ความหนาแน่นของสเปกตรัม

ความหนาแน่นของสเปกตรัมพลังงาน

ความหนาแน่นสเปกตรัมของพลังงานอธิบายถึงวิธีการกระจายพลังงานของสัญญาณหรืออนุกรมเวลาด้วยความถี่ ในที่นี้คำว่าพลังงานถูกใช้ในความหมายทั่วไปของการประมวลผลสัญญาณ ^[8]นั่นคือพลังงาน${\ displaystyle E}$ ของสัญญาณ ${\ displaystyle x (t)}$คือ:

${\ displaystyle E \ triangleq \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} | x (t) | ^ {2} \ dt.}$

ความหนาแน่นของสเปกตรัมของพลังงานเหมาะสมที่สุดสำหรับการเปลี่ยนแปลงชั่วคราวนั่นคือสัญญาณแบบพัลส์ซึ่งมีพลังงานรวม จำกัด จำกัด หรือไม่ทฤษฎีบทของ Parseval ^[9] (หรือทฤษฎีบทของ Plancherel) ทำให้เรามีนิพจน์อื่นสำหรับพลังงานของสัญญาณ:

${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} | x (t) | ^ {2} \, dt = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} | {\ hat {x} } (f) | ^ {2} \ df,}$

ที่ไหน:

${\ displaystyle {\ hat {x}} (f) \ triangleq \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- i2 \ pi ft} x (t) \ dt}$

คือค่าของการแปลงฟูริเยร์ของ${\ displaystyle x (t)}$ที่ความถี่ ${\ displaystyle f}$(เป็นHz) ทฤษฎีบทยังถือเป็นจริงในกรณีเวลาที่ไม่ต่อเนื่อง เนื่องจากอินทิกรัลทางด้านขวามือคือพลังงานของสัญญาณอินทิกรัล${\ displaystyle \ left | {\ hat {x}} (f) \ right | ^ {2}}$สามารถตีความได้ว่าเป็นฟังก์ชันความหนาแน่นที่อธิบายถึงพลังงานที่มีอยู่ในสัญญาณที่ความถี่${\ displaystyle f}$. ดังนั้นความหนาแน่นของสเปกตรัมพลังงานของ${\ displaystyle x (t)}$ถูกกำหนดให้เป็น: ^[9]

ฟังก์ชั่น ${\ displaystyle {\ bar {S}} _ {xx} (f)}$และความสัมพันธ์อัตโนมัติของ${\ displaystyle x (t)}$รูปแบบการแปลงฟูเรียคู่ผลเป็นที่รู้จักกันWiener-Khinchin ทฤษฎีบท (ดูPeriodogram ด้วย )

ในฐานะที่เป็นตัวอย่างทางกายภาพของการวัดความหนาแน่นของสเปกตรัมพลังงานของสัญญาณสมมติว่า ${\ displaystyle V (t)}$แสดงถึงศักยภาพ (เป็นโวลต์ ) ของพัลส์ไฟฟ้าที่แพร่กระจายไปตามสายส่งของอิมพีแดนซ์ ${\ displaystyle Z}$และสมมติว่าสายถูกยกเลิกด้วยตัวต้านทานที่ตรงกัน (เพื่อให้พลังงานพัลส์ทั้งหมดถูกส่งไปยังตัวต้านทานและไม่มีการสะท้อนกลับ) ตามกฎของโอห์มกำลังที่ส่งไปยังตัวต้านทานในขณะนั้น${\ displaystyle t}$ เท่ากับ ${\ displaystyle V (t) ^ {2} / Z}$ดังนั้นพลังงานทั้งหมดจะพบได้จากการรวมเข้าด้วยกัน ${\ displaystyle V (t) ^ {2} / Z}$เกี่ยวกับเวลาในช่วงระยะเวลาของชีพจร เพื่อหาค่าของความหนาแน่นสเปกตรัมของพลังงาน${\ displaystyle {\ bar {S}} _ {xx} (f)}$ ที่ความถี่ ${\ displaystyle f}$หนึ่งสามารถแทรกระหว่างสายส่งและตัวต้านทานตัวกรองแบนด์พาสซึ่งส่งผ่านช่วงความถี่ที่แคบเท่านั้น (${\ displaystyle \ Delta f}$, พูด) ใกล้ความถี่ที่สนใจแล้ววัดพลังงานทั้งหมด ${\ displaystyle E (f)}$กระจายไปทั่วตัวต้านทาน ค่าของความหนาแน่นสเปกตรัมของพลังงานที่${\ displaystyle f}$ ก็จะประมาณ ${\ displaystyle E (f) / \ Delta f}$. ในตัวอย่างนี้ตั้งแต่ไฟ${\ displaystyle V (t) ^ {2} / Z}$มีหน่วยของ V ² Ω ⁻¹พลังงาน${\ displaystyle E (f)}$มีหน่วย V ²  s Ω ⁻¹  = J และด้วยเหตุนี้ค่าประมาณ${\ displaystyle E (f) / \ Delta f}$ของความหนาแน่นสเปกตรัมของพลังงานมีหน่วยของ J Hz ⁻¹ตามที่กำหนด ในหลาย ๆ สถานการณ์เป็นเรื่องปกติที่จะละเลยขั้นตอนการหารด้วย${\ displaystyle Z}$เพื่อให้ความหนาแน่นของสเปกตรัมของพลังงานมีหน่วย V ²  Hz ⁻¹แทน

