดีเทอร์มิแนนต์:

det ( AB ) = det ( A ) · det ( B ) [40]

การเพิ่มหลายแถวในแถวอื่นหรือหลายคอลัมน์ในคอลัมน์อื่นจะไม่เปลี่ยนดีเทอร์มีแนนต์ การแลกเปลี่ยนสองแถวหรือสองคอลัมน์มีผลต่อดีเทอร์มิแนนต์โดยการคูณด้วย −1 [41]การใช้การดำเนินการเหล่านี้เมทริกซ์ใด ๆ สามารถเปลี่ยนเป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมด้านล่าง (หรือบน) และสำหรับเมทริกซ์นั้นดีเทอร์มิแนนต์เท่ากับผลคูณของรายการบนเส้นทแยงมุมหลัก นี่เป็นวิธีการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ใด ๆ สุดท้ายการขยายตัวของลาปลาซเป็นการแสดงออกถึงดีเทอร์มิแนนต์ในแง่ของผู้เยาว์นั่นคือดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ที่เล็ก [42]การขยายตัวนี้สามารถใช้สำหรับนิยามแบบวนซ้ำของดีเทอร์มิแนนต์ (โดยพิจารณาจากกรณีเริ่มต้นว่าดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ 1 ต่อ 1 ซึ่งเป็นรายการที่ไม่ซ้ำกันหรือแม้แต่ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ 0 คูณ 0 ซึ่ง คือ 1) ซึ่งสามารถเห็นได้ว่าเทียบเท่ากับสูตรไลบ์นิซ สามารถใช้ดีเทอร์มิแนนต์เพื่อแก้ปัญหาระบบเชิงเส้นโดยใช้กฎของแครมเมอร์โดยที่การแบ่งดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์กำลังสองที่เกี่ยวข้องจะเท่ากับค่าของตัวแปรแต่ละตัวของระบบ [43]

ค่าลักษณะเฉพาะและค่าลักษณะเฉพาะ

จำนวนλและเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์v ที่น่าพอใจ

ก v = λ v {\ displaystyle Av = \ lambda v} {\displaystyle Av=\lambda v}

จะเรียกว่าค่าเฉพาะและวิคเตอร์ของตามลำดับ [44] [45]จำนวนλเป็นค่าเฉพาะของn × n -matrix ถ้าหาก-λ ฉันnไม่สามารถกลับซึ่งเป็นเทียบเท่าการ

det ( ก - λ ผม ) = 0. {\ displaystyle \ det (\ mathbf {A} - \ lambda \ mathbf {I}) = 0.} {\displaystyle \det(\mathbf {A} -\lambda \mathbf {I} )=0.}[46]

พหุนามPในคลุมเครือXที่ได้รับจากการประเมินผลของปัจจัยเดชอุดม ( X ฉันn - ) เรียกว่าพหุนามลักษณะของ มันเป็นพหุนาม monicของการศึกษาระดับปริญญา n ดังนั้นสมการพหุนามp A (λ) = 0 จึงมีคำตอบที่แตกต่างกันมากที่สุดnค่านั่นคือค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์ [47]อาจมีความซับซ้อนแม้ว่ารายการของAจะเป็นของจริงก็ตาม ตามที่เคย์ลีทฤษฎีบทแฮมิลตัน , P ( ) = 0นั่นคือผลของการแทนเมทริกซ์ตัวเองลงไปเองลักษณะพหุนามอัตราผลตอบแทนของมันศูนย์เมทริกซ์   

ด้านการคำนวณ

การคำนวณเมทริกซ์มักทำได้ด้วยเทคนิคที่แตกต่างกัน ปัญหาหลายอย่างสามารถแก้ไขได้โดยทั้งอัลกอริทึมโดยตรงหรือวิธีการซ้ำ ๆ ยกตัวอย่างเช่น eigenvectors ของตารางเมทริกซ์สามารถรับได้โดยการหาลำดับของเวกเตอร์x n บรรจบไปยังวิคเตอร์เมื่อnมีแนวโน้มที่จะอินฟินิตี้ [48]

ในการเลือกอัลกอริทึมที่เหมาะสมที่สุดสำหรับแต่ละปัญหาสิ่งสำคัญคือต้องพิจารณาทั้งประสิทธิผลและความแม่นยำของอัลกอริทึมที่มีอยู่ทั้งหมด โดเมนศึกษาเรื่องเหล่านี้จะเรียกว่าพีชคณิตเชิงเส้นเชิงตัวเลข [49]เช่นเดียวกับสถานการณ์ที่ตัวเลขอื่น ๆ สองด้านหลักคือความซับซ้อนของขั้นตอนวิธีของพวกเขาและความมั่นคงเชิงตัวเลข

การกำหนดความซับซ้อนของอัลกอริทึมหมายถึงการหาขอบเขตบนหรือประมาณการของหลายวิธีการดำเนินการเช่นการเพิ่มและการคูณของสเกลาประถมศึกษามีความจำเป็นที่จะดำเนินการขั้นตอนวิธีการบางอย่างเช่นการคูณของเมทริกซ์ การคำนวณเมทริกซ์ผลิตภัณฑ์ของทั้งสองn -by- nเมทริกซ์ใช้คำนิยามดังกล่าวข้างต้นความต้องการn 3คูณตั้งแต่ใด ๆ ของn 2รายการของสินค้าnคูณเป็นสิ่งที่จำเป็น Strassen อัลกอริทึมมีประสิทธิภาพดีกว่านี้ขั้นตอนวิธีการ "ไร้เดียงสา"; มันต้องการการคูณn 2.807เท่านั้น [50]วิธีการที่ละเอียดอ่อนยังรวมเอาคุณลักษณะเฉพาะของอุปกรณ์คอมพิวเตอร์ไว้ด้วย

ในสถานการณ์จริงข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับเมทริกซ์ที่เกี่ยวข้องเป็นที่รู้จัก กรณีที่สำคัญคือเมทริกซ์แบบเบาบางนั่นคือเมทริกซ์ส่วนใหญ่ที่มีรายการเป็นศูนย์ มีการดัดแปลงโดยเฉพาะขั้นตอนวิธีการสำหรับการพูด, การแก้ระบบเชิงเส้นขวาน = Bสำหรับการฝึกอบรมเบาบางเช่นวิธีการผันลาด [51]

อัลกอริทึมคือการพูดโดยประมาณมีความเสถียรในเชิงตัวเลขหากค่าเบี่ยงเบนเพียงเล็กน้อยในค่าอินพุตไม่ได้นำไปสู่การเบี่ยงเบนใหญ่ในผลลัพธ์ ตัวอย่างเช่นการคำนวณผกผันของเมทริกซ์ผ่านการขยาย Laplace (adj ( A ) หมายถึงเมทริกซ์ adjugateของA )

A −1 = adj ( A ) / det ( A )

อาจนำไปสู่ข้อผิดพลาดในการปัดเศษอย่างมีนัยสำคัญหากดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์มีขนาดเล็กมาก บรรทัดฐานของเมทริกซ์สามารถนำมาใช้ในการจับภาพเครื่องที่มีปัญหาเกี่ยวกับพีชคณิตเชิงเส้นเช่นการคำนวณเมทริกซ์ผกผันของ [52]

ภาษาโปรแกรมคอมพิวเตอร์ส่วนใหญ่รองรับอาร์เรย์ แต่ไม่ได้ออกแบบด้วยคำสั่งในตัวสำหรับเมทริกซ์ แต่ไลบรารีภายนอกที่มีอยู่จะจัดเตรียมการดำเนินการเมทริกซ์บนอาร์เรย์ในภาษาโปรแกรมที่ใช้ในปัจจุบันเกือบทั้งหมด การจัดการเมทริกซ์เป็นหนึ่งในแอพพลิเคชั่นตัวเลขที่เก่าแก่ที่สุดของคอมพิวเตอร์ [53]เดิมดาร์ทเมาท์ขั้นพื้นฐานได้ในตัวคำสั่งสำหรับเมทริกซ์คณิตศาสตร์บนอาร์เรย์จากของรุ่นที่สองการดำเนินงานในปี 1964 เป็นช่วงต้นปี 1970 ที่บางคอมพิวเตอร์เดสก์ทอปวิศวกรรมเช่นHP 9830มีตลับ ROM เพื่อเพิ่มคำสั่งพื้นฐานสำหรับการฝึกอบรม ภาษาคอมพิวเตอร์บางภาษาเช่นAPLได้รับการออกแบบมาเพื่อจัดการกับเมตริกและสามารถใช้โปรแกรมทางคณิตศาสตร์ต่างๆเพื่อช่วยในการคำนวณด้วยเมทริกซ์ [54]

การสลายตัว

มีหลายวิธีในการสร้างเมทริกซ์ให้อยู่ในรูปแบบที่เข้าถึงได้ง่ายขึ้น โดยทั่วไปมักเรียกว่าการสลายตัวของเมทริกซ์หรือเทคนิคการแยกตัวประกอบเมทริกซ์ ความน่าสนใจของเทคนิคเหล่านี้คือการรักษาคุณสมบัติบางอย่างของเมทริกซ์ที่เป็นปัญหาเช่นดีเทอร์มิแนนต์อันดับหรือผกผันเพื่อให้สามารถคำนวณปริมาณเหล่านี้ได้หลังจากใช้การแปลงหรือการดำเนินการเมทริกซ์บางอย่างจะง่ายกว่าในการดำเนินการตามอัลกอริทึม สำหรับเมทริกซ์บางประเภท

LU สลายตัวปัจจัยเมทริกซ์เป็นผลิตภัณฑ์ของที่ต่ำกว่า (เป็นL ) และบนเมทริกซ์สามเหลี่ยม ( U ) [55]เมื่อสลายตัวนี้มีการคำนวณระบบเชิงเส้นจะสามารถแก้ไขได้อย่างมีประสิทธิภาพมากขึ้นโดยเทคนิคง่ายๆที่เรียกว่าไปข้างหน้าและเปลี่ยนตัวกลับ ในทำนองเดียวกันการผกผันของเมทริกซ์สามเหลี่ยมนั้นง่ายกว่าในการคำนวณอัลกอริทึม การกำจัด Gaussianเป็นขั้นตอนวิธีที่คล้ายกัน มันเปลี่ยนเมทริกซ์ใด ๆ กับรูปแบบระดับแถว [56]ทั้งสองวิธีดำเนินการโดยการคูณเมทริกซ์ด้วยเมทริกซ์เบื้องต้นที่เหมาะสมซึ่งสอดคล้องกับการอนุญาตแถวหรือคอลัมน์และการเพิ่มทวีคูณของแถวหนึ่งไปยังอีกแถวหนึ่ง การสลายตัวของค่าเอกพจน์เป็นการแสดงออกถึงเมทริกซ์Aเป็นผลิตภัณฑ์UDV ∗โดยที่UและVเป็นเมทริกซ์รวมและDคือเมทริกซ์แนวทแยง

ตัวอย่างของเมทริกซ์ในรูปแบบปกติของจอร์แดน บล็อกสีเทาเรียกว่าบล็อกจอร์แดน

eigendecompositionหรือdiagonalizationแสดงออกเป็นผลิตภัณฑ์VDV -1ที่Dเป็นเมทริกซ์ทแยงมุมและVเป็นเมทริกซ์ผกผันเหมาะสม [57]หากสามารถเขียนในรูปแบบนี้จะเรียกว่าdiagonalizable โดยทั่วไปและใช้ได้กับเมทริกซ์ทั้งหมดการสลายตัวของจอร์แดนจะเปลี่ยนเมทริกซ์เป็นรูปแบบปกติของจอร์แดนกล่าวคือเมทริกซ์ที่มีรายการที่ไม่ใช่ศูนย์เท่านั้นคือค่าลักษณะเฉพาะλ 1ถึงλ nของAวางอยู่บนเส้นทแยงมุมหลักและอาจมีค่าเท่ากับ ตรงเหนือเส้นทแยงมุมหลักดังที่แสดงทางด้านขวา [58]ได้รับ eigendecomposition ที่n THพลังของ(นั่นคือnเท่าซ้ำคูณเมทริกซ์) สามารถคำนวณได้ผ่านทาง

