เรขาคณิตไฮเพอร์โบลิก

ความสัมพันธ์กับเรขาคณิตแบบยุคลิด

การเปรียบเทียบรูปทรงรีรูปทรงเรขาคณิตแบบยูคลิดและไฮเพอร์โบลิกในสองมิติ

เรขาคณิตซึ่งเกินความจริงเป็นเรื่องที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับเรขาคณิตแบบยุคลิดกว่าดูเหมือนว่า: เพียงจริงแตกต่างกันเป็นขนานสมมุติ เมื่อสมมุติขนานถูกลบออกจากรูปทรงเรขาคณิตแบบยุคลิดเรขาคณิตที่เกิดเป็นรูปทรงเรขาคณิตที่แน่นอน เรขาคณิตสัมบูรณ์มีสองชนิดคือยูคลิดและไฮเพอร์โบลิก ทฤษฎีเรขาคณิตสัมบูรณ์ทั้งหมดรวมทั้งข้อเสนอ 28 ข้อแรกของหนังสือหนึ่งในองค์ประกอบของยุคลิดใช้ได้กับเรขาคณิตแบบยูคลิดและไฮเพอร์โบลิก ข้อเสนอ 27 และ 28 ของ Book One of Euclid's Elementsพิสูจน์การมีอยู่ของเส้นคู่ขนาน / ไม่ตัดกัน

ความแตกต่างนี้ยังมีผลตามมาอีกมากมาย: แนวคิดที่เทียบเท่าในเรขาคณิตแบบยุคลิดจะไม่เทียบเท่าในรูปเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิก ต้องมีการนำแนวคิดใหม่ ๆ มาใช้ ยิ่งไปกว่านั้นเนื่องจากมุมของความขนานเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกจึงมีมาตราส่วนสัมบูรณ์ความสัมพันธ์ระหว่างการวัดระยะทางและมุม

เส้น

เส้นเดี่ยวในรูปเรขาคณิตไฮเพอร์โบลิกมีคุณสมบัติเหมือนกับเส้นตรงเดี่ยวในรูปทรงเรขาคณิตแบบยูคลิด ตัวอย่างเช่นจุดสองจุดกำหนดเส้นโดยไม่ซ้ำกันและส่วนของเส้นสามารถขยายได้ไม่สิ้นสุด

เส้นที่ตัดกันสองเส้นมีคุณสมบัติเหมือนกับเส้นที่ตัดกันสองเส้นในรูปทรงเรขาคณิตแบบยุคลิด ยกตัวอย่างเช่นสองสายที่แตกต่างกันสามารถตัดในไม่เกินจุดหนึ่งเส้นตัดแบบตรงมุมเท่ากันและมุมที่อยู่ติดกันของเส้นตัดเป็นเสริม

เมื่อนำเส้นที่สามมาใช้อาจมีคุณสมบัติของเส้นตัดกันที่แตกต่างจากเส้นตัดกันในรูปทรงเรขาคณิตแบบยุคลิด ตัวอย่างเช่นเมื่อกำหนดเส้นตัดกันสองเส้นจะมีเส้นมากมายที่ไม่ตัดกันเส้นใดเส้นหนึ่งที่กำหนด

คุณสมบัติเหล่านี้ล้วนไม่ขึ้นกับโมเดลที่ใช้แม้ว่าเส้นอาจดูแตกต่างกันอย่างสิ้นเชิง

ไม่ตัดกัน / เส้นขนาน

เส้นผ่านจุดที่กำหนด Pและ asymptotic กับสาย R

เส้นที่ไม่ตัดกันในรูปเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกยังมีคุณสมบัติที่แตกต่างจากเส้นที่ไม่ตัดกันในรูปทรงเรขาคณิตแบบยุคลิด :

สำหรับสายใด ๆ Rและจุดใด Pซึ่งไม่ได้อยู่บน Rในเครื่องบินที่มีสาย Rและจุด Pมีอย่างน้อยสองเส้นที่แตกต่างกันผ่าน Pที่ทำไม่ได้ตัด R

ซึ่งหมายความว่ามีผ่านPจำนวนอนันต์ของเส้นระนาบเดียวกันที่ทำไม่ได้ตัดR

เส้นที่ไม่ตัดกันเหล่านี้แบ่งออกเป็นสองชั้น:

• เส้นสองเส้น ( xและyในแผนภาพ) กำลังจำกัด แนวขนาน (บางครั้งเรียกว่าขนานวิกฤต, โฮโรพาขนานหรือขนานกัน): มีเส้นหนึ่งอยู่ในทิศทางของแต่ละจุดในอุดมคติที่ "ปลาย" ของRโดยไม่มีอาการเข้าใกล้Rมักจะเข้าใกล้Rมากขึ้น แต่ไม่เคยได้พบกับมันเลย
• ทุกสายที่ไม่ได้ตัดอื่น ๆ ที่มีจุดระยะทางขั้นต่ำและลงตัวจากทั้งสองด้านของจุดนั้นและจะเรียกว่าultraparallel , ลู่ขนานหรือบางครั้งที่ไม่ได้ตัด

geometers บางเพียงแค่ใช้วลี " ขนานเส้น" หมายถึง " การ จำกัด การขนานเส้น" กับultraparallelเส้นความหมายเพียงแค่ไม่ใช่ตัด

แนวที่ จำกัดเหล่านี้ทำมุมθด้วยPB ; มุมนี้ขึ้นอยู่เฉพาะในโค้ง Gaussianของเครื่องบินและระยะทางPBและถูกเรียกว่ามุมของความเท่าเทียม

สำหรับเส้นคู่ขนาน ultrapa ทฤษฎีบทคู่ขนานระบุว่ามีเส้นเฉพาะในระนาบไฮเพอร์โบลิกที่ตั้งฉากกับเส้นคู่ขนาน ultrapa แต่ละคู่

แวดวงและดิสก์

ในเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกเส้นรอบวงของวงกลมรัศมีrมีค่ามากกว่า${\ displaystyle 2 \ pi r}$.

ปล่อย ${\ displaystyle R = {\ frac {1} {\ sqrt {-K}}}}$, ที่ไหน ${\ displaystyle K}$คือความโค้งแบบเสียนของเครื่องบิน ในรูปเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิก${\ displaystyle K}$ เป็นลบดังนั้นรากที่สองจึงเป็นจำนวนบวก

จากนั้นเส้นรอบวงของวงกลมรัศมีrเท่ากับ:

${\ displaystyle 2 \ pi R \ sinh {\ frac {r} {R}} \ ,. }$

และพื้นที่ของดิสก์ที่ปิดล้อมคือ:

${\ displaystyle 4 \ pi R ^ {2} \ sinh ^ {2} {\ frac {r} {2R}} = 2 \ pi R ^ {2} \ left (\ cosh {\ frac {r} {R} } -1 \ right) \ ,. }$

ดังนั้นในรูปทรงเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกอัตราส่วนของเส้นรอบวงของวงกลมต่อรัศมีจะมากกว่าอย่างเคร่งครัดเสมอ ${\ displaystyle 2 \ pi}$แม้ว่าจะสามารถปิดโดยพลการได้โดยเลือกวงกลมที่เล็กพอ

ถ้าความโค้งแบบเกาส์เซียนของระนาบเท่ากับ −1 ความโค้งเชิงธรณีของวงกลมรัศมีrคือ:${\ displaystyle {\ frac {1} {\ tanh (r)}}}$^[1]

ไฮเปอร์คาร์และฮอร์ไซเคิล

Hypercycle และ pseudogon ใน โมเดลดิสก์ Poincare

ในเรขาคณิตไฮเพอร์โบลิกไม่มีเส้นทั้งหมดที่มีจุดห่างเท่ากันจากเส้นอื่น แต่จุดที่ทั้งหมดมีระยะห่างมุมฉากเท่ากันจากเส้นที่กำหนดจะอยู่บนเส้นโค้งที่เรียกว่าไฮเปอร์ไซเคิล

