จูเลีย ชุด

ในบริบทของการเปลี่ยนแปลงที่ซับซ้อนเป็นหัวข้อของคณิตศาสตร์ที่จูเลียตั้งและชุด Fatouสองชุดเสริม (จูเลีย "ลูกไม้" และ Fatou "ฝุ่น") ที่กำหนดไว้จากฟังก์ชั่น อย่างไม่เป็นทางการ ชุดฟังก์ชัน Fatou ประกอบด้วยค่าที่มีคุณสมบัติที่ค่าใกล้เคียงทั้งหมดทำงานคล้ายกันภายใต้การวนซ้ำของฟังก์ชัน และชุด Julia ประกอบด้วยค่าต่างๆ ที่การรบกวนเล็กน้อยโดยพลการอาจทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงอย่างมากในลำดับของฟังก์ชันที่วนซ้ำ ค่า ดังนั้นพฤติกรรมของฟังก์ชันในชุด Fatou จึงเป็น "ปกติ" ในขณะที่ชุด Julia พฤติกรรมของมันคือ " วุ่นวาย "

ชุดจูเลีย
หั่นสามมิติผ่านชุดฟังก์ชัน Julia (สี่มิติ) บน quaternions

เซตจูเลียของฟังก์ชันfมักใช้แทน และชุด Fatou จะถูกแสดง [a]ชุดเหล่านี้ตั้งชื่อตามนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสชื่อ Gaston Julia [1]และ Pierre Fatou [2]ซึ่งงานของพวกเขาเริ่มศึกษาพลวัตที่ซับซ้อนในช่วงต้นศตวรรษที่ 20

ปล่อย เป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิคที่ไม่คงที่จากทรงกลมรีมันน์มาสู่ตัวมันเอง หน้าที่ดังกล่าวมีความแม่นยำ nonconstant ซับซ้อนฟังก์ชั่นที่มีเหตุผลที่เป็น ที่ไหน และ มีหลายชื่อที่ซับซ้อน สมมติว่าpและqไม่มีรากร่วมกัน และอย่างน้อยหนึ่งมีดีกรีที่มากกว่า 1 จากนั้นจะมีเซตที่เปิดอยู่จำนวนจำกัด , ที่เหลือคงที่โดย และเป็นเช่นนั้น:

  1. สหภาพของชุด มีความหนาแน่นในระนาบและ
  2. ปฏิบัติอย่างสม่ำเสมอและเท่าเทียมกันในแต่ละเซต

คำสั่งสุดท้ายหมายความว่าปลายทางของลำดับของการวนซ้ำที่สร้างขึ้นโดยจุดของ เป็นเซตเดียวกันอย่างแม่นยำ ซึ่งต่อมาคือ วงรอบจำกัด หรือเป็นวงจำกัดของเซตรูปวงกลมหรือรูปวงแหวนที่วางอยู่ในจุดศูนย์กลาง ในกรณีแรกวัฏจักรกำลังดึงดูดอย่างที่สองคือวงจรเป็นกลาง

ชุดนี้ เป็นโดเมน Fatou ของ และสหภาพของพวกเขาคือชุดฟาตู ของ แต่ละโดเมน Fatou มีจุดวิกฤตอย่างน้อยหนึ่งจุดของนั่นคือจุด (จำกัด) z ที่น่าพอใจ satisfy หรือ ถ้าดีกรีของตัวเศษ มากกว่าดีกรีของตัวส่วนอย่างน้อย 2 ตัว หรือถ้า สำหรับบางcและฟังก์ชันตรรกยะ ตรงตามเงื่อนไขนี้

ส่วนเติมเต็มของ คือชุดจูเลีย ของ หากจุดวิกฤตทั้งหมดเป็นช่วงก่อนกำหนด แสดงว่าไม่ใช่จุดวิกฤตแต่ในที่สุดก็เข้าสู่วงจรเป็นระยะ ดังนั้น เป็นทรงกลมทั้งหมด มิฉะนั้น,เป็นเซตที่หนาแน่นไม่มีที่ไหนเลย (ไม่มีจุดภายใน) และเซตที่นับไม่ได้ (ที่มีจำนวนนับเท่ากันกับจำนวนจริง) ชอบ มีค่าคงที่โดย และในชุดนี้การทำซ้ำคือการขับไล่ซึ่งหมายความว่า meaning สำหรับwทั้งหมดในย่านz [ภายใน]. หมายความว่าทำตัวโกลาหลในชุดจูเลีย แม้ว่าจะมีจุดในชุดจูเลียที่ลำดับการวนซ้ำมีขอบเขต แต่ก็มีจุดดังกล่าวจำนวนที่นับได้เท่านั้น(และประกอบขึ้นเป็นส่วนน้อยของชุดจูเลีย) ลำดับที่เกิดจากจุดที่อยู่นอกฉากนี้มีพฤติกรรมโกลาหลซึ่งเป็นปรากฏการณ์ที่เรียกว่าความโกลาหลที่กำหนดขึ้นเอง

