อินฟินิตี้

จาก Wikipedia สารานุกรมเสรี
ข้ามไปที่การนำทางข้ามไปที่การค้นหา

อินฟินิตี้หมายถึงสิ่งที่ไม่มีที่สิ้นสุดหรือไม่มีที่สิ้นสุดหรืออื่น ๆ ที่บางสิ่งบางอย่างที่มีขนาดใหญ่กว่าใด ๆ จริงหรือจำนวนธรรมชาติ [1]มักแสดงด้วยสัญลักษณ์อินฟินิตี้ที่แสดงที่นี่

ตั้งแต่เวลาของชาวกรีกโบราณที่ธรรมชาติปรัชญาของอินฟินิตี้เป็นเรื่องของการอภิปรายจำนวนมากในหมู่นักปรัชญา ในศตวรรษที่ 17 ด้วยการใช้สัญลักษณ์อินฟินิตี้[2]และแคลคูลัสที่ไม่มีที่สิ้นสุดนักคณิตศาสตร์เริ่มทำงานกับอนุกรมอนันต์และสิ่งที่นักคณิตศาสตร์บางคน (รวมถึงl'HôpitalและBernoulli ) [3]ถือว่าเป็นปริมาณที่น้อยมาก แต่ไม่มีที่สิ้นสุด ยังคงเชื่อมโยงกับกระบวนการที่ไม่มีที่สิ้นสุด[4]ในขณะที่นักคณิตศาสตร์ต้องดิ้นรนกับพื้นฐานของแคลคูลัส แต่ก็ยังไม่ชัดเจนว่าอินฟินิตี้สามารถพิจารณาได้ว่าเป็นตัวเลขหรือขนาดและถ้าเป็นเช่นนั้นจะทำได้อย่างไร[2]ในตอนท้ายของศตวรรษที่ 19 Georg Cantor ได้ขยายการศึกษาทางคณิตศาสตร์เรื่องอินฟินิตี้โดยการศึกษาเซตอนันต์และจำนวนอนันต์ซึ่งแสดงให้เห็นว่าพวกมันมีหลายขนาด[2] [5] ตัวอย่างเช่นถ้าเป็นเส้นถูกมองว่าเป็นชุดของทุกจุดของจำนวนอนันต์ของพวกเขา (เช่นcardinalityของเส้น) มีขนาดใหญ่กว่าจำนวนของจำนวนเต็ม [6]ในการใช้งานนี้อินฟินิตี้เป็นแนวคิดทางคณิตศาสตร์และไม่มีที่สิ้นสุดวัตถุทางคณิตศาสตร์สามารถศึกษาจัดการและใช้งานได้เช่นเดียวกับวัตถุทางคณิตศาสตร์อื่น ๆ

แนวคิดทางคณิตศาสตร์ของอินฟินิตี้จะปรับแต่งและขยายแนวคิดทางปรัชญาแบบเก่าโดยเฉพาะอย่างยิ่งโดยการนำเซตอนันต์ที่มีขนาดแตกต่างกันออกไปมากมาย ในบรรดาสัจพจน์ของทฤษฎีเซต Zermelo - Fraenkelซึ่งคณิตศาสตร์สมัยใหม่ส่วนใหญ่สามารถพัฒนาได้คือสัจพจน์ของอินฟินิตี้ซึ่งรับประกันการมีอยู่ของเซตที่ไม่มีที่สิ้นสุด[2]แนวคิดทางคณิตศาสตร์ของอินฟินิตี้และการจัดการเซตอนันต์ถูกนำมาใช้ทุกที่ในคณิตศาสตร์แม้กระทั่งในด้านต่างๆเช่นคอมบิเนเตอร์ที่อาจดูเหมือนไม่มีอะไรเกี่ยวข้องกับพวกเขา ตัวอย่างเช่นการพิสูจน์ของ Wiles เกี่ยวกับทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์โดยปริยายอาศัยการมีอยู่ของเซตอนันต์ที่มีขนาดใหญ่มาก[7]สำหรับการแก้ปัญหายาวนานที่ระบุไว้ในแง่ของคณิตศาสตร์ประถมศึกษา

ในฟิสิกส์และจักรวาลวิทยา , ว่าจักรวาลเป็นอนันต์เป็นคำถามเปิด

ประวัติ[ แก้ไข]

วัฒนธรรมโบราณมีความคิดที่หลากหลายเกี่ยวกับธรรมชาติของความไม่มีที่สิ้นสุด อินเดียโบราณและชาวกรีกไม่ได้กำหนดอินฟินิตี้ในพิธีได้อย่างแม่นยำเช่นเดียวกับคณิตศาสตร์สมัยใหม่และเดินเข้ามาแทนอินฟินิตี้เป็นแนวคิดปรัชญา

กรีกตอนต้น[ แก้]

แนวคิดเรื่องความไม่มีที่สิ้นสุดที่บันทึกไว้ได้เร็วที่สุดอาจเป็นของAnaximander (ค. 610 - ค. 546 ปีก่อนคริสตกาล) นักปรัชญากรีกยุคก่อนโซคราติค เขาใช้คำว่าapeironซึ่งแปลว่า "unbounded", "indefinite" และอาจแปลได้ว่า "infinite" [2] [8]

อริสโตเติล (350 ปีก่อนคริสตกาล) แยกความแตกต่างของอินฟินิตี้ที่มีศักยภาพจากอินฟินิตี้ที่แท้จริงซึ่งเขามองว่าเป็นไปไม่ได้เนื่องจากความขัดแย้งต่าง ๆ ที่ดูเหมือนจะก่อให้เกิด[9]เป็นที่ถกเถียงกันอยู่ว่าตามทัศนะนี้ชาวกรีกเฮลเลนิสติกมี "ความน่ากลัวของความไม่สิ้นสุด" [10] [11]ซึ่งตัวอย่างเช่นจะอธิบายว่าเหตุใดยูคลิด (ค. 300 ปีก่อนคริสตกาล) จึงไม่กล่าวว่า ว่ามีไพรม์อินฟินิตี้ แต่เป็น "จำนวนเฉพาะมากกว่าจำนวนเฉพาะจำนวนมากที่กำหนดไว้" [12]มันยังได้รับการบำรุงรักษาว่าในการพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ยูคลิด "เป็นคนแรกที่เอาชนะความน่ากลัวของความไม่สิ้นสุด" [13]มีความขัดแย้งที่คล้ายคลึงกันเกี่ยวกับสมมุติฐานคู่ขนานของ Euclid ซึ่งบางครั้งก็มีการแปล

ถ้าเส้นตรงที่พาดผ่านเส้นตรง [อื่น ๆ ] สองเส้นทำให้มุมภายในในด้านเดียวกัน [ของตัวมันเองซึ่งมีผลรวม] น้อยกว่ามุมฉากสองมุมดังนั้นเส้นตรง [อื่น ๆ ] สองเส้นที่ถูกสร้างให้ไม่มีที่สิ้นสุดจะมาบรรจบกันที่ด้านนั้น [ของเส้นตรงเดิม] ว่า [ผลรวมของมุมภายใน] มีค่าน้อยกว่าสองมุมฉาก [14]

อย่างไรก็ตามนักแปลคนอื่นชอบคำแปล "เส้นตรงสองเส้นถ้าผลิตไปเรื่อย ๆ ... ", [15]ดังนั้นจึงหลีกเลี่ยงความหมายที่ว่า Euclid รู้สึกสบายใจกับแนวคิดเรื่องอินฟินิตี้ ในที่สุดก็ยังคงอยู่ว่าภาพสะท้อนของความไม่มีที่สิ้นสุดซึ่งห่างไกลจากการกระตุ้นให้เกิด "ความน่ากลัวของความไม่มีที่สิ้นสุด" แฝงอยู่ในปรัชญากรีกยุคแรก ๆ ทั้งหมดและ "ความไม่มีที่สิ้นสุดที่มีศักยภาพ" ของอริสโตเติลเป็นความผิดเพี้ยนจากแนวโน้มทั่วไปในช่วงเวลานี้ [16]

Zeno: Achilles and the Tortoise [ แก้ไข]