A n = ( VDV −1 ) n = VDV −1 VDV −1 ... VDV −1 = VD n V −1

และสามารถคำนวณกำลังของเมทริกซ์แนวทแยงได้โดยใช้กำลังที่สอดคล้องกันของรายการแนวทแยงซึ่งง่ายกว่าการยกกำลังสำหรับAแทนมาก นี้สามารถใช้ในการคำนวณเมทริกซ์ชี้แจง อี , ความจำเป็นที่เกิดขึ้นบ่อยครั้งในการแก้สมการเชิงเส้นค่า , ลอการิทึมเมทริกซ์และรากที่สองของการฝึกอบรม [59]เพื่อหลีกเลี่ยงสถานการณ์ที่ไม่เป็นตัวเลขสามารถใช้อัลกอริทึมอื่น ๆ เช่นการสลายตัวของ Schurได้ [60]

แง่มุมเกี่ยวกับพีชคณิตเชิงนามธรรมและลักษณะทั่วไป

เมทริกซ์สามารถสรุปได้หลายวิธี พีชคณิตนามธรรมใช้เมทริกซ์กับรายการในฟิลด์ทั่วไปหรือแม้แต่วงแหวนในขณะที่พีชคณิตเชิงเส้นกำหนดคุณสมบัติของเมทริกซ์ในแนวคิดของแผนที่เชิงเส้น เป็นไปได้ที่จะพิจารณาเมทริกซ์ที่มีคอลัมน์และแถวมากมายไม่สิ้นสุด ส่วนขยายอีกตัวหนึ่งคือเทนเซอร์ซึ่งสามารถมองเห็นได้ว่าเป็นอาร์เรย์ของตัวเลขที่มีมิติสูงกว่าเมื่อเทียบกับเวกเตอร์ซึ่งมักจะรับรู้ได้ว่าเป็นลำดับของตัวเลขในขณะที่เมทริกซ์เป็นอาร์เรย์ของตัวเลขเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าหรือสองมิติ [61]เมทริกซ์ภายใต้ข้อกำหนดบางประการมักจะสร้างกลุ่มที่เรียกว่ากลุ่มเมทริกซ์ ในทำนองเดียวกันภายใต้เงื่อนไขบางเมทริกซ์รูปแบบแหวนที่รู้จักกันเป็นแหวนเมทริกซ์ แม้ว่าสินค้าของเมทริกซ์ไม่ได้อยู่ในการสับเปลี่ยนทั่วไปยังเมทริกซ์บางรูปแบบสาขาที่รู้จักกันเป็นเขตเมทริกซ์

เมทริกซ์ที่มีรายการทั่วไปมากขึ้น

บทความนี้มุ่งเน้นไปที่เมทริกซ์ที่มีรายการเป็นจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน อย่างไรก็ตามเมทริกซ์สามารถพิจารณาได้ด้วยรายการประเภททั่วไปมากกว่าจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน เป็นขั้นตอนแรกของการทั่วไปใด ๆฟิลด์ , นั่นคือชุดที่นอกจาก , การลบ , การคูณและหารการดำเนินงานจะมีการกำหนดและมีความประพฤติดีอาจจะนำมาใช้แทนRหรือCเช่นสรุปตัวเลขหรือฟิลด์ จำกัด ตัวอย่างเช่นทฤษฎีการเข้ารหัสใช้เมทริกซ์มากกว่าฟิลด์ จำกัด เมื่อใดก็ตามที่มีการพิจารณาค่าลักษณะเฉพาะเนื่องจากสิ่งเหล่านี้เป็นรากของพหุนามซึ่งอาจมีอยู่ในเขตข้อมูลที่ใหญ่กว่ารายการของเมทริกซ์เท่านั้น ตัวอย่างเช่นอาจมีความซับซ้อนในกรณีของเมทริกซ์ที่มีรายการจริง ความเป็นไปได้ในการตีความรายการของเมทริกซ์ใหม่เป็นองค์ประกอบของเขตข้อมูลขนาดใหญ่ (ตัวอย่างเช่นในการดูเมทริกซ์จริงเป็นเมทริกซ์ที่ซับซ้อนซึ่งรายการที่เกิดขึ้นเป็นของจริงทั้งหมด) จากนั้นช่วยให้การพิจารณาเมทริกซ์สี่เหลี่ยมแต่ละเมทริกซ์มีค่าลักษณะเฉพาะทั้งหมด อีกวิธีหนึ่งสามารถพิจารณาเฉพาะเมทริกซ์ที่มีรายการในฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิตเช่นCตั้งแต่เริ่มแรก

โดยทั่วไปเมทริกซ์ที่มีรายการในวงแหวน Rมักใช้กันอย่างแพร่หลายในคณิตศาสตร์ [62]วงแหวนเป็นแนวคิดทั่วไปมากกว่าเขตข้อมูลที่การดำเนินการแบ่งไม่จำเป็นต้องมีอยู่ การบวกและการคูณของเมทริกซ์ที่เหมือนกันมากจะขยายไปถึงการตั้งค่านี้ด้วย ชุด M ( n , R ) ของตารางn -by- nการฝึกอบรมมากกว่าRเป็นแหวนที่เรียกว่าแหวนเมทริกซ์ , isomorphic กับแหวน endomorphismซ้ายR - โมดูล R n [63]ถ้าแหวนRคือการสับเปลี่ยน , ที่อยู่, การคูณของมันคือการสลับที่แล้ว M ( n , R ) เป็นรวม noncommutative (ยกเว้นกรณีที่n = 1) สมาคมพีชคณิตมากกว่าR ปัจจัยของตารางการฝึกอบรมมากกว่าสับเปลี่ยนแหวนRยังสามารถกำหนดโดยใช้สูตรไลบ์นิซ ; เมทริกซ์ดังกล่าวจะกลับตัวไม่ได้ก็ต่อเมื่อดีเทอร์มิแนนต์ของมันไม่สามารถกลับด้านได้ในRโดยทั่วไปสถานการณ์บนฟิลด์Fโดยที่ทุกองค์ประกอบที่ไม่ใช่ศูนย์จะกลับตัวไม่ได้ [64]การฝึกอบรมมากกว่าsuperringsจะเรียกว่าsupermatrices [65]

เมทริกซ์ไม่ได้มีรายการทั้งหมดในวงแหวนเดียวกันเสมอไป - หรือแม้แต่ในวงแหวนใด ๆ เลย กรณีพิเศษ แต่ทั่วไปอย่างหนึ่งคือเมทริกซ์บล็อกซึ่งอาจถือได้ว่าเป็นเมทริกซ์ที่มีรายการเป็นเมทริกซ์ รายการที่ไม่จำเป็นต้องเป็นตารางการฝึกอบรมและทำให้ไม่จำเป็นต้องเป็นสมาชิกของใด ๆแหวน ; แต่ขนาดต้องเป็นไปตามเงื่อนไขความเข้ากันได้บางประการ

ความสัมพันธ์กับแผนที่เชิงเส้น

เชิงเส้นแผนที่R n → R เมตรเทียบเท่ากับม. -by- nการฝึกอบรมตามที่อธิบายไว้ข้างต้น โดยทั่วไปแผนที่เชิงเส้นใด ๆf : V → Wระหว่างช่องว่างเวกเตอร์มิติ จำกัดสามารถอธิบายได้ด้วยเมทริกซ์A = ( a ij ) หลังจากเลือกฐานv 1 , ... , v nของVและw 1 , .. , w mของW (ดังนั้นnคือมิติของVและmคือมิติของW ) ซึ่งก็เป็นเช่นนั้น

ฉ ( v ญ ) = ∑ ผม = 1 ม ก ผม , ญ ว ผม สำหรับ   ญ = 1 , … , n . {\ displaystyle f (\ mathbf {v} _ {j}) = \ sum _ {i = 1} ^ {m} a_ {i, j} \ mathbf {w} _ {i} \ qquad {\ mbox {สำหรับ }} \ j = 1, \ ldots, n.} {\displaystyle f(\mathbf {v} _{j})=\sum _{i=1}^{m}a_{i,j}\mathbf {w} _{i}\qquad {\mbox{for}}\ j=1,\ldots ,n.}

กล่าวอีกนัยหนึ่งคอลัมน์jของAแสดงภาพของv jในแง่ของเวกเตอร์พื้นฐานw iของW ; ทำให้ความสัมพันธ์นี้ไม่ซ้ำกันกำหนดรายการของเมทริกซ์ เมทริกซ์ขึ้นอยู่กับการเลือกฐาน: การเลือกฐานที่แตกต่างกันก่อให้เกิดเมทริกซ์ที่แตกต่างกัน แต่เท่ากัน [66]หลายคนคิดคอนกรีตข้างต้นสามารถตีความในแง่นี้เช่น transpose เมทริกซ์Tอธิบายtranspose ของแผนที่เชิงเส้นที่กำหนดโดย, ด้วยความเคารพในฐานคู่ [67]

คุณสมบัติเหล่านี้สามารถสร้างใหม่ได้อย่างเป็นธรรมชาติมากขึ้น: หมวดหมู่ของเมทริกซ์ทั้งหมดที่มีรายการในฟิลด์ k {\ displaystyle k} kด้วยการคูณเป็นองค์ประกอบจะเทียบเท่ากับหมวดหมู่ของช่องว่างเวกเตอร์มิติจำกัดและแผนที่เชิงเส้นบนฟิลด์นี้

โดยทั่วไปชุดของเมทริกซ์m × nสามารถใช้เพื่อแสดงแผนที่Rเชิงเส้นระหว่างโมดูลอิสระR mและR nสำหรับวงแหวนR ที่มีเอกภาพโดยพลการ เมื่อn  = เมตรองค์ประกอบของแผนที่เหล่านี้เป็นไปได้และนี้จะช่วยให้สูงขึ้นเพื่อแหวนเมทริกซ์ของn × nเมทริกซ์เป็นตัวแทนของแหวน endomorphismของR n 

กลุ่มเมทริกซ์

กลุ่มเป็นโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ซึ่งประกอบด้วยชุดของวัตถุร่วมกับการดำเนินการทวิภาค , ที่อยู่, การดำเนินการใด ๆ รวมสองวัตถุหนึ่งในสามภายใต้ความต้องการบางอย่าง [68]กลุ่มที่วัตถุที่มีการฝึกอบรมและการดำเนินงานกลุ่มคูณเมทริกซ์ที่เรียกว่ากลุ่มเมทริกซ์ [69] [70]ตั้งแต่กลุ่มทุกองค์ประกอบจะต้องกลับด้านส่วนใหญ่กลุ่มเมทริกซ์ทั่วไปคือกลุ่มของเมทริกซ์ผกผันได้ทุกขนาดที่กำหนดที่เรียกว่ากลุ่มเชิงเส้นทั่วไป

คุณสมบัติของเมทริกซ์ใด ๆ ที่เก็บรักษาไว้ภายใต้ผลิตภัณฑ์เมทริกซ์และการผกผันสามารถใช้เพื่อกำหนดกลุ่มเมทริกซ์เพิ่มเติมได้ ยกตัวอย่างเช่นการฝึกอบรมที่มีขนาดที่กำหนดและมีปัจจัยของ 1 แบบฟอร์มกลุ่มย่อยของ (นั่นคือเป็นกลุ่มเล็ก ๆ ที่มีอยู่ใน) ตรงกลุ่มของพวกเขาโดยทั่วไปเรียกว่าตรงกลุ่มพิเศษ [71] เมทริกซ์มุมฉากกำหนดโดยเงื่อนไข

เอ็มทีเอ็ม = ฉัน ,

รูปแบบorthogonal กลุ่ม [72]ทุกเมทริกซ์ที่ตั้งฉากกันมีดีเทอร์มิแนนต์ 1 หรือ −1 การฝึกอบรมเชิงตั้งฉากกับปัจจัยที่ 1 รูปแบบที่เรียกว่ากลุ่มย่อยพิเศษกลุ่ม orthogonal