มีการวิจัยอย่างกว้างขวางเกี่ยวกับชุด Fatou และชุด Julia ของฟังก์ชันตรรกยะแบบวนซ้ำซึ่งเรียกว่าแผนที่ตรรกยะ ยกตัวอย่างเช่นมันเป็นที่รู้จักกันว่าชุด Fatou ของแผนที่ที่มีเหตุผลมีทั้ง 0, 1, 2 หรือเพียบหลายส่วนประกอบ [3]ส่วนประกอบของชุด Fatou ของแผนที่ที่มีเหตุผลแต่ละคนสามารถแบ่งได้เป็นหนึ่งในสี่ชั้นที่แตกต่างกัน [4]

  • เป็นชุดปิดที่เล็กที่สุดที่มีอย่างน้อยสามจุดซึ่งเป็นสมบูรณ์คงที่อยู่ใต้
  • คือการปิดชุดของต้านทานจุดเป็นระยะ
  • ทั้งหมดแต่ไม่เกินสองจุด เซตจูเลีย คือ เซตของลิมิตพ้อยท์ของโคจรถอยหลังเต็มดวง (นี่เป็นการแนะนำอัลกอริธึมอย่างง่ายสำหรับพล็อตชุด Julia ดูด้านล่าง)
  • ถ้าfเป็นฟังก์ชันทั้งหมดแล้วคือขอบเขตของเซตของจุดที่บรรจบกันเป็นอนันต์ภายใต้การวนซ้ำ
  • ถ้าfเป็นพหุนาม แล้วเป็นขอบเขตของชุด Julia ที่เต็มไป ; นั่นคือจุดที่โคจรภายใต้การวนซ้ำของfยังคงอยู่

เซตจูเลียและเซตฟาตูของfทั้งคู่ไม่แปรผันโดยสมบูรณ์ภายใต้การวนซ้ำของฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิคf : [5]

สำหรับ เซตจูเลียคือวงกลมหนึ่งหน่วย และในการวนซ้ำนี้ ให้มุมสองเท่า (การดำเนินการที่วุ่นวายในจุดที่อาร์กิวเมนต์ไม่ใช่เศษส่วนตรรกยะของ ). มีโดเมน Fatou สองโดเมน: ด้านในและด้านนอกของวงกลม โดยวนซ้ำไปที่ 0 และ ∞ ตามลำดับ

สำหรับ ชุด Julia คือส่วนของเส้นตรงระหว่าง −2 ถึง 2 มีโดเมน Fatouหนึ่งโดเมน : จุดที่ไม่ได้อยู่ในส่วนของเส้นวนซ้ำไปทาง ∞ (นอกเหนือจาก shift และ scaling ของโดเมน การวนซ้ำนี้เทียบเท่ากับ บนช่วงหน่วย ซึ่งมักใช้เป็นตัวอย่างของระบบที่วุ่นวาย)

ฟังก์ชัน f และ g อยู่ในรูปแบบ โดยที่cคือจำนวนเชิงซ้อน สำหรับการทำซ้ำดังกล่าว เซตของจูเลียโดยทั่วไปแล้วไม่ใช่เส้นโค้งธรรมดา แต่เป็นเศษส่วน และสำหรับค่าบางค่าของcอาจมีรูปทรงที่น่าประหลาดใจ ดูภาพด้านล่าง

Julia ตั้งค่า (เป็นสีขาว) สำหรับฟังก์ชันตรรกยะที่เกี่ยวข้องกับ วิธีของนิวตันสำหรับ f  : zz 3 -1 ระบายสีของ Fatou กำหนดตามตัวดึงดูด (รากของ f )

สำหรับบางฟังก์ชันf ( z ) เราสามารถพูดได้ล่วงหน้าว่าเซต Julia เป็นเศษส่วนและไม่ใช่เส้นโค้งธรรมดา นี่เป็นเพราะผลลัพธ์ต่อไปนี้ในการวนซ้ำของฟังก์ชันตรรกยะ:

ทฤษฎีบท. โดเมน Fatou แต่ละโดเมนมีขอบเขตเดียวกัน ดังนั้นจึงเป็นชุดของ Julia

ซึ่งหมายความว่าแต่ละจุดของชุด Julia เป็นจุดสะสมสำหรับแต่ละโดเมน Fatou ดังนั้น หากมีโดเมน Fatou มากกว่าสองโดเมนแต่ละจุดของชุด Julia ต้องมีจุดที่มากกว่าชุดเปิดที่แตกต่างกันมากกว่าสองชุดปิดอย่างไม่สิ้นสุด และนี่หมายความว่าชุด Julia ไม่สามารถเป็นเส้นโค้งแบบธรรมดาได้ ปรากฏการณ์นี้เกิดขึ้น เช่น เมื่อf ( z ) เป็นการวนซ้ำของนิวตันเพื่อแก้สมการ:

ภาพด้านขวาแสดงกรณีn = 3

จูเลียตั้งไว้สำหรับ ที่ ช่วงตั้งแต่ 0 ถึง
"> File:Julia circling.ogvเล่นสื่อ
วิดีโอของ Julia ตั้งไว้ด้านบน

ที่เป็นที่นิยมมากพลังของระบบที่ซับซ้อนจะได้รับจากครอบครัวของพหุนามกำลังสองที่ซับซ้อนเป็นกรณีพิเศษของแผนที่ที่มีเหตุผล พหุนามกำลังสองดังกล่าวสามารถแสดงเป็น

โดยที่cคือพารามิเตอร์ที่ซับซ้อน แก้ไขบางอย่าง ใหญ่พอที่ (เช่น ถ้า อยู่ในชุด Mandelbrot แล้ว ดังนั้นเราอาจปล่อยให้ ) จากนั้นเซต Julia ที่เติมสำหรับระบบนี้คือเซตย่อยของระนาบเชิงซ้อนที่กำหนดโดย

ที่ไหน เป็นn TH สำทับของ ชุดจูเลีย ของฟังก์ชันนี้คือขอบเขตของ

ชุดของ Julia ถูกจัดวางในตารางขนาด 100 × 100 โดยให้จุดศูนย์กลางของแต่ละภาพสอดคล้องกับตำแหน่งเดียวกันในระนาบเชิงซ้อนตามค่าของชุด เมื่อออกมาวางเช่นนี้ภาพรวมมีลักษณะเป็น กระเบื้องโมเสคการถ่ายภาพภาพวาด ทาจิกิสถาน

เครื่องบินพารามิเตอร์ของพหุนามกำลังสอง - นั่นคือเครื่องบินที่เป็นไปได้ค่า - ก่อให้เกิดความมีชื่อเสียงของทาจิกิสถาน แท้จริงแล้ว เซต Mandelbrot ถูกกำหนดให้เป็นเซตของcทั้งหมดนั้นมีการเชื่อมต่อ สำหรับพารามิเตอร์นอกทาจิกิสถาน, ชุดจูเลียเป็นพื้นที่ต้นเสียง : ในกรณีนี้มันเป็นบางครั้งเรียกว่าฝุ่น Fatou

ในหลายกรณีจูเลียชุดของดูเหมือนว่าทาจิกิสถานในละแวกใกล้เคียงที่มีขนาดเล็กพอ นี่เป็นความจริง โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับสิ่งที่เรียกว่าพารามิเตอร์ Misiurewiczนั่นคือ พารามิเตอร์cซึ่งจุดวิกฤตเป็นช่วงก่อนกำหนด ตัวอย่างเช่น:

  • ที่c = iปลายเท้าด้านหน้าที่สั้นกว่า ชุด ​​Julia ดูเหมือนสายฟ้าที่แตกแขนง
  • ที่c = −2 ปลายหางแหลมยาว เซตจูเลียเป็นส่วนของเส้นตรง

กล่าวอีกนัยหนึ่ง จูเลียตั้งค่า อยู่รอบ ๆ ที่คล้ายกันในประเทศจุด Misiurewicz [6]

คำจำกัดความของชุด Julia และ Fatou สามารถนำไปใช้กับกรณีของแผนที่บางแผนที่ที่มีภาพอยู่ในโดเมนได้อย่างง่ายดาย สะดุดตาที่สุดฟังก์ชั่น meromorphic เยี่ยมและอดัมเอพสเตแผนที่ จำกัด ประเภท

เซตจูเลียยังถูกกำหนดโดยทั่วไปในการศึกษาไดนามิกในตัวแปรที่ซับซ้อนหลายตัว

การใช้งาน pseudocode ด้านล่างใช้ฮาร์ดโค้ดของฟังก์ชันสำหรับเศษส่วนแต่ละส่วน พิจารณาใช้การดำเนินการเกี่ยวกับจำนวนเชิงซ้อนเพื่อให้โค้ดมีไดนามิกและนำกลับมาใช้ใหม่ได้มากขึ้น

Pseudocode สำหรับชุด Julia ปกติ

R  =  รัศมีการหลบหนี # เลือก R > 0 โดยที่ R**2 - R >= sqrt(cx**2 + cy**2) สำหรับ แต่ละ พิกเซล ( x ,  Y )  ใน หน้าจอ, ทำ: { ZX = ปรับขนาดx ประสานงานของพิกเซล# (ขนาดจะอยู่ระหว่าง -R และ R) # ZX หมายถึงส่วนที่แท้จริงของ Z zy = พิกัดy ที่ปรับขนาดแล้วของพิกเซล# (มาตราส่วนที่จะอยู่ระหว่าง -R และ R) # zy แทนส่วนจินตภาพของ z                      การวนซ้ำ =  0  max_iteration  =  1000  ในขณะที่ ( zx  *  zx  +  zy  *  zy  <  R ** 2  AND  การวนซ้ำ <  max_iteration )  {  xtemp  =  zx  *  zx  -  zy  *  zy  zy  =  2  *  zx  *  zy  +  cy  zx  =  xtemp  +  cx  ย้ำ =  ย้ำ +  1  }  ถ้า ( iteration  ==  max_iteration )  กลับเป็น สีดำ;  อื่น ส่งคืน การวนซ้ำ; }