คำจำกัดความนี้สรุปอย่างตรงไปตรงมากับสัญญาณที่ไม่ต่อเนื่องที่มีค่าจำนวนนับไม่ถ้วน ${\ displaystyle x_ {n}}$ เช่นสัญญาณที่สุ่มตัวอย่างในช่วงเวลาที่ไม่ต่อเนื่อง ${\ displaystyle x_ {n} = x (n \ Delta t)}$:

${\ displaystyle {\ bar {S}} _ {xx} (f) = \ lim _ {N \ to \ infty} (\ Delta t) ^ {2} \ underbrace {\ left | \ sum _ {n = - N} ^ {N} x_ {n} e ^ {- i2 \ pi fn \ Delta t} \ right | ^ {2}} _ {| {\ hat {x}} _ {d} (f) | ^ { 2}},}$

ที่ไหน ${\ displaystyle {\ hat {x}} _ {d} (f)}$คือการแปลงฟูเรียร์แบบไม่ต่อเนื่องเวลาของ${\ displaystyle x_ {n}.}$  ช่วงการสุ่มตัวอย่าง ${\ displaystyle \ Delta t}$ จำเป็นต้องรักษาหน่วยทางกายภาพที่ถูกต้องและเพื่อให้แน่ใจว่าเรากู้คืนกรณีต่อเนื่องในขีด จำกัด ${\ displaystyle \ Delta t \ to 0. }$  แต่ในวิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์มักกำหนดช่วงเวลาเป็น 1 ซึ่งจะทำให้ผลลัพธ์ง่ายขึ้นโดยมีค่าใช้จ่ายทั่วไป (ดูความถี่ Normalized ด้วย )

ความหนาแน่นของสเปกตรัมกำลัง

คำจำกัดความข้างต้นของความหนาแน่นสเปกตรัมของพลังงานเหมาะสำหรับช่วงเวลาชั่วคราว (สัญญาณคล้ายพัลส์) ซึ่งมีพลังงานกระจุกตัวอยู่รอบ ๆ หน้าต่างครั้งเดียว จากนั้นการแปลงฟูเรียร์ของสัญญาณโดยทั่วไปจะมีอยู่ สำหรับสัญญาณอย่างต่อเนื่องในช่วงเวลาที่ทุกคนค่อนข้างจะต้องกำหนดความหนาแน่นพลังงานสเปกตรัม (PSD) ซึ่งมีอยู่สำหรับกระบวนการนิ่ง ; สิ่งนี้อธิบายถึงวิธีการกระจายกำลังของสัญญาณหรืออนุกรมเวลาตามความถี่ดังตัวอย่างง่ายๆที่ให้ไว้ก่อนหน้านี้ ในที่นี้พลังงานอาจเป็นพลังทางกายภาพที่แท้จริงหรือบ่อยกว่านั้นเพื่อความสะดวกด้วยสัญญาณนามธรรมจะระบุด้วยค่ากำลังสองของสัญญาณ ตัวอย่างเช่นนักสถิติศึกษาความแปรปรวนของฟังก์ชันเมื่อเวลาผ่านไป${\ displaystyle x (t)}$(หรือมากกว่าตัวแปรอิสระอื่น) และการใช้การเปรียบเทียบกับสัญญาณไฟฟ้า (ในกระบวนการทางกายภาพอื่น ๆ ) เป็นเรื่องปกติที่จะอ้างถึงว่าเป็นสเปกตรัมกำลังแม้ว่าจะไม่มีพลังทางกายภาพเข้ามาเกี่ยวข้องก็ตาม หากมีการสร้างแหล่งจ่ายแรงดันทางกายภาพซึ่งตามมา${\ displaystyle x (t)}$และนำไปใช้กับขั้วของตัวต้านทาน 1 โอห์ม จากนั้นพลังที่สลายไปในทันทีในตัวต้านทานนั้นจะได้รับจาก${\ displaystyle x (t) ^ {2}}$ วัตต์

