ลูกตุ้มคว่ำ

ลูกตุ้มที่มีลูกตุ้มห้อยอยู่ด้านล่างแกนรองรับอยู่ที่จุดสมดุลที่มั่นคง ไม่มีแรงบิดบนลูกตุ้ม ดังนั้น ลูกตุ้มจึงยังคงนิ่ง และหากเปลี่ยนจากตำแหน่งนี้จะพบกับแรงบิดที่คืนสู่ตำแหน่งสมดุล ลูกตุ้มกับบ๊อบในตำแหน่งคว่ำสนับสนุนบนแกนแข็งโดยตรงเหนือหมุน 180 องศาจากตำแหน่งที่มั่นคงสมดุลของมันคือการที่สมดุลไม่เสถียรจุด ณ จุดนี้อีกครั้ง ไม่มีแรงบิดบนลูกตุ้ม แต่การกระจัดที่น้อยที่สุดจากตำแหน่งนี้จะทำให้เกิดแรงบิดความโน้มถ่วงบนลูกตุ้มซึ่งจะเร่งให้ออกจากสมดุลและจะตกลงมา

เพื่อรักษาเสถียรภาพของลูกตุ้มในตำแหน่งคว่ำนี้สามารถใช้ระบบควบคุมป้อนกลับซึ่งจะตรวจสอบมุมของลูกตุ้มและย้ายตำแหน่งของจุดหมุนไปด้านข้างเมื่อลูกตุ้มเริ่มตกลงมาเพื่อให้สมดุล ลูกตุ้มคว่ำเป็นปัญหาคลาสสิกในทฤษฎีไดนามิกและการควบคุมและมีการใช้กันอย่างแพร่หลายเป็นเกณฑ์มาตรฐานสำหรับการทดสอบอัลกอริธึมการควบคุม ( ตัวควบคุม PID , การแสดงพื้นที่ของรัฐ , โครงข่ายประสาทเทียม , การควบคุมคลุมเครือ , อัลกอริธึมทางพันธุกรรมฯลฯ ) รูปแบบต่างๆ ของปัญหานี้รวมถึงการเชื่อมโยงหลายจุด ทำให้สามารถสั่งการเคลื่อนที่ของเกวียนไปพร้อมกับรักษาลูกตุ้ม และทำให้ระบบลูกตุ้มเกวียนสมดุลกันบนกระดานหก ลูกตุ้มคว่ำเกี่ยวข้องกับจรวดหรือจรวดนำวิถี ซึ่งจุดศูนย์ถ่วงอยู่ด้านหลังจุดศูนย์กลางของแรงต้าน ทำให้เกิดความไม่เสถียรตามหลักอากาศพลศาสตร์ ^[2]ความเข้าใจในปัญหาที่คล้ายคลึงกันสามารถแสดงได้โดยหุ่นยนต์ธรรมดาในรูปแบบของเกวียนทรงตัว สมดุลไม้กวาดหงายอยู่ที่ปลายนิ้วของคนคือการสาธิตง่ายและปัญหาจะแก้ไขด้วยตนเองสมดุลขนส่งส่วนบุคคลเช่นSegway PTที่hoverboard ตนเองสมดุลและunicycle ตนเองสมดุล

อีกวิธีหนึ่งที่ลูกตุ้มคว่ำอาจมีเสถียรภาพโดยไม่มีการป้อนกลับหรือกลไกการควบคุมใด ๆ คือการแกว่งเดือยขึ้นและลงอย่างรวดเร็ว นี้เรียกว่าลูกตุ้ม Kapitza ของ หากการสั่นมีกำลังเพียงพอ (ในแง่ของความเร่งและแอมพลิจูด) ลูกตุ้มที่กลับด้านสามารถฟื้นตัวจากการรบกวนในลักษณะที่ขัดกับสัญชาตญาณได้อย่างยอดเยี่ยม ถ้าขับรถย้ายจุดในการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิก อย่างง่าย , การเคลื่อนไหวของลูกตุ้มจะอธิบายโดยสมมาติเยอ ^[3]

สมการการเคลื่อนที่ของลูกตุ้มกลับจะขึ้นอยู่กับสิ่งที่มีอยู่ จำกัด ในการเคลื่อนไหวของลูกตุ้ม ลูกตุ้มคว่ำสามารถสร้างขึ้นในการกำหนดค่าต่างๆ ส่งผลให้เกิดสมการการเคลื่อนที่จำนวนหนึ่งที่อธิบายพฤติกรรมของลูกตุ้ม