ทุกกลุ่มแน่นอนคือisomorphicไปยังกลุ่มเมทริกซ์เป็นหนึ่งสามารถดูโดยพิจารณาจากการเป็นตัวแทนปกติของกลุ่มได้ส่วน [73]กลุ่มทั่วไปสามารถศึกษาการใช้กลุ่มเมทริกซ์ซึ่งมีความเข้าใจเปรียบเทียบดีโดยวิธีการของทฤษฎีการแสดง [74]

เมทริกซ์ไม่มีที่สิ้นสุด

นอกจากนี้ยังสามารถพิจารณาเมทริกซ์ที่มีแถวและ / หรือคอลัมน์มากมายไม่สิ้นสุด[75]แม้ว่าจะเป็นวัตถุที่ไม่มีที่สิ้นสุด แต่ก็ไม่สามารถเขียนเมทริกซ์ดังกล่าวได้อย่างชัดเจน สิ่งที่สำคัญคือสำหรับทุกองค์ประกอบในแถวการจัดทำดัชนีชุดและทุกองค์ประกอบในคอลัมน์การจัดทำดัชนีชุดจะมีรายการที่กำหนดไว้อย่างดี (ชุดดัชนีเหล่านี้ไม่จำเป็นต้องเป็นชุดย่อยของตัวเลขธรรมชาติด้วยซ้ำ) การดำเนินการพื้นฐานของการบวกการลบการคูณสเกลาร์และการเปลี่ยนตำแหน่งยังสามารถกำหนดได้โดยไม่มีปัญหา อย่างไรก็ตามการคูณเมทริกซ์อาจเกี่ยวข้องกับผลรวมที่ไม่มีที่สิ้นสุดเพื่อกำหนดรายการผลลัพธ์และสิ่งเหล่านี้ไม่ได้กำหนดไว้โดยทั่วไป

ถ้าRคือวงแหวนใด ๆ ที่มีเอกภาพดังนั้นจึงเป็นวงแหวนเอนโดมอร์ฟิสของ ม = ⨁ ผม ∈ ผม ร {\ displaystyle M = \ bigoplus _ {i \ in I} R} M=\bigoplus _{i\in I}Rในฐานะที่เป็นโมดูลRด้านขวาคือ isomorphic กับวงแหวนของเมทริกซ์ จำกัดของคอลัมน์ ค ฉ ม ผม ( ร ) {\ displaystyle \ mathbb {CFM} _ {I} (R)} \mathbb {CFM} _{I}(R) ซึ่งรายการถูกจัดทำดัชนีโดย ผม × ผม {\ displaystyle I \ times I} I\times Iและแต่ละคอลัมน์มีเฉพาะรายการที่ไม่ใช่ศูนย์จำนวนมากเท่านั้น endomorphisms ของMถือว่าเป็นโมดูลRด้านซ้ายส่งผลให้เกิดวัตถุที่คล้ายคลึงกันเมทริกซ์ จำกัด แถว ร ฉ ม ผม ( ร ) {\ displaystyle \ mathbb {RFM} _ {I} (R)} \mathbb {RFM} _{I}(R) ซึ่งแต่ละแถวมีเฉพาะรายการที่ไม่ใช่ศูนย์เท่านั้น

หากใช้เมทริกซ์แบบไม่มีที่สิ้นสุดเพื่ออธิบายแผนที่เชิงเส้นจะมีเพียงเมทริกซ์เหล่านั้นเท่านั้นที่สามารถใช้คอลัมน์ทั้งหมดที่มีคอลัมน์ แต่มีรายการที่ไม่ใช่ศูนย์จำนวน จำกัด ด้วยเหตุผลต่อไปนี้ สำหรับเมทริกซ์Aเพื่ออธิบายแผนที่เชิงเส้นf : V → Wต้องเลือกฐานสำหรับช่องว่างทั้งสอง จำไว้ว่าตามความหมายหมายความว่าเวกเตอร์ทุกตัวในช่องว่างสามารถเขียนได้โดยไม่ซ้ำกันเป็นการรวมเชิงเส้น (จำกัด ) ของเวกเตอร์พื้นฐานดังนั้นจึงเขียนเป็นเวกเตอร์ (คอลัมน์) vของสัมประสิทธิ์เฉพาะรายการจำนวนมากเท่านั้นv ฉันไม่ใช่ศูนย์ ตอนนี้คอลัมน์ของAอธิบายรูปภาพโดยfของเวกเตอร์พื้นฐานแต่ละตัวของVโดยใช้พื้นฐานของWซึ่งจะมีความหมายก็ต่อเมื่อคอลัมน์เหล่านี้มีเฉพาะรายการที่ไม่ใช่ศูนย์จำนวนมากเท่านั้น ไม่มีข้อ จำกัด สำหรับแถวของAอย่างไรก็ตามในผลิตภัณฑ์A · vมีสัมประสิทธิ์ที่ไม่ใช่ศูนย์ของv เท่านั้นที่เกี่ยวข้องดังนั้นทุกรายการแม้ว่าจะกำหนดให้เป็นผลรวมที่ไม่มีที่สิ้นสุดของผลิตภัณฑ์ แต่จะเกี่ยวข้องกับความละเอียดเท่านั้น คำศัพท์ที่ไม่ใช่ศูนย์จำนวนมากดังนั้นจึงมีการกำหนดไว้อย่างดี ยิ่งไปกว่านั้นจำนวนนี้จะก่อให้เกิดการรวมกันเชิงเส้นของคอลัมน์ของAซึ่งเกี่ยวข้องกับจำนวนที่แน่นอนเท่านั้นดังนั้นผลลัพธ์จึงมีเพียงรายการที่ไม่ใช่ศูนย์จำนวนมากเท่านั้นเนื่องจากแต่ละคอลัมน์เหล่านั้นทำ ผลิตภัณฑ์ของเมทริกซ์สองชนิดของประเภทที่กำหนดได้รับการกำหนดไว้อย่างดี (โดยมีเงื่อนไขว่าชุดดัชนีคอลัมน์และดัชนีแถวตรงกัน) เป็นประเภทเดียวกันและสอดคล้องกับองค์ประกอบของแผนที่เชิงเส้น 

ถ้าRเป็นวงแหวนที่กำหนดเงื่อนไขของความวิจิตรของแถวหรือคอลัมน์ก็จะผ่อนคลายลงได้ ด้วยบรรทัดฐานจึงสามารถใช้อนุกรมคอนเวอร์เจนต์แทนผลรวม จำกัด ได้ ตัวอย่างเช่นเมทริกซ์ที่มีผลรวมคอลัมน์เป็นลำดับที่มาบรรจบกันอย่างแน่นอนจะสร้างวงแหวน ในทำนองเดียวกันเมทริกซ์ที่มีผลรวมของแถวเป็นอนุกรมที่มาบรรจบกันอย่างแน่นอนยังรวมกันเป็นวงแหวน

เมทริกซ์ไม่มีที่สิ้นสุดยังสามารถใช้เพื่ออธิบายตัวดำเนินการบนช่องว่างของฮิลเบิร์ตซึ่งคำถามเกี่ยวกับการบรรจบกันและความต่อเนื่องจะเกิดขึ้นอีกครั้งซึ่งส่งผลให้เกิดข้อ จำกัด บางประการที่ต้องกำหนดอีกครั้ง อย่างไรก็ตามมุมมองที่ชัดเจนของเมทริกซ์มีแนวโน้มที่จะทำให้สสารสับสน[76]และเครื่องมือที่เป็นนามธรรมและมีประสิทธิภาพมากกว่าในการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันสามารถใช้แทนได้

เมทริกซ์ว่างเปล่า

เมทริกซ์ที่ว่างเปล่าเป็นเมทริกซ์ซึ่งในจำนวนของแถวหรือคอลัมน์ (หรือทั้งสอง) เป็นศูนย์ [77] [78]การฝึกอบรมที่ว่างเปล่าช่วยจัดการกับแผนที่ที่เกี่ยวข้องกับพื้นที่ศูนย์เวกเตอร์ ตัวอย่างเช่นถ้าAเป็นเมทริกซ์ 3 คูณ 0 และBเป็นเมทริกซ์ 0 คูณ3 ABคือเมทริกซ์ศูนย์ 3 คูณ 3 ที่สอดคล้องกับแผนที่ว่างจากช่องว่าง 3 มิติVถึงตัวมันเอง ในขณะที่BAเป็นเมทริกซ์ 0-by-0 ไม่มีสัญกรณ์ทั่วไปสำหรับเมทริกซ์ว่าง แต่ระบบพีชคณิตของคอมพิวเตอร์ส่วนใหญ่อนุญาตให้สร้างและคำนวณด้วย ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ 0 คูณ 0 คือ 1 ดังต่อไปนี้เกี่ยวกับผลิตภัณฑ์ว่างที่เกิดขึ้นในสูตรไลบ์นิซสำหรับดีเทอร์มิแนนต์เป็น 1 ค่านี้ยังสอดคล้องกับข้อเท็จจริงที่ว่าการแม็พเอกลักษณ์จากปริภูมิมิติ จำกัด ใด ๆ กับตัวมันเองมี ดีเทอร์มิแนนต์ 1 เป็นความจริงที่มักใช้เป็นส่วนหนึ่งของการกำหนดลักษณะของดีเทอร์มิแนนต์

แอพพลิเคชั่น

มีการประยุกต์ใช้เมทริกซ์มากมายทั้งในคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์อื่น ๆ บางคนใช้ประโยชน์จากการแสดงชุดตัวเลขในเมทริกซ์อย่างกะทัดรัด ยกตัวอย่างเช่นในทฤษฎีเกมและเศรษฐศาสตร์ที่เมทริกซ์ผลตอบแทน encodes ผลตอบแทนสำหรับผู้เล่นสองขึ้นอยู่กับที่ออกมาจากได้รับชุด ( จำกัด ) ของทางเลือกที่ผู้เล่นเลือก [79] การ ขุดข้อความและการรวบรวมอรรถาภิธานอัตโนมัติทำให้ใช้เมทริกซ์ระยะเอกสารเช่นtf-idfเพื่อติดตามความถี่ของคำบางคำในเอกสารหลายฉบับ [80]

จำนวนเชิงซ้อนสามารถแสดงโดยเมทริกซ์ 2 คูณ 2 จริงโดยเฉพาะ

ก + ผม ข ↔ [ ก - ข ข ก ] , {\ displaystyle a + ib \ leftrightarrow {\ begin {bmatrix} a & -b \\ b & a \ end {bmatrix}},} {\displaystyle a+ib\leftrightarrow {\begin{bmatrix}a&-b\\b&a\end{bmatrix}},}

ภายใต้การบวกและการคูณของจำนวนเชิงซ้อนและเมทริกซ์ซึ่งสอดคล้องกัน ตัวอย่างเช่นเมทริกซ์การหมุน 2 คูณ 2 แทนการคูณด้วยจำนวนเชิงซ้อนของค่าสัมบูรณ์ 1 ดังที่กล่าวมาข้างต้น การตีความที่คล้ายกันเป็นไปได้สำหรับquaternions [81]และClifford algebrasโดยทั่วไป

เทคนิคการเข้ารหัสในช่วงต้นเช่นHill cipherยังใช้เมทริกซ์ อย่างไรก็ตามเนื่องจากลักษณะเชิงเส้นของเมทริกซ์รหัสเหล่านี้จึงค่อนข้างแตกง่าย [82] คอมพิวเตอร์กราฟิกใช้เมทริกซ์ทั้งเพื่อเป็นตัวแทนของวัตถุและในการคำนวณการเปลี่ยนแปลงของวัตถุโดยใช้เมทริกซ์การหมุนแบบAffineเพื่อทำงานให้สำเร็จเช่นการฉายวัตถุสามมิติลงบนหน้าจอสองมิติซึ่งสอดคล้องกับการสังเกตด้วยกล้องทางทฤษฎี [83]การฝึกอบรมมากกว่าแหวนพหุนามที่มีความสำคัญในการศึกษาทฤษฎีการควบคุม

