สัญกรณ์ของไลบนิซ

แนวทางของนิวตัน–ไลบนิซกับแคลคูลัสขนาดเล็กถูกนำมาใช้ในศตวรรษที่ 17 ในขณะที่นิวตันทำงานร่วมกับfluxionsและ fluents, Leibniz ตามวิธีการของเขาในภาพรวมของผลบวกและความแตกต่าง ^[2]ไลบนิซเป็นคนแรกที่ใช้${\displaystyle \textstyle \int }$ตัวละคร เขาใช้อักขระดังกล่าวจากคำภาษาละตินsumma ("sum") ซึ่งเขาเขียนว่าwithummaโดยใช้อักษรตัวยาวที่ใช้กันทั่วไปในเยอรมนีในขณะนั้น การมองความแตกต่างเป็นการดำเนินการผกผันของการบวก^[3]เขาใช้สัญลักษณ์dซึ่งเป็นอักษรตัวแรกของความแตกต่างของภาษาละตินเพื่อระบุการดำเนินการผกผันนี้ ^[2]ไลบนิซจู้จี้จุกจิกเกี่ยวกับสัญกรณ์ ใช้เวลาหลายปีในการทดลอง ปรับ ปฏิเสธ และสอดคล้องกับนักคณิตศาสตร์คนอื่นๆ เกี่ยวกับพวกเขา ^[4]สัญกรณ์ที่เขาใช้สำหรับดิฟเฟอเรนเชียลของyเรียงตามลำดับจากω , l , และy/dจนในที่สุดเขานั่งลงบนDY ^[5]เครื่องหมายอินทิกรัลของเขาปรากฏตัวครั้งแรกในบทความ "De Geometria Recondita et analysi indivisibilium atque infinitorum" (ในเรขาคณิตที่ซ่อนอยู่และการวิเคราะห์ของ indivisibles และ infinites) ตีพิมพ์ในActa Eruditorumในเดือนมิถุนายน ค.ศ. 1686 ^{[6] [7]}แต่ เขาใช้มันในต้นฉบับส่วนตัวอย่างน้อยตั้งแต่ปี 1675 ^{[8] [9] [10]} Leibniz ใช้dxเป็นครั้งแรกในบทความ " Nova Methodus pro Maximis et Minimis " ตีพิมพ์ในActa Eruditorumในปี 1684 ^[11]ในขณะที่ สัญลักษณ์dx/dyปรากฏในต้นฉบับส่วนตัวของ 1675, ^{[12] [13]}มันไม่ปรากฏในรูปแบบนี้ในงานตีพิมพ์ที่กล่าวถึงข้างต้นอย่างใดอย่างหนึ่ง อย่างไรก็ตาม ไลบนิซใช้รูปแบบเช่นdy ad dxและdy  : dxในการพิมพ์ ⁽¹¹⁾

นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษถูกกีดขวางด้วยเครื่องหมายดอทของนิวตันจนกระทั่งปี 1803 เมื่อโรเบิร์ต วูดเฮาส์ตีพิมพ์คำอธิบายของสัญกรณ์คอนติเนนตัล ต่อมาสมาคมวิเคราะห์ที่มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ได้ส่งเสริมการยอมรับสัญกรณ์ของไลบนิซ

ในตอนท้ายของศตวรรษที่ 19 ผู้ติดตามของ Weierstrass หยุดใช้สัญกรณ์ของ Leibniz สำหรับอนุพันธ์และอินทิกรัลตามตัวอักษร นั่นคือ นักคณิตศาสตร์รู้สึกว่าแนวคิดของอนันต์มีความขัดแย้งเชิงตรรกะในการพัฒนา นักคณิตศาสตร์ในศตวรรษที่ 19 จำนวนหนึ่ง (Weierstrass และอื่น ๆ ) พบวิธีที่เข้มงวดเชิงตรรกะในการรักษาอนุพันธ์และปริพันธ์โดยไม่มีค่าจำกัดโดยใช้ขีดจำกัดดังที่แสดงด้านบน ในขณะที่ Cauchy ใช้ประโยชน์จากทั้งจำนวนน้อยและขีดจำกัด (ดูCours d'Analyse ) อย่างไรก็ตาม สัญกรณ์ของไลบนิซยังคงใช้อยู่ทั่วไป แม้ว่าสัญกรณ์ไม่จำเป็นต้องใช้ตามตัวอักษร แต่ก็มักจะง่ายกว่าทางเลือกอื่นเมื่อใช้เทคนิคการแยกตัวแปรในการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ ในการใช้งานทางกายภาพ ตัวอย่างหนึ่งอาจถือว่าf ( x ) ถูกวัดเป็นเมตรต่อวินาที และ d x มีหน่วยเป็นวินาที ดังนั้นf ( x ) d xจึงเป็นหน่วยเมตร และค่าของอินทิกรัลที่แน่นอนก็เช่นกัน ในทางที่สัญกรณ์ Leibniz อยู่ในความสามัคคีกับการวิเคราะห์มิติ

สมมติว่าตัวแปรตาม yแทนฟังก์ชันfของตัวแปรอิสระxนั่นคือ

${\displaystyle y=f(x).}$

จากนั้นอนุพันธ์ของฟังก์ชันfในสัญกรณ์ของไลบนิซสำหรับการสร้างความแตกต่างสามารถเขียนได้เป็น

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}\,{\text{ or }}{\frac {d}{dx}}y\,{\text{ or }}{\frac {d{\bigl (}f(x){\bigr )}}{dx}}.}$

นิพจน์ไลบนิซ บางครั้งก็เขียนว่าdy / dxเป็นหนึ่งในสัญลักษณ์ต่างๆ ที่ใช้สำหรับอนุพันธ์และฟังก์ชันที่ได้รับ ทางเลือกทั่วไปคือสัญกรณ์ของลากรองจ์

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}\,=y'=f'(x).}$

อีกทางเลือกหนึ่งคือสัญกรณ์ของนิวตันซึ่งมักใช้สำหรับอนุพันธ์เทียบกับเวลา (เช่นvelocity ) ซึ่งต้องวางจุดบนตัวแปรตาม (ในกรณีนี้คือx ):

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}={\dot {x}}.}$

สัญกรณ์ " prime " ของ Lagrange มีประโยชน์อย่างยิ่งในการอภิปรายเกี่ยวกับฟังก์ชันที่ได้รับและมีข้อได้เปรียบในการมีวิธีธรรมชาติในการแสดงค่าของฟังก์ชันที่ได้รับในค่าเฉพาะ อย่างไรก็ตาม สัญกรณ์ Leibniz มีคุณธรรมอื่น ๆ ที่ยังคงได้รับความนิยมตลอดหลายปีที่ผ่านมา

ในการตีความสมัยใหม่ นิพจน์ dy/dxไม่ควรอ่านเป็นการหารของสองปริมาณdxและdy (ตามที่ Leibniz จินตนาการไว้); แต่ควรมองว่านิพจน์ทั้งหมดเป็นสัญลักษณ์เดียวที่ย่อมาจาก short

${\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}}$

(หมายเหตุΔกับdโดยที่Δระบุความแตกต่างที่แน่นอน)

นิพจน์อาจถูกมองว่าเป็นการใช้ตัวดำเนินการส่วนต่าง d/dx(อีกครั้งเป็นสัญลักษณ์เดียว) เพื่อYการยกย่องให้เป็นหน้าที่ของx ผู้ประกอบการนี้ถูกเขียนDในสัญกรณ์ออยเลอร์ ไลบนิซไม่ได้ใช้แบบฟอร์มนี้ แต่การใช้สัญลักษณ์d ของเขาสอดคล้องกับแนวคิดสมัยใหม่นี้ค่อนข้างมาก

ในขณะที่ไม่มีการหารโดยนัยโดยสัญกรณ์ สัญกรณ์ที่คล้ายการหารนั้นมีประโยชน์ เนื่องจากในหลาย ๆ สถานการณ์ ตัวดำเนินการอนุพันธ์จะทำงานเหมือนการหาร ทำให้ผลลัพธ์บางอย่างเกี่ยวกับอนุพันธ์ง่ายต่อการรับและจดจำ ^[14]สัญกรณ์นี้มีอายุยืนยาวเนื่องจากดูเหมือนว่าจะเข้าถึงหัวใจของการประยุกต์ใช้ทางเรขาคณิตและทางกลของแคลคูลัส ^[15]

สัญกรณ์ไลบนิซสำหรับอนุพันธ์ที่สูงขึ้น

ถ้าy = f ( x )อนุพันธ์อันดับที่nของfในรูปแบบ Leibniz ถูกกำหนดโดย^[16]

${\displaystyle f^{(n)}(x)={\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}.}$

สัญกรณ์นี้สำหรับอนุพันธ์อันดับสองได้มาจากการใช้d/dxเป็นผู้ดำเนินการดังต่อไปนี้^[16]

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,=\,{\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}} \ขวา).}$

อนุพันธ์อันดับสาม ซึ่งอาจเขียนเป็น

${\displaystyle {\frac {d\left({\frac {d\left({\frac {dy}{dx}}\right)}{dx}}\right)}{dx}}\,,}$

สามารถหาได้จาก

${\displaystyle {\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}\,=\,{\frac {d}{dx}}\left({\frac {d^{2}y }{dx^{2}}}\right)\,=\,{\frac {d}{dx}}\left({\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{ dx}}\right)\right).}$

ในทำนองเดียวกัน อนุพันธ์ที่สูงขึ้นอาจได้รับแบบอุปนัย

แม้ว่าจะเป็นไปได้ด้วยคำจำกัดความที่เลือกสรรมาอย่างดีเพื่อตีความ dy/dxเป็นผลหารของผลต่างไม่ควรทำกับแบบฟอร์มลำดับที่สูงกว่า ^[17]

อย่างไรก็ตาม สัญกรณ์นี้ไม่ได้ใช้โดยไลบนิซ ในการพิมพ์ เขาไม่ได้ใช้สัญกรณ์หลายชั้นหรือเลขชี้กำลัง (ก่อนปี 1695) ตัวอย่างเช่นในการเขียนx ³เขาจะเขียนxxxตามปกติในสมัยของเขา ตารางของค่าเป็นมันอาจปรากฏในความยาวส่วนโค้งสูตรเช่นเขียนเป็นdxdx อย่างไรก็ตาม Leibniz ได้ใช้ของเขาdสัญกรณ์เป็นผู้ประกอบการที่เราจะใช้ในปัจจุบันคือเขาจะเขียนเป็นอนุพันธ์ที่สองเป็นddyและอนุพันธ์สามเป็นdddy ในปี ค.ศ. 1695 ไลบนิซเริ่มเขียนd ² ⋅ xและd ³ ⋅ xสำหรับddxและdddxตามลำดับ แต่l'Hôpital ได้ใช้รูปแบบเดิมของ Leibniz ในหนังสือเรียนวิชาแคลคูลัสที่เขียนในช่วงเวลาเดียวกัน ^[18]

ใช้ในสูตรต่างๆ

เหตุผลหนึ่งที่สัญกรณ์ของไลบนิซในแคลคูลัสมีมายาวนานคือช่วยให้สามารถเรียกคืนสูตรที่เหมาะสมที่ใช้สำหรับการสร้างความแตกต่างและการรวมได้ง่าย ยกตัวอย่างเช่นกฎลูกโซ่ -suppose ว่าฟังก์ชั่นกรัมอนุพันธ์ได้ที่xและy ที่ = F ( U )เป็นอนุพันธ์ที่U = กรัม ( x ) จากนั้นฟังก์ชันประกอบy = f ( g ( x ))หาอนุพันธ์ได้ที่xและอนุพันธ์ของมันสามารถแสดงเป็นสัญลักษณ์ไลบนิซเป็น, ^[19]

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}.}$

สิ่งนี้สามารถทำให้เป็นนัยทั่วไปเพื่อจัดการกับคอมโพสิตของหลาย ๆ ฟังก์ชันที่กำหนดไว้อย่างเหมาะสมและเกี่ยวข้องกันu ₁ , u ₂ , ... , u _nและจะแสดงเป็น

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du_{1}}}\cdot {\frac {du_{1}}{du_{2}}}\cdot {\frac {du_{2}}{du_{3}}}\cdots {\frac {du_{n}}{dx}}.}$

นอกจากนี้ การรวมตามสูตรการแทนที่อาจแสดงโดย^[20]

${\displaystyle \int y\,dx=\int y{\frac {dx}{du}}\,du,}$

ที่xคิดว่าเป็นฟังก์ชั่นของตัวแปรใหม่Uและฟังก์ชันปีด้านซ้ายมือจะแสดงในแง่ของxในขณะที่ทางด้านขวามันจะแสดงในแง่ของมึง

ถ้าy = f ( x )โดยที่fเป็นฟังก์ชันดิฟเฟอเรนติเอเบิลที่ผันกลับได้อนุพันธ์ของฟังก์ชันผกผัน เมื่อมันมีอยู่ สามารถหาได้โดย^[21]

${\displaystyle {\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{\left({\frac {dy}{dx}}\right)}},}$

โดยใส่วงเล็บเพื่อเน้นว่าอนุพันธ์ไม่เป็นเศษส่วน

อย่างไรก็ตาม เมื่อแก้สมการเชิงอนุพันธ์ มันง่ายที่จะคิดว่าdy s และdx s แยกออกได้ สมการเชิงอนุพันธ์ที่ง่ายที่สุดประเภทหนึ่งคือ^[22]

${\displaystyle M(x)+N(y){\frac {dy}{dx}}=0,}$

โดยที่MและNเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง แก้ (โดยปริยาย) เช่นสมการสามารถทำได้โดยการตรวจสอบสมการในของรูปแบบที่แตกต่างกัน ,

${\displaystyle M(x)dx+N(y)dy=0}$

และบูรณาการเพื่อให้ได้รับ

${\displaystyle \int M(x)\,dx+\int N(y)\,dy=C.}$

การเขียนสมการอนุพันธ์ในรูปแบบนี้และการนำอาร์กิวเมนต์ข้างต้นไปใช้ใหม่ หากเป็นไปได้ เรียกว่าการแยกตัวแปรเพื่อแก้สมการดังกล่าว

ในแต่ละกรณี สัญกรณ์ไลบนิซสำหรับอนุพันธ์ดูเหมือนจะทำตัวเหมือนเศษส่วน แม้ว่าในการตีความสมัยใหม่ มันไม่ใช่หนึ่งเดียว

ในปี 1960 อาคารเมื่อการทำงานก่อนหน้านี้โดยเอ็ดวินเฮวิตต์และเจอร์ซี่ลอส , อับราฮัมโรบินสันพัฒนาคำอธิบายคณิตศาสตร์สำหรับ infinitesimals ของ Leibniz ที่เป็นที่ยอมรับตามมาตรฐานร่วมสมัยของความรุนแรงและการพัฒนาการวิเคราะห์ที่ไม่เป็นมาตรฐานขึ้นอยู่กับความคิดเหล่านี้ วิธีการของโรบินสันถูกใช้โดยนักคณิตศาสตร์ส่วนน้อยเท่านั้น Jerome KeislerเขียนหนังสือเรียนแคลคูลัสปีแรกElementary calculus: an infinitesimal approachตามแนวทางของ Robinson

จากมุมมองของทฤษฎีขนาดเล็กในปัจจุบันΔ xคือส่วนเพิ่มx ที่น้อยที่สุดΔ yคือส่วนเพิ่มy ที่สอดคล้องกันและอนุพันธ์คือส่วนมาตรฐานของอัตราส่วนที่น้อยมาก:

${\displaystyle f'(x)={\rm {st}}{\Bigg (}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}{\Bigg )}}$.

แล้วหนึ่งชุด ${\displaystyle dx=\Delta x}$, ${\displaystyle dy=f'(x)dx}$ดังนั้นตามคำนิยาม ${\displaystyle f'(x)}$คืออัตราส่วนของDYโดยDX

ในทำนองเดียวกัน แม้ว่านักคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่จะมองว่าอินทิกรัลก็ตาม

${\displaystyle \int f(x)\,dx}$

เป็นขีดจำกัด

${\displaystyle \lim _{\Delta x\rightarrow 0}\sum _{i}f(x_{i})\,\Delta x,}$

ที่Δ xเป็นช่วงเวลาที่มีx _ฉัน , Leibniz มองว่ามันเป็นผลรวม (เครื่องหมายบวกหนึ่งแสดงสำหรับเขา) ในปริมาณน้อยหลายอย่างมากมายF ( x )  DX จากมุมมองของการวิเคราะห์ที่ไม่เป็นมาตรฐาน เป็นการถูกต้องที่จะมองอินทิกรัลเป็นส่วนมาตรฐานของผลรวมอนันต์ดังกล่าว

การออกความจำเป็นที่จะได้รับความแม่นยำของแนวคิดเหล่านี้คือชุดของตัวเลขจริงจะต้องมีการขยายไปยังชุดของตัวเลข HyperReal

ไลบนิซทดลองกับสัญกรณ์ต่าง ๆ มากมายในด้านต่าง ๆ ของคณิตศาสตร์ เขารู้สึกว่าสัญกรณ์ที่ดีเป็นพื้นฐานในการแสวงหาคณิตศาสตร์ ในจดหมายถึง l'Hôpital ในปี 1693 เขากล่าวว่า: ^[23]

หนึ่งในความลับของการวิเคราะห์ประกอบด้วยลักษณะ กล่าวคือ ในศิลปะของการใช้สัญญาณที่มีอยู่อย่างชำนาญ และท่านจะสังเกตได้ ที่กรงเล็กๆ [ตามปัจจัยกำหนด] ที่ Vieta และ Descartes ไม่ทราบถึงความลึกลับทั้งหมด .

เขาได้ขัดเกลาเกณฑ์การจดบันทึกที่ดีเมื่อเวลาผ่านไป และได้ตระหนักถึงคุณค่าของ "การนำสัญลักษณ์มาใช้ซึ่งสามารถจัดเป็นเส้นเหมือนแบบธรรมดา โดยไม่ต้องขยายช่องว่างระหว่างบรรทัดเพื่อให้มีที่ว่างสำหรับสัญลักษณ์ที่มีส่วนที่เหยียดยาว" ⁽²⁴⁾ตัวอย่างเช่น ในงานแรกของเขา เขาใช้vinculumอย่างหนักเพื่อระบุการจัดกลุ่มของสัญลักษณ์ แต่ต่อมาเขาได้แนะนำแนวคิดในการใช้วงเล็บคู่เพื่อจุดประสงค์นี้ ดังนั้นจึงเป็นการเอาใจนักเรียงพิมพ์ที่ไม่ต้องขยายช่องว่างระหว่างบรรทัดอีกต่อไป บนหน้าเพจและทำให้หน้าดูน่าสนใจยิ่งขึ้น ^[25]

สัญลักษณ์ใหม่กว่า 200 ตัวที่ Leibniz นำเสนอยังคงใช้อยู่ในปัจจุบัน ^[26]นอกจากดิฟเฟอเรนเชียล dx , dyและเครื่องหมายปริพันธ์ ( ∫ ) ที่กล่าวถึงแล้ว เขายังแนะนำเครื่องหมายทวิภาค (:) สำหรับการหาร จุด (⋅) สำหรับการคูณ เครื่องหมายเรขาคณิตสำหรับความคล้ายคลึง (~) และความสอดคล้อง (≅) ) การใช้เครื่องหมายเท่ากับ (=) ของRecordeสำหรับสัดส่วน (แทนที่สัญลักษณ์Oughtred's : :) และเครื่องหมายต่อท้ายคู่สำหรับดีเทอร์มิแนนต์ ^[23]

• สัญกรณ์ของนิวตัน
• Leibniz–Newton แคลคูลัสโต้เถียง

• บริกส์, วิลเลียม; Cochran, Lyle (2010), Calculus / Early Transcendentals / ตัวแปรเดี่ยว , Addison-Wesley, ISBN 978-0-321-66414-3
• Cajori, Florian (1993) [1928], A History of Mathematical Notations , นิวยอร์ก: โดเวอร์, ISBN 0-486-67766-4
• Katz, Victor J. (1993), A History of Mathematics / An Introduction (ฉบับที่ 2), Addison Wesley Longman, ISBN 978-0-321-01618-8
• Mazur, Joseph (2014), Enlightening Symbols / A Short History of Mathematical Notation and its Hidden Powers , สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยพรินซ์ตัน, ISBN 978-0-691-17337-5
• Swokowski, Earl W. (1983), Calculus with Analytic Geometry (Alternate ed.), Prindle, Weber และ Schmidt, ISBN 0-87150-341-7