กระบวนการกลับไม่ได้
ในด้านวิทยาศาสตร์เป็นกระบวนการที่ไม่สามารถย้อนกลับได้ถูกเรียกกลับไม่ได้ แนวคิดนี้เกิดขึ้นบ่อยครั้งในอุณหพลศาสตร์
ในอุณหพลศาสตร์การเปลี่ยนแปลงในรัฐทางอุณหพลศาสตร์ของระบบและทั้งหมดของสภาพแวดล้อมที่ไม่สามารถเรียกคืนได้อย่างแม่นยำไปยังรัฐที่เริ่มต้นจากเล็กการเปลี่ยนแปลงในคุณสมบัติของระบบบางส่วนโดยไม่ได้รับค่าใช้จ่ายของการใช้พลังงาน ระบบที่ผ่านกระบวนการที่ไม่สามารถย้อนกลับได้อาจยังคงสามารถกลับสู่สถานะเริ่มต้นได้ อย่างไรก็ตามความเป็นไปไม่ได้เกิดขึ้นในการฟื้นฟูสภาพแวดล้อมให้กลับสู่สภาวะเริ่มต้นของมันเอง กระบวนการที่ไม่สามารถย้อนกลับได้จะเพิ่มเอนโทรปีของจักรวาล เนื่องจากเอนโทรปีเป็นฟังก์ชันสถานะการเปลี่ยนแปลงเอนโทรปีของระบบจึงเหมือนกันไม่ว่ากระบวนการจะย้อนกลับได้หรือย้อนกลับไม่ได้ กฎข้อที่สองของอุณหพลศาสตร์ สามารถใช้เพื่อพิจารณาว่ากระบวนการสามารถย้อนกลับได้หรือไม่
โดยสัญชาตญาณกระบวนการสามารถย้อนกลับได้หากไม่มีการกระจาย ตัวอย่างเช่นการขยาย Jouleไม่สามารถย้อนกลับได้เนื่องจากในตอนแรกระบบไม่สม่ำเสมอ ในขั้นต้นมีส่วนหนึ่งของระบบที่มีก๊าซอยู่และเป็นส่วนหนึ่งของระบบที่ไม่มีก๊าซ เพื่อให้การกระจายเกิดขึ้นจำเป็นต้องมีความไม่สม่ำเสมอดังกล่าว นี่ก็เหมือนกับว่าในระบบส่วนหนึ่งของก๊าซร้อนและอีกส่วนหนึ่งเย็น จากนั้นการสลายตัวจะเกิดขึ้น การกระจายตัวของอุณหภูมิจะสม่ำเสมอโดยไม่มีงานทำและจะไม่สามารถย้อนกลับได้เนื่องจากคุณไม่สามารถเพิ่มหรือลบความร้อนหรือเปลี่ยนระดับเสียงเพื่อให้ระบบกลับสู่สถานะเริ่มต้นได้ ดังนั้นหากระบบมีความสม่ำเสมอเสมอกระบวนการจะย้อนกลับได้ซึ่งหมายความว่าคุณสามารถคืนระบบกลับสู่สถานะเดิมได้โดยการเพิ่มหรือลบความร้อนทำงานในระบบหรือปล่อยให้ระบบทำงาน เป็นอีกตัวอย่างหนึ่งในการประมาณการขยายตัวในเครื่องยนต์สันดาปภายในแบบย้อนกลับได้เราจะสมมติว่าอุณหภูมิและความดันเปลี่ยนแปลงอย่างสม่ำเสมอตลอดทั้งปริมาตรหลังประกายไฟ เห็นได้ชัดว่านี่ไม่เป็นความจริงและมีเปลวไฟอยู่ด้านหน้าและบางครั้งเครื่องยนต์ก็น็อคด้วย สาเหตุหนึ่งที่เครื่องยนต์ดีเซลมีประสิทธิภาพสูงขึ้นคือการเผาไหม้มีความสม่ำเสมอมากขึ้นพลังงานจึงสูญเสียไปกับการกระจายตัวน้อยลงและกระบวนการใกล้เคียงกับการย้อนกลับได้มากขึ้น [ ต้องการอ้างอิง ]