เส้นโค้งพิเศษอีกเส้นหนึ่งคือHorocycleซึ่งเป็นเส้นโค้งที่มีรัศมีปกติ ( เส้นตั้งฉาก ) ทั้งหมดจำกัด ขนานกัน (ทั้งหมดมาบรรจบกันโดยไม่มีอาการในทิศทางเดียวไปยังจุดที่เหมาะเดียวกันคือศูนย์กลางของ Horocycle)

ผ่านทุกคู่ของจุดมีสอง Horocycles จุดศูนย์กลางของโฮโรไซเคิลเป็นจุดในอุดมคติของเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากของส่วนของเส้นตรงระหว่างพวกเขา

เมื่อพิจารณาถึงจุดที่แตกต่างกันสามจุดพวกเขาทั้งหมดอยู่บนเส้น, ไฮเปอร์ไซเคิล , ฮอร์คไซเคิลหรือวงกลม

ความยาวของสายส่วนคือความยาวสั้นที่สุดระหว่างสองจุด ความยาวส่วนโค้งของไฮเปอร์ไซเคิลที่เชื่อมต่อจุดสองจุดนั้นยาวกว่าของส่วนของเส้นตรงและสั้นกว่าของฮอโรไซเคิลซึ่งเชื่อมต่อสองจุดเดียวกัน ความยาวคลื่นของโฮโรไซเคิลทั้งสองที่เชื่อมต่อจุดสองจุดเท่ากัน ความยาวส่วนโค้งของวงกลมระหว่างจุดสองจุดมีขนาดใหญ่กว่าความยาวส่วนโค้งของโฮโรไซเคิลที่เชื่อมต่อสองจุด

ถ้าความโค้งแบบเสียนของเครื่องบินคือ −1 ความโค้งทางภูมิศาสตร์ของฮอโรไซเคิลคือ 1 และของไฮเปอร์ไซเคิลอยู่ระหว่าง 0 ถึง 1 ^[1]

สามเหลี่ยม

ต่างจากสามเหลี่ยมยุคลิดตรงที่มุมจะรวมกันเป็นπ เรเดียน (180 ° มุมตรง ) เสมอในรูปเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมไฮเพอร์โบลิกมักจะน้อยกว่าπ เรเดียน (180 °ซึ่งเป็นมุมตรง ) ความแตกต่างที่จะเรียกว่าเป็นข้อบกพร่อง

พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมซึ่งเกินความจริงจะได้รับจากความบกพร่องในเรเดียนคูณด้วยR 2 ด้วยเหตุนี้รูปสามเหลี่ยมไฮเปอร์โบลิกทั้งหมดจึงมีพื้นที่น้อยกว่าหรือเท่ากับR ² π พื้นที่ของสามเหลี่ยมอุดมคติไฮเปอร์โบลิกซึ่งมุมทั้งสามมีค่า 0 °เท่ากับค่าสูงสุดนี้

ในขณะที่รูปทรงเรขาคณิตแบบยุคลิดแต่ละสามเหลี่ยมซึ่งเกินความจริงมีincircle ในเรขาคณิตซึ่งเกินความจริงถ้าทั้งสามจุดของมันอยู่บนhorocycleหรือhypercycleแล้วรูปสามเหลี่ยมไม่มีวงกลม

เช่นเดียวกับเรขาคณิตทรงกลมและรูปไข่ในเรขาคณิตไฮเพอร์โบลิกถ้ารูปสามเหลี่ยมสองรูปคล้ายกันจะต้องมีความเท่ากัน

apeirogon ปกติ

รูปอนันต์เหลี่ยมและ circumscribed horocycleใน รูปแบบดิสก์ Poincare

รูปหลายเหลี่ยมพิเศษในเรขาคณิตผ่อนชำระเป็นปกติรูปอนันต์เหลี่ยมเป็นรูปหลายเหลี่ยมชุดที่มีจำนวนอนันต์ของด้านข้าง

ในเรขาคณิตแบบยูคลิดวิธีเดียวที่จะสร้างรูปหลายเหลี่ยมดังกล่าวคือทำให้ความยาวด้านข้างมีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์และเอเพียโรกอนนั้นแยกไม่ออกจากวงกลมหรือทำให้มุมภายในมีแนวโน้มที่ 180 องศาและเอเพโอโรกอนเข้าใกล้เส้นตรง

อย่างไรก็ตามในรูปแบบไฮเพอร์โบลิกเอเพโอโรกอนปกติจะมีด้านที่มีความยาวเท่าใดก็ได้ (กล่าวคือยังคงเป็นรูปหลายเหลี่ยม)

ด้านข้างและมุมbisectorsจะขึ้นอยู่กับความยาวของด้านและมุมระหว่างสองฝ่ายที่จะ จำกัด หรือแยกทางคู่ขนาน (ดูเส้นข้างต้น ) หากเส้นแบ่งครึ่ง จำกัด ขนานกันเอเพียโรกอนสามารถจารึกและล้อมรอบด้วยโฮโรไซเคิลศูนย์กลางได้

หากเส้นแบ่งครึ่งขนานกันแล้ว pseudogon (แตกต่างอย่างชัดเจนจาก apeirogon) สามารถถูกจารึกไว้ในไฮเปอร์คาร์ (จุดยอดทั้งหมดอยู่ในระยะทางเท่ากันของเส้นแกนและจุดกึ่งกลางของส่วนด้านข้างทั้งหมดมีระยะห่างเท่ากันกับแกนเดียวกัน )

Tessellations

การปูกระเบื้องรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนของระนาบไฮเปอร์โบลิกซึ่งเห็นได้จาก แบบจำลองดิสก์Poincaré

เช่นเดียวกับเครื่องบินแบบยุคลิดก็ยังเป็นไปได้ที่จะ Tessellate ระนาบการผ่อนชำระกับรูปหลายเหลี่ยมปกติเป็นใบหน้า

มีการเอียงที่สม่ำเสมอจำนวนไม่ จำกัด ตามรูปสามเหลี่ยมชวาร์ซ ( p q r ) โดยที่ 1 / p + 1 / q + 1 / r <1 โดยที่p ,  q ,  rคือลำดับความสมมาตรของการสะท้อนแต่ละจุดที่จุดสามจุดของสามเหลี่ยมเบื้องต้นโดเมนกลุ่มสมมาตรเป็นผ่อนชำระกลุ่มสามเหลี่ยม นอกจากนี้ยังมีการเอียงที่สม่ำเสมอจำนวนมากที่ไม่สามารถสร้างได้จากรูปสามเหลี่ยมของ Schwarz บางตัวอย่างเช่นต้องใช้รูปสี่เหลี่ยมเป็นโดเมนพื้นฐาน ^[2]

แม้ว่ารูปทรงไฮเพอร์โบลิกจะใช้กับพื้นผิวใด ๆ ที่มีความโค้งแบบเกาส์เซียนที่เป็นลบคงที่แต่โดยปกติแล้วจะถือว่ามาตราส่วนที่ความโค้งKคือ −1

ซึ่งส่งผลให้บางสูตรง่ายขึ้น ตัวอย่างบางส่วน ได้แก่ :

• พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมที่มีค่าเท่ากับข้อบกพร่องมุมในเรเดียน
• พื้นที่ของเซกเตอร์โฮโรไซคลิกเท่ากับความยาวของส่วนโค้งโฮโรไซคลิก
• ส่วนโค้งของโฮโรไซเคิลเพื่อให้เส้นที่สัมผัสกันที่ปลายด้านหนึ่งจำกัด ขนานกับรัศมีผ่านจุดสิ้นสุดอีกด้านหนึ่งมีความยาว 1 ^[3]
• อัตราส่วนของความยาวส่วนโค้งระหว่างรัศมีสองรัศมีของสองโฮโรไซเคิลศูนย์กลางโดยที่โฮโรไซเคิลอยู่ห่างกัน 1 คือe  : 1 ^[3]

ระบบพิกัดแบบคาร์ทีเซียน

ในเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกผลรวมของมุมของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสจะน้อยกว่า 360 องศาเสมอและรูปสี่เหลี่ยมไฮเพอร์โบลิกจะแตกต่างจากรูปสี่เหลี่ยมแบบยูคลิดอย่างมากเนื่องจากไม่มีเส้นที่ห่างเท่ากันดังนั้นจึงต้องล้อมรอบด้วยเส้นสองเส้นและไฮเปอร์ไบค์สองเส้น . สิ่งเหล่านี้ล้วนทำให้ระบบพิกัดซับซ้อน

อย่างไรก็ตามมีระบบพิกัดที่แตกต่างกันสำหรับเรขาคณิตระนาบไฮเพอร์โบลิก ทั้งหมดขึ้นอยู่กับการเลือกจุด (จุดเริ่มต้น) บนเส้นกำกับที่เลือก ( แกนx ) และหลังจากนั้นก็มีตัวเลือกมากมาย

Lobachevski พิกัดxและyพบได้โดยการวางตั้งฉากลงบนแกนx xจะเป็นป้ายกำกับของเท้าที่ตั้งฉาก yจะเป็นระยะทางตามแนวตั้งฉากของจุดที่กำหนดจากเท้าของมัน (บวกด้านหนึ่งและลบอีกด้านหนึ่ง)

ระบบพิกัดอื่นจะวัดระยะทางจากจุดไปยังฮอโรไซเคิลผ่านจุดเริ่มต้นที่มีศูนย์กลางอยู่รอบ ๆ${\ displaystyle (0, + \ infty)}$และความยาวตามวัฏจักรนี้ ^[4]

ระบบพิกัดอื่นใช้แบบจำลองไคลน์หรือแบบจำลองดิสก์ Poincare ที่อธิบายไว้ด้านล่างและใช้พิกัดแบบยุคลิดเป็นไฮเพอร์โบลิก

ระยะทาง

สร้างระบบพิกัดแบบคาร์ทีเซียนดังต่อไปนี้ เลือกเส้น ( แกนx ) ในระนาบไฮเพอร์โบลิก (โดยมีความโค้งมาตรฐาน −1) และกำหนดจุดบนจุดตามระยะห่างจากจุดกำเนิด ( x = 0) บนแกนx (บวกด้านหนึ่ง และลบในอีกด้านหนึ่ง) สำหรับจุดใด ๆ ในระนาบเราสามารถกำหนดพิกัดxและy ได้โดยการวางฉากบนแกนx xจะเป็นป้ายกำกับของเท้าที่ตั้งฉาก yจะเป็นระยะทางตามแนวตั้งฉากของจุดที่กำหนดจากเท้าของมัน (บวกด้านหนึ่งและลบอีกด้านหนึ่ง) จากนั้นระยะห่างระหว่างสองจุดดังกล่าวจะเป็น^{[ ต้องการอ้างอิง ]}

${\ displaystyle \ operatorname {dist} (\ langle x_ {1}, y_ {1} \ rangle, \ langle x_ {2}, y_ {2} \ rangle) = \ operatorname {arcosh} \ left (\ cosh y_ { 1} \ cosh (x_ {2} -x_ {1}) \ cosh y_ {2} - \ sinh y_ {1} \ sinh y_ {2} \ right) \ ,. }$

สูตรนี้จะได้รับจากสูตรเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมผ่อนชำระ

เมตริกเทนเซอร์ที่สอดคล้องกันคือ: ${\ displaystyle (\ mathrm {d} s) ^ {2} = \ cosh ^ {2} y \, (\ mathrm {d} x) ^ {2} + (\ mathrm {d} y) ^ {2} }$.

ในระบบพิกัดนี้เส้นตรงตั้งฉากกับแกนx (พร้อมสมการx = ค่าคงที่) หรืออธิบายโดยสมการของรูปแบบ

${\ displaystyle \ tanh y = A \ cosh x + B \ sinh x \ quad {\ text {when}} \ quad A ^ {2} <1 + B ^ {2}}$

โดยที่AและBเป็นพารามิเตอร์จริงซึ่งกำหนดลักษณะของเส้นตรง

นับตั้งแต่การประกาศของEuclid 's องค์ประกอบประมาณ 300 คริสตศักราชหลายgeometersทำให้ความพยายามที่จะพิสูจน์สัจพจน์ขนาน บางคนพยายามที่จะพิสูจน์ได้โดยการสมมติว่าการปฏิเสธและพยายามที่จะได้มาซึ่งความขัดแย้ง สำคัญที่สุดในหมู่เหล่านี้เป็นคลัส , Ibn al-Haytham (Alhacen), มาร์ Khayyam , ^[5] นาเซียร์อัลดินอั ลทูซ่ , วิเทโล , Gersonides , อัลฟองโซและต่อมาจิโอวานนี่ Gerolamo Saccheri , จอห์นวอลลิส , โยฮันน์เฮ็นแลมเบิร์และLegendre ^[6]ความพยายามของพวกเขาถึงวาระที่จะล้มเหลว (อย่างที่เราทราบกันดีว่าสมมุติฐานคู่ขนานนั้นไม่สามารถพิสูจน์ได้จากสมมุติฐานอื่น ๆ ) แต่ความพยายามของพวกเขานำไปสู่การค้นพบเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิก

ทฤษฎีบทของ Alhacen, Khayyam และ al-Tūsīเกี่ยวกับรูปสี่เหลี่ยมรวมทั้งรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนIbn al-Haytham – LambertและKhayyam – Saccheri รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเป็นทฤษฎีบทแรกเกี่ยวกับเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิก ผลงานของพวกเขาเกี่ยวกับรูปทรงเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกมีอิทธิพลอย่างมากต่อการพัฒนาของรูปทรงเรขาคณิตของยุโรปในยุคต่อมา ได้แก่ Witelo, Gersonides, Alfonso, John Wallis และ Saccheri ^[7]

ในศตวรรษที่ 18, โยฮันน์เฮ็นแลมเบิร์เปิดตัวฟังก์ชั่นการผ่อนชำระ^[8]และคำนวณพื้นที่ที่สามเหลี่ยมผ่อนชำระ ^[9]

พัฒนาการในศตวรรษที่ 19

ในศตวรรษที่ 19 รูปทรงเรขาคณิตซึ่งเกินความจริงมีการสำรวจอย่างกว้างขวางโดยนิโคไล Ivanovich Lobachevsky , János Bolyai , คาร์ลฟรีดริชเกาส์และฟรันซ์เทารินัส ซึ่งแตกต่างจากรุ่นก่อนที่ต้องการกำจัดสมมุติฐานคู่ขนานออกจากสัจพจน์ของเรขาคณิตแบบยูคลิดผู้เขียนเหล่านี้ตระหนักว่าพวกเขาได้ค้นพบรูปทรงเรขาคณิตใหม่ ^{[10] [11]} Gauss เขียนจดหมายถึงFranz Taurinusในปีพ. ศ. 2367 ว่าเขาได้สร้างมันขึ้นมา แต่เกาส์ไม่ได้ตีพิมพ์ผลงานของเขา เกาส์เรียกมันว่า " เรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยูคลิด " ^[12]ทำให้นักเขียนสมัยใหม่หลายคนยังคงพิจารณาว่า "เรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยูคลิด" และ "เรขาคณิตไฮเปอร์โบลิก" เป็นคำที่มีความหมายเหมือนกัน Taurinus ตีพิมพ์ผลการศึกษาเกี่ยวกับไฮเพอร์โบลิกตรีโกณมิติในปีพ. ศ. 2369 ซึ่งเป็นที่ถกเถียงกันอยู่ว่าเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกมีความสอดคล้องกันในตัวเอง แต่ก็ยังเชื่อในบทบาทพิเศษของเรขาคณิตแบบยูคลิด ระบบเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกที่สมบูรณ์ได้รับการตีพิมพ์โดย Lobachevsky ในปี 1829/1830 ในขณะที่ Bolyai ค้นพบโดยอิสระและเผยแพร่ในปีพ. ศ. 2375

