Homotopy

ในโครงสร้างสาขาของคณิตศาสตร์สองฟังก์ชั่นอย่างต่อเนื่องจากพื้นที่ทอพอโลยีไปยังอีกที่เรียกว่าhomotopic (จากกรีก ὁμός homos "เดียวกันที่คล้ายกัน" และτόπος TOPOS "สถานที่") ถ้าใครสามารถ "พิการอย่างต่อเนื่อง" ในอื่น ๆ เช่น การเสียรูปที่เรียกว่าโฮโมโทปีระหว่างสองหน้าที่ การใช้งานที่โดดเด่นของฮอมอโทคือความหมายของกลุ่ม homotopyและกลุ่ม cohomotopyสำคัญค่าคงที่ในtopology เกี่ยวกับพีชคณิต ^[1]

เส้นทางเส้นประสอง เส้นที่แสดงด้านบนเป็นแบบโฮโมโทปที่สัมพันธ์กับปลายทาง ภาพเคลื่อนไหวแสดงถึง homotopy ที่เป็นไปได้

ในทางปฏิบัติ มีปัญหาทางเทคนิคในการใช้ homotopies กับบางช่องว่าง การทำงานเกี่ยวกับพีชคณิต topologists กับช่องว่างที่สร้างดาน , คอมเพล็กซ์ CWหรือสเปกตรัม

คำนิยามที่เป็นทางการ

homotopy ระหว่างสอง embeddingsของ พรูเข้า R ³ : เป็น "พื้นผิวของโดนัท" และ "พื้นผิวของแก้วกาแฟ" และนี่ก็เป็นตัวอย่างของการเป็นนักการ Isotopy

อย่างเป็นทางการ homotopy ระหว่างสองฟังก์ชันต่อเนื่อง fและgจากปริภูมิทอพอโลยีXถึงปริภูมิโทโพโลยีYถูกกำหนดให้เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง $H:X\times [0,1]\to Y$ จากผลคูณของสเปซX ที่มีช่วงหน่วย [0, 1] ถึงYเช่นนั้น $H(x,0)=f(x)$ และ $H(x,1)=g(x)$ สำหรับทุกอย่าง $x\in X$ .

ถ้าเราคิดว่าการที่สองพารามิเตอร์ของHเมื่อเวลาแล้วHอธิบายความผิดปกติอย่างต่อเนื่องของฉเข้าไปกรัม : 0 ในเวลาที่เรามีฟังก์ชั่นFและในเวลา 1 เรามีฟังก์ชั่นกรัม เราสามารถนึกถึงพารามิเตอร์ที่สองว่าเป็น "ตัวควบคุมตัวเลื่อน" ที่ช่วยให้เราเปลี่ยนจากfเป็นg ได้อย่างราบรื่นเมื่อตัวเลื่อนเลื่อนจาก 0 เป็น 1 และในทางกลับกัน

สัญกรณ์ทางเลือกคือการบอกว่า homotopy ระหว่างสองฟังก์ชันต่อเนื่อง $f,g:X\to Y$ เป็นตระกูลของฟังก์ชันต่อเนื่อง $h_{t}:X\to Y$ สำหรับ $t\in [0,1]$ ดังนั้น $h_{0}=f$ และ $h_{1}=g$ , และแผนที่ $(x,t)\mapsto h_{t}(x)$ ต่อเนื่องมาจาก $X\times [0,1]$ ถึง $Y$ . ทั้งสองรุ่นตรงกันโดยการตั้งค่า $h_{t}(x)=H(x,t)$ . ไม่เพียงพอต่อการกำหนดให้แต่ละแผนที่ $h_{t}(x)$ ให้ต่อเนื่อง ^[2]

ภาพเคลื่อนไหวที่คล้องไว้ด้านบนแสดงให้เห็นตัวอย่างของ homotopy ระหว่างสองembeddings , FและGของพรูลงR 3XคือทอรัสYคือR ³ , fคือฟังก์ชันต่อเนื่องบางอย่างจากทอรัสถึงR ³ที่นำพรูไปยังรูปร่างพื้นผิวของโดนัทที่ฝังไว้ซึ่งแอนิเมชันเริ่มทำงาน gคือฟังก์ชันต่อเนื่องบางอย่างที่นำพรูไปยังรูปร่างของแก้วกาแฟที่ฝังอยู่บนพื้นผิว แอนิเมชั่นแสดงภาพของh _t ( x ) เป็นฟังก์ชันของพารามิเตอร์tโดยที่tจะแปรผันตามเวลาตั้งแต่ 0 ถึง 1 ในแต่ละรอบของแอนิเมชั่นลูป มันหยุดชั่วคราว แล้วแสดงภาพเมื่อt เปลี่ยนไปจาก 1 ถึง 0 หยุดชั่วคราว และวนซ้ำรอบนี้

คุณสมบัติ

ฟังก์ชันต่อเนื่องfและgกล่าวกันว่าเป็นโฮโมโทปิกก็ต่อเมื่อมีโฮโมโทปีH ที่ใช้fถึงgตามที่อธิบายข้างต้น เป็น homotopic เป็นความสมดุลในชุดของฟังก์ชั่นอย่างต่อเนื่องทั้งหมดจากXไปY นี้ความสัมพันธ์ homotopy เข้ากันได้กับองค์ประกอบของฟังก์ชั่นในความหมายดังต่อไปนี้ถ้าฉ₁ , กรัม₁ : X → Yเป็น homotopic และF ₂ , กรัม₂ : Y → Zเป็น homotopic แล้วองค์ประกอบของพวกเขาฉ₂ ∘ ฉ₁และก₂ ∘ g ₁ : X → Zก็เหมือนกัน

ตัวอย่าง

ถ้า $f,g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{2}$ มอบให้โดย $f(x):=(x,x^{3})$ และ $g(x)=(x,e^{x})$ แล้วแผนที่ then $H:\mathbb {R} \times [0,1]\to \mathbb {R} ^{2}$ มอบให้โดย $H(x,t)=(x,(1-t)x^{3}+te^{x})$ เป็นโฮโมโทปีระหว่างพวกเขา
โดยทั่วไป ถ้า $C\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ เป็นเซตย่อยนูนของสเปซแบบยุคลิดและ $f,g:[0,1]\to C$ เป็นเส้นทางที่มีจุดปลายเหมือนกัน จึงมีเส้น homotopy ^[3] (หรือhomotopy เส้นตรง ) กำหนดโดย

{\begin{aligned}H:[0,1]&\times [0,1]\longrightarrow C\\(s,t)\longmapsto (1&-t)f(s)+tg(s) .\end{aligned}}

ปล่อย $\operatorname {id} _{B^{n}}:B^{n}\to B^{n}$ เป็นฟังก์ชันเอกลักษณ์บนหน่วยn - diskเช่น set $B^{n}:=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:\|x\|\leq 1\}$ . ปล่อย $c_{\vec {0}}:B^{n}\to B^{n}$ เป็นฟังก์ชันคงที่ $c_{\vec {0}}(x):={\vec {0}}$ ซึ่งจะส่งทุกจุดไปยังต้นกำเนิด ต่อไปนี้เป็นโฮโมโทปีระหว่างพวกเขา:

{\begin{aligned}H:B^{n}&\times [0,1]\longrightarrow B^{n}\\(x,t)&\longmapsto (1-t)x.\end {จัดตำแหน่ง}}

Homotopy สมมูล

ได้รับสองช่องว่าง topological XและYมีความเท่าเทียมกัน homotopyระหว่าง X และ Y คือคู่ของอย่างต่อเนื่องแผนที่ ฉ : X → YและG : Y → Xเช่นว่ากรัม ∘ ฉมี homotopic กับแผนที่ตัวตน ID _Xและฉ ∘ กรัมเป็น homotopic กับ ID Yถ้าเช่นคู่ที่มีอยู่แล้วXและYจะกล่าวว่าเป็นเทียบเท่าฮอมอโทหรือของที่เหมือนกันชนิดฮอมอโท ตามสัญชาตญาณแล้ว ช่องว่างสองช่องXและYจะเทียบเท่ากับโฮโมโทปี หากสามารถเปลี่ยนเป็นอีกช่องหนึ่งได้โดยการดัด การย่อ และการขยาย ช่องว่างที่มีโฮโมโทปีเทียบเท่ากับจุดหนึ่งเรียกว่าหดตัวได้

Homotopy equivalence กับ homeomorphism

homeomorphismเป็นกรณีพิเศษของความเท่าเทียมกัน homotopy ซึ่งในกรัม ∘ ฉเท่ากับแผนที่ของตัวตน ID _X (ไม่เพียง แต่ homotopic ไป) และฉ ∘ กรัมเท่ากับ ID Y^[4]^{: 0:53:00}ดังนั้น ถ้า X และ Y เป็นโฮโมมอร์ฟิก พวกมันจะเทียบเท่าโฮโมโทปี แต่สิ่งที่ตรงกันข้ามไม่เป็นความจริง ตัวอย่างบางส่วน:

ดิสก์แบบทึบจะเทียบเท่ากับโฮโมโทปีในจุดเดียว เนื่องจากคุณสามารถเปลี่ยนรูปดิสก์ตามเส้นแนวรัศมีไปยังจุดเดียวได้อย่างต่อเนื่อง อย่างไรก็ตาม พวกมันไม่ใช่ชีวมอร์ฟิค เนื่องจากไม่มีการวิพากษ์วิจารณ์ระหว่างพวกเขา (เนื่องจากอันหนึ่งเป็นเซตอนันต์ ในขณะที่อีกอันหนึ่งมีขอบเขตจำกัด)
แถบเมอบิอุสและ untwisted (ปิด) แถบเทียบเท่า homotopy เนื่องจากคุณสามารถทำให้เสียโฉมแถบทั้งสองอย่างต่อเนื่องเพื่อเป็นวงกลม แต่พวกเขาไม่ใช่โฮโมมอร์ฟิค

ตัวอย่าง

ตัวอย่างแรกของการเทียบเท่าโฮโมโทปีคือ $\mathbb {R} ^{n}$ โดยมีจุดแสดง $\mathbb {R} ^{n}\simeq \{0\}$ . ส่วนที่ต้องตรวจสอบคือการมีอยู่ของโฮโมโทปี้ $H:I\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ ระหว่าง $\operatorname {id} _{\mathbb {R} ^{n}}$ และ $p_{0}$ , ประมาณการของ $\mathbb {R} ^{n}$ สู่ต้นกำเนิด นี้สามารถอธิบายได้ว่า $H(t,\cdot )=t\cdot p_{0}+(1-t)\cdot \operatorname {id} _{\mathbb {R} ^{n}}$ .
มีความเท่าเทียมกันระหว่าง $S^{1}$ และ $\mathbb {R} ^{2}-\{0\}$ .
ให้เป็นปกติมากกว่านี้, $\mathbb {R} ^{n}-\{0\}\simeq S^{n-1}$ .
มัดไฟเบอร์ใดก็ได้ $\pi :E\to B$ ด้วยเส้นใย $F_{b}$ homotopy เทียบเท่ากับจุดหนึ่งมีช่องว่างทั้งหมดและฐานเทียบเท่า homotopy นี่เป็นการสรุปสองตัวอย่างก่อนหน้านี้ตั้งแต่ $\pi :\mathbb {R} ^{n}-\{0\}\to S^{n-1}$ เป็นไฟเบอร์มัดด้วยไฟเบอร์ $\mathbb {R} _{>0}$ .
บันเดิลเวกเตอร์ทุกอันเป็นบันเดิลไฟเบอร์ที่มีโฮโมโทปีของไฟเบอร์เทียบเท่ากับจุด
สำหรับใดๆ ${\displaystyle 0\leq k}>$ , $\mathbb {R} ^{n}-\mathbb {R} ^{k}\simeq S^{nk-1}$ โดยการเขียน $\mathbb {R} ^{n}$ เช่น $\mathbb {R} ^{k}\times \mathbb {R} ^{nk}$ และใช้การเทียบเท่าโฮโมโทปีข้างต้น
หากเป็นคอมเพล็กซ์ย่อย $A$ ของCW คอมเพล็กซ์ $X$ หดตัวได้ก็เท่ากับพื้นที่ผลหาร $X/A$ เป็นโฮโมโทปี้เทียบเท่ากับ $X$ . ^[5]
เปลี่ยนรูปการหดตัวเป็นฮอมอโทเท่าเทียม

Null-homotopy

ฟังก์ชันfเรียกว่าnull-homotopic ถ้ามันเป็นโฮโมโทปิกกับฟังก์ชันคงที่ ( บางครั้งเรียกว่าhomotopy จากfถึงฟังก์ชันคงที่null-homotopy ) ตัวอย่างเช่น แผนที่fจากวงกลมหน่วย S ¹ไปยังช่องว่างใดๆXจะเป็น null-homotopic อย่างแม่นยำเมื่อสามารถขยายอย่างต่อเนื่องไปยังแผนที่จากดิสก์หน่วย D ²เพื่อXที่เห็นด้วยกับFที่ชายแดน

ตามคำจำกัดความเหล่านี้ว่าช่องว่างXสามารถหดตัวได้ก็ต่อเมื่อการแมปเอกลักษณ์จากXถึงตัวมันเอง—ซึ่งมักจะเทียบเท่า homotopy— เป็นโมฆะโฮโมโตปิก

ค่าคงที่

ความเท่าเทียมกันของโฮโมโทปีมีความสำคัญเนื่องจากในโทโพโลยีเชิงพีชคณิตแนวความคิดจำนวนมากนั้นไม่แปรผันของโฮโมโทปี นั่นคือ พวกเขาเคารพความสัมพันธ์ของการสมมูลโฮโมโทปี ตัวอย่างเช่น ถ้าXและYเป็นช่องว่างที่เทียบเท่า homotopy ดังนั้น:

X เชื่อมต่อกับพาธก็ต่อเมื่อYคือ
Xจะเชื่อมต่อกันก็ต่อเมื่อYคือ
(ที่เอกพจน์) ที่คล้ายคลึงกันและโฮโมโลจี้กลุ่มของXและYมีisomorphic
ถ้าXและYเชื่อมต่อกันทางพาธกลุ่มพื้นฐานของXและYจะเป็นไอโซมอร์ฟิค และกลุ่มโฮโมโทพีที่สูงกว่าก็เช่นกัน (หากไม่มีสมมติฐานเกี่ยวกับเส้นทางเชื่อมต่อ หนึ่งมี π ₁ ( X , x ₀ ) isomorphic ถึง π ₁ ( Y , f ( x ₀ )) โดยที่f : X → Yเป็นการสมมูล homotopy และx ₀ ∈ X .)

ตัวอย่างของค่าคงที่เชิงพีชคณิตของช่องว่างทอพอโลยีซึ่งไม่ใช่ค่าคงที่ของโฮโมโทปีได้รับการสนับสนุนอย่างกระชับ (ซึ่งก็คือ การพูดอย่างคร่าวๆ ความคล้ายคลึงของการกระชับและการกระชับไม่ใช่ค่าคงที่ของโฮโมโทปี)

รุ่นต่างๆ

homotopy ญาติ

เพื่อที่จะกำหนดเบื้องต้นกลุ่มหนึ่งต้องคิดของญาติ homotopy เพื่อสเปซ เหล่านี้เป็น homotopies ที่ทำให้องค์ประกอบของ subspace คงที่ อย่างเป็นทางการ: ถ้าfและgเป็นแผนที่ต่อเนื่องจากXถึงYและKเป็นเซตย่อยของXเราก็บอกว่าfและgเป็นโฮโมโทปิกที่สัมพันธ์กับKหากมี homotopy H : X × [0, 1] → Yระหว่างfและg โดยที่H ( k , t ) = f ( k ) = g ( k )สำหรับk ∈ Kและt ∈ [0, 1] ทั้งหมด นอกจากนี้ถ้ากรัมเป็นเพิกถอนจากXไปKและFคือแผนที่ตัวตนนี้เป็นที่รู้จักกันอย่างแรงRetract ความผิดปกติของXเพื่อK เมื่อKเป็นจุดคำชี้ homotopyถูกนำมาใช้

ไอโซโทป

unknotไม่เทียบเท่ากับ ปมพระฉายาลักษณ์ตั้งแต่หนึ่งไม่สามารถจะพิการในอื่น ๆ ผ่านเส้นทางอย่างต่อเนื่องของ homeomorphisms ของพื้นที่โดยรอบ ดังนั้นพวกมันจึงไม่ใช่ไอโซโทปโดยรอบ

ในกรณีที่ทั้งสองได้รับฟังก์ชันต่อเนื่องfและgจากปริภูมิทอพอโลยีXถึงปริภูมิทอพอโลยีYเป็นการฝังเราสามารถถามว่าสามารถเชื่อมต่อ 'ผ่านการฝัง' ได้หรือไม่ สิ่งนี้ทำให้เกิดแนวคิดของไอโซโทปซึ่งเป็นโฮโมโทปีHในสัญกรณ์ที่ใช้ก่อนหน้านี้ เช่นนั้นสำหรับแต่ละคงที่t , H ( x , t ) ทำให้เกิดการฝัง ^[6]

ที่เกี่ยวข้อง แต่ที่แตกต่างกันเป็นแนวคิดที่Isotopy โดยรอบ

การกำหนดให้การฝังสองส่วนเป็นแบบไอโซโทปนั้นเป็นข้อกำหนดที่แข็งแกร่งกว่าการฝังแบบโฮโมโทปิก ยกตัวอย่างเช่นแผนที่จากช่วง [-1, 1] เป็นตัวเลขจริงที่กำหนดโดยฉ ( x ) = - xคือไม่ไอโซโทปกับตัวตนกรัม ( x ) = x โฮโมโทปีจากfถึงเอกลักษณ์จะต้องแลกเปลี่ยนจุดปลาย ซึ่งหมายความว่าพวกเขาจะต้อง 'ผ่าน' ซึ่งกันและกัน นอกจากนี้fได้เปลี่ยนทิศทางของช่วงเวลาและgไม่ได้เปลี่ยน ซึ่งเป็นไปไม่ได้ภายใต้ไอโซโทป อย่างไรก็ตาม แผนที่มีความคล้ายคลึงกัน หนึ่ง homotopy จากFถึงตัวตนคือH : [-1, 1] × [0, 1] → [-1, 1] ได้รับจากH ( x , Y ) = 2 YX - x

สอง homeomorphisms (ซึ่งเป็นกรณีพิเศษของ embeddings) ของลูกหน่วยงานที่เห็นด้วยกับขอบเขตที่สามารถแสดงให้เห็นว่าไอโซโทปใช้เคล็ดลับเล็กซานเดอร์ ด้วยเหตุนี้ แผนที่ของแผ่นดิสก์หน่วยในR ^{2 ที่}กำหนดโดยf ( x , y ) = (− x , − y ) เป็นไอโซโทปที่หมุนรอบจุดกำเนิด180 องศาดังนั้น แผนที่เอกลักษณ์และfจึงเป็นไอโซโทป เพราะสามารถเชื่อมต่อกันได้ด้วยการหมุน

ในโทโพโลยีทางเรขาคณิตตัวอย่างเช่น ในทฤษฎีนอตแนวคิดเรื่องไอโซโทปถูกใช้เพื่อสร้างความสัมพันธ์สมมูล ตัวอย่างเช่น เมื่อใดควรถือว่านอตสองนอตเหมือนกัน เราใช้สองนอตK ₁และK ₂ในพื้นที่สามมิติ ปมคือการฝังช่องว่างหนึ่งมิติ "ลูปของสตริง" (หรือวงกลม) ลงในช่องว่างนี้ และการฝังนี้จะทำให้โฮโมมอร์ฟิซึมระหว่างวงกลมกับรูปภาพในพื้นที่ฝัง แนวคิดโดยสัญชาตญาณที่อยู่เบื้องหลังแนวคิดเรื่องความเท่าเทียมกันของปมคือเราสามารถเปลี่ยนรูปหนึ่งการฝังไปยังอีกทางหนึ่งผ่านเส้นทางของการฝัง: ฟังก์ชันต่อเนื่องเริ่มต้นที่t = 0 ให้K ₁ฝัง สิ้นสุดที่t = 1 ให้K ₂ฝังด้วย ค่ากลางทั้งหมดที่สอดคล้องกับการฝัง ซึ่งสอดคล้องกับคำจำกัดความของไอโซโทป Isotopy แวดล้อมศึกษาในบริบทนี้เป็น Isotopy ของพื้นที่ขนาดใหญ่พิจารณาในแง่ของการกระทำของตนใน submanifold ฝังตัว นอตK ₁และK ₂จะถือว่าเทียบเท่าเมื่อมีการ Isotopy โดยรอบซึ่งย้ายภาค₁เพื่อK 2นี่คือคำจำกัดความที่เหมาะสมในหมวดหมู่ทอพอโลยี

ภาษาที่คล้ายกันใช้สำหรับแนวคิดที่เท่าเทียมกันในบริบทที่มีแนวคิดเรื่องความเท่าเทียมกันมากขึ้น ยกตัวอย่างเช่นเส้นทางระหว่างสอง embeddings เรียบเป็นIsotopy เรียบ

โฮโมโทปีไทม์ไลค์

บนท่อร่วม Lorentzianเส้นโค้งบางเส้นมีความโดดเด่นตามเวลา (หมายถึงบางสิ่งที่ไปข้างหน้าเท่านั้น ไม่ใช่ถอยหลัง ในเวลา ในทุกเฟรมท้องถิ่น) โฮโมโทปีแบบไทม์ไลค์ระหว่างเส้นโค้งไทม์ไลค์สองเส้นคือโฮโมโทปีแบบที่เส้นโค้งนั้นยังคงเป็นแบบไทม์ไลค์ระหว่างการแปลงแบบต่อเนื่องจากโค้งหนึ่งไปอีกโค้งหนึ่ง ไม่มีเส้นโค้งไทม์ไลค์แบบปิด (CTC) บนท่อร่วมแบบลอเรนเซียนที่เป็นแบบโฮโมโทปิกแบบไทม์ไลค์จนถึงจุดหนึ่ง (นั่นคือ nullไทม์ไลค์โฮโมโทปิก); หลายส่วนดังกล่าวจึงกล่าวกันว่าเชื่อมต่อกันด้วยเส้นโค้งที่เหมือนเวลา นานาเช่น3 ทรงกลมสามารถเพียงแค่เชื่อมต่อ (โดยแบ่งตามชนิดของเส้นโค้งใด ๆ ) และยังเป็นtimelike เชื่อมต่อคูณ ^[7]

คุณสมบัติ

คุณสมบัติการยกและขยาย

ถ้าเรามีโฮโมโทปี้H : X × [0,1] → Yและหน้าปกp : Y → Yและเราได้รับแผนที่h₀ : X → Y โดยที่H ₀ = p ○ h₀ ( h₀ถูกเรียกยกของเอช₀ ) แล้วเราสามารถยกยี่ห้อHกับแผนที่H : X × [0, 1] → Yดังกล่าวว่าP ○ H = H สถานที่ให้บริการยก homotopy จะใช้ในลักษณะfibrations

คุณสมบัติที่มีประโยชน์อีกอย่างที่เกี่ยวข้องกับ homotopy คือคุณสมบัติการขยาย homotopyซึ่งแสดงลักษณะการขยายของ homotopy ระหว่างสองฟังก์ชันจากเซตย่อยของชุดบางชุดไปยังชุดนั้นเอง มันจะมีประโยชน์เมื่อต้องรับมือกับcofibrations

กลุ่ม

เนื่องจากความสัมพันธ์ของสองฟังก์ชัน $f,g\colon X\to Y$ การที่โฮโมโทปิกสัมพันธ์กับซับสเปซนั้นเป็นความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกัน เราสามารถดูคลาสสมมูลของแผนที่ระหว่างค่าคงที่XและYได้ ถ้าเราแก้ไข $X=[0,1]^{n}$ , ช่วงหน่วย [0, 1] ข้ามกับตัวเองnครั้ง, และเราใช้ขอบเขตของมัน $\partial ([0,1]^{n})$ เป็นซับสเปซ จากนั้นคลาสสมมูลจะรวมกันเป็นกลุ่ม แทนค่า $\pi _{n}(Y,y_{0})$ ที่ไหน $y_{0}$ อยู่ในรูปของสเปซย่อย $\partial ([0,1]^{n})$ .

เราสามารถกำหนดการกระทำของคลาสเทียบเท่ากับอีกคลาสหนึ่งได้ ดังนั้นเราจึงได้กลุ่ม กลุ่มคนเหล่านี้จะเรียกว่ากลุ่ม homotopy ในกรณี $n=1$ จะเรียกว่ายังเป็นกลุ่มพื้นฐาน

หมวดหมู่ Homotopy

แนวคิดเรื่อง homotopy สามารถเปลี่ยนเป็นหมวดหมู่ที่เป็นทางการของทฤษฎีหมวดหมู่ได้ หมวด homotopyเป็นหมวดหมู่ที่มีวัตถุที่มีช่องว่าง topological และมี morphisms มีความสมดุลเรียน homotopy แผนที่อย่างต่อเนื่อง ช่องว่างทอพอโลยีXและYสองช่องเป็นไอโซมอร์ฟิกในหมวดหมู่นี้ ถ้าและเฉพาะเมื่อพวกมันเทียบเท่าโฮโมโทปี จากนั้นfunctorในหมวดหมู่ของช่องว่างทอพอโลยีจะเป็นค่าคงที่ของ homotopy ถ้ามันสามารถแสดงเป็น functor ในหมวดหมู่ homotopy

ตัวอย่างเช่น กลุ่มความคล้ายคลึงกันเป็นค่าคงที่ homotopy ของfunctorialซึ่งหมายความว่าหากfและgจากXถึงYเป็น homotopic ดังนั้นhomomorphisms ของกลุ่มที่เกิดจากfและgในระดับของกลุ่มความคล้ายคลึงจะเหมือนกัน: H _n ( f ) = H _n ( กรัม ): H _n ( X ) → H _n ( Y ) สำหรับทุกn ในทำนองเดียวกัน ถ้าXและYอยู่ในเส้นทางเพิ่มเติมที่เชื่อมต่อกันและ homotopy ระหว่างfและgชี้ ดังนั้น homomorphisms ของกลุ่มที่เกิดจากfและgในระดับของกลุ่ม homotopyก็เหมือนกัน: π _n ( f ) = π _n ( ก ) : π _n ( X ) → π _n ( Y ).

แอปพลิเคชั่น

ตามแนวคิดของ homotopy วิธีคำนวณสำหรับสมการพีชคณิตและอนุพันธ์ได้รับการพัฒนา วิธีการสำหรับสมการพีชคณิตรวมถึงวิธีความต่อเนื่องของ homotopy ^[8]และวิธีการต่อเนื่อง (ดูความต่อเนื่องของตัวเลข ) วิธีการสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์รวมถึงวิธีวิเคราะห์โฮโมโทปี

ดูสิ่งนี้ด้วย

ความเท่าเทียมกันของไฟเบอร์-โฮโมโทปี (เวอร์ชันสัมพัทธ์ของการเทียบเท่าโฮโมโทปี)
Homeotopytop
ทฤษฎีประเภทโฮโมปี้
การทำแผนที่กลุ่มคลาส
การคาดเดาของPoincaré
homotopy ปกติ

อ้างอิง

^ "Homotopy | คณิตศาสตร์" . สารานุกรมบริแทนนิกา. สืบค้นเมื่อ2019-08-17 .
^ เส้นทาง homotopy และฟังก์ชันต่อเนื่องแยกกัน
^ อัลเลน, แฮทเชอร์ (2002). พีชคณิตโครงสร้าง เคมบริดจ์: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์. หน้า 185. ISBN 9780521795401. OCLC 45420394 .
^ อัลบิน, ปิแอร์ (2019). "ประวัติโทโพโลยีเชิงพีชคณิต" .
^ อัลเลน, แฮทเชอร์ (2002). พีชคณิตโครงสร้าง เคมบริดจ์: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์. หน้า 11. ISBN 9780521795401. OCLC 45420394 .
^ Weisstein, Eric W. "ไอโซโทป" . คณิตศาสตร์โลก.
^ มอนโร, ฮันเตอร์ (2008-11-01) "การละเมิดเวรกรรมเป็นสิ่งที่ไม่พึงปรารถนาหรือไม่" รากฐานของฟิสิกส์ . 38 (11): 1065–1069. arXiv : gr-qc/0609054 . Bibcode : 2008FoPh...38.1065M . ดอย : 10.1007/s10701-008-9254-9 . ISSN 0015-9018 .
^ Allgower ยูจีน; เกออร์ก, เคิร์ต. "แนะนำวิธีการต่อเนื่องตัวเลข" (PDF) คสช. สืบค้นเมื่อ22 กุมภาพันธ์ 2020 .

แหล่งที่มา

อาร์มสตรอง, แมสซาชูเซตส์ (1979). โทโพโลยีขั้นพื้นฐาน สปริงเกอร์. ISBN 978-0-387-90839-7.
"Homotopy" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]
"ไอโซโทป (ในโทโพโลยี)" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
สแปเนียร์, เอ็ดวิน (ธันวาคม 1994) โทโพโลยีเชิงพีชคณิต . สปริงเกอร์. ISBN 978-0-387-94426-5.

[1] "Homotopy | คณิตศาสตร์" . สารานุกรมบริแทนนิกา. สืบค้นเมื่อ2019-08-17 .

[2] เส้นทาง homotopy และฟังก์ชันต่อเนื่องแยกกัน

[3] อัลเลน, แฮทเชอร์ (2002). พีชคณิตโครงสร้าง เคมบริดจ์: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์. หน้า 185. ISBN 9780521795401. OCLC 45420394 .

[4] อัลบิน, ปิแอร์ (2019). "ประวัติโทโพโลยีเชิงพีชคณิต" .

[5] อัลเลน, แฮทเชอร์ (2002). พีชคณิตโครงสร้าง เคมบริดจ์: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์. หน้า 11. ISBN 9780521795401. OCLC 45420394 .

[6] Weisstein, Eric W. "ไอโซโทป" . คณิตศาสตร์โลก.

[7] มอนโร, ฮันเตอร์ (2008-11-01) "การละเมิดเวรกรรมเป็นสิ่งที่ไม่พึงปรารถนาหรือไม่" รากฐานของฟิสิกส์ . 38 (11): 1065–1069. arXiv : gr-qc/0609054 . Bibcode : 2008FoPh...38.1065M . ดอย : 10.1007/s10701-008-9254-9 . ISSN 0015-9018 .

[Allgower1990-8] Allgower ยูจีน; เกออร์ก, เคิร์ต. "แนะนำวิธีการต่อเนื่องตัวเลข" (PDF) คสช. สืบค้นเมื่อ22 กุมภาพันธ์ 2020 .

[1]