ทฤษฎีจลน์ของก๊าซ

ในราว 50 ปีก่อนคริสตศักราชลูเครเทียสนักปรัชญาชาวโรมันเสนอว่าเห็นได้ชัดว่าวัตถุขนาดมหึมาคงที่ประกอบขึ้นจากอะตอมที่เคลื่อนที่อย่างรวดเร็วขนาดเล็กทั้งหมดที่กระเด้งออกจากกัน ^[1]นี้ฟุ้งเฟ้อจุดละอองของมุมมองแทบไม่เคยพิจารณาในศตวรรษต่อมาเมื่อAristotleanความคิดเป็นที่โดดเด่น

ฝาหน้า Hydrodynamica

ในปี 1738 Daniel Bernoulli ได้ตีพิมพ์Hydrodynamicaซึ่งเป็นพื้นฐานสำหรับทฤษฎีจลน์ของก๊าซ ในงานนี้ Bernoulli ตั้งข้อโต้แย้งว่าก๊าซประกอบด้วยโมเลกุลจำนวนมากที่เคลื่อนที่ไปในทุกทิศทางซึ่งผลกระทบต่อพื้นผิวทำให้เกิดความดันของก๊าซและพลังงานจลน์เฉลี่ยจะกำหนดอุณหภูมิของก๊าซ ทฤษฎีนี้ไม่ได้รับการยอมรับในทันทีส่วนหนึ่งเป็นเพราะการอนุรักษ์พลังงานยังไม่ได้รับการยอมรับและนักฟิสิกส์ก็ไม่ชัดเจนว่าการชนกันระหว่างโมเลกุลจะยืดหยุ่นได้อย่างสมบูรณ์แบบอย่างไร ^{[2] : 36–37}

ผู้บุกเบิกทฤษฎีจลน์ศาสตร์คนอื่น ๆ ซึ่งงานส่วนใหญ่ยังถูกละเลยโดยคนรุ่นเดียวกัน ได้แก่Mikhail Lomonosov (1747), ^[3] Georges-Louis Le Sage (ca. 1780, Published 1818), ^[4] John Herapath (1816) ^{[ 5]}และจอห์นเจมส์วอเตอร์สตัน (1843) ^[6]ซึ่งเชื่อมต่อวิจัยของพวกเขากับการพัฒนาของคำอธิบายทางกลของแรงโน้มถ่วง ในปี 1856 สิงหาคมKrönigได้สร้างแบบจำลองของแก๊ส - จลน์ศาสตร์ซึ่งพิจารณาเฉพาะการเคลื่อนที่เชิงแปลของอนุภาคเท่านั้น ^[7]

ในปีพ. ศ. 2407 รูดอล์ฟคลาซิอุสได้พัฒนาทฤษฎีที่คล้ายคลึงกัน แต่มีความซับซ้อนมากขึ้นซึ่งรวมถึงการแปลและตรงกันข้ามกับKrönigการเคลื่อนที่ของโมเลกุลแบบหมุนและการสั่นสะเทือน ในงานเดียวกันนี้เขาได้นำเสนอแนวคิดเกี่ยวกับเส้นทางที่ปราศจากค่าเฉลี่ยของอนุภาค ^[8]ในปี 1859 หลังจากอ่านบทความเกี่ยวกับการแพร่กระจายของโมเลกุลโดย Clausius James Clerk Maxwellนักฟิสิกส์ชาวสก็อตได้คิดค้นการกระจายตัวของความเร็วโมเลกุลMaxwellซึ่งทำให้สัดส่วนของโมเลกุลมีความเร็วที่แน่นอนในช่วงที่เฉพาะเจาะจง ^[9]นี่เป็นกฎทางสถิติครั้งแรกในฟิสิกส์ ^[10]แม็กซ์เวลล์ยังให้ข้อโต้แย้งเชิงกลเป็นครั้งแรกว่าการชนกันของโมเลกุลทำให้เกิดการทำให้เท่าเทียมกันของอุณหภูมิและด้วยเหตุนี้จึงมีแนวโน้มที่จะเกิดความสมดุล ^[11]ในบทความ 'โมเลกุล' สิบสามหน้าในปี 1873 แมกซ์เวลล์กล่าวว่า: "เราได้รับแจ้งว่า 'อะตอม' เป็นจุดวัสดุลงทุนและล้อมรอบด้วย 'พลังที่อาจเกิดขึ้น' และเมื่อ 'โมเลกุลบิน' กระทบกับร่างกายที่เป็นของแข็ง อย่างต่อเนื่องทำให้เกิดสิ่งที่เรียกว่าความดันของอากาศและก๊าซอื่น ๆ " ^[12]ในปี 1871 ลุดวิก Boltzmannทั่วไปผลสัมฤทธิ์ทางการเรียนของ Maxwell และสูตรการกระจาย Maxwell-Boltzmann นอกจากนี้เขายังระบุการเชื่อมต่อลอการิทึมระหว่างเอนโทรปีและความน่าจะเป็นเป็นครั้งแรก

อย่างไรก็ตามในตอนต้นของศตวรรษที่ 20 นักฟิสิกส์หลายคนถือว่าอะตอมเป็นสิ่งก่อสร้างที่เป็นสมมุติฐานอย่างแท้จริงแทนที่จะเป็นวัตถุจริง จุดเปลี่ยนที่สำคัญคือของAlbert Einstein (1905) ^[13]และMarian Smoluchowski (1906) ^[14]เอกสารเรื่องBrownian motionซึ่งประสบความสำเร็จในการทำนายเชิงปริมาณที่แม่นยำตามทฤษฎีจลน์

การประยุกต์ใช้ทฤษฎีจลน์กับก๊าซในอุดมคติทำให้เกิดสมมติฐานดังต่อไปนี้:

• ก๊าซประกอบด้วยอนุภาคขนาดเล็กมาก ความเล็กของขนาดของมันทำให้ผลรวมของปริมาตรของโมเลกุลของก๊าซแต่ละโมเลกุลมีค่าเล็กน้อยเมื่อเทียบกับปริมาตรของภาชนะบรรจุก๊าซ สิ่งนี้เทียบเท่ากับการระบุว่าระยะห่างเฉลี่ยที่แยกอนุภาคของก๊าซนั้นมีขนาดใหญ่เมื่อเทียบกับขนาดของมันและเวลาที่ผ่านไปของการชนกันระหว่างอนุภาคกับผนังของภาชนะนั้นมีค่าเล็กน้อยเมื่อเทียบกับเวลาระหว่างการชนต่อเนื่องกัน
• อนุภาคมีมวลเท่ากัน
• อนุภาคมีจำนวนมากจนการรักษาปัญหาทางสถิติเป็นไปอย่างสมเหตุสมผล สมมติฐานนี้บางครั้งเรียกว่าขีด จำกัด ของอุณหพลศาสตร์
• อนุภาคที่เคลื่อนที่อย่างรวดเร็วจะชนกันเองและเข้ากับผนังของภาชนะอย่างต่อเนื่อง การชนทั้งหมดนี้มีความยืดหยุ่นอย่างสมบูรณ์แบบซึ่งหมายความว่าโมเลกุลเป็นทรงกลมแข็งที่สมบูรณ์แบบ
• ปฏิสัมพันธ์ระหว่างโมเลกุลจะมีความสำคัญน้อยมากยกเว้นในระหว่างการชนกัน พวกเขาไม่ใช้กำลังอื่นใดต่อกัน

ดังนั้นพลวัตของการเคลื่อนที่ของอนุภาคจึงสามารถปฏิบัติได้แบบคลาสสิกและสมการของการเคลื่อนที่สามารถย้อนเวลาได้

การพัฒนาที่ทันสมัยมากขึ้นผ่อนคลายสมมติฐานเหล่านี้และอยู่บนพื้นฐานของBoltzmann สม สิ่งเหล่านี้สามารถอธิบายคุณสมบัติของก๊าซหนาแน่นได้อย่างถูกต้องเนื่องจากประกอบด้วยปริมาตรของอนุภาค สมมติฐานที่จำเป็นคือการไม่มีผลกระทบทางควอนตัมความสับสนวุ่นวายของโมเลกุลและการไล่ระดับสีขนาดเล็กในคุณสมบัติจำนวนมาก การขยายไปสู่คำสั่งซื้อที่สูงขึ้นในความหนาแน่นเรียกว่าการขยายตัวที่รุนแรง

ความดันและพลังงานจลน์

ในแบบจำลองจลน์ของก๊าซความดันจะเท่ากับแรง (ต่อหนึ่งหน่วยพื้นที่) ซึ่งกระทำโดยอะตอมชนและดีดตัวจากพื้นที่หนึ่งหน่วยของพื้นผิวภาชนะบรรจุก๊าซ พิจารณาก๊าซของจำนวนมากไม่มีของโมเลกุลแต่ละมวลเมตรล้อมรอบในสามของปริมาณV = L 3 เมื่อโมเลกุลของก๊าซชนกับผนังของภาชนะที่ตั้งฉากกับแกนxและกระเด็นไปในทิศทางตรงกันข้ามด้วยความเร็วเท่ากัน (การชนแบบยืดหยุ่น ) การเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมจะได้รับจาก:

${\ displaystyle \ Delta p = p_ {i, x} -p_ {f, x} = p_ {i, x} - (- p_ {i, x}) = 2p_ {i, x} = 2mv_ {x}, }$

โดยที่pคือโมเมนตัมiและfระบุโมเมนตัมเริ่มต้นและสุดท้าย (ก่อนและหลังการชน) xบ่งชี้ว่ามีการพิจารณาทิศทางxเท่านั้นและvคือความเร็วของอนุภาค (ซึ่งเท่ากันก่อนและหลังการชน ).

อนุภาคกระทบกับผนังด้านใดด้านหนึ่งหนึ่งครั้งในช่วงเวลา ${\ displaystyle \ Delta t}$

${\ displaystyle \ Delta t = {\ frac {2L} {v_ {x}}},}$

โดยที่Lคือระยะห่างระหว่างผนังด้านตรงข้าม

แรงของการชนกันของอนุภาคนี้กับผนังเป็น

${\ displaystyle F = {\ frac {\ Delta p} {\ Delta t}} = {\ frac {mv_ {x} ^ {2}} {L}}.}$

แรงรวมบนผนังคือ

${\ displaystyle F = {\ frac {Nm {\ overline {v_ {x} ^ {2}}}} {L}},}$

โดยที่แท่งหมายถึงค่าเฉลี่ยเหนืออนุภาคN

เนื่องจากการเคลื่อนที่ของอนุภาคเป็นแบบสุ่มและไม่มีอคติในทิศทางใด ๆ ความเร็วกำลังสองเฉลี่ยในแต่ละทิศทางจึงเหมือนกัน:

${\ displaystyle {\ overline {v_ {x} ^ {2}}} = {\ overline {v_ {y} ^ {2}}} = {\ overline {v_ {z} ^ {2}}}.}$

ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัสในสามมิติความเร็วกำลังสองรวมvถูกกำหนดโดย

${\ displaystyle {\ overline {v ^ {2}}} = {\ overline {v_ {x} ^ {2}}} + {\ overline {v_ {y} ^ {2}}} + {\ overline {v_ {z} ^ {2}}},}$

${\ displaystyle {\ overline {v ^ {2}}} = 3 {\ overline {v_ {x} ^ {2}}}.}$

ดังนั้น

${\ displaystyle {\ overline {v_ {x} ^ {2}}} = {\ frac {\ overline {v ^ {2}}} {3}},}$

และแรงสามารถเขียนเป็น

${\ displaystyle F = {\ frac {Nm {\ overline {v ^ {2}}}} {3L}}}$

พลังนี้จะกระทำอย่างสม่ำเสมอบนพื้นที่L 2 ดังนั้นความดันของก๊าซคือ

${\ displaystyle P = {\ frac {F} {L ^ {2}}} = {\ frac {Nm {\ overline {v ^ {2}}}} {3V}},}$

โดยที่V = L ³คือปริมาตรของกล่อง

ในแง่ของพลังงานจลน์ของก๊าซK :

