Page semi-protected

คณิตศาสตร์

จาก Wikipedia สารานุกรมเสรี
ข้ามไปที่การนำทางข้ามไปที่การค้นหา

Euclidนักคณิตศาสตร์ชาวกรีก(ถือเครื่องวัดเส้นผ่าศูนย์กลาง ) ศตวรรษที่ 3 ตามจินตนาการของRaphaelในรายละเอียดนี้จากThe School of Athens (1509–1511) [a]

คณิตศาสตร์ (จากภาษากรีก : μάθημα , máthēma , 'ความรู้, การศึกษา, การเรียนรู้') รวมถึงการศึกษาหัวข้อต่างๆเช่นปริมาณ ( ทฤษฎีจำนวน ) [1] โครงสร้าง ( พีชคณิต ) [2] ปริภูมิ ( เรขาคณิต ) [1]และการเปลี่ยนแปลง ( การวิเคราะห์ ) [3] [4] [5]มันได้รับการยอมรับโดยทั่วไปไม่มีความหมาย [6] [7]

Mathematicians การแสวงหาและการใช้รูปแบบ[8] [9]ที่จะกำหนดใหม่คาดเดา ; พวกเขาแก้ไขความจริงหรือความผิดพลาดดังกล่าวโดยการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์เมื่อโครงสร้างทางคณิตศาสตร์เป็นแบบจำลองที่ดีของปรากฏการณ์จริงการให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์สามารถใช้เพื่อให้ข้อมูลเชิงลึกหรือการคาดการณ์เกี่ยวกับธรรมชาติ ผ่านการใช้งานของนามธรรมและตรรกะคณิตศาสตร์ที่พัฒนามาจากการนับ , การคำนวณ , การวัดและระบบการศึกษาของรูปร่างและการเคลื่อนไหวของวัตถุทางกายภาพ. คณิตศาสตร์เชิงปฏิบัติเป็นกิจกรรมของมนุษย์ตั้งแต่สมัยก่อนที่มีการบันทึกเป็นลายลักษณ์อักษรการวิจัยที่จำเป็นในการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์อาจใช้เวลาหลายปีหรือหลายศตวรรษในการสอบถามอย่างต่อเนื่อง

ข้อโต้แย้งอย่างเข้มงวดปรากฏตัวครั้งแรกในคณิตศาสตร์กรีกโดดเด่นที่สุดในEuclid 's องค์ประกอบ [10]ตั้งแต่งานบุกเบิกของGiuseppe Peano (2401–2475), David Hilbert (2405-2486) และคนอื่น ๆเกี่ยวกับระบบ axiomatic ในช่วงปลายศตวรรษที่ 19เป็นเรื่องปกติที่จะมองว่าการวิจัยทางคณิตศาสตร์เป็นการสร้างความจริงโดยการ หักมุมอย่างเข้มงวดจาก ได้รับการแต่งตั้งอย่างเหมาะสมหลักการและคำจำกัดความคณิตศาสตร์พัฒนาไปอย่างช้าๆจนถึงยุคฟื้นฟูศิลปวิทยาเมื่อนวัตกรรมทางคณิตศาสตร์โต้ตอบกับสิ่งใหม่ ๆการค้นพบทางวิทยาศาสตร์ทำให้อัตราการค้นพบทางคณิตศาสตร์เพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็วจนถึงปัจจุบัน [11]

คณิตศาสตร์เป็นสิ่งจำเป็นในหลายสาขารวมทั้งวิทยาศาสตร์ธรรมชาติ , วิศวกรรม , การแพทย์ , การเงินและสังคมศาสตร์ คณิตศาสตร์ประยุกต์ได้นำไปสู่สาขาวิชาคณิตศาสตร์ใหม่ทั้งหมดเช่นสถิติและทฤษฎีเกม นักคณิตศาสตร์มีส่วนร่วมในคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ (คณิตศาสตร์เพื่อประโยชน์ของตัวเอง) โดยไม่ต้องคำนึงถึงการนำไปใช้ แต่การประยุกต์ใช้ในทางปฏิบัติสำหรับสิ่งที่เริ่มต้นเนื่องจากคณิตศาสตร์บริสุทธิ์มักจะถูกค้นพบในภายหลัง [12] [13]

ประวัติศาสตร์

ประวัติศาสตร์ของคณิตศาสตร์สามารถมองได้ว่าเป็นชุดของนามธรรมที่เพิ่มมากขึ้นเรื่อยสิ่งที่เป็นนามธรรมแรกซึ่งมีสัตว์หลายชนิดใช้ร่วมกัน[14]น่าจะเป็นตัวเลข: การตระหนักว่าคอลเลกชันของแอปเปิ้ลสองผลและคอลเลกชันของส้มสองผล (ตัวอย่าง) มีบางอย่างที่เหมือนกันกล่าวคือปริมาณสมาชิกของพวกมัน

ตามหลักฐานจากการนับจำนวนที่พบบนกระดูกนอกเหนือจากการจดจำวิธีการนับวัตถุทางกายภาพแล้วผู้คนในยุคก่อนประวัติศาสตร์ยังอาจรู้จักวิธีการนับปริมาณที่เป็นนามธรรมเช่นเวลาวันฤดูกาลหรือปี [15] [16]

แท็บเล็ตทางคณิตศาสตร์ของชาวบาบิโลน Plimpton 322 มีอายุถึง 1800 ปีก่อนคริสตกาล

หลักฐานสำหรับคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนมากขึ้นไม่ปรากฏจนถึงประมาณ 3000  ปีก่อนคริสตกาลเมื่อชาวบาบิโลนและอียิปต์เริ่มใช้เลขคณิต , พีชคณิตและเรขาคณิตสำหรับการจัดเก็บภาษีและการคำนวณทางการเงินอื่น ๆ สำหรับการสร้างและการก่อสร้างและดาราศาสตร์ [17]ตำราทางคณิตศาสตร์ที่เก่าแก่ที่สุดจากเมโสโปเตเมียและอียิปต์มีอายุตั้งแต่ 2,000 ถึง 1,800 ปีก่อนคริสตกาล[18]ตำราในยุคแรก ๆ กล่าวถึงพีทาโกรัสสามเท่าและโดยการอนุมานทฤษฎีบทพีทาโกรัสดูเหมือนว่าจะเป็นพัฒนาการทางคณิตศาสตร์ที่เก่าแก่และแพร่หลายมากที่สุดรองจากเลขคณิตและเรขาคณิตพื้นฐาน [19]มันอยู่ในบาบิโลนคณิตศาสตร์ที่คณิตศาสตร์ประถมศึกษา ( นอกจากนี้ , การลบ , การคูณและหาร ) ปรากฏตัวครั้งแรกในบันทึกทางโบราณคดี ชาวบาบิโลนยังมีระบบค่าสถานที่และใช้ระบบตัวเลขทางเพศ[19]ซึ่งยังคงใช้อยู่ในปัจจุบันสำหรับการวัดมุมและเวลา [20]

Archimedes ใช้วิธีการของความอ่อนล้าที่ใกล้เคียงกับค่าของปี่

เริ่มต้นในศตวรรษที่ 6 ก่อนคริสต์ศักราชกับชาวพีทาโกรัสด้วยคณิตศาสตร์ของกรีกชาวกรีกโบราณเริ่มการศึกษาคณิตศาสตร์อย่างเป็นระบบโดยเป็นเรื่องที่ตนถนัด[21]ประมาณ 300 ปีก่อนคริสตกาลยูคลิดได้แนะนำวิธีการเชิงสัจพจน์ที่ยังคงใช้ในคณิตศาสตร์ในปัจจุบันซึ่งประกอบด้วยนิยามสัจพจน์ทฤษฎีบทและการพิสูจน์ หนังสือElementsถือเป็นตำราที่ประสบความสำเร็จและมีอิทธิพลมากที่สุดตลอดกาล[22]นักคณิตศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของสมัยโบราณมักจะถือเป็นArchimedes (ค. 287-212 BC) ของซีราคิวส์ [23]เขาพัฒนาสูตรสำหรับการคำนวณพื้นที่ผิวและปริมาตรของของแข็งของการปฏิวัติและใช้วิธีการหมดแรงในการคำนวณพื้นที่ใต้ส่วนโค้งของพาราโบลาด้วยการหาผลรวมของอนุกรมอนันต์ในลักษณะที่ไม่แตกต่างจากแคลคูลัสสมัยใหม่มากเกินไป[24]ความสำเร็จที่โดดเด่นอื่น ๆ ของคณิตศาสตร์กรีก ได้แก่ภาคตัดกรวย ( Apollonius of Perga , ศตวรรษที่ 3 ก่อนคริสต์ศักราช), [25] ตรีโกณมิติ ( Hipparchus of Nicaea , ศตวรรษที่ 2), [26]และจุดเริ่มต้นของพีชคณิต ( Diophantus , คริสต์ศตวรรษที่ 3 ). [27]

ตัวเลขที่ใช้ในต้นฉบับ Bakhshaliซึ่งมีอายุระหว่างศตวรรษที่ 2 และคริสต์ศตวรรษที่ 2

ระบบฮินดูภาษาอาหรับตัวเลขและกฎระเบียบสำหรับการใช้งานของการดำเนินงานของตนในการใช้งานทั่วโลกในวันนี้การพัฒนาอยู่ตลอดหลักสูตรของ AD สหัสวรรษแรกในประเทศอินเดียและถูกส่งไปยังโลกตะวันตกผ่านทางคณิตศาสตร์อิสลาม [28]การพัฒนาที่โดดเด่นอื่น ๆ ของคณิตศาสตร์อินเดียรวมถึงคำนิยามของความทันสมัยและประมาณการของไซน์และโคไซน์ , [28]และรูปแบบของแบบไม่มีที่สิ้นสุด

หน้าจากAlgebraของ al-Khwārizmī

ในช่วงยุคทองของศาสนาอิสลามโดยเฉพาะอย่างยิ่งในช่วงศตวรรษที่ 9 และ 10 คณิตศาสตร์ได้เห็นนวัตกรรมที่สำคัญมากมายที่สร้างขึ้นจากคณิตศาสตร์ของกรีก ความสำเร็จที่โดดเด่นที่สุดของอิสลามคณิตศาสตร์คือการพัฒนาพีชคณิตความสำเร็จอื่น ๆ ของช่วงเวลาอิสลาม ได้แก่ ความก้าวหน้าในตรีโกณมิติทรงกลมและการเพิ่มจุดทศนิยมในระบบตัวเลขอารบิก[29] [30]หลายนักคณิตศาสตร์ที่โดดเด่นจากช่วงเวลานี้เป็นเปอร์เซียเช่นAl-Khwarismi , โอมาร์คัยยามและชาราฟอัลดินอัล ทูซ่

ในช่วงระยะเวลาก่อนสมัยคณิตศาสตร์เริ่มพัฒนาที่ก้าวเร่งในยุโรปตะวันตกการพัฒนาแคลคูลัสโดย Newton และ Leibniz ในศตวรรษที่ 17 ได้ปฏิวัติคณิตศาสตร์[31]ลีออนฮาร์ดออยเลอร์เป็นนักคณิตศาสตร์ที่มีชื่อเสียงที่สุดในศตวรรษที่ 18 โดยมีส่วนร่วมในทฤษฎีและการค้นพบมากมาย[32]บางทีนักคณิตศาสตร์ที่สำคัญที่สุดของศตวรรษที่ 19 เป็นนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันคาร์ลฟรีดริชเกาส์ , [33]ที่ทำผลงานมากมายให้กับสาขาต่าง ๆ เช่นพีชคณิต , วิเคราะห์ , เรขาคณิตต่างกัน , ทฤษฎีเมทริกซ์ , ทฤษฎีจำนวนและสถิติในช่วงต้นศตวรรษที่ 20 เคิร์ทเกอเดลได้เปลี่ยนแปลงคณิตศาสตร์โดยเผยแพร่ทฤษฎีที่ไม่สมบูรณ์ของเขาซึ่งแสดงให้เห็นบางส่วนว่าระบบสัจพจน์ที่สอดคล้องกันใด ๆ ที่มีประสิทธิภาพเพียงพอที่จะอธิบายเลขคณิตจะมีข้อเสนอที่เป็นจริงซึ่งไม่สามารถพิสูจน์ได้[34]

