ค่าสัมประสิทธิ์จินี

ค่าสัมประสิทธิ์ Gini ได้รับการพัฒนาโดยCorrado Giniนักสถิติชาวอิตาลีและตีพิมพ์ใน Paper Variability and Mutability ( อิตาลี : Variabilità e mutabilità ) ^{[15] [16]}จากผลงานของแม็กซ์ลอเรนซ์นักเศรษฐศาสตร์ชาวอเมริกันจินีเสนอว่าความแตกต่างระหว่างเส้นตรงสมมุติที่แสดงถึงความเท่าเทียมที่สมบูรณ์แบบและเส้นจริงที่แสดงรายได้ของผู้คนถูกใช้เป็นตัวชี้วัดความไม่เท่าเทียมกัน ^[17]

การแสดงกราฟิกของสัมประสิทธิ์จีนี

แสดงให้เห็นว่ากราฟสัมประสิทธิ์จีนีเท่ากับพื้นที่ที่มีเครื่องหมาย หารด้วยผลรวมของพื้นที่ทำเครื่องหมาย และ B , ที่อยู่, Gini = / ( + B ) นอกจากนี้ยังมีค่าเท่ากับ 2 Aและ 1 - 2 Bเนื่องจาก A + B = 0.5 (เนื่องจากขนาดแกนตั้งแต่ 0 ถึง 1)

ค่าสัมประสิทธิ์ Gini เป็นจำนวนเดียวที่มีวัตถุประสงค์เพื่อวัดระดับความไม่เท่าเทียมกันในการแจกแจง ส่วนใหญ่มักใช้ในทางเศรษฐศาสตร์เพื่อวัดว่าความมั่งคั่งของประเทศหรือการกระจายรายได้เบี่ยงเบนไปจากการกระจายที่เท่าเทียมกันโดยสิ้นเชิง

ในแง่ของเปอร์เซ็นต์ไทล์ของประชากรที่เรียงตามรายได้ค่าสัมประสิทธิ์ Gini คือการขาดแคลนสะสมจากส่วนแบ่งที่เท่ากันของรายได้ทั้งหมดจนถึงเปอร์เซ็นไทล์แต่ละรายการ จากนั้นจะหารด้วยค่าที่จะมีในกรณีของความเท่าเทียมกันอย่างสมบูรณ์

โดยปกติแล้วค่าสัมประสิทธิ์ Gini จะถูกกำหนดทางคณิตศาสตร์ตามเส้นโค้งลอเรนซ์ซึ่งจะแสดงสัดส่วนของรายได้ทั้งหมดของประชากร (แกน y) ที่ได้รับสะสมจากค่าxล่างสุดของประชากร (ดูแผนภาพ) เส้นที่ 45 องศาแสดงถึงความเท่าเทียมกันอย่างสมบูรณ์แบบของรายได้ จากนั้นค่าสัมประสิทธิ์ Gini สามารถคิดเป็นอัตราส่วนของพื้นที่ที่อยู่ระหว่างเส้นแห่งความเท่าเทียมและเส้นโค้งลอเรนซ์ (ทำเครื่องหมายAในแผนภาพ) เหนือพื้นที่ทั้งหมดภายใต้เส้นความเท่าเทียมกัน (ทำเครื่องหมายAและBในแผนภาพ) ; คือG = / ( + B ) นอกจากนี้ยังมีค่าเท่ากับ 2 Aและ1 - 2 Bเนื่องจากA + B = 0.5 (เนื่องจากขนาดแกนตั้งแต่ 0 ถึง 1)

หากทุกคนมีรายได้ที่ไม่ติดลบ (หรือความมั่งคั่งแล้วแต่กรณี) สัมประสิทธิ์จีนีในทางทฤษฎีมีค่าตั้งแต่ 0 (ความเท่าเทียมกันโดยสมบูรณ์) ถึง 1 (อสมการที่สมบูรณ์) บางครั้งแสดงเป็นเปอร์เซ็นต์ระหว่าง 0 ถึง 100 ในความเป็นจริงค่าสุดขั้วทั้งสองไม่ถึง หากค่าลบเป็นไปได้ (เช่นความมั่งคั่งติดลบของผู้ที่มีหนี้สิน) ค่าสัมประสิทธิ์ Gini ในทางทฤษฎีอาจมากกว่า 1 โดยปกติค่าเฉลี่ย (หรือทั้งหมด) จะถือว่าเป็นบวกซึ่งจะกำหนดค่าสัมประสิทธิ์ Gini ให้น้อยกว่าศูนย์

อีกทางเลือกหนึ่งคือการกำหนดค่าสัมประสิทธิ์ Gini เป็นครึ่งหนึ่งของความแตกต่างสัมบูรณ์ของค่าเฉลี่ยสัมพัทธ์ซึ่งเทียบเท่าทางคณิตศาสตร์กับนิยามตามเส้นโค้งลอเรนซ์ ^[18]ความแตกต่างแน่นอนค่าเฉลี่ยเป็นค่าเฉลี่ยความแตกต่างแน่นอนของคู่รายการทั้งหมดของประชากรและญาติแตกต่างแน่นอนหมายถึงคือความแตกต่างแน่นอนเฉลี่ยหารด้วยค่าเฉลี่ย ,${\ displaystyle {\ bar {x}}}$เพื่อปรับขนาดให้เป็นปกติ ถ้าx _ฉันคือความมั่งคั่งหรือรายได้ของคนที่ฉันและมีnบุคคลแล้วสัมประสิทธิ์จีนีจีจะได้รับโดย:

${\ displaystyle G = {\ frac {\ displaystyle {\ sum _ {i = 1} ^ {n} \ sum _ {j = 1} ^ {n} \ left | x_ {i} -x_ {j} \ right |}} {\ displaystyle {2 \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ sum _ {j = 1} ^ {n} x_ {j}}}} = {\ frac {\ displaystyle {\ sum _ {i = 1} ^ {n} \ sum _ {j = 1} ^ {n} \ left | x_ {i} -x_ {j} \ right |}} {\ displaystyle {2n \ sum _ {j = 1 } ^ {n} x_ {j}}}} = {\ frac {\ displaystyle {\ sum _ {i = 1} ^ {n} \ sum _ {j = 1} ^ {n} \ left | x_ {i } -x_ {j} \ right |}} {\ displaystyle {2n ^ {2} {\ bar {x}}}}}}$

เมื่อมีการแจกแจงรายได้ (หรือความมั่งคั่ง) เป็นฟังก์ชันการแจกแจงความน่าจะ เป็นแบบต่อเนื่องp ( x ) สัมประสิทธิ์ Gini จะเป็นอีกครึ่งหนึ่งของความแตกต่างสัมบูรณ์ของค่าเฉลี่ยสัมพัทธ์:

${\ displaystyle G = {\ frac {1} {2 \ mu}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} p (x) p (y ) \, | xy | \, dx \, dy}$

ที่ไหน ${\ displaystyle \ textstyle \ mu = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} xp (x) \, dx}$ คือค่าเฉลี่ยของการแจกแจงและขีด จำกัด ล่างของการรวมอาจถูกแทนที่ด้วยศูนย์เมื่อรายได้ทั้งหมดเป็นบวก

ที่รวยที่สุด Uของประชากร (สีแดง) อย่างเท่าเทียมกันหุ้น ฉของรายได้ทั้งหมดหรือความมั่งคั่ง; อื่น ๆ (สีเขียว) อย่างเท่าเทียมกันที่เหลือหุ้น: G = F - U การกระจายอย่างราบรื่น (สีน้ำเงิน) ที่มีuเท่ากัน และ fจะมี G > f - uเสมอ

แม้ว่าการกระจายรายได้ของประเทศใดประเทศหนึ่งจะไม่เป็นไปตามแบบจำลองทางทฤษฎีเสมอไปในความเป็นจริงฟังก์ชันเหล่านี้ให้ความเข้าใจเชิงคุณภาพเกี่ยวกับการกระจายรายได้ในประเทศที่ได้รับค่าสัมประสิทธิ์ Gini

ตัวอย่าง: รายได้สองระดับ

กรณีที่รุนแรงที่สุดคือสังคมที่เท่าเทียมกันมากที่สุดซึ่งทุกคนได้รับรายได้เท่ากัน ( G = 0 ) และสังคมที่ไม่เท่าเทียมกันมากที่สุดที่คนโสดได้รับ 100% ของรายได้ทั้งหมดและที่เหลือN - 1คนไม่ได้รับ ( G = 1 - 1 / N )

กรณีที่ง่ายขึ้นทั่วไปยังแยกความแตกต่างของรายได้สองระดับคือต่ำและสูง ถ้ากลุ่มรายได้สูงเป็นสัดส่วนUของประชากรและรายได้เป็นสัดส่วนฉของรายได้ทั้งหมดแล้วสัมประสิทธิ์จีนีเป็นF - U การแจกแจงแบบให้คะแนนมากกว่าจริงที่มีค่าเดียวกันนี้uและfจะมีค่าสัมประสิทธิ์ Gini สูงกว่าf - uเสมอ

กรณีสุภาษิตที่คนรวยที่สุด 20% มีรายได้ 80% ของรายได้ทั้งหมด (ดูหลักการ Pareto ) จะนำไปสู่ค่าสัมประสิทธิ์ Gini รายได้อย่างน้อย 60%