Pseudocode สำหรับชุดหลายจูเลีย

R  =  รัศมีการหลบหนี # เลือก R > 0 โดยที่ R**n - R >= sqrt(cx**2 + cy**2) สำหรับ แต่ละ พิกเซล ( x ,  Y )  ใน หน้าจอ, ทำ: { ZX = ปรับขนาดx ประสานงานของพิกเซล# (ขนาดจะอยู่ระหว่าง -R และ R) ZY = ปรับขนาดY ประสานงานของพิกเซล# (ขนาดจะอยู่ระหว่าง -R และ R )                    การวนซ้ำ =  0  max_iteration  =  1000  ในขณะที่ ( zx  *  zx  +  zy  *  zy  <  R ** 2  AND  การวนซ้ำ <  max_iteration )  {  xtmp  =  ( zx  *  zx  +  zy  *  zy )  ^  ( n  /  2 )  *  cos ( n  *  atan2 ( zy ,  zx ))  +  cx ;  zy  =  ( zx  *  zx  +  zy  *  zy )  ^  ( n  /  2 )  *  บาป( n  *  atan2 ( zy ,  zx ))  +  cy ;  zx  =  xtmp ;  ย้ำ =  ย้ำ +  1  }  ถ้า ( ซ้ำ ==  max_iteration )  การกลับมา ดำ;  อื่น ส่งคืน การวนซ้ำ; }

จูเลียตั้งไว้สำหรับ เป็นวงกลมหน่วย และบนโดเมน Fatou ด้านนอกฟังก์ชันที่เป็นไปได้ φ( z ) ถูกกำหนดโดย φ( z ) = log| |. เส้นศักย์ศักย์ไฟฟ้าสำหรับฟังก์ชันนี้เป็นวงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง เช่น เรามี

ที่ไหน เป็นลำดับของการทำซ้ำที่สร้างขึ้นโดยZ สำหรับการทำซ้ำทั่วไปมากขึ้นได้รับการพิสูจน์แล้วว่าถ้าชุด Julia เชื่อมต่อ (นั่นคือถ้าcเป็นของ (ปกติ) Mandelbrot set) จะมีแผนที่biholomorphic ψ ระหว่างโดเมน Fatou ด้านนอกกับด้านนอกของวงกลมหน่วยดังกล่าว. [7]ซึ่งหมายความว่าฟังก์ชันที่เป็นไปได้บนโดเมน Fatou ภายนอกที่กำหนดโดยการติดต่อนี้ได้รับจาก:

สูตรนี้มีความหมายยังถ้าชุดจูเลียไม่ได้เชื่อมต่อเพื่อให้เราสำหรับทุกสามารถกำหนดฟังก์ชั่นที่มีศักยภาพในโดเมน Fatou มี∞โดยสูตรนี้ สำหรับฟังก์ชันตรรกยะทั่วไปf ( z ) ที่ ∞ เป็นจุดวิกฤตและจุดตายตัว นั่นคือ องศาmของตัวเศษจะมากกว่าดีกรีnของตัวส่วนอย่างน้อย 2 ตัว เราจึงกำหนดฟังก์ชันศักย์บนโดเมน Fatou ที่มี ∞ โดย:

โดยที่d = mnคือดีกรีของฟังก์ชันตรรกยะ [8]

ถ้าNเป็นจำนวนที่มาก (เช่น 10 100 ) และถ้าkเป็นจำนวนการวนซ้ำครั้งแรกนั้น, เรามีสิ่งนั้น

สำหรับจำนวนจริงบางส่วน ซึ่งควรถือเป็นจำนวนการวนซ้ำจริงและเรามี:

โดยที่ตัวเลขสุดท้ายอยู่ในช่วง [0, 1)

สำหรับการวนซ้ำไปสู่วัฏจักรการดึงดูดที่ จำกัด ของคำสั่งrเรามีว่าถ้าz*เป็นจุดของวัฏจักร( องค์ประกอบr -fold) และจำนวน

เป็นแรงดึงดูดของวัฏจักร ถ้าwเป็นจุดใกล้z*มากๆและw'คือwวนซ้ำrครั้ง เราจะได้ว่า

ดังนั้นจำนวน เกือบจะเป็นอิสระจากk เรากำหนดฟังก์ชันที่เป็นไปได้บนโดเมน Fatou โดย:

ถ้า ε เป็นจำนวนที่น้อยมาก และkเป็นจำนวนการวนซ้ำครั้งแรกนั้น, เรามีสิ่งนั้น

สำหรับจำนวนจริงบางส่วน ซึ่งควรถือเป็นจำนวนการวนซ้ำจริง และเรามี:

หากแรงดึงดูดคือ ∞ หมายความว่าวัฏจักรนั้นดึงดูดอย่างยิ่ง หมายความว่าจุดใดจุดหนึ่งของวัฏจักรเป็นจุดวิกฤต เราต้องแทนที่ α ด้วย