Zeno of Elea (ค. 495 - ค. 430 ปีก่อนคริสตกาล) ไม่ได้พัฒนามุมมองใด ๆ เกี่ยวกับความไม่มีที่สิ้นสุด อย่างไรก็ตามความขัดแย้งของเขา[17]โดยเฉพาะอย่างยิ่ง "Achilles and the Tortoise" เป็นส่วนสำคัญที่ทำให้พวกเขาเห็นได้ชัดถึงความไม่เพียงพอของแนวคิดที่เป็นที่นิยม ความขัดแย้งถูกอธิบายโดยเบอร์ทรานด์รัสเซลว่า "บอบบางและลึกซึ้งล้นพ้น" [18]

อคิลลิสแข่งกับเต่าโดยให้คนหลังเป็นฝ่ายเริ่ม

ขั้นตอนที่ # 1: Achilles วิ่งไปยังจุดเริ่มต้นของเต่าในขณะที่เต่าเดินไปข้างหน้า
ขั้นตอนที่ # 2: Achilles ก้าวไปสู่จุดที่เต่าอยู่ในตอนท้ายของขั้นตอนที่ # 1 ในขณะที่เต่าไปไกลกว่านั้น
ขั้นตอนที่ # 3: Achilles ก้าวไปสู่จุดที่เต่าอยู่ในตอนท้ายของขั้นตอนที่ 2 ในขณะที่เต่ายังไปไกลกว่านี้
ขั้นตอนที่ # 4: Achilles ก้าวไปสู่จุดที่เต่าอยู่ในตอนท้ายของขั้นตอนที่ 3 ในขณะที่เต่าไปไกลกว่านั้น

ฯลฯ

เห็นได้ชัดว่าอคิลลิสไม่เคยแซงเต่าเนื่องจากเขาทำหลายขั้นตอนจนสำเร็จเต่ายังคงอยู่ข้างหน้าเขา

Zeno ไม่ได้พยายามที่จะสร้างประเด็นเกี่ยวกับอินฟินิตี้ ในฐานะสมาชิกคนหนึ่งของโรงเรียนEleaticซึ่งมองว่าการเคลื่อนไหวเป็นภาพลวงตาเขาเห็นว่ามันเป็นความผิดพลาดที่คิดว่าอคิลลิสสามารถวิ่งได้ทั้งหมด นักคิดในเวลาต่อมาพบว่าวิธีการแก้ปัญหานี้ไม่เป็นที่ยอมรับได้พยายามดิ้นรนมานานกว่าสองพันปีเพื่อค้นหาจุดอ่อนอื่น ๆ ในการโต้แย้ง

ในที่สุดในปี 1821 Augustin-Louis Cauchyได้ให้ทั้งคำจำกัดความที่น่าพอใจของขีด จำกัด และข้อพิสูจน์ว่าสำหรับ 0 < x <1

a + ขวาน + ขวาน2 + ขวาน3 + ขวาน4 + ขวาน5 + ··· =/1− x. [19]

สมมติว่า Achilles วิ่งด้วยความเร็ว 10 เมตรต่อวินาทีเต่ากำลังเดินด้วยความเร็ว 0.1 เมตรต่อวินาทีและตัวหลังมีระยะเริ่มต้น 100 เมตร ระยะเวลาของการไล่ล่าเหมาะกับรูปแบบของ Cauchy โดยมีa  = 10 วินาทีและx  = 0.01 Achilles แซงเต่า; มันต้องใช้เขา

10 + 0.1 + 0.001 + 0.00001 + ··· =10/1−0.01 = 10/0.99 = 10 10/99 วินาที

อินเดียตอนต้น[ แก้ไข]

เชนคณิตศาสตร์ (c. คริสตศักราชศตวรรษที่ 4 ที่ 3) ข้อความ Surya Prajnapti classifies ตัวเลขทั้งหมดเป็นสามชุด: นับนับไม่ถ้วนและไม่มีที่สิ้นสุด แต่ละคำสั่งแบ่งย่อยออกเป็นสามคำสั่ง: [20]

  • นับได้: ต่ำสุดระดับกลางและสูงสุด
  • นับไม่ถ้วน: เกือบนับไม่ถ้วนนับไม่ถ้วนและนับไม่ถ้วน
  • ไม่มีที่สิ้นสุด: เกือบไม่มีที่สิ้นสุดไม่มีที่สิ้นสุดอย่างแท้จริงไม่มีที่สิ้นสุดไม่มีที่สิ้นสุด

ศตวรรษที่ 17 [ แก้]

ในศตวรรษที่ 17 นักคณิตศาสตร์ชาวยุโรปเริ่มใช้ตัวเลขที่ไม่มีที่สิ้นสุดและการแสดงออกที่ไม่มีที่สิ้นสุดในรูปแบบที่เป็นระบบ ใน 1655, จอห์นวอลครั้งแรกที่ใช้สัญกรณ์สำหรับตัวเลขดังกล่าวในของเขาDe sectionibus conicis, [21]และใช้ประโยชน์ในการคำนวณพื้นที่โดยการหารภูมิภาคเข้าเล็กแถบความกว้างในการสั่งซื้อของ[22]แต่ในArithmetica infinitorum (ยัง ในปี 1655) เขาระบุอนุกรมที่ไม่มีที่สิ้นสุดผลคูณที่ไม่มีที่สิ้นสุดและเศษส่วนต่อเนื่องที่ไม่มีที่สิ้นสุดโดยการเขียนคำศัพท์หรือปัจจัยสองสามคำแล้วต่อท้าย "& c." เช่นเดียวกับใน "1, 6, 12, 18, 24, & c" [23]

ใน 1699 ไอแซกนิวตันเขียนเกี่ยวกับสมการที่มีจำนวนอนันต์ของเงื่อนไขในการทำงานของDe analysi ต่อ Aequationes Numero terminorum infinitas [24]

คณิตศาสตร์[ แก้]

Hermann Weylเปิดคำปราศรัยทางคณิตศาสตร์ - ปรัชญาที่ให้ไว้ในปีพ. ศ. 2473 โดยมี: [25]

คณิตศาสตร์เป็นศาสตร์แห่งความไม่มีที่สิ้นสุด

สัญลักษณ์[ แก้ไข]

สัญลักษณ์อินฟินิตี้(บางครั้งเรียกว่าเลมนิสเกต ) เป็นสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ที่แสดงถึงแนวคิดของอินฟินิตี้ สัญลักษณ์มีการเข้ารหัสในUnicodeที่U + 221EINFINITY (HTML  · ) [26]และในน้ำยางเป็น [27] &#8734;  &infin;\infty

มันถูกนำมาใช้ใน 1655 โดยจอห์นวอลลิส , [28] [29]และตั้งแต่การแนะนำของมันได้ถูกนำมาใช้นอกคณิตศาสตร์ในเวทย์มนต์ที่ทันสมัย[30]และวรรณกรรมสัญลักษณ์ [31]

แคลคูลัส[ แก้ไข]

Gottfried Leibnizหนึ่งในผู้ร่วมคิดค้นแคลคูลัสที่ไม่สิ้นสุดได้คาดเดาอย่างกว้างขวางเกี่ยวกับจำนวนอนันต์และการนำไปใช้ในคณิตศาสตร์ เพื่อ Leibniz ทั้ง infinitesimals และปริมาณที่ไม่มีที่สิ้นสุดเป็นหน่วยงานที่เหมาะไม่ได้มาจากธรรมชาติเช่นเดียวกับปริมาณที่เห็น แต่เพลิดเพลินกับคุณสมบัติเดียวกันให้สอดคล้องกับกฎหมายของความต่อเนื่อง [32] [3]

วิเคราะห์จริง[ แก้ไข]

ในการวิเคราะห์จริงสัญลักษณ์เรียกว่า "อินฟินิตี้" จะถูกใช้เพื่อแสดงถึงมากมายขีด จำกัด [33]สัญกรณ์หมายถึงการ  เพิ่มขึ้นโดยไม่มีขอบเขตและหมายถึงการ  ลดลงโดยไม่มีขอบเขต ตัวอย่างเช่นถ้าทุก  แล้ว[34]