กระบวนการทางธรรมชาติที่ซับซ้อนทั้งหมดไม่สามารถย้อนกลับได้ [1] [2] [3] [4]ปรากฏการณ์ของการเปลี่ยนกลับไม่ได้เป็นผลมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าถ้าระบบอุณหพลศาสตร์ซึ่งเป็นระบบใด ๆ ที่มีความซับซ้อนเพียงพอของโมเลกุลที่มีปฏิสัมพันธ์จะถูกนำจากสถานะทางอุณหพลศาสตร์หนึ่งไปยังอีกสถานะหนึ่งการกำหนดค่าหรือการจัดเรียง ของอะตอมและโมเลกุลในระบบจะเปลี่ยนไปในลักษณะที่ไม่สามารถคาดเดาได้ง่าย [5] [6] "พลังงานการเปลี่ยนแปลง" บางส่วนจะถูกใช้ในขณะที่โมเลกุลของ "ร่างกายที่ทำงาน" ทำงานซึ่งกันและกันเมื่อพวกมันเปลี่ยนจากสถานะหนึ่งไปเป็นอีกสถานะหนึ่ง ในระหว่างการเปลี่ยนแปลงนี้จะมีการสูญเสียหรือกระจายพลังงานความร้อนเนื่องจากแรงเสียดทานระหว่างโมเลกุลและการชนกัน พลังงานนี้จะไม่สามารถกู้คืนได้หากกระบวนการกลับรายการ
กระบวนการทางชีววิทยาหลายอย่างที่เคยคิดว่าสามารถย้อนกลับได้ถูกพบว่าแท้จริงแล้วเป็นการจับคู่ของกระบวนการที่ย้อนกลับไม่ได้สองกระบวนการ ในขณะที่เอนไซม์ตัวเดียวเคยเชื่อว่าจะกระตุ้นการเปลี่ยนแปลงทางเคมีทั้งไปข้างหน้าและย้อนกลับการวิจัยพบว่าโดยทั่วไปแล้วเอนไซม์สองตัวที่มีโครงสร้างคล้ายกันจำเป็นต้องใช้เพื่อดำเนินการสิ่งที่ส่งผลให้เกิดกระบวนการที่ไม่สามารถย้อนกลับทางอุณหพลศาสตร์ได้ [7]
ความสามารถในการย้อนกลับแบบสัมบูรณ์เทียบกับสถิติ
อุณหพลศาสตร์กำหนดพฤติกรรมทางสถิติของเอนทิตีจำนวนมากซึ่งพฤติกรรมที่แน่นอนนั้นกำหนดโดยกฎหมายที่เฉพาะเจาะจงมากขึ้น เนื่องจากกฎพื้นฐานทางทฤษฎีของฟิสิกส์นั้นย้อนเวลาได้ทั้งหมด[8]อย่างไรก็ตามจากการทดลองแล้วความน่าจะเป็นของความสามารถในการย้อนกลับได้จริงนั้นต่ำการคาดการณ์ล่วงหน้าในอดีตสามารถเป็นจริงได้และ / หรือสถานะในอดีตกลับคืนสู่ระดับที่สูงขึ้นหรือต่ำลงเท่านั้น (ดู: หลักการความไม่แน่นอน ) ความสามารถในการย้อนกลับของอุณหพลศาสตร์จะต้องมีลักษณะทางสถิติ นั่นคือมันจะต้องไม่น่าเป็นไปได้อย่างมาก แต่ก็เป็นไปไม่ได้ที่ระบบจะลดเอนโทรปีลง
ประวัติศาสตร์
นักฟิสิกส์เยอรมันรูดอล์ฟ Clausiusในยุค 1850 เป็นครั้งแรกที่ทางคณิตศาสตร์จำนวนการค้นพบของกลับไม่ได้ในธรรมชาติผ่านการแนะนำของเขาจากแนวคิดของเอนโทรปี ในบันทึกความทรงจำของเขาในปี 1854 "ในรูปแบบที่ปรับเปลี่ยนของทฤษฎีบทพื้นฐานที่สองในทฤษฎีกลแห่งความร้อน" Clausius กล่าว:
ยิ่งไปกว่านั้นอาจเกิดขึ้นแทนที่การส่งผ่านความร้อนจากมากไปน้อยที่มาพร้อมกับในกระบวนการเดียวและกระบวนการเดียวกันการส่งผ่านจากน้อยไปมากการเปลี่ยนแปลงถาวรอื่นอาจเกิดขึ้นซึ่งมีลักษณะเฉพาะของการไม่สามารถย้อนกลับได้โดยไม่ถูกแทนที่ด้วยการเปลี่ยนแปลงถาวรใหม่ ชนิดที่คล้ายกันหรือทำให้เกิดการถ่ายเทความร้อนจากมากไปน้อย
เพียงแค่ Clausius กล่าวว่าเป็นไปไม่ได้ที่ระบบจะถ่ายเทความร้อนจากร่างกายที่เย็นกว่าไปยังร่างกายที่ร้อนกว่า ตัวอย่างเช่นกาแฟร้อนหนึ่งถ้วยที่วางไว้ในบริเวณที่มีอุณหภูมิห้อง(~ 72 ° F)จะถ่ายเทความร้อนไปยังบริเวณโดยรอบและจะเย็นลงเมื่ออุณหภูมิของห้องเพิ่มขึ้นเล็กน้อยถึง ( ~ 72.3 ° F ) อย่างไรก็ตามกาแฟเริ่มต้นถ้วยเดียวกันนั้นจะไม่ดูดซับความร้อนจากสภาพแวดล้อมทำให้มันร้อนขึ้นโดยอุณหภูมิของห้องจะลดลงถึง ( ~ 71.7 ° F ) ดังนั้นกระบวนการทำให้กาแฟเย็นลงจึงไม่สามารถย้อนกลับได้เว้นแต่จะมีการเพิ่มพลังงานเพิ่มเติมให้กับระบบ
อย่างไรก็ตามความขัดแย้งเกิดขึ้นเมื่อพยายามที่จะกระทบยอด microanalysis ของระบบด้วยการสังเกตของมหภาค กระบวนการหลายอย่างสามารถย้อนกลับทางคณิตศาสตร์ได้ในสถานะไมโครเมื่อวิเคราะห์โดยใช้กลศาสตร์นิวตันคลาสสิก ความขัดแย้งนี้ทำให้เกิดการอธิบายด้วยกล้องจุลทรรศน์อย่างชัดเจนเกี่ยวกับแนวโน้มของการวัดด้วยกล้องจุลทรรศน์ที่มีต่อสภาวะสมดุลเช่นข้อโต้แย้งของJames Clerk Maxwell ในปี 1860 ที่ว่าการชนกันของโมเลกุลทำให้อุณหภูมิของก๊าซผสมมีความเท่าเทียมกัน [9]ตั้งแต่ปีพ. ศ. 2415 ถึง พ.ศ. 2418 ลุดวิกโบลต์ซมันน์ได้เสริมคำอธิบายทางสถิติของความขัดแย้งนี้ในรูปแบบของสูตรเอนโทรปีของ Boltzmann ที่ระบุว่าเนื่องจากจำนวนไมโครสเตตที่เป็นไปได้ของระบบอาจเพิ่มขึ้นทำให้เอนโทรปีของระบบเพิ่มขึ้นและจะน้อยลง มีแนวโน้มว่าระบบจะกลับสู่สถานะก่อนหน้านี้ สูตรของเขาหาปริมาณงานที่ทำโดยวิลเลียมทอมสันบารอนเคลวินที่1ซึ่งเป็นที่ถกเถียงกันอยู่ว่า:
สมการของการเคลื่อนที่ในพลศาสตร์เชิงนามธรรมสามารถย้อนกลับได้อย่างสมบูรณ์แบบ คำตอบใด ๆ ของสมการเหล่านี้จะยังคงใช้ได้เมื่อตัวแปรเวลา t ถูกแทนที่ด้วย –t ในทางกลับกันกระบวนการทางกายภาพไม่สามารถย้อนกลับได้ตัวอย่างเช่นแรงเสียดทานของของแข็งการนำความร้อนและการแพร่กระจาย อย่างไรก็ตามหลักการกระจายพลังงานเข้ากันได้กับทฤษฎีโมเลกุลซึ่งอนุภาคแต่ละตัวอยู่ภายใต้กฎของพลวัตนามธรรม
