ไฮเปอร์คิวบ์

แผนภาพแสดงวิธีสร้าง tesseract จากจุด

ภาพเคลื่อนไหวแสดงวิธีสร้าง tesseract จากจุด

ไฮเปอร์คิวบ์สามารถกำหนดได้โดยการเพิ่มจำนวนมิติของรูปร่าง:

0 - จุดคือไฮเปอร์คิวบ์ของศูนย์มิติ

1 - ถ้าจุดนี้เลื่อนจุดนี้ไปหนึ่งหน่วยความยาวจะกวาดส่วนของเส้นตรงออกไปซึ่งเป็นหน่วยไฮเปอร์คิวบ์ของมิติหนึ่ง

2 - ถ้าใครย้ายส่วนของเส้นตรงนี้ความยาวใน ทิศทางตั้งฉากจากตัวมันเอง มันกวาดออกมาเป็นสี่เหลี่ยม 2 มิติ

3 - ถ้าใครขยับความยาวหนึ่งหน่วยของสี่เหลี่ยมจัตุรัสไปในทิศทางที่ตั้งฉากกับระนาบที่วางอยู่มันจะสร้างลูกบาศก์ 3 มิติ

4 - ถ้าใครย้ายลูกบาศก์ที่มีความยาวหนึ่งหน่วยไปยังมิติที่สี่มันจะสร้างไฮเปอร์คิวบ์หน่วย 4 มิติ (หน่วย tesseract )

สิ่งนี้สามารถสรุปได้กับมิติข้อมูลจำนวนเท่าใดก็ได้ กระบวนการของการกวาดออกเล่มนี้สามารถทางคณิตศาสตร์อย่างเป็นทางการเป็นผลรวมคอฟสกีที่: d hypercube มิติเป็นผลรวมของคอฟสกีdตั้งฉากซึ่งกันและกันส่วนของเส้นตรงหน่วยความยาวและดังนั้นจึงเป็นตัวอย่างของหนึ่งzonotope

1- โครงกระดูกของ hypercube เป็นกราฟ hypercube

หน่วยไฮเปอร์คิวบ์ของมิติ ${\ displaystyle n}$คือตัวถังนูนของจุดทั้งหมดที่${\ displaystyle n}$ พิกัดคาร์ทีเซียนแต่ละอันจะมีค่าเท่ากัน${\ displaystyle 0}$ หรือ ${\ displaystyle 1}$. ไฮเปอร์คิวบ์นี้ยังเป็นผลิตภัณฑ์คาร์ทีเซียน ${\ displaystyle [0,1] ^ {n}}$ ของ ${\ displaystyle n}$สำเนาของช่วงเวลาหน่วย ${\ displaystyle [0,1]}$. อีก hypercube หน่วยศูนย์กลางที่มาของพื้นที่โดยรอบที่สามารถได้รับจากนี้โดยการแปล มันคือตัวถังนูนของจุดที่มีเวกเตอร์ของพิกัดคาร์ทีเซียน

${\ displaystyle \ left (\ pm {\ frac {1} {2}}, \ pm {\ frac {1} {2}}, \ cdots, \ pm {\ frac {1} {2}} \ right) \! \ !. }$

นี่คือสัญลักษณ์ ${\ displaystyle \ pm}$ หมายความว่าแต่ละพิกัดมีค่าเท่ากับ ${\ displaystyle 1/2}$ หรือถึง ${\ displaystyle -1/2}$. หน่วยไฮเปอร์คิวบ์นี้ยังเป็นผลิตภัณฑ์คาร์ทีเซียน${\ displaystyle [-1 / 2,1 / 2] ^ {n}}$. หน่วยไฮเปอร์คิวบ์ใด ๆ มีความยาวขอบเท่ากับ${\ displaystyle 1}$ และ ${\ displaystyle n}$- ปริมาตรมิติของ ${\ displaystyle 1}$.

${\ displaystyle n}$- ไฮเปอร์คิวบ์มิติที่ได้รับเป็นส่วนนูนของจุดที่มีพิกัด ${\ displaystyle (\ pm 1, \ pm 1, \ cdots, \ pm 1)}$ หรือเทียบเท่ากับผลิตภัณฑ์คาร์ทีเซียน ${\ displaystyle [-1,1] ^ {n}}$มักจะถูกพิจารณาเนื่องจากรูปแบบของพิกัดจุดยอดที่ง่ายกว่า ความยาวขอบคือ${\ displaystyle 2}$, และมัน ${\ displaystyle n}$- ปริมาตรมิติคือ ${\ displaystyle 2 ^ {n}}$.

ไฮเปอร์คิวบ์ทุกตัวยอมรับว่ามีไฮเปอร์คิวบ์ของมิติที่ต่ำกว่าอยู่ในขอบเขตของใบหน้า ไฮเปอร์คิวบ์แห่งมิติ${\ displaystyle n}$ ยอมรับ ${\ displaystyle 2n}$ แง่มุมหรือใบหน้าของมิติ ${\ displaystyle n-1}$: a (${\ displaystyle 1}$-dimensional) ส่วนของเส้นตรงมี ${\ displaystyle 2}$จุดสิ้นสุด; ก (${\ displaystyle 2}$- มิติ) สี่เหลี่ยมมี ${\ displaystyle 4}$ด้านข้างหรือขอบ ก${\ displaystyle 3}$- ลูกบาศก์มิติมี ${\ displaystyle 6}$ใบหน้าสี่เหลี่ยม ก (${\ displaystyle 4}$-dimensional) tesseract มี ${\ displaystyle 8}$ลูกบาศก์สามมิติเป็นแง่มุม จำนวนจุดยอดของไฮเปอร์คิวบ์ของมิติ${\ displaystyle n}$ คือ ${\ displaystyle 2 ^ {n}}$ (ปกติ ${\ displaystyle 3}$- ลูกบาศก์มิติมี ${\ displaystyle 2 ^ {3} = 8}$ จุดยอดเป็นต้น)

จำนวน ${\ displaystyle m}$-dimensional hypercubes (เรียกเพียงว่า ${\ displaystyle m}$-cubes จากที่นี่เป็นต้นไป) อยู่ในขอบเขตของไฟล์ ${\ displaystyle n}$-cube คือ

${\ displaystyle E_ {m, n} = 2 ^ {nm} {n \ choose m}}$, ^[3]     ที่ไหน ${\ displaystyle {n \ choose m} = {\ frac {n!} {m! \, (nm)!}}}$ และ ${\ displaystyle n!}$หมายถึง แฟกทอเรียลของ ${\ displaystyle n}$.

ตัวอย่างเช่นขอบเขตของไฟล์ ${\ displaystyle 4}$- ก้อน (${\ displaystyle n = 4}$) ประกอบด้วย ${\ displaystyle 8}$ ลูกบาศก์ (${\ displaystyle 3}$-ลูกบาศก์), ${\ displaystyle 24}$ สี่เหลี่ยม (${\ displaystyle 2}$-ลูกบาศก์), ${\ displaystyle 32}$ ส่วนของเส้น (${\ displaystyle 1}$-cubes) และ ${\ displaystyle 16}$ จุดยอด (${\ displaystyle 0}$-ลูกบาศก์). เอกลักษณ์นี้สามารถพิสูจน์ได้โดยอาร์กิวเมนต์ Combinatorial แบบธรรมดา: สำหรับแต่ละส่วนของ${\ displaystyle 2 ^ {n}}$ จุดยอดของไฮเปอร์คิวบ์มี ${\ displaystyle {\ tbinom {n} {m}}}$ วิธีเลือกคอลเลกชันของ ${\ displaystyle m}$ขอบที่เกิดขึ้นกับจุดยอดนั้น แต่ละคอลเล็กชันเหล่านี้กำหนดหนึ่งในไฟล์${\ displaystyle m}$- ใบหน้ามิติที่เกิดขึ้นกับจุดยอดที่พิจารณา ทำเช่นนี้กับจุดยอดทั้งหมดของไฮเปอร์คิวบ์แต่ละจุด${\ displaystyle m}$- นับใบหน้ามิติของไฮเปอร์คิวบ์ ${\ displaystyle 2 ^ {m}}$ ครั้งเนื่องจากมันมีจุดยอดจำนวนมากและเราจำเป็นต้องหาร ${\ displaystyle 2 ^ {n} {\ tbinom {n} {m}}}$ ตามหมายเลขนี้

จำนวนแง่มุมของไฮเปอร์คิวบ์สามารถใช้เพื่อคำนวณไฟล์ ${\ displaystyle (n-1)}$- ปริมาตรมิติของขอบเขต: ปริมาตรนั้นคือ ${\ displaystyle 2n}$ คูณปริมาตรของ ${\ displaystyle (n-1)}$ไฮเปอร์คิวบ์มิติ นั่นคือ,${\ displaystyle 2ns ^ {n-1}}$ ที่ไหน ${\ displaystyle s}$ คือความยาวของขอบไฮเปอร์คิวบ์

ตัวเลขเหล่านี้สามารถสร้างขึ้นได้จากความสัมพันธ์การเกิดซ้ำเชิงเส้น

${\ displaystyle E_ {m, n} = 2E_ {m, n-1} + E_ {m-1, n-1} \!}$กับ ${\ displaystyle E_ {0,0} = 1}$และ ${\ displaystyle E_ {m, n} = 0}$ เมื่อไหร่ ${\ displaystyle n$, ${\ displaystyle n <0}$, หรือ ${\ displaystyle ม <0}$.

ตัวอย่างเช่นการขยายสี่เหลี่ยมจัตุรัสผ่านจุดยอด 4 จุดจะเพิ่มส่วนของเส้นตรงพิเศษ (ขอบ) หนึ่งส่วนต่อจุดยอด การเพิ่มสี่เหลี่ยมตรงข้ามเพื่อสร้างลูกบาศก์ให้${\ displaystyle E_ {1,3} = 12}$ ส่วนของเส้น

จำนวน ${\ displaystyle E_ {m, n}}$ ของ ${\ displaystyle m}$- ใบหน้ามิติของก ${\ displaystyle n}$- ไฮเปอร์คิวบ์มิติ (ลำดับ A038207ใน OEIS )

			ม	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
n	n- ลูกบาศก์	ชื่อ	Schläfli Coxeter	จุดยอด 0 หน้า	ขอบ 1 หน้า	ใบหน้า 2 หน้า	เซลล์ 3 หน้า	4 หน้า	5 หน้า	6 หน้า	7 หน้า	8 หน้า	9 หน้า	10 หน้า
0	0 คิวบ์	Point Monon	()	1
1	1 ลูกบาศก์	ส่วนของเส้นตรง Dion [4]	{}	2	1
2	2 ก้อน	สี่เหลี่ยม Tetragon	{4}	4	4	1
3	3 ก้อน	ลูกบาศก์ Hexahedron	{4,3}	8	12	6	1
4	4 ลูกบาศก์	Tesseract Octachoron	{4,3,3}	16	32	24	8	1
5	5 ลูกบาศก์	Penteract Deca-5-tope	{4,3,3,3}	32	80	80	40	10	1
6	6 ลูกบาศก์	Hexeract Dodeca-6-tope	{4,3,3,3,3}	64	192	240	160	60	12	1
7	7 ก้อน	Hepteract Tetradeca-7-tope	{4,3,3,3,3,3}	128	448	672	560	280	84	14	1
8	8 ลูกบาศก์	Octeract Hexadeca-8-tope	{4,3,3,3,3,3,3}	256	1024	พ.ศ. 2335	พ.ศ. 2335	1120	448	112	16	1
9	9 ลูกบาศก์	Enneract Octadeca-9-tope	{4,3,3,3,3,3,3,3}	512	2304	4608	5376	4032	2559	672	144	18	1
10	10 ลูกบาศก์	Dekeract Icosa-10-tope	{4,3,3,3,3,3,3,3,3}	1024	5120	11520	15360	13440	8064	3360	960	180	20	1

กราฟ

n -Cubeสามารถคาดการณ์ภายใน 2 ปกติnรูปหลายเหลี่ยม -gonal โดยการฉายฉากเอียงที่แสดงไว้ที่นี่จากส่วนเส้นที่ 15 ก้อน

การคาดการณ์ Orthographic รูปหลายเหลี่ยมของ Petrie

จุด	ส่วนของเส้น	สแควร์	ลูกบาศก์	Tesseract
5 ลูกบาศก์	6 ลูกบาศก์	7 ก้อน	8 ลูกบาศก์
9 ลูกบาศก์	10 ลูกบาศก์	11 ลูกบาศก์	12 ลูกบาศก์
13 ลูกบาศก์	14 ลูกบาศก์	15 ลูกบาศก์	16 ลูกบาศก์

การฉายภาพของ tesseract ที่หมุนได้

ไฮเปอร์คูบเป็นหนึ่งในไม่กี่ตระกูลของโพลีท็อปปกติที่แสดงในหลายมิติ

hypercube (offset)ครอบครัวเป็นหนึ่งในสามpolytope ปกติครอบครัวป้ายCoxeterเป็นγ n อีกสองคนเป็น hypercube ครอบครัวคู่ที่ข้ามเรขาคณิตระดับประถมป้ายβ _n,และsimplicesป้ายα n ครอบครัวสี่tessellations อนันต์ของ hypercubesเขาระบุว่าเป็นδ n

อีกครอบครัวที่เกี่ยวข้องกับกึ่งและเรขาคณิตระดับประถมเครื่องแบบเป็นdemihypercubesซึ่งถูกสร้างขึ้นจาก hypercubes มีจุดอื่นที่ถูกลบและเริมแง่มุมที่เพิ่มเข้ามาในช่องว่างป้ายhγ n

n -cubes สามารถใช้ร่วมกับ duals ( cross-polytopes ) เพื่อสร้าง polytopes แบบผสม:

• ในสองมิติเราได้รับรูปดาวแปดเหลี่ยม {8/2}
• ในสามมิติที่เราได้รับสารของลูกบาศก์และแปดด้าน ,
• ในสี่มิติที่เราได้รับสารของ Tesseract และ 16

กราฟของnขอบ -hypercube เป็นisomorphicกับแผนภาพ Hasseของ ( n -1) - เริม 's ตาข่ายใบหน้า สิ่งนี้สามารถมองเห็นได้โดยการวางแนวn -hypercube เพื่อให้จุดยอดที่ตรงกันข้ามสองจุดอยู่ในแนวตั้งซึ่งสอดคล้องกับ ( n -1) -simplex เองและ polytope ว่างตามลำดับ จุดยอดแต่ละจุดเชื่อมต่อกับจุดยอดบนสุดจากนั้นจะจับคู่กับหนึ่งใน ( n -1) - ด้านของซิมเพล็กซ์ ( n -2 ใบหน้า) และจุดยอดแต่ละจุดที่เชื่อมต่อกับจุดยอดเหล่านั้นจะจับคู่กับหนึ่งในใบหน้าn -3 ของซิมเพล็กซ์และอื่น ๆ และจุดยอดที่เชื่อมต่อกับแมปจุดยอดด้านล่างกับจุดยอดของซิมเพล็กซ์

ความสัมพันธ์นี้อาจใช้เพื่อสร้างโครงหน้าของ ( n-1 ) - ซิมเพล็กซ์ได้อย่างมีประสิทธิภาพเนื่องจากอัลกอริธึมการแจกแจงโครงหน้าขัดแตะที่ใช้กับ polytopes ทั่วไปนั้นมีราคาแพงกว่า

polytopes ที่ซับซ้อนปกติสามารถกำหนดได้ในพื้นที่ที่ซับซ้อนของ Hilbert ที่เรียกว่าhypercubes ทั่วไป γ^p
_n= _p {4} ₂ {3} ... ₂ {3} ₂หรือ... มีการแก้ปัญหาจริงด้วยp = 2 เช่นγ²
_n= γ _n = ₂ {4} ₂ {3} ... ₂ {3} ₂ = {4,3, .. , 3} สำหรับp > 2 มีอยู่ใน${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$. แง่มุมที่จะทั่วไป ( n -1) -Cube และยอดตัวเลขเป็นปกติsimplexes

เหลี่ยมปกติปริมณฑลเห็นในประมาณการมุมฉากเหล่านี้จะเรียกว่าเป็นรูปหลายเหลี่ยมเพท สี่เหลี่ยมทั่วไป (n = 2) จะแสดงด้วยขอบที่แสดงเป็นp -edges สีแดงและสีน้ำเงินสลับกันในขณะที่ n คิวบ์ที่สูงกว่าจะวาดด้วยp -edges ที่มีเค้าร่างสีดำ

จำนวนองค์ประกอบm -face ในp -generalized n -cube คือ:${\ displaystyle p ^ {nm} {n \ choose m}}$. นี่คือจุดยอดp ⁿและแง่ของpn ^[5]

Hypercubes ทั่วไป

	p = 2		p = 3	p = 4	p = 5	p = 6	p = 7	p = 8
${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$	γ2 2= {4} = จุดยอด 4 จุด	${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {2}}$	γ3 2 = จุดยอด 9 จุด	γ4 2 = จุดยอด 16 จุด	γ5 2 = 25 จุดยอด	γ6 2 = 36 จุดยอด	γ7 2 = 49 จุดยอด	γ8 2 = จุดยอด 64 จุด
${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$	γ2 3= {4,3} = 8 จุดยอด	${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {3}}$	γ3 3 = 27 จุดยอด	γ4 3 = จุดยอด 64 จุด	γ5 3 = 125 จุดยอด	γ6 3 = จุดยอด 216	γ7 3 = 343 จุดยอด	γ8 3 = 512 จุด
${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}}$	γ2 4= {4,3,3} = จุดยอด 16 จุด	${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {4}}$	γ3 4 = 81 จุดยอด	γ4 4 = จุดยอด 256 จุด	γ5 4 = จุดยอด 625	γ6 4 = จุดยอด 1296	γ7 4 = จุดยอด 2401	γ8 4 = จุดยอด 4096
${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {5}}$	γ2 5= {4,3,3,3} = จุดยอด 32 จุด	${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {5}}$	γ3 5 = จุดยอด 243	γ4 5 = จุดยอด 1024 จุด	γ5 5 = จุดยอด 3125	γ6 5 = จุดยอด 7776	γ7 5 = จุดยอด 16,807	γ8 5 = 32,768 จุดยอด
${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {6}}$	γ2 6= {4,3,3,3,3} = จุดยอด 64 จุด	${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {6}}$	γ3 6 = จุดยอด 729	γ4 6 = จุดยอด 4096	γ5 6 = 15,625 จุดยอด	γ6 6 = 46,656 จุดยอด	γ7 6 = 117,649 จุดยอด	γ8 6 = 262,144 จุดยอด
${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {7}}$	γ2 7= {4,3,3,3,3,3} = จุดยอด 128 จุด	${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {7}}$	γ3 7 = 2187 จุดยอด	γ4 7 = จุดยอด 16,384	γ5 7 = จุดยอด 78,125	γ6 7 = 279,936 จุดยอด	γ7 7 = 823,543 จุดยอด	γ8 7 = 2,097,152 จุดยอด
${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {8}}$	γ2 8= {4,3,3,3,3,3,3} = จุดยอด 256 จุด	${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {8}}$	γ3 8 = 6561 จุดยอด	γ4 8 = 65,536 จุดยอด	γ5 8 = จุดยอด 390,625	γ6 8 = 1,679,616 จุดยอด	γ7 8 = จุดยอด 5,764,801	γ8 8 = จุดยอด 16,777,216

• เครือข่ายเชื่อมต่อโครงข่าย Hypercubeของสถาปัตยกรรมคอมพิวเตอร์
• กลุ่ม Hyperoctahedral กลุ่มสมมาตรของไฮเปอร์คิวบ์
• ไฮเปอร์เฟียร์
• ซิมเพล็กซ์
• การตรึงกางเขน (Corpus Hypercubus) (งานศิลปะที่มีชื่อเสียง)

• Bowen, JP (เมษายน 1982). "ไฮเปอร์คิวบ์" . คอมพิวเตอร์ในทางปฏิบัติ 5 (4): 97–99. สืบค้นจากต้นฉบับเมื่อ 2008-06-30 . สืบค้นเมื่อ30 มิถุนายน 2551 .
• Coxeter, HSM (1973). Polytopes ปกติ (ฉบับที่ 3) §7.2 ดูภาพประกอบรูปที่ 7-2. C : โดเวอร์ ได้ pp.  122-123 ISBN 0-486-61480-8.CS1 maint: ตำแหน่ง ( ลิงค์ )น. 296 ตารางฉัน (iii): เรขาคณิตระดับประถมปกติสามเรขาคณิตระดับประถมปกติnมิติ ( n  ≥ 5)
• ฮิลล์เฟรดเดอริคเจ.; เจอรัลด์อาร์ปีเตอร์สัน (2517) รู้เบื้องต้นเกี่ยวกับการสลับทฤษฎีและการออกแบบลอจิก: Second Edition นิวยอร์ก: John Wiley & Sons ISBN 0-471-39882-9.Cf บทที่ 7.1 "การแสดงลูกบาศก์ของฟังก์ชันบูลีน" โดยแนวคิดของ "ไฮเปอร์คิวบ์" ถูกนำมาใช้เพื่อแสดงรหัสระยะทาง -1 ( รหัสสีเทา ) เป็นจุดยอดของไฮเปอร์คิวบ์และจากนั้นไฮเปอร์คิวบ์ที่มีจุดยอดจึงมีป้ายกำกับคือ แบนเป็นสองมิติในรูปแบบทั้งแผนภาพ Veitchหรือแผนที่ Karnaugh

• Weisstein, Eric W. "Hypercube" . แม ธ เวิลด์
• Weisstein, Eric W. "กราฟ Hypercube" . แม ธ เวิลด์
• www.4d-screen.de (การหมุน 4D - 7D-Cube)
• หมุน Hypercubeโดยเอ็นริเก Zeleny,สาธิตวุลแฟรมโครงการ
• Hypercube เคลื่อนไหวสามมิติ
• Rudy Rucker และการดาวน์โหลด Hypercube ของ Farideh Dormishian
• A001787 จำนวนขอบในไฮเปอร์คิวบ์ n มิติ ที่OEIS