  • หมายความว่าไม่ได้ จำกัด พื้นที่ จำกัด จากถึง
  • หมายความว่าพื้นที่ด้านล่างไม่มีที่สิ้นสุด
  • หมายความว่าพื้นที่ทั้งหมดด้านล่างมีจำนวน จำกัด และเท่ากับ

อินฟินิตี้ยังสามารถใช้เพื่ออธิบายอนุกรมอนันต์ได้ดังนี้:

  • หมายความว่าผลรวมของอนุกรมอนันต์มาบรรจบกับค่าจริงบางค่า
  • หมายความว่าผลรวมของชุดอนันต์ถูกต้องdivergesอินฟินิตี้ในแง่ที่ว่าผลรวมบางส่วนเพิ่มขึ้นโดยไม่ต้องถูกผูกไว้[35]

นอกเหนือจากการกำหนดขีด จำกัด แล้วอินฟินิตี้ยังสามารถใช้เป็นค่าในระบบจำนวนจริงเพิ่มเติมได้อีกด้วย[1]จุดที่มีป้ายกำกับและสามารถเพิ่มลงในช่องว่างโทโพโลยีของจำนวนจริงทำให้เกิดการกระชับสองจุดของจำนวนจริง การเพิ่มคุณสมบัติทางพีชคณิตทำให้เราได้จำนวนจริงเพิ่มเติม[36]นอกจากนี้เรายังสามารถรักษาและเช่นเดียวที่นำไปcompactification จุดหนึ่งของจำนวนจริงซึ่งเป็นเส้นจริง projective [37]เรขาคณิตโปรเจกต์ยังหมายถึงเส้นที่ไม่มีที่สิ้นสุดในเรขาคณิตระนาบก เครื่องบินที่อินฟินิตี้ในพื้นที่สามมิติและไฮเปอร์เพลนที่อินฟินิตี้ทั่วไปมิติแต่ละประกอบด้วยจุดที่อินฟินิตี้ [38]

การวิเคราะห์ที่ซับซ้อน[ แก้ไข]

โดยการฉายภาพแบบสามมิติระนาบเชิงซ้อนสามารถ "ห่อ" ลงบนทรงกลมโดยให้จุดบนสุดของทรงกลมตรงกับอินฟินิตี้ นี้เรียกว่าทรงกลม Riemann

ในการวิเคราะห์ที่ซับซ้อนสัญลักษณ์เรียกว่า "อินฟินิตี้" หมายถึงไม่มีที่สิ้นสุดไม่ได้ลงนามขีด จำกัดหมายความว่าขนาด  ของการ  เติบโตเกินกว่ามูลค่าที่กำหนดไว้จุดที่มีป้ายกำกับสามารถเพิ่มไปยังเครื่องบินซับซ้อนเป็นพื้นที่ทอพอโลยีให้compactification จุดหนึ่งของเครื่องบินที่ซับซ้อน[39]เมื่อเสร็จแล้วช่องว่างที่เกิดขึ้นจะเป็นท่อร่วมเชิงซ้อนหนึ่งมิติหรือพื้นผิว Riemannเรียกว่าระนาบเชิงซ้อนขยายหรือทรงกลมรีมันน์ ∞ {\displaystyle \infty } . นอกจากนี้ยังสามารถกำหนดการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่คล้ายคลึงกับที่ระบุไว้ข้างต้นสำหรับจำนวนจริงที่ขยายได้แม้ว่าจะไม่มีความแตกต่างในเครื่องหมาย (ซึ่งนำไปสู่ข้อยกเว้นเดียวที่ไม่สามารถเพิ่มอินฟินิตี้ให้กับตัวเองได้) บนมืออื่น ๆ ชนิดของอินฟินิตี้นี้จะช่วยให้หารด้วยศูนย์คือจำนวนที่ซับซ้อนใด ๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์  ในบริบทนี้มักมีประโยชน์ในการพิจารณาฟังก์ชั่น meromorphicเป็นแผนที่ในทรงกลม Riemann โดยใช้ค่าที่เสา โดเมนของฟังก์ชันที่มีมูลค่าเชิงซ้อนอาจขยายออกไปเพื่อรวมจุดที่อินฟินิตี้ด้วย ตัวอย่างที่สำคัญอย่างหนึ่งของฟังก์ชันดังกล่าวคือกลุ่มของการเปลี่ยนแปลงของเมอบิอุส (ดูภาพรวมของการเปลี่ยนแปลงของโมบิอุส )

การวิเคราะห์ที่ไม่เป็นมาตรฐาน[ แก้ไข]

Infinitesimals (ε) และ infinities (ω) บนเส้นจำนวนไฮเปอร์เรียล (1 / ε = ω / 1)

สูตรเดิมของแคลคูลัสโดยไอแซกนิวตันและ Gottfried Leibniz ใช้เล็กปริมาณ ในศตวรรษที่ 20 มันก็แสดงให้เห็นว่าการรักษานี้จะถูกเก็บไว้บนเกาะอย่างเข้มงวดผ่านช่องทางต่างๆระบบตรรกะรวมทั้งการวิเคราะห์เล็กเรียบและการวิเคราะห์ที่ไม่เป็นมาตรฐาน ในช่วงหลัง infinitesimals จะกลับตัวไม่ได้และการผกผันของพวกมันเป็นจำนวนที่ไม่มีที่สิ้นสุด อนันต์ในความรู้สึกนี้เป็นส่วนหนึ่งของเขต HyperReal ; ไม่มีความเท่าเทียมกันระหว่างพวกเขาเช่นเดียวกับทรานฟิไนต์ Cantorian. ตัวอย่างเช่นถ้า H เป็นจำนวนอนันต์ในแง่นี้ H + H = 2H และ H + 1 เป็นจำนวนอนันต์ที่แตกต่างกัน วิธีการนี้แคลคูลัสที่ไม่ได้มาตรฐานได้รับการพัฒนาอย่างเต็มที่ในKeisler (1986)

ตั้งทฤษฎี[ แก้ไข]

การโต้ตอบแบบตัวต่อตัวระหว่างเซตที่ไม่มีที่สิ้นสุดและเซตย่อยที่เหมาะสม

รูปแบบที่แตกต่างกันของ "อินฟินิตี้" เป็นลำดับและพระคาร์ดินัลอนันต์ชุดทฤษฎีระบบของตัวเลข transfiniteการพัฒนาครั้งแรกโดยเฟรดต้นเสียงในระบบนี้พระคาร์ดินัล transfinite แรกคือaleph โมฆะ ( 0 ) cardinality ของการตั้งค่าของจำนวนธรรมชาติแนวคิดทางคณิตศาสตร์สมัยใหม่เกี่ยวกับจำนวนอนันต์ที่พัฒนาขึ้นในช่วงปลายศตวรรษที่ 19 จากผลงานของ Cantor, Gottlob Frege , Richard Dedekindและคนอื่น ๆ โดยใช้แนวคิดเรื่องคอลเลกชันหรือชุด[2]

แนวทางของ Dedekind เป็นหลักในการนำแนวคิดเรื่องการติดต่อแบบหนึ่งต่อหนึ่งมาใช้เป็นมาตรฐานในการเปรียบเทียบขนาดของชุดและเพื่อปฏิเสธมุมมองของกาลิเลโอ (มาจากยุคลิด ) ที่ว่าทั้งชิ้นไม่สามารถมีขนาดเท่ากับชิ้นส่วนได้ (อย่างไรก็ตาม ดูความขัดแย้งของกาลิเลโอที่เขาสรุปว่าจำนวนเต็มกำลังสองบวกมีขนาดเท่ากับจำนวนเต็มบวก) เซตที่ไม่มีที่สิ้นสุดสามารถกำหนดได้ว่าชุดที่มีขนาดเท่ากันกับชิ้นส่วนที่เหมาะสมอย่างน้อยหนึ่งส่วน แนวคิดเรื่องอินฟินิตี้นี้เรียกว่าDedekind infinite. แผนภาพทางด้านขวาให้ตัวอย่าง: การดูเส้นเป็นชุดของจุดที่ไม่มีที่สิ้นสุดครึ่งซ้ายของเส้นสีน้ำเงินด้านล่างสามารถแมปในลักษณะหนึ่งต่อหนึ่ง (การโต้ตอบสีเขียว) กับเส้นสีน้ำเงินที่สูงกว่าและในทางกลับกัน ไปยังเส้นสีน้ำเงินด้านล่างทั้งหมด (การโต้ตอบสีแดง); ดังนั้นเส้นสีน้ำเงินล่างทั้งหมดและครึ่งซ้ายจึงมีคาร์ดินาลลิตี้เท่ากันนั่นคือ "ขนาด" [ ต้องการอ้างอิง ]

