Manifold

พื้นผิวเป็นท่อร่วมสองมิติซึ่งหมายความว่ามีลักษณะคล้ายกับระนาบยุคลิดใกล้แต่ละจุด ตัวอย่างเช่นพื้นผิวของโลกสามารถอธิบายได้ด้วยชุดแผนที่ (เรียกว่าแผนภูมิ) ซึ่งรวมกันเป็นแผนที่ของโลก แม้ว่าจะไม่มีแผนที่ใดที่เพียงพอที่จะครอบคลุมพื้นผิวโลกทั้งหมด แต่สถานที่ใด ๆ ในโลกก็จะอยู่ในแผนภูมิอย่างน้อยหนึ่งแห่ง

สถานที่หลายแห่งจะปรากฏในมากกว่าหนึ่งแผนภูมิ ยกตัวอย่างเช่นแผนที่นอร์ทอเมริกามีแนวโน้มที่จะรวมถึงชิ้นส่วนของทวีปอเมริกาใต้และวงกลมอาร์กติก ภูมิภาคเหล่านี้ของโลกจะได้รับการอธิบายอย่างครบถ้วนในแผนภูมิแยกต่างหากซึ่งจะมีบางส่วนของอเมริกาเหนือ มีความสัมพันธ์ระหว่างแผนภูมิที่อยู่ติดกันซึ่งเรียกว่าแผนที่การเปลี่ยนแปลงที่ช่วยให้สามารถปะติดเข้าด้วยกันอย่างสม่ำเสมอเพื่อให้ครอบคลุมทั้งโลก

การอธิบายแผนภูมิพิกัดบนพื้นผิวอย่างชัดเจนจำเป็นต้องมีความรู้เกี่ยวกับฟังก์ชันของสองตัวแปรเนื่องจากฟังก์ชันการแก้ไขเหล่านี้ต้องแมปพื้นที่ในระนาบกับพื้นที่อื่นของระนาบ อย่างไรก็ตามตัวอย่างมิติเดียวของท่อร่วม (หรือเส้นโค้ง) สามารถอธิบายได้ด้วยฟังก์ชันของตัวแปรเดียวเท่านั้น

Manifolds มีแอพพลิเคชั่นในคอมพิวเตอร์กราฟิกและความเป็นจริงยิ่งขึ้นเนื่องจากจำเป็นต้องเชื่อมโยงรูปภาพ (พื้นผิว) เข้ากับพิกัด (เช่นการสแกน CT) ในการตั้งค่าความเป็นจริงยิ่งภาพ (ระนาบสัมผัส) สามารถมองเห็นได้ว่าเป็นสิ่งที่เกี่ยวข้องกับพิกัดและโดยการใช้เซ็นเซอร์เพื่อตรวจจับการเคลื่อนไหวและการหมุนเราสามารถมีความรู้เกี่ยวกับวิธีการวางแนวและวางภาพในอวกาศได้

วงกลม

รูปที่ 1: แผนภูมิสี่แผนภูมิแต่ละส่วนของวงกลมจะจับคู่กับช่วงเวลาที่เปิดอยู่และรวมกันครอบคลุมทั้งวงกลม

หลังจากเส้นวงกลมเป็นตัวอย่างที่ง่ายที่สุดของท่อร่วมแบบโทโพโลยี โทโพโลยีไม่สนใจการโค้งงอดังนั้นวงกลมเล็ก ๆ จึงได้รับการปฏิบัติเช่นเดียวกับเส้นเล็ก ๆ พิจารณาเช่นส่วนด้านบนของยูนิทวงกลม , x ²  +  y ที่²  = 1 ที่Yประสานงานเป็นบวก (แสดงโดยวงกลมสีเหลืองในรูปที่ 1 ) จุดใด ๆ ของส่วนโค้งนี้สามารถอธิบายได้โดยเฉพาะโดยx -coordinate ดังนั้นการฉายภาพลงบนแรกประสานงานเป็นอย่างต่อเนื่องและกลับด้าน , การทำแผนที่จากโค้งบนไปเปิดช่วงเวลา (-1, 1):

$${\ displaystyle \ chi _ {\ mathrm {top}} (x, y) = x. \,}$$

ฟังก์ชั่นดังกล่าวพร้อมกับภูมิภาคเปิดพวกเขาแผนที่จะเรียกว่าชาร์ต ในทำนองเดียวกันมีแผนภูมิสำหรับส่วนล่าง (สีแดง) ซ้าย (สีน้ำเงิน) และด้านขวา (สีเขียว) ของวงกลม:

$${\ displaystyle {\ begin {aligned} \ chi _ {\ mathrm {bottom}} (x, y) & = x \\\ chi _ {\ mathrm {left}} (x, y) & = y \\\ ไค _ {\ mathrm {right}} (x, y) & = y. \ end {aligned}}}$$

เมื่อรวมกันแล้วส่วนเหล่านี้จะครอบคลุมทั้งวงกลมและแผนภูมิทั้งสี่จะสร้างแผนที่สำหรับวงกลม

แผนภูมิด้านบนและด้านขวา ${\ displaystyle \ chi _ {\ mathrm {top}}}$ และ ${\ displaystyle \ chi _ {\ mathrm {right}}}$ ตามลำดับทับซ้อนกันในโดเมนของพวกเขาจุดตัดของพวกเขาอยู่ในส่วนสี่ของวงกลมที่ทั้งสอง ${\ displaystyle x}$- และ ${\ displaystyle y}$- พิกัดเป็นบวก แต่ละแมปส่วนนี้เป็นช่วงเวลา${\ displaystyle (0,1)}$แม้ว่าจะแตกต่างกัน ดังนั้นฟังก์ชัน${\ displaystyle T: (0,1) \ rightarrow (0,1) = \ chi _ {\ mathrm {right}} \ circ \ chi _ {\ mathrm {top}} ^ {- 1}}$ สามารถสร้างขึ้นซึ่งรับค่าจากโดเมนร่วมของ ${\ displaystyle \ chi _ {\ mathrm {top}}}$กลับไปที่วงกลมโดยใช้ตัวผกผันตามด้วย${\ displaystyle \ chi _ {\ mathrm {right}}}$กลับไปที่ช่วงเวลา ให้เป็นตัวเลขใดก็ได้ใน${\ displaystyle (0,1)}$แล้ว:

$${\ displaystyle {\ begin {aligned} T (a) & = \ chi _ {\ mathrm {right}} \ left (\ chi _ {\ mathrm {top}} ^ {- 1} \ left [a \ right] \ right) \\ & = \ chi _ {\ mathrm {right}} \ left (a, {\ sqrt {1-a ^ {2}}} \ right) \\ & = {\ sqrt {1-a ^ {2}}} \ end {aligned}}}$$

ฟังก์ชั่นดังกล่าวจะเรียกว่าเป็นแผนที่การเปลี่ยนแปลง

รูปที่ 2: แผนภูมิท่อร่วมแบบวงกลมตามความลาดชันครอบคลุมจุดเดียวของวงกลมทั้งหมด

แผนภูมิด้านบนด้านล่างซ้ายและด้านขวาแสดงให้เห็นว่าวงกลมนั้นมีความหลากหลาย แต่ไม่ได้สร้างแผนที่เดียวที่เป็นไปได้ แผนภูมิไม่จำเป็นต้องเป็นเส้นโครงทางเรขาคณิตและจำนวนแผนภูมิเป็นเรื่องของทางเลือก พิจารณาแผนภูมิ

$${\ displaystyle \ chi _ {\ mathrm {ลบ}} (x, y) = s = {\ frac {y} {1 + x}}}$$

$${\ displaystyle \ chi _ {\ mathrm {plus}} (x, y) = t = {\ frac {y} {1-x}}}$$

นี่sคือความชันของเส้นผ่านจุดพิกัด (the x ,  Y ) และจุดหมุนคงที่ (-1, 0); ในทำนองเดียวกันtคือสิ่งที่ตรงกันข้ามกับความชันของเส้นผ่านจุดที่พิกัด ( x ,  y ) และ (+1, 0) การแมปผกผันจากsถึง ( x ,  y ) กำหนดโดย

$${\ displaystyle {\ begin {aligned} x & = {\ frac {1-s ^ {2}} {1 + s ^ {2}}} \\ [5pt] y & = {\ frac {2s} {1 + s ^ {2}}} \ end {aligned}}}$$

มันสามารถยืนยันได้อย่างง่ายดายว่าx ²  +  y ที่²  = 1 ค่าทั้งหมดของsและเสื้อ แผนภูมิทั้งสองนี้เป็นแผนที่ที่สองสำหรับวงกลมพร้อมกับแผนที่การเปลี่ยนแปลง

$${\ displaystyle t = {\ frac {1} {s}}}$$

แต่ละแผนภูมิจะละเว้นจุดเดียวไม่ว่าจะเป็น (−1, 0) สำหรับsหรือ (+1, 0) สำหรับtดังนั้นแผนภูมิเพียงอย่างเดียวก็ไม่เพียงพอที่จะครอบคลุมทั้งวงกลม พิสูจน์ได้ว่าเป็นไปไม่ได้ที่จะครอบคลุมทั้งวงกลมด้วยแผนภูมิเดียว ตัวอย่างเช่นแม้ว่าจะเป็นไปได้ที่จะสร้างวงกลมจากช่วงเวลาบรรทัดเดียวโดยการทับซ้อนกันและ "ติดกาว" ที่ปลาย แต่ก็ไม่ได้สร้างแผนภูมิ ส่วนหนึ่งของวงกลมจะถูกจับคู่กับปลายทั้งสองข้างพร้อมกันโดยจะสูญเสียการกลับตัวไม่ได้

ทรงกลม

ทรงกลมเป็นตัวอย่างของพื้นผิวที่ใช้งาน หน่วยทรงกลมของสมการโดยปริยาย

x ² + y ² + z ² - 1 = 0

อาจถูกปกคลุมด้วยแผนที่หกแผนภูมิ : ระนาบz = 0แบ่งทรงกลมออกเป็นสองทรงกลมครึ่ง ( z > 0และz <0 ) ซึ่งทั้งคู่อาจถูกแมปบนแผ่นดิสก์x ² + y ² <1โดยการฉายภาพ บนระนาบพิกัดxy สิ่งนี้มีสองแผนภูมิ แผนภูมิอื่น ๆ อีกสี่รายการจัดทำโดยการก่อสร้างที่คล้ายคลึงกันกับระนาบพิกัดอื่นอีกสองเครื่อง

สำหรับวงกลมหนึ่งอาจกำหนดหนึ่งแผนภูมิที่ครอบคลุมทั้งทรงกลมโดยไม่รวมจุดหนึ่ง ดังนั้นสองแผนภูมิจึงเพียงพอ แต่ไม่สามารถครอบคลุมทรงกลมด้วยแผนภูมิเดียวได้

ตัวอย่างนี้มีความสำคัญทางประวัติศาสตร์เนื่องจากได้กระตุ้นให้เกิดคำศัพท์ เห็นได้ชัดว่าพื้นผิวทั้งหมดของโลกไม่สามารถมีการแสดงระนาบซึ่งประกอบด้วยแผนที่เดียวได้(หรือเรียกว่า "แผนภูมิ" ดูแผนภูมิการเดินเรือ ) ดังนั้นจึงจำเป็นต้องมีแผนที่เพื่อครอบคลุมพื้นผิวโลกทั้งหมด

วงกลมที่อุดมสมบูรณ์

ดูได้โดยใช้แคลคูลัส , ฟังก์ชั่นการเปลี่ยนแปลงวงกลมTเป็นเพียงฟังก์ชั่นระหว่างช่วงเวลาที่เปิดซึ่งให้ความหมายถึงคำสั่งที่Tคืออนุพันธ์ แผนที่การเปลี่ยนแปลงTและอื่น ๆ ทั้งหมดมีความแตกต่างกันบน (0, 1); ดังนั้นจึงมีแผนที่นี้วงกลมเป็นนานาอนุพันธ์ นอกจากนี้ยังราบรื่นและวิเคราะห์ได้เนื่องจากฟังก์ชันการเปลี่ยนแปลงมีคุณสมบัติเหล่านี้เช่นกัน

คุณสมบัติของวงกลมอื่น ๆ ช่วยให้สามารถตอบสนองความต้องการของท่อร่วมชนิดพิเศษได้มากขึ้น ตัวอย่างเช่นวงกลมมีแนวคิดเรื่องระยะห่างระหว่างจุดสองจุดความยาวส่วนโค้งระหว่างจุด ด้วยเหตุนี้มันเป็นนานารีมัน