เคมีทำให้การใช้งานของการฝึกอบรมในรูปแบบต่างๆโดยเฉพาะอย่างยิ่งนับตั้งแต่การใช้งานของทฤษฎีควอนตัมเพื่อหารือเกี่ยวกับพันธะโมเลกุลและสเปกโทรสโก ตัวอย่าง ได้แก่เมทริกซ์ที่ทับซ้อนกันและเมทริกซ์ฟอคที่ใช้ในการแก้สมการรูทธาอานเพื่อให้ได้ออร์บิทัลระดับโมเลกุลของวิธีฮาร์ทรี -ฟอค

ทฤษฎีกราฟ

กราฟที่ไม่ได้บอกทิศทางพร้อมเมทริกซ์ adjacency:
[ 1 1 0 1 0 1 0 1 0 ] . {\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \ end {bmatrix}}}
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1&0\\1&0&1\\0&1&0\end{bmatrix}}.}

เมทริกซ์ถ้อยคำของกราฟ จำกัดเป็นความคิดพื้นฐานของทฤษฎีกราฟ [84]บันทึกว่าจุดยอดใดของกราฟเชื่อมต่อกันด้วยขอบ การฝึกอบรมที่มีเพียงสองค่าที่แตกต่างกัน (1 และ 0 หมายเช่น "ใช่" และ "ไม่" ตามลำดับ) จะเรียกว่าการฝึกอบรมเชิงตรรกะ ระยะทาง (หรือค่าใช้จ่าย) เมทริกซ์มีข้อมูลเกี่ยวกับระยะห่างของขอบ [85]แนวคิดเหล่านี้สามารถนำไปใช้กับเว็บไซต์ที่เชื่อมต่อด้วยไฮเปอร์ลิงก์หรือเมืองที่เชื่อมต่อกันด้วยถนนเป็นต้นซึ่งในกรณีนี้ (เว้นแต่เครือข่ายการเชื่อมต่อจะหนาแน่นมาก) เมทริกซ์มักจะเบาบางนั่นคือมีรายการที่ไม่ใช่ศูนย์เพียงไม่กี่รายการ ดังนั้นอัลกอริทึมเมทริกซ์ที่ปรับแต่งโดยเฉพาะจึงสามารถใช้ในทฤษฎีเครือข่ายได้

การวิเคราะห์และเรขาคณิต

เมทริกซ์รัฐของฟังก์ชั่นอนุพันธ์ ƒ : R n → Rประกอบด้วยสัญญาซื้อขายล่วงหน้าที่สองของƒเกี่ยวกับการประสานงานหลายทิศทาง, ที่อยู่, [86]

ซ ( ฉ ) = [ ∂ 2 ฉ ∂ x ผม ∂ x ญ ] . {\ displaystyle H (f) = \ left [{\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x_ {i} \, \ partial x_ {j}}} \ right]} H(f)=\left[{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}\right].
ที่ จุดอาน ( x  =  0, y  =  0) (สีแดง) ของฟังก์ชัน f ( x , - y ) = x 2 - y 2เมทริกซ์เฮสเซียน     [ 2 0 0 - 2 ] {\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -2 \ end {bmatrix}}} {\displaystyle {\begin{bmatrix}2&0\\0&-2\end{bmatrix}}}คือ ความไม่แน่นอน

มันเข้ารหัสข้อมูลเกี่ยวกับพฤติกรรมการเติบโตในท้องถิ่นของฟังก์ชัน: กำหนดจุดวิกฤต x  =  ( x 1 ,  ... , x n ) นั่นคือจุดที่อนุพันธ์ย่อยแรก  ∂ ฉ / ∂ x ผม {\ displaystyle \ partial f / \ partial x_ {i}} \partial f/\partial x_{i}ของƒหายไป, ฟังก์ชั่นมีขั้นต่ำในท้องถิ่นถ้าเมทริกซ์รัฐเป็นบวกแน่นอน การเขียนโปรแกรมกำลังสองสามารถใช้เพื่อค้นหา global minima หรือ maxima ของฟังก์ชันกำลังสองที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับฟังก์ชันที่แนบมากับเมทริกซ์ (ดูด้านบน ) [87]

เมทริกซ์อีกที่ใช้บ่อยในสถานการณ์ทางเรขาคณิตเป็นเมทริกซ์ Jacobiของแผนที่อนุพันธ์ฉ : R n → Rเมตร ถ้าf 1 , ... , f mแสดงถึงส่วนประกอบของfดังนั้นเมทริกซ์จาโคบีจะถูกกำหนดเป็น[88]

เจ ( ฉ ) = [ ∂ ฉ ผม ∂ x ญ ] 1 ≤ ผม ≤ ม , 1 ≤ ญ ≤ n . {\ displaystyle J (f) = \ left [{\ frac {\ partial f_ {i}} {\ partial x_ {j}}} \ right] _ {1 \ leq i \ leq m, 1 \ leq j \ leq n}.} J(f)=\left[{\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}\right]_{1\leq i\leq m,1\leq j\leq n}.

ถ้าn > เมตรและถ้าตำแหน่งของเมทริกซ์ Jacobi บรรลุค่าสูงสุดของม , ฉภายในกลับไปที่จุดนั้นโดยทฤษฎีบทฟังก์ชันโดยปริยาย [89]

สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยสามารถจำแนกได้โดยพิจารณาเมทริกซ์ของสัมประสิทธิ์ของตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ลำดับสูงสุดของสมการ สำหรับสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยรูปไข่เมทริกซ์นี้เป็นค่าสัมบูรณ์เชิงบวกซึ่งมีอิทธิพลชี้ขาดต่อชุดคำตอบที่เป็นไปได้ของสมการที่เป็นปัญหา [90]

วิธีไฟไนต์เอลิเมนต์เป็นวิธีเชิงตัวเลขที่สำคัญในการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยซึ่งใช้กันอย่างแพร่หลายในการจำลองระบบทางกายภาพที่ซับซ้อน มันพยายามประมาณคำตอบของสมการบางอย่างตามฟังก์ชันเชิงเส้นทีละชิ้นโดยที่ชิ้นส่วนจะถูกเลือกเกี่ยวกับกริดที่ละเอียดเพียงพอซึ่งจะสามารถสร้างใหม่เป็นสมการเมทริกซ์ได้ [91]

ทฤษฎีและสถิติความน่าจะเป็น

โซ่ Markov สองแบบที่แตกต่างกัน แผนภูมิแสดงจำนวนอนุภาค (จากทั้งหมด 1,000) ในสถานะ "2" ค่า จำกัด ทั้งสองสามารถกำหนดได้จากเมทริกซ์การเปลี่ยนแปลงซึ่งกำหนดโดย [ 0.7 0 0.3 1 ] {\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 0.7 & 0 \\ 0.3 & 1 \ end {bmatrix}}} {\displaystyle {\begin{bmatrix}0.7&0\\0.3&1\end{bmatrix}}} (สีแดง) และ [ 0.7 0.2 0.3 0.8 ] {\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 0.7 & 0.2 \\ 0.3 & 0.8 \ end {bmatrix}}} {\displaystyle {\begin{bmatrix}0.7&0.2\\0.3&0.8\end{bmatrix}}} (สีดำ).

เมทริกซ์สโตแคสติกคือเมทริกซ์กำลังสองที่มีแถวเป็นเวกเตอร์ความน่าจะเป็นนั่นคือรายการที่ไม่เป็นลบและรวมได้เป็นหนึ่ง เมทริกซ์ Stochastic ใช้เพื่อกำหนดกลุ่ม Markov ที่มีหลายสถานะอย่างแน่นอน [92]แถวของเมทริกซ์สุ่มให้การแจกแจงความน่าจะเป็นสำหรับตำแหน่งถัดไปของอนุภาคบางส่วนที่อยู่ในสถานะที่สอดคล้องกับแถว คุณสมบัติของสถานะการดูดซับที่มีลักษณะคล้ายลูกโซ่ของ Markov กล่าวคือระบุว่าอนุภาคใดก็ตามที่บรรลุในที่สุดสามารถอ่านค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์การเปลี่ยนแปลงได้ [93]

สถิติยังใช้เมทริกซ์ในรูปแบบต่างๆ [94] สถิติเชิงพรรณนาเกี่ยวข้องกับการอธิบายชุดข้อมูลซึ่งมักจะแสดงเป็นเมทริกซ์ข้อมูลซึ่งอาจต้องใช้เทคนิคการลดขนาด เมทริกซ์ความแปรปรวน encodes ร่วมกันแปรปรวนหลายตัวแปรสุ่ม [95]อีกเทคนิคหนึ่งที่ใช้เมทริกซ์คือกำลังสองเชิงเส้นน้อยที่สุดวิธีที่ประมาณเซตของคู่ จำกัด ( x 1 , y 1 ), ( x 2 , y 2 ), ... , ( x N , y N ) โดย ฟังก์ชันเชิงเส้น

y i ≈ ขวานi + b , i = 1, ... , N

ซึ่งสามารถกำหนดได้ในรูปของเมทริกซ์ที่เกี่ยวข้องกับการสลายตัวของค่าเอกพจน์ของเมทริกซ์ [96]

การฝึกอบรมสุ่มมีการฝึกอบรมที่มีรายการที่มีตัวเลขสุ่มขึ้นอยู่กับความเหมาะสมการแจกแจงความน่าจะเป็นเช่นเมทริกซ์กระจายปกติ ทฤษฎีความน่าจะเกินกว่าที่พวกเขาจะถูกนำไปใช้ในโดเมนตั้งแต่ทฤษฎีจำนวนเพื่อฟิสิกส์ [97] [98]

ความสมมาตรและการเปลี่ยนแปลงทางฟิสิกส์

การแปลงเชิงเส้นและสมมาตรที่เกี่ยวข้องมีบทบาทสำคัญในฟิสิกส์สมัยใหม่ ตัวอย่างเช่นอนุภาคมูลฐานในทฤษฎีสนามควอนตัมถูกจัดว่าเป็นตัวแทนของกลุ่มสัมพัทธภาพพิเศษลอเรนซ์และโดยเฉพาะอย่างยิ่งโดยพฤติกรรมของพวกมันภายใต้กลุ่มสปิน การแสดงที่เป็นรูปธรรมที่เกี่ยวข้องกับเมทริกซ์ Pauliและเมทริกซ์แกมมาทั่วไปเป็นส่วนสำคัญของคำอธิบายทางกายภาพของเฟอร์มิออนซึ่งมีพฤติกรรมเป็นสปินเนอร์ [99]สำหรับควาร์กที่เบาที่สุดสามตัวมีการแสดงกลุ่มตามทฤษฎีที่เกี่ยวข้องกับกลุ่มที่รวมกันพิเศษ SU (3); สำหรับการคำนวณของพวกเขานักฟิสิกส์ใช้แทนเมทริกซ์ที่สะดวกสบายที่รู้จักกันเป็นเมทริกซ์ Gell-Mannซึ่งจะใช้สำหรับการ SU (3) กลุ่มมาตรวัดที่เป็นพื้นฐานของคำอธิบายที่ทันสมัยของการมีปฏิสัมพันธ์นิวเคลียร์ที่แข็งแกร่งchromodynamics ควอนตัม Cabibbo-โคบายาชิ Maskawa เมทริกซ์ในที่สุดก็เป็นการแสดงออกถึงความจริงที่ว่ารัฐควาร์กขั้นพื้นฐานที่มีความสำคัญสำหรับการมีปฏิสัมพันธ์ที่อ่อนแอจะไม่เหมือนกันเป็น แต่ที่เกี่ยวข้องกับเส้นตรงไปยังรัฐควาร์กพื้นฐานที่กำหนดอนุภาคที่เฉพาะเจาะจงและแตกต่างมวลชน [100]