ต้นเสียงกำหนดจำนวนอนันต์สองชนิด ได้แก่เลขลำดับและเลขสำคัญ หมายเลขลำดับแสดงลักษณะของชุดที่เรียงลำดับอย่างดีหรือการนับที่ดำเนินการไปยังจุดหยุดใด ๆ รวมถึงคะแนนหลังจากนับจำนวนอนันต์แล้ว การสรุปลำดับที่ไม่มีที่สิ้นสุดแบบ จำกัด และ (ธรรมดา) ซึ่งเป็นแผนที่จากจำนวนเต็มบวกจะนำไปสู่การแมปจากเลขลำดับไปจนถึงลำดับการเปลี่ยนแปลง หมายเลขคาร์ดินัลกำหนดขนาดของชุดหมายถึงจำนวนสมาชิกที่มีและสามารถกำหนดมาตรฐานได้โดยการเลือกหมายเลขลำดับแรกของขนาดที่แน่นอนเพื่อแทนจำนวนที่สำคัญของขนาดนั้น อินฟินิตี้ลำดับที่เล็กที่สุดเป็นที่ของจำนวนเต็มบวกและการตั้งค่าใด ๆ ซึ่งมี cardinality ของจำนวนเต็มเป็นอนันต์วท์ถ้าเป็นชุดที่มีขนาดใหญ่เกินไปที่จะใส่ในแบบหนึ่งต่อหนึ่งการติดต่อกับจำนวนเต็มบวกก็จะเรียกว่านับไม่ได้มุมมองของ Cantor มีชัยและคณิตศาสตร์สมัยใหม่ยอมรับว่าอินฟินิตี้ที่แท้จริงเป็นส่วนหนึ่งของทฤษฎีที่สอดคล้องและสอดคล้องกัน[40] [41] [ ต้องการหน้า ] ระบบจำนวนขยายบางระบบเช่นตัวเลขไฮเปอร์เรียลจะรวมตัวเลขธรรมดา (จำกัด ) และจำนวนอนันต์ที่มีขนาดแตกต่างกัน [ ต้องการอ้างอิง ]

Cardinality ของความต่อเนื่อง[ แก้ไข]

หนึ่งในผลลัพธ์ที่สำคัญที่สุดของต้นเสียงก็คือว่า cardinality ต่อเนื่องที่เป็นมากกว่าที่หมายเลขธรรมชาติ; นั่นคือมีจำนวนมากขึ้นจริงRกว่าจำนวนธรรมชาติN กล่าวคือต้นเสียงแสดงให้เห็นว่า(ดูข้อโต้แย้งในแนวทแยงของต้นเสียงหรือข้อพิสูจน์ที่นับไม่ได้ครั้งแรกของต้นเสียง ) [42]

ต่อเนื่องสมมติฐานระบุว่าไม่มีการนับระหว่าง cardinality ของ reals และ cardinality ของจำนวนธรรมชาติ, ที่อยู่, (ดูเบ ธ หนึ่ง ) สมมติฐานนี้ไม่สามารถพิสูจน์หรือพิสูจน์ไม่ได้ภายในทฤษฎีเซตของ Zermelo – Fraenkel ที่เป็นที่ยอมรับอย่างกว้างขวางแม้จะถือว่าเป็นสัจพจน์ของการเลือกก็ตาม[43]

เลขคณิตที่สำคัญสามารถใช้เพื่อแสดงไม่เพียง แต่จำนวนจุดในเส้นจำนวนจริงเท่ากับจำนวนจุดในส่วนใด ๆของเส้นนั้น แต่ยังเท่ากับจำนวนจุดบนระนาบและแน่นอน ในพื้นที่มิติ จำกัดใด ๆ [ ต้องการอ้างอิง ]

สามขั้นตอนแรกของโครงสร้างเศษส่วนที่มีขีด จำกัด คือเส้นโค้งการเติมช่องว่างแสดงให้เห็นว่ามีจุดในเส้นมิติเดียวมากพอ ๆ กับสี่เหลี่ยมสองมิติ

ผลลัพธ์แรกเหล่านี้ปรากฏให้เห็นได้จากการพิจารณาตัวอย่างเช่นฟังก์ชันแทนเจนต์ซึ่งให้การติดต่อแบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างช่วงเวลา (−π / 2, π / 2) และ  R (ดูความขัดแย้งของฮิลเบิร์ตเกี่ยวกับโรงแรมแกรนด์ด้วย ). ผลลัพธ์ที่สองได้รับการพิสูจน์โดย Cantor ในปี 1878 แต่ปรากฏให้เห็นอย่างสังหรณ์ใจในปีพ. ศ. 2433 เมื่อGiuseppe Peanoนำเสนอเส้นโค้งเติมช่องว่างเส้นโค้งที่บิดและหมุนได้มากพอที่จะเติมเต็มทั้งสี่เหลี่ยมหรือลูกบาศก์หรือไฮเปอร์คิวบ์หรือพื้นที่มิติ จำกัด เส้นโค้งเหล่านี้สามารถใช้เพื่อกำหนดความสอดคล้องแบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างจุดที่ด้านหนึ่งของสี่เหลี่ยมจัตุรัสกับจุดในสี่เหลี่ยมจัตุรัส [44]

เรขาคณิต[ แก้ไข]

จนถึงปลายศตวรรษที่ 19 ไม่ค่อยมีการพูดถึงอินฟินิตี้ในรูปทรงเรขาคณิตยกเว้นในบริบทของกระบวนการที่สามารถดำเนินต่อไปได้โดยไม่มีขีด จำกัด ตัวอย่างเช่นเส้นคือสิ่งที่ปัจจุบันเรียกว่าส่วนของเส้นตรงโดยมีเงื่อนไขว่าสามารถขยายได้เท่าที่ต้องการ แต่การขยายมันออกไปอย่างไม่มีที่สิ้นสุดนั้นไม่ต้องสงสัยเลย ในทำนองเดียวกันเส้นมักไม่ได้รับการพิจารณาว่าประกอบด้วยจุดจำนวนมาก แต่เป็นตำแหน่งที่อาจวางจุดได้ แม้ว่าจะมีตำแหน่งที่เป็นไปได้มากมายเหลือเฟือ แต่ก็สามารถวางแต้มได้จำนวน จำกัด บนเส้น พยานในเรื่องนี้คือสำนวน "ที่ตั้งของจุดที่ตอบสนองคุณสมบัติบางอย่าง "(เอกพจน์) โดยที่นักคณิตศาสตร์สมัยใหม่มักจะพูดว่า" เซตของจุดที่มีคุณสมบัติ "(พหูพจน์)

ข้อยกเว้นที่หาได้ยากอย่างหนึ่งของแนวคิดทางคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับอินฟินิตี้ที่แท้จริงคือเรขาคณิตแบบโปรเจ็กต์ซึ่งจุดที่ไม่มีที่สิ้นสุดจะถูกเพิ่มเข้าไปในช่องว่างแบบยุคลิดสำหรับการสร้างแบบจำลองเอฟเฟกต์เปอร์สเปคทีฟที่แสดงเส้นขนานที่ตัดกัน "ที่อินฟินิตี้" ในทางคณิตศาสตร์จุดที่ไม่มีที่สิ้นสุดมีข้อดีคือทำให้ไม่ต้องพิจารณากรณีพิเศษบางอย่าง ตัวอย่างเช่นในระนาบโปรเจ็กต์เส้นสองเส้นที่แตกต่างกันตัดกันในจุดเดียวในขณะที่ไม่มีจุดที่ไม่มีที่สิ้นสุดไม่มีจุดตัดสำหรับเส้นขนาน ดังนั้นจึงต้องศึกษาเส้นขนานและไม่ขนานกันในรูปเรขาคณิตคลาสสิกในขณะที่เส้นเหล่านี้ไม่จำเป็นต้องแยกความแตกต่างในรูปทรงเรขาคณิตแบบโพรเจกไทล์