ในปีพ. ศ. 2411 Eugenio Beltramiได้จัดทำแบบจำลอง (ดูด้านล่าง)ของเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกและใช้สิ่งนี้เพื่อพิสูจน์ว่าเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกมีความสอดคล้องกันก็ต่อเมื่อเรขาคณิตแบบยูคลิดเป็นเท่านั้น

คำว่า "รูปทรงเรขาคณิตที่เกินความจริง" ได้รับการแนะนำให้รู้จักกับเฟลิกซ์ไคลน์ในปี 1871 ^[13]ไคลน์ตามความคิดริเริ่มของอาร์เธอร์เคย์ลีที่จะใช้การแปลงของเรขาคณิต projectiveการผลิตisometries ความคิดที่ใช้ภาคตัดกรวยหรือquadricเพื่อกำหนดพื้นที่และใช้อัตราส่วนข้ามในการกำหนดตัวชี้วัด การแปลงแบบโพรเจกไทล์ที่ออกจากส่วนรูปกรวยหรือรูปสี่เหลี่ยมเสถียรคือไอโซมิเตอร์ "ไคลน์แสดงให้เห็นว่าถ้าเคย์ลีย์สัมบูรณ์เป็นเส้นโค้งจริงส่วนของระนาบโปรเจ็กต์ที่อยู่ด้านในจะมีมิติเท่ากันกับระนาบไฮเพอร์โบลิก ... " ^[14]

สำหรับประวัติเพิ่มเติมโปรดดูบทความเกี่ยวกับการไม่เรขาคณิตแบบยุคลิดและการอ้างอิงCoxeter ^[15]และMilnor ^[16]

ผลทางปรัชญา

การค้นพบรูปทรงเรขาคณิตไฮเพอร์โบลิกมีผลทางปรัชญาที่สำคัญ ก่อนการค้นพบปรัชญามากมาย (เช่นฮอบส์และสปิโนซา ) ดูความรุนแรงปรัชญาในแง่ของ "วิธีการทางเรขาคณิต" หมายถึงวิธีการในการให้เหตุผลที่ใช้ในยุคลิดองค์ประกอบ

คานท์ในการวิพากษ์เหตุผลบริสุทธิ์สรุปได้ว่าอวกาศ (ในรูปทรงเรขาคณิตแบบยูคลิด ) และเวลาไม่ได้ถูกค้นพบโดยมนุษย์ในฐานะคุณลักษณะที่เป็นเป้าหมายของโลก แต่เป็นส่วนหนึ่งของกรอบระบบที่หลีกเลี่ยงไม่ได้ในการจัดระเบียบประสบการณ์ของเรา ^[17]

ว่ากันว่าเกาส์ไม่ได้เผยแพร่อะไรเกี่ยวกับรูปทรงเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกเพราะกลัว "ความโกลาหลของชาวโบอีเชียน " ซึ่งจะทำลายสถานะของเขาในฐานะเจ้าชายนักคณิตศาสตร์ (ละติน "เจ้าชายแห่งคณิตศาสตร์") ^[18] "ความโกลาหลของ Boeotians" มาและไปและให้แรงผลักดันให้การปรับปรุงที่ดีในความรุนแรงทางคณิตศาสตร์ , วิเคราะห์ปรัชญาและตรรกะ ในที่สุดเรขาคณิตไฮเพอร์โบลิกก็ได้รับการพิสูจน์ว่าสอดคล้องกันและเป็นรูปเรขาคณิตที่ถูกต้อง

เรขาคณิตของจักรวาล (มิติเชิงพื้นที่เท่านั้น)

เนื่องจากเรขาคณิตแบบยูคลิดไฮเพอร์โบลิกและรูปไข่มีความสอดคล้องกันทั้งหมดจึงเกิดคำถามขึ้น: ซึ่งเป็นรูปทรงเรขาคณิตที่แท้จริงของอวกาศและถ้าเป็นไฮเพอร์โบลิกหรือรูปไข่ความโค้งของมันคืออะไร?

Lobachevsky ได้พยายามแล้วที่จะวัดความโค้งของจักรวาลโดยการวัดพารัลแลกของซิเรียสและการรักษาซิเรียสเป็นจุดที่เหมาะสำหรับการนั้นมุมของความเท่าเทียม เขาตระหนักว่าการวัดของเขาไม่แม่นยำพอที่จะให้คำตอบที่แน่นอนได้ แต่เขาได้ข้อสรุปว่าถ้าเรขาคณิตของจักรวาลเป็นไฮเปอร์โบลิกความยาวสัมบูรณ์จะมีค่าอย่างน้อยหนึ่งล้านเท่าของเส้นผ่านศูนย์กลางวงโคจรของโลก (2 000 000  ฿ 10 พาร์เซก ) ^[19]บางคนโต้แย้งว่าการวัดของเขามีข้อบกพร่องตามระเบียบวิธี ^[20]

Henri Poincaréจากการทดลองทางความคิดในโลกทรงกลม ของเขาได้ข้อสรุปว่าประสบการณ์ในชีวิตประจำวันไม่จำเป็นต้องแยกแยะรูปทรงเรขาคณิตอื่น ๆ

การคาดเดาทางเรขาคณิตให้รายการความเป็นไปได้ทั้งหมดแปดประการสำหรับรูปทรงเรขาคณิตพื้นฐานของอวกาศของเรา ปัญหาในการพิจารณาว่าจะใช้ข้อใดก็คือเพื่อให้ได้คำตอบที่ชัดเจนเราจำเป็นต้องสามารถมองเห็นรูปร่างที่ใหญ่มาก - ใหญ่กว่าสิ่งใด ๆ บนโลกหรือแม้แต่ในกาแลคซีของเรา ^[21]

เรขาคณิตของจักรวาล (ทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ)

ทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษวางพื้นที่และเวลาให้เท่ากันเพื่อให้พิจารณารูปทรงเรขาคณิตของกาลอวกาศที่เป็นหนึ่งเดียวแทนที่จะพิจารณาพื้นที่และเวลาแยกกัน ^{[22] [23]} เรขาคณิตมินโควสกีเข้ามาแทนที่เรขาคณิตของกาลิเลียน (ซึ่งเป็นปริภูมิสามมิติแบบยุคลิดพร้อมเวลาสัมพัทธภาพของกาลิลี ) ^[24]

ในทฤษฎีสัมพัทธแทนที่จะพิจารณายุคลิดรูปทรงรูปไข่และผ่อนชำระรูปทรงเรขาคณิตที่เหมาะสมที่จะต้องพิจารณาพื้นที่คอฟสกี , เดพื้นที่เลี้ยงและป้องกัน-de พื้นที่เลี้ยง , ^{[25] [26]}สอดคล้องกับศูนย์โค้งบวกและลบตามลำดับ

เรขาคณิตซึ่งเกินความจริงเข้ามพัทธภาพพิเศษผ่านความรวดเร็วซึ่งย่อมาจากในความเร็วและมีการแสดงออกด้วยมุมการผ่อนชำระ การศึกษาของเรขาคณิตความเร็วนี้ได้รับการเรียกว่ารูปทรงเรขาคณิตจลนศาสตร์ ช่องว่างของความเร็วเชิงสัมพัทธภาพมีรูปเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกสามมิติซึ่งฟังก์ชันระยะทางจะถูกกำหนดจากความเร็วสัมพัทธ์ของจุด "ใกล้เคียง" (velocities) ^[27]

เครื่องบินผ่อนชำระเป็นเครื่องบินที่ทุกจุดคือที่จุดอาน มีเทียมหลายชนิดในอวกาศยุคลิดที่มีพื้นที่ จำกัด ของความโค้งแบบเกาส์เซียนที่เป็นลบคงที่

ตามทฤษฎีบทของฮิลเบิร์ตเป็นไปไม่ได้ที่จะจุ่มระนาบไฮเพอร์โบลิกที่สมบูรณ์แบบสามมิติ(พื้นผิวปกติที่สมบูรณ์ของความโค้งคงที่ที่เป็นลบคงที่) ในอวกาศแบบยุคลิดสามมิติ

รูปแบบอื่น ๆ ที่เป็นประโยชน์ของรูปทรงเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกมีอยู่ในปริภูมิแบบยุคลิดซึ่งเมตริกจะไม่ถูกเก็บรักษาไว้ รูปแบบกระดาษโดยเฉพาะอย่างยิ่งที่รู้จักกันดีอยู่บนพื้นฐานของpseudosphereเป็นเพราะวิลเลียมเทอร์สตัน

คอลเลกชันของเครื่องบินไฮเพอร์โบลิกโครเชต์เลียนแบบแนวปะการังโดย Institute For Figuring

ปะการังที่มีรูปทรงคล้ายกันบน Great Barrier Reef

ศิลปะของโครเชต์ได้ถูกนำมาใช้ (ดูคณิตศาสตร์และเส้นใยศิลปะ§ถักโครเชต์ ) เพื่อแสดงให้เห็นเครื่องบินผ่อนชำระกับตัวแรกที่ทำโดยไดนาไทมินา ^[28]

ในปี 2000 คี ธ เฮนเดอร์สันได้แสดงแบบจำลองกระดาษอย่างรวดเร็วที่เรียกว่า " ไฮเปอร์โบลิกฟุตบอล " (อย่างแม่นยำยิ่งขึ้นคือการเรียงกระเบื้องสามเหลี่ยมลำดับที่ 7 ที่ถูกตัดทอน ) ^{[29] [30]}

คำแนะนำเกี่ยวกับวิธีการทำผ้าห่มผ่อนชำระออกแบบโดยฮีลามันเฟอร์กูสัน , ^[31]ได้รับการทำใช้ได้โดยเจฟฟ์สัปดาห์ ^[32]

มีพื้นผิวเทียมที่แตกต่างกันซึ่งมีสำหรับพื้นที่ขนาดใหญ่ที่มีความโค้งแบบ Gaussian ที่เป็นลบคงที่ซึ่งเป็นpseudosphereที่รู้จักกันดีที่สุด

แต่การทำไฮเพอร์โบลิกเรขาคณิตในแบบจำลองอื่น ๆ ทำได้ง่ายกว่า

โมเดลดิสก์Poincaréพร้อมการปูกระเบื้องสามเหลี่ยมแบบ ตัดทอน

เส้นผ่านจุดที่กำหนดและขนานกับเส้นที่กำหนดซึ่งแสดงในแบบจำลองดิสก์Poincaré

มีสี่รุ่นนี้ใช้กันทั่วไปสำหรับการผ่อนชำระเรขาคณิตรูปแบบไคลน์ที่รุ่นดิสก์Poincaréที่รูปแบบครึ่งเครื่องบินPoincaréและลอเรนหรือรุ่น hyperboloid แบบจำลองเหล่านี้กำหนดระนาบไฮเพอร์โบลิกซึ่งเป็นไปตามสัจพจน์ของเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิก แม้จะมีชื่อของพวกเขาครั้งแรกที่สามดังกล่าวข้างต้นถูกนำมาใช้เป็นแบบจำลองของพื้นที่การผ่อนชำระโดยBeltramiไม่ได้โดยPoincaréหรือไคลน์ โมเดลทั้งหมดนี้สามารถขยายให้มีมิติมากขึ้น

แบบจำลองเบลทรามี - ไคลน์

รุ่น Beltrami-ไคลน์ยังเป็นที่รู้จักรุ่นดิสก์ projective, รุ่นดิสก์ Klein และรุ่น Klein , การตั้งชื่อตามEugenio Beltramiและเฟลิกซ์ไคลน์

สำหรับสองมิติแบบจำลองนี้ใช้การตกแต่งภายในของวงกลมหน่วยสำหรับระนาบไฮเพอร์โบลิกที่สมบูรณ์และคอร์ดของวงกลมนี้คือเส้นไฮเพอร์โบลิก

สำหรับขนาดที่สูงขึ้นโมเดลนี้ใช้การตกแต่งภายในของยูนิตบอลและคอร์ดของn -ball นี้เป็นเส้นไฮเพอร์โบลิก

• แบบจำลองนี้มีข้อได้เปรียบที่เส้นตรง แต่มีข้อเสียที่มุมจะบิดเบี้ยว (การทำแผนที่ไม่เป็นไปตามรูปแบบ ) และวงกลมก็ไม่ได้แสดงเป็นวงกลมด้วย
• ระยะห่างในแบบจำลองนี้คือครึ่งหนึ่งของลอการิทึมของอัตราส่วนข้ามซึ่งได้รับการแนะนำโดยArthur Cayleyในรูปทรงเรขาคณิตแบบโพรเจกไทล์

แบบจำลองดิสก์Poincaré

รุ่นดิสก์Poincaréยังเป็นที่รู้จักรุ่นดิสก์มาตราส่วน, นอกจากนี้ยังมีพนักงานภายในของยูนิทวงกลมแต่เส้นโดยมีตัวแทนส่วนโค้งของวงกลมที่มีฉากในแวดวงเขตแดนบวกขนาดเส้นผ่าศูนย์กลางของวงกลมเขตแดน

• รุ่นนี้รักษามุมและเป็นไปตามนั้น ไอโซเมตริกทั้งหมดภายในแบบจำลองนี้จึงเป็นการแปลงแบบเมอบิอุส
• วงกลมทั้งหมดภายในดิสก์ยังคงเป็นวงกลมแม้ว่าจุดศูนย์กลางแบบยุคลิดของวงกลมจะอยู่ใกล้กับศูนย์กลางของดิสก์มากกว่าจุดศูนย์กลางไฮเพอร์โบลิกของวงกลม
• Horocyclesเป็นวงกลมภายในดิสก์ซึ่งสัมผัสกับวงกลมขอบเขตลบด้วยจุดสัมผัส
• ไฮเปอร์ไบค์คือคอร์ดปลายเปิดและส่วนโค้งวงกลมภายในแผ่นดิสก์ที่สิ้นสุดบนวงกลมขอบเขตที่มุมที่ไม่เป็นมุมฉาก

แบบจำลองเครื่องบินครึ่งลำของPoincaré

Poincaréรุ่นครึ่งเครื่องบินใช้เวลาครึ่งหนึ่งของเครื่องบินยุคลิดล้อมรอบด้วยสายBของเครื่องบินที่จะเป็นรูปแบบของเครื่องบินผ่อนชำระ สายBไม่รวมอยู่ในรุ่น

เครื่องบินแบบยุคลิดอาจถูกนำไปเป็นระนาบที่มีระบบพิกัดคาร์ทีเซียนและแกน xถูกนำมาเป็นบรรทัดBและระนาบครึ่งหนึ่งคือครึ่งบน ( y > 0) ของระนาบนี้

• สายการผ่อนชำระอยู่แล้วทั้งครึ่งวงกลมตั้งฉากกับBหรือรังสีตั้งฉากกับB
• ความยาวของช่วงเวลาบนรังสีถูกกำหนดโดยการวัดลอการิทึมดังนั้นจึงไม่แปรผันภายใต้การเปลี่ยนแปลงแบบโฮโมเทติก ${\ displaystyle (x, y) \ mapsto (x, \ lambda y), \ quad \ lambda> 0.}$
• เช่นเดียวกับรุ่นดิสก์Poincaréรุ่นนี้รักษามุมและเป็นไปตามมาตรฐาน ไอโซเมตริกทั้งหมดภายในแบบจำลองนี้จึงเป็นการแปลงแบบเมอบิอุสของเครื่องบิน
• โมเดลครึ่งระนาบคือขีด จำกัด ของโมเดลดิสก์Poincaréที่มีขอบเขตแทนเจนต์กับBที่จุดเดียวกันในขณะที่รัศมีของโมเดลดิสก์ไปที่อินฟินิตี้

แบบจำลองไฮเปอร์โบลอยด์

รุ่น hyperboloidหรือรุ่นเรนซ์มีพนักงาน 2 มิติhyperboloidของการปฏิวัติ (ของสองแผ่น แต่ใช้อย่างใดอย่างหนึ่ง) ที่ฝังอยู่ใน 3 มิติคอฟสกีพื้นที่ โดยทั่วไปแล้วโมเดลนี้ให้เครดิตกับPoincaré แต่ Reynolds ^[33]กล่าวว่าWilhelm Killingใช้โมเดลนี้ในปีพ. ศ. 2428

• แบบจำลองนี้มีการนำไปใช้โดยตรงกับทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษเนื่องจาก Minkowski 3-space เป็นแบบจำลองสำหรับกาลอวกาศซึ่งยับยั้งมิติเชิงพื้นที่หนึ่งมิติ หนึ่งสามารถใช้ hyperboloid ที่จะเป็นตัวแทนเหตุการณ์ที่ต่างๆสังเกตการณ์ย้ายแผ่ออกไปในระนาบเชิงพื้นที่จากจุดเดียวจะถึงในการแก้ไขเวลาที่เหมาะสม
• จากนั้นระยะห่างของไฮเพอร์โบลิกระหว่างจุดสองจุดบนไฮเปอร์โบลอยด์สามารถระบุได้ด้วยความรวดเร็วสัมพัทธ์ระหว่างผู้สังเกตที่เกี่ยวข้องทั้งสอง
• แบบจำลองจะแสดงภาพรวมโดยตรงไปยังมิติเพิ่มเติมโดยที่เรขาคณิตไฮเพอร์โบลิกสามมิติเกี่ยวข้องกับ Minkowski 4-space

แบบจำลองซีกโลก

ซีกโลกรุ่นไม่ได้มักจะใช้เป็นรูปแบบด้วยตัวเอง แต่มันทำหน้าที่เป็นเครื่องมือที่มีประโยชน์สำหรับการแสดงการแปลงระหว่างรูปแบบอื่น ๆ

แบบจำลองซีกโลกใช้ครึ่งบนของทรงกลมหน่วย :${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = 1, z> 0.}$

เส้นไฮเพอร์โบลิกเป็นครึ่งวงกลมที่ตั้งฉากกับขอบเขตของซีกโลก

แบบจำลองซีกโลกเป็นส่วนหนึ่งของทรงกลม Riemannและการคาดการณ์ที่แตกต่างกันจะให้แบบจำลองที่แตกต่างกันของระนาบไฮเพอร์โบลิก:

• การฉายภาพจาก${\ displaystyle (0,0, -1)}$ ขึ้นเครื่องบิน ${\ displaystyle z = 0}$โครงการจุดที่สอดคล้องกันบนโมเดลดิสก์Poincaré
• การฉายภาพจาก${\ displaystyle (0,0, -1)}$ ลงบนพื้นผิว ${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} -z ^ {2} = - 1, z> 0}$โครงการจุดที่สอดคล้องกันบนแบบจำลองไฮเปอร์โบลอยด์
• การฉายภาพจาก${\ displaystyle (-1,0,0)}$ ขึ้นเครื่องบิน ${\ displaystyle x = 1}$โครงการจุดที่สอดคล้องกันบนแบบจำลองครึ่งระนาบของPoincaré
• การฉายภาพออร์โธกราฟีลงบนเครื่องบิน${\ displaystyle z = C}$โครงการที่สอดคล้องกับจุดบนรูปแบบ Beltrami-Klein
• การฉายภาพจากศูนย์กลางของทรงกลมไปยังระนาบ${\ displaystyle z = 1}$โครงการจุดที่สอดคล้องกันในGans Model

ดูเพิ่มเติม: การเชื่อมต่อระหว่างรุ่นต่างๆ (ด้านล่าง)

โมเดล Gans

ในปี 1966 เดวิด Gans เสนอบี้รุ่น hyperboloidในวารสารอเมริกันคณิตศาสตร์รายเดือน ^[34]เป็นการฉายภาพออร์โธกราฟฟิคของแบบจำลองไฮเปอร์โบลอยด์บนระนาบ xy แบบจำลองนี้ไม่ได้ใช้กันอย่างแพร่หลายเหมือนกับแบบจำลองอื่น ๆ แต่อย่างไรก็ตามก็มีประโยชน์มากในการทำความเข้าใจเกี่ยวกับรูปทรงเรขาคณิตแบบไฮเพอร์โบลิก

• ซึ่งแตกต่างจาก Klein หรือรุ่นPoincaréรุ่นนี้ใช้ทั้งเครื่องบินยุคลิด
• เส้นในแบบจำลองนี้แสดงเป็นกิ่งก้านของไฮเพอร์โบลา ^[35]

รูปแบบวงดนตรี

แบบจำลองวงดนตรีใช้ส่วนหนึ่งของระนาบแบบยุคลิดระหว่างเส้นขนานสองเส้น ^[36]ระยะทางจะถูกเก็บรักษาไว้ตามหนึ่งบรรทัดผ่านกลางวง สมมติว่าวงดนตรีมอบให้โดย${\ displaystyle \ {z \ in \ mathbb {C}: | \ operatorname {Im} z | <\ pi / 2 \}}$เมตริกกำหนดโดย ${\ displaystyle | dz | \ sec (\ operatorname {Im} z)}$.

การเชื่อมต่อระหว่างรุ่น

ดิสก์Poincaréแบบจำลองครึ่งวงกลมและไฮเพอร์โบลอยด์มีความสัมพันธ์กันโดยการ ฉายภาพสามมิติจาก 1 แบบจำลองเบลทรามี - ไคลน์คือ การฉายภาพออร์โธกราฟิกจากแบบจำลองครึ่งวงกลม แบบจำลองครึ่งระนาบของPoincaréที่นี่ฉายจากแบบจำลองซีกโลกโดยรังสีจากปลายด้านซ้ายของแบบจำลองดิสก์Poincaré

โมเดลทั้งหมดอธิบายโครงสร้างเดียวกันเป็นหลัก ความแตกต่างระหว่างพวกเขาคือเป็นตัวแทนของแผนภูมิพิกัดต่าง ๆ ที่วางบนพื้นที่เมตริกเดียวกันนั่นคือระนาบไฮเพอร์โบลิก คุณลักษณะเฉพาะของระนาบไฮเพอร์โบลิกคือมันมีความโค้งแบบเกาส์เซียนที่เป็นลบคงที่ซึ่งไม่สนใจกับแผนภูมิพิกัดที่ใช้ geodesicsคงที่เหมือนกันนั่นคือ geodesics แมปไป geodesics ภายใต้การประสานงานการแปลง โดยทั่วไปแล้วเรขาคณิตไฮเพอร์โบลิกจะถูกนำมาใช้ในแง่ของธรณีสัณฐานและจุดตัดบนระนาบไฮเพอร์โบลิก ^[37]

เมื่อเราเลือกแผนภูมิพิกัด (หนึ่งใน "แบบจำลอง") เราสามารถฝังไว้ในช่องว่างแบบยุคลิดที่มีมิติเดียวกันได้เสมอ แต่การฝังนั้นไม่ได้มีมิติเท่ากันอย่างชัดเจน (เนื่องจากความโค้งของปริภูมิแบบยุคลิดคือ 0) ปริภูมิไฮเพอร์โบลิกสามารถแสดงด้วยแผนภูมิที่แตกต่างกันมากมาย แต่การฝังตัวในปริภูมิยุคลิดเนื่องจากแผนภูมิทั้งสี่นี้แสดงลักษณะที่น่าสนใจ

เนื่องจากโมเดลทั้งสี่อธิบายถึงพื้นที่เมตริกเดียวกันแต่ละแบบจึงสามารถเปลี่ยนเป็นอีกแบบได้

ดูตัวอย่างเช่น:

• ความสัมพันธ์ของแบบจำลองเบลทรามี - ไคลน์กับแบบจำลองไฮเปอร์โบลอยด์
• ความสัมพันธ์รูปแบบ Beltrami-Klein ของกับรูปแบบดิสก์Poincaré ,
• และความสัมพันธ์ของโมเดลดิสก์Poincaréกับโมเดลไฮเปอร์โบลอยด์

ทุกisometry ( การเปลี่ยนแปลงหรือการเคลื่อนไหว ) ของเครื่องบินซึ่งเกินความจริงไปที่ตัวเองสามารถรับรู้เป็นองค์ประกอบของที่มากที่สุดสามสะท้อน ในปริภูมิไฮเพอร์โบลิกn -dimensional อาจต้องใช้การสะท้อนแสงสูงสุดn +1 (สิ่งเหล่านี้เป็นจริงสำหรับรูปทรงเรขาคณิตแบบยุคลิดและทรงกลม แต่การจำแนกด้านล่างจะแตกต่างกัน)

ไอโซมิเตอร์ทั้งหมดของเครื่องบินไฮเพอร์โบลิกสามารถแบ่งออกเป็นคลาสเหล่านี้:

• การวางแนวรักษา
  • isometry ตัวตน - การเคลื่อนไหวอะไร; ศูนย์สะท้อน ศูนย์องศาอิสระ
  • การผกผันผ่านจุด (ครึ่งเลี้ยว) - การสะท้อนสองครั้งผ่านเส้นตั้งฉากซึ่งกันและกันผ่านจุดที่กำหนดเช่นการหมุน 180 องศารอบ ๆ จุด สององศาอิสระ
  • การหมุนรอบจุดปกติ - การสะท้อนสองเส้นผ่านจุดที่กำหนด (รวมถึงการผกผันเป็นกรณีพิเศษ) จุดเคลื่อนที่เป็นวงกลมรอบ ๆ ศูนย์กลาง สามองศาแห่งอิสระ
  • "การหมุน" รอบจุดในอุดมคติ (ความน่ากลัว) - การสะท้อนสองเส้นผ่านเส้นที่นำไปสู่จุดอุดมคติ จุดต่างๆเคลื่อนไปตาม Horocycles โดยมีศูนย์กลางอยู่ที่จุดที่เหมาะ อิสระสององศา
  • การแปลตามเส้นตรง - การสะท้อนสองครั้งผ่านเส้นที่ตั้งฉากกับเส้นที่กำหนด ชี้ให้เห็นการเคลื่อนที่ของเส้นที่กำหนดไปตามไฮเปอร์คาร์ สามองศาแห่งอิสระ
• การกลับทิศทาง
  • การสะท้อนผ่านเส้น - หนึ่งภาพสะท้อน อิสระสององศา
  • รวมการสะท้อนผ่านบรรทัดและการแปลในบรรทัดเดียวกัน - การสะท้อนและการเดินทางการแปล ต้องมีการสะท้อนแสงสามแบบ สามองศาแห่งอิสระ ^{[ ต้องการอ้างอิง ]}

ภาพพิมพ์ที่มีชื่อเสียงของMC Escher Circle Limit IIIและCircle Limit IVแสดงให้เห็นถึงรูปแบบแผ่นดิสก์ ( แบบจำลองดิสก์Poincaré ) ได้ดีทีเดียว เส้นสีขาวในIIIไม่ใช่ geodesics (เป็นไฮเปอร์คาร์ ) แต่อยู่ใกล้กับพวกเขา นอกจากนี้ยังเป็นไปได้ที่จะเห็นความโค้งเชิงลบของระนาบไฮเพอร์โบลิกอย่างชัดเจนโดยมีผลต่อผลรวมของมุมในรูปสามเหลี่ยมและสี่เหลี่ยม

ตัวอย่างเช่นในCircle Limit IIIทุกจุดยอดเป็นของสามเหลี่ยมสามรูปและสามสี่เหลี่ยม ในระนาบยุคลิดมุมของมันจะรวมกันเป็น 450 °; กล่าวคือวงกลมและหนึ่งในสี่ จากนี้เราจะเห็นว่าผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมในระนาบไฮเพอร์โบลิกต้องน้อยกว่า 180 ° คุณสมบัติที่มองเห็นได้อีกประการหนึ่งคือการเติบโตแบบเอ็กซ์โปเนนเชียล ตัวอย่างเช่นในCircle Limit IIIเราจะเห็นว่าจำนวนปลาที่อยู่ในระยะnจากจุดศูนย์กลางเพิ่มขึ้นแบบทวีคูณ ปลามีพื้นที่การผ่อนชำระเท่ากันดังนั้นพื้นที่ของลูกของรัศมีที่nจะต้องลุกขึ้นชี้แจงในn

ศิลปะของโครเชต์ได้ถูกนำมาใช้เพื่อแสดงให้เห็นเครื่องบินผ่อนชำระ (ภาพบน) กับตัวแรกที่ทำโดยไดนาไทมินา , ^[28]ซึ่งเขียนหนังสือถักผจญภัยกับเครื่องบินซึ่งเกินความจริงได้รับรางวัล 2009 หนังสือ / รางวัลแผนภาพแปลกชื่อแห่งปี ^[38]

HyperRogueเป็นโร๊คไลค์ชุดเกม tilings ต่างๆของเครื่องบินซึ่งเกินความจริง

เรขาคณิตไฮเพอร์โบลิกไม่ จำกัด อยู่ที่ 2 มิติ เรขาคณิตไฮเพอร์โบลิกมีอยู่สำหรับทุกมิติที่สูงขึ้น

ปริภูมิไฮเพอร์โบลิกของมิติnเป็นกรณีพิเศษของปริภูมิสมมาตร Riemannian ชนิด noncompact เนื่องจากเป็นไอโซมอร์ฟิกของผลหาร

${\ displaystyle \ mathrm {O} (1, n) / (\ mathrm {O} (1) \ times \ mathrm {O} (n)).}$

มุมฉากกลุ่ม O (1, n ) ทำหน้าที่โดยการแปลงบรรทัดฐานรักษาในคอฟสกีพื้นที่ R ^{1, n}และจะทำหน้าที่สกรรมกริยาบน hyperboloid สองแผ่นบรรทัดฐาน 1 เวกเตอร์ เส้นแบบไทม์ไลค์ (กล่าวคือเส้นที่มีเส้นสัมผัสเชิงบวก) ผ่านจุดกำเนิดจะผ่านจุดแอนติโพดัลในไฮเปอร์โบลอยด์ดังนั้นช่องว่างของเส้นดังกล่าวจึงให้รูปแบบของไฮเพอร์โบลิกn -space โคลงของสายการใด ๆ โดยเฉพาะเป็น isomorphic กับสินค้าในกลุ่มมุมฉาก O ( n ) และ O (1) ที่ O ( n ) ทำหน้าที่ในพื้นที่แทนเจนต์ของจุดใน hyperboloid และ O (1) สะท้อนให้เห็นถึงสาย ผ่านต้นกำเนิด แนวคิดพื้นฐานหลายอย่างในรูปทรงเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกสามารถอธิบายได้ในรูปแบบพีชคณิตเชิงเส้น : เส้นทางเรขาคณิตอธิบายโดยทางแยกด้วยระนาบผ่านจุดกำเนิดมุมไดฮีดรัลระหว่างไฮเปอร์เพลนสามารถอธิบายได้ด้วยผลคูณภายในของเวกเตอร์ปกติและกลุ่มการสะท้อนไฮเพอร์โบลิกสามารถระบุได้อย่างชัดเจน การรับรู้เมทริกซ์

ในขนาดเล็กมีกลุ่ม isomorphisms of Lie ที่โดดเด่นซึ่งให้วิธีเพิ่มเติมในการพิจารณาความสมมาตรของช่องว่างไฮเพอร์โบลิก ตัวอย่างเช่นในมิติที่ 2 isomorphisms SO ⁺ (1, 2) ≅ PSL (2, R ) ≅ PSU (1, 1)อนุญาตให้คนหนึ่งตีความโมเดลเครื่องบินครึ่งบนเป็นผลหารSL (2, R ) / SO (2)และรูปแบบแผ่นดิสก์Poincaréเป็นเชาวน์ซู (1, 1) / U (1) ในทั้งสองกรณีกลุ่มสมมาตรทำหน้าที่โดยการแปลงเชิงเส้นแบบเศษส่วนเนื่องจากทั้งสองกลุ่มเป็นตัวปรับทิศทางการรักษาแนวในPGL (2, C )ของพื้นที่ย่อยตามลำดับของทรงกลม Riemann การเปลี่ยนแปลงของเคย์ลีย์ไม่เพียง แต่จะนำแบบจำลองของระนาบไฮเพอร์โบลิกไปใช้กับอีกแบบหนึ่งเท่านั้น แต่ยังตระหนักถึงไอโซมอร์ฟิซึมของกลุ่มสมมาตรเป็นการผันในกลุ่มที่ใหญ่กว่า ในมิติที่ 3 การกระทำเชิงเส้นเศษส่วนของPGL (2, C )บนทรงกลม Riemann ถูกระบุด้วยการกระทำบนขอบเขตตามรูปแบบของไฮเพอร์โบลิก 3 ช่องว่างที่เกิดจากไอโซมอร์ฟิซึมO ⁺ (1, 3) ≅ PGL (2, C ) . สิ่งนี้ช่วยให้สามารถศึกษาไอโซเมตริกของไฮเพอร์โบลิก 3 สเปซโดยพิจารณาคุณสมบัติเชิงสเปกตรัมของเมทริกซ์เชิงซ้อนที่เป็นตัวแทน ยกตัวอย่างเช่นการแปลงเป็นรูปโค้งมีความผันแปลแข็งในรูปแบบครึ่งพื้นที่บนและพวกเขาจะตรงแปลงที่สามารถแสดงโดยunipotent สามเหลี่ยมบนเมทริกซ์

• A'Campo, Norbert and Papadopoulos, Athanase, (2012) Notes on hyperbolic geometry , in: Strasbourg Master class on Geometry, pp. 1–182, IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics, Vol. 18, Zürich: European Mathematical Society (EMS), 461 หน้า, SBN ISBN  978-3-03719-105-7 , DOI 10.4171 / 105.
• Coxeter, HSM , (1942) เรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิด , สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยโตรอนโต, โตรอนโต
• เฟนเชลเวอร์เนอร์ (1989). เรขาคณิตประถมศึกษาในพื้นที่การผ่อนชำระ De Gruyter ศึกษาคณิตศาสตร์ 11 . เบอร์ลิน - นิวยอร์ก: Walter de Gruyter & Co.
• เฟนเชล , แวร์เนอร์ ; นีลเส็น, จาคอบ (2546). Asmus L. Schmidt (ed.). กลุ่มต่อเนื่องของ isometries ในระนาบการผ่อนชำระ De Gruyter ศึกษาคณิตศาสตร์ 29 . เบอร์ลิน: Walter de Gruyter & Co.
• Lobachevsky, Nikolai I. , (2010) Pangeometry , Edited and translate โดย Athanase Papadopoulos, Heritage of European Mathematics, Vol. 4. ซูริค: สมาคมคณิตศาสตร์แห่งยุโรป (EMS) xii, 310 ~ p, ISBN  978-3-03719-087-6 / hbk
• Milnor, John W. , (1982) Hyperbolic geometry: 150 ปีแรก Bull. Amer. คณิตศาสตร์. Soc. (NS) Volume 6, Number 1, pp. 9–24
• Reynolds, William F. , (1993) Hyperbolic Geometry on a Hyperboloid , American Mathematical Monthly 100: 442–455
• Stillwell, John (1996). แหล่งที่มาของรูปทรงเรขาคณิตที่เกินความจริง ประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์. 10 . พรอวิเดน: สมาคมคณิตศาสตร์อเมริกัน ISBN 978-0-8218-0529-9. MR  1402697
• Samuels, David, (มีนาคม 2549) นิตยสารKnit Theory Discover, เล่มที่ 27, หมายเลข 3
• เจมส์ดับเบิลยูแอนเดอร์สันเรขาคณิตไฮเพอร์โบลิกสปริงเกอร์ 2005 ISBN  1-85233-934-9
• James W. Cannon, William J.Floyd , Richard Kenyon และ Walter R.Parry (1997) Hyperbolic Geometry , MSRI Publications, เล่มที่ 31

• ฟรีแวร์ Javascript สำหรับสร้างภาพร่างในPoincaré Disk Model ของ Hyperbolic Geometry University of New Mexico
• "เพลงเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิก"มิวสิกวิดีโอสั้น ๆ เกี่ยวกับพื้นฐานของเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกที่มีอยู่ใน YouTube
• "Lobachevskii เรขาคณิต" , สารานุกรมของคณิตศาสตร์ , EMS กด 2001 [1994]
• Weisstein เอริควชิร "Gauss-Bolyai-Lobachevsky อวกาศ" แม ธ เวิลด์
• Weisstein, Eric W. "Hyperbolic Geometry" . แม ธ เวิลด์
• ข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกรวมถึงภาพยนตร์และสมการสำหรับการแปลงระหว่างแบบจำลองต่างๆมหาวิทยาลัยอิลลินอยส์เออร์บานา - แชมเพน
• แผนภาพ Hyperbolic Voronoi ทำได้ง่าย Frank Nielsen
• Stothers, Wilson (2000). "เรขาคณิตไฮเปอร์โบลิก" . มหาวิทยาลัยกลาสโกว์ อ้างถึงวารสารต้องการ|journal=( ความช่วยเหลือ )เว็บไซต์การเรียนการสอนแบบโต้ตอบ
• Hyperbolic Planar Tesselations
• แบบจำลองของเครื่องบินไฮเปอร์โบลิก