การรวมกันของสถานะควอนตัมเชิงเส้น

แบบจำลองแรกของกลศาสตร์ควอนตัม ( Heisenberg , 1925) เป็นตัวแทนของตัวดำเนินการของทฤษฎีโดยเมทริกซ์มิติที่ไม่มีที่สิ้นสุดที่ทำหน้าที่เกี่ยวกับสถานะควอนตัม [101]นี้จะยังเรียกว่ากลศาสตร์เมทริกซ์ ตัวอย่างหนึ่งโดยเฉพาะอย่างยิ่งเป็นเมทริกซ์ความหนาแน่นที่ลักษณะพิเศษ "ผสม" สถานะของระบบควอนตัมเป็นเชิงเส้นของการรวมกันประถม "บริสุทธิ์" eigenstates [102]

เมทริกซ์อีกตัวหนึ่งทำหน้าที่เป็นเครื่องมือสำคัญในการอธิบายการทดลองการกระจัดกระจายซึ่งเป็นรากฐานที่สำคัญของฟิสิกส์อนุภาคทดลอง: ปฏิกิริยาการชนกันเช่นเกิดขึ้นในเครื่องเร่งอนุภาคโดยที่อนุภาคที่ไม่มีปฏิสัมพันธ์จะเข้าหากันและชนกันในเขตปฏิสัมพันธ์ขนาดเล็ก ผลที่ได้คือชุดของอนุภาคที่ไม่เกิดปฏิกิริยาสามารถอธิบายได้ว่าเป็นผลคูณสเกลาร์ของสถานะอนุภาคขาออกและการรวมกันเชิงเส้นของสถานะอนุภาคเข้า การรวมเชิงเส้นกำหนดโดยเมทริกซ์ที่เรียกว่าS-matrixซึ่งเข้ารหัสข้อมูลทั้งหมดเกี่ยวกับปฏิสัมพันธ์ที่เป็นไปได้ระหว่างอนุภาค [103]

โหมดปกติ

การประยุกต์ใช้เมทริกซ์ทั่วไปในฟิสิกส์คือคำอธิบายของระบบฮาร์มอนิกคู่เชิงเส้น สมการการเคลื่อนที่ของระบบดังกล่าวสามารถอธิบายในรูปแบบเมทริกซ์ด้วยเมทริกซ์มวลคูณความเร็วทั่วไปที่จะให้ระยะการเคลื่อนไหวและมีผลบังคับใช้เมทริกซ์การคูณเวกเตอร์การเคลื่อนที่ลักษณะปฏิสัมพันธ์ วิธีที่ดีที่สุดในการหาวิธีแก้ปัญหาคือการหาค่าeigenvectorsของระบบซึ่งเป็นโหมดปกติโดยการกำหนดเส้นทแยงมุมของสมการเมทริกซ์ เทคนิคเช่นนี้มีความสำคัญเมื่อพูดถึงพลวัตภายในของโมเลกุล : การสั่นสะเทือนภายในของระบบที่ประกอบด้วยอะตอมขององค์ประกอบที่เชื่อมโยงกัน [104]นอกจากนี้ยังจำเป็นสำหรับการอธิบายการสั่นสะเทือนทางกลและการสั่นในวงจรไฟฟ้า [105]

ทัศนศาสตร์เชิงเรขาคณิต

ทัศนศาสตร์เชิงเรขาคณิตให้การใช้งานเมทริกซ์เพิ่มเติม ในทฤษฎีประมาณนี้ธรรมชาติของคลื่นของแสงจะถูกละเลย ผลที่ได้คือรูปแบบในการที่รังสีแสงแน่นอนรังสีเรขาคณิต หากการเบี่ยงเบนของรังสีแสงโดยองค์ประกอบออปติคอลมีขนาดเล็กการกระทำของเลนส์หรือองค์ประกอบสะท้อนแสงบนรังสีแสงที่กำหนดสามารถแสดงเป็นการคูณของเวกเตอร์สององค์ประกอบด้วยเมทริกซ์สองต่อสองที่เรียกว่าการวิเคราะห์เมทริกซ์การถ่ายโอนเรย์ : ส่วนประกอบของเวกเตอร์คือความลาดชันของแสงและระยะห่างจากแกนแสงในขณะที่เมทริกซ์เข้ารหัสคุณสมบัติขององค์ประกอบแสง จริงๆแล้วเมทริกซ์มีสองประเภท ได้แก่ เมทริกซ์หักเหอธิบายการหักเหที่ผิวเลนส์และเมทริกซ์แปลอธิบายการแปลของเครื่องบินของการอ้างอิงไปยังพื้นผิวหักเหต่อไปที่หักเหเมทริกซ์อื่นนำไปใช้ ระบบออพติคอลซึ่งประกอบด้วยการรวมกันของเลนส์และ / หรือองค์ประกอบสะท้อนแสงนั้นอธิบายง่ายๆโดยเมทริกซ์ที่เกิดจากผลคูณของเมทริกซ์ของส่วนประกอบ [106]

อิเล็กทรอนิกส์

การวิเคราะห์ตาข่ายแบบดั้งเดิมและการวิเคราะห์ปมในอุปกรณ์อิเล็กทรอนิกส์นำไปสู่ระบบสมการเชิงเส้นที่สามารถอธิบายได้ด้วยเมทริกซ์

พฤติกรรมของชิ้นส่วนอิเล็กทรอนิกส์จำนวนมากสามารถอธิบายได้โดยใช้เมทริกซ์ ให้Aเป็นเวกเตอร์ 2 มิติโดยมีแรงดันไฟฟ้าอินพุตของส่วนประกอบv 1และกระแสอินพุตi 1เป็นองค์ประกอบและให้Bเป็นเวกเตอร์ 2 มิติโดยมีแรงดันเอาต์พุตของส่วนประกอบv 2และกระแสเอาต์พุตi 2เป็นองค์ประกอบ จากนั้นสามารถอธิบายพฤติกรรมของชิ้นส่วนอิเล็กทรอนิกส์ได้โดยB = H · Aโดยที่Hคือเมทริกซ์ 2 x 2 ที่มีองค์ประกอบอิมพีแดนซ์หนึ่งตัว ( h 12 ) หนึ่งองค์ประกอบอนุญาติ ( h 21 ) และสององค์ประกอบไร้มิติ ( h 11และชั่วโมง22 ) การคำนวณวงจรจะลดการคูณเมทริกซ์

ประวัติศาสตร์

เมทริกซ์มีประวัติอันยาวนานของการประยุกต์ใช้ในการแก้สมการเชิงเส้นแต่รู้จักกันในชื่ออาร์เรย์จนถึงปี ค.ศ. 1800 ข้อความภาษาจีน บท Nine ในคณิตศาสตร์ Artเขียนในวันที่ 10 ที่ 2 คริสตศักราชศตวรรษที่เป็นตัวอย่างแรกของการใช้วิธีการอาร์เรย์ในการแก้สมการพร้อมกัน , [107]รวมทั้งแนวคิดของปัจจัย ใน 1545 นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาเลียนGerolamo Cardanoนำวิธีการไปยุโรปเมื่อเขาตีพิมพ์Ars Magna [108]ญี่ปุ่นคณิตศาสตร์ Sekiใช้วิธีการอาร์เรย์เดียวกันการแก้สมการพร้อมกันใน 1683 [109]ดัตช์คณิตศาสตร์แจนเดอวิตต์เป็นตัวแทนของการแปลงใช้อาร์เรย์ในหนังสือของเขาที่ 1659 องค์ประกอบของเส้นโค้ง (1659) [110]ระหว่างปี 1700 ถึงปี 1710 Gottfried Wilhelm Leibniz ได้เผยแพร่การใช้อาร์เรย์สำหรับบันทึกข้อมูลหรือโซลูชันและทดลองกับระบบอาร์เรย์ที่แตกต่างกันกว่า 50 ระบบ [108] Cramerนำเสนอการปกครองของเขาในปี 1750

คำว่า "แมทริกซ์" (ภาษาละตินสำหรับ "มดลูก" มาจากเยื่อ -mother [111] ) ได้รับการประกาศเกียรติคุณจากเจมส์โจเซฟซิลเวสในปี ค.ศ. 1850 [112]ที่เข้าใจเมทริกซ์เป็นวัตถุให้สูงขึ้นไปหลายปัจจัยที่ปัจจุบันเรียกว่าต์ผู้เยาว์ที่ กล่าวคือดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ขนาดเล็กที่ได้มาจากค่าเดิมโดยการลบคอลัมน์และแถวออก ในกระดาษปี 1851 ซิลเวสเตอร์อธิบายว่า:

ฉันมีในเอกสารก่อนหน้านี้กำหนด "เมทริกซ์" เป็นอาร์เรย์ของคำศัพท์รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าซึ่งระบบต่างๆของดีเทอร์มิแนนต์อาจถูกสร้างขึ้นจากครรภ์ของผู้ปกครองทั่วไป [113]

Arthur Cayleyตีพิมพ์บทความเกี่ยวกับการแปลงทางเรขาคณิตโดยใช้เมทริกซ์ที่ไม่ได้มีการตรวจสอบค่าสัมประสิทธิ์แบบหมุนเวียนตามที่เคยทำมาก่อนหน้านี้ แต่เขาได้กำหนดการดำเนินการเช่นการบวกการลบการคูณและการหารเป็นการแปลงของเมทริกซ์เหล่านั้นและแสดงให้เห็นว่าคุณสมบัติการเชื่อมโยงและการกระจายเป็นจริง เคย์ลีย์ได้ตรวจสอบและแสดงคุณสมบัติที่ไม่สับเปลี่ยนของการคูณเมทริกซ์ตลอดจนคุณสมบัติการสับเปลี่ยนของการบวกเมทริกซ์ [108]ทฤษฎีเมทริกซ์ในยุคแรก จำกัด การใช้อาร์เรย์เกือบเฉพาะกับดีเทอร์มิแนนต์และการดำเนินการเมทริกซ์นามธรรมของอาร์เธอร์เคย์ลีย์เป็นการปฏิวัติ เขาเป็นเครื่องมือในการเสนอแนวคิดเมทริกซ์โดยไม่ขึ้นกับระบบสมการ ในปี 1858 เคย์ลีตีพิมพ์ไดอารี่ในทฤษฎีของการฝึกอบรม[114] [115]ในการที่เขาเสนอและแสดงให้เห็นถึงเคย์ลีทฤษฎีบทแฮมิลตัน [108]

ภาษาอังกฤษเป็นภาษาคณิตศาสตร์ชื่อ Cullis เป็นครั้งแรกที่จะใช้สัญกรณ์วงเล็บที่ทันสมัยสำหรับการฝึกอบรมในปี 1913 และเขาพร้อมกันแสดงให้เห็นถึงการใช้งานอย่างมีนัยสำคัญครั้งแรกของสัญกรณ์= [ ฉัน , J ] เพื่อเป็นตัวแทนของเมทริกซ์ที่ฉัน , เจหมายถึงฉัน TH แถวและคอลัมน์j [108]

การศึกษาดีเทอร์มิแนนต์สมัยใหม่เกิดขึ้นจากหลายแหล่ง [116] จำนวนทฤษฎีปัญหานำเกาส์ที่จะเกี่ยวข้องกับค่าสัมประสิทธิ์ของสมแบบฟอร์ม , ที่อยู่, การแสดงออกเช่นx 2 + XY - 2 ปี2 ,และแผนที่เชิงเส้นในสามมิติในการฝึกอบรม Eisensteinพัฒนาความคิดเหล่านี้รวมทั้งคำพูดที่ว่าในสำนวนที่ทันสมัย, ผลิตภัณฑ์แมทริกซ์เป็นที่ไม่ใช่การสับเปลี่ยน Cauchyเป็นครั้งแรกที่จะพิสูจน์งบทั่วไปเกี่ยวกับปัจจัยที่ใช้เป็นคำนิยามของปัจจัยของเมทริกซ์= [ ฉัน , J ] ต่อไปนี้: แทนที่อำนาจเจkโดยJKในพหุนาม

ก 1 ก 2 ⋯ ก n ∏ ผม < ญ ( ก ญ - ก ผม ) {\ displaystyle a_ {1} a_ {2} \ cdots a_ {n} \ prod _ {i a_{1}a_{2}\cdots a_{n}\prod _{i<j}(a_{j}-a_{i})\;,

