กลุ่มพื้นฐาน

เริ่มต้นด้วยการเว้นวรรค (เช่น พื้นผิว) และบางจุดในนั้น และวนซ้ำทั้งหมดทั้งจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุด ณ จุดนี้ เส้นทางที่เริ่มต้น ณ จุดนี้ เดินไปรอบๆ และในที่สุดก็กลับมายังจุดเริ่มต้น สามารถรวมสองลูปเข้าด้วยกันในลักษณะที่ชัดเจน: เดินทางไปตามลูปแรกแล้วตามด้วยลูปที่สอง สองลูปจะถือว่าเท่ากันถ้าหนึ่งสามารถเปลี่ยนเป็นอีกอันหนึ่งโดยไม่ทำให้แตก เซตของลูปดังกล่าวทั้งหมดด้วยวิธีการรวมนี้และความเท่าเทียมกันระหว่างลูปนี้เป็นกลุ่มพื้นฐานสำหรับช่องว่างนั้น

Henri Poincaré ได้กำหนดกลุ่มพื้นฐานในปี 1895 ในบทความของเขา " Analysis Situs " ^[1]เป็นแนวคิดที่เกิดขึ้นในทฤษฎีของRiemann พื้นผิวในการทำงานของBernhard Riemann , Poincaréและเฟลิกซ์ไคลน์ มันอธิบายmonodromyคุณสมบัติของการทำงานที่ซับซ้อนมูลค่าเช่นเดียวกับการให้บริการที่สมบูรณ์ทอพอโลยีการจำแนกประเภทของพื้นผิวปิด

ตลอดทั้งบทความนี้Xเป็นพื้นที่ทอพอโลยี ตัวอย่างทั่วไปคือพื้นผิวเช่นที่แสดงทางด้านขวา นอกจากนี้${\displaystyle x_{0}}$เป็นจุดในXเรียกว่าฐานจุด (ดังที่อธิบายด้านล่าง บทบาทของมันค่อนข้างเป็นส่วนเสริม) แนวคิดของคำจำกัดความของกลุ่ม homotopy คือการวัดจำนวนเส้นโค้ง (พูดกว้าง) บนX ที่สามารถเปลี่ยนรูปซึ่งกันและกันได้ คำจำกัดความที่แม่นยำนั้นขึ้นอยู่กับแนวคิดของโฮโมโทปีของลูป ซึ่งอธิบายไว้ก่อน

Homotopy ของลูป

กำหนดพื้นที่ทอพอโลยีXเป็นห่วงตามที่${\displaystyle x_{0}}$ถูกกำหนดให้เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง (เรียกอีกอย่างว่า แผนที่ต่อเนื่อง )

${\displaystyle \gamma \colon [0,1]\to X}$

จึงเป็นจุดเริ่มต้น ${\displaystyle \gamma (0)}$ และจุดจบ ${\displaystyle \gamma (1)}$ มีค่าเท่ากับ ${\displaystyle x_{0}}$.

Homotopy ของลูป

homotopyคือการแก้ไขอย่างต่อเนื่องระหว่างสองวง แม่นยำยิ่งขึ้น homotopy ระหว่างสองลูป${\displaystyle \gamma ,\gamma '\colon [0,1]\to X}$ (อยู่ในจุดเดียวกัน ${\displaystyle x_{0}}$) เป็นแผนที่ต่อเนื่อง

${\displaystyle h\colon [0,1]\times [0,1]\to X,}$

ดังนั้น

• ${\displaystyle h(0,t)=x_{0}}$ สำหรับทุกอย่าง ${\displaystyle t\in [0,1],}$ นั่นคือจุดเริ่มต้นของ homotopy คือtop ${\displaystyle x_{0}}$สำหรับtทั้งหมด(ซึ่งมักถูกมองว่าเป็นพารามิเตอร์เวลา)
• ${\displaystyle h(1,t)=x_{0}}$ สำหรับทุกอย่าง ${\displaystyle t\in [0,1],}$ นั่นคือจุดสิ้นสุดจะอยู่ที่ .เช่นเดียวกัน ${\displaystyle x_{0}}$สำหรับทั้งหมดt .
• ${\displaystyle h(r,0)=\gamma (r),h(r,1)=\gamma '(r)}$ สำหรับทุกอย่าง ${\displaystyle r\in [0,1]}$.

ถ้าเช่นฮอมอโทชั่วโมงอยู่แล้ว${\displaystyle \gamma }$ และ ${\displaystyle \gamma '}$จะกล่าวว่าเป็นhomotopic ความสัมพันธ์"${\displaystyle \gamma }$ เป็นโฮโมโทปไปยัง ${\displaystyle \gamma '}$" เป็นความสัมพันธ์สมมูลเพื่อให้สามารถพิจารณาชุดของคลาสสมมูลได้:

${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0}):=\{{\text{all loops }}\gamma {\text{ based at }}x_{0}\}/{\text{ homotopy}}}$.

