รูปภาพ (คณิตศาสตร์)

คำว่า "ภาพ" ใช้ในสามวิธีที่เกี่ยวข้อง ในคำนิยามเหล่านี้, F  : X → Yเป็นฟังก์ชั่นจากชุด XไปยังชุดY

ภาพขององค์ประกอบ

ถ้าxเป็นสมาชิกของXแล้ว ภาพของxภายใต้fแสดงว่าf ( x ) ^[1]คือค่าของfเมื่อใช้กับx F ( x ) เป็นที่รู้จักกันผลัดกันเป็นผลผลิตของFสำหรับอาร์กิวเมนต์x

รูปภาพของเซตย่อย

ภาพของเซตย่อยA ⊆ Xภายใต้fแสดงว่า${\displaystyle f[A]}$เป็นเซตย่อยของYซึ่งสามารถกำหนดได้โดยใช้สัญกรณ์ set-builderดังนี้: ^{[2] [3]}

${\displaystyle f[A]=\{f(x)\mid x\in A\}}$

เมื่อไม่มีความเสี่ยงที่จะเกิดความสับสน ${\displaystyle f[A]}$ เขียนง่ายๆ ว่า ${\displaystyle f(A)}$. อนุสัญญานี้เป็นเรื่องธรรมดา ความหมายที่ตั้งใจจะต้องอนุมานจากบริบท นี้จะทำให้ฉ [.] ฟังก์ชั่นที่มีโดเมนเป็นอำนาจตั้งของX (ชุดทั้งหมดย่อยของX ) และมีโคโดเมนเป็นชุดพลังของY ดู§ สัญกรณ์ด้านล่างสำหรับข้อมูลเพิ่มเติม

ภาพของฟังก์ชัน

ภาพของการทำงานเป็นภาพของทั้งของโดเมนยังเป็นที่รู้จักเป็นช่วงของการทำงาน ^[4]

ลักษณะทั่วไปของความสัมพันธ์แบบไบนารี

ถ้าRเป็นความสัมพันธ์แบบไบนารีโดยพลการบนX × Yดังนั้นเซต { y∈ Y | XRYสำหรับบางx ∈ X } เรียกว่าภาพหรือช่วงของR เซตคู่ { x ∈ X | XRYสำหรับบางy∈ Y } เรียกว่าโดเมนของR

Let ฉเป็นฟังก์ชั่นจากXไปY preimageหรือตรงกันข้ามภาพของชุดB ⊆ Yภายใต้ฉ , แสดงโดย${\displaystyle f^{-1}[B]}$, เป็นเซตย่อยของX ที่กำหนดโดย

${\displaystyle f^{-1}[B]=\{x\in X\,|\,f(x)\in B\}.}$

สัญลักษณ์อื่น ๆ ได้แก่ฉ ^-1 ( B ) ^[5]และF  ^- ( B ) ^[6]ภาพที่ผกผันของเดี่ยว , แสดงโดยฉ ^-1 [{ Y }] หรือฉ ^-1 [ Y ] จะเรียกว่าไฟเบอร์มากกว่าปีหรือชุดระดับของปี ชุดของเส้นใยทั้งหมดมากกว่าองค์ประกอบของYเป็นครอบครัวของชุดการจัดทำดัชนีโดยY

ตัวอย่างเช่น สำหรับฟังก์ชันf ( x ) = x ²ภาพผกผันของ {4} จะเป็น {−2, 2} อีกครั้ง หากไม่มีความเสี่ยงที่จะเกิดความสับสนf  ^-1 [ B ] สามารถเขียนแทนด้วยf  ^-1 ( B ) และf  ^-1สามารถคิดได้ว่าเป็นฟังก์ชันจากชุดกำลังของYถึงชุดกำลังของX สัญกรณ์ฉ ^-1ไม่ควรจะสับสนกับว่าสำหรับฟังก์ชันผกผันแม้ว่ามันจะเกิดขึ้นพร้อมกับหนึ่งปกติสำหรับ bijections ในการที่ภาพผกผันของBภายใต้ฉเป็นภาพของBภายใต้เอฟ -1 

สัญกรณ์ดั้งเดิมที่ใช้ในส่วนก่อนหน้าอาจสร้างความสับสน อีกทางเลือกหนึ่ง^[7]คือการตั้งชื่อที่ชัดเจนสำหรับรูปภาพและพรีอิมเมจเป็นฟังก์ชันระหว่างชุดกำลัง:

