อินทิกรัล

จาก Wikipedia สารานุกรมเสรี
ข้ามไปที่การนำทางข้ามไปที่การค้นหา
Definite integral example
อินทิกรัลที่แน่นอนของฟังก์ชันสามารถแสดงเป็นพื้นที่ลงนามของพื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยกราฟ

ในวิชาคณิตศาสตร์เป็นหนึ่งหมายเลขที่กำหนดให้กับฟังก์ชั่นในทางที่อธิบายการเคลื่อนที่พื้นที่ปริมาตรและแนวคิดอื่น ๆ ที่เกิดขึ้นโดยการรวมเล็กข้อมูล กระบวนการในการหาปริพันธ์ที่เรียกว่าบูรณาการพร้อมกับความแตกต่างของการรวมเป็นพื้นฐานในการดำเนินงานที่สำคัญของแคลคูลัส , [เป็น]และทำหน้าที่เป็นเครื่องมือในการแก้ปัญหาในวิชาคณิตศาสตร์และฟิสิกส์ที่เกี่ยวข้องกับพื้นที่ของรูปทรงพลความยาวของเส้นโค้งและปริมาตรของของแข็ง ท่ามกลางคนอื่น ๆ.

ปริพันธ์แจกแจงที่นี่มีผู้เรียกว่าintegrals ชัดเจนซึ่งสามารถตีความได้อย่างเป็นทางการว่าได้ลงนามในพื้นที่ของภูมิภาคในเครื่องบินที่ถูกล้อมรอบด้วยกราฟของที่กำหนดฟังก์ชั่นระหว่างจุดสองจุดในเส้นจริงโดยปกติพื้นที่เหนือแกนนอนของระนาบจะเป็นค่าบวกในขณะที่พื้นที่ด้านล่างเป็นลบ อินทิกรัลยังอ้างถึงแนวคิดของแอนติเดอร์ไดเอทีฟซึ่งเป็นฟังก์ชันที่อนุพันธ์เป็นฟังก์ชันที่กำหนด ในกรณีนี้พวกเขาจะเรียกปริพันธ์ไม่แน่นอน ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัส เกี่ยวข้องกับอินทิกรัลที่แน่นอนกับการสร้างความแตกต่างและจัดเตรียมวิธีการคำนวณอินทิกรัลที่แน่นอนของฟังก์ชันเมื่อทราบการต่อต้าน

แม้ว่าวิธีการคำนวณพื้นที่และปริมาตรที่มาจากคณิตศาสตร์กรีกโบราณหลักการของการรวมได้รับการกำหนดโดยอิสระโดยIsaac NewtonและGottfried Wilhelm Leibnizในช่วงปลายศตวรรษที่ 17 ซึ่งคิดว่าพื้นที่ใต้เส้นโค้งเป็นผลรวมของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีความกว้างไม่สิ้นสุด . ต่อมาBernhard Riemannได้ให้คำจำกัดความที่เข้มงวดของปริพันธ์ซึ่งเป็นไปตามขั้นตอนการ จำกัด ที่ใกล้เคียงกับพื้นที่ของส่วนโค้งโดยการแบ่งพื้นที่ออกเป็นแผ่นแนวตั้งบาง ๆ

อินทิกรัลอาจเป็นแบบทั่วไปขึ้นอยู่กับประเภทของฟังก์ชันและโดเมนที่ดำเนินการอินทิเกรต ตัวอย่างเช่นอินทิกรัลบรรทัดถูกกำหนดสำหรับฟังก์ชันของตัวแปรสองตัวขึ้นไปและช่วงเวลาของการรวมจะถูกแทนที่ด้วยเส้นโค้งที่เชื่อมต่อจุดสิ้นสุดทั้งสองของช่วงเวลา ในหนึ่งพื้นผิวโค้งจะถูกแทนที่ด้วยชิ้นส่วนของที่พื้นผิวในสามมิติพื้นที่

ประวัติ[ แก้ไข]

การรวมก่อนแคลคูลัส[ แก้ไข]

เทคนิคระบบแรกที่มีการบันทึกไว้ซึ่งสามารถกำหนดปริพันธ์ได้คือวิธีการอ่อนล้าของนักดาราศาสตร์ชาวกรีกโบราณEudoxus ( ประมาณ 370 ปีก่อนคริสตกาล) ซึ่งพยายามหาพื้นที่และปริมาตรโดยการแยกออกเป็นหน่วยหารจำนวนไม่ จำกัด ซึ่งพื้นที่หรือปริมาตร เป็นที่รู้จัก[1]วิธีนี้ได้รับการพัฒนาต่อไปและการจ้างงานโดยArchimedesในศตวรรษที่ 3 และใช้ในการคำนวณพื้นที่ของวงกลมที่พื้นที่ผิวและปริมาณของทรงกลม , พื้นที่วงรีพื้นที่ใต้โค้งปริมาณของส่วนของที่paraboloidของการปฏิวัติปริมาณของส่วนของที่hyperboloidของการปฏิวัติและพื้นที่ของการเป็นเกลียว [2]

วิธีการที่คล้ายกันนี้ได้รับการพัฒนาอย่างอิสระในประเทศจีนราวคริสต์ศตวรรษที่ 3 โดยLiu Huiผู้ซึ่งใช้วิธีนี้เพื่อค้นหาพื้นที่ของวงกลม วิธีนี้ถูกนำมาใช้ในศตวรรษที่ 5 โดยนักคณิตศาสตร์พ่อและลูกชาวจีนZu ChongzhiและZu Gengเพื่อหาปริมาตรของทรงกลม [3]

ในตะวันออกกลาง, ฮะซัน Ibn al-Haytham, Latinized เป็นAlhazen ( c.  965  - c.  1040  AD) มาสูตรสำหรับผลรวมของอำนาจที่สี่ [4]เขาใช้ผลลัพธ์เพื่อทำสิ่งที่เรียกว่าการรวมของฟังก์ชันนี้โดยที่สูตรสำหรับผลรวมของกำลังสองอินทิกรัลและพาวเวอร์ที่สี่ทำให้เขาสามารถคำนวณปริมาตรของพาราโบลาได้[5]

ความก้าวหน้าที่สำคัญต่อไปในแคลคูลัสเชิงปริพันธ์ไม่ได้เริ่มปรากฏจนกระทั่งศตวรรษที่ 17 ในเวลานี้ผลงานของCavalieriด้วยวิธีการแบ่งแยกไม่ได้และผลงานของแฟร์มาต์เริ่มวางรากฐานของแคลคูลัสสมัยใหม่[6]โดยคาวาเลียรีคำนวณปริพันธ์ของx nถึงระดับn = 9ในสูตรการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสของคาวาเลียรี[7]ขั้นตอนต่อไปเกิดขึ้นในช่วงต้นศตวรรษที่ 17 โดยBarrowและTorricelliซึ่งเป็นผู้ให้คำแนะนำแรกของการเชื่อมต่อระหว่างการผสมผสานและการสร้างความแตกต่าง. สาลี่ให้หลักฐานแรกของทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัส [8] วาลลิสใช้วิธีการทั่วไปของคาวาเลียรีโดยคำนวณปริพันธ์ของxเป็นกำลังทั่วไปรวมทั้งพลังลบและพลังเศษส่วน [9]