[10] [11]
คำอธิบายของระบบกลับไม่ได้อีกถูกนำเสนอโดยนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสอองรีPoincaré ในปี 1890 เขาได้รับการตีพิมพ์ครั้งแรกของเขาคำอธิบายของการเปลี่ยนแปลงเชิงเรียกว่าทฤษฎีความโกลาหล การนำทฤษฎีความโกลาหลไปใช้กับกฎข้อที่สองของอุณหพลศาสตร์ความขัดแย้งของการย้อนกลับไม่ได้สามารถอธิบายได้ในข้อผิดพลาดที่เกี่ยวข้องกับการปรับขนาดจากไมโครสเตตไปจนถึงมหภาคและระดับของอิสระที่ใช้ในการสังเกตการณ์เชิงทดลอง ความไวต่อสภาวะเริ่มต้นที่เกี่ยวข้องกับระบบและสภาพแวดล้อมที่สารประกอบไมโครสเตตในนิทรรศการลักษณะที่ไม่สามารถย้อนกลับได้ภายในขอบเขตทางกายภาพที่สังเกตได้ [12]

ตัวอย่างของกระบวนการที่ย้อนกลับไม่ได้
ในขอบเขตทางกายภาพมีกระบวนการที่ย้อนกลับไม่ได้จำนวนมากซึ่งไม่สามารถบรรลุประสิทธิภาพ 100% ในการถ่ายเทพลังงานได้ ต่อไปนี้เป็นรายการเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นเองซึ่งมีส่วนทำให้กระบวนการไม่สามารถย้อนกลับได้ [13]
- การเกิด (การคลอดบุตรในมนุษย์)
- ความชรา
- ความตาย
- การถ่ายเทความร้อนผ่านความแตกต่างของอุณหภูมิที่ จำกัด
- แรงเสียดทาน
- การเปลี่ยนรูปพลาสติก
- การไหลของกระแสไฟฟ้าผ่านความต้านทาน
- การสะกดจิตหรือโพลาไรซ์ด้วยฮิสเทอรีซิส
- การขยายตัวของของเหลวอย่างไม่ จำกัด
- ปฏิกิริยาเคมีที่เกิดขึ้นเอง
- การผสมสสารขององค์ประกอบ / สถานะที่แตกต่างกันโดยธรรมชาติ
การขยายจูลเป็นตัวอย่างของเทอร์โมไดนามิกส์คลาสสิกเนื่องจากง่ายต่อการหาผลลัพธ์ที่เพิ่มขึ้นของเอนโทรปี มันเกิดขึ้นเมื่อปริมาตรของก๊าซถูกเก็บไว้ในด้านหนึ่งของภาชนะที่แยกความร้อน (ผ่านพาร์ติชันเล็ก ๆ ) โดยที่อีกด้านหนึ่งของภาชนะจะถูกอพยพออกไป จากนั้นพาร์ติชันระหว่างสองส่วนของภาชนะจะเปิดขึ้นและก๊าซจะเติมเต็มภาชนะทั้งหมด พลังงานภายในของก๊าซยังคงเท่าเดิมในขณะที่ปริมาตรเพิ่มขึ้น ไม่สามารถกู้คืนสถานะเดิมได้โดยการบีบอัดก๊าซให้เป็นปริมาตรเดิมเนื่องจากพลังงานภายในจะเพิ่มขึ้นจากการบีบอัดนี้ สถานะดั้งเดิมสามารถกู้คืนได้โดยการระบายความร้อนของระบบบีบอัดใหม่เท่านั้นและด้วยเหตุนี้จึงทำให้สภาพแวดล้อมร้อนขึ้นอย่างไม่สามารถย้อนกลับได้ แผนภาพทางด้านขวาจะใช้เฉพาะในกรณีที่ส่วนขยายแรกเป็น "อิสระ" (การขยายจูล) กล่าวคือไม่มีความดันบรรยากาศภายนอกกระบอกสูบและไม่มีการยกน้ำหนัก