สัญกรณ์ลูกศร

• ${\displaystyle f^{\rightarrow }:{\mathcal {P}}(X)\rightarrow {\mathcal {P}}(Y)}$ กับ ${\displaystyle f^{\rightarrow }(A)=\{f(a)\;|\;a\in A\}}$
• ${\displaystyle f^{\leftarrow }:{\mathcal {P}}(Y)\rightarrow {\mathcal {P}}(X)}$ กับ ${\displaystyle f^{\leftarrow }(B)=\{a\in X\;|\;f(a)\in B\}}$

สัญกรณ์ดาว

• ${\displaystyle f_{\star }:{\mathcal {P}}(X)\rightarrow {\mathcal {P}}(Y)}$ แทน ${\displaystyle f^{\rightarrow }}$
• ${\displaystyle f^{\star }:{\mathcal {P}}(Y)\rightarrow {\mathcal {P}}(X)}$ แทน ${\displaystyle f^{\leftarrow }}$

คำศัพท์อื่นๆ

• สัญกรณ์ทางเลือกสำหรับf [ A ] ที่ใช้ในตรรกะทางคณิตศาสตร์และทฤษฎีเซตคือf  " A . ^{[8] [9]}
• บางตำราหมายถึงภาพของFเป็นช่วงของฉแต่การใช้งานนี้ควรหลีกเลี่ยงเพราะคำว่า "ช่วง" นอกจากนี้ยังเป็นที่นิยมใช้หมายถึงโคโดเมนของฉ

1. f : {1, 2, 3} → { a, b, c, d } กำหนดโดย${\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{matrix}a,&{\mbox{if }}x=1\\a,&{\mbox{if }}x=2\\c, &{\mbox{if }}x=3.\end{matrix}}\right.}$
   ภาพของชุด {2, 3} ภายใต้ฉคือF ({2, 3}) = { A, C } ภาพของฟังก์ชันฉคือ { A, C } พรีอิมเมจของaคือf  ^-1 ({ a }) = {1, 2} พรีอิมเมจของ { a, b } ก็คือ {1, 2} ด้วย พรีอิมเมจของ { b , d } คือเซตว่าง {}
2. ฉ : R → Rกำหนดโดยฉ ( x ) = x 2
   ภาพของ {-2, 3} ภายใต้ฉคือF ({-2, 3}) = {4, 9} และภาพของFคือR + พรีอิมเมจของ {4, 9} ภายใต้fคือf  ^-1 ({4, 9}) = {−3, −2, 2, 3} พรีอิมเมจของเซตN = { n ∈ R | n < 0} ภายใต้fคือเซตว่าง เนื่องจากจำนวนลบไม่มีรากที่สองในชุดของจำนวนจริง
3. ฉ : R ² → Rกำหนดโดยฉ ( x , Y ) = x ² + y ที่ 2
   เส้นใย ฉ ^-1 ({ }) เป็นวงกลมเกี่ยวกับต้นกำเนิดของต้นกำเนิดของตัวเองและชุดที่ว่างเปล่าขึ้นอยู่กับว่า> 0 = 0 หรือ<0 ตามลำดับ
4. ถ้าMเป็นนานาและπ : TM → Mเป็นที่ยอมรับประมาณการจากการสัมผัสกันมัด TMเพื่อMแล้วเส้นใยของπเป็นพื้นที่สัมผัส T _x ( M ) สำหรับx ∈ M และนี่ก็เป็นตัวอย่างของหนึ่งมัดเส้นใย
5. กลุ่มผลหารคือภาพที่มีพฤติกรรมคล้ายคลึงกัน

ตัวอย่างที่นับตามจำนวนจริง ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ที่กำหนดโดย ${\displaystyle x\mapsto x^{2},}$ แสดงให้เห็นว่าโดยทั่วไปแล้วความเท่าเทียมกัน ไม่จำเป็นต้องยึดถือกฎหมายบางข้อ:
รูปภาพแสดงชุดที่ไม่เท่ากัน: ${\displaystyle f\left(A_{1}\cap A_{2}\right)\subsetneq f\left(A_{1}\right)\cap f\left(A_{2}\right).}$ ชุด ${\displaystyle A_{1}=[-4,2]}$ และ ${\displaystyle A_{2}=[-2,4]}$จะแสดงเป็น สีน้ำเงินทันทีด้านล่าง ${\displaystyle x}$-แกนในขณะที่สี่แยกของพวกเขา ${\displaystyle A_{3}=[-2,2]}$จะปรากฏใน สีเขียว
${\displaystyle f\left(f^{-1}\left(B_{3}\right)\right)\subsetneq B_{3}.}$
${\displaystyle f^{-1}\left(f\left(A_{4}\right)\right)\supsetneq A_{4}.}$