ไลบนิซและนิวตัน[ แก้ไข]

ความก้าวหน้าที่สำคัญในการบูรณาการเข้ามาในศตวรรษที่ 17 ที่มีการค้นพบอิสระจากทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัสโดยไลบ์นิซและนิวตัน [10]ทฤษฎีบทแสดงให้เห็นถึงความเชื่อมโยงระหว่างการรวมและการสร้างความแตกต่าง การเชื่อมต่อนี้รวมกับความง่ายในการเปรียบเทียบความแตกต่างสามารถใช้เพื่อคำนวณอินทิกรัลได้ โดยเฉพาะอย่างยิ่งทฤษฎีบทพื้นฐานของแคลคูลัสช่วยให้สามารถแก้ปัญหาในระดับที่กว้างขึ้นได้มาก ความสำคัญเท่ากันคือกรอบทางคณิตศาสตร์ที่ครอบคลุมที่ทั้งไลบนิซและนิวตันพัฒนาขึ้น ด้วยชื่อแคลคูลัสเพียงเล็กน้อยทำให้สามารถวิเคราะห์ฟังก์ชันภายในโดเมนต่อเนื่องได้อย่างแม่นยำ กรอบนี้กลายเป็นแคลคูลัสสมัยใหม่ในที่สุดซึ่งสัญกรณ์สำหรับปริพันธ์นั้นดึงมาจากผลงานของไลบนิซโดยตรง

การทำให้เป็นทางการ[ แก้ไข]

ในขณะที่นิวตันและไลบ์นิซให้แนวทางที่เป็นระบบเพื่อบูรณาการการทำงานของพวกเขาขาดการศึกษาระดับปริญญาของความรุนแรง บาร์กลีย์จดจำโจมตีเพิ่มขึ้นหายไปโดยใช้นิวตันเรียก " ผีของปริมาณออก " [11]แคลคูลัสมาฐานรากที่กระชับกับการพัฒนาขีด จำกัดบูรณาการอย่างจริงจังเป็นครั้งแรกอย่างเป็นทางการโดยใช้ขีด จำกัด โดยRiemann [12]แม้ว่าฟังก์ชันต่อเนื่องแบบทีละขอบเขตทั้งหมดจะรวม Riemann ได้ในช่วงเวลาที่มีขอบเขต แต่ต่อมาจึงมีการพิจารณาฟังก์ชันทั่วไปมากขึ้นโดยเฉพาะอย่างยิ่งในบริบทของการวิเคราะห์ฟูริเยร์ซึ่งคำจำกัดความของ Riemann ใช้ไม่ได้และLebesgue ได้กำหนดนิยามที่แตกต่างกันของอินทิกรัลซึ่งก่อตั้งขึ้นในทฤษฎีการวัด (ช่องย่อยของการวิเคราะห์จริง ) มีการเสนอคำจำกัดความอื่น ๆ ของอินทิกรัลที่ขยายแนวทางของ Riemann และ Lebesgue วิธีการเหล่านี้ตามระบบจำนวนจริงเป็นวิธีที่พบมากที่สุดในปัจจุบัน แต่มีแนวทางอื่นเช่นคำจำกัดความของอินทิกรัลเป็นส่วนมาตรฐานของผลรวม Riemann ที่ไม่มีที่สิ้นสุดตามระบบ จำนวนไฮเปอร์เรียล

สัญกรณ์ประวัติศาสตร์[ แก้ไข]

Gottfried Wilhelm Leibnizได้นำสัญกรณ์สำหรับอินทิกรัลที่ไม่มีกำหนดมาใช้ในปี ค.ศ. 1675 [13]เขาดัดแปลงสัญลักษณ์อินทิกรัจากตัวอักษรſ ( ยาว s ) โดยย่อมาจากsumma (เขียนเป็นſummaละตินสำหรับ "sum" หรือ " รวม"). สัญกรณ์สมัยใหม่สำหรับอินทิกรัลที่ชัดเจนโดยมีขีด จำกัด ด้านบนและด้านล่างของเครื่องหมายอินทิกรัลถูกใช้ครั้งแรกโดยโจเซฟฟูริเยร์ในเมมัวเรสของสถาบันการศึกษาของฝรั่งเศสประมาณปี พ.ศ. 2362–20 พิมพ์ซ้ำในหนังสือของเขาในปี พ.ศ. 2365 [14]

Isaac Newtonใช้แถบแนวตั้งเล็ก ๆ เหนือตัวแปรเพื่อระบุการรวมหรือวางตัวแปรไว้ในกล่อง แถบแนวตั้งสับสนได้ง่าย.xหรือxซึ่งใช้เพื่อบ่งชี้ความแตกต่างและสัญกรณ์กล่องนั้นยากสำหรับเครื่องพิมพ์ที่จะทำซ้ำดังนั้นจึงไม่ได้นำสัญกรณ์เหล่านี้มาใช้อย่างแพร่หลาย [15]

การใช้คำครั้งแรก[ แก้ไข]

คำนี้พิมพ์เป็นภาษาละตินครั้งแรกโดยJacob Bernoulliในปี 1690: "Ergo et horum Integralia aequantur" [16]

ศัพท์และสัญกรณ์[ แก้ไข]

โดยทั่วไปอินทิกรัลของฟังก์ชันมูลค่าจริง f ( x )เทียบกับตัวแปรจริงxในช่วงเวลา[ a , b ]ถูกเขียนเป็น

เครื่องหมายอินทิกรัลแสดงถึงการรวม (ในที่ทันสมัยสัญกรณ์คณิตศาสตร์ภาษาอาหรับเป็นสัญลักษณ์หนึ่งที่สะท้อนให้เห็นจะใช้. [17] ) สัญลักษณ์DXที่เรียกว่าค่าของตัวแปรxแสดงให้เห็นว่าตัวแปรของการรวมเป็นxฟังก์ชันf ( x )เรียกว่าปริพันธ์จุดaและbเรียกว่าขีด จำกัด ของการรวมและอินทิกรัลถูกกล่าวว่าอยู่เหนือช่วงเวลา[ a , b ]เรียกว่าช่วงเวลาของการรวม[18] ฟังก์ชั่นการกล่าวถึงเป็นintegrable ถ้าอินทิกรัลเหนือโดเมนมีขอบเขต จำกัด และเมื่อมีการระบุขีด จำกัด อินทิกรัลจะเรียกว่าอินทิกรัลที่แน่นอน