โดยที่w'คือwวนซ้ำrครั้งและสูตรสำหรับ φ( z ) โดย:

และตอนนี้จำนวนการวนซ้ำจริงถูกกำหนดโดย:

สำหรับการระบายสี เราต้องมีสเกลสีเป็นวงกลม (เช่น สร้างขึ้นทางคณิตศาสตร์) และประกอบด้วยสีHที่มีหมายเลขตั้งแต่ 0 ถึงH -1 (เช่นH = 500) เราคูณจำนวนจริงโดยจำนวนจริงคงที่ที่กำหนดความหนาแน่นของสีในภาพ และนำส่วนสำคัญของจำนวนนี้ โมดูโลH .

คำจำกัดความของฟังก์ชันที่เป็นไปได้และวิธีการระบายสีของเราสันนิษฐานว่าวัฏจักรกำลังดึงดูดซึ่งไม่เป็นกลาง หากวัฏจักรเป็นกลาง เราไม่สามารถระบายสีโดเมน Fatou ได้อย่างเป็นธรรมชาติ เนื่องจากจุดสิ้นสุดของการวนซ้ำเป็นการเคลื่อนที่แบบหมุน เราจึงสามารถระบายสีตามระยะทางต่ำสุดจากรอบที่เหลือซึ่งกำหนดไว้ด้วยการวนซ้ำ

เส้นศักย์ศักย์ไฟฟ้าสำหรับการวนซ้ำสู่อนันต์
เส้นฟิลด์สำหรับการวนซ้ำของฟอร์ม

ในแต่ละโดเมน Fatou (ที่ไม่เป็นกลาง) มีสองระบบของเส้นตั้งฉากกับแต่ละอื่น ๆ คือเส้นสมศักย์ (สำหรับฟังก์ชั่นที่มีศักยภาพหรือจำนวนย้ำจริง) และเส้นสนาม

หากเราระบายสีโดเมน Fatou ตามหมายเลขการวนซ้ำ (และไม่ใช่หมายเลขการวนซ้ำจริงตามที่กำหนดไว้ในส่วนก่อนหน้า) แถบของการวนซ้ำจะแสดงเส้นทางของเส้นศักย์ศักย์ไฟฟ้า หากการวนซ้ำเป็นไปในทิศทาง∞ (เช่นเดียวกับโดเมน Fatou ภายนอกสำหรับการวนซ้ำปกติ) เราสามารถแสดงเส้นทางของเส้นสนามได้อย่างง่ายดาย กล่าวคือ โดยการเปลี่ยนสีตามจุดสุดท้ายในลำดับการวนซ้ำอยู่เหนือหรือใต้แกนx (ภาพแรก) แต่ในกรณีนี้ (ให้ละเอียดกว่านั้นคือ เมื่อ โดเมน Fatou นั้นน่าดึงดูดมาก) เราไม่สามารถวาดเส้นสนามให้สอดคล้องกัน - อย่างน้อยก็ไม่ใช่โดยวิธีที่เราอธิบายไว้ที่นี่ ในกรณีนี้เส้นสนามแม่เหล็กที่เรียกว่ายังมีเรย์ภายนอก

ให้zเป็นจุดดึงดูดโดเมน Fatou ถ้าเราย้ำZเป็นจำนวนมากครั้งปลายทางของลำดับของการทำซ้ำเป็นรอบแน่นอนCและโดเมน Fatou คือ (ตามคำนิยาม) ชุดของจุดที่มีลำดับของการทำซ้ำลู่ไปทางC เส้นสนามออกจากจุดของCและจาก (จำนวนอนันต์ของ) จุดที่ย้ำลงไปในจุดของC และจบลงที่จูเลียซึ่งมีจุดที่ไม่วุ่นวาย (นั่นคือสร้างวงจรที่มีขอบเขตจำกัด) ให้Rเป็นคำสั่งของวงจรC (จำนวนของคะแนน) และปล่อยให้Z *เป็นจุดในC เรามี (องค์ประกอบพับ r) และเรากำหนดจำนวนเชิงซ้อน α โดย

ถ้าจุดCคือ, α เป็นผลคูณของจำนวนr. จำนวนจริง 1/|α| เป็นแรงดึงดูดของวัฏจักร และสมมติฐานของเราว่าวัฏจักรไม่เป็นกลางหรือดึงดูดอย่างยิ่ง หมายความว่า 1 < 1/|α| < ∞. จุดz*เป็นจุดคงที่สำหรับและใกล้จุดนี้แผนที่ point มี (เชื่อมต่อกับเส้นสนาม) อักขระของการหมุนด้วยอาร์กิวเมนต์ β ของ α (นั่นคือ ).

เพื่อให้สีโดเมน Fatou เราได้เลือก ε จำนวนน้อยและตั้งค่าลำดับของการวนซ้ำ จะหยุดเมื่อ และเราระบายสีจุดzตามหมายเลขk (หรือจำนวนการวนซ้ำจริง หากเราต้องการการระบายสีที่ราบรื่น) หากเราเลือกทิศทางจากz* ที่กำหนดโดยมุม θ เส้นสนามที่ออกจากz*ในทิศทางนี้ประกอบด้วยจุดzเพื่อให้อาร์กิวเมนต์ ψ ของตัวเลข ตรงตามเงื่อนไขที่ว่า

เพราะถ้าเราผ่านแถบการวนซ้ำในทิศทางของเส้นสนาม (และอยู่ห่างจากวงจร) จำนวนการวนซ้ำkจะเพิ่มขึ้น 1 และจำนวน ψ จะเพิ่มขึ้น β ดังนั้นจำนวน เป็นค่าคงที่ตามแนวสนาม

รูปภาพในบรรทัดฟิลด์สำหรับการวนซ้ำของฟอร์ม

การระบายสีของเส้นสนามของโดเมน Fatou หมายความว่าเราระบายสีช่องว่างระหว่างคู่ของเส้นสนาม: เราเลือกทิศทางที่ตั้งเป็นประจำจำนวนหนึ่งซึ่งออกมาจากz*และในแต่ละทิศทางเหล่านี้ เราเลือกสองทิศทางรอบทิศทางนี้ เนื่องจากอาจเกิดขึ้นได้ว่าเส้นสนามสองเส้นของคู่ไม่สิ้นสุดในจุดเดียวกันของชุด Julia เส้นสนามที่เป็นสีของเราสามารถขยาย (ไม่มีที่สิ้นสุด) ไปสู่ชุด Julia เราสามารถระบายสีโดยพิจารณาจากระยะห่างถึงเส้นกึ่งกลางของเส้นสนาม และเราสามารถผสมสีนี้กับสีปกติได้ ภาพดังกล่าวสามารถตกแต่งได้มาก (ภาพที่สอง)

เส้นสีสนาม (โดเมนระหว่างเส้นสนามสองเส้น) ถูกหารด้วยแถบการวนซ้ำ และส่วนดังกล่าวสามารถใส่ลงในการติดต่อแบบหนึ่งต่อหนึ่งกับกำลังสองหน่วย: พิกัดเดียวคือ (คำนวณจาก) ระยะทาง จากเส้นเขตขอบเขตเส้นใดเส้นหนึ่ง อีกเส้นหนึ่งคือ (คำนวณจาก) ระยะห่างจากด้านในของแถบการวนซ้ำที่มีขอบเขต (ตัวเลขนี้เป็นส่วนที่ไม่รวมอยู่ในจำนวนการวนซ้ำจริง) ดังนั้นเราจึงสามารถใส่รูปภาพลงในเส้นฟิลด์ได้ (รูปที่สาม)

"> File:Quadratic Julia set with Internal binary decomposition for internal ray 0.ogvเล่นสื่อ
การสลายตัวแบบไบนารีของการตกแต่งภายในในกรณีของมุมภายใน0

วิธีการ :

  • วิธีการประมาณระยะทางสำหรับชุด Julia (DEM/J)
  • วิธีการวนซ้ำแบบผกผัน (IIM)

การใช้ย้อนกลับ (ผกผัน) การวนซ้ำ (IIM)

พล็อตชุด Julia สร้างขึ้นโดยใช้ IIM . แบบสุ่ม
พล็อตชุด Julia สร้างขึ้นโดยใช้ MIIM

ดังที่กล่าวไว้ข้างต้น ชุด Julia สามารถพบได้เป็นชุดจุดจำกัดของชุดภาพล่วงหน้าของ (โดยพื้นฐานแล้ว) จุดใดๆ ที่กำหนด เราสามารถลองพลอตเซต Julia ของฟังก์ชันที่กำหนดได้ดังนี้ เริ่มต้นด้วยจุดzใดๆ ที่เราทราบว่าอยู่ในชุด Julia เช่น จุดที่มีการไล่ตามระยะ และคำนวณภาพพรีอิมเมจของz ทั้งหมดภายใต้การวนซ้ำสูงของ

น่าเสียดายที่จำนวนภาพพรีอิมเมจที่ทำซ้ำเพิ่มขึ้นแบบทวีคูณ สิ่งนี้ไม่สามารถทำได้ในเชิงคำนวณ แต่เราสามารถปรับวิธีการนี้ในทำนองเดียวกันว่า "เกมสุ่ม" วิธีการระบบการทำงานซ้ำ นั่นคือในแต่ละขั้นตอนที่เราเลือกที่หนึ่งแบบสุ่มของภาพที่ผกผันของ

ตัวอย่างเช่น สำหรับพหุนามกำลังสองf cการวนกลับถูกอธิบายโดย

ในแต่ละขั้นตอน จะสุ่มเลือกรากที่สองหนึ่งในสองค่า

โปรดทราบว่าบางส่วนของชุด Julia เข้าถึงได้ยากด้วยอัลกอริธึม Julia แบบย้อนกลับ ด้วยเหตุนี้ เราจึงต้องแก้ไข IIM/J (เรียกว่า MIIM/J) หรือใช้วิธีการอื่นเพื่อสร้างภาพที่ดีขึ้น

ใช้ DEM/J

เนื่องจากชุดของ Julia นั้นบางมาก เราจึงไม่สามารถวาดได้อย่างมีประสิทธิภาพด้วยการวนซ้ำจากพิกเซล จะปรากฏกระจัดกระจายเนื่องจากการตรวจสอบจุดเริ่มต้นจำนวนมากอย่างไม่สิ้นสุด เนื่องจากจำนวนการวนซ้ำมีการเปลี่ยนแปลงอย่างมากใกล้กับชุด Julia วิธีแก้ปัญหาบางส่วนคือการบอกเป็นนัยถึงโครงร่างของชุดจากเส้นขอบสีที่ใกล้ที่สุด แต่ชุดมีแนวโน้มที่จะดูเป็นโคลน

วิธีที่ดีกว่าในการวาดชุด Julia เป็นขาวดำคือการประมาณระยะห่างของพิกเซล (DEM) จากชุดและกำหนดสีทุกพิกเซลที่มีจุดศูนย์กลางใกล้กับชุด สูตรสำหรับการประมาณระยะทางได้มาจากสูตรของฟังก์ชันศักย์ φ( z ) เมื่อเส้นศักย์ไฟฟ้าของ φ( z ) อยู่ชิดกัน จำนวน the มีขนาดใหญ่และในทางกลับกัน ดังนั้น เส้นศักย์ศักย์ไฟฟ้าสำหรับฟังก์ชัน ควรนอนประมาณสม่ำเสมอ ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าค่าที่พบโดยสูตรนี้ (สูงสุดปัจจัยคงที่) มาบรรจบกันที่ระยะทางจริงสำหรับ z มาบรรจบกับเซตจูเลีย [8]

เราคิดว่าf ( z ) เป็นเหตุเป็นผล นั่นคือโดยที่p ( z ) และq ( z ) เป็นพหุนามเชิงซ้อนที่มีองศาmและnตามลำดับ และเราต้องหาอนุพันธ์ของนิพจน์ข้างต้นสำหรับ φ( z ) และอย่างที่มันเป็นเท่านั้น ที่แตกต่างกันเราต้องคำนวณอนุพันธ์ ของ เกี่ยวกับz . แต่เป็น( องค์ประกอบk -fold) เป็นผลคูณของตัวเลข และลำดับนี้สามารถคำนวณแบบเรียกซ้ำโดย , เริ่มต้นด้วย ( ก่อนการคำนวณการวนซ้ำครั้งต่อไป next).

สำหรับการวนซ้ำไปยัง∞ (แม่นยำยิ่งขึ้นเมื่อm  ≥  n  + 2 เพื่อให้ ∞ เป็นจุดคงที่ที่ดึงดูดใจอย่างยิ่ง) เรามี

( d = m  −  n ) และด้วยเหตุนี้:

สำหรับการวนซ้ำไปสู่วัฏจักรการดึงดูดที่ จำกัด (ที่ไม่ดึงดูดอย่างยิ่ง) ที่มีจุดz*และมีคำสั่งrเรามี

และด้วยเหตุนี้:

สำหรับวัฏจักรที่น่าดึงดูดอย่างยิ่ง สูตรคือ:

เราคำนวณตัวเลขนี้เมื่อการวนซ้ำหยุดลง โปรดทราบว่าการประมาณระยะทางไม่ขึ้นกับแรงดึงดูดของวัฏจักร ซึ่งหมายความว่ามีความหมายสำหรับฟังก์ชันเหนือธรรมชาติของ "องศาอินฟินิตี้" (เช่น sin( z ) และ tan( z ))

นอกจากการวาดเส้นขอบแล้ว ฟังก์ชันระยะทางยังสามารถใช้เป็นมิติที่ 3 เพื่อสร้างภูมิทัศน์เศษส่วนที่มั่นคงได้

  • Douady กระต่าย
  • กำหนดขีดจำกัด
  • ชุดที่เสถียรและไม่เสถียร
  • ไม่มีทฤษฎีบทโดเมนเร่ร่อน
  • ทฤษฎีความโกลาหล

  1. ^ เกี่ยวกับสัญกรณ์: สำหรับสาขาคณิตศาสตร์อื่นๆ สัญกรณ์นอกจากนี้ยังสามารถเป็นตัวแทนของเมทริกซ์จาโคเบียนของการทำแผนที่มูลค่าที่แท้จริงระหว่างmanifolds เรียบ

  1. ^ แกสตันจูเลีย (1918) "Mémoire sur l'ซ้ำ des fonctions rationnelles"วารสาร de Mathématiques Pures et Appliquéesฉบับ 8 หน้า 47–245
  2. ^ ปิแอร์ Fatou (1917) "Sur เลแทน rationnelles" Comptes Rendus de l'Académie des Sciences เดอปารีสฉบับ 164 หน้า 806–808 และฉบับที่ 165 หน้า 992–995
  3. ^ Beardon การวนซ้ำของฟังก์ชันตรรกยะ , ทฤษฎีบท 5.6.2.
  4. ^ Beardon การวนซ้ำของฟังก์ชันตรรกยะ , ทฤษฎีบท 7.1.1.
  5. ^ Beardon การวนซ้ำของฟังก์ชันตรรกยะ , ทฤษฎีบท 3.2.4.
  6. ^ Tan Lei , "ความคล้ายคลึงระหว่างชุด Mandelbrot และชุด Julia" , Communications in Mathematical Physics 134 (1990), หน้า 587–617
  7. ^ ดู ดี้ เอเดรียน; ฮับบาร์ด, จอห์น เอช. (1984). "Etude dynamique des polynômes complexes". สิ่งพิมพ์ล่วงหน้าคณิตศาสตร์ d'Orsay . 2 ;   "[ op.cit. ]". 4 . พ.ศ. 2528 อ้างอิงวารสารต้องการ|journal=( ความช่วยเหลือ )
  8. ^ เพทเกน, ไฮนซ์-อ็อตโต; ริกเตอร์ ปีเตอร์ (1986) ความงามของ Fractals ไฮเดลเบิร์ก: Springer-Verlag. ISBN 0-387-15851-0.

  • คาร์ลสัน, เลนนาร์ต ; Gamelin, Theodore W. (1993). Dynamics คอมเพล็กซ์ สปริงเกอร์.
  • ดูดี้, เอเดรียน; ฮับบาร์ด, จอห์น เอช. (1984). "Etude dynamique des polynômes complexes". สิ่งพิมพ์ล่วงหน้าคณิตศาสตร์ d'Orsay . 2 ;   "[ op.cit. ]". 4 . พ.ศ. 2528 อ้างอิงวารสารต้องการ|journal=( ความช่วยเหลือ )
  • มิลเนอร์, เจดับบลิว (2549) [1990]. Dynamics ในหนึ่งตัวแปรที่ซับซ้อน พงศาวดารของคณิตศาสตร์ศึกษา. 160 (ฉบับที่สาม). สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยพรินซ์ตัน;
    ปรากฏตัวครั้งแรกในฐานะ a "Stony Brook IMS Preprint" ใช้ได้เป็น "arXiv: math.DS / 9201272"
  • โบโกมอลนี, อเล็กซานเดอร์ . "ทาจิกิตั้งและการจัดทำดัชนีของเซตจูเลีย" ตัดปม . หลักสูตรพีชคณิต
  • เดมิดอฟ, เยฟเจนีย์ (2003). "The Mandelbrot and Julia กำหนดกายวิภาคศาสตร์" .
  • แบร์ดอน, อลัน เอฟ. (1991). ทวนของฟังก์ชั่นเหตุผล สปริงเกอร์. ISBN 0-387-95151-2.

  • "ชุดจูเลีย" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
  • Weisstein, Eric W. "Julia Set" . คณิตศาสตร์โลก.
  • เบิร์ก, พอล. "Julia set fractal (2D)" (เว็บไซต์ส่วนตัว)
  • ซอว์เยอร์, ​​เจมี่. "ชุดจูเลีย" (บล็อก)
  • แมคกู๊ดวิน, ไมเคิล. "อัญมณีจูเลีย: การสำรวจฉากจูเลีย" (เว็บไซต์ส่วนตัว)
  • พริงเกิล, ลูซี่. "ชุดครอบตัดจูเลีย" (ไซต์ส่วนตัว)
  • เกร็ก, จอช. "แอปเพล็ต Julia Set แบบโต้ตอบ" . เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 2012-03-26
  • Joyce, David E. "Julia and Mandelbrot set explorer" (ไซต์ส่วนตัวทางวิชาการ) มหาวิทยาลัยคลาร์ก.
  • "โปรแกรมง่ายๆ ในการสร้างชุดจูเลีย" . liazardie.com . เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 2011-03-17 – วินโดว์ 370 kB
  • "รวมแอพเพล็ต" . ที่มาฟอร์จ - หนึ่งในแอพเพล็ตสามารถแสดงชุด Julia ผ่าน Iterated Function Systems
  • "จูเลียตรงกับ HTML5" Google แล็บ เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 2011-02-18 ตัวสร้างเศษส่วน HTML5 สำหรับเบราว์เซอร์ของคุณ
  • "จูเลีย" . r-project.org . แพ็คเกจ GNU R สร้าง Julia หรือ Mandelbrot ที่ตั้งค่าภูมิภาคและความละเอียดที่กำหนด
  • "จูเลีย เซ็ต" . – คำอธิบายภาพของ Julia Sets
  • "แฟร็กทัลทีเอส" . github.io . – Mandelbrot, Burning ship และ Julia set generator ที่เกี่ยวข้อง
  • “จูเลียตั้งภาพ เรนเดอร์ออนไลน์” . finengin.net .
TOP