เส้นโค้งอื่น ๆ

สี่ท่อร่วมจาก เส้นโค้งพีชคณิต : ■  วงกลม ■  พาราโบลา ■  ไฮเพอร์โบลา ■  ลูกบาศก์

ไม่จำเป็นต้องเชื่อมต่อ Manifolds (ทั้งหมดเป็น "ชิ้นเดียว"); ตัวอย่างคือวงกลมที่แยกจากกัน

manifolds ไม่จำเป็นต้องปิด ; ดังนั้นส่วนของเส้นตรงที่ไม่มีจุดสิ้นสุดจึงเป็นส่วนต่างๆ และพวกเขาจะไม่เคยนับเว้นแต่มิติของนานาเป็น 0 วางเสรีภาพเหล่านี้เข้าด้วยกันตัวอย่างอื่น ๆ ของแมนิโฟลเป็นรูปโค้งเป็นhyperbola (สองเปิดชิ้นอนันต์) และสถานทีของจุดบนเส้นโค้งลูกบาศก์ Y ² = x ³ - x (ชิ้นส่วนวงปิดและชิ้นส่วนที่เปิดไม่สิ้นสุด)

อย่างไรก็ตามตัวอย่างที่ยกเว้นเช่นวงกลมสัมผัสสองวงที่มีจุดร่วมกันเพื่อสร้างรูปที่ 8 ที่จุดที่ใช้ร่วมกันจะไม่สามารถสร้างแผนภูมิที่น่าพอใจได้ แม้จะมีการดัดโดยโทโพโลยีบริเวณใกล้เคียงของจุดที่ใช้ร่วมกันจะดูเหมือน "+" ไม่ใช่เส้น A "+" ไม่ใช่ homeomorphic สำหรับช่วงเวลาปิด (ส่วนของเส้นตรง) เนื่องจากการลบจุดศูนย์กลางออกจาก "+" จะทำให้มีช่องว่างที่มีส่วนประกอบสี่ส่วน (เช่นชิ้นส่วน) ในขณะที่การลบจุดจากช่วงเวลาปิดจะทำให้มีช่องว่างที่ ส่วนใหญ่สองชิ้น; การดำเนินการทอพอโลยีจะรักษาจำนวนชิ้นไว้เสมอ

ทางการนานาเป็นพื้นที่ที่มีการ "ในรูปแบบ" พื้นที่ Euclidean

มีหลายประเภทของท่อร่วมกันขึ้นอยู่กับบริบท ในรูปทรงเรขาคณิตและ topology , แมนิโฟลทั้งหมดเป็นแมนิโฟลทอพอโลยีอาจจะมีโครงสร้างเพิ่มเติมเช่นโครงสร้างอนุพันธ์ สามารถสร้างความหลากหลายได้โดยการให้คอลเลกชันของแผนภูมิพิกัดซึ่งครอบคลุมโดยชุดเปิดที่มี homeomorphisms ไปยังอวกาศแบบยุคลิดและฟังก์ชันการแก้ไข: homeomorphisms จากพื้นที่หนึ่งของพื้นที่ยุคลิดไปยังอีกภูมิภาคหนึ่งหากสอดคล้องกับส่วนเดียวกันของ มากมายในแผนภูมิพิกัดสองแบบที่แตกต่างกัน สามารถกำหนดโครงสร้างเพิ่มเติมได้หากฟังก์ชันการแพทช์ตอบสนองความจริงที่เกินความต่อเนื่อง ตัวอย่างเช่นท่อร่วมที่แตกต่างกันจะมี homeomorphisms บนพื้นที่ใกล้เคียงที่ ทับซ้อนกันต่างกันเพื่อให้ท่อร่วมมีชุดฟังก์ชันที่กำหนดไว้อย่างดีซึ่งแตกต่างกันไปในแต่ละย่านและแตกต่างกันในท่อร่วมโดยรวม

ตามปกติแล้วท่อร่วม (ทอพอโลยี) คือพื้นที่ Hausdorff ที่นับได้ที่สอง ซึ่งมีลักษณะเป็น homeomorphic ในพื้นที่ของยุคลิด

วินาทีที่นับได้และHausdorffเป็นเงื่อนไขที่กำหนดจุด วินาทีที่นับได้จะไม่รวมช่องว่างที่มีความหมายว่า 'ใหญ่เกินไป' เช่นเส้นยาวในขณะที่Hausdorffไม่รวมช่องว่างเช่น "เส้นที่มีต้นกำเนิดสองต้น" (การกล่าวถึงทั่วไปของท่อร่วมเหล่านี้จะกล่าวถึงในท่อร่วมที่ไม่ใช่ของ Hausdorff )

ในประเทศมอร์ฟิคไปแบบยุคลิดพื้นที่หมายความว่าทุกจุดมีย่านมอร์ฟิคที่จะเปิดยุคลิดnบอลอื่น ๆ ,

$${\ displaystyle \ mathbf {B} ^ {n} = \ left \ {(x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x_ {n}) \ in \ mathbb {R} ^ {n} \ mid x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + \ cdots + x_ {n} ^ {2} <1 \ right \}}$$

${\ displaystyle \ epsilon}$

manifolds โดยทั่วไปจะถูกนำไปมีมิติคงที่ (พื้นที่จะต้องมีมอร์ฟิคในท้องถิ่นเพื่อคงnบอลอื่น ๆ ) และพื้นที่ดังกล่าวเรียกว่าn -manifold ; แต่บางคนเขียนยอมรับ manifolds ที่จุดที่แตกต่างกันสามารถมีที่แตกต่างกันขนาด ^[1]ถ้าท่อมีขนาดคงที่จะเรียกว่านานาบริสุทธิ์ ตัวอย่างเช่นทรงกลม (พื้นผิวของ a) มีขนาดคงที่เป็น 2 ดังนั้นจึงเป็นท่อร่วมที่บริสุทธิ์ในขณะที่การรวมกันที่ไม่ปะติดปะต่อของทรงกลมและเส้นในปริภูมิสามมิติไม่ใช่ท่อร่วมที่บริสุทธิ์ เนื่องจากมิติข้อมูลเป็นค่าคงที่ในพื้นที่ (กล่าวคือแผนที่ส่งแต่ละจุดไปยังมิติของพื้นที่ใกล้เคียงซึ่งกำหนดแผนภูมิเป็นค่าคงที่ในพื้นที่ ) ส่วนประกอบที่เชื่อมต่อแต่ละส่วนจึงมีมิติที่คงที่

โครงร่างในทางทฤษฎีท่อร่วมคือพื้นที่ที่มีวงแหวนในท้องถิ่นซึ่งโครงสร้างของฟ่อนเป็นไอโซมอร์ฟิกในพื้นที่ของฟ่อนของฟังก์ชันต่อเนื่อง (หรือแตกต่างกันหรือการวิเคราะห์เชิงซ้อน ฯลฯ ) บนอวกาศยุคลิด คำนิยามนี้ส่วนใหญ่จะใช้เมื่อพูดถึงmanifolds วิเคราะห์ในพีชคณิตเรขาคณิต

โลกทรงกลมถูกนำทางโดยใช้แผนที่หรือแผนภูมิแบบแบนซึ่งรวบรวมไว้ในแผนที่ ในทำนองเดียวกันนานาอนุพันธ์สามารถอธิบายโดยใช้แผนที่ทางคณิตศาสตร์ที่เรียกว่าการประสานงานชาร์ตเก็บในทางคณิตศาสตร์Atlas โดยทั่วไปเป็นไปไม่ได้ที่จะอธิบายความหลากหลายด้วยแผนภูมิเพียงแผนภูมิเดียวเนื่องจากโครงสร้างทั่วโลกของท่อร่วมนั้นแตกต่างจากโครงสร้างทั่วไปของแผนภูมิ ตัวอย่างเช่นไม่มีแผนที่แบนเดียวที่สามารถเป็นตัวแทนของโลกทั้งใบได้โดยไม่ต้องแยกสถานที่ที่อยู่ติดกันข้ามขอบเขตของแผนที่หรือการครอบคลุมซ้ำซ้อน เมื่อ Manifold ถูกสร้างขึ้นจากแผนภูมิที่ทับซ้อนกันหลาย ๆ แผนภูมิพื้นที่ที่ซ้อนทับกันจะมีข้อมูลที่จำเป็นต่อการทำความเข้าใจโครงสร้างทั่วโลก

ชาร์ต

แผนที่ประสานงานเป็นแผนภูมิการประสานงานหรือเพียงแผนภูมิของนานาเป็น invertible แผนที่ระหว่างส่วนย่อยของท่อร่วมไอดีและเป็นพื้นที่ที่เรียบง่ายเช่นว่าทั้งแผนที่และผกผันรักษาโครงสร้างที่ต้องการ ^[2]สำหรับโทโพโลยีแมนิโฟลด์ช่องว่างแบบง่ายเป็นส่วนย่อยของปริภูมิแบบยุคลิด ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$และความสนใจมุ่งเน้นไปที่โครงสร้างโทโพโลยี โครงสร้างนี้ได้รับการเก็บรักษาไว้โดยhomeomorphismsแผนที่กลับด้านซึ่งต่อเนื่องกันทั้งสองทิศทาง

ในกรณีของการที่นานาอนุพันธ์ , ชุดของชาร์ตที่เรียกว่าAtlasช่วยให้เราสามารถทำแคลคูลัสในแมนิโฟล พิกัดเชิงขั้วเช่นสร้างแผนภูมิสำหรับระนาบ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ลบแกนxบวกและจุดกำเนิด อีกตัวอย่างหนึ่งของแผนภูมิคือแผนที่χ _{ด้านบนที่}กล่าวถึงในส่วนด้านบนซึ่งเป็นแผนภูมิสำหรับวงกลม

แผนที่

คำอธิบายของแมนิโฟลด์ส่วนใหญ่ต้องการมากกว่าหนึ่งแผนภูมิ (แผนภูมิเดียวเพียงพอสำหรับแมนิโฟลด์ที่ง่ายที่สุดเท่านั้น) คอลเลกชันที่เฉพาะเจาะจงของชาร์ตซึ่งครอบคลุมนานาเรียกว่าAtlas แผนที่ไม่ซ้ำกันเนื่องจากแมนิโฟลด์ทั้งหมดสามารถครอบคลุมได้หลายวิธีโดยใช้ชุดค่าผสมของแผนภูมิที่แตกต่างกัน สองแผนที่จะเทียบเท่ากันถ้าสหภาพของพวกเขาเป็นแผนที่ด้วย

แผนที่ที่มีแผนภูมิที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่สอดคล้องกับแผนที่ที่กำหนดเรียกว่าแผนที่สูงสุด (เช่นระดับความเทียบเท่าที่มีแผนที่ที่กำหนด (ภายใต้ความสัมพันธ์ความเท่าเทียมที่กำหนดไว้แล้วในย่อหน้าก่อนหน้า)) แตกต่างจากแผนที่ธรรมดาแผนที่สูงสุดของท่อร่วมที่กำหนดจะไม่ซ้ำกัน แม้ว่าจะมีประโยชน์สำหรับคำจำกัดความ แต่ก็เป็นวัตถุนามธรรมและไม่ได้ใช้โดยตรง (เช่นในการคำนวณ)

แผนที่การเปลี่ยน

แผนภูมิในแผนที่อาจทับซ้อนกันและจุดเดียวของรายการต่างๆอาจแสดงในหลายแผนภูมิ หากแผนภูมิสองแผนภูมิซ้อนทับกันส่วนของแผนภูมิเหล่านี้จะแสดงถึงภูมิภาคเดียวกันของเส้นต่างๆเช่นเดียวกับแผนที่ของยุโรปและแผนที่ของเอเชียทั้งคู่อาจมีกรุงมอสโก ด้วยแผนภูมิที่ทับซ้อนกันสองแผนภูมิจึงสามารถกำหนดฟังก์ชันการเปลี่ยนแปลงซึ่งไปจากลูกบอลที่เปิดอยู่${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ ไปที่ท่อร่วมแล้วกลับไปที่ลูกเปิดอีกลูก (หรืออาจจะเหมือนกัน) ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$. แผนที่ผลลัพธ์เช่นแผนที่Tในตัวอย่างวงกลมข้างต้นจะเรียกว่าการเปลี่ยนแปลงของพิกัดการเปลี่ยนแปลงการประสานงานซึ่งเป็นฟังก์ชั่นการเปลี่ยนแปลงหรือแผนที่การเปลี่ยนแปลง