เมื่อขีด จำกัด ถูกละเว้นเช่นเดียวกับใน

หนึ่งจะเรียกว่าหนึ่งไม่แน่นอนซึ่งหมายถึงระดับของฟังก์ชั่น (คนปฏิยานุพันธ์ ) ที่มีอนุพันธ์ integrand [19]ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัสเกี่ยวข้องกับการประเมินผลของ integrals ชัดเจนเพื่อปริพันธ์ไม่แน่นอน มีหลายส่วนขยายของสัญกรณ์สำหรับอินทิกรัลเพื่อรวมการรวมกับโดเมนที่ไม่ถูกผูกไว้และ / หรือในหลายมิติ (ดูส่วนต่อไปของบทความนี้)

ในการตั้งค่าขั้นสูงไม่ใช่เรื่องแปลกที่จะละเว้น dxเมื่อมีการใช้เพียงอินทิกรัล Riemann ธรรมดาเท่านั้นหรืออินทิกรัลที่แน่นอนนั้นไม่เป็นสาระสำคัญ ตัวอย่างเช่นเราอาจเขียนเพื่อแสดงความเป็นเชิงเส้นของอินทิกรัลซึ่งเป็นคุณสมบัติที่ใช้ร่วมกันโดยปริพันธ์ของ Riemann และข้อมูลทั่วไปทั้งหมด [20]

การตีความ[ แก้ไข]

การประมาณค่าอินทิกรัลของxตั้งแต่ 0 ถึง 1 โดยมีพาร์ติชันปลายทางด้านขวาสีเหลือง 5 พาร์ติชันและพาร์ติชันปลายทางด้านซ้ายสีเขียว 12 พาร์ติชัน

ปริพันธ์ปรากฏในสถานการณ์จริงหลายประการ ตัวอย่างเช่นจากความยาวความกว้างและความลึกของสระว่ายน้ำซึ่งเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าก้นแบนเราสามารถกำหนดปริมาตรน้ำที่สามารถบรรจุได้พื้นที่ผิวและความยาวของขอบสระ แต่ถ้าเป็นวงรีที่มีก้นมนต้องใช้อินทิกรัลเพื่อหาค่าที่แน่นอนและเข้มงวดสำหรับปริมาณเหล่านี้ ในแต่ละกรณีเราอาจแบ่งปริมาณที่ต้องการออกเป็นชิ้นเล็กชิ้นน้อยจำนวนมากจากนั้นจึงรวมชิ้นส่วนเพื่อให้ได้ค่าประมาณที่ถูกต้อง

ตัวอย่างเช่นในการค้นหาพื้นที่ของพื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยกราฟของฟังก์ชันf ( x ) = xระหว่างx = 0และx = 1เราสามารถข้ามช่วงเวลาได้ในห้าขั้นตอน ( 0, 1/5, 2 / 5, ... , 1 ) จากนั้นเติมสี่เหลี่ยมโดยใช้ความสูงปลายด้านขวาของแต่ละชิ้น (ดังนั้น0 , 1/5 , 2/5 , ... , 1 ) และรวมพื้นที่เพื่อให้ได้ ค่าประมาณของ

ซึ่งมากกว่าค่าที่แน่นอน หรืออีกวิธีหนึ่งคือเมื่อแทนที่ช่วงย่อยเหล่านี้ด้วยความสูงด้านซ้ายสุดของแต่ละชิ้นค่าประมาณจะต่ำเกินไป: ด้วยช่วงย่อย 12 ช่วงดังกล่าวพื้นที่โดยประมาณจะมีค่าเพียง 0.6203 อย่างไรก็ตามเมื่อจำนวนชิ้นเพิ่มขึ้นจนไม่มีที่สิ้นสุดก็จะถึงขีด จำกัด ซึ่งเป็นค่าที่แน่นอนของพื้นที่ที่ต้องการ (ในกรณีนี้คือ2/3 ) หนึ่งเขียน

ซึ่งหมายถึง2/3เป็นผลมาจากผลรวมถ่วงน้ำหนักของค่าฟังก์ชั่นxคูณด้วยความกว้างของขั้นตอนเล็กแสดงโดยDXในช่วง[0, 1]

ผลรวม Darboux
Darboux ผลรวมบนของฟังก์ชันy = x 2
Darboux ผลรวมที่ต่ำกว่าของฟังก์ชันy = x 2

คำจำกัดความที่เป็นทางการ[ แก้ไข]

ผลรวมของ Riemann มาบรรจบกัน

มีหลายวิธีในการกำหนดอินทิกรัลอย่างเป็นทางการซึ่งไม่ใช่ทั้งหมดที่เทียบเท่า ความแตกต่างส่วนใหญ่เกิดขึ้นเพื่อจัดการกับกรณีพิเศษที่แตกต่างกันซึ่งอาจไม่สามารถรวมเข้าด้วยกันได้ภายใต้คำจำกัดความอื่น ๆ แต่ก็มีเหตุผลด้านการสอนเป็นครั้งคราว คำจำกัดความที่ใช้บ่อยที่สุดคือปริพันธ์ Riemann และปริพันธ์ Lebesgue

รีมันน์อินทิกรัล[ แก้ไข]

อินทิกรัล Riemann ถูกกำหนดในแง่ของผลรวมของฟังก์ชันRiemann ตามพาร์ติชันที่ติดแท็กของช่วงเวลา[21]พาร์ติชันที่ติดแท็กของช่วงเวลาปิด [ a , b ]บนเส้นจริงเป็นลำดับที่ จำกัด

พาร์ติชันนี้แบ่งช่วงเวลา[ a , b ]เป็นnช่วงย่อย[ x i −1 , x i ] ที่จัดทำดัชนีโดยiซึ่งแต่ละรายการจะ "แท็ก" ด้วยจุดที่แตกต่างt i ∈ [ x i −1 , x i ] . Riemann ผลรวมของฟังก์ชันด้วยความเคารพเช่นพาร์ทิชันที่ติดแท็กถูกกำหนดให้เป็น

ดังนั้นแต่ละเทอมของผลรวมคือพื้นที่ของสี่เหลี่ยมที่มีความสูงเท่ากับค่าฟังก์ชัน ณ จุดที่แตกต่างของช่วงย่อยที่กำหนดและความกว้างเท่ากับความกว้างของช่วงเวลาย่อยΔ i = x i - x i −1 . ตาข่ายของแท็กเช่นพาร์ทิชันคือความกว้างของที่ใหญ่ที่สุดย่อยช่วงเวลาที่เกิดขึ้นจากพาร์ทิชันที่สูงสุดฉัน = 1 ... n Δฉันหนึ่ง Riemannของฟังก์ชันมากกว่าช่วง[ , ]เท่ากับSหาก: [22]