กรณีที่อ้างถึงบ่อยครั้ง^[19]ที่ 1% ของประชากรโลกทั้งหมดเป็นเจ้าของ 50% ของความมั่งคั่งทั้งหมดหมายถึงค่าสัมประสิทธิ์ความมั่งคั่ง Gini อย่างน้อย 49%

นิพจน์ทางเลือก

ในบางกรณีสมการนี้สามารถนำมาใช้ในการคำนวณค่าสัมประสิทธิ์จินีโดยไม่มีการอ้างอิงโดยตรงกับเส้นโค้งอเรนซ์ ตัวอย่างเช่น (โดยyหมายถึงรายได้หรือความมั่งคั่งของบุคคลหรือครัวเรือน):

• สำหรับชุดประชากรที่มีค่าy _i , i = 1 ถึงn , จัดทำดัชนีตามลำดับที่ไม่ลดลง ( y _i ≤ y _{i +1} ):

${\ displaystyle G = {\ frac {1} {n}} \ left (n + 1-2 \ left ({\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {n} (n + 1-i) y_ {i}} {\ sum _ {i = 1} ^ {n} y_ {i}}} \ right) \ right)}$

สิ่งนี้อาจทำให้ง่ายขึ้นเพื่อ:

${\ displaystyle G = {\ frac {2 \ sum _ {i = 1} ^ {n} iy_ {i}} {n \ sum _ {i = 1} ^ {n} y_ {i}}} - {\ frac {n + 1} {n}}.}$

สูตรนี้ใช้ได้กับประชากรจริงเนื่องจากแต่ละคนสามารถกำหนดy _iของตนเอง ได้ ^[20]

เนื่องจากค่าสัมประสิทธิ์ Gini เป็นครึ่งหนึ่งของความแตกต่างสัมบูรณ์ของค่าเฉลี่ยสัมพัทธ์จึงสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตรสำหรับความแตกต่างสัมบูรณ์ของค่าเฉลี่ยสัมพัทธ์ สำหรับตัวอย่างสุ่มSประกอบด้วยค่าy _i , i = 1 ถึงnซึ่งจัดทำดัชนีตามลำดับที่ไม่ลดลง ( y _i ≤ y _{i +1} ) สถิติ:

${\ displaystyle G (S) = {\ frac {1} {n-1}} \ left (n + 1-2 \ left ({\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {n} (n + 1-i) y_ {i}} {\ sum _ {i = 1} ^ {n} y_ {i}}} \ right) \ right)}$

เป็นประมาณการที่สอดคล้องกันของประชากร Gini ค่าสัมประสิทธิ์ แต่ไม่ได้โดยทั่วไปที่เป็นกลาง เช่นเดียวกับG , G ( S )มีรูปแบบที่ง่ายกว่า:

${\ displaystyle G (S) = 1 - {\ frac {2} {n-1}} \ left (n - {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {n} iy_ {i}} {\ ผลรวม _ {i = 1} ^ {n} y_ {i}}} \ right).}$

มีไม่ได้อยู่สถิติตัวอย่างที่อยู่ในทั่วไปเป็นกลาง estimator ของประชากร Gini ค่าสัมประสิทธิ์เช่นความแตกต่างแน่นอนญาติเฉลี่ย

การแจกแจงความน่าจะเป็นแบบไม่ต่อเนื่อง

สำหรับการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบไม่ต่อเนื่องพร้อมฟังก์ชันมวลความน่าจะเป็น${\ displaystyle f (y_ {i}),}$ ${\ displaystyle i = 1, \ ldots, n}$, ที่ไหน ${\ displaystyle f (y_ {i})}$ คือเศษส่วนของประชากรที่มีรายได้หรือความมั่งคั่ง ${\ displaystyle y_ {i}> 0}$ค่าสัมประสิทธิ์ Gini คือ:

${\ displaystyle G = {\ frac {1} {2 \ mu}} \ sum \ LIMIT _ {i = 1} ^ {n} \ sum \ LIMIT _ {j = 1} ^ {n} \, f (y_ {i}) f (y_ {j}) | y_ {i} -y_ {j} |}$

ที่ไหน

${\ displaystyle \ mu = \ sum \ LIMIT _ {i = 1} ^ {n} y_ {i} f (y_ {i}).}$

หากคะแนนที่มีความน่าจะเป็นที่ไม่ใช่ศูนย์จะถูกจัดทำดัชนีตามลำดับที่เพิ่มขึ้น ${\ displaystyle (y_ {i}$ แล้ว:

${\ displaystyle G = 1 - {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {n} f (y_ {i}) (S_ {i-1} + S_ {i})} {S_ {n}} }}$

ที่ไหน

${\ displaystyle S_ {i} = \ sum _ {j = 1} ^ {i} f (y_ {j}) \, y_ {j} \,}$ และ ${\ displaystyle S_ {0} = 0.}$ สูตรเหล่านี้สามารถใช้ได้ในขีด จำกัด เช่นกัน ${\ displaystyle n \ rightarrow \ infty.}$

การแจกแจงความน่าจะเป็นแบบต่อเนื่อง

เมื่อประชากรที่มีขนาดใหญ่, การกระจายรายได้อาจจะแทนด้วยอย่างต่อเนื่องน่าจะเป็นฟังก์ชั่นความหนาแน่น F ( x ) ที่F ( x ) DXเป็นส่วนหนึ่งของประชากรที่มีความมั่งคั่งหรือรายได้ในช่วงเวลาDXเกี่ยวกับx ถ้าF ( x ) เป็นฟังก์ชันการแจกแจงสะสมสำหรับf ( x ) เส้นโค้งลอเรนซ์L ( F ) อาจแสดงเป็นพารามิเตอร์ของฟังก์ชันในL ( x ) และF ( x ) และสามารถหาค่าของBได้ โดยการรวม :

${\ displaystyle B = \ int _ {0} ^ {1} L (F) \, dF.}$

นอกจากนี้ยังสามารถคำนวณค่าสัมประสิทธิ์ Gini ได้โดยตรงจากฟังก์ชันการแจกแจงสะสมของการแจกแจงF ( y ) การกำหนดμเป็นค่าเฉลี่ยของการแจกแจงและการระบุว่าF ( y ) เป็นศูนย์สำหรับค่าลบทั้งหมดค่าสัมประสิทธิ์ Gini จะได้รับจาก:

${\ displaystyle G = 1 - {\ frac {1} {\ mu}} \ int _ {0} ^ {\ infty} (1-F (y)) ^ {2} \, dy = {\ frac {1 } {\ mu}} \ int _ {0} ^ {\ infty} F (y) (1-F (y)) \, dy}$

ผลลัพธ์หลังมาจากการรวมโดยส่วนต่างๆ (โปรดทราบว่าสูตรนี้สามารถใช้ได้เมื่อมีค่าลบหากการรวมถูกนำมาจากลบอินฟินิตี้ถึงบวกอินฟินิตี้)

ค่าสัมประสิทธิ์จินีอาจแสดงในรูปของฟังก์ชันควอนไทล์ Q ( F ) (ผกผันของฟังก์ชันการแจกแจงสะสม: Q ( F ( x )) = x )

${\ displaystyle G = {\ frac {1} {2 \ mu}} \ int _ {0} ^ {1} \ int _ {0} ^ {1} | Q (F_ {1}) - Q (F_ { 2}) | \, dF_ {1} \, dF_ {2}.}$

สำหรับรูปแบบการทำงานบางรูปแบบดัชนี Gini สามารถคำนวณได้อย่างชัดเจน ตัวอย่างเช่นถ้าyตามการแจกแจงแบบlognormalโดยมีค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของบันทึกเท่ากับ${\ displaystyle \ sigma}$แล้ว ${\ displaystyle G = \ operatorname {erf} \ left ({\ frac {\ sigma} {2}} \ right)}$ ที่ไหน ${\ displaystyle \ operatorname {erf}}$คือฟังก์ชันข้อผิดพลาด (ตั้งแต่${\ displaystyle G = 2 \ phi \ left ({\ frac {\ sigma} {\ sqrt {2}}} \ right) -1}$, ที่ไหน ${\ displaystyle \ phi}$คือการแจกแจงปกติมาตรฐานสะสม) ^[21]ในตารางด้านล่างนี้เป็นตัวอย่างสำหรับฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นที่มีการรองรับ${\ displaystyle [0, \ infty)}$แสดงอยู่ ^{[ ต้องการอ้างอิง ]}การแจกแจงแบบเดลต้า Dirac แสดงถึงกรณีที่ทุกคนมีความมั่งคั่ง (หรือรายได้) เท่ากัน; หมายความว่าไม่มีความแตกต่างระหว่างรายได้เลย