จุดหมุนคงที่

ในการกำหนดค่าที่จุดหมุนของลูกตุ้มคงที่ในอวกาศ สมการการเคลื่อนที่จะคล้ายกับของสำหรับลูกตุ้มที่ไม่กลับหัว สมการการเคลื่อนที่ด้านล่างถือว่าไม่มีแรงเสียดทานหรือแรงต้านทานต่อการเคลื่อนไหวใดๆ แท่งไร้มวลที่แข็งกระด้าง และข้อจำกัดในการเคลื่อนไหวแบบ 2 มิติ

${\displaystyle {\ddot {\theta }}-{g \over \ell }\sin \theta =0}$

ที่ไหน ${\displaystyle {\ddot {\theta }}}$คือความเร่งเชิงมุมของลูกตุ้ม${\displaystyle g}$คือแรงโน้มถ่วงมาตรฐานบนพื้นผิวโลก${\displaystyle \ell }$ คือ ความยาวของลูกตุ้ม และ ${\displaystyle \theta }$ คือ การกระจัดเชิงมุมที่วัดจากตำแหน่งสมดุล

เมื่อบวกทั้งสองข้างแล้ว จะมีเครื่องหมายเดียวกับเทอมความเร่งเชิงมุม:

${\displaystyle {\ddot {\theta }}={g \over \ell }\sin \theta }$

ดังนั้นลูกตุ้มคว่ำจะเร่งออกจากสมดุลที่ไม่เสถียรในแนวตั้งในทิศทางที่เคลื่อนที่ครั้งแรก และความเร่งแปรผกผันกับความยาว ลูกตุ้มสูงตกช้ากว่าลูกเตี้ย

อนุพันธ์โดยใช้แรงบิดและโมเมนต์ความเฉื่อย:

แผนผังของลูกตุ้มคว่ำบนเกวียน แท่งไม้ถือว่าไม่มีมวล มวลของเกวียนและมวลจุดที่ปลายคันนั้นแสดงด้วย M และ m ก้านมีความยาว l.

ลูกตุ้มถือว่าประกอบด้วยมวลจุดของมวล ${\displaystyle m}$, ติดที่ปลายแท่งแข็งไร้มวล ยาว ${\displaystyle \ell }$แนบกับจุดหมุนที่ปลายตรงข้ามกับมวลจุด

แรงบิดสุทธิของระบบจะต้องเท่ากับโมเมนต์ความเฉื่อยคูณความเร่งเชิงมุม:

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{\mathrm {net} }=I{\ddot {\theta }}}$

แรงบิดเนื่องจากแรงโน้มถ่วงให้แรงบิดสุทธิ:

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{\mathrm {net} }=mg\ell \sin \theta \,\!}$

ที่ไหน ${\displaystyle \theta \ }$ คือมุมที่วัดจากตำแหน่งสมดุลกลับหัว

สมการผลลัพธ์:

${\displaystyle I{\ddot {\theta }}=mg\ell \sin \theta \,\!}$

โมเมนต์ความเฉื่อยของมวลจุด:

${\displaystyle I=mR^{2}}$

ในกรณีของลูกตุ้มคว่ำ รัศมีคือความยาวของแท่ง ${\displaystyle \ell }$.

แทนที่ใน ${\displaystyle I=m\ell ^{2}}$

${\displaystyle m\ell ^{2}{\ddot {\theta }}=mg\ell \sin \theta \,\!}$

มวลและ ${\displaystyle \ell ^{2}}$ ถูกแยกออกจากกันในแต่ละด้าน ส่งผลให้:

${\displaystyle {\ddot {\theta }}={g \over \ell }\sin \theta }$

ลูกตุ้มคว่ำบนรถเข็น

ลูกตุ้มคว่ำบนเกวียนประกอบด้วยมวล ${\displaystyle m}$ ที่ด้านบนของเสายาว ${\displaystyle \ell }$หมุนบนฐานที่เคลื่อนที่ในแนวนอนตามที่แสดงในภาพที่อยู่ติดกัน รถเข็นถูกจำกัดให้เคลื่อนที่เป็นเส้นตรงและอยู่ภายใต้แรงที่ส่งผลให้เกิดหรือขัดขวางการเคลื่อนไหว

สิ่งสำคัญของการรักษาเสถียรภาพ

สิ่งสำคัญในการรักษาเสถียรภาพของลูกตุ้มคว่ำสามารถสรุปได้ในเชิงคุณภาพในสามขั้นตอน

ระบบควบคุมการทรงตัวแบบเรียบง่ายที่ใช้กับรถเข็นพร้อมแก้วไวน์ด้านบน

1. ถ้ามุมเอียง ${\displaystyle \theta }$ อยู่ทางขวา เกวียนต้องเร่งไปทางขวาและกลับกัน