สำหรับทั้งหมดที่มีอยู่เช่นว่าสำหรับพาร์ทิชันที่ติดแท็กใด ๆกับตาข่ายน้อยกว่า,

เมื่อแท็กได้รับการแต่งตั้งให้สูงสุด (ตามลำดับต่ำสุด) ค่าของแต่ละช่วงเวลารวม Riemann กลายเป็นบน (ตามลำดับลดลง) รวม Darbouxแนะนำการเชื่อมต่ออย่างใกล้ชิดระหว่างหนึ่ง Riemann และหนึ่ง Darboux

Lebesgue integral [ แก้ไข]

การรวมของ Riemann – Darboux (ด้านบน) และการรวม Lebesgue (ด้านล่าง)

มักเป็นที่สนใจทั้งในทางทฤษฎีและการประยุกต์ใช้เพื่อให้สามารถผ่านไปยังขีด จำกัด ภายใต้อินทิกรัล ตัวอย่างเช่นลำดับของฟังก์ชั่นมักจะถูกสร้างขึ้นโดยประมาณในความหมายที่เหมาะสมในการแก้ปัญหา จากนั้นอินทิกรัลของฟังก์ชันการแก้ปัญหาควรเป็นขีด จำกัด ของปริพันธ์ของการประมาณ อย่างไรก็ตามฟังก์ชั่นมากมายที่สามารถรับได้ตามขีด จำกัด นั้นไม่สามารถผสานรวมกับ Riemann ได้ดังนั้นทฤษฎีบทขีด จำกัด ดังกล่าวจึงไม่ถือกับปริพันธ์ของ Riemann ดังนั้นจึงมีความสำคัญอย่างยิ่งที่จะต้องมีคำจำกัดความของอินทิกรัลที่ช่วยให้สามารถรวมคลาสฟังก์ชันที่กว้างขึ้นได้[23]

อินทิกรัลดังกล่าวคืออินทิกรัล Lebesgue ซึ่งใช้ประโยชน์จากข้อเท็จจริงต่อไปนี้เพื่อขยายคลาสของฟังก์ชันที่รวมได้: ถ้าค่าของฟังก์ชันถูกจัดเรียงใหม่บนโดเมนอินทิกรัลของฟังก์ชันควรจะยังคงเหมือนเดิม ดังนั้นHenri Lebesgueจึงแนะนำส่วนประกอบที่มีชื่อของเขาโดยอธิบายถึงส่วนประกอบนี้ในจดหมายถึงPaul Montel : [24]

ฉันต้องจ่ายเงินจำนวนหนึ่งซึ่งฉันได้รวบรวมไว้ในกระเป๋าของฉัน ฉันนำธนบัตรและเหรียญออกจากกระเป๋าและมอบให้กับเจ้าหนี้ตามลำดับที่ฉันพบจนกว่าจะได้เงินรวมทั้งหมด นี่คือปริพันธ์ของ Riemann แต่ฉันสามารถดำเนินการต่างออกไป หลังจากที่ฉันนำเงินทั้งหมดออกจากกระเป๋าของฉันฉันก็สั่งซื้อตั๋วเงินและเหรียญตามมูลค่าที่เหมือนกันจากนั้นฉันก็จ่ายเงินหลายกองให้กับเจ้าหนี้ นี่คืออินทิกรัลของฉัน

ดังที่ Folland กล่าวไว้ว่า "ในการคำนวณปริพันธ์ Riemann ของf จะแบ่งโดเมน[ a , b ]เป็นช่วงย่อย" ในขณะที่อยู่ในอินทิกรัล Lebesgue "อันหนึ่งมีผลในการแบ่งช่วงของf " [25]คำจำกัดความของอินทิกรัล Lebesgue จึงเริ่มต้นด้วยการวัด μ ในกรณีที่ง่ายที่สุดLebesgue จะวัด μ ( A )ของช่วงเวลาA = [ a , b ]คือความกว้างb - aเพื่อให้อินทิกรัล Lebesgue เห็นด้วยกับปริพันธ์ (เหมาะสม) Riemann เมื่อทั้งสองมีอยู่[26]ในกรณีที่ซับซ้อนมากขึ้นชุดที่วัดสามารถแยกส่วนได้อย่างมากโดยไม่มีความต่อเนื่องและไม่มีความคล้ายคลึงกับช่วงเวลา

การใช้ "การแบ่งช่วงของ " ปรัชญาหนึ่งของฟังก์ชั่นที่ไม่ใช่เชิงลบ  : RRควรจะรวมกว่าตันในพื้นที่ระหว่างเส้นแนวนอนบาง ๆ ระหว่างY = TและY = T + dtบริเวณนี้เป็นเพียงμ { x  : F ( x )> เสื้อ }  dtให้f ( t ) = μ { x  : f ( x)> t } จากนั้นอินทิกรัล Lebesgue ของfจะถูกกำหนดโดย

โดยที่อินทิกรัลทางด้านขวาเป็นปริพันธ์ Riemann ธรรมดาที่ไม่เหมาะสม ( f เป็นฟังก์ชันเชิงบวกที่ลดลงอย่างเคร่งครัดดังนั้นจึงมีอินทิกรัล Riemann ที่ไม่เหมาะสมที่กำหนดไว้อย่างชัดเจน ) [27]สำหรับคลาสของฟังก์ชันที่เหมาะสม (ฟังก์ชันที่วัดได้ ) สิ่งนี้กำหนดอินทิกรัล Lebesgue

ฟังก์ชันที่วัดได้ทั่วไปfคือ Lebesgue-integrable หากผลรวมของค่าสัมบูรณ์ของพื้นที่ของพื้นที่ระหว่างกราฟของfและx -axis มีจำนวน จำกัด : [28]

ในกรณีนั้นอินทิกรัลคือเช่นเดียวกับในกรณีรีมันเนียนความแตกต่างระหว่างพื้นที่เหนือแกนxและพื้นที่ด้านล่างแกนx : [29]

ที่ไหน

ปริพันธ์อื่น ๆ[ แก้ไข]

แม้ว่าปริพันธ์ของ Riemann และ Lebesgue จะเป็นคำจำกัดความที่ใช้กันอย่างแพร่หลายของอินทิกรัล แต่ก็มีอีกหลายตัวที่มีอยู่ ได้แก่ :