ฟังก์ชันการกระจายรายได้	PDF (x)	ค่าสัมประสิทธิ์จินี
ฟังก์ชัน Dirac delta	${\ displaystyle \ delta (x-x_ {0}), \, x_ {0}> 0}$	0
กระจายสม่ำเสมอ	${\ displaystyle {\ begin {cases} {\ frac {1} {ba}} & a \ leq x \ leq b \\ 0 & \ mathrm {else} \ end {cases}}}$	${\ displaystyle {\ frac {(ba)} {3 (b + a)}}}$
การแจกแจงแบบเอ็กซ์โปเนนเชียล	${\ displaystyle \ lambda e ^ {- x \ lambda}, \, \, x> 0}$	${\ displaystyle 1/2}$
การแจกแจงแบบล็อกปกติ	${\ displaystyle {\ frac {1} {x \ sigma {\ sqrt {2 \ pi}}}} e ^ {- {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {\ ln \, ( x) - \ mu} {\ sigma}} \ right) ^ {2}}}$	${\ displaystyle {\ textrm {erf}} (\ sigma / 2)}$
การกระจายพาเรโต	${\ displaystyle {\ begin {cases} {\ frac {\ alpha k ^ {\ alpha}} {x ^ {\ alpha +1}}} & x \ geq k \\ 0 & x$	${\ displaystyle {\ begin {cases} 1 & 0 <\ alpha <1 \\ {\ frac {1} {2 \ alpha -1}} & \ alpha \ geq 1 \ end {cases}}}$
การแจกแจงแบบไคสแควร์	${\ displaystyle {\ frac {2 ^ {- k / 2} e ^ {- x / 2} x ^ {k / 2-1}} {\ Gamma (k / 2)}}}$	${\ displaystyle {\ frac {2 \, \ Gamma \ left ({\ frac {1 + k} {2}} \ right)} {k \, \ Gamma (k / 2) {\ sqrt {\ pi}} }}}$
การกระจายแกมมา	${\ displaystyle {\ frac {e ^ {- x / \ theta} x ^ {k-1} \ theta ^ {- k}} {\ Gamma (k)}}}$	${\ displaystyle {\ frac {\ Gamma \ left ({\ frac {2k + 1} {2}} \ right)} {k \, \ Gamma (k) {\ sqrt {\ pi}}}}}$
การกระจายไวบุล	${\ displaystyle {\ frac {k} {\ lambda}} \, \ left ({\ frac {x} {\ lambda}} \ right) ^ {k-1} e ^ {- (x / \ lambda) ^ {k}}}$	${\ displaystyle 1-2 ^ {- 1 / k}}$
การแจกแจงเบต้า	${\ displaystyle {\ frac {x ^ {\ alpha -1} (1-x) ^ {\ beta -1}} {B (\ alpha, \ beta)}}}$	${\ displaystyle \ left ({\ frac {2} {\ alpha}} \ right) {\ frac {B (\ alpha + \ beta, \ alpha + \ beta)} {B (\ alpha, \ alpha) B ( \ beta, \ beta)}}}$
การกระจายลอจิสติกส์	${\ displaystyle {\ frac {(\ beta / \ alpha) (x / \ alpha) ^ {\ beta -1}} {\ left (1+ (x / \ alpha) ^ {\ beta} \ right) ^ { 2}}}}$	${\ displaystyle 1 / \ beta}$

แนวทางอื่น ๆ

บางครั้งไม่ทราบเส้นโค้งลอเรนซ์ทั้งหมดและจะให้เฉพาะค่าในบางช่วงเท่านั้น ในกรณีนี้สามารถประมาณค่าสัมประสิทธิ์ Gini ได้โดยใช้เทคนิคต่างๆในการแก้ไขค่าที่ขาดหายไปของเส้นโค้งลอเรนซ์ ถ้า ( X _k , Y _k ) เป็นจุดที่ทราบบนเส้นโค้งลอเรนซ์โดยที่X _kจัดทำดัชนีตามลำดับที่เพิ่มขึ้น ( X _{k - 1} < X _k ) ดังนั้น:

• X _kคือสัดส่วนสะสมของตัวแปรประชากรสำหรับk = 0, ... , nโดยX ₀ = 0, X _n = 1
• Y _kคือสัดส่วนสะสมของตัวแปรรายได้สำหรับk = 0, ... , nโดยY ₀ = 0, Y _n = 1
• Y _kควรจัดทำดัชนีตามลำดับที่ไม่ลดลง ( Y _k > Y _{k - 1} )

ถ้าเส้นโค้งลอเรนซ์ถูกประมาณในแต่ละช่วงเวลาเป็นเส้นระหว่างจุดที่ติดต่อกันพื้นที่ B สามารถประมาณด้วยสี่เหลี่ยมคางหมูและ:

${\ displaystyle G_ {1} = 1- \ sum _ {k = 1} ^ {n} (X_ {k} -X_ {k-1}) (Y_ {k} + Y_ {k-1})}$

คือการประมาณผลลัพธ์สำหรับ G ผลลัพธ์ที่แม่นยำยิ่งขึ้นสามารถหาได้โดยใช้วิธีการอื่นในการประมาณพื้นที่ B เช่นการประมาณเส้นโค้งลอเรนซ์ด้วยฟังก์ชันกำลังสองข้ามคู่ของช่วงเวลาหรือการสร้างการประมาณที่ราบรื่นอย่างเหมาะสมกับฟังก์ชันการกระจายพื้นฐานที่ตรงกัน ข้อมูลที่ทราบ หากทราบค่าเฉลี่ยประชากรและค่าขอบเขตสำหรับแต่ละช่วงเวลาก็มักจะใช้เพื่อปรับปรุงความแม่นยำของการประมาณได้

ค่าสัมประสิทธิ์ Gini ที่คำนวณจากตัวอย่างเป็นสถิติและควรรายงานข้อผิดพลาดมาตรฐานหรือช่วงความเชื่อมั่นสำหรับค่าสัมประสิทธิ์ Gini ของประชากร สิ่งเหล่านี้สามารถคำนวณได้โดยใช้เทคนิคbootstrapแต่สิ่งที่เสนอนั้นมีความซับซ้อนทางคณิตศาสตร์และมีความยุ่งยากในการคำนวณแม้ในยุคของคอมพิวเตอร์ที่ทำงานอย่างรวดเร็ว Tomson Ogwang นักเศรษฐศาสตร์ทำให้กระบวนการมีประสิทธิภาพมากขึ้นโดยการตั้งค่า "แบบจำลองการถดถอยเคล็ดลับ" ซึ่งตัวแปรรายได้ตามลำดับในกลุ่มตัวอย่างจะได้รับการจัดอันดับด้วยรายได้ต่ำสุดที่ได้รับการจัดสรรอันดับ 1 จากนั้นแบบจำลองจะแสดงอันดับ (ตัวแปรตาม) เป็นผลรวมของ ค่าคงที่Aและข้อผิดพลาดปกติที่มีความแปรปรวนแปรผกผันกับy _k ;

${\ displaystyle k = A + \ N (0, s ^ ​​{2} / y_ {k})}$

ดังนั้นGสามารถแสดงเป็นฟังก์ชันของค่าประมาณกำลังสองที่มีน้ำหนักน้อยที่สุดของค่าคงที่Aและสามารถใช้เพื่อเพิ่มความเร็วในการคำนวณค่าประมาณแม่แรงสำหรับข้อผิดพลาดมาตรฐาน นักเศรษฐศาสตร์ David Giles แย้งว่าข้อผิดพลาดมาตรฐานของการประมาณค่าAสามารถนำมาใช้เพื่อหาค่าประมาณของGได้โดยตรงโดยไม่ต้องใช้มีดพกเลย วิธีนี้จำเป็นต้องใช้การถดถอยกำลังสองน้อยที่สุดธรรมดาเท่านั้นหลังจากสั่งซื้อข้อมูลตัวอย่าง ผลลัพธ์เปรียบเทียบในทางที่ดีกับการประมาณการจากแม่แรงที่มีการปรับปรุงข้อตกลงกับขนาดตัวอย่างที่เพิ่มขึ้น ^[22]

อย่างไรก็ตามตั้งแต่นั้นมาก็เป็นที่ถกเถียงกันอยู่ว่าสิ่งนี้ขึ้นอยู่กับสมมติฐานของแบบจำลองเกี่ยวกับการแจกแจงข้อผิดพลาดและความเป็นอิสระของเงื่อนไขข้อผิดพลาดสมมติฐานที่มักไม่ถูกต้องสำหรับชุดข้อมูลจริง ยังคงมีการถกเถียงกันอย่างต่อเนื่องเกี่ยวกับหัวข้อนี้

Guillermina Jasso ^[23]และAngus Deaton ^{[24] ได้}เสนอสูตรต่อไปนี้อย่างอิสระสำหรับค่าสัมประสิทธิ์ Gini:

${\ displaystyle G = {\ frac {N + 1} {N-1}} - {\ frac {2} {N (N-1) \ mu}} (\ sum _ {i = 1} ^ {n} P_ {i} X_ {i})}$

ที่ไหน ${\ displaystyle \ mu}$คือรายได้เฉลี่ยของประชากร P _iคืออันดับรายได้ P ของบุคคล i โดยมีรายได้ X ดังนั้นคนที่ร่ำรวยที่สุดจะได้รับอันดับ 1 และอันดับที่ยากจนที่สุดของ N ซึ่งจะให้น้ำหนักที่สูงกว่าสำหรับคนที่ยากจนกว่าใน การกระจายรายได้ซึ่งทำให้ Gini สามารถปฏิบัติตามหลักการโอนได้ โปรดทราบว่าสูตร Jasso-Deaton จะเปลี่ยนค่าสัมประสิทธิ์เพื่อให้ค่าเป็น 1 ถ้าทั้งหมด${\ displaystyle X_ {i}}$เป็นศูนย์ยกเว้นหนึ่ง อย่างไรก็ตามโปรดสังเกตว่าคำตอบของ Allison เกี่ยวกับความจำเป็นในการหารด้วยN²แทน ^[25]

FAO อธิบายอีกเวอร์ชันหนึ่งของสูตร ^[26]

ฟังก์ชันการกระจายรายได้	PDF (x)	ค่าสัมประสิทธิ์จินี
ฟังก์ชัน Dirac delta	${\ displaystyle \ delta (x-x_ {0}), \, x_ {0}> 0}$	0
กระจายสม่ำเสมอ	${\ displaystyle {\ begin {cases} {\ frac {1} {ba}} & a \ leq x \ leq b \\ 0 & \ mathrm {else} \ end {cases}}}$	${\ displaystyle {\ frac {(ba)} {3 (b + a)}}}$
การแจกแจงแบบเอ็กซ์โปเนนเชียล	${\ displaystyle \ lambda e ^ {- x \ lambda}, \, \, x> 0}$	${\ displaystyle 1/2}$
การแจกแจงแบบล็อกปกติ	${\ displaystyle {\ frac {1} {x \ sigma {\ sqrt {2 \ pi}}}} e ^ {- {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {\ ln \, ( x) - \ mu} {\ sigma}} \ right) ^ {2}}}$	${\ displaystyle {\ textrm {erf}} (\ sigma / 2)}$
การกระจายพาเรโต	${\ displaystyle {\ begin {cases} {\ frac {\ alpha k ^ {\ alpha}} {x ^ {\ alpha +1}}} & x \ geq k \\ 0 & x$	${\ displaystyle {\ begin {cases} 1 & 0 <\ alpha <1 \\ {\ frac {1} {2 \ alpha -1}} & \ alpha \ geq 1 \ end {cases}}}$
การแจกแจงแบบไคสแควร์	${\ displaystyle {\ frac {2 ^ {- k / 2} e ^ {- x / 2} x ^ {k / 2-1}} {\ Gamma (k / 2)}}}$	${\ displaystyle {\ frac {2 \, \ Gamma \ left ({\ frac {1 + k} {2}} \ right)} {k \, \ Gamma (k / 2) {\ sqrt {\ pi}} }}}$
การกระจายแกมมา	${\ displaystyle {\ frac {e ^ {- x / \ theta} x ^ {k-1} \ theta ^ {- k}} {\ Gamma (k)}}}$	${\ displaystyle {\ frac {\ Gamma \ left ({\ frac {2k + 1} {2}} \ right)} {k \, \ Gamma (k) {\ sqrt {\ pi}}}}}$
การกระจายไวบุล	${\ displaystyle {\ frac {k} {\ lambda}} \, \ left ({\ frac {x} {\ lambda}} \ right) ^ {k-1} e ^ {- (x / \ lambda) ^ {k}}}$	${\ displaystyle 1-2 ^ {- 1 / k}}$
การแจกแจงเบต้า	${\ displaystyle {\ frac {x ^ {\ alpha -1} (1-x) ^ {\ beta -1}} {B (\ alpha, \ beta)}}}$	${\ displaystyle \ left ({\ frac {2} {\ alpha}} \ right) {\ frac {B (\ alpha + \ beta, \ alpha + \ beta)} {B (\ alpha, \ alpha) B ( \ beta, \ beta)}}}$
การกระจายลอจิสติกส์	${\ displaystyle {\ frac {(\ beta / \ alpha) (x / \ alpha) ^ {\ beta -1}} {\ left (1+ (x / \ alpha) ^ {\ beta} \ right) ^ { 2}}}}$	${\ displaystyle 1 / \ beta}$

ค่าสัมประสิทธิ์ Gini และดัชนีอสมการมาตรฐานอื่น ๆ จะลดเป็นรูปแบบทั่วไป ความเสมอภาคที่สมบูรณ์แบบ - การไม่มีอสมการ - เกิดขึ้นเมื่อและต่อเมื่ออัตราส่วนอสมการ${\ displaystyle r_ {j} = x_ {j} / {\ overline {x}}}$เท่ากับ 1 สำหรับหน่วย j ทั้งหมดในประชากรบางกลุ่ม (ตัวอย่างเช่นมีความเท่าเทียมกันของรายได้ที่สมบูรณ์แบบเมื่อรายได้ของทุกคน ${\ displaystyle x_ {j}}$ เท่ากับรายได้เฉลี่ย ${\ displaystyle {\ overline {x}}}$, ดังนั้น ${\ displaystyle r_ {j} = 1}$สำหรับทุกคน). ดังนั้นการวัดความไม่เท่าเทียมกันคือการวัดค่าเบี่ยงเบนเฉลี่ยของ${\ displaystyle r_ {j} = 1}$จาก 1; ยิ่งค่าเบี่ยงเบนเฉลี่ยมากเท่าใดความไม่เท่าเทียมกันก็ยิ่งมากขึ้นเท่านั้น จากการสังเกตเหล่านี้ดัชนีอสมการมีรูปแบบทั่วไปดังนี้: ^[27]

${\ displaystyle {\ text {อสมการ}} = \ sum _ {j} p_ {j} \, f (r_ {j}),}$

โดยที่p _{j จะให้}น้ำหนักหน่วยตามส่วนแบ่งประชากรและf ( r _j ) เป็นฟังก์ชันของการเบี่ยงเบนของแต่ละหน่วยr _jจาก 1 จุดของความเท่าเทียมกัน ข้อมูลเชิงลึกของดัชนีอสมการทั่วไปนี้คือดัชนีอสมการแตกต่างกันเนื่องจากใช้ฟังก์ชันที่แตกต่างกันของระยะห่างของอัตราส่วนอสมการ ( r _j ) จาก 1

ที่มาของเส้นโค้งลอเรนซ์และค่าสัมประสิทธิ์จินีสำหรับรายได้ทั่วโลกในปี 2554

ค่าสัมประสิทธิ์ของรายได้ Gini คำนวณจากรายได้ในตลาดเช่นเดียวกับเกณฑ์รายได้ที่ใช้แล้วทิ้ง ค่าสัมประสิทธิ์ Gini ต่อรายได้ในตลาดซึ่งบางครั้งเรียกว่าค่าสัมประสิทธิ์ Gini ก่อนหักภาษีคำนวณจากรายได้ก่อนหักภาษีและการโอนและวัดความไม่เท่าเทียมกันของรายได้โดยไม่พิจารณาผลกระทบของภาษีและการใช้จ่ายทางสังคมที่มีอยู่แล้วในประเทศหนึ่ง ๆ ค่าสัมประสิทธิ์ Gini ต่อรายได้ทิ้งซึ่งบางครั้งเรียกว่าค่าสัมประสิทธิ์ Gini หลังหักภาษีคำนวณจากรายได้หลังหักภาษีและการโอนและวัดความไม่เท่าเทียมกันในรายได้หลังจากพิจารณาผลกระทบของภาษีและการใช้จ่ายทางสังคมที่มีอยู่แล้วในประเทศหนึ่ง ๆ ^{[6] [28] [29]}

สำหรับประเทศOECDในช่วงปี 2551-2552 ค่าสัมประสิทธิ์ Gini (ภาษีก่อนหักภาษีและการโอน) สำหรับประชากรทั้งหมดอยู่ระหว่าง 0.34 ถึง 0.53 โดยเกาหลีใต้ต่ำสุดและอิตาลีสูงสุด ค่าสัมประสิทธิ์ Gini (หลังหักภาษีและการโอน) สำหรับประชากรทั้งหมดอยู่ระหว่าง 0.25 ถึง 0.48 โดยเดนมาร์กต่ำสุดและเม็กซิโกสูงสุด สำหรับสหรัฐอเมริกาประเทศที่มีประชากรมากที่สุดในกลุ่มประเทศ OECD ดัชนี Gini ก่อนหักภาษีคือ 0.49 และดัชนี Gini หลังหักภาษีเท่ากับ 0.38 ในปี 2551-2552 ค่าเฉลี่ยของ OECD สำหรับประชากรทั้งหมดในประเทศ OECD คือ 0.46 สำหรับดัชนี Gini รายได้ก่อนหักภาษีและ 0.31 สำหรับดัชนี Gini รายได้หลังหักภาษี ^{[6] [30]}ภาษีและการใช้จ่ายทางสังคมที่เกิดขึ้นในช่วงปี 2551-2552 ในประเทศ OECD ลดความไม่เท่าเทียมกันของรายได้ที่มีประสิทธิผลลงอย่างมีนัยสำคัญและโดยทั่วไป "ประเทศในยุโรปโดยเฉพาะรัฐสวัสดิการของนอร์ดิกและภาคพื้นทวีป - บรรลุความไม่เท่าเทียมกันของรายได้ในระดับที่ต่ำกว่า ประเทศอื่น ๆ." ^[31]

การใช้ Gini สามารถช่วยหาจำนวนความแตกต่างในนโยบายสวัสดิการและค่าตอบแทนและปรัชญา อย่างไรก็ตามควรระลึกไว้เสมอว่าค่าสัมประสิทธิ์ Gini อาจทำให้เข้าใจผิดได้เมื่อใช้ในการเปรียบเทียบทางการเมืองระหว่างประเทศขนาดใหญ่และขนาดเล็กหรือประเทศที่มีนโยบายการย้ายถิ่นฐานที่แตกต่างกัน (ดูหัวข้อข้อ จำกัด )

ค่าสัมประสิทธิ์ Gini สำหรับทั้งโลกได้รับการประเมินโดยหลายฝ่ายว่าอยู่ระหว่าง 0.61 ถึง 0.68 ^{[10] [11] [32]}กราฟแสดงค่าที่แสดงเป็นเปอร์เซ็นต์ในพัฒนาการทางประวัติศาสตร์ของประเทศต่างๆ

ดัชนี Gini รายได้ในภูมิภาค

จากข้อมูลของยูนิเซฟภูมิภาคลาตินอเมริกาและแคริบเบียนมีดัชนีจีนีรายได้สุทธิสูงสุดในโลกที่ 48.3 เมื่อเทียบกับค่าเฉลี่ยที่ไม่ได้ถ่วงน้ำหนักในปี 2551 ค่าเฉลี่ยภูมิภาคที่เหลือ ได้แก่ อนุภูมิภาคซาฮาราแอฟริกา (44.2) เอเชีย (40.4) กลาง แอฟริกาตะวันออกและเหนือ (39.2) ยุโรปตะวันออกและเอเชียกลาง (35.4) และประเทศที่มีรายได้สูง (30.9) โดยใช้วิธีการเดียวกันสหรัฐอเมริกาอ้างว่ามีดัชนี Gini เท่ากับ 36 ในขณะที่แอฟริกาใต้มีคะแนนดัชนี Gini รายได้สูงสุดที่ 67.8 ^[33]

ดัชนี Gini รายได้โลกตั้งแต่ปี 1800

การกระจายรายได้ของมนุษย์ทุกคนความไม่เท่าเทียมกันของรายได้ทั่วโลกเพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่องตั้งแต่ต้นศตวรรษที่ 19 คะแนน Gini ด้านความไม่เท่าเทียมกันของรายได้ทั่วโลกเพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่องตั้งแต่ปี 1820 ถึงปี 2002 โดยเพิ่มขึ้นอย่างมีนัยสำคัญระหว่างปี 1980 ถึง 2002 แนวโน้มนี้ดูเหมือนจะถึงจุดสูงสุดและเริ่มพลิกกลับด้วยการเติบโตทางเศรษฐกิจอย่างรวดเร็วในประเทศเศรษฐกิจเกิดใหม่โดยเฉพาะอย่างยิ่งในกลุ่มประชากรจำนวนมากกลุ่ม BRICประเทศ ^[34]

ตารางด้านล่างแสดงค่าสัมประสิทธิ์ Gini รายได้โลกโดยประมาณในช่วง 200 ปีที่ผ่านมาซึ่งคำนวณโดย Milanovic ^[35]

ข้อมูลรายละเอียดเพิ่มเติมจากแหล่งข้อมูลที่คล้ายคลึงกันแสดงให้เห็นถึงการลดลงอย่างต่อเนื่องตั้งแต่ปี 1988 ซึ่งเป็นผลมาจากโลกาภิวัตน์ที่เพิ่มรายได้ให้กับคนยากจนหลายพันล้านคนซึ่งส่วนใหญ่อยู่ในประเทศเช่นจีนและอินเดีย ประเทศกำลังพัฒนาเช่นบราซิลได้ปรับปรุงบริการขั้นพื้นฐานเช่นการดูแลสุขภาพการศึกษาและการสุขาภิบาล ประเทศอื่น ๆ เช่นชิลีและเม็กซิโกได้ออกนโยบายภาษีแบบก้าวหน้ามากขึ้น ^[37]

ค่าสัมประสิทธิ์ Gini ใช้กันอย่างแพร่หลายในสาขาต่างๆเช่นสังคมวิทยาเศรษฐศาสตร์วิทยาศาสตร์สุขภาพนิเวศวิทยาวิศวกรรมและการเกษตร ^[39]ตัวอย่างเช่นในสังคมศาสตร์และเศรษฐศาสตร์นอกเหนือจากค่าสัมประสิทธิ์ Gini รายได้แล้วนักวิชาการยังได้ตีพิมพ์ค่าสัมประสิทธิ์การศึกษาของ Gini และสัมประสิทธิ์ Gini สำหรับโอกาส

การศึกษา

ดัชนี Education Gini ประมาณการความไม่เท่าเทียมกันในการศึกษาสำหรับประชากรที่ระบุ ^[40]มันถูกใช้เพื่อแยกแยะแนวโน้มในการพัฒนาสังคมผ่านความสำเร็จทางการศึกษาเมื่อเวลาผ่านไป จากการศึกษา 85 ประเทศโดยนักเศรษฐศาสตร์สามคนของธนาคารโลก Vinod Thomas, Yan Wang, Xibo Fan ประเมินว่ามาลีมีดัชนี Gini การศึกษาสูงสุด 0.92 ในปี 1990 (หมายถึงความไม่เท่าเทียมกันในการบรรลุการศึกษาที่สูงมากในประชากร) ในขณะที่สหรัฐอเมริกา มีดัชนี Gini ความเหลื่อมล้ำทางการศึกษาต่ำสุด 0.14 ระหว่างปีพ. ศ. 2503 ถึง พ.ศ. 2533 จีนอินเดียและเกาหลีใต้มีดัชนีจีนีที่ไม่เท่าเทียมกันทางการศึกษาลดลงเร็วที่สุด พวกเขายังอ้างว่าดัชนีการศึกษา Gini สำหรับสหรัฐอเมริกาเพิ่มขึ้นเล็กน้อยในช่วงปี 2523-2533

โอกาส

คล้ายกับแนวคิดของค่าสัมประสิทธิ์ Gini ของรายได้ค่าสัมประสิทธิ์ Gini ของโอกาสวัดความไม่เท่าเทียมกันของโอกาส ^{[41] [42] [43]}แนวคิดนี้สร้างขึ้นจากข้อเสนอแนะของAmartya Sen ^[44]ที่ว่าสัมประสิทธิ์ความไม่เท่าเทียมกันของการพัฒนาสังคมควรตั้งอยู่บนกระบวนการขยายทางเลือกของผู้คนและเพิ่มขีดความสามารถของพวกเขามากกว่ากระบวนการลดรายได้ ความไม่เท่าเทียมกัน Kovacevic ในการทบทวนโอกาสค่าสัมประสิทธิ์ Gini อธิบายว่าค่าสัมประสิทธิ์ประมาณว่าสังคมช่วยให้พลเมืองประสบความสำเร็จในชีวิตได้ดีเพียงใดโดยที่ความสำเร็จนั้นขึ้นอยู่กับการเลือกความพยายามและพรสวรรค์ของบุคคลไม่ใช่ภูมิหลังของเขาที่กำหนดโดยสถานการณ์ที่กำหนดไว้ล่วงหน้าที่ การเกิดเช่นเพศเชื้อชาติสถานที่เกิดรายได้ของผู้ปกครองและสถานการณ์ที่อยู่นอกเหนือการควบคุมของบุคคลนั้น ๆ

ในปี 2003 Roemer ^{[41] [45]}รายงานว่าอิตาลีและสเปนมีดัชนี Gini ที่มีโอกาสที่ไม่เท่าเทียมกันมากที่สุดในบรรดาประเทศเศรษฐกิจขั้นสูง

ความคล่องตัวของรายได้

ในปีพ. ศ. 2521 Anthony Shorrocks ได้นำเสนอมาตรการตามค่าสัมประสิทธิ์ Gini ของรายได้เพื่อประมาณความคล่องตัวของรายได้ ^[46]มาตรการนี้โดยทั่วไปโดย Maasoumi และ Zandvakili ^[47]โดยทั่วไปเรียกว่าดัชนี Shorrocksบางครั้งเรียกว่าดัชนีการเคลื่อนที่ของ Shorrocks หรือดัชนีความแข็งแกร่งของ Shorrocks พยายามประมาณว่าค่าสัมประสิทธิ์ Gini ของความไม่เท่าเทียมกันของรายได้เป็นแบบถาวรหรือชั่วคราวและระดับใดที่ประเทศหรือภูมิภาคช่วยให้ผู้คนสามารถเคลื่อนย้ายทางเศรษฐกิจได้เพื่อให้พวกเขาสามารถย้ายจากรายได้หนึ่ง (เช่น 20% ต่ำสุด) ไปยังอีกที่หนึ่ง (เช่น กลาง 20%) เมื่อเวลาผ่านไป กล่าวอีกนัยหนึ่งดัชนี Shorrocks จะเปรียบเทียบความไม่เท่าเทียมกันของรายได้ระยะสั้นเช่นรายได้ต่อปีของครัวเรือนกับความไม่เท่าเทียมกันของรายได้ระยะยาวเช่นรายได้รวม 5 ปีหรือ 10 ปีสำหรับครัวเรือนเดียวกัน

ดัชนี Shorrocks คำนวณได้หลายวิธีวิธีการทั่วไปมาจากอัตราส่วนของค่าสัมประสิทธิ์ Gini รายได้ระหว่างระยะสั้นและระยะยาวสำหรับภูมิภาคหรือประเทศเดียวกัน ^[48]

การศึกษาในปี 2010 โดยใช้ข้อมูลรายได้ประกันสังคมสำหรับสหรัฐอเมริกาตั้งแต่ปีพ. ศ. 2480 และดัชนี Shorrocks จาก Gini สรุปได้ว่าการเคลื่อนย้ายรายได้ในสหรัฐอเมริกามีประวัติที่ซับซ้อนโดยมีสาเหตุหลักมาจากการหลั่งไหลของผู้หญิงจำนวนมากเข้าสู่กำลังแรงงานอเมริกันหลังสงครามโลกครั้งที่สอง . แนวโน้มความไม่เท่าเทียมกันของรายได้และการเคลื่อนย้ายรายได้มีความแตกต่างกันสำหรับคนงานชายและหญิงระหว่างปี 1937 ถึงปี 2000 เมื่อชายและหญิงได้รับการพิจารณาร่วมกันแนวโน้มดัชนี Shorrocks ตามค่าสัมประสิทธิ์ Gini บ่งบอกถึงความไม่เท่าเทียมกันของรายได้ในระยะยาวได้ลดลงอย่างมากในหมู่คนงานทั้งหมดในช่วงไม่กี่ทศวรรษที่ผ่านมาสำหรับสหรัฐอเมริกา ^[48]นักวิชาการคนอื่น ๆ โดยใช้ข้อมูลเพียงแค่ปี 1990 หรือช่วงเวลาสั้น ๆ อื่น ๆ ก็ได้ข้อสรุปที่แตกต่างกัน ^[49]ตัวอย่างเช่น Sastre และ Ayala สรุปได้จากการศึกษาข้อมูลค่าสัมประสิทธิ์ Gini ของรายได้ระหว่างปี 1993 ถึง 1998 สำหรับประเทศที่พัฒนาแล้ว 6 ประเทศพบว่าฝรั่งเศสมีความคล่องตัวด้านรายได้น้อยที่สุดอิตาลีสูงที่สุดและสหรัฐอเมริกาและเยอรมนีมีรายได้ระดับกลาง ความคล่องตัวในช่วง 5 ปี ^[50]

ค่าสัมประสิทธิ์ Gini มีคุณสมบัติที่ทำให้เป็นประโยชน์ในการวัดการกระจายตัวของประชากรและโดยเฉพาะอย่างยิ่งความไม่เท่าเทียมกัน ^[26]

ค่าสัมประสิทธิ์ Gini เป็นหน่วยวัดสัมพัทธ์ เป็นไปได้ที่ค่าสัมประสิทธิ์ Gini ของประเทศกำลังพัฒนาจะเพิ่มขึ้น (เนื่องจากความไม่เท่าเทียมกันของรายได้ที่เพิ่มขึ้น) ในขณะที่จำนวนคนที่มีความยากจนลดลงอย่างแท้จริง ^[51]นี่เป็นเพราะค่าสัมประสิทธิ์ Gini วัดความมั่งคั่งแบบสัมพัทธ์ไม่ใช่สัมบูรณ์ การเปลี่ยนแปลงความไม่เท่าเทียมกันของรายได้ซึ่งวัดจากค่าสัมประสิทธิ์ Gini อาจเกิดจากการเปลี่ยนแปลงโครงสร้างในสังคมเช่นประชากรที่เพิ่มขึ้น (ทารกบูมประชากรสูงอายุอัตราการหย่าร้างที่เพิ่มขึ้นครัวเรือนในครอบครัวขยายที่แยกออกเป็นครอบครัวนิวเคลียร์การย้ายถิ่นฐานการย้ายถิ่นฐาน) และการเคลื่อนย้ายรายได้ ^[52]ค่าสัมประสิทธิ์ Gini นั้นเรียบง่ายและความเรียบง่ายนี้สามารถนำไปสู่การกำกับดูแลและสามารถสร้างความสับสนในการเปรียบเทียบของประชากรที่แตกต่างกัน ตัวอย่างเช่นในขณะที่ทั้งบังกลาเทศ (รายได้ต่อหัว 1,693 ดอลลาร์) และเนเธอร์แลนด์ (รายได้ต่อหัว 42,183 ดอลลาร์) มีค่าสัมประสิทธิ์จีนีของรายได้ 0.31 ในปี 2553 ^[53]คุณภาพชีวิตโอกาสทางเศรษฐกิจและรายได้ที่แน่นอนในประเทศเหล่านี้คือ แตกต่างกันมากเช่นประเทศต่างๆอาจมีค่าสัมประสิทธิ์ Gini เหมือนกัน แต่ความมั่งคั่งต่างกันมาก ความจำเป็นขั้นพื้นฐานอาจมีให้สำหรับทุกคนในเศรษฐกิจที่พัฒนาแล้วในขณะที่ในเศรษฐกิจที่ยังไม่พัฒนาซึ่งมีค่าสัมประสิทธิ์ Gini เท่ากันความจำเป็นพื้นฐานอาจไม่สามารถใช้ได้กับส่วนใหญ่หรือไม่เท่ากันเนื่องจากความมั่งคั่งสัมบูรณ์ที่ต่ำกว่า

การกระจายรายได้ที่แตกต่างกันโดยมีค่าสัมประสิทธิ์ Gini เดียวกัน

แม้ว่ารายได้รวมของประชากรจะเท่ากัน แต่ในบางสถานการณ์สองประเทศที่มีการกระจายรายได้ต่างกันอาจมีดัชนี Gini เหมือนกัน (เช่นกรณีที่รายได้ของ Lorenz Curves ข้าม) ^[26]ตาราง A แสดงสถานการณ์ดังกล่าวอย่างหนึ่ง ทั้งสองประเทศมีค่าสัมประสิทธิ์ Gini เท่ากับ 0.2 แต่การกระจายรายได้เฉลี่ยสำหรับกลุ่มครัวเรือนแตกต่างกัน เป็นอีกตัวอย่างหนึ่งในประชากรที่ 50% ต่ำสุดของบุคคลไม่มีรายได้และอีก 50% มีรายได้เท่ากันค่าสัมประสิทธิ์ Gini เท่ากับ 0.5 ในขณะที่ประชากรอื่นที่ 75% ต่ำสุดของคนมีรายได้ 25% และ 25% อันดับแรกมี 75% ของรายได้ดัชนี Gini ก็เท่ากับ 0.5 เช่นกัน เศรษฐกิจที่มีรายได้ใกล้เคียงกันและค่าสัมประสิทธิ์ Gini อาจมีการกระจายรายได้ที่แตกต่างกันมาก Bellùและ Liberati อ้างว่าการจัดอันดับความไม่เท่าเทียมกันของรายได้ระหว่างประชากรสองกลุ่มที่แตกต่างกันตามดัชนี Gini ของพวกเขานั้นเป็นไปไม่ได้ในบางครั้งหรือทำให้เข้าใจผิด ^[54]

ความไม่เท่าเทียมกันของความมั่งคั่งที่รุนแรง แต่ค่าสัมประสิทธิ์ Gini รายได้ต่ำ

ดัชนี Gini ไม่มีข้อมูลเกี่ยวกับรายได้ของประเทศหรือส่วนบุคคลที่แน่นอน ประชากรสามารถมีดัชนี Gini ที่มีรายได้ต่ำมาก แต่ดัชนี Gini ที่มีความมั่งคั่งสูงมากในเวลาเดียวกัน โดยการวัดความไม่เท่าเทียมกันในรายได้ Gini จะเพิกเฉยต่อประสิทธิภาพที่แตกต่างของการใช้รายได้ครัวเรือน โดยมองข้ามความมั่งคั่ง (ยกเว้นว่าก่อให้เกิดรายได้) Gini สามารถสร้างรูปลักษณ์ของความไม่เท่าเทียมกันได้เมื่อคนที่เปรียบเทียบอยู่ในช่วงเวลาที่แตกต่างกันในชีวิตของพวกเขา ประเทศที่ร่ำรวยเช่นสวีเดนสามารถแสดงค่าสัมประสิทธิ์ Gini ที่ต่ำสำหรับรายได้ทิ้งที่ 0.31 ซึ่งดูเหมือนว่าจะเท่ากัน แต่มีค่าสัมประสิทธิ์ Gini ที่สูงมากสำหรับความมั่งคั่ง 0.79 ถึง 0.86 จึงบ่งบอกถึงการกระจายความมั่งคั่งที่ไม่เท่าเทียมกันอย่างมากในสังคม ^{[55] [56]}ปัจจัยเหล่านี้ไม่ได้รับการประเมินใน Gini ตามรายได้

อคติตัวอย่างเล็กน้อย - ภูมิภาคที่มีประชากรเบาบางมีแนวโน้มที่จะมีค่าสัมประสิทธิ์ Gini ต่ำ

ดัชนี Gini มีอคติลดลงสำหรับประชากรขนาดเล็ก ^[57]ประเทศหรือรัฐหรือประเทศที่มีประชากรขนาดเล็กและเศรษฐกิจที่มีความหลากหลายน้อยจะมีแนวโน้มที่จะรายงานค่าสัมประสิทธิ์ Gini ขนาดเล็ก สำหรับกลุ่มประชากรขนาดใหญ่ที่มีความหลากหลายทางเศรษฐกิจคาดว่าจะมีค่าสัมประสิทธิ์ที่สูงกว่าในแต่ละภูมิภาค การยึดเศรษฐกิจโลกเป็นหนึ่งเดียวและการกระจายรายได้สำหรับมนุษย์ทุกคนตัวอย่างเช่นนักวิชาการหลายคนประเมินดัชนี Gini ทั่วโลกอยู่ระหว่าง 0.61 ถึง 0.68 ^{[10] [11]}เช่นเดียวกับสัมประสิทธิ์อสมการอื่น ๆ สัมประสิทธิ์ Gini ได้รับอิทธิพลจากความละเอียดของการวัด ตัวอย่างเช่นควอนไทล์ 20% 5 ตัว (ความละเอียดต่ำ) มักจะให้ค่าสัมประสิทธิ์ Gini ต่ำกว่าควอนไทล์ 5% 20% (ความละเอียดสูง) สำหรับการแจกแจงแบบเดียวกัน Philippe Monfort แสดงให้เห็นว่าการใช้ความละเอียดที่ไม่สอดคล้องกันหรือไม่ระบุรายละเอียดจะ จำกัด ประโยชน์ของการวัดค่าสัมประสิทธิ์ Gini ^[58]

การวัดค่าสัมประสิทธิ์ Gini ให้ผลลัพธ์ที่แตกต่างกันเมื่อนำไปใช้กับบุคคลแทนที่จะเป็นครัวเรือนสำหรับเศรษฐกิจเดียวกันและการกระจายรายได้เดียวกัน หากมีการใช้ข้อมูลครัวเรือนมูลค่าที่วัดได้ของรายได้ Gini จะขึ้นอยู่กับวิธีการกำหนดครัวเรือน เมื่อไม่ได้วัดประชากรที่แตกต่างกันด้วยคำจำกัดความที่สอดคล้องกันการเปรียบเทียบก็ไม่มีความหมาย

Deininger and Squire (1996) แสดงให้เห็นว่าค่าสัมประสิทธิ์ Gini ของรายได้ที่พิจารณาจากรายได้ของแต่ละบุคคลแทนที่จะเป็นรายได้ของครัวเรือนนั้นแตกต่างกัน ตัวอย่างเช่นสำหรับสหรัฐอเมริกาพวกเขาพบว่าดัชนี Gini ตามรายได้แต่ละรายการเท่ากับ 0.35 ในขณะที่ฝรั่งเศสเท่ากับ 0.43 ตามวิธีการที่เน้นรายบุคคลใน 108 ประเทศที่พวกเขาศึกษาแอฟริกาใต้มีค่าสัมประสิทธิ์ Gini สูงที่สุดในโลกที่ 0.62 มาเลเซียมีค่าสัมประสิทธิ์ Gini สูงสุดในเอเชียที่ 0.5 บราซิลสูงสุดที่ 0.57 ในภูมิภาคละตินอเมริกาและแคริบเบียนและตุรกีสูงที่สุด อยู่ที่ 0.5 ในประเทศ OECD ^[59]

ค่าสัมประสิทธิ์จินีไม่สามารถแยกแยะผลของการเปลี่ยนแปลงโครงสร้างของประชากรได้ ^[52]

การขยายความสำคัญของการวัดผลตลอดอายุการใช้งานสัมประสิทธิ์ Gini เป็นค่าประมาณแบบจุดของความเท่าเทียมกันในช่วงเวลาหนึ่งโดยไม่สนใจการเปลี่ยนแปลงรายได้ตลอดชีวิต โดยปกติแล้วการเพิ่มขึ้นของสัดส่วนของสมาชิกที่อายุน้อยหรือผู้สูงอายุในสังคมจะผลักดันให้เกิดการเปลี่ยนแปลงอย่างเห็นได้ชัดในเรื่องความเท่าเทียมกันเนื่องจากคนทั่วไปมีรายได้และความมั่งคั่งต่ำกว่าเมื่ออายุยังน้อยกว่าเมื่ออายุมาก ด้วยเหตุนี้ปัจจัยต่างๆเช่นการกระจายอายุภายในประชากรและความคล่องตัวภายในชั้นเรียนรายได้สามารถสร้างลักษณะของความไม่เท่าเทียมกันได้เมื่อไม่มีอยู่โดยคำนึงถึงผลกระทบทางประชากร ดังนั้นเศรษฐกิจที่กำหนดอาจมีค่าสัมประสิทธิ์ Gini สูงกว่า ณ จุดใดจุดหนึ่งเมื่อเทียบกับอีกจุดหนึ่งในขณะที่ค่าสัมประสิทธิ์ Gini ที่คำนวณจากรายได้ตลอดชีวิตของแต่ละบุคคลนั้นต่ำกว่าค่าสัมประสิทธิ์ Gini ที่เห็นได้ชัดกว่า (ณ เวลาที่กำหนด) ^[14]โดยพื้นฐานแล้วสิ่งที่สำคัญไม่ใช่แค่ความไม่เท่าเทียมกันในปีใดปีหนึ่ง แต่เป็นองค์ประกอบของการกระจายตัวตามช่วงเวลาด้วย

Kwok อ้างว่าค่าสัมประสิทธิ์จีนีรายได้สำหรับฮ่องกงอยู่ในระดับสูง (0.434 ในปี 2010 ^[53] ) ส่วนหนึ่งเป็นผลมาจากการเปลี่ยนแปลงโครงสร้างในประชากร ในช่วงหลายทศวรรษที่ผ่านมาฮ่องกงได้เห็นจำนวนครัวเรือนขนาดเล็กครัวเรือนผู้สูงอายุและผู้สูงอายุที่อาศัยอยู่คนเดียวเพิ่มขึ้น รายได้รวมกันตอนนี้แยกไปสู่ครัวเรือนมากขึ้น คนชราจำนวนมากใช้ชีวิตแยกจากลูก ๆ ในฮ่องกง การเปลี่ยนแปลงทางสังคมเหล่านี้ทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงอย่างมากในการกระจายรายได้ของครัวเรือน ค่าสัมประสิทธิ์รายได้ Gini อ้างว่า Kwok ไม่ได้มองเห็นการเปลี่ยนแปลงโครงสร้างเหล่านี้ในสังคม ^[52]การกระจายรายได้ของเงินครัวเรือนสำหรับสหรัฐอเมริกาสรุปไว้ในตาราง C ของส่วนนี้ยืนยันว่าปัญหานี้ไม่ได้ จำกัด อยู่แค่ในฮ่องกง จากข้อมูลของสำนักสำรวจสำมะโนประชากรของสหรัฐอเมริการะหว่างปี 1979 ถึง 2010 ประชากรของสหรัฐอเมริกามีประสบการณ์การเปลี่ยนแปลงเชิงโครงสร้างในครัวเรือนโดยรวมรายได้สำหรับวงเล็บรายได้ทั้งหมดเพิ่มขึ้นตามเงื่อนไขเงินเฟ้อที่ปรับเพิ่มขึ้นการกระจายรายได้ของครัวเรือนเปลี่ยนเป็นวงเล็บรายได้ที่สูงขึ้นเมื่อเวลาผ่านไปในขณะที่ ค่าสัมประสิทธิ์ Gini ของรายได้เพิ่มขึ้น ^{[60] [61]}

ข้อ จำกัด อีกประการหนึ่งของค่าสัมประสิทธิ์ Gini คือมันไม่ใช่ตัวชี้วัดความเสมอภาคอย่างเหมาะสมเนื่องจากเป็นเพียงการวัดการกระจายรายได้เท่านั้น ตัวอย่างเช่นหากประเทศที่มีความเท่าเทียมกันสองประเทศดำเนินนโยบายการย้ายถิ่นฐานที่แตกต่างกันประเทศที่ยอมรับผู้อพยพที่มีรายได้น้อยหรือยากจนในสัดส่วนที่สูงขึ้นจะรายงานค่าสัมประสิทธิ์ Gini ที่สูงขึ้นดังนั้นจึงอาจมีความไม่เท่าเทียมกันของรายได้มากกว่า

การไม่สามารถประเมินมูลค่าผลประโยชน์และรายได้จาก เศรษฐกิจนอกระบบส่งผลต่อความแม่นยำของค่าสัมประสิทธิ์ Gini

บางประเทศกระจายผลประโยชน์ที่ยากต่อมูลค่า ประเทศที่ให้เงินอุดหนุนที่อยู่อาศัยการดูแลทางการแพทย์การศึกษาหรือบริการอื่น ๆ ดังกล่าวเป็นเรื่องยากที่จะให้คุณค่าอย่างเป็นกลางเนื่องจากขึ้นอยู่กับคุณภาพและขอบเขตของผลประโยชน์ ในกรณีที่ไม่มีตลาดเสรีการให้มูลค่าการโอนรายได้เหล่านี้เป็นรายได้ของครัวเรือนเป็นเรื่องส่วนตัว แบบจำลองทางทฤษฎีของสัมประสิทธิ์ Gini จำกัด อยู่ที่การยอมรับสมมติฐานอัตนัยที่ถูกต้องหรือไม่ถูกต้อง

ในการดำรงชีวิตเป็นตัวขับเคลื่อนและนอกระบบเศรษฐกิจคนอาจจะมีรายได้อย่างมีนัยสำคัญในรูปแบบอื่นที่ไม่ใช่เงินเช่นผ่านการดำรงชีวิตการเกษตรหรือธนาณัติ รายได้เหล่านี้มีแนวโน้มที่จะเพิ่มขึ้นตามส่วนของประชากรที่อยู่ในระดับต่ำกว่าความยากจนหรือยากจนมากในประเทศเศรษฐกิจเกิดใหม่และในช่วงเปลี่ยนผ่านเช่นประเทศในอนุภูมิภาคซาฮาราแอฟริกาละตินอเมริกาเอเชียและยุโรปตะวันออก เศรษฐกิจนอกระบบคิดเป็นสัดส่วนกว่าครึ่งหนึ่งของการจ้างงานทั่วโลกและมากถึงร้อยละ 90 ของการจ้างงานในประเทศย่อยซาฮาราที่ยากจนกว่าบางประเทศที่มีค่าสัมประสิทธิ์ความไม่เท่าเทียมกันอย่างเป็นทางการของ Gini สูง Schneider et al. ในการศึกษาปี 2010 ของพวกเขาใน 162 ประเทศ^[62]รายงานเกี่ยวกับ 31.2% หรือประมาณ $ 20 ล้านล้านของGDPโลกเป็นเรื่องที่ไม่เป็นทางการ ในประเทศกำลังพัฒนาเศรษฐกิจนอกระบบมีอิทธิพลเหนือกลุ่มรายได้ทั้งหมดยกเว้นประชากรกลุ่มรายได้ระดับบนในเมืองที่ร่ำรวยกว่า แม้แต่ในประเทศเศรษฐกิจที่พัฒนาแล้วระหว่าง 8% (สหรัฐอเมริกา) ถึง 27% (อิตาลี) ของ GDP ของแต่ละประเทศนั้นเป็นไปอย่างไม่เป็นทางการและส่งผลให้รายได้นอกระบบมีส่วนสำคัญในฐานะกิจกรรมหาเลี้ยงชีพสำหรับผู้ที่มีรายได้ต่ำสุด ^[63]มูลค่าและการกระจายของรายได้จากเศรษฐกิจนอกระบบหรือเศรษฐกิจใต้ดินนั้นยากที่จะหาจำนวนได้ทำให้ค่าสัมประสิทธิ์ Gini ของรายได้ที่แท้จริงประเมินได้ยาก ^{[64] [65]}สมมติฐานและปริมาณที่แตกต่างกันของรายได้เหล่านี้จะให้สัมประสิทธิ์ Gini ที่แตกต่างกัน ^{[66] [67] [68]}

Gini มีข้อ จำกัด ทางคณิตศาสตร์บางอย่างเช่นกัน ไม่ใช่ส่วนเสริมและกลุ่มคนที่แตกต่างกันไม่สามารถนำมาเฉลี่ยเพื่อให้ได้ค่าสัมประสิทธิ์ Gini ของทุกคนในชุด

เนื่องจากข้อ จำกัด ของค่าสัมประสิทธิ์ Gini จึงใช้วิธีการทางสถิติอื่น ๆ ร่วมกันหรือเป็นทางเลือกในการวัดการกระจายตัวของประชากร ตัวอย่างเช่นมักใช้มาตรการเอนโทรปี (เช่นดัชนี AtkinsonหรือดัชนีTheilและค่าเบี่ยงเบนบันทึกเฉลี่ยเป็นกรณีพิเศษของดัชนีเอนโทรปีทั่วไป ) มาตรการเหล่านี้พยายามเปรียบเทียบการกระจายของทรัพยากรโดยตัวแทนอัจฉริยะในตลาดกับการแจกแจงแบบสุ่มเอนโทรปี สูงสุดซึ่งจะเกิดขึ้นหากตัวแทนเหล่านี้ทำหน้าที่เหมือนอนุภาคที่ไม่มีปฏิสัมพันธ์ในระบบปิดตามกฎของฟิสิกส์เชิงสถิติ

มีการวัดสรุปความสามารถในการวินิจฉัยของระบบลักษณนามไบนารีที่เรียกอีกอย่างว่าค่าสัมประสิทธิ์ Giniซึ่งกำหนดเป็นสองเท่าของพื้นที่ระหว่างเส้นโค้งลักษณะการทำงานของเครื่องรับ (ROC) และเส้นทแยงมุม มันเกี่ยวข้องกับการวัดประสิทธิภาพของAUC ( Area Under the ROC Curve)${\ displaystyle AUC = (G + 1) / 2}$^[69]และ Mann-Whitney U แม้ว่าค่าสัมประสิทธิ์ Gini ทั้งสองจะถูกกำหนดให้เป็นพื้นที่ระหว่างเส้นโค้งบางส่วนและแบ่งปันคุณสมบัติบางอย่าง แต่ก็ไม่มีความสัมพันธ์ง่ายๆโดยตรงระหว่างค่าสัมประสิทธิ์ Gini ของการกระจายทางสถิติกับค่าสัมประสิทธิ์ Gini ของลักษณนาม

ดัชนี Gini ยังเกี่ยวข้องกับดัชนี Pietra ซึ่งทั้งสองอย่างนี้เป็นการวัดความแตกต่างกันทางสถิติและมาจากเส้นโค้งลอเรนซ์และเส้นทแยงมุม ^{[70] [71]}

ในบางสาขาเช่นนิเวศวิทยาดัชนีผกผันของ Simpson ${\ displaystyle 1 / \ lambda}$ใช้เพื่อหาปริมาณความหลากหลายและไม่ควรสับสนกับดัชนี Simpson ${\ displaystyle \ lambda}$. ตัวบ่งชี้เหล่านี้เกี่ยวข้องกับ Gini ดัชนีซิมป์สันผกผันเพิ่มขึ้นตามความหลากหลายซึ่งแตกต่างจากดัชนีซิมป์สันและค่าสัมประสิทธิ์จินีซึ่งลดลงตามความหลากหลาย ดัชนี Simpson อยู่ในช่วง [0, 1] โดย 0 หมายถึงค่าสูงสุดและ 1 หมายถึงความหลากหลายขั้นต่ำ (หรือความแตกต่างกัน) เนื่องจากดัชนีความหลากหลายโดยทั่วไปจะเพิ่มขึ้นตามความแตกต่างที่เพิ่มขึ้นดัชนี Simpson จึงมักเปลี่ยนเป็น Simpson ผกผันหรือใช้ส่วนเติมเต็ม${\ displaystyle 1- \ lambda}$หรือที่เรียกว่า Gini-Simpson Index ^[72]

แม้ว่าค่าสัมประสิทธิ์ Gini จะได้รับความนิยมมากที่สุดในทางเศรษฐศาสตร์ แต่ในทางทฤษฎีสามารถนำไปใช้กับวิทยาศาสตร์สาขาใดก็ได้ที่ศึกษาการกระจาย ตัวอย่างเช่นในทางนิเวศวิทยาค่าสัมประสิทธิ์ Gini ถูกใช้เป็นตัวชี้วัดความหลากหลายทางชีวภาพโดยที่สัดส่วนการสะสมของสิ่งมีชีวิตจะถูกคำนวณเทียบกับสัดส่วนสะสมของแต่ละบุคคล ^[73]ในด้านสุขภาพมันถูกใช้เป็นตัวชี้วัดความไม่เท่าเทียมกันของคุณภาพชีวิตที่เกี่ยวข้องกับสุขภาพในประชากร ^[74]ในด้านการศึกษามันถูกใช้เป็นตัวชี้วัดความไม่เท่าเทียมกันของมหาวิทยาลัย ^[75]ในทางเคมีมีการใช้เพื่อแสดงการคัดเลือกของสารยับยั้งโปรตีนไคเนสกับแผงไคเนส ^[76]ในทางวิศวกรรมมันถูกใช้เพื่อประเมินความเป็นธรรมที่ได้รับจากเราเตอร์อินเทอร์เน็ตในการกำหนดเวลาการส่งแพ็กเก็ตจากกระแสการรับส่งข้อมูลที่แตกต่างกัน ^[77]

บางครั้งค่าสัมประสิทธิ์ Gini ใช้สำหรับการวัดอำนาจการเลือกปฏิบัติของระบบการจัดอันดับในการบริหารความเสี่ยงด้านเครดิต ^[78]

การศึกษาในปี 2548 เข้าถึงข้อมูลการสำรวจสำมะโนประชากรของสหรัฐอเมริกาเพื่อวัดความเป็นเจ้าของคอมพิวเตอร์ที่บ้านและใช้ค่าสัมประสิทธิ์ Gini เพื่อวัดความไม่เท่าเทียมกันระหว่างคนผิวขาวและชาวแอฟริกันอเมริกัน ผลการศึกษาชี้ให้เห็นว่าแม้ว่าโดยรวมจะลดลง แต่ความไม่เท่าเทียมกันในการเป็นเจ้าของคอมพิวเตอร์ในบ้านก็มีจำนวนน้อยลงอย่างมากในบรรดาครัวเรือนผิวขาว ^[79]

การศึกษาที่ผ่านการตรวจสอบโดยเพื่อนในปี 2016 เรื่องการใช้ค่าสัมประสิทธิ์ Gini เพื่อวัดความไม่เท่าเทียมกันในการมีส่วนร่วมในเครือข่ายสังคมดิจิทัลด้านสุขภาพที่เน้นการรักษา^[80]แสดงให้เห็นว่าค่าสัมประสิทธิ์ Gini มีประโยชน์และแม่นยำในการวัดการเปลี่ยนแปลงในความไม่เท่าเทียมกันอย่างไรก็ตามเนื่องจากเมตริกแบบสแตนด์อโลนจึงไม่สามารถรวมเข้าด้วยกันได้ ขนาดเครือข่ายโดยรวม

อำนาจในการเลือกปฏิบัติหมายถึงความสามารถของแบบจำลองความเสี่ยงด้านเครดิตในการแยกความแตกต่างระหว่างลูกค้าที่ผิดนัดและไม่ผิดนัดชำระ สูตร${\ displaystyle G_ {1}}$ในส่วนการคำนวณข้างต้นอาจใช้สำหรับแบบจำลองขั้นสุดท้ายและในระดับปัจจัยของแบบจำลองแต่ละตัวเพื่อหาค่าพลังในการเลือกปฏิบัติของปัจจัยแต่ละตัว มันเกี่ยวข้องกับอัตราส่วนความแม่นยำในแบบจำลองการประเมินประชากร

ค่าสัมประสิทธิ์จินียังได้ถูกนำมาใช้ในการวิเคราะห์ความไม่เท่าเทียมกันในแอพพลิเคเดท ^{[81] [82]}