โดยที่Πหมายถึงผลคูณของเงื่อนไขที่ระบุ นอกจากนี้เขายังแสดงให้เห็นในปี 1829 ว่าค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์สมมาตรเป็นของจริง [117] จาโคบีศึกษา "ดีเทอร์มิแนนต์เชิงฟังก์ชัน" ซึ่งต่อมาเรียกว่าจาโคบีดีเทอร์มิแนนต์โดยซิลเวสเตอร์ซึ่งสามารถใช้อธิบายการเปลี่ยนแปลงทางเรขาคณิตในระดับท้องถิ่น (หรือน้อยที่สุด ) ดูด้านบน ; Kronecker 's Vorlesungen überตาย Theorie der Determinanten [118]และWeierstrass' Zur Determinantentheorie , [119]ทั้งที่ตีพิมพ์ในปี 1903 ปัจจัยที่ได้รับการรักษาครั้งแรกaxiomaticallyเมื่อเทียบกับก่อนหน้านี้เป็นรูปธรรมมากขึ้นวิธีการเช่นสูตรที่กล่าวถึงของ Cauchy เมื่อถึงจุดนั้นดีเทอร์มิแนนต์ถูกกำหนดไว้อย่างมั่นคง

ทฤษฎีจำนวนมากถูกกำหนดขึ้นครั้งแรกสำหรับเมทริกซ์ขนาดเล็กเท่านั้นตัวอย่างเช่นทฤษฎีบทของเคย์ลีย์ - แฮมิลตันได้รับการพิสูจน์สำหรับเมทริกซ์ 2 × 2 โดยเคย์ลีย์ในบันทึกความทรงจำดังกล่าวข้างต้นและโดยแฮมิลตันสำหรับเมทริกซ์ 4 × 4 Frobeniusทำงานเกี่ยวกับรูปแบบทวิภาคีทำให้ทฤษฎีมีความครอบคลุมในทุกมิติ (พ.ศ. 2441) นอกจากนี้ในตอนท้ายของศตวรรษที่ 19 ที่เกาส์จอร์แดนกำจัด (generalizing เป็นกรณีพิเศษนี้เป็นที่รู้จักGauss กำจัด ) ก่อตั้งขึ้นโดยจอร์แดน ในช่วงต้นศตวรรษที่ 20 เมทริกซ์มีบทบาทสำคัญในพีชคณิตเชิงเส้น[120]บางส่วนเนื่องจากใช้ในการจำแนกระบบตัวเลขไฮเปอร์คอมเพล็กซ์ของศตวรรษก่อน

การเริ่มต้นของกลศาสตร์เมทริกซ์โดยHeisenberg , Born and Jordanนำไปสู่การศึกษาเมทริกซ์ที่มีแถวและคอลัมน์มากมายอย่างไม่สิ้นสุด [121]ต่อมาvon Neumannดำเนินสูตรทางคณิตศาสตร์ของกลศาสตร์ควอนตัโดยต่อการพัฒนาการวิเคราะห์การทำงานความคิดเช่นผู้ประกอบการเชิงเส้นในช่องว่าง Hilbertซึ่งมากประมาณพูดสอดคล้องกับพื้นที่ Euclideanแต่กับอินฟินิตี้ของทิศทางที่เป็นอิสระ

การใช้งานทางประวัติศาสตร์อื่น ๆ ของคำว่า "เมทริกซ์" ในคณิตศาสตร์

คำนี้ถูกใช้ในรูปแบบที่ผิดปกติโดยผู้เขียนอย่างน้อยสองคนที่มีความสำคัญทางประวัติศาสตร์

Bertrand RussellและAlfred North WhiteheadในPrincipia Mathematica (1910–1913) ใช้คำว่า "matrix" ในบริบทของสัจพจน์ของความสามารถในการลดลง พวกเขาเสนอสัจพจน์นี้เป็นวิธีการลดฟังก์ชันใด ๆ ให้เป็นหนึ่งในประเภทที่ต่ำกว่าอย่างต่อเนื่องดังนั้นที่ "ด้านล่าง" (ลำดับ 0) ฟังก์ชันจะเหมือนกับส่วนขยาย :

"ให้เราตั้งชื่อ เมทริกซ์ให้กับฟังก์ชันใด ๆ ไม่ว่าจะเป็นตัวแปรจำนวนมากก็ตามที่ไม่เกี่ยวข้องกับตัวแปรที่ชัดเจนใด ๆ จากนั้นฟังก์ชันที่เป็นไปได้อื่น ๆ นอกเหนือจากเมทริกซ์จะเกิดจากเมทริกซ์โดยวิธีการวางนัยกล่าวคือโดยพิจารณาจากประพจน์ ว่าฟังก์ชันที่เป็นปัญหาเป็นจริงกับค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดหรือด้วยค่าบางส่วนของอาร์กิวเมนต์ใดอาร์กิวเมนต์หรืออาร์กิวเมนต์อื่นที่ยังไม่กำหนด " [122]

ตัวอย่างเช่นฟังก์ชันΦ ( x, y ) ของสองตัวแปรxและyสามารถลดลงเป็นชุดของฟังก์ชันของตัวแปรเดียวตัวอย่างเช่นyโดย "พิจารณา" ฟังก์ชันสำหรับค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ "บุคคล" a ฉันแทนในสถานที่ของตัวแปรx จากนั้นผลการรวบรวมฟังก์ชันของตัวแปรเดียวyนั่นคือ∀a i : Φ ( a i , y ) สามารถลดลงเป็น "เมทริกซ์" ของค่าโดย "พิจารณา" ฟังก์ชันสำหรับค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ " บุคคล " b iแทนที่แทนตัวแปรy :

∀b j ∀a i : Φ ( a i , b j )

Alfred Tarskiในปีพ. ศ. 2489 Introduction to Logicใช้คำว่า "matrix" พ้องกับความคิดของตารางความจริงที่ใช้ในตรรกะทางคณิตศาสตร์ [123]

ดูสิ่งนี้ด้วย

  • iconพอร์ทัลคณิตศาสตร์
  • รายชื่อเมทริกซ์ที่มีชื่อ
  • การคูณพีชคณิต  - ความหลายหลากของค่าลักษณะเฉพาะเป็นรากของพหุนามลักษณะเฉพาะ
  • ความหลายหลากทางเรขาคณิต  - ขนาดของสเปซที่สัมพันธ์กับค่าลักษณะเฉพาะ
  • กระบวนการ Gram – Schmidt  - วิธีการสำหรับ orthon normalizing ชุดของเวกเตอร์
  • เมทริกซ์ไม่สม่ำเสมอ
  • แคลคูลัสเมทริกซ์  - สัญกรณ์เฉพาะสำหรับแคลคูลัสหลายตัวแปร
  • ฟังก์ชันเมทริกซ์
  • อัลกอริทึมการคูณเมทริกซ์
  • Tensor - การสรุปทั่วไปของเมทริกซ์ที่มีดัชนีจำนวนเท่าใดก็ได้