2. ตำแหน่งของรถเข็น ${\displaystyle x}$ สัมพันธ์กับศูนย์แทร็กจะเสถียรโดยการปรับมุมว่างเล็กน้อย (ข้อผิดพลาดของมุมที่ระบบควบคุมพยายามเป็นโมฆะ) โดยตำแหน่งของรถเข็น นั่นคือ มุมว่าง ${\displaystyle =\theta +kx}$ ที่ไหน ${\displaystyle k}$เล็ก. สิ่งนี้ทำให้เสาต้องการเอนไปทางศูนย์กลางของแทร็กเล็กน้อยและทำให้เสถียรที่ศูนย์กลางของแทร็กโดยที่มุมเอียงเป็นแนวตั้งพอดี ออฟเซ็ตใดๆ ในเซ็นเซอร์เอียงหรือทางลาดที่อาจก่อให้เกิดความไม่เสถียรแปลเป็นออฟเซ็ตตำแหน่งที่มั่นคง ออฟเซ็ตที่เพิ่มเข้ามาเพิ่มเติมช่วยให้สามารถควบคุมตำแหน่งได้

3. ลูกตุ้มปกติที่มีจุดหมุนเคลื่อนที่ เช่น โหลดที่ยกขึ้นโดยเครน มีการตอบสนองสูงสุดที่ความถี่เรเดียนของลูกตุ้มของ ${\displaystyle \omega _{p}={\sqrt {g/\ell }}}$. เพื่อป้องกันการแกว่งที่ไม่สามารถควบคุมได้ ควรระงับสเปกตรัมความถี่ของการเคลื่อนที่แบบเดือยใกล้${\displaystyle \โอเมก้า _{p}}$. ลูกตุ้มคว่ำต้องการตัวกรองการปราบปรามเดียวกันเพื่อให้เกิดความเสถียร

โปรดทราบว่าผลที่ตามมาของกลยุทธ์การปรับมุมค่าว่าง การป้อนกลับตำแหน่งเป็นค่าบวก กล่าวคือ คำสั่งให้เคลื่อนไปทางขวาอย่างกะทันหันจะทำให้รถเข็นเริ่มเคลื่อนไปทางซ้ายตามด้วยการเลื่อนไปทางขวาเพื่อปรับสมดุลลูกตุ้ม ปฏิสัมพันธ์ของความไม่เสถียรของลูกตุ้มและความไม่แน่นอนของผลป้อนกลับของตำแหน่งเชิงบวกเพื่อสร้างระบบที่เสถียรเป็นคุณลักษณะที่ทำให้การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์เป็นปัญหาที่น่าสนใจและท้าทาย

จากสมการลากรองจ์

สมการของการเคลื่อนไหวที่จะได้รับโดยใช้สมการของลากรองจ์ เราอ้างถึงการวาดภาพไปทางขวาโดยที่${\displaystyle \theta (t)}$ คือมุมของลูกตุ้มของความยาว ${\displaystyle l}$เทียบกับทิศทางแนวตั้งและแรงกระทำคือแรงโน้มถ่วงและแรงภายนอกFในทิศทาง x กำหนด${\displaystyle x(t)}$ เพื่อเป็นตำแหน่งของเกวียน

จลนศาสตร์ ${\displaystyle T}$ ของระบบคือ:

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}Mv_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}mv_{2}^{2},}$

ที่ไหน ${\displaystyle v_{1}}$ คือความเร็วของเกวียนและ ${\displaystyle v_{2}}$ คือ ความเร็วของมวลจุด ${\displaystyle m}$. ${\displaystyle v_{1}}$ และ ${\displaystyle v_{2}}$ สามารถแสดงในรูปของ x และ ${\displaystyle \theta }$ โดยเขียนความเร็วเป็นอนุพันธ์อันดับ 1 ของตำแหน่งนั้น

${\displaystyle v_{1}^{2}={\dot {x}}^{2},}$

${\displaystyle v_{2}^{2}=\left({\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}{\left(x-\ell \sin \theta \right )}\right)^{2}+\left({\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}{\left(\ell \cos \theta \right)}\right )^{2}.}$

ลดความซับซ้อนของนิพจน์สำหรับ ${\displaystyle v_{2}}$ นำไปสู่:

${\displaystyle v_{2}^{2}={\dot {x}}^{2}-2\ell {\dot {x}}{\dot {\theta }}\cos \theta +\ell ^ {2}{\dot {\theta }}^{2}.}$