ก่อนที่จะใช้ประโยชน์จากการตั้งทฤษฎีสำหรับการวางรากฐานของคณิตศาสตร์จุดและเส้นที่ถูกมองว่าเป็นหน่วยงานที่มีความโดดเด่นและเป็นจุดที่อาจจะตั้งอยู่บนเส้น ด้วยการใช้ทฤษฎีเซตในคณิตศาสตร์แบบสากลมุมมองได้เปลี่ยนไปอย่างมากตอนนี้ถือว่าเส้นเป็นเซตของจุดและมีคนบอกว่าจุดหนึ่งเป็นของเส้นแทนที่จะตั้งอยู่บนเส้น (อย่างไรก็ตาม ยังคงใช้วลีหลัง)

โดยเฉพาะอย่างยิ่งในวิชาคณิตศาสตร์ที่ทันสมัยเส้นชุดที่ไม่มีที่สิ้นสุด

มิติที่ไม่มีที่สิ้นสุด[ แก้ไข]

พื้นที่เวกเตอร์ที่เกิดขึ้นในคลาสสิกรูปทรงเรขาคณิตที่มีเสมอ จำกัดมิติทั่วไปสองหรือสาม อย่างไรก็ตามสิ่งนี้ไม่ได้บ่งบอกโดยนัยโดยนิยามนามธรรมของปริภูมิเวกเตอร์และสามารถพิจารณาช่องว่างเวกเตอร์ของมิติที่ไม่มีที่สิ้นสุดได้ โดยทั่วไปจะเป็นกรณีนี้ในการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันซึ่งโดยทั่วไปแล้วช่องว่างของฟังก์ชันจะเป็นช่องว่างเวกเตอร์ของมิติที่ไม่มีที่สิ้นสุด

ในโทโพโลยีสิ่งก่อสร้างบางอย่างสามารถสร้างช่องว่างโทโพโลยีของมิติที่ไม่มีที่สิ้นสุด โดยเฉพาะอย่างยิ่งเป็นกรณีของการนี้ช่องว่างห่วงซ้ำ

เศษส่วน[ แก้ไข]

โครงสร้างของวัตถุเศษส่วนถูกย้ำในการขยาย เศษส่วนสามารถขยายได้เรื่อย ๆ โดยไม่สูญเสียโครงสร้างและกลายเป็น "เรียบ"; พวกมันมีเส้นรอบวงไม่สิ้นสุดและสามารถมีพื้นที่ไม่สิ้นสุดหรือ จำกัด ได้ หนึ่งเช่นเส้นโค้งเศษส่วนกับปริมณฑลอนันต์และพื้นที่ จำกัด เป็นเกล็ดหิมะ Koch [ ต้องการอ้างอิง ]

คณิตศาสตร์ไม่มีอินฟินิตี้[ แก้]

Leopold Kroneckerสงสัยในแนวคิดเรื่องอินฟินิตี้และวิธีที่เพื่อนนักคณิตศาสตร์ของเขาใช้มันในช่วงทศวรรษที่ 1870 และ 1880 ความสงสัยนี้ได้รับการพัฒนาในปรัชญาของคณิตศาสตร์ที่เรียกว่าชั่วขณะ finitism , รูปแบบที่รุนแรงของปรัชญาคณิตศาสตร์ในโรงเรียนปรัชญาและคณิตศาสตร์ทั่วไปของconstructivismและintuitionism [45]

ฟิสิกส์[ แก้ไข]

ในทางฟิสิกส์การประมาณของจำนวนจริงใช้สำหรับการวัดอย่างต่อเนื่องและใช้จำนวนธรรมชาติสำหรับการวัดแบบไม่ต่อเนื่อง (เช่นการนับ) แนวคิดเกี่ยวกับสิ่งที่ไม่มีที่สิ้นสุดเช่นคลื่นระนาบที่ไม่มีที่สิ้นสุดมีอยู่จริง แต่ไม่มีวิธีการทดลองในการสร้างสิ่งเหล่านี้ [46]

จักรวาลวิทยา[ แก้]

ข้อเสนอที่ตีพิมพ์ครั้งแรกว่าเอกภพไม่มีที่สิ้นสุดมาจาก Thomas Digges ในปี ค.ศ. 1576 [47]แปดปีต่อมาในปี ค.ศ. 1584 จิออร์ดาโนบรูโนนักปรัชญาและนักดาราศาสตร์ชาวอิตาลีได้เสนอเอกภพที่ไม่มีขอบเขตในจักรวาลและโลกที่ไม่มีที่สิ้นสุด : "มีดวงอาทิตย์นับไม่ถ้วน; โลกจำนวนนับไม่ถ้วนหมุนรอบดวงอาทิตย์ในลักษณะที่คล้ายกับการที่ดาวเคราะห์ทั้งเจ็ดหมุนรอบดวงอาทิตย์ของเราสิ่งมีชีวิตอาศัยอยู่ในโลกเหล่านี้ " [48]

นักจักรวาลวิทยาพยายามค้นหามานานแล้วว่าไม่มีที่สิ้นสุดอยู่ในจักรวาลทางกายภาพของเราหรือไม่: มีดาวจำนวนไม่สิ้นสุดหรือไม่? จักรวาลมีปริมาตรไม่สิ้นสุดหรือไม่? อวกาศ"ดำเนินไปตลอดกาล"หรือไม่? นี่เป็นคำถามที่เปิดกว้างของจักรวาลคำถามของการไม่มีที่สิ้นสุดนั้นแยกออกจากกันอย่างมีเหตุผลจากคำถามของการมีขอบเขต ตัวอย่างเช่นพื้นผิวสองมิติของโลกมีขอบเขต จำกัด แต่ไม่มีขอบ โดยการเดินทางเป็นเส้นตรงตามความโค้งของโลกในที่สุดเราก็จะกลับไปยังจุดเริ่มต้นที่แน่นอน โดยหลักการแล้วจักรวาลอาจมีโทโพโลยีที่คล้ายคลึงกัน. ถ้าเป็นเช่นนั้นในที่สุดใคร ๆ ก็อาจกลับไปยังจุดเริ่มต้นหลังจากเดินทางเป็นเส้นตรงผ่านจักรวาลมานานพอสมควร [49]

ความโค้งของจักรวาลที่สามารถวัดได้ผ่านช่วงเวลาที่ multipoleในสเปกตรัมของรังสีพื้นหลังของจักรวาล จนถึงปัจจุบันการวิเคราะห์รูปแบบการแผ่รังสีที่บันทึกโดยยานอวกาศWMAPบอกเป็นนัยว่าเอกภพมีโทโพโลยีแบบแบน สิ่งนี้จะสอดคล้องกับจักรวาลทางกายภาพที่ไม่มีที่สิ้นสุด [50] [51] [52]

อย่างไรก็ตามเอกภพอาจมีขอบเขต จำกัด แม้ว่าความโค้งของมันจะแบนก็ตาม วิธีง่ายๆในการทำความเข้าใจคือพิจารณาตัวอย่างสองมิติเช่นวิดีโอเกมที่รายการที่ออกจากขอบหน้าจอด้านหนึ่งปรากฏขึ้นอีกครั้ง โทโพโลยีของเกมดังกล่าวเป็นแบบtoroidalและรูปทรงเรขาคณิตแบน ความเป็นไปได้ที่เป็นไปได้ที่มีขอบเขตและแบนจำนวนมากยังมีอยู่สำหรับพื้นที่สามมิติ [53]

แนวคิดของอินฟินิตี้ยังขยายไปถึงลิขสิทธิ์สมมติฐานซึ่งเมื่ออธิบายโดยนักฟิสิกส์ดาราศาสตร์เช่นMichio Kaku , posits ว่ามีจำนวนอนันต์และความหลากหลายของจักรวาล [54]