หมายเหตุ

  1. ^ แอนตัน (1987 , น. 23)
  2. ^ Beauregard & Fraleigh (1973 , น. 56)
  3. ^ ขค "รายการที่ครอบคลุมของสัญลักษณ์พีชคณิต" คณิตศาสตร์ห้องนิรภัย 2020-03-25 . สืบค้นเมื่อ2020-08-19 .
  4. ^ หนุ่มซินเทีย Precalculus ลอรีอัลโรซาโทน. น. 727.
  5. ^ "เมทริกซ์" . www.mathsisfun.com . สืบค้นเมื่อ2020-08-19 .
  6. ^ ก ข "เมทริกซ์ | คณิตศาสตร์" . สารานุกรมบริแทนนิกา. สืบค้นเมื่อ2020-08-19 .
  7. ^ เคไบรอันและ T. Leise eigenvector มูลค่า $ 25,000,000,000: พีชคณิตเชิงเส้นที่อยู่เบื้องหลัง Google SIAM Review, 48 (3): 569–581, 2549.
  8. ^ หรั่ง  2545
  9. ^ Fraleigh (1976 , น. 209)
  10. ^ Nering (1970 , น. 37)
  11. ^ ก ข Weisstein, Eric W. "Matrix" . mathworld.wolfram.com . สืบค้นเมื่อ2020-08-19 .
  12. ^ Oualline  2003 , Ch. 5
  13. ^ "วิธีการจัดระเบียบและเพิ่มคูณเมทริกซ์ - บิล Shillito" TED ED . สืบค้นเมื่อ6 เมษายน 2556 .
  14. ^ Brown  1991 , นิยาม I.2.1 (การบวก), นิยาม I.2.4 (การคูณสเกลาร์) และนิยาม I.2.33 (ทรานสโพส)
  15. ^ บราวน์  1991 , ทฤษฎีบท I.2.6
  16. ^ ก ข "วิธีการคูณเมทริกซ์" . www.mathsisfun.com . สืบค้นเมื่อ2020-08-19 .
  17. ^ Brown  1991คำจำกัดความ I.2.20
  18. ^ บราวน์  1991 , ทฤษฎีบท I.2.24
  19. ^ ฮอร์นและจอห์นสัน  1985 , Ch 4 และ 5
  20. ^ บรอนสัน (1970 , น. 16)
  21. ^ Kreyszig (1972 , น. 220)
  22. ^ a b Protter & Morrey (1970 , p.869)ข้อผิดพลาด harvtxt: ไม่มีเป้าหมาย: CITEREFProtterMorrey1970 ( ความช่วยเหลือ )
  23. ^ Kreyszig (1972 , PP. 241244)
  24. ^ ชไนเดอร์ฮันส์; Barker, George Phillip (2012), Matrices and Linear Algebra , Dover Books on Mathematics, Courier Dover Corporation, p. 251, ISBN 978-0-486-13930-2.
  25. ^ Perlis, Sam (1991), Theory of Matrices , Dover หนังสือเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ขั้นสูง, Courier Dover Corporation, p. 103, ISBN 978-0-486-66810-9.
  26. ^ Anton, Howard (2010), Elementary Linear Algebra (10th ed.), John Wiley & Sons, p. 414, ISBN 978-0-470-45821-1.
  27. ^ ฮอร์นโรเจอร์เอ; Johnson, Charles R. (2012), การวิเคราะห์เมทริกซ์ (2nd ed.), Cambridge University Press, p. 17, ISBN 978-0-521-83940-2.
  28. ^ Brown  1991 , I.2.21 และ 22
  29. ^ Greub  1975 , Section III.2
  30. ^ บราวน์  1991 , II.3.3 นิยาม
  31. ^ Greub  1975 , Section III.1
  32. ^ บราวน์  1991 , ทฤษฎีบท II.3.22
  33. ^ ฮอร์นและจอห์นสัน  1985 , ทฤษฎีบท 2.5.6
  34. ^ Brown  1991คำจำกัดความ I.2.28
  35. ^ Brown  1991คำจำกัดความ I.5.13
  36. ^ ฮอร์นและจอห์นสัน  1985 , บทที่ 7
  37. ^ ฮอร์นและจอห์นสัน  1985 , ทฤษฎีบท 7.2.1
  38. ^ ฮอร์นและจอห์นสัน  1,985ตัวอย่าง 4.0.6 พี 169
  39. ^ Brown  1991คำจำกัดความ III.2.1
  40. ^ บราวน์  1991 , ทฤษฎีบท III.2.12
  41. ^ บราวน์  1991 , ควันหลง III.2.16
  42. ^ Mirsky  1990 , ทฤษฎีบท 1.4.1
  43. ^ บราวน์  1991 , ทฤษฎีบท III.3.18
  44. ^ Eigenหมายถึง "ตัวเอง" ในเยอรมันและชาวดัตช์
  45. ^ บราวน์  1991 , III.4.1 นิยาม
  46. ^ บราวน์  1991 , III.4.9 นิยาม
  47. ^ บราวน์  1991 , ควันหลง III.4.10
  48. ^ ผู้ ครอง เรือน 2518ช. 7
  49. ^ Bau III และ Trefethen  1997
  50. ^ Golub & Van Loan  1996อัลกอริทึม 1.3.1
  51. ^ Golub & Van Loan  1996บทที่ 9 และ 10 โดยเฉพาะ ส่วน 10.2
  52. ^ Golub & Van Loan  1996บทที่ 2.3
  53. ^ Grcar, Joseph F. (2011-01-01). "จอห์นฟอนนอยมันน์วิเคราะห์ Gaussian กำจัดและต้นกำเนิดของโมเดิร์นการวิเคราะห์เชิงตัวเลขว่า" สยามรีวิว . 53 (4): 607–682 ดอย : 10.1137 / 080734716 . ISSN  0036-1445
  54. ^ ตัวอย่างเช่น Mathematicaดู Wolfram  2003 , Ch. 3.7
  55. ^ Press, Flannery & Teukolsky  1992
  56. ^ Stoer & Bulirsch  2002ตอนที่ 4.1
  57. ^ ฮอร์นและจอห์นสัน  1985 , ทฤษฎีบท 2.5.4
  58. ^ ฮอร์นและจอห์นสัน  1985 , Ch 3.1, 3.2
  59. ^ อาร์โนล & Cooke  1992มาตรา 14.5, 7, 8
  60. ^ Bronson  1989 , Ch 15
  61. ^ เบิร์น  1955 , Ch วี
  62. ^ Lang  2002 , บทที่สิบสาม
  63. ^ Lang  2002 , XVII.1, p. 643
  64. ^ Lang  2002 , Proposition XIII.4.16
  65. ^ Reichl  2004ส่วน L.2
  66. ^ Greub  1975 , Section III.3
  67. ^ Greub  1975มาตรา III.3.13
  68. ^ ดูข้อมูลอ้างอิงมาตรฐานในกลุ่ม
  69. ^ นอกจากนี้ต้องปิดกลุ่มในกลุ่มเชิงเส้นทั่วไป
  70. ^ Baker  2003 , Def. 1.30
  71. B Baker  2003 , ทฤษฎีบท 1.2
  72. ^ Artin  1991บทที่ 4.5
  73. ^ Rowen  2008ตัวอย่าง 19.2 หน้า 198
  74. ^ ดูอ้างอิงใด ๆ ในทฤษฎีแทนหรือตัวแทนกลุ่ม
  75. ^ ดูรายการ "Matrix" ในItõ, ed. พ.ศ. 2530
  76. ^ "ทฤษฎีเมทริกซ์ไม่มากนักที่นำไปสู่ช่องว่างมิติที่ไม่มีที่สิ้นสุดและสิ่งที่ไม่มีประโยชน์ แต่ก็ช่วยได้ในบางครั้ง" Halmos  1982หน้า 23 บทที่ 5
  77. ^ "เมทริกซ์ว่างเปล่า: เมทริกซ์ว่างเปล่าถ้ามิติของแถวหรือคอลัมน์เป็นศูนย์"อภิธานศัพท์ที่ เก็บถาวร 2009-04-29 ที่ Wayback Machineคู่มือผู้ใช้ O-Matrix v6
  78. ^ "เมทริกซ์ที่มีมิติอย่างน้อยหนึ่งมิติเท่ากับศูนย์เรียกว่าเมทริกซ์ว่าง"โครงสร้างข้อมูล MATLAB ที่จัด เก็บในปี 2009-12-28 ที่ Wayback Machine
  79. ^ Fudenberg & Tirole  1983มาตรา 1.1.1
  80. ^ Manning  1999ตอนที่ 15.3.4
  81. ^ วอร์ด  1997 , Ch 2.8
  82. ^ สติน  2005 , Ch 1.1.5 และ 1.2.4
  83. ^ Association for Computing Machinery  1979 , Ch. 7
  84. ^ Godsil & Royle  2004 , Ch. 8.1
  85. ^ ปุ ณ เณ ศ 2545
  86. ^ Lang  1987aช. XVI 6
  87. ^ Nocedal  2006 , Ch 16
  88. ^ Lang  1987aช. XVI 1
  89. ^ Lang  1987aช. XVI 5. สำหรับข้อความขั้นสูงและทั่วไปมากขึ้นโปรดดู Lang  1969 , Ch. VI.2
  90. ^ Gilbarg & Trudinger  2001
  91. ^ Šolin  2005 , Ch. 2.5. ดูวิธีการทำให้แข็งด้วย
  92. ^ Latouche & Ramaswami  2542
  93. ^ Mehata & Srinivasan  1978 , Ch. 2.8
  94. ^ Healy, Michael (1986), Matrices for Statistics , Oxford University Press , ISBN 978-0-19-850702-4
  95. ^ Krzanowski  1988 , Ch 2.2., น. 60
  96. ^ Krzanowski  1988 , Ch 4.1
  97. ^ Conrey  2007
  98. ^ Zabrodin, Brezin & Kazakov และคณะ พ.ศ. 2549
  99. ^ Itzykson & Zuber  1980 , Ch 2
  100. ^ ดู Burgess & Moore  2007ส่วน 1.6.3 (SU (3)) ส่วน 2.4.3.2 (เมทริกซ์ Kobayashi – Maskawa)
  101. ^ ชิฟฟ์  1968 , Ch 6
  102. ^ Bohm  2001ส่วน II.4 และ II.8
  103. ^ Weinberg  1995 , Ch 3
  104. ^ Wherrett  1987ส่วนครั้งที่สอง
  105. ^ ไรลีย์ Hobson & Bence  1997 , 7.17
  106. ^ กุนเธอร์  1990 , Ch 5
  107. ^ เชน Crossley & Lun  1999โดยอ้าง Bretscher  2005พี 1
  108. ^ a b c d e คณิตศาสตร์ไม่ต่อเนื่อง 4 เอ็ด Dossey, Otto, Spense, Vanden Eynden, เผยแพร่โดย Addison Wesley, 10 ตุลาคม 2544 ISBN  978-0-321-07912-1 , น. 564-565
  109. ^ นีดแฮมโจเซฟ ; หวังหลิง (2502). วิทยาศาสตร์และอารยธรรมในประเทศจีน . III . Cambridge: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ น. 117. ISBN 978-0-521-05801-8.
  110. ^ คณิตศาสตร์ไม่ต่อเนื่อง 4 เอ็ด Dossey, Otto, Spense, Vanden Eynden, เผยแพร่โดย Addison Wesley, 10 ตุลาคม 2544 ISBN  978-0-321-07912-1 , น. 564
  111. ^ Merriam-Webster dictionary , Merriam-Webster , สืบค้นเมื่อ 20 เมษายน 2552
  112. ^ แม้ว่ารัฐหลายแหล่งที่ JJ ซิลเวสประกาศเกียรติคุณคณิตศาสตร์คำว่า "แมทริกซ์" ในปี 1848, ซิลเวสตีพิมพ์อะไรในปี 1848 (สำหรับหลักฐานว่าซิลเวสที่ตีพิมพ์ในปี 1848 ไม่มีอะไรดู: เจเจซิลเวสกับ HF เบเกอร์เอ็ด.ที่เก็บรวบรวมเอกสารของทางคณิตศาสตร์ เจมส์โจเซฟซิลเวสเตอร์ (เคมบริดจ์, อังกฤษ: Cambridge University Press, 1904), vol. 1 ) การใช้คำว่า "เมทริกซ์" ครั้งแรกสุดของเขาเกิดขึ้นในปี 1850 ใน JJ Sylvester (1850) "การเพิ่มเติมในบทความในวารสารฉบับเดือนกันยายนนี้ , "ในชั้นเรียนใหม่ของทฤษฎีบท" และในทฤษฎีบทของปาสคาล, "นิตยสารและวารสารทางปรัชญาของลอนดอนเอดินบะระและดับลิน , 37 : 363-370 จากหน้า 369 : "เพื่อจุดประสงค์นี้เราต้องเริ่มต้นไม่ใช่ด้วยรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส แต่มีการจัดเรียงคำเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าซึ่งประกอบด้วยเส้น m และ n คอลัมน์สิ่งนี้ไม่ได้แสดงถึงดีเทอร์มิแนนต์ในตัวเอง แต่เป็นตามที่มัน เป็นเมทริกซ์ที่เราอาจสร้างระบบต่างๆของดีเทอร์มิแนนต์ ... "
  113. ^ The Collected Mathematical Papers of James Joseph Sylvester: 1837–1853, Paper 37 , p. 247
  114. ^ ฟิลทรานส์ 1858, vol.148, pp.17-37 Math. เอกสาร II 475-496
  115. ^ Dieudonné, ed. 1978ฉบับ 1, ช. III, หน้า 96
  116. ^ Knobloch  1994
  117. ^ ฮอว์กิน  1975
  118. ^ โครเนค เกอร์ พ.ศ. 2440
  119. ^ Weierstrass  1915 , PP. 271-286
  120. ^ Bôcher  2004
  121. ^ Mehra & Rechenberg  1987
  122. ^ ไวท์เฮดอัลเฟรดเหนือ; and Russell, Bertrand (1913) Principia Mathematica to * 56 , Cambridge at the University Press, Cambridge UK (republished 1962) cf page 162ff.
  123. ^ ทาร์ส กี้อัลเฟรด; (1946) Introduction to Logic and the Methodology of Deductive Sciences , Dover Publications, Inc, New York NY, ISBN  0-486-28462-X