กำลังเฉลี่ย ${\ displaystyle P}$ ของสัญญาณ ${\ displaystyle x (t)}$ ตลอดเวลาจึงถูกกำหนดโดยค่าเฉลี่ยของเวลาต่อไปนี้โดยที่ช่วงเวลาดังกล่าว ${\ displaystyle T}$ มีศูนย์กลางอยู่ที่เวลาตามอำเภอใจ ${\ displaystyle t = t_ {0}}$:

${\ displaystyle P = \ lim _ {T \ to \ infty} {\ frac {1} {T}} \ int _ {t_ {0} -T / 2} ^ {t_ {0} + T / 2} | x (เสื้อ) | ^ {2} \, dt}$

อย่างไรก็ตามเพื่อประโยชน์ในการจัดการกับคณิตศาสตร์ที่ตามมาจะสะดวกกว่าในการจัดการกับการ จำกัด เวลาในสัญญาณมากกว่าการ จำกัด เวลาในขอบเขตของอินทิกรัล ดังนั้นเราจึงมีทางเลือกในการแทนค่ากำลังเฉลี่ยโดยที่${\ displaystyle x_ {T} (t) = x (t) w_ {T} (t)}$ และ ${\ displaystyle w_ {T} (t)}$ เป็นเอกภาพภายในระยะเวลาตามอำเภอใจและเป็นศูนย์ที่อื่น

${\ displaystyle P = \ lim _ {T \ to \ infty} {\ frac {1} {T}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} | x_ {T} (t) | ^ {2 } \, dt}$

เห็นได้ชัดว่าในกรณีที่นิพจน์ข้างต้นสำหรับ P ไม่เป็นศูนย์ (แม้ว่า T จะเติบโตโดยไม่มีขอบเขต) อินทิกรัลเองก็ต้องเติบโตโดยไม่มีขอบเขต นั่นคือเหตุผลที่เราไม่สามารถใช้ความหนาแน่นของสเปกตรัมของพลังงานเองซึ่งก็คือการแยกอินทิกรัลในกรณีเช่นนี้

ในการวิเคราะห์เนื้อหาความถี่ของสัญญาณ ${\ displaystyle x (t)}$อาจต้องการคำนวณการแปลงฟูเรียร์ธรรมดา ${\ displaystyle {\ hat {x}} (f)}$; อย่างไรก็ตามสำหรับสัญญาณที่น่าสนใจหลายประการการแปลงฟูริเยร์ไม่มีอยู่อย่างเป็นทางการ ^{[N 1]}ไม่ว่าอย่างไรParseval's Theoremจะบอกเราว่าเราสามารถเขียนกำลังเฉลี่ยใหม่ได้ดังนี้

${\ displaystyle P = \ lim _ {T \ to \ infty} {\ frac {1} {T}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} | {\ hat {x}} _ {T} (ฉ) | ^ {2} \, df}$

จากนั้นความหนาแน่นของสเปกตรัมกำลังถูกกำหนดให้เป็นอินทิแกรนด์ด้านบน ^{[11] [12]}

จากที่นี่เรายังสามารถดู ${\ displaystyle | {\ hat {x}} _ {T} (f) | ^ {2}}$เป็นแปลงฟูริเยเวลาบิดของ${\ displaystyle x_ {T} ^ {*} (- t)}$ และ ${\ displaystyle x_ {T} (t)}$