ระบบที่ซับซ้อน
ความแตกต่างระหว่างเหตุการณ์ที่ย้อนกลับได้และย้อนกลับไม่ได้มีคุณค่าที่อธิบายได้โดยเฉพาะในระบบที่ซับซ้อน (เช่นสิ่งมีชีวิตหรือระบบนิเวศ ) ตามที่นักชีววิทยาHumberto MaturanaและFrancisco Varelaระบุว่าสิ่งมีชีวิตมีลักษณะเป็นautopoiesisซึ่งทำให้สามารถดำรงอยู่ต่อไปได้ รูปแบบดั้งเดิมของตัวเองจัดระบบได้รับการอธิบายโดยนักฟิสิกส์และนักเคมีIlya Prigogine ในบริบทของระบบที่ซับซ้อนเหตุการณ์ที่นำไปสู่การสิ้นสุดของกระบวนการจัดระเบียบตัวเองบางอย่างเช่นความตายการสูญพันธุ์ของสิ่งมีชีวิตหรือการล่มสลายของระบบอุตุนิยมวิทยาถือได้ว่าไม่สามารถย้อนกลับได้ แม้ว่าจะสามารถพัฒนาโคลนที่มีหลักการขององค์กรเดียวกันได้ (เช่นโครงสร้างดีเอ็นเอที่เหมือนกัน) แต่ก็ไม่ได้หมายความว่าระบบที่แตกต่างกันในอดีตจะกลับมามีชีวิตอีกครั้ง เหตุการณ์ที่ความสามารถในการจัดระเบียบตนเองของสิ่งมีชีวิตชนิดพันธุ์หรือระบบที่ซับซ้อนอื่น ๆ สามารถปรับตัวได้เช่นการบาดเจ็บเล็กน้อยหรือการเปลี่ยนแปลงสภาพแวดล้อมทางกายภาพนั้นสามารถย้อนกลับได้ อย่างไรก็ตามการปรับตัวขึ้นอยู่กับการนำเข้านิเจนโทรปีเข้าสู่สิ่งมีชีวิตซึ่งจะเป็นการเพิ่มกระบวนการที่ไม่สามารถย้อนกลับได้ในสภาพแวดล้อมของมัน [14]หลักการทางนิเวศวิทยาเช่นเดียวกับความยั่งยืนและหลักการป้องกันไว้ก่อนสามารถกำหนดได้โดยอ้างอิงถึงแนวคิดของการย้อนกลับได้ [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24]
ดูสิ่งนี้ด้วย
- การผลิตเอนโทรปี
- เอนโทรปี (ลูกศรแห่งเวลา)
- Exergy
- กระบวนการย้อนกลับได้ (อุณหพลศาสตร์)
- ฟังก์ชั่นทางเดียว
- อุณหพลศาสตร์ที่ไม่สมดุล
- สมมาตรทำลาย
อ้างอิง
- ^ Lucia, U (1995) "ผลทางคณิตศาสตร์และหลักการของ Gyarmati ใน Rational Thermodynamics". Il Nuovo CIMENTO B110 (10): 1227–1235 รหัสไปรษณีย์ : 1995NCimB.110.1227L . ดอย : 10.1007 / bf02724612 . S2CID 119568672
- ^ กราซซินี; Lucia, U. (1997). "การวิเคราะห์ทั่วโลกเกี่ยวกับการสลายตัวเนื่องจากไม่สามารถย้อนกลับได้" ชุดGénérale de Thermique 36 (8): 605–609 ดอย : 10.1016 / s0035-3159 (97) 89987-4 .