เซตนี้ (โดยมีโครงสร้างกลุ่มอธิบายไว้ด้านล่าง) เรียกว่ากลุ่มพื้นฐานของปริภูมิโทโพโลยีXที่จุดฐาน${\displaystyle x_{0}}$. จุดประสงค์ของการพิจารณาคลาสสมมูลของลูปจนถึง homotopy ตรงข้ามกับเซตของลูปทั้งหมด (เรียกว่าloop spaceของX ) คือ อันหลังในขณะที่มีประโยชน์สำหรับวัตถุประสงค์ต่างๆ เป็นวัตถุที่ค่อนข้างใหญ่และเทอะทะ . ในทางตรงกันข้าม ความฉลาดทางด้านบนนั้น ในหลายกรณี สามารถจัดการและคำนวณได้มากกว่า

โครงสร้างกลุ่ม

การเพิ่มลูป

ตามคำจำกัดความข้างต้น ${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})}$เป็นเพียงชุด มันกลายเป็นกลุ่ม (และสมควรได้รับชื่อกลุ่มพื้นฐาน) โดยใช้การต่อกันของลูป แม่นยำยิ่งขึ้นโดยให้สองลูป${\displaystyle \gamma _{0},\gamma _{1}}$, ผลิตภัณฑ์ของพวกเขาถูกกำหนดเป็น loop

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma _{0}\cdot \gamma _{1}\colon [0,1]&\to X\\(\gamma _{0}\cdot \gamma _{1 })(t)&={\begin{cases}\gamma _{0}(2t)&0\leq t\leq {\tfrac {1}{2}}\\\gamma _{1}(2t-1 )&{\tfrac {1}{2}}\leq t\leq 1.\end{cases}}\end{aligned}}}$

ดังนั้นลูป ${\displaystyle \gamma _{0}\cdot \gamma _{1}}$ อันดับแรกตามลูป ${\displaystyle \gamma _{0}}$ ด้วย "ความเร็วสองเท่า" แล้วตามด้วย ${\displaystyle \gamma _{1}}$ ด้วย "ความเร็วสองเท่า"

ผลคูณของลูปโฮโมโทปีสองคลาส ${\displaystyle [\gamma _{0}]}$ และ ${\displaystyle [\gamma _{1}]}$ ถูกกำหนดเป็น ${\displaystyle [\gamma _{0}\cdot \gamma _{1}]}$. สามารถแสดงให้เห็นว่าผลิตภัณฑ์นี้ไม่ได้ขึ้นอยู่กับทางเลือกของตัวแทน ดังนั้นจึงให้การดำเนินการที่กำหนดไว้อย่างดีในชุด${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})}$. การดำเนินการนี้จะเปลี่ยน${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})}$เป็นกลุ่ม ใช้องค์ประกอบที่เป็นกลางเป็นห่วงอย่างต่อเนื่องซึ่งเข้าพักที่${\displaystyle x_{0}}$ตลอดเวลาt . ผกผันของ a (คลาส homopy ของ a) เป็นลูปเดียวกัน แต่ข้ามไปในทิศทางตรงกันข้าม เป็นทางการมากขึ้น

${\displaystyle \gamma ^{-1}(t):=\gamma (1-t)}$.

รับสามลูปตาม ${\displaystyle \gamma _{0},\gamma _{1},\gamma _{2},}$ สินค้า

${\displaystyle (\gamma _{0}\cdot \gamma _{1})\cdot \gamma _{2}}$

คือการต่อกันของลูปเหล่านี้, การข้ามผ่าน ${\displaystyle \gamma _{0}}$ แล้วก็ ${\displaystyle \gamma _{1}}$ ด้วยความเร็วสี่เท่าแล้ว ${\displaystyle \gamma _{2}}$ด้วยความเร็วสองเท่า โดยการเปรียบเทียบ

${\displaystyle \gamma _{0}\cdot (\gamma _{1}\cdot \gamma _{2})}$

ไปในเส้นทางเดียวกัน (ในลำดับเดียวกัน) แต่ ${\displaystyle \gamma _{0}}$ ด้วยความเร็วสองเท่าและ ${\displaystyle \gamma _{1},\gamma _{2}}$ด้วยความเร็วสี่เท่า ดังนั้น เนื่องจากความเร็วต่างกัน เส้นทางทั้งสองจึงไม่เหมือนกัน associativityจริง

${\displaystyle [\gamma _{0}]\cdot \left([\gamma _{1}]\cdot [\gamma _{2}]\right)=\left([\gamma _{0}]\ cdot [\gamma _{1}]\right)\cdot [\gamma _{2}]}$

ดังนั้นจึงขึ้นอยู่กับความจริงที่ว่าเส้นทางถือเป็น homotopy อันที่จริง คอมโพสิตทั้งสองข้างบนนั้นเป็นโฮโมโทปิก ตัวอย่างเช่น ไปยังลูปที่ข้ามทั้งสามลูป${\displaystyle \gamma _{0},\gamma _{1},\gamma _{2}}$ด้วยความเร็วสามเท่า ชุดของลูปตามขึ้นไปถึง homotopy พร้อมกับการทำงานข้างต้นจึงหมุน${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})}$ เป็นกลุ่ม

การพึ่งพาจุดฐาน

แม้ว่ากลุ่มพื้นฐานทั่วไปขึ้นอยู่กับทางเลือกของจุดฐานก็จะเปิดออกว่าถึง มอร์ฟ (อันที่จริงแม้ถึงชั้นในมอร์ฟ), ทางเลือกนี้ทำให้ไม่แตกต่างตราบเท่าที่พื้นที่Xเป็นเส้นทางที่เชื่อมต่อ สำหรับช่องว่างที่เชื่อมระหว่างเส้นทาง ผู้เขียนหลายคนจึงเขียน${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ แทน ${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})}$.

โดเมนดาวเชื่อมต่อกันอย่างง่าย ๆ เนื่องจากลูปใด ๆ สามารถทำสัญญากับศูนย์กลางของโดเมนได้ดังแสดง ${\displaystyle x_{0}}$.