คณิตศาสตร์ได้รับการขยายตัวอย่างมากและมีปฏิสัมพันธ์ระหว่างคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์เพื่อประโยชน์ของทั้งสองอย่าง การค้นพบทางคณิตศาสตร์ยังคงมีอยู่ในปัจจุบัน ตามที่ Mikhail B. Sevryuk ในBulletin of the American Mathematical Societyฉบับเดือนมกราคม 2549 ระบุว่า "จำนวนเอกสารและหนังสือที่รวมอยู่ในฐานข้อมูลMathematical Reviewsตั้งแต่ปีพ. ศ. 2483 (ปีแรกของการดำเนินการของ MR) มีมากกว่า 1.9 ล้านรายการและมากกว่า 75,000 รายการถูกเพิ่มลงในฐานข้อมูลในแต่ละปีผลงานส่วนใหญ่ที่ล้นหลามในมหาสมุทรนี้ประกอบด้วยทฤษฎีบททางคณิตศาสตร์ใหม่ ๆและการพิสูจน์ของพวกเขา" [35]

นิรุกติศาสตร์

คำว่าคณิตศาสตร์มาจากภาษากรีกโบราณ máthēma ( μάθημα ) แปลว่า "สิ่งที่เรียนรู้" [36] "สิ่งที่เราได้รับรู้" ด้วยเหตุนี้ "การศึกษา" และ "วิทยาศาสตร์" ด้วย คำว่า "คณิตศาสตร์" มีความหมายที่แคบกว่าและมีความหมายทางเทคนิคมากกว่า "การศึกษาทางคณิตศาสตร์" แม้ในสมัยคลาสสิก[37]ใช้คำคุณศัพท์เป็นmathēmatikós ( μαθηματικός ) ความหมาย "ที่เกี่ยวข้องกับการเรียนรู้" หรือ "ขยัน" ซึ่งเช่นเดียวกันต่อมาหมายถึง "ทางคณิตศาสตร์." โดยเฉพาะอย่างยิ่งmathēmatikḗtékhnē ( μαθηματικὴτέχνη ; ละติน :ars mathematica) หมายถึง "ศิลปะทางคณิตศาสตร์"

ในทำนองเดียวกันหนึ่งในสองสำนักความคิดหลักในลัทธิปิทาโกรัสเรียกว่าคณิตมาติโคอิ (μαθηματικοί) ซึ่งในเวลานั้นหมายถึง "ผู้เรียน" มากกว่า "นักคณิตศาสตร์" ในความหมายสมัยใหม่ [38]

ในภาษาลาตินและในภาษาอังกฤษจนถึงประมาณปี 1700 คำว่าคณิตศาสตร์มักหมายถึง " โหราศาสตร์ " (หรือบางครั้ง " ดาราศาสตร์ ") มากกว่า "คณิตศาสตร์"; ความหมายค่อยๆเปลี่ยนเป็นปัจจุบันจากประมาณ 1,500 ถึง 1800 สิ่งนี้ส่งผลให้มีการแปลผิดหลายครั้ง ตัวอย่างเช่นคำเตือนของนักบุญออกัสตินที่ให้คริสเตียนระวังmathematiciซึ่งหมายถึงนักโหราศาสตร์บางครั้งก็แปลผิดว่าเป็นการประณามนักคณิตศาสตร์[39]

ชัดเจนพหูพจน์รูปแบบในภาษาอังกฤษเช่นรูปพหูพจน์ฝรั่งเศสles mathématiques (และน้อยกว่าที่ใช้กันทั่วไปเอกพจน์อนุพันธ์ ลาmathématique ) กลับไปละตินเพศพหูพจน์Mathematica ( Cicero ) บนพื้นฐานของพหูพจน์กรีกตาmathēmatiká ( τὰμαθηματικά ) ใช้โดยอริสโตเติล (384–322 ปีก่อนคริสตกาล) และมีความหมายโดยประมาณว่า "ทุกสิ่งทางคณิตศาสตร์" แม้ว่าจะมีความเป็นไปได้ที่ภาษาอังกฤษยืมเฉพาะคำคุณศัพท์ทางคณิตศาสตร์ (อัล)และสร้างคำนามคณิตศาสตร์ขึ้นมาใหม่หลังจากรูปแบบของฟิสิกส์และอภิปรัชญาซึ่งสืบทอดมาจากภาษากรีก [40]ในภาษาอังกฤษคำนามคณิตศาสตร์ใช้กริยาเอกพจน์ มันก็มักจะลงไปคณิตศาสตร์หรือในทวีปอเมริกาเหนือคณิตศาสตร์ [41]

คำจำกัดความของคณิตศาสตร์

Leonardo Fibonacci นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลีผู้นำระบบตัวเลขฮินดู - อารบิกที่คิดค้นขึ้นระหว่างศตวรรษที่ 1 ถึง 4 โดยนักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียไปยังโลกตะวันตก

คณิตศาสตร์ไม่มีคำจำกัดความที่เป็นที่ยอมรับโดยทั่วไป[6] [7] อริสโตเติลนิยามคณิตศาสตร์ว่า "ศาสตร์แห่งปริมาณ" และคำจำกัดความนี้มีชัยจนถึงศตวรรษที่ 18 อย่างไรก็ตามอริสโตเติลยังตั้งข้อสังเกตว่าการมุ่งเน้นไปที่ปริมาณเพียงอย่างเดียวอาจไม่สามารถแยกแยะคณิตศาสตร์ออกจากวิทยาศาสตร์เช่นฟิสิกส์ได้ ในมุมมองของเขาสิ่งที่เป็นนามธรรมและปริมาณการศึกษาเป็นคุณสมบัติที่ "แยกกันได้ในความคิด" จากกรณีจริงทำให้คณิตศาสตร์แตกต่างกัน[42]

ในศตวรรษที่ 19 เมื่อการศึกษาคณิตศาสตร์เพิ่มขึ้นอย่างเข้มงวดและเริ่มกล่าวถึงหัวข้อที่เป็นนามธรรมเช่นทฤษฎีกลุ่มและรูปทรงเรขาคณิตแบบฉายภาพซึ่งไม่มีความสัมพันธ์ที่ชัดเจนกับปริมาณและการวัดนักคณิตศาสตร์และนักปรัชญาเริ่มเสนอคำจำกัดความใหม่ที่หลากหลาย . [43]

นักคณิตศาสตร์มืออาชีพจำนวนมากไม่สนใจคำจำกัดความของคณิตศาสตร์หรือคิดว่ามันไม่สามารถกำหนดได้ [6]ไม่มีแม้แต่ความเห็นพ้องต้องกันว่าคณิตศาสตร์เป็นศิลปะหรือวิทยาศาสตร์ [7]บางคนบอกว่า "คณิตศาสตร์คือสิ่งที่นักคณิตศาสตร์ทำ" [6]

สามประเภทชั้นนำ

สามประเภทชั้นนำของความหมายของคณิตศาสตร์ในวันนี้จะเรียกว่าlogicist , intuitionistและเหือดแต่ละสะท้อนให้เห็นถึงปรัชญาโรงเรียนที่แตกต่างกันของความคิด [44]ทั้งหมดมีข้อบกพร่องที่รุนแรงไม่มีใครยอมรับอย่างกว้างขวางและดูเหมือนจะไม่มีการคืนดีกัน [44]

คำจำกัดความของ Logicist

คำจำกัดความแรกเริ่มของคณิตศาสตร์ในแง่ของตรรกะคือเบนจามินเพียร์ซ (2413): "วิทยาศาสตร์ที่ได้ข้อสรุปที่จำเป็น" [45]ในPrincipia Mathematica , เบอร์ทรานด์รัสเซลและอัลเฟรดนอร์ทเฮดสูงโปรแกรมปรัชญาที่รู้จักในฐานะlogicismและความพยายามที่จะพิสูจน์ให้เห็นว่าทุกคณิตศาสตร์แนวคิดงบและหลักการสามารถกำหนดและได้รับการพิสูจน์อย่างสิ้นเชิงในแง่ของตรรกะสัญลักษณ์ คำจำกัดความของคณิตศาสตร์แบบตรรกศาสตร์คือรัสเซลล์ (1903) "คณิตศาสตร์ทั้งหมดเป็นตรรกะเชิงสัญลักษณ์" [46]

คำจำกัดความของ Intuitionist

คำจำกัดความของIntuitionistซึ่งพัฒนามาจากปรัชญาของนักคณิตศาสตร์LEJ Brouwerระบุคณิตศาสตร์ด้วยปรากฏการณ์ทางจิตบางอย่าง ตัวอย่างของคำจำกัดความของนักสัญชาตญาณคือ "คณิตศาสตร์คือกิจกรรมทางจิตซึ่งประกอบด้วยการสร้างโครงสร้างทีละขั้นตอน" [44]ลักษณะเฉพาะของสัญชาตญาณคือการปฏิเสธความคิดทางคณิตศาสตร์บางอย่างที่ถือว่าถูกต้องตามคำจำกัดความอื่น ๆ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในขณะที่ปรัชญาคณิตศาสตร์อื่น ๆ อนุญาตให้มีวัตถุที่พิสูจน์ได้ว่ามีอยู่จริงแม้ว่าจะไม่สามารถสร้างได้ แต่สัญชาตญาณจะอนุญาตให้มีเพียงวัตถุทางคณิตศาสตร์เท่านั้นที่สามารถสร้างได้จริง นักสัญชาตญาณยังปฏิเสธกฎแห่งการยกเว้นกลาง (กล่าวคือ). ขณะนี้ท่าทางไม่บังคับให้พวกเขาที่จะปฏิเสธรุ่นหนึ่งที่พบบ่อยของการพิสูจน์จากความขัดแย้งเป็นวิธีการพิสูจน์การทำงานได้คือการอนุมานของจากพวกเขายังคงสามารถที่จะสรุปจาก สำหรับพวกเขาเป็นคำสั่งอย่างเคร่งครัดอ่อนแอกว่า [47]

คำจำกัดความของ Formalist

คำจำกัดความของFormalistระบุคณิตศาสตร์ด้วยสัญลักษณ์และกฎสำหรับการใช้งาน Haskell Curryกำหนดคณิตศาสตร์ง่ายๆว่าเป็น "ศาสตร์แห่งระบบที่เป็นทางการ" [48]ระบบอย่างเป็นทางการคือชุดของสัญลักษณ์หรือราชสกุลและบางกฎระเบียบเกี่ยวกับวิธีสัญญาณที่จะรวมกันเป็นสูตร ในระบบที่เป็นทางการคำว่าสัจพจน์มีความหมายพิเศษแตกต่างจากความหมายธรรมดาของ "ความจริงที่ชัดเจนในตัวเอง" และใช้เพื่ออ้างถึงการรวมกันของโทเค็นที่รวมอยู่ในระบบที่เป็นทางการโดยไม่จำเป็นต้องได้มาโดยใช้ กฎของระบบ

คณิตศาสตร์เป็นวิทยาศาสตร์

Carl Friedrich Gaussเป็นที่รู้จักในฐานะเจ้าชายแห่งนักคณิตศาสตร์

คาร์ลฟรีดริชเกาส์นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันเรียกคณิตศาสตร์ว่า "ราชินีแห่งวิทยาศาสตร์" [49]เมื่อไม่นานมานี้Marcus du Sautoyได้เรียกคณิตศาสตร์ว่า "ราชินีแห่งวิทยาศาสตร์ ... แรงผลักดันหลักที่อยู่เบื้องหลังการค้นพบทางวิทยาศาสตร์" [50]นักปรัชญาคาร์ลตกใจตั้งข้อสังเกตว่า "ทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่จะเหมือนของฟิสิกส์และชีววิทยา , hypothetico - นิรนัย : คณิตศาสตร์บริสุทธิ์จึงจะออกมาเป็นมากใกล้กับวิทยาศาสตร์ธรรมชาติที่มีสมมติฐานคาดเดากว่าก็ลำบากแม้กระทั่งเมื่อเร็ว ๆ นี้ " [51]Popper ยังตั้งข้อสังเกตว่า "ฉันจะยอมรับว่าระบบเป็นเชิงประจักษ์หรือทางวิทยาศาสตร์ก็ต่อเมื่อสามารถทดสอบได้จากประสบการณ์เท่านั้น" [52]

ผู้เขียนหลายคนพิจารณาว่าคณิตศาสตร์ไม่ได้เป็นวิทยาศาสตร์เพราะมันไม่ได้ขึ้นอยู่กับหลักฐานเชิงประจักษ์ [53] [54] [55] [56]