พลังงานจลน์ได้รับจาก:

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}\left(M+m\right){\dot {x}}^{2}-m\ell {\dot {x}}{\dot { \theta }}\cos \theta +{\frac {1}{2}}m\ell ^{2}{\dot {\theta }}^{2}.}$

พิกัดทั่วไปของระบบคือ ${\displaystyle \theta }$ และ ${\displaystyle x}$แต่ละคนมีกำลังทั่วไป บน${\displaystyle x}$ แกน แรงทั่วไป ${\displaystyle Q_{x}}$ สามารถคำนวณผ่านงานเสมือนได้

${\displaystyle Q_{x}\delta x=F\delta x,\quad Q_{x}=F,}$

บน ${\displaystyle \theta }$ แกน แรงทั่วไป ${\displaystyle Q_{\theta }}$ สามารถคำนวณผ่านงานเสมือนได้

${\displaystyle Q_{\theta }\delta \theta =mgl\sin \theta \delta \theta ,\quad Q_{\theta }=mgl\sin \theta .}$

จากสมการของลากรองจ์ สมการการเคลื่อนที่คือ

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\partial {T} \over \partial {\dot {x}}}-{\partial {T} \over \ บางส่วน x}=F,}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\partial {T} \over \partial {\dot {\theta }}}-{\partial {T} \over \partial \theta }=mgl\sin \theta ,}$

แทนที่ ${\displaystyle T}$ ในสมการเหล่านี้และการลดความซับซ้อนนำไปสู่สมการที่อธิบายการเคลื่อนที่ของลูกตุ้มคว่ำ:

${\displaystyle \left(M+m\right){\dot {x}}-m\ell {\ddot {\theta }}\cos \theta +m\ell {\dot {\theta }}^{2 }\sin \theta =F,}$

${\displaystyle \ell {\ddot {\theta }}-g\sin \theta ={\ddot {x}}\cos \theta .}$

สมการเหล่านี้ไม่เป็นเชิงเส้น แต่เนื่องจากเป้าหมายของระบบควบคุมคือการทำให้ลูกตุ้มตั้งตรง สมการจึงถูกทำให้เป็นเส้นตรงรอบๆ ${\displaystyle \theta \ประมาณ 0}$.

จากสมการออยเลอร์-ลากรองจ์

แรงทั่วไปสามารถเขียนได้ทั้งเป็นพลังงานศักย์ ${\displaystyle V_{x}}$ และ ${\displaystyle V_{\theta }}$,

กองกำลังทั่วไป	พลังงานศักย์
${\displaystyle Q_{x}=F}$	${\displaystyle V_{x}=\int _{t_{0}}^{t}F{\dot {x}}\ {\rm {d}}t}$
${\displaystyle Q_{\theta }=mgl\sin \theta }$	${\displaystyle V_{\theta }=mgl\cos \theta }$

ตามหลักการของ D'Alembertกองกำลังทั่วไปและพลังงานศักย์เชื่อมโยงกัน:

${\displaystyle Q_{j}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial V}{\partial {\dot {q}}_{j}} }-{\frac {\partial V}{\partial q_{j}}}\,,}$

อย่างไรก็ตาม ในบางสถานการณ์ พลังงานศักย์ไม่สามารถเข้าถึงได้ มีเพียงแรงทั่วไปเท่านั้นที่มีให้

หลังจากได้รับLagrangian ${\displaystyle {\mathcal {L}}=TV}$เรายังสามารถใช้สมการออยเลอร์–ลากรองจ์เพื่อแก้สมการการเคลื่อนที่ได้:

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac { \partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}}}\right)=0}$,

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \theta }}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\theta }}}}\right)=0}$.

ข้อแตกต่างเพียงอย่างเดียวคือจะรวมกองกำลังทั่วไปเข้ากับพลังงานศักย์หรือไม่ ${\displaystyle V_{j}}$ หรือเขียนให้ชัดเจนว่า ${\displaystyle Q_{j}}$ ทางด้านขวาจะนำไปสู่สมการเดียวกันในรอบสุดท้าย

จากกฎข้อที่สองของนิวตัน

บ่อยครั้งจะเป็นประโยชน์ที่จะใช้กฎข้อที่สองของนิวตันแทนสมการของลากรองจ์เพราะสมการของนิวตันให้แรงปฏิกิริยาที่รอยต่อระหว่างลูกตุ้มกับเกวียน สมการเหล่านี้ทำให้เกิดสมการสองสมการสำหรับแต่ละร่าง อันหนึ่งอยู่ในทิศ x และอีกอันหนึ่งอยู่ในทิศ y สมการการเคลื่อนที่ของเกวียนแสดงไว้ด้านล่าง โดยที่ LHS คือผลรวมของแรงที่มีต่อตัวถัง และ RHS คือการเร่งความเร็ว