  • หนึ่ง Darbouxซึ่งถูกกำหนดโดย Darboux เงินก้อน ( จำกัด จำนวนเงิน Riemann) ยังเทียบเท่ากับหนึ่ง Riemann - ฟังก์ชั่นเป็น Darboux-integrable และถ้าหากมันเป็น Riemann-integrable ปริพันธ์ Darboux มีข้อได้เปรียบในการกำหนดได้ง่ายกว่าปริพันธ์ของ Riemann
  • หนึ่ง Riemann-Stieltjesเป็นส่วนขยายของ Riemann หนึ่งซึ่งรวมส่วนที่เกี่ยวกับฟังก์ชั่นเมื่อเทียบกับตัวแปร
  • Lebesgue หนึ่ง-Stieltjesพัฒนาต่อไปโดยโยฮันน์เรดอนซึ่ง generalizes ทั้ง Riemann-Stieltjes และเกอปริพันธ์
  • หนึ่งนีลล์ซึ่ง subsumes Lebesgue หนึ่งและเกอ-Stieltjes หนึ่งโดยไม่ต้องขึ้นอยู่กับมาตรการ
  • หนึ่ง Haarใช้สำหรับการรวมกลุ่มทอพอโลยีที่มีขนาดกะทัดรัดในประเทศนำโดยอัลเฟรดฮาร์ในปี 1933
  • The Henstock–Kurzweil integral, variously defined by Arnaud Denjoy, Oskar Perron, and (most elegantly, as the gauge integral) Jaroslav Kurzweil, and developed by Ralph Henstock.
  • The Itô integral and Stratonovich integral, which define integration with respect to semimartingales such as Brownian motion.
  • The Young integral, which is a kind of Riemann–Stieltjes integral with respect to certain functions of unbounded variation.
  • The rough path integral, which is defined for functions equipped with some additional "rough path" structure and generalizes stochastic integration against both semimartingales and processes such as the fractional Brownian motion.
  • The Choquet integral, a subadditive or superadditive integral created by the French mathematician Gustave Choquet in 1953.

Properties[edit]

Linearity[edit]

The collection of Riemann-integrable functions on a closed interval [a, b] forms a vector space under the operations of pointwise addition and multiplication by a scalar, and the operation of integration

is a linear functional on this vector space. Thus, the collection of integrable functions is closed under taking linear combinations, and the integral of a linear combination is the linear combination of the integrals:[30]

Similarly, the set of real-valued Lebesgue-integrable functions on a given measure space E with measure μ is closed under taking linear combinations and hence form a vector space, and the Lebesgue integral

is a linear functional on this vector space, so that:[29]

More generally, consider the vector space of all measurable functions on a measure space (E,μ), taking values in a locally compact complete topological vector space V over a locally compact topological field K, f : EV. Then one may define an abstract integration map assigning to each function f an element of V or the symbol ,

that is compatible with linear combinations.[31] In this situation, the linearity holds for the subspace of functions whose integral is an element of V (i.e. "finite"). The most important special cases arise when K is R, C, or a finite extension of the field Qp of p-adic numbers, and V is a finite-dimensional vector space over K, and when K = C and V is a complex Hilbert space.

Linearity, together with some natural continuity properties and normalization for a certain class of "simple" functions, may be used to give an alternative definition of the integral. This is the approach of Daniell for the case of real-valued functions on a set X, generalized by Nicolas Bourbaki to functions with values in a locally compact topological vector space. See Hildebrandt 1953 for an axiomatic characterization of the integral.

Inequalities[edit]

A number of general inequalities hold for Riemann-integrable functions defined on a closed and bounded interval [a, b] and can be generalized to other notions of integral (Lebesgue and Daniell).

  • Upper and lower bounds. An integrable function f on [a, b], is necessarily bounded on that interval. Thus there are real numbers m and M so that mf (x) ≤ M for all x in [a, b]. Since the lower and upper sums of f over [a, b] are therefore bounded by, respectively, m(ba) and M(ba), it follows that
  • Inequalities between functions.[32] If f(x) ≤ g(x) for each x in [a, b] then each of the upper and lower sums of f is bounded above by the upper and lower sums, respectively, of g. Thus
This is a generalization of the above inequalities, as M(ba) is the integral of the constant function with value M over [a, b].
In addition, if the inequality between functions is strict, then the inequality between integrals is also strict. That is, if f(x) < g(x) for each x in [a, b], then
  • Subintervals. If [c, d] is a subinterval of [a, b] and f(x) is non-negative for all x, then
  • Products and absolute values of functions. If f and g are two functions, then we may consider their pointwise products and powers, and absolute values:
If f is Riemann-integrable on [a, b] then the same is true for |f|, and
Moreover, if f and g are both Riemann-integrable then fg is also Riemann-integrable, and
This inequality, known as the Cauchy–Schwarz inequality, plays a prominent role in Hilbert space theory, where the left hand side is interpreted as the inner product of two square-integrable functions f and g on the interval [a, b].
  • Hölder's inequality.[33] Suppose that p and q are two real numbers, 1 ≤ p, q ≤ ∞ with 1/p + 1/q = 1, and f and g are two Riemann-integrable functions. Then the functions |f|p and |g|q are also integrable and the following Hölder's inequality holds:
For p = q = 2, Hölder's inequality becomes the Cauchy–Schwarz inequality.
  • Minkowski inequality.[33] Suppose that p ≥ 1 is a real number and f and g are Riemann-integrable functions. Then | f |p, | g |p and | f + g |p are also Riemann-integrable and the following Minkowski inequality holds:
An analogue of this inequality for Lebesgue integral is used in construction of Lp spaces.

Conventions[edit]

In this section, f is a real-valued Riemann-integrable function. The integral

over an interval [a, b] is defined if a < b. This means that the upper and lower sums of the function f are evaluated on a partition a = x0x1 ≤ . . . ≤ xn = b whose values xi are increasing. Geometrically, this signifies that integration takes place "left to right", evaluating f within intervals [xi , xi +1] where an interval with a higher index lies to the right of one with a lower index. The values a and b, the end-points of the interval, are called the limits of integration of f. Integrals can also be defined if a > b:[18]

With a = b, this implies:

The first convention is necessary in consideration of taking integrals over subintervals of [a, b]; the second says that an integral taken over a degenerate interval, or a point, should be zero. One reason for the first convention is that the integrability of f on an interval [a, b] implies that f is integrable on any subinterval [c, d], but in particular integrals have the property that if c is any element of [a, b], then:[30]

With the first convention, the resulting relation

is then well-defined for any cyclic permutation of a, b, and c.

Fundamental theorem of calculus[edit]

The fundamental theorem of calculus is the statement that differentiation and integration are inverse operations: if a continuous function is first integrated and then differentiated, the original function is retrieved.[34] An important consequence, sometimes called the second fundamental theorem of calculus, allows one to compute integrals by using an antiderivative of the function to be integrated.[35]

First theorem[edit]

Let f be a continuous real-valued function defined on a closed interval [a, b]. Let F be the function defined, for all x in [a, b], by

Then, F is continuous on [a, b], differentiable on the open interval (a, b), and

for all x in (a, b).

Second theorem[edit]

Let f be a real-valued function defined on a closed interval [a, b] that admits an antiderivative F on [a, b]. That is, f and F are functions such that for all x in [a, b],

If f is integrable on [a, b] then

Extensions[edit]

Improper integrals[edit]

The improper integral has unbounded intervals for both domain and range.

A "proper" Riemann integral assumes the integrand is defined and finite on a closed and bounded interval, bracketed by the limits of integration. An improper integral occurs when one or more of these conditions is not satisfied. In some cases such integrals may be defined by considering the limit of a sequence of proper Riemann integrals on progressively larger intervals.