อ้างอิง

  • Anton, Howard (1987), Elementary Linear Algebra (5th ed.), New York: Wiley , ISBN 0-471-84819-0
  • อาร์โนลด์วลาดิเมียร์ I. ; Cooke, Roger (1992), สมการเชิงอนุพันธ์สามัญ , Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-54813-3
  • Artin, Michael (1991), พีชคณิต , Prentice Hall , ISBN 978-0-89871-510-1
  • Association for Computing Machinery (1979), Computer Graphics , Tata McGraw – Hill, ISBN 978-0-07-059376-3
  • เบเกอร์แอนดรูว์เจ (2546) กลุ่มเมทริกซ์: ทฤษฎีกลุ่มการโกหกเบื้องต้นเบอร์ลินดีอี; New York, NY: Springer-Verlag, ISBN 978-1-85233-470-3
  • บาว III เดวิด; Trefethen, Lloyd N. (1997), พีชคณิตเชิงเส้นเชิงตัวเลข , ฟิลาเดลเฟีย, PA: Society for Industrial and Applied Mathematics, ISBN 978-0-89871-361-9
  • โบเรการ์ด, เรย์มอนด์เอ; Fraleigh, John B. (1973), A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields , Boston: Houghton Mifflin Co. , ISBN 0-395-14017-X
  • Bretscher, Otto (2005), พีชคณิตเชิงเส้นพร้อมแอพพลิเคชั่น (ฉบับที่ 3), Prentice Hall
  • Bronson, Richard (1970), Matrix Methods: An Introduction , New York: Academic Press , LCCN  70097490
  • Bronson, Richard (1989), โครงร่างทฤษฎีและปัญหาของการดำเนินการเมทริกซ์ของ Schaum , New York: McGraw – Hill , ISBN 978-0-07-007978-6
  • Brown, William C. (1991), เมทริกซ์และช่องว่างเวกเตอร์ , นิวยอร์ก, นิวยอร์ก: Marcel Dekker , ISBN 978-0-8247-8419-5
  • Coburn, Nathaniel (1955), Vector and tensor analysis , New York, NY: Macmillan, OCLC  1029828
  • Conrey, J. Brian (2007), อันดับของเส้นโค้งรูปไข่และทฤษฎีเมทริกซ์แบบสุ่ม , สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ , ISBN 978-0-521-69964-8
  • Fraleigh, John B. (1976), A First Course In Abstract Algebra (2nd ed.), Reading: Addison-Wesley , ISBN 0-201-01984-1
  • ฟูเดนเบิร์ก, ดรูว์; Tirole, Jean (1983), ทฤษฎีเกม , MIT Press
  • กิลบาร์ก, เดวิด; Trudinger, Neil S. (2001), สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยรูปไข่ของลำดับที่สอง (2nd ed.), Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-41160-4
  • ก็อดซิล, คริส ; รอยล์กอร์ดอน (2547) ทฤษฎีกราฟพีชคณิตตำราบัณฑิตคณิตศาสตร์207เบอร์ลินดีอี; New York, NY: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95220-8
  • Golub ยีน H. ; Van Loan, Charles F. (1996), Matrix Computations (3rd ed.), Johns Hopkins, ISBN 978-0-8018-5414-9
  • Greub, Werner Hildbert (2518), พีชคณิตเชิงเส้น , ตำราบัณฑิตคณิตศาสตร์, เบอร์ลิน, ดีอี; New York, NY: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90110-7
  • Halmos, Paul Richard (1982), หนังสือปัญหาอวกาศของ Hilbert , Graduate Texts in Mathematics, 19 (2nd ed.), Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90685-0, MR  0675952
  • ฮอร์นโรเจอร์ก. ; Johnson, Charles R. (1985), การวิเคราะห์เมทริกซ์ , สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์, ISBN 978-0-521-38632-6
  • เจ้าของบ้าน Alston S. (1975) ทฤษฎีเมทริกซ์ในการวิเคราะห์ตัวเลขนิวยอร์กนิวยอร์ก: Dover Publications , MR  0378371
  • Kreyszig, Erwin (1972), Advanced Engineering Mathematics (3rd ed.), New York: Wiley , ISBN 0-471-50728-8.
  • Krzanowski, Wojtek J. (1988), Principles of multivariate analysis , Oxford Statistical Science Series, 3 , The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN 978-0-19-852211-9, MR  0969370
  • Itô, Kiyosi, ed. (2530), พจนานุกรมสารานุกรมคณิตศาสตร์. ฉบับ. I-IV (2nd ed.), MIT Press, ISBN 978-0-262-09026-1, MR  0901762
  • Lang, Serge (1969), การวิเคราะห์ II , Addison-Wesley
  • Lang, Serge (1987a), แคลคูลัสของตัวแปรหลายตัว (3rd ed.), Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-96405-8
  • Lang, Serge (1987b), พีชคณิตเชิงเส้น , เบอร์ลิน, ดีอี; New York, NY: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-96412-6
  • Lang, Serge (2002), พีชคณิต , ตำราบัณฑิตในวิชาคณิตศาสตร์ , 211 (แก้ไขฉบับที่สาม), นิวยอร์ก: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR  1878556
  • Latouche, Guy; Ramaswami, Vaidyanathan (1999), Introduction to matrix analytic method in stochastic modeling (1st ed.), Philadelphia, PA: Society for Industrial and Applied Mathematics, ISBN 978-0-89871-425-8
  • แมนนิ่งคริสโตเฟอร์ดี.; Schütze, Hinrich (1999), รากฐานของการประมวลผลภาษาธรรมชาติเชิงสถิติ , MIT Press, ISBN 978-0-262-13360-9
  • เมฮาตากม.; Srinivasan, SK (1978), Stochastic process , New York, NY: McGraw – Hill, ISBN 978-0-07-096612-3
  • Mirsky, Leonid (1990), บทนำเกี่ยวกับพีชคณิตเชิงเส้น , สิ่งพิมพ์ Courier Dover, ISBN 978-0-486-66434-7
  • Nering, Evar D. (1970), พีชคณิตเชิงเส้นและทฤษฎีเมทริกซ์ (2nd ed.), New York: Wiley , LCCN  76-91646
  • Nocedal, Jorge; ไรท์สตีเฟนเจ (2549) การเพิ่มประสิทธิภาพเชิงตัวเลข (ฉบับที่ 2) เบอร์ลินดีเอ; นิวยอร์กนิวยอร์ก: Springer-Verlag, p. 449, ISBN 978-0-387-30303-1
  • Oualline, Steve (2003), การเขียนโปรแกรม C ++ เชิงปฏิบัติ , O'Reilly , ISBN 978-0-596-00419-4
  • กดวิลเลียมเอช; แฟลนเนอรีไบรอันพี; ทูคอลสกี้, ซาอูลก. ; Vetterling, William T. (1992), "LU Decomposition and its Applications" (PDF) , Numerical Recipes in FORTRAN: The Art of Scientific Computing (2nd ed.), Cambridge University Press, pp. 34–42, archived from the original เมื่อ 2009-09-06CS1 maint: URL ที่ไม่เหมาะสม ( ลิงก์ )
  • โพรเทอร์เมอร์เรย์เอช; Morrey, Jr. , Charles B. (1970), แคลคูลัสวิทยาลัยพร้อมเรขาคณิตวิเคราะห์ (2nd ed.), Reading: Addison-Wesley , LCCN  76087042
  • ปุ ณ ณ , อับราฮัมป.; Gutin, Gregory (2002), ปัญหาพนักงานขายที่เดินทางและรูปแบบต่างๆ , Boston, MA: Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-4020-0664-7
  • Reichl, Linda E. (2004), การเปลี่ยนไปสู่ความสับสนวุ่นวาย: ระบบคลาสสิกอนุรักษ์นิยมและการสำแดงควอนตัม , เบอร์ลิน, ดีอี; New York, NY: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98788-0
  • Rowen, Louis Halle (2008), Graduate Algebra: noncommutative view , Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-4153-2
  • Šolin, Pavel (2005), สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยและวิธีไฟไนต์เอลิเมนต์ , ไวลีย์ - อินเทอร์สวิทยาศาสตร์ , ISBN 978-0-471-76409-0
  • Stinson, Douglas R. (2005), การเข้ารหัส , คณิตศาสตร์ไม่ต่อเนื่องและการประยุกต์ใช้งาน, Chapman & Hall / CRC, ISBN 978-1-58488-508-5
  • สโตเออร์, โจเซฟ; Bulirsch, Roland (2002), Introduction to Numerical Analysis (3rd ed.), Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95452-3
  • Ward, JP (1997), Quaternions and Cayley numbers , Mathematics and Applications, 403 , Dordrecht, NL: Kluwer Academic Publishers Group, doi : 10.1007 / 978-94-011-5768-1 , ISBN 978-0-7923-4513-8, MR  1458894
  • Wolfram, Stephen (2003), The Mathematica Book (5th ed.), Champaign, IL: Wolfram Media, ISBN 978-1-57955-022-6

การอ้างอิงทางฟิสิกส์

  • Bohm, Arno (2001), กลศาสตร์ควอนตัม: ฐานรากและการใช้งาน , Springer, ISBN 0-387-95330-2
  • เบอร์เกสหน้าผา; มัวร์ Guy (2007) รุ่นมาตรฐาน ไพรเมอร์สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ISBN 978-0-521-86036-9
  • Guenther, Robert D. (1990), Modern Optics , John Wiley, ISBN 0-471-60538-7
  • อิทซิคสัน, โคลด; ซูเบอร์, ฌอง - เบอร์นาร์ด (1980), ทฤษฎีสนามควอนตัม , McGraw – Hill, ISBN 0-07-032071-3
  • ไรลีย์เคนเน็ ธ เอฟ; ฮอบสันไมเคิลพี; Bence, Stephen J. (1997), วิธีการทางคณิตศาสตร์สำหรับฟิสิกส์และวิศวกรรม , สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์, ISBN 0-521-55506-X
  • Schiff, Leonard I. (1968), Quantum Mechanics (3rd ed.), McGraw – Hill
  • Weinberg, Steven (1995), The Quantum Theory of Fields. เล่มที่ 1: มูลนิธิสำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ISBN 0-521-55001-7
  • Wherrett, Brian S. (1987), ทฤษฎีกลุ่มสำหรับอะตอมโมเลกุลและของแข็งศิษย์ - Hall International, ISBN 0-13-365461-3
  • ซาโบรดิน, แอนตัน; เบรซิน, เอดูอาร์ด; คาซาคอฟ, วลาดิเมียร์; เซอร์บัน, ดีดิน่า; Wiegmann, Paul (2006), การประยุกต์ใช้เมทริกซ์สุ่มในวิชาฟิสิกส์ (NATO Science Series II: Mathematics, Physics and Chemistry) , Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag , ISBN 978-1-4020-4530-1

การอ้างอิงทางประวัติศาสตร์

  • เอเคย์ลีไดอารี่ในทฤษฎีของการฝึกอบรม ฟิล. ทรานส์. 148 1858 17-37; คณิตศาสตร์. เอกสาร II 475-496
  • Bôcher, Maxime (2004), บทนำสู่พีชคณิตระดับสูง , นิวยอร์ก, นิวยอร์ก: Dover Publications , ISBN 978-0-486-49570-5พิมพ์ซ้ำของฉบับดั้งเดิมปี 1907
  • เคย์ลีย์, อาร์เธอร์ (2432), เอกสารทางคณิตศาสตร์ที่รวบรวมของอาร์เธอร์เคย์ลีย์ , ฉัน (พ.ศ. 2384–1853), สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ , หน้า 123–126
  • Dieudonné, Jean , ed. (1978), Abrégé d'histoire des mathématiques 1700-1900 , Paris, FR: Hermann
  • Hawkins, Thomas (1975), "Cauchy และทฤษฎีสเปกตรัมของเมทริกซ์", Historia Mathematica , 2 : 1–29, doi : 10.1016 / 0315-0860 (75) 90032-4 , ISSN  0315-0860 , MR  0469635
  • Knobloch, Eberhard (1994), "จาก Gauss ถึง Weierstrass: ทฤษฎีดีเทอร์มิแนนต์และการประเมินทางประวัติศาสตร์", จุดตัดของประวัติศาสตร์และคณิตศาสตร์ , Science Networks Historical Studies, 15 , บาเซิล, บอสตัน, เบอร์ลิน: Birkhäuser, หน้า 51–66, ม.ร.ว.  1308079
  • Kronecker, Leopold (1897), Hensel, Kurt (ed.), Leopold Kronecker's Werke , Teubner
  • Mehra, Jagdish; Rechenberg, Helmut (1987), The Historical Development of Quantum Theory (1st ed.), Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-96284-9
  • เซิน, กังเซิน; ครอสลีย์จอห์นเอ็น; Lun, Anthony Wah-Cheung (1999), ศิลปะทางคณิตศาสตร์เก้าบท, คู่หูและอรรถกถา (2nd ed.), Oxford University Press , ISBN 978-0-19-853936-0
  • Weierstrass, Karl (1915), ผลงานที่รวบรวม , 3

อ่านเพิ่มเติม

  • "เมทริกซ์" , สารานุกรมของคณิตศาสตร์ , EMS กด 2001 [1994]
  • Kaw, Autar K. (กันยายน 2551), Introduction to Matrix Algebra , ISBN 978-0-615-25126-4
  • The Matrix Cookbook (PDF) สืบค้นเมื่อ24 มีนาคม 2557
  • Brookes, Mike (2005), The Matrix Reference Manual , London: Imperial College , สืบค้นเมื่อ10 Dec 2008

ลิงก์ภายนอก

เมทริกซ์ (คณิตศาสตร์)ที่โครงการน้องสาวของวิกิพีเดีย
  • คำจำกัดความจาก Wiktionary
  • สื่อจาก Wikimedia Commons
  • ตำราจาก Wikibooks
  • แหล่งข้อมูลจาก Wikiversity
  • ข้อมูลจาก Wikidata
  • MacTutor: เมทริกซ์และดีเทอร์มิแนนต์
  • เมทริกซ์และพีชคณิตเชิงเส้นในหน้าแรกสุดที่ใช้
  • การใช้สัญลักษณ์แรกสุดสำหรับเมทริกซ์และเวกเตอร์
Language
  • Thai
  • Français
  • Deutsch
  • Arab
  • Português
  • Nederlands
  • Türkçe
  • Tiếng Việt
  • भारत
  • 日本語
  • 한국어
  • Hmoob
  • ខ្មែរ
  • Africa
  • Русский

©Copyright This page is based on the copyrighted Wikipedia article "/wiki/Matrix_(math)" (Authors); it is used under the Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported License. You may redistribute it, verbatim or modified, providing that you comply with the terms of the CC-BY-SA. Cookie-policy To contact us: mail to admin@tvd.wiki

TOP