ตรรกะ[ แก้ไข]

ในตรรกะการถอยหลังอนันต์อาร์กิวเมนต์เป็น "ชนิดปรัชญาชัดเจนของการโต้แย้งที่อ้างตัวว่าแสดงให้เห็นว่าวิทยานิพนธ์มีข้อบกพร่องเพราะมันสร้างแบบไม่มีที่สิ้นสุดเมื่อทั้ง (แบบ A) ไม่มีชุดดังกล่าวอยู่หรือ (แบบ B) มีมันอยู่ที่ วิทยานิพนธ์จะขาดบทบาท (เช่นการให้เหตุผล) ที่ควรจะเล่น” [55]

คอมพิวเตอร์[ แก้ไข]

IEEE จุดลอยตัวมาตรฐาน (IEEE 754) ระบุในเชิงบวกและค่าลบอินฟินิตี้ (และยังไม่แน่นอนค่า) เหล่านี้จะถูกกำหนดเป็นผลมาจากการล้นเลขคณิต , หารด้วยศูนย์และการดำเนินงานที่โดดเด่นอื่น ๆ [56]

ภาษาโปรแกรมบางภาษาเช่นJava [57]และJ , [58]ช่วยให้โปรแกรมเมอร์สามารถเข้าถึงค่าอินฟินิตี้ที่เป็นบวกและลบเป็นค่าคงที่ของภาษาได้อย่างชัดเจน สิ่งเหล่านี้สามารถใช้เป็นองค์ประกอบที่ยิ่งใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดเนื่องจากเปรียบเทียบ (ตามลำดับ) มากกว่าหรือน้อยกว่าค่าอื่น ๆ ทั้งหมด พวกเขามีการใช้เป็นค่าแมวมองในขั้นตอนวิธีการที่เกี่ยวข้องกับการจัดเรียง , ค้นหาหรือwindowing [ ต้องการอ้างอิง ]

ในภาษาที่ไม่ได้ยิ่งใหญ่ที่สุดและองค์ประกอบอย่างน้อย แต่ไม่อนุญาตให้มีการบรรทุกเกินพิกัดของผู้ประกอบการเชิงสัมพันธ์ก็เป็นไปได้สำหรับโปรแกรมเมอร์ที่จะสร้างที่ยิ่งใหญ่ที่สุดและอย่างน้อยองค์ประกอบ ในภาษาที่ไม่ได้ให้การเข้าถึงค่าดังกล่าวอย่างชัดเจนจากสถานะเริ่มต้นของโปรแกรม แต่ใช้ชนิดข้อมูลจุดลอยตัวค่าอินฟินิตี้อาจยังคงสามารถเข้าถึงได้และใช้งานได้เนื่องจากการดำเนินการบางอย่าง [ ต้องการอ้างอิง ]

ในการเขียนโปรแกรมลูปแบบไม่มีที่สิ้นสุดคือลูปที่เงื่อนไขการออกไม่เป็นที่พอใจดังนั้นจึงดำเนินการไปเรื่อย ๆ

ศิลปะเกมและวิทยาศาสตร์ทางปัญญา[ แก้ไข]

งานศิลปะPerspectiveใช้แนวคิดของจุดที่หายไปโดยประมาณซึ่งสอดคล้องกับจุดทางคณิตศาสตร์ที่ไม่มีที่สิ้นสุดซึ่งอยู่ในระยะไม่สิ้นสุดจากผู้สังเกต สิ่งนี้ช่วยให้ศิลปินสามารถสร้างภาพวาดที่แสดงพื้นที่ระยะทางและรูปแบบได้อย่างสมจริง [59]ศิลปินMC Escherเป็นที่รู้จักโดยเฉพาะในการใช้แนวคิดเรื่องอินฟินิตี้ในงานของเขาในรูปแบบนี้และวิธีอื่น ๆ [ ต้องการอ้างอิง ]

รูปแบบของการเล่นหมากรุกเล่นบนกระดานมากมายจะเรียกว่าหมากรุกอนันต์ [60] [61]

George Lakoff นักวิทยาศาสตร์ด้านความรู้ความเข้าใจมองว่าแนวคิดเรื่องอนันต์ในคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์เป็นอุปมา มุมมองนี้เป็นไปตามอุปมาพื้นฐานของอินฟินิตี้ (BMI) ซึ่งกำหนดให้เป็นลำดับที่เพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ <1,2,3, ... > [62]

สัญลักษณ์นี้มักใช้ในเชิงโรแมนติกเพื่อแสดงถึงความรักนิรันดร์ เครื่องประดับหลายประเภทถูกออกแบบให้เป็นรูปทรงอินฟินิตี้เพื่อจุดประสงค์นี้ [ ต้องการอ้างอิง ]

ดูเพิ่มเติม[ แก้ไข]

  • 0.999 ...
  • หมายเลข Aleph
  • อนันต
  • การยกกำลัง
  • แบบฟอร์มไม่แน่นอน
  • ทฤษฎีบทลิงไม่มีที่สิ้นสุด
  • ชุดไม่มีที่สิ้นสุด
  • น้อยที่สุด
  • ความขัดแย้งของอินฟินิตี้
  • Supertask
  • จำนวนเหนือจริง

อ้างอิง[ แก้ไข]