If the interval is unbounded, for instance at its upper end, then the improper integral is the limit as that endpoint goes to infinity:[36]

If the integrand is only defined or finite on a half-open interval, for instance (a, b], then again a limit may provide a finite result:[37]

That is, the improper integral is the limit of proper integrals as one endpoint of the interval of integration approaches either a specified real number, or , or −∞. In more complicated cases, limits are required at both endpoints, or at interior points.

Multiple integration[edit]

Double integral computes volume under a surface

Just as the definite integral of a positive function of one variable represents the area of the region between the graph of the function and the x-axis, the double integral of a positive function of two variables represents the volume of the region between the surface defined by the function and the plane that contains its domain.[38] For example, a function in two dimensions depends on two real variables, x and y, and the integral of a function f over the rectangle R given as the Cartesian product of two intervals can be written

where the differential dA indicates that integration is taken with respect to area. This double integral can be defined using Riemann sums, and represents the (signed) volume under the graph of z = f(x,y) over the domain R.[39] Under suitable conditions (e.g., if f is continuous), Fubini's theorem states that this integral can be expressed as an equivalent iterated integral[40]

This reduces the problem of computing a double integral to computing one-dimensional integrals. Because of this, another notation for the integral over R uses a double integral sign:[39]

Integration over more general domains is possible. The integral of a function f, with respect to volume, over an n-dimensional region D of is denoted by symbols such as:

Line integrals and surface integrals[edit]

A line integral sums together elements along a curve.

The concept of an integral can be extended to more general domains of integration, such as curved lines and surfaces inside higher-dimensional spaces. Such integrals are known as line integrals and surface integrals respectively. These have important applications in physics, as when dealing with vector fields.

A line integral (sometimes called a path integral) is an integral where the function to be integrated is evaluated along a curve.[41] Various different line integrals are in use. In the case of a closed curve it is also called a contour integral.

The function to be integrated may be a scalar field or a vector field. The value of the line integral is the sum of values of the field at all points on the curve, weighted by some scalar function on the curve (commonly arc length or, for a vector field, the scalar product of the vector field with a differential vector in the curve).[42] This weighting distinguishes the line integral from simpler integrals defined on intervals. Many simple formulas in physics have natural continuous analogs in terms of line integrals; for example, the fact that work is equal to force, F, multiplied by displacement, s, may be expressed (in terms of vector quantities) as:[43]

For an object moving along a path C in a vector field F such as an electric field or gravitational field, the total work done by the field on the object is obtained by summing up the differential work done in moving from s to s + ds. This gives the line integral[44]

The definition of surface integral relies on splitting the surface into small surface elements.

A surface integral generalizes double integrals to integration over a surface (which may be a curved set in space); it can be thought of as the double integral analog of the line integral. The function to be integrated may be a scalar field or a vector field. The value of the surface integral is the sum of the field at all points on the surface. This can be achieved by splitting the surface into surface elements, which provide the partitioning for Riemann sums.[45]

For an example of applications of surface integrals, consider a vector field v on a surface S; that is, for each point x in S, v(x) is a vector. Imagine that a fluid flows through S, such that v(x) determines the velocity of the fluid at x. The flux is defined as the quantity of fluid flowing through S in unit amount of time. To find the flux, one need to take the dot product of v with the unit surface normal to S at each point, which will give a scalar field, which is integrated over the surface:[46]

The fluid flux in this example may be from a physical fluid such as water or air, or from electrical or magnetic flux. Thus surface integrals have applications in physics, particularly with the classical theory of electromagnetism.

Contour integrals[edit]

In complex analysis, the integrand is a complex-valued function of a complex variable z instead of a real function of a real variable x. When a complex function is integrated along a curve in the complex plane, the integral is denoted as follows

This is known as a contour integral.

Integrals of differential forms[edit]

A differential form is a mathematical concept in the fields of multivariable calculus, differential topology, and tensors. Differential forms are organized by degree. For example, a one-form is a weighted sum of the differentials of the coordinates, such as:

where E, F, G are functions in three dimensions. A differential one-form can be integrated over an oriented path, and the resulting integral is just another way of writing a line integral. Here the basic differentials dx, dy, dz measure infinitesimal oriented lengths parallel to the three coordinate axes.

A differential two-form is a sum of the form

Here the basic two-forms measure oriented areas parallel to the coordinate two-planes. The symbol denotes the wedge product, which is similar to the cross product in the sense that the wedge product of two forms representing oriented lengths represents an oriented area. A two-form can be integrated over an oriented surface, and the resulting integral is equivalent to the surface integral giving the flux of .

Unlike the cross product, and the three-dimensional vector calculus, the wedge product and the calculus of differential forms makes sense in arbitrary dimension and on more general manifolds (curves, surfaces, and their higher-dimensional analogs). The exterior derivative plays the role of the gradient and curl of vector calculus, and Stokes' theorem simultaneously generalizes the three theorems of vector calculus: the divergence theorem, Green's theorem, and the Kelvin-Stokes theorem.

Summations[edit]

The discrete equivalent of integration is summation. Summations and integrals can be put on the same foundations using the theory of Lebesgue integrals or time scale calculus.

Applications[edit]

Integrals are used extensively in many areas. For example, in probability theory, integrals are used to determine the probability of some random variable falling within a certain range.[47] Moreover, the integral under an entire probability density function must equal 1, which provides a test of whether a function with no negative values could be a density function or not.[48]

Integrals can be used for computing the area of a two-dimensional region that has a curved boundary, as well as computing the volume of a three-dimensional object that has a curved boundary. The area of a two-dimensional region can be calculated using the aforementioned definite integral.[49] The volume of a three-dimensional object such as a disc or washer can be computed by disc integration using the equation for the volume of a cylinder, , where is the radius. In the case of a simple disc created by rotating a curve about the x-axis, the radius is given by f(x), and its height is the differential dx. Using an integral with bounds a and b, the volume of the disc is equal to:[50]

Integrals are also used in physics, in areas like kinematics to find quantities like displacement, time, and velocity. For example, in rectilinear motion, the displacement of an object over the time interval is given by:

where is the velocity expressed as a function of time.[51] The work done by a force (given as a function of position) from an initial position to a final position is:[52]

Integrals are also used in thermodynamics, where thermodynamic integration is used to calculate the difference in free energy between two given states.

Computation[edit]

Analytical[edit]

The most basic technique for computing definite integrals of one real variable is based on the fundamental theorem of calculus. Let f(x) be the function of x to be integrated over a given interval [a, b]. Then, find an antiderivative of f; that is, a function F such that F′ = f on the interval. Provided the integrand and integral have no singularities on the path of integration, by the fundamental theorem of calculus,

Sometimes it is necessary to use one of the many techniques that have been developed to evaluate integrals. Most of these techniques rewrite one integral as a different one which is hopefully more tractable. Techniques include integration by substitution, integration by parts, integration by trigonometric substitution, and integration by partial fractions.