ส่วนนี้แสดงรายการตัวอย่างพื้นฐานของกลุ่มพื้นฐาน เริ่มต้นด้วยในอวกาศแบบยุคลิด (${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$) หรือเซตย่อยนูนใดๆของ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$มีลูปคลาส homotopy เพียงคลาสเดียว ดังนั้นกลุ่มพื้นฐานจึงเป็นกลุ่มไม่สำคัญที่มีองค์ประกอบเดียว โดยทั่วไปแล้วโดเมนดาวใดๆและโดยทั่วไปพื้นที่ที่หดตัวได้จะมีกลุ่มพื้นฐานที่ไม่สำคัญ ดังนั้นกลุ่มพื้นฐานจึงไม่แยกความแตกต่างระหว่างช่องว่างดังกล่าว

2 ทรงกลม

วงบน 2 ทรงกลม (พื้นผิวของลูกบอล) ที่หดตัวถึงจุด

พื้นที่เชื่อมต่อเส้นทางซึ่งกลุ่มพื้นฐานไม่สำคัญเรียกว่าเชื่อมต่ออย่างง่าย ตัวอย่างเช่น 2-ทรงกลม${\displaystyle S^{2}=\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid x^{2}+y^{2}+z^{2} =1\right\}}$ปรากฎทางด้านขวาและทรงกลมมิติที่สูงกว่าทั้งหมดเชื่อมต่อกันอย่างเรียบง่าย รูปแสดงโฮโมโทปีที่หดตัวหนึ่งวงกับลูปคงที่ ไอเดียนี้สามารถนำไปปรับใช้ได้ทุกวง${\displaystyle \gamma }$ จึงมีประเด็น ${\displaystyle (x,y,z)\in S^{2}}$ที่ไม่อยู่ในรูปของ${\displaystyle \gamma .}$ อย่างไรก็ตามเนื่องจากมีลูปดังกล่าว such ${\displaystyle \gamma ([0,1])=S^{2}}$(สร้างจากโค้งอาโน่ , ตัวอย่างเช่น) ซึ่งเป็นหลักฐานที่สมบูรณ์ต้องมีการระมัดระวังมากขึ้นด้วยเครื่องมือที่ได้จาก topology เกี่ยวกับพีชคณิตเช่นทฤษฎีบท Seifert รถตู้ Kampenหรือทฤษฎีบทประมาณโทรศัพท์มือถือ

วงกลม

องค์ประกอบของกลุ่ม homotopy ของวงกลม

วงกลม (ยังเป็นที่รู้จักในฐานะที่ 1 ทรงกลม)

${\displaystyle S^{1}=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}=1\right\}}$

ไม่ได้เชื่อมต่อกันง่ายๆ แต่คลาส homotopy แต่ละคลาสประกอบด้วยลูปทั้งหมดที่วนรอบวงกลมตามจำนวนครั้งที่กำหนด (ซึ่งอาจเป็นค่าบวกหรือค่าลบ ขึ้นอยู่กับทิศทางของการหมุน) ผลคูณของวงที่หมุนรอบmรอบและอีกรอบที่หมุนรอบnครั้ง คือ วงที่วนรอบ${\displaystyle m+n}$ครั้ง ดังนั้น กลุ่มพื้นฐานของวงกลมจึงมีค่าisomorphicถึง${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+),}$กลุ่มสารเติมแต่งของจำนวนเต็ม ข้อเท็จจริงนี้สามารถใช้เพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทจุดตายตัวของBrouwer ^[2]และทฤษฎีบทบ่อสุข–อุลามในมิติที่ 2 ^[3]

รูปที่แปด

กลุ่มพื้นฐานของรูปแปดคือกลุ่มฟรีบนสองเครื่องปั่นไฟ และ ข

กลุ่มพื้นฐานของเลขแปดคือกลุ่มอิสระบนตัวอักษรสองตัว แนวความคิดที่จะพิสูจน์มีดังนี้ เลือกจุดฐานให้เป็นจุดที่วงกลมสองวงมาบรรจบกัน (จุดสีดำในรูปด้านขวา) วงใดก็ได้${\displaystyle \gamma }$ สามารถย่อยสลายได้เป็น

${\displaystyle \gamma =a^{n_{1}}b^{m_{1}}\cdots a^{n_{k}}b^{m_{k}}}$

โดยที่aและbคือวงสองวงที่พันรอบแต่ละครึ่งของตัวเลขตามที่แสดง และเลขชี้กำลัง${\displaystyle n_{1},\dots ,n_{k},m_{1},\dots ,m_{k}}$เป็นจำนวนเต็ม ไม่เหมือน${\displaystyle \pi _{1}\left(S^{1}\right),}$กลุ่มพื้นฐานของเลขแปดไม่ใช่ abelian : สองวิธีในการเขียนaและbไม่เป็น homotopic ซึ่งกันและกัน:

${\displaystyle [a]\cdot [b]\neq [b]\cdot [a].}$

โดยทั่วไปกลุ่มพื้นฐานของช่อของRแวดวงคือกลุ่มฟรีบนRตัวอักษร

กลุ่มพื้นฐานของผลรวมลิ่มของช่องว่างที่เชื่อมต่อสองเส้นทางXและYสามารถคำนวณเป็นผลคูณฟรีของกลุ่มพื้นฐานแต่ละกลุ่ม:

${\displaystyle \pi _{1}(X\vee Y)\cong \pi _{1}(X)*\pi _{1}(Y).}$

นี่เป็นการสรุปข้อสังเกตข้างต้นเนื่องจากรูปที่แปดคือผลรวมลิ่มของวงกลมสองวง

กลุ่มพื้นฐานของระนาบที่เจาะที่จุดnก็เป็นกลุ่มอิสระที่มีเครื่องกำเนิดn ตัวเช่นกัน ตัวสร้างที่iเป็นคลาสของลูปที่ไปรอบ ๆ รูที่iโดยไม่ต้องไปรอบ ๆ รอยเจาะอื่น ๆ