คณิตศาสตร์มีส่วนร่วมกับหลายสาขาในวิทยาศาสตร์กายภาพโดยเฉพาะอย่างยิ่งการสำรวจผลทางตรรกะของสมมติฐานสัญชาตญาณและการทดลองยังมีบทบาทในการกำหนดการคาดเดาทั้งในคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์ (อื่น ๆ ) คณิตศาสตร์เชิงทดลองยังคงมีความสำคัญเพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่องในคณิตศาสตร์และการคำนวณและการจำลองกำลังมีบทบาทเพิ่มขึ้นทั้งในวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์

ความคิดเห็นของนักคณิตศาสตร์ในเรื่องนี้มีหลากหลาย นักคณิตศาสตร์หลายคน[57]รู้สึกว่าจะเรียกพื้นที่ของตนวิทยาศาสตร์ที่จะมองข้ามความสำคัญของการด้านความงามของตนและประวัติศาสตร์ในแบบดั้งเดิมเจ็ดศิลปศาสตร์ ; คนอื่น ๆ รู้สึกว่าการเพิกเฉยต่อการเชื่อมโยงกับวิทยาศาสตร์คือการเมินเฉยต่อข้อเท็จจริงที่ว่าการเชื่อมต่อระหว่างคณิตศาสตร์กับการประยุกต์ใช้ในวิทยาศาสตร์และวิศวกรรมได้ขับเคลื่อนการพัฒนาทางคณิตศาสตร์อย่างมาก[58]วิธีหนึ่งที่แสดงถึงความแตกต่างของมุมมองนี้คือในการถกเถียงทางปรัชญาว่าคณิตศาสตร์ถูกสร้างขึ้น (เหมือนในงานศิลปะ) หรือถูกค้นพบ(ตามหลักวิทยาศาสตร์). ในทางปฏิบัติโดยทั่วไปนักคณิตศาสตร์จะรวมกลุ่มกับนักวิทยาศาสตร์ในระดับขั้นต้น แต่แยกออกจากกันในระดับที่ละเอียดกว่า นี้เป็นหนึ่งในหลายประเด็นพิจารณาในปรัชญาของคณิตศาสตร์ [59]

แรงบันดาลใจคณิตศาสตร์บริสุทธิ์และประยุกต์และสุนทรียภาพ

Isaac Newton (ซ้าย) และGottfried Wilhelm Leibniz ได้พัฒนาแคลคูลัสเพียงเล็กน้อย

คณิตศาสตร์เกิดขึ้นจากปัญหาหลายประเภท ตอนแรกเหล่านี้ถูกพบในการค้า, การวัดที่ดินสถาปัตยกรรมและภายหลังดาราศาสตร์ ; วันนี้วิทยาศาสตร์ทั้งหมดเสนอปัญหาที่นักคณิตศาสตร์ศึกษาและปัญหามากมายเกิดขึ้นในตัวคณิตศาสตร์ ตัวอย่างเช่นนักฟิสิกส์ Richard Feynmanได้คิดค้นสูตรทางเดินของกลศาสตร์ควอนตัมโดยใช้การผสมผสานระหว่างการใช้เหตุผลทางคณิตศาสตร์และความเข้าใจเชิงกายภาพและทฤษฎีสตริงในปัจจุบันซึ่งเป็นทฤษฎีทางวิทยาศาสตร์ที่ยังคงพัฒนาซึ่งพยายามที่จะรวมพลังพื้นฐานทั้งสี่ของธรรมชาติเข้าด้วยกันและยังคงสร้างแรงบันดาลใจ คณิตศาสตร์ใหม่[60]

คณิตศาสตร์บางอย่างมีความเกี่ยวข้องเฉพาะในส่วนที่เป็นแรงบันดาลใจและถูกนำไปใช้เพื่อแก้ปัญหาเพิ่มเติมในพื้นที่นั้น ๆ แต่บ่อยครั้งที่คณิตศาสตร์ได้รับแรงบันดาลใจจากพื้นที่หนึ่งพิสูจน์ว่ามีประโยชน์ในหลาย ๆ ด้านและเข้าร่วมหุ้นทั่วไปของแนวคิดทางคณิตศาสตร์ ความแตกต่างมักจะทำระหว่างคณิตศาสตร์บริสุทธิ์และคณิตศาสตร์ประยุกต์หัวข้อคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ แต่มักจะเปิดออกจะมีการใช้งานเช่นทฤษฎีจำนวนในการเข้ารหัส

ข้อเท็จจริงที่น่าทึ่งนี้แม้แต่คณิตศาสตร์ที่ "บริสุทธิ์ที่สุด" ก็มักจะนำไปใช้งานได้จริงนั่นคือสิ่งที่นักฟิสิกส์Eugene Wignerตั้งชื่อว่า " ประสิทธิผลที่ไม่สมเหตุสมผลของคณิตศาสตร์ " [13]ปรัชญาของคณิตศาสตร์ มาร์คสทิได้เขียนอย่างกว้างขวางเกี่ยวกับเรื่องนี้และรับทราบว่าการบังคับใช้ของคณิตศาสตร์ถือว่า“ความท้าทายให้กับธรรมชาติได้.” [61]สำหรับนักปรัชญาคณิตศาสตร์Mary Lengความจริงที่ว่าโลกทางกายภาพทำหน้าที่ตามคำสั่งของเอนทิตีทางคณิตศาสตร์ที่ไม่เป็นเหตุเป็นผลที่มีอยู่นอกจักรวาลนั้นเป็น "ความบังเอิญที่มีความสุข" [62]ในทางกลับกัน สำหรับผู้ ต่อต้านความจริง บางคนการเชื่อมต่อซึ่งได้มาจากสิ่งต่างๆทางคณิตศาสตร์เพียงแค่สะท้อนการเชื่อมต่อที่ได้มาระหว่างวัตถุต่างๆในจักรวาลเพื่อที่จะไม่มี "ความบังเอิญที่มีความสุข" [62]

ในด้านการศึกษาส่วนใหญ่การเพิ่มพูนความรู้ในยุควิทยาศาสตร์ทำให้เกิดความเชี่ยวชาญ: ขณะนี้มีสาขาวิชาเฉพาะทางคณิตศาสตร์หลายร้อยสาขาและการจัดหมวดหมู่เรื่องคณิตศาสตร์ล่าสุดมีจำนวนถึง 46 หน้า [63]หลายพื้นที่ของคณิตศาสตร์ประยุกต์ได้รวมกับประเพณีที่เกี่ยวข้องกับด้านนอกของคณิตศาสตร์และกลายเป็นสาขาในสิทธิของตนเองรวมทั้งสถิติการดำเนินงานวิจัยและวิทยาการคอมพิวเตอร์

สำหรับผู้ที่มีความโน้มเอียงทางคณิตศาสตร์มักจะมีแง่มุมที่ชัดเจนสำหรับคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่ นักคณิตศาสตร์หลายคนพูดถึงความสง่างามของคณิตศาสตร์สุนทรียศาสตร์ที่แท้จริงและความงามภายในความเรียบง่ายและลักษณะทั่วไปมีค่า มีความงามอยู่ในที่เรียบง่ายและสง่างามหลักฐานเช่นEuclidหลักฐาน 's ว่ามีหลายอย่างมากมายตัวเลขที่สำคัญและสง่างามวิธีการเชิงตัวเลขที่เพิ่มความเร็วในการคำนวณเช่นรวดเร็วฟูเรียร์ GH Hardyในคำขอโทษของนักคณิตศาสตร์แสดงความเชื่อว่าข้อพิจารณาด้านสุนทรียศาสตร์เหล่านี้เพียงพอที่จะพิสูจน์การศึกษาคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ได้ เขาระบุเกณฑ์ต่างๆเช่นความสำคัญความไม่คาดคิดความหลีกเลี่ยงไม่ได้และเศรษฐกิจเป็นปัจจัยที่นำไปสู่สุนทรียศาสตร์ทางคณิตศาสตร์[64]การวิจัยทางคณิตศาสตร์มักแสวงหาคุณลักษณะที่สำคัญของวัตถุทางคณิตศาสตร์ ทฤษฎีบทที่แสดงเป็นลักษณะของวัตถุโดยคุณสมบัติเหล่านี้คือรางวัล ตัวอย่างของการขัดแย้งทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะอย่างยิ่งรวบรัดและเปิดหูเปิดตาได้รับการตีพิมพ์ในหลักฐานจากหนังสือ

ความนิยมของคณิตศาสตร์เพื่อการพักผ่อนหย่อนใจเป็นอีกสัญญาณหนึ่งของความสุขที่หลายคนพบในการแก้คำถามทางคณิตศาสตร์ และในที่สุดทางสังคมอื่น ๆ ปรัชญายังคงหาปัญหาในปรัชญาของคณิตศาสตร์เช่นลักษณะของการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ [65]

สัญกรณ์ภาษาและความเข้มงวด

Leonhard Euler ได้สร้างและสร้างความนิยมให้กับสัญกรณ์ทางคณิตศาสตร์ที่ใช้ในปัจจุบัน

สัญกรณ์ทางคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่ที่ใช้ในปัจจุบันไม่ได้ถูกประดิษฐ์ขึ้นจนกระทั่งศตวรรษที่ 16 [66]ก่อนหน้านั้นคณิตศาสตร์เขียนออกมาเป็นคำ ๆ จำกัด การค้นพบทางคณิตศาสตร์[67] ออยเลอร์ (1707–1783) เป็นผู้รับผิดชอบในการใช้สัญกรณ์ต่างๆในปัจจุบัน สัญกรณ์สมัยใหม่ทำให้คณิตศาสตร์ง่ายขึ้นมากสำหรับมืออาชีพ แต่ผู้เริ่มต้นมักพบว่ามันน่ากลัว ตามที่Barbara Oakleyสามารถนำมาประกอบกับความจริงที่ว่าความคิดทางคณิตศาสตร์มีทั้งนามธรรมและเข้ารหัสมากกว่าภาษาธรรมชาติ[68]ต่างจากภาษาธรรมชาติตรงที่ผู้คนมักจะเปรียบเปรยคำหนึ่งคำ (เช่นวัว) กับวัตถุทางกายภาพที่สอดคล้องกับสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์เป็นนามธรรมไม่มีอะนาล็อกทางกายภาพใด ๆ[69]สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ยังได้รับการเข้ารหัสสูงกว่าคำทั่วไปซึ่งหมายความว่าสัญลักษณ์เดียวสามารถเข้ารหัสการดำเนินการหรือแนวคิดต่างๆได้[70]

ภาษาทางคณิตศาสตร์อาจเป็นเรื่องยากที่จะเข้าใจสำหรับผู้เริ่มต้นเพราะแม้แต่คำศัพท์ทั่วไปเช่นหรือและเท่านั้นก็มีความหมายที่แม่นยำกว่าที่พูดในชีวิตประจำวันและคำศัพท์อื่น ๆ เช่นเปิดและฟิลด์หมายถึงความคิดทางคณิตศาสตร์ที่เฉพาะเจาะจงซึ่งไม่ครอบคลุมถึง ความหมายของฆราวาส ภาษาคณิตศาสตร์นอกจากนี้ยังมีคำศัพท์ทางเทคนิคหลายอย่างเช่นhomeomorphismและintegrableที่ไม่มีความหมายนอกของคณิตศาสตร์ นอกจากนี้วลีชวเลขเช่นiffสำหรับ " if and only if " เป็นของศัพท์แสงทางคณิตศาสตร์. มีเหตุผลสำหรับสัญกรณ์พิเศษและคำศัพท์ทางเทคนิค: คณิตศาสตร์ต้องการความแม่นยำมากกว่าการพูดในชีวิตประจำวัน นักคณิตศาสตร์กล่าวถึงความแม่นยำของภาษาและตรรกะนี้ว่า "ความเข้มงวด"

การพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์เป็นพื้นฐานเรื่องของความรุนแรง นักคณิตศาสตร์ต้องการให้ทฤษฎีบทของตนตามมาจากสัจพจน์โดยการใช้เหตุผลอย่างเป็นระบบ นี่คือการหลีกเลี่ยง " ทฤษฎีบท " ที่ผิดโดยอาศัยสัญชาตญาณที่เข้าใจผิดซึ่งมีหลายกรณีเกิดขึ้นในประวัติศาสตร์ของเรื่อง [b]ระดับความเข้มงวดที่คาดหวังในคณิตศาสตร์มีความแตกต่างกันไปตามกาลเวลา: ชาวกรีกคาดหวังการโต้แย้งโดยละเอียด แต่ในช่วงเวลาของไอแซกนิวตันวิธีการที่ใช้มีความเข้มงวดน้อยกว่า ปัญหาที่เกิดขึ้นในคำจำกัดความที่นิวตันใช้จะนำไปสู่การฟื้นตัวของการวิเคราะห์อย่างรอบคอบและการพิสูจน์อย่างเป็นทางการในศตวรรษที่ 19 ความเข้าใจผิดเกี่ยวกับความเข้มงวดเป็นสาเหตุของความเข้าใจผิดทั่วไปเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ ทุกวันนี้นักคณิตศาสตร์ยังคงถกเถียงกันเองเกี่ยวกับการพิสูจน์โดยใช้คอมพิวเตอร์ช่วยเนื่องจากการคำนวณขนาดใหญ่ยากที่จะตรวจสอบการพิสูจน์ดังกล่าวอาจผิดพลาดได้หากโปรแกรมคอมพิวเตอร์ที่ใช้ผิดพลาด[C] [71]บนมืออื่น ๆ , ผู้ช่วยพิสูจน์อนุญาตให้มีการตรวจสอบรายละเอียดทั้งหมดที่ไม่สามารถได้รับในหลักฐานที่เขียนด้วยมือและให้ความเชื่อมั่นในความถูกต้องของหลักฐานอันยาวดังกล่าวเป็นที่ของทฤษฎีบท Feit ธ อมป์สัน[d]

สัจพจน์ในความคิดแบบดั้งเดิมคือ "ความจริงที่ชัดเจนในตัวเอง" แต่ความคิดนั้นเป็นปัญหา[72]ในระดับอย่างเป็นทางการความจริงเป็นเพียงสตริงของสัญลักษณ์ที่มีความหมายที่แท้จริงเพียงในบริบทของสูตรได้มาทั้งหมดของที่ระบบจริงมันเป็นเป้าหมายของโปรแกรมของฮิลเบิร์ตที่จะทำให้คณิตศาสตร์ทั้งหมดอยู่บนพื้นฐานความจริงที่มั่นคง แต่ตามทฤษฎีบทที่ไม่สมบูรณ์ของGödelทุกๆระบบสัจพจน์ (ที่ทรงพลังเพียงพอ) มีสูตรที่ไม่สามารถตัดสินใจได้ดังนั้นสัจพจน์สุดท้ายของคณิตศาสตร์จึงเป็นไปไม่ได้ อย่างไรก็ตามคณิตศาสตร์มักถูกจินตนาการว่าเป็น (เท่าที่เนื้อหาที่เป็นทางการ) ไม่มีอะไรนอกจากทฤษฎีเซตในความจริงบางอย่างในแง่ที่ว่าทุกคำสั่งหรือการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์สามารถโยนลงในสูตรภายในทฤษฎีเซต [73]

สาขาคณิตศาสตร์

ลูกคิดเป็นเครื่องมือการคำนวณง่ายใช้มาตั้งแต่สมัยโบราณ

คณิตศาสตร์สามารถพูดกว้างแบ่งออกเป็นการศึกษาของปริมาณโครงสร้างพื้นที่และการเปลี่ยนแปลง (เช่นคณิตศาสตร์ , พีชคณิต , เรขาคณิตและการวิเคราะห์ ) นอกเหนือจากข้อกังวลหลักเหล่านี้แล้วยังมีแผนกย่อยที่มุ่งเน้นการสำรวจการเชื่อมโยงจากหัวใจของคณิตศาสตร์ไปยังสาขาอื่น ๆ เช่นตรรกะการตั้งทฤษฎี ( ฐานราก ) ไปจนถึงคณิตศาสตร์เชิงประจักษ์ของวิทยาศาสตร์ต่างๆ ( คณิตศาสตร์ประยุกต์ ) และเมื่อเร็ว ๆ นี้ การศึกษาที่เข้มงวดของความไม่แน่นอนในขณะที่บางพื้นที่อาจดูเหมือนไม่เกี่ยวข้องกันโปรแกรม Langlandsพบว่ามีการเชื่อมต่อระหว่างพื้นที่ก่อนหน้านี้คิดว่าไม่เกี่ยวเนื่องกันเช่นกลุ่ม Galois , Riemann พื้นผิวและทฤษฎีจำนวน

คณิตศาสตร์แบบไม่ต่อเนื่องจะจัดกลุ่มสาขาวิชาคณิตศาสตร์เข้าด้วยกันซึ่งศึกษาโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ที่ไม่ต่อเนื่องโดยพื้นฐานแทนที่จะเป็นแบบต่อเนื่อง

รากฐานและปรัชญา

เพื่อที่จะชี้แจงรากฐานของคณิตศาสตร์เขตข้อมูลของตรรกะทางคณิตศาสตร์และการตั้งทฤษฎีที่ถูกพัฒนาขึ้น ตรรกะทางคณิตศาสตร์รวมถึงการศึกษาทางคณิตศาสตร์เกี่ยวกับตรรกะและการประยุกต์ใช้ตรรกะทางการกับพื้นที่อื่น ๆ ของคณิตศาสตร์ ทฤษฎีเซตเป็นสาขาของคณิตศาสตร์ที่ศึกษาชุดหรือชุดของวัตถุ วลี "วิกฤตฐานราก" อธิบายถึงการค้นหารากฐานที่เข้มงวดสำหรับคณิตศาสตร์ซึ่งเกิดขึ้นตั้งแต่ประมาณปี 1900 ถึง 1930 [74]ความไม่เห็นด้วยบางอย่างเกี่ยวกับรากฐานของคณิตศาสตร์ยังคงดำเนินต่อไปจนถึงปัจจุบัน วิกฤตของฐานรากได้รับการกระตุ้นจากข้อถกเถียงหลายประการในเวลานั้นรวมถึงการทะเลาะวิวาทมากกว่าทฤษฎีเซตต้นเสียงและการทะเลาะวิวาท Brouwer-ฮิลแบร์ต

ตรรกะทางคณิตศาสตร์เกี่ยวข้องกับการกำหนดคณิตศาสตร์ภายในกรอบความจริงที่เข้มงวดและการศึกษาผลกระทบของกรอบดังกล่าว ด้วยเหตุนี้จึงเป็นที่ตั้งของทฤษฎีบทที่ไม่สมบูรณ์ของGödelซึ่ง (อย่างไม่เป็นทางการ) บอกเป็นนัยว่าระบบที่เป็นทางการที่มีประสิทธิภาพใด ๆที่ประกอบด้วยเลขคณิตพื้นฐานถ้าเสียง (หมายความว่าทฤษฎีบททั้งหมดที่สามารถพิสูจน์ได้ว่าเป็นความจริง) จึงไม่จำเป็นต้องสมบูรณ์ (หมายความว่ามีทฤษฎีบทจริง ซึ่งไม่สามารถพิสูจน์ได้ในระบบนั้น). ไม่ว่าการรวบรวมสัจพจน์ทฤษฎีจำนวน จำกัด จะถูกนำมาเป็นรากฐานอย่างไรGödelได้แสดงให้เห็นถึงวิธีการสร้างคำสั่งที่เป็นทางการซึ่งเป็นข้อเท็จจริงทางทฤษฎีจำนวนจริง แต่สิ่งที่ไม่เป็นไปตามสัจพจน์เหล่านั้น ดังนั้นจึงไม่มีระบบที่เป็นทางการเป็นสัจพจน์ที่สมบูรณ์ของทฤษฎีจำนวนเต็ม ตรรกะที่ทันสมัยแบ่งออกเป็นทฤษฎีการเรียกซ้ำ , ทฤษฎีแบบจำลองและการพิสูจน์ทฤษฎีและมีการเชื่อมโยงอย่างใกล้ชิดกับวิชาวิทยาการคอมพิวเตอร์ , [75]เช่นเดียวกับทฤษฎีประเภทในบริบทของทฤษฎีการเรียกซ้ำที่เป็นไปไม่ได้ของ axiomatization เต็มรูปแบบของทฤษฎีจำนวนนอกจากนี้ยังสามารถแสดงให้เห็นอย่างเป็นทางการว่าเป็นผลมาจากทฤษฎีบท MRDP

วิชาวิทยาการคอมพิวเตอร์รวมถึงทฤษฎีการคำนวณ , ทฤษฎีความซับซ้อนในการคำนวณและทฤษฎีสารสนเทศทฤษฎีความสามารถในการคำนวณจะตรวจสอบข้อ จำกัด ของแบบจำลองทางทฤษฎีต่างๆของคอมพิวเตอร์รวมถึงแบบจำลองที่เป็นที่รู้จักมากที่สุดนั่นคือเครื่องทัวริงทฤษฎีความซับซ้อนคือการศึกษาความสามารถในการดึงได้ด้วยคอมพิวเตอร์ ปัญหาบางอย่างแม้ว่าจะสามารถแก้ไขได้ในทางทฤษฎีด้วยคอมพิวเตอร์ แต่ก็มีราคาแพงมากในแง่ของเวลาหรือพื้นที่ซึ่งการแก้ปัญหาเหล่านี้ยังคงเป็นไปไม่ได้ในทางปฏิบัติแม้จะมีความก้าวหน้าอย่างรวดเร็วของฮาร์ดแวร์คอมพิวเตอร์ก็ตาม ปัญหาที่มีชื่อเสียงคือ " P = NP ? " ปัญหาหนึ่งของรางวัลสหัสวรรษปัญหา[76]ในที่สุดทฤษฎีสารสนเทศที่เกี่ยวข้องกับจำนวนของข้อมูลที่สามารถเก็บไว้ในสื่อที่กำหนดและด้วยเหตุนี้เกี่ยวข้องกับแนวคิดเช่นการบีบอัดและเอนโทรปี

ตรรกะทางคณิตศาสตร์ตั้งทฤษฎีทฤษฎีหมวดหมู่ทฤษฎีการคำนวณ

คณิตศาสตร์บริสุทธิ์

ระบบจำนวนและทฤษฎีจำนวน

การศึกษาปริมาณเริ่มต้นด้วยหมายเลขแรกที่คุ้นเคยจำนวนธรรมชาติ และจำนวนเต็ม ( "ตัวเลขทั้งหมด") และการดำเนินงานเกี่ยวกับคณิตศาสตร์เกี่ยวกับพวกเขาซึ่งมีลักษณะในทางคณิตศาสตร์คุณสมบัติที่ลึกของจำนวนเต็มมีการศึกษาในทฤษฎีจำนวนจากที่มาผลเป็นที่นิยมเช่นทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาการคาดคะเนคู่แฝดและการคาดเดาของโกลด์บาคเป็นปัญหาสองประการที่ยังไม่ได้แก้ไขในทฤษฎีจำนวน

เมื่อระบบตัวเลขได้รับการพัฒนาเพิ่มเติมจำนวนเต็มจึงถูกรับรู้ว่าเป็นส่วนย่อยของจำนวนตรรกยะ (" เศษส่วน ") เหล่านี้ในที่สุดก็มีอยู่ภายในจำนวนจริง , ซึ่งจะใช้เพื่อเป็นตัวแทนของข้อ จำกัด ของลำดับของตัวเลขที่มีเหตุผลและอย่างต่อเนื่องปริมาณ ตัวเลขจริงจะทั่วไปกับตัวเลขที่ซับซ้อนตามทฤษฎีบทพื้นฐานของพีชคณิตสมการพหุนามทั้งหมดในสมการที่ไม่ทราบค่าสัมประสิทธิ์เชิงซ้อนจะมีคำตอบเป็นจำนวนเชิงซ้อนโดยไม่คำนึงถึงระดับของพหุนาม และเป็นขั้นตอนแรกของลำดับชั้นของตัวเลขที่จะรวมเข้าด้วยกันquaternionsและoctonions การพิจารณาจำนวนธรรมชาติยังนำไปสู่จำนวนที่ไม่จำกัด ซึ่งทำให้แนวคิดของ " อินฟินิตี้ " เป็นทางการ พื้นที่การศึกษาอื่นคือขนาดของเซตซึ่งอธิบายด้วยตัวเลขที่สำคัญ ซึ่งรวมถึงตัวเลขเอเลฟซึ่งช่วยให้สามารถเปรียบเทียบขนาดของชุดใหญ่ได้อย่างมีความหมาย

ตัวเลขธรรมชาติจำนวนเต็มสรุปตัวเลขตัวเลขจริงจำนวนเชิงซ้อนพระคาร์ดินัลไม่มีที่สิ้นสุด