${\displaystyle F-R_{x}=M{\ddot {x}}}$

${\displaystyle F_{N}-R_{y}-Mg=0}$

ในสมการข้างต้น ${\displaystyle R_{x}}$ และ ${\displaystyle R_{y}}$ คือแรงปฏิกิริยาที่ข้อต่อ ${\displaystyle F_{N}}$คือแรงตั้งฉากที่กระทำต่อเกวียน สมการที่สองนี้ขึ้นอยู่กับแรงปฏิกิริยาแนวตั้งเท่านั้น ดังนั้นสมการนี้จึงสามารถใช้แก้หาแรงตั้งฉากได้ สมการแรกสามารถใช้แก้หาแรงปฏิกิริยาแนวนอนได้ เพื่อให้สมการการเคลื่อนที่สมบูรณ์ ต้องคำนวณความเร่งของมวลจุดที่ติดกับลูกตุ้ม ตำแหน่งของมวลจุดสามารถกำหนดได้ในพิกัดเฉื่อยเป็น

${\displaystyle {\vec {r}}_{P}=(x-\ell \sin \theta ){\hat {x}}_{I}+\ell \cos \theta {\hat {y}} _{ผม}}$

การหาอนุพันธ์สองตัวจะให้เวกเตอร์ความเร่งในกรอบอ้างอิงเฉื่อย

${\displaystyle {\vec {a}}_{P/I}=({\ddot {x}}+\ell {\dot {\theta }}^{2}\sin \theta -\ell {\ddot {\theta }}\cos \theta ){\hat {x}}_{I}+(-\ell {\dot {\theta }}^{2}\cos \theta -\ell {\ddot {\ theta }}\sin \theta ){\hat {y}}_{I}}$

จากนั้น ใช้กฎข้อที่สองของนิวตัน สามารถเขียนสมการสองสมการในทิศ x และทิศ y ได้ โปรดทราบว่าแรงปฏิกิริยาจะเป็นบวกเมื่อใช้กับลูกตุ้มและเป็นลบเมื่อใช้กับเกวียน นี่เป็นเพราะกฎข้อที่สามของนิวตัน

${\displaystyle R_{x}=m({\dot {x}}+\ell {\dot {\theta }}^{2}\sin \theta -\ell {\ddot {\theta }}\cos \ ทีต้า )}$

${\displaystyle R_{y}-mg=m(-\ell {\dot {\theta }}^{2}\cos \theta -\ell {\ddot {\theta }}\sin \theta )}$

สมการแรกยอมให้มีวิธีอื่นในการคำนวณแรงปฏิกิริยาในแนวนอนในกรณีที่แรงที่ใช้ ${\displaystyle F}$ไม่เป็นที่รู้จัก สมการที่สองสามารถใช้แก้หาแรงปฏิกิริยาแนวตั้งได้ สมการการเคลื่อนที่ข้อแรกได้มาจากการแทนค่า${\displaystyle F-R_{x}=M{\ddot {x}}}$ เป็น ${\displaystyle R_{x}=m({\dot {x}}+\ell {\dot {\theta }}^{2}\sin \theta -\ell {\ddot {\theta }}\cos \ ทีต้า )}$ ซึ่งให้ผล

${\displaystyle \left(M+m\right){\dot {x}}-m\ell {\ddot {\theta }}\cos \theta +m\ell {\dot {\theta }}^{2 }\sin \theta =F}$

โดยการตรวจสอบสมการนี้จะเหมือนกับผลลัพธ์จากวิธีลากรองจ์ เพื่อให้ได้สมการที่สอง สมการการเคลื่อนที่ของลูกตุ้มต้องจุดด้วยเวกเตอร์หน่วยซึ่งวิ่งในแนวตั้งฉากกับลูกตุ้มตลอดเวลา และโดยทั่วไปจะระบุเป็นพิกัด x ของกรอบลำตัว ในพิกัดเฉื่อยเวกเตอร์นี้สามารถเขียนได้โดยใช้การแปลงพิกัด 2 มิติอย่างง่าย

${\displaystyle {\hat {x}}_{B}=\cos \theta {\hat {x}}_{I}+\sin \theta {\hat {y}}_{I}}$