${\ displaystyle | {\ hat {x}} _ {T} (f) | ^ {2} = {\ mathcal {F}} \ left \ {x_ {T} ^ {*} (- t) \ mathbf { *} x_ {T} (t) \ right \} = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ left [\ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x_ {T} ^ {* } (t- \ tau) x_ {T} (t) dt \ right] e ^ {- i2 \ pi f \ tau} \ d \ tau}$

ทีนี้ถ้าเราแบ่งเวลาที่เกิดขึ้นข้างต้นด้วยช่วงเวลา ${\ displaystyle T}$ และใช้ขีด จำกัด เป็น ${\ displaystyle T \ rightarrow \ infty}$มันจะกลายเป็นฟังก์ชันautocorrelationของสัญญาณที่ไม่ใช่หน้าต่าง${\ displaystyle x (t)}$ซึ่งแสดงเป็น ${\ displaystyle R_ {xx} (\ tau)}$โดยมีเงื่อนไขว่า ${\ displaystyle x (t)}$เป็นergodicซึ่งเป็นจริงในกรณีส่วนใหญ่ แต่ไม่ใช่ทั้งหมด ^[13] .

${\ displaystyle \ lim _ {T \ to \ infty} {\ frac {1} {T}} | {\ hat {x}} _ {T} (f) | ^ {2} = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ left [\ lim _ {T \ to \ infty} {\ frac {1} {T}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x_ {T} ^ {* } (t- \ tau) x_ {T} (t) dt \ right] e ^ {- i2 \ pi f \ tau} \ d \ tau = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} R_ {xx } (\ tau) e ^ {- i2 \ pi f \ tau} d \ tau}$

จากที่นี่เราจะเห็นอีกครั้งโดยถือว่า ergodicity ของ ${\ displaystyle x (t)}$ความหนาแน่นของสเปกตรัมกำลังสามารถพบได้จากการแปลงฟูเรียร์ของฟังก์ชัน autocorrelation ( ทฤษฎีบท Wiener – Khinchin )

ผู้เขียนหลายคนใช้ความเท่าเทียมกันนี้เพื่อกำหนดความหนาแน่นของสเปกตรัมกำลัง ^[14]

พลังของสัญญาณในย่านความถี่ที่กำหนด ${\ displaystyle [f_ {1}, f_ {2}]}$, ที่ไหน ${\ displaystyle 0$สามารถคำนวณได้โดยการรวมความถี่ ตั้งแต่${\ displaystyle S_ {xx} (- f) = S_ {xx} (f)}$พลังงานที่เท่ากันสามารถนำมาประกอบกับคลื่นความถี่บวกและลบซึ่งอธิบายถึงปัจจัย 2 ในรูปแบบต่อไปนี้ (ปัจจัยเล็กน้อยดังกล่าวขึ้นอยู่กับข้อตกลงที่ใช้):

${\ displaystyle P _ {\ mathsf {bandlimited}} = 2 \ int _ {f_ {1}} ^ {f_ {2}} S_ {xx} (f) \, df}$

โดยทั่วไปอาจใช้เทคนิคที่คล้ายคลึงกันเพื่อประมาณค่าความหนาแน่นของสเปกตรัมที่แปรผันตามเวลา ในกรณีนี้คือช่วงเวลา${\ displaystyle T}$มีขอบเขต จำกัด แทนที่จะเข้าใกล้อินฟินิตี้ ส่งผลให้ความครอบคลุมและความละเอียดของสเปกตรัมลดลงเนื่องจากความถี่น้อยกว่า${\ displaystyle 1 / T}$ จะไม่ถูกสุ่มตัวอย่างและผลลัพธ์ที่ความถี่ซึ่งไม่ใช่จำนวนเต็มผลคูณของ ${\ displaystyle 1 / T}$ไม่เป็นอิสระ เพียงใช้อนุกรมเวลาเดียวสเปกตรัมกำลังโดยประมาณจะ "มีเสียงดัง" มาก อย่างไรก็ตามสิ่งนี้สามารถบรรเทาได้หากสามารถประเมินมูลค่าที่คาดหวัง (ในสมการข้างต้น) โดยใช้สเปกตรัมระยะสั้นจำนวนมาก (หรือไม่มีที่สิ้นสุด) ที่สอดคล้องกับวงสถิติของการรับรู้${\ displaystyle x (t)}$ ประเมินในช่วงเวลาที่กำหนด