- ^ Lucia, U. (2008). "ความน่าจะเป็น, ความผิดปกติ, การเปลี่ยนกลับไม่ได้และระบบที่ไม่หยุดนิ่ง". Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences . 464 (2093): 1089–1104 รหัสไปรษณีย์ : 2008RSPSA.464.1089L . ดอย : 10.1098 / rspa.2007.0304 . S2CID 34898343
- ^ Grazzini G. e Lucia U. , 2008 Evolution rate of thermodynamic systems, 1st International Workshop "Shape and Thermodynamics" - Florence 25 and 26 September 2008, pp. 1-7
- ^ Lucia U. 2009 กลับไม่ได้เอนโทรปีและข้อมูลไม่สมบูรณ์ Physica A:. กลศาสตร์สถิติและการประยุกต์ใช้, 388, PP 4025-4033
- ^ ลูเซีย, ยู (2008). "วิธีการทางสถิติของรูปแบบเอนโทรปีที่ผันกลับไม่ได้". Physica A: กลศาสตร์สถิติและการประยุกต์ใช้ 387 (14): 3454–3460 Bibcode : 2008PhyA..387.3454L . ดอย : 10.1016 / j.physa.2008.02.002 .
- ^ Lucia U. , "เอนโทรปีกลับไม่ได้ในระบบชีวภาพ", EPISTEME
ลูเซียยู; Maino, G. (2003). "การวิเคราะห์ทางอุณหพลศาสตร์ของพลวัตของปฏิสัมพันธ์ของเนื้องอกกับระบบภูมิคุ้มกันของโฮสต์". Physica A: กลศาสตร์สถิติและการประยุกต์ใช้ 313 (3–4): 569–577 Bibcode : 2002PhyA..313..569L . ดอย : 10.1016 / S0378-4371 (02) 00980-9 . - ^ David Albert ตรงเวลาและโอกาส
- ^ Gyenis, Balazs (2017). "แม็กซ์เวลล์กับการแจกแจงแบบปกติ: เรื่องราวสีของความน่าจะเป็นความเป็นอิสระและแนวโน้มสู่ดุลยภาพ" การศึกษาประวัติศาสตร์และปรัชญาของฟิสิกส์สมัยใหม่ 57 : 53–65 arXiv : 1702.01411 รหัสไปรษณีย์ : 2017SHPMP..57 ... 53G . ดอย : 10.1016 / j.shpsb.2017.01.001 . S2CID 38272381
- ^ Bishop, RC และคณะ "กลับไม่ได้ในกลศาสตร์ควอนตัม" ได้รับ 19 มกราคม 2547.
- ^ Lebowitz, Joel "การพลิกกลับของกล้องจุลทรรศน์และพฤติกรรมมาโครสโคปิก: คำอธิบายทางกายภาพและการหาที่มาทางคณิตศาสตร์" มหาวิทยาลัยรัตเกอร์ส 1 พ.ย. 2537
- ^ "กฎข้อที่ 2 ของอุณหพลศาสตร์"หน้าวันที่ 2002-2-19 สืบค้นเมื่อ 2010-4-01.
- ^ แรน, จอห์น (2008) "Fundamentals of Engineering Thermodynamics", p. 220. John Wiley & Sons, Inc. , USA. ISBN 978-0-471-78735-8
- ^ ลองโกจูเซปเป้; มอนเตวิล, มาเอล (2012-01-01). ดินนีนไมเคิลเจ.; คูส์ไซนอฟ, บาคาดีร์; Nies, André (eds.) การคำนวณฟิสิกส์และอื่นๆ เอกสารประกอบการบรรยายสาขาวิทยาการคอมพิวเตอร์. สปริงเกอร์เบอร์ลินไฮเดลเบิร์ก หน้า 289–308 CiteSeerX 10.1.1.640.1835 ดอย : 10.1007 / 978-3-642-27654-5_22 . ISBN 9783642276538.