โครงสร้าง

วัตถุทางคณิตศาสตร์จำนวนมากเช่นชุดของตัวเลขและฟังก์ชันจัดแสดงโครงสร้างภายในอันเป็นผลมาจากการดำเนินการหรือความสัมพันธ์ที่กำหนดไว้ในเซต จากนั้นคณิตศาสตร์ศึกษาคุณสมบัติของเซตที่สามารถแสดงในรูปของโครงสร้างนั้น สำหรับทฤษฎีจำนวนอินสแตนซ์ศึกษาคุณสมบัติของเซตของจำนวนเต็มที่สามารถแสดงในรูปของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ยิ่งไปกว่านั้นมันมักจะเกิดขึ้นบ่อยครั้งที่ชุดโครงสร้าง (หรือโครงสร้าง ) ที่แตกต่างกันแสดงคุณสมบัติที่คล้ายคลึงกันซึ่งทำให้เป็นไปได้ในขั้นตอนถัดไปของนามธรรมไปสู่สัจพจน์ของรัฐสำหรับชั้นของโครงสร้างจากนั้นศึกษาโครงสร้างทั้งชั้นพร้อมกันที่ตรงตามสัจพจน์เหล่านี้ ดังนั้นเราจึงสามารถศึกษากลุ่ม , แหวน , เขตและระบบนามธรรมอื่น ๆ การศึกษาดังกล่าวร่วมกัน (สำหรับโครงสร้างที่กำหนดโดยการดำเนินงานเกี่ยวกับพีชคณิต) เป็นการโดเมนของพีชคณิตนามธรรม

โดยทั่วไปแล้วพีชคณิตนามธรรมมักจะสามารถนำไปใช้กับปัญหาที่ดูเหมือนไม่เกี่ยวข้องกันได้ ยกตัวอย่างเช่นปัญหาโบราณหลายประการเกี่ยวกับเข็มทิศและการสร้างเส้นตรงในที่สุดก็ได้รับการแก้ไขโดยใช้ทฤษฎี Galoisซึ่งเกี่ยวข้องกับทฤษฎีสนามและทฤษฎีกลุ่ม อีกตัวอย่างหนึ่งของทฤษฎีพีชคณิตคือพีชคณิตเชิงเส้นซึ่งเป็นการศึกษาทั่วไปเกี่ยวกับปริภูมิเวกเตอร์ซึ่งองค์ประกอบที่เรียกว่าเวกเตอร์มีทั้งปริมาณและทิศทางและสามารถใช้ในการจำลอง (ความสัมพันธ์ระหว่าง) จุดในอวกาศได้ นี่เป็นตัวอย่างหนึ่งของปรากฏการณ์ที่พื้นที่เรขาคณิตและพีชคณิตที่ไม่เกี่ยวข้องกันมา แต่เดิมมีปฏิสัมพันธ์ที่รุนแรงมากในคณิตศาสตร์สมัยใหม่Combinatoricsศึกษาวิธีการแจกแจงจำนวนวัตถุที่เหมาะสมกับโครงสร้างที่กำหนด

Combinatoricsทฤษฎีจำนวนทฤษฎีกลุ่มทฤษฎีกราฟทฤษฎีการสั่งซื้อพีชคณิต

พื้นที่

การศึกษาต้นกำเนิดพื้นที่ที่มีรูปทรงเรขาคณิต -in โดยเฉพาะรูปทรงเรขาคณิตแบบยุคลิดซึ่งรวมพื้นที่และตัวเลขและโลกไซเบอร์ที่รู้จักกันดีทฤษฎีบทพีทาโกรัส ตรีโกณมิติเป็นสาขาของคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับความสัมพันธ์ระหว่างด้านข้างและมุมของรูปสามเหลี่ยมและฟังก์ชันตรีโกณมิติ การศึกษาที่ทันสมัยของพื้นที่ generalizes ความคิดเหล่านี้จะรวมถึงการที่สูงขึ้นมิติเรขาคณิตรูปทรงเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิด (ซึ่งมีบทบาทสำคัญในการสัมพัทธภาพทั่วไป ) และโครงสร้างจำนวนและพื้นที่ทั้งมีบทบาทในเรขาคณิตวิเคราะห์ , เรขาคณิตต่างกันและพีชคณิตเรขาคณิต นูนและรูปทรงเรขาคณิตที่ไม่ต่อเนื่องได้รับการพัฒนาเพื่อแก้ปัญหาในทฤษฎีจำนวนและการวิเคราะห์การทำงานแต่ตอนนี้กำลังไล่ตามด้วยตาในการประยุกต์ใช้ในการเพิ่มประสิทธิภาพและวิทยาการคอมพิวเตอร์ภายในเรขาคณิตต่างมีแนวความคิดของการรวมกลุ่มเส้นใยและแคลคูลัสในแมนิโฟลโดยเฉพาะอย่างยิ่งเวกเตอร์และเมตริกซ์แคลคูลัสภายในเรขาคณิตเชิงพีชคณิตคือคำอธิบายของวัตถุทางเรขาคณิตเป็นชุดการแก้ปัญหาของสมการพหุนามการรวมแนวคิดของปริมาณและพื้นที่และการศึกษากลุ่มโทโพโลยีซึ่งรวมโครงสร้างและพื้นที่เข้าด้วยกันกลุ่มโกหกใช้เพื่อศึกษาพื้นที่โครงสร้างและการเปลี่ยนแปลงโทโพโลยีในการแบ่งส่วนต่างๆทั้งหมดอาจเป็นพื้นที่ที่มีการเติบโตมากที่สุดในคณิตศาสตร์ศตวรรษที่ 20 มันมีจุดตั้ง topology , ชุดทฤษฎี topology , topology เกี่ยวกับพีชคณิตและโครงสร้างค่าโดยเฉพาะอย่างยิ่งกรณีของโทโพโลยีสมัยใหม่เป็นทฤษฎี metrizability , จริงทฤษฎีเซต , ทฤษฎี homotopyและทฤษฎีมอร์สโทโพโลยียังรวมถึงการคาดเดาPoincaréที่แก้ไขแล้วในขณะนี้และพื้นที่ยังไม่แก้ของการคาดเดาฮ็อดจ์ ผลลัพธ์อื่น ๆ ในรูปทรงเรขาคณิตและโทโพโลยีรวมถึงทฤษฎีบทสี่สีและการคาดเดาของเคปเลอร์ได้รับการพิสูจน์ด้วยความช่วยเหลือของคอมพิวเตอร์เท่านั้น

เรขาคณิตตรีโกณมิติเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์โทโพโลยีเรขาคณิตเศษส่วนทฤษฎีการวัด

เปลี่ยน

การทำความเข้าใจและอธิบายการเปลี่ยนแปลงเป็นเรื่องธรรมดาในวิทยาศาสตร์ธรรมชาติและแคลคูลัสได้รับการพัฒนาขึ้นเพื่อเป็นเครื่องมือในการตรวจสอบฟังก์ชั่นเกิดขึ้นที่นี่เป็นแนวคิดกลางที่อธิบายปริมาณที่เปลี่ยนแปลง การศึกษาที่เข้มงวดของตัวเลขจริงและฟังก์ชั่นของตัวแปรจริงเป็นที่รู้จักกันวิเคราะห์จริงด้วยการวิเคราะห์ที่ซับซ้อนสนามเทียบเท่าสำหรับตัวเลขที่ซับซ้อน การวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันมุ่งเน้นไปที่ช่องว่างของฟังก์ชัน(โดยทั่วไปคือไม่มีที่สิ้นสุด) หนึ่งในหลาย ๆ โปรแกรมของการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันคือกลศาสตร์ควอนตัม. หลายปัญหานำไปสู่ธรรมชาติกับความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณและอัตราการเปลี่ยนแปลงและมีการศึกษาเหล่านี้เป็นสมการเชิงอนุพันธ์ ปรากฏการณ์หลายคนในธรรมชาติสามารถอธิบายได้ด้วยระบบ dynamical ; ทฤษฎีความโกลาหลทำให้เกิดความแม่นยำในวิธีการที่ระบบเหล่านี้แสดงพฤติกรรมที่ ไม่สามารถคาดเดาได้ แต่ยังคงเป็นปัจจัยกำหนด

แคลคูลัสแคลคูลัสเวกเตอร์สมการเชิงอนุพันธ์ระบบไดนามิกทฤษฎีความโกลาหลการวิเคราะห์ที่ซับซ้อน

คณิตศาสตร์ประยุกต์

คณิตศาสตร์ประยุกต์กังวลตัวเองด้วยวิธีการทางคณิตศาสตร์ที่ใช้โดยทั่วไปในวิทยาศาสตร์ , วิศวกรรม , ธุรกิจและอุตสาหกรรมดังนั้น "คณิตศาสตร์ประยุกต์" คือวิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์ที่มีเฉพาะความรู้คำว่าคณิตศาสตร์ประยุกต์ยังอธิบายถึงความเชี่ยวชาญในวิชาชีพที่นักคณิตศาสตร์ทำงานกับปัญหาในทางปฏิบัติ ในฐานะที่เป็นอาชีพที่มุ่งเน้นไปที่ปัญหาในทางปฏิบัติคณิตศาสตร์ประยุกต์มุ่งเน้นไปที่ "การกำหนดรูปแบบการศึกษาและการใช้แบบจำลองทางคณิตศาสตร์" ในด้านวิทยาศาสตร์วิศวกรรมและด้านอื่น ๆ ของการปฏิบัติทางคณิตศาสตร์

ในอดีตการประยุกต์ใช้ในทางปฏิบัติได้กระตุ้นให้เกิดการพัฒนาทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ซึ่งต่อมาได้กลายเป็นหัวข้อของการศึกษาในคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ซึ่งคณิตศาสตร์ได้รับการพัฒนาขึ้นเพื่อประโยชน์ของตัวเองเป็นหลัก ดังนั้นกิจกรรมของคณิตศาสตร์ประยุกต์มีการเชื่อมต่อที่สำคัญกับการวิจัยในคณิตศาสตร์บริสุทธิ์

สถิติและศาสตร์การตัดสินใจอื่น ๆ

คณิตศาสตร์ประยุกต์มีความทับซ้อนอย่างมีนัยสำคัญกับวินัยของสถิติซึ่งทฤษฎีนี้ได้รับการกำหนดทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะอย่างยิ่งกับทฤษฎีความน่าจะเป็น สถิติ (การทำงานเป็นส่วนหนึ่งของโครงการวิจัย) "สร้างข้อมูลที่ทำให้รู้สึก" กับการสุ่มแบบและมีการสุ่มทดลอง ; [77]การออกแบบตัวอย่างทางสถิติหรือการทดลองระบุการวิเคราะห์ข้อมูล (ก่อนที่ข้อมูลจะพร้อมใช้งาน) เมื่อพิจารณาข้อมูลจากการทดลองและกลุ่มตัวอย่างอีกครั้งหรือเมื่อวิเคราะห์ข้อมูลจากการศึกษาเชิงสังเกตนักสถิติจะ "เข้าใจข้อมูล" โดยใช้ศิลปะการสร้างแบบจำลองและทฤษฎีการอนุมานด้วยการเลือกแบบจำลองและการประมาณค่า ; รุ่นที่เป็นผลสืบเนื่องประมาณและการคาดการณ์ที่ควรได้รับการทดสอบเกี่ยวกับข้อมูลใหม่ [e]

ทฤษฎีทางสถิติการศึกษาปัญหาการตัดสินใจเช่นการลดความเสี่ยง ( ขาดทุนที่คาดว่า ) ของการดำเนินการทางสถิติเช่นการใช้ขั้นตอนในตัวอย่างเช่นประมาณค่าพารามิเตอร์ , การทดสอบสมมติฐานและการเลือกที่ดีที่สุดในพื้นที่ดั้งเดิมของสถิติทางคณิตศาสตร์ปัญหาการตัดสินใจทางสถิติถูกกำหนดโดยการลดฟังก์ชันวัตถุประสงค์เช่นการสูญเสียหรือต้นทุนที่คาดหวังภายใต้ข้อ จำกัด เฉพาะตัวอย่างเช่นการออกแบบการสำรวจมักจะเกี่ยวข้องกับการลดต้นทุนในการประมาณค่าเฉลี่ยประชากรด้วยค่าที่กำหนดให้น้อยที่สุด ระดับความมั่นใจ[78]เพราะการใช้งานของการเพิ่มประสิทธิภาพ , ทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ของสถิติหุ้นกังวลกับคนอื่น ๆวิทยาศาสตร์การตัดสินใจเช่นการดำเนินงานวิจัย , ทฤษฎีการควบคุมและคณิตศาสตร์เศรษฐศาสตร์ [79]