ทั่วไป

สำหรับทุกฟังก์ชั่น ${\displaystyle f:X\to Y}$ และส่วนย่อยทั้งหมด ${\displaystyle A\subseteq X}$ และ ${\displaystyle B\subseteq Y,}$ คุณสมบัติดังต่อไปนี้ถือ:

ภาพ	พรีอิมเมจ
${\displaystyle f(X)\subseteq Y}$	${\displaystyle f^{-1}(Y)=X}$
${\displaystyle f(f^{-1}(Y))=f(X)}$	${\displaystyle f^{-1}(f(X))=X}$
${\displaystyle f(f^{-1}(B))\subseteq B}$ (เท่ากับถ้า ${\displaystyle B\subseteq f(X)}$, เช่น ${\displaystyle f}$เป็นสมมุติฐาน) [10] [11]	${\displaystyle f^{-1}(f(A))\supeteq A}$ (เท่ากับถ้า ${\displaystyle f}$เป็นการฉีด) [10] [11]
${\displaystyle f(f^{-1}(B))=B\cap f(X)}$	${\displaystyle (f\vert _{A})^{-1}(B)=A\cap f^{-1}(B)}$
${\displaystyle f(f^{-1}(f(A)))=f(A)}$	${\displaystyle f^{-1}(f(f^{-1}(B)))=f^{-1}(B)}$
${\displaystyle f(A)=\varnothing \Leftrightarrow A=\varnothing }$	${\displaystyle f^{-1}(B)=\varnothing \Leftrightarrow B\subseteq Y\setminus f(X)}$
${\displaystyle f(A)\supseteq B\Leftrightarrow \exists C\subseteq A:f(C)=B}$	${\displaystyle f^{-1}(B)\supseteq A\Leftrightarrow f(A)\subseteq B}$
${\displaystyle f(A)\supseteq f(X\setminus A)\Leftrightarrow f(A)=f(X)}$	${\displaystyle f^{-1}(B)\supseteq f^{-1}(Y\setminus B)\Leftrightarrow f^{-1}(B)=X}$
${\displaystyle f(X\setminus A)\supseteq f(X)\setminus f(A)}$	${\displaystyle f^{-1}(Y\setminus B)=X\setminus f^{-1}(B)}$[10]
${\displaystyle f(A\cup f^{-1}(B))\subseteq f(A)\cup B}$(12)	${\displaystyle f^{-1}(f(A)\cup B)\supeteq A\cup f^{-1}(B)}$(12)
${\displaystyle f(A\cap f^{-1}(B))=f(A)\cap B}$(12)	${\displaystyle f^{-1}(f(A)\cap B)\supseteq A\cap f^{-1}(B)}$(12)

นอกจากนี้:

• ${\displaystyle f(A)\cap B=\varnothing \Leftrightarrow A\cap f^{-1}(B)=\varnothing }$

หลายฟังก์ชั่น

สำหรับฟังก์ชั่น ${\displaystyle f:X\to Y}$ และ ${\displaystyle g:Y\to Z}$ กับเซตย่อย ${\displaystyle A\subseteq X}$ และ ${\displaystyle C\subseteq Z,}$ คุณสมบัติดังต่อไปนี้ถือ:

• ${\displaystyle (g\circ f)(A)=g(f(A))}$
• ${\displaystyle (g\circ f)^{-1}(C)=f^{-1}(g^{-1}(C))}$

โดเมนหรือโคโดเมนหลายชุดย่อย

สำหรับฟังก์ชั่น ${\displaystyle f:X\to Y}$ และเซตย่อย ${\displaystyle A_{1},A_{2}\subseteq X}$ และ ${\displaystyle B_{1},B_{2}\subseteq Y,}$ คุณสมบัติดังต่อไปนี้ถือ:

ภาพ	พรีอิมเมจ
${\displaystyle A_{1}\subseteq A_{2}\Rightarrow f(A_{1})\subseteq f(A_{2})}$	${\displaystyle B_{1}\subseteq B_{2}\Rightarrow f^{-1}(B_{1})\subseteq f^{-1}(B_{2})}$
${\displaystyle f(A_{1}\cup A_{2})=f(A_{1})\cup f(A_{2})}$[12] [13]	${\displaystyle f^{-1}(B_{1}\cup B_{2})=f^{-1}(B_{1})\cup f^{-1}(B_{2})}$
${\displaystyle f(A_{1}\cap A_{2})\subseteq f(A_{1})\cap f(A_{2})}$[12] [13] (เท่ากับถ้า${\displaystyle f}$เป็นแบบฉีด[14] )	${\displaystyle f^{-1}(B_{1}\cap B_{2})=f^{-1}(B_{1})\cap f^{-1}(B_{2})}$
${\displaystyle f(A_{1}\setminus A_{2})\supseteq f(A_{1})\setminus f(A_{2})}$[12] (เท่ากับ if${\displaystyle f}$เป็นแบบฉีด[14] )	${\displaystyle f^{-1}(B_{1}\setminus B_{2})=f^{-1}(B_{1})\setminus f^{-1}(B_{2})}$(12)
${\displaystyle f(A_{1}\triangle A_{2})\supeteq f(A_{1})\triangle f(A_{2})}$ (เท่ากับถ้า ${\displaystyle f}$ เป็นการฉีด)	${\displaystyle f^{-1}(B_{1}\triangle B_{2})=f^{-1}(B_{1})\triangle f^{-1}(B_{2})}$

ผลลัพธ์ที่เกี่ยวข้องกับรูปภาพและพรีอิมเมจของพีชคณิต( บูลีน ) ของทางแยกและการรวมสำหรับคอลเล็กชันของเซตย่อยใดๆ ไม่ใช่แค่สำหรับคู่ของเซตย่อย:

• ${\displaystyle f\left(\bigcup _{s\in S}A_{s}\right)=\bigcup _{s\in S}f(A_{s})}$
• ${\displaystyle f\left(\bigcap _{s\in S}A_{s}\right)\subseteq \bigcap _{s\in S}f(A_{s})}$
• ${\displaystyle f^{-1}\left(\bigcup _{s\in S}B_{s}\right)=\bigcup _{s\in S}f^{-1}(B_{s}) }$
• ${\displaystyle f^{-1}\left(\bigcap _{s\in S}B_{s}\right)=\bigcap _{s\in S}f^{-1}(B_{s}) }$

(ในที่นี้Sสามารถเป็นอนันต์ แม้กระทั่งอนันต์นับไม่ถ้วน )

ด้วยความเคารพต่อพีชคณิตย่อยที่อธิบายข้างต้นฟังก์ชั่นภาพผกผันเป็นhomomorphism ตาข่ายขณะที่ฟังก์ชั่นภาพเป็นเพียงsemilattice homomorphism (คือมันไม่เคยรักษาทางแยก)

• Bijection การฉีดและการ surjection
• รูปภาพ (ทฤษฎีหมวดหมู่)
• เคอร์เนลของฟังก์ชัน
• ตั้งค่าผกผัน

• อาร์ติน, ไมเคิล (1991). พีชคณิต ศิษย์ฮอลล์. ISBN 81-203-0871-9.
• ไบลท์, TS (2005). โปรยและสั่งโครงสร้างพีชคณิต สปริงเกอร์. ISBN 1-85233-905-5..
• โดเล็กกี, ซีมอน ; ไมนาร์ด, เฟรเดอริค (2016). มูลนิธิการบรรจบกันของโทโพโลยี นิวเจอร์ซีย์: บริษัท สำนักพิมพ์วิทยาศาสตร์โลก ISBN 978-981-4571-52-4. ส ธ . 945169917 .
• ฮาลมอส, พอล อาร์. (1960). ตั้งทฤษฎีไร้เดียงสา ซีรีส์มหาวิทยาลัยในวิชาคณิตศาสตร์ระดับปริญญาตรี บริษัท ฟาน โนสแตรนด์ Zbl  0087.04403 .
• เคลลีย์, จอห์น แอล. (1985). โทโพโลยีทั่วไป . ตำราบัณฑิตในวิชาคณิตศาสตร์ . 27 (2 ฉบับ) Birkhäuser. ISBN 978-0-387-90125-1.
• มันเครส, เจมส์ อาร์. (2000). โทโพโลยี (ฉบับที่สอง). Upper Saddle River, นิวเจอร์ซีย์ : Prentice Hall, Inc ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC  42683260 .

บทความนี้จะรวมวัสดุจากไฟเบอร์ในPlanetMathซึ่งได้รับใบอนุญาตภายใต้Creative Commons Attribution / หุ้น Alike ใบอนุญาต