สมการการเคลื่อนที่ของลูกตุ้มในรูปเวกเตอร์คือ ${\displaystyle \sum {\vec {F}}=m{\vec {a}}_{P/I}}$. แต่งแต้ม${\displaystyle {\hat {x}}_{B}}$ โดยทั้งสองฝ่ายให้ผลลัพธ์ต่อไปนี้ใน LHS (โปรดทราบว่าทรานสโพสเหมือนกับดอทโปรดัค)

${\displaystyle ({\hat {x}}_{B})^{T}\sum {\vec {F}}=({\hat {x}}_{B})^{T}(R_{ x}{\hat {x}}_{I}+R_{y}{\hat {y}}_{I}-mg{\hat {y}}_{I})=({\hat {x }}_{B})^{T}(R_{p}{\hat {y}}_{B}-mg{\hat {y}}_{I})=-mg\sin \theta }$

ในสมการข้างต้นจะใช้ความสัมพันธ์ระหว่างส่วนประกอบเฟรมของร่างกายของแรงปฏิกิริยาและส่วนประกอบเฟรมเฉื่อยของแรงปฏิกิริยา สมมติฐานที่ว่าแท่งที่เชื่อมต่อมวลจุดกับรถเข็นไม่มีมวล แสดงว่าแท่งนี้ไม่สามารถถ่ายโอนน้ำหนักใดๆ ในแนวตั้งฉากกับแท่งได้ ดังนั้น ส่วนประกอบกรอบเฉื่อยของแรงปฏิกิริยาสามารถเขียนได้ง่ายๆ ว่า${\displaystyle R_{p}{\hat {y}}_{B}}$ซึ่งหมายความว่าแท่งสามารถถ่ายโอนโหลดตามแกนของแท่งเท่านั้น ทำให้เกิดสมการอื่นที่สามารถนำมาใช้แก้ความตึงของแกนเองได้

${\displaystyle R_{p}={\sqrt {R_{x}^{2}+R_{y}^{2}}}}$

RHS ของสมการคำนวณโดยดอทติ้ง ${\displaystyle {\hat {x}}_{B}}$ด้วยความเร่งของลูกตุ้ม ผลลัพธ์ (หลังจากการทำให้เข้าใจง่ายขึ้น) แสดงไว้ด้านล่าง

${\displaystyle m({\hat {x}}_{B})^{T}({\vec {a}}_{P/I})=m({\ddot {x}}\cos \theta -\ell {\dot {\theta }})}$

การรวม LHS กับ RHS และหารด้วย m ผลผลิต

${\displaystyle \ell {\ddot {\theta }}-g\sin \theta ={\ddot {x}}\cos \theta }$

ซึ่งเหมือนกับผลลัพธ์ของวิธีการของลากรองจ์อีกครั้ง ประโยชน์ของการใช้วิธีการของนิวตันก็คือ แรงปฏิกิริยาทั้งหมดจะถูกเปิดเผยเพื่อให้แน่ใจว่าไม่มีสิ่งใดเสียหาย

การบรรลุเสถียรภาพของลูกตุ้มคว่ำได้กลายเป็นความท้าทายทางวิศวกรรมทั่วไปสำหรับนักวิจัย ^[4]มีรูปแบบที่แตกต่างกันของลูกตุ้มคว่ำบนเกวียนตั้งแต่แท่งบนเกวียนไปจนถึงลูกตุ้มคว่ำหลายส่วนบนเกวียน อีกรูปแบบหนึ่งวางแท่งลูกตุ้มคว่ำหรือแกนแบ่งส่วนปลายของชุดหมุน ในทั้งสอง (รถเข็นและระบบหมุน) ลูกตุ้มคว่ำสามารถตกได้ในระนาบเท่านั้น ลูกตุ้มคว่ำในโครงการเหล่านี้อาจต้องใช้เพื่อรักษาสมดุลหลังจากบรรลุตำแหน่งดุลยภาพหรือสามารถบรรลุสมดุลได้ด้วยตัวเอง อีกแพลตฟอร์มหนึ่งคือลูกตุ้มคว่ำคว่ำสองล้อที่ทรงตัว แพลตฟอร์มสองล้อมีความสามารถในการหมุนในจุดที่ให้ความคล่องแคล่วอย่างมาก ^[5]ยังมีรูปแบบอื่นที่สมดุลในจุดเดียว ลูกข่างเป็นunicycleหรือลูกตุ้มคว่ำอยู่บนลูกบอลทรงกลมยอดเงินทั้งหมดในจุดเดียว