คณิตศาสตร์เชิงคำนวณ

คณิตศาสตร์เชิงคำนวณเสนอและศึกษาวิธีการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่มักจะใหญ่เกินไปสำหรับความสามารถในการคิดเลขของมนุษย์ตัวเลขการวิเคราะห์วิธีการศึกษาสำหรับปัญหาในการวิเคราะห์โดยใช้การวิเคราะห์การทำงานและทฤษฎีการประมาณ ; การวิเคราะห์เชิงตัวเลขรวมถึงการศึกษาของประมาณและdiscretisationในวงกว้างด้วยความห่วงใยเป็นพิเศษสำหรับการปัดเศษข้อผิดพลาดการวิเคราะห์เชิงตัวเลขและการคำนวณทางวิทยาศาสตร์ในวงกว้างมากขึ้นยังศึกษาหัวข้อที่ไม่ใช่การวิเคราะห์ของวิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์โดยเฉพาะเมทริกซ์อัลกอริทึมและทฤษฎีกราฟ . พื้นที่อื่น ๆ ของคณิตศาสตร์คำนวณรวมพีชคณิตคอมพิวเตอร์และการคำนวณสัญลักษณ์

ทฤษฎีเกมพลศาสตร์ของของไหลการวิเคราะห์เชิงตัวเลขการเพิ่มประสิทธิภาพทฤษฎีความน่าจะเป็นสถิติการเข้ารหัส
การเงินทางคณิตศาสตร์ฟิสิกส์คณิตศาสตร์เคมีคณิตศาสตร์ชีววิทยาทางคณิตศาสตร์เศรษฐศาสตร์คณิตศาสตร์ทฤษฎีการควบคุม

รางวัลทางคณิตศาสตร์

เนื้อหาที่ได้รับรางวัลอันทรงเกียรติที่สุดในวิชาคณิตศาสตร์เป็นเหรียญฟิลด์ , [80] [81]ก่อตั้งขึ้นในปี 1936 และได้รับรางวัลทุกสี่ปี (ยกเว้นรอบสงครามโลกครั้งที่สอง) ไปเป็นจำนวนมากเป็นบุคคลที่สี่ เหรียญ Fields มักถือเป็นรางวัลทางคณิตศาสตร์ที่เทียบเท่ากับรางวัลโนเบล

หมาป่ารางวัลคณิตศาสตร์ก่อตั้งในปี 1978 โดยคำนึงถึงความสำเร็จในชีวิตและอีกรางวัลนานาชาติที่สำคัญรางวัลอาเบลได้รับการก่อตั้งในปี 2003 Chern เหรียญได้รับการแนะนำในปี 2010 ที่จะยอมรับความสำเร็จในชีวิต รางวัลเหล่านี้มอบให้เพื่อเป็นการยกย่องผลงานเฉพาะซึ่งอาจเป็นการสร้างสรรค์สิ่งใหม่ ๆ หรือให้วิธีแก้ปัญหาที่โดดเด่นในสาขาที่กำหนด

รายการที่มีชื่อเสียงของ 23 ปัญหาเปิดเรียกว่า " ฮิลแบร์ตปัญหา " ถูกรวบรวมในปี 1900 โดยนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันเดวิดฮิลแบร์ต รายการนี้ประสบความสำเร็จอย่างมากในหมู่นักคณิตศาสตร์และตอนนี้ปัญหาอย่างน้อยเก้าข้อได้รับการแก้ไขแล้ว รายการใหม่ของปัญหาสำคัญ 7 ประการที่มีชื่อว่า " ปัญหารางวัลแห่งสหัสวรรษ " ได้รับการตีพิมพ์ในปี พ.ศ. 2543 เพียงหนึ่งในนั้นคือสมมติฐานของ Riemannซ้ำซ้อนกับปัญหาหนึ่งของฮิลเบิร์ต วิธีแก้ปัญหาเหล่านี้จะได้รับรางวัล 1 ล้านดอลลาร์ ขณะนี้มีเพียงหนึ่งในปัญหาเหล่านี้คือการคาดเดาPoincaréได้รับการแก้ไขแล้ว

ดูสิ่งนี้ด้วย

  • คณิตศาสตร์โอลิมปิกระหว่างประเทศ
  • รายการหัวข้อคณิตศาสตร์
  • วิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์
  • คณิตศาสตร์และศิลปะ
  • คณิตศาสตร์ศึกษา
  • พิพิธภัณฑ์คณิตศาสตร์แห่งชาติ
  • ปรัชญาคณิตศาสตร์
  • ความสัมพันธ์ระหว่างคณิตศาสตร์และฟิสิกส์
  • วิทยาศาสตร์เทคโนโลยีวิศวกรรมและคณิตศาสตร์

หมายเหตุ

  1. ^ ไม่มีความคล้ายคลึงหรือคำอธิบายลักษณะทางกายภาพของ Euclid ที่เกิดขึ้นในช่วงชีวิตของเขาที่รอดชีวิตจากสมัยโบราณ ดังนั้นการพรรณนาถึงผลงานศิลปะของ Euclid จึงขึ้นอยู่กับจินตนาการของศิลปิน (ดู Euclid )
  2. ^ ดูข้อพิสูจน์เท็จสำหรับตัวอย่างง่ายๆของสิ่งที่อาจผิดพลาดในการพิสูจน์อย่างเป็นทางการ
  3. ^ สำหรับการพิจารณาว่ามีความน่าเชื่อถือในการคำนวณขนาดใหญ่ที่เกิดขึ้นในการพิสูจน์หนึ่งโดยทั่วไปต้องใช้การคำนวณสองครั้งโดยใช้ซอฟต์แวร์อิสระ
  4. ^ หนังสือที่มีหลักฐานครบถ้วนมีมากกว่า 1,000 หน้า
  5. ^ เช่นเดียวกับวิทยาศาสตร์ทางคณิตศาสตร์อื่น ๆ เช่นฟิสิกส์และวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์สถิติเป็นระเบียบวินัยในตนเองแทนที่จะเป็นสาขาคณิตศาสตร์ประยุกต์ เช่นเดียวกับนักฟิสิกส์การวิจัยและนักวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์นักสถิติการวิจัยคือนักวิทยาศาสตร์ทางคณิตศาสตร์ นักสถิติหลายคนจบปริญญาด้านคณิตศาสตร์และนักสถิติบางคนก็เป็นนักคณิตศาสตร์ด้วย