  1. ^ "แตกหักคำศัพท์อุดมศึกษาคณิตศาสตร์ศัพท์แสง - ไม่มีที่สิ้นสุด" คณิตศาสตร์ห้องนิรภัย 2019-08-01 . สืบค้นเมื่อ2019-11-15 .
  2. ^ a b c d e f Allen, Donald (2003) "ประวัติความเป็นมาของอินฟินิตี้" (PDF) Texas A & M คณิตศาสตร์ สืบค้นเมื่อ2019-11-15 .
  3. ^ a b Jesseph, Douglas Michael (1998) "ไลบนิซบนพื้นฐานของแคลคูลัส: คำถามของความเป็นจริงของขนาดเล็ก ๆ น้อย ๆ"มุมมองเกี่ยวกับวิทยาศาสตร์ 6 (1 & 2): 6–40. ISSN 1063-6145 OCLC 42413222ที่เก็บถาวรจากเดิมเมื่อวันที่ 15 กุมภาพันธ์ 2010 สืบค้นเมื่อ1 พฤศจิกายน 2562 .  
  4. ^ ontologicalสถานะของ infinitesimals ก็ชัดเจน แต่เพียงบางส่วนนักคณิตศาสตร์เล็กถือได้ว่าเป็นปริมาณที่มีขนาดเล็ก (ขนาด) กว่าจำนวนบวกใด ๆ คนอื่น ๆ มองว่ามันไม่ว่าจะเป็นสิ่งประดิษฐ์ที่ทำให้การคำนวณง่ายขึ้นหรือเป็นปริมาณขนาดเล็กที่สามารถทำให้มีขนาดเล็กและมีขนาดเล็กจนปริมาณในการที่จะเป็นถึงมีส่วนร่วมในที่สุดขีด จำกัด [ ต้องการอ้างอิง ]
  5. ^ โกเวอร์ทิโมธี; Barrow-Green, มิถุนายน; ผู้นำ Imre (2008) สหายพรินซ์ตันคณิตศาสตร์ สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยพรินซ์ตัน น. 616. ISBN 978-0-691-11880-2. สืบค้นจากต้นฉบับเมื่อ 2016-06-03. Extract of page 616 Archived 2016-05-01 ที่Wayback Machine
  6. ^ แมดดอกซ์ 2002 , PP. 113-117
  7. ^ McLarty โคลิน (2010) "การพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ต้องใช้อะไรบ้าง Grothendieck และตรรกะของทฤษฎีจำนวน" Bulletin ของสัญลักษณ์ Logic 16 (3): 359–377 ดอย : 10.2178 / bsl / 1286284558 .
  8. ^ วอลเลซ 2004พี 44
  9. ^ อริสโตเติล ฟิสิกส์ . แปลโดย Hardie, RP; Gaye, RK คลังอินเทอร์เน็ตคลาสสิก เล่ม 3 บทที่ 5–8
  10. ^ นิโคลัสดีกู๊ดแมน (1981) Richman, F. (ed.). "ภาพสะท้อนปรัชญาคณิตศาสตร์ของบิชอป". คณิตศาสตร์เชิงสร้างสรรค์. เอกสารประกอบการบรรยายวิชาคณิตศาสตร์ . สปริงเกอร์. 873 .
  11. ^ Maor, พี. 3
  12. ^ ฮี ธ เซอร์โทมัสน้อย ; ไฮแบร์กโยฮันลุดวิก (2451) สิบสามหนังสือของ Euclid 's องค์ประกอบ ข้อ 2 . สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัย. น. 412 (เล่ม IX ข้อเสนอ 20).
  13. ^ Hutten, Earnest เอช (1962) ต้นกำเนิดของวิทยาศาสตร์: สอบถามไปฐานรากของเวสเทิร์ความคิด จอร์จอัลเลนและ Unwin Ltd. p. 135 .
  14. ^ Euclid (2008) [ค. 300 ปีก่อนคริสตกาล]. Euclid 's องค์ประกอบของรูปทรงเรขาคณิต (PDF) แปลโดย Fitzpatrick, Richard น. 6 (เล่มที่ 1, สมมุติฐาน 5). ISBN  978-0-6151-7984-1.
  15. ^ ฮี ธ เซอร์โทมัสน้อย ; ไฮแบร์กโยฮันลุดวิก (2451) สิบสามหนังสือของ Euclid 's องค์ประกอบ ข้อ 1 . สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัย. น. 212.
  16. ^ Drozdek, Adam (2008).In the Beginning Was the Apeiron : Infinity in Greek Philosophy. สตุ๊ตการ์ทเยอรมนี: Franz Steiner Verlag ISBN 978-3-515-09258-6.
  17. ^ "นักปราชญ์ของความขัดแย้ง" มหาวิทยาลัยสแตนฟอ 15 ตุลาคม 2010 สืบค้นเมื่อ3 เมษายน 2560 .
  18. ^ รัสเซล 1996พี 347
  19. ^ Cauchy, Augustin หลุยส์ (1821) Cours d'วิเคราะห์ de l'École Polytechnique Libraires du Roi & de la Bibliothèque du Roi น. 124 . สืบค้นเมื่อ12 ตุลาคม 2562 .
  20. ^ เอียนสจ๊วต (2017) Infinity: บทนำสั้นสำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ด น. 117. ISBN 978-0-19-875523-4. สืบค้นจากต้นฉบับเมื่อวันที่ 3 เมษายน 2017
  21. ^ Cajori, Florian (2007) ประวัติความเป็นมาของสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ 1 . Cosimo, Inc. น. 214. ISBN 9781602066854.
  22. ^ Cajori 1993 , Sec 421 ฉบับ II, พี. 44
  23. ^ Cajori 1993 , Sec 435 ฉบับ II, พี. 58
  24. ^ Grattan-กินเนสส์อิวอร์ (2005) Landmark Writings in Western Mathematics 1640-1940 . เอลส์เวียร์. น. 62. ISBN 978-0-08-045744-4. สืบค้นจากต้นฉบับเมื่อ 2016-06-03. สารสกัดพี. 62
  25. ^ ไวล์, แฮร์มันน์ (2012) ปีเตอร์ Pesic (Ed.) ระดับของอินฟินิตี้ / เลือกเขียนคณิตศาสตร์และปรัชญาโดเวอร์พี 17, ISBN 978-0-486-48903-2
  26. ^ AG, Compart. "อักขระ Unicode" ∞ "(U + 221E)" . Compart.com . สืบค้นเมื่อ2019-11-15 .
  27. ^ "รายการของสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์น้ำยาง - OeisWiki" oeis.org . สืบค้นเมื่อ2019-11-15 .
  28. ^ สกอตต์โจเซฟเฟรเดอริ (1981) ผลงานทางคณิตศาสตร์ของจอห์นวอล DD, FRS (1616-1703) (2 Ed.), สมาคมคณิตศาสตร์อเมริกันพี 24, ISBN 978-0-8284-0314-6, เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 2016-05-09
  29. ^ มาร์ตินLöfต่อ (1990), "วิชาคณิตศาสตร์ของอินฟินิตี้" COLOG-88 (ทาลลินน์, 1988)บรรยายในวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์, 417 , เบอร์ลิน:. สปริงเกอร์, PP 146-197, ดอย : 10.1007 / 3-540 -52335-9_54 , ISBN 978-3-540-52335-2, MR  1064143
  30. ^ O'Flaherty, Wendy Doniger (1986), Dreams, Illusion, and other Realities , University of Chicago Press, p. 243, ISBN 978-0-226-61855-5, เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 2016-06-29
  31. ^ Toker, Leona (1989), Nabokov: ความลึกลับของโครงสร้างวรรณกรรม , Cornell University Press พี 159, ISBN 978-0-8014-2211-9, เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 2016-05-09
  32. ^ เบลล์, จอห์นเลน "ความต่อเนื่องและทารกน้อย" . ในZalta, Edward N. (ed.) สารานุกรมปรัชญาสแตนฟอร์ด .
  33. ^ เทย์เลอร์ 1955พี 63
  34. ^ การ ใช้อินฟินิตี้สำหรับปริพันธ์และอนุกรมสามารถพบได้ในข้อความแคลคูลัสมาตรฐานใด ๆ เช่น Swokowski 1983หน้า 468-510
  35. ^ "ถูกต้องแตกต่างลำดับ - Mathonline" mathonline.wikidot.com . สืบค้นเมื่อ2019-11-15 .
  36. ^ Aliprantis, Charalambos D.; Burkinshaw, Owen (1998), Principles of Real Analysis (3rd ed.), San Diego, CA: Academic Press, Inc. , p. 29, ISBN 978-0-12-050257-8, MR  1669668 , เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 2015-05-15
  37. ^ Gemignani 1990พี 177
  38. ^ Beutelspacher อัลเบรชต์; Rosenbaum, Ute (1998), Projective Geometry / จากฐานรากจนถึงการใช้งาน , Cambridge University Press, p. 27, ISBN 978-0-521-48364-3
  39. ^ Weisstein, Eric W. "Extended Complex Plane" . mathworld.wolfram.com . สืบค้นเมื่อ2019-11-15 .
  40. ^ "อินฟินิตี้" math.dartmouth.edu สืบค้นเมื่อ2019-11-16 .
  41. ^ มัวร์ AW (1991). ไม่มีที่สิ้นสุด เส้นทาง
  42. ^ Dauben โจเซฟ (1993) "เฟรดต้นเสียงและการสู้รบ transfinite ทฤษฎีเซต" (PDF) การดำเนินการประชุม ACMS ครั้งที่ 9 : 4.
  43. ^ โคเฮน 1963พี 1143
  44. ^ เซแกน 1994 , PP. 10-12
  45. ^ Kline 1972 , PP. 1197-1198
  46. ^ Doric Lenses Archived 2013-01-24 ที่เครื่อง Wayback Machine - หมายเหตุการใช้งาน - Axicons - 2. การกระจายความเข้ม สืบค้นเมื่อ 7 เมษายน 2557.
  47. ^ จอห์นกริบบิน (2009)ในการค้นหาของลิขสิทธิ์: โลกคู่ขนานซ่อนขนาดและเควสที่ดีที่สุดสำหรับพรมแดนของความเป็นจริง , ISBN 978-0-470-61352-8 น. 88 
  48. ^ เบรคมาร์ค (2013). ชีวิตคนต่างด้าว Imagined: การสื่อสารวิทยาศาสตร์และวัฒนธรรมแห่ง Astrobiology ฟิสิกส์วันนี้ . 67 (ภาพประกอบเอ็ด) สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ น. 63. Bibcode : 2014PhT .... 67f..49S . ดอย : 10.1063 / PT.3.2420 . ISBN 978-0-521-49129-7. สารสกัดพี. 63
  49. ^ Koupelis ธีโอ; Kuhn, Karl F. (2007). ใน Quest of the Universe (ภาพประกอบเอ็ด) การเรียนรู้ของ Jones & Bartlett น. 553. ISBN 978-0-7637-4387-1. สารสกัดพี. 553
  50. ^ "จักรวาลจะขยายไปตลอดกาลหรือไม่" . นาซ่า. 24 มกราคม 2557. สืบค้นเมื่อวันที่ 1 มิถุนายน 2555 . สืบค้นเมื่อ16 มีนาคม 2558 .
  51. ^ "จักรวาลของเราคือแบน" FermiLab / SLAC 7 เมษายน 2558. สืบค้นเมื่อ 10 เมษายน 2558.
  52. ^ มาร์คัสวายยู (2011) "การเชื่อมต่อที่ไม่คาดคิด" วิศวกรรมและวิทยาศาสตร์ LXXIV1:30 น.
  53. ^ สัปดาห์เจฟฟรีย์ (2544). รูปร่างของพื้นที่ CRC Press. ISBN 978-0-8247-0709-5.
  54. ^ Kaku, M. (2549). โลกคู่ขนาน Knopf Doubleday Publishing Group
  55. ^ เคมบริดจ์พจนานุกรมปรัชญาพิมพ์ครั้งที่สองพี 429
  56. ^ "อินฟินิตี้และน่าน (ลิขสิทธิ์ GNU C Library)" www.gnu.org . สืบค้นเมื่อ2021-03-15 .
  57. ^ ลูกห่านเจมส์; และคณะ (27 กรกฎาคม 2555). "4.2.3." . ข้อกำหนดภาษา Java (Java SE 7 ed.) แคลิฟอร์เนีย: ออราเคิล America, Inc ที่จัดเก็บจากเดิมในวันที่ 9 มิถุนายน 2012 สืบค้นเมื่อ6 กันยายน 2555 .
  58. ^ คส์โรเจอร์ (กรกฎาคม 2012) "19.2.1" . การเรียนรู้ J ที่เก็บถาวรจากเดิมเมื่อวันที่ 25 มีนาคม 2012 สืบค้นเมื่อ6 กันยายน 2555 .
  59. ^ Kline, มอร์ริส (1985) คณิตศาสตร์สำหรับ nonmathematician สิ่งพิมพ์ Courier Dover น. 229 . ISBN 978-0-486-24823-3., ตอนที่ 10-7, น. 229 Archived 2016-05-16 ที่Wayback Machine
  60. ^ หมากรุกไม่มีที่สิ้นสุดที่ Chess Variant Pages Archived 2017-04-02 ที่ Wayback Machineโครงการหมากรุกที่ไม่มีที่สิ้นสุด
  61. ^ "Infinite Chess, PBS Infinite Series" เก็บถาวรเมื่อ 2017-04-07 ที่ Wayback Machine PBS Infinite Series โดยมีแหล่งข้อมูลทางวิชาการโดย J. Hamkins (หมากรุกไม่มีที่สิ้นสุด: Evans, CDA; Joel David Hamkins (2013) "คุณค่าของเกมที่ไม่มีที่สิ้นสุดใน หมากรุกไม่มีที่สิ้นสุด ". arXiv : 1302.4377 [ math.LO ].และอีแวนส์, CDA; โจเอลเดวิดแฮมกินส์; Norman Lewis Perlmutter (2015). "ตำแหน่งในหมากรุกที่ไม่มีที่สิ้นสุดพร้อมมูลค่าเกม $ ω ^ 4 $" arXiv : 1510.08155 [ math.LO ].).
  62. ^ http://www.se.rit.edu/~yasmine/assets/papers/Embodied%20math.pdf