ภาพวาดแสดงให้เห็นว่าสามารถสร้างลูกตุ้ม Kapitza ได้อย่างไร: มอเตอร์หมุนข้อเหวี่ยงด้วยความเร็วสูง ข้อเหวี่ยงจะสั่นแขนคันโยกขึ้นและลง ซึ่งลูกตุ้มติดอยู่กับเดือย

ลูกตุ้มของ Kapitza

ลูกตุ้มคว่ำซึ่งเดือยหมุนขึ้นและลงอย่างรวดเร็วสามารถคงที่ในตำแหน่งคว่ำได้ นี่เรียกว่าลูกตุ้มของ Kapitzaหลังจากที่นักฟิสิกส์ชาวรัสเซียPyotr Kapitzaวิเคราะห์มันเป็นครั้งแรก สมการการเคลื่อนที่ของลูกตุ้มที่เชื่อมต่อกับฐานที่สั่นไหวแบบไม่มีมวลนั้นได้มาในลักษณะเดียวกับลูกตุ้มบนเกวียน ตำแหน่งของมวลจุดถูกกำหนดโดย:

${\displaystyle \left(-\ell \sin \theta ,y+\ell \cos \theta \right)}$

และความเร็วหาได้จากอนุพันธ์อันดับ 1 ของตำแหน่งดังนี้

${\displaystyle v^{2}={\dot {y}}^{2}-2\ell {\dot {y}}{\dot {\theta }}\sin \theta +\ell ^{2} {\dot {\theta }}^{2}.}$

แผนผังสำหรับลูกตุ้มคว่ำบนฐานแบบสั่น พล็อตแรกแสดงการตอบสนองของลูกตุ้มในการแกว่งช้า วินาทีการตอบสนองเมื่อแกว่งเร็ว

ลากรองจ์สำหรับระบบนี้สามารถเขียนเป็น:

${\displaystyle L={\frac {1}{2}}m\left({\dot {y}}^{2}-2\ell {\dot {y}}{\dot {\theta }}\ sin \theta +\ell ^{2}{\dot {\theta }}^{2}\right)-mg\left(y+\ell \cos \theta \right)}$

และสมการการเคลื่อนที่ดังนี้

${\displaystyle {\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}{\partial {L} \over \partial {\dot {\theta }}}-{\partial {L} \over \partial \theta }=0}$

ที่เกิดขึ้นใน:

${\displaystyle \ell {\ddot {\theta }}-{\ddot {y}}\sin \theta =g\sin \theta .}$

ถ้าปีแสดงให้เห็นถึงการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิก อย่างง่าย ,${\displaystyle y=A\sin \omega t}$สมการอนุพันธ์ต่อไปนี้คือ:

${\displaystyle {\ddot {\theta }}-{g \over \ell }\sin \theta =-{A \over \ell }\omega ^{2}\sin \omega t\sin \theta .}$

สมการนี้ไม่มีคำตอบแบบปิดเบื้องต้น แต่สามารถสำรวจได้หลายวิธี มันใกล้เคียงกับสมการมาติเยอเช่น เมื่อแอมพลิจูดของการแกว่งมีขนาดเล็ก การวิเคราะห์แสดงให้เห็นว่าลูกตุ้มตั้งตรงเพื่อการแกว่งอย่างรวดเร็ว พล็อตแรกแสดงให้เห็นว่าเมื่อ${\displaystyle y}$เป็นการแกว่งช้า ลูกตุ้มจะตกลงมาอย่างรวดเร็วเมื่อถูกรบกวนจากตำแหน่งตั้งตรง มุม${\displaystyle \theta }$เกิน 90° หลังจากช่วงเวลาสั้นๆ ซึ่งหมายความว่าลูกตุ้มตกลงบนพื้น ถ้า${\displaystyle y}$เป็นการแกว่งอย่างรวดเร็ว ลูกตุ้มสามารถคงตัวรอบตำแหน่งแนวตั้งได้ แผนภาพที่สองแสดงให้เห็นว่าเมื่อถูกรบกวนจากตำแหน่งแนวตั้ง ลูกตุ้มจะเริ่มแกว่งไปรอบๆ ตำแหน่งแนวตั้ง (${\displaystyle \theta =0}$). ส่วนเบี่ยงเบนจากตำแหน่งแนวตั้งยังคงน้อย และลูกตุ้มไม่ตก