อ้างอิง

  1. ^ "คณิตศาสตร์n. " พจนานุกรมภาษาอังกฤษ สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ด 2555. สืบค้นเมื่อวันที่ 16 พฤศจิกายน 2562 . สืบค้นเมื่อ16 มิถุนายน 2555 . วิทยาศาสตร์ของพื้นที่จำนวนปริมาณและการจัดเรียงซึ่งวิธีการนี้เกี่ยวข้องกับการให้เหตุผลเชิงตรรกะและโดยปกติจะใช้สัญกรณ์เชิงสัญลักษณ์ซึ่งรวมถึงเรขาคณิตเลขคณิตพีชคณิตและการวิเคราะห์
  2. ^ กระดูกหัวเข่า GT (1963) คณิตศาสตร์ Logic และรากฐานของคณิตศาสตร์: การสำรวจเบื้องต้น โดเวอร์. น. 4 . ISBN 978-0-486-41712-7. คณิตศาสตร์ ... เป็นเพียงการศึกษาโครงสร้างนามธรรมหรือรูปแบบที่เป็นทางการของการเชื่อมโยง
  3. ^ LaTorre โดนัลด์อาร์; เคเนลลีจอห์นดับเบิลยู; บิ๊กเกอร์เชอร์รี่เอส; ช่างไม้ลอเรลอาร์.; รีดไอริสบี; แฮร์ริสซินเทียอาร์. (2011). แนวคิดแคลคูลัส: วิธีการทางการกับคณิตศาสตร์ของการเปลี่ยนแปลง การเรียนรู้ Cengage น. 2 . ISBN 978-1-4390-4957-0. แคลคูลัสคือการศึกษาการเปลี่ยนแปลงว่าสิ่งต่างๆเปลี่ยนแปลงอย่างไรและเปลี่ยนแปลงเร็วเพียงใด
  4. รามานา (2550). คณิตศาสตร์ประยุกต์ . Tata McGraw - Hill Education น. 2.10 . ISBN 978-0-07-066753-2. การศึกษาทางคณิตศาสตร์เกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงการเคลื่อนที่การเจริญเติบโตหรือการสลายตัวคือแคลคูลัส
  5. ^ Ziegler, Günterเอ็ม (2011) "คณิตศาสตร์คืออะไร". ได้รับเชิญไปคณิตศาสตร์: จากการแข่งขันเพื่อการวิจัย สปริงเกอร์. น. vii . ISBN 978-3-642-19532-7.
  6. ^ a b c d Mura, Roberta (ธันวาคม 1993) "ภาพคณิตศาสตร์จัดขึ้นโดยอาจารย์มหาวิทยาลัยคณิตศาสตร์วิทยาศาสตร์". การศึกษาการศึกษาในวิชาคณิตศาสตร์ 25 (4): 375–85. ดอย : 10.1007 / BF01273907 . JSTOR 3482762 S2CID 122351146  
  7. ^ a b c Tobies, Renate & Helmut Neunzert (2012) ไอริส Runge: ชีวิตที่สี่แยกของคณิตศาสตร์วิทยาศาสตร์และอุตสาหกรรม สปริงเกอร์. น. 9 . ISBN 978-3-0348-0229-1. [I] t เป็นสิ่งแรกที่จำเป็นในการถามว่าคณิตศาสตร์โดยทั่วไปหมายถึงอะไร นักวิชาการที่มีชื่อเสียงได้ถกเถียงกันเรื่องนี้จนเป็นสีฟ้าต่อหน้าและยังไม่มีความเห็นเป็นเอกฉันท์ว่าคณิตศาสตร์เป็นวิทยาศาสตร์ธรรมชาติสาขาหนึ่งของมนุษยศาสตร์หรือรูปแบบศิลปะ
  8. ^ สตีน, LA (29 เมษายน 1988) The Science of Patterns Science , 240: 611–16 และสรุปไว้ที่ Association for Supervision and Curriculum Development Archived 28 ตุลาคม 2553 ที่ Wayback Machine , www.ascd.org
  9. ^ เดฟลิน, คี ธ ,คณิตศาสตร์: วิทยาศาสตร์ของรูปแบบการค้นหาสำหรับการสั่งซื้อสินค้าในชีวิตจิตใจและจักรวาล (Scientific American ปกอ่อนห้องสมุด) ปี 1996 ISBN 978-0-7167-5047-5 
  10. ^ ฉลาดเดวิด "อิทธิพล Eudoxus' ในยุคลิดองค์ประกอบกับมองใกล้ที่วิธีการของความอ่อนล้า" jwilson.coe.uga.edu เก็บถาวรไปจากเดิมในวันที่ 1 มิถุนายน 2019 สืบค้นเมื่อ26 ตุลาคม 2562 .
  11. ^ ยั้วเยี้ย 1990พี 306.
  12. ^ ปี เตอร์สัน , พี. 12.
  13. ^ a b Wigner, Eugene (1960) "ประสิทธิผลที่ไม่สมเหตุสมผลของคณิตศาสตร์ในวิทยาศาสตร์ธรรมชาติ" . การสื่อสารในคณิตศาสตร์บริสุทธิ์และประยุกต์ 13 (1): 1–14. Bibcode : 1960CPAM ... 13 .... 1 ว . ดอย : 10.1002 / cpa.3160130102 . สืบค้นเมื่อ 28 กุมภาพันธ์ 2554.
  14. ^ Dehaene, สตานิสลาส; เดแฮน - แลมเบิร์ตซ, กิสเลน; Cohen, Laurent (สิงหาคม 2541) "การแสดงตัวเลขเชิงนามธรรมในสมองของสัตว์และมนุษย์". แนวโน้มของประสาทวิทยาศาสตร์ . 21 (8): 355–61 ดอย : 10.1016 / S0166-2236 (98) 01263-6 . PMID 9720604 . S2CID 17414557  
  15. ^ ดูตัวอย่างเช่น Raymond L. Wilderวิวัฒนาการของแนวคิดทางคณิตศาสตร์ การศึกษาประถมศึกษา , passim
  16. ^ Zaslavsky คลอเดีย (2542). นับแอฟริกาใต้: จำนวนและรูปแบบในวัฒนธรรมแอฟริกัน สำนักพิมพ์ชิคาโกทบทวน ISBN 978-1-61374-115-3. OCLC  843204342 สืบค้นเมื่อ 31 มีนาคม 2564 . สืบค้นเมื่อ29 พฤษภาคม 2563 .
  17. ^ Kline 1990บทที่ 1
  18. ^ "อียิปต์คณิตศาสตร์ - เรื่องราวของคณิตศาสตร์" www.storyofmathematics.com . ที่เก็บถาวรจากเดิมเมื่อวันที่ 16 กันยายน 2018 สืบค้นเมื่อ27 ตุลาคม 2562 .
  19. ^ "ซู / บาบิโลนคณิตศาสตร์ - เรื่องราวของคณิตศาสตร์" www.storyofmathematics.com . ที่เก็บถาวรจากเดิมเมื่อวันที่ 7 กันยายน 2019 สืบค้นเมื่อ27 ตุลาคม 2562 .
  20. ^ บอยเยอร์ 1991 "โสโปเตเมีย" ได้ pp. 24-27
  21. ^ เฮลธ์, โทมัสลิตเติ้ล (1981) [1921] ประวัติศาสตร์ของกรีกคณิตศาสตร์: จาก Thales จะ Euclid นิวยอร์ก: Dover Publications. น. 1 . ISBN 978-0-486-24073-2.
  22. ^ บอยเยอร์ 1991 "Euclid ซานเดรีย" หน 119.
  23. ^ บอยเยอร์ 1991 "Archimedes ซีราคิวส์" หน 120.
  24. ^ บอยเยอร์ 1991 "Archimedes ซีราคิวส์" หน 130.
  25. ^ บอยเยอร์ 1991 "Apollonius ของ Perga" หน 145.
  26. ^ บอยเยอร์ 1991 "กรีกตรีโกณมิติและการวัด" หน 162.
  27. ^ บอยเยอร์ 1991 "การฟื้นฟูและการลดลงของกรีกคณิตศาสตร์" หน 180.
  28. ^ "คณิตศาสตร์อินเดีย - เรื่องของคณิตศาสตร์" www.storyofmathematics.com . ที่เก็บถาวรจากเดิมเมื่อวันที่ 13 เมษายน 2019 สืบค้นเมื่อ27 ตุลาคม 2562 .
  29. ^ "อิสลามคณิตศาสตร์ - เรื่องราวของคณิตศาสตร์" www.storyofmathematics.com . ที่เก็บถาวรจากเดิมเมื่อวันที่ 17 ตุลาคม 2019 สืบค้นเมื่อ27 ตุลาคม 2562 .
  30. ^ ซา ลิบาจอร์จ (2537). ประวัติของดาราศาสตร์อาหรับ: ทฤษฎีดาวเคราะห์ในช่วงยุคทองของศาสนาอิสลาม สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยนิวยอร์ก ISBN 978-0-8147-7962-0. OCLC  28723059 สืบค้นเมื่อ 31 มีนาคม 2564 . สืบค้นเมื่อ29 พฤษภาคม 2563 .
  31. ^ "ศตวรรษที่ 17 คณิตศาสตร์ - เรื่องราวของคณิตศาสตร์" www.storyofmathematics.com . ที่เก็บถาวรจากเดิมเมื่อวันที่ 16 กันยายน 2018 สืบค้นเมื่อ27 ตุลาคม 2562 .
  32. ^ "ออยเลอร์ - ศตวรรษที่ 18 คณิตศาสตร์ - เรื่องราวของคณิตศาสตร์" www.storyofmathematics.com . ที่เก็บถาวรจากเดิมเมื่อวันที่ 2 พฤษภาคม 2019 สืบค้นเมื่อ27 ตุลาคม 2562 .
  33. ^ "เกาส์ - ศตวรรษที่ 19 คณิตศาสตร์ - เรื่องราวของคณิตศาสตร์" www.storyofmathematics.com . ที่เก็บถาวรจากเดิมเมื่อวันที่ 25 กรกฎาคม 2019 สืบค้นเมื่อ27 ตุลาคม 2562 .
  34. ^ "ศตวรรษที่ 20 คณิตศาสตร์ - Gödel" เรื่องราวของคณิตศาสตร์ ที่เก็บถาวรจากเดิมเมื่อวันที่ 16 กันยายน 2018 สืบค้นเมื่อ27 ตุลาคม 2562 .
  35. ^ Sevryuk 2006 , PP. 101-09
  36. ^ "คณิตศาสตร์ (n.)" . ออนไลน์นิรุกติศาสตร์พจนานุกรม สืบค้นจากต้นฉบับเมื่อวันที่ 7 มีนาคม 2556
  37. ^ ทั้งสองความหมายสามารถพบได้ในเพลโตที่แคบกว่าใน Republic 510c ที่ เก็บถาวรเมื่อวันที่ 24 กุมภาพันธ์ 2021 ที่ Wayback Machineแต่เพลโตไม่ได้ใช้คำทางคณิตศาสตร์อริสโตเติลได้แสดงความคิดเห็นเกี่ยวกับเรื่องนี้μαθηματικήลิดเดลล์เฮนรีจอร์จ ;สก็อตต์โรเบิร์ต ;กรีกพจนานุกรมอังกฤษในโครงการเซอุส OED Online , "คณิตศาสตร์".
  38. ^ "Pythagoras - กรีกคณิตศาสตร์ - เรื่องราวของคณิตศาสตร์" www.storyofmathematics.com . สืบค้นจากต้นฉบับเมื่อวันที่ 17 กันยายน 2018 . สืบค้นเมื่อ27 ตุลาคม 2562 .
  39. ^ Boas, ราล์ฟ (1995) [1991] "สิ่งที่ออกัสตินไม่ได้พูดเกี่ยวกับคณิตศาสตร์" สิงโตล่าสัตว์และการแสวงหาทางคณิตศาสตร์อื่น ๆ : ชุดคณิตศาสตร์กลอนและเรื่องราวโดยสายราล์ฟพีฟูฟ่าจูเนียร์ สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ น. 257. ISBN 978-0-88385-323-8. เก็บถาวรไปจากเดิมในวันที่ 20 พฤษภาคม 2020 สืบค้นเมื่อ17 มกราคม 2561 .
  40. ^ ฟอร์ดพจนานุกรมภาษาอังกฤษนิรุกติศาสตร์ , Oxford อังกฤษ ,ย่อย "คณิตศาสตร์", "คณิตศาสตร์", "คณิตศาสตร์"
  41. ^ "คณิตศาสตร์n. "และ "คณิตศาสตร์n.3 " ที่จัดเก็บ 4 เมษายน 2020 ที่เครื่อง Wayback Oxford English Dictionaryเวอร์ชันออนไลน์ (2012)
  42. ^ แฟรงคลิน, เจมส์ (8 กรกฎาคม 2009) ปรัชญาคณิตศาสตร์ . หน้า 104–106 ISBN 978-0-08-093058-9. สืบค้นจากต้นฉบับเมื่อวันที่ 6 กันยายน 2558 . สืบค้นเมื่อ1 กรกฎาคม 2563 .
  43. ^ Cajori, Florian (1893) ประวัติความเป็นมาของคณิตศาสตร์ American Mathematical Society (พิมพ์ซ้ำ 1991) ได้ pp.  285-86 ISBN 978-0-8218-2102-2.
  44. ^ a b c Snapper, Ernst (กันยายน 2522) "วิกฤตสามประการในคณิตศาสตร์: ลอจิก, สัญชาตญาณ, และลัทธิพิธีการ". นิตยสารคณิตศาสตร์ . 52 (4): 207–16. ดอย : 10.2307 / 2689412 . JSTOR 2689412 . 
  45. ^ เพียรซ, เบนจามิน (1882) เชิงเส้นเชื่อมโยงพีชคณิต Van Nostrand. น. 1 .
  46. ^ รัสเซลเบอร์ทรานด์ (1903) หลักการคณิตศาสตร์ น. 5 . สืบค้นเมื่อ20 มิถุนายน 2558 .
  47. ^ Iemhoff, Rosalie (4 มีนาคม 2020) Zalta, Edward N. (เอ็ด) สัญชาตญาณในปรัชญาคณิตศาสตร์ . ห้องปฏิบัติการวิจัยอภิปรัชญามหาวิทยาลัยสแตนฟอร์ด สืบค้นเมื่อ 31 มีนาคม 2564 . สืบค้นเมื่อ4 มีนาคม 2564 - ผ่านสารานุกรมปรัชญาสแตนฟอร์ด
  48. ^ แกง Haskell (1951) โครงร่างของปรัชญาคณิตศาสตร์แบบเป็นทางการ เอลส์เวียร์. น. 56 . ISBN 978-0-444-53368-5.
  49. ^ Waltershausen 1965พี 79.
  50. ^ du Sautoy, Marcus (25 มิถุนายน 2553) “ นิโคลัสบูร์บากิ” . ประวัติโดยย่อของคณิตศาสตร์ เหตุการณ์เกิดขึ้นในเวลาขั้นต่ำ 12:50. BBC Radio 4. สืบค้นเมื่อวันที่ 16 ธันวาคม 2559 . สืบค้นเมื่อ26 ตุลาคม 2560 .
  51. ^ ตกใจ 1995พี 56.
  52. ^ ตกใจคาร์ล (2002) [ 1959 ] ตรรกะของการค้นพบทางวิทยาศาสตร์ Abingdon-on-Thames: เลดจ์ น. [18]. ISBN 978-0-415-27843-0.
  53. ^ บิชอปอลัน (1991) “ กิจกรรมสิ่งแวดล้อมและวัฒนธรรมทางคณิตศาสตร์” . คณิตศาสตร์การอบรมปลูกฝังวัฒนธรรม: เป็นวัฒนธรรมมุมมองการศึกษาคณิตศาสตร์ Norwell, Massachusetts: สำนักพิมพ์วิชาการ Kluwer หน้า 20–59 ISBN 978-0-792-31270-3. เก็บถาวรไปจากเดิมในวันที่ 25 ธันวาคม 2020 สืบค้นเมื่อ5 เมษายน 2563 .
  54. ^ ชา ชาเดนนิสเอลเลียต; Lazere, Cathy A. (1998). ออกจากใจ: ชีวิตและการค้นพบของนักวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ผู้ยิ่งใหญ่ 15คน สปริงเกอร์. น. 228.
  55. ^ Nickles โทมัส (2013) “ ปัญหาการแบ่งเขต”. ปรัชญาของ Pseudoscience: หารือปัญหาการแบ่งเขต ชิคาโก: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยชิคาโก น. 104.
  56. ^ Pigliucci , มัสซิโม (2014) "มีวิธีอื่น" ในการรู้หรือไม่ " . ปรัชญาตอนนี้ เก็บถาวรไปจากเดิมในวันที่ 13 พฤษภาคม 2020 สืบค้นเมื่อ6 เมษายน 2563 .
  57. ^ ดูตัวอย่างคำกล่าวของเบอร์ทรานด์รัสเซล "คณิตศาสตร์ถูกมองอย่างถูกต้องไม่เพียง แต่มีความจริงเท่านั้น แต่ยังมีความงดงามสูงสุด ... " ในประวัติศาสตร์ปรัชญาตะวันตกของเขา
  58. ^ "รายการตรวจสอบทางวิทยาศาสตร์ที่ใช้: คณิตศาสตร์" undsci.berkeley.edu . ที่เก็บถาวรจากเดิมเมื่อวันที่ 27 ตุลาคม 2019 สืบค้นเมื่อ27 ตุลาคม 2562 .
  59. ^ Borel, อาร์มันด์ (มีนาคม 2017) “ คณิตศาสตร์: ศิลปะและวิทยาศาสตร์” . จดหมายข่าว EMS . 3 (103): 37–45. ดอย : 10.4171 / ข่าว / 103/8 . ISSN 1027-488X . 
  60. ไมน์ ฮาร์ดอี. เมเยอร์ (2544). "แคลคูลัสเชิงปฎิบัติการของ Feynman และ Feynman". ฟิสิกส์วันนี้ . 54 (8): 48. Bibcode : 2001PhT .... 54h..48J . ดอย : 10.1063 / 1.1404851 .
  61. ^ ทิมาร์ค (1998) การบังคับคณิตศาสตร์เป็นปัญหาปรัชญา Cambridge, Mass: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยฮาร์วาร์ด น. 176. ISBN 0674043987.
  62. ^ a b Leng, Mary (2010). คณิตศาสตร์และความเป็นจริง สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ด น. 239. ISBN 0199280797.
  63. ^ "คณิตศาสตร์เรื่องการจำแนกประเภท 2010" (PDF) เก็บถาวร(PDF)จากเดิมในวันที่ 14 พฤษภาคม 2011 สืบค้นเมื่อ9 พฤศจิกายน 2553 .
  64. ^ ฮาร์ดี GH (2483) นักคณิตศาสตร์ขอโทษ สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ ISBN 978-0-521-42706-7.
  65. ^ ทองบอนนี่ ; Simons, Rogers A. (2008). หลักฐานและอื่น ๆ วิกฤติ: คณิตศาสตร์และปรัชญา MAA.
  66. ^ "การใช้งานได้เร็วที่สุดของสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ต่างๆ" สืบค้นจากต้นฉบับเมื่อวันที่ 20 กุมภาพันธ์ 2559 . สืบค้นเมื่อ14 กันยายน 2557 .
  67. ^ Kline 1990 , p. 140 บนไดโอแฟนทัส ; น. 261 บนVieta
  68. ^ Oakley 2014พี 16: "การแก้ปัญหาที่เน้นทางคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์มักจะใช้ความพยายามมากกว่าการคิดแบบเน้นโหมดที่เกี่ยวข้องกับภาษาและผู้คนอาจเป็นเพราะมนุษย์ไม่ได้พัฒนามานับพันปีเพื่อจัดการกับความคิดทางคณิตศาสตร์ซึ่งมักจะเข้ารหัสแบบนามธรรมมากกว่าการคิดแบบ ภาษาธรรมดา "
  69. ^ Oakley 2014พี 16:? "ฉันหมายถึงอะไรโดยนามธรรมคุณสามารถชี้ไปที่สดจริงวัวเคี้ยวเคี้ยวเอื้องในทุ่งหญ้าและถือเอามันด้วยตัวอักษร C-o-Wบนหน้าเว็บ แต่คุณไม่สามารถชี้ไปที่สดจริง.บวก ลงชื่อว่าสัญลักษณ์ '+' ถูกจำลองตาม - แนวคิดที่อยู่ภายใต้เครื่องหมายบวกมีความเป็นนามธรรมมากกว่า"
  70. ^ Oakley 2014พี 16: "ด้วยการเข้ารหัสฉันหมายความว่าสัญลักษณ์หนึ่งสามารถยืนได้สำหรับการดำเนินการหรือแนวคิดที่แตกต่างกันจำนวนมากเช่นเดียวกับที่เครื่องหมายคูณเป็นสัญลักษณ์ของการเพิ่มซ้ำ"
  71. ^ Ivars ปีเตอร์สันคณิตศาสตร์ท่องเที่ยวฟรีแมน, ปี 1988, ISBN 978-0-7167-1953-3 น. 4 "มีบางคนบ่นว่าไม่สามารถตรวจสอบโปรแกรมคอมพิวเตอร์ได้อย่างถูกต้อง" (อ้างอิงจากหลักฐานของ Haken – Apple เกี่ยวกับทฤษฎีบทสี่สี) 
  72. ^ "วิธีการ 'อ้างสิทธิ์' ในสิ่งที่เราต้องการมีข้อดีหลายประการเช่นเดียวกับข้อดีของการขโมยมากกว่าการตรากตรำอย่างซื่อสัตย์" เบอร์ทรานด์รัสเซล (2462),ปรัชญาคณิตศาสตร์เบื้องต้น , นิวยอร์กและลอนดอน,พี. 71. เก็บถาวรเมื่อวันที่ 20 มิถุนายน 2015 ที่ Wayback Machine
  73. ^ แพทริค Suppes,ซึ่งเป็นจริงทฤษฎีเซตโดเวอร์ 1972, ISBN 978-0-486-61630-8 น. 1 "ในหลายสาขาของทฤษฎีเซตคณิตศาสตร์สมัยใหม่มีสถานที่ที่ไม่เหมือนใคร: ด้วยข้อยกเว้นที่หายากไม่กี่หน่วยงานที่ศึกษาและวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์อาจถือได้ว่าเป็นชุดเฉพาะหรือชั้นเรียนของวัตถุบางอย่าง" 
  74. ^ ลุคโฮเวิร์ดประเดี๋ยวประด๋าวและลุคประเดี๋ยวประด๋าวประวัติศาสตร์ของคณิตศาสตร์ , Oxford University Press, 2005
  75. ^ Halpern โจเซฟ; ฮาร์เปอร์โรเบิร์ต; อิมเมอร์แมน, นีล; โคลาทิส, โฟกิออน; วาร์ดี, โมเช; วิอานูวิกเตอร์ (2544). "ในประสิทธิผลที่ผิดปกติของลอจิกในสาขาวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์" (PDF) สืบค้นเมื่อ15 มกราคม 2564 .
  76. ^ Clay Mathematics Institute , P = NP, claymath.org
  77. ^ Rao, CR (1997)สถิติและความจริง: การวางโอกาสในการทำงาน , World Scientific. ไอ978-981-02-3111-8 
  78. ^ ราว, CR (1981). "คำนำ". ใน Arthanari, TS; Dodge, Yadolah (eds.) การเขียนโปรแกรมทางคณิตศาสตร์ในสถิติ ซีรี่ส์ Wiley ในสถิติความน่าจะเป็นและคณิตศาสตร์ นิวยอร์ก: ไวลีย์ หน้า vii – viii ISBN 978-0-471-08073-2. MR  0607328
  79. ^ Whittle (1994 , pp. 10–11, 14–18): Whittle, Peter (1994). "เกือบจะถึงบ้าน" . ในKelly, FP (ed.) ความน่าจะเป็นสถิติและการเพิ่มประสิทธิภาพ: บรรณาการแด่ Peter Whittle (ก่อนหน้านี้คือ "เส้นทางที่เป็นจริง: ห้องปฏิบัติการสถิติเคมบริดจ์ถึงปี 1993 (แก้ไขปี 2002)") ชิชิสเตอร์: จอห์นไวลีย์ หน้า 1–28 ISBN 978-0-471-94829-2. สืบค้นเมื่อ 19 ธันวาคม 2556.
  80. ^ Monastyrsky 2001พี 1: "The Fields Medal เป็นรางวัลที่รู้จักกันดีและมีอิทธิพลมากที่สุดในสาขาคณิตศาสตร์อย่างไม่อาจโต้แย้งได้"
  81. ^ Riehm 2002 , PP. 778-82