บรรณานุกรม[ แก้ไข]

  • Cajori, Florian (1993) [1928 & 1929], A History of Mathematical Notations (Two Volumes Bound as One), Dover, ISBN 978-0-486-67766-8
  • Gemignani, Michael C. (1990), Elementary Topology (2nd ed.), Dover, ISBN 978-0-486-66522-1
  • Keisler, H. Jerome (1986), Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals (2nd ed.)
  • Maddox, Randall B. (2002), Mathematical Thinking and Writing: A Transition to Abstract Mathematics, Academic Press, ISBN 978-0-12-464976-7
  • Kline, Morris (1972), Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, New York: Oxford University Press, pp. 1197–1198, ISBN 978-0-19-506135-2
  • Russell, Bertrand (1996) [1903], The Principles of Mathematics, New York: Norton, ISBN 978-0-393-31404-5, OCLC 247299160
  • Sagan, Hans (1994), Space-Filling Curves, Springer, ISBN 978-1-4612-0871-6
  • Swokowski, Earl W. (1983), Calculus with Analytic Geometry (Alternate ed.), Prindle, Weber & Schmidt, ISBN 978-0-87150-341-1
  • Taylor, Angus E. (1955), Advanced Calculus, Blaisdell Publishing Company
  • Wallace, David Foster (2004), Everything and More: A Compact History of Infinity, Norton, W.W. & Company, Inc., ISBN 978-0-393-32629-1

Sources[edit]

  • Aczel, Amir D. (2001). The Mystery of the Aleph: Mathematics, the Kabbalah, and the Search for Infinity. New York: Pocket Books. ISBN 978-0-7434-2299-4.
  • D.P. Agrawal (2000). Ancient Jaina Mathematics: an Introduction, Infinity Foundation.
  • Bell, J.L.: Continuity and infinitesimals. Stanford Encyclopedia of philosophy. Revised 2009.
  • Cohen, Paul (1963), "The Independence of the Continuum Hypothesis", Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, 50 (6): 1143–1148, Bibcode:1963PNAS...50.1143C, doi:10.1073/pnas.50.6.1143, PMC 221287, PMID 16578557.
  • Jain, L.C. (1982). Exact Sciences from Jaina Sources.
  • Jain, L.C. (1973). "Set theory in the Jaina school of mathematics", Indian Journal of History of Science.
  • Joseph, George G. (2000). The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics (2nd ed.). Penguin Books. ISBN 978-0-14-027778-4.
  • H. Jerome Keisler: Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals. First edition 1976; 2nd edition 1986. This book is now out of print. The publisher has reverted the copyright to the author, who has made available the 2nd edition in .pdf format available for downloading at http://www.math.wisc.edu/~keisler/calc.html
  • Eli Maor (1991). To Infinity and Beyond. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-02511-7.
  • O'Connor, John J. and Edmund F. Robertson (1998). 'Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor', MacTutor History of Mathematics archive.
  • O'Connor, John J. and Edmund F. Robertson (2000). 'Jaina mathematics', MacTutor History of Mathematics archive.
  • Pearce, Ian. (2002). 'Jainism', MacTutor History of Mathematics archive.
  • Rucker, Rudy (1995). Infinity and the Mind: The Science and Philosophy of the Infinite. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-00172-2.
  • Singh, Navjyoti (1988). "Jaina Theory of Actual Infinity and Transfinite Numbers". Journal of the Asiatic Society. 30.

External links[edit]

  • "The Infinite". Internet Encyclopedia of Philosophy.
  • Infinity on In Our Time at the BBC
  • A Crash Course in the Mathematics of Infinite Sets, by Peter Suber. From the St. John's Review, XLIV, 2 (1998) 1–59. The stand-alone appendix to Infinite Reflections, below. A concise introduction to Cantor's mathematics of infinite sets.
  • Infinite Reflections, by Peter Suber. How Cantor's mathematics of the infinite solves a handful of ancient philosophical problems of the infinite. From the St. John's Review, XLIV, 2 (1998) 1–59.
  • Grime, James. "Infinity is bigger than you think". Numberphile. Brady Haran. Archived from the original on 2017-10-22. Retrieved 2013-04-06.
  • Hotel Infinity
  • John J. O'Connor and Edmund F. Robertson (1998). 'Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor', MacTutor History of Mathematics archive.
  • John J. O'Connor and Edmund F. Robertson (2000). 'Jaina mathematics', MacTutor History of Mathematics archive.
  • Ian Pearce (2002). 'Jainism', MacTutor History of Mathematics archive.
  • Source page on medieval and modern writing on Infinity
  • The Mystery Of The Aleph: Mathematics, the Kabbalah, and the Search for Infinity
  • Dictionary of the Infinite (compilation of articles about infinity in physics, mathematics, and philosophy)