- ^ ลูเซียอุมแบร์โต (1998) "หลักการสูงสุดและระบบเปิดรวมถึงโฟลว์สองเฟส". ชุดGénérale de Thermique 37 (9): 813–817 ดอย : 10.1016 / s0035-3159 (98) 80007-x .
- ^ Lucia U. , กลับไม่ได้และเอนโทรปีในอุณหพลศาสตร์เหตุผล Ricerche di Matematica, L1 (2001) 77-87
- ^ ลูเซียยู; เจอร์วิโน, G. (2005). "การวิเคราะห์ทางเศรษฐศาสตร์อุณหภูมิของวงจรปั๊มความร้อน Stirling แบบย้อนกลับไม่ได้". ยุโรปทางกายภาพวารสาร B 50 (1–2): 367–369 arXiv : ฟิสิกส์ / 0512182 รหัสไปรษณีย์ : 2006EPJB ... 50..367L . ดอย : 10.1140 / epjb / e2006-00060-x . S2CID 119372773
- ^ ลูเซีย, อุมแบร์โต; Maino, G. (2549). "พฤติกรรมเชิงสัมพัทธภาพของ Lagrangian ทางอุณหพลศาสตร์". Il Nuovo CIMENTO B 121 (2): 213–216 Bibcode : 2006NCimB.121..213L . ดอย : 10.1393 / ncb / i2006-10035-8 .
- ^ Lucia, U. (2007). "รูปแบบเอนโทรปีที่ผันกลับไม่ได้และปัญหาของแนวโน้มสู่ภาวะสมดุล". Physica A: กลศาสตร์สถิติและการประยุกต์ใช้ 376 : 289–292 Bibcode : 2007PhyA..376..289L . ดอย : 10.1016 / j.physa.2006.10.059 .
- ^ ลูเซียยู; เจอร์วิโน, G. (2009). "Hydrodynamics cavitation: จากทฤษฎีสู่แนวทางการทดลองใหม่". วารสารฟิสิกส์ยุโรปกลาง . 7 (3): 638–644 Bibcode : 2009CEJPh ... 7..638L . ดอย : 10.2478 / s11534-009-0092-y . S2CID 120720503 .
- ^ ลูเซีย, ยู (2552). "กลับไม่ได้เอนโทรปีและข้อมูลที่ไม่สมบูรณ์" Physica A: กลศาสตร์สถิติและการประยุกต์ใช้ 388 (19): 4025–4033 Bibcode : 2009PhyA..388.4025L . ดอย : 10.1016 / j.physa.2009.06.027 .
- ^ Lucia, U. (2009). "กลับไม่ได้เอนโทรปีและข้อมูลที่ไม่สมบูรณ์" Physica A: กลศาสตร์สถิติและการประยุกต์ใช้ 388 (19): 4025–4033 Bibcode : 2009PhyA..388.4025L . ดอย : 10.1016 / j.physa.2009.06.027 .
- ^ Lucia U. , 2009 อุณหพลศาสตร์ลากรองจ์ใน Pandalai SG 2009, การพัฒนางานวิจัยล่าสุดในสาขาฟิสิกส์ฉบับ 8, หน้า 1-5, ไอ 978-81-7895-346-5
- ^ Lucia U. , 2010, การสร้างเอนโทรปีสูงสุดและ − แบบจำลองเลขชี้กำลัง, Physica A 389, หน้า 4558-4563 Lucia, U. (2010). "การสร้างเอนโทรปีสูงสุดและแบบจำลองเลขชี้กำลัง" Physica A: กลศาสตร์สถิติและการประยุกต์ใช้ 389 (21): 4558–4563 Bibcode : 2010PhyA..389.4558L . ดอย : 10.1016 / j.physa.2010.06.047 .