บรรณานุกรม

  • Boyer, CB (1991). ประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ (2nd ed.). นิวยอร์ก: ไวลีย์ ISBN 978-0-471-54397-8.
  • Eves, Howard (1990). บทนำสู่ประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ (6th ed.). แซนเดอร์ ISBN 978-0-03-029558-4.
  • Kline, มอร์ริส (1990). ความคิดทางคณิตศาสตร์ตั้งแต่สมัยโบราณจนถึงสมัยใหม่ (ฉบับปกอ่อน) นิวยอร์ก: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ด ISBN 978-0-19-506135-2.
  • Monastyrsky, Michael (2001). "บางส่วนแนวโน้มในวิชาคณิตศาสตร์สมัยใหม่และเหรียญฟิลด์" (PDF) CMS - หมายเหตุ - de la SMC สมาคมคณิตศาสตร์แคนาดา 33 (2–3) เก็บถาวร (PDF)จากเดิมในวันที่ 13 สิงหาคม 2006 สืบค้นเมื่อ28 กรกฎาคม 2549 .
  • Oakley, Barbara (2014). จิตใจสำหรับเบอร์: วิธีการ Excel ในคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์ (แม้ว่าคุณจะล้มเหลวพีชคณิต) นิวยอร์ก: บ้านสุ่มเพนกวิน ISBN 978-0-399-16524-5. ใจคิดเลข
  • เพียร์ซเบนจามิน (2424) Peirce, Charles Sanders (ed.) "พีชคณิตเชิงเส้น" . American Journal of Mathematics (แก้ไขขยายและใส่คำอธิบายประกอบการแก้ไขด้วยกระดาษปี 1875 โดย B. Peirce และคำอธิบายประกอบโดย CS Peirce ลูกชายของเขาจากการพิมพ์หินในปีพ. ศ. 2415) 4 (1–4): 97–229. ดอย : 10.2307 / 2369153 . hdl : 2027 / hvd.32044030622997 . JSTOR  2369153แก้ไขขยายและใส่คำอธิบายประกอบด้วยกระดาษปี 1875 โดย B. Peirce และคำอธิบายประกอบโดย C. S. Peirce ลูกชายของเขาจากปีพ. ศ. 2415 Google Eprintและเป็นสารสกัด D. Van Nostrand, 1882, Google Eprint สืบค้นเมื่อ 31 มีนาคม 2564 . สืบค้นเมื่อ17 พฤศจิกายน 2563 ..
  • ปีเตอร์สัน, อิวาร์ส (2544). คณิตศาสตร์ท่องเที่ยว, ใหม่และอัปเดภาพของคณิตศาสตร์สมัยใหม่ หนังสือนกฮูก. ISBN 978-0-8050-7159-7.
  • Popper, Karl R. (1995). “ ว่าด้วยความรู้”. ในการค้นหาของโลกที่ดีกว่า: บรรยายและบทความจากสามสิบปี นิวยอร์ก: Routledge Bibcode : 1992sbwl.book ..... ป . ISBN 978-0-415-13548-1.
  • Riehm, Carl (สิงหาคม 2545) "ประวัติต้นของเหรียญฟิลด์" (PDF) การบอกกล่าวของ AMS 49 (7): 778–72 เก็บถาวร (PDF)จากเดิมในวันที่ 26 ตุลาคม 2006 สืบค้นเมื่อ2 ตุลาคม 2549 .
  • Sevryuk, Mikhail B. (มกราคม 2549). "ความคิดเห็นเกี่ยวกับหนังสือ" (PDF) แถลงการณ์ของสมาคมอเมริกันคณิตศาสตร์ 43 (1): 101–09. ดอย : 10.1090 / S0273-0979-05-01069-4 . เก็บถาวร (PDF)จากเดิมในวันที่ 23 กรกฎาคม 2006 สืบค้นเมื่อ24 มิถุนายน 2549 .
  • Waltershausen, Wolfgang Sartorius von (1965) [ตีพิมพ์ครั้งแรก พ.ศ. 2399] Gauss zum Gedächtniss Sändigพิมพ์ซ้ำ Verlag HR Wohlwend ISBN 978-3-253-01702-5.

อ่านเพิ่มเติม

ที่Wikiversityคุณสามารถเรียนรู้
มากขึ้นและสอนคนอื่นเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ที่โรงเรียนคณิตศาสตร์
  • คณิตศาสตร์ที่สารานุกรมบริแทนนิกา
  • เบ็นสันโดนัลด์ซี. (2000). ช่วงเวลาแห่งพิสูจน์: คณิตศาสตร์ Epiphanies สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ด ISBN 978-0-19-513919-8.
  • เดวิสฟิลิปเจ.; เฮอร์ชรูเบน (2542). ประสบการณ์ทางคณิตศาสตร์ (พิมพ์ซ้ำ) หนังสือนาวิน. ISBN 978-0-395-92968-1.
  • คูแรนท์ริชาร์ด ; ร็อบบินส์เฮอร์เบิร์ต (2539) คณิตศาสตร์คืออะไร: แนวทางเบื้องต้นเกี่ยวกับความคิดและวิธีการ (2nd ed.) นิวยอร์ก: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ด ISBN 978-0-19-510519-3.
  • Einstein, Albert (1923). Sidelights on Relativity: I. Ether and relativity. II. Geometry and experience (translated by G.B. Jeffery, D.Sc., and W. Perrett, Ph.D). E.P. Dutton & Co., New York. Archived from the original on July 25, 2014. Retrieved September 23, 2012.
  • Gullberg, Jan (1997). Mathematics: From the Birth of Numbers (1st ed.). W. W. Norton & Company. ISBN 978-0-393-04002-9.
  • Hazewinkel, Michiel, ed. (2000). Encyclopaedia of Mathematics. Kluwer Academic Publishers. – A translated and expanded version of a Soviet mathematics encyclopedia, in ten volumes. Also in paperback and on CD-ROM, and online Archived July 3, 2011, at the Wayback Machine.
  • Jourdain, Philip E. B. (2003). "The Nature of Mathematics". In James R. Newman (ed.). The World of Mathematics. Dover Publications. ISBN 978-0-486-43268-7.
  • Maier, Annaliese (1982). Steven Sargent (ed.). At the Threshold of Exact Science: Selected Writings of Annaliese Maier on Late Medieval Natural Philosophy. Philadelphia: University of Pennsylvania Press.
  • Pappas, Theoni (June 1989). The Joy Of Mathematics (Revised ed.). Wide World Publishing. ISBN 978-0-933174-65-8.