จุดที่แยก

เซตที่ประกอบขึ้นจากจุดแยกเท่านั้นเรียกว่าเซตไม่ต่อเนื่อง (ดูเพิ่มเติมที่ช่องว่างไม่ต่อเนื่อง ) ชุดย่อยที่ไม่ต่อเนื่องSของปริภูมิยุคลิดจะต้องสามารถนับได้เนื่องจากการแยกจุดแต่ละจุดพร้อมกับข้อเท็จจริงที่ว่าเหตุผลมีความหนาแน่นในค่าเรียลหมายความว่าจุดของSอาจถูกจับคู่เป็นชุดของจุดที่มีพิกัดเชิงเหตุผลซึ่ง มีจำนวนมากเท่านั้น อย่างไรก็ตามไม่ใช่ทุกชุดที่นับได้จะไม่ต่อเนื่องซึ่งตัวเลขที่เป็นเหตุเป็นผลภายใต้เมตริกแบบยุคลิดปกติเป็นตัวอย่างที่ยอมรับได้

ชุดที่ไม่มีจุดแยกนั้นมีความหนาแน่นในตัวเอง (ทุกย่านของจุดมีจุดอื่น ๆ ของชุด) ปิดชุดที่ไม่มีจุดบางแห่งจะเรียกว่าเป็นชุดที่สมบูรณ์แบบ (มีจุดวงเงินทั้งหมดและไม่มีของพวกเขาจะแยกจากมัน)

จำนวนจุดแยกเป็นค่าคงที่ของโทโพโลยีกล่าวคือถ้าสองช่องว่างโทโพโลยี ${\ displaystyle X}$ และ ${\ displaystyle Y}$เป็นhomeomorphicจำนวนจุดแยกในแต่ละจุดเท่ากัน

ตัวอย่างมาตรฐาน

ช่องว่างโทโพโลยีในสามตัวอย่างต่อไปนี้ถือเป็นสเปซย่อยของเส้นจริงกับโทโพโลยีมาตรฐาน

• สำหรับชุด ${\ displaystyle S = \ {0 \} \ cup [1,2]}$จุด 0 คือจุดแยก
• สำหรับชุด ${\ displaystyle S = \ {0 \} \ cup \ {1,1 / 2,1 / 3, \ dots \}}$แต่ละจุด 1 / k เป็นจุดแยก แต่ 0 ไม่ใช่จุดแยกเนื่องจากมีจุดอื่น ๆ ในSใกล้เคียงกับ 0 ตามที่ต้องการ
• ชุด ${\ displaystyle {\ mathbb {N}} = \ {0,1,2, \ ldots \}}$ของจำนวนธรรมชาติเป็นเซตที่ไม่ต่อเนื่อง

ในพื้นที่ทอพอโลยี ${\ displaystyle X = \ {a, b \}}$ ด้วยโทโพโลยี ${\ displaystyle \ tau = \ {\ emptyset, \ {a \}, X \}}$องค์ประกอบ ${\ displaystyle a}$ เป็นจุดที่โดดเดี่ยวแม้ว่า ${\ displaystyle a}$เป็นของการปิดของ${\ displaystyle \ {b \}}$ (และในบางแง่ก็คือ "ใกล้" กับ ${\ displaystyle b}$). สถานการณ์ดังกล่าวเป็นไปไม่ได้ในพื้นที่ดอร์ฟ

มอร์สแทรกระบุว่าไม่ใช่คนเลวจุดสำคัญของฟังก์ชั่นบางอย่างที่จะแยก

สองตัวอย่างตอบโต้ที่ใช้งานง่าย

พิจารณาชุด ${\ displaystyle F}$ ของคะแนน ${\ displaystyle x}$ ในช่วงเวลาจริง ${\ displaystyle (0,1)}$ เช่นนั้นทุกหลัก ${\ displaystyle x_ {i}}$ของการแสดงไบนารีของพวกเขาเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้:

• ทั้ง ${\ displaystyle x_ {i} = 0}$ หรือ ${\ displaystyle x_ {i} = 1}$.
• ${\ displaystyle x_ {i} = 1}$ สำหรับดัชนีจำนวนมากเท่านั้น ${\ displaystyle i}$.
• ถ้า ${\ displaystyle m}$ หมายถึงดัชนีที่ใหญ่ที่สุดเช่นนั้น ${\ displaystyle x_ {m} = 1}$แล้ว ${\ displaystyle x_ {m-1} = 0}$.
• ถ้า ${\ displaystyle x_ {i} = 1}$ และ ${\ displaystyle ฉัน$จากนั้นจึงถือหนึ่งในสองเงื่อนไขต่อไปนี้: ${\ displaystyle x_ {i-1} = 1}$ หรือ ${\ displaystyle x_ {i + 1} = 1}$.

ไม่เป็นทางการเงื่อนไขเหล่านี้หมายความว่าทุกหลักของการแทนค่าฐานสองของ ${\ displaystyle x}$ ซึ่งเท่ากับ 1 เป็นของคู่ ... 0110 ... ยกเว้น ... 010 ... ในตอนท้าย

ตอนนี้ ${\ displaystyle F}$เป็นชุดอย่างชัดเจนประกอบด้วยทั้งจุดแยกที่มีเคาน์เตอร์ทรัพย์สินที่มันปิดเป็นชุดนับไม่ได้ ^[1]

อีกชุด ${\ displaystyle F}$ที่มีคุณสมบัติเหมือนกันสามารถรับได้ดังนี้ ปล่อย${\ displaystyle C}$เป็นชุดต้นเสียงกลางในสามให้${\ displaystyle I_ {1}, I_ {2}, I_ {3}, \ ldots}$เป็นช่วงส่วนประกอบของ${\ displaystyle [0,1] -C}$และปล่อยให้ ${\ displaystyle F}$ เป็นชุดที่ประกอบด้วยหนึ่งจุดจากแต่ละจุด ${\ displaystyle I_ {k}}$. ตั้งแต่ละ${\ displaystyle I_ {k}}$ มีเพียงจุดเดียวจาก ${\ displaystyle F}$ทุกจุดของ ${\ displaystyle F}$เป็นจุดแยก อย่างไรก็ตามหาก${\ displaystyle p}$ คือจุดใดก็ได้ในชุดต้นเสียงจากนั้นทุกย่านของ ${\ displaystyle p}$ มีอย่างน้อยหนึ่งรายการ ${\ displaystyle I_ {k}}$และด้วยเหตุนี้อย่างน้อยหนึ่งจุดของ ${\ displaystyle F}$. เป็นไปตามที่แต่ละจุดของชุดต้นเสียงอยู่ที่การปิดของ${\ displaystyle F}$, และดังนั้นจึง ${\ displaystyle F}$ มีการปิดนับไม่ได้

• Acnode
• จุดสมัครใจ
• จุด จำกัด

• Weisstein, Eric W. "Isolated Point" . แม ธ เวิลด์