${\ displaystyle PV = {\ frac {2} {3}} \ times {K}.}$

นี่เป็นผลลัพธ์ที่สำคัญและไม่สำคัญของทฤษฎีจลน์เพราะมันเกี่ยวข้องกับความดันซึ่งเป็นสมบัติระดับมหภาคกับพลังงานจลน์ (แปล) ของโมเลกุล${\ displaystyle N {\ frac {1} {2}} m {\ overline {v ^ {2}}}}$ซึ่งเป็นคุณสมบัติของกล้องจุลทรรศน์

อุณหภูมิและพลังงานจลน์

เขียนผลลัพธ์ข้างต้นใหม่สำหรับความดันเป็น ${\ displaystyle PV = {Nm {\ overline {v ^ {2}}} \ over 3}}$เราอาจรวมเข้ากับกฎของก๊าซในอุดมคติ

${\ displaystyle \ displaystyle PV = Nk_ {B} T,}$

( 1 )

ที่ไหน ${\ displaystyle \ displaystyle k_ {B}}$คือค่าคงที่ Boltzmannและ${\ displaystyle \ displaystyle T}$แน่นอน อุณหภูมิที่กำหนดโดยกฎหมายของก๊าซในอุดมคติที่จะได้รับ

${\ displaystyle k_ {B} T = {m {\ overline {v ^ {2}}} \ over 3}}$,

ซึ่งนำไปสู่การแสดงออกที่ง่ายขึ้นของพลังงานจลน์เฉลี่ยต่อโมเลกุล^[15]

${\ displaystyle \ displaystyle {\ frac {1} {2}} m {\ overline {v ^ {2}}} = {\ frac {3} {2}} k_ {B} T}$.

พลังงานจลน์ของระบบเป็น N คูณของโมเลกุลกล่าวคือ ${\ displaystyle K = {\ frac {1} {2}} Nm {\ overline {v ^ {2}}}}$. จากนั้นอุณหภูมิ${\ displaystyle \ displaystyle T}$ ใช้แบบฟอร์ม

${\ displaystyle \ displaystyle T = {m {\ overline {v ^ {2}}} \ over 3k_ {B}}}$

( 2 )

ซึ่งจะกลายเป็น

${\ displaystyle \ displaystyle T = {\ frac {2} {3}} {\ frac {K} {Nk_ {B}}}}$

( 3 )

. eq ( 3 ) เป็นหนึ่งในผลลัพธ์ที่สำคัญของทฤษฎีจลน์: เฉลี่ยพลังงานจลน์โมเลกุลเป็นสัดส่วนกับอุณหภูมิสัมบูรณ์แก๊สอุดมคติกฎหมายของ จาก Eq. ( 1 ) และ Eq. ( 3 ) เรามี

${\ displaystyle \ displaystyle PV = {\ frac {2} {3}} K.}$

( 4 )

ดังนั้นผลคูณของความดันและปริมาตรต่อโมลจึงเป็นสัดส่วนกับพลังงานจลน์ของโมเลกุลโดยเฉลี่ย (แปลได้)

. eq ( 1 .) และสมการที่ ( 4 ) จะถูกเรียกว่า "ผลการคลาสสิก" ซึ่งอาจจะมาจากกลศาสตร์สถิติ ; สำหรับรายละเอียดเพิ่มเติมโปรดดู: ^[16]

เนื่องจากมี ${\ displaystyle \ displaystyle 3N}$ องศาอิสระในระบบ monatomic-gas ที่มี${\ displaystyle \ displaystyle N}$ อนุภาคพลังงานจลน์ต่อองศาอิสระต่อโมเลกุลคือ

${\ displaystyle \ displaystyle {\ frac {K} {3N}} = {\ frac {k_ {B} T} {2}}}$

( 5 )

ในพลังงานจลน์ต่อองศาอิสระค่าคงที่ของสัดส่วนของอุณหภูมิคือ 1/2 เท่าของค่าคงที่ Boltzmannหรือ R / 2 ต่อโมล นอกเหนือจากนี้อุณหภูมิจะลดลงเมื่อความดันลดลงถึงจุดหนึ่ง ^{[ ทำไม? ]}ผลลัพธ์นี้เกี่ยวข้องกับทฤษฎีบทของอุปกรณ์

ก๊าซไดอะตอมควรมี 7 องศาอิสระ แต่ก๊าซไดอะตอมที่มีน้ำหนักเบาจะทำหน้าที่ราวกับว่ามีเพียง 5 ก๊าซโมโนอะตอมมี 3 องศาอิสระ

ดังนั้นพลังงานจลน์ต่อเคลวิน (ก๊าซอุดมคติเชิงเดี่ยว) คือ 3 [R / 2] = 3R / 2:

• ต่อโมล: 12.47 J
• ต่อโมเลกุล: 20.7 yJ = 129 μeV

ที่อุณหภูมิมาตรฐาน (273.15 K) เราจะได้รับ:

• ต่อโมล: 3406 J
• ต่อโมเลกุล: 5.65 zJ = 35.2 meV

ชนกับตู้คอนเทนเนอร์

การกระจายความเร็วของอนุภาคที่ชนผนังภาชนะสามารถคำนวณได้^[17]โดยอาศัยทฤษฎีจลน์ที่ไร้เดียงสาและสามารถใช้ผลการวิเคราะห์อัตราการไหลที่ไหลออกมาได้ :

สมมติว่าในคอนเทนเนอร์ความหนาแน่นของตัวเลขคือ ${\ displaystyle n}$และอนุภาคเป็นไปตามการกระจายความเร็วของ Maxwell :

${\ displaystyle f _ {\ text {Maxwell}} (v_ {x}, v_ {y}, v_ {z}) \, dv_ {x} dv_ {y} dv_ {z} = \ left ({\ frac {m } {2 \ pi kT}} \ right) ^ {\ frac {3} {2}} e ^ {- {\ frac {mv ^ {2}} {2k_ {B} T}}} \, dv_ {x } dv_ {y} dv_ {z}}$

จากนั้นจำนวนอนุภาคที่เข้ามากระทบพื้นที่ ${\ displaystyle dA}$ ด้วยความเร็ว ${\ displaystyle v}$ ที่มุม ${\ displaystyle \ theta}$ จากปกติในช่วงเวลา ${\ displaystyle dt}$ คือ:

${\ displaystyle nv \ cos {\ theta} \, dAdt {\ times} \ left ({\ frac {m} {2 \ pi k_ {B} T}} \ right) ^ {\ frac {3} {2} } e ^ {- {\ frac {mv ^ {2}} {2k_ {B} T}}} (v ^ {2} \ sin {\ theta} \, dv {d \ theta} d \ phi)}$.