Alternative methods exist to compute more complex integrals. Many nonelementary integrals can be expanded in a Taylor series and integrated term by term. Occasionally, the resulting infinite series can be summed analytically. The method of convolution using Meijer G-functions can also be used, assuming that the integrand can be written as a product of Meijer G-functions. There are also many less common ways of calculating definite integrals; for instance, Parseval's identity can be used to transform an integral over a rectangular region into an infinite sum. Occasionally, an integral can be evaluated by a trick; for an example of this, see Gaussian integral.

Computations of volumes of solids of revolution can usually be done with disk integration or shell integration.

Specific results which have been worked out by various techniques are collected in the list of integrals.

Symbolic[edit]

Many problems in mathematics, physics, and engineering involve integration where an explicit formula for the integral is desired. Extensive tables of integrals have been compiled and published over the years for this purpose. With the spread of computers, many professionals, educators, and students have turned to computer algebra systems that are specifically designed to perform difficult or tedious tasks, including integration. Symbolic integration has been one of the motivations for the development of the first such systems, like Macsyma and Maple.

A major mathematical difficulty in symbolic integration is that in many cases, a relatively simple function does not have integrals that can be expressed in closed form involving only elementary functions, include rational and exponential functions, logarithm, trigonometric functions and inverse trigonometric functions, and the operations of multiplication and composition. The Risch algorithm provides a general criterion to determine whether the antiderivative of an elementary function is elementary, and to compute it if it is. However, functions with closed expressions of antiderivatives are the exception, and consequently, computerized algebra systems have no hope of being able to find an antiderivative for a randomly constructed elementary function. On the positive side, if the 'building blocks' for antiderivatives are fixed in advance, it may still be possible to decide whether the antiderivative of a given function can be expressed using these blocks and operations of multiplication and composition, and to find the symbolic answer whenever it exists. The Risch algorithm, implemented in Mathematica, Maple and other computer algebra systems, does just that for functions and antiderivatives built from rational functions, radicals, logarithm, and exponential functions.

Some special integrands occur often enough to warrant special study. In particular, it may be useful to have, in the set of antiderivatives, the special functions (like the Legendre functions, the hypergeometric function, the gamma function, the incomplete gamma function and so on). Extending the Risch's algorithm to include such functions is possible but challenging and has been an active research subject.

More recently a new approach has emerged, using D-finite functions, which are the solutions of linear differential equations with polynomial coefficients. Most of the elementary and special functions are D-finite, and the integral of a D-finite function is also a D-finite function. This provides an algorithm to express the antiderivative of a D-finite function as the solution of a differential equation. This theory also allows one to compute the definite integral of a D-function as the sum of a series given by the first coefficients, and provides an algorithm to compute any coefficient.

Numerical[edit]

Numerical quadrature methods: rectangle method, trapezoidal rule, Romberg's method, Gaussian quadrature

Definite integrals may be approximated using several methods of numerical integration. The rectangle method relies on dividing the region under the function into a series of rectangles corresponding to function values and multiplies by the step width to find the sum. A better approach, the trapezoidal rule, replaces the rectangles used in a Riemann sum with trapezoids. The trapezoidal rule weights the first and last values by one half, then multiplies by the step width to obtain a better approximation.[53] The idea behind the trapezoidal rule, that more accurate approximations to the function yield better approximations to the integral, can be carried further: Simpson's rule approximates the integrand by a piecewise quadratic function.[54]

Riemann sums, the trapezoidal rule, and Simpson's rule are examples of a family of quadrature rules called the Newton–Cotes formulas. The degree n Newton–Cotes quadrature rule approximates the polynomial on each subinterval by a degree n polynomial. This polynomial is chosen to interpolate the values of the function on the interval.[55] Higher degree Newton–Cotes approximations can be more accurate, but they require more function evaluations, and they can suffer from numerical inaccuracy due to Runge's phenomenon. One solution to this problem is Clenshaw–Curtis quadrature, in which the integrand is approximated by expanding it in terms of Chebyshev polynomials.

Romberg's method halves the step widths incrementally, giving trapezoid approximations denoted by T(h0), T(h1), and so on, where hk+1 is half of hk. For each new step size, only half the new function values need to be computed; the others carry over from the previous size. It then interpolate a polynomial through the approximations, and extrapolate to T(0). Gaussian quadrature evaluates the function at the roots of a set of orthogonal polynomials.[56] An n-point Gaussian method is exact for polynomials of degree up to 2n − 1.

The computation of higher-dimensional integrals (for example, volume calculations) makes important use of such alternatives as Monte Carlo integration.[57]

Mechanical[edit]

The area of an arbitrary two-dimensional shape can be determined using a measuring instrument called planimeter. The volume of irregular objects can be measured with precision by the fluid displaced as the object is submerged.

Geometrical[edit]

Area can sometimes be found via geometrical compass-and-straightedge constructions of an equivalent square.

See also[edit]

  • Integral equation
  • Integral symbol

Notes[edit]

  1. ^ Integral calculus is a very well established mathematical discipline for which there are many sources. See Apostol 1967 and Anton, Bivens & Davis 2016, for example.

References[edit]

  1. ^ Burton 2011, p. 117.
  2. ^ Heath 2002.
  3. ^ Katz 2009, pp. 201–204.
  4. ^ Katz 2009, pp. 284–285.
  5. ^ Katz 2009, pp. 305–306.
  6. ^ Katz 2009, pp. 516–517.
  7. ^ Struik 1986, pp. 215–216.
  8. ^ Katz 2009, pp. 536–537.
  9. ^ Burton 2011, pp. 385–386.
  10. ^ Stillwell 1989, p. 131.
  11. ^ Katz 2009, pp. 628–629.
  12. ^ Katz 2009, p. 785.
  13. ^ Burton 2011, p. 414; Leibniz 1899, p. 154.
  14. ^ Cajori 1929, pp. 249–250; Fourier 1822, §231.
  15. ^ Cajori 1929, p. 246.
  16. ^ Cajori 1929, p. 182.
  17. ^ W3C 2006.
  18. ^ a b Apostol 1967, p. 74.
  19. ^ Anton, Bivens & Davis 2016, p. 259.
  20. ^ Apostol 1967, p. 69.
  21. ^ Anton, Bivens & Davis 2016, pp. 286−287.
  22. ^ Krantz 1991, p. 173.
  23. ^ Rudin 1987, p. 5.
  24. ^ Siegmund-Schultze 2008, p. 796.
  25. ^ Folland 1999, pp. 57–58.
  26. ^ Bourbaki 2004, p. IV.43.
  27. ^ Lieb & Loss 2001, p. 14.
  28. ^ Folland 1999, p. 53.
  29. ^ a b Rudin 1987, p. 25.
  30. ^ a b Apostol 1967, p. 80.
  31. ^ Rudin 1987, p. 54.
  32. ^ Apostol 1967, p. 81.
  33. ^ a b Rudin 1987, p. 63.
  34. ^ Apostol 1967, p. 202.
  35. ^ Apostol 1967, p. 205.
  36. ^ Apostol 1967, p. 416.
  37. ^ Apostol 1967, p. 418.
  38. ^ Anton, Bivens & Davis 2016, p. 895.
  39. ^ a b Anton, Bivens & Davis 2016, p. 896.
  40. ^ Anton, Bivens & Davis 2016, p. 897.
  41. ^ Anton, Bivens & Davis 2016, p. 980.
  42. ^ Anton, Bivens & Davis 2016, p. 981.
  43. ^ Anton, Bivens & Davis 2016, p. 697.
  44. ^ Anton, Bivens & Davis 2016, p. 991.
  45. ^ Anton, Bivens & Davis 2016, p. 1014.
  46. ^ Anton, Bivens & Davis 2016, p. 1024.
  47. ^ Feller 1966, p. 1.
  48. ^ Feller 1966, p. 3.
  49. ^ Apostol 1967, pp. 88–89.
  50. ^ Apostol 1967, pp. 111–114.
  51. ^ Anton, Bivens & Davis 2016, p. 306.
  52. ^ Apostol 1967, p. 116.
  53. ^ Dahlquist & Björck 2008, pp. 519–520.
  54. ^ Dahlquist & Björck 2008, pp. 522–524.
  55. ^ Kahaner, Moler & Nash 1989, p. 144.
  56. ^ Kahaner, Moler & Nash 1989, p. 147.
  57. ^ Kahaner, Moler & Nash 1989, pp. 139–140.