โครงสร้างเพิ่มเติม

นอกจากนี้ยังสามารถใช้แผนที่เพื่อกำหนดโครงสร้างเพิ่มเติมบนท่อร่วมได้ โครงสร้างจะถูกกำหนดก่อนในแต่ละแผนภูมิแยกกัน หากแผนผังการเปลี่ยนแปลงทั้งหมดเข้ากันได้กับโครงสร้างนี้โครงสร้างจะโอนไปยังท่อร่วม

นี่คือวิธีกำหนดมาตรฐานของท่อร่วมที่แตกต่างกัน หากฟังก์ชั่นการเปลี่ยนแปลงของแผนที่สำหรับท่อร่วมโทโพโลยีรักษาโครงสร้างที่แตกต่างตามธรรมชาติของ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$(นั่นคือถ้าเป็นความแตกต่าง ) โครงสร้างที่แตกต่างจะโอนไปยังท่อร่วมและเปลี่ยนเป็นท่อร่วมที่แตกต่างกัน แมนิโฟลคอมเพล็กซ์จะถูกนำมาใช้ในวิธีที่คล้ายคลึงโดยกำหนดว่าฟังก์ชั่นการเปลี่ยนแปลงของ Atlas ให้บริการฟังก์ชั่น holomorphic สำหรับแมนิโฟล symplecticฟังก์ชั่นการเปลี่ยนแปลงจะต้องsymplectomorphisms

โครงสร้างของท่อร่วมขึ้นอยู่กับแผนที่ แต่บางครั้งอาจกล่าวได้ว่าแผนที่ที่แตกต่างกันเพื่อก่อให้เกิดโครงสร้างเดียวกัน แผนที่ดังกล่าวเรียกว่าเข้ากันได้

ความคิดเหล่านี้จะทำอย่างแม่นยำโดยทั่วไปผ่านการใช้pseudogroups

มากมายกับเขตแดนคือนานากับขอบ ตัวอย่างเช่นแผ่นกระดาษเป็นกระดาษ2แผ่นที่มีขอบเขต 1 มิติ ขอบเขตของn -manifold ที่มีขอบเขตคือ( n −1) -manifold ดิสก์ (วงกลมบวกภายใน) เป็นนานา 2 กับเขตแดน ขอบเขตของมันคือเป็นวงกลมที่1 นานา ตารางด้วยการตกแต่งภายในยังเป็น 2 นานากับเขตแดน ลูก (ทรงกลมบวกภายใน) เป็น 3 นานากับเขตแดน ขอบเขตของมันเป็นทรงกลม 2 ท่อร่วมกัน (ดูขอบเขต (โทโพโลยี) ) ด้วย

ในภาษาทางเทคนิคความหลากหลายที่มีขอบเขตคือช่องว่างที่มีทั้งจุดภายในและจุดขอบเขต ทุกจุดภายในมี homeomorphic ใกล้เคียงกับn -ball ที่เปิดอยู่{( x ₁ , x ₂ , …, x _n ) | Σ x _i ² <1} ทุกจุดขอบเขตจะมี homeomorphic ของ "ครึ่ง" n -ball {( x ₁ , x ₂ , …, x _n ) | Σ x _ฉัน ² <1 x ₁ ≥ 0} homeomorphism ต้องส่งแต่ละจุดขอบเขตไปยังจุดที่มีx ₁  = 0

ขอบเขตและการตกแต่งภายใน

ให้Mเป็นส่วนต่างๆที่มีขอบเขต การตกแต่งภายในของMซึ่งแสดงถึง Int MคือชุดของจุดในMซึ่งมี homeomorphic ละแวกใกล้เคียงกับชุดย่อยที่เปิดอยู่ของ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$. ขอบเขตของMชี้แนะ∂ Mเป็นส่วนเติมเต็มของ Int MในM จุดขอบเขตสามารถระบุได้ว่าเป็นจุดที่ลงจอดบนไฮเปอร์เพลนขอบเขต( x _n = 0)ของ ${\ displaystyle \ mathbb {R} _ {+} ^ {n}}$ ภายใต้แผนภูมิพิกัด

ถ้าMเป็นท่อร่วมกับเขตแดนของมิติnแล้ว Int Mเป็นท่อร่วมไอดี (ไม่มีขอบเขต) ของมิติnและ∂ Mคือนานา (ไม่มีขอบเขต) ของมิติn - 1 

ท่อร่วมเดียวสามารถสร้างได้หลายวิธีโดยแต่ละท่อจะเน้นด้านที่แตกต่างกันของท่อร่วมจึงนำไปสู่มุมมองที่แตกต่างกันเล็กน้อย

ชาร์ต

แผนภูมิจะแมปส่วนของทรงกลมด้วยพิกัดzบวก กับแผ่นดิสก์

บางทีวิธีที่ง่ายที่สุดในการสร้างท่อร่วมคือวิธีที่ใช้ในตัวอย่างด้านบนของวงกลม อันดับแรกชุดย่อยของ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ถูกระบุจากนั้นจะสร้างแผนที่ที่ครอบคลุมส่วนย่อยนี้ แนวความคิดเกี่ยวกับความหลากหลายเพิ่มขึ้นในอดีตจากการก่อสร้างเช่นนี้ นี่คืออีกตัวอย่างหนึ่งที่ใช้วิธีนี้ในการสร้างทรงกลม:

ทรงกลมพร้อมแผนภูมิ

ทรงกลมสามารถรักษาได้ในเกือบเช่นเดียวกับวงกลม ในทางคณิตศาสตร์ทรงกลมเป็นเพียงพื้นผิว (ไม่ใช่การตกแต่งภายในที่เป็นของแข็ง) ซึ่งสามารถกำหนดเป็นส่วนย่อยของ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$:

$${\ displaystyle S = \ left \ {(x, y, z) \ in \ mathbb {R} ^ {3} \ mid x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = 1 \ right \}.}$$

ทรงกลมเป็นสองมิติดังนั้นแต่ละแผนภูมิจะจับคู่ส่วนหนึ่งของทรงกลมกับส่วนย่อยที่เปิดอยู่ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$. พิจารณาซีกโลกเหนือซึ่งเป็นส่วนที่มีพิกัดzบวก(สีแดงในภาพด้านขวา) ฟังก์ชันχกำหนดโดย

$${\ displaystyle \ chi (x, y, z) = (x, y), \}$$

แมปซีกโลกเหนือกับแผ่นดิสก์หน่วยเปิดโดยฉายบนระนาบ( x , y ) มีแผนภูมิที่คล้ายกันสำหรับซีกโลกใต้ เมื่อรวมกับแผนภูมิสองแผนภูมิที่ฉายบนระนาบ( x , z ) และสองแผนภูมิที่ฉายบนระนาบ( y , z ) จะได้รับแผนที่หกแผนภูมิซึ่งครอบคลุมทั้งทรงกลม

สิ่งนี้สามารถทำให้เป็นทรงกลมมิติที่สูงขึ้นได้อย่างง่ายดาย

เย็บปะติดปะต่อกัน

สามารถสร้างท่อร่วมได้โดยการติดชิ้นส่วนเข้าด้วยกันในลักษณะที่สอดคล้องกันทำให้เป็นแผนภูมิที่ทับซ้อนกัน โครงสร้างนี้เป็นไปได้สำหรับท่อร่วมใด ๆ และด้วยเหตุนี้จึงมักใช้เป็นลักษณะเฉพาะโดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับท่อร่วมที่แตกต่างกันและ Riemannian มันมุ่งเน้นไปที่แผนที่เนื่องจากแพตช์ให้แผนภูมิตามธรรมชาติและเนื่องจากไม่มีพื้นที่ภายนอกที่เกี่ยวข้องจึงนำไปสู่มุมมองที่แท้จริงของท่อร่วม

ท่อต่างๆสร้างขึ้นโดยการระบุแผนที่ซึ่งกำหนดเองโดยแผนที่การเปลี่ยนแปลง จุดของท่อร่วมจึงเป็นระดับความเท่าเทียมกันของจุดที่แมปซึ่งกันและกันโดยแผนที่การเปลี่ยนแปลง แผนภูมิแผนที่คลาสเทียบเท่ากับจุดของแพทช์เดียว โดยปกติจะมีความต้องการอย่างมากเกี่ยวกับความสอดคล้องของแผนที่การเปลี่ยนแปลง สำหรับแมนิโฟลทอพอโลยีที่พวกเขาจะต้องhomeomorphisms ; ถ้าพวกเขายังมีdiffeomorphismsที่มากมายส่งผลให้เป็นนานาอนุพันธ์

สิ่งนี้สามารถแสดงได้ด้วยแผนที่การเปลี่ยนแปลงt = ¹ ⁄ _sจากตัวอย่างครึ่งหลังของวงกลม เริ่มต้นด้วยสำเนาสองบรรทัด ใช้พิกัดsสำหรับสำเนาแรกและtสำหรับสำเนาที่สอง ตอนนี้กาวทั้งสองสำเนาเข้าด้วยกันโดยระบุจุดtบนสำเนาที่สองด้วยจุดs = ¹ ⁄ _tบนสำเนาแรก (จุดt = 0 และs = 0 จะไม่ถูกระบุด้วยจุดใด ๆ บนสำเนาแรกและครั้งที่สอง ตามลำดับ). สิ่งนี้ทำให้เกิดวงกลม

มุมมองที่แท้จริงและภายนอก

การก่อสร้างครั้งแรกและการก่อสร้างนี้มีความคล้ายคลึงกันมาก แต่เป็นตัวแทนของมุมมองที่ค่อนข้างแตกต่างกัน ในการก่อสร้างครั้งแรกท่อต่างๆจะถูกมองว่าฝังอยู่ในพื้นที่ยุคลิด นี่คือมุมมองภายนอก เมื่อมีการดูท่อร่วมในลักษณะนี้มันเป็นเรื่องง่ายที่จะใช้สัญชาตญาณจากช่องว่างแบบยุคลิดเพื่อกำหนดโครงสร้างเพิ่มเติม ตัวอย่างเช่นในปริภูมิยุคลิดมันชัดเจนเสมอว่าเวกเตอร์ ณ จุดใดจุดหนึ่งเป็นเส้นสัมผัสหรือปกติกับพื้นผิวบางส่วนผ่านจุดนั้น

โครงสร้างการเย็บปะติดปะต่อกันไม่ได้ใช้การฝังใด ๆ แต่เพียงแค่มองว่าท่อต่างๆเป็นพื้นที่ทอพอโลยีด้วยตัวมันเอง จุดนี้ในมุมมองของนามธรรมที่เรียกว่ามุมมองที่แท้จริง อาจทำให้ยากที่จะจินตนาการว่าเวกเตอร์แทนเจนต์คืออะไรและไม่มีความคิดที่แท้จริงของบันเดิลปกติ แต่จะมีบันเดิลปกติที่มีความเสถียรภายในแทน

n -ทรงกลมเป็นงานเย็บปะติดปะต่อกัน

n -sphere S ⁿเป็นลักษณะทั่วไปของความคิดของวงกลม (1 วง) และทรงกลม (2 วง) มิติที่สูงขึ้น n -sphere S ⁿสามารถสร้างขึ้นโดยการติดกาวด้วยกันสองฉบับ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$. แผนที่การเปลี่ยนแปลงระหว่างพวกเขาคือการผกผันในทรงกลมซึ่งกำหนดเป็น

$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n} \ setminus \ {0 \} \ to \ mathbb {R} ^ {n} \ setminus \ {0 \}: x \ mapsto x / \ | x \ | ^ { 2}.}$$

ฟังก์ชันนี้เป็นตัวผกผันของตัวเองดังนั้นจึงสามารถใช้ได้ทั้งสองทิศทาง เนื่องจากแผนที่การเปลี่ยนแปลงเป็นฟังก์ชันที่ราบรื่นแผนที่นี้จึงกำหนดท่อร่วมที่ราบรื่น ในกรณีn = 1 ตัวอย่างจะลดความซับซ้อนของตัวอย่างวงกลมที่ให้ไว้ก่อนหน้านี้

การระบุจุดของท่อร่วม

เป็นไปได้ที่จะกำหนดจุดต่างๆของท่อร่วมให้เหมือนกัน นี้สามารถมองเห็นการติดกาวจุดเหล่านี้ร่วมกันในจุดเดียวกลายเป็นพื้นที่เชาวน์ อย่างไรก็ตามไม่มีเหตุผลที่จะคาดหวังว่าช่องว่างผลหารดังกล่าวจะเป็นหลายหลาก ท่ามกลางช่องว่างความฉลาดทางเป็นไปได้ที่ไม่จำเป็นต้อง manifolds, orbifoldsและคอมเพล็กซ์ CWจะถือว่าเป็นที่ค่อนข้างมีความประพฤติดี ตัวอย่างของสเปซเชาวน์ของท่อร่วมที่เป็นความหลากหลายเช่นกันคือพื้นที่ฉายจริงที่ระบุว่าเป็นสเปซผลหารของทรงกลมที่สอดคล้องกัน