เบบี้ตัวอย่างที่แพร่หลายมากที่สุดของลูกตุ้มเสถียรกลับเป็นมนุษย์ คนที่ยืนตัวตรงทำหน้าที่เป็นลูกตุ้มคว่ำโดยมีเท้าเป็นแกนหมุน และหากไม่มีการปรับกล้ามเนื้อเล็กๆ น้อยๆ อย่างต่อเนื่องก็จะตกลงมา ระบบประสาทของมนุษย์มีสติข้อเสนอแนะ ระบบการควบคุมที่ความรู้สึกของความสมดุลหรือกิริยาตอบสนองฉับพลันสะท้อนว่าการใช้proprioceptiveข้อมูลจากดวงตากล้ามเนื้อและข้อต่อและใส่ปฐมนิเทศจากระบบขนถ่ายซึ่งประกอบด้วยสามอวัยวะสฺในหูชั้นในและ สองอวัยวะotolithเพื่อปรับกล้ามเนื้อโครงร่างเล็ก ๆ อย่างต่อเนื่องเพื่อให้เรายืนตัวตรง การเดิน วิ่ง หรือทรงตัวบนขาข้างเดียวทำให้เกิดความต้องการเพิ่มเติมในระบบนี้ โรคบางชนิดและแอลกอฮอล์หรือมึนเมาจากยาสามารถรบกวนการสะท้อนกลับนี้ ทำให้เกิดอาการวิงเวียนศีรษะและความไม่สมดุลการไม่สามารถยืนตัวตรงได้ การทดสอบความสุขุมภาคสนามที่ตำรวจใช้เพื่อทดสอบคนขับเกี่ยวกับอิทธิพลของแอลกอฮอล์หรือยาเสพติด ทดสอบการสะท้อนกลับนี้เพื่อหาความบกพร่อง

ตัวอย่างง่ายๆ ได้แก่ การทรงตัวไม้กวาดหรือไม้วัดด้วยมือ

ลูกตุ้มคว่ำได้ถูกนำมาใช้ในอุปกรณ์ต่าง ๆ และพยายามปรับสมดุลลูกตุ้มคว่ำทำให้เกิดปัญหาทางวิศวกรรมที่ไม่เหมือนใครสำหรับนักวิจัย ^[6]ลูกตุ้มคว่ำเป็นองค์ประกอบหลักในการออกแบบเครื่องวัดคลื่นไหวสะเทือนแบบต้น ๆ หลายตัวเนืองจากความไม่แน่นอนโดยธรรมชาติซึ่งส่งผลให้เกิดการตอบสนองต่อสิ่งรบกวนใด ๆ ที่วัดได้ ^[7]

รูปแบบลูกตุ้มกลับถูกนำมาใช้ในบางที่ผ่านมาการขนส่งส่วนบุคคลเช่นสองล้อสกูตเตอร์ตัวเองสมดุลและเดี่ยวล้อunicycles ไฟฟ้า อุปกรณ์เหล่านี้ไม่เสถียรทางจลนศาสตร์และใช้ระบบเซอร์โวป้อนกลับแบบอิเล็กทรอนิกส์เพื่อให้ตั้งตรง

การแกว่งลูกตุ้มบนเกวียนเป็นลูกตุ้มคว่ำถือเป็นปัญหา/เกณฑ์มาตรฐานของเล่นควบคุมที่ดีที่สุด ^{[8] [9]}

วิถีของเสาเกวียนเวลาคงที่จะแกว่งขึ้นเพื่อลดแรงยกกำลังสอง

• ลูกตุ้มคว่ำคู่
• ลูกตุ้มล้อเฉื่อย
• ลูกตุ้มฟุรุตะ
• ไอบอท
• หุ่นยนต์ฮิวแมนนอยด์
• บอลบอต

• D. Liberzon Switching in Systems and Control (2003 Springer) หน้า 89ff

• แฟรงคลิน; และคณะ (2005). การควบคุมคำติชมของระบบไดนามิก , 5, Prentice Hall ไอเอสบีเอ็น 0-13-149930-0

• YouTube - Inverted Pendulum - Demo #3
• YouTube - ลูกตุ้มคว่ำ
• YouTube - ลูกตุ้มคู่บนรถเข็น
• YouTube - ลูกตุ้มสามตัวบนรถเข็น
• การจำลองแบบไดนามิกของลูกตุ้มผกผันบนฐานการสั่น
• Inverted Pendulum: การวิเคราะห์ การออกแบบ และการใช้งาน
• การแกว่งขึ้นแบบไม่เชิงเส้นและการควบคุมเสถียรภาพของระบบลูกตุ้มคว่ำ
• การควบคุมความไม่เสถียรของระบบลูกตุ้มคว่ำ^{[ ลิงค์ตายถาวร ]}
• บล็อกโพสต์บนลูกตุ้มคว่ำพร้อมรหัส Python
• สมการการเคลื่อนที่สำหรับรถเข็นและงานควบคุมเสา