Bibliography[edit]

  • Anton, Howard; Bivens, Irl C.; Davis, Stephen (2016), Calculus: Early Transcendentals (11th ed.), John Wiley & Sons, ISBN 978-1-118-88382-2
  • Apostol, Tom M. (1967), Calculus, Vol. 1: One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra (2nd ed.), Wiley, ISBN 978-0-471-00005-1
  • Bourbaki, Nicolas (2004), Integration I, Springer-Verlag, ISBN 3-540-41129-1. In particular chapters III and IV.
  • Burton, David M. (2011), The History of Mathematics: An Introduction (7th ed.), McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-338315-6
  • Cajori, Florian (1929), A History Of Mathematical Notations Volume II, Open Court Publishing, ISBN 978-0-486-67766-8
  • Dahlquist, Germund; Björck, Åke (2008), "Chapter 5: Numerical Integration", Numerical Methods in Scientific Computing, Volume I, Philadelphia: SIAM, archived from the original on 2007-06-15 CS1 maint: discouraged parameter (link)
  • Feller, William (1966), An introduction to probability theory and its applications, John Wiley & Sons
  • Folland, Gerald B. (1999), Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications (2nd ed.), John Wiley & Sons, ISBN 0-471-31716-0
  • Fourier, Jean Baptiste Joseph (1822), Théorie analytique de la chaleur, Chez Firmin Didot, père et fils, p. §231
    Available in translation as Fourier, Joseph (1878), The analytical theory of heat, Freeman, Alexander (trans.), Cambridge University Press, pp. 200–201
  • Heath, T. L., ed. (2002), The Works of Archimedes, Dover, ISBN 978-0-486-42084-4
    (Originally published by Cambridge University Press, 1897, based on J. L. Heiberg's Greek version.)
  • Hildebrandt, T. H. (1953), "Integration in abstract spaces", Bulletin of the American Mathematical Society, 59 (2): 111–139, doi:10.1090/S0002-9904-1953-09694-X, ISSN 0273-0979
  • Kahaner, David; Moler, Cleve; Nash, Stephen (1989), "Chapter 5: Numerical Quadrature", Numerical Methods and Software, Prentice Hall, ISBN 978-0-13-627258-8
  • Kallio, Bruce Victor (1966), A History of the Definite Integral (PDF) (M.A. thesis), University of British Columbia, archived from the original (PDF) on 2014-03-05, retrieved 2014-02-28
  • Katz, Victor J. (2009), A History of Mathematics: An Introduction, Addison-Wesley, ISBN 0-321-38700-7
  • Krantz, Steven G. (1991), Real Analysis and Foundations, CRC Press, ISBN 0-8493-7156-2
  • Leibniz, Gottfried Wilhelm (1899), Gerhardt, Karl Immanuel (ed.), Der Briefwechsel von Gottfried Wilhelm Leibniz mit Mathematikern. Erster Band, Berlin: Mayer & Müller
  • Lieb, Elliott; Loss, Michael (2001), Analysis, Graduate Studies in Mathematics, 14 (2nd ed.), American Mathematical Society, ISBN 978-0821827833 CS1 maint: discouraged parameter (link)
  • Rudin, Walter (1987), "Chapter 1: Abstract Integration", Real and Complex Analysis (International ed.), McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-100276-9
  • Saks, Stanisław (1964), Theory of the integral (English translation by L. C. Young. With two additional notes by Stefan Banach. Second revised ed.), New York: Dover
  • Siegmund-Schultze, Reinhard (2008), "Henri Lebesgue", in Timothy Gowers; June Barrow-Green; Imre Leader (eds.), Princeton Companion to Mathematics, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-11880-2.
  • Stillwell, John (1989), Mathematics and Its History, Springer, ISBN 0-387-96981-0
  • Stoer, Josef; Bulirsch, Roland (2002), "Topics in Integration", Introduction to Numerical Analysis (3rd ed.), Springer, ISBN 978-0-387-95452-3.
  • Struik, Dirk Jan, ed. (1986), A Source Book in Mathematics, 1200-1800, Princeton, New Jersey: Princeton University Press, ISBN 0-691-08404-1
  • W3C (2006), Arabic mathematical notation

External links[edit]

  • "Integral", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
  • Online Integral Calculator, Wolfram Alpha.

Online books[edit]

  • Keisler, H. Jerome, Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals, University of Wisconsin
  • Stroyan, K. D., A Brief Introduction to Infinitesimal Calculus, University of Iowa
  • Mauch, Sean, Sean's Applied Math Book, CIT, an online textbook that includes a complete introduction to calculus
  • Crowell, Benjamin, Calculus, Fullerton College, an online textbook
  • Garrett, Paul, Notes on First-Year Calculus
  • Hussain, Faraz, Understanding Calculus, an online textbook
  • Johnson, William Woolsey (1909) Elementary Treatise on Integral Calculus, link from HathiTrust.
  • Kowalk, W. P., Integration Theory, University of Oldenburg. A new concept to an old problem. Online textbook
  • Sloughter, Dan, Difference Equations to Differential Equations, an introduction to calculus
  • Numerical Methods of Integration at Holistic Numerical Methods Institute
  • P. S. Wang, Evaluation of Definite Integrals by Symbolic Manipulation (1972) — a cookbook of definite integral techniques