วิธีการหนึ่งในการระบุจุด (ติดกาวเข้าด้วยกัน) คือการกระทำทางขวา (หรือซ้าย) ของกลุ่มซึ่งทำหน้าที่กับท่อร่วม มีการระบุจุดสองจุดหากมีการย้ายหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่งโดยองค์ประกอบของกลุ่ม ถ้าMคือแมนิโฟลด์และGคือกลุ่มช่องว่างผลหารผลลัพธ์จะแสดงด้วยM / G (หรือG \ M )

Manifolds ซึ่งสามารถสร้างได้โดยการระบุจุด ได้แก่เสาโทริและช่องว่างฉายจริง (เริ่มต้นด้วยระนาบและทรงกลมตามลำดับ)

ติดกาวตามขอบเขต

ท่อร่วมสองอันที่มีขอบเขตสามารถติดกาวเข้าด้วยกันตามแนวเขต หากทำอย่างถูกวิธีผลลัพธ์ก็เป็นสิ่งที่หลากหลายเช่นกัน ในทำนองเดียวกันขอบเขตสองเส้นของท่อร่วมเดียวสามารถติดกาวเข้าด้วยกันได้

อย่างเป็นทางการติดกาวจะถูกกำหนดโดยbijectionระหว่างสองเขตแดน^{[ พิรุธ - หารือ} ] มีการระบุจุดสองจุดเมื่อแมปเข้าด้วยกัน สำหรับความหลากหลายของโทโพโลยีการคาดเดาทางชีวภาพนี้ควรเป็น homeomorphism มิฉะนั้นผลลัพธ์ที่ได้จะไม่เป็นความหลากหลายของโทโพโลยี ในทำนองเดียวกันสำหรับนานาอนุพันธ์ได้มันจะต้องมีdiffeomorphism สำหรับท่อร่วมอื่น ๆ โครงสร้างอื่น ๆ ควรได้รับการอนุรักษ์ไว้

กระบอกสูบ จำกัด อาจสร้างเป็นท่อร่วมได้โดยเริ่มต้นด้วยแถบ [0, 1] × [0, 1] และติดขอบด้านตรงข้ามคู่หนึ่งบนขอบเขตด้วยดิฟฟีโอมอร์ฟิสซึ่มที่เหมาะสม projective เครื่องบินอาจจะได้รับโดยการติดกาวทรงกลมมีรูอยู่ในนั้นไปยังแถบเมอบิอุสพร้อมขอบเขตวงกลมของตน

ผลิตภัณฑ์คาร์ทีเซียน

สินค้าคาร์ทีเซียนของแมนิโฟลยังเป็นนานา

ขนาดของท่อร่วมผลิตภัณฑ์คือผลรวมของขนาดของปัจจัย โทโพโลยีของมันคือโทโพโลยีผลิตภัณฑ์และผลคูณคาร์ทีเซียนของแผนภูมิเป็นแผนภูมิสำหรับหลายผลิตภัณฑ์ ดังนั้นแผนที่สำหรับท่อร่วมของผลิตภัณฑ์สามารถสร้างได้โดยใช้แผนที่สำหรับปัจจัยต่างๆ หากแผนที่เหล่านี้กำหนดโครงสร้างที่แตกต่างของปัจจัยต่างๆแผนที่ที่เกี่ยวข้องจะกำหนดโครงสร้างส่วนต่างบนท่อร่วมของผลิตภัณฑ์ เช่นเดียวกับโครงสร้างอื่น ๆ ที่กำหนดบนปัจจัย หากปัจจัยอย่างใดอย่างหนึ่งมีขอบเขตท่อร่วมผลิตภัณฑ์ก็มีขอบเขตเช่นกัน ผลิตภัณฑ์คาร์ทีเซียนอาจใช้ในการสร้างโทริและกระบอกสูบจำกัดตัวอย่างเช่นS ¹  ×  S ¹และS ¹  × [0, 1] ตามลำดับ

กระบอกสูบ จำกัด เป็นท่อร่วมที่มีขอบเขต

การศึกษา manifolds รวมพื้นที่ที่สำคัญมากของคณิตศาสตร์: มัน generalizes แนวคิดเช่นเส้นโค้งและพื้นผิวเช่นเดียวกับความคิดจากพีชคณิตเชิงเส้นและทอพอโลยี

การพัฒนาในช่วงต้น

ก่อนแนวคิดสมัยใหม่ของท่อร่วมมีผลลัพธ์ที่สำคัญหลายประการ

เรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยูคลิดพิจารณาช่องว่างที่สมมุติฐานคู่ขนานของยูคลิดล้มเหลว Saccheriศึกษารูปทรงเรขาคณิตดังกล่าวเป็นครั้งแรกในปี 1733 แต่พยายามหักล้างพวกเขาเท่านั้น Gauss , BolyaiและLobachevsky ได้ค้นพบโดยอิสระในอีก 100 ปีต่อมา วิจัยของพวกเขาเปิดสองประเภทของช่องว่างที่มีโครงสร้างทางเรขาคณิตแตกต่างจากที่คลาสสิกของพื้นที่ Euclidean ; สิ่งเหล่านี้ก่อให้เกิดรูปเรขาคณิตไฮเพอร์โบลิกและเรขาคณิตทรงรี ในทฤษฎีที่ทันสมัยของท่อร่วมความคิดเหล่านี้สอดคล้องกับท่อร่วมของ Riemannian ที่มีความโค้งเชิงลบและเชิงบวกคงที่ตามลำดับ

Carl Friedrich Gaussอาจเป็นคนแรกที่พิจารณาช่องว่างนามธรรมเป็นวัตถุทางคณิตศาสตร์ด้วยตัวของพวกเขาเอง egregium ทฤษฏีของเขาให้วิธีการคำนวณความโค้งของพื้นผิวโดยไม่ต้องคำนึงถึงพื้นที่โดยรอบที่พื้นผิวอยู่ พื้นผิวดังกล่าวในศัพท์สมัยใหม่เรียกว่าท่อร่วม และในแง่ที่ทันสมัยทฤษฎีบทพิสูจน์ให้เห็นว่าความโค้งของพื้นผิวที่เป็นทรัพย์สินที่แท้จริง ทฤษฎี Manifold ได้ให้ความสำคัญกับคุณสมบัติภายในเหล่านี้โดยเฉพาะ (หรือไม่แปรเปลี่ยน) ในขณะที่ส่วนใหญ่ไม่สนใจคุณสมบัติภายนอกของพื้นที่โดยรอบ

อีกมากทอพอโลยีตัวอย่างหนึ่งของการที่แท้จริงคุณสมบัติของท่อร่วมไอดีเป็นของลักษณะออยเลอร์ Leonhard Eulerแสดงให้เห็นว่าสำหรับpolytopeนูนในปริภูมิแบบยุคลิดสามมิติที่มีจุดยอดV (หรือมุม) ขอบEและใบหน้าF

$${\ displaystyle V-E + F = 2. \}$$

สูตรเดียวกันนี้จะคงไว้หากเราคาดการณ์จุดยอดและขอบของโพลีโทพลงบนทรงกลมสร้างแผนที่โทโพโลยีที่มีจุดยอดV , ขอบEและใบหน้าFและในความเป็นจริงจะยังคงเป็นจริงสำหรับแผนที่ทรงกลมใด ๆ แม้ว่าจะเป็นเช่นนั้นก็ตาม ไม่ได้เกิดขึ้นจาก polytope นูนใด ๆ ^[3]ดังนั้น 2 เป็นค่าคงที่ทอพอโลยีของทรงกลมที่เรียกว่าลักษณะออยเลอร์ ในทางกลับกันทอรัสสามารถแบ่งออกโดยวงกลม 'ขนาน' และ 'เมริเดียน' สร้างแผนที่ด้วยจุดยอดV  = 1 , E  = 2 ขอบและF  = 1 ใบหน้า ดังนั้นลักษณะของออยเลอร์ของทอรัสคือ 1 - 2 + 1 = 0 ลักษณะของออยเลอร์ของพื้นผิวอื่น ๆ คือความไม่แปรผันของโทโพโลยีที่มีประโยชน์ซึ่งสามารถขยายไปยังมิติที่สูงขึ้นโดยใช้หมายเลขเบตติ ในช่วงกลางศตวรรษที่สิบเก้าทฤษฎีบทเกาส์ - บอนเน็ตได้เชื่อมโยงลักษณะของออยเลอร์กับความโค้งแบบเสียน

สังเคราะห์

การสืบสวนของนีลส์เฮนริกอาเบลและคาร์ลกุสตาฟ Jacobiในการผกผันของintegrals รูปไข่ในช่วงครึ่งแรกของศตวรรษที่ 19 นำพวกเขาที่จะต้องพิจารณาชนิดพิเศษmanifolds ซับซ้อนบัดนี้เป็นที่รู้จักJacobians Bernhard Riemannสนับสนุนทฤษฎีของพวกเขาเพิ่มเติมโดยชี้แจงความหมายทางเรขาคณิตของกระบวนการวิเคราะห์ความต่อเนื่องของฟังก์ชันของตัวแปรที่ซับซ้อน

อีกแหล่งสำคัญของแมนิโฟลในวิชาคณิตศาสตร์ศตวรรษที่ 19 เป็นกลศาสตร์การวิเคราะห์เช่นการพัฒนาโดยSiméonปัวซอง , จาโคบีและวิลเลียมโรวันแฮมิลตัน สถานะที่เป็นไปได้ของระบบกลไกถูกมองว่าเป็นจุดของปริภูมินามธรรมพื้นที่เฟสในกลศาสตร์คลาสสิกแบบลารังเกียนและแฮมิลตัน พื้นที่นี้เป็นในความเป็นจริงนานาสูงมิติซึ่งมิติสอดคล้องกับองศาความเป็นอิสระของระบบและที่จุดที่ระบุไว้โดยพวกเขาพิกัดทั่วไป สำหรับการเคลื่อนไหวของข้อ จำกัด ของอนุภาคฟรีนานาเทียบเท่ากับพื้นที่ Euclidean แต่ต่างๆกฎหมายอนุรักษ์จำกัด มันก่อความซับซ้อนมากขึ้นเช่นLiouville Tori ทฤษฎีของร่างกายที่หมุนได้ซึ่งพัฒนาขึ้นในศตวรรษที่ 18 โดยLeonhard EulerและJoseph-Louis Lagrange เป็นอีกตัวอย่างหนึ่งที่ท่อต่างๆนั้นไม่สำคัญ ด้านเรขาคณิตและทอพอโลยีของกลศาสตร์คลาสสิกถูกเน้นโดยHenri Poincaréหนึ่งในผู้ก่อตั้งของโครงสร้าง

Riemann เป็นคนแรกที่ทำงานอย่างครอบคลุมโดยสรุปแนวคิดเรื่องพื้นผิวไปสู่มิติที่สูงขึ้น ชื่อนานามาจาก Riemann ของเดิมเยอรมันระยะMannigfaltigkeitซึ่งวิลเลียม Kingdon Cliffordแปลว่า "manifoldness" ในการบรรยายครั้งแรกของGöttingen Riemann ได้อธิบายถึงชุดของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรโดยมีข้อ จำกัด บางประการเป็นMannigfaltigkeitเนื่องจากตัวแปรสามารถมีได้หลายค่า เขาแยกความแตกต่างระหว่างstetige Mannigfaltigkeitและdiskrete Mannigfaltigkeit (ความต่อเนื่องและความหลากหลายที่ไม่ต่อเนื่อง ) ขึ้นอยู่กับว่าค่านั้นเปลี่ยนแปลงอย่างต่อเนื่องหรือไม่ ดังตัวอย่างต่อเนื่อง Riemann ไม่เพียง แต่อ้างถึงสีและตำแหน่งของวัตถุในอวกาศเท่านั้น แต่ยังรวมถึงรูปร่างที่เป็นไปได้ของรูปทรงอวกาศด้วย ด้วยการใช้การเหนี่ยวนำ Riemann สร้างn-fach ausgedehnte Mannigfaltigkeit ( ท่อร่วมที่เพิ่มขึ้น n เท่าหรือท่อร่วมมิติ n มิติ ) เป็นสแต็กที่ต่อเนื่องของท่อร่วมมิติ (n − 1) แนวคิดที่ใช้งานง่ายของ Riemann เกี่ยวกับMannigfaltigkeit ได้พัฒนาไปสู่สิ่งที่เป็นทางการในปัจจุบันเป็นหลายหลาก ท่อร่วมของ Riemannianและพื้นผิวของ Riemannได้รับการตั้งชื่อตาม Riemann

คำจำกัดความของPoincaré

ในกระดาษที่มีอิทธิพลมากของเว็บไซต์วิเคราะห์ , ^[4] Henri Poincaréได้ให้นิยามของ (อนุพันธ์) นานา (กVariete ) ซึ่งทำหน้าที่เป็นสารตั้งต้นให้แนวคิดที่ทันสมัยของนานา ^[5]

ในส่วนแรกของเว็บไซต์วิเคราะห์, Poincaréกำหนดนานาเป็นชุดระดับของการเป็นอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่องฟังก์ชั่นช่องว่างระหว่างยุคลิดที่ตรงกับสมมติฐาน nondegeneracy ของทฤษฎีบทฟังก์ชันโดยปริยาย ในส่วนที่สามเขาเริ่มต้นด้วยการตั้งข้อสังเกตว่ากราฟของฟังก์ชันที่แตกต่างอย่างต่อเนื่องนั้นมีความหลากหลายในแง่หลัง จากนั้นเขาเสนอคำจำกัดความใหม่ที่กว้างขึ้นโดยทั่วไปของท่อร่วมตาม 'chain of manifolds' (ไม่ได้chane des varétés )

ความคิดPoincaréของห่วงโซ่ของแมนิโฟลเป็นสารตั้งต้นเพื่อความคิดที่ทันสมัยของแผนที่ โดยเฉพาะอย่างยิ่งเขาพิจารณาสอง Manifolds ที่กำหนดตามลำดับเป็นกราฟของฟังก์ชัน${\ displaystyle \ theta (y)}$ และ ${\ displaystyle \ theta '\ left (y' \ right)}$. หากท่อร่วมเหล่านี้ทับซ้อนกัน ( ชุมชนที่ไม่ได้มีส่วนร่วม ) แสดงว่าเขาต้องการพิกัดนั้น${\ displaystyle y}$ ขึ้นอยู่กับพิกัดที่แตกต่างกันอย่างต่อเนื่อง ${\ displaystyle y '}$และในทางกลับกัน (' ... les${\ displaystyle y}$ sont fonctions analytiques des ${\ displaystyle y '}$และผกผัน ') ด้วยวิธีนี้เขาแนะนำปูชนียบุคคลที่ความคิดของการแผนภูมิและของแผนที่การเปลี่ยนแปลง มีความหมายโดยนัยใน Analysis Situs ว่าท่อร่วมที่ได้รับเป็น 'chain' เป็นส่วนย่อยของช่องว่างแบบยุคลิด

ตัวอย่างเช่นวงกลมหน่วยในระนาบสามารถคิดได้ว่าเป็นกราฟของฟังก์ชัน ${\ displaystyle y = {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}$ หรือฟังก์ชั่นอื่น ๆ ${\ displaystyle y = - {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}$ในพื้นที่ใกล้เคียงของทุกจุดยกเว้นจุด (1, 0) และ (−1, 0); และในบริเวณใกล้เคียงของจุดเหล่านั้นสามารถคิดได้ว่าเป็นกราฟของตามลำดับ${\ displaystyle x = {\ sqrt {1-y ^ {2}}}}$ และ ${\ displaystyle x = - {\ sqrt {1-y ^ {2}}}}$. สาเหตุที่วงกลมสามารถแสดงด้วยกราฟในพื้นที่ใกล้เคียงของทุกจุดเป็นเพราะด้านซ้ายมือของสมการที่กำหนด${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} -1 = 0}$มีการไล่ระดับสีที่ไม่ใช่ศูนย์ทุกจุดของวงกลม ตามทฤษฎีบทของฟังก์ชันโดยนัยทุกๆsubmanifoldของปริภูมิยุคลิดจะเป็นกราฟของฟังก์ชัน

เฮอร์มันน์ไวล์ได้ให้คำจำกัดความที่แท้จริงสำหรับความหลากหลายที่แตกต่างกันในหลักสูตรการบรรยายของเขาเกี่ยวกับพื้นผิว Riemann ในปี พ.ศ. 2454–2555 ซึ่งเป็นการเปิดเส้นทางสู่แนวคิดทั่วไปของพื้นที่โทโพโลยีที่ตามมาในไม่ช้า ในช่วงทศวรรษที่ 1930 ฮัสเลอร์วิทนีย์และคนอื่น ๆ ได้ชี้แจงประเด็นพื้นฐานของเรื่องนี้และด้วยเหตุนี้สัญชาตญาณที่ย้อนกลับไปในช่วงครึ่งหลังของศตวรรษที่ 19 จึงมีความแม่นยำและพัฒนาผ่านรูปทรงเรขาคณิตที่แตกต่างและทฤษฎีกลุ่มการโกหก โดยเฉพาะอย่างยิ่งทฤษฎีบทฝังตัวของวิทนีย์^[6]แสดงให้เห็นว่าคำจำกัดความที่แท้จริงในแง่ของแผนภูมินั้นเทียบเท่ากับคำจำกัดความของPoincaréในแง่ของเซตย่อยของปริภูมิยุคลิด

โทโพโลยีของท่อต่างๆ: ไฮไลท์

manifolds สองมิติที่เรียกว่า 2D พื้นผิวที่ฝังตัวในการร่วมกันพื้นที่ 3D ของเราได้รับการพิจารณาโดย Riemann ภายใต้หน้ากากของRiemann พื้นผิวและเคร่งครัดจัดให้อยู่ในจุดเริ่มต้นของศตวรรษที่ 20 โดยพอลฮีการ์ดและแม็กซ์ Dehn Henri Poincaréเป็นหัวหอกในการศึกษาของแมนิโฟลสามมิติและยกคำถามพื้นฐานเกี่ยวกับพวกเขาในวันนี้ที่รู้จักกันเป็นPoincaréคาดเดา หลังจากเกือบหนึ่งศตวรรษของความพยายามของนักคณิตศาสตร์หลายคนโดยเริ่มจากPoincaréตัวเองGrigori Perelmanได้พิสูจน์การคาดเดาของPoincaré (ดูคำตอบของการคาดเดาของPoincaré ) โปรแกรม geometrizationของWilliam Thurstonซึ่งจัดทำขึ้นในปี 1970 เป็นการขยายขอบเขตของการคาดเดาPoincaréไปยังท่อร่วมสามมิติทั่วไป ท่อร่วมสี่มิติถูกนำไปสู่แนวหน้าของการวิจัยทางคณิตศาสตร์ในทศวรรษที่ 1980 โดยMichael Freedmanและในสภาพแวดล้อมที่แตกต่างกันโดยSimon Donaldsonผู้ซึ่งได้รับแรงบันดาลใจจากความก้าวหน้าล่าสุดในฟิสิกส์เชิงทฤษฎี (ทฤษฎีYang – Mills ) ซึ่งพวกเขาทำหน้าที่เป็น แทนกาลอวกาศ 'แบน' ธรรมดา Andrey Markov Jr.แสดงให้เห็นในปี 1960 ว่าไม่มีอัลกอริทึมสำหรับการจำแนกท่อร่วมสี่มิติ งานที่สำคัญในแมนิโฟลที่สูงขึ้นมิติรวมทั้งanalogues ของPoincaréคาดเดาได้กระทำก่อนหน้านี้โดยRené Thom , จอห์นมิลเนอร์ , สตีเฟนสเมลและSergei Novikov หนึ่งในเทคนิคที่แพร่หลายและมีความยืดหยุ่นมากที่สุดพื้นฐานการทำงานมากในtopology ของ manifoldsเป็นทฤษฎีมอร์ส

ท่อร่วมโทโพโลยี

ประเภทของท่อร่วมที่ง่ายที่สุดในการกำหนดคือท่อร่วมแบบโทโพโลยีซึ่งมีลักษณะเฉพาะในท้องถิ่นเหมือนช่องว่างแบบยุคลิด "ธรรมดา" ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$. ตามความหมายแล้วท่อร่วมทั้งหมดเป็นท่อร่วมแบบโทโพโลยีดังนั้นโดยปกติแล้ววลี "โทโพโลยีแมนิโฟลด์" จึงถูกใช้เพื่อเน้นว่าท่อร่วมนั้นไม่มีโครงสร้างเพิ่มเติมหรือมีการพิจารณาเฉพาะคุณสมบัติของโทโพโลยีเท่านั้น ตามปกติแล้วโทโพโลยีแมนิโฟลด์คือโทโพโลยีที่ มีลักษณะเฉพาะของโทโพโลยีเป็นพื้นที่แบบยูคลิด ซึ่งหมายความว่าทุกจุดมีพื้นที่ใกล้เคียงที่มีhomeomorphism ( ฟังก์ชัน ต่อเนื่องแบบ bijectiveซึ่งผกผันต่อเนื่องเช่นกัน) การทำแผนที่ละแวกนั้นกับ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$. homeomorphisms เหล่านี้เป็นแผนภูมิของท่อต่างๆ

ความหลากหลายของโครงสร้างโทโพโลยีมีลักษณะเฉพาะในพื้นที่เหมือนช่องว่างแบบยุคลิดในลักษณะที่ค่อนข้างอ่อนแอในขณะที่แต่ละแผนภูมิสามารถแยกแยะฟังก์ชันที่แตกต่างกันได้หรือวัดระยะทางและมุมได้โดยอาศัยการเป็นโทโพโลยีที่หลากหลายทำให้ช่องว่างไม่มีความเฉพาะเจาะจงและสอดคล้องกันทางเลือกของแนวคิดดังกล่าว เพื่อที่จะหารือเกี่ยวกับคุณสมบัติดังกล่าวสำหรับท่อร่วมไอดีจำเป็นต้องระบุโครงสร้างเพิ่มเติมและพิจารณาท่อร่วมที่แตกต่างกันและท่อร่วมของรีมันเนียนที่กล่าวถึงด้านล่าง โดยเฉพาะอย่างยิ่งท่อร่วมโทโพโลยีพื้นฐานเดียวกันสามารถมีคลาสที่เข้ากันไม่ได้หลายคลาสของฟังก์ชันที่แตกต่างกันและจำนวนวิธีที่ไม่ จำกัด ในการระบุระยะทางและมุม

โดยปกติจะมีการตั้งสมมติฐานทางเทคนิคเพิ่มเติมเกี่ยวกับพื้นที่ทอโพโลยีเพื่อไม่รวมกรณีทางพยาธิวิทยา เป็นเรื่องปกติที่จะกำหนดให้พื้นที่เป็นHausdorffและวินาทีที่นับได้

มิติของนานาที่จุดหนึ่งคือมิติของพื้นที่ยูคลิดที่ชาร์ตในแผนที่ที่ชี้ไปที่ (จำนวนnในความหมาย) จุดทั้งหมดในท่อร่วมที่เชื่อมต่อมีขนาดเท่ากัน ผู้เขียนบางคนต้องการให้แผนภูมิทั้งหมดของแผนผังโครงสร้างโทโพโลยีเป็นช่องว่างแบบยุคลิดที่มีมิติเดียวกัน ในกรณีนั้นทุก ๆ ท่อร่วมของโทโพโลยีจะมีความไม่แปรผันของโทโพโลยีซึ่งเป็นมิติของมัน ผู้เขียนคนอื่นอนุญาตให้ยูนิโฟลด์โทโพโลยีที่ไม่ปะติดปะต่อกันที่มีขนาดต่างกันเรียกว่าท่อร่วม

ท่อร่วมที่แตกต่างกัน

สำหรับการใช้งานส่วนใหญ่จะใช้ท่อร่วมโทโพโลยีชนิดพิเศษคือท่อร่วมที่แตกต่างกันถูกใช้ หากแผนภูมิท้องถิ่นบนท่อร่วมต่างๆเข้ากันได้ในแง่หนึ่งเราสามารถกำหนดทิศทางช่องว่างแทนเจนต์และฟังก์ชันที่แตกต่างกันของท่อร่วมนั้นได้ โดยเฉพาะอย่างยิ่งมันเป็นไปได้ที่จะใช้แคลคูลัสกับท่อร่วมที่แตกต่างกัน จุดของแต่ละnนานาอนุพันธ์มิติมีพื้นที่สัมผัส นี่คือปริภูมิแบบยุคลิดnมิติประกอบด้วยเวกเตอร์แทนเจนต์ของเส้นโค้งผ่านจุด

สองชั้นที่สำคัญของแมนิโฟลอนุพันธ์ได้เป็นไปอย่างราบรื่นและmanifolds วิเคราะห์ สำหรับท่อร่วมที่ราบรื่นแผนที่การเปลี่ยนแปลงจะราบรื่นนั่นคือความแตกต่างอย่างไม่มีที่สิ้นสุด ท่อร่วมวิเคราะห์เป็นท่อร่วมแบบเรียบโดยมีเงื่อนไขเพิ่มเติมว่าแผนที่การเปลี่ยนแปลงเป็นแบบวิเคราะห์ (สามารถแสดงเป็นอนุกรมกำลังได้ ) ทรงกลมสามารถกำหนดโครงสร้างการวิเคราะห์เช่นเดียวกับเส้นโค้งและพื้นผิวที่คุ้นเคยมากที่สุด

นอกจากนี้ยังมีโทโพโลยีหลายชนิดเช่นช่องว่างแบบยูคลิดในท้องถิ่นซึ่งไม่มีโครงสร้างที่แตกต่างกันเลย ^[7]

ชุด rectifiable generalizes ความคิดของค่ที่เรียบหรือrectifiable โค้งขนาดสูงกว่า; อย่างไรก็ตามชุดที่แก้ไขได้ไม่ได้อยู่ในท่อร่วมทั่วไป

ท่อร่วม Riemannian

ในการวัดระยะทางและมุมของท่อร่วมท่อร่วมต้องเป็น Riemannian นานารีมันเป็นนานาอนุพันธ์ซึ่งในแต่ละพื้นที่สัมผัสเป็นอุปกรณ์ที่มีสินค้าภายใน ⟨⋅, ⋅⟩ในลักษณะที่แตกต่างกันได้อย่างราบรื่นจากจุดไปยังจุด ด้วยเวกเตอร์แทนเจนต์สองตัวuและvผลคูณภายใน⟨ u , v ⟩ให้จำนวนจริง ผลิตภัณฑ์จุด (หรือสเกลาร์) เป็นตัวอย่างทั่วไปของผลิตภัณฑ์ภายใน นี้จะช่วยให้หนึ่งในการกำหนดความคิดต่าง ๆ เช่นความยาว , มุม , พื้นที่ (หรือไดรฟ์ ), ความโค้งและความแตกต่างของเวกเตอร์ฟิลด์

ท่อร่วมที่แตกต่างกันทั้งหมด (ของมิติคงที่) สามารถกำหนดโครงสร้างของท่อร่วม Riemannian ได้ ช่องว่างแบบยุคลิดมีโครงสร้างตามธรรมชาติของท่อร่วมของ Riemannian (ช่องว่างแทนเจนต์จะถูกระบุโดยธรรมชาติด้วยช่องว่างแบบยุคลิดและมีผลคูณสเกลาร์มาตรฐานของอวกาศ) เส้นโค้งและพื้นผิวที่คุ้นเคยจำนวนมากรวมถึงตัวอย่างn -spheres ทั้งหมดถูกระบุให้เป็นพื้นที่ย่อยของสเปซแบบยุคลิดและสืบทอดเมตริกจากการฝังไว้ในนั้น

ท่อร่วม Finsler

Finsler มากมายช่วยให้ความหมายของระยะทาง แต่ไม่จำเป็นต้องแนวคิดของมุม; มันเป็นท่อร่วมในการวิเคราะห์ซึ่งแต่ละพื้นที่สัมผัสมีบรรทัดฐาน || · || ในลักษณะที่แตกต่างกันอย่างราบรื่นในแต่ละจุด บรรทัดฐานนี้สามารถขยายเป็นเมตริกกำหนดความยาวของเส้นโค้ง แต่โดยทั่วไปไม่สามารถใช้เพื่อกำหนดผลิตภัณฑ์ภายในได้

ท่อร่วมของ Riemannian ใด ๆ เป็นท่อร่วม Finsler

กลุ่มโกหก

กลุ่มโกหกซึ่งตั้งชื่อตามโซฟัสโกหกเป็นท่อร่วมที่แตกต่างกันซึ่งมีโครงสร้างของกลุ่มซึ่งการดำเนินการของกลุ่มถูกกำหนดโดยแผนที่ที่ราบรื่น

ปริภูมิเวกเตอร์แบบยุคลิดที่มีการดำเนินการเป็นกลุ่มของการบวกเวกเตอร์เป็นตัวอย่างของกลุ่มคำโกหกที่ไม่กระชับ ตัวอย่างง่ายๆของกลุ่มโกหกขนาดกะทัดรัดคือวงกลม: การดำเนินการของกลุ่มเป็นเพียงการหมุนเวียน กลุ่มนี้เรียกว่า U (1) สามารถกำหนดได้ว่าเป็นกลุ่มของจำนวนเชิงซ้อนของโมดูลัส 1 ที่มีการคูณเป็นการดำเนินการของกลุ่ม

ตัวอย่างอื่น ๆ ของกลุ่มโกหก ได้แก่ กลุ่มพิเศษของเมทริกซ์ซึ่งเป็นกลุ่มย่อยทั้งหมดของทั่วไปตรงกลุ่มกลุ่มของnโดยnเมทริกซ์ที่มีไม่ใช่ศูนย์ปัจจัย ถ้ารายการเมทริกซ์เป็นจำนวนจริงนี่จะเป็นแมนิโฟลด์ที่ขาดการเชื่อมต่อn ²มิติ กลุ่มมุมฉากที่สัดส่วนกลุ่มของทรงกลมและhyperspheresมีn ( n -1) / 2 manifolds มิติที่n -1 เป็นมิติของทรงกลม ตัวอย่างเพิ่มเติมสามารถพบได้ในตารางของกลุ่มโกหก

ท่อร่วมประเภทอื่น ๆ

• มากมายซับซ้อนเป็นท่อที่มีชาร์ตใช้ค่าใน${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$และมีฟังก์ชันการเปลี่ยนแปลงเป็นโฮโลมอร์ฟิคบนทับซ้อนกัน แมนิโฟลเหล่านี้เป็นวัตถุพื้นฐานของการศึกษาในรูปทรงเรขาคณิตที่ซับซ้อน นานาหนึ่งมิติที่ซับซ้อนที่เรียกว่าผิว Riemann nนานาซับซ้อนมิติมีขนาด 2 nเป็นนานาอนุพันธ์ได้จริง
• CR นานาเป็นนานาจำลองในขอบเขตของโดเมนใน${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$.
• 'manifolds มิติ Infinite: เพื่อให้มิติอนันต์หนึ่งอาจพิจารณาmanifolds นาคซึ่งเป็นในประเทศมอร์ฟิคเพื่อนาคพื้นที่ ในทำนองเดียวกัน manifolds Fréchetอยู่ในประเทศมอร์ฟิคไปช่องว่างFréchet
• นานา symplecticเป็นชนิดของนานาซึ่งจะใช้เพื่อเป็นตัวแทนของพื้นที่เฟสในกลศาสตร์คลาสสิก พวกเขาจะ endowed กับ2 รูปแบบที่กำหนดวงเล็บ Poisson ชนิดที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดของนานาเป็นอเนกติดต่อ
• นานา combinatorialเป็นชนิดของนานาซึ่งเป็นความไม่ต่อเนื่องของนานาที่ มันมักจะหมายถึงค่เชิงเส้นท่อร่วมทำโดยsimplicial คอมเพล็กซ์
• นานาดิจิตอลเป็นชนิดพิเศษของนานา combinatorial ซึ่งถูกกำหนดไว้ในพื้นที่ดิจิตอล ดูโทโพโลยีดิจิทัล

ความคิดที่แตกต่างกันของความหลากหลายมีความคิดที่แตกต่างกันในการจำแนกประเภทและไม่แปรเปลี่ยน ในส่วนนี้เรามุ่งเน้นไปที่ท่อร่วมที่ปิดเรียบ

หลักการจำแนกประเภทของท่อร่วมแบบปิดเรียบเป็นที่เข้าใจกันดีในหลักการยกเว้นในมิติที่ 4 : ในมิติที่ต่ำ (2 และ 3) เป็นรูปทรงเรขาคณิตผ่านทางทฤษฎีบทการทำให้สม่ำเสมอและการแก้ปัญหาของการคาดเดาPoincaréและในมิติสูง (5 ขึ้นไป) มันเป็นเรื่องเกี่ยวกับพีชคณิตผ่านทางทฤษฎีการผ่าตัด นี่คือการจัดหมวดหมู่ในหลักการ: คำถามทั่วไปว่าสอง manifolds เรียบ diffeomorphic คือไม่ได้คำนวณโดยทั่วไป นอกจากนี้การคำนวณที่เฉพาะเจาะจงยังคงเป็นเรื่องยากและมีคำถามเปิดอยู่มากมาย

พื้นผิวที่ปรับทิศทางได้สามารถมองเห็นได้และชั้นเรียนที่แตกต่างกันของพวกมันจะถูกแจกแจงตามประเภท เมื่อพิจารณาจากพื้นผิวที่ปรับทิศทางได้สองแบบเราสามารถระบุได้ว่าพวกมันมีความแตกต่างกันหรือไม่โดยการคำนวณสกุลของพวกมันและเปรียบเทียบ: พวกมันต่างกันก็ต่อเมื่อสกุลมีค่าเท่ากันดังนั้นสกุลจึงสร้างชุดค่าคงที่ที่สมบูรณ์

สิ่งนี้ยากกว่ามากในมิติข้อมูลที่สูงขึ้น: ท่อร่วมมิติที่มีมิติสูงกว่าไม่สามารถมองเห็นได้โดยตรง (แม้ว่าสัญชาตญาณการมองเห็นจะมีประโยชน์ในการทำความเข้าใจ) และไม่สามารถแจกแจงคลาส diffeomorphism ของพวกเขาได้และโดยทั่วไปไม่สามารถระบุได้ว่าคำอธิบายที่แตกต่างกันสองคำของมิติที่สูงกว่าหรือไม่ มากมายหมายถึงวัตถุเดียวกัน

อย่างไรก็ตามเราสามารถระบุได้ว่าท่อร่วมสองรายการแตกต่างกันหรือไม่หากมีลักษณะภายในบางอย่างที่ทำให้พวกเขาแตกต่างกัน โดยทั่วไปเรียกเกณฑ์ดังกล่าวว่าเป็นค่าคงที่เนื่องจากแม้ว่าอาจมีการกำหนดในแง่ของการนำเสนอบางอย่าง (เช่นประเภทในรูปแบบของรูปสามเหลี่ยม) เกณฑ์เหล่านี้จะเหมือนกันเมื่อเทียบกับคำอธิบายที่เป็นไปได้ทั้งหมดของรายการที่เฉพาะเจาะจง: ไม่แปรผันภายใต้คำอธิบายที่แตกต่างกัน

อย่างไร้เดียงสาเราอาจหวังว่าจะพัฒนาคลังแสงของเกณฑ์ที่ไม่แปรเปลี่ยนซึ่งจะจำแนกความหลากหลายทั้งหมดได้อย่างชัดเจนถึง isomorphism น่าเสียดายที่เป็นที่ทราบกันดีว่าสำหรับท่อร่วมมิติที่ 4 และสูงกว่านั้นไม่มีโปรแกรมใดที่สามารถตัดสินได้ว่าท่อร่วมสองรายการนั้นแตกต่างกันหรือไม่

แมนิโฟลสมูทมีชุดสมบูรณ์ของค่าคงที่มาจากจุดตั้ง topology , คลาสสิกtopology เกี่ยวกับพีชคณิตและโครงสร้างทางเรขาคณิต ค่าคงที่ที่คุ้นเคยมากที่สุดซึ่งมองเห็นได้บนพื้นผิว ได้แก่ ความสามารถในการปรับทิศทาง (ค่าคงที่ปกติตรวจพบโดยhomology ) และสกุล (ค่าคงที่แบบ homological)

Smooth manifolds ปิดไม่มีค่าคงที่ในท้องถิ่น (นอกเหนือจากมิติ) แต่ manifolds เรขาคณิตมีค่าคงที่ในท้องถิ่นสะดุดตาความโค้งของนานา Riemannianและแรงบิดของนานาพร้อมกับการเชื่อมต่อเลียนแบบ ความแตกต่างระหว่างค่าคงที่ในท้องถิ่นและไม่มีค่าคงที่ในท้องถิ่นนี้เป็นวิธีการทั่วไปที่จะแยกแยะระหว่างรูปทรงเรขาคณิตและ topology ค่าคงที่ทั้งหมดของท่อร่วมที่ปิดเรียบจึงมีอยู่ทั่วโลก

โทโพโลยีพีชคณิตเป็นแหล่งที่มาของคุณสมบัติที่ไม่แปรเปลี่ยนทั่วโลกที่สำคัญจำนวนหนึ่ง เกณฑ์สำคัญบางประการ ได้แก่คุณสมบัติที่เชื่อมต่อกันและความสามารถในการวางแนว (ดูด้านล่าง) อันที่จริงคณิตศาสตร์หลายสาขาเช่นhomologyและhomotopy theory และทฤษฎีของชั้นเรียนลักษณะเฉพาะถูกก่อตั้งขึ้นเพื่อศึกษาคุณสมบัติที่ไม่แปรเปลี่ยนของท่อต่างๆ

ความสามารถในการปรับทิศทาง

ในมิติที่สองขึ้นไปเกณฑ์คงที่ที่เรียบง่าย แต่สำคัญคือคำถามที่ว่าท่อต่างๆยอมรับการวางแนวที่มีความหมายหรือไม่ พิจารณาความหลากหลายของโทโพโลยีที่มีการแมปแผนภูมิกับ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$. ได้รับคำสั่งพื้นฐานสำหรับ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$แผนภูมิทำให้ชิ้นส่วนของท่อร่วมในตัวมันเองได้รับความรู้สึกของการสั่งซื้อซึ่งใน 3 มิติสามารถมองได้ว่าเป็นมือขวาหรือมือซ้าย แผนภูมิที่ทับซ้อนกันไม่จำเป็นต้องเห็นด้วยในแง่ของการสั่งซื้อซึ่งทำให้มีอิสระที่สำคัญมากมาย สำหรับความหลากหลายเช่นทรงกลมแผนภูมิสามารถเลือกได้เพื่อให้พื้นที่ที่ทับซ้อนกันเห็นด้วยกับ "ความถนัดมือ" ของพวกเขา สิ่งเหล่านี้คือความหลากหลายเชิงทิศทาง สำหรับคนอื่นสิ่งนี้เป็นไปไม่ได้ ความเป็นไปได้ประการหลังนั้นง่ายต่อการมองข้ามเนื่องจากพื้นผิวปิดใด ๆ ที่ฝังอยู่ (โดยไม่มีจุดตัดตัวเอง) ในพื้นที่สามมิตินั้นปรับทิศทางได้

ตัวอย่างที่เป็นภาพประกอบของท่อร่วมที่ไม่สามารถปรับทิศทางได้ ได้แก่ (1) แถบMöbiusซึ่งเป็นท่อร่วมที่มีขอบเขต (2) ขวดไคลน์ซึ่งจะต้องตัดกันในการแสดงพื้นที่ 3 ช่องและ (3) ระนาบการฉายจริงซึ่งเกิดขึ้นตามธรรมชาติในรูปทรงเรขาคณิต

แถบMöbius

แถบMöbius

เริ่มต้นด้วยรูปทรงกระบอกกลมไม่มีที่สิ้นสุดตั้งอยู่ในแนวตั้งท่อร่วมที่ไม่มีขอบเขต ฝานให้สูงและต่ำเพื่อสร้างขอบเขตวงกลมสองเส้นและแถบทรงกระบอกคั่นระหว่างพวกเขา นี่คือท่อร่วมทางตะวันออกที่มีขอบเขตซึ่งจะทำการ "ผ่าตัด" ฝานแถบให้เปิดออกเพื่อที่จะคลายเส้นให้กลายเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าได้ แต่ให้จับที่ปลายตัด บิดปลายด้านหนึ่ง 180 °ทำให้พื้นผิวด้านในหันหน้าออกและกาวปลายกลับเข้าด้วยกันอย่างไร้รอยต่อ ผลนี้ในแถบที่มีถาวรครึ่งบิดที่: แถบเมอบิอุส ขอบเขตของมันไม่ใช่คู่ของวงกลมอีกต่อไป แต่ (โครงสร้าง) เป็นวงกลมเดียว และสิ่งที่ครั้งหนึ่งเคยเป็น "ภายใน" ได้รวมเข้ากับ "ภายนอก" ของมันทำให้ตอนนี้มีเพียงด้านเดียว เช่นเดียวกับขวดไคลน์ด้านล่างพื้นผิวสองมิตินี้จะต้องตัดกันเป็นสองมิติ แต่สามารถสร้างเป็นสามมิติขึ้นไปได้อย่างง่ายดาย

ขวดคลีน

ขวดไคลน์แช่อยู่ในพื้นที่สามมิติ

ใช้Möbiusสองแถบ แต่ละวงมีวงเดียวเป็นขอบเขต ตรงออกลูปที่เป็นวงกลมและให้แถบบิดเบือนลงในหมวกข้าม ติดกาววงการด้วยกันจะผลิตใหม่ ๆ นานาโดยไม่ต้องปิดพรมแดนที่ขวด Klein การปิดพื้นผิวไม่ได้ช่วยปรับปรุงการขาดความสามารถในการปรับทิศทางได้ แต่เป็นการลบขอบเขตออกไปเท่านั้น ดังนั้นขวดไคลน์จึงเป็นแบบปิดผิวที่ไม่มีความแตกต่างระหว่างภายในและภายนอก ในพื้นที่สามมิติพื้นผิวของขวดไคลน์จะต้องผ่านตัวเอง การสร้างขวดไคลน์ที่ไม่ตัดกันต้องใช้พื้นที่ตั้งแต่สี่มิติขึ้นไป

เครื่องบินฉายจริง

เริ่มต้นด้วยทรงกลมที่มีศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด ทุกเส้นที่ผ่านต้นกำเนิดจะแทงทะลุทรงกลมในสองจุดที่ตรงกันข้ามกันเรียกว่าแอนติโพเด แม้ว่าจะไม่มีวิธีใดในการทำเช่นนั้นทางกายภาพ แต่ก็เป็นไปได้ (โดยพิจารณาจากช่องว่างผลหาร ) ในการรวมคู่แอนติบอดีแต่ละคู่ในทางคณิตศาสตร์ให้เป็นจุดเดียว พื้นผิวปิดที่ผลิตขึ้นคือระนาบฉายจริงแต่เป็นอีกพื้นผิวที่ไม่สามารถปรับทิศทางได้ มีคำอธิบายและโครงสร้างที่เทียบเท่ากันจำนวนหนึ่ง แต่เส้นทางนี้อธิบายถึงชื่อ: จุดทั้งหมดบนเส้นที่กำหนดผ่านโครงการต้นทางไปยัง "จุด" เดียวกันบน "ระนาบ" นี้

สกุลและลักษณะของออยเลอร์

สำหรับแมนิโฟลด์สองมิติคุณสมบัติที่ไม่แปรเปลี่ยนของคีย์คือประเภทหรือ "จำนวนแฮนเดิล" ที่มีอยู่ในพื้นผิว ทอรัสเป็นทรงกลมที่มีด้ามเดียวทอรัสคู่เป็นทรงกลมที่มีด้ามจับสองอันเป็นต้น อันที่จริงมันเป็นไปได้ที่จะกำหนดลักษณะของท่อร่วมสองมิติขนาดกะทัดรัดอย่างสมบูรณ์บนพื้นฐานของประเภทและความสามารถในการปรับทิศทางได้ ในแมนิโฟลที่สูงขึ้นมิติประเภทจะถูกแทนที่ด้วยความคิดของออยเลอร์ลักษณะและอื่น ๆ โดยทั่วไปหมายเลข Bettiและคล้ายคลึงกันและโฮโมโลจี้

ผิว Morinการ แช่ที่ใช้ในการ ทรงกลม eversion

เช่นเดียวกับมีชนิดต่าง ๆ ของแมนิโฟลมีชนิดต่าง ๆ ของแผนที่ manifolds นอกเหนือจากฟังก์ชันต่อเนื่องและฟังก์ชันที่ราบรื่นโดยทั่วไปแล้วยังมีแผนที่ที่มีคุณสมบัติพิเศษ ในโครงสร้างทางเรขาคณิตชนิดพื้นฐานembeddingsซึ่งทฤษฎีเงื่อนเป็นตัวอย่างที่กลางและภาพรวมเช่นimmersions , submersions , ครอบคลุมพื้นที่และramified ครอบคลุมพื้นที่ ผลการพื้นฐานรวมถึงวิทนีย์ฝังทฤษฎีบทและวิทนีย์แช่ทฤษฎีบท

ในรีมันเรขาคณิตหนึ่งอาจขอแผนที่เพื่อรักษาเมตริกรีมันนำไปสู่ความคิดของembeddings มีมิติเท่ากัน , immersions มีมิติเท่ากันและsubmersions รีมัน ; ผลขั้นพื้นฐานคือการฝังทฤษฎีบทแนช

ฟังก์ชันที่มีค่าสเกลาร์

พล็อตสี 3 มิติของ ฮาร์มอนิกทรงกลมขององศา ${\ displaystyle n = 5}$

ตัวอย่างพื้นฐานของแผนที่ระหว่างท่อต่างๆคือฟังก์ชันที่มีค่าสเกลาร์บนท่อร่วม

$${\ displaystyle f \ โคลอน M \ to \ mathbb {R}}$$

$${\ displaystyle f \ colon M \ to \ mathbb {C},}$$

บางครั้งเรียกว่าฟังก์ชั่นปกติหรือfunctionalsโดยการเปรียบเทียบกับพีชคณิตเรขาคณิตหรือพีชคณิตเชิงเส้น สิ่งเหล่านี้เป็นสิ่งที่น่าสนใจทั้งในสิทธิของตนเองและเพื่อศึกษาข้อมูลที่เป็นสาระสำคัญ

ใน topology เรขาคณิตศึกษากันมากที่สุดคือฟังก์ชั่นมอร์สซึ่งให้ผลผลิตhandlebodyสลายตัวในขณะที่ในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์คนหนึ่งมักจะศึกษาวิธีการแก้สมการเชิงอนุพันธ์เป็นตัวอย่างที่สำคัญของซึ่งเป็นการวิเคราะห์สอดคล้องกันที่หนึ่งการศึกษาการทำงานสอดคล้องกัน : เคอร์เนลของLaplace ผู้ประกอบการ นี้นำไปสู่การทำงานเช่นดนตรีทรงกลมและเคอร์เนลร้อนวิธีการของแมนิโฟลเรียนเช่นการได้ยินรูปร่างของกลองและพิสูจน์บางทฤษฎีบทดัชนี Atiyah-นักร้อง

ท่อร่วมมิติที่ไม่มีที่สิ้นสุด

คำจำกัดความของท่อร่วมสามารถสรุปได้โดยการลดความต้องการของมิติข้อมูล จำกัด ดังนั้นความหลากหลายของมิติที่ไม่มีที่สิ้นสุดจึงเป็นปริภูมิโทโพโลยีที่มีลักษณะเป็น homeomorphic ในท้องถิ่นไปจนถึง พื้นที่เวกเตอร์โทโพโลยีเหนือค่าความเป็นจริง ละเว้นนี้สัจพจน์จุดตั้งช่วยให้ cardinalities ที่สูงขึ้นและ ไม่ใช่ดอร์ฟแมนิโฟล ; และมันก็ละเว้นมิติ จำกัด ที่ช่วยให้โครงสร้างเช่น แมนิโฟลฮิลแบร์ตที่จะจำลองใน ช่องว่าง Hilbert , แมนิโฟลนาคจะสร้างแบบจำลองใน นาคพื้นที่และ manifolds Fréchetจะสร้างแบบจำลองใน พื้นที่Fréchet ปกติผ่อนคลายหนึ่งหรือเงื่อนไขอื่น ๆ : manifolds กับสัจพจน์จุดตั้งมีการศึกษาใน topology โดยทั่วไปในขณะที่แมนิโฟลอนันต์มิติมีการศึกษาใน การวิเคราะห์การทำงาน

วงโคจร

ออร์ บิโฟลด์เป็นลักษณะทั่วไปของท่อร่วมที่ทำให้เกิด " เอกฐาน " บางชนิด ในโทโพโลยี ประมาณพูดมันเป็นพื้นที่ซึ่งในประเทศที่มีลักษณะเช่นบวกลบคูณหารของพื้นที่บางอย่างง่าย (ก เช่นยุคลิดพื้นที่ ) โดย การดำเนินการต่าง ๆ ของ กลุ่มแน่นอน ความเป็นเอกพจน์สอดคล้องกับจุดคงที่ของการกระทำของกลุ่มและการกระทำต้องเข้ากันได้ในแง่หนึ่ง

พันธุ์พีชคณิตและโครงร่าง

ความหลากหลายของพีชคณิตที่ไม่ใช่เอกพจน์มากกว่าจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อนนั้นมีหลายหลาก หนึ่งสรุปสิ่งนี้ก่อนโดยอนุญาตให้มีเอกพจน์ประการที่สองโดยการอนุญาตฟิลด์ที่แตกต่างกันและประการที่สามโดยการเลียนแบบโครงสร้างการปะของท่อร่วม: เช่นเดียวกับท่อร่วมที่ติดกาวเข้าด้วยกันจากส่วนย่อยที่เปิดอยู่ของพื้นที่ยุคลิด ความหลากหลายทางพีชคณิตจะถูกติดเข้าด้วยกันจากพันธุ์พีชคณิตเชิงสัมพันธ์ เป็นชุดของพหุนามเป็นศูนย์บนฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิต Schemesยังติดกาวเข้าด้วยกันจากโครงร่าง Affine ซึ่งเป็นลักษณะทั่วไปของพันธุ์พีชคณิต ทั้งสองมีความเกี่ยวข้องกับความหลากหลาย แต่สร้างขึ้นในเชิงพีชคณิตโดยใช้ มัดแทนแผนที่

เพราะ จุดเอกพจน์ , ความหลากหลายคือโดยทั่วไปไม่ได้ต่าง ๆ นานา แต่ภาษาฝรั่งเศส Varieteเยอรมัน Mannigfaltigkeitและภาษาอังกฤษ ต่าง ๆ นานาส่วนใหญ่จะเป็น ความหมายเหมือนกัน ในภาษาฝรั่งเศสหลากหลายเกี่ยวกับพีชคณิตเรียกว่า กระจัดกระจายVariete algébrique (เป็น ความหลากหลายเกี่ยวกับพีชคณิต ) ในขณะที่นานาเรียบเรียกว่า กระจัดกระจายVariete différentielle (เป็น ความหลากหลายที่แตกต่างกัน )

พื้นที่แบ่งชั้น

"พื้นที่แบ่งชั้น" คือช่องว่างที่สามารถแบ่งออกเป็นชิ้น ๆ ("ชั้น") โดยแต่ละชั้นจะมีหลายชั้นโดยชั้นจะประกอบเข้าด้วยกันตามวิธีการที่กำหนด (อย่างเป็นทางการคือการ กรองโดยส่วนย่อยแบบปิด) มีคำจำกัดความทางเทคนิคต่างๆโดยเฉพาะอย่างยิ่ง Whitney stratified space (ดู เงื่อนไขของ Whitney ) สำหรับท่อร่วมแบบเรียบและ ช่องว่างแบบแบ่งชั้นของโทโพโลยีสำหรับท่อร่วมโทโพโลยี ตัวอย่างพื้นฐาน ได้แก่ ท่อร่วมที่มีขอบเขต (ท่อร่วมมิติด้านบนและขอบเขตรหัสมิติที่ 1) และท่อร่วมที่มีมุม (ท่อร่วมมิติด้านบนขอบเขตรหัส 1 มิติรหัส 2 มุม) วิทนีย์แบ่งพื้นที่เป็นวงกว้างระดับของพื้นที่รวมทั้งพันธุ์เกี่ยวกับพีชคณิตพันธุ์วิเคราะห์ ชุด semialgebraicและ ชุด subanalytic

CW- คอมเพล็กซ์

CW ซับซ้อนเป็นพื้นที่ทอพอโลยีที่เกิดขึ้นจากการติดกาวดิสก์ร่วมกันมิติที่แตกต่างกัน โดยทั่วไปช่องว่างที่เกิดขึ้นจะเป็นเอกพจน์และด้วยเหตุนี้จึงไม่ใช่ความหลากหลาย อย่างไรก็ตามพวกเขามีความสนใจหลักใน โทโพโลยีพีชคณิตโดยเฉพาะอย่างยิ่งใน ทฤษฎีโฮโมโตปีเนื่องจากง่ายต่อการคำนวณและความเป็นเอกฐานไม่น่ากังวล

ความคล้ายคลึงกันมากมาย

มากมายที่คล้ายคลึงกันคือพื้นที่ที่ทำงานเหมือนนานาจากมุมมองของทฤษฎีที่คล้ายคลึงกันที่ สิ่งเหล่านี้ไม่ใช่ท่อร่วมทั้งหมด แต่ (ในมิติที่สูง) สามารถวิเคราะห์ได้โดย ทฤษฎีการผ่าตัดเช่นเดียวกับท่อร่วมไอดีและความล้มเหลวในการเป็นท่อร่วมนั้นเป็นการอุดตันในท้องถิ่นเช่นเดียวกับในทฤษฎีการผ่าตัด ^[8]

ช่องว่างที่แตกต่างกัน

ปล่อย ${\ displaystyle M}$เป็นชุดที่ไม่ว่างเปล่า สมมติว่าบางตระกูลของฟังก์ชันจริงเปิดอยู่ ${\ displaystyle M}$ถูกเลือก. แสดงโดย ${\ displaystyle C \ subseteq \ mathbb {R} ^ {M}}$. มันเป็นพีชคณิตที่เกี่ยวกับการบวกและการคูณแบบชี้ ปล่อย ${\ displaystyle M}$ ติดตั้งโทโพโลยีที่เกิดจาก ${\ displaystyle C}$. สมมติว่ามีเงื่อนไขต่อไปนี้ อันดับแรก: สำหรับทุกๆ ${\ displaystyle H \ in C ^ {\ infty} \ left (\ mathbb {R} ^ {i} \ right)}$, ที่ไหน ${\ displaystyle i \ in \ mathbb {N}}$และตามอำเภอใจ ${\ displaystyle f_ {1}, \ dots, f_ {n} \ in C}$, องค์ประกอบ ${\ displaystyle H \ circ \ left (f_ {1}, \ dots, f_ {n} \ right) \ in C}$. ประการที่สอง: ทุกฟังก์ชั่นซึ่งในทุกจุดของ ${\ displaystyle M}$ เกิดขึ้นพร้อมกับฟังก์ชันบางอย่างจาก ${\ displaystyle C}$ยังเป็นของ ${\ displaystyle C}$. คู่ ${\ displaystyle (M, C)}$ซึ่งเงื่อนไขข้างต้นนี้เรียกว่าพื้นที่ส่วนต่างของ Sikorski ^[9]

• Geodesic  - เส้นทางที่สั้นที่สุดบนพื้นผิวโค้งหรือท่อร่วมของ Riemannian
• สถิติทิศทาง : สถิติเกี่ยวกับท่อต่างๆ
• รายชื่อท่อต่างๆ  - บทความในรายการ Wikipedia
• ไทม์ไลน์ของความหลากหลาย  - ไทม์ไลน์คณิตศาสตร์
• คณิตศาสตร์ของทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป  - โครงสร้างและเทคนิคทางคณิตศาสตร์ที่ใช้ในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป

ตามมิติ

• 3-Manifold  - ช่องว่างที่ดูเหมือนพื้นที่ 3 มิติแบบยุคลิด
• 4-  Manifold - Manifold ของมิติที่สี่
• 5-  Manifold - Manifold ของมิติที่ห้า
• Manifolds ของการทำแผนที่

• Freedman, Michael H. , และ Quinn, Frank (1990) โทโพโลยีของ 4-Manifolds . สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยพรินซ์ตัน ไอ 0-691-08577-3 .
• Guillemin, Victor and Pollack, Alan (1974) โครงสร้างแบบดิฟเฟอเรนเชียล ศิษย์ฮอลล์. ISBN  0-13-212605-2 . ข้อความระดับบัณฑิตศึกษาขั้นสูง / ปีแรกที่ได้รับแรงบันดาลใจจาก Milnor
• Hempel, John (1976) 3-Manifolds . สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยพรินซ์ตัน ISBN  0-8218-3695-1 .
• เฮิร์ช, มอร์ริส , (1997) โทโปโลยีแบบดิฟเฟอเรนเชียล . สปริงเกอร์เวอร์. ISBN  0-387-90148-5 บัญชีที่สมบูรณ์ที่สุดพร้อมข้อมูลเชิงลึกทางประวัติศาสตร์และปัญหาที่ยอดเยี่ยม แต่ยาก ข้อมูลอ้างอิงมาตรฐานสำหรับผู้ที่ต้องการมีความเข้าใจอย่างลึกซึ้งในเรื่องนี้
• Kirby, Robion C.และ Siebenmann, Laurence C. (1977) บทความพื้นฐานเรื่อง Topological Manifolds. Smoothings และ triangulations สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยพรินซ์ตัน ISBN  0-691-08190-5 . การศึกษารายละเอียดเกี่ยวกับประเภทของท่อร่วมของโทโพโลยี
• Lee, John M. (2000) รู้เบื้องต้นเกี่ยวกับ Topological Manifolds . สปริงเกอร์ - เวอร์ ISBN  0-387-98759-2 ข้อความสำเร็จการศึกษาชั้นปีที่ 1 โดยละเอียดและครอบคลุม
• Lee, John M. (2003) บทนำสู่ Smooth Manifolds . สปริงเกอร์ - เวอร์ ISBN  0-387-95495-3 ข้อความสำเร็จการศึกษาชั้นปีที่ 1 โดยละเอียดและครอบคลุม ผลสืบเนื่องไปรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับ Topological Manifolds
• Massey, William S. (1977) Algebraic Topology: บทนำ . สปริงเกอร์ - เวอร์ ISBN  0-387-90271-6
• Milnor, John (1997) โทโพโลยีจากมุมมองที่แตกต่างกัน . สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยพรินซ์ตัน ไอ 0-691-04833-9 . บทนำแบบคลาสสิกสั้น ๆ เกี่ยวกับโทโพโลยีเชิงอนุพันธ์
• Munkres, James R. (1991) การวิเคราะห์ Manifolds . Addison-Wesley (พิมพ์ซ้ำโดย Westview Press) ISBN  0-201-51035-9 . ข้อความระดับปริญญาตรีการรักษาความหลากหลายใน${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$.
• Munkres, James R. (2000) โทโพโลยี . ศิษย์ฮอลล์. ISBN  0-13-181629-2 .
• Neuwirth, LP, ed. (1975) Knots, Groups และ 3-Manifolds เอกสารที่ทุ่มเทให้กับความทรงจำของ RH ฟ็อกซ์ สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยพรินซ์ตัน ISBN  978-0-691-08170-0
• Riemann, Bernhard , Gesammelte mathematische Werke und wissenschaftlicher Nachlass , Sändig Reprint ISBN  3-253-03059-8 .
  • Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen Grösse วิทยานิพนธ์ระดับปริญญาเอกในปี พ.ศ. 2394 ซึ่ง " Mannigfaltigkeit ) ปรากฏเป็นครั้งแรก
  • Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen. การบรรยายครั้งแรกในปีพ. ศ. 2397 เกิตทิงเงน ( Habilitationsschrift )
• Spivak, Michael (1965) Calculus on Manifolds: A Modern Approach to Classical Theorems of Advanced Calculus . WA Benjamin Inc. (พิมพ์ซ้ำโดย Addison-Wesley และ Westview Press) ISBN  0-8053-9021-9 . ย่อข้อความระดับบัณฑิตศึกษาขั้นสูง / ปีแรกที่มีชื่อเสียง
• Spivak, Michael (1999) บทนำที่ครอบคลุมเกี่ยวกับเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ (พิมพ์ครั้งที่ 3) เผยแพร่หรือชุดสารานุกรม Perish Inc. ห้าเล่มที่นำเสนอการปฏิบัติอย่างเป็นระบบของทฤษฎีของท่อต่างๆ, เรขาคณิตของ Riemannian, เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์แบบคลาสสิกและหัวข้ออื่น ๆ อีกมากมายในตอนแรก - และระดับบัณฑิตศึกษาชั้นปีที่ 2
• Tu, Loring W. (2554). บทนำสู่ Manifolds (2nd ed.) นิวยอร์ก: Springer ISBN 978-1-4419-7399-3.. ข้อความจบการศึกษาชั้นปีที่ 1 ที่กระชับ

• "นานา" , สารานุกรมของคณิตศาสตร์ , EMS กด 2001 [1994]
• Dimensions-math.org (ภาพยนตร์ที่อธิบายและแสดงภาพความหลากหลายได้ถึงมิติที่สี่)
• Atlas ท่อร่วมโครงการของสถาบัน Max Planck คณิตศาสตร์ในกรุงบอนน์