เช่นเดียวกับความหนาแน่นของสเปกตรัมของพลังงานคำจำกัดความของความหนาแน่นของสเปกตรัมกำลังสามารถกำหนดให้เป็นตัวแปรเวลาที่ไม่ต่อเนื่องได้${\ displaystyle x_ {n}}$. ก่อนหน้านี้เราสามารถพิจารณาหน้าต่างของ${\ displaystyle -N \ leq n \ leq N}$ ด้วยสัญญาณที่สุ่มตัวอย่างในเวลาที่ไม่ต่อเนื่อง ${\ displaystyle x_ {n} = x (n \ Delta t)}$ สำหรับระยะเวลาการวัดผลทั้งหมด ${\ displaystyle T = (2N + 1) \ Delta t}$.

${\ displaystyle S_ {xx} (f) = \ lim _ {N \ to \ infty} {\ frac {(\ Delta t) ^ {2}} {T}} \ left | \ sum _ {n = -N } ^ {N} x_ {n} e ^ {- i2 \ pi fn \ Delta t} \ right | ^ {2}}$

โปรดทราบว่าการประมาณค่า PSD เพียงครั้งเดียวสามารถหาได้จากการสุ่มตัวอย่างจำนวน จำกัด ก่อนหน้านี้ PSD เกิดขึ้นจริงเมื่อ${\ displaystyle N}$ (และด้วยเหตุนี้ ${\ displaystyle T}$) เข้าใกล้อินฟินิตี้และค่าที่คาดหวังจะถูกนำไปใช้อย่างเป็นทางการ ในแอปพลิเคชันในโลกแห่งความเป็นจริงโดยทั่วไปแล้วเราจะเฉลี่ย PSD การวัดผลแบบ จำกัด ในการทดลองหลายครั้งเพื่อให้ได้ค่าประมาณ PSD เชิงทฤษฎีของกระบวนการทางกายภาพที่แม่นยำยิ่งขึ้นซึ่งเป็นพื้นฐานของการวัดแต่ละครั้ง นี้ PSD คำนวณบางครั้งเรียกว่าperiodogram เส้นเวลานี้จะแปลงเป็น PSD จริงเป็นจำนวนโดยประมาณและช่วงเวลาเฉลี่ย${\ displaystyle T}$เข้าใกล้อินฟินิตี้ (Brown & Hwang) ^[15]

หากสัญญาณสองสัญญาณทั้งสองมีความหนาแน่นของสเปกตรัมกำลังจะสามารถคำนวณความหนาแน่นข้ามสเปกตรัมได้ในทำนองเดียวกัน เป็น PSD ที่เกี่ยวข้องกับอัตดังนั้นคือความหนาแน่นข้ามรางที่เกี่ยวข้องกับการข้ามความสัมพันธ์

คุณสมบัติของความหนาแน่นของสเปกตรัมกำลัง

คุณสมบัติบางประการของ PSD ได้แก่ : ^[16]

• สเปกตรัมกำลังเป็นของจริงและไม่เป็นลบเสมอและสเปกตรัมของกระบวนการที่มีมูลค่าจริงก็เป็นหน้าที่ของความถี่เช่นกัน:${\ displaystyle S_ {xx} (- f) = S_ {xx} (f)}$.
• สำหรับกระบวนการสุ่มแบบต่อเนื่องx (t) ฟังก์ชัน autocorrelation R _xx (t) สามารถสร้างขึ้นใหม่จากสเปกตรัมกำลัง S _xx (f) โดยใช้การแปลงฟูเรียร์ผกผัน
• การใช้ทฤษฎีบทของ Parsevalเราสามารถคำนวณความแปรปรวน (กำลังเฉลี่ย) ของกระบวนการได้โดยการรวมสเปกตรัมกำลังเข้ากับความถี่ทั้งหมด:

${\ displaystyle P = {\ text {Var}} (x) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \! s_ {xx} (f) \, df}$

• สำหรับกระบวนการจริง x (t) ที่มีความหนาแน่นของสเปกตรัมกำลัง ${\ displaystyle S_ {xx} (f)}$หนึ่งสามารถคำนวณสเปกตรัมรวมหรือการกระจายสเปกตรัมกำลัง ${\ displaystyle F (f)}$ซึ่งระบุค่าเฉลี่ยbandlimitedอำนาจที่มีอยู่ในความถี่จาก DC เพื่อใช้ F: ^[17]

${\ displaystyle F (f) = 2 \ int _ {0} ^ {f} S_ {xx} (f ') \, df'.}$

โปรดทราบว่านิพจน์ก่อนหน้าสำหรับกำลังรวม (ความแปรปรวนของสัญญาณ) เป็นกรณีพิเศษที่ f →∞

ความหนาแน่นของสเปกตรัมกำลังข้าม

ให้สัญญาณสองสัญญาณ ${\ displaystyle x (t)}$ และ ${\ displaystyle y (t)}$ซึ่งแต่ละอันมีความหนาแน่นของสเปกตรัมกำลัง ${\ displaystyle S_ {xx} (f)}$ และ ${\ displaystyle S_ {yy} (f)}$เป็นไปได้ที่จะกำหนดความหนาแน่นของสเปกตรัมกำลังข้าม ( CPSD ) หรือความหนาแน่นของสเปกตรัม ( CSD ) ในการเริ่มต้นให้เราพิจารณากำลังเฉลี่ยของสัญญาณรวมดังกล่าว

${\ displaystyle P = \ lim _ {T \ to \ infty} {\ frac {1} {T}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ left [x_ {T} (t) + y_ {T} (t) \ right] ^ {*} \ left [x_ {T} (t) + y_ {T} (t) \ right] dt = \ lim _ {T \ to \ infty} {\ frac { 1} {T}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} | x_ {T} (t) | ^ {2} + x_ {T} ^ {*} (t) y_ {T} (t ) + y_ {T} ^ {*} (t) x_ {T} (t) + | y_ {T} (t) | ^ {2} dt}$

ด้วยการใช้สัญกรณ์และวิธีการเดียวกับที่ใช้สำหรับการหาค่าความหนาแน่นของสเปกตรัมกำลังเราใช้ประโยชน์จากทฤษฎีบทของ Parseval และได้รับ

${\ displaystyle S_ {xy} (f) = \ lim _ {T \ to \ infty} {\ frac {1} {T}} \ left [{\ hat {x}} _ {T} ^ {*} ( ฉ) {\ hat {y}} _ {T} (f) \ right] \ \ \ \ \ \ S_ {yx} (f) = \ lim _ {T \ to \ infty} {\ frac {1} {T}} \ left [{\ hat {y}} _ {T} ^ {*} (f) {\ hat {x}} _ {T} (f) \ right]}$

อีกครั้งการมีส่วนร่วมของ ${\ displaystyle S_ {xx} (f)}$ และ ${\ displaystyle S_ {yy} (f)}$เข้าใจแล้ว โปรดทราบว่า${\ displaystyle S_ {xy} ^ {*} (f) = S_ {yx} (f)}$ดังนั้นการมีส่วนร่วมอย่างเต็มที่ในอำนาจข้ามคือโดยทั่วไปจากสองเท่าของส่วนจริงของCPSDแต่ละตัว เช่นเดียวกับก่อนหน้านี้จากที่นี่เราสร้างผลิตภัณฑ์เหล่านี้ใหม่เป็นการแปลงฟูเรียร์ของการแปลงเวลาซึ่งเมื่อหารด้วยช่วงเวลาและนำไปถึงขีด จำกัด${\ displaystyle T \ to \ infty}$กลายเป็นการแปลงฟูเรียร์ของฟังก์ชันข้ามสหสัมพันธ์ ^[18]

${\ displaystyle S_ {xy} (f) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ left [\ lim _ {T \ to \ infty} {\ frac {1} {T}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x_ {T} ^ {*} (t- \ tau) \ mathbf {*} y_ {T} (t) dt \ right] e ^ {- i2 \ pi f \ tau } d \ tau = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} R_ {xy} (\ tau) e ^ {- i2 \ pi f \ tau} d \ tau}$

${\ displaystyle S_ {yx} (f) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ left [\ lim _ {T \ to \ infty} {\ frac {1} {T}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} y_ {T} ^ {*} (t- \ tau) \ mathbf {*} x_ {T} (t) dt \ right] e ^ {- i2 \ pi f \ tau } d \ tau = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} R_ {yx} (\ tau) e ^ {- i2 \ pi f \ tau} d \ tau}$

ที่ไหน ${\ displaystyle R_ {xy} (\ tau)}$คือความสัมพันธ์ระหว่างกันของ${\ displaystyle x (t)}$ ด้วย ${\ displaystyle y (t)}$ และ ${\ displaystyle R_ {yx} (\ tau)}$คือความสัมพันธ์ระหว่างกันของ${\ displaystyle y (t)}$ ด้วย ${\ displaystyle x (t)}$. ด้วยเหตุนี้ PSD จึงถูกมองว่าเป็นกรณีพิเศษของ CSD สำหรับ${\ displaystyle x (t) = y (t)}$. สำหรับกรณีที่${\ displaystyle x (t)}$ และ ${\ displaystyle y (t)}$ คือสัญญาณแรงดันไฟฟ้าหรือกระแสไฟฟ้าความหนาแน่นของสเปกตรัมแอมพลิจูดที่สัมพันธ์กัน ${\ displaystyle {\ hat {x}} (f)}$ และ ${\ displaystyle {\ hat {y}} (f)}$เป็นไปในเชิงบวกอย่างเคร่งครัดตามแบบแผน ดังนั้นในการประมวลผลสัญญาณโดยทั่วไปCPSDแบบเต็มจึงเป็นเพียงหนึ่งในCPSDที่ปรับขนาดด้วยตัวประกอบสองตัว

${\ displaystyle CPSD_ {เต็ม} = 2S_ {xy} (f) = 2S_ {yx} (f)}$

สำหรับสัญญาณที่ไม่ต่อเนื่องx _nและy _nความสัมพันธ์ระหว่างความหนาแน่นข้ามสเปกตรัมและความแปรปรวนร่วมข้ามคือ

${\ displaystyle S_ {xy} (f) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} R_ {xy} (\ tau _ {n}) e ^ {- i2 \ pi f \ tau _ { n}} \ เดลต้า \ tau}$

เป้าหมายของการประมาณความหนาแน่นของสเปกตรัมคือการประมาณความหนาแน่นของสเปกตรัมของสัญญาณสุ่มจากลำดับของตัวอย่างเวลา ขึ้นอยู่กับสิ่งที่ทราบเกี่ยวกับสัญญาณเทคนิคการประมาณค่าอาจเกี่ยวข้องกับวิธีพาราเมตริกหรือไม่ใช่พารามิเตอร์และอาจขึ้นอยู่กับการวิเคราะห์โดเมนเวลาหรือโดเมนความถี่ ตัวอย่างเช่นเทคนิคพาราเมตริกทั่วไปเกี่ยวข้องกับการปรับการสังเกตให้เหมาะสมกับแบบจำลองอัตโนมัติ เทคนิคไม่ใช่ตัวแปรเหมือนกันคือperiodogram

โดยปกติความหนาแน่นของสเปกตรัมจะประมาณโดยใช้วิธีการแปลงฟูริเยร์ (เช่นวิธีเวลช์ ) แต่สามารถใช้เทคนิคอื่น ๆ เช่นวิธีเอนโทรปีสูงสุดได้เช่นกัน

• เซนสเปกตรัมของสัญญาณเป็นจุดกึ่งกลางของฟังก์ชั่นความหนาแน่นสเปกตรัมคือความถี่ที่แบ่งกระจายออกเป็นสองส่วนเท่า ๆ กัน
• ความถี่ขอบสเปกตรัมของสัญญาณเป็นส่วนขยายของแนวคิดก่อนหน้านี้สัดส่วนแทนของทั้งสองส่วนเท่า ๆ กันใด ๆ
• ความหนาแน่นของสเปกตรัมเป็นฟังก์ชันของความถี่ไม่ใช่ฟังก์ชันของเวลา อย่างไรก็ตามอาจมีการคำนวณความหนาแน่นของสเปกตรัมของหน้าต่างขนาดเล็กของสัญญาณที่ยาวกว่าและพล็อตเมื่อเทียบกับเวลาที่เกี่ยวข้องกับหน้าต่าง กราฟดังกล่าวเรียกว่าspectrogram นี่เป็นพื้นฐานของเทคนิคการวิเคราะห์สเปกตรัมหลายประการเช่นการแปลงฟูเรียร์ในระยะเวลาสั้นและเวฟเล็ต
• "สเปกตรัม" โดยทั่วไปหมายถึงความหนาแน่นของสเปกตรัมกำลังตามที่กล่าวไว้ข้างต้นซึ่งแสดงถึงการกระจายของเนื้อหาสัญญาณผ่านความถี่ สิ่งนี้ไม่ต้องสับสนกับการตอบสนองความถี่ของฟังก์ชันการถ่ายโอนซึ่งรวมถึงเฟสด้วย (หรือส่วนที่เท่ากันคือส่วนจริงและส่วนจินตภาพเป็นฟังก์ชันของความถี่) สำหรับฟังก์ชันการถ่ายโอน (เช่นBode plot , chirp ) การตอบสนองความถี่ที่สมบูรณ์อาจแสดงเป็นกราฟเป็นสองส่วนคือแอมพลิจูดเทียบกับความถี่และเฟสเทียบกับความถี่ (หรือน้อยกว่าโดยทั่วไปเป็นส่วนจริงและในจินตนาการของฟังก์ชันการถ่ายโอน) การตอบสนองแรงกระตุ้น (ในโดเมนเวลา)${\ displaystyle h (t)}$โดยทั่วไปไม่สามารถกู้คืนโดยเฉพาะจากส่วนความหนาแน่นของสเปกตรัมแอมพลิจูดเพียงอย่างเดียวโดยไม่มีฟังก์ชันเฟส แม้ว่าสิ่งเหล่านี้จะเป็นคู่การแปลงฟูเรียร์ แต่ก็ไม่มีความสมมาตร (เนื่องจากมีสำหรับความสัมพันธ์อัตโนมัติ) บังคับให้การแปลงฟูเรียร์มีมูลค่าจริง ดูขั้นตอนการสเปกตรัมและเสียงเฟส

วิศวกรรมไฟฟ้า

สเปกโตรแกรมของ สัญญาณวิทยุ FM ที่มีความถี่บนแกนนอนและเวลาที่เพิ่มขึ้นบนแกนแนวตั้ง

แนวคิดและการใช้คลื่นไฟฟ้าของสัญญาณเป็นพื้นฐานในด้านวิศวกรรมไฟฟ้าโดยเฉพาะอย่างยิ่งในระบบการสื่อสารทางอิเล็กทรอนิกส์รวมทั้งการสื่อสารทางวิทยุ , เรดาร์และระบบที่เกี่ยวข้องบวกเรื่อย ๆการสำรวจระยะไกลเทคโนโลยี เครื่องมืออิเล็กทรอนิกส์ที่เรียกว่าเครื่องวิเคราะห์สเปกตรัมใช้ในการสังเกตและวัดสเปกตรัมกำลังของสัญญาณ

เครื่องวิเคราะห์สเปกตรัมจะวัดขนาดของการแปลงฟูริเยร์ระยะสั้น (STFT) ของสัญญาณอินพุต หากสัญญาณที่กำลังวิเคราะห์ถือได้ว่าเป็นกระบวนการที่หยุดนิ่ง STFT คือการประมาณค่าความหนาแน่นของสเปกตรัมกำลังได้อย่างราบรื่น

จักรวาลวิทยา

ความผันผวนของยุคดึกดำบรรพ์การแปรผันของความหนาแน่นในเอกภพยุคแรกจะถูกหาค่าโดยสเปกตรัมกำลังซึ่งให้พลังของการแปรผันเป็นหน้าที่ของมาตราส่วนเชิงพื้นที่

• ความหนาแน่นของสัญญาณรบกวน
• การประมาณความหนาแน่นของสเปกตรัม
• ประสิทธิภาพของสเปกตรัม
• การกระจายพลังงานสเปกตรัม
• อุณหภูมิความสว่าง
• สีของเสียงรบกวน
• การรั่วไหลของสเปกตรัม
• ฟังก์ชั่นหน้าต่าง
• Bispectrum
• โอกาสเล็กน้อย

• สคริปต์ Matlab ความหนาแน่นของสเปกตรัมพลังงาน