กราฟ

สามารถกำหนดกลุ่มพื้นฐานสำหรับโครงสร้างที่ไม่ต่อเนื่องได้เช่นกัน โดยเฉพาะอย่างยิ่งพิจารณากราฟ G = ( V , E )ด้วยการกำหนดจุดสุดยอดวี₀ในV ลูปในGเป็นรอบที่เริ่มต้นและสิ้นสุดที่วี 0 ^[4] Let Tเป็นต้นไม้ครอบคลุมของG ทุกวงอย่างง่ายในGมีเพียงหนึ่งขอบในE \ T ; ทุกลูปในGเป็นการต่อกันของลูปง่ายๆ ดังนั้น กลุ่มพื้นฐานของกราฟคือกลุ่มอิสระซึ่งจำนวนตัวสร้างคือจำนวนขอบในE \ Tทุกประการ ตัวเลขนี้เท่ากับ| อี | − | วี | +1 . ^[5]

ตัวอย่างเช่น สมมติว่าGมีจุดยอด 16 จุดจัดเรียงเป็น 4 แถว โดยแต่ละจุดมีจุดยอด 4 จุด โดยมีขอบเชื่อมต่อจุดยอดที่อยู่ติดกันในแนวนอนหรือแนวตั้ง จากนั้นGจะมีขอบทั้งหมด 24 ขอบ และจำนวนขอบในแต่ละแผนผังที่ทอดยาวคือ16 − 1 = 15ดังนั้นกลุ่มพื้นฐานของGคือกลุ่มอิสระที่มีเครื่องกำเนิด 9 เครื่อง ^[6]โปรดทราบว่าGมี 9 "รู" คล้ายกับช่อ 9 วงกลมซึ่งมีกลุ่มพื้นฐานเหมือนกัน

กลุ่มปม

พระฉายาลักษณ์ปม

ตามคำนิยามกลุ่มนอตคือกลุ่มพื้นฐานของส่วนเสริมของปม K ที่ฝังอยู่ใน${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}$ตัวอย่างเช่น กลุ่มปมของปมพระฉายาลักษณ์เรียกว่ากลุ่มถักเปีย ${\displaystyle B_{3},}$ซึ่งให้ตัวอย่างอื่นของกลุ่มพื้นฐานที่ไม่ใช่ชาวอาเบเลียน นำเสนอ Wirtingerอย่างชัดเจนอธิบายกลุ่มปมในแง่ของการกำเนิดและความสัมพันธ์บนพื้นฐานของแผนภาพของปมที่ ดังนั้นกลุ่มเงื่อนจึงมีการใช้งานบางอย่างในทฤษฎีนอตเพื่อแยกความแตกต่างระหว่างนอต: if${\displaystyle \pi _{1}\left(\mathbb {R} ^{3}\setminus K\right)}$ ไม่เป็นไอโซมอร์ฟิกกับปมกลุ่มอื่น ${\displaystyle \pi _{1}\left(\mathbb {R} ^{3}\setminus K'\right)}$ของปมอื่นK'จากนั้นKไม่สามารถเปลี่ยนเป็น${\displaystyle K'.}$ดังนั้นปมพระฉายาลักษณ์ไม่สามารถเปลี่ยนอย่างต่อเนื่องเข้าไปในวงกลม (ยังเป็นที่รู้จักในฐานะunknot ) ตั้งแต่หลังมีกลุ่มปม${\displaystyle \mathbb {Z} }$. อย่างไรก็ตาม มีนอตที่ไม่สามารถเปลี่ยนรูปซึ่งกันและกัน แต่มีกลุ่มปมแบบไอโซมอร์ฟิค

พื้นผิวที่มุ่งเน้น

กลุ่มพื้นฐานของประเภทnพื้นผิวที่สามารถคำนวณได้ในแง่ของตัวกำเนิดและความสัมพันธ์เป็น

${\displaystyle \left\langle A_{1},B_{1},\ldots ,A_{n},B_{n}\left|A_{1}B_{1}A_{1}^{-1}B_ {1}^{-1}\cdots A_{n}B_{n}A_{n}^{-1}B_{n}^{-1}\right.\right\rangle .}$

ซึ่งรวมถึงพรูซึ่งเป็นกรณีของสกุล 1 ซึ่งมีกลุ่มพื้นฐานคือ

${\displaystyle \left\langle A_{1},B_{1}\left|A_{1}B_{1}A_{1}^{-1}B_{1}^{-1}\right.\right \rangle \cong \mathbb {Z} ^{2}.}$

กลุ่มทอพอโลยี

กลุ่มพื้นฐานของกลุ่มทอพอโลยี X (เทียบกับจุดฐานที่เป็นองค์ประกอบที่เป็นกลาง) จะสับเปลี่ยนเสมอ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง กลุ่มพื้นฐานของกลุ่มโกหกคือการสับเปลี่ยน อันที่จริง โครงสร้างกลุ่มบนX นั้นทำให้ end${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ ด้วยโครงสร้างกลุ่มอื่น: กำหนดสองลูป ${\displaystyle \gamma }$ และ ${\displaystyle \gamma '}$ในXอีกวง${\displaystyle \gamma \star \gamma '}$สามารถกำหนดได้โดยใช้การคูณกลุ่มในX :

${\displaystyle \left(\gamma \star \gamma '\right)(x)=\gamma (x)\cdot \gamma '(x).}$

การดำเนินการไบนารีนี้ ${\displaystyle \star }$ในชุดของลูปทั้งหมดเป็นไพรเออรี่ที่เป็นอิสระจากอันที่อธิบายข้างต้น อย่างไรก็ตามอาร์กิวเมนต์ของ Eckmann–Hiltonแสดงให้เห็นว่าตามจริงแล้วเห็นด้วยกับการต่อกันของลูปด้านบน และยิ่งไปกว่านั้น โครงสร้างกลุ่มที่เป็นผลลัพธ์เป็นแบบอาเบเลียน ^{[7] [8]}

การตรวจสอบหลักฐานแสดงให้เห็นว่าโดยทั่วไปแล้ว ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$เป็น abelian สำหรับH-space Xใด ๆเช่นการคูณไม่จำเป็นต้องมีการผกผันและไม่จำเป็นต้องเชื่อมโยง ตัวอย่างเช่น นี่แสดงให้เห็นว่ากลุ่มพื้นฐานของสเปซลูปของสเปซทอพอโลยีอื่นY ,${\displaystyle X=\โอเมก้า (Y),}$เป็นชาวอาเบเลียน ความคิดที่เกี่ยวข้องนำไปสู่การคำนวณ Heinz Hopf ของโฮโมโลจี้ของกลุ่มโกหก

ถ้า ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ เป็นแผนที่ต่อเนื่อง ${\displaystyle x_{0}\in X}$ และ ${\displaystyle y_{0}\in Y}$ กับ ${\displaystyle f(x_{0})=y_{0},}$จากนั้นทุกลูปในXพร้อมจุดฐาน${\displaystyle x_{0}}$สามารถประกอบด้วยfเพื่อให้เกิดลูปในYด้วยจุดฐาน${\displaystyle y_{0}.}$การดำเนินการนี้เข้ากันได้กับความสัมพันธ์ของความเท่าเทียมกันของโฮโมโทปีและกับองค์ประกอบของลูป โฮโมมอร์ฟิซึมกลุ่มที่เป็นผลลัพธ์เรียกว่าโฮโมมอร์ฟิซึมแบบเหนี่ยวนำเขียนเป็น${\displaystyle \pi (f)}$ หรือโดยทั่วไป

${\displaystyle f_{*}\colon \pi _{1}(X,x_{0})\to \pi _{1}(Y,y_{0}).}$

การทำแผนที่จากแผนที่ต่อเนื่องไปจนถึง homomorphisms กลุ่มนี้เข้ากันได้กับองค์ประกอบของแผนที่และการแปรผันของเอกลักษณ์ ในภาษาพูดของทฤษฎีหมวดหมู่การก่อตัวของการเชื่อมโยงกับปริภูมิทอพอโลยี กลุ่มพื้นฐานของมันจึงเป็นฟังก์ชัน

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{1}\colon \mathbf {Top} _{*}&\to \mathbf {Grp} \\(X,x_{0})&\mapsto \pi _ {1}(X,x_{0})\end{aligned}}}$

จากหมวดหมู่ของช่องว่าง topological ร่วมกับจุดฐานไปยังหมวดหมู่ของกลุ่ม ปรากฎว่า functor นี้ไม่ได้แยกแยะแผนที่ที่เป็นhomotopicเทียบกับจุดฐาน: ถ้าf , g  : X → Yเป็นแผนที่ต่อเนื่องด้วยf ( x ₀ ) = g ( x ₀ ) = y ₀และfและgเป็นญาติ homotopic ถึง { x ₀ } แล้วฉ_* = กรัม * เป็นผลให้ช่องว่างที่เชื่อมต่อเส้นทางที่เทียบเท่ากับ homotopy สองช่องมีกลุ่มพื้นฐาน isomorphic:

${\displaystyle X\simeq Y\Rightarrow \pi _{1}(X,x_{0})\cong \pi _{1}(Y,y_{0}).}$

ตัวอย่างเช่น การรวมวงกลมในระนาบที่เจาะทะลุ

${\displaystyle S^{1}\subset \mathbb {R} ^{2}\setminus \{0\}}$

เป็นความเท่าเทียมกันของโฮโมโทปีดังนั้นจึงให้ผล isomorphism ของกลุ่มพื้นฐานของพวกมัน

functor กลุ่มพื้นฐานนำผลิตภัณฑ์ไปยังผลิตภัณฑ์และcoproductsไปยัง coproducts นั่นคือถ้าXและYเป็นเส้นทางที่เชื่อมต่อกัน ดังนั้น

${\displaystyle \pi _{1}(X\times Y,(x_{0},y_{0}))\cong \pi _{1}(X,x_{0})\times \pi _{1 }(Y,y_{0}).}$

ดังที่ได้กล่าวไว้ข้างต้น การคำนวณกลุ่มพื้นฐานของช่องว่างทอพอโลยีที่ค่อนข้างง่ายมักจะไม่ใช่เรื่องเล็กน้อย แต่ต้องใช้วิธีการบางอย่างของโทโพโลยีเกี่ยวกับพีชคณิต

ความสัมพันธ์กับกลุ่มที่คล้ายคลึงกันครั้งแรก

abelianizationของกลุ่มพื้นฐานสามารถระบุได้กับครั้งแรกที่กลุ่มที่คล้ายคลึงกันของพื้นที่

กรณีพิเศษของทฤษฎีบท Hurewiczยืนยันว่ากลุ่มเอกพจน์เอกพจน์กลุ่มแรก ${\displaystyle H_{1}(X)}$เป็นการประมาณที่ใกล้เคียงที่สุดกับกลุ่มพื้นฐานโดยใช้กลุ่มอาเบเลียน รายละเอียดเพิ่มเติม การแมปคลาส homotopy ของแต่ละลูปกับคลาส homology ของลูปจะทำให้กลุ่ม homomorphism

${\displaystyle \pi _{1}(X)\to H_{1}(X)}$

จากกลุ่มพื้นฐานของพื้นที่ทอพอโลยีXไปจนถึงกลุ่มเอกพจน์เอกพจน์กลุ่มแรก ${\displaystyle H_{1}(X).}$homomorphism นี้โดยทั่วไปแล้วไม่ใช่ isomorphism เนื่องจากกลุ่มพื้นฐานอาจไม่ใช่ abelian แต่กลุ่มที่คล้ายคลึงกันโดยนิยามแล้ว abelian เสมอ อย่างไรก็ตาม ความแตกต่างนี้เป็นเพียงสิ่งเดียวเท่านั้น: ถ้าXเชื่อมต่อกับพาธ homomorphism นี้เป็นการคาดเดาและเคอร์เนลของมันคือกลุ่มย่อยสับเปลี่ยนของกลุ่มพื้นฐาน ดังนั้น${\displaystyle H_{1}(X)}$เป็น isomorphic ต่อการabelianizationของกลุ่มพื้นฐาน ^[9]

กาวช่องว่างทอพอโลยี

สรุปข้อความข้างต้น สำหรับครอบครัวของเส้นทางที่เชื่อมต่อช่องว่าง ${\displaystyle X_{i},}$ กลุ่มพื้นฐาน ${\textstyle \pi _{1}\left(\bigvee _{i\in I}X_{i}\right)}$เป็นผลิตภัณฑ์ฟรีของกลุ่มพื้นฐานของ${\displaystyle X_{i}.}$^[10]ข้อเท็จจริงนี้เป็นกรณีพิเศษของทฤษฎีบท Seifert–van Kampenซึ่งช่วยให้สามารถคำนวณกลุ่มพื้นฐานของช่องว่างที่ติดกาวเข้าด้วยกันจากช่องว่างอื่นได้ ตัวอย่างเช่น 2-ทรงกลม${\displaystyle S^{2}}$สามารถรับได้โดย glueing สองฉบับที่ทับซ้อนกันเล็กน้อยครึ่งทรงกลมพร้อมย่านที่เส้นศูนย์สูตร ในกรณีนี้ ทฤษฎีบทให้ผล${\displaystyle \pi _{1}\left(S^{2}\right)}$เป็นเรื่องเล็กน้อยเนื่องจากครึ่งทรงกลมทั้งสองนั้นหดตัวได้ดังนั้นจึงมีกลุ่มพื้นฐานเล็กน้อย กลุ่มพื้นผิวพื้นฐานตามที่กล่าวไว้ข้างต้นสามารถคำนวณได้โดยใช้ทฤษฎีบทนี้

ในภาษาของทฤษฎีหมวดหมู่ ทฤษฎีบทสามารถระบุได้กระชับโดยกล่าวว่า functor กลุ่มพื้นฐานใช้การผลักออก (ในหมวดหมู่ของช่องว่างทอพอโลยี) พร้อมกับการรวมไปยังการผลักออก (ในหมวดหมู่ของกลุ่ม) ⁽¹¹⁾

ผ้าคลุม

แผนที่ ${\displaystyle \mathbb {R} \times [0,1]\to S^{1}\times [0,1]}$เป็นครอบคลุม: preimage ของ U (เน้นในสีเทา) เป็นสหภาพเคลื่อนสำเนาของ U ยิ่งกว่านั้น เป็นการปกปิดแบบสากลตั้งแต่ ${\displaystyle \mathbb {R} \times [0,1]}$ สามารถหดตัวได้และเชื่อมต่อได้ง่าย

กำหนดทอพอโลยีพื้นที่Bมีแผนที่อย่างต่อเนื่อง

${\displaystyle f:E\to B}$

เรียกว่าcoverหรือEเรียกว่าcover spaceของBถ้าทุกจุดbในBยอมรับUที่ใกล้เคียงกันแบบเปิดซึ่งจะมีhomeomorphismระหว่างpreimageของUและdisjoint union of copy of U (สร้างดัชนีโดยบาง set I ) ,

${\displaystyle \varphi :\bigsqcup _{i\in I}U\to f^{-1}(U)}$

ในลักษณะที่ ${\displaystyle \pi \circ \varphi }$ เป็นแผนที่ฉายภาพมาตรฐาน ${\displaystyle \bigsqcup _{i\in I}U\to U.}$⁽¹²⁾

ครอบคลุมสากล

การปกปิดเรียกว่าการปกปิดแบบสากลหากEเป็นนอกเหนือจากเงื่อนไขก่อนหน้านี้เพียงเชื่อมต่อ ^[13]มันเป็นสากลในแง่ที่ว่าปูอื่น ๆ ทั้งหมดจะถูกสร้างขึ้นโดยเหมาะสมระบุคะแนนในE รู้ครอบคลุมทั่วถึง

${\displaystyle p:{\widetilde {X}}\to X}$

ของทอพอโลยีสเปซXมีประโยชน์ในการทำความเข้าใจกลุ่มพื้นฐานของมันในหลายวิธี: อย่างแรก${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ระบุด้วยกลุ่มของการแปลงสำรับนั่นคือ กลุ่มของhomeomorphisms ${\displaystyle \varphi :{\widetilde {X}}\to {\widetilde {X}}}$ที่เดินทางด้วยแผนที่ไปยังXคือ${\displaystyle p\circ \varphi =p.}$ ความสัมพันธ์กับกลุ่มพื้นฐานก็คือ ${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$ สามารถระบุได้ด้วยไฟเบอร์ ${\displaystyle p^{-1}(x).}$ ตัวอย่างเช่น แผนที่

${\displaystyle p:\mathbb {R} \to S^{1},t\mapsto \exp(2\pi it)}$

(หรือเทียบเท่า ${\displaystyle \pi :\mathbb {R} \to \mathbb {R} /\mathbb {Z} ,\ t\mapsto [t]}$) เป็นการปกปิดแบบสากล การแปลงสำรับไพ่คือแผนที่${\displaystyle t\mapsto t+n}$ สำหรับ ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} .}$ นี้สอดคล้องกับบัตรประจำตัว ${\displaystyle p^{-1}(1)=\mathbb {Z} ,}$ โดยเฉพาะอย่างยิ่งสิ่งนี้พิสูจน์การอ้างสิทธิ์ข้างต้น ${\displaystyle \pi _{1}\left(S^{1}\right)\cong \mathbb {Z} .}$

เส้นทางใด ๆ ที่เชื่อมต่อ เส้นทางท้องถิ่นที่เชื่อมต่อและเฉพาะพื้นที่ทอพอโลยีที่เชื่อมต่อภายในXยอมรับการครอบคลุมสากล ^[14]ก่อสร้างนามธรรมดำเนิน analogously ไปยังกลุ่มพื้นฐานโดยการจับคู่ ( x , γ) ที่xเป็นจุดในXและγเป็นชั้น homotopy ของเส้นทางจากx ₀จะx ทางเดินจากพื้นที่ทอพอโลยีเพื่อครอบคลุมสากลสามารถนำมาใช้ในการทำความเข้าใจเรขาคณิตของX ตัวอย่างเช่นทฤษฎีบทการทำให้เป็นเนื้อเดียวกันแสดงให้เห็นว่าพื้นผิวรีมันน์ที่เชื่อมต่อง่ายๆคือ (ไอโซมอร์ฟิคกับ) เช่นกัน${\displaystyle S^{2},}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$หรือครึ่งบนเครื่องบิน ^[15]จากนั้นพื้นผิวทั่วไปของรีมันน์ก็เกิดขึ้นเป็นผลหารของการกระทำของกลุ่มบนพื้นผิวทั้งสามนี้

ความฉลาดของการกระทำของ ( ต่อเนื่อง ) กลุ่มGบนพื้นที่เพียงแค่เชื่อมต่อYมีกลุ่มพื้นฐาน

${\displaystyle \pi _{1}(Y/G)\cong G.}$

ตัวอย่างเช่นพื้นที่ฉายภาพจริงnมิติจริง ${\displaystyle \mathbb {R} \mathrm {P} ^{n}}$ได้มาจากผลหารของทรงกลมnมิติ${\displaystyle S^{n}}$ โดยการกระทำตรงกันข้ามของกลุ่ม ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$ การส่ง ${\displaystyle x\in S^{n}}$ ถึง ${\displaystyle -x.}$ เช่น ${\displaystyle S^{n}}$เชื่อมต่ออย่างง่ายสำหรับn ≥ 2 เป็นปกสากลของ${\displaystyle \mathbb {R} \mathrm {P} ^{n}}$ ในกรณีเหล่านี้ซึ่งหมายถึง ${\displaystyle \pi _{1}\left(\mathbb {R} \mathrm {P} ^{n}\right)\cong \mathbb {Z} /2}$สำหรับn ≥ 2

กลุ่มโกหก

ให้Gเป็นที่เชื่อมต่อเพียงแค่เชื่อมต่ออยู่กลุ่มที่มีขนาดกะทัดรัดสำหรับตัวอย่างเช่นการรวมกลุ่มพิเศษซู ( n ) และให้Γเป็นกลุ่มย่อย จำกัด ของG จากนั้นช่องว่างที่เป็นเนื้อเดียวกัน X  =  G /Γ มีกลุ่มพื้นฐาน Γ ซึ่งทำหน้าที่โดยการคูณอย่างถูกต้องบนช่องว่างครอบคลุมสากลG . ในบรรดารูปแบบต่าง ๆ ของโครงสร้างนี้ หนึ่งในสิ่งที่สำคัญที่สุดคือการเว้นวรรคสมมาตรเฉพาะที่ X  = Γ\ G / Kโดยที่

• Gเป็นกลุ่ม Lie ที่เชื่อมต่อกันไม่กะทัดรัด(มักจะกึ่งง่าย )
• Kเป็นกลุ่มย่อยที่มีขนาดกะทัดรัดที่สุดของG
• Γเป็นต่อเนื่องนับบิดฟรีกลุ่มย่อยของG

ในกรณีนี้กลุ่มพื้นฐานคือ Γ และพื้นที่ครอบคลุมสากลG / Kนั้นหดตัวได้จริง(โดยการสลายตัวของ Cartanสำหรับกลุ่ม Lie )

ตัวอย่างเช่น ใช้G  = SL(2, R ), K  = SO(2) และ Γ กลุ่มย่อยความสอดคล้องที่ไม่มีแรงบิดของกลุ่มโมดูลาร์ SL(2, Z )

จากสำนึกอย่างชัดเจนก็ยังต่อว่าพื้นที่ครอบคลุมสากลของเส้นทางที่เชื่อมต่อทอพอโลยีกลุ่ม Hเป็นอีกเส้นทางที่เชื่อมต่อกลุ่มทอพอโลยีG นอกจากนี้ แผนที่ครอบคลุมยังเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมแบบเปิดอย่างต่อเนื่องของGไปยังHด้วยเคอร์เนล Γ ซึ่งเป็นกลุ่มย่อยปกติแบบปิดที่ไม่ต่อเนื่องของG :

${\displaystyle 1\to \Gamma \to G\to H\to 1.}$

ตั้งแต่Gเป็นกลุ่มที่เชื่อมต่อกับการดำเนินการอย่างต่อเนื่องโดยการผันในกลุ่มΓไม่ต่อเนื่องจะต้องทำหน้าที่นิดเพื่อให้Γจะเป็นกลุ่มย่อยของมีศูนย์ของG โดยเฉพาะอย่างยิ่ง π ₁ ( H ) = Γ เป็นกลุ่ม abelian ; นอกจากนี้ยังสามารถมองเห็นได้โดยตรงโดยไม่ต้องใช้ช่องว่าง กลุ่มGเรียกว่ากลุ่มครอบคลุมสากลของ  H .

ตามที่กลุ่มการครอบคลุมสากลแนะนำ มีการเปรียบเทียบระหว่างกลุ่มพื้นฐานของกลุ่มทอพอโลยีกับศูนย์กลางของกลุ่ม นี้คือเนื้อหาที่Lattice กลุ่มครอบคลุม

Fibrations

Fibrationsเป็นวิธีที่มีประสิทธิภาพมากในการคำนวณกลุ่ม homotopy fibrationฉที่เรียกว่าพื้นที่ทั้งหมดและพื้นที่ฐาน Bมีโดยเฉพาะในสถานที่ที่ทุกเส้นใย${\displaystyle f^{-1}(b)}$เป็น homotopy เทียบเท่าและดังนั้นจึงไม่สามารถแยกแยะได้โดยใช้กลุ่มพื้นฐาน (และกลุ่ม homotopy ที่สูงกว่า) โดยมีเงื่อนไขว่าBเชื่อมต่อกับเส้นทาง ^[16]ดังนั้นช่องว่างEจึงถือได้ว่าเป็น " ผลิตภัณฑ์บิดเบี้ยว " ของช่องว่างฐาน Bและเส้นใย ${\displaystyle F=f^{-1}(b).}$ความสำคัญอย่างยิ่งของ fibrations ต่อการคำนวณกลุ่ม homotopy นั้นเกิดจากลำดับที่แน่นอนที่ยาวนาน

${\displaystyle \dots \to \pi _{2}(B)\to \pi _{1}(F)\to \pi _{1}(E)\to \pi _{1}(B)\ ถึง \pi _{0}(F)\to \pi _{0}(E)}$

โดยมีเงื่อนไขว่าBเชื่อมต่อกับเส้นทาง ^[17]ระยะ${\displaystyle \pi _{2}(B)}$เป็นกลุ่ม homotopyที่สองของBซึ่งถูกกำหนดให้เป็นชุดของคลาส homotopy ของแผนที่จาก${\displaystyle S^{2}}$ถึงBในการเปรียบเทียบโดยตรงกับคำจำกัดความของ${\displaystyle \pi _{1}.}$

ถ้าEเกิดขึ้นกับเส้นทางที่เชื่อมต่อและเชื่อมต่อง่ายๆ ลำดับนี้จะลดลงเป็น isomorphism

${\displaystyle \pi _{1}(B)\cong \pi _{0}(F)}$

ซึ่งสรุปข้อเท็จจริงข้างต้นเกี่ยวกับการหุ้มแบบสากล (ซึ่งเท่ากับกรณีที่ไฟเบอร์Fไม่ต่อเนื่องด้วย) หากFเกิดขึ้นเพื่อเชื่อมต่อและเชื่อมต่ออย่างง่าย ๆ มันจะลดเป็น isomorphism

${\displaystyle \pi _{1}(E)\cong \pi _{1}(B).}$

ยิ่งไปกว่านั้น ลำดับสามารถดำเนินการต่อทางด้านซ้ายด้วยกลุ่ม homotopy ที่สูงขึ้น ${\displaystyle \pi _{n}}$ ของช่องว่างทั้งสามซึ่งให้การเข้าถึงบางกลุ่มดังกล่าวในการคำนวณเดียวกัน

กลุ่มโกหกคลาสสิก

ลำดับของไฟเบอร์ดังกล่าวสามารถใช้ในการคำนวณกลุ่มพื้นฐานของกลุ่มโกหกคลาสสิกแบบกะทัดรัดแบบอุปนัย เช่นกลุ่มรวมพิเศษ ${\displaystyle \mathrm {SU} (n),}$ กับ ${\displaystyle n\geq 2.}$ กลุ่มนี้ทำหน้าที่สกรรมกริยาบนทรงกลมหน่วย ${\displaystyle S^{2n-1}}$ ข้างใน ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}=\mathbb {R} ^{2n}.}$ ความคงตัวของจุดในทรงกลมมีค่า isomorphic ถึง ${\displaystyle \mathrm {SU} (n-1).}$จากนั้นสามารถแสดงให้เห็น^[18]ว่าสิ่งนี้ให้ผลเป็นลำดับของไฟเบอร์

${\displaystyle \mathrm {SU} (n-1)\to \mathrm {SU} (n)\to S^{2n-1}.}$

ตั้งแต่ ${\displaystyle n\geq 2,}$ ทรงกลม ${\displaystyle S^{2n-1}}$ มีมิติอย่างน้อย 3 ประการ ซึ่งหมายถึง

${\displaystyle \pi _{1}\left(S^{2n-1}\right)\cong \pi _{2}\left(S^{2n-1}\right)=1.}$

ลำดับที่แน่นอนแบบยาวจะแสดง isomorphism

${\displaystyle \pi _{1}(\mathrm {SU} (n))\cong \pi _{1}(\mathrm {SU} (n-1)).}$

ตั้งแต่ ${\displaystyle \mathrm {SU} (1)}$ เป็นจุดเดียว ดังนั้น ${\displaystyle \pi _{1}(\mathrm {SU} (1))}$ เป็นเรื่องเล็กน้อย แสดงว่า ${\displaystyle \mathrm {SU} (n)}$ เชื่อมต่อกันเพื่อทุกคน ${\displaystyle n.}$

กลุ่มพื้นฐานของกลุ่ม Lie แบบ noncompact สามารถลดขนาดลงได้เป็น compact case เนื่องจากกลุ่มดังกล่าวมีลักษณะเหมือนกลุ่มย่อยที่มีขนาดกะทัดรัดสูงสุด ^[19]วิธีการเหล่านี้ให้ผลลัพธ์ดังต่อไปนี้: ^[20]