• logo

เฉลี่ยเรขาคณิต

ในทางคณิตศาสตร์ค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิตคือค่าเฉลี่ยหรือค่าเฉลี่ยซึ่งบ่งชี้แนวโน้มศูนย์กลางหรือค่าโดยทั่วไปของชุดตัวเลขโดยใช้ผลคูณของค่า (ตรงข้ามกับค่าเฉลี่ยเลขคณิตที่ใช้ผลรวม) ค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิตถูกกำหนดให้เป็นรากที่nของผลคูณของจำนวนnเช่นสำหรับชุดของตัวเลขx 1 , x 2 , ... , x nค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิตถูกกำหนดให้เป็น

การสร้างค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิต: ล ก {\ displaystyle l_ {g}} l_ {g} (สีแดง) คือค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิตของ ล 1 {\ displaystyle l_ {1}} l_ {1} และ ล 2 {\ displaystyle l_ {2}} l_ {2}, [1] [2]ในตัวอย่างที่ส่วนของเส้นตรง ล 2 ( ข ค ¯ ) {\ displaystyle l_ {2} \; ({\ overline {BC}})} {\ displaystyle l_ {2} \; ({\ overline {BC}})} กำหนดให้ตั้งฉากกับ ก ข ¯ {\ displaystyle {\ overline {AB}}} {\ overline {AB}}, ภาพเคลื่อนไหวเมื่อสิ้นสุด 10 วินาทีหยุดชั่วคราว
( ∏ ผม = 1 n x ผม ) 1 n = x 1 x 2 ⋯ x n n {\ displaystyle \ left (\ prod _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} \ right) ^ {\ frac {1} {n}} = {\ sqrt [{n}] {x_ {1} x_ {2} \ cdots x_ {n}}}} {\ displaystyle \ left (\ prod _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} \ right) ^ {\ frac {1} {n}} = {\ sqrt [{n}] {x_ {1} x_ {2} \ cdots x_ {n}}}}

ตัวอย่างเช่นค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิตของจำนวนสองจำนวนเช่น 2 และ 8 เป็นเพียงรากที่สองของผลคูณนั่นคือ 2 ⋅ 8 = 4 {\ displaystyle {\ sqrt {2 \ cdot 8}} = 4} {\ displaystyle {\ sqrt {2 \ cdot 8}} = 4}. อีกตัวอย่างหนึ่งค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิตของตัวเลขสามตัว 4, 1 และ 1/32 คือรากลูกบาศก์ของผลคูณ (1/8) ซึ่งก็คือ 1/2 นั่นคือ 4 ⋅ 1 ⋅ 1 / 32 3 = 1 / 2 {\ displaystyle {\ sqrt [{3}] {4 \ cdot 1 \ cdot 1/32}} = 1/2} {\ displaystyle {\ sqrt [{3}] {4 \ cdot 1 \ cdot 1/32}} = 1/2}. ค่าเฉลี่ยเรขาคณิตใช้กับจำนวนบวกเท่านั้น [3]

ค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิตมักใช้สำหรับชุดตัวเลขที่มีการคูณค่าเข้าด้วยกันหรือเป็นเลขชี้กำลังตามธรรมชาติเช่นชุดตัวเลขการเติบโต: มูลค่าของประชากรมนุษย์หรืออัตราดอกเบี้ยของการลงทุนทางการเงินในช่วงเวลาหนึ่ง

ค่าเฉลี่ยเรขาคณิตสามารถเข้าใจได้ในแง่ของรูปทรงเรขาคณิต ค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิตของตัวเลขสองตัว ก {\ displaystyle a} ก และ ข {\ displaystyle b} ขคือความยาวของด้านหนึ่งของสี่เหลี่ยมที่มีพื้นที่เท่ากับพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีด้านยาว ก {\ displaystyle a} ก และ ข {\ displaystyle b} ข. ในทำนองเดียวกันค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิตของตัวเลขสามตัว ก {\ displaystyle a} ก, ข {\ displaystyle b} ขและ ค {\ displaystyle c} คคือความยาวของขอบด้านหนึ่งของลูกบาศก์ที่มีปริมาตรเท่ากับของทรงลูกบาศก์ที่มีด้านที่มีความยาวเท่ากับตัวเลขสามตัวที่กำหนด

ค่าเฉลี่ยเรขาคณิตเป็นหนึ่งในสามของคลาสสิกหมายถึงพีทาโกรัสร่วมกับค่าเฉลี่ยและค่าเฉลี่ยฮาร์โมนิ สำหรับชุดข้อมูลเชิงบวกทั้งหมดที่มีค่าไม่เท่ากันอย่างน้อยหนึ่งคู่ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกจะเป็นค่าต่ำสุดของสามค่าเสมอในขณะที่ค่าเฉลี่ยเลขคณิตจะเป็นค่าที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของทั้งสามเสมอและค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิตจะอยู่ระหว่างเสมอ (ดูความไม่เท่าเทียมกันของเลขคณิต และวิธีทางเรขาคณิต )

การคำนวณ

ค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิตของชุดข้อมูล { ก 1 , ก 2 , … , ก n } {\ textstyle \ left \ {a_ {1}, a_ {2}, \, \ ldots, \, a_ {n} \ right \}} {\textstyle \left\{a_{1},a_{2},\,\ldots ,\,a_{n}\right\}} ให้โดย:

( ∏ ผม = 1 n ก ผม ) 1 n = ก 1 ก 2 ⋯ ก n n . {\ displaystyle \ left (\ prod _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} \ right) ^ {\ frac {1} {n}} = {\ sqrt [{n}] {a_ {1} ก _ {2} \ cdots a_ {n}}}.} {\displaystyle \left(\prod _{i=1}^{n}a_{i}\right)^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}}.}

รูปด้านบนใช้สัญกรณ์ pi ทุนเพื่อแสดงชุดการคูณ ด้านของการแสดงเครื่องหมายเท่ากับแต่ละที่ชุดของค่าคูณในการทดแทน (จำนวนของค่าที่เป็นตัวแทนจาก "n") เพื่อให้รวมผลิตภัณฑ์ของชุดที่แล้วnรากของสินค้าทั้งหมด TH จะนำไป ให้ค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิตของเซตเดิม ตัวอย่างเช่นในชุดตัวเลขสี่ตัว { 1 , 2 , 3 , 4 } {\ textstyle \ {1,2,3,4 \}} {\textstyle \{1,2,3,4\}}ผลิตภัณฑ์ของ 1 × 2 × 3 × 4 {\ textstyle 1 \ times 2 \ times 3 \ times 4} {\textstyle 1\times 2\times 3\times 4} คือ 24 {\ textstyle 24} {\textstyle 24}และค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิตคือรากที่สี่ของ 24 หรือ ~ 2.213 เลขชี้กำลัง 1 n {\ textstyle {\ frac {1} {n}}} {\textstyle {\frac {1}{n}}}ที่ด้านซ้ายจะเทียบเท่ากับการถ่ายnราก TH ตัวอย่างเช่น, 24 1 4 = 24 4 {\ textstyle 24 ^ {\ frac {1} {4}} = {\ sqrt [{4}] {24}}} {\textstyle 24^{\frac {1}{4}}={\sqrt[{4}]{24}}}.

วิธีการทำซ้ำ

ค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิตของชุดข้อมูลมีค่าน้อยกว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิตของชุดข้อมูลเว้นแต่ว่าสมาชิกทั้งหมดของชุดข้อมูลจะเท่ากันซึ่งในกรณีนี้ค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิตและเลขคณิตจะเท่ากัน สิ่งนี้ช่วยให้คำจำกัดความของค่าเฉลี่ยเลขคณิต - เรขาคณิตซึ่งเป็นจุดตัดของทั้งสองซึ่งอยู่ระหว่างกันเสมอ

ค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิตยังเป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิต - ฮาร์มอนิกในแง่ที่ว่าถ้าสองลำดับ ( ก n {\ textstyle a_ {n}} {\textstyle a_{n}}) และ ( ซ n {\ textstyle h_ {n}} {\textstyle h_{n}}) ถูกกำหนดไว้:

ก n + 1 = ก n + ซ n 2 , ก 0 = x {\ displaystyle a_ {n + 1} = {\ frac {a_ {n} + h_ {n}} {2}}, \ quad a_ {0} = x} {\displaystyle a_{n+1}={\frac {a_{n}+h_{n}}{2}},\quad a_{0}=x}

และ

ซ n + 1 = 2 1 ก n + 1 ซ n , ซ 0 = ย {\ displaystyle h_ {n + 1} = {\ frac {2} {{\ frac {1} {a_ {n}}} + {\ frac {1} {h_ {n}}}}} \ quad h_ {0} = y} {\displaystyle h_{n+1}={\frac {2}{{\frac {1}{a_{n}}}+{\frac {1}{h_{n}}}}},\quad h_{0}=y}

ที่ไหน ซ n + 1 {\ textstyle h_ {n + 1}} {\textstyle h_{n+1}}คือค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกของค่าก่อนหน้าของทั้งสองลำดับจากนั้น ก n {\ textstyle a_ {n}} {\textstyle a_{n}} และ ซ n {\ textstyle h_ {n}} {\textstyle h_{n}} จะบรรจบกับค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิตของ x {\ textstyle x} {\textstyle x} และ ย {\ textstyle y} {\textstyle y}.

สิ่งนี้สามารถเห็นได้อย่างง่ายดายจากข้อเท็จจริงที่ว่าลำดับมาบรรจบกันเป็นขีด จำกัด ทั่วไป(ซึ่งแสดงได้ด้วยทฤษฎีบท Bolzano – Weierstrass ) [ คำพังพอน ]และความจริงที่ว่าค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิตยังคงรักษาไว้:

ก ผม ซ ผม = ก ผม + ซ ผม ก ผม + ซ ผม ซ ผม ก ผม = ก ผม + ซ ผม 1 ก ผม + 1 ซ ผม = ก ผม + 1 ซ ผม + 1 {\ displaystyle {\ sqrt {a_ {i} h_ {i}}} = {\ sqrt {\ frac {a_ {i} + h_ {i}} {\ frac {a_ {i} + h_ {i}} { h_ {i} a_ {i}}}}} = {\ sqrt {\ frac {a_ {i} + h_ {i}} {{\ frac {1} {a_ {i}}} + {\ frac {1 } {h_ {i}}}}}} = {\ sqrt {a_ {i + 1} h_ {i + 1}}}} {\displaystyle {\sqrt {a_{i}h_{i}}}={\sqrt {\frac {a_{i}+h_{i}}{\frac {a_{i}+h_{i}}{h_{i}a_{i}}}}}={\sqrt {\frac {a_{i}+h_{i}}{{\frac {1}{a_{i}}}+{\frac {1}{h_{i}}}}}}={\sqrt {a_{i+1}h_{i+1}}}}

การแทนที่ค่าเฉลี่ยเลขคณิตและฮาร์มอนิกโดยคู่ของวิธีการทั่วไปที่ตรงกันข้ามเลขชี้กำลัง จำกัด จะให้ผลลัพธ์เดียวกัน

ความสัมพันธ์กับลอการิทึม

ค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิตยังสามารถแสดงเป็นเลขชี้กำลังของค่าเฉลี่ยเลขคณิตของลอการิทึม [4]โดยใช้ข้อมูลประจำตัวลอการิทึมในการแปลงสูตรการคูณสามารถแสดงเป็นผลรวมและกำลังเป็นการคูณ:

เมื่อไหร่ ก 1 , ก 2 , … , ก n > 0 {\ displaystyle a_ {1}, a_ {2}, \ dots, a_ {n}> 0} {\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}>0}

( ∏ ผม = 1 n ก ผม ) 1 n = ประสบการณ์ ⁡ [ 1 n ∑ ผม = 1 n ln ⁡ ก ผม ] ; {\ displaystyle \ left (\ prod _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} \ right) ^ {\ frac {1} {n}} = \ exp \ left [{\ frac {1} {n }} \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ ln a_ {i} \ right];} {\displaystyle \left(\prod _{i=1}^{n}a_{i}\right)^{\frac {1}{n}}=\exp \left[{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\ln a_{i}\right];}

นอกจากนี้หากค่าลบของ ก ผม {\ displaystyle a_ {i}} a_{i} ได้รับอนุญาต,

( ∏ ผม = 1 n ก ผม ) 1 n = ( ( - 1 ) ม ) 1 n ประสบการณ์ ⁡ [ 1 n ∑ ผม = 1 n ln ⁡ | ก ผม | ] , {\ displaystyle \ left (\ prod _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} \ right) ^ {\ frac {1} {n}} = \ left (\ left (-1 \ right) ^ { m} \ right) ^ {\ frac {1} {n}} \ exp \ left [{\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ ln \ left | a_ { i} \ right | \ right],} {\displaystyle \left(\prod _{i=1}^{n}a_{i}\right)^{\frac {1}{n}}=\left(\left(-1\right)^{m}\right)^{\frac {1}{n}}\exp \left[{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\ln \left|a_{i}\right|\right],}

โดยที่mคือจำนวนลบ

บางครั้งเรียกว่าlog-average (เพื่อไม่ให้สับสนกับค่าเฉลี่ยลอการิทึม ) มันเป็นเพียงการคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าที่เปลี่ยนลอการิทึมของ ก ผม {\ displaystyle a_ {i}} a_{i}(กล่าวคือค่าเฉลี่ยเลขคณิตในมาตราส่วนล็อก) จากนั้นใช้เลขชี้กำลังเพื่อคืนค่าการคำนวณให้เป็นมาตราส่วนเดิมกล่าวคือเป็นค่าเฉลี่ย f ทั่วไปที่มี ฉ ( x ) = บันทึก ⁡ x {\ displaystyle f (x) = \ log x} f(x)=\log x. ตัวอย่างเช่นค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของ 2 และ 8 สามารถคำนวณได้ดังต่อไปนี้โดยที่ ข {\ displaystyle b} bคือฐานใด ๆ ของลอการิทึม (โดยทั่วไปคือ 2, จ {\ displaystyle e} หรือ 10):

ข 1 2 [ บันทึก ข ⁡ ( 2 ) + บันทึก ข ⁡ ( 8 ) ] = 4 {\ displaystyle b ^ {{\ frac {1} {2}} \ left [\ log _ {b} (2) + \ log _ {b} (8) \ right]} = 4} {\displaystyle b^{{\frac {1}{2}}\left[\log _{b}(2)+\log _{b}(8)\right]}=4}

ที่เกี่ยวข้องกับข้างต้นจะเห็นได้ว่าสำหรับตัวอย่างคะแนนที่กำหนด ก 1 , … , ก n {\ displaystyle a_ {1}, \ ldots, a_ {n}} a_1, \ldots, a_nค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิตเป็นตัวย่อของ ฉ ( ก ) = ∑ ผม = 1 n ( บันทึก ⁡ ( ก ผม ) - บันทึก ⁡ ( ก ) ) 2 {\ displaystyle f (a) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} (\ log (a_ {i}) - \ log (a)) ^ {2}} {\displaystyle f(a)=\sum _{i=1}^{n}(\log(a_{i})-\log(a))^{2}}ในขณะที่ค่าเฉลี่ยเลขคณิตเป็นตัวย่อของ ฉ ( ก ) = ∑ ผม = 1 n ( ก ผม - ก ) 2 {\ displaystyle f (a) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} (a_ {i} -a) ^ {2}} {\displaystyle f(a)=\sum _{i=1}^{n}(a_{i}-a)^{2}}. ดังนั้นค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิตจึงให้ข้อมูลสรุปของตัวอย่างที่เลขชี้กำลังตรงกับเลขชี้กำลังของตัวอย่างมากที่สุด (ในความหมายกำลังสองน้อยที่สุด)

แบบฟอร์มบันทึกค่าเฉลี่ยเรขาคณิตโดยทั่วไปคือทางเลือกที่แนะนำสำหรับการดำเนินงานในภาษาคอมพิวเตอร์เพราะการคำนวณผลิตภัณฑ์ของตัวเลขจำนวนมากสามารถนำไปสู่การล้นเลขคณิตหรือunderflow เลขคณิต ซึ่งมีโอกาสน้อยที่จะเกิดขึ้นกับผลรวมของลอการิทึมสำหรับแต่ละตัวเลข

การเปรียบเทียบกับค่าเฉลี่ยเลขคณิต

โดยไม่ต้องพิสูจน์คำพูดของ ความไม่เท่าเทียมกันของค่ามัชฌิมเลขคณิตและเรขาคณิต :
พีอาร์เป็นเส้นผ่าศูนย์กลางของวงกลมที่มีศูนย์กลางอยู่ที่ O; รัศมี AO เป็น ค่าเฉลี่ยของ และ ข โดยใช้ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ยเรขาคณิต , สามเหลี่ยม PGR ของระดับความสูง GQ เป็น ค่าเฉลี่ยเรขาคณิต สำหรับอัตราส่วน a : b , AO ≥ GQ
การพิสูจน์ทางเรขาคณิต โดยไม่มีคำว่า max  ( a , b ) > ค่าเฉลี่ยราก ( RMS )หรือ ค่าเฉลี่ยกำลังสอง ( QM ) > ค่าเฉลี่ยเลขคณิต ( AM ) > ค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิต ( GM ) > ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก ( HM ) > นาที  ( a , b )ของ จำนวนบวกสองตัว aและ b [5]

ค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิตของชุดข้อมูลที่ไม่ว่างเปล่าของตัวเลข (บวก) จะเป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิตมากที่สุดเสมอ จะได้รับความเท่าเทียมกันก็ต่อเมื่อตัวเลขทั้งหมดในชุดข้อมูลเท่ากัน มิฉะนั้นค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิตจะเล็กกว่า ตัวอย่างเช่นค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิตของ 242 และ 288 เท่ากับ 264 ในขณะที่ค่าเฉลี่ยเลขคณิตคือ 265 โดยเฉพาะอย่างยิ่งนั่นหมายความว่าเมื่อชุดของตัวเลขที่ไม่เหมือนกันอยู่ภายใต้การแพร่กระจายการรักษาค่าเฉลี่ยนั่นคือองค์ประกอบของ ชุดจะ "กระจายออกจากกัน" มากขึ้นในขณะที่ค่าเฉลี่ยเลขคณิตไม่เปลี่ยนแปลง - ค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิตจะลดลง [6]

อัตราการเติบโตเฉลี่ย

ในหลาย ๆ กรณีค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิตเป็นตัวชี้วัดที่ดีที่สุดในการกำหนดอัตราการเติบโตโดยเฉลี่ยของปริมาณบางส่วน (ตัวอย่างเช่นหากในปีหนึ่งยอดขายเพิ่มขึ้น 80% และในปีถัดไป 25% ผลลัพธ์สุดท้ายจะเหมือนกับอัตราการเติบโตคงที่ 50% เนื่องจากค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิตคือ 1.80 และ 1.25 คือ 1.50) เพื่อกำหนดอัตราการเติบโตโดยเฉลี่ยไม่จำเป็นต้องใช้ผลคูณของอัตราการเติบโตที่วัดได้ในทุกขั้นตอน ให้ปริมาณตามลำดับ ก 0 , ก 1 , . . . , ก n {\ displaystyle a_ {0}, a_ {1}, ... , a_ {n}} {\displaystyle a_{0},a_{1},...,a_{n}}, ที่ไหน n {\ displaystyle n} nคือจำนวนขั้นตอนจากสถานะเริ่มต้นถึงขั้นสุดท้าย อัตราการเติบโตระหว่างการวัดต่อเนื่อง ก k {\ displaystyle a_ {k}} a_{k} และ ก k + 1 {\ displaystyle a_ {k + 1}} a_{k+1} คือ ก k + 1 / ก k {\ displaystyle a_ {k + 1} / a_ {k}} a_{k+1}/a_{k}. ค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิตของอัตราการเติบโตเหล่านี้เป็นเพียง:

( ก 1 ก 0 ก 2 ก 1 ⋯ ก n ก n - 1 ) 1 n = ( ก n ก 0 ) 1 n . {\ displaystyle \ left ({\ frac {a_ {1}} {a_ {0}}} {\ frac {a_ {2}} {a_ {1}}} \ cdots {\ frac {a_ {n}} { a_ {n-1}}} \ right) ^ {\ frac {1} {n}} = \ left ({\ frac {a_ {n}} {a_ {0}}} \ right) ^ {\ frac { 1} {n}}.} {\displaystyle \left({\frac {a_{1}}{a_{0}}}{\frac {a_{2}}{a_{1}}}\cdots {\frac {a_{n}}{a_{n-1}}}\right)^{\frac {1}{n}}=\left({\frac {a_{n}}{a_{0}}}\right)^{\frac {1}{n}}.}

การประยุกต์ใช้กับค่ามาตรฐาน

คุณสมบัติพื้นฐานของค่าเฉลี่ยเรขาคณิตซึ่งไม่ถือเป็นค่าเฉลี่ยอื่นใดคือสำหรับสองลำดับ X {\ displaystyle X} X และ ย {\ displaystyle Y} Y ที่มีความยาวเท่ากัน

จีเอ็ม ⁡ ( X ผม ย ผม ) = จีเอ็ม ⁡ ( X ผม ) จีเอ็ม ⁡ ( ย ผม ) {\ displaystyle \ operatorname {GM} \ left ({\ frac {X_ {i}} {Y_ {i}}} \ right) = {\ frac {\ operatorname {GM} (X_ {i})} {\ operatorname {GM} (Y_ {i})}}} {\displaystyle \operatorname {GM} \left({\frac {X_{i}}{Y_{i}}}\right)={\frac {\operatorname {GM} (X_{i})}{\operatorname {GM} (Y_{i})}}}

นี้จะทำให้ค่าเฉลี่ยเมื่อเฉลี่ยค่าเฉลี่ยเท่านั้นที่ถูกต้องทางเรขาคณิตปกติผล; นั่นคือผลลัพธ์ที่แสดงเป็นอัตราส่วนของค่าอ้างอิง [7]เป็นกรณีนี้เมื่อนำเสนอประสิทธิภาพของคอมพิวเตอร์ที่เกี่ยวข้องกับคอมพิวเตอร์อ้างอิงหรือเมื่อคำนวณดัชนีค่าเฉลี่ยเดียวจากแหล่งที่มาที่แตกต่างกันหลายแหล่ง (เช่นอายุขัยอายุการศึกษาและอัตราการตายของทารก) ในสถานการณ์สมมตินี้การใช้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตหรือฮาร์มอนิกจะเปลี่ยนการจัดอันดับของผลลัพธ์ขึ้นอยู่กับสิ่งที่ใช้อ้างอิง ตัวอย่างเช่นทำการเปรียบเทียบเวลาดำเนินการของโปรแกรมคอมพิวเตอร์ดังต่อไปนี้:

 คอมพิวเตอร์กคอมพิวเตอร์ขคอมพิวเตอร์ค
โปรแกรม 111020
โปรแกรม 21,00010020
ค่าเฉลี่ยเลขคณิต500.55520
เฉลี่ยเรขาคณิต31.622. . .31.622. . .20
ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก1.998. . .18.182. . .20

เลขคณิตและเรขาคณิตหมายถึง "ตกลง" ว่าคอมพิวเตอร์ C เร็วที่สุด อย่างไรก็ตามด้วยการนำเสนอค่าที่เป็นมาตรฐานอย่างเหมาะสมและใช้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตเราสามารถแสดงให้คอมพิวเตอร์เครื่องใดเครื่องหนึ่งทำงานได้เร็วที่สุด Normalizing โดยผลลัพธ์ของ A ทำให้ A เป็นคอมพิวเตอร์ที่เร็วที่สุดตามค่าเฉลี่ยเลขคณิต:

 คอมพิวเตอร์กคอมพิวเตอร์ขคอมพิวเตอร์ค
โปรแกรม 111020
โปรแกรม 210.10.02
ค่าเฉลี่ยเลขคณิต15.0510.01
เฉลี่ยเรขาคณิต110.632. . .
ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก10.198 . .0.039. . .

ในขณะที่การทำให้เป็นมาตรฐานโดยผลลัพธ์ของ B จะให้ B เป็นคอมพิวเตอร์ที่เร็วที่สุดตามค่าเฉลี่ยเลขคณิต แต่ A เร็วที่สุดตามค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก:

 คอมพิวเตอร์กคอมพิวเตอร์ขคอมพิวเตอร์ค
โปรแกรม 10.112
โปรแกรม 21010.2
ค่าเฉลี่ยเลขคณิต5.0511.1
เฉลี่ยเรขาคณิต110.632
ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก0.198 . .10.363. . .

และการทำให้เป็นมาตรฐานโดยผลลัพธ์ของ C ทำให้ C เป็นคอมพิวเตอร์ที่เร็วที่สุดตามค่าเฉลี่ยเลขคณิต แต่ A เร็วที่สุดตามค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก:

 คอมพิวเตอร์กคอมพิวเตอร์ขคอมพิวเตอร์ค
โปรแกรม 10.050.51
โปรแกรม 25051
ค่าเฉลี่ยเลขคณิต25.0252.751
เฉลี่ยเรขาคณิต1.581. . .1.581. . .1
ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก0.099. . .0.909. . .1

ในทุกกรณีการจัดอันดับที่กำหนดโดยค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิตจะยังคงเหมือนกับการจัดอันดับที่ได้รับด้วยค่าที่ผิดปกติ

อย่างไรก็ตามการให้เหตุผลนี้ถูกตั้งคำถาม [8]การให้ผลลัพธ์ที่สม่ำเสมอไม่เท่ากับการให้ผลลัพธ์ที่ถูกต้องเสมอไป โดยทั่วไปการกำหนดน้ำหนักให้กับแต่ละโปรแกรมจะเข้มงวดมากขึ้นคำนวณเวลาดำเนินการถ่วงน้ำหนักโดยเฉลี่ย (โดยใช้ค่าเฉลี่ยเลขคณิต) จากนั้นจึงทำให้ผลลัพธ์นั้นเป็นปกติกับคอมพิวเตอร์เครื่องใดเครื่องหนึ่ง ตารางทั้งสามด้านบนให้น้ำหนักที่แตกต่างกันสำหรับแต่ละโปรแกรมโดยอธิบายถึงผลลัพธ์ที่ไม่สอดคล้องกันของวิธีการคำนวณและฮาร์มอนิก (ตารางแรกให้น้ำหนักเท่ากันกับทั้งสองโปรแกรมตารางที่สองให้น้ำหนัก 1/1000 สำหรับโปรแกรมที่สอง และรายการที่สามให้น้ำหนัก 1/100 สำหรับโปรแกรมที่สองและ 1/10 สำหรับรายการแรก) ควรหลีกเลี่ยงการใช้ค่าเฉลี่ยเรขาคณิตสำหรับการรวมตัวเลขประสิทธิภาพหากเป็นไปได้เนื่องจากการคูณเวลาดำเนินการไม่มีความหมายทางกายภาพตรงกันข้ามกับการเพิ่มเวลาเช่นเดียวกับค่าเฉลี่ยเลขคณิต เมตริกที่แปรผกผันกับเวลา (speedup, IPC ) ควรหาค่าเฉลี่ยโดยใช้ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก

ค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิตสามารถหาได้จากค่าเฉลี่ยทั่วไปเป็นขีด จำกัด น {\ displaystyle p} pไปที่ศูนย์ ในทำนองเดียวกันนี่เป็นไปได้สำหรับค่าเฉลี่ยเรขาคณิตถ่วงน้ำหนัก

ค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิตของฟังก์ชันต่อเนื่อง

ถ้า ฉ : [ ก , ข ] → ( 0 , ∞ ) {\ displaystyle f: [a, b] \ to (0, \ infty)} {\displaystyle f:[a,b]\to (0,\infty )} เป็นฟังก์ชันที่มีมูลค่าจริงอย่างต่อเนื่องค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิตของช่วงเวลานี้คือ

จีเอ็ม [ ฉ ] = ประสบการณ์ ⁡ ( 1 ข - ก ∫ ก ข ln ⁡ ฉ ( x ) ง x ) {\ displaystyle {\ text {GM}} [f] = \ exp \ left ({\ frac {1} {ba}} \ int _ {a} ^ {b} \ ln f (x) dx \ right)} {\displaystyle {\text{GM}}[f]=\exp \left({\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}\ln f(x)dx\right)}

ตัวอย่างเช่นการใช้ฟังก์ชัน identity ฉ ( x ) = x {\ displaystyle f (x) = x} f(x)=x ในช่วงหน่วยแสดงว่าค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิตของจำนวนบวกระหว่าง 0 ถึง 1 เท่ากับ 1 จ {\ displaystyle {\ frac {1} {e}}} {\frac {1}{e}}.

แอพพลิเคชั่น

การเติบโตตามสัดส่วน

ค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิตมีความเหมาะสมมากกว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิตสำหรับการอธิบายการเติบโตตามสัดส่วนทั้งการเติบโตแบบเลขชี้กำลัง (การเติบโตตามสัดส่วนคงที่) และการเติบโตที่แตกต่าง ในทางธุรกิจค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิตของอัตราการเติบโตเรียกว่าอัตราการเติบโตต่อปี (CAGR) ค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิตของการเติบโตในช่วงระยะเวลาหนึ่งจะให้อัตราการเติบโตคงที่เท่ากันซึ่งจะให้ผลตอบแทนเท่ากัน

สมมติว่าต้นส้มให้ผลผลิต 100 ส้มในหนึ่งปีจากนั้น 180, 210 และ 300 ในปีต่อ ๆ ไปดังนั้นการเติบโตคือ 80%, 16.6666% และ 42.8571% ในแต่ละปีตามลำดับ การใช้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตคำนวณการเติบโตเฉลี่ย (เชิงเส้น) ที่ 46.5079% (80% + 16.6666% + 42.8571% จากนั้นหารด้วย 3) อย่างไรก็ตามหากเราเริ่มต้นด้วยส้ม 100 ลูกและปล่อยให้มันเติบโต 46.5079% ในแต่ละปีผลที่ได้คือส้ม 314 ลูกไม่ใช่ 300 ลูกดังนั้นค่าเฉลี่ยเชิงเส้นจะสูงเกินสถานะของการเติบโตแบบปีต่อปี

เราสามารถใช้ค่าเฉลี่ยเรขาคณิตแทนได้ การเติบโตด้วย 80% นั้นสอดคล้องกับการคูณด้วย 1.80 ดังนั้นเราจึงหาค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิตที่ 1.80, 1.166666 และ 1.428571 นั่นคือ 1.80 × 1.166666 × 1.428571 3 ≈ 1.442249 {\ displaystyle {\ sqrt [{3}] {1.80 \ times 1.166666 \ times 1.428571}} \ ประมาณ 1.442249} {\displaystyle {\sqrt[{3}]{1.80\times 1.166666\times 1.428571}}\approx 1.442249}; ดังนั้นการเติบโต "เฉลี่ย" ต่อปีคือ 44.2249% ถ้าเราเริ่มต้นด้วยส้ม 100 ลูกและปล่อยให้จำนวนเพิ่มขึ้นด้วย 44.2249% ในแต่ละปีผลลัพธ์ก็คือส้ม 300 ลูก

การเงิน

ค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิตมีการใช้ในการคำนวณดัชนีทางการเงินเป็นครั้งคราว (ค่าเฉลี่ยอยู่เหนือส่วนประกอบของดัชนี) ตัวอย่างเช่นในอดีตดัชนีFT 30ใช้ค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิต [9]นอกจากนี้ยังใช้ในการวัดอัตราเงินเฟ้อ" RPIJ " ที่เพิ่งเปิดตัวในสหราชอาณาจักรและในสหภาพยุโรป

สิ่งนี้มีผลของการเคลื่อนไหวที่ไม่ชัดเจนในดัชนีเมื่อเทียบกับการใช้ค่าเฉลี่ยเลขคณิต [9]

การประยุกต์ใช้ในสังคมศาสตร์

แม้ว่าค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิตจะค่อนข้างหายากในการคำนวณสถิติทางสังคมตั้งแต่ปี 2010 ดัชนีการพัฒนามนุษย์ขององค์การสหประชาชาติได้เปลี่ยนไปใช้โหมดการคำนวณนี้เนื่องจากสะท้อนให้เห็นถึงลักษณะที่ไม่สามารถทดแทนได้ของสถิติที่รวบรวมและเปรียบเทียบได้ดีกว่า:

ค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิตจะลดระดับความสามารถในการทดแทนกันระหว่างมิติ [กำลังเปรียบเทียบ] และในขณะเดียวกันก็ช่วยให้มั่นใจได้ว่าอายุขัยเมื่อแรกเกิดลดลง 1 เปอร์เซ็นต์มีผลกระทบต่อ HDI เช่นเดียวกันเนื่องจากการศึกษาหรือรายได้ลดลง 1 เปอร์เซ็นต์ ดังนั้นเพื่อเป็นพื้นฐานสำหรับการเปรียบเทียบความสำเร็จวิธีนี้จึงให้ความเคารพต่อความแตกต่างที่แท้จริงในมิติต่างๆมากกว่าค่าเฉลี่ยธรรมดา [10]

ค่าทั้งหมดที่ใช้ในการคำนวณHDI (ดัชนีการพัฒนามนุษย์) ไม่ได้ถูกทำให้เป็นมาตรฐาน บางคนมีแบบฟอร์มแทน ( X - X นาที ) / ( X บรรทัดฐาน - X นาที ) {\ displaystyle \ left (X-X _ {\ text {min}} \ right) / \ left (X _ {\ text {norm}} - X _ {\ text {min}} \ right)} {\displaystyle \left(X-X_{\text{min}}\right)/\left(X_{\text{norm}}-X_{\text{min}}\right)}. ทำให้การเลือกค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิตมีความชัดเจนน้อยกว่าที่คาดหวังจากส่วน "คุณสมบัติ" ด้านบน

รายได้ที่เท่าเทียมกันของสวัสดิการที่กระจายอย่างเท่าเทียมกันที่เกี่ยวข้องกับดัชนีแอตกินสันที่มีพารามิเตอร์การหลีกเลี่ยงความไม่เท่าเทียมกันคือ 1.0 เป็นเพียงค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิตของรายได้ สำหรับค่าอื่นที่ไม่ใช่ค่าเดียวค่าที่เท่ากันคือบรรทัดฐาน Lpหารด้วยจำนวนองค์ประกอบโดย p เท่ากับหนึ่งลบพารามิเตอร์การหลีกเลี่ยงอสมการ

เรขาคณิต

ความสูงของสามเหลี่ยมมุมฉากจากมุมฉากไปยังด้านตรงข้ามมุมฉากคือค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิตของความยาวของส่วนที่ด้านตรงข้ามมุมฉากแบ่งออกเป็น ใช้ ทฤษฎีบทของพีทาโกรัสกับสามเหลี่ยม 3 ด้าน ( p  +  q , r , s  ) , ( r , p , h  )และ ( s , h , q  ) ,
( น + q ) 2 = ร 2 + s 2 น 2 + 2 น q + q 2 = น 2 + ซ 2 ⏞ + ซ 2 + q 2 ⏞ 2 น q = 2 ซ 2 ∴ ซ = น q {\ displaystyle {\ begin {aligned} (p + q) ^ {2} \; \; & = \ quad r ^ {2} \; \; \, + \ quad s ^ {2} \\ p ^ { 2} \! \! + \! 2pq \! + \! q ^ {2} & = \ overbrace {p ^ {2} \! \! + \! h ^ {2}} + \ overbrace {h ^ { 2} \! \! + \! q ^ {2}} \\ 2pq \ quad \; \; \; & = 2h ^ {2} \; ดังนั้น h \! = \! {\ sqrt {pq}} \\\ end {aligned}}} {\displaystyle {\begin{aligned}(p+q)^{2}\;\;&=\quad r^{2}\;\;\,+\quad s^{2}\\p^{2}\!\!+\!2pq\!+\!q^{2}&=\overbrace {p^{2}\!\!+\!h^{2}} +\overbrace {h^{2}\!\!+\!q^{2}} \\2pq\quad \;\;\;&=2h^{2}\;\therefore h\!=\!{\sqrt {pq}}\\\end{aligned}}}

ในกรณีของสามเหลี่ยมมุมฉากความสูงของมันคือความยาวของเส้นที่ยื่นออกไปในแนวตั้งฉากจากด้านตรงข้ามมุมฉากถึงจุดยอด 90 ° เมื่อจินตนาการว่าเส้นนี้แบ่งด้านตรงข้ามมุมฉากออกเป็นสองส่วนค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิตของความยาวส่วนเหล่านี้คือความยาวของระดับความสูง สถานที่แห่งนี้เป็นที่รู้จักกันทฤษฎีบทค่าเฉลี่ยเรขาคณิต

ในวงรีที่กึ่งแกนรองเป็นค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของสูงสุดและต่ำสุดระยะของวงรีจากที่มุ่งเน้น ; นอกจากนี้ยังเป็นค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิตของแกนกึ่งหลักและทวารหนักกึ่งลาตัส กึ่งแกนหลักของวงรีเป็นค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของระยะห่างจากจุดศูนย์กลางที่จะมุ่งเน้นทั้งและระยะทางจากศูนย์ทั้งที่ไดเรกตริกซ์

ระยะห่างจากขอบฟ้าของทรงกลมจะเท่ากับค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิตของระยะทางถึงจุดที่ใกล้ที่สุดของทรงกลมและระยะทางไปยังจุดที่ไกลที่สุดของทรงกลมเมื่อระยะทางไปยังจุดที่ใกล้ที่สุดของทรงกลมมีขนาดเล็ก

ทั้งในการประมาณของการยกกำลังสองของวงกลมตาม SA Ramanujan (1914)และในการสร้างHeptadecagonตาม"ส่งโดย TP Stowell ให้เครดิตกับ Leybourn's Math Repository 1818"ใช้ค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิต

อัตราส่วนภาพ

เปรียบเทียบพื้นที่เท่ากันของอัตราส่วนที่ใช้โดย Kerns พลังที่จะได้รับมา พีทีอี16: 9มาตรฐาน [11]  ทีวี 4: 3 / 1.33 สีแดง   1.66 เป็นสีส้ม   16: 9 / 1.7 7สีฟ้า ,   1.85 สีเหลือง   Panavision /2.2 ในสีม่วงและ   CinemaScope /2.35 เป็นสีม่วง

ค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิตถูกนำมาใช้ในการเลือกอัตราส่วนภาพที่ประนีประนอมในภาพยนตร์และวิดีโอ: เมื่อพิจารณาจากอัตราส่วนสองภาพค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิตของค่าเหล่านี้จะทำให้เกิดการประนีประนอมระหว่างค่าเหล่านี้การบิดเบือนหรือการครอบตัดทั้งสองอย่างเท่าเทียมกัน สี่เหลี่ยมพื้นที่เท่ากันสองอัน (มีศูนย์กลางเดียวกันและด้านคู่ขนานกัน) ที่มีอัตราส่วนภาพต่างกันตัดกันในรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีอัตราส่วนกว้างยาวเป็นค่าเฉลี่ยเรขาคณิตและตัวถัง (สี่เหลี่ยมผืนผ้าที่เล็กที่สุดซึ่งมีทั้งสองแบบ) ก็มีอัตราส่วนของมันเช่นเดียวกัน เฉลี่ยเรขาคณิต.

ในการเลือกอัตราส่วนภาพ16: 9โดยSMPTEทำให้สมดุล 2.35 และ 4: 3 ค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิตคือ 2.35 × 4 3 ≈ 1.7701 {\ textstyle {\ sqrt {2.35 \ times {\ frac {4} {3}}}} \ ประมาณ 1.7701} {\textstyle {\sqrt {2.35\times {\frac {4}{3}}}}\approx 1.7701}และด้วยเหตุนี้ 16 : 9 = 1.77 7 ¯ {\ textstyle 16: 9 = 1.77 {\ overline {7}}} {\textstyle 16:9=1.77{\overline {7}}}... ถูกเลือก. สิ่งนี้ถูกค้นพบในเชิงประจักษ์โดย Kerns Powers ผู้ซึ่งตัดรูปสี่เหลี่ยมที่มีพื้นที่เท่ากันออกและจัดรูปทรงให้เข้ากับอัตราส่วนภาพยอดนิยมแต่ละรายการ เมื่อนำจุดกึ่งกลางมาวางซ้อนทับกันเขาพบว่ารูปสี่เหลี่ยมอัตราส่วนภาพทั้งหมดนั้นพอดีภายในสี่เหลี่ยมผืนผ้าด้านนอกที่มีอัตราส่วน 1.77: 1 และทั้งหมดยังครอบคลุมสี่เหลี่ยมผืนผ้าด้านในที่มีขนาดเล็กกว่าด้วยอัตราส่วนภาพเดียวกัน 1.77: 1 [11]ค่าที่ Powers พบนั้นเป็นค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิตของอัตราส่วนภาพสุดขั้ว4: 3  (1.33: 1) และCinemaScope  (2.35: 1) ซึ่งบังเอิญใกล้เคียงกับ 16 : 9 {\ textstyle 16: 9} {\textstyle 16:9} ( 1.77 7 ¯ : 1 {\ textstyle 1.77 {\ overline {7}}: 1} {\textstyle 1.77{\overline {7}}:1}). อัตราส่วนกลางไม่มีผลต่อผลลัพธ์มีเพียงอัตราส่วนสุดขั้วสองตัวเท่านั้น

การใช้เทคนิคค่าเฉลี่ยเรขาคณิตเดียวกันกับ 16: 9 และ 4: 3 โดยประมาณให้ผลลัพธ์14: 9 ( 1.55 5 ¯ {\ textstyle 1.55 {\ overline {5}}} {\textstyle 1.55{\overline {5}}}... ) อัตราส่วนซึ่งใช้ในทำนองเดียวกันเป็นการประนีประนอมระหว่างอัตราส่วนเหล่านี้ [12]ในกรณีนี้ 14: 9 คือค่าเฉลี่ยเลขคณิตของ 16 : 9 {\ textstyle 16: 9} {\textstyle 16:9} และ 4 : 3 = 12 : 9 {\ textstyle 4: 3 = 12: 9} {\textstyle 4:3=12:9}เนื่องจาก 14 คือค่าเฉลี่ย 16 และ 12 ในขณะที่ค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิตที่แม่นยำคือ 16 9 × 4 3 ≈ 1.5396 ≈ 13.8 : 9 , {\ textstyle {\ sqrt {{\ frac {16} {9}} \ times {\ frac {4} {3}}}} \ ประมาณ 1.5396 \ ประมาณ 13.8: 9,} {\textstyle {\sqrt {{\frac {16}{9}}\times {\frac {4}{3}}}}\approx 1.5396\approx 13.8:9,}แต่ทั้งสองวิธีที่แตกต่างกันคือเลขคณิตและเรขาคณิตมีค่าเท่ากันโดยประมาณเนื่องจากตัวเลขทั้งสองอยู่ใกล้กันเพียงพอ (ความแตกต่างน้อยกว่า 2%)

ความเรียบของสเปกตรัม

ในการประมวลผลสัญญาณ , ความเรียบสเปกตรัมวัดของวิธีการแบนหรือแหลมคมคลื่นความถี่จะถูกกำหนดเป็นอัตราส่วนของค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของคลื่นไฟฟ้าเพื่อมัชฌิมเลขคณิตของตน

สารเคลือบป้องกันแสงสะท้อน

ในการเคลือบด้วยแสงซึ่งต้องลดการสะท้อนระหว่างสื่อสองตัวของดัชนีการหักเหของแสงn 0และn 2ดัชนีการหักเหของแสงที่เหมาะสมn 1ของการเคลือบป้องกันแสงสะท้อนจะได้รับจากค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิต: n 1 = n 0 n 2 {\ displaystyle n_ {1} = {\ sqrt {n_ {0} n_ {2}}}} n_{1}={\sqrt {n_{0}n_{2}}}.

การผสมสีแบบหักลบ

โค้งสะท้อนสเปกตรัมสำหรับสีผสม (เท่ากับย้อมสีความแข็งแรงความทึบแสงและเจือจาง ) จะอยู่ที่ประมาณค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของสีโค้งสะท้อนแต่ละคำนวณที่ความยาวคลื่นของพวกเขาในแต่ละสเปกตรัม [13]

การประมวลผลภาพ

กรองเฉลี่ยเรขาคณิตถูกนำมาใช้เป็นตัวกรองเสียงรบกวนในการประมวลผลภาพ

ดูสิ่งนี้ด้วย

  • iconพอร์ทัลคณิตศาสตร์
  • ค่าเฉลี่ยเลขคณิต - เรขาคณิต
  • ค่าเฉลี่ยทั่วไป
  • ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิต
  • ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานทางเรขาคณิต
  • ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก
  • หมายถึงนกกระสา
  • ความยืดหยุ่น
  • พิกัดไฮเพอร์โบลิก
  • การแจกแจงแบบล็อกปกติ
  • ความไม่เท่าเทียมกันของ Muirhead
  • สินค้า
  • พีทาโกรัสหมายถึง
  • ค่าเฉลี่ยกำลังสอง
  • กำลังสอง (คณิตศาสตร์)
  • อัตราผลตอบแทน
  • ค่าเฉลี่ยเรขาคณิตถ่วงน้ำหนัก

หมายเหตุและข้อมูลอ้างอิง

  1. ^ แมตต์ Friehauf, Mikaela Hertel ฆหลิวและ Stacey Luong "ในเข็มทิศและระนาบก่อสร้าง: หมายถึง" (PDF) มหาวิทยาลัยวอชิงตันแผนกคณิตศาสตร์ พ.ศ. 2556 . สืบค้นเมื่อ14 มิถุนายน 2561 .
  2. ^ "ยุคลิดเล่มที่หกข้อเสนอที่ 13" . เดวิดอีจอยซ์มหาวิทยาลัยคลาร์ก พ.ศ. 2556 . สืบค้นเมื่อ19 กรกฎาคม 2562 .
  3. ^ ค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิตใช้กับตัวเลขที่มีเครื่องหมายเดียวกันเท่านั้นเพื่อหลีกเลี่ยงการหยั่งรากของผลคูณเชิงลบซึ่งจะส่งผลให้เกิดจำนวนจินตภาพและเพื่อตอบสนองคุณสมบัติบางประการเกี่ยวกับค่าเฉลี่ยซึ่งจะอธิบายในบทความต่อไป คำจำกัดความนั้นไม่คลุมเครือหากอนุญาตให้ใช้ 0 (ซึ่งให้ค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิตเป็น 0) แต่อาจถูกแยกออกเนื่องจากมักต้องการใช้ลอการิทึมของวิธีทางเรขาคณิต (เพื่อแปลงระหว่างการคูณและการบวก) และไม่สามารถใช้ลอการิทึมของ 0.
  4. ^ Crawley, Michael J. (2005). สถิติ: บทนำใช้ R John Wiley & Sons Ltd. ISBN 9780470022986.
  5. ^ ถ้า AC =และ BC =B OC = AMของ aและ bและรัศมี r = QO = OG โดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส , QC² = QO² + OC²∴ QC = √ QO² + OC² =QM โดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสOC² = OG² + GC²∴ GC = √ OC² - OG² =จีเอ็ม โดยใช้รูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน ,


    HC/GC = GC/OC ∴ HC = GC²/OC= หือ .
  6. ^ มิตเชลล์ดักลาสดับเบิลยู. (2004). "ข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับค่าสเปรดและวิธีการที่ไม่ใช่เลขคณิต" คณิตศาสตร์ราชกิจจานุเบกษา 88 : 142–144 ดอย : 10.1017 / S0025557200174534 .
  7. ^ เฟลมมิ่งฟิลิปเจ.; วอลเลซ, จอห์นเจ. (1986). "วิธีไม่โกหกด้วยสถิติ: วิธีที่ถูกต้องในการสรุปผลการเปรียบเทียบ" การติดต่อสื่อสารของพลอากาศเอก 29 (3): 218–221. ดอย : 10.1145 / 5666.5673 . S2CID  1047380
  8. ^ Smith, James E. (1988). "การแสดงลักษณะการทำงานของคอมพิวเตอร์ด้วยตัวเลขตัวเดียว". การติดต่อสื่อสารของพลอากาศเอก 31 (10): 1202–1206 ดอย : 10.1145 / 63039.63043 . S2CID  10805363
  9. ^ ก ข Rowley, Eric E. (1987). ระบบการเงินในวันนี้ สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยแมนเชสเตอร์ ISBN 0719014875.
  10. ^ "คำถามที่พบบ่อย - รายงานการพัฒนามนุษย์" . hdr.undp.org . สืบค้นจากต้นฉบับเมื่อ 2011-03-02.
  11. ^ ก ข "Technical Bulletin: อัตราส่วนความเข้าใจมุมมอง" (PDF) กด CinemaSource 2544. เก็บถาวร (PDF)จากต้นฉบับเมื่อ 2009-09-09 . สืบค้นเมื่อ2009-10-24 . อ้างถึงวารสารต้องการ|journal=( ความช่วยเหลือ )
  12. ^ US 5956091 "วิธีการแสดงภาพ 16: 9 บนจอแสดงผล 4: 3" ออกเมื่อวันที่ 21 กันยายน 2542 
  13. ^ MacEvoy บรูซ "Colormaking คุณสมบัติ: การวัดแสงและสี" handprint.com/LS/CVS/color.html สี เก็บถาวรไปจากเดิมใน 2019/07/14 สืบค้นเมื่อ2020-01-02 .

ลิงก์ภายนอก

  • การคำนวณค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิตของจำนวนสองจำนวนโดยเปรียบเทียบกับวิธีการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์
  • หมายถึงเลขคณิตและเรขาคณิต
  • เมื่อใดควรใช้ค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิต
  • แนวทางปฏิบัติสำหรับการคำนวณค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิตด้วยข้อมูลประเภทต่างๆ
  • ค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิตบน MathWorld
  • ความหมายทางเรขาคณิตของค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิต
  • เครื่องคำนวณค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิตสำหรับชุดข้อมูลขนาดใหญ่
  • การแบ่งส่วนของรัฐสภาโดยใช้ค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิต
  • เว็บไซต์แคลคูลัสที่ไม่ใช่นิวตัน
  • นิยามและสูตรเฉลี่ยทางเรขาคณิต
Language
  • Thai
  • Français
  • Deutsch
  • Arab
  • Português
  • Nederlands
  • Türkçe
  • Tiếng Việt
  • भारत
  • 日本語
  • 한국어
  • Hmoob
  • ខ្មែរ
  • Africa
  • Русский

©Copyright This page is based on the copyrighted Wikipedia article "/wiki/Geometric_mean" (Authors); it is used under the Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported License. You may redistribute it, verbatim or modified, providing that you comply with the terms of the CC-BY-SA. Cookie-policy To contact us: mail to admin@tvd.wiki

TOP