การรวมสิ่งนี้กับความเร็วที่เหมาะสมทั้งหมดภายในข้อ จำกัด ${\ displaystyle v> 0,0 <\ theta <\ pi / 2,0 <\ phi <2 \ pi}$ ให้จำนวนการชนกันของอะตอมหรือโมเลกุลกับผนังของภาชนะต่อหน่วยพื้นที่ต่อหน่วยเวลา:

${\ displaystyle J _ {\ text {collage}} = {\ frac {1} {4}} n {\ bar {v}} = {\ frac {n} {4}} {\ sqrt {\ frac {8k_ { B} T} {\ pi m}}}}$

ปริมาณนี้เรียกอีกอย่างว่า "อัตราการปะทะ" ในฟิสิกส์สุญญากาศ

ถ้าพื้นที่เล็ก ๆ ${\ displaystyle A}$ถูกเจาะให้กลายเป็นรูเล็ก ๆอัตราการไหลที่ไหลออกมาจะเป็น:

${\ displaystyle \ Phi _ {\ text {effusion}} = J _ {\ text {collision}} A = nA {\ sqrt {\ frac {k_ {B} T} {2 \ pi m}}}}$

เมื่อรวมกับกฎของก๊าซในอุดมคติสิ่งนี้จะให้ผล:

${\ displaystyle \ Phi _ {\ text {effusion}} = {\ frac {PA} {\ sqrt {2 \ pi mk_ {B} T}}}}$

การกระจายความเร็วของอนุภาคที่กระทบพื้นที่ขนาดเล็กนี้คือ:

${\ displaystyle {\ begin {aligned} f (v, \ theta, \ phi) \, dv {d \ theta} d \ phi & = {\ text {const.}} {\ times} (v \ cos {\ theta}) {\ times} e ^ {- {\ frac {mv ^ {2}} {2k_ {B} T}}} {\ times} (v ^ {2} \ sin {\ theta} \, dv { d \ theta} d \ phi) \\ & = {\ text {const.}} {\ times} (v ^ {3} e ^ {- {\ frac {mv ^ {2}} {2k_ {B} T }}} dv) {\ times} (\ cos {\ theta} \ sin {\ theta} \, {d \ theta}) {\ times} d \ phi \ end {aligned}}}$

ด้วยข้อ จำกัด ${\ displaystyle v> 0, \, 0 <\ theta <{\ frac {\ pi} {2}}, \, 0 <\ phi <2 \ pi}$และconst. สามารถกำหนดได้โดยเงื่อนไขการทำให้เป็นมาตรฐาน${\ displaystyle {\ frac {1} {2 \ pi}} \ left ({\ frac {m} {k_ {B} T}} \ right) ^ {2}}$.

ความเร็วของโมเลกุล

จากสูตรพลังงานจลน์แสดงได้ว่า

${\ displaystyle v _ {\ text {p}} = {\ sqrt {2 \ cdot {\ frac {k_ {B} T} {m}}}}$

${\ displaystyle {\ bar {v}} = {\ frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} v_ {p} = {\ sqrt {{\ frac {8} {\ pi}} \ cdot {\ frac {k_ {B} T} {m}}}}$

${\ displaystyle v _ {\ text {rms}} = {\ sqrt {\ frac {3} {2}}} v_ {p} = {\ sqrt {{3} \ cdot {\ frac {k_ {B} T} {m}}}},}$

โดยที่vมีหน่วยเป็น m / s Tอยู่ในเคลวินและmคือมวลของก๊าซหนึ่งโมเลกุล ความเร็ว (หรือโหมด) ที่เป็นไปได้มากที่สุด${\ displaystyle v _ {\ text {p}}}$ คือ 81.6% ของความเร็ว rms ${\ displaystyle v _ {\ text {rms}}}$และความเร็วเฉลี่ย (ค่าเฉลี่ยเลขคณิตหรือค่าเฉลี่ย) ${\ displaystyle {\ bar {v}}}$คือ 92.1% ของความเร็ว rms ( การกระจายความเร็วแบบ isotropic )

ดู:

• เฉลี่ย ,
• ความเร็วรูท - ค่าเฉลี่ยกำลังสอง
• ค่าเฉลี่ยเลขคณิต
• ค่าเฉลี่ย
• โหมด (สถิติ)

ทฤษฎีจลน์ของก๊าซไม่เพียงเกี่ยวข้องกับก๊าซในสภาวะสมดุลทางอุณหพลศาสตร์เท่านั้น แต่ยังมีความสำคัญอย่างยิ่งกับก๊าซที่ไม่อยู่ในดุลยภาพทางอุณหพลศาสตร์ด้วย วิธีนี้ใช้ทฤษฎีเกี่ยวกับการเคลื่อนไหวที่จะต้องพิจารณาสิ่งที่เรียกว่า "คุณสมบัติการขนส่ง" เช่นความหนืด , การนำความร้อนและการแพร่กระจายมวล

ความหนืดและโมเมนตัมจลน์

ในหนังสือเกี่ยวกับทฤษฎีจลน์เบื้องต้น^[18]สามารถหาผลลัพธ์สำหรับการสร้างแบบจำลองก๊าซเจือจางที่ใช้ในหลายสาขา การได้มาของแบบจำลองจลน์สำหรับความหนืดของแรงเฉือนมักเริ่มต้นด้วยการพิจารณาการไหลของคูเอตต์ซึ่งแผ่นขนานสองแผ่นถูกคั่นด้วยชั้นก๊าซ แผ่นด้านบนเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่ไปทางขวาเนื่องจากแรง F แผ่นด้านล่างหยุดนิ่งดังนั้นจึงต้องมีแรงที่เท่ากันและตรงข้ามกันเพื่อให้มันอยู่นิ่ง โมเลกุลในชั้นก๊าซมีส่วนประกอบของความเร็วไปข้างหน้า${\ displaystyle u}$ ซึ่งเพิ่มขึ้นอย่างสม่ำเสมอตามระยะทาง ${\ displaystyle y}$เหนือแผ่นล่าง การไหลที่ไม่สมดุลจะซ้อนทับบนการกระจายสมดุลของการเคลื่อนที่ของโมเลกุลMaxwell-Boltzmann

ปล่อย ${\ displaystyle \ sigma}$เป็นส่วนตัดขวางของโมเลกุลหนึ่งชนกับอีกโมเลกุลหนึ่ง ความหนาแน่นของจำนวน${\ displaystyle n}$ ถูกกำหนดให้เป็นจำนวนโมเลกุลต่อปริมาตร (ที่กว้างขวาง) ${\ displaystyle n = N / V}$. ส่วนของการชนกันต่อปริมาตรหรือความหนาแน่นของส่วนตัดขวางคือ${\ displaystyle n \ sigma}$และมันเกี่ยวข้องกับเส้นทางว่างเฉลี่ย ${\ displaystyle l}$ โดย

${\ displaystyle l = {\ frac {1} {{\ sqrt {2}} n \ sigma}}}$

สังเกตว่าหน่วยของส่วนตัดขวางต่อปริมาตร ${\ displaystyle n \ sigma}$คือความยาวซึ่งกันและกัน เส้นทางว่างเฉลี่ยคือระยะทางเฉลี่ยที่เดินทางโดยโมเลกุลหรือจำนวนโมเลกุลต่อปริมาตรก่อนที่จะเกิดการชนกันครั้งแรก

ปล่อย ${\ displaystyle u_ {0}}$เป็นความเร็วไปข้างหน้าของก๊าซที่พื้นผิวแนวนอนสมมุติภายในชั้นก๊าซ จำนวนโมเลกุลที่มาถึงพื้นที่${\ displaystyle dA}$ ด้านหนึ่งของชั้นก๊าซด้วยความเร็ว ${\ displaystyle v}$ ที่มุม ${\ displaystyle \ theta}$ จากปกติในช่วงเวลา ${\ displaystyle dt}$ คือ

${\ displaystyle nv \ cos {\ theta} \, dAdt {\ times} \ left ({\ frac {m} {2 \ pi k_ {B} T}} \ right) ^ {3/2} \, e ^ {- {\ frac {mv ^ {2}} {2k_ {B} T}}} (v ^ {2} \ sin {\ theta} \, dv {d \ theta} d \ phi)}$

โมเลกุลเหล่านี้เกิดการชนกันครั้งสุดท้ายในระยะไกล ${\ displaystyle l \ cos \ theta}$ ด้านบนและด้านล่างของชั้นก๊าซและแต่ละส่วนจะส่งผลให้เกิดโมเมนตัมไปข้างหน้า

${\ displaystyle p_ {x} ^ {\ pm} = m \ left (u_ {0} \ pm l \ cos \ theta \, {du \ over dy} \ right),}$

โดยที่เครื่องหมายบวกใช้กับโมเลกุลจากด้านบนและเครื่องหมายลบด้านล่าง สังเกตว่าการไล่ระดับความเร็วไปข้างหน้า${\ displaystyle du / dy}$ ถือได้ว่ามีค่าคงที่ตลอดระยะทางของเส้นทางว่างเฉลี่ย

การรวมความเร็วที่เหมาะสมทั้งหมดภายในข้อ จำกัด

${\ displaystyle {\ begin {cases} v> 0 \\ 0 <\ theta <\ pi / 2 \\ 0 <\ phi <2 \ pi \ end {cases}}}$

ให้การถ่ายโอนโมเมนตัมไปข้างหน้าต่อหน่วยเวลาต่อหน่วยพื้นที่ (หรือที่เรียกว่าความเค้นเฉือน ):

${\ displaystyle \ tau ^ {\ pm} = {\ frac {1} {4}} {\ bar {v}} n \ cdot m \ left (u_ {0} \ pm {\ frac {2} {3} } l \, {du \ over dy} \ right)}$

ดังนั้นอัตราสุทธิของโมเมนตัมต่อหนึ่งหน่วยพื้นที่ที่ขนส่งผ่านพื้นผิวจินตภาพจึงเป็นเช่นนั้น

${\ displaystyle \ tau = \ tau ^ {+} - \ tau ^ {-} = {\ frac {1} {3}} {\ bar {v}} nm \ cdot l \, {du \ over dy}}$

การรวมสมการจลน์ข้างต้นกับกฎความหนืดของนิวตัน

${\ displaystyle \ tau = \ eta \, {du \ over dy}}$

ให้สมการสำหรับความหนืดเฉือนซึ่งมักจะแสดง ${\ displaystyle \ eta _ {0}}$ เมื่อเป็นก๊าซเจือจาง:

${\ displaystyle \ eta _ {0} = {\ frac {1} {3}} {\ bar {v}} nml}$

การรวมสมการนี้เข้ากับสมการสำหรับเส้นทางว่างเฉลี่ยจะให้

${\ displaystyle \ eta _ {0} = {\ frac {1} {3 {\ sqrt {2}}}} {\ frac {m \ cdot {\ bar {v}}} {\ sigma}}}$

การกระจาย Maxwell-Boltzmann ให้ความเร็วโมเลกุลเฉลี่ย (สมดุล) เป็น

${\ displaystyle {\ bar {v}} = {\ frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} v_ {p} = 2 {\ sqrt {{\ frac {2} {\ pi}} \ cdot { \ frac {k_ {B} T} {m_ {}}}}}$

ที่ไหน ${\ displaystyle v_ {p}}$เป็นความเร็วที่น่าจะเป็นไปได้มากที่สุด เราทราบว่า

${\ displaystyle k_ {B} \ cdot N_ {A} = R \ quad {\ text {and}} \ quad M = m \ cdot N_ {A}}$

และแทรกความเร็วในสมการความหนืดด้านบน สิ่งนี้ทำให้สมการที่รู้จักกันดีสำหรับความหนืดเฉือนสำหรับก๊าซเจือจาง :

${\ displaystyle \ eta _ {0} = {\ frac {2} {3 {\ sqrt {\ pi}}}} \ cdot {\ frac {\ sqrt {mk_ {B} T}} {\ sigma}} = {\ frac {2} {3 {\ sqrt {\ pi}}}} \ cdot {\ frac {\ sqrt {MRT}} {\ sigma \ cdot N_ {A}}}}$

และ ${\ displaystyle M}$คือมวลโมลาร์ สมการข้างต้นสันนิษฐานว่าความหนาแน่นของก๊าซต่ำ (กล่าวคือความดันต่ำ) นี่หมายความว่าพลังงานจลน์การแปลมีอำนาจเหนือพลังงานโมเลกุลของการหมุนและการสั่นสะเทือน สมการความหนืดสันนิษฐานเพิ่มเติมว่ามีโมเลกุลของก๊าซเพียงชนิดเดียวและโมเลกุลของก๊าซเป็นอนุภาคที่ยืดหยุ่นและมีแกนแข็งที่สมบูรณ์แบบที่มีรูปร่างทรงกลม สมมติฐานของโมเลกุลทรงกลมที่มีความยืดหยุ่นและฮาร์ดคอร์เช่นลูกบิลเลียดแสดงให้เห็นว่าส่วนตัดขวางของโมเลกุลหนึ่งสามารถประมาณได้โดย

${\ displaystyle \ sigma = \ pi \ left (2r \ right) ^ {2} = \ pi d ^ {2}}$

รัศมี ${\ displaystyle r}$ เรียกว่ารัศมีหน้าตัดชนกันหรือรัศมีจลน์และเส้นผ่านศูนย์กลาง ${\ displaystyle d}$เรียกว่าเส้นผ่านศูนย์กลางหน้าตัดของการชนกันหรือเส้นผ่านศูนย์กลางจลน์ของโมเลกุลในก๊าซโมโนโมเลกุล ไม่มีความสัมพันธ์ทั่วไปอย่างง่ายระหว่างส่วนตัดขวางและขนาดฮาร์ดคอร์ของโมเลกุล (ทรงกลมที่ค่อนข้างเป็นทรงกลม) ความสัมพันธ์ขึ้นอยู่กับรูปร่างของพลังงานศักย์ของโมเลกุล สำหรับโมเลกุลทรงกลมจริง (เช่นอะตอมของก๊าซมีตระกูลหรือโมเลกุลทรงกลมที่มีเหตุผล) ศักยภาพในการปฏิสัมพันธ์นั้นเหมือนกับศักยภาพของเลนนาร์ด - โจนส์หรือศักยภาพมอร์สซึ่งมีส่วนลบที่ดึงดูดโมเลกุลอื่นจากระยะทางที่ยาวกว่ารัศมีแกนแข็ง รัศมีสำหรับความเป็นไปได้ของเลนนาร์ด - โจนส์เป็นศูนย์จึงเหมาะสมที่จะใช้เป็นค่าประมาณสำหรับรัศมีจลน์

การนำความร้อนและฟลักซ์ความร้อน

ตามตรรกะที่คล้ายกันข้างต้นเราสามารถได้รับแบบจำลองจลน์สำหรับการนำความร้อน^[18]ของก๊าซเจือจาง:

พิจารณาแผ่นขนานสองแผ่นที่คั่นด้วยชั้นก๊าซ แผ่นเปลือกโลกทั้งสองมีอุณหภูมิสม่ำเสมอและมีขนาดใหญ่มากเมื่อเทียบกับชั้นก๊าซที่สามารถใช้เป็นแหล่งกักเก็บความร้อนได้ จานบนมีอุณหภูมิสูงกว่าจานล่าง โมเลกุลในชั้นก๊าซมีพลังงานจลน์ระดับโมเลกุล${\ displaystyle \ varepsilon}$ ซึ่งเพิ่มขึ้นอย่างสม่ำเสมอตามระยะทาง ${\ displaystyle y}$เหนือแผ่นล่าง การไหลของพลังงานที่ไม่สมดุลจะซ้อนทับบนการกระจายสมดุลของการเคลื่อนที่ของโมเลกุลMaxwell-Boltzmann

ปล่อย ${\ displaystyle \ varepsilon _ {0}}$เป็นพลังงานจลน์ระดับโมเลกุลของก๊าซที่พื้นผิวแนวนอนจินตภาพภายในชั้นก๊าซ จำนวนโมเลกุลที่มาถึงพื้นที่${\ displaystyle dA}$ ด้านหนึ่งของชั้นก๊าซด้วยความเร็ว ${\ displaystyle v}$ ที่มุม ${\ displaystyle \ theta}$ จากปกติในช่วงเวลา ${\ displaystyle dt}$ คือ

${\ displaystyle \ quad nv \ cos {\ theta} \, dAdt {\ times} \ left ({\ frac {m} {2 \ pi k_ {B} T}} \ right) ^ {\ frac {3} { 2}} e ^ {- {\ frac {mv ^ {2}} {2k_ {B} T}}} (v ^ {2} \ sin {\ theta} \, dv {d \ theta} d \ phi) }$

โมเลกุลเหล่านี้เกิดการชนกันครั้งสุดท้ายในระยะไกล ${\ displaystyle l \ cos \ theta}$ ด้านบนและด้านล่างของชั้นก๊าซและแต่ละชั้นจะให้พลังงานจลน์ของโมเลกุล

${\ displaystyle \ quad \ varepsilon ^ {\ pm} = \ left (\ varepsilon _ {0} \ pm mc_ {v} l \ cos \ theta \, {dT \ over dy} \ right),}$

ที่ไหน ${\ displaystyle c_ {v}}$เป็นความจุความร้อนที่เฉพาะเจาะจง อีกครั้งเครื่องหมายบวกใช้กับโมเลกุลจากด้านบนและเครื่องหมายลบด้านล่าง สังเกตว่าการไล่ระดับอุณหภูมิ${\ displaystyle dT / dy}$ ถือได้ว่ามีค่าคงที่ตลอดระยะทางของเส้นทางว่างเฉลี่ย

การรวมความเร็วที่เหมาะสมทั้งหมดภายในข้อ จำกัด

${\ displaystyle {\ begin {cases} v> 0 \\ 0 <\ theta <\ pi / 2 \\ 0 <\ phi <2 \ pi \ end {cases}}}$

ให้การถ่ายเทพลังงานต่อหน่วยเวลาต่อหน่วยพื้นที่ (หรือที่เรียกว่าฟลักซ์ความร้อน ):

${\ displaystyle \ quad q_ {y} ^ {\ pm} = - {\ frac {1} {4}} {\ bar {v}} n \ cdot \ left (\ varepsilon _ {0} \ pm {\ frac {2} {3}} mc_ {v} l \, {dT \ over dy} \ right)}$

โปรดทราบว่าการถ่ายเทพลังงานจากด้านบนอยู่ในรูปแบบ ${\ displaystyle -y}$ทิศทางและเครื่องหมายลบโดยรวมในสมการ ดังนั้นฟลักซ์ความร้อนสุทธิบนพื้นผิวจินตภาพ

${\ displaystyle \ quad q = q_ {y} ^ {+} - q_ {y} ^ {-} = - {\ frac {1} {3}} {\ bar {v}} nmc_ {v} l \, {dT \ over dy}}$

การรวมสมการจลน์ข้างต้นกับกฎของฟูเรียร์

${\ displaystyle \ quad q = - \ kappa \, {dT \ over dy}}$

ให้สมการสำหรับการนำความร้อนซึ่งมักจะแสดง ${\ displaystyle \ kappa _ {0}}$ เมื่อเป็นก๊าซเจือจาง:

${\ displaystyle \ quad \ kappa _ {0} = {\ frac {1} {3}} {\ bar {v}} nmc_ {v} l}$

ค่าสัมประสิทธิ์การแพร่กระจายและฟลักซ์การแพร่

ตามตรรกะที่คล้ายกันข้างต้นเราสามารถได้รับแบบจำลองจลน์สำหรับการแพร่กระจายมวล^[18]ของก๊าซเจือจาง:

พิจารณาการแพร่กระจายอย่างสม่ำเสมอระหว่างสองบริเวณของก๊าซเดียวกันโดยมีขอบเขตแบนและขนานกันอย่างสมบูรณ์คั่นด้วยชั้นของก๊าซเดียวกัน ทั้งสองภูมิภาคมีความหนาแน่นของจำนวนเท่ากันแต่ภูมิภาคด้านบนมีความหนาแน่นของตัวเลขสูงกว่าภูมิภาคด้านล่าง ในสภาวะคงที่ความหนาแน่นของตัวเลข ณ จุดใด ๆ จะคงที่ (นั่นคือไม่ขึ้นกับเวลา) อย่างไรก็ตามจำนวนความหนาแน่น${\ displaystyle n}$ ในเลเยอร์จะเพิ่มขึ้นอย่างสม่ำเสมอตามระยะทาง ${\ displaystyle y}$เหนือแผ่นล่าง การไหลของโมเลกุลที่ไม่สมดุลจะซ้อนทับบนการกระจายสมดุลของการเคลื่อนที่ของโมเลกุลMaxwell-Boltzmann

ปล่อย ${\ displaystyle n_ {0}}$เป็นจำนวนความหนาแน่นของก๊าซที่พื้นผิวแนวนอนจินตภาพภายในชั้น จำนวนโมเลกุลที่มาถึงพื้นที่${\ displaystyle dA}$ ด้านหนึ่งของชั้นก๊าซด้วยความเร็ว ${\ displaystyle v}$ ที่มุม ${\ displaystyle \ theta}$ จากปกติในช่วงเวลา ${\ displaystyle dt}$ คือ

${\ displaystyle \ quad nv \ cos {\ theta} \, dAdt {\ times} \ left ({\ frac {m} {2 \ pi k_ {B} T}} \ right) ^ {\ frac {3} { 2}} e ^ {- {\ frac {mv ^ {2}} {2k_ {B} T}}} (v ^ {2} \ sin {\ theta} \, dv {d \ theta} d \ phi) }$

โมเลกุลเหล่านี้เกิดการชนกันครั้งสุดท้ายในระยะไกล ${\ displaystyle l \ cos \ theta}$ ด้านบนและด้านล่างของชั้นก๊าซซึ่งมีความหนาแน่นของเลขท้องถิ่น

${\ displaystyle \ quad n ^ {\ pm} = \ left (n_ {0} \ pm l \ cos \ theta \, {dn \ over dy} \ right)}$

อีกครั้งเครื่องหมายบวกใช้กับโมเลกุลจากด้านบนและเครื่องหมายลบด้านล่าง สังเกตว่าการไล่ระดับความหนาแน่นของตัวเลข${\ displaystyle dn / dy}$ ถือได้ว่ามีค่าคงที่ตลอดระยะทางของเส้นทางว่างเฉลี่ย

การรวมความเร็วที่เหมาะสมทั้งหมดภายในข้อ จำกัด

${\ displaystyle {\ begin {cases} v> 0 \\ 0 <\ theta <\ pi / 2 \\ 0 <\ phi <2 \ pi \ end {cases}}}$

ให้การถ่ายโอนโมเลกุลต่อหน่วยเวลาต่อหน่วยพื้นที่ (หรือที่เรียกว่าฟลักซ์การแพร่ ):

${\ displaystyle \ quad J_ {y} ^ {\ pm} = - {\ frac {1} {4}} {\ bar {v}} \ cdot \ left (n_ {0} \ pm {\ frac {2} {3}} l \, {dn \ over dy} \ right)}$

สังเกตว่าการถ่ายโอนโมเลกุลจากด้านบนอยู่ใน ${\ displaystyle -y}$ทิศทางและเครื่องหมายลบโดยรวมในสมการ ดังนั้นฟลักซ์การแพร่กระจายสุทธิบนพื้นผิวจินตภาพ

${\ displaystyle \ quad J = J_ {y} ^ {+} - J_ {y} ^ {-} = - {\ frac {1} {3}} {\ bar {v}} l {dn \ over dy} }$

การรวมสมการจลน์ข้างต้นกับกฎข้อแรกของการแพร่กระจายของฟิค

${\ displaystyle \ quad J = -D {dn \ over dy}}$

ให้สมการสำหรับการแพร่กระจายของมวลซึ่งมักจะแสดง ${\ displaystyle D_ {0}}$ เมื่อเป็นก๊าซเจือจาง:

${\ displaystyle \ quad D_ {0} = {\ frac {1} {3}} {\ bar {v}} l}$

• ลำดับชั้นของสมการ Bogoliubov-Born-Green-Kirkwood-Yvon
• สมการ Boltzmann
• ทฤษฎีการชน
• อุณหภูมิวิกฤต
• กฎหมายเกี่ยวกับก๊าซ
• ความร้อน
• ศักยภาพทางปฏิสัมพันธ์
• Magnetohydrodynamics
• การกระจาย Maxwell – Boltzmann
• พลวัตของ Mixmaster
• อุณหพลศาสตร์
• แบบจำลอง Vicsek
• สมการ Vlasov

• Clausius, R. (1857), "Ueber die Art der Bewegung, welche wir Wärme nennen" , Annalen der Physik , 176 (3): 353–379, Bibcode : 1857AnP ... 176..353C , doi : 10.1002 / andp .18571760302

• de Groot, SR, WA van Leeuwen และ Ch. G. van Weert (1980), Relativistic Kinetic Theory, North-Holland, Amsterdam.
• Einstein, A. (1905), "Über die von der molekularkinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen" (PDF) , Annalen der Physik , 17 (8): 549–560, Bibcode : 1905AnP ... 322 ..549E , ดอย : 10.1002 / andp.19053220806

• Grad, Harold (1949), "On the Kinetic Theory of Rarefied Gases.", Communications on Pure and Applied Mathematics , 2 (4): 331–407, doi : 10.1002 / cpa.3160020403

• Herapath, J. (1816), "เกี่ยวกับคุณสมบัติทางกายภาพของก๊าซ" , พงศาวดารปรัชญาโรเบิร์ตบอลด์วิน: 56–60

• Herapath, J. (1821), "On the Causes, Laws and Phenomena of Heat, Gases, Gravitation" , Annals of Philosophy , Baldwin, Cradock, and Joy, 9 : 273–293

• Krönig, A. (1856), "Grundzüge einer Theorie der Gase" , Annalen der Physik , 99 (10): 315–322, Bibcode : 1856AnP ... 175..315K , doi : 10.1002 / andp.18561751008

• เลอ Sage, G.-L. (1818), "Physique Mécanique des Georges-Louis Le Sage" , ในPrévost, Pierre (ed.), Deux Traites de Physique Mécanique , Geneva & Paris: JJ Paschoud, pp. 1–186

• Liboff, RL (1990), ทฤษฎีจลน์, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ
• Lomonosov, M. (1970) [1758], "On the Relation of the Amount of Material and Weight" , ใน Henry M. Leicester (ed.), Mikhail Vasil'evich Lomonosov ในทฤษฎี Corpuscular , Cambridge: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยฮาร์วาร์ด, หน้า 224–233

• Mahon, Basil (2003), ชายผู้เปลี่ยนแปลงทุกสิ่ง - ชีวิตของ James Clerk Maxwell , Hoboken, New Jersey: Wiley, ISBN 0-470-86171-1

• Maxwell, James Clerk (1873), "Molecules" , Nature , 417 (6892): 903, Bibcode : 2002Natur.417..903M , doi : 10.1038 / 417903a , PMID  12087385 , S2CID  4417753 , archived from the original (- ^{Scholar search} )เมื่อวันที่ 9 กุมภาพันธ์ 2550
• Smoluchowski, M. (1906), "Zur kinetischen Theorie der Brownschen Molekularbewegung und der Suspensionen" , Annalen der Physik , 21 (14): 756–780, Bibcode : 1906AnP ... 326..756V , doi : 10.1002 / andp. 19063261405

• Waterston, John James (1843), ความคิดเกี่ยวกับหน้าที่ทางจิต(พิมพ์ซ้ำในเอกสารของเขา, 3 , 167, 183)

• วิลเลียมส์ MMR (1971) วิธีการทางคณิตศาสตร์ในอนุภาคทฤษฎีขนส่ง บัตเตอร์เวิร์ ธ ลอนดอน ISBN 9780408700696.

• Sydney Chapmanและ TG Cowling (1939/1970) The Mathematical Theory of Non-uniform Gases: An Account of the Kinetic Theory of Viscosity, Thermal Conduction and Diffusion in Gases , (first edition 1939, second edition 1952), third edition 1970 จัดทำโดยความร่วมมือกับ D. Burnett, Cambridge University กดลอนดอน
• JO Hirschfelder, CF Curtiss และ RB Bird (1964) ทฤษฎีโมเลกุลของก๊าซและของเหลวพิมพ์ครั้งที่สอง (Wiley)
• RL Liboff (2003). ทฤษฎีจลน์: คำอธิบายแบบคลาสสิกควอนตัมและสัมพัทธ์รุ่นที่สาม (สปริงเกอร์)
• B. Rahimi และ H. Struchtrup, การสร้างแบบจำลองระดับมหภาคและจลน์ของก๊าซพอลิอะตอมที่หายาก Journal of Fluid Mechanics, 806, 437–505, 2016 DOI: https://dx.doi.org/10.1017/jfm.2016.604

• ทฤษฎีก๊าซในช่วงต้น
• อุณหพลศาสตร์ - บทหนึ่งจากหนังสือเรียนออนไลน์
• อุณหภูมิและความดันของแก๊สอุดมคติ: สมการของรัฐในโครงการ PHYSNET
• รู้เบื้องต้นเกี่ยวกับทฤษฎีโมเลกุลจลน์ของก๊าซจาก The Upper Canada District School Board
• แอนิเมชั่น Javaแสดงให้เห็นถึงทฤษฎีจลน์จากมหาวิทยาลัยอาร์คันซอ
• ผังงานเชื่อมโยงแนวคิดทฤษฎีจลน์เข้าด้วยกันจาก HyperPhysics
• แอปเพล็ต Java แบบโต้ตอบช่วยให้นักเรียนมัธยมปลายได้ทดลองและค้นพบว่าปัจจัยต่างๆมีผลต่ออัตราการเกิดปฏิกิริยาเคมีอย่างไร
• https://www.youtube.com/watch?v=47bF13o8pb8&list=UUXrJjdDeqLgGjJbP1sMnH8Aอุปกรณ์สาธิตสำหรับการกวนด้